UNIDAD 1 utilicemos las razones trigonometricas (1).doc

7/29/2019 UNIDAD 1 utilicemos las razones trigonometricas (1).doc

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UNIDAD 1: UTILICEMOS LAS RAZONES

TRIGONOMETRICAS.

Razones trigonomtricas.

Un triangulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo recto (de90 grados: 90).

En todo tringulo rectngulo, el lado mayor es la hipotenusa(c). Adems, cada ngulo tiene un lado o cateto opuesto(enfrente) y uno adyacente (cercano). Para el ngulo mostrado, b es el lado opuesto; y a es el lado adyacente. Y

para , a es el lado opuesto; y b es el lado adyacente.

Adems, en todo tringulo la suma de los ngulos internos es180: 90 + + = 180. Y recordando aPitgoras, se tiene que: a2 + b2 = c2

Las razones trigonomtricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razn trigonomtrica es ladivisin de un lado entre otro. Para el ngulo se tiene que:

Sen = opuesto/hipotenusa = b/c Cos = adyacente/hipotenusa = a/cCos = 1/Sec

Tan = opuesto/adyacente = b/a Cot = adyacente/opuesto = a/bCot = 1/Tan

Sec = hipotenusa/adyacente = c/a Csc = hipotenusa/opuesto = c/bCsc = 1/ Sen

Si tomamos el ngulo , obtenemos:

Sen = opuesto/hipotenusa = a/c Cos = adyacente/hipotenusa = b/c

Tan = opuesto/adyacente = a/b Cot = adyacente/opuesto = b/a

Sec = hipotenusa/adyacente = c/b Csc = hipotenusa/opuesto = c/a

5.2 Razones trigonomtricas para ngulos de 30o, 45o y 60o.

Una razn trigonomtrica slo depende de la abertura del ngulo. Para el caso, el seno de 30ser siempre 0.5 sin importar las dimensiones del opuesto y de la hipotenusa. Partiendo de esto,calculemos las razones trigonomtricas de 30, 45 y 60. Lo haremos a partir de un tringuloequiltero (aquel que tiene sus tres lados iguales)

Altura

60

30 A un tringulo equiltero, la altura lo divide en 2 tringulosrectngulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitgoras, resulta

que la altura es 3 /2. Tengamos presente que la altura es un catetodel tringulo rectngulo; as como lo es /2.

5.1 Definicin de razones trigonomtricas.

a

b

c

90


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/2 /2

Sen30 = opuesto/hipotenusa = (/2) / = = 0.5

Cos30 = adyacente/hipotenusa = 3 = 3 = 32 . 2 2

Tan30 = opuesto/adyacente = (/2) / (3 /2) = 1/3

Cot30 = adyacente/opuesto = (3 /2) / (/2) = 3 Cot = 1/Tan

Sec30 = hipotenusa/adyacente = () / (3 /2) = 2/3. Equivale a 23 /3Sec = 1/Cos

Csc30 = hipotenusa/opuesto = () / (/2) = 2. Csc = 1/Sen

Por un proceso semejante llegamos a que:

Sen60 = opuesto/hipotenusa = 32

Cos60 = adyacente/hipotenusa = 1/2.

Tan60 = opuesto/adyacente = 3

Cot60 = adyacente/opuesto = 3 /3

Sec60 = hipotenusa/adyacente = 2.

Csc60 = hipotenusa/opuesto = 2/3. Equivale a 23 /3.

Para 45 construyamos un tringulo rectngulo con 45.

2

60 60

45

45

90

Puede observarse que si un ngulo es de 45, el otro obligadamente es de45. Adems, por Pitgoras se calcula que la hipotenusa es 2.


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Sen45 = opuesto/hipotenusa = / 2 = 1/2. Equivale a 2/2

Cos45 = adyacente/hipotenusa = / 2 = 1/2. Equivale a 2/2Tan45 = opuesto/adyacente = /= 1

Cot45 = adyacente/opuesto = /= 1

Sec45 = hipotenusa/adyacente = 2 / = 2.

Csc45 = hipotenusa/opuesto = 2 / = 2.

Ejemplos. 1. Para el tringulo siguiente calcula las 6 razones trigonomtricas para .

2. Se sabe que sen = 7/10, calcula las otras razones trigonomtricas de .

4 cm

3 cm

Solucin.Apliquemos Pitgoras para encontrar la hipotenusa:

(hipotenusa)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 Saquemos raz cuadrada en ambos lados:

(hipotenusa)2 = 25

hipotenusa = 5

Sen = opuesto/hipotenusa = 3/5

Cos = adyacente/hipotenusa = 4/5

Tan = opuesto/adyacente = 3/4

Cot = adyacente/opuesto = 4/3

Sec = hipotenusa/adyacente = 5/4

Csc = hipotenusa/opuesto = 5/3

Sen = 7/10. Como seno = opuesto/hipotenusa, se tiene que:


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Opuesto = 7 e Hipotenusa = 10. Necesitamos conocer el otro lado: el adyacente.Apliquemos Pitgoras.

Hipotenusa2 = a2 + b2

102 = 72 + b2 100 = 49 + b2 100 - 49 = b2 51 = b251 = b b = 7.14Cos = adyacente/hipotenusa = 7.14/10 = 0.714

Tan = opuesto/adyacente = 7/7.14 = 0.98

Cot = adyacente/opuesto = 7.14/7 = 1.04

Sec = hipotenusa/adyacente = 10/7.14 = 1.4

Csc = hipotenusa/opuesto = 10/7 = 1.43

Actividad 17.

2. Se sabe que Cot = 2/5. Calcula las razones trigonomtricas para y el otro ngulo.

Sen =_______ Cos =_______ Tan =_______ Cot = 0.4 Sec =_______Csc =_______

Cos =_______ Sen =_______ Cot =_______ Tan =_______ Csc = __-_____ Sec =_______

discusin 10. 1. Se sabe que Sen = 0.24. Calculen las otrasrazones trigonomtricas para . Cos =_________Tan =_________Cot = -

__________Sec =_________Csc =_________

2. Por qu la expresin Sen = 20/15 no tiene lgica matemtica?3. Se sabe que en un tringulo rectngulo el opuesto de es el doble del adyacente.Calcula las razones trigonomtricas.

Sen =_________Cos =_________Tan =_________Cot =__________Sec =_________Csc =_____

4. Se sabe que en un tringulo rectngulo el opuesto de es de 3 cm. Adems, Sen = 0.75. Calculen los otros lados del tringulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =__________

5.

89 cm

8 cm

1. Calcula las razones trigonomtricas para y .Sen = Cos = Tan =

Cot = Sec = Csc =

Sen = Cos = Tan =

Cot = Sec = Csc =

Se sabe que Sen = 0.554. Calculen el valor del

lado X y el valor de la hipotenusa.

X = ________ Hipotenusa = ________


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X

6. Discutan cul puede ser el mnimo y el mximo que puede alcanzar la razntrigonomtrica Sen .

Mnimo = ______ Mximo = _______

5.3 Clculo del valor de una razn trigonomtricapara un ngulo agudo (uso de calculadora).

Un ngulo agudo es aquel menor de 90. Para calcular las razonestrigonomtricas en una calculadora, debemos primero cuidarnos de estar

trabajando en grados. Luego escribimos el valor del grado: 10, 15, 60, 75... y oprimimos larazn trigonomtrica deseada. Aparecer el valor respectivo.

En la actualidad se han popularizado calculadoras que operan de diferente forma: primero seoprime la razn trigonomtrica, luego se escribe el grado y finalmente se oprime EXE. En otrasse escribe la abreviatura de la razn trigonomtrica y luego el grado. Para calcular el seno de 45se opera as:

+ + + + +

Muchas calculadoras slo traen seno, coseno y tangente. Entonces se hace necesario saber que:Cotangente = 1/ tangente, cosecante = 1/seno y secante = 1/coseno.

En todo caso, este es un tema que se entender mejor con calculadora en mano y con el auxiliodel maestr@.

Actividad 18. Usando la calculadora, llena la tabla siguiente:0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Sen

CosTan

discusin 11.1. En la ltima fila, escriban el resultado de dividir el seno entre el coseno. Qu observan?Podemos afirmar que la tangente es seno /coseno?

2. Tomen de la tabla 2 ngulos: y , de manera que sumen 90. Puede afirmarse que

sen = cos ?

52

3cm

S 4I EXEN 5 SIN es la abreviatura en ingls de seno.


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5.4 Clculo del ngulo correspondiente al valor de una razntrigonomtrica (uso de calculadora).

Si sabemos que el seno de un ngulo es 0.966, surge la pregunta: cul es el valor delngulo? Se tiene que:

(Sen)1 es el inverso del seno. (Cos)1 es el inverso del coseno. (Tan)1 es elinverso de la tangente. Escritos as se encuentran en muchas calculadoras. En lasmodernas se debe escribir: ASN: inverso del seno, ACS: inverso del coseno, ATN:inverso de la tangente. Luego se escribe el ngulo y se oprime EXE.

De nuevo este tema se comprender mejor calculadora en mano.

Ejemplos. Se sabe que Sen = 0.342. Calculemos los ngulos y .

El astrnomo y matemtico Claudio Tolomeo

vivi hace muchos siglos. Sus teoras yexplicaciones astronmicas dominaron elpensamiento cientfico hasta el siglo XVI.

Tolomeo tambin contribuy sustancialmentea las matemticas a travs de sus estudios entrigonometra y aplic sus teoras a laconstruccin de astrolabios y relojes de sol. Ensu Tetrabiblon, aplic la astronoma a la

astrologa y la creacin de horscopos.

Almagesto es la primera y ms famosa obrade Tolomeo. En esta obra, Tolomeo planteuna teora geomtrica para explicarmatemticamente los movimientos yposiciones aparentes de los planetas, el Sol yla Luna contra un fondo de estrellas inmviles.

En los tiempos de Tolomeo, se tomaba como cierto que la Tierra no semova, sino que estaba en el centro del Universo. Por razones filosficas,se consideraba que los planetas y las estrellas se movan con movimientouniforme en rbitas perfectamente circulares.

Tolomeo comenz por aceptar la teora mantenida de forma generalizada enaquel entonces de que la Tierra no se mova, sino que estaba en el centro

Si Sen = k, entonces = (Sen)-1K

Si Sen = 0.342, con la calculadora resulta que = 20. Por lo tanto =70.

Recuerda que... en un tringulo rectngulo, los ngulos menores suman90.


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del Universo. Por razones filosficas, se consideraba que los planetas y lasestrellas se movan con movimiento uniforme en rbitas perfectamentecirculares.

Posiblemente, Tolomeo naci en Grecia, pero su nombre verdadero,Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de l:Ptolemaeus indica que viva en Egipto y Claudius significa que eraciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivi ytrabaj en Alejandra, Egipto, durante la mayor parte de su vida.

En la pintura vemos al astrnomo y matemtico sosteniendo una esferaarmilar. Este aparato estn compuestas por varios crculos, con unapequea esfera en el centro, que representa la tierra.

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