UNIDAD 3.- LA ARGUMENTACIÓN, FALACIAS, PARADOJAS, Y FALSOS ARGUMENTOS UNIDAD 4.- -LÓGICA FORMAL E INFORMAL . DEL SILOGISMO A LOS SISTEMAS FORMALES

LÓGICA Y FILOSOFÍA DE LA CIENCIA JUAN CARLOS ZABULLO BAUTISTA DEPARTAMENTO D FILOSOFÍA I.E.S. SANTA MARÍA LA REAL AGUILAR DE CAMPOO

I.- EL JUEGO 1.- DEFINICIÓN.- “ Forma de comprar esperanza a crédito” 2.- CARACTERÍSTICAS 1.- Es incertidumbre, apuesta y riesgo 2.- Es manifestación de impulso vital 3.- Es salida a una crisis 4.- Como ciencia es la etnoludopatía y como enfermedad= ludopatía 5.- Es juego como actividad natural: curiosidad, exploración , realizaci´n de capacidades... 3.- ESTRUCTURA DEL JUEGO 1.- Elementos o componentes del juego 2.- Reglas del juego 3.- Objetivo o fin del juego 4.- EL AJEDREZ COMO EJEMPLO 1.- Elementos descriptivos: - Elementos primitivos: - Campo: Un tablero con 64 casillas, blancas y negras - fichas mitad blancas y Negras: 8 - 16 peones - 2-4 torres, 2 - 4 Caballos, 2 -4 alfiles. - 1 - 2 Dama, 1 - 2 Rey. - Reglas de formación - Cuadro blanco tablero a la derecha - Torres esquinas, sigue caballos, alfiles, dama y Rey, estando la dama en su color. - En la segunda linea, se colocan los peones. 2.- Reglas de transformación

1.- Las torres se mueve hacia adelante, hacia atrás y hacia ambos lados, capturando de la misma forma que se mueve sin poder saltar. 2.- Los alfiles se mueven diagonalmente en todas las direcciones, capturando de igual forma. 3.- Dama se mueve y captura en todas direcciones 4.- Rey se mueve en todas direcciones pero de paso en paso. 5.- Caballo, salta para moverse y capturar en forma de "L" por encima e propios y adversarios, cambiando siempre de color. 6.- El peón se mueve verticalmente a lo largo de las columnas en que se halla situado, de paso en paso , aunque la primea vez puede mover dos pasos. Captura diagonalmente avanzando un paso. 7.- Otros movimientos: enroque.... 3.- Finalidad del juego : Se gana la batalla, partida, cuando se da jaque mate al rey. Si se le inmoviliza y no se le puede matar, la partida acaba en tablas. II - LÓGICA: ciencia del conocimiento mediato o inferencia o razonamiento 1.- La inferencia . A - Definición “Todo discurso para ser razonamiento debe tener las siguientes características: 1.- Afirmar o negar algo 2.- Dar razones para mantener su declaración “ proporcionar ciertos datos o puntos de apoyo para mantener o apoyar su afirmación”. 3.- Estructura: Premisas lo dado, fundamento (P) y conclusión ( C ) P se sigue de C; Pe C; P por eso C; P. en consecuencia C; P luego C; C pues P; C puesto que P ; C porque P; C ya que P: Puesto que P, C; Dado que P, C B - Elementos: Conceptos, juicios, razonamientos( silogismos) Palabras, enunciados, razonamientos 2.- Lógica formal, simbólica o matemática: Operatividad - Lenguaje y pensamiento

- Clases de lenguaje - uso y mención 3.- El calculo lógico: Lenguaje formal y reglas 4.- La verdad y la validez: Verdad de las premisas y validez del razonamiento 5.- Lógica informal El lenguaje natural da lugar a otra clase de lógica, la lógica del lenguaje ordinario, denominada lógica no-formal o lógica informal, que en algunos autores recibe la denominación de pensamiento crítico porque tiene la pretensión de llevar el rigor hasta donde sea posible en la argumentación habitual que utilizamos en nuestra vida cotidiana detectando en la medida de lo posible los errores. Los comienzos históricos de esta peculiar pero importante clase de lógica tienen lugar con la aparición de los sofistas como maestros de oratoria y retórica (es decir, el arte de la argumentación hábil), que eran contratados por los ciudadanos que habitaban en las ciudades griegas que se comenzaron a fundar en los siglos viii-vii a.C. La existencia de la democracia directa con la discusión habitual de la cosa pública en el foro de la ciudad obligaba a saber expresarse con nitidez y a argumentar con corrección y conviccíón, pues de ello dependía el éxito en un pleito o sacar adelante una disposición legal en aquellos balbuceos de la democracia. La lógica formal es una lógica del pensamiento, discursiva, simbólica, demostrativa, apodíctica, mientras que la lógica informal (lógica de la sensibilidad, no-discursiva, poética) es la lógica de la argumentación, que no prueba apodícticamente, pero se esfuerza por exponer sus ideas con claridad, exactitud y organización cuidadosa. La lógica informal puede ser denominada lógica de la convicción, del mismo modo que la lógica formal es la lógica de la demostración. Sí ya el lenguaje es doble instrumento (para comunicar y para ocultar nuestro pensamiento), en el transcurso de la lógica informal, argumenta pueden deslizarse multitud de irregularidades que convierten el discurso en una falacia, un argumento engañoso y falso. En el diálogo Menón Platón hay un argumento muy conocido en la historia de la filosofía, llamado argumento eristico o argumento sofistico: dice Sócrates a Menon: si ya conozco una cosa determinada, no tengo que hacer ningún esfierzo, pues ya la conozco; mas, si no la conozco, como no sé lo que temgo que conocer, no puedo llevar a cabo ese conocimiento. Este argumento tuvo una profunda repercusión en la teoría del conocinto de Platón, pues significa que el conocimiento no es apropiación de lo real, ni adquisición de algo nuevo, sino recuerdo ,anamnesis) de algo que mi alma ya vio en una existencia anterior en presencia de las ideas A .- Falacias 1.- Concepto

Hemos hablado de inferencias no validas, que en general se pueden considerar como falacias o sofismas cualquier tipo de razonamiento incorrecto. pero el concepto de falacia añade un matiz que las diferencia, la persuasión psicológica. La falacia es un argumento en favor de una conclusión y que apoye esa conclusión. Se pretende que sea válido, aunque en realidad no lo es,pero tiene algo que puede llevar a engaño a una persona poco atenta. Se recurre muchas veces a motivaciones extralógicas para intentar demostrar su conclusión. 2.- Clasificación No hay ninguna clasificación de las falacias universalmente aceptada. Según De Mora:" No hay nada similar a una clasificación de las maneras en que los hombres pueden llegar a un error, y cabe dudar de que pueda haber alguna". A apesar de ello intentaremos dar una clasificación de la falacias. 1.- Formales. Son las inferencias no válidas por su forma, aunque suelen tener un esquema muy parecido al de las válidas. Estas las estudiaremos con los razonamientos firmales válidos. 2. No formales, en los cuales la no validez se debe no a la incorrección o forma sino a otros motivos como inadvertencia, falta de atención...ambigüedad en el lenguaje... A su vez estas falacias no formales se dividen en falacias de atinencia y falacias de ambigüedad. Aristóteles en su obra Refutaciones sofisticas nos habla de trece tipos de falacias. D. H. Fischer nos habla en su libro de 112. A.- Falacias de atinencia " En todas ellas las premisas carecen de atinencia lÓGICA, no son adecuadas, con respecto a su conclusión. O las conclusiones no atañen a las premisas. Estas falacias con frecuencia reciben nombre latino y así se les conoce. 1.- Argumentum ad baculum ( Apelación a la fuerza). Esta falacia se comete cuando se apela a la fuerza o amenaza de fuerza, para provocar la aceptación de una conclusión. Se le recurrir a ella cuando no hay razones. Esta falacia se puede resumir en el dicho: " La fuerza hace derecho". Esta falacia se comete muchas veces en el campo político recurriendo a los votos para tener razón. ...En la segunda guerra mundial Churchill informa en Yalta que el Papa sugería... Y Stalin le contesta: =¿ Y cuantas divisiones dice Ud. que tiene el papa para el combate? 2.- Argumentum ad hominem ( ofensivo). Significa literalmente argumento dirigido contra el hombre, que puede ser de dos maneras contra él o contra lo que le rodea. El ofensivo es cuando en vez de refutar la verdad de lo que se afirma, se ataca al hombre que hace la afirmación, cuando sabemos que el carácter que el carácter personal de un hombre carece de importancia lÓGICA para determinar la verdad o falsedad de lo que dice o corrección o incorrección del razonamiento. Esta falacia se comete c0j frecuencia por valores sociales, culturales ( negros, hippys, gitanos,,) o en derecho " no hay defensa, ataque al abogado del demandante. 3.- Argumentum ad hominem ( circunstancial) .- Corresponde a la relación que existe entre las creencias de una persona y las circunstancias que le rodean. Para probar una verdad recurrir a ciertas circunstancias, por ejemplo la biblia...Ejemplo, cuando se ataca a los

cazadores estos contestas" ¿ Por que se alimenta Ud con la carne de ganado inocente? Otras veces, más frecuentemente, se usa para atacar o rechazar la conclusión. Este argumento se le suele conocer como envenenar la fuente. 4.- Argumentum ad ignorantiam( Argumento por la ignorancia). Se comete esta falacia cuando se sostiene que una proposición es verdadera simplemente solamente sobre la base de que no se ha demostrado su falsedad o que es falsa porque no se ha demostrado su verdad. Esta falacia es frecuente en temas de telepatía extrasensoriales.. 5.- Argumentum ad misericordiam ( llamado a la piedad) Se comete esta falacia cuando se recurre a la piedad para conseguir que se acepte una determinada conclusión. Este falacia se comete con mucha frecuencia en los juicios. 6,- Argumentum ad populum. Se comete al dirigir un llamado emocional al pueblo o a la galería on el fin de de ganar su asentimiento para una conclusión que no está sustentada en pruebas, se busca sobre todo el asentimiento popular para una conclusión despertando las pasiones y el entusiasmo de la multitud. Lo usa el propagandista, demagogo..Los anuncios actuales que unen el producto a algo o alguien que llama la atención, levanta pasiones... 7.- Argumentum ad verecundiam ( apelación a la autoridad) Se comete cuando se recurre al sentimiento de respeto hacia esa autoridad para conseguir así el asentimiento hacia una conclusión. Lógicamente aquí nos referimos el recurrir a una autoridad que está fuera del ámbito de su especialidad. Los anunciadores recurren a esto, poniendo como señuelo a un personaje importante. Para máquinas de afeitar a McEnroe... 9.- Accidente.- Esta falacia consiste en aplicar una regla general a un c aso particular cuyas circunstancias particulares hacen inaplicable esa regla. En esta falacia caen con frecuencia los moralistas, que recurren con frecuencia para solucionar casos a reglas generales. 10.- La causa falsa, causa pro causa,o post hoc, ergo propter hoc.- Consiste en el error de tomar como causa de un efecto ago que no es su causa real, o porque es anterior, lo consideramos como causa de lo que sigue. Se establece una relación causal cuando no existe....bebe agua y se cura el resfriado.. 11.- Petitio principii ( petición de principio). Es cuando alguien toma como premisa de su razonamiento la misma conclusión que pretende probar. O cuando se establecen las mismas proposiciones para las premisas y para la conclusión. 12.- Ignorantia elenchi.( conclusión inatinente) Se comete cuando un razonamiento que se supone dirigido a sacar una conclusión particular es usado para probar una conclusión diferente...Ejemplo razonando que el asesinato es horrible y punible inferir que el acusado es culpable... B.-Falacias de ambigüedad Aparecen en razonamientos en cuya formulación contiene palabras o frases ambiguas, cuyo significado cambia de manera más o menos sutil en el curso del razonamiento y lo hace falso.

1.- Equivoco. Esta falacia surge del simple equivoco o significado de las palabras que tienen más de un significado. Ejemplo" Es fin de un cosa es su perfección; la muerte es el fin de la vida; Por lo tanto, la muerte es una perfección". 2.- Anfibología.- Se argumenta a partir de premisas cuya formulación es ambigua debido a su estructura gramatical. Así según ea su interpretación un enunciado puede ser verdadero o falso... 3.- Énfasis Se comete la del énfasis en un razonamiento cuya naturaleza engañosa y carente de validez depende de de un cambio o una alteración en el significado, dependiendo de las partes en que se recalque...

2.- Las paradojas lógicas

A pesar de las rígidas propiedades que debe cumplir un cálculo para ser «el ideal del lenguaje bien hecho», las cosas no son sencillas y, como dirá Wittgenstein, las trampas del lenguaje son múltiples, de manera que el lenguaje es, a la vez, instrumento y obstáculo para la comunicación. Una característica de los lenguajes naturales es su universalismo; el lenguaje puede expresar cualquier cosa. El precio que paga por ello es su ambigüedad, concretada en la existencia de paradojas lógícas (argumentos irresolubles, contradictorios). La existencia de paradojas es conocida de antiguo: la de Epiménides el cretense, que relatamos a continuación, es un ejemplo. Las aporías (razonamientos «sín agujeros») de Zenón de Elea son otro ejemplo de paradoja que se presenta cuando se confunde el orden lógico (mental) con el orden ontológico (real). Una de las aporías, la de Aquiles «el de los pies ligeros» y la tortuga dice lo siguiente: si en una carrera Aquiles otorga una ventaja de salida a la tortuga, ello le impedirá alcanzarla, pues cuando Aquiles comienza a correr, la tortuga ya ha recorrido un trecho; cuando Aquiles llega a donde la tortuga estaba en el momento en que él empezó a correr, la tortuga estará en un punto más avanzado; cuando Aquiles llega a ese segundo punto, la tortuga estará en un tercer punto. La distancia entre Aquiles y la tortuga es cada vez menor, pero siempre habrá una distancia, por pequeña que sea, entre ellos. Veamos algunas de las paradojas más celebres: 1) La paradoja del barbero de Russell. El alcalde de un pueblo ordena que ningún hombre se afeite a si mismo y que todos sean afeitados por el barbero del pueblo. La paradoja, en forma de dilema, se le presenta al propio barbero. La orden del alcalde le prohibe expresamente afeitarse a sí mismo y a la vez se lo ordena. 2) Cervantes apunta otra paradoja: en el extremo de un puente había una mesa con un juez y una horca a su lado; la orden que tenía el juez era la de interrogar a los caminantes que cruzaban el puente. Si decían la verdad, podían continuar tranquilamente. Si mentían, eran ahorcados. La paradoja estriba en el dilema que se le planteó al juez cuando preguntó a un viandante a dónde iba y este le respondió que iba a ser ahorcado. Si el juez le dejaba

marchar, era evidente que había mentido, y por ello debía ser ahorcado; sin embargo, si le ahorcaba realmente, cometía injusticia manifiesta, pues le ahorcaba por decir la verdad. 3) La más antigua paradoja es la de Epiménides el cretense, quien señala que <,Todos los cretenses son mentirosos,,. Si su afirmación resulta verdadera, entonces es falsa (porque al afirmar él algo verdadero haría falsa la afirmación de que Todos los cretenses son mentirosos»). Por el contrario si Epiménides miente, por la misma razón hace verdadero el enunciado de que los cretenses mienten y haría verdadero un enunciado falso. 4) Hay abundantes paradojas gramaticales. Por ejemplo: ~El adjetivo inglés no es inglés»; «El término bisilabo no es bisílabo», etc. Son dos ejemplos de un caso más general: La paradoja de los adjetivos heterólogos de Grelling. Heterólogo es el adjetivo calificativo que no puede calificarse a sí mismo. Los adjetivos inglés y bisflabo son heterólogos porque no se califican a sí mismos. El adjetivo castellano es autólogo porque se califica a sí mismo, es decir, es castellano; el adjetivo polisflabo es polisílabo. Pero el propio adjetivo heterólogo, ¿es heterólogo, o no lo es? La paradoja consiste en que, si beterólogo es heterólogo, entonces no es heterólogo; y si heterólogo no es heterólogo, entonces es heterólogo. 5) Las paradojas son habituales en el lenguaje corriente. Schiller nos recuerda mucho lo que afirma Unamuno del lenguaje como vehículo y, a la vez, como obstáculo: «Si el alma es la que habla, entonces ya no es el alma la que habla». Mandatos como: «¡Sé espontáneo!», a la vez que ordenan la espontaneidad, por la misma razón la impiden. El cartel que prohibe fijar carteles en una pared es otra contradicción (paradoja). Y qué decir de afirmaciones como estas: «Al subir al autobús, los pasajeros no se deben quedar en la plataforma; deben avanzar hacia atrás,,. <Si sigues siendo violento te voy a dar dos tortas». En nuestro lenguaje corriente, las paradojas se suelen presentar bajo la forma de círculos viciosos; uno muy frecuente es la afirmación de que los jóvenes hoy no encuentran empleo porque no tienen experiencia y no tienen experiencia porque no la adquieren en un empleo. Las paradojas son consecuencia de la universalidad y ambigüedad del lenguaje natural: el lenguaje natural posee la propiedad de ser reflexivo, tiene la propiedad de poder hablar acerca de sí mismo. Por eso, Tarski afirma que el lenguaje en el que se dice que algo es verdadero no puede ser del mismo orden o nivel que el lenguaje del cual se dice que es verdadero, sino de orden inmediatamente superior. Esto nos lleva a hablar de los distintos niveles del lenguaje: nivel cero o nivel objeto, nivel 1, 2, 3... 6.- Clases de lógica -Bacon: lógica antigua y moderna

- Clásica: deductiva e inductiva - Actual: Lógica proposicional, lógica de clases y lógica cuantificacional I.- LOGIA PROPOSICIONAL: ESTRUCTURA O CALCULO PROPOSICIONAL 1.- ELEMENTOS: A) proposiciones - Atómicas : simple sin poder descomponerse - moleculares compleja o con constantes: - Variables ( lo que se relaciona entre sí): Alfabeto - Constantes Los modos de relacionarse las variable B) Reglas de formación de expresiones( proposiciones) 1,.-Reducirlo a expresiones lo más simple posibles. 2.- Captar el sentido en el lenguaje natural, lo más fiel posible 3.-Los casos no claros por ambigüedad hay que interpretarlos. 4.- Los juntores deben ir entre las proposiciones, menos el negador que va delante. CALCULO =un lenguaje formal con sus reglas I.- Vocabulario artificial Está compuesto por los elementos del lenguaje formal: A) Variables proposicionales; p,q,r,m,n,s...que simbolizan o representan a cualquier proposición B)Constantes, conectores, que son operadores que representan el easquema de una función, que de relaciones saca relaciones. Los conectores más comunes de la lógica proposiconal son 5: Negador, conjuntor, disyuntor, condicional, bicondicional. Estos juntores son semánticas y por ese motivo los vamos a definir desde sus valores veritativos. 1.- Negador: Símbolo: - Equivale a la negación: no, no es el caso Definición: Es aquel conector que convierte a un enunciado falso en verdadero y a un enunciado verdadero en falso Tabla de verdad: p -p 1 0 0 1

El negador se puede aplicar a una proposición atómica o a una molecular, aunque él no une proposiciones distintas, si hace de la atómica molecular. 2.- Conjunción: Símbolo:/!, .Equivale a la copulativa y, pero, sin embargo, aunque,.. Definición: El conjuntor es aquel conector que da lugar a una proposición compleja (p . q) que es verdadero solamente en el caso de que las proposiciones que lo integran sean verdaderas y es falsa en los otros tres casos. Tabla de verdad: p . p p q p . q --------------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Por lo tanto, la tabla de verdad de la conjunción es igual a la multiplicación, sólo es verdadero cuando ambas son verdaderas. 3.- Disyuntor; Símbolo v; Equivale a O ,, puede ser inclusiva o exclusiva( sean posibles o no ambos casos a la vez) Aquí tratamos la inclusiva. Definición: Aquel conector que da lugar a una proposición molecular o biargumental (p v q) que es verdadera cuando uno de los dos enunciados que lo forman o ambos es verdadera o falso cuando ambos lo son. Tabla de verdad: p v q p q p v q --------------------------------- 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Este conjuntor se suele decir que equivale a la suma. 4.- Condicional. Símbolo ---- equivale: si ...... entonces. Llamamos antecedente lo que va delante del entonces o símbolo y consiguiente o consecuente lo que va detrás. Definición. - Aquel conector que da lugar a una proposición compleja o molecular que es verdadero siempre que no se de el caso de que el antecedente es verdadero y el consiguiente es falso. O es falso si el antecedente es verdadero y el consiguiente es falso. Tabla de verdad:

p---- q p q p ---- q --------------------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 En castellano esta definición es extraña, pero recordemos que en lógica no interesa la interpretación del lenguaje, y por lo tanto no es necesario que existe relación entre antecedente y consiguiente (independencia de las significaciones y de la causalidad, para la ciencia actual). 5.- Bicondicional. Símbolo ------ Equivale a Si y solo si, equivale. ( Razón suficiente y necesaria) Define: Es aquel conector que da lugar a una proposición molecular que es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad y falsa cuando uno de sus componen es verdadero y el otro es falso. Tablas de verdad: p----q p q p ---- q --------------------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3.- Símbolos auxiliares: corchetes y paréntesis La función que tienen este símbolos es indicar: a)cómo están agrupados los componentes de un a formula b) Cuál es el conector principal o más fuerte en una formula o conjunto de formulas. Reglas: 1) ----- Es dominante en cualquier fórmula ( Coimplicador) 2) ---- Es dominante con . v ( Implicador) 3) . v Tienen la misma fuerza. 4) - Puede dominar a todos los demás conectores. En muchos casos, teniendo en cuenta estas reglas no es necesario el uso de corchetes o paréntesis, pero en otros es necesario para señalar el orden o fuerza de los argumentos. Seguiremos estas normas: 1.- Un argumento de una constante diádica debe colocarse entre paréntesis 2.- Los corchetes serán más fuertes que los paréntesis redondos. C.- Reglas de formación de expresiones

1.- Una variable p,q,m,n,r,s, es una formula bien formada. 2.- Si a cualquiera de nuestras variables anteriores anteponemos el negador tenemos una expresión bien formada, p . -p. Si a un conjunto de variables en una formula bien formada anteponemos el prefijo monádico es también una f.b.f. 3.- Una expresión formada por un juntor diádico colocado entre dos expresiones bien formadas es también una f.b.f. 4.- Ninguna serie de símbolos que se aparte de estas normas es una expresión bien formada. Con esto tenemos la sintaxis de nuestras expresiones para el calculo. 5.- Otros conceptos importantes.- Antes de entrar en la aplicación y descripción de los distintos métodos o reglas de transformación vamos a aclarar algunos conceptos que son necesarios en lógica y que pueden haber salido en nuestras explicaciones. 1.- Los valores de verdad se pueden aplicar a cualquier fórmula, siguiendo las siguientes normas: 1.- Se asignan valores de verdad a las variables proposicionales que aparezcan en tal fórmula. 2.- Se resuelve las fórmulas cuyas conectivas es menos dominante. 3.- se resuelve la formula compleja , es decir, aquella que depende del conector dominante 2.- Normas de valoración. Para asignar los valores sobre todo si es una formula muy compleja, con varios argumentos y no perdernos en las posibles combinaciones podemos tener en cuenta las siguientes normas practicas: 1) Hay tantas combinaciones como elevar el numero de valores a la potencia del número de variables. 2)Comenzando por la derecha, se convina 101010, en la siguiente el do ble:1101100; el la siguiente el doble 1111000011110000: 111111110000000011111111000000000, etc. 2.- Tautologia , contradicción e indeterminación - Si aplicamos lo valores de verdad a una formula cualquiera, su valor total ( numero matricial) nos da siempre verdadero independientemente de los valores que se haya dado a las variables proposicionales es una tautología. - Contradicción es una formala que siempre es falsa sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. - Indeterminada es una formala que puede ser verdadera o falsa, según que valores de verdad correspondan a las proposiciones que lo integran.

3.- Hemos hablado de los conceptos Regla, ley y esquema de inferencia sin definirlos. 1.- Regla.- Es una información que nos indica como se puede operar para pasar de unas preposiciones a otros en una deducción de manera siempre válida y por este motivo siempre se formula en lenguaje ordinario o no formal. 2,. Esquema, es la misma regla expresada en lenguaje formal. Es la regla puesta de tal modo que en ella se reflejen las premisas y la conclusión, separadas aquellas de esta por una linea horizontal. 3.- Ley es la expresión de un esquema en forma condicional, siendo siempre una tautología. Al expresar la regla y su esquema correspondiente en forma de ley tendremos una fórmula condicional, que es una tautología. II.- REGLAS DE TRANSFORMACIÓN ( Métodos) Son las que permiten la validez de los razonamiento, permitiendo pasar de unas formulas bien formadas a otras bien formadas. Son los distintos métodos de la lógica. CLASES 1.- Decisorios : - Tablas veritativas - Diagramación de valores - Formas normales o canónicas. -Tablas semánticas. - Arboles lógicos - Contra ejemplo .. - .... 2.- Deductivos - Deducción natural: - Regla de premisa - Regla de Tautología - Regla prueba condicional - Regla de prueba indirecta - Método axiomático I.- MÉTODOS DECISORIOS 1.- UTILIZACIÓN DE LAS TABLAS DE VERDAD PARA LA COMPROBACIÓN DE LA VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS. 1.- Elementos:- Variables, constantes y reglas de la lógica proposiconal 2.-Reglas : 1.- Conversión de un razonamiento en una fórmula condicional. - Se toman las premisas - Se forma con ellas una conjunción. - Se forma la condicional: - Antecedente: la conjunción de las premisas. - Consiguiente :la conclusión del razonamiento.

2.- Comprobación de la validez de un razonamiento mediante las tablas de verdad en la formula condicional. - Se asignan valores de verdad a las variables proposicionales que aparezcan en la fórmula. - Se resuelven las fórmulas cuya conectiva es menos dominante. - Se resuelve la fórmula completa, es decir, aquella que depende del conector dominante. Atención.- Cada cual es libre de colocar estos valores en el orden que quiera, a condición que ni se repitan, ni se omitan ninguna de las combinaciones posibles. Para evitarlo aconsejamos: 1.- Comience asignando valores de verdad a la variable de la última columna alternando unos y ceros hasta el total correspondiente 2n.( Dos valores elevado al número de variables) 2.- Asignese a continuación valores de verdad a la variable de la columna precedente, alternando dos unos dos y ceros. 3.- Continúese así dando los valores a las variables precedentes, 4 unos 4 ceros; 8 unos y 8 ceros; 16 unos y 16 ceros... 3- Objetivo: Si es una tautología, es valido. Un razonamiento es válido cuando de premisas verdaderas no se deduce conclusión falsa. . 2.- DIAGRAMACION DE VALORES Este método viene a ser un método resumido del anterior. Cuando son varias las variables se convierte el método anterior en muy engorroso y complicado y a partir de él y de la defini-ción de inferencia surge este nuevo método más sencillo y práctico. Decíamos que en una inferencia correcta es imposible tener premisas verdaderas y conclusión falsa. 1.- Elementos: 2.- Reglas 1.- Considerar la expresión como un razonamiento o inferencia (ley) 2.- Si en algún valor posible de sus variables podemos sin contradecirnos hacer verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión entonces ni las premisas son verdaderas ni el razonamiento es correcto. Si, por el contrario contradecimos los valores propuestos arbitrariamente, entonces el argumento es correcto y la proposición verdadera. Normas prácticas: - Damos valor cero a la conclusión - Pasamos estos valores a las demás variables - Miramos en todos los casos posibles si se da la contradicción. 3:- Objetivo.- Si llegamos a una contradicción es correcto.

3.- FORMAS CANÓNICAS. Las formas canónicas o normales constituyen otro procedimiento de decisión para el calculo de proposiciones. Dada una formula cualquiera del calculo de proposiciones , es posi-ble obtener a partir de ella, mediante una serie de reglas de transformación , otra fórmula que es equivalente y que está en forma normal. Este método es muy parecido al usado en matemáticas en la fórmula de ecuaciones de segundo grado. La ha usado Boole, Schröder, Peirce,Hilbert, Ackerman y es la base en el sistema de Piaget de reducir todos los juntores a : -, v, . , 1.- Definición Decimos que una formula se encuentra en forma normal , si los únicos Juntores que en ella aparecen son . el negador, conjuntor y disyuntor. Y el negador solo debe estar aplicado a una proposición atómica. Permiten decidir rápidamente si una expresión es una ley lógica. 2.- Clase Se suelen distinguir dos clases : - Una conjunción de disyuntivas, donde el factor principal es la conjunción - Forma formula disyuntiva, que es la disyunción de conjunciones, siendo el juntor principal la disyunción. 1.- Forma normal conjuntiva(FNC). Un enunciado está en forma normal conjuntiva cuando, ademas de los variables, contiene solamente símbolos de conjunción, disyunción y negador. Los símbolos de negador o disyunción se aplican solo a una variable atómica. (p v q) . (p v - q). ( -p v q) . (.p v -q) 2.- Forma normal disyuntiva (FND) Una expresión está en forma normal disyuntiva si tiene la forma de una disyunción de conjunciones, conjunciones cuyos argumentos son simples variables o negaciones de las simples variables atómicas. (-p . q) v (q . p) 1.- Elementos o vocabulario: 2.- Reglas para obtener las formas normales. 1.- Redacción de juntores -Hay que intentar definir los juntores en términos de -.v,. teniendo en cuenta las siguientes leyes: Def. de Equivalencia: p----- q =( p--- q) . ( q--- p ) Def. de Implicación: p --- q = -p v q Def. de Implicación: p --- q = -( p . -q)

2.- Interiorización del negador El negador debe quedar adosado a las variables atómicas y por ese motivo hay que aplicarlo a ellas y quitarlo cuando afecta a una proposición molecular, siguiendo las leyes de Morgan o definición y equivalencia entre v,. -(p v q) = -p . -q -(p . q) = -p v -q 3.- Simplificación Las formulas que se van obteniendo mediante la aplicación de las reglas de trasformación indicadas conviene simplificarlas allí donde se puede, aplicando las reglas de la doble negación, asociación o conmutativa. Se pueden aplicar cuantas veces sea necesaria. Doble negación: --p = p Conmutativa - Conjuntiva: p . q =q . p - Disyuntiva: pvq = qvp Asociativa -Conjuntiva: (p . q) . r = p . (q . r) -Disyuntiva: (p v q) v r = p v (q v r) 4.-Exteriorización del conjuntor o disyuntor Consiste en sacar fuera del paréntesis el conjuntor si se desea sacar una forma normal conjuntiva, o el disyuntor si se desea sacar una forma normal disyuntiva. a) Para exteriorizar el conjuntor se usa la ley distributiva siguiente: p v (q . r)= (p v q) . ( p v r)

(p . q)v r = (p v r) . (q v r) b) Para exteriorizar el disyuntor empleamos las leyes distributivas siguientes: p . (q v r ) = (p . q) v (p . r) (p v q) . r= (p . r) v (q . r) 3.- Objetivo Decidir si una expresión es un ley lógica 4.- OTROS MÉTODOS Existen otros métodos de decisión, que pudríamos considerarlos más complejos y ese año no los desarrollaremos como: Método de las tablas semántico, las tablas analíticas, los árboles lógicos, que quizá se puedan reducir al método del contra ejemplo, que consiste en buscan una proposición falsa que tenga la misma forma que la verdadera. Leyes de la lógica de enunciados 1. – p - -> p. Se la conoce con el nombre de `Ley de Doble Negación`. 2. p ^ q) --- p . Simplificación

3. p --- (p v q) * , Suma

4. (p --- q ) ---- ( -q --- -p1.

Ley de contraposición (del condicional) 93

5. (p. A q) - ---- ( q ^ p) Ley de conmutatividad de la conjunción.

6. (p v q) --- ( q v p) Ley de conmutatividad de la disyunción.

7. (p - -- q) - -- (q--- - p) Ley de conmutatividad del bicondicional97.

8. / (p ^q) ^r / ----- / p ^ ( q ^ r) Ley de asociatividad de la conjunción.

9. [(p ^ q) v r] ^--- [p

v (q v r)]

Ley de asociatividad de la disyunción. 10. [(p-- - q ) - --- r] ---- / p --- ( q ---- r) / Ley de asociatividad del bicondicional

11. [p A (q v r)] - --- [(p ^ q) v (p ^ r)].

Ley de distributividad de la conjunción por la disyunción.

12. [p v (q A r)] - [(p v q) n (p v r)] Ley de distributividad de la disyunción por la conjunción.

13. [p --- (q ^r) - --- [(p -- --- q) A (p ---- r)] -

Ley de distributividad del condicional por la conjunción. 14. [p----- (q v r)] ----- [(p ---- q) v (p ---- r)] Ley de distributividad del condicional por la disyunción.

15. / ( p --- q )--- (q --- - r)] ----- [(p ---- r)]

Ley de transitividad del condicional.

16. [(p ......H q) A q---- - r)] ----- p ----r] Ley de transitividad del bicondiconal. 17. [(p

A q) ---- r] ---- [p ---- (q --- r)]. Ley de exportación loa 18. [(p v q) A (p ---- r) A (q ---- r)]---- r . Ley del dilema constructivo9 19. [(p v q) n (p --- r) A (q --> s)] -~-- (r v s) . Segunda ley del dilema constructivo.

20. [(- p v - q) A (r --- p) ̂ (s ---- q)] --- (- r v - s). Ley del dilema destructivo.

21. (-_ p --- p ) ---- p Ley de Clavius. 22. --l (p ^ q)--- (- p v - q) Ley de De Morgan

23. - (p v q) -----. (-i p A --i q) Segunda ley de De Morgan.

24. [(p v q) ^ - p ] ---- q. Ley de inferencia de la alternativa"'.

25. [(p v q) ^ q] - p. Segunda ley de inferencia de la alternativaiis

26. [(p --- q) ^ p] ---- q. Modus ponenss

27) / ( p --- q) ̂- q/ ---- -p

Modus tollens

'7 A esta ley se la conoce con el nombre que le dieron los lógicos medievales. `Modus tollendo tollens' quiere decir: aquel modo de razonar, aquella forma de inferencia que, afirmando que se da una relación condicional, y negando (tollendo) que se dé lo enunciado por el consecuente, deduce como falso y niega (tollens) lo enunciado por el antecedente. También aquí, como en el caso anterior, está clara la razón por la que el esquema es válido.

Leyes de la lógica de enunciados 1. – p --> p. Se la conoce con el nombre de `Ley de Doble Negación`. 2.p ^ q) --- p . Simplificación

3. p --- (p v q) * , Suma

4. (p--- q ) ---- ( -q --- -p1.

Ley de contraposición (del condicional) 93

5. (p. A q) ----- ( q ^ p) Ley de conmutatividad de la conjunción.

6. (p v q) --- ( q v p) Ley de conmutatividad de la disyunción.

7. (p --- q) --- (q---- p) Ley de conmutatividad del bicondicional97.

8. / (p ^q) ^r / ----- / p ^ ( q ^ r) Ley de asociatividad de la conjunción.

9. [(p ^ q) v r] ^--- [p

v (q v r)]

Ley de asociatividad de la disyunción. 10. [(p--- q ) ---- r] ---- / p --- ( q ---- r) / Ley de asociatividad del bicondicional

11. [p A (q v r)] ---- [(p ^ q) v (p ^ r)].

Ley de distributividad de la conjunción por la disyunción.

12. [p v (q A r)] - [(p v q) n (p v r)] Ley de distributividad de la disyunción por la conjunción.

13. [p --- (q ^r) ---- [(p ----- q) A (p ---- r)] -

Ley de distributividad del condicional por la conjunción. 14. [p----- (q v r)] ----- [(p ---- q) v (p ---- r)] Ley de distributividad del condicional por la disyunción.

15. / ( p --- q )--- (q --- - r)] ----- [(p ---- r)]

Ley de transitividad del condicional.

16. [(p ......H q) A q---- - r)] ----- p ----r] Ley de transitividad del bicondiconal. 17. [(p

A q) ---- r] ---- [p ---- (q ---~ r)]. Ley de exportación loa 18. [(p v q) A (p ---- r) A (q ----r)]---- r . Ley del dilema constructivo9 19. [(p v q) n (p --- r) A (q --> s)] -~-- (r v s) . Segunda ley del dilema constructivo.

20. [(- p v - q) A (r --- p) ̂ (s ---- q)] ----- (- r v - s). Ley del dilema destructivo.

21. (-_ p --- p ) ---- p Ley de Clavius. 22. --l (p ^ q)--- (- p v - q) Ley de De Morgan

23. - (p v q) -----. (-i p A --i q) Segunda ley de De Morgan.

24. [(p v q) ^ - p ] ---- q. Ley de inferencia de la alternativa"'.

25. [(p v q) ^ q] - p. Segunda ley de inferencia de la alternativaiis

26. [(p --- q) ^ p] ---- q. Modus ponenss

27) / ( p --- q) ̂- q/ ---- -p

Modus tollens

'

II.-METODOS DEDUCTIVOS 1.- MÉTODO DE DEDUCCIÓN NATURAL Como es natural estamos aquí presuponiendo la lógica deductiva, que muchos autores la identifican con el razonamiento. Nosotros consideramos que razonamientos pueden existen como ya reconoció Aristóteles. inductivos y deductivos. . 1.- DEDUCCIÓN HIPOTÉTICA Este método corresponde con el método de deducción natural desarrollado por Gentzen. Es un razonamiento a partir de una suposición , que da como resultado una conclusión de la que cabe afirmar: " esto es verdadero bajo tal suposición".

El mismo Gentzen dice que se llama de deducción natural porque es muy similar a la forma en que se desarrolla el razonamiento natural. Este método nos suministra un instrumental eficiente para buscar las pruebas de validez de un razonamiento, deduciendo la conclusión de las premisas, mediante una sucesión de razonamientos elementales, cada uno de los cuales es correcto. En estos procedimientos deductivos derivados ciertos enunciados de otros de una manera puramente formal, esto es, solamente en virtud de la forma de dichos enunciados. El punto de partida es lo que llamamos premisas y mediante reglas iremos recorriendo el camino en diversas etapas controladas hasta llegar al último enunciado derivado que es la conclusión. Esa derivación debe de estar construida siguiendo unas leyes de inferencia, que permitieran la justificación de los pasos que se dan hasta llegar a la conclusión. 1.- Elementos 2.- Reglas de TRANSFORMACIÓN 1.- Regla de introducción de premisa o de presupuestos:( RP) En cualquier etapa de una derivación se puede introducir una premisa cualquiera. Esto porque en lógica interesa la deducción correcta y no la verdad o falsedad. Y para ello debemos tener en cuenta que si introducimos una premisa la conclusión es a partir de todos los presupuestos y no sólo de los antiguos. 2.Regla de tautología (RT) En cualquier etapa de una derivación podemos introducir un enunciado con tal que esté tautológicamente implicado en el conjunto de enunciados anteriores Esta regla permite utilizar las leyes o tautologías como reglas de inferencias y tantas veces como se juzgue necesarias o convenientes. Estas dos reglas tienen distintos nombres según los autores, nosotros podemos decir que son una derivación de las reglas dadas por los creadores del método de deducción natural Gentsen en 1934 y Jaskowski, que se resumen en reglas de introducción y eliminación de los conjuntores. Dados en hoja al margen. p --- q, q --- m, p /---- m 3.- Regla de la prueba condicional ( PC). " Si podemos derivar el enunciado E de R y un conjunto de premisas, entonces podemos derivar R --- E del conjunto de premisas solamente. La justificación de esta Regla fue realizada por Tarski, en su forma de Teorema de Deducción trabajosamente. Esta regla se usa solamente cuando se busca una conclusión condicional. En este caso autoriza a

utilizar como premisa adicional el antecedente de la conclusión; con su ayuda se llega al consiguiente de la conclusión, derivada por RT. Una vez obtenido el consiguiente, con la ayuda del del antecedente como premisa nueva , estamos autorizados a afirmar que el antecedente implica el consiguiente. Ejemplo :/ A --- (D v C), B --- - A, D ... . C/ A--- -D 4.- Regla de la prueba indirecta o reducción al absurdo (RI, Si se puede derivar Una contradicción de un conjunto de premisas y de la negación de la conclusión , entonces del conjunto de premisas solamente se puede inferir la misma conclusión. La estrategia de esta regla consiste , por tanto en tomar como premisa la contradictoria de la conclusión buscada y añadirla como premisa adicional. De las premisas dadas y de la adicional se interesa derivar una contradicción. A partir de ahí esta regla nos permite o autoriza a tener como demostrada , a partir solamente de las premisas primitivas,, la conclusión. La justificación de esta regla se hace a partir de la importación exportación: (P.-C)--- C/ ----P ----( -C ---- C = P --- (--C v C) = P --- (C v C) = P --- C 5.- Regla de la inconsistencia de premisas.-Es intentar llegar a una contradicción en las premisas. De esta manera se anula el razonamiento porque prueban demasiado. Este es el sistema o estrategia de interrogación de los testigos en los procesos donde se intenta llegar a afirmaciones incompatibles en la verdad Dos enunciados inconsistentes no pueden ser al mismo tiempo verdaderos. 3.- Objetivo o fin: Llegar a la conclusión usando correctamente todas las leyes y todas las premisas 2.- NORMAS PRACTICAS PARA REALIZAR UNA DEDUCCIÓN NATURAL 1.- Si el enunciado se nos da en lenguaje ordinario, Se debe formalizar asignando una variable proposicional a cada oración, simple, proposición atómica del lenguaje natural, teniendo en cuenta que si sale dos o tres o las veces que se quiera la misma oración o enunciado siempre llevará la misma variable.

2.- Se ponen en forma de esquema las premisas enumerándolas. La conclusión a la que queremos llegar se coloca a la derecha en lugar visible. 3.- Debemos tener muy en cuenta qué reglas vamos a aplicar ( RI, RT, RC...) 4.- Ver las leyes de inferencia, que hay en las premisas, intentando relacionar aquellas premisas en las que se repite los enunciados o variables proposicionales. 5.- Aplicar las leyes cuantas veces sea necesarias para aplicarlas a todas las premisas ( jugar con todas las premisas( fichas), para llegar a la confusión). Sólo será conclusión de esas premisas si hemos usado en la deducción todas las premisas. Ejemplo de razonamiento en lenguaje natural: Hoy es domingo y estamos alegres. Si hoy es domingo entonces iremos a bailar. Si estamos alegres entonces lo pasaremos muy bien. Luego, iremos a bailar y lo pasaremos muy bien. Pasos a seguir: 1.- Formalizar el argumento a)Se asigna una variable proposicional a cada oración simple del lenguaje natural, teniendo en cuenta a que si sale dos o más veces la misma oración , llevará la misma variable. Así convenimos: p significa a " hoy es domingo" q significa a " eramos alegres" r significa a " iremos a bailar" t significa a " lo pasaremos muy bien" B) Una vez asignadas variables proposicionales a cada una de las oraciones, se componen las premisas y la conclusión, con los juntores, enumerando aquellas. El resultado es el siguiente: 1) p . q ( Hoy es domingo y estamos alegres) 2) p --- r (Si oy es domingo entonces iremos a bailar) 3) q ---r (Si estamos alegres entonces lo pasaremos muy bien) -------------- :. r . t (Luego iremos a bailar y lo pasaremos muy bien) 2.- Una vez formulado, comprobaremos si tal razonamiento es válido. Para ello apliquemos las reglas de

transformación. Fijémonos cuales de ellas y sus leyes se pueden aplicar. a) La primera premisa es p . q o sea una conjunción. Conocemos la regla de E. o la ley de la simplificación y nos quedaría: p . q p . q --------- ------- :- p :. q Estas conclusiones parciales p, q se incorporan como lineas de derivación a la deducción , la cal queda así: 1) p . q 2) p --- r 3) q --- a --- 4) p S. 1 5) q S. 1 b) Debemos mirar dónde están repetidas las proposiciones o variables proposicionales y ver que relación existe entre ellas. La premisa 2) es una condicional p --- q y la linea 4) resulta ser una proposición atómica p que resulta ser el antecedente de la condicional. Podemos recordar la Regla de E --- o Modus ponens. Si lo aplicamos nos queda : 2) p --- q 4) p -------- :. q Pasamos la conclusión parcial r a incorporarla como linea de derivación y la deducción queda así: 1) p . q 2) p --- r 3) q --- s ---- 4) p S. 1 5) q S.1 6) r MP 2,4 c) Igualmente que la anterior, vemos que la linea 3 y la 5 forman una regla o ley del Modus ponens: 3) q --- s 5) q ---- :.s Si lo incorporamos a la deducción tenemos : 1) p . q 2 p --- r 3) q --- s ---- 4) p S1

5) q S1 6) r MP 2,4 7) s MP 3,5 e) Ya hemos jugado o usado todas las premisas , por lo tanto la conclusión se deriva de esas premisas, pero nos pide la conclusión r . s, y estas aparecen como formas atómicas en la linea 6 y 7, y conocemos la regla de introducción de . o ley de la conjunción, por la cual podemos unirlas y quedaría: 6) r 7) s ----- :. r . s Si pasamos ya todos los pasos el esquema de la deducción quedaría así: 1) p . q 2) p --- r 3) q --- s --- 4) p S 1 5) q S 1 6) r MP 2,4 7) s MP 3,5 8) r . s Con. 6,7 Hemos aplicado las reglas y leyes correctamente , viendo que cada paso es una tautología, por lo tanto el razonamiento es válido. 2 - EL MÉTODO AXIOMÁTICO El sistema axiomático es la forma más perfecta y rigurosa de presentar la derivación. En matemáticas se considera el paradigma de sistematización, claridad y certeza. En este supuesto se apoyaron Frege y Peano, quienes a finales del siglo pasado comenzaron a incorporar el método axiomático a la lógica, convirtiéndose con Hilbert. bajo la formalización, en el instrumento fundamental y único de la racionalidad científica ( Julian Velarde, p. 179) Un sistema axiomático consta de un lenguaje bien preciso en el que hemos de expresarnos y dentro de él se establecen los elementos primitivos o axiomas y los elementos derivados o teoremas. Para pasar de los axiomas a los teoremas tenemos las reglas de inferencia. Hay diferentes sistemas axiomatizo, pero todos constan de los elementos primitivos y derivados. La axiomática ordena en un todo esos elementos.

Un ejemplo clásico es la Geometría de Euclides donde partiendo de unos elementos primitivos ( nociones comunes, definiciones, axiomas ) se demuestran los teoremas. La formalización alcanza su perfección dentro de la axiomática , aunque hay varios grados, constituye el último estadio de los sistemas formales ( García Bacca). Para la teoría tradicional los axiomas es una proposición analítica y los postulados es na proposición sintética. Los axiomas se imponen por sí mismos a la razón. os postulados se presentan como verdades indemostrables. Los axiomas son enunciados no demostrados, que sirven como punto de partida y fundamento para la derivación del resto de los enunciados del sistema. Los teoremas son enunciados derivados. DIFERENTES SISTEMAS AXIOMÁTICOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Son muchos los sistemas axiomáticos. Podemos enumerar entre ellos: Sistemas de Lukasiewicz, de Tarsli- Bernays, de Hilbert- Bernays, de Frege, de Russell, Church... Debemos a Frege la primera axiomatización totalmente formalizada de la lógica elemental. En su Ideografía (1879) aparece por primera vez y de forma prácticamente perfecta la lógica de proposiciones como sistema deductivo de forma axiomática. Nosotros desarrollaremos como ejemplo el más clásico de todos el de Russell - Witehead, desarrollado en su PM. como modelo de todo sistema axiomático. SISTEMA AXIOMÁTICO DE PM. I.- Elementos. Sintaxis del formalismo. Gramática 1.- Variables proposicionales: p.q.m.n.r. Cuando la misma variable se repite, se entiende que representa el mismo objeto. 2.- Dos constantes o juntores: "-" operador inicial o monádico y "v" infijo o constante diádica. 3.-Reglas de formación de expresiones: 1.- Una variable p.q.r.m.n. es una expresión bien formada. 2.- Si cualquiera de nuestras variables anteriores anteponemos el prefijo monádico tenemos una expresión bien formada. Si a un conjunto de variables en una expresión bien formada anteponemos el prefijo monádico es una expresión bien formada.

3.- Una expresión formada por un Juntor diádico colocado entre dos expresiones bien formadas es , también una expresión bien formada. 4.- Ninguna serie de símbolos que se aparte de estas normas es una expresión bien formada. 5.- Símbolos auxiliares: - El argumento de una constante diádica debe colocarse entre paréntesis. - Los corchetes serán más fuertes que los paréntesis redondos. 4.- Definiciones sintácticas: 1.- DEf.1. p. q= -(p v -q) 2.- Def.2. p --- q = -p v q 3.- Def. 3. p ----- q = ( p --- q) . ( q--- p) 5..- EXPRESIONES VALIDAS DE NUESTRO SISTEMA 1.- Axiomas: 1.- ( pvq) --- p Principio de tautología 2.- q--- (pvq) Principio de adición 3.- ( pvq) ---- (qvp) Principio de permutación 4.- pv(qvr) --- qv(pvr) Principio de asociación 5.- ( q---r)--- /(pvq)--- (pvr) /Principio de suma 2.- Teoremas. Que son todas las expresiones derivadas de nuestro sistemas a partir de los axiomas. II- REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES Estas reglas han de determinar con toda precisión cómo a partir de los axiomas, podemos obtener teoremas. Sólo se refieren a las expresiones sintácticas. Nos dicen cómo hemos de transformar los símbolos a partir de los axiomas. 1.- Regla de sustitución múltiple ( RSM): Si en una expresión valida de nuestro sistema ( axioma o teorema) se sustituyen simultáneamente todas las menciones de una misma variable por una misma expresión bien formada, se obtiene una nueva expresión válida, es decir, un teorema. 2.- Regla de sustitución por vía de definición ( RSD): Si en una expresión válida de nuestro sistema sustituimos cualquier miembro por su equivalente , sea en una mención , en varias o en todas, , obtenemos una nueva expresión igualmente válida, es decir, un teorema. 3.- Regla de separación (RS): Si el sistema admite como valida una expresión de la forma p --- q y otra expresión p ( igual al antecedente de la implicación) entonces el sistema admite como válida , la expresión q, es decir, el consiguiente de dicha implicación válida.

III.- Fin u objetivo: Teorema IV.- CONDICIONES O PROPIEDADES DE TODO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO 1.- Coherencia o consistencia.- Un sistema es coherente si no da lugar a contradicciones internas. Por ejemplo si un sistema permite derivar p u -p, tal sistema no es coherente. 2.- Los axiomas deben ser independientes. Lo son cuando ninguno de ellos puede derivarse de los otros. Esto es impuesto por la noción misma de axioma. 3.- Decibilidad Un sistema posee la posibilidad de decisión cuando permite determinar si cualquier formula es decible o no dentro del sistema. 4.- Completud. Un sistema es completo si tiene los medios suficientes para derivar todos los enunciados válidos que se pueden formar en ese lenguaje. Ejemplo : Sea demostrar ( p --- -p) --- -p Teorema 2.1 de PM 1) (p v p ) --- p Ax. 1 2) (-p v - p) --- -p RSM sustituyendo -p donde está p 3) ( p --- -p) --- -p RSD en el antecedente. Ejemplo : Teorema 2.05 de PM (q --- r) --- /( p --- q) --- ( p --- r)/ 1) (q --- r) --- / (p v q) --- p v r) / Ax. 5 2) ( q --- r) --- / ( -p v q) --- -p v r)/ RSM -p/ p 3) ( q--- r) --- / ( p --- q) --- p --- r)/ RSD de ---

LÓGICA DE PREDICADOS MONÁDICOS La base de la lógica cuantificacional o de predicados está en la estructura de la proposición. Se debe analizar la proposición para ver su estructura interna, ya que de ella depende la validez de los razonamientos: La relación que existe entre el sujeto y el predicado. 1.- Descripción de elementos.- 1.- Los elementos y reglas de la lógica proposicional. 2.- Los individuos representados por x,y,z,( en general) y a,b,c,. (En concreto.) 3.- Las propiedades representadas o predicados: P,Q,A,S... 4- Cuantificadores: Generalizador o universal ( ) y particularizador ( V ) 2. REGLAS DE FORMACIÓN “Todos los hombres son mortales” - ( x) Hx ---- Mx Para

cualquier individuo que es hombre, este cualquier individuo es mortal

Ningún hombre es mortal ( x) Hx ---- - Mx dado cualquier individuo que es hombre y no es mortal

Existe algún hombre mortal (Vx) Hx . Mx. Existe al menos un individuo que es hombre y es mortal. Existe algún hombre que no es mortal (Vx) Hx . Mx Existe al menos u individuo que es hombre y no es mortal. 2.- Reglas de transformación o métodos 1.- Métodos de tablas de verdad Sólo se puede aplicar para un universo finito y de un individuo o dos. Su resultado es más de invalidez que de validez, porque en un caso sea cierto o en dos, no justifica que sea válido, pero si al contrario, si en un caso es falso, es inválido el razonamiento. Para pasar una proposición universal en individual o particular en individual igualmente hay que recordar, que la Universal es la conjunción de individuos y la particular es la disyunción de individuos. ( x) Mx ---- Rx . (Vx) Mx . Sx ---- (Vx) Sx . Rx Para un universo de dos individuos quedaría /(Mx ---- Rx) . (Mx ----- Rx)/./ (Mx . Sx) v ( Mx .Sx)/ ------ /( Sx . Rs) v (Sx . Rx)/

2.- Método de diagramación de valores Igual que en la lógica proposicional, pero aquí con valor de invalidez al poder ser sólo para el universo de un individuo. 3.- MÉTODO DE DEDUCCIÓN NATURAL Las Reglas y leyes son las mismas o muy parecidas a las de la lógica proposicional. Lo que se deber añadir es que para poder aplicarlas hay que eliminar antes los universalizadores y particularizadores, que suelen tener alguna restricción para evitar errores, como : no se puede introducir ni eliminar el universalizador si existen variables libres. Ni Introducir el universaizador, si se viene de eliminación de un particularizador. Ejemplo: “ Los hoteles son caros y deprimentes. Algunos hoteles son sórdidos. Luego , algunos hoteles sórdidos” 1) ( x) Hx — ( Cx . Dx) 2) ( Vx) Hx . Sx) :. (Vx) Cx Sx 4) Hx — Cx . Dx 5) Hx . Sx 6) Hx 7) Cx . Dx 8)Cx 9)Cx . Sx 10)(Vx) Cx . Sx 3.- Objetivos o finalidad.- Demostrar la validez de los razonamientos.

LÓGICA DE CLASES Es una interpretación extensional de la lógica de predicados. Es la base de la matemática de conjuntos. La clase es el conjunto de individuos o cosas que poseen una propiedad común . Aquí los individuos pertenecen a una clase “ existe una propiedad que caracte4riza a los individuos de tal clase.... Por ese motivo se analiza y relacionan las clases entre sí y relaciones entre individuos y clases. 1.-Descripción de los elementos.

1.- Símbolos de clase: Las primeras letras mayúsculas del Abecedario V - clase vacía o nula .- Clase universal 2.- Variables de individuos: minúsculas del abecedario, x,y,s.... ( Se lee: la clase de los individuos tales que x.. 3.- Relaciones: 1.- Entre individuo y clase: de pertenencia: a A; a A 2.- Relación entre clases - Identidad : Igual a “=”, “=/=” - Inclusión . Cuando todos los miembros de na clase son de la otra, pero no viceversa. “ Incluida en “ A B” ---- V x ( xEA — x E B - Disyunción o exclusión: Clases de ningún miembro en común. - Distintas No son idénticas, sin embargo comparen algunos de sus miembros. 2.-Reglas de transformación o métodos 1-Operadores: - Suma lógica o unión : Símbolo . Se lee: unión “ Si A y B son dos clase, A B es una nueva clase formada por todos los individuos que pertenecen a la clase A, a la clase B o a ambas. 2.- Producto lógico o intersección: Símbolo Lee: intersección “ Si A y B son dos clases, a B es una nueva clase compuesta por los individuos que pertenecen a la clase A y a la clase B” 3.- Diferencia lógica: Símbolo ---- Lee “Si A y B son dos clases, A – B es na clase compuesta por los miembros de la clase A que no pertenecen a la clase B 4.- Complemento. Simboliza _ sobre clase . Se lee: Complemento de la clase “ Si A es una clase, A es una nueva clase compuesta por todos los miembros que no pertenecen a la clase A 2.- Diagramación de Venn

Cada clase se representa por un círculo. Se pueden relacionar los distintos circulos para representar las distintas proposiciones o razonamientos. 3.- Objetivo o fin.- Validez del razonamiento LÓGICA CLÁSICA O ESCOLÁSTICA

Es la lógica de Aristóteles y Santo Tomás. Y que aún sigue vigente en muchas formas de pensar. Boole la intentó interpretar en lógica de clases y otros de la cuantificación. 1.- Descripción de los elementos: - Los términos o ideas o conceptos

- Los juicios o proposiciones - Los razonamientos 2.- Reglas de transformación o métodos La lógica trata de la estructura del pensamiento o conocimiento: Hay dos tipos de conocimientos: Inmediato y mediato 1.- Conocimiento inmediato )= inferencias inmediatas Se basa en las contraposiciones clásicas de las proposiciones (Todo S es P) A Contrarias B ( ningún S es P)

( Algún S es P ) I subcontrarias O ( Algún S no es P

1.- Contradictorias “ No pueden ser nunca ni verdaderas ni falsas al mismo tiempo”. Luego si A es 1, O será 0 y viceversa. 2.- Contrarias “ No pueden ser verdaderas al mismo tiempo, pero si falsas” Luego si A es 1, E es0 Si Aes falso , no se concluye nada. 3.- Subcontrarias “ Pueden ser verdaderas a la vez, pero no falsas a la vez” Así, si I falsa o es verdadera, si i verdadera, no lo se concluye nada. 2.- Conocimiento mediato- inferencias mediatas : silogismo - Estructura del silogismo: Es un razonamiento compuesto por tres términos y tres proposiciones, siendo las dos primeras premisas y la última una conclusión. 1.- Términos: Mayor = predicado de la conclusión Menor = sujeto de la conclusión Medio = repetido en las premisas 2.- Proposiciones: 2 premisas 1 conclusión . Clases: según cantidad: universales y particulares

Cualidad: afirmativas y negativas Esquemas: M A P S I M S I P Normas para realizar el esquema: 1.- Simbolizaremos la cantidad y cualidad de los tres proposiciones 2.- Localizaremos el termino medio 3.- Localizaremos el termino mayor: predicado de la conclusión 4. Localizaremos el termino menor: sujeto de la conclusión Según estos esquemas pueden distinguirse distintas figuras y modos En la lógica clásica al analizar el silogismo se disfinguío entre figuras y modos:

Figuras del silogismo La colocación de los tres términos, mayor (P), menor (5) y medio (M) en los premisas, es lo que origina los figuras del silogismo. Cuatro son las figuras posibles: 19 Figura 1ª figura 2ª Figura 3ª Figura 4ª Figura Premisa mayor M-P P-M M-P P-M Premisa menor S-M S-M M-S M-S Condusión S-P S-P S-P S-P En la primero, el término medio (M) es el sujeto de la premisa mayor y el predicado de la menor. En la segundo, el término medio es predicado en ambas premisas. En la tercerti, es sujeto en ambas y en ¡u cuarto, es predicado de la premisa mayor y sujeto de la menor.

Modos del silogismo La disposición de las proposiciones en los premisas y la conclusión de acuerdo con su cantidad y cualidad (A, E, 1, 0) es lo que origina los modos del silogismo. Como codo una de los premisas y la conclusión pueden ser A, E, 1, 0, resultan 4 x 4 x 4 = 64 combinaciones posibles. Ya que estos 64 modos pueden darse en cada una de los 4 figuras del silogismo, tenemos un total de 64 x 4 = 256 combinaciones posibles.

Pero no todos estas combinaciones posibles son formalmente correctas, es decir, no todos cumplen los reglas del silogismo. En lo lógica tradicional se consideraba que sólo 24 modos eran válidos, aunque los principales eran sólo 19: 4 para la 11 figuro; 4 para la 21 figura; 6 poro la 31 figura y 5 para lo 41. Los lógicos utilizaron unas palabras para nombrar cada uno de estos modos del silogismo. En ellos los tres primeros vocales representan la cantidad y cualidad de los proposiciones en la premisa mayor, la premisa menor y la conclusión, por este orden. Y los consonantes significan determinados operaciones que se pueden realizar con los silogismos. Los modos son los siguientes: Modos de la 11 Figure: Barbara, Celarent, Darii, Ferio. Modos de la 21 Figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco. Modos de la 31 Figuro: Darapfi, Felapton, Disamis, Dafisí, Bocardo, Ferison. Modos de la 4' Figura: Baralipión, Colantes, Dabífis, Fapesmo, Frisesomorum. En la actualidad, con la aplicación de los diagramas de VENN, se discute la validez de dos de estos modos: Darapti Felapton. - Reglas de los términos 1.- El termino medio debe estar distribuido en una de las premisas: Distribuido = tomado en toda su extensión) 2.- Término mayor y menor: deben estar distribuidos en la conclusión si están en las premisas - Reglas de las premisas. 1.- Las dos afirmativas, conclusión afirmativa 2.- Una afirmativa y otra negativa, conclusión negativa 3.- Dos negativas, no hay conclusión 4.- Dos particulares, no hay conclusión. 3.- Fin Demostrar la validez. LóGICA Y TECNOLOGÍA: LA LóGICA BORROSA La inflexibilidad de la lógica formal El epígrafe que comenzamos tiene mucho que ver con uno de los intentos más audaces que la mente humana lleva a cabo desde que Turing, un joven funcionario del gobierno británico dedicado durante la Segunda Guerra Mundial a descifrar los códigos secretos del ejército alemán, publicara, en 1950, un pequeño libro titulado ¿Puede pensar una máquina?

De este modo, inició la investigación sobre la inteligencia artiflicial, que analiza la posibilidad de construir máquinas pensantes, cerebros electrónicos que imiten el funcionamiento del cerebro humano con las ventajas añadidas de la ¡limitada capacidad de procesamiento y almacenamiento de la información y la disminución llamativa del número de errores. Sin embargo, en principio, estas máquinas carecen de la posibilidad heurística de inventar soluciones, de anticipar e imaginar las circunstancias por las que puede pasar un sistema cualquiera, sea este un sistema de caja negra, de caja traslúcida o de mecanismo. Tras un corto período de entusiasmo, las expectativas se estancaron, porque los ordenadores se ven limitados a usar el sistema binario, que es el equivalente informático de la lógica bivalente que acabamos de estudiar: una proposición solo tiene dos valores posibles: verdadero o falso. Un circuito impreso -un chip- solo puede tener el «interruptor» en dos posiciones: abierto o cerrado, pasa la corriente o no pasa. La lógica del ordenador es una lógica binaria (bivalente); sin embargo, los sistemas tecnológicos actuales -la Bolsa, el funcionamiento del corazón, el sistema de frenado de un coche, el sistema de frenado de trenes con carga variable, etc- son cada vez más complejos, y no admiten solamente dos posibles estados, sino múltiples, y además, cambiando innumerables veces en períodos infinitesimales de tiempo. Esta variabilidad hace inútiles los rígidos algoritmos que puede poner en práctica un ordenador con el sistema binario, por lo que se necesita ese otro tipo de razonamientos, heurísticos, en los que los cálculos numéricos varían en la misma medida que las circunstancias para proponer soluciones útiles y eficaces, de manera que la propia máquina «debe aprender> sobre la marcha para ser eficaz. Los algoritmos son procedimientos que siguen una serie de pasos rigurosamente prescritos de antemano, frente a los procedimientos heurísticos, que tienen capacidad «interpretativa», «inventiva». Si todos los fenómenos que suceden en la realidad fueran del tipo del movimiento uniformemente acelerado, valdría el cálculo infinitesimal que inventaron Newton y Leibniz para resolver la velocidad de caída en función de la altura, la velocidad que hay que comunicar a un cohete para que salga de la atracción de la Tierra, etc. Ahora bien, la tecnología moderna permite construir sistemas de variación continua en los que los datos deben ser reinterpretados continuamente, y esa reinterpretación debe ser instantáneamente aplicada al sistema, que funcionará con las nuevas instrucciones recibidas. Eso es lo que se llama un servomecanismo, y debe ser regulado por las nuevas aplicaciones de la inteligencia artificial que se van descubriendo y que configuran lo que hoy se llaman sistemas expertos, resultado de la aplicación de una nueva ciencia, la cibernética. La cibernética es la ciencia que considera de igual forma los sistemas de comunicación y control de los organismos vivos que los de las máquinas. Para obtener la respuesta deseada en un organismo humano 0 en un dispositivo mecánico., habrá que proporcionarle, como guía para acciones futuras, la información relativa a los resultados reales de la acción prevista. En el cuerpo humano, el cerebro y el sistema nervioso coordinan esa información, que sirve para determinar una futura línea de conducta; los mecanismos de control y de autocorrección en las máquinas sirven para lo mismo. Un sistema experto es una aplicación informática que adopta decisiones o resuelve problemas de un determinado campo, como las finanzas o la medicina, utilizando los conocimientos y las

reglas analíticas definidas por los expertos en dicho campo, quienes solucionan los problemas mediante una combinación de conocimientos basados en hechos y en su capacidad de razonamiento. En los sistemas expertos, estos dos elementos básicos están contenidos en dos componen~ tes separados, aunque relacionados: una base de conocimientos que proporciona hechos objetivos y reglas sobre el tema y un procesador que se utiliza para deducir o inferir. La logica borrosa Desde la aplicación de los sistemas expertos a la resolución de problemas tecnológicos cada vez más complicados surge la necesidad de desarrollar un nuevo tipo de lógica distinta de la lógica formal y de la lógica informal: la llamada lógica fuzzy, lógica borrosa o-difusa en la que las variables pueden tener varios niveles de verdad o falsedad representados por rangos de valores entre el 1 (verdadero) y el 0 (falso). Con la lógica fuzzy, el resultado de una operación se puede expresar como una probabilidad, y no necesariamente como una certeza. Por ejemplo, además de los valores verdadero o falso, un resultado puede adoptar valores tales como probablemente verdadero, posiblemente verdadero, posiblemente falso y probablemente falso. Esta falta de precisión de la lógica moderna, junto con el descubrimiento de las paradojas y la imposibilidad de llevar a cabo una matematización absoluta de lo real -y, sobre todo, de los organismos vivoslleva a Einstein, por ejemplo, a afirmar que «hasta allá donde las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas. Y hasta allá donde son ciertas, no se refieren a la realidad». Sin embargo, los avances en este terreno son continuos. La homeostasis es el ejemplo más claro de adaptación entendida como realimentación reguladora, Nuestros modelos para el conocimiento de la realidad son cada vez más complejos, y en la misma medida se hace más difícil precisar y predecir acontecimientos o conductas de sistemas complejos. Esto provoca a nuestra especie problemas de seguridad y eficacia que en épocas pasadas no se planteaban porque no había conciencia detales difilcutades y el rudimentario desarrollo tecnológico no lo hacíanecesario. Este hecho llevó al ingeniero iraní Lofti Zadeh a publicar, en 1965, su artículo Fuzzy Sets en el que sustituye el concepto de vago por el de borroso. En 1987 publicó Fuzzy sets and Applications, donde enuncia los principios de la lógica borrosa (fuzzy): «Al aumentar la complejidad de un sistema, disminuye nuestra capacidad de hacer declaraciones precisas y además significativas acerca de su comportamiento, hasta que se alcanza un umbral más allá del que la precisión y la significancia o relevancia se convierten en rasgos mutuamente excluyentes,>. En Estados Unidos, en 1991, se celebró el primer congreso sobre lógica borrosa; para entonces se calcula que los japoneses habían ya sobrepasado la cifra de mil millones de dólares en ventas anuales de productos tecnológicos basados en la lógica borrosa. Es la primera vez que se percibe de manera tan directa la vinculación de la lógica con la tecnología. La razón es que esta nueva lógica sostiene que hay pocos hechos en el mundo en que pueda encontrarse una disociación nítida entre lo blanco o lo negro. Solo hay raros momentos de esos en un mundo gris.

El principio borroso afirma que todo es cuestión de grado, según Kosko, quien defiende que el principio borroso es aplicable a las cosas humanas, que la borrosidad impregna nuestro mundo y la visión que de él tenemos porque, cuando abandonamos el mundo artificial de las matemáticas, ese mundo perfecto de la armonía y el orden que señalaba Peirce reina la borrosidad. Aplicaciones tecnológicas de la lógica borrosa La aplicabilidad tecnológica de esta lógica aparece de inmediato. En 1970 se logran simulaciones informáticas de aplicaciones en Inglaterra. Entre 1980 y 1990, los japoneses disponen de más de cien productos y aplicaciones basados en lógica borrosa. El control de la temperatura en un sistema de aire acondicionado es un problema de este tipo. Hay que fijar dos variables: la temperatura (p) y la velocidad del motor (q); «p» deberá acelerarse cuando «q» aumenta. Luego es preciso definir un conjunto borroso formado por elementos como frío, fresco, ideal, templado, caluroso, etc. Finalmente, se crean reglas borrosas, asociando velocidades del motor con los conjuntos de temperatura que previamente habíamos definido. Por ejemplo: si «p» es frío, entonces q disminuye. Todo empieza al relacionar palabras con conjuntos borrosos, donde ya no rige el principio dcontradicción (p es verdadero o falso pero no abas cosas a la vez), principio que Leibniz definió en el siglo xvii como de tercero excluido. Pero los conjuntos borrosos se caracterizan precisamente por tener que admitir multitud de elementos «intermedios» entre p y ~ p. De esta manera encuentran fácil solución los problemas que plantean :los sistemas tecnológicos cada vez más complejos. Así se logra que un telescopio fije una estrella mientras la Tierra rota, que la piscina se ,clore sola, que una iluminación se encienda al anochecer cada día, que una sonda se pueda posar sobre la Luna, que un marcapasos se adapte perfectamente, que un campo sea fertilizado con precisión, etc, Lo que hace difícil el cálculo en los sistemas borrosos es el hecho de que las reglas descansan en «lechos de principios». Esto quiere decir que, acumulando lecturas sobre un hecho cualquiera, lecturas que hace un sensor óptico mediante un haz infrarrojo o láser y que transfiere a un microprocesador, se puede dar con las reglas a medida que se va <trabajando». Uno de los primeros problemas resueltos por este medio es el del sistema de frenada del metro de la ciudad japonesa de Sendai, vinculando de manera inmediata, por primera vez en la historia, la lógica y la tecnología, que hasta ahora habían necesitado el vehículo intermedio que supone la ciencia. El problema era que un tren lleno exige mayor longitud de frenado que un tren vacío. Como la masa de un tren cambia de viaje en viaje y de estación en estación, los conductores tenían que aprender a hacerlo exactamente; los usuarios no se colocan a lo largo de la estación, sino detrás de determinadas marcas en el suelo, porque al final de las filas de viajeros se sitúan los «empujadores», quienes empujan desde el final de la fila para lograr que acceda el mayor número de viajeros posibles. El sistema borroso era capaz de estimar el nivel de llenado del tren a partir de la potencia necesaria para arrancar el tren en la estación anterior. En el espacio absolutamente determinado por la física newtoniana, dada la situación inicial del sistema, es posible determinar con precisión la situación de ese sistema, en cualquier

momento posterior; la lógica que rige ese sistema es la lógica bivalente, según la cual «lo empíricamente comprobado debe poder ser matemáticamente demostrado». Frente a esa imagen del mundo surge en el siglo xx un mundo físico regido desde Heisenberg por el principio de incertidumbre o indeterminación (el instrumento de observación modifica lo observado); la lógica borrosa es la apropiada para «calcular, un mundo de esa naturaleza. La teoría de la borrosidad se presenta como una teoría adecuada para la representación de la incertidumbre que hay en el significado de todas las palabras y realidades.. Falacia naturalista y falacia idealista Hay dos tipos de falacias que merecen una dedicación especial por la trascendencia filosófica de las mismas y por la frecuencia de su uso. Éstas son: 1. La falacia naturalista: consiste en deducir un juicio de valor a partir de un juicio de hecho (o bien, definir los valores «bueno», «malo», «justo» como si se tratase de propiedades naturales de las cosas). Por ejemplo, se parte de que la mujer ha sido encasillada de hecho en un determinado papel (como «arna de casa»), y se deduce de ahí que ese «debe ser» su papel. 2. La falacia idealista: contrariamente a la anterior, parte de un juicio de valor para deducir de ahí un juicio de hecho. Por ejemplo: B ha afirmado que X debería estar muerto. Días después X aparece muerto. Inmediatamente se le atribuye su asesinato a B. LóGICA Y ORDENADORES Una de las aplicaciones más novedosas de la lógica, y más productiv es la que dio origen a los lenguajes de ordenador. El lenguaje básico con el que funciona un ordenador, el llamado lenguaje de máquina, es un lenguaje binario que funciona como un lenguaje fo ¡izado. Ahora bien, como la comunicación con el ordenador se haría complicada si tuviésemos que dominar un lenguaje formalizado binario, han construido otra serie de lenguajes intermedios entre el lenguaje natural y el lenguaje de máquina para que la comunicación (programación y tranmisión de información) nos sea más fácil. A estos lenguajes se les llama lenguajes de bajo nivel (más parecidos al lenguaje binario) y lenguajes de alto nivel (más parecidos a una lengua natural, normalmente al inglés). Los lenguajes de alto nivel son los lenguajes de programación que todos conocemos: el Basic, Cobol, Pascal, Fortran, Logo, Prolog, etc. Pues bien, el ordenador está preparado para traducir la información rebida de un lenguaje de alto o bajo nivel a un lenguaje de máquina. Así puede operar. Simplificando, se puede decir que el lenguaje binario del ordenador funciona como un circuito eléctrico donde sólo hay dos valores: circuito abierto no pasa la electricidad, y circuito cerrado = pasa la electricidad. Si ahora le llamamos al circuito abierto F, y al circuito cerrado V, ya estamos en condiciones de ver la similitud entre el lenguaje del ordenador y el lógico. Así, una relación de conjunción puede ser representada como dos interruptores en línea. Una relación

disyuntiva como dos interruptores en paralelo, etc. Por ejemplo: la proposición p A q puede ser representada así (1): [Emplearemos el signo (P para indicar que hay un interruptor, el símbolo 0 para indicar una fuente de luz (salida de electricidad), y el símbolo -11-, para indicar una toma de corriente.] Del mismo modo que p A q es verdadero cuando lo son p y q, el circuito (2) tendrá carga eléctrica cuando ambos interruptores, p y q, estén cerrados. La proposíción p v q, será representada así (2): Para representar una implicación o una búmplicación habrá que reducir ambas previamente a conjuntores, disyuntores y negadores. Así p --> q, tendrá que ser convertida en -p v q, (aplicando la regla D. l.), que se traduciría en el siguiente circuito eléctrico (3): p <-> q, tendría que serP convertida en (p -4 q) A(q --> p), y ésta a su vez p en (-p v q) A (-q v p),que se traduciría en el siguiente circuito III. EJERCICIOS DE COMPRENSION Y APLICACION DEL CONTENIDO 1. Lectura de fórmulas Léanse las siguientes fórmulas: 1) (p . q) V s 2) p <----> (r ---> q) 3) r . - (q <--> p) 4) [p --> (q -> r)] . (q . p)

5) [(r . s) V (p ---> q)] . [(t V p) --> (q . r)] 2. Identificación a) ) Cuáles de las siguientes oraciones son enunciados o proposiciones y cuáles no? b) ) Cuáles son atómicas y cuáles moleculares? c) Formalícense las oraciones que son enunciados. 1) Ven a casa. 2)Los naranjos están repletos. 3)El agua está fría pero el río es bello. 4)(Ojalá mañana no vengan! 5)Si te gusta la música de Los Beatles, entonces o te compras un disco o te compras una cassette. 6)Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle si y sólo sí, si viene María con el coche, entonces no viene con ella Pedro. 7)(Qué sol tan fuerte! 8)Si , o estudio Matemáticas o estudio Filosofía, entonces las hojas son verdes. 9)Los ministros son vegetarianos. 3. Paréntesis y corchetes Pónganse paréntesis y corchetes a las siguientes fórmulas: 1) p --> q . r --> s debe resultar una conjunción. 2 ) p --> q . r V r . s debe resultar una condicional. 3) q . s --- > t V p <--> p debe resultar. una bícondicional. 4) t . s V p . q debe resultar una disyunción. 5)- p ---> r debe resultar una negación. 6) q ---> r . s V p . q --> t debe resultar una disyunción. 4, Tablas de verdad Hállense las tablas de verdad de las siguientes fórmulas. Indiquense cuáles de ellas son tautologías, cuáles son contradicciones y cuáles son indeterminaciones. (Para evitar errores utilícese papel cuadriculado.) 1) (p . q) V p 2) (q V s) --> s 3) t <--> (r . t) 4) (p A q) --> (q A p)

5) (r . -r) . q 6) - Ip --> (p V q)] 7) I (p-->q) . (q-->r)] --> (p-->r) 8) (s-->t) V (p . t) EJERCICIOS DE COMPRENSION Y APLICACION DEL CONTENIDO 1. Convertir en fórmulas condicionales a los siguientes razonamientos: a)1. p ---- > q 2. q ---> p ----------------------------- .: p ------ q b) 1. s---- t

2. t ---- p 3. -pS

c)1. q . r 2. q --- s ------------ S d)1) p ---- t 2.) r ---- p 3.) r --------- t 2. Comprobar que las fórmulas condicionales halladas en el ejercicio 1, son tautologías.

1. Comprobar la validez o no-validez de los siguientes razonamientos comparando los valores de verdad de las premisas con los valores de verdad de la conclusión. a)1. p ----- t 2. p 3. s -----p

------------------ S b) 1. p ---- q

2. r---- q 3. - r --------- p

c) 1.p V 52. -s

------ - p

d)1.--s V r 2. s 3. r ---- p ------------ p e)1.S -------- p 2. p

~- S a) Demonstrar: r 1. p -> r 2. p b) Demostrar : s 1. p -~> s 2. q ---> p 3. q c) Demostrar: q 1. t --> q 2, - -t d) Demostrar: - q 1. q --> r 2. - r e) Demostrar: - s 1. s --> q 2. q ---- -t 3. - - t f) Demostrar: - t 1. q---- r 2. t ---- r 3. q g) Demostrar: p 1. p . q h) Demostrar: p . q 1. p 2.q i) Demostrar: p-A q

1. p --> q 2. p j)Demostrar: t

1. q . r4 2. - t --> -r

k) Demostrar: p 1. q V p 2. - q l) Demostrar : t 1. s --> r 2. s V t 3. - r 11) Demostrar: p V r

1. p m) Demostrar. t V s

1. p --> S 2. p

n) Demostrar: q --> s 1. q --- > r 2. r---- s fi) Demostrar: - r 1 . r ---- t 2. t ---- q 3. -q o) Demostrar: - -p 1. r ---- p 2. - s V r 3. s p) Demostrar: p V t 1. q V s 2. q --- p 3. s --- t q)Dernostrar: tp V q

1. P -~-> t

2. q---- - r

3. - - r

4. r) Demostrar: p . q 1. - (- p v - q) S) Dem ostrar -(p V q) 1. -P 2. - q t) D emostrar: qV S - ( -p v B q) u) Demostrar: p 1.- p --------- s 2. S v) Demostrar: - - S 1. r ---------- t 2. -t 3. r \/' S w)Demostrar: -(q . Bs)

5. Bq 5.- Realice las siguientes inferencias utilizando las reglas de transformación de formulas. a) Demostrar: p 1. q ---~> p 2. -q --- > r 3. - r

b) Demostrar: - r 1. p V q 2. p--- -r 3. - q (utilizar SD. y MP.)

c) Demostrar: t . 1. -- (- t V - q) 2. - s -> - q (utilizar DM., S, MT. y Conj.) d) Demostrar: q V s 1. p --> r 2. r --- > q 3. p Utilizar T rans., MP. Ací.) e) Demostrar: p l. S V t 2. s ---> 1) 3. t q 4. q (Dilema, etc. f) Demostrar: - t

3. t -------- p 4. r -------- p

3) -r (utilizar Bicondicíonal) g) Demostrar (p v s) . q 1. -( -p . Bs ) 2. p --> r 3. q --> p 4. r (DM. etc.) h) Demostrar: - - q 1. p --> - r 2. q V p 3. r (DN. cte.)

i) Demostrar: p V - q 1, q . r 2. s --> - r 3. - s --- p (Ad., cte.) j) Demostrar: r 1. p . - t 2. s --- t 3. s V q 4. (q . p) --> r k) Demostrar: q

1. - r --> s 2. s -> p . q 3. r ---- t 4. -t

1) Demostrar: -r . -s 1. -p V -q 2. B q--- -r 3. Bp --- s 4. -s (DiL, cte,) m) Demostrar: p . q 1. s --> - r 2. r V t 3. t --> q 4. q --> p 5. s Formalícense v resuélvanse los siguientes problemas: a) 0 flueve o hay sol. Si hay sol entonces se puede nadar. no se puede nadar Luego llueve. b) La Coruña gana y no pierde el Castellón. Pierde el Castellón o no pierde el Osasuna. Si gana el Malaga entonces pierde el Osasuna.

Luego no gana el Málaga y el Coruña gana, t, 1 1 c) 0 colecciono sellos o no colecciono monedas.

No compro en el Rastro. Si colecciono sellos entonces compro en el Rastro, Si no colecciono magnates entonces ahorro el dinero.

Luego, ahorro el dinero. d) 0 trae botas de tacos o trae raquetas.

Si trae botas de tacos entonces jugaremos al rugby, Si trae raquetas entonces jugaremos al tenis. No jugaremos al tenis,

Luego jugaremos al rugby. e) No es el caso que o no vamos al monte , vamos al mar. S' vamos al monte entonces llevaremos ropa de lana. S' tomamos el tren entonces vamos al mar. Luego llevaremos ropa de lana v no tomamos el tren. ACTIVIDADES ALTERNATIVAS a) Ejercicios de formalización en lógica de juntores o proposicional 1. De la hipótesis podemos decir que ha sido verificada únicamente cuando ha sido comprobada con éxito 2. La muerte no se vive. 3. Cuando alguien escribe como Borges, puede disculpársele todo 4. Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz así, entonces empiezo a cavar mi propia sepultura; o bien, si no soy feliz así, y no veo tampoco posibilidad de cambiar ese mundo, emprendo asimismo mi autoenterramiento. 5. El número 15 es divisible por 3 y por 5 6. La raíz cuadrada de 2 no es un número racional. 7. La gente nunca cae a sabiendas en la infelicidad; si llega a ese estado es debido a un cálculo erróneo o a su mála suerte. 8. Si no estoy preocupado por ese asunto, es que no soy un neurótico. Pero, puesto que soy un neurótico, ese asunto me preocupa. 9. Si y solo si, una hipótesis es verificada, podemos considerarla como teoría científica aceptable, y si no es verificada, revisaremos su contenido. 10. Un espejo esférico cóncavo amplifica siempre el objeto, si y solo si, el objeto se coloca entre el centro de curvatura y el foco o entre el foco y el vértice. 11. Si la primera división de la liga española de fútbol está formada por 18 equipos, se celebrarán 34 partidos, pero podrían celebrarse menos encuentros en el único caso de que uno o varios equipos se retiraran de la competición. 12. Lo haría, si al otro lado hubiera aire, pero no lo hay. 13. En el caso de que un polígono tenga tres lados es un triángulo. 14. Qué importa morir si no pasan, y, si pasan, qué importa morir. 15. Cuando hubieren acabado los mil años, será Satanás soltado de su prisión y saldrá a extraviar a las naciones que moran los cuatro ángulos de la tierra, y reu~ nirlas para la guerra. 16. Cuando Randolph Carter cumplió los treinta años, perdió la llave de la puerta de los sueños.

17. Cuando en el juego no intervienen el amor y el odio, la mujer juega de manera mediocre. 18. Sabemos que los muertos son poderosos soberanos; quizá nos asombre averiguar que son, también, considerados como enemigos. 19. Si la tarde está oscura, me invadirá el optimismo. 20. Como siga usted aparentando tanta felicidad, empezaré a pensar que sufre considerablemente. 21. Tu dedícate al amor libre y verás cómo te sorprende la muerte en pecado mortal, 22. De haberlo meditado bien, no me hubiera atrevido a darle un beso. 23. En todas las tarjetas en las que hay un triángulo rojo, hay también un círculo azul, y en todas las tarjetas en las que hay un círculo azul, hay también un triángulo rojo. 24, Un imán es un trozo de material que puede ejercer una fuerza rnagnética sobre el hierro o sobre otro inián y que se orienta cuando puede moverse libremente. 25. Si la razón de los logaritmos decimales de dos números reales positivos es una potencia entera de diez, tienen la misma mantisa. 26. Al pensar en los rigores del invierno, siempre recordaba aquel viejo roble o la pequeña casa de la costa donde solía refugiarse en vacaciones. 27. Si al colocar un libro más en la estantería, entonces se rompe, es mejor no colocarlo. 28. Mientras no alcances la verdad, no podrás corregirla. Pero, si no la corrige, no 1a alcanzarás. Mientras tanto, no te resignes. b) Ejercicios para la realización de la tabla de verdad 1. (p- --- q). (q --- p) 2. (-p---q)---(- q---p ) 3. [(p.q)---r/.[p---(q v r) 4. [(~p--->-q) . (-q---- -r/---(-p--->-r) 5. [(-p V q)--- r] ---------- [(p . -q) V r] 6. (-pVq) . -r 7. í(-p--------(r . s)] ----- [(r . s)----pl 8. (p--------q)---- (q----p) 9. (p--- q)---. (-p V q) 10. (p---- q)--- -(p . -q) 11. (p-----q)---- [(p--- q) . ( q ---p)] 12. (p_-----q)--- [(-p V q) . (- V p)] 13. (p--------q) ----- [-(p . -q) . -(q . -p)] 14. [(p . q) V r] ----- [-r --- (p . q)] 15. [(p----q) . (-p V r)] ---- /(p--- q) . (-p V r)] c) Ejercicios para la resolución de argumentos mediante el uso de la tabla de verdad 1. - Si suben los salarios, suben los precios. - Si suben los precios, baja el poder adquisitivo de la moneda. - Es así que suben los precios. Luego, baja el poder adquisitivo de la moneda. 2.- 0 se anticipan las elecciones y no da tiempo de modificar la ley electoral, o se agota la legislatura y da tiempo de modificar la ley electoral. No ocurre que se agote la legislatura y dé tiempo de modificar la ley electoral. Luego, se anticipan las elecciones y no da tiempo a modificar la ley electoral.

3.- 1 -p----q 4. - 1 -(p . q)--- r 5. ~ 1 p----q 2 r--- -p - 2 -r - 2 ~ q 3 r --- 3 r4 --- p 4 q--- s p . q ----- ------- - r S 6. 1 (p V s)----q 7.1 -(p----q) ------ r

2 ~q 2 ~q ------ 3- r

Y - (pVS) -p

8. - Si puede decirse que tres planos determinan un punto y que dos planos determinan una recta, estamos en el punto de partida de la geometría proyectiva. No estamos en el punto de partida de la geometría proyectiva. Luego, no puede decirse que tres planos determinan un punto y que dos planos determinan una recta. 9.- *Si Dios no existe y todo está permitido, vamos inexorablemente hacia el caos, Ahora bien, no vamos hacia el caos. Por otro lado, dios no existe. Luego no todo esta permitido,, (F. Dostoievski, Los bermanos Karamazov). 10.-. Si la sociedad de los hombres ha de ser siempre como ahora, la corrupción es eterna. Es así que la corrupción no es eterna. Luego, no ha de ser siempre como ahora la sociedad de los hombres. 11. Si llueve me quedaré en casa. Está nublado y llueve. Luego, me quedaré en casa. d) Ejercicios para derivar y decidir la validez de los siguientes argumentos haciendo uso UNICAMENTE de reglas básicas del CDN Ya formalizados: 1 1 p----q .:qVs

2 r-----s 3 pVr

2. - 1 (pVq)---- (r---- -s) -:.~S 2 s---- q 3 r 3. 1 (pV-q)---- (r . -s) :. p---q

2 (-q. r)----- s 4. 1 p - /(q--- r)---->s] :.(q-r) (p--s) 5. 1 ~q---r :.q

- 2 -(p . r)

6. B 1 mVs :.- -dVr - 2 m--- -d - 3 s-(pVr) - 4 p->~d

7. B l -p-q :.-q----p 8. - 1 p_--->t :- p .-q

- 2 (p----q)----p 3 r-->~q 4 rVs 5 s--- -q 6 t---q

9. - 1 mVs -dVr

- 2 m---d - 3 s---(pVr) - 4 p--- -d

Sin formalizar: 1. Si hay lluvias abundantísimas, entonces crecen los ríos y hay inundaciones. Las cosechas se pierden si hay inundaciones o sequía. Luego, si hay lluvias abundantísimas se pierden las cosechas. 2. Si no hay control de nacimientos, la población crece ilimitadamente. Pero si la población aumenta ilimitadamente, aumentará el índice de pobreza y el deterioro del medio ambiente. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el índice de pobreza y el deterioro del medio ambiente. 3. Si los animales aprenden a leer, las lechuzas cambian su vuelo por la filosofía y los osos en su hibernación se hacen eruditos, Si las lechuzas cambian su vuelo por la filosofía o los monos se hacen matemáticos, entonces si los osos son eruditos, los ratones limpian las bibliotecas. Pero los ratones ensucian las bibliotecas. Luego, los animales no aprenden a leer. 4, Sí las leyes son justas, entonces si los jueces cumplen estrictamente con su deber, disminuye la delincuencia. Cuando los jueces son incorruptibles, están cumpliendo estrictamente con su deber. Luego, si los jueces son incorruptibles, entonces si las leyes son justas, la delincuencia disminuye. e) Ejercicios para decidir y demostrar la conclusión de los siguientes argumentos pudiendo hacer uso de reglas derivadas del CDN 1. 1 r- 1 U-- -I r 2 -g- p 3 l---,p 4 g- c 5 s-- c 6 s 2. - 1 -(p . -q)

- 2 (r--q) . (pV-s) - 3 s

3. - 1 -p- q -s-->q - 2 r -s -3 -r---(p----- t) 4 t 4. 1 (p . -q)-r q 2 (-pV0-s 3 ~s 5.I p . (qVr) p . q 2 (P . r) --- s 3- -s 6. 1 (P . -q)----r ..-p---q 2 -sV-r 3 p---s 7. - 1 p ----(qVr) _ip ~ 2 Bq V-s - 3 r---t -4 a V-b - 5 a----(s--- -t) - 6 b . s 8. - 1 p---q -:. -p - 2 r V s 3 s-->-q 4 -r 9. - 1 r--- s :.qV-r - 2 pVq 3 -(-P----s) lo. 1 (qV-s)----t :.p-r 2 ~q--->r 3 P---- -s 4 t---s 11. 1 p----q ~p 2 p----(q----r) 3 q->(~s--->t) 4 s--- (t . -m) 5 (r. t)--- -q 12. - 1 (p . q)---r -Ip

- 2 r---s - 3 q . -s

13. - 1 p----(qV r) S 2 ~s--->-q 3 (r . t)--- m 4 r---(m----s) 5 p . t

14. 1 (pVq) ---- (r. s) t 2 -,(~pV~r) 3 ~t ----(p.s)

15. 1 p--- q p-(qAr) 2 r V-p

16. 1 p----q ~p 2 - r V-q -3 -r----(s . t) - 4(-r . s)--p

Esquema Regla

Ley

1.- Dela negación : p - - p ------ ---------- - - p p 2.- De la conjunción : p . q p . q ------ --------- p q p q -------- p . q

Doble negación Si tenemos la premisa p podemos concluir su doble negación, y viceversa. 1.- Simplificación

P ---- -- p n p ---- p p . q — p

f) Ejercicios para la resolución de argumentos en lógica de cuantores o predicados Ya formalizados: l. - l A [Px- (Q, A Rx)] AX (PX MX)

- 2Ax [(Qx V S,) - Tx] - 3A.x (Mx -T.)

2. - 1 , ~, (Qx ~RI) IV, (Px A Rx) - 2 Vx (Px A Q.)

3. - 1 P - Vx (Fx A Gx) 1--P- V', Mx - 2Ax (Fx - Mx)

[F, - (-G, V H,)] Ax (Fx Jx) KG. - H.) JJ VX (Q, A R,) 1-V, (P, A-R,) AX (QX -> PX) A [(F V G Hx] T. F. X X

1 Ax [(Cx A -T,) - P, IVX T, -2 A (OX - C,,) 3 V,,x (Ox A P,) i Ax [ Rx - (M,, V Ax)] Y, (Rx A A,) 2 A (mx ->nCX) 3 Vxx (Rx A Cx)

formalizar: Fodo tonto es pesado. Algunos charlatanes no son pesados. Luego, al-unos charlatanes no son tontos. 1 A, (Tx 1 P,,) Y, (Ch~, A -Tx) 2 ~, (Ch, A -IP Ningún sabio habla mucho. Ciertos viejos hablan mucho. Luego, algunos viejos no son sabíos. - 1 A (SX--- HX) Vx (A, A ~sx) - 2 Vi (AX A HX) X 3. Ningún país que haya sido explorado esta infestado de dra-ones. Los países inex

plorados son fascinantes. Luego, los países infestados de dragones son fascinan tes (no hay nin-ún país infestado de dragones que no sea fascinante).

n ZI, - 1 AX (Ex - DX) Ax (Dx - Fx) - 2 A. (-E. - Fx) 4. Los niños son ilógicos. Nadie que sepa manejar un cocodrilo es despreciado. Las personas (lógicas son despreciadas. Luego, los niños no saben inanejarun cocodrilo.

N ser niño. L ser lógico. M saber manejar un cocodrilo. D ser despreciacio. 1 AX (NX 'LX) 2 A, (M, -D,) 3A' (-L DX) Ax (Nx----Mx) X X 5. Ningún ánade baila el vals.

Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el vals. Todas mis aves de corral son ánades. Luego, mis aves de corral no son oficiales,

A - ser ánade. B - bailar el vals. 0 - ser oficial. C - ser una de mis aves de corral. - 1 Ax (Ax - Bx) - 2 Ax (Ox - Bx) 3 A.' (CX - AX) --Ax (C, -+ 'Ox) 6. Todos los colibríes tienen vivos colores. Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel. Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados. Luego, todos los colibríes son de tamaño pequeno. C - ser colibrí. L - tener vivos colores. T - ser de gran tamaño. M - alimentarse de miel. - 1 Ax (cx Lx) - 2 Ax (Tx ~MI) - 3 Ax (_IMX -> "LX) Ax (Cx 1 ~T,) Esquema Regla L e y 1. Die la nicuación Doble ne,,ación (DN). Si te- a) p---'P

nemos la premisa p, se pue- (se lee: p si y sólo si no es ep de concluir su doble nega- que no p).

a) -- ción, y a la inversa.

- p b) p - p p (se lee: no es el caso que no p, si

y b) sólo si p). p 2.

En

2 . De l a c onj u n c i ón Simp)ificación (S). Sí tene- a) (p A q) ---> p mos como pre-Irrísa una con- (se lee: si p y q, entonces p). p A q junción, se puede inferir a) - por separado cuaiquiera de p las dos proposiciones atómi- b) (p 1\ q) --> q cas que la forman. (se lee: si p y q, entonces q). b) q

Esqueina Regla L e y (1) p Conjunción (Con). Si tene- p A q --> (p A q) (2) q i~~oscon~io premisas dos - proposiciones atómicas, se (se lee: si p y q, entonces p y q),

p A q puede inferir como conclu sión la conítinción de las dos.

p A p Idempotencia (Id). De la (p A p) - p conjunción de una proposi- (se lee: p y p si y sólo sí p). p ción atómica consigo mis ma, se infiere dicha propo sición separada rrien te. 2 Esqueina Regla L e Y 3 , De l a disyunción Silogismo disvuntivo (SD). a) [(p V q) A - pl --> q li-tenernos como premisas (se lee: si p o q y no p, entonces q). a) (1 ) p V q una disyunción (p V q) y la negación de una de las dos (2) - p alternativas, (- p), (- q), b) [(p V q) A - q) --> p

q se infiere la afirmación de (se lee: si p o q y no (~ entonces p). la otra alternativa de la dis yunción, (q), (p).

b) p "~' q (2) - q

p 2 p Adición (Ad). Si tenemos p (P v 9) como premisa una fórmula (se lee: si p, entonces p o q).

p V q atómica (P), se puede infe rir la disyunción de tal fór mula atómica (p) con cual quier otra proposición.

Regla L e p V p Idempotencia (Id). De la (p V p) <-> p

dMy_u_nc-ió-n-Te una proposi p ción atómica consigo mis- (se lee: p o p si sólo si p).

ma, se infiere dicha propo. sición separadamente,

4. Del condicional Nlodus ponens (.MI'). Te~ [(p --> q) A p.] --> q niendo como premisas una (se lee: si, si p entonces q, y p, enton

(1) p --- > q fórmula condicional y su ces q). (2) p antecedente, podemos ínfe

rir coi-no conclusíón el con q secuente del condicional.

2. Esquema Regla L e 11 p ---> q Modus tollens (MT). Si las Up q) A q 1 p (2) - q premisas son una fórmula - condicional y la negacíón (se lee: sí, si p entonces q, y no q, enton

p del consecuente, podemos ces no p). inferir coi-no conclusión la negación del antecedente de la condicional.

j ces q). (2) p antecedente, podemos ínfe

rir como conclusión el con q secuente del condicional.

2. Esqueina Regla L e Y p --> q Modus tollens (MT). Si las (p q) A q ___> (2) - q premisas son una fórmula p

condicional y la negación (se lee: sí, si p entonces q, y no q, enton p del consecuente,

podemos ces no p). inferir como conclusión la negación del antecedente de la condicional,

(1) p q Transitividad (Tr). Tenien- [ (p -> q) A (q --> r) 1 -> (p - r) (2) r do como premísas dos fór- (se lee: si, si p entonces q, y, si q en

mulas condicionales de las tonces r, entonces, si p entonces r). que el consecuente de la

p r primera es el antecedente de la segunda, se infiere una nueva fórmula condicional con el antecedente de la primera condicional y el consecuente de la segunda.

2. Esquema Regla L e y 5. De] bicondicional Bicondicionalidad (Bi). De a) (p q) <-~ (p --> q) una premisa l~~icondicional p - q se infieren: a) cualquiera (se lee: P si y sólo si q, sí y sólo a) - de las dos proposiciones si, si p entonces q). p --> q condicionales que la for man; b) la conjunción de b) (p <1- q) - (q --- > p)

p q las dos condicionales que la(se lee: p sí y sólo si q, sí v sólo b) forman. SI, si q entonces p),

p <--1> q c ) (p - q) - [ (p --> q) A (q p) e ) (se lee: p si y sólo si q, si y sólo 1-- (p -> q) A (q -> p) si, si p entonces q, y, si q enton ces p). Esquenia Regla L e v CI, 6. Otras reglas Dilema (Dil). Teniendo co- [(p V q) A (p --> r) A (q --> s)] -> (r V s) (1) p V q mo premisas una disyunción (se lee: si, p o q y si p entonces r y si q y dos condicionales, cuyos entonces s, entonces, r o s). (2) p ~ -> r antecedentes son las propo siciones atómicas que for (3) q --- > s man la disyunción, se pue de inferír una nueva dís r V S yuncíón con los consecuen~ tes de las dos condicionales. 2. Esquema Regla L p A q Conmutativa (Co). Sí tene- a) (p A q) (q A p) a) ------

mos una conjunción se in L squ'

,a p \ q nm 'j ta

0 os na t "a L e riSl 1 i Itene a+ p A q q /\ p Coi) 'e i n_ 'c e fíere d tra conju n_ (se lee - p y q 0n en la s propo_ one, a t' a s q ue a for_ b ( p \"' q) - (q V p

1

71ci c - m u pos cj

q A p fiere de ella otra c'o'nj*un- (se Ice: p y q si y sólo si q y p). cíón en la cual las propo

p V q síciones atómicas que la for- b) (p V q) (q V m

0 b) rnan cambian su posición p)

q V 7prespectiva. (se lee: P 0 q si Y Sólo si q V p). (Esta regla vale también pat-a (a disyunción.) Esquema Regla L e y

p A (q A r) Asociativa (As). Teniendo a) [ p A (q A r)] - [(p A q) 1\ r] a) - como premisa la conjunción (pA q) A r de una proposición atómica (se lee: p y, q y r, si y sólo si p y q,

y otra molecular conjunti- y r).

p V (q V r) va, se puede inferir una b) - nueva conjunción en la cual b)[ p V (q V r) (p V q) V

(p \/ q) V r las conjunciones que la for man se agrupan de distinto (se lee: po,qor, s(y sólosi poq, modo. o r).

(Esta regla es válida también para la disyunción.) 2

p V q De Morgan (DM). a) De (pV q) --(-p A -q) a) una disyL!nc ón se puede in- t

p A q) ferir una conjunción en la (se lee: p o q, si y sólo si no es el caso

cual queda negada toda la que no p y no q). p A q fóri-nula y también cada una

b) de las proposiciones que la p V q) forman. b) De una conjun- (p A q) p V - q) ción se puede inferir una disyunción en la cual queda (se lee: p y q si y sólo si no es el caso

que negada toda la fórmula Y no p o no q). también cada una de las proposiciones que la for man. Esquema RReegllaa g L e

é e (que, en c) y d (p A q) os d tre a 0 y )~ 0 s p (se lee _no n a) b sea pp A

A q) [Obsérvese que en c) y d) c) --~l- s han s -(p A q)<->-P V -q

p V se han seguido los tres pa sos os e (se lee: no es el caso que p y q, si y sólo p V q sos dados en a) y b), o sea:

se cambia el conjuntor sí, no p o no q) - (p V q) Por el disyuntor, Y vicever d) - sa; 2) se niega toda la fór

- p A q mula. Atención, Dues en c) (p V q) <-->

la negación de (a fórmula (se lee: no es el caso que p o q, si v sólo

es - - (p V q), que por si, no P Y no q) q doble negación~ quedaría así: p V q. Lo mismo ocu rre en d); 3) se niega cada una de las proposiciones que componen la fórmula.]