UNIDAD III

MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE

PROYECTOS

MODELO DE REDES

EJERCICIO 1

Almacenes MB distribuye sus artículos en 5 ciudades, por lo regular dispone de 10 artículos insitu.

Estos artículos deben ser enviados a 2 locales de construcción designados con el número 3 y 4.

En el local 3 se necesitan 3 artículos y 7 en el otro local.

Elabore:

El diagrama de Red

El diagrama de capacidades y costos agregados

La formulación de programación lineal (PL) de este problema.

La matriz de incidencia (nodo-arco)

La tabla de transporte

Desarrollo:

Minimizar:

𝒁 = 𝐶12𝑋12 + 𝐶23𝑋23 + 𝐶24𝑋24 + 𝐶25𝑋25 + 𝐶34𝑋34 + 𝐶43𝑋43 + 𝐶53𝑋53

+10

1 2

5

4

3

-3

-7

C54

C43

C12

C25

C24

C23 +10

1 2

5

4

3

-3

-7 U12

U23

U24

U25

U53

C53

C34 U34

U43

U54

𝑋12 = 10

-𝑋12 + 𝑋23 + 𝑋24 + 𝑋25 = 0

−𝑋23 + 𝑋34 − 𝑋43 − 𝑋53 = −3

−𝑋24 − 𝑋34 + 𝑋43 − 𝑋54 = −7

−𝑋25 + 𝑋53 + 𝑋54 = 0

Matriz de incidencia

Tabla de Transporte

𝒁 = 𝟑𝑷𝟏𝟑 + 𝟕𝑷𝟏𝟒

EJEMPLO 2

NODO (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,3) (5,3) (5,4) VALOR

1 1 0 0 0 0 0 0 0 10

2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0

3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3

4 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 -7

5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0

Sumas 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ARCOS

3 4 OFERTA

O

R

I

G

E

N

1 P13 P14 10

DEMANDA 3 7

DESTINO

A

L R G I

CRA CA

L CLA

CAI

XRA

XAL

XLA

XAI

50

-9

NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 VALOR

G 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50

R -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -8

A 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 -9

L 0 0 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -3

Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0

C 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -18

I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -12

G PGR PGA PGL PGC PGI 50

18

R A L I

DEMANDA 8 9 3 12

CORIGEN

DESTINOSOFERTA

CGR

CLR

CRL

CQL

CQL

CCI

CCQ

CQC

CRC CC

R

XGR

XCI

XQL

XLQ

XLR XRL

XRC XR

C

XQC

XCQ

-8 -3

-12

-18

𝒁 = 𝟖𝑷𝑮𝑹 + 𝟗𝑷𝑮𝑨 + 𝟑𝑷𝑮𝑳 + 𝟏𝟖𝑷𝑮𝑪 + 𝟏𝟐𝑷𝑮𝑰

EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA

Se refiere a una red en la que cada arco (i,j) tiene asociado un número Cij que se interpreta

como la distancia (Costo, Tiempo) que hay entre los NODOS i,j. El objetivo consiste en encontrar

las rutas más cortas (económicas, rápidas) entre un nodo específico y todos los demás nodos de la

red.

ALGORITMO

PASO 1

Considere todos los nodos que estén directamente conectados con el origen, el componente de

distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo es la distancia desde el origen, el componente

predecesor es el origen. Estas etiquetas se llaman temporales.

PASO 2

De entre todos los nodos con etiqueta temporal escoja uno cuyo componente de distancia sea

mínima y etiquételo permanentemente.

Todos los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan pronto

como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente vaya al paso 4.

PASO 3

Todo nodo que no tenga etiqueta permanente no tiene etiqueta o su etiqueta es temporal.

Considérese todas las etiquetas de los vecinos del nodo, para cada uno de estos nodos calcular la

suma de su distancia más la componente de la distancia de la etiqueta.

Si el nodo no está etiquetado asigne una etiqueta temporal que consta de esta distancia y la del

predecesor.

Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambie si y solo si la distancia recién calculada

es menor que la distancia de la etiqueta actual y regrese al paso dos.

PASO 4

Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada nodo de la red

también indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo.

EJERCICIO 1

Una persona hace frecuentes repartos de cerveza a 7 sectores diferentes de Riobamba. Después

de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema a cada arco se

asocia la distancia que hay entre los nodos conectados se piensa minimizar la totalidad de sus

costos asegurando que cualquier reparto futuro se haga a través de la ruta más corta.

Se debe resolver en (n-1) pasos. (8-1)=7 pasos

7

4 6

5

3

2

1

T

1

3

3

2

3

1

1

1

2

7

1 1

8

4

61

7

(8,4)

NODO RUTA MÁS CORTA DESDE T DISTANCIA

1 T-1 4

2 T-1-3-2 6

3 T-1-3 5

4 T-1-3-4 6

5 T-1-3-2-5 8

6 T-1-3-4-6 9

7 T-7 8

EJERCICIO 2

Una persona reparte harina en 5 lugares después de haber obtenido la información necesaria se

establece el siguiente esquema. A cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos

4 6

5

3

2

1

T

1

3

3

2

3

1

1

1

2

7

1 1

8

4

61

(0,T)

(4,T)

(5,1)

(6,3)

(6,3)

(8,2)

(9,4)

conectados. Se pide minimizar la totalidad de los costos asegurando que cualquier reparto

seguro se haga a través de la ruta más corta.

H

E

D

C

B

A

11

3

6

7

5

2 3

4

5

10

1

H

E

D

C

B

A

11

3

6

7

5

2 3

4

5

10

1

(0,H) (1,H) (5,A)

(4,A)

(6,A)

(7,D)

NODO RUTA MÁS CORTA

DESDE H

DISTANCIA

A H-A 1

B H-A-B 6

C H-A-C 5

D H-A-D 4

E H-A-D-E 7

EJERCICIO 3

NODO RUTA MÁS CORTA DESDE Y DISTANCIA

A Y-A 1

B Y-A-B 6

C Y-A-C 5

D Y-A-D 4

Y

C

D

E

B

A

(0,y) (1,y)

(3,A)

(4,A)

(5,A)

(6,B)

1

2

3

7

4

5

6

8

E Y-A-E 3

PROBLEMA DEL ÁRBOL EXÁNDIDO MÍNIMO (ENLACES DE COMUNICACIÓN)

La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un costo total

mínimo. Esto se conoce como árbol expandido mínimo o árbol de expansión mínima como

sabemos un árbol es el conjunto n-1 arcos (pasos) en una red de nodos en una red con n nodos

que conecte todo par de nodos.

ALGORITMO GLOTÓN

Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple, existen 2 formas que son:

El Método Gráfico

El Método Tabular

Método Gráfico

Comience en cualquier nodo, escoja el arco más barato que parta de cada nodo, este es su

primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos nodos, los demás nodos se

llaman nodos desconectados.

Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos a los nodos

desconectados. Seleccione el más económico como siguiente enlace. Rompa arbitrariamente los

empates, esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión Repita este paso hasta que todos

los nodos estén conectados, es decir, requiere de n-1 pasos.

Método Tabular

Empiece arbitrariamente con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y coloque un

visto a lado de la fila correspondiente a este nodo y tache el índice de la columna que

corresponde a este.

Considere todas las filas que tenga el visto, busque el valor mínimo en las columnas cuyo índice

no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo. Si existe empates rompa

arbitrariamente, la columna que tenga ese elemento encerrados en un círculo designe al nuevo

nodo conectado. Se tacha el índice de la columna y coloque una marca en el renglón

correspondiente a este nodo. Repita este paso hasta cuando todos los nodos estén conectados.

Una vez que todos los nodos hayan sido conectados identifique el árbol de expansión mínima

mediante los elementos encerrados en el círculo.

Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor elección posible. Este es

uno de los pocos problemas de la ciencia administrativa donde se garantiza que el algoritmo

glotón nos dará la solución óptima.

EJERCICIO:

Se desea instalar una red de comunicación entre 12 ciudades, los costos entre pares permisibles

directos aparecen en el siguiente diagrama, cada unidad de costo representa $1000.00.

Recuerde la red identifica enlaces directos posibles.

Para este ejemplo se ha empezado en el NODO 1:

1 22

6

12 117 10 9

5 7 855

33

44

4 6 6

4 5 2

55

3 1

1

9

3

7

7

2

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 1

2 4 6 3

3 6 6 7

4 6 1

5 1 4 9

6 3 4 5 7

7 7 5 2 2

8 1 2 2

9 9 5

10 7 5 3

11 2 3 1

12 2 1

1

12 11 10 9

5 6 7 8

2 3 4 4 6 6

1

9

5

4

3

2 5

7 1

2

3

7

1

2

FLUJO MÁXIMO

Aquí encontramos un solo nodo fuente (un solo nodo de entrada) y un solo nodo destino (un solo

nodo de salida) el objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total (petróleo,

agua, mensajes, tránsito) que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo.

La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitado por las restricciones de

capacidad por ejemplo el diámetro del oleoducto del petróleo, el púnico requerimiento es que

para cada nodo se cumpla la siguiente relación:

Flujo que sale del nodo=flujo que entra al nodo.

En términos formales siendo 1 la fuente y m el destino debe cumplirse lo siguiente:

MAX f

∑ 𝑋𝑖𝑗 − 𝑋𝑖𝑗 = −𝑓; 𝑖 = 𝑛

1

12 11 10 9

5 6 7 8

2 3 4 6

1

5

4

3

2 5

1

3 1

2

en otros casos

i≠n

0 ≤ 𝑋𝑖𝑗 ≤ 𝑈𝑖𝑗 ; 𝑖 − 𝑗 destino

Origen

FLUJO FACTIBLE

No se excede la capacidad de ningún arco del camino.

El flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación.

La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un camino es = o < de las

capacidades de los arcos de dicho camino.

EJEMPLO 1

1

51 31

41 2

61

6 0

0

2 0

4R

6 3

0 2 0

2

0

6

0

0

1 0

1

51 31

41 2

61

6 0

0

2 0

4R

6 3

0 2 0

2

0

6

0

0

1 0

2+4+2 2+4+2

4

2 0 2 0

2

0

4 2 4

4

2

2

1

0 0

6

6

2

0 0

4

1

5 3

4 2

6

6

4R

4 2

2 2

6

8 8