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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTAVICERRECTORADO ACADÉMICO

COORDINACIÓN DE EVALUACIÓN ACADÉMICAAREA DE MATEMATICA. CENTRO LOCAL CARABOBO

LAPSO 2008-2

 TRABAJO UNICO

TEMAS

1. Dada una botella llena de agua. El agua fluye por un hueco a cierta alturadel fondo de la botella.

2. Seleccione uno o varios de los contenidos del Liceo Bolivariano

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ALBARO JOSE DUGARTE

CEDULA DE IDENTIDAD: V-4.492.667

CORREO ELECTRÓNICO: !"#$%&'(#).'"#.*'

CE NTRO LOCAL: CARABOBOCÓDIGO DEL CENTRO LOCAL: 0700

ASIGNATURA: MATEMATICAS + CIENCIAS

ÓDIGO DE LA ASIGNATURA: ,2

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C/&'/" P%&' 01

Construir un modelo matemático de una situacin !ue permita describir elcomportamiento "cualitativamente# de la altura de la superficie superior delagua respecto al tiempo.

P%&' 02

$lanificar la inclusin de la aplicacin de las matemáticas para el caso particularde la ense%an&a de un contenido durante una semana. La planificacin debeincluir las estrategias de ense%an&a' algunos e(emplos de los problemas !ue leser)an propuestos a los estudiantes y de la manera en !ue se reali&ará laevaluacin.

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P%&' 01

U/ '3'%'/& )/ $#

*Cuenta la leyenda en tierras de +olanda !ue 5/!' B%/'%' unni%o de tan solo 12 a%os' con su dedito impidi !ue un di!ue se

rompiera e inundara la regin,-pues aguant con su indicito unagran parte de mar del norte-

nnimo

P%'/%'El estudio )#&&* del desag/e "escape o evacuacin# de una &'  '/ "' $# a trav0sde un orificio debe ser mostrado a los estudiantes de una manera creativa' amena y en unconteto !ue se preste a interpretaciones sencillas y a diálogos significativos "Eplicacin de lasobservaciones sin adentrarse en propuestas num0ricas propiamente dichas al respecto#. Debehacerse 0nfasis !ue este principio tambi0n es valido para envases más grandes' inclusive tan!uesyo represas de agua de gran magnitud.

El estudiante debe ser motivado a !ue bus!ue respuestas ra&onadas para !ue al encontrarlas ya

tenga en mente el deseo de epresar cuantitativamente "a trav0s de un modelo matemático# elhecho.

Lo más indicado y procedente es hacer una eperiencia previa a nivel elemental' luegorepet)rsela "para motivarlo a !ue indague concepciones y algunos tpicos referentes aleperimento# esto con el ob(etivo de estimular en 0l' la b3s!ueda de patrones representativos ysimblicos !ue apunten a un modelo matemático sencillo de la situacin entendida desde elpunto del ra&onamiento ob(etivo

Sobradas ra&ones tenemos entonces en aclarar lo !ue es un modelo4

Es un prototipo práctico ideal de un suceso !ue se puede representar a trav0s de diversasmaneras. El modelo sirve para eplicar un comportamiento' las propiedades tantocualitativas como cuantitativas "ra&ones y discernimientos lgicos# y no es mas complicado!ue el mismo fenmeno

El modelo lo !ue busca es simplificar una realidad' ya !ue es el resultado de la abstraccin decircunstancias cotidianas !ue culminan en propuestas del perfil del fenmeno

C/&'& E)%Este tipo de eperiencia se propone para ser aplicado en el 15 mo grado de la Escuela Diversificaday profesional y durante el tercer lapso en 6atemática' un per)odo en el !ue los estudiantes yadeben haber visto temas similares en !u)mica y en f)sica "7eorema del traba(o y la energ)a'presin hidrostática' 8olumen' entre otros#.

C/ #/ B&' $#!'%'"

Como se di(o previamente lo me(or es mostrarle al estudiante como son las cosas as) !uetomaremos una botella plástica de esas de refresco de 2 litros y le haremos una pe!ue%aperforacin aproimadamente a 9 cms de su base' la cubrimos provisionalmente"con el dedo'tirro o cinta# y llenamos la botella completamente de agua' tapándola seguidamente.

l destapar el agu(ero se observará !ue no sale agua. : !ue se debe esto;...Se debe a !ue la3%'/ ;"%&<&) del agua por encima del agu(ero es menor !ue la presin atmosf0rica del

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eterior del agu(ero' por ello el agua no puede salir contra la presin atmosf0rica. Este es unconcepto !ue tienen !ue tener claro1

<igura 51Es!uemas del dispositivo eperimental.

hora al destapar la botella agu(ereada se observara !ue sale un chorro de agua por el orificio.Si se reali&a esta actividad colocando la botella sobre una superficie hori&ontal y se mide laaltura del orificio respecto de la superficie y el alcance del chorro' podremos determinar lavelocidad de salida del agua por consideraciones cinemáticas :$ero como determinar esavelocidad; 

La respuesta a la pregunta anterior nos la da el 7eorema de 7orricelli !ue es una aplicacin delprincipio de Bernoulli y estudia el flu(o de un l)!uido contenido en un recipiente' a trav0s de unpe!ue%o  orificio' ba(o la accin de la gravedad. partir del teorema de 7orricelli  se puedecalcular el caudal de salida de un l)!uido por un orificio.

Donde4

• V& es la velocidad terica del l)!uido a la salida del orificio

• V es la velocidad de aproimacin.

• ; es la distancia desde la superficie del l)!uido al centro del orificio.

• $  es la aceleracin de la gravedad 

1 La velocidad de salida de un l)!uido por un orificio practicado en su fondo es la misma !ue la !ue ad!uiereun cuerpo !ue cayese libremente en el vac)o desde una altura ;' siendo h la altura de la columna de fluido.

 

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Si llenamos de agua las tres cuartas partes de la botella agu(ereada y no cerramos la botella conel tapn' cuando destapemos el agu(ero el agua saldrá por el mismo. $ero si de(amos caerlibremente la botella observaremos !ue se interrumpe el chorro de agua !ue antes sal)a por elagu(ero.

Cuando la botella "con el agua# está cayendo libremente' puede considerarse !ue la botellaconstituye un entorno de microgravedad "en la terminolog)a de los astronautas#' es decir' !ue lagravedad se ha reducido de tal manera !ue sus efectos no se notan. Como la velocidad de salidadel agua por el orificio depende de la aceleracin de la gravedad' durante la ca)da libre no saldráagua "es decir' la velocidad de salida será nula#. Esta sensacin de microgravedad "o ingravide&#es la !ue se eperimenta en los descensos bruscos de las monta%as rusas y otras diversionessimilares "tipo emociones fuertes# de los par!ues de atracciones. 7ambi0n en el ascenso ydescenso de los aviones.

+ay cosas !ue eisten y !ue nuestros o(os no ven. =na de esas cosas es el aire !ue todos damospor supuesto !ue eiste. :>u0 eperimento sencillo har)as para demostrar !ue el aire eisteaun!ue no lo veamos; $or eperimento se entiende a!uel !ue se reali&a con ob(etos de la vidacotidiana y por supuesto usando la capacidad de ra&onar y argumentar

Se trata de una esfera de cobre con un cuello abierto y pe!ue%os agu(eros en el fondo !ue sellena sumergi0ndola en el agua. Si se saca del agua con el cuello sin tapar el agua se sale por los

agu(eros formando una pe!ue%a ducha. $ero si se saca correctamente' tapando con el pulgar elcuello' el agua !ueda retenida2 dentro de la esfera hasta !ue uno levanta el dedo. Si uno trata dellenarlo con el dedo tapado el agua no entra. +a de haber alguna sustancia material !ue impidael paso del agua. ?o podemos ver  esa sustancia. :De !u0 se trata; Emp0docles afirm !ue slopod)a ser aire. =na cosa !ue somos incapaces de ver puede e(ercer una presin' puede frustrarmi deseo de llenar el cacharro con agua si de(o tontamente el dedo sobre el cuello. Emp0docleshab)a descubierto lo invisible. $ens !ue el aire ten)a !ue ser materia tan finamente dividida !ueera imposible verla

U/ "' 3% ' 3%' 

@a se di(o !ue un modelo es la descripcin o la representacin ideal de un suceso o fenmeno dela vida real y !ue sirve para eplicarA un comportamiento y no es tan complicado como el mismoevento. El modelo simplemente lo !ue busca es simplificar una circunstancia-es el producto dela abstraccin de una situacin cotidiana !ue culmina en la propuesta de una representacinsimblica del asunto. =n e(emplo es cuando se abre poco a poco un grifo' se forma un pe!ue%ochorro de agua' un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y !ue al final' serompe formando gotas

  <igura 52

2 Esto es algo parecido a cuando uno introduce un vaso plástico"o de otro material# de esos para beber aguacon la boca destapada en un recipiente con agua' :cierto o no;-el agua no entra al vaso ya !ue el aire seopone 3 $ropiedades cualitativas y discernimientos lgicos4 Esta ra&n debe ser digerida por el estudiante para !ue no sienta !ue esta ante algo dif)cil

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U/ "' )#&&* 3% ' 3%'

En nuestro caso espec)fico estamos traba(ando con una variacin de altura "<igura 52#.

 =; > ?2 - ?1

En la práctica una manera muy sencilla de detener el agua en un estan!ue cuando el aire empu(aa esta es a trav0s de una llave de paso "llamada llave de bola o de retencin# la cual regula elpaso del agua seg3n se !uiera tener grandes o ba(as salidas.?uestro principal ob(etivo ha de ser la de inducir una actividad dirigida con acierto de partenuestra como docentes' colocando al estudiante en una situacin participativa de manera !uesienta orgullo de descubrir a trav0s de modelos sencillos lo !ue grandes f)sicosmatemáticos"7orrecelli' Bernoulli entre otros# lograron con tesn y esfuer&o.La finalidad de la realidad planteada es la de dar a conocer una eplicacin aproimada demanera cualitativa del por!ue y como se despliega el fenmeno. $ara ello se hace eleperimento con la botella $lástica agu(ereada.

E3))/ "' "'

En lo visto anteriormente se le plantea al estudiante la situacin a manera general paramotivarlo' comen&ando incluso con la rese%a del ni%o holand0s !ue impide !ue un di!ue inundeuna regin9 es decir un aspecto preliminar !ue lo imbuya en el tema y le epli!ue de manerasencilla una eperiencia diagramada e interpretada sin propuestas cuantitativas "ecuaciones #para al final proponerle !ue eperimentar un fenmeno es ponerse a nivel de los hombres !uelograron ser protagonista de una historia metiendo sus traba(os en los anales de la M&'<&) ? )'/) y !ue estos traba(os no salieron de la nada pues en a!uellas 0pocas formaron partede &#)/' %''' cotidianas y del conteto donde ellos laboraban' !ue son tan iguales a lasde hoy d)a.

8amos a partir suponiendo el siguiente concepto como aiomático *L *')"" "' #/ @#" '& )#/" # 3%'/ ' ! ? ' ! )#/" # 3%'/ ' &. Esto al principio puedesonarnos etra%o ya !ue estamos acostumbrados a relacionar situaciones tales como *a mayortama%o mayor volumen,' *a mayor velocidad mas distancia recorrida, entre otras frases en las!ue la proporcin de algo aumenta a medida !ue aumenta otro parámetro. Esto es lo !ueconocemos !ue un parámetro es directamente proporcional a otro. E/ '&' ) ' /*'%.8amos a estudiar la siguiente figura seme(ante a un tan!ue de agua y análoga a la botellaplástica.

<igura 5A

El volumen del agua !ue pasa por el punto 1 es

5 Esto debe ser motivo de indagacin por parte del alumno sobre lo !ue en realidad dice la leyenda6 lgo !ue se toma como lo evidente sin demostracin

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 =L1 .A1

Siendo L1 la distancia !ue avan&a el fluido en un  =& y como la velocidad del agua en ese puntoes medida por

V1 F =L1=&El flu(o de masa de agua !ue pasa por el punto 1 es

 ==& >  ρ 1. =L1 .A1=&

y como  =L1=& > V1

 ==& >  ρ 1.A1.V1

 De igual manera en el punto 2 se deduce !ue 

 ==& >  ρ  2.A2.V2

@ como la cantidad de agua !ue pasa por las distintas secciones en un intervalo de tiemposeme(ante es la misma' entonces se tiene !ue los flu(os son iguales

 ρ 1.A1.V1 >

 ρ 2.A2.V2

demás como las presiones son iguales

 ρ  1 >  ρ  2 >  ρ  &@%)

Entonces la presin del li!uido es constante y se tendrá !ue

A1.V1 > A2.V2

Gbservemos !ue A1 H A2 V1 > A2.V2 A1 y  V2 > A1.V1 A2 V1 V2

@ esto mismo sucede con un tan!ue' balde de agua yo botella plástica como en nuestro caso

Lo más importante !ue un estudiante debe asimilar con la construccin del modelo dado es !uecontiene constantes como la presin atmosf0rica y la densidad del fluido "en este caso la delgua# y variables como son las alturas' el tiempo' las secciones de tuber)as yo envases y lasvelocidades del agua. Iespecto a la presin esta es considerada la presin del ambiente.

$or otro lado debe ver !ue el caudal es el mismo "cantidad de agua !ue entra es igual a la !uesale# y !ue lo !ue hará variar la eperiencia es la altura a la !ue se encuentra el agua (unto a laconstante de la gravedad. En el aneo al final se produce un procedimiento matemático !ueeplica este modelo a trav0s del teorema de 7orrecelli basado en la ecuacin de Bernoulli.

E "' &%* "' '3'%'/&)/En una botella de refresco hacemos un orificio de aproimadamente un cm de diámetro lo masposible cerca del fondo "entre 9J cms#

1. Se coloca la botella sobre un mesn cerca de un desag/e"para no mo(ar el piso opavimento#

2. =tili&amos un recipiente "en este caso usamos una de las bande(as del drena(e delfregadero de la cocina#. 80ase fotos aneas

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. Se tapa el orificio de salida y se llena de agua la botella "es importante medir el volumende agua 1.9 1.K lts#

4. Se mide la columna de agua"es decir la altura de la misma hasta el orificio de salida#,. Destapa el orificio de aba(o manteniendo tapada la botella :>u0 observas;... V'%"" F#'

/ ' $#6. hora se destapa la botella :>u0 observas;... 8erdad !ue comien&a a salir el agua en

forma de chorro' cuya distancia hori&ontal es mayor al principio y va disminuyendo a

medida !ue se va terminando el li!uido. :Esto ultimo a !ue se deberá;7. hora medimos el agua !ue se deposita en el recipiente 52 en un determinado tiempo.

<oto 51 <oto 52

<oto 5A <oto 5

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<oto 59 <oto 5

<oto 5J <oto 5K

P%&' 02

Seleccin de un contenido de 6atemática del liceo Bolivariano y $lanificar la aplicacin de suconocimiento durante una semana de clase. Dicho contenido debe estar inmerso dentro de unasestrategias' con e(emplos relacionados con la realidad. demás debe contemplarse su evaluacina trav0s de criterios bien claros.

P%'/%' %'3')&

ntes de seleccionar el contenido es necesario tener en cuenta los siguientes criterios para suescogencia

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1# El contenido debe prestarse para la trasmisin sistemática de un ra&onamiento efectivo pararesolver problemas relacionados a contetos verdaderos

2) La"s# estrategia"s# a utili&ar deben prestarse para !ue el estudiante4 ctive su capacidad mental E(ercite su creatividad >ue ad!uiera confian&a en si mismo >ue se divierta aprendiendo

>ue relacione lo aprendido con las novedades de la actualidadA# >ue el contenido indu&ca en el estudiante autonom)a para resolver situaciones cotidianas# Iespecto a las estrategias se deben proponer situaciones basadas en4

$roblemas de )ndole histricos plicaciones comprensibles de los contenidos Ielaciones con modelos eistentes

7odo lo anterior producir)a en el estudiante una situacin participativa en la !ue se le induce adescubrir novedades de tal manera !ue perciban el placer !ue pudieron haber eperimentado losmatemáticos de la 0poca tras su esfuer&o cognitivo.

S''))/ "' )/&'/"

7omado del teto gu)a4SUBSISTEMA EDUCACION SECUNDARIA BOLIVARIANA LICEOS BOLIVARIANOS.Curr)culo y orientaciones metodologicas

H%' "' 3%'/"!'4 S'$#/" H%': Ser humano y su interaccin con otros componentes del ambienteC3/'/&'4 Los procesos matemáticos y su importancia en la comprensin del entornoC/&'/" $'/'%: Estudio de patrones' formas' y dise%os ambientalesC/&'/" '3')@): Estudio de pendientes en construcciones de autopistas' calles y en loscortes reali&ados por carpinteros' herreros y alba%iles.

J#&@))/ "' ')$'/) "' '&%&'$ "&/& &%")/'

=no de los mayores problemas a los !ue se enfrentan los estudiantes de matemática es eldesconocimiento de la aplicacin !ue esta tiene en la cotidianidad de sus vidas.

Como docentes hemos escuchado preguntas como :>uien invento esto; @ sus respuestas- seguro!ue era alguien !ue no ten)a algo !ue hacerM yo :De !ue vale saber tanta matemática si esto nose usa en lo !ue yo voy a traba(ar;... y as) por el estilo' los chicos "(venes y adolescentes#tienden cada d)a a tenerle fobia y cierta apat)a a esta asignatura. $or tal ra&n una de lasme(ores estrategias para !ue los estudiantes le encuentren significado' sentido y gusto a loscontenidos matemáticos es hacerles entender !ue esta tiene mil y un usos en el ambiente' en locotidiano y en lo más frecuente donde ellos se desenvuelven y viven. demás les ayuda asolucionar dificultades en las !ue ellos la mayor)a de las veces están involucrados como entraba(os vacacionales' aprendices de alg3n oficio' y en su casa en cuestiones domesticas.

P%$%)/ '$K/ ;% '&3#"

P'%" "' 3))/4 1 SemanaN#'% "' ;%4 59 horas acad0micas5% "' )34 5A horas acad0micas 5% "' #4 52 horas acad0micas

N&4 Dentro de las estrategias se aconse(a visitas a sitios espec)ficos en horas no acad0micas"actividad complementaria con otros profesores de áreas afines#

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D')%3)/ "'&" "' 3%$%)/ '$K/ )/&'/"

E/ ;% "' )'

D'@/% 3'/"'/&' como la relacin !ue hay entre una longitud y una altura dada. $ara lograresto es bueno dar algunos e(emplos y representaciones graficas tales como partes !ue eisten enlo cotidiano y en los cuales esta presente esa relacinEscribamos algunos e(emplos tales como

1. Escaleras' rampas' teatros auditorios2. 8ertientes de techos inclinadosA. =na escuadra y algunos triángulos. El desnivel !ue puede haber en una calle. cueductos y redes de cloacas dentro de las edificaciones9. lgunos ornamentos ar!uitectnicos elaborados en madera y en hierro. Levantamientos de topograf)a y altimetr)a

+ay !ue comen&ar aclarando !ue una pendiente es simplemente una relacin de orden !ueestablece una proporcin entre dos medidas y !ue tambi0n tiene precisa relacin con losporcenta(es sencillos y por ende con las reglas de tres aprendidas en la aritm0tica básica.

Lo más importante !ue hay !ue resaltar en la primera hora de clase son e(emplos de lo !ueconstituyen las pendientes y la relacin matemática con los porcenta(es y las proporciones.

P'/"'/&'' medida de la inclinacin de una recta J  dada

continuacin se les puede leer tetos !ue hacen alusin al contenido y se les pueden mostrarfotos

La vertiente sur presenta mayores dificultades para su escalada' pues tiene 3'/"'/&'más bruscas y escarpadasN se alcan&a a trav0s del valle y la laguna de los +orcones'

hasta alcan&ar la $la&a de 6ulas-. *Cuando los surcos se ecavan siguiendo la 3'/"'/&'' colina arriba y aba(o' el aguatiende a fluir a lo largo de ellos,...*pueden criarse peces en (aulas y &%%'/&'%' estan!ues en tierra o cemento largos yestrechos !ue reciben agua de arroyo o riachuelo primos !ue a menudo se construyenen serie siguiendo la 3'/"'/&' de una colina-6ar adentro desde la plataforma continental' en el llamado talud mar)timo' el fondomarino desciende con rapide& unos A.955 mts del fondo oceánico profundo' formandoabismales 3'/"'/&'-.

+istricamente las pendientes fueron utili&adas por los matemáticos para auiliar a losar!uitectos e ingenieros !ue deseaban lograr obras de cierta envergadura. !u) es oportunomostrar algunas fotos alusivas a grandes obras tanto actuales como antiguas. 7ambi0n es

momento de definir el concepto geom0trico de lo !ue es una pendiente y su relacin con lasproporciones

En los aneos al final se incluyen los contenidos matemáticos !ue podr)an darse para lograr elob(etivo as) como algunos problemas resueltos y propuestos como asignacin

E/ ;% "' )3

7 El termino recta a!u) es alusivo a longitud' altura' ancho' es decir a una medida rectil)nea

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+ay !ue prever visitas a los lugares t)picos !ue presentan este tipo de situaciones. Se les pedirá alos estudiantes !ue lleven cintas m0tricas' lápices de grafito' papel y reglas milimetradas parahacer cote(os en sitio con la finalidad de resolver problemas reales.

Canal de riego cueducto de Segovia

El primer acueducto romano !ue transportaba el agua sobre la superficie del suelo fue el !ua6arcia' en IomaN ten)a una longitud de O5 Pm. y su altura m)nima era de 2mts. En a!uel

entonces se utili&aba pendientes para el agua de 5.9 Q. :$odr)as calcular la altura máima de esteacueducto;

% "' '*#%

La forma de evaluar será mediante un informe de campo por e!uipo con valor del 5Q en el cualdeben eponer los pormenores de la clase y aspectos resaltantes sobre las visitas hechas aalgunas edificaciones "teatros' auditorios' salones de clase con desniveles' entre otras# talleresde ensambla(e de viguetas' viviendas de una sola planta con techos inclinados. Durante las visitaslos estudiantes harán levantamientos alusivos a situaciones donde el calcular pendientes' susporcenta(es y proporcionalidad geom0trica sean relevantes.

En la 3ltima clase se volverá a eplicar las situaciones con problemas sacados de realidades dadas

durante la primera clase. l final se de(ara como tarea problemas como los planteados en losaneos cuyo valor será del A5Q' de(ándose para la siguiente hora un eamen de 2 problemasalusivos a lo s vistos en toda la (ornada "tanto terica como de practica en campo# cuyo valorserá del A5Q sobre la nota total.

 

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A/' 01

R'&* 3%&' 01

T'%' "' T%%)'

=n depsito cil)ndrico' de seccin S1  tiene un orificio muy pe!ue%o en el fondo de seccin S2

mucho más pe!ue%a !ue S1. plicamos el teorema de Bernoulli a los puntos "1# y "2# situados enla superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

suponiendo !ue la velocidad del fluido en la seccin mayor S1 es despreciable v1F 5 comparadacon la velocidad del fluido v2 en la seccin menor S2.

$or otra parte' el elemento de fluido delimitado por las

secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la mismapresin. Luego' p1Fp2Fp5.

La diferencia de alturas es y1y2Fh. Siendo h la altura dela columna de fluido

Con estos datos la ecuacin de Bernoulli se escribe

De acuerdo con el teorema de 7orricelli' la velocidad de salida de un l)!uido por un orificiopracticado en su fondo es la misma !ue la !ue ad!uiere un cuerpo !ue cayese libremente en elvac)o desde una altura h' siendo h la altura de la columna de fluido

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medida !ue el fluido sale por el orificio' la altura h de fluido en el depsito va disminuyendo. SiS es la seccin del orificio' el gasto Sv' o volumen de fluido !ue sale por el orificio en la unidadde tiempo no es constante.

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