UNIDAD 2

GRÁFICA DE DESIGUALDADES

1) Convertir la desigualdad en igualdad

2) Graficar una recta

3) Escojo un punto de ensayo.

4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

EJERCICIO N° 1

DESARROLLO:

2X1 + 4X2 ≤12

1. Convertir la desigualdad en igualdad

2X1 + 4X2 ≤ 12 2X1 + 4X2 = 12

2. Graficamos

3. Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

4. Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

2(0)+4(0) ≤12

0 < 12 VERDADERO

Regresando al paso 3) Si escojo otro punto de ensayo por ejemplo P (6,4)

2(6)+4(4) = 12

28 = 12 FALSO

SOLUCIÓN

X1

X2

EJERCICIO N°2

DESARROLLO:

3X1 + 6X2 ≥17 3X1 + 6X2 = 17

X1 X2

0 2,8

5,7 0

P (0,0)

3(0)+6(0) =17

0 = 17 FALSO

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO # 3

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y

auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y

liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos.

Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una

auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas

de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de

impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión,

produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales

disponible es de 60.

SOLUCIÓN

LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONE:

X1 X2

HORAS DE

TRABAJO 8 40 800

HORAS DE

REVISIÓN 5 10 320

UTILIDAD 100 300

1. FUNCION OBJETIVO.- Maximizar

2. VARIABLES DE DECISIÓN.- son las incógnitas: liquidaciones X1 y auditorías

X2

3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.- Se dispone de 800 horas de trabajo y 320 de revisión y un máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60

4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

F.O.

Z= 100X1 +300X2

S.a

8X1+40X2 ≤ 800

5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X2

0 20

100 0

8(0)+40(0) = 800

0 = 800 VERDADERO

5X1+10X2 =320

X1 X2

0 32

64 0

X1 = 60

Punto X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

Para calcular los puntos C y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800

5X1+10X2 = 320 (-4)

8X1 +40X2 = 800

-20X1-400X2 = -1280

-12X1 = - 480

X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800

40X2 = 800 -320

X2 = 12

5(0)+10(0) = 320

0 = 320 VERDADERO

B

A

B

C

D

E

X1 = 60 5(60) + 10X2 = 320

10X2 = 320 – 300

X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2

Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3

X2 = 12

COMPROBACIÓN

1) 8 X1 + 40 X2 = 800

8(40)+40(12) = 800

320 + 480 = 800

800 = 800 Hay Equilibrio

2) 5 X1 + 10 X2 = 320

5(40) + 10(12) = 320

200 + 120 = 320

320 = 320 Hay equilibrio

3) X1 = 60

40 = 60 Hay Holgura

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12

auditorías para tener un ingreso de $7600.

Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo

de liquidaciones posibles en el mes.

8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800

800 + h1 = 800

h1 = 0

5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320

200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

X1 + h3 = 60

40 + h3 = 60

h3 = 20

CONCEPTUALIZACIONES

Maximización: representa el punto más lejos del origen.

Minimización: representa el punto más cercano al origen.

Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada

contorno de las ecuaciones.

RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS

RESTRICCIONES Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución,

se cumple la igualdad al sustituir las variables.

RESTRICCIONES Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la

solución.

HOLGURA Y EL EXCEDENTE

VARIABLE DE HOLGURA.- representa la cantidad de recursos no

utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro

izquierdo de la desigualdad.

VARIABLE DE EXCEDENTE.- representa la cantidad por encima de un

nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el

miembro izquierdo de la desigualdad.

Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es

decir deben ser diferentes o mayores que cero.

EJERCICIO # 4

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a

trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es

necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de

electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de

electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El

beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200

euros por mecánicos.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el

máximo beneficio, y cuál es este?

FORMULACIÓN:

F.O.

MAXIMIZAR: Z= 200(X1) +250(X2)

VARIABLES: X1= número de mecánicos

X2= número de electricistas

Lim. X1= X2

X1= 2X2

X2= 30

X1= 20

C.T X1, X2 = 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

X1 X2 X1 X2

0 0 0 0

5 5 10 5

10 10 20 10

15 15 30 15

20 20 40 20

PUNTOS X1 X2 Z

B 20 10 6500

C 20 20 9000

SO. Z= 9000

V.O.

RA=1, 4 X1= 20

RI= 2, 3 X2=20

COMPROBACIÓN

1) X1≥X2

20≥20 Hay equilibrio

2) X1≤ 2X2

20 ≤ 2(20)

20 ≤ 40 Hay holgura

3) X2≤ 30

20 ≤ 30 Hay holgura

4) X1≤ 20

20 ≤ 20 Hay equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20 ELECTRICISTAS 30 10

X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20)

20 + H1 = 40

H1 = 20

X2 + H2 = 30

20 + H2 = 30

H2 = 10

EJERCICIO # 5

Solución única

Función objetivo: MINIMIZAR Z = 2X + 3Y

S.a -3x+2y ≤ 6

X +y ≤ 10.5

-x+2y ≤ 4

CONDICIÓN TÉCNICA X,Y ≥ 0

1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

X Y X Y X Y

0 3 0 10.5 0 2

-2 0 10.5 0 -4 0

0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4

Verdadero Verdadero Falso

PUNTOS X Y Z A 0 2 6

SO

Z=6 RA=3

RI=1, 2

V.O

X =0

Y= 2

COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6

-3(0)+2(2) ≤ 6

4 ≤ 6 HAY HOLGURA

2) X +y ≤ 10.5

0+2 ≤ 10.5

2 ≤ 10.5 HAY HOLGURA

3) -x+2y = 4

-0+2(2) = 4

4 =4

EJERCICIO # 6

Solución múltiple

Función objetivo:

MAXIMIZAR Z = 5/2X1 + X2

s.a 3x1+5x2 ≤ 15

5X1 +2x2≤ 10

CONDICIÓN TÉCNICA X1;x2 = 0

1) 3x1+5x2 = 15 2)5X1 +2x2 = 10

0 ≤ 15 0 ≤ 10

Verdad Verdad

X1 X2

0 3

5 0

X1 X2

0 5

2 0

-3(0)+2(2)+H1=6

4+H1=6

H1=3

(0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5

H2=8.5

SO

Z=5 RA=1;2

V.O

X1 =20/19

X2= 45/19

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 DESDE 20/19 HASTA 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

DONDE Z = 5

Para calcular el Punto C

3x1+5x2 =15 (-2)

5X1 +2x2=10(5)

-6x1-10x2 =-30

25X1 +10x2=50

19x1 0 =20

X1=20/19

3(20/19)+5x2 =15

60/19+5x2 =15

X2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)

COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤15

3(20/19)+5(45/19) ≤15

15 ≤15

2) 5X1 +2x2 ≤10

5(20/19)+2(45/19) ≤10

10 ≤10

EJEMPLO # 7

NO ACOTADO.- una de las variables de decisión puede asumir calores

indefinidamente. Función objetivo:

MAXIMIZAR Z= 5000A + 4000B

s. a A+B≥5

A-3B≤0

30A+10B≥135

CONDICIÓN TÉCNICA A;B = 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A B A B A B

0 5 3 1 0 13.4

5 0 15 5 4.5 -1

No acotada no hay solución

EJERCICIO # 8

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana.

Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero

solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en

cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El

mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos

y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de

distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos

contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar

tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

FORMULACIÓN:

FO. Z = 150A + 300B

RESTRICCIONES

S.A

8A +2B ≥ 16

A + B ≥ 5

2A+7B ≥ 20

CONDICIÓN TÉCNICA A, B ≥ 0

1) 8A +2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A+7B ≥ 20

0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20

Falso Falso Falso

PUNTOS X1 X2 Z

B 1 4 1350 C 3 2 1050

SO

Z= 1050 RA= 2,3

VO RI= 1

A= 3

B= 2

COMPROBACIÓN

1) 8A +2B ≥16

8(3)+2(2) ≥16

24+4 ≥16

A B A B A B

0 8 0 5 10 0

2 0 5 0 0 2,86 = 3

8A +2B - H1 = 16

8(3)+2(2) - H1= 16

28 – H1 = 16

H1 = 12

28 ≥16 Hay Excedente

2) A + B = 5

3 + 2 = 5

5 = 5

3) 2A+7B = 20

2(3)+7(2) = 20

6+14 = 20

20 = 20

Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.