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1
Una integral para Pi y algunos fractales
Edgar Valdebenito
11-02-2019 17:31:58
Resumen
Esta nota muestra una integral para la constante y algunos fractales.
La constante se define por:
0
14 3.141592...
2 1
n
n n
(1)
Una representación integral para es:
1/ 3 4 2 4
2 2 4 2 2 40
1 2 3288 6
1 1 2 3 1 1 2 3
x x xdx
x x x x x x
(2)
Sea ,f z z definida por:
4 2 4
2 2 4 2 2 4
1 2 3
1 1 2 3 1 1 2 3
z z zf z
z z z z z z
(3)
El fractal (Newton) para , 2 2 ,2 2f z z i i es:
Fig. 1
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3
Con un cambio de variable conveniente la integral (2) se transforma en:
1 5 2 /2 2
2 20
3 2, 0
16 2 3 9 6 3 3 9 6 3
n n n
n n n n n n
x x xdx n
n x x x x x x
(4)
Sea , , , 0R n z z n definida por:
5 2 /2 2
2 2
3 2,
3 9 6 3 3 9 6 3
n n n
n n n n n n
z z zR n z
z z z z z z
(5)
El fractal (Newton) para 4 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:
Fig. 3
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Fig. 4
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5
El fractal (Newton) para 6 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:
Fig. 5
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Fig. 6
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El fractal (Newton) para 8 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:
Fig. 7
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El fractal (Newton) para 1, , 8 8 ,8 8R z z i i es:
Fig. 10
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Fig. 11
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Fig. 12
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Referencias 1. Boros, G., and Moll, V.H.: Irresistible Integrals, Cambridge, Cambridge University Press,
2004 .
2. Bunde, A., and Havlin, S.: Fractals in Science. New York: Springer-Verlag, 1994.
3. Falconer, K,J.: Fractal Geometry, Wiley 1990.
4. Pickover, C.A.: Fractal Horizons: The Future Use of Fractals. New York: St. Martin’s Press,
1996.
5. Russ, J.C.: Fractal Surfaces. New York: Plenum, 1994.
6. Schroeder, M: Fractals, Chaos, Power Law. Minutes from an Infinite Paradise. New York :
W. H. Freeman, 1991.
7. Takayasu, H.: Fractals in the Physical Sciences. Manchester, England: Manchester
University Press , 1990.