Unidad 2. Teoría de Gráficas y Relaciones

Matemticas discretas

Unidad 2. Teora de grficas y relaciones

Contenido nuclear

Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Matemticas 1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

2 Semestre

Programa de la asignatura:


Unidad 2:

Teora de grficas y relaciones

Clave:

05141209/06141209



Contenido nuclear


Contenido .................................................................................................................... 3 Introduccin

Ejemplos de grficas ................................................................................................... 3

........................................................................................................ 4 Un poco de historia

Aplicaciones en la actualidad ......................................................................................... 5

Esquema de contenidos nucleares ................................................................................. 7

..................................................................................... 8 Desarrollo de contenido nuclear

.......................................................................................................................... 9 Grficas

.................................................................................................... 10 Aprende observando

.......................................................................................................... 11 Aprende leyendo

....................................................................................................................... 11 Caminos


.......................................................................................................... 14 Aprende leyendo

......................................................................................................................... 15 rboles


.......................................................................................................... 17 Aprende leyendo

................................................................................................................... 18 Relaciones


.......................................................................................................... 19 Aprende leyendo

...................................................................................................... 20 Cierre de la Unidad

..................................................................................................... 20 Fuentes de consulta



Contenido nuclear


Introduccin

La teora de grficas es la rama de las matemticas que estudia las propiedades de los

objetos matemticos llamados grficas, los cuales estn formados por un conjunto finito

de elementos llamados vrtices (o nodos) y una relacin de adyacencia entre ellos.

Tpicamente, las grficas se representan mediante una coleccin de puntos (los vrtices)

conectados por lneas llamadas aristas (o arcos) de acuerdo con la relacin de

adyacencia. As, dos vrtices estn conectados por una arista si y slo si son adyacentes.

En ocasiones es til asignar una orientacin a las aristas para obtener una grfica dirigida;

cuando las aristas estn orientadas son llamadas flechas, y las grficas dirigidas se

denominan digrficas.

Ejemplos de grficas

Ejemplos de digrficas

Ejemplo del uso de las grficas para describir la estructura de un territorio



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Un poco de historia

El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Knigsberg

es considerado como uno de los primeros resultados de la teora de grficas. Tambin se

considera uno de los primeros resultados topolgicos (donde, a diferencia de la

geometra, se estudian las propiedades que no dependen de ninguna medida). Este

ejemplo ilustra la profunda relacin entre la teora de grficas y la topologa.

El problema de los puentes de Knigsberg. A esta ciudad la cruza el ro Pregel, creando dos islas. Se puede recorrer toda la ciudad pasando una sola vez por todos y cada uno de los siete puentes que unen la parte insular de la ciudad con el resto?

La solucin de Euler. El famoso matemtico abstrajo los detalles de la forma de la ciudad y sus puentes para quedarse con la conectividad, dando lugar a una de las primeras grficas. El grado de todos los vrtices es impar, lo que implica que es imposible recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno.

En 1845 Gustav Kirchhoff public sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la

corriente en los circuitos elctricos.

En 1852 Francis Guthrie plante el problema de los cuatro colores:

Determinar si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear

cualquier mapa de pases de tal forma que dos pases vecinos nunca

tengan el mismo color.

Este problema permaneci abierto mucho tiempo, hasta que en los aos setenta fue

resuelto por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Al tratar de resolverlo, los matemticos

definieron trminos y conceptos tericos fundamentales de las grficas.



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Francis Guthrie Kenneth Appel Wolfgang Haken

Aplicaciones en la actualidad

Entre las aplicaciones de la teora de grficas que se han vuelto importantes en la

actualidad se encuentra el estudio de las redes sociales, cuya importancia radica en el

adecuado almacenamiento de datos, puesto que el costo del tiempo de bsqueda de la

informacin de cada miembro que pertenece a esta red puede tornarse demasiado alto

debido al nmero de usuarios. Por ejemplo, el nmero de usuarios que hay actualmente

en una importante red social tan slo en Mxico es de 49 millones -cifra reportada por el

peridico El economista en 2014-; si multiplicas este nmero por 194, que es el nmero

aproximado de pases que hay en el mundo, se percibe la posibilidad de un grave

problema de almacenamiento para los servidores que hay destinados para ello, as como



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para la bsqueda de informacin. Este mismo fenmeno pasa en otras redes de

fotografas, mensajes, etc.

El modelado de este tipo de problemas ha sido abordado principalmente por estudiantes

de doctorado de universidades como Stanford, Massachusetts Institute of Technology

(MIT), Berkeley, Oxford, Rice, y tambin por la NASA; en Mxico, tanto el Instituto

Politcnico Nacional (IPN) como la Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM)

son los principales promotores en estas reas a travs de los grupos acadmicos de

combinatoria y de computacin cientfica. Debido a su alto grado de complejidad se puede

considerar que este tipo de problemas son tratados por expertos en matemticas y

ciencias de la computacin.

Otra rea en la que actualmente se utiliza la teora de grficas es en la qumica, donde

uno de los usos ms importantes es en el modelado de las molculas de carbono; este

uso de las grficas dio origen a los llamados fullerenos hace ya ms de 25 aos, los

cuales son considerados una de las estructuras qumicas ms hermosas e interesantes

por sus formas regulares, y fueron nombrados as en honor del arquitecto Richard

Buckminster Fuller.

Por otra parte, en el rea de la biologa molecular, la teora de grficas es utilizada para

generar modelos de protenas y mapas genmicos.

En el rea de las ciencias de la computacin, la teora de grficas es utilizada para

generar nuevos algoritmos que permitan efectuar simulaciones eficientes de un fenmeno

determinado y as resolver diversos tipos de problemas. En Mxico, como en todo el

mundo, un rea de oportunidad estratgica es la construccin de robots para diferentes

fines; por citar algunos usos, robots que acten moviendo rocas en reas donde han

ocurrido desastres naturales, robots que son utilizados por mdicos en cirugas. El modelo



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matemtico para manipular un robot se basa en conceptos de teora de grficas, lgebra

lineal, estadstica y geometra, entre otras reas como la electrnica.

En el rea didctica y ldica, la teora de grficas permite modelar y resolver juegos. Tal

es el caso de las Torres de Hanoi, el Comesolo, el Domin, el juego Nim, entre otros.

Tambin se han modelado laberintos, y en los ltimos aos se ha creado una relacin

estrecha entre la teora de grficas y la papiroflexia.

Esquema de contenidos nucleares

Toria de grficas y relaciones

Relaciones

rboles

Recorridos

Grficas y Digrficas

Matrices

Conexidad

Modelacin



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Desarrollo de contenido nuclear

En esta unidad estudiars los principios bsicos de la teora de grficas para familiarizarte

con los conceptos que servirn para modelar estructuras y fenmenos mediante los

objetos matemticos llamados grficas y sus propiedades. Te vas a enfocar en:

Construir grficas que esquematicen situaciones reales

Demostrar teoremas, corolarios, lemas, propiedades, etc., propios de la teora de

grficas

Resolver problemas numricamente

Para lo anterior, utilizars los conceptos de grficas, digrficas, rboles y relaciones.

Como ejemplo, considera un modelo del mapa del estado de Sinaloa. Se etiquetan los

municipios y se le asigna un vrtice a cada uno, se coloca una arista entre dos vrtices si

el municipio correspondiente al primero tiene frontera comn con el municipio

correspondiente al segundo.

Grfica resultante



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Grficas

Muchas situaciones de la vida real pueden ser esquematizadas por medio de diagramas

construidos por puntos (vrtices o nodos) y lneas (aristas o arcos) que conectan algunos

pares de vrtices, aunque eventualmente alguna lnea puede unir un vrtice consigo

mismo.

Estos esquemas, que facilitan la comprensin del problema a resolver, aparecen

frecuentemente en disciplinas dispares y bajo nombres diversos, tales como: redes (en

ingeniera y economa), sociogramas (en psicologa), organigramas (en economa y

planificacin), etc.

A la teora que se ocupa del estudio de estos diagramas o

esquemas se le conoce como teora de grficas.

La teora de grficas desempea un papel importante en varios

campos de la ciencia, entre ellos, las ciencias de la computacin,

donde se tiene aplicacin en la teora de la computacin y diseo

lgico, la inteligencia artificial, los lenguajes formales, los grficos

por computadora, los sistemas operativos, la escritura de

compiladores y la encriptacin, as como en la recuperacin de

informacin.

Como ya se mencion anteriormente, las grficas estn formadas por vrtices que estn

unidos entre s mediante aristas. Por lo tanto, una definicin matemtica de grfica debe

basarse en el conjunto de vrtices y en el conjunto de aristas. Toda arista est asociada

con dos vrtices, esto es, existe una correspondencia entre las aristas y los pares de

vrtices. A continuacin se da la definicin formal de grfica.

Una grfica est formada por un conjunto finito no vaco cuyos elementos son

llamados vrtices, junto con un conjunto de parejas no ordenadas de vrtices

distintos cuyos elementos son llamados aristas. A la cardinalidad de se le llama el orden

de la grfica, y a la cardinalidad de se le llama el tamao de la grfica. Ejemplo:

El conjunto de vrtices de es ( ) * + El conjunto de aristas de es ( ) * + El orden de es | ( )| El tamao de es | ( )|



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Observa que el conjunto de las aristas de una grfica establece una relacin sobre los

elementos de . A esta relacin se le llama adyacencia, y ms adelante vers que tiene la

propiedad de ser simtrica y no reflexiva. Dados dos vrtices de una grfica se dice que

stos son adyacentes si la arista que los une tambin pertenece a la grfica; de lo

contrario se dice que los vrtices estn separados. Formalmente, la relacin se define:

Dada una grfica , para cualesquiera ( ), se dice que y son adyacentes si

( ).

Por ejemplo: en la grfica anterior, los vrtices y son adyacentes, mientras que los

vrtices y no son adyacentes; ya que ( ), pero ( ).

Dado un vrtice ( ), se le llama el grado (o valencia) de al nmero de aristas que

inciden en l, y se denota como ( ).

Por ejemplo: en la grfica anterior, el grado del vrtice es 3, es decir, ( ) .

Aprende observando

En estos videos se muestran los conceptos bsicos de la teora de grficas. Jordan, L. C. (2011). (Archivo de video)

Paenza, A. (2011) (Archivo de video)



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Aprende leyendo

A continuacin se te recomienda leer los siguientes documentos: http://www.unsa.edu.ar/~hibbard/discreta/grafos.pdf http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion14.pdf http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias14/28.Teor%C3%ADa%20de%20Grafos.pdf

Caminos

Si se piensa a los vrtices de una grfica como ciudades, y a las aristas como carreteras,

un camino corresponde a un viaje que comienza en cierta ciudad, pasa por varias

ciudades y termina en alguna ciudad.

En esta grfica, un ejemplo de camino sera la sucesin de vrtices 8,7,5,4,6,7,8,3,2,

donde se inicia en el vrtice 8 y se termina en el vrtice 2. Observa que para ir de un

vrtice al siguiente la arista que los une debe pertenecer a la grfica.

Formalmente, un camino de una grfica es una sucesin de vrtices

, ( )

en la cual los vrtices consecutivos son adyacentes, es decir, donde ( ) para

toda * +. Al vrtice se le llama vrtice inicial, y al vrtice se le llama

vrtice final, por lo que en ocasiones a se le llama un -camino; a los vrtices

se les llama vrtices interiores. Observa que los vrtices no

necesariamente son diferentes. Se dice que es un camino cerrado (o circuito) si ;

en otro caso, se dice que es un camino abierto.



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El nmero de aristas que aparecen en la sucesin de un camino se denomina longitud del

camino. En este caso, la longitud de es , puesto que se recorren aristas para llegar

hasta desde .

Los caminos se pueden clasificar segn sus caractersticas de la siguiente forma:

Un camino que no repite aristas se denomina paseo (camino sencillo)

Un camino que no repite vrtices se llama trayectoria (camino elemental)

Un camino cerrado en el que todos los vrtices son diferentes excepto el vrtice

inicial se llama un ciclo

Paseo Trayectoria Ciclo

Cuando entre dos vrtices ( ) existe un -camino se dice que est conectado

con y se denota como . Ms adelante vers que la relacin estar conectado con

es una relacin de equivalencia.

Un concepto importante en la teora de grficas es el de conexidad. Una grfica es

conexa si para cada par de vrtices ( ) existe un -camino en que los conecta.

Teorema. Sea una grfica y sean ( ), entonces existe un -camino en si y slo si existe una -trayectoria en . Corolario. Una grfica es conexa si y slo si para cualquier par de vrtices ( ) existe una -trayectoria en .



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Grfica conexa Grfica no conexa

( )

Aprende observando

En estos videos se muestran los conceptos bsicos de la teora de grficas. Jordan, L. C. (2011). (Archivo de video)

En estos videos se construye una grfica con el programa Algraf Tabara, C. J. (2011) (Archivos de video)



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Aprende leyendo

A continuacin se te recomienda leer los siguientes documentos: http://www.unsa.edu.ar/~hibbard/discreta/grafos.pdf http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion14.pdf http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias14/28.Teor%C3%ADa%20de%20Grafos.pdf http://www.maths.lse.ac.uk/Personal/jozef/LTCC/Graph_Theory_Bondy_Murty.pdf http://www.esi2.us.es/~mbilbao/pdffiles/DiestelGT.pdf http://www.hamilton.ie/ollie/Downloads/Graph.pdf



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rboles

Existe un tipo importante de grficas que, gracias a su simplicidad, tienen muchas

aplicaciones en la prctica y dentro de la teora de grficas misma-, las cuales reciben el

nombre de rboles.

Un rbol es una grfica conexa que no contiene ciclos.

Ejemplos de rboles

En un rbol, a los vrtices de grado 1 se les llama hojas.

A continuacin se comentan algunas propiedades importantes de los rboles.

Teorema. Todo rbol de orden tiene tamao . Teorema. En un rbol, cualesquiera dos vrtices estn conectados por una nica trayectoria. Teorema. Todo rbol no trivial tiene al menos dos hojas.

Observa que los rboles mostrados arriba cumplen con las tres propiedades

mencionadas.

Dados dos vrtices y de un rbol , a la trayectoria nica que los conecta se le suele

denotar como .

Los rboles se utilizan en muchos campos de aplicacin. Por ejemplo, en las ciencias de

la computacin se usan para desglosar problemas complejos y representarlos mediante

una estructura ramificada.



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http://www.aharef.info/static/htmlgraph/

En algunos casos resulta conveniente considerar a uno de los vrtices del rbol como

especial. A tal vrtice se le llama la raz del rbol. Un rbol con una raz fija se denomina

rbol con raz.

A los rboles sin raz tambin se les suele llamar rboles libres.



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Aprende observando

En estos videos se muestran los conceptos bsicos de rboles en la teora de grficas. Jordan, L. C. (2011). (Archivo de video)

Aprende leyendo

A continuacin se te recomienda leer los siguientes documentos:

http://www.iust.ac.ir/files/cefsse/pg.cef/Contents/smgmm.ch1.pdf http://www-2.dc.uba.ar/personal/fbonomo/grafos/curso_grafos_handout150909.pdf http://www.maths.lse.ac.uk/Personal/jozef/LTCC/Graph_Theory_Bondy_Murty.pdf http://www.esi2.us.es/~mbilbao/pdffiles/DiestelGT.pdf http://www.aharef.info/static/htmlgraph/



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Relaciones

Estars interesado en estudiar el concepto de relacin entre los elementos de un conjunto y sus propiedades, para lo cual debes conocer lo que es una relacin reflexiva, simtrica, transitiva y antisimtrica, as como su representacin matricial y su grfica. Adems, aprenders el uso en conceptos como las cerraduras transitivas y sus aplicaciones en algoritmos como el algoritmo de Warshall y los diagramas de Hasse.

Dados dos conjuntos y , se denomina una relacin de a a cualquier subconjunto de . Al conjunto * | ( ) + se le llama el dominio de , y al conjunto * | ( ) + se le llama el rango de .

Dada una relacin , para dos elementos y , se dice que est relacionado con si ( ) , y se denota como . Cuando , es decir, cuando , se dice que es una relacin binaria sobre . De acuerdo con sus propiedades, las relaciones binarias se clasifican de la siguiente manera.

Propiedad Descripcin

Reflexiva ( ) para todo

Simtrica Si ( ) , entonces ( ) para cualesquiera

Transitiva Si ( ) ( ) , entonces ( ) para cualesquiera

Antisimtrica Si ( ) ( ) , entonces para cualesquiera

Cuando una relacin es al mismo tiempo reflexiva, simtrica y transitiva, se dice que es

una relacin de equivalencia.

Cuando una relacin es simultneamente reflexiva, antisimtrica y transitiva, se le llama

un orden parcial.

Ejemplos de relaciones

La relacin de adyacencia entre los vrtices de una grfica definida por las

aristas en ( ) es una relacin simtrica y no reflexiva.

La relacin estar conectado con sobre el conjunto de vrtices de una grfica es

una relacin de equivalencia.

En un rbol con raz , la relacin , definida como ( ) si , es un

orden parcial.



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Aprende observando

En estos videos se muestran los conceptos bsicos de relaciones binarias. Jordan, L. C. (2013). (Archivo de video)

Aprende leyendo

A continuacin se te recomienda leer los siguientes documentos que brindan un panorama general sobre las matemticas discretas. Grimaldi, R. (1998). Matemtica discreta y combinatoria. Mxico: Addison Wesley. Jonhsonbaugh, R. (1999). Matemticas discretas. Mxico: Prentice Hall.

http://www.bibliocomunidad.com/libros/Matem%C3%83%C2%A1ticas%20Discretas%20-

%206edi%20Johnsonbaugh.pdf



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Cierre de la Unidad

En esta unidad aprendiste los conceptos bsicos de teora de grficas y relaciones.

Resolviste problemas y creaste representaciones de las grficas. Ahora se te invita a

revisar los contenidos de la unidad 3 y realizar las actividades para terminar el curso de

matemticas discretas.

Fuentes de consulta

Chartrand, G. & Zhang, P. (2005). Introduction to graph theory. Estados Unidos: Mc Graw Hill. Grimaldi, R. (1998). Matemtica discreta y combinatoria. Mxico: Addison Wesley. Harary, F. (1987). Graph theory. Estados Unidos: Addison Wesley. Jonhsonbaugh, R. (1999). Matemticas discretas. Mxico: Prentice Hall. Bondy, J. (1988). Graph theory with applications. Inglaterra: McMillan. Chartrand, G. (1997). Graphs as Mathematical Models. Estados Unidos: Wester Michigan University. Chartrand, G., Zhang, P. (2009). Chromatic graph theory. Estados Unidos: Chapman and Hall. Harris, J., Hirst, J., Mossinghoff, M. (2008). Combinatorics and graph theory. Estados Unidos: Springer Verlag. Diestel, R. (1991). Directions in infinite graph theory and combinatorics. Holanda: Link Amsterdam. Wilson, R. (2000). Graphs and applications: an introductory approach. Inglaterra: Open University. Bonomo, F. (2009). Introduccin a la Teora de Grafos. Argentina. Recuperado de: http://www-2.dc.uba.ar/personal/fbonomo/grafos/curso_grafos_handout150909.pdf

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