62

UNIDAD

Dinámica3

En la Unidad anterior hemos estudiado el movimiento sin tener en cuenta las cau-sas que lo producen o lo alteran. En ésta abordaremos las interacciones existentesentre los cuerpos que se manifiestan por fuerzas más o menos intensas y que son lacausa de la alteración de su estado de reposo o de movimiento.

Estudiaremos las leyes de Newton que justifican matemáticamente el modo en queactúan las fuerzas. También conoceremos dos magnitudes físicas directamente relacio-nadas: el impulso mecánico y el momento lineal; y la importantísima relación existenteentre éstas, descubierta también por Newton, y que constituye el Principio fundamen-tal de la dinámica según su enunciado original.

Conoceremos la Ley de la Gravitación Universal, también debida a Newton, queconsiguió obtener la expresión matemática definitiva basándose en las teorías deKepler y Galileo.

También estudiaremos las fuerzas de rozamiento, presentes en la práctica totalidadde los movimientos que observamos diariamente, y el modo en que actúan.

Asimismo, veremos que las fuerzas pueden deformar los cuerpos y conoceremosla ley de Hooke por la que se rige la deformación de los cuerpos elásticos.

Por último, haremos un estudio de la dinámica del movimiento circular donde seaplicarán algunos de los conceptos que habremos aprendido a lo largo de esta intere-sante Unidad.

1. LA FUERZA COMO INTERACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642. LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1. Primera ley: Principio de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2. Segunda ley: Principio fundamental de la dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3. Tercera ley: Principio de acción y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. IMPULSO MECÁNICO Y MOMENTO LINEAL. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 684. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715. FUERZAS DE ROZAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736. FUERZAS ELÁSTICAS. LEY DE HOOKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

63

LA DINÁMICA

FUERZAS

MOVIMIENTO Y SUS VARIACIONES

DEFORMACIÓN EN LOS CUERPOS

Fuerzas de rozamiento

Ley de Hooke

LEYES DE NEWTON

Ley de la Gravitación Universal

Principio de

Inercia

Principio Fundamental de

la Dinámica

Principio de Acción y Reacción

Principio de Conservación del Momento Lineal

Igualdad entre el Impulso Mecánico y el Momento Lineal

su estudio se basa en las

estudia las

que se rige por la

que pueden ser afectados por

de la Dinámica:

equivalente al establece la

como causa de

64

DINÁMICA

3UNIDAD

1. La fuerza como interacciónHemos visto que si la velocidad de un cuerpo en movimiento varía es debido a

la existencia de una aceleración. Ahora bien, ¿cuál es la causa de que se produzcauna aceleración? La causa es siempre una interacción con uno o más cuerpos y laintensidad de esta interacción es lo que conocemos con el nombre de fuerza. Asípues, desde el punto de vista dinámico, podemos definir la fuerza como una medidade la intensidad de la interacción entre los cuerpos capaz de alterar sus estados dereposo o de movimiento.

A primera vista, la interacción entre dos cuerpos puede producirse por contactoo a distancia. Podemos observar multitud de ejemplos de los dos tipos de interacciónen nuestra vida cotidiana. Los más sencillos de interpretar son los que se producenpor contacto, por ejemplo, cuando se empuja un objeto para cambiarle de sitio, se leda un golpe para enviarle a un sitio concreto, etc. Sin embargo las interacciones adistancia son menos intuitivas aunque no por ello dejan de ser evidentes como laatracción entre un imán y un trozo de hierro, o entre la Tierra y la Luna, o las fuerzasque se manifiestan entre las cargas eléctricas ya sean de atracción o de repulsión.

A pesar de la multitud de formas en que podemos observar las interacciones, enel fondo éstas son manifestaciones, aisladas o conjuntas, de los cuatro tipos de inter-acciones fundamentales que existen:

Nuclear fuerte: Es la más intensa de todas, aunque de muy corto alcance, susefectos sólo se manifiestan dentro del núcleo atómico, y es la que permite mantenerconfinados en su interior a los protones y neutrones.

Nuclear débil: Es de intensidad mucho menor y su alcance también está limita-do al interior del núcleo. Contribuye a mantener el equilibrio de éste y está relaciona-da con los fenómenos radiactivos.

Electromagnética: Es una interacción intensa a corta distancia, aunque menosque la nuclear fuerte. Puede ser de atracción o de repulsión y permite mantener a loselectrones en la corteza de los átomos y a su vez a éstos formar moléculas. Puedetransmitirse a enormes distancias por medio de ondas electromagnéticas como en elcaso de la luz, ondas de radiofrecuencia, etc.

Gravitatoria: Es siempre de atracción, alcanza hasta el infinito, es la menosintensa y permite a los astros permanecer en sus órbitas manteniendo el equilibriodel Universo. Esto es posible, a pesar de su baja intensidad, porque el valor de lafuerza ejercida está en relación directa con las enormes masas que interactúan,según veremos más adelante en esta Unidad.

Uno de los mayores retos a los que se enfrentan en la actualidad los físicos ymatemáticos es la búsqueda de leyes que relacionen entre sí estas fuerzas funda-mentales en el afán de encontrar un modelo de interacción universal que justifique laestructura y organización del Universo, además de otros fenómenos físicos de difícilinterpretación en la actualidad.

65

2. Leyes de NewtonSe tardó mucho tiempo conocer el modo en que actúan las fuerzas sobre los

cuerpos así como las definiciones cuantitativas de masa y de fuerza, tan íntimamen-te relacionadas. Fue Sir Isaac Newton (1643-1727) quien, en su obra PrincipiosMatemáticos de la Filosofía Natural, también llamada Principia, enunció las tres leyesen las que se fundamenta el estudio de la dinámica, y que siguen siendo válidas enla actualidad.

2.1. Primera ley: Principio de inercia

De esta definición podemos deducir que todos los cuerpos tienen una tendenciaa permanecer en el estado de reposo o de movimiento en que se encuentran. Estolo observamos a diario; por ejemplo cuando estamos en un vehículo parado y arran-ca, notamos como si algo nos empujara hacia atrás y sin embargo no es así; senci-llamente es la propia inercia de la masa de nuestro cuerpo que se opone a iniciar elmovimiento. Asimismo cuando el vehículo frena notamos una fuerza hacia adelante;es debido a que nuestra masa “intenta” mantener la velocidad que llevaba.

De esto podemos deducir que la fuerza de inercia es proporcional a la aceleracióny, por otra parte, es evidente que cuanto mayor sea la masa del cuerpo mayor será lafuerza de inercia que aparece sobre él al variar su velocidad. En consecuencia, pode-mos decir que la fuerza de inercia que aparece sobre un cuerpo al cambiar su velocidades igual al producto de su masa por la aceleración que ha recibido. Es decir:

amFi

rr⋅−=

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe ninguna fuerza sobre él.

Un curioso ejemplo que pone claramente de manifiesto la fuerza de inercia lo podemos ver enel siguiente experimento: colocamos una hoja de papel encima de una mesa y encima de ella unamoneda; a continuación tiramos lentamente de la hoja y veremos que la moneda se mueve solida-riamente con ella. Si por el contrario damos un fuerte tirón observamos que la moneda no se muevedel lugar que ocupaba.

En el primer caso, resulta que la aceleración proporcionada a la moneda es muy pequeña ypor lo tanto la fuerza de inercia que aparece en ella también lo será y no podrá superar a la derozamiento que existe entre la moneda y la hoja, por lo que será arrastrada.

En el segundo caso, la aceleración es mucho mayor y por lo tanto la fuerza de inercia que secrea sobre la masa de la moneda es muy superior a la de rozamiento, por lo que no será arras-trada.

E j e m p l o

66

DINÁMICA

3UNIDAD

Nótese el signo menos que aparece en la fórmula; significa que la fuerza deinercia siempre tiene el sentido contrario al de la aceleración, aunque en la mismadirección.

En el razonamiento anterior nos hemos acercado un poco más al concepto demasa; es algo que tienen todos los cuerpos, en mayor o menor cantidad, que pre-senta una inercia a cambiar su estado de reposo o de movimiento; por eso, desdeesta perspectiva, se la denomina masa inerte.

2.2. Segunda ley: Principio fundamental dela dinámica

Nótese que esta fórmula es la misma que hemos visto en el primer principio, sinel signo menos.

En realidad el enunciado original de la segunda ley fue: El cambio de movimien-to es proporcional a la fuerza motriz impresa y se realiza según la línea recta en laque se imprime esa fuerza.

Si comparamos este enunciado con el que vimos al principio, podemos observarque en éste no se nombra la masa ni la aceleración ¿por qué? Newton hablaba decambio de movimiento. Podemos entender que hacía referencia a la variación en eltiempo de lo que se conoce como cantidad de movimiento o momento lineal y quese define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad:

Según esto la expresión matemática de la segunda ley de Newton, tal como él la

enunció, es: t

)vm(FtpF

∆∆=⇒

∆∆=

rrrr

vmprr

⋅=

amFrr

⋅=

La aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él.

1. ¿Por qué cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, notamos una fuerza que noshace inclinarnos hacia un lado?

2. Calcula el valor de la fuerza que ejerce una persona de 60 Kg de masa sobre el suelo deun ascensor cuando:

a) Arranca con una aceleración de 1 ms -2

b) Sube con velocidad constante de 4 ms -1

c) Al final del trayecto frena con una aceleración de -0,5 ms -2

A c t i v i d a d e s

67

Si la masa no varía, podemos escribir: , o lo que es lo mismo:

Con esto podemos concluir que la definición actual es una consecuencia inme-diata de la realizada por Newton, más fácil de interpretar y aplicar en muchos proble-mas aunque en ningún caso la podemos considerar de mayor trascendencia. Lasegunda ley de Newton, según él la enunció, constituye posiblemente el razonamien-to más importante de toda la Física.

Podemos definir ahora la unidad de fuerza, que en el SI es el Newton, y se defi-ne como la fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le proporciona una aceleraciónde 1 metro por segundo al cuadrado.

Su ecuación de dimensiones es:

Toda fuerza tiene un punto de aplicación, una intensidad, una dirección y un sen-tido por lo que es una magnitud vectorial.

El momento lineal no tiene una unidad específica, se expresa en función de lamasa y de la velocidad (en el SI se mide en kg.m.s-1). Su ecuación de dimensiones

será: y también es una magnitud vectorial.

2.3. Tercera ley: Principio de acción y reacción

Recordemos las dos primeras leyes y fijémonos en lo siguiente: en la primera sehacía referencia a la fuerza que aparece sobre una masa frente a una aceleración yla segunda se refiere a la aceleración que un cuerpo adquiere al recibir una fuerza.Es decir la segunda ley trata sobre la fuerza que actúa sobre una masa (acción) y laprimera a la fuerza con la que ésta reacciona (reacción) y, según las fórmulas obte-nidas, estas dos fuerzas son del mismo valor, pero de sentido contrario. Luego el ter-cer principio es una consecuencia inmediata de los dos primeros.

Si sobre un cuerpo actúa una fuerza (acción), éste se opone con otrafuerza igual y de sentido contrario (reacción).

[ ] [ ]1−= MLTp

[ ] [ ]2−= MLTF

amFrr

⋅=tvmF

∆∆=rr

3. Sobre un cuerpo de 2 Kg de masa, inicialmente en reposo, actúa una fuerza de 6 N.Calcula: a) La aceleración que adquirirá. b) La velocidad que tendrá al cabo de 5 segundos.

A c t i v i d a d e s

Vamos a intentar comprender mejor el significado de este principio apoyándonos enunos sencillos ejemplos.

Un libro que está situado encima de una mesa ejerce una fuerza sobre ella que es supropio peso y la mesa ejerce una fuerza hacia arriba igual al peso del libro, de lo contrarioéste caería al suelo. Esta fuerza que la mesa ejerce es la fuerza de reacción y su direcciónes perpendicular al plano del tablero sobre el que está apoyado el libro.

E j e m p l o s

68

DINÁMICA

3UNIDAD

3. Impulso mecánico y momentolineal. Principio de conservación

Del segundo principio de Newton, según él lo enunció, se desprenden dos de lasconclusiones más relevantes para el estudio de la dinámica que son la relación exis-tente entre el impulso mecánico y el momento lineal y la conservación de éste enausencia de fuerzas exteriores.

Si en la ecuación del segundo principio de Newton pasamos ∆t al primer miem-bro obtenemos: ⇒

La expresión que aparece en el miembro izquierdo de la ecuación anteriores lo que conocemos como impulso mecánico ( ) que es el producto de la fuerzapor el tiempo que actúa:

También podemos ver que en el miembro derecho de la ecuación aparece lavariación del momento lineal. Esta expresión se aplica con mucha frecuencia en la

tFI ∆⋅=rr I

rtF ∆⋅

rvmtFrr

∆⋅=∆⋅ptFrr

∆=∆⋅

Una lámpara que cuelga del techo ejerce una fuerza hacia abajo sobre la cadena o cableque la sujeta igual a su peso y el cable ejerce sobre la lámpara una fuerza igual hacia arri-ba. Esta fuerza de reacción que ejercen los cables, cuerdas, etc. se denomina tensión y enlos casos prácticos puede aplicarse en cualquier punto de ellos ya que todos sus puntosestán sometidos a la misma fuerza independientemente de donde actúe su extremo.

Podríamos buscar muchos más ejemplos y llegaríamos siempre a una conclusión: lasfuerzas actúan siempre por parejas (una de acción y otra de reacción).

4. El motor de una grúa proporciona a la carga una aceleración de 2 ms -2 al comenzar lasubida. Si la tensión máxima que soporta el cable es de 4000 N, ¿cuál será el mayorpeso que puede subir sin que éste se rompa?

A c t i v i d a d e s

R E C U E R DA

T La fuerza es la intensidad de la interacción entre los cuerpos.

T En la naturaleza existen cuatro tipos de fuerzas fundamentales.

T Los cuerpos tienden a permanecer en su estado de reposo o de movimiento debido ala fuerza inercia que aparece al variar este estado.

T La fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración.

T A toda fuerza (acción) se opone otra igual y de sentido contrario (reacción).

69

resolución de problemas de dinámica y podemos enunciarla como: El impulsomecánico es igual a la variación del momento lineal.

Dicho de otro modo: el impulso mecánico aplicado a un cuerpo se invierte envariar su cantidad de movimiento.

Si no actúa ninguna fuerza, el impulso mecánico vale cero, por lo tanto la varia-ción del momento lineal o cantidad de movimiento es nula, es decir:

Lo que demuestra que si no actúa ninguna fuerza, la velocidad no varía. Esto es,según hemos visto, lo que afirma el primer principio de Newton que también puedeenunciarse así: En ausencia de fuerzas exteriores, el momento lineal se mantie-ne constante.

Este enunciado también constituye el principio de conservación del momen-to lineal o de la cantidad de movimiento.

Hasta el momento hemos realizado el estudio sobre un cuerpo. Sin embargo,este importantísimo principio adquiere su mayor relevancia cuando se trata de lainteracción entre varios cuerpos o, en adelante, masas.

Si un sistema está formado por varias masas, éste puede considerarse, frente alas fuerzas exteriores a él, como una masa única cuyo valor es la suma de las masasque le componen por lo que todo lo que hemos visto hasta ahora lo podemos hacerextensivo al sistema.

Dicho esto, vamos a aplicar el principio de conservación del momento lineal a unsistema aislado de masa total m formado por dos masas m1 y m2 que sí pueden interac-

tuar entre ellas sin alterar por ello la condición de aislamiento. El momento lineal total

será la suma de los momentos lineales de las masas que lo forman, es decir:

Supongamos ahora que las masas m1 y m2 interactúan entre sí, ya sea por un cho-

que o por fuerzas de atracción o de repulsión, esto hará que sus momentos linealescambien, pero no el del sistema. Después de la interacción, el momento lineal será:

. De donde se deduce que: , o bien:

Análogamente si el sistema estuviera formado por n masas tendríamos:

que es el modo más frecuente deutilizar este principio en la resolución de problemas con interacciones entre masas.

Al igual que el momento lineal, el impulso mecánico no tiene una unidad propiay se expresa en función de la fuerza y del tiempo (N.s en el SI). Tiene las mismas

dimensiones que el momento lineal: [ ] [ ]1−= MLTI

nnnn vmvmvmvmvmvm ′++′+′=+++rrrrrr

...... 22112211

22112211 vmvmvmvm ′+′=+rrrr

2121 pppp ′+′=+rrrr

21 ppprrr

+=

21 ppprrr

+=

121212 00 vvvmvm)vv(mvmrrrrrrr

=⇒⋅=⋅⇒=−⇒=∆⋅

70

DINÁMICA

3UNIDAD

1. Un futbolista lanza una falta y el balón, que tiene una masa de 2 kg, sale disparado conuna velocidad de 72 kilómetros por hora. Si el tiempo que ha estado en contacto el piecon el balón es de 0,2 s ¿cuál es el valor de la fuerza media que se ha aplicado sobreel balón durante el disparo?

Solución:

Sabemos que el impulso mecánico se invierte en variar la cantidad de movimiento. Esdecir

En primer lugar pasamos la velocidad a unidades del SI:

Prescindimos de la notación vectorial ya que nos piden sólo el valor de la fuerza y nosu dirección ni sentido.

Despejamos F que es lo que nos interesa calcular:

2. Un patinador de masa 60 Kg se mueve sobre una pista de hielo a una velocidad de, alcanza a una patinadora de 50 kg que se desplaza a y la pareja conti-

núa patinando unida. ¿Qué velocidad tendrá inmediatamente después del encuentro?

Solución:

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

Momento lineal antes del encuentro:

Momento lineal después del encuentro:

donde v’ es la velocidad con la que sale la pareja y es precisamente lo que queremosconocer. Igualando las dos expresiones y despejando v’:

1

21

2211 1,45060

350560 −⋅=+

⋅+⋅=++=′ sm

mmvmvmv( )vmmvmvm ′+=+

rrr212211

( )vmmp ′+=rr

21'

2211 vmvmprrr

+=

13 −⋅sm15 −⋅sm

N,t

vmF 20020

202 ==∆∆=

120360010007272 −⋅== sm

sm

hKm

vmtFrr

∆⋅=∆⋅

E j e m p l o s

R E C U E R DA

T La cantidad de movimiento o momento lineal de un cuerpo es el producto de su masapor su velocidad.

T El impulso mecánico es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa.

T El impulso mecánico es igual a la variación de la cantidad de movimiento.

T En un sistema aislado, el momento lineal permanece constante.

71

4. Interacción gravitatoria. Ley de lagravitación universal

En el primer apartado de esta Unidad hemos visto que la interacción gravitatoriaes una de las cuatro interacciones fundamentales que existen en la naturaleza. Fuetambién Isaac Newton quien basándose en descubrimientos de Galileo, Descartes,Copérnico y Kepler llegó a la conclusión de que entre cada planeta y el Sol se ejer-ce una fuerza atractiva proporcional al producto de las masas e inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia que los separa. Con esta afirmación dio senti-do matemático a las leyes que rigen los fenómenos gravitatorios.

Si bien Newton se refería inicialmente a las fuerzas existentes entre el Sol y losplanetas, sus conclusiones son generalizables de modo que dos cuerpos cualesquie-ra se atraen por el hecho de tener masa. Estas fuerzas de atracción se manifiestanen los dos cuerpos y son de igual módulo y de sentido contrario de acuerdo con elprincipio de acción y reacción.

La Ley de la Gravitación Universal establece que la fuerza con que se atraendos masas es directamente proporcional al producto de ellas e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia existente entre sus centros.

donde G es la constante de la gravitación universal, cuyo valor es el mismo en todo

el Universo y su valor es: 2

2111067,6

KgmNG ⋅⋅= −

221

rmmGF ⋅⋅==

12Fm1

m2

21F

2112 FF -=

Fígura 1: Ley de la Gravitación Universal

5. La pareja de patinaje del ejemplo anterior ha ido disminuyendo su velocidad hasta y en ese momento se separan, empujándose mutuamente. La patinadora continúa en la

misma dirección y sentido que llevaba, pero con una velocidad de . ¿A qué veloci-dad se moverá el patinador?

11 −⋅sm

13 −⋅sm

A c t i v i d a d e s

72

DINÁMICA

3UNIDAD

Dado que el valor de G es muy pequeño, la fuerza gravitatoria sólo tiene efectosapreciables cuando, al menos, una de las masas es muy grande. Por esto tambiéndecíamos al principio que es una interacción poco intensa.

El modo más inmediato de observar la manifestación de esta fuerza de atracciónes fijándonos en el peso de los cuerpos. Si tenemos un cuerpo cualquiera cercano ala superficie de la Tierra, entre la masa de ésta (MT) y la masa del cuerpo (m) existirá

una fuerza de atracción cuyo valor será:

Esta fuerza es precisamente el peso del cuerpo, que por otra parte sabemos quees igual al producto de su masa por la aceleración de la gravedad: P = m · g

Igualando las dos expresiones obtenemos: ; dividiendo por m en

ambos miembros: donde g es la aceleración de la gravedad en la superfi-

cie de la Tierra cuyo valor podemos calcular con sólo sustituir los datos que son

todos conocidos:

Este valor se ha calculado tomando el valor promedio del radio de la Tierra perosabemos que éste es un poco menor en los polos que en el ecuador por lo cual elvalor de la gravedad en los polos es algo mayor que en el Ecuador.

Anteriormente, al estudiar la primera ley de Newton vimos que la masa era unaconstante de los cuerpos que presentaba una inercia a cambiar su estado de repo-so o de movimiento y la llamábamos “masa inerte”. Ahora estamos viendo la masadesde otra perspectiva, es una constante que tiene un peso porque otra masa, másgrande, la atrae. Entendida así se la denomina masa pesante; en ambos casos, suvalor es exactamente el mismo: la masa de un cuerpo es constante en todo elUniverso.

No ocurre lo mismo con el peso ya que éste depende del valor de la aceleraciónde la gravedad en el punto donde se mida. Así un cuerpo situado en la superficie dela Luna, en la que el valor de la gravedad es, aproximadamente, 6 veces menor queen la Tierra, tendrá un peso 6 veces menor del medido aquí.

( )2

26

24

2

211 8,9

1038,61098,51067,6 −− ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅= sm

mKg

KgmNg

2T

T

RMGg =

2T

T

RmMGgm ⋅=⋅

2T

T

RmMGF ⋅=

R E C U E R DA

T La fuerza con que se atraen dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

T El peso de un cuerpo es el producto de la masa de un cuerpo por la gravedad que exis-ta en el lugar donde se encuentre.

T La masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del Universo independientemen-te de la gravedad que exista.

73

5. Fuerzas de rozamientoSi lanzamos un cuerpo de modo que deslice sobre una superficie horizontal com-

probamos que termina deteniéndose al cabo de un cierto tiempo, dependiendo delgrado de rugosidad o aspereza de las superficies en contacto. Esto es debido a laresistencia que el cuerpo encuentra para moverse; esta fuerza de resistencia es loque conocemos como fuerza de rozamiento. Como toda fuerza producirá una acele-ración y en este caso su sentido es siempre contrario al del movimiento.

También sabemos, por experiencia, que cuando empujamos un objeto pesadopara cambiarlo de posición, hay que realizar una fuerza mayor al comenzar el movi-miento que para mantenerle. Se debe a que las fuerzas de rozamiento no actúanigual cuando el cuerpo está en reposo que cuando está en movimiento. En el primercaso actúa la fuerza de rozamiento estático y en el segundo, la fuerza de rozamien-to dinámico, siendo ésta menor que la primera.

Es evidente que cuanto más pesado sea el cuerpo mayor será la fuerza de roza-miento, es decir, cuanto mayor sea la fuerza que ejerza la superficie de un cuerpoperpendicularmente contra la del otro, mayor será la fuerza de rozamiento. Esta fuer-za perpendicular entre las superficies en contacto es lo que se conoce como fuerzanormal.

Es fácil comprobar experimentalmente que la fuerza de rozamiento no dependedel tamaño de las superficies en contacto ni de la velocidad con la que se desplacenmutuamente.

Así pues, podemos afirmar que la fuerza de rozamiento entre dos superficies esdirectamente proporcional a la fuerza normal que ejerce una superficie contra la otra.Es decir: donde µ es una constante de proporcionalidad llamada coeficientede rozamiento que depende de la naturaleza de las superficies y que, según hemosvisto anteriormente, puede ser estático (µe) o dinámico (µ), cumpliéndose que µe >µ.

NFr

rr⋅= µ

6. Calcula la fuerza con que se atraen dos barcos de 200.000 Kg de masa cada uno cuan-do están anclados en un puerto de modo que entre sus centros de gravedad existe unadistancia de 40 metros. ¿A qué se debe un resultado tan pequeño?

7. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. ¿Cuántopesará allí (en Newtons) un astronauta que en España tiene un peso, según el lenguajecomún, de 72 kilos?

Datos: m,RL

610741 ⋅=Kg,ML

2210347 ⋅=

A c t i v i d a d e s

74

DINÁMICA

3UNIDAD

Fuerzas y movimiento en una superficie horizontal

Supongamos que intentamos arrastrar un objeto sobre una superficie horizontaltirando de él. Al principio comenzamos a tirar cada vez con más fuerza hasta quecomienza a moverse; en ese instante la fuerza con la que tiramos habrá superado ala fuerza de rozamiento estático y a partir de ahí ésta deja de actuar entrando enjuego la fuerza de rozamiento dinámico que es de menor intensidad. Entonces pode-mos hacer tres cosas:

1. Continuar ejerciendo la misma fuerza que hicimos al principio por lo que lavelocidad del objeto aumentará ya que la fuerza ejercida es mayor que la derozamiento dinámico y, según la segunda ley de Newton, la diferencia entreestas dos fuerzas (resultante) causará una aceleración.

2. Disminuir la fuerza con la que tiramos hasta conseguir un movimiento unifor-me; en este momento la fuerza ejercida será igual a la fuerza de rozamien-to dinámico.

3. Aumentar la fuerza con lo que se conseguirá una aceleración aún mayor alincrementarse la fuerza resultante sobre el cuerpo.

Un caballo ha de arrastrar en una llanura de la taiga un trineo cuya masa, incluida lacarga, es de 120 Kg. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el trineo y la nieve esµe = 0,12 y el coeficiente de rozamiento dinámico es µ = 0,10. Calcular:

a) La fuerza con la que ha de tirar el caballo para conseguir arrancar.

b) La aceleración que mantendría el conjunto caballo-trineo si hubiera continuado ejer-ciendo la misma fuerza que fue necesaria para arrancar.

c) La fuerza que habrá de hacer para mantener una velocidad constante después dehaber iniciado el movimiento.

Solución:

a) En primer lugar calculamos el valor de la fuerza normal entre el trineo y elsuelo que, al ser horizontal, coincide con su peso:

La fuerza que ha de ejercer el caballo será igual a la de rozamiento estático:

b) La aceleración obtenida, sería a consecuencia de la fuerza resultante que esla diferencia entre la fuerza de rozamiento estático y la fuerza de rozamientodinámico.Calculamos el valor de la fuerza de rozamiento dinámico:

;

21960120

5223 −⋅=== sm,,mFa

N,,,FFF rre 5223611712141 =−=−=N,,NFr 61171176100 =⋅=⋅= µ

N,,NF ere 121411176120 =⋅=⋅= µ

N,gmN 117689120 =⋅=⋅=

E j e m p l o

75

Fuerzas y movimiento en un plano inclinado

Los fundamentos en este apartado son los mismos que en el anterior, pero ahorael peso no es perpendicular a la superficie de contacto por lo que tendremos que des-componerlo en dos fuerzas: una perpendicular a la superficie de contacto (fuerzanormal) y otra en la dirección del movimiento (fuerza tangencial).

En la figura podemos ver cinco fuerzas:

El peso, siempre presente, vertical y hacia abajo, de valor p = m · g

La fuerza normal, perpendicular al plano, de valor Fn = m ·g ·cos α

La reacción del plano (N) igual a la fuerza normal

La fuerza tangencial, de valor Ft = m · g ·sen α

La fuerza de rozamiento, de valor Fr = µ ·Fn

Además pueden existir otras fuerzas aplicadas, que pueden estar en la direccióndel movimiento (en un sentido u otro), o en otra dirección, en cuyo caso habría quedescomponerlas en las direcciones tangencial y normal al movimiento. Todo esto secomprenderá mejor en el siguiente ejemplo:

P = mg

Ft =mg ·senα

Fn = mg ·cos α

Fr = Fn·µ

α

N Fn

Fígura 2: Fuerzas en un plano inclinado

c) Para continuar con velocidad uniforme, la fuerza resultante debe ser nula, porlo que la fuerza que ejerce el caballo debe ser igual a la fuerza de rozamientodinámico, que ya hemos calculado y vale Fr = 117,6 N.

8. ¿Que fuerza debería ejercer el caballo del ejemplo anterior para conseguir una acelera-ción de 0,3 ms-2?

A c t i v i d a d e s

76

DINÁMICA

3UNIDAD

Un niño cuya masa es de 20 kg, está situado en un tobogán de 30º de inclinación, aga-rrado a las barandillas y en un momento determinado se suelta. Si el coeficiente de roza-miento entre el niño y el tobogán es µ = 0,1 ¿con qué aceleración bajará?

Solución:

En la figura podemos ver que

Ahora hallamos la fuerza de rozamiento:

La fuerza resultante en el sentido del movimiento será:

Calculamos la aceleración: 205,420

03,81 −⋅=== smmFa

NFFF rt 03,8197,1698 =−=−=

NNFr 97,1674,1691,0 =⋅=⋅= µ

NsensengmsenPFt 98º308,920 =⋅⋅=⋅⋅=⋅= αα

NgmPN 74,169º30cos8,920coscos =⋅⋅=⋅⋅=⋅= αα

P = mg

Ft =mg ·senα

Fn = mg ·cos α

Fr = Fn·µ

α

N Fn

E j e m p l o

R E C U E R DA

T La fuerza de rozamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto y esproporcional a la fuerza normal ejercida sobre la superficie.

T La fuerza de rozamiento no depende de la velocidad ni del tamaño de las superficies encontacto.

T El valor de la aceleración de un cuerpo es el cociente entre la fuerza resultante en ladirección del movimiento y su masa.

9. Un tractor sube una pendiente de 15º de inclinación arrastrando un bloque de piedra de5000 Kg. Calcula la tensión del cable de enganche si el coeficiente de rozamiento entrela piedra y el suelo es µ = 0,3.

A c t i v i d a d e s

77

6. Fuerzas elásticas. Ley de HookeLa estructura interna de los cuerpos varía mucho de unos a otros; cada uno tiene

su comportamiento frente a las acciones externas que recibe, unos no se deforman(cuerpos rígidos) como el granito, y otros se adaptan a la acción, bien deformándo-se permanentemente (cuerpos plásticos) como la plastilina o recuperando su formainicial (cuerpos elásticos) como las gomas, los muelles, etc...

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo elástico éste sufre una deforma-ción que responde a la ley de Hooke: La deformación que experimenta un cuer-po elástico es proporcional a la fuerza aplicada sobre él.

Expresado matemáticamente: donde K es la constante elástica quedepende el cuerpo en cuestión y x es la deformación que ha experimentado.

Los cuerpos elásticos, al contraerse o estirarse almacenan energía que se manifies-ta ejerciendo una fuerza en sentido contrario a la elongación y de valor: . Estoda lugar a movimientos armónicos –de gran interés en el estudio de las ondas y, engeneral, de la física moderna– de los cuales, el más sencillo es el movimiento armó-nico simple que estudiaremos en el curso siguiente. Aunque es interesante queconozcamos ahora la aceleración en este tipo de movimientos.

Según el segundo principio de Newton: . Igualando las dos expresiones:

y despejando:

La aceleración que tiene un cuerpo animado de un movimiento armónico simplees proporcional a la constante elástica e inversamente proporcional a la masa decuerpo y tiene sentido contrario a la elongación.

7. Dinámica del movimiento circularYa vimos en la Unidad anterior que cualquier punto de un cuerpo que gira des-

cribe un movimiento circular y que en éste siempre existe una aceleración debida alcambio de dirección que experimenta la velocidad.

xmKarr

−=xKamrr

⋅−=⋅

amFrr

⋅=

xKFrr

⋅−=

xKFrr

⋅=

10. Se desea colgar del techo de una habitación un muñeco de peluche de 50 gramos demasa; para ello se adquiere un muelle de 40 cm de longitud cuya constante elástica esK = 5N·m-1. ¿Cuál será la longitud del muelle después de colgar el muñeco?

A c t i v i d a d e s

78

DINÁMICA

3UNIDAD

Según el principio de inercia si sobre un cuerpo en movimiento no se ejerce nin-guna fuerza, su movimiento será rectilíneo y uniforme, por tanto si un cuerpo o unapartícula describe un movimiento curvilíneo, en general, es porque existe una fuerzaque le obliga a cambiar constantemente de dirección, esta es la fuerza centrípeta,causante de la aceleración centrípeta que hemos visto en la Unidad 2 cuyo valor es

. Por la segunda ley de Newton , obtenemos que

Del mismo modo que podíamos expresar la aceleración centrípeta en función dela velocidad angular también podemos expresar la fuerza centrípeta en función deésta: .

La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y sentido que la aceleración centrí-peta, es decir va siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria que, en el caso delmovimiento circular, es el centro de la circunferencia que describe el móvil.

Al estudiar el principio de acción y reacción vimos que las fuerzas siempre vanen parejas, acción y reacción, iguales y de sentido contrario. La fuerza centrípeta esla acción y la reacción es la llamada fuerza centrífuga. Ésta es una fuerza virtualporque existe en virtud de la fuerza centrípeta por lo cual si la fuerza centrípeta esnula, no existe fuerza centrífuga.

Para comprobar esto podemos realizar la siguiente experiencia:

Si atamos un pequeño objeto al extremo de una cuerda y lo hacemos girar suje-tando por el otro extremo, seguirá una trayectoria circular debido a la existenciade una fuerza centrípeta, que es la proporcionada por la tensión de la cuerda.Durante el giro notamos que el objeto parece querer escapar de esta trayecto-ria hacia fuera ejerciendo a su vez una fuerza que se transmite a nuestra manoa través de la cuerda; ésta es precisamente la fuerza centrífuga. Si soltamos lacuerda, podemos observar que el objeto no sale despedido en la dirección dela cuerda, que era lo que parecía intentar, sino perpendicular a ella, en direccióntangente a la trayectoria y se debe a que, en el mismo instante que soltamos,deja de actuar la fuerza centrípeta y, por lo tanto, también lo hará la centrífuga,ya que ésta sólo existe mientras exista la fuerza centrípeta.

rmF 2ω⋅=

rvmFc

2rr=cc amF

rr⋅=

rvac

2rr=

R E C U E R DA

T Para que haya un movimiento circular es necesario que exista una fuerza centrípeta.

T La fuerza centrífuga sólo existe si hay fuerza centrípeta y es del mismo valor que ésta.

79

¿Cuál debe ser el peralte de una curva de radio de curvatura r para que un vehículo demasa m que circula a una velocidad v no derrape en caso de mala adherencia de las rue-das a la carretera por causa de hielo, nieve, etc.?

Las fuerzas que actúan sobre el automóvil son el peso y la reacción de la carretera; laresultante de estas dos fuerzas debe ser igual a la fuerza centrípeta necesaria para mante-ner al coche en la trayectoria de la curva.

Sabemos que

En la figura podemos ver que , por lo que rg

varctg⋅

=2

αrg

vrgm

vmpFtag c

⋅=

⋅⋅⋅==

22α

rvmFc

2=

α

α

FC

N

P

E j e m p l o

11. Un niño da vueltas a una pelota de 20 g de masa atada al extremo de una cuerda de 30cm de longitud que puede soportar una tensión máxima de 40 N. ¿Cuál será la velocidadangular máxima que puede soportar la cuerda antes de romperse?

12 ¿Qué velocidad angular deberá adquirir una noria de 8 metros de radio para que una per-sona de masa m tenga la sensación de no pesar nada al pasar por la parte más alta?¿Qué fuerza soportará su asiento cuando pase por el punto más bajo?

A c t i v i d a d e s