Unidad 3 guía n14 (7mo)

Colegio José Arrieta 712La ReinaMatemática 7° BásicosProfesor: Germán Oyarzún Retamal

Guía N°14: Triángulos

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Objetivos de aprendizaje: Comprender los elementos que componen un triángulo. Clasificar triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores.

TRIÁNGULO es una línea simple cerrada formada por la unión de tres segmentos. La notación Δ se lee “triángulo”.Δ ABC = AB ∪BC ∪CA

ELEMENTOS PRIMARIOS DEL TRIÁNGULO.En todo triángulo distinguirémos: los lados, los ángulos interiores y los vértices del triángulo.

En la figura anterior:

a) Los segmentos AB ; BC ; AC son los LADOS del triángulo ABCb) Los ángulos ∢CAB; ∢CBA y ∢ACB son los ÁNGULOS INTERIORES del triángulo.c) Los puntos A, B y C son los VÉRTICES del triángulo. NOTACIONES EN UN TRIÁNGULORespecto a los lados:Los lados del triángulo se designarán con una letra minúscula. Normalmente esta letra es la misma que con la cual se ha designado el vértice opuesto. Por ejemplo si un vértice es P, entonces el lado opuesto de designa p “p”Hemos escrito la información en la siguiente tabla.

Respecto a los ángulos:

En un Triángulo ABC el ángulo que tiene vértice en A se designa por α ; el ángulo de vértice B se designa por β y el de vértice C se designa por γ

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ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO.

LAS BISECTRICES Y EL INCENTRO O DEL TRIÁNGULO.En todo triángulo las tres bisectrices se intersectan en un punto O, llamado INCENTRO del triángulo. Este punto se encuentra en la zona interior del triángulo.Este punto es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo.

LAS SIMETRALES Y EL CIRCUNSCENTRO O’.En todo triángulo las simetrales se intersectan en un punto O’, llamado CIRCUNSCENTRO. En un triángulo acutángulo, este se encuentra en la zona interior, en un triángulo obtusángulo, se encuentra en la zona exterior y en un triángulo rectángulo está sobre la hipotenusa.El CIRCUNSCENTRO es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

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ALTURAS Y EL ORTOCENTRO H.En todo triángulo las alturas se intersectan en un punto H, llamado ORTOCENTRO del triángulo. En un triángulo acutángulo, este punto se encuentra en la zona interior; en un triángulo obtusángulo, en la zona exterior y en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

LAS TRANSVERSALES DE GRAVEDAD Y EL CENTRO DE GRAVEDAD G.En todo triángulo las tres transversales de gravedad se intersectan en un punto G, llamado CENTRO DE GRAVEDAD del triángulo.El centro de gravedad se encuentra en la zona interior del triángulo.La transversal de gravedad es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

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Alturas en un triángulo acutángulo

Alturas en un triángulo obtusángulo

Alturas en un triángulo rectángulo

Las alturas se intersectan en C. Dos alturas coinciden con los catetos.


CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.Existen dos clasificaciones para los triángulos; una según los lados y la otra según los ángulos.

a) Según lados:

b) Según ángulos:

POR LAS LONGITUDES DE SUS LADOS

1. Triángulo equilátero: Es aquel triangulo que tiene sus tres lados iguales, los tres ángulos internos miden 60°

2. Triángulo isósceles: es aquel triangulo que presenta dos lados de igual medida.

3. Triángulo escaleno: Es aquel triangulo que tiene sus tres lados de diferente medida.

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POR LA AMPLITUD DE SUS ÁNGULOS

1. Triangulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

2. Triangulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

3. Triangulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

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2. Todo triángulo equilátero es equiángulo, es decir las medidas de sus ángulos internos son iguales, en este caso cada ángulo mide 60°

3. Si dos lados de un triángulo tienen igual medida, entonces los ángulos opuestos también son de igual medida

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

6. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a < b + c a > b – c

Un triángulo muy utilizado en trigonometría es el triángulo rectángulo, en él se hace el estudio de la relación entre sus lados mediante el teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITAGORAS Pitágoras enuncio el famoso teorema que lleva su nombre y que relaciona los lados de un triángulo rectángulo

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c2=a2+b2

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En forma equivalente, el teorema de Pitágoras puede anunciarse así:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a2+b2=c2

Teorema de Pitágoras:hipotenusa2=(cateto1)2+(cateto2)2 donde

hipotenusa=√(cateto1)2+(cateto2)2 ycateto=√(hipotenusa)2−(otrocateto)2

Ejemplos

a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 5, y uno de sus catetos es 3, ¿Cuánto mide el cateto restante?

Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?

La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 m.

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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. Clasifica a los triángulos según las medidas indicadas.

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2. Los siguientes triángulos son isósceles. Vas a reconocer la base, el ángulo del vértice, los ángulos basales. Sigue las instrucciones que se encuentran al final de esta página.

PINTA :a) En el Δ ABC los lados en rojo ; el ángulo del vértice en azul.

b) En el Δ PQR la base en verde ; los ángulos basales en azul.

c) En el Δ MNS ; la base en rojo ; el ángulo del vértice en rojo

d) En el Δ LMN ; los lados en azul ; el ángulo del vértice en azul.

e) En el Δ MNR ; la base en verde ;los ángulos basales en rojo.

f) En el Δ PQS ; los lados en azul ; los ángulos basales en verde.

g) En el Δ HIJ ; la base en verde ; el ángulo del vértice en verde.

h) En el Δ FGH ; la base en rojo ; el ángulo del vértice en azul.

i) En el Δ A'B'C ' ;la base en azul ; los ángulos basales en rojo.

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3. Basándose en los datos dados, clasifica a cada uno de los siguientes triángulos.

4. Anota en cada triángulo la medida de cada lado, basándose en los datos dados.

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