U N I D A D 1

Un nuevoconjunto...

los números complejos

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El conjunto de los números complejos

• Números imaginarios

• Representaciones de un número complejo

• Operatoria de números complejos

• Módulo de un número complejo

• Conjugado de un número complejo

Resolución de problemas y aplicación de números complejos

EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:

1 Identifi car situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos, caracterizando a estos últimos y los problemas que permiten resolver.

2 Identifi car la unidad imaginaria como solución de la ecuación x 2  + 1 = 0 y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos.

3 Extender las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y potencia de los números reales a los números complejos y los procedimientos de cálculo de estas operaciones.

4 Formular conjeturas y demostrar propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos.

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Jerome Cardan (1501-1576)

Esto es lo que les ocurrió a un grupo de matemáticos del siglo XVI...

Para ese entonces, los matemáticos dedicados al álgebra, se deleitaban resolviendo ecuaciones de distintos grados, con el afán de encontrar una fórmula maestra que resolviera cualquiera de ellas. A ellos, no les resultaba difícil, resolver ecuaciones como por ejemplo, x 2  = 100; porque bastaba encontrar un número que multiplicado por sí mismo resultara 100.

Sin embargo, no todo les era tan usual al resolver sus ecuaciones. Imagínate cuántas discusiones provocó esta humilde ecuación: x 2  + 1 = 0. Naturalmente, procedieron a despejar x 2 , pero la sorpresa era que obtenían x 2  = − 1. Echaron mano a todos los números que conocían. Pero sus búsquedas fracasaban; no encontraron un número que, multiplicado por sí mismo diera − 1. ¡No valía la pena ni siquiera imaginarse un cuadrado cuya diagonal fuera igual a la raíz cuadrada de − 1!

Algunos de ellos, seguramente, abandonaron la idea de seguir adelante.

Afortunadamente, Jerome Cardan, uno de los participantes en esta aventura de resolver ecuaciones, se topó con el siguiente problema: Tenía que resolver una ecuación cúbica, es decir, de grado tres, donde ya sabía que la solución era un número real, comprendido entre 2 y 3. Aplicando correctamente los pasos algebraicos en su desarrollo, aparecían raíces cuadradas de números negativos... ¿qué hacer frente a esta situación? ¿Cómo resolver este dilema?

Si él aceptaba que estas raíces no eran números, no tenía otra opción que concluir que la ecuación no tenía solución, contradiciendo que “la solución era un número real, comprendido entre 2 y 3”.

Pero, si consideraba que estas raíces aparecían, naturalmente, mediante un desarrollo matemáticamente correcto, aceptándolas como números, entonces obtenía la solución esperada.

Cardan se inclinó por esto último. Así pasó a ser el primero en declarar que las raíces cuadradas de números negativos, eran números distintos a los conocidos hasta entonces.

Más tarde, en 1777, Euler, les dio el nombre de números imaginarios y los definió formalmente. En 1975, Benoit Mandelbrot denominó fractales (del latín fractus, irregular) al conjunto de formas que, generadas normalmente por un proceso de repetición de números complejos, se caracterizan por poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita y por exhibir dimensión fraccional. También se utilizan los números complejos en la física para tratar algunos temas de electricidad.

En este capítulo los conocerás para luego aprender a trabajar con ellos, y saber en las diversas áreas en que ellos prestan utilidad.

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Conocimientos previos

Como ya sabes, hay conceptos en matemática que se usan en forma transversal a través de los años y que se utilizan análogamente en diversas situaciones. Algunos de estos conceptos son los relacionados con la operatoria de expresiones algebraicas y son los que revisaremos en esta sección.

Un término algebraico es un conjunto de números y letras unidas por multiplicación y/o división; por ejemplo, 3 x 2 y o −  1 __ 2  mnp. Además, recordarás que una expresión algebraica es un conjunto de términos unidos por los signos de los propios términos; por ejemplo, 4 x 2  − 6yk + 2xc. Y, por último, te acordarás que los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal; por ejemplo, 2xy con  − 9xy o  1 __ 3  x 2 h con 7h x 2

Ahora bien, se pueden operar (sumar, restar, multiplicar y dividir) las expresiones algebraicas, por ejemplo:

Sean P = 2x + 4y, Q =  − 3x + 2 x 2 , R = x + 8 y S =  − 5x +  y 2 , determina:

a. P + Q – S =

( 2x + 4y )  +  ( − 3x + 2 x 2 )  −  ( − 5x +  y 2 )

 ⇒ 2x + 4y − 3x + 2 x 2  + 5x −  y 2

 = 4x + 4y + 2 x 2  −  y 2 (reduciendo términos semejantes)

Algunas imágenes de fractales son:

(eliminando paréntesis)(recuerda que se cambian los

signos si hay un signo negativo antes de un paréntesis)

Trabaja

b. 2P − 3QR = 2 ( 2x + 4y )  − 3 (  − 3x + 2 x 2  ) ( x + 8 )

= 4x + 8y − 3 (  − 3 x 2  − 24x + 2 x 3  + 16 x 2  ) = 4x + 8y + 9 x 2  + 72x − 6 x 3  − 48 x 2

(reduciendo términos semejantes)

=  − 6 x 3  − 39 x 2  + 76x + 8y

c. Resta el producto de P y S al producto de Q y R

⇒ QR − PS =  (  − 3x + 2 x 2 ) ( x + 8 )  −  ( 2x + 4y ) (  − 5x +  y 2 ) =  − 3 x 2  − 24x + 2 x 3  + 16 x 2  −  ( − 10 x 2  + 2x y 2  − 20xy + 4 y 3 ) =  − 3 x 2  − 24x + 2 x 3  + 16 x 2  + 10 x 2  − 2x y 2  + 20xy − 4 y 3

= 2 x 3  + 23 x 2  − 24x + 20xy − 2x y 2  − 4 y 3

d. P 2  −  R 2  =  ( 2x + 4y ) 2  −  ( x + 8 ) 2

= 4 x 2  + 16xy + 16 y 2  −  ( x 2  + 16x + 64 ) (resolución de

cuadrado de binomio)

= 4 x 2  + 16xy + 16 y 2  −  x 2  − 16x − 64

= 3 x 2  + 16xy + 16 y 2  − 16x − 64 (reduciendo términos semejantes)

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1 Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones:

a. 3x − 2y + 5x + 5yb. 8m + 6d − 3m + 5d + 2m − 4d + 7mc. a 2 b + 5 a 2  − 8 a 2  − 3 a 2 b

d. ( 3 1 __ 2  a − 2b + 2 1 __ 3  c ) − ( 4 1 __ 3  a + 8b + 5 1 __ 3  c ) + 2 1 __ 4  a

2 Multiplica y reduce términos semejantes en los siguientes ejercicios:

a. ( x + y ) ( 2x − 5 )  +  ( 4x − 3 ) ( 2y − x ) b. 3 ( x + y ) 2  + 8 ( x − 3y ) ( 2x − 5y ) c. ( p + q − 8 ) ( q − 6 )  −  ( 2p − 5 ) ( q + 3 )

3 Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas:

a. b.

D

A B

C

4s − 3r

2r − 5s

4x − 1

4 Reduce al máximo las siguientes expresiones algebraicas:

a. 25 −  ( 3a − 2 )  + 6a + 3 −  ( a − 4 ) b. ( 3 x 2  + 2x − 1 )  +  ( 2 x 2  − 5x + 2 )   − ( 9 x 2  − 2x − 4 ) c. { 9 −  ( 5m − 2p ) }   −  [ 3 −  { 14m − 3p −  ( 2m − 9p − 3 ) } ] d. 44ab +  { 48bz −  ( 6az + 3bz − 7ab )  + 4az }   −  { 48ab − 8bz + 2za −  ( 4ab + bz ) } e. {  ( 1 __ 2  m 2  − 3 __ 5  n 2 ) } −

{ ( 3 __ 4  m 2  + 1 __ 6  n 2  − 1 __ 8  mn ) + ( −  1 __ 8  m 2  +  1 ___ 12  n 2 − 7 __ 8  mn )  }

f. ( 9 − x ) 3 − − 2 [ ( x − 9 ) ( 5 − x ) 2 − ( x − 9 ) 2 ( 5 − x ) ]

g. 22h + 34g − 23

  ____________ 7a   −  37 g 2 h + 56g

 __________ 7a   

+  12g − 16 g 2 h − 13h

  _______________ 7a 

5 Desarrolla los siguientes productos:

a. ( x + 3 ) 2 d. ( 2a + b + c ) 2 b. ( p + 3 ) ( p − 3 ) e. ( 3 a 3  + 8 b 4 ) 2 c. ( 2a − 3 ) 3 f. ( 4x − 2y ) 2  −  ( y − 3x ) 2

(aplicando propiedad distributiva de la multiplicación

sobre la adición)

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6 Completa las siguientes igualdades, según el desarrollo de los productos en cada caso:

a. ( 3 + x ) 2  = 9 + ____ +  x 2

b. ( ___ + 2 ) 2  = ____ + 12x + 4

c. ( p − ____ ) ( ___ + 2 )  =  p 2  − 4

d. h 2  − ____ =  ( h − 3k ) ( h + 3k )

7 Al multiplicar un número par por once , y luego restarle su sucesor, se obtiene 239:

a. Plantea al ecuación que permite obtener dicho número par.

b. ¿Cuál es el número?

8 Une los productos de la columna A con sus respectivos resultados de la columna B.

* Ver tabla (1)

9 Los ángulos interiores de un triángulo miden 2x, 3x + 11° y 7x + 13°. Determina el valor de x que permite conocer el valor de cada ángulo.

10 La siguiente máquina ingresa expresiones algebraicas y las transforma, según se indica en la figura. Determina la expresión algebraica resultante en la salida de la máquina, si entran cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

Entrada SalidaMultiplica por a

Suma3a + b2

Resta8ab – 5b + a2

a. 3 a 2  + 2ab + 5b

b. ( 4a − 6 ) b

c. ( 8a + 2 ) ( b − 5 )

d. ( 3a + 2b ) ( a − b )

e. ( a + b + 1 ) ( a + b − 3 )

11 Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lado 4a + 5b − 1?

b. ¿Cuál es el área de un triángulo de base 3a + 5 y altura 2a + 3?

c. ¿Cuál es el área de un rombo de diagonales 2a + 3b + 5 y 4a − 6b + 3?

d. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de lados 3 x 2  + 2y y 8 x 2  − 3y?

e. ¿Cuál es el área de un trapecio de bases 2a + 3b y 6a − 5b y altura a + b?

f. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo de lados x + y − 2z, 8x + 3y − z y 6x + 3y + 3z?

g. ¿Cuál es el perímetro de un círculo de radio ( 5a + 3 ) b +  ( 2b − 4 ) a?

12 Los lados de un triángulo miden y − 9, y + 8 e y + 25, todas expresadas en cm y su perímetro mide 108 cm.

a. Calcula el valor de y.b. ¿Cuánto vale cada lado?

13 Si el perímetro de un romboide es igual a 82 cm, y sus lados miden x + 9 y 2x − 13, encuentra el valor de cada lado.

14 Las aristas de un paralelepípedo son 2z + 1, 4z − 9 y 3z − 11. Si la suma de ellas es 89 cm:

a. Determina la medida de z.b. ¿Es verdad que un par de las caras son

cuadradas? ¿Por qué?c. Calcula el perímetro del paralelepípedo.d. Calcula el área del paralelepípedo.

* Tabla (1)

Columna A Columna B ( 5x + 3y ) ( 2x − y )  + 4xy  − 16 x 2  − 2xy + 3 y 2 7 x 2  +  ( 3x − 6 ) y + 9y ( x + 3 )  − 3 y 2  + 7xy − 16x + 30 ( − 3x + 2y ) 2  −  ( 5x − y ) 2 7 x 2  − 40xy + 12 ( x + 2y ) ( x − 2y )  + 6 ( x 2  − 6xy + 2 ) 10 x 2  + 5xy − 3 y 2 2 ( x − 5 ) ( x − 3 )  +  ( 2x − y ) ( 3y − x ) 7 x 2  + 12xy + 21y