Unidad 3

UNIDAD 3

MÉTODO SIMPLEX

OBJETIVO.- Resolver mediante la regla de Gauss

REQUISITO.- Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan

Forma de Pivote.- es el número que se interseca entre la fila y la columna.

EJERCICIO # 1

2 3 4 3

4 5 2 2

7 9 4 4

X1 X2 X3

- 2/5 0 2 4/5 1 4/5

4/5 1 2/5 2/5

- 1/2 0 2/5 2/5

EJERCICIO # 2

5 2 2 2 3

2 3 3 4 2

4 3 2 2 5

5 7 2 9 2

EJERCICIO # 3

7 2 4 6 5 3

4 3 3 5 2 3

5 6 7 8 4 2

8 9 7 6 3 3

4 3 5 2 7 4

Pivote.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el

vector saliente.

Vector Entrante.- es la columna que contiene el número más pequeño.

Vector Saliente.- número positivo más pequeño que resulta de la división de

los términos independientes para el vector entrante.

4/5 1 2/5 2/5

2 3 4 3

-2/5 0 14/5 9/5

4/5 1 2/5 2/5

7 9 4 4

-1/5 0 2/5 2/5

25/7 0 10/7 -4/7 17/7

-1/7 0 15/7 1/7 8/7

13/7 0 8/7 -13/7 29/7

5/7 1 2/7 9/7 2/7

13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2

7/8 -3/4 11/8 0 -1/2 7/4

5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼

17/4 9/2 7/4 0 0 3/2

11/4 3/2 13/4 0 6 7/2

(-3)

(-9)

Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de

minimización requieren otro tratamiento.

Z = 20A + 30B

S.a

2A +2B ≥5

A + B ≥3

Z A B H1 H2 VALOR Z -20 -30 0 0 0 H1 2 2 1 0 5

H2 1 1 0 1 3

Vector Entrante: B

Vector Saliente: H1

Pivote: 2

El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los

valores de Z sean ≥ 0

Z = 3X1 + 4X2 + 9X3

s.a

2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 CT. X1, X2, X3 ≥ 0

Convertir en igualdades

Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0

2X1+2X2 = 10

2X2 + 5X3 = 16

3X1 – 2X2 -7X3 = 9

Xj≥0 j=1…3

Variables Holgura

1) Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0

2) 2X1+2X2 +H1 = 10

3) 2X2 + 5X3 +H2 = 16

4) 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9

Xj, Hj j1…3≥0

VB EC Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR

Z 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0

H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10

H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16

H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9

Vector entrante: X3

Vector Saliente: H3

Pivote: -7

MAXIMIZAR

Z= 3X1 + 2X2

2X1 + X2 ≤ 18

2X1 + 3X2 ≤ 42

3X1 + X2 ≤ 24

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

2X1 + X2 + H1 ≤ 18

2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42

3X1 + X2 + H3 ≤ 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0

2X1 + X2 + H1 = 18

2X1 + 3X2 + H2 = 42

3X1 + X2 + H3 = 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

TABLA SIMPLEX VB VARIABLES VALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3

Z 1 -3 -2 0 0 0 0

H1 0 2 1 1 0 0 18

H2 0 2 3 0 1 0 42

H3 0 3 1 0 0 1 24

Z 1 0 -1 0 0 1 24

H1 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2

H2 0 0 7 0 1 - 2/3 26

X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8

Z 1 0 0 3 0 -1 30

X2 0 0 1 3 0 -2 6

H2 0 0 0 -7 1 4 12

X1 0 1 0 -1 0 1 6

Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33

X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12

H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3

X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3

VE= X2

VS= H1

PIVOTE= 1/3

VE= H3

VS= H2

PIVOTE= 4

VE= X1

VS= H3

PIVOTE= 3

RESPUESTAS:

Solución Óptima Z= 33

Valores Óptimos X1=3 H1=0

X2=12 H2=0

H3=3

MAXIMIZAR

Z= 3000X1 + 4000X2

X1 + X2 ≤ 5

X1 - 3X2 ≤ 0

10X1 + 15X2 ≤ 150

20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150

X1, X2 ≥0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5

X1 + X2 + H1 ≤ 5

X1 - 3X2 + H2 ≤ 0

10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150

20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160

30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150

X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0


Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0

X1 + X2 + H1 = 5

X1 - 3X2 + H2 = 0

10X1 + 15X2 + H3 = 150

20X1 + 10X2 + H4 = 160

30X1 + 10X2 + H5 = 150

X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0

TABLA SIMPLEX

VB VARIABLES VALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5

Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0

H

1

0 1 1 1 0 0 0 0 5

H

2

0 1 -3 0 1 0 0 0 0

H

3

0 10 15 0 0 1 0 0 150

H

4

0 20 10 0 0 0 1 0 160

H

5

0 30 10 0 0 0 0 1 150

Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000

X

2

0 1 1 1 0 0 0 0 5

H

2

0 4 0 3 1 0 0 0 15

H

3

0 -5 0 -15 0 1 0 0 75

H

4

0 10 0 -10 0 0 1 0 110

H

5

0 20 0 -10 0 0 0 1 100

VE= X2

VS= H1

PIVOTE=1

RESPUESTAS:

Solución Óptima Z= 2000

Valores Óptimos X1=0 H1=0 H2=15

X2=5 H3=75 H4= 110 H5= 100

MAXIMIZAR

Z= X1 + X2

X1 + 3X2 ≤ 26

4X1 + 3X2 ≤ 44

2X1 + 3X2 ≤ 28

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3

X1 + 3X2 + H1 ≤ 26

4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44

2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0


Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0

X1 + 3X2 + H1 = 26

4X1 + 3X2 + H2 = 44

2X1 + 3X2 +H3 = 28

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

TABLA SIMPLEX

VB VARIABLES

VALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3

Z 1 -1 -1 0 0 0 0

H1 0 1 3 1 0 0 26

H2 0 4 3 0 1 0 44

H3 0 2 3 0 0 1 28

Z 1 0 - 1/4 0 1/4 0 11

H1 0 0 13/4 1 - 1/4 0 15

X1 0 1 3/4 0 1/4 0 11

H3 0 0 11/2 0 - 1/2 1 6

Z 1 0 0 0 1/6 1/6 12

H1 0 0 0 1 1/3 -11/6 8

X1 0 1 0 0 1/2 -0.083333 8

X2 0 0 1 0 - 1/3 2/3 4

VE= X2

VS= H3

PIVOTE=3/2

VE= X1

VS= H2

PIVOTE=4

RESPUESTAS:

Solución Óptima Z=12

Valores Óptimos X1=8 H1=8

X2=4 H2=0 H3=0

EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES

ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M

≤ +H1 (Si) Max -M

= +A1 (Ri) Min +M

≥ -H1+A1

MAXIMIZAR

Z= 5X1 + 6X2

-2X1 + 3X2 = 3

X1 + 2X2 ≤ 5

6X1 + 7X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 ≤ 5

6X1 + 7X2 + H2≤ 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z - 5X1 - 6X2 +MA1 - 0H1- 0H2 = 0

2MX1 - 3MX2 -MA1 = -3M

Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 = 5

6X1 + 7X2 + H2= 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

TABLA SIMPLEX

VB Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z 1 2M-5 (-3M-6) 0 0 0 (-3M)

A1 0 -2 3 0 0 1 3

H1 0 1 2 1 0 0 5

H2 0 6 7 0 1 0 3

Z 1 32/7M+1/7 0 0 3/7M+6/7 0 (-12/7M+18/7)

A1 0 -4 4/7 0 0 - 3/7 1 1 5/7

H1 0 - 5/7 0 1 - 2/7 0 4 1/7

X2 0 6/7 1 0 1/7 0 3/7

VE= X2

VS= H2

PIVOTE= 7

RESPUESTAS:

Solución Óptima Z= 18/7

Valores Óptimos X1=0 H1=29/7

X2=3/7 H2=0

MAXIMIZAR

Z= 3X1 + 9X2

2X1 + 6X2 = 2

5X1 + 4X2 = 3

4X1 + X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1

2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)

5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)

4X1 + X2 +H1≤ 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0


Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1= 0

-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M

-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M

Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1= -5M

2X1 + 6X2 +A1 = 2

5X1 + 4X2 +A2 = 3

4X1 + X2 +H1= 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0

TABLA SIMPLEX:

VB Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M

A1 0 2 6 1 0 0 2

A2 0 5 4 0 1 0 3

H1 0 4 1 0 0 1 5

Z 1 (-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0 3-5/3M

X2 0 1/3 1 1/6 0 0 1/3

A2 0 3 2/3 0 - 2/3 1 0 1 2/3

H1 0 3 2/3 0 - 1/6 0 1 4 2/3

Z 1 0 0 3/2+2M M 0 3

X2 0 0 1 5/6 0 0 1/5

X1 0 1 0 - 1/5 1/4 0 4/9

H1 0 0 0 1/2 -1 1 2 1/6

VE= X1

VS= A2 PIVOTE=11/3

VE= X2

VS= A1

PIVOTE= 6

MINIMIZACIÓN

MINIMIZAR

Z= 3/2X1+2X2

2X1 + 2X2 ≤ 8

2X1 + 6X2 ≥ 12

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z – 3/2X1 -2X2 - MA1 -0H1- 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M

Z+(2M-3/2)X1+(6M-2)X2 -0H1–MH2= 12M (-1)

-Z-(3/2-2M)X1-(2-6M)X2 +0H1+MH2= -12M

2X1 + 2X2 + H1 = 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

TABLA SIMPLEX

VB Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-12M)

H1 0 2 2 0 1 0 8

A1 0 2 6 1 0 -1 12

Z -1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3 -4

H1 0 1 1/3 0 - 1/3 1 1/3 4

X2 0 1/3 1 1/6 0 - 1/6 2

VE= X2

VS= A1

PIVOTE= 6

RESPUESTAS:

Solución Óptima -Z= -4 Z=4

Valores Óptimos X1=0 X2=2 H1=4 H2=0

MINIMIZAR

Z= 4X1 + 5X2

2X1 + 2X2 ≤ 10

2X1 + 6X2 ≥ 18

X1 + X2 = 7

Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10

2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)

X1 + X2 +A2 = 7 (M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M

MX1 + MX2 +MA2 = 7M

Z+(3M-4)X1+(7M-5)X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)

-Z-(4-3M)X1-(5-7M)X2 +0H1+MH2 = -25M

2X1 + 2X2 + H1 = 10

2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18

X1 + X2 +A2 = 7

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

TABLA SIMPLEX:

VB Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z -1 4-3M 5-

7M 0 0 0 M (-25M)

H1 0 2 2 0 0 1 0 10

H2 0 2 6 1 0 0 -1 18

A1 0 1 1 0 1 0 0 7

Z -1 7/3-2/3M 0 (-5/6+7M/6) 0 0 5/6-1M/6 (-15-4M)

H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3 4

X2 0 1/3 1 1/6 0 0 - 1/6 3

A2 0 1/3 0 - 1/6 1 0 1/6 4

2/3

Z -1 0 0 (-1/4+M) 0 (-7/4+1M/2) 1/4 (-22-2M)

X1 0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4 3

X2 0 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/4 2

A2 0 0 0 0 1 - 1/2 0 2

VE= X2

VS= H2

PIVOTE= 6

VE= X1

VS= H1

PIVOTE= 4/3

El ejercicio no tiene solución

Unidad 3

Education

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