Unidad 3

Pulsos y ondas armonicas

Soluciones a los problemas: 5, 6, 10, 13, 14, 15,

16, 18

Rodolfo M. Id Betan (Rolo)

Por favor, reportar errores o comentarios a:

idbetan@gmail.com

Actualizado el 6/5/2015

Contents

1 Ejercicio 5:Una cuerda larga de un gramo por metro... 3

2 Ejercicio 6:La figura es una instantanea de un pulso ... 7

3 Ejercicio 10:Flecha de una cuerda suspendida de sus dos extremos... 11

4 Ejercicio 13:Encontrar la frecuencia, longitud de onda,... 16

5 Ejercicio 14:La ecuacion para una onda que viaja a lo largo de una cuerdaes... 19

6 Ejercicio 15:Una onda armonica longitudinal se esta propagando... 21

1

7 Ejercicio 16:El primer cuadro de la figura muestra una instantanea... 25

8 Ejercicio 18:Una onda sonora... 27

2

1 Ejercicio 5:

Una cuerda larga de un gramo por metro...

Enunciado:

Una cuerda larga de un gramo por metro es sostenida en tension en posicionhorizontal por medio de una polea y un peso M de 10 N, tal como puedeverse en la figura 1. El extremo O se desplaza hacia arriba y luego hacia

Figure 1: Figura correspondiente al ejercicio 5.

abajo hasta su posicion original; su desplazamiento Φ(0, t) esta representadopor la siguiente funcion del tiempo, en la que Φ esta en cm y t en segundos:

Φ(0, t) =

0 t < 0100t 0 ≤ t ≤ 0, 1110− 1000t 0, 1 ≤ t ≤ 0, 110 t > 0, 11

(1)

(a) Calcular la velocidad de propagacion de la perturbacion.(b) Hacer un dibujo de la forma de la cuerda en los instantes t = 0, 1s yt = 0, 2s.

Resolucion parte (a): Velocidad perturbacion

Tension de la cuerda T = 10NDensidad lineal µ = 1 g

m= 10−3Kg

m

Velocidad de propagacion de la perturbacion c =√

Tµ= 100m

s

Resolucion parte (b): Forma cuerda a t = 0, 1s

La figura 2 muestra el movimiento (en unidades de metros) del extremo x = 0como funcion del tiempo (en unidades de segundos)

3

Figure 2: Desplazamiento vertical del extremo de la cuerda como funcion deltiempo

Encontrar la forma de la cuerda a t = 0, 1s significa que debemos graficarΦ(x, t = 0, 1s) como una funcion de la posicion x.

Notese que la variable x ocurre a lo largo de la cuerda y representa laposicion del continuo de ’partıculas’ distribuıdas a lo largo de la cuerda.Mientras la funcion Φ(x, t) representa la posicion en la direccion perpendicu-lar a la cuerda, de la ’partıcula’ de la cuerda ubicada en x al tiempo t. Luegosi queremos conocer Φ(x, t = t∗) es como tomar una fotografıa de la cuerdaal timpo t = t∗.

Veamos que distancia viajan los tres puntos representativos de la pertur-bacion:

• El comienzo de la perturbacion ocurrio a tA = 0s y tenıa un desplaza-miento Φ(0; tA = 0s) = 0m. Esa perturbacion, al tiempo t = 0, 1sse encontrara en la posicion xA = c ∗ 0, 1s = 10m. Esto significa queΦ(xA = 10m; t = 0, 1s) = 0.

• Como el inicio de la perturbacion al tiempo t = 0, 1s se encuentra a 10mdel origen, significa que la infomacion de la perturbacion no llego a lasposiciones de la cuerda con x > 10m, luego Φ(x > 10m; t = 0, 1s) = 0.

• El maximo de la perturbacion que ocurrio al tiempo tB = 0, 1s tenıa undesplazamiento Φ(0; tB = 0, 1s) = 0, 1m. Esa perturbacion, al tiempot = 0, 1s se encontrara en la posicion xB = c ∗ (0, 1− tB) = c ∗ 0 = 0m.Esto significa que Φ(xB = 0m; t = 0, 1s) = 0, 1m.

• El fin de la perturbacion que ocurrio a tC = 0, 11s tenıa un desplaza-miento Φ(0; tC = 0, 11s) = 0m. Esa perturbacion, al tiempo t = 0, 1sse encontrara en la posicion xC = c ∗ (0, 1s− tC) = c ∗ (−0, 01) < 0m,lo que significa que todavıa no fue emitida.

4

Como la forma funcional de la senal es lineal podemos averiguar la posicionpara el resto de los valores x de la cuerda uniendo los desplazamientos de lospuntos xA y xB. La figura 3 muestra la forma de la cuerda a t = 0, 1s

Figure 3: Posicion de la perturbacion al tiempo t = 0, 1s

Resolucion parte (b): Forma cuerda a t = 0, 2s

Siguiendo la estrategia del apartado anterior, veamos donde se encuentracada uno de los tres puntos representativos de la forma de la perturbacion:

• El comienzo de la perturbacion ocurrio a tA = 0s y tenıa un desplaza-miento Φ(0; tA = 0s) = 0m. Esa perturbacion, al tiempo t = 0, 2sse encontrara en la posicion xA = c ∗ 0, 2s = 20m. Esto significa queΦ(xA = 20m; t = 0, 2s) = 0.

• Como el inicio de la perturbacion al tiempo t = 0, 2s se encuentra a 20mdel origen, significa que la infomacion de la perturbacion no llego a lasposiciones de la cuerda con x > 20m, luego Φ(x > 20m; t = 0, 2s) = 0.

• El maximo de la perturbacion que ocurrio al tiempo tB = 0, 1s tenıa undesplazamiento Φ(0; tB = 0, 1s) = 0, 1m. Esa perturbacion, al tiempot = 0, 2s se encontrara en la posicion xB = c ∗ (0, 2s− tB) = c ∗ 0, 1s =10m. Esto significa que Φ(xB = 10m; t = 0, 2s) = 0, 1m.

• El fin de la perturbacion que ocurrio a tC = 0, 11s tenıa un desplaza-miento Φ(0; tC = 0, 11s) = 0m. Esa perturbacion, al tiempo t = 0, 2sse encontrara en la posicion xC = c ∗ (0, 2s− tC) = c ∗ 0, 09 = 9m. Loque significa que Φ(xC = 9m; t = 0, 2s) = 0m.

• Como la perturbacion finaliza despues de 0, 11s, todas las ’partıculas’de la cuerda situadas en las posiciones con x < 9m estaran en suposicion de equilibrio, esto es Φ(x >= 9m; t = 0, 2s) = 0m

5

Utilizando el mismo argumento de linealidad del apartado anterior obten-emos la forma de la cuerda mostrada en la figura 4, la cual corresponde auna instantanea al tiempo t = 0, 2s

Figure 4: Posicion de la perturbacion al tiempo t = 0, 2s

6

2 Ejercicio 6:

La figura es una instantanea de un pulso ...

Enunciado:

La figura 5 es una instantanea de un pulso triangular que se propaga deizquierda a derecha a lo largo de una cuerda.

Figure 5: Figura correspondiente al ejercicio 6.

(a) Calcular la velocidad de los elementos de cuerda en ese instante.(b) Graficar el movimiento del punto P (xP = 15m) en funcion del tiempo.

Resolucion parte (a): Velocidad de los elementos de la

cuerda

La figura 5 corresponde a una instantanea de un pulso viajando hacia laderecha a la velocidad c = 20m/s.

Podemos conocer el tiempo transcurrido t∗ entre el inicio de la pertur-bacion y el momento en que fue tomada la fotografıa. Este es el tiempo quele lleva al ’frente del pulso’, esto es, el inicio de la perturbacion recorrer ladistancia entre el origen x = 0m y su posicion actual x = 10m. Este tiempopuede calcularse si conocemos a la velocidad que viaja la perturbacion, eneste caso es dato: c = 20m/s. Luego t∗ = 10m

20m/s= 0, 5s

Para conocer la velocidad de los elementos de la cuerda es suficiente cono-cer la velociad con que fue hecha la perturbacion en el origen x = 0m.

La parte ascendente de la perturbacion esta representada por el segmentoen la figura 5 entre las posiciones x = 8m y x = 10m. El tiempo ∆t1 que laperturbacion demora en recorrer estos 2m

2m = c ∗∆t1 (2)

es el mismo tiempo invertido el la posicion inicial para llevar la cuerda a su

7

maximo desplazamiento

Φ(0,∆t1) = 0, 1m = v1 ∗∆t1 (3)

a la velocidad v1.Como conocemos la velocidad c, podemos despejar el tiempo de la eq.

(2)

∆t1 =2m

c=

2m

20m/s= 0, 1s (4)

Luego, la velocidad ascendente que ocurre en el intervalo 0 < t < 0, 1s es

v1 =0, 1m

∆t1=

0, 1m

0, 1s= 1m/s (5)

De esta forma hemos determinado que la perturbacion consiste en subir verti-calmente la posicion x = 0m de la cuerda desde 0m hasta 0, 1m a la velocidadconstante de v1 = 1m/s. Luego el tramo de 8m a 10m tiene una velocidadascendente de 1m/s.

El tramo de la cuerda mas halla de 10m tiene velocidad nula porquetodavıa no le llego la informacion de la perturbacion.

El tramo de la cuerda ubicado entre 5m y 8m esta descendiendo y nos darainformacion de la velocidad de descenso de la perturbacion en x = 0m. Paraello necesitamos saber cuanto tiempo dura la parte de descenso. Siguiendola estrategia del tramo ascendente vamos a calcular este tiempo a partir deltiempo que le lleva a la perturbacion recorrer la distancia 8m− 5m = 3m ala velocidad c = 20m/s:

∆t2 =3m

20m/s= 0, 15s (6)

Luego, la velocidad de la cuerda en la posicion inicial sera

v2 =(0− 0, 1)m

∆t2=

−0, 1m

0, 15s= −0, 667m/s (7)

Esto significa que el tramo de cuerda entre 5m y 8m desciende con ve-locidad de modulo 0, 667m/s.

Por ultimo, el tramo entre 0m y 5m tiene velocidad nula porque la per-turbacion solo estubo activa durante un tiempo ∆ = ∆1 +∆2 = 0, 25s y yano esta activa.

Resumiendo (ver tambien fig. 6):

v =

0 0 ≤ x ≤ 5m−0, 667m/s 5m < x ≤ 8m1m/s 8m < x ≤ 10m0 x > 10m

(8)

8

Figure 6: Velocidad de los elementos de cuerda en el instante t∗ = 0, 5s.

Resolucion parte (b): Movimiento del punto P

Recordemos que la forma general de conocer el desplazamiento Φ(x, t) esutilizando la relacion

Φ(x, t) = Φ(x = 0, t−x

c) (9)

donde c es la velocidad de propagacion de la perturbacion.Esto implica que conociendo el desplazamiento del origen como funcion

del tiempo Φ(x = 0, t) podemos determinar el desplanzamiento de cualquierotro punto x de la cuerda como funcion del tiempo t, simplemente trasladandola funcion Φ(x = 0, t) en el tiempo la cantidad x

c. Notese que el signo menos

de la traslacion es un indicador de causalidad: la perturbacion no puede llegara x antes que la fuente la haya emitido. El tiempo que tarda la perturbacionen recorrer la distancia x a la velocidad c es tr =

xcllamado tiempo de retardo.

En nuestro caso c = 20m/s y x = 15m, luego

tr =15m

20m/s= 0.75s (10)

Usando la informacion del apartado (a) podemos graficar el desplaza-miento del origen de la cuerda Φ(x = 0, t) como funcion del tiempo, siendoque allı deducimos que durante los primeros 0, 1s el origen sube a velocidadconstante de 1m/s hasta alcanzar el desplazamiento maximo de 0, 1m/s yluego desciende, durante un tiempo t = 0, 15s, con velocidad −0, 667m/shasta el origen, permaneciendo allı el resto del tiempo. La figura 7 muestraΦ(x = 0, t).

La forma funcional de Φ(0, t) que obtenemos de la figura 7 es

Φ(0, t) =

0 t < 01m

st 0s ≤ t < 0, 1s

0, 167m− 0.667mst 0, 1s ≤ t < 0, 25s

0 t ≥ 0, 25s

(11)

9

Figure 7: Desplazamiento del origen de la cuerda como funcion del tiempo.

Derivando la ecuacion (11) obtenemos la velocidad con que se sube y bajala cuerda en el origen,

v(t) =Φ(0, t)

dt(12)

v(t) =

0 t < 01m

s0s ≤ t < 0, 1s

−0.667ms

0, 1s ≤ t < 0, 25s0 t ≥ 0, 25s

(13)

La figura 8 muestra Φ(x = 15m, t) obtenida traslando la funcion Φ(x =0, t).

Figure 8: Desplazamiento del punto x = 15m de la cuerda como funcion deltiempo.

10

3 Ejercicio 10:

Flecha de una cuerda suspendida de sus dos

extremos...

Enunciado:

Flecha de una cuerda suspendida de sus dos extremos. La ecuacion de on-das se obtiene aplicando la ecuacion de Newton a cada uno de los elementosinfinitesimales de la cuerda. Puede ser utilizada por consiguiente para deter-minar la forma que la cuerda adopta, en el equilibrio, bajo la accion de supropio peso. En las ecuaciones que se utilizaron para deducir la ecuacion deondas agregue el peso del elemento de cuerda. Si iguala a cero la sumatoriade fuerzas que actua sobre el elemento de cuerda se obtiene una ecuaciondiferencial simple para el desplazamiento Φ(x) de la cuerda medida a partirde la lınea horizontal.(a) Encontrar la solucion de esta ecuacion diferencial. Las dos constantesarbitrarias se determinan por medio de las condiciones de borde Φ(0) = 0 yΦ(L) = 0.(b) La deformacion maxima de la cuerda (en su punto medio) es la flecha f .Demostrar que:

f =gµL2

8T(14)

(c) Estimar el valor de la flecha f de la lınea aerea del Problema 9.

Resolucion parte (b): Calcular el valor de la fecha f

La figura 9 muestra un diagrama de la cuerda que define la flecha f .

Figure 9: Flecha f .

Calculemos el momento con respecto a uno de los soportes, por el ejemploel de la derecha. La figura 10 muestra un diagrama de cuerpo libre esta mitad.

11

Figure 10: Diagrama de cuerpo libre de un trozo de cuerda.

Consideremos los momentos de las tres fuerzas que actuan sobre estamitad de la cuerda segun un sistema de coordenadas, segun la regla de lamano derecha, ubicado en el extremo de la derecha:

• La tension del extremo derecho no realiza momento

• El peso de la mitad realiza un momento P L4. Donde L es la distancia

entre los extremos. P = mg es el peso la mitad de la cuerda, comm = µL

2, µ la densidad lineal de la cuerda

• El momento de la tension en la parte inferior de la mitad de la cuerdaes −Tf

La sumatoria de momentos dara:

−Tf + PL

4= 0 (15)

−Tf +mgL

4= 0 (16)

−Tf + µL

2gL

4= 0 (17)

−Tf + µL2

8g = 0 (18)

luego,

f =gµL2

8T(19)

Resolucion parte (a): Obtener la solucion de la ecuacion

diferencial

Tomando un trozo de cuerda de longitud ∆x y haciendo el diagrama decuerpo aislado encontramos las dos tensiones en los extremos y el peso. Como

12

en el caso del analisis de la teorıa pero con la curvatura de la cureda invertidatendremos:

T1senθ1 − T2senθ2 −mg = 0 (20)

Aproximando las tensiones T1∼= T2

∼= T tenemos

Tsenθ1 − Tsenθ2 −mg = 0 (21)

Aproximando los senos a las tangentes senθ ∼= tanθ

T tanθ1 − T tanθ2 −mg = 0 (22)

La tangente la podemos escribir en funcion del desplazamiento vertical Φcomo

tanθ =∂Φ

∂x(23)

Luego,

T

(

∂Φ

∂x

)

1

− T

(

∂Φ

∂x

)

2

−mg = 0 (24)

T

[(

∂Φ

∂x

)

1

−

(

∂Φ

∂x

)

2

]

−mg = 0 (25)

El termino entre corchetes puede aproximarse con una diferencia finita

(

∂Φ

∂x

)

1

−

(

∂Φ

∂x

)

2

=

(

∂Φ∂x

)

1−

(

∂Φ∂x

)

2

∆x∆x (26)

=∂2Φ

∂x2∆x (27)

Reemplazando en la 2da ecuacion de Newton tenemos

T

[(

∂Φ

∂x

)

1

−

(

∂Φ

∂x

)

2

]

−mg = 0 (28)

T∂2Φ

∂x2∆x−mg = 0 (29)

La masa se puede escribir en termino de la densidad lineal m = ∆xµ,

T∂2Φ

∂x2∆x−∆xµg = 0 (30)

T∂2Φ

∂x2− µg = 0 (31)

13

Como consecuencia de las aproximaciones hechas la ecuacion diferencialtiene por solucion una parabola (en lugar de un coseno hiperbolico), dondepodemos reemplazar las derivadas parciales por totales:

d2Φ

dx2=

µg

T(32)

La solucion general es de la forma

Φ(x) = ax2 + bx+ c (33)

De la ecuacion diferencial podemos obtener el valor de la constante aderivando dos veces,

dΦ

dx= 2ax+ b (34)

d2Φ

dx2= 2a =

µg

T(35)

luego

a =µg

2T(36)

De las condiciones de contorno obtenemos las constantes b y c:

• Φ(x = 0) = c = 0 implica c = 0

• Φ(x = L) = aL2 + bL = 0 implica b = −aL = −µgL2T

Juntando todos los coeficientes,

Φ(x) = ax2 + bx = ax2 − aLx = ax(x− L) (37)

=µg

2Tx(x− L) (38)

Lo que resulta en una parabola con sus ramas hacia arriba y los extremos enx = 0 y x = Lm..

Podemos chequear la ecuacion con las condiciones iniciales y con el de-splazamiento del centro del cable:

• Φ(x = 0) = µg2T0(0− L) = 0

• Φ(x = L) = µg2TL(L− L) = 0

• Φ(x = L/2) = µg2T

L2(L2− L) = − µg

2TL2

L2= −µg

TL2

8

El signo negativo en la flecha es debido a que las condiciones iniciales dan losvalores de los extremos en cero, y las ramas van hacia arriba, luego la partede la parabola entre x = 0 y x = Lm tiene signo negativo.

14

Resolucion parte (b): Estimar el valor de la fecha f delProblema 9

Los datos del Ejercicio 9 son los siguientes:

• L = 130m

• ρ = 9000Kgm3 = m

V= m

Al= µ

A

• A = 50mm2 = 50mm2 m2

106mm2 = 5× 10−5m2

• µ = Aρ = 5× 10−5m2 × 9000Kgm3 = 45× 10−2Kg

m

• T = 4000N

Reemplazando en la ecuacion de la flecha resulta

f =µg

T

L2

8(39)

=0, 45, 8

4000

1302

8(40)

= 2, 33m (41)

15

4 Ejercicio 13:

Encontrar la frecuencia, longitud de onda,...

Enunciado:

Encontrar la frecuencia f , longitud de onda λ, velocidad c, la fase φ y am-plitud A de las ondas que se describen por las siguientes ecuaciones (todaslas cantidades estan en unidades del SI):

• (a) y = 3sen2π(3t− 0, 02x)

• (b) y = 7cos2π(3, 1t+ 200x)

• (c) y = 5sen(500t− x)

• (d) y = 6sen(3t− 0, 125x+ π/3)

La expresion general para las ondas armonicas en termino de la amplitudA, la frecuencia angular ω, el numero de onda k y la fase viene dada por lasiguiente expresion (usando la funcion coseno como referencia):

y(x, t) = Acos(ωt− kx+ φ) (42)

con

ω = 2πf =2π

T⇒ f =

ω

2π(43)

k =2π

λ⇒ λ =

2π

k(44)

λ = cT ⇒ c =λ

T= λf (45)

(46)

Si usaramos el seno como referencia la fase φ resultarıa diferente. Debidoa que la relacion entre el seno y el coseno es π

2, las fases calculadas usando

la funcion coseno o seno diferiran en π2. Veamos esta relacion:

sen(φ+π

2) = sen(φ)cos(

π

2) + cos(φ)sen(

π

2) (47)

= sen(φ)× 0 + cos(φ)× 1 (48)

= cos(φ) (49)

lo que muestra que si usamos la funcion coseno para calular la fase y obten-emos el valor φ, si hubieramos utilizado la funcion seno para expresar laarmonicas hubieramos obtenido la fase φ+ π

2.

16

Por otro lado si utilizamos la funcion seno como referencia y obtenemos lafase φ′, la fase que corresponde a la funcion coseno es φ′− π

2como mostramos

aqui:

cos(φ′ −π

2) = cos(φ′)cos(

π

2) + sen(φ′)sen(

π

2) (50)

= cos(φ′)× 0 + sen(φ′)× 1 (51)

= sen(φ′) (52)

Resolucion parte (a): Calcular f , λ...para y = 3sen2π(3t−0, 02x)

La funcion

y = 3sen2π(3t− 0, 02x) (53)

puede reescribirse en la forma general anterior

y = 3sen(6πt− 0, 04πx) (54)

lo que implica

A = 3m (55)

φ′ = 0 (56)

ω = 6π (57)

k = 0, 04π (58)

Luego,

f =ω

2π=

6π

2π= 3Hz (59)

λ =2π

0, 04π= 50m (60)

c =λ

T= λf = 50× 3 = 150m/s (61)

La onda se traslada hacia la derecha.Usando el coseno como funcion de referencia darıa los mismos valores

para la amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad pero conuna fase φ = −π

2:

y = 3cos(6πt− 0, 04πx−π

2) (62)

17

Resolucion parte (b): Calcular f , λ...para y = 7cos2π(3, 1t+200x)

La funcion

y = 7cos2π(3, 1t+ 200x) (63)

puede reescribirse como

y = 7cosx(6, 2πt+ 400πx) (64)

lo que implica

A = 7m (65)

φ = 0 (66)

ω = 6, 2π (67)

k = 400π (68)

Luego,

f =ω

2π=

6, 2π

2π= 3, 1Hz (69)

λ =2π

k=

2π

400π= 0, 005m = 5mm (70)

c =λ

T= λf = 0, 005× 3, 1 = 0, 0155m/s (71)

La onda se traslada hacia la izquierda.

18

5 Ejercicio 14:

La ecuacion para una onda que viaja a lo

largo de una cuerda es...

Enunciado:

La ecuacion para una onda que viaja a lo largo de una cuerda es y =Asen(30t − x). Escribir la ecuacion de una onda que viaja en la mismacuerda, en el sentido opuesto, que tenga la misma amplitud y el doble defrecuencia.

Resolucion:

Reescribiendo la ecuacion de onda usando la estructura general y(x, t) =Asen(ωt− kx) tendrıamos,

y = Asen(30t− kx) (72)

que ω = 30rad/s y k = 1, con k en las mismas unidades de longitud que x.Duplicar la frecuencia es equivalente a duplicar la frecuencia angular, lo

que implica ω′ = 60rad/s.Para invertir el sentido de la velocidad basta con cambiar el signo en la

fase −kx.Debido a que la onda se propaga en la misma cuerda, su velocidad no

cambiara (porque la velocidad depende de las propiedades de la soga). Larelacion entre frecuencia f , numero de onda k y velocidad c implica que alcambiar f y mantener c, el valor de k debe cambiar en forma consitente:

k =2π

λ(73)

=2π

Tc(74)

=2πf

c(75)

(76)

luego, duplicar la frecuencia f ′ = 2f implica,

k′ =2πf ′

c(77)

k′ =2π2f

c(78)

k′ = 2k (79)

k′ = 2 (80)

19

Juntando todas las partes, tenemos que la onda que se propaga en lamisma cuerda con la misma amplitud, el dobre de frecuencia y en el sentidoopuesto resulta,

y′ = Asen(60t + 2x) (81)

20

6 Ejercicio 15:

Una onda armonica longitudinal se esta pro-

pagando...

Enunciado:

Una onda armonica longitudinal se esta propagando a lo largo de un re-sorte tipo Slinky. La primera parte de la figura 11 muestra una instantaneaque muestra el espaciamiento entre las espiras de un segmento del Slinkyantes que la onda haya llegado al mismo y la segunda parte muestra una in-stantanea del espaciamiento entre las espiras cuando la onda armonica estapasando a traves del mismo segmento.(a) Sobre el cuadro inferior, marcar la espira que esta en el centro exacto delas dos primeras compresiones.(b) Use una regla para determinar la longitud de onda.(c) Comparar la posicion de cada una de las espiras del cuadro inferior a laposicion de la espira en el cuadro superior. Encontrar para que espiras ladiferencia (desplazamiento) entre estas dos posiciones es mayor.(d) Usar una regla para encontrar la amplitud de esta onda longitudinal.(e) Graficar Φ(x, t) en funcion de x para la instantanea inferior.

Figure 11: Propagacion de una onda longitudinal en un resorte Slinky.

Resolucion parte (a): Marcar espira en el centro de lascompresiones

La figura 11 describre una onda longitudinal. Numerando las espiras desde1, desde la izquierda, observamos que la espira 2 en la parte inferior, estalevemente desplazada hacia la derecha. Lo mismo ocurre con las espiras 3,4 y 5. La espira 6 en la parte inferior parece estar alineada con la espira 6

21

de la parte superior. Por otro lado, las espiras 7, 8, 9 y 10 estan levementedesplazadas hacia la izquierda.

Algo similiar ocurre con las vecinas a las espirar centradas en la espira16.

Resolucion parte (b): Longitud de onda

Midiendo la distancia entre la espira 6 y 16 obtenemos, que representandos maximos consecutivos, obtenemos la longitud de onda, la cual indica laperiodicidad en el espacio:

λ = 44mm (82)

Note que el valor numerico de λ puede ser diferente segun como se hayaimpreso la practica.

Tambien se podrıa medir λ entre las espiras 1 y la 11 que representan dosmınimos consecutivos de la onda longitudinal.

Resolucion parte (c): Desplazamiento maximo

El desplazamiento longitudianl maximo Φmax lo podemos medir en la figurabuscando la espira con mayor apartamiento con respecto a su propia posicionde equilibrio.

Esto ocurre (para esta instantanea en el tiempo), por ejemplo, en algunade las espiras ubicadas entre las espiras 1 y 6 (dado que ellas pernacen en suposicion de equilibrio): en este sector el desplazamiento mayor ocurre en lasespiras 3 y 4, con un desplazamiento de aproximadamente 2mm.

Resolucion parte (d): Amplitud

La amplitud de la onda longitudinal se desprende del analisis del apartado(c): 2mm (aproximadamente y dependiendo de la impresion)

Resolucion parte (e): Graficar Φ(x, t)

El tiempo t correponde al momento en que la fotografıa fue tomada. Por loque resta dibujar el desplazamiento Φ a lo largo del eje del resorte para cadaespira ubicada en la posicion x.

Suponemos que la forma funcional de Φ(x, t) para t es armonico. Ası,la grafica quedarıa perfectamente especificada dando la amplitud de la os-cilacion A, la longitud de onda λ y la posicion de los nodos (ceros) y maximos.

Notese que cada 5 (cinco) espiras, contando a partir de la espira 1, per-manece en su posicion de equilibrio. Esto ocurre cada media longitud de

22

onda λ2= 22mm. Luego las espiras 1, 6, 11, 16, 21 y 26 estan ubicadas en

los nodos: Φ(x, t) = 0. Si definimos x = 0 en la posicion de la espira 1,los nodos se encuentran en: λ

2, 2λ

2, 3λ

2, .... Luego, Φ(0, t) = Φ(22mm; t) =

Φ(44mm; t) = Φ(66mm; t) = ... = Φ(110mm; t) = 0Entre los nodos 1 y 6, en x = λ

4= 11mm, ocurre el primer maximo

de desplazamiento. El siguiente ocurrira x = λ4+ λ = 55mm. Esto es

Φ(11mm; t) = Φ(55mm; t) = Φmax = 2mm.Entre los nodos 6 y 11, x = 3λ

4= 33mm ocurre el primer mınimo de

desplazamiento: Φ(33mm; t) = −2mm. El siguiente mınimo ocurrira enx = 3λ

4+ λ4.

El numero de onda k resulta

k =2π

λ(83)

=2π

44mm(84)

= 0, 1427mm−1 (85)

La figura 12 muestra el desplazamiento longitudinal suponiendo un con-tinuo de espiras.

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Figure 12: Desplazamiento longitudinal de las espiras en el resorte Slinky.

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7 Ejercicio 16:

El primer cuadro de la figura muestra una

instantanea...

Enunciado:

El cuadro superior de la figura 13 muestra una instantanea de un segmentode cuerda a traves de la cual se propaga una onda transversal de izquierdaa derecha. El cuadro inferior de la fig. 13 muestra una instantanea delmismo segmento de la cuerda tomada 0.4 segundos despues que la primerainstantanea ha sido tomada. (0.4s es menor que el perıodo de la onda).(a) ¿A que velocidad se propaga la onda?(b) Cual es la velocidad vertical promedio (en modulo y sentido) del puntoA de la figura durante el intervalo de 0.4s entre las dos instantaneas.(c) ¿Porque en el enunciado del problema se aclara que el intervalo de 0.4ses menor que el perıodo de la onda? ¿Cual serıa la ambiguedad si no se haceesta aclaracion?

Figure 13: Desplazamiento transversal al tiempo t = 0 (parte superior) y altiempo t = 0, 4s (parte inferior).

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Resolucion parte (a): velocidad de propagacion.

El maximo del desplazamiento, representado por el punto A en la imagensuperior, se encuentra en la posicion x1 = 1, 5cm, mientras que, transcurridoun tiempo ∆t = 0, 4s, el maximo se encuentra (ver imagen inferior) en x2 =3cm. Luego, la perturbacion se desplaza a la velocidad

c =x2 − x1

∆t=

1, 5cm

0, 4s= 3, 75cm/s (86)

Resolucion parte (b): velocidad vertical promedio.

La velocidad vertical promedio del punto A en el intervalo de ∆t = 0, 4sviene dado el cociente entre el desplazamiento vertical y el tiempo ∆t. Apartir de las imagenes superior e inferior tenemos,

v =0− 5

∆t=

−5cm

0, 4s= −12, 5cm/s (87)

Resolucion parte (c): Cual serıa la ambiguedad.

El tiempo transcurrido entre un maximo y un nodo es de T4, donde T es el

perıodo.Esto implica, que bajo la suposicion del enunciado ∆t = 0, 4s = T

4.

Alternativamente, la imagen inferior tambien es consistente con una in-stantanea tomada, por ejemplo al tiempo ∆t = 0, 4s = T

4+ T = 5

4T . En

ese caso la distancia recorrida por la cresta representada por A en la imagensuperior ubiera recorrido una distancia 1, 5cm + λ, donde λ = 6cm es lalongitud de onda. Esto implicarıa que la velocidad de la perturbacion serıa,

c =x2 − x1

∆t=

7, 5cm

0, 4s= 18, 75cm/s!!! (88)

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8 Ejercicio 18:

Una onda sonora...

Enunciado:

Una onda sonora Φ(x, t) = Asen(kx − ωt) (A = 1mm, f = 500Hz) viajade izquierda a derecha con la velocidad c = 340m/s, en el interior de untubo lleno de aire de densidad ρ0 = 1, 21Kg/m3. La seccion del tubo esS = 10cm2.(a) Calcular la longitud de onda y el perıodo de la onda(b) Calcular y graficar la onda de presion pe(x, t)(c) Calcular la energıa por unidad de volumen(d) Calcular la intensidad media de la onda

Resolucion parte (a): λ, T

Calculemos todas las magnitudes y parametros a partir de los datos enunidades del SI:

ω = 2πf = 2 ∗ 3, 14159 ∗ 500 = 3141, 59rad/s (89)

T =1

f=

1

500= 0, 002s (90)

λ = cT = 0, 68m (91)

k =2π

λ= 9, 24m−1 (92)

c =

√

B

ρ0⇒ B = c2ρ0 = 1, 4× 105Pa (93)

S = 10−3m2 (94)

A = 10−3m (95)

donde B es el modulo de compresibilidad del aire.

Resolucion parte (b): Graficar pe(x, t)

La sobrepresion se relaciona con el gradiente del desplazamient de la siguienteforma

pe(x, t) = −B∂Φ(x, t)

∂x(96)

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luego

pe(x, t) = −BAkcos(kx− ωt) (97)

= −1292, 45cos(kx− ωt) (98)

= −1292, 45cos(9, 24x− 1570, 8t) (99)

(100)

la unidad del producto BAk es Pascal: [BAk] = Pa × m × 1

m= Pa. Los

valores de k y ω fueron tomados del apartado (a).La figura 14 muestra la sobre presion como funcion del la posicion de

equilibrio del aire x fijando el valor de en t = 0s. Note que la distancia entredos maximos se corresponde con el valor de λ dado en el apartado (a).

Figure 14: Variacion de la sobre presion pe(x, t = 0) como funcion de x.

La figura 15 muestra la sobre presion del aire como funcion del tiempopara la masa de aire que en su posicion de equilibrio se encuentra en x = 0s.Note que la distancia entre dos maximos se corresponde con el valor de Tdado en el apartado (a).

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Figure 15: Variacion de la sobre presion pe(x = 0, t) como funcion de t.

Resolucion parte (c): Energıa

La densidad de energıa (energıa por unidad de volumen) viene dada por lasiguiente expresion:

u(x, t) =1

2ρ0

(

∂Φ(x, t)

∂t

)2

+1

2B

(

∂Φ(x, t)

∂x

)2

(101)

la unidad de u es la de energıa por unidad de volumen, esto es J/m3. Paracomparar luego con la expresion numerica deducimos aquı la unidades de uen terminos de las unidades fundamentales en el SI:

[u] =J

m3= N ×m×

1

m3= N ×

1

m2= Kg ×

m

s2×

1

m2= Kg ×

1

s2×

1

m

=Kg

ms2(102)

Usando la ecuacion de desplazamiento

Φ(x, t) = Asen(kx− ωt) (103)

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tenemos

∂Φ(x, t)

∂t= −Aω cos(kx− ωt) (104)

∂Φ(x, t)

∂x= Ak cos(kx− ωt) (105)

Luego,

u(x, t) =1

2ρ0 [−Aω cos(kx− ωt)]2 +

1

2B [Ak cos(kx− ωt)]2 (106)

u(x, t) =ρ02A2ω2 cos2(kx− ωt) +

B

2A2k2 cos2(kx− ωt) (107)

Finalmente, podemos escribir la densidad de energıa como funcion de laposicion de equilibrio x y del tiempo,

u(x, t) =A2

2

[

ρ0 ω2 +B k2

]

cos2(kx− ωt) (108)

con las siguientes unidades:[

A2]

= m2 (109)[

ρ0 ω2]

=Kg

m3×

1

s2=

Kg

s2m3(110)

[

B k2]

= Pa×1

m2=

N

m2×

1

m2= Kg

m

s2×

1

m4=

Kg

s2m3(111)

En numeros

u(x, t) = 5× 10−7m2

[

1, 194× 107Kg

s2m3+ 1, 194× 107

Kg

s2m3

]

cos2(kx− ωt)

(112)

u(x, t) = 5 [2× 1, 194]Kg

s2mcos2(kx− ωt) (113)

u(x, t) = 11, 94J

m3cos2(kx− ωt) (114)

Notese que en la ecuacion (112) el factor ρ0 ω2 y el factor B k2 dan la

misma contribucion. Esto es un resultado general que es consecuencia de lasrelaciones entre las distintas magnitudes como podemos demostrar:

ρ0 ω2 = B k2 (115)

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de la velocidad escribimos ρ0 en termino de B,

c =

√

B

ρ0⇒ ρ0 =

B

c2(116)

De las relaciones

ω =2π

T(117)

k =2π

λ(118)

escribimos la velocidad en termino de ω y k,

c =λ

T=

2π

k

12πω

=ω

k(119)

Luego,

ρ0 =B

c2= B

k2

ω2(120)

reemplazando en

ρ0 ω2 = B

k2

ω2ω2

= Bk2 (121)

Esto implica que la ecuacion de densidad de energıa

u(x, t) =A2

2

[

ρ0 ω2 +B k2

]

cos2(kx− ωt) (122)

puede escribirse como,

u(x, t) = A2ρ0 ω2 cos2(kx− ωt) (123)

o

u(x, t) = A2B k2 cos2(kx− ωt) (124)

31

Resolucion parte (d): Intensidad promedio

La intensidad viene definida como potencia por unidad de area, o flujo porunidad de tiempo y area,

I(x, t) =p2e(x, t)

Z(125)

donde Z es la impedancia:

Z =B

c= 411.4

Pas

m(126)

y pe(x, t) es la sobrepresion:

pe(x, t) = −BAkcos(kx − ωt) (127)

El valor medio de la intensidad < I > implica calcular el valor mediodel cuadrado de la sobrepresion. El valor medio de una armonica puedecalcularse en un perıodo, luego

〈I(x, t)〉 =1

Z〈p2e(x, t)〉 (128)

con

〈p2e(x, t)〉 =1

T

∫ T

0

p2e(x, t) (129)

=1

T

∫ T

0

(BAk)2cos2(kx− ωt) (130)

=(BAk)2

T

∫ T

0

cos2(kx− ωt)dt (131)

Definimos la variable u = kx− ωt, luego

du = −ωdt ⇒ dt = −du

ω(132)

t = 0 ⇒ u = kx (133)

t = T ⇒ u = kx− ωT (134)

32

Luego,

∫ T

0

cos2(kx− ωt)dt = −1

ω

∫ kx−ωT

kx

cos2(u)du (135)

= −1

ω

[

u

2+

sen(2u)

4

]kx−ωT

kx

(136)

= −1

ω

[

(kx− ωT )− (kx)

2+

sen(kx− ωT )− sen(kx)

4

]

= −1

ω

(−ωT )

2(137)

=T

2(138)

la cantidad sen(kx− ωT )− sen(kx) = 0 debido a la periodicidad.Luego,

〈p2e(x, t)〉 =(BAk)2

T

∫ T

0

cos2(kx− ωt)dt (139)

=(BAk)2

T

T

2(140)

=(BAk)2

2(141)

Resultando la intensidad media,

〈I(x, t)〉 =1

Z〈p2e(x, t)〉 (142)

=1

Z

(BAk)2

2(143)

Llamando pm = BAk a la amplitud de la sobrepresion

pe(x, t) = −BAkcos(kx− ωt) (144)

= −pmcos(kx− ωt) (145)

Podemos escribir la intensidad promedio como

〈I(x, t)〉 =1

Z

(BAk)2

2(146)

=p2m2Z

(147)

33

En numeros:

pm = BAk = 1292, 45Pa (148)

p2m = 1, 67× 106Pa2 (149)

Z =B

c= 411, 4Pa s/m (150)

Luego,

〈I(x, t)〉 =p2m2Z

(151)

= 2030, 18J

m2 s(152)

= 2030, 18W

m2(153)

donde la unidad de I resulta de

[I] = [p2m2Z

] (154)

= Pa2m

Pa s= Pa

m

s(155)

=N

m2

m

s(156)

=J

m2 s(157)

=W

m2(158)

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