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Geometría Analítica …..Unidad 1

Geometría Analítica

El objetivo fundamental de la Geometría Analítica consiste en crear representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los sistemas coordenados, como también de resolver algebraicamente los problemas de la geometría.

Comenzaremos este estudio analizando las propiedades de las líneas rectas, iniciando esto con la definición de segmento: es aquella parte de una línea recta que queda entre dos puntos señalados sobre ella.

Sea L una línea recta sobre la cual hemos señalados los puntos A y B, la porción de la recta comprendida entre los puntos A y B es un segmento cuyos extremos son A y B, donde A es el origen y B en punto final del segmento.

Sistemas de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio Euclideo.

Sistema de coordenadas Lineal: Corresponde a la dimensión uno, el cual representaremos con el eje X, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra O (de Origen). Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda.

Al punto A le corresponde el numero real x1, el cual recibe el nombre de coordenada del punto A, para el punto B le corresponde la coordenada x2. Al centro de coordenadas O (letra O) le corresponde la coordenada cero (cero). El punto A con su coordenada es la representación grafica del numero real x1, y la coordenada x1 es la representación analítica del punto A. La coordenada y su punto lo escribiremos así: A(x1).

En un sistema coordenado lineal la distancia entre los puntos que definen un segmento en una línea recta, es el valor absoluto de restar la coordenada del

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punto inicial al punto final, por lo que la distancia d entre dos puntos A y B de coordenadas x1 y x2 esta dada por:

dAB = | x2 - x1 | = | |

Seria la longitud del segmento limitado por los puntos A y B que se podría expresar también como , en ambos casos estas longitudes serian iguales, la diferencia estriba en que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que en otro negativa, si consideramos el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa y se cumple que: = -

Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos A(-3) y B(4), solución:

dAB = | 4 – (-3) | = |7| = 7

En donde la longitud del segmento = 4 – (-3) = 7, mientras la longitud del segmento = -3 -4 = -7.

Ejemplo. Sea un punto P de coordenada 3, hallar los puntos que se encuentra a una distancia de 2, solución:

Hay dos soluciones para este problema ya que hay un punto que esta a la distancia de 2 unidades a la izquierda de P y otro punto que esta a la distancia de 2 unidades a la derecha de P

Para el primer caso:

d = 2 = 3- x1 donde x1 = 3 – 2 = 1

Para el segundo caso:

d = 2 = x2 - 3 donde x2 = 3 +2 = 5

Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al interceptarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura:

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Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma. Las coordenadas del origen O son (0,0).

La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto, para trazar el punto A(2,5), fijamos la coordenada en el eje X que esta 2 unidades a la izquierda del origen, con lo cual representamos la abcisa del punto, luego fijamos la coordenado del eje Y que esta a 5 unidades hacia arriba del origen, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la figura:

Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el primer numero representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje

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horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobre el eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (5, 2) y B (2, 5) tienen localizaciones muy diferentes, como podemos observar en la figura anterior.

A continuación, se indican sobre un plano los puntos P (1, 3), Q (–3, 5), R (–2, –3), S (1, – 4).

Se observa que si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante (I); si son ambas negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante (III); si la abscisa es negativa y la ordenada positiva, se localiza en el segundo cuadrante (II), y, finalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa, se encuentra en el cuarto cuadrante (IV). Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pareja ordenada de puntos le corresponde un punto del plano, y viceversa; a cada punto del plano le corresponde una pareja ordenada de puntos.

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: Vamos a determinar una fórmula mediante la cual podamos calcular, en todos los casos, la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. A(x1, y1) y B(x2, y2) los representamos en el sistema de coordenadas, trazamos las perpendiculares y al eje de las x y al eje de las y. Así mismo, trazamos el segmento para obtener el triángulo ABE. La gráfica se muestra en la figura

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De la figura anterior, se tiene:

,

,

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABE de la figura,obtenemos:

( )2= ( )2 + ( )2 (1)Pero:

Y:

= = - =

= - = - =

Sustituyendo en (1):

En donde la distancia queda finalmente:

(2)

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Que es la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas, la cual es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas.

Para resolver un problema, se recomienda para todos los casos, se grafiquen los datos disponibles antes de hacer operaciones.

EJERCICIOS:

1. Calcular la distancia entre los puntos: A(-3,2) y B(1,-1). Solución:Aplicando la fórmula (2), la distancia entre dos puntos, tenemos:

2. Calcular la distancia entre los puntos: P(6,5) y Q(-7,-3). Solución:Según la fórmula (2), se obtiene:

3. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-4,6), B(6,2) y C(4,-4).

Solución:

Debemos calcular las longitudes de los lados , y usando la formula (2)

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El perímetro es la suma de los lados del triangulo, así que:

Perímetro = + + = 10,77+12,8+6,32 = 29,89

4. Si el problema en vez de pedir el perímetro, hubiera pedido demostrar que los puntos de los vértices del triangulo son los vértices de un triangulo isósceles, cual seria su respuesta.

5. Determinar los puntos cuyas distancias al punto P(2,3) son de 4 unidades y cuyas ordenadas son iguales a 5. Ver figura a continuación:

Hay dos puntos que pueden cumplir con esta condición Q1(x1, 5) y Q2(x2, 5), cuyas distancia al punto P debe ser igual a 4, supongamos un solo punto Q(x,5) su distancia al punto P seria:

Elevando al cuadrado y simplificando:

Extrayendo la raíz cuadrada:

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Se tienen dos valores de x que satisfacen la ecuación anterior:

Los dos puntos buscados son: Q1(-1,46, 5) y Q2(5,46, 5)

División de un segmento de recta en partes proporcionales.

Vamos a determinar las coordenadas de un punto P que divida a un segmento de recta de extremos conocidos, en partes tales que

guarden entre sí la razón (0 relación) , consideremos el segmento

, en donde A y B son dos puntos cualesquiera y se designan con las coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2). El punto que divide al segmento es P(x,

y), y la razón es , que quede claro que lo que se busca son las

coordenadas del punto P. Ver figura:

De acuerdo con la figura los segmentos y guardan la misma relación que los segmentos y , es decir:

En donde:

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de donde:

finalmente la abcisa del punto P será igual:

para

Siguiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos:

de donde:

para

Para el caso particular de que P sea el punto medio r es igual a 1, por lo que las coordenadas de P quedan:

,

Ejemplos:

6. Los extremos de un segmento de recta son: A(-3,-4) y B(4,2). Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razón r = 2.Solución:

Su abcisa será:

Su ordenada será:

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El punto pedido P( ,0)

7. Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(-6,8) y B(4,-2)

Determinar el punto P que lo divide en la relación

Solución:

El punto P buscado es P(-2, 4).

8. Encontrar el punto medio M del segmento , sabiendo que: A(-8,-6) y B(4,2).Solución:

El punto M buscado es: M(-2, -2).

Pendiente de un segmento

Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.

Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente será:

Angulo de dos segmentos

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Es la abertura formada por dos segmentos con un mismo origen llamado vértice (punto de intersección de los dos segmentos)

Veamos la siguiente grafica:

En donde la lo cual implica que m = tg

Ejemplo:

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 6) y B(5, -2)Solucion:

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