Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que puede escribirse en la forma:

ax2 + bx + c = 0Donde: a, b y c son números reales (a 0).

Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 )

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

FORMAS INCOMPLETASFORMAS INCOMPLETAS

ax2 + bx = 0 Ejemplo: 3x2 – 2x = 0

ax2 + c = 0 Ejemplo: 2x2 – 32 = 0

ax2 = 0 Ejemplo: 9x2 = 0

Ejemplo N°1: Resolver x2 - 7x + 12 = 0

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Resolución: x2 7x + 12 = 0

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

x x

(x 3)(x 4) = 0

Factorizando:

Entonces:

3x

4x= 7x

Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0

De donde: x = 3 ó x = 4

Por tanto: C.S. = 3; 4

3 4

Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x

Resolución:

Escribimos la ecuación de la forma:

3x2 5x = 0

Factorizamos “x”: x( 3x 5 ) = 0

Luego: x = 0 ó 3x 5 = 0

De donde: x = 0 ó x = 5/3

Por tanto: C.S. = 0; 5/3

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable en la ecuación original porque se pierde una solución

Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2

Resolución:Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0

(3x – 4)(x + 1) = – 2Para ello efectuamos las operaciones de multiplicación en el primer miembro

Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2

Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0

Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0

Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0

De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. = –2/3; 1

3x x

2 – 1

2x

3x= xFactorizando:

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)

a2

ac4bbx

2

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante la fórmula

A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama

discriminante y se representa por

Es decir: = b2 – 4ac

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

1. Si > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes

Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0

Resolución:

Identificamos los valores de los coeficientes: a = 2; b = – 3; c = –1

a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)2(2

)1)(2(4)3()3(x

2

Obtenemos:

4

173x

4173

x 21

4173

; 4

173.S.C

4173

x

De donde:

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

2. Si = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales

Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0

Resolución:

Identificamos los valores de los coeficientes: a = 4; b = – 12; c = 9

a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)4(2

)9)(4(4)12()12(x

2

Obtenemos:

8

012x

8

012x 21

2

3.S.C

8

012x

De donde:

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

3. Si < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias

Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0

Resolución:

Identificamos los valores de los coeficientes: a = 1; b = 1; c = 1

a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)1(2

)1)(1(4)1()1(x

2

Obtenemos:

2

31x

Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales ( sus soluciones son imaginarias )

APLICACIONES

Equilibrio de mercadoCuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)

Resolución

Oferta = 3p2 – 4p

Demanda = 24 – p2

3p2 – 4p = 24 – p2

Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0

Simplificando: p2 – p – 6 = 0

Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0

Luego: p = 3 ó p = –2

Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado estará en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos hablar de precio negativo)

APLICACIONES

NegociosUna compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)

Resolución

Datos: q100 totalIngreso

Costo variable = 2q

Costo fijo = 1200

1200q2q100

Elevando al cuadrado:

10000q = 4q2 + 4800q + 1440000

Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0

Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0

Luego: q = 900 ó q = 400

Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero