19-05-2016

Estudiante: Maria Gabriela Castillo

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Calculo de Predicados

Es una ampliación del cálculo proposicional mediante la formalización de las inferencias que se basan en la estructura interna de las proposiciones, uno de los conceptos fundamentales del cálculo de predicados es el de predicado de una o varias objeto-variables: P (X1 ... Xn), donde P es predicativa y X1 ... Xn, son objeto-variables. El cálculo de predicados es no-contradictorio y completo en el sentido de que en él puede inferirse toda fórmula de identidad-veracidad.

 Una función proposicional es una función cuyas variables son proposiciones. Esto es, una afirmación expresada de manera que podría asumir los valores de verdad de falso o verdadero con la excepción de que existe alguna variable que no está definida o especificada y que por tanto no permite asignar un valor de verdad definido

Considérense las siguientes proposiciones:

Gustavo es médico.

Álvaro es médico.

Enrique es médico. 

Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico". Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no puede considerarse como una proposición puesto que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto. Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales .

Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables.

Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

Para un cuantificador universal se usa el símbolo , antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada. Indica que algo es cierto para todos los individuos

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A. (∀x) es cuantificador universal. A es el ámbito (alcance) del cuantificador.

Ejemplo:

Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.

Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como

Gx ↔ x es un gato

Cx ↔ x tiene cola

∴ (∀x) Gx → Cx

 La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. Se usa el símbolo:  , antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que..." o "para algún x.

Ejemplo:

Expresar “Algunos gatos no tienen cola” en cálculo de predicados. ·

Sean C(x) = “x es un gato que no tiene cola”.

Donde x = “Animales carnívoros”

∴ ∃x(C(x) )

Cuantificador existencial de unidad, se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada. Se denota por ∃! Y se lee existe un único; su expresión es: ∃!x∈A:P(x)

Regla de negación de cuantificadores

Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera

Estas reglas expresan que para negar una proposición con cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición cuantificada

Ejemplo

Si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el enunciado

Proposiciones con dos Cuantificadores: se denotan por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B.

Ejemplo:

Sólo en la tierra hay vida.

Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresión es una proposición en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

Negación de proposiciones con cuantificadoresLa negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a su vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el cuantificador existencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal.

Ejemplo:

Todos los números naturales son imparesNegación: Existe por lo menos un números natural que no es impar