Unidad iV

Unidad iVELEMENTOS SUJETOS A TORSIN4.1. Torsin en vigas de seccin circular4.2. El clculo de rboles de transmisin de potencia4.3. ngulo de torsin4.4. Torsin de barras circulares

Jos Roberto duarte Gonzlez

Mecnica de materiales

En ingeniera, torsin es la solicitacin que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecnico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensin predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsin se caracteriza geomtricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de l.La teora de Coulomb es aplicable a ejes de transmisin de potencia macizos o huecos, debido a la simetra circular de la seccin no pueden existir alabeos diferenciales sobre la seccin. De acuerdo con la teora de Coulomb la torsin genera una tensin cortante el cual se calcula mediante la frmula:

Donde:tp : Esfuerzo cortante a la distancia .t : Momento torsor total que acta sobre la seccin.p : distancia desde el centro geomtrico de la seccin hasta el punto donde se est calculando la tensin cortante.j : Mdulo de torsin.

Esta ecuacin se asienta en la hiptesis cinemtica de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismtica consimetra de revolucin, es decir, es una teora aplicable slo a elementos seccin circular o circular hueca. Para piezas con seccin de ese tipo se supone que el eje baricntrico permanece inalterado y cualquier otra lnea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricntrico, es decir, se admite que la deformacin viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El clculo de rboles de transmisin de potenciaLos rboles y ejes son elementos de mquinas, generalmente de seccin transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellosLos ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los rboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsin y transmitiendo potencia

Etapas del diseo de rboles El diseo de rboles comprende bsicamente: Seleccin del material Diseo constructivo (configuracin geomtrica) Verificacin de la resistencia: - esttica - a la fatiga - a las cargas dinmicas (por ejemplo cargas pico) Verificacin de la rigidez del rbol: - deflexin por flexin y pendiente de la elstica - deformacin por torsin Anlisis Modal (verificacin de las frecuencias naturales del rbol) El material ms utilizado para rboles y ejes es el acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son ms exigentes que las de rigidez, podra optarse por aceros de mayor resistencia

Esfuerzos en los rboles Los elementos de transmisin de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los rboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el rbol se producen generalmente esfuerzos por flexin, torsin, carga axial y cortante

Esfuerzos cortantes producidos por el par de torsin. Si la seccin es circular slida, los puntos de mayor esfuerzo cortante son los ubicados en la periferia, y dicho esfuerzo, Ss , est dado por:

donde T, c, J y d son el par de torsin, la distancia desde el eje neutro hasta los puntos de mayor esfuerzo, el momento polar de inercia y el dimetro, respectivamente, de la seccin transversal que se est analizando. Esfuerzos normales por carga axial. El esfuerzo normal, SF, es constante en toda la seccin y est dado por:

donde F y A son la fuerza axial y el rea transversal, respectivamente, de la seccin de anlisis. El signo + indica que el esfuerzo es de traccin y se toma si F es de traccin; el signo se toma si F es de compresin.

Angulo de torsionDeformacin de un miembro circular sometido a torsin. Considerar la rotacin relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

La expresin anterior, debido a la hiptesis de la geometra de deformacin, es vlida para cualquier valor de r tal que r c. Adems, de la geometra de deformacin presentada en la Fig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma relativa en un ngulo debido al ngulo . Por lo tanto, si el plano tena forma de rectngulo, luego de la rotacin relativa de la seccin transversal tiene forma de rombo.Tensiones debido a la Torsin en el Rango Elstico. Considerar la ley de Hooke para la tensin de corte = G donde G es el mdulo de rigidez o mdulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3) y (4), se obtiene max c r = (5) lo que indica que la tensin de corte vara linealmente con la distancia r medida desde el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una seccin anular, se cumple la siguiente relacin

Si se considera la simetra, se demuestra que las secciones transversales de la barra circular giran como cuerpos rgidos alrededor del eje longitudinal, los radios permanecen rectos y la seccin transversal permanece plana y circular. Tambin, si el ngulo de torsin total es pequeo, no variarn la longitud de la barra ni su radio. Durante la torsin ocurrir una rotacin alrededor del eje longitudinal, de un extremo de la barra respecto al otro.

Las longitudes de los lados del elemento no cambian durante esta rotacin, pero los ngulos de las esquinas ya no miden 90.