M.I. RODOLFO COELLO ALBORES

UNIDAD I

1

CONCEPTOS GENERALES

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS

ELABORACIÓN DE LOS ESFUERZOS PLANOS

ESFUERZOS

CARGAS COMBINADAS

ESFUERZO PLANO BIDIMENSIONAL

El estado de esfuerzo bidimensional se asocia regularmente con una placa delgada, cargada en su plano .

La dirección z es normal al plano de la placa y el plano X-Y es el plano de la placa.

7- 8

Problema modelo

Una fuerza única horizontal P de

150 lb de magnitud se aplica al

extremo D de la palanca ABD.

Determinar a) los esfuerzos

normal y cortante en un elemento

ubicado en el punto H con lados

paralelos a los ejes x

Solución:

.- Determinar un sistema equivalente de par de fuerzas en el centro de la sección transversal que pasa por H.

.- Evaluar los esfuerzos normal y cortante en H.

PROBLEMA MODELO

SOLUCIÓN:

Determinar un sistema

equivalente de par de fuerzas

en el centro de la sección

transversal que pasa por H.

inkip5.1in10lb150

inkip7.2in18lb150

lb150

xM

T

P

Evaluar los esfuerzos normal y

cortante en H.

421

4

41

in6.0

in6.0inkip7.2

in6.0

in6.0inkip5.1

J

Tc

I

Mc

xy

y

ksi96.7ksi84.80 yyx

x

y

yyyx

xx

στ

τxyσT (1)

El tensor de esfuerzo en el plano se puede representar de forma MATRICIAL::

ESTADO BIDIMENSIONAL DEL ESFUERZO

Se establece el estado de

equilibrio

Considerar las condiciones de equilibrio de un elemento

prismático con caras perpendiculares a los ejes x, y y x’.

sensencossen

coscossencos0

cossensensen

sencoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

aplicamos sustitución trigonométrica:

Cos2α = 1 + cos 2α / 2 .Sen2α = 1 – cos 2α /2 Sen 2α = 2 senα cos α

La expresión para el esfuerzo normal σy´ lo obtenemos reemplazando ϴ por el

ángulo ϴ+90° que el eje y’ forma con el eje x.

).....(2222

).....(2cos22

).....(22cos22

'

''

'

IIIsenCos

IIsen

Isen

xy

yyxxyyxx

y

xy

yyxx

yx

xy

yyxxyyxx

x

ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (I) y (II)

.σx´ + σy´ = σxx + σyy …..(2)

…………“ la suma de los esfuerzos normales ejercidos sobre un elemento

cúbico de material es independiente de la orientación del elemento.”

ESFUERZOS PRINCIPALES EN EL PLANO

Tomando la ec. (II) e igualándolo a cero:

2

0 2 cos 22

tan 2 ........(3)xy

xx yy

xx yy

xy

p

sen

xyyyxx

yyxx

pp

xyyyxx

xypp

XYYYXX

sensen

OBOA

2

2

"

2

2

"

22

2

22cos2cos

2

22

2

(4)

ESFUERZOS PRINCIPALES EN EL PLANO

Sustituyendo las identidades de la ecuación (4) en la ecuación (I),

y simplificando :

2

2max´ 1 2min

.....(5)2 2

xx yy xx yy

xyx ó

ESFUERZOS CORTANTES MAXIMOS EN EL PLANO

Diferenciando la ecuación (II) e igualando a cero:

xy

yyxx

s

xyyyxxýxsen

d

d

22tan

022

2cos2

´

…….(6)

Análogamente, sustituyendo valores de las funciones seno y coseno del ángulo

doble en la ecuación (II), resulta:

2

2

maxmin

.....(7)2

xx yy

xy

ESFUERZOS CORTANTES MAXIMOS EN EL PLANO

El esfuerzo cortante se ve siempre acompañado de esfuerzo normal con valor:

.....(8)2

xx yy

prom

Si σxx y σyy en la ecuación (7) son esfuerzos principales (σxx = σ1 Y σxx = σ2 ) y

τxy = cero; la ecuación se simplifica a:

1 2maxmin

.....(9)2

CIRCULO DE MOHR EN EL PLANO

El significado físico del Círculo de Mohr para

esfuerzo plano establecido puede aplicarse con

simples consideraciones geométricas. Los

valores críticos se calculan de manera gráfica o

calculada.

Para un estado conocido del esfuerzo plano σx,

σy y τxy, grafique los puntos X y Y y construya el

círculo centrado en C.

2

2

prom22

xy

yxyxR

Los esfuerzos principales se obtienen en A y B.

yx

xy

p

R

22tan

avemínmáx,

La dirección de rotación de Ox a Oa es

la misma que de CX a CA.

CIRCULO DE M OHR EN EL PLANO

Con el Círculo de Mohr definido de manera

única, el estado de esfuerzo en otras

orientaciones de los ejes puede ser representado.

Para el estado de esfuerzo en un ángulo con

respecto a los ejes xy, construir un nuevo

diámetro X’Y’ en un ángulo 2 con respecto a

XY.

Los esfuerzos normal y cortante se obtienen

de las coordenadas X’Y’.

CIRCULO DE M OHR EN EL PLANO

CIRCULO DE M OHR EN EL PLANO

C

A

S

O

S

E

S

P

E

C

I

A

L

E

S:

Círculo de Mohr para carga axial céntrica:

0, xyyxA

P

A

Pxyyx

2

Círculo de Mohr para carga axial torsional:

J

Tcxyyx 0 0 xyyx

J

Tc

25

Estado de tensión.

El paralelepípedo se encuentra en equilibrio.

Se deduce que las fuerzas ejercidas sobre sus caras son iguales y de signos opuestos.

Las tensiones o esfuerzos también son iguales, ya que las áreas de dos caras opuestas son iguales.

Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas constituyen pares de fuerzas .

ANALISIS TRIDIMENSIONAL DEL ESSFUERZO

ANALISIS TRIDIMENSIONAL DEL ESFUERZO

El estado de esfuerzo en un punto que puede ser definido por tres componentes sobre cada uno de los ejes mutuamente perpendiculares (ortogonales) se llama TENSOR DE ESFUERZO

Los tres conjuntos de tres componentes cartesianas forman un arreglo de nueve componentes cartesianas, y solo 6 tienen valores independientes.

El TENSOR ESFUERZO es un tensor de segundo rango que requiere de dos índices para identificar sus elementos o componentes

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σττ

τστ

ττσ

T

En algunos casos, las tensiones se analizan en planos inclinados como el

ABC, conocido las tensiones en los planos coordenados. A este proceso se

le llama TRANSFORMACION DE ESFUERZOS DE UN SISTEMA DE

EJES A OTRO.

TRANSFORMACION DE ESFUERZOS

Vector Esfuerzo actuando en

plano arbitrario

N vector unitario normal al

plano arbitrario ABC

.σ vector esfuerzos

actuando en el plano

arbitrario ABC

N = li + mj + nk; donde l,

m, n son los cosenos

directores del vector N.

A1, A2, A3 y A son las

áreas de BOC, AOC, AOB

y ABC respectivamente

A1 = Al;

A2 = Am,

A3 =An

TRANSFORMACION DE ESFUERZOS

NT

n

m

l

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

z

y

x

Considerando el equilibrio del tetraedro:

ΣFx=0 -σxx A1 – τyxA2 – τzxA3 + σxA = 0 …….(1)

σx = σxx l + τyx m + τzx n ………(2)

Análogamente:

ΣFy=0 σy = τxy l + σyy m + τzy n ……..(3)

ΣFz=0 σz = τxz l + τyz m + σzz n ……..(4)

Las ecuaciones 2,3,y 4 se pueden representar matricialmente:

TRANSFORMACION DE ESFUERZOS

Componentes Normal y

Cortante del Vector Esfuerzo

VINC

TRANSFORMACION DE ESFUERZOS.

32

ESFUERZOS PRINCIPALES

•Los ESFUERZOS PRINCIPALES actúan en planos donde los esfuerzos cortantes

son nulos. (.τxy = 0).

•Los planos se les llama: Planos Principales.

•El ESFUERZO PRINCIPAL es normal al plano y su dirección coincide con el del

vector unitario normal al plano.

VINC.

ESFUERZOS PRINCIPALES

Descomponiendo vectorialmente

Retomando igual de ecuaciones

Escribiendo matricialmente

Haciendo operaciones y simplificando:

Realizando operaciones tenemos:

Esta ecuación tiene cuatro incógnitas:

l, m, n y σn, necesitamos otra ecuación adicional:

0

0

0

nml

nml

nml

nzzzyzx

yznyyyx

zxyxnxx

1222 nml

Con esta ultima ecuación se elimina la solución trivial del sistema

ESFUERZOS PRINCIPALES

02 222

22223

yyxzzzxyxxyzyzxzxyzzyyxx

nxyzxyzzzyyzzxxyyxxnzzyyxxn

Desarrollando y ordenando tenemos:……….(A)

Simplificando:

0322

13 III nnn

TI

I

I

zzzyxz

zyyyxy

xzxyxx

xyzxyzzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

3

2222

1

Donde:

I1, 12, 13: INVARIANTES DEL ESFUERZO

CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO GRAL. DE ESFUERZOS

La figura muestra un elemento después de realizar la transformación apropiada de

esfuerzos con tres esfuerzos principales actuando sobre él.

La transformacion de esfuerzo por un

elemento que gira alrededor de un eje

principal puede ser representado por el

círculo de Mohr.

Los puntos A, B y C representan los

esfuerzos principales en los planos

principales (el esfuerzo cortante es cero).

Los tres círculos representan los

esfuerzos normal y cortante para

rotación alrededor de cada eje

principal.

El radio del mayor de los círculos da el

esfuerzo cortante máximo.

mínmáxmáx2

1

APLICACION DEL CIRCULO DE MOHR AL ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS