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Unidad 3 – Ecuaciones y sistemas PÁGINA 48 SOLUCIONES_________________________________________________________________ Resolver ecuaciones de primer grado. a) b) 2 3( 5) 2 ( 3) 2 3 15 2 3 15 3 2 12 6 x x x x x x x x x x x x 5 3(2 6) (3 2) 2 6 5 6 18 3 2 2 6 6 22 11 3 x x x x x x x x x x c) d) 2 3 2 4 8 4 6 2 5 4 4 5 x x x x x x 2( 2) 2 3 1 3 6 4 8 2 3 6 6 4 1 1 4 x x x x x x x x 97
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Unidad 3 – Ecuaciones y sistemasPÁGINA 48
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Resolver ecuaciones de primer grado.
a) b) 2 3( 5) 2 ( 3)2 3 15 2 3
15 32 12
6
x x x xx x x xx xx
x
5 3(2 6) (3 2) 2 65 6 18 3 2 2 6
6 22113
x x x xx x x x
x
x
c) d) 2 3 2
4 84 6 25 4
45
x x
x xx
x
2( 2) 2 3 13 6
4 8 2 3 6 64 1
14
x x x
x x xx
x
97
Resolver sistemas de ecuaciones.
a) Método de sustitución.
3 12 3 4
1 32 3( 1 3 ) 42 3 9 4
7 7
12
x yx y
y xx xx x
x
xy
b) Método de igualación.
2 3 213 5 16
21 23
16 35
21 2 16 33 5
105 10 48 957 19
35
x yx y
xy
xy
x x
x xx
xy
c) Método de Reducción.
2 3 6 10 15 305 2 7 10 4 1411 44
43
x y x yx y x y
yyx
98
PÁGINA 50
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1.a) +4 y -4 son los dos números que elevados al cuadrado dan 16.b) 0, porque es el elemento absorbente del producto. c) 1, porque necesitamos que el paréntesis se anule. d) Si el producto de dos números es 0, es porque el menos uno de los dos es cero. Entonces, una de las soluciones es x = 0, y la otra es x = -2, que es el valor de x que anula el paréntesis.e) Necesitamos elevar 3 a la cuarta potencia para conseguir 81, luego x tiene que tomar el valor 5. f)x tiene que valer 3.
2. Por definición, a es solución de una ecuación, si al sustituir la incógnita por a, la ecuación se hace cierta.
2 21 ( 2) ( 2) 59 4 59 9
99
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
3. a) b)
2( 2) 3 1 ( 3 ) 5(3 2 )2 4 3 1 3 15 10
13 232313
x x x x xx x x x x
x
x
2 3 2 14 6
12 6 9 4 2 128 17
178
x xx
x x xx
x
c) d) 2( 3) 3 2 3
6 18 96 9 3 2 18 6 218 18 18 18
6 9 3 2 18 6 220 18
910
x x xx
x x x x
x x x xx
x
3 2( 5) 3 3 1 04 10 8 2
30 8 40 12 15 5 40 20 040 40 40 40 40
30 8 40 12 15 5 40 20 079 75
7579
x x x x x
x x x x x
x x x x xx
x
100
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
4. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
2
2
0
42
ax bx c
b b acxa
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de forma ordenada.
a) c)
2
1 2
2 5 3 0
5 25 24 5 14 4
3 , 12
x x
x
x x
2
2
( 2) (2 1) 5 72 5 2 5 7 02 5 0
52
x x xx x xx
x
b) d) 2
1 2
2 0
1 1 8 1 32 2
2, 1
x x
x
x x
2
2
1 2
3 ( 1) ( 2)3 2 0
4 2 0
4 16 8 4 2 2 2 22 2
2 2, 2 2
x x xx x xx x
x
x x
101
5. a) b)
2
2 2
2
1 2
(2 3) ( 2) 22 3 4 4 2 0
6 0
1 1 24 1 52 2
2, 3
x x xx x x x
x x
x
x x
2
2 2
2
1 2
4 (2 1) 2 ( 5)4 4 4 1 2 10
6 7 3 0
7 49 72 1 1112 12
5 , 16
x x x xx x x x x
x x
x
x x
102
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
6. El número de soluciones de una ecuación depende del signo de su discriminante: 2 4 0b ac soluciones 2 4 0 !b ac solución (solución doble) 2 4 0 2b ac soluciones
a) No tiene ninguna solución real. 2 4
9 20 0b ac
b) Existen dos soluciones diferentes. 2 4
25 24 0b ac
c) Existe una solución doble. 2 4
400 400 0b ac
7. Para que tengan una solución única doble el discriminante debe ser 0:
a) b) 2 4
16 20 045
b acd
d
2 49 4 0
94
b acd
d
8. Según las relaciones de Cardano-Vieta tenemos que, siendo s1 y s2 las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, se cumple:
1 2
1 2
bs sa Cardano Vieta
cs sa
103
Por lo tanto:
a)
2 4 2
88
ba ba
c a ca
Supongamos a = 1, entonces b = 2 y c = -8, y nuestra ecuación sería: 2 2 8 0x x
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
9. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx
1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z 2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c , de la que obtenemos dos soluciones: z1, z2.
3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1
2 2
x z
x z
a) c) 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
x 5x 36 0xz 5z 36 0
5 25 144 5 169 5 132 2 2
9 3, 3
4 4
z
z
z x x
z x x
4 2 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
12x 19x 18 12x 19x 18 0x12z 19z 18 0
19 361 864 19 3524 24
9 3 3,4 2 2
2 23 3
z
z
z x x
z x x
b) d) 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
15x +31x 10 0x15z +31z+10 0
31 961 600 31 1930 30
2 25 5
5 53 3
z
z
z x x
z x x
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
6x +x 1 0x6z +z 1 0
1 1 24 1 512 12
1 3 3,3 3 3
1 12 2
z
z
z x x
z x x
105
10.
2
21 2
3
4
a) El producto de dos números es cero, si al menos uno de los dos es cero. ( 3 ) (2 3) ( 1) 0
3 0 ( 3) 0 0, 3
32 3 02
1 0 1
x x x x
x x x x x x
x x
x x
3 2
2
1
22 3
c) 12 2 2 0 2 (6 1) 0
2 0 0
1 1 24 1 1 6 1 0 ,12 2 3
x x xx x x
x x
x x x x x
2 2 2
21 2
2
b) (3 12) ( 2) ( 1) 0
3 12 0 4 2, 2
2
x x x x
x x x x
x x2 1 0
soluciones
x soluciones
6 2
2 4
21
4 42 3
d) 16 0( 16) 0
0 0 ( )
16 0 16 2, 2
x xx x
x x doble
x x x x
106
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
11.2 2 2
1 2
a) 2 6 0 6 2 4 25 36 0
25 625 576 94; 8 4
Prueba 1: 4 8 4 6
x x x x x x
x x x
x 0
9 9 9Prueba 1: 6 04 2 49Solución: 4
x
x
2 2 2
1 2
b) 2 (5 )(5 ) 2 (5 )(5 ) 2 25 0
2 4 100 1 26; 1 262
Prueba 1: 1 26 2 (5 )(5 )
Prueba 1: 1 26 2
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x (5 )(5 )
Solución: 1 26
x x
x
12. a) b)
22
2
1 2
3 2 0 3 2 05 3
2(3 2) 0 0,3
x x x xx
x x x x
2
2 2 2 2
2 2
1 2
4 1 4 1 44
4 1 4 4 4 1 0
4 16 16 1 18 2 2
x xx x x x xx x x x
x x x
107
PÁGINA 56
SOLUCIONES_________________________________________________________________
13. a) b) c)
5 172 3 5
5 172 (5 17) 3 510 34 3 513 39
32
x yx y
x yy y
y yy
yx
3 55 1
3 55 (3 5) 115 25) 1
16 26
138
18
x yx y
y xx xx x
x
x
y
4 3 25 2 3
2 43
2 45 2 33
15 4 8 93 3 3
7 13
13 33,7 7
x yx y
xy
xx
x x
x
x y
108
PÁGINA 57
SOLUCIONES_________________________________________________________________
14. a) b) c)
3 2 75 3 11
7 3 11 5,2 3
7 3 11 52 3
21 9 22 156 1
1 13,6 4
x yx y
x xy y
x x
x xx
x y
12 6 14 3 812 1 4 8,
6 312 1 4 8
6 312 1 8 1620 15
3 5,4 3
x yx y
x xy y
x x
x xx
x y
2 3 25 3
3 1, 5 32
3 1 5 32
3 2 10 67 4
4 1,7 7
x yx y
yx x y
y y
y yy
y x
15. a) b) c) 3 5 5 3 5 52 8 10 5 407 45
45 34,7 7
x y x yx y x yx
x y
3 8 5 3 8 55 4 17 10 8 34
13 39
13,2
x y x yx y x yx
x y
4 3 2 20 15 1020 36 3 20 36 3
21 7
143,3
x y x yx y x y
x
x y
109
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
16. El número de soluciones de un sistema depende de la proporcionalidad entre los coeficientes: Sea el sistema:
' ' '
ax by ca x b y c
'aSia '
bb
Sistema Compatible Determinado. (Una solución única). (SCD)
' ' 'a b cSia b c
Sistema Compatible Indeterminado. (Infinitas soluciones). (SCI)
' 'a bSia b '
cc
Sistema Incompatible. (Ninguna solución). (SI)
a) SCD b) SI c) SCI Una solución única. Ninguna Solución. Infinitas soluciones.
3 4 55 3 4
x yx y
3 5 22 39 325 4
x y
x y
2 3 0
3 9 02 4
x y
x y
35
43
5332
9 25
23
415 518 6
83
2 3 03 9 02 4
4 12 83 9 3
17. a) SCI b) SI c) SCD
6 12 43 6 2
x yx y
13 03
9 1
x y
x y
3 2 75 0x y
x y
110
PÁGINA 59
SOLUCIONES_________________________________________________________________
18. a)
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
1 2
1 2
3 2 415 10 10 5
3 2 (10 5 ) 413 20 10 41
7 21
3 10 15 25
3, 35, 5
x yx y y x
x xx x
x
x y y
x xy y
b) 2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 93 9 3 9
(3 9) 2 910 56 72 0 5 28 36 0
28 784 720 28 810 10
18 , 259 , 35
x y xx y y x
x x xx x x x
x
x x
y y
111
c) 2 2
22 2
2
4 2
2 2
1 21
1 2
3 42
3 4
1366
6 3613 13
13 36 013 36 0
13 169 144 13 52 2
3, 39
2, 2
2, 24
3, 3
x y
xy xy
y yy y
y yy z z z
z
y yz
x x
y yz
x x
d) 2 2
22 2
2
4 2
2 2
1 21
1 2
3 42
3 4
2 2755
5 252 27 2 27
2 27 25 02 27 25 0
27 729 200 27 234 2
5 2 5 2,252 2
22, 2
1, 11
5, 5
x y
xy xy
y yy y
y yy z z z
z
y yz
x x
y yz
x x
112
PÁGINA 62
113
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Ecuaciones de primer grado.
19. a) b)
3 (3 5 ) 4 ( 2 5) 3 2 ( 5)3 3 5 8 20 3 2 102 10
5
x x x xx x x xx
x
( 3) 4 [2 (5 1)] 3 1 5 (2 )3 12 4 3 1 10 5
19 22
19
x x x x xx x x x
x
x
c) d)
2 ( 3) 53 2
10 2 15 35
x x
x xx
2 (3 1) 3 2 13 6
12 4 3 2 36 621 8
821
x x x
x x xx
x
e) 3 (5 1) 3 2 12 1
4 8 216 30 6 3 2 4 8
21 00
x xx x
x x x xx
x
20. a) b)
2
2 2
2 2
2 4 ( 2) ( 3) 3 (2 1)2 4 4 24 3 (4 4 1)
4 6 24 4 7 1
6 24 7 1
25
x x x x xx x x x x x
x x x x
x x
x
2 2
2 2 2
( 3) (2 1) (2 3) ( 2) (2 )2 7 3 4 12 9 4 2
19 10 0
1019
x x x x x xx x x x x
x
x
c) 2 2 2
2 2 2 2
( 3) ( 3) 1 ( 2)9 1 4 4
4 14 0
72
x x x x xx x x x x
x
x
114
Ecuaciones de segundo grado.
21. a) No tiene ninguna solución real. c) No tiene ninguna solución real.
2 4
9 40 0
b ac
soluciones
2 4
4 8 0
b ac
soluciones
b) Existen dos soluciones diferentes. d) Existen dos soluciones diferentes. 2
2
2
1 2
(2 1) 3 22 2 0
44 8 0 2 .
2 4 8 2 2 32 2
1 3, 1 3
x x x xx x
b acsoluciones
x
x x
2 2
2
2
1 2
2 4 33 7 0
449 0 2 .
70,3
x x x xx x
b acsoluciones
x x
22. a) b)
2
2
( 1) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3)6 5 036 20 16 0 2 .
x x x x x xx x
soluciones
2 2 2
2
8 ( 3) (2 1) (2 1) (2 3)6 1 0
36 4 40 0 2 .
x x x x xx x
soluciones
c) d) 2 2
2
2 ( 1) ( 2) ( 1)4 2 0
16 8 8 0 2 .
x x x x xx x
soluciones
2
2
( 2) (2 1) ( 1) ( 1)2 5 5 0
25 40 15 0
x x x x xx x
soluciones
23. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
2 10 1 0100 4 0
25
ax xa
a
24. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
2
2
4 9 0144 0
12
x axa
a
115
25. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
2
2
0
42
ax bx c
b b acxa
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de forma ordenada.
a) c) 2
1 2
6 3 45 0
9 9 1080 9 3312 12
72,2
x x
x
x x
2
1 2
10 23 12 0
23 529 480 23 720 20
4 3,5 2
x x
x
x x
b) d) 2
1 2
3 10 8 0
10 100 96 10 26 6
42,3
x x
x
x x
2 2
1 2
3 1 1 3 5 2 010 2 5
5 25 24 5 76 6
1 , 23
x x x x
x
x x
c) e) 2
1 2
6 2 0
1 1 48 1 712 12
2 1,3 2
x x
x
x x
2
1 2
20 7 60 0
7 49 4800 7 484940 40
7 4849 7 4849,40 40
x x
x
x x
26. a) c)
2
1 2
3 5 0(3 5) 0 0,3 5 0
50,3
x xx x x x
x x
2
1 2
5 20 05 ( 4) 0 5 0, 4 0
0, 4
x xx x x x
x x
b) d) 2
2
1 2
3 15 05
5, 5
xx
x x
2
2
1 2
6 1 7 05
8 56
8 5 8 5,6 6
x
x
x x
116
27. a) c)
2
( 2) (2 5) ( 9)
10 0 10
x x x x
x x soluciones
2
2
1 2
2 (2 1) ( 4) ( 2)3 0
(3 1) 0 0,3 1 0
10,3
x x x xx x
x x x x
x x
b) d)
2
1 2
(2 3) ( 3) ( 3) 62 0
( 2) 0 0, 2 0
0, 2
x x xx x
x x x x
x x
2
2 2
1 2
6 (3 5) 2 ( 4) 32 20 0 10
10, 10
x x x xx x
x x
28. a) c)
2
2
1 2
( 3) ( 3) ( 3) 3 70
( 1) 0 0, 1 0
0, 1
x x x xx xx x x x
x x
2
2
1 2
(3 1) ( 2) ( 2) ( 8) 3 ( 18)2 16 5 0
16 256 40 16 6 64 4
3 6 3 61 , 12 2
x x x x xx x
x
x x
b) d) 2 2
2
1 2
(2 5) 6 49 (2 3)8 14 15 0
14 196 480 14 2616 16
5 3,2 4
x x xx x
x
x x
2 2
2
1 2
7 (2 3) (2 1) 28 14 3 0
14 196 96 14 1016 16
1 3,4 2
x x xx x
x
x x
29. a) c)
22
2 2
1 2
1 12 ( 3) ( 3) ( 3) 422 4
4 4 24 0 6 0
1 1 24 1 52 2
2, 3
x x x x
x x x x
x
x x
2 22
2 2
1 2
1 13 ( 2)2 2
19 197 19 07 7
19 19,7 7
x x x
x x x
x x
117
b) d)
2 2
2
1 2
3 5 122 2 2
5 11 0(5 11) 0 0,5 11 0
110,5
x x
x xx x x x
x x
2
2
1 2
3 2 1 2 1 514 3 2 3 2 4
17 3 0144 2
17 3 17 30 0, 0144 2 144 2
2160,17
x x x
x x
x x x x
x x
30. Según las relaciones de Cardano-Vieta tenemos que, siendo s1 y s2 las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, se cumple:
1 2
1 2
bs sa Cardano Vieta
cs sa
Por lo tanto:
a)
3 5 2
1515
ba ba
c a ca
Supongamos a = -1, entonces b = -2 y c = 15, y nuestra ecuación sería: 2 2 15 0x x
b)
3 2124 3
1 22
ba ba
c a ca
Supongamos a = -1, entonces b = 12 y c = 2, y nuestra ecuación sería: 2 12 2 0x x
Otros tipos de ecuaciones.
31. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z 2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c , de la que obtenemos dos soluciones: z1, z2.
3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1
2 2
x z
x z
118
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
a) 3 2 8 0
3 2 8 0
2 4 96 5 106 6
5 5 5,2 2 2
5 56 6
x xx z
z z
z
z x x
z x x
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
b) 10 - 3 - 4 0
10 - 3 - 4 0
3 9 160 3 1320 20
4 2 5 2 5-5 5 5
1 1- -2 2
x xx z
z z
z
z Þ x x
z Þ x x
4 2 4
2
c) 4 25 36 0 d)5x 100 0
x x
x z 4
2
1 1 2
2 3 4
204 25 36 0
25 625 576 25 12018 8
25 1201 25 1201 25 1201,8 8 8
25 1201 25 12018 8
xz z
z
z x x
z x x
4 2
2 2 2 2
1 2 3
2 3 4
e) 3 7 0( 3 7) 0 0, 3 7 0
7 70, ,3 3
25 1201 25 12018 8
x xx x x x
x x x
z x x
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
f) 4 29 45 0
4 29 45 0
29 841 720 29 118 8
9 94 4
5 5
x xx z
z z
z
z x x
z x x
119
PÁGINA 63
120
SOLUCIONES_________________________________________________________________
32.4 2 2 2 2
4 2 2 2
4 2 2
4 2
2
2
2
1
2
a) 15 12 5 4 8 16 4 8 2 2
15 17 4 (16 4) 2 2
15 33 8 2 215 31 10 0
15 31 10 0
31 31 4·15·10 31 961 600 31 3612·15 30 30
31 19 31 19 50 530 30 30 331 19 12
30 30
x x x x x x x
x x x x
x x xx x
z xz z
z
z
z
21 1
22 2
4 2 2 2 4 2 2
4 2 4 3 3 2 4 2 2
4 2 2
4 2
2
2
2
25
5 53 32 25 5
5 5 2 2: , , ,3 3 5 5
b)(4 4 1) ( 3 3 9) ( 6 ) 22 64 4 1 3 3 9 6 22 62 7 1 22 62 21 0
2 21 0
1 1 4·2·( 21)2·2
x x
x x
Soluciones
x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x xx x
z xz z
z
1
2
21 1
22
1 1 1684
1 169 1 13 1 13 34 4 414 74 2
3 372
z
z
x x
x
No existen soluciones reales para x2
121
Soluciones: + 3 ,- 3
33.4 2 4 2 2
4 2
4 2
2
2
2
1
2
21 1
22
a)(4 12 9) (4 12 9) 21 108 18 21 108 10 3 0
8 10 3 0
10 10 4·8·( 3) 10 100 962·8 16
10 196 10 14 10 14 4 116 16 16 16 410 14 24 3
16 16 21 14 2
32
x x x x xx xx x
z xz z
z
z
z
x x
x
x2 no tiene soluciones reales
Soluciones: + 12
, - 12
4 2 4 2
4 2
2
2
2
1
2
21 1
b)(9 6 1) ( 8 16) 08 2 15 0
8 2 15 0
2 ( 2) 4·8·( 15) 2 4 4802·8 16
2 484 2 22 24 316 16 16 22 22 20 5
16 16 43 3 3,2 2 2
x x x xx x
z xz z
z
z
z
x x
x2 no tiene soluciones reales
Soluciones: + 32
, - 32
122
4 2 2 4 2 4 2
4 2 4 2
4 2
2
2
2
1 1
2 2
17 1c)(4 10 10 25) (4 6 9) ( )4 4
8 6 16 49 7 20 0
9 7 20 0
7 ( 7) 4·9·( 20) 7 49 7202·9 18
7 76918
7 769 7 76918 18
7 769 7 76918 18
7 769 7: ,18
x x x x x x x
x x x xx x
z xz z
z
z x
z x
Soluciones 769 7 769 7 769, ,18 18 18
2 4 2 4 2 2
4 2 4
4 2
2
2
2
1 1
2
d)3 (4 12 9) 4 (16 20 20 25)4 9 9 29 1620 9 20 0
20 9 20 0
9 ( 9) 4·20·( 20) 9 81 16002.20 40
9 1681 9 41 9 41 50 5 540 40 40 40 4 4
9 41 32 440 40 5
x x x x x xx x xx x
z xz z
z
z x
z
x2 no tiene soluciones reales
Soluciones: + 54
, - 54
123
34.
1 2 3
2
21 2 3
2 2 2
2 2 2 21 2 3
a) ( 2)( 3) 00 0,( 2) 0 2, ( 3) 0 3
Soluciones:0,2, 3b)2 (3 4)( 2) 0
42 0 0,(3 4) 0 , ( 2) 0 23
4Soluciones:0, , 23
c) ( 1) ( 3) 0
0 0, ( 1) 0 1, ( 3) 0 3
x x xx x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x x
2 2
21
22
2
3
3
Soluciones : 0,1, 3, 3d)2 (6 2) 02 0 0
1 ( 1) 4·6·( 2) 1 1 48 1 49 1 7(6 2) 02·6 12 12 12
8 212 3
6 112 2
2 1Soluciones:0, ,3 2
x x xx x
x x x
x
x
35.3 2
2
22
1
2
3
a) 6 0( 6) 0
1 1 4·1·( 6) 1 1 240 0, ( 6) 02·1 2
1 5 4 22 2
6 32
Soluciones:0,2, 3
x x xx x x
x x x x x
x
x
124
2
4 3 2
2 2
21
2
2 3
b)2 6 20 02 ( 3 10) 02 0 0,
3 ( 3) 4·1·( 10) 3 9 40 3 7( 3 10) 02·1 2 2
10 45 22 2
Soluciones:0,5, 2
x x xx x xx x
x x x
x x
5 3 3 2
31
2 2
3 2
2
21
2
c) 5 0 ( 5) 00 0
5 0 5 5
Soluciones:0, 5, 5d)3 5 0
(3 5) 00 0
5(3 5) 03
5Soluciones:0,3
x x x xx x
x x x
x xx xx x
x x
36.-
a)x3-x2+3x-3=0
(x-1) (x2+3)=0 (x-1)=0 x1=1, (x2+3)=0 x2=-3. No tiene soluciones reales Solución: 1
b)2x3-x2-7x+6=0
125
2
1
22
2
3
( 1)(2 6 ) 0( 1) 0 1
1 1 4·2·( 6) 1 1 48 1 49(2 6 ) 02·2 4 4
1 7 6 34 4 2
1 7 8 24 4
3Soluciones:1, , 22
x x x xx x
x x x x
x
x
c) 4x3+4x2-9x-9=0
(x+1)(4x2-9)=0 (x+1)=0 x1=-1
2 2 2 9 3(4 9) 0 4 94 2
x x x x
Soluciones: -1, + 32
, - 32
d) x5+2x4-7x3-20x2-12x=0 x(x4+2x3-7x2-20x-12)=0x1=0, (x4+2x3-7x2-20x-12)=0
126
(x+1)(x3+x2-8x-12)=0(x+1)=0 x2=-1(x3+x2-8x-12)=0
2
3
22
4
5
( 2)( 6) 0( 2) 0 2
( 1) ( 1) 4·1·( 6) 1 1 24 1 25( 6) 02·1 2 2
1 5 6 32 2
1 5 4 22 2
x x xx x
x x x
x
x
Soluciones: 0, -1, -2 (Raíz doble), 3
4 2
2 2
21
2 2
)4 0(4 1) 0
0 0
1 1 1(4 1) 04 4 2
e x xx xx x
x x x
Soluciones:0 (Raíz doble), + 12
, - 12
f) 30x4-35x3-5x2+10x=0x(30x3-35x2-5x+10)=0x1=0(30x3-35x2-5x+10)=0
127
(x-1)(30x2-5x-10)=0x2=1
22
3
4
( 5) ( 5) 4·30·( 10) 5 25 1200 5 1225 5 35(30x -5x-10)=0 x=2·30 60 60 60
5 35 4 260 6 3
5 35 30 3 160 60 6 2
x
x
Soluciones:0,1, 23
,
12
37.
2 2
2 3
3 2 2
21
2
a)2 ( 3) ( 2)( 2) 102 6 ( 2 2 4) 102 6 4 10
2 0 ( 2) 00 0
( 2) 0 2
x x x x x xx x x x x x xx x x x x
x x x xx xx x
Soluciones: 0 (Raíz doble), -2
2 2
3 2 2
3 2 2
3 2
)( 3)( 1) (2 1) 4 53 3 (4 4 1) 4 53 3 4 4 1 4 52 2 0
b x x x xx x x x x xx x x x x xx x x
(x-1)(x2+2)=0 x1=1(x2+2)=0 x2=-2. No tiene soluciones reales Solución: 1
128
2 2 2
2 3 2 2
3 2 3 2 2
3 2
)13 (2 1)( 3) (4 3)( 1) 913 (2 6 3) (4 3)( 2 1) 92 14 6 3 (4 8 4 3 6 3) 96 3 5 6 0
c x x x x x xx x x x x x x x
x x x x x x x x xx x x
No tiene soluciones enteras
22 2 2
2 2 2 3 2
2 3 2
3 3 2
3 2 2
1
22
2
3
d) 1 ( 1) (3 6) 0
2 1 ( 2 1) (3 6 ) 0
·( 4 ) 3 6 04 3 6 0
6 0 ( 6) 00
1 1 4·1·( 6) 1 1 24 1 25 1 56 02·1 2 2 2
1 5 4 22 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x xx x x x
x x x x x xx
x x x
x
x 1 5 6 32 2
Soluciones:0,2, 3
38.
2 2 22
22
1
2
3 5 5a) 0 3 5 0 3 52 3
2 3 1b) (2 3)( 2) 2 4 3 62
1 1 4·1·( 6) 1 1 24 1 25 1 56 02 2 2 2
1 5 22
1 5 32
Soluciones:2, 3
x x x xxx x x x x x x xx x
x x x
x
x
129
2
2
2 2
222
1
2
2
8 2c)4 34 3
4 3 4 3 8 2
16 12 12 9 8 2
8 8 4·15·( 7)415 8 7 02 2·15
8 64 420 8 484 8 2230 30 30
8 22 14 730 30 15
8 22 30 130 30
7Soluciones : , 115
2 20d)6 0
x xxx
x x x x
x x x x x
b b acx x xa
x
x
x x2
2
2
1
2
6 2 20 03 10 0
( 1) ( 1) 4·3·( 10) 1 1 120 1 121 1 112·3 6 6 6
1 11 12 26 6
1 11 10 56 6 3
5Soluciones : 2,3
x xx x
x
x
x
39.4 2
2
4 2 2
4
2 4a) 12 32 4 2 31 0 1
x xx
x x xx xSoluciones:+1, -1 (Raíces dobles)
130
2
2 2
2
2
1
2
3 3 2 9b)1 1 1
3 3 2 9( 1)( 1) 1 1
3 3 2 ( 1) (9 )( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)3 3 2 2 9 93 7 6 0
( 7) ( 7) 4·3·( 6) 7 49 72 7 121 7 112·3 6 6 6
7 11 18 36 6
7
x x xx x x
x x xx x x x
x x x x xx x x x x xx x x x x xx x
x
x
x 11 4 26 6 3
2Soluciones : 3,3
2
2
2
2
2
1 2
2 5 18 30c)3 6 9
2 5 18 303 ( 3)
(2 5)( 3) 18 302 6 5 15 18 302 7 15 0
( 7) ( 7) 4·2·( 15) 7 49 120 7 169 7 132·2 4 4 4
7 13 20 7 13 6 35 4 4 4 4 2
3Soluciones:5,2
x xx x x
x xx x
x x xx x x xx x
x
x x
2
22
2
2
1 2
11 10d)6 0
6 11 10 0 6 11 10 0
11 11 4·6·( 10) 11 121 240 11 361 11 192·6 12 12 12
11 19 8 2 11 19 30 512 12 3 12 12 2
2 5Soluciones : ,3 2
x xx x x x
x
x
x x
131
2
2 2
2
2
1
2 1 3 12 5e)2 2 4
2 1 3 12 52 2 ( 2)( 2)
(2 1)( 2) ( 3)( 2) 12 5( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)2 4 2 2 3 6 12 53 8 3 0
( 8) ( 8) 4·3·( 3) 8 64 36 8 100 8 102·3 6 6 6
x x xx x x
x x xx x x x
x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x
x
x
2
2
2
2
2
2
8 10 18 36 6
8 10 2 16 6 3
1Soluciones:3,3
2 1 2 2 18 2f)4 1 4 1 16 1
2 1 2 2 18 24 1 4 1 (4 1)(4 1)(2 1)(4 1) (2 )(4 1) 2 18 2(4 1)(4 1) (4 1)(4 1) (4 1)(4 1)8 2 4 1 (8
x
x x x xx x x
x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x
x x x 2 2
2 2
2
2
1
2
2 4 ) 2 18 212 5 3 2 18 210 23 5 0
( 23) ( 23) 4·10·( 5) 23 529 200 23 7292·10 20 20
23 272023 27 50 5
20 20 223 27 4 1
20 20 5
x x x x xx x x xx x
x
x
x
132
40.
2
2
2
2
1
2
a)2 3 9 0
2 9 3(2 9) 94 81 36 94 45 81 0
( 45) ( 45) 4·4·81 45 2025 1296 45 729 45 272·4 8 8 8
45 27 98
45 27 18 98 8 4
x x
x xx x
x x xx x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
b) 2 0
2( 2)
4 45 4 0
( 5) ( 5) 4·1·4 5 25 16 5 9 5 32·1 2 2 2
5 3 8 42 2
5 3 2 12 2
x x
x xx x
x x xx x
x
x
x
Soluciones: 4, 1
133
2
2
2
2
1
2
c)6 17 5 0
6 5 17(6 5) 28936 60 25 28936 229 25 0
( 229) ( 229) 4·36·25 229 52441 3600 229 488412·36 72 72
229 22172
229 221 450 2572 72 4
229 221 8 172 72 9
25 1Soluciones : ,4 9
x x
x xx xx x xx x
x
x
x
2
2
2
1
2
d) 222 0
( 1) ( 1) 4·1·( 2) 1 1 8 1 9 1 32·1 2 2 2
1 3 4 22 2
1 3 2 12 2
x xx xx x
x
x
x
Soluciones:2, -1
e) 3 4 7 53 4 7 53 7 5 4
4 994
x xx xx x
x
x
Solución: 94
134
2
2
2
1
2
f) 6 06 0
( 1) ( 1) 4·1·( 6) 1 1 24 1 25 1 52·1 2 2 2
1 5 6 32 2
1 5 4 22 2
x xx x
x
x
x
Soluciones: 3, -2
41.
2
2
2
2
1
2
a)2 5 3 10(2 5) 3 104 20 25 3 104 23 15 0
( 23) ( 23) 4·4·15 23 529 240 23 289 23 172·4 8 8 8
23 17 40 58 8
23 17 6 38 8 4
x xx x
x x xx x
x
x
x
Soluciones:5, 34
2
2 2
2 2
2
1
2
) 1 1( 1) 1
2 1 12 3 0
(2 3) 00 0
3(2 3) 02
b x x xx x x
x x x xx x
x xx x
x x
Soluciones:0, 32
No es una igualdad
2
2 2
2 2
) 3 6 15( 3) 6 15
6 9 6 15
c x x xx x x
x x x x
135
2
2
3) 32
3 32
( 3) 32
3 2
xd xx
x xx
x xx
x xNo es una igualdad
42.-
2
2
2 1) 23 2
2 1 23 2
2 1 43 22 1 4(3 2)2 1 12 8
910 910
xax
xx
xxx xx x
x x
Solución: 910
22
2
2
2
1
2
15) 1
15 1
15 1 15
2 15 0
2 2 4·1·( 15) 2 4 60 2 64 2 82·1 2 2 2
2 8 6 32 2
2 8 10 52 2
xb xx
x xx
x x x x xx
x x
x
x
x
Soluciones:3, -5
136
22
2
2
1
2
5)4 12 0
54 12
54 12
2516 40 144
16 25 104 0
25 25 4·16·( 104) 25 625 6656 25 72812·16 32 32
25 728132
25 728132
25 7281 25 7281Soluciones: ,32 32
c xx
xx
xx
xx
x x
x
x
x
137
PÁGINA 64
138
SOLUCIONES_________________________________________________________________
43. a) b)
2
222
2
1 2
21 1 1
22 2 2
1 2
3 x 4 5
3 x 4 5
x 3 2 0
3 9 8 3 12 2
1, 2
3 4 5 2 2
3 4 5 1 1
1, 2
x x
x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x
2
222
2
1 2
21 1 1
22 2 2
1 2
4 x 2 2
4 x 2 2
x 6 0
1 1 24 1 52 2
3, 2
4 2 2 1 1
4 2 2 6 6
3, 2
x x
x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x
c) d) 2
2
222
2
1 2
1
21 1
2
22 2
1 2
5 1 5 x 3 17x 3 17
5 x 3 17
x 4 12 0
4 16 48 4 82 2
6, 2
5 11 113 17
5 71 173 17
6, 2
x x xx
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
2
222
2
1 2
21 1 1
22 2 2
1 2
2 7 x 3 13
2 7 x 3 13
x 6 0
1 1 24 1 52 2
2, 3
2 7 3 13 3 3
2 7 3 13 13 13
2, 3
x x
x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x
Sistemas de ecuaciones lineales.
44. a) Sistema Compatible Indeterminado b) Sistema Compatible Indeterminado. (infinitas soluciones) (infinitas soluciones)
2 3 78 12 28
x yx y
12 30 1810 25 15
x yx y
2 3 78 12 28
12 30 1810 25 15
139
c) Sistema Compatible Determinado d) Sistema Incompatible. (Una solución) (Ninguna solución)
6 5 32 1
x yx y
15 10 1521 14 2x y
x y62
51
31
15 1021 14
152
45. a) SI b) SCI c) SCD
3 2 59 6 2
174 4 0
x yx y
x yx y
2 3 15 4
8 15 20
13 3 3
x y
x yx y
x y
2 5 51 5 02 4
12 4 03 1
x y
x y
x yx y
46. a) c)
3 5 310 5 23
3 3 23 10,5 5
3 3 23 105 5
13 26
32,5
x yx y
x xy y
x x
x
x y
4 3 232 42
2 3 3, 24 4
2 3 324 4
2 3 8 36 10
5 3,3 4
x y
x y
yx x y
y y
y yy
y x
b) d) 52 34
1 25 3 , 1 24
5 3 1 245 12 4 8
4 1
1 1,4 2
x y
x y
x y x y
y y
y yy
y y
15 10 1521 14 210 14 21,15 21
70 105 70 10105 10
x yx y
y yx x
y y
.soluciones
140
47.a)
3 52023
5 3202 ( 5 3 )3
2010 63
1073
10 25,21 7
x y
x y
x y
y y
y y
y
y x
c)724
3 3 2724
73 3 2 24
73 3 42
13 45,2 4
x y
x y
y x
x x
x x
x y
b)
72 43 8 9
74 2
73 8 ( ) 94 2
3 14 4 9
35,2
x y
x yxy
xx
x x
x y
d)0'5 0'2 2'3
0'3 0'5 2'92'3 0'2
0'50'3 ( 5 3 ) 0'5 2'9
1'4 1'4
1, 4'2
x yx y
yx
y yy
y x
48.a) 3 2 21 3 2 21
2 11 3 6 334 12
5, 3
x y x yx y x y
y
x y
c)8 8 18 45 242 5 2 53 3
18 12 149 7 6 9 6 757 38
2 1,3 6
x yx y x yx yx y x y
x
x y
b)5 3 7 10 6 142 5 7 10 25 35
31 49
49 63,31 31
x y x yx y x yx
x y
d)0 '5 0 '3 2 '9 0 '05 0 '03 0 '290 '3 0 '1 0 '3 0 '09 0 '03 0 '09
0 '14 0 '38
2 '71, 5 '14
x y x yx y x yx
x y
141
49.a)
112 6
2 4 511
3112 4 5
317 10
10 59,17 17
x y
x yyx
y y
y
y x
c)2 1
153 24
2 1153 2 ( 2 1)4
774
1 3,4 2
x y
x y
x y
x x
x
x y
b)3 5 11'62 3'1
11'6 3 , 3'1 25
11'6 3 3'1 25
13 3'9
0 '3, 2 '5
x yx y
xy y x
x x
x
x y
d)0'8 1'35 2 2'5 3'3750'3 2'5 1'225 0'3 2'5 1'225
2'3 4'6
2, 0 '73
x y x yx y x y
x
x y
Sistemas de ecuaciones no lineales.
50.
2
1 2
1 2
a)2 1
1515
15 302 1
2 30 0 15
15, 15
15, 15
x y
xy xy
y y yy y
y y
y y
x x
2
1 2
1 2
c)3 2
1 515
5 153 2 2
2 15 0
2 4 60 1 42
5, 351,3
x y
xy xy
y yy y
y y
y
y y
x x
142
2
1 2
1 2
b)6 3 51 212
2 126 3 5 3 5
3 5 12 0
5 25 144 5 136 6
43,3
2 3,3 2
x y
xy xy
y yy y
y y
y
y y
x x
2
1 2
1 2
d)6 4 13
1 717
7 426 4 13 4 13
4 13 42 0
13 169 672 13 298 8
21, 244 7,3 2
x y
xy xy
y yy y
y y
y
y y
x x
51.a)
2 92 4 43 2 1 4
4 32 11 2 1117 7 52
17 7 (2 11) 523 25
25 83,3 3
x y
x y x y
x y y xx y
x xx
x y
c)2( 3) 1'1
50 '3 0 '2 1'3 1'5 6 '5
2( 3) 1'5 6 '5 1'15
3'5 18
5'14, 1'21
x y
x y y xx x
x
x y
b)1 55 3 1
30 '3 2 '1 1'46
1 50 '3 2 '1 1'463
3'8 2 '16
0 '57, 0 '61
xx y y
x yxx
x
x y
d)0 '3 2 '8 90 '5 2 2 0 '5
0 '3 2 '8 (2 0 '5 ) 91'7 3'4
2, 3
x yx y y x
x xx
x y
143
52.
2 2
2 2
2
1 2
1 2
a)
3 21 31 02 5 5 2
3 (5 2 ) 21 31 06 0
1 1 24 1 52 2
2, 31, 11
x y xx y y x
x x xx x
x
x xy y
22 2 2
2 2
22
2
1 2
1 2
b)
23 2 30 103
3 5 37
23 10 5 373
7 67
67 67,7 719 192 , 221 21
yx y x
x y
y y
y
y y
x x
2 2
2 2
2
1 2
1 2
c)
2 5 32 1 1 2
2 (1 2 ) 5 36 2 0
1 1 48 1 712 12
1 2,2 3
70,3
x y xx y y x
x x xx x
x
x x
y y
144
53.
2
2 2
2 2
2
1 2
1 2
2 2
2 2
2
1
a)
2 5 16
1 2 (1 2 ) 1 4 4
2 1 4 4 5 162 15 0
1 1 120 1 114 4
5 , 32
16, 49
b)
6 112
3 2 2 3
6 (2 3) 112
10 13 3 0
13 169 120 13 1720 20
y x y
x y x y y y
y y y yy y
y
y y
x x
x yx
y x y x
x xx
x x
x
x 2
1 2
2 2
2 2
2
1 2
1 2
3 1,2 5
170,5
c)
24 2 19 1
3 1 3 13 1
24 2(3 1) 19 16 7 3 0
7 49 72 7 1112 12
1 3,3 2
72,2
x
y y
x y xy x y xx
x x xx x
x
x x
y y
145
PÁGINA 65
146
SOLUCIONES_________________________________________________________________
54. Llamamos x al primer número e y al segundo número, de ese modo
2 2
22
2
1 2
1 1
2119 23 2 19
319 2 21
35 76 172 0
76 5776 3440 76 9610 10
862,5
2, 5
y xyx y x
yy
y y
y
y y
y x
Como nos dicen que los dos números deben ser enteros, descartamos el segundo valor de y. Los dos números que buscamos son 2 y 5.
55. Sea x el número que buscamos, entonces:
22
2
1 2
1 1
2 2
3 5 2
3 2 5
9x 37 4 0
37 1369 144 37 3518 1814,9
3 5 2 12 10 21 53 5 23 3
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
1
2
4x
El número que buscamos es 4.
56.Si la quitamos x cm en cada una de las esquinas, las medidas de la caja son 35 2 , 25 2 y . Como el volumen de un paralelepípedo es el producto de sus tres dimensiones, el problema se reduce a resol
x x x
3 2
ver la ecuación: (35 2 ) (25 2 ) 132 4 120 875 132 0Pero esta ecuación no tiene solución racional, luego, no podemos resolverla.
x x x x x x
57. El espacio recorrido en función de la velocidad y el tiempo viene dado por la fórmula:
e = vt.
147
Si la primera bici recorre x metros a una velocidad de 6m/s, la segunda recorrerá (350 – x) metros a 8m/s.
Así, podemos plantear el siguiente sistema:
6350 8
350 6 8350 14 25
x tx tt tt t s
y por tanto, la primera bicicleta recorrerá 150 m, y la segunda 200m.
Se encontrarán a los 25 segundos.
58.2 2
2 2
1 2
1 37'5 , 25 / , 7 /2
1 50 2500 210037'5 25 7 7 50 75 02 14
5 , 2'14
e vt at e m v m s a m s
t t t t t
t s t s
Tarda en frenar 2’14 segundos. (Elegimos esta solución porque verificando la ecuación, asegura que es un tiempo suficiente para efectuar la frenada. )
59.2
2 2
2 2
2 2
1 2
125 62
1 1240 40 4 240 40 42 2
1 125 6 240 40 42 2
5 65 240 0 13 48 0
13 169 192 13 192 2
3, 16
e t t
e t t e t t
t t t t
t t t t
t
t t
Los dos vehículos chocarán a los 3 segundos.
2125 6 1022
e t t e m El primer vehículo recorrerá 102 metros y el segundo 138 metros.
148
1.2 2
2 2
2a) 3 1 2 1 b)2 ( 2)·( 2) ( 1)4 2
12 4 2 8 4 2 4 2 123 10 3 2
10
x xx x x x x x
x x x x x xx x
x 323 2
x
2.2
2
a) 2 1 3 1 3 0
4 16 16 4 4 0 22
2, solución doble.
x x x
x x x
x
2
1 2
2
2
b) 2 5 2 3 10 0
2 0 2 0
0, 2
c) 2 1 2 1 3 6
3 10 0
103
303
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x
x
x
3.2
2
2Nuestra ecuación es de la forma a 8 0. Si sustituímos la solución , tenemos:34 2 36 3a 8 0 2 3 36 09 3 2
Si 2, entonces 15. La ecuación que obtenemos es 15 2 8 0.
x bx x
bb a b a
b a x x
149
4.4 2 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
a) 2 2 40 0 20 0
20 0
1 1 80 1 81 1 92 2 2
5 5, 5
4 4
x x x xx zz z
z
z x x
z x x
2 2
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
b) 3 1 2 2 3 3 0
3 3 20 0
3 3 20 0
3 9 240 3 2496 6
3 249 3 249 3 249,6 6 6
3 249 3 2496 6
x x x x
x xx zz z
z
z x x
z x x
5.
2 2 2
2
2 2 3 4a) 4 b) 32 2 3
( 2) ( 2) 4 ( 2) ( 2) 3 4 12 3 ( 3)2 4 0 5
x x xx x x x
x x x x x x x xx x x
1
2
12 0
1 52 4 16 122 51 5
xx x
x
150
6.2
1
22
1 2
4 3 2
1 2
a) 1 2 3 4 0
1 0 12 0 2
3 4 0
3 9 16 3 72 2
Solución: 1 y 2. Las otras dos soluciones no son reales.
b) 5 7 29 30 0Por Ruffini sacamos dos soluciones: -5 2.L
x x x x
x xx xx x
x
x x
x x x xx x
2
3
4
1 2 3 4
as otras dos soluciones las obtenemos resolviendo la ecuación de segundo grado:2 3 0
2 4 12 2 42 2
13
Solución: 5; 2; 1; 3
x x
x
xx
x x x x
7.2
2
22 2
1
2
1 2
a) 3 4 1
( 2) 1 2 1 1
Solución: 1
b) 2 13 15 0
2 15 13 2 15 13 4 229 225 0
229 48841 229 2218 8
2254
1
225Solución: ; 1 4
x x
x x x
x
x x
x x x x x x
x
x
x
x x
8.
2
2
2
Para que la ecuación tenga una solución única, el discriminante tiene que ser nulo, es decir:4 0
a) 144 0 12
b)16 48 0 0 ó 3
b ac
d d
d d d d
151
9.a)Método de igualación.
44 3 03
3 323 2 4 6
4 3 116 9 23 4 6 2
1 2;2 3
b)Método de sustitución. 3 5 2 7 19
34 8 4 2; 32 3 2 23 8 11 17
3 2 6
xx y y
x xy y
x x x x x
x y
x y x yy
x yx y x y x y
10.
152
2 2
22
2
1 2
1 2
2 2
22
2
1 2
1
a)
6 8 53 2 3 2
6 8 5 3 2
7 49 240 7 1715 7 4 030 30
1 4,3 5
21,5
b)
3 31 44 3 1
31 43 3
3
8 64 1232 8 3611 8 28 022 22
142,11
3
x x yx y y x
x x x
x x x
x x
y y
x yxx y y
xx
x x x
x x
y 215,11
y
153
PÁGINA 66
SOLUCIONES_________________________________________________________________
No sabemos si el número de cerillas es par o impar, así que no podemos averiguar cuál de los dos jugadores tiene ventaja, eso sí, para ganar hay que dejar 4 cerillas en la antepenúltima tirada.
154
