Unidad 4Clase 4.3

Matrices: Definiciones, matrices especiales y operaciones con

matrices

Matemática Básica para Economistas MA99

Objetivos:El alumno será capaz de:

Explicar la definición de una matriz.Identificar la posición de los elementos de una matriz.Identificar y clasificar los diversos tipos de matrices.Realizar operaciones con matrices: suma, resta, multiplicación.Aplicar las propiedades en las operaciones entre matrices.

Introducción:

Las matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniería, la economía y otras ciencias aplicadas.Son útiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de ecuaciones, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economía (Matriz Insumo – Producto), entre otras.

MatrizMatriz

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos (números reales) ordenados en filas y columnas:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

aij es el elemento situado en la i-ésima fila y en la j-ésima columna. La matriz tiene m filas y n columnas.

5210425

05813

x

B

B es una matriz de orden 2x5.

Matrices especiales: Matriz fila y matriz columnaMatriz fila y matriz columna

naaaA 11211

1

21

11

mb

b

b

B

Las matrices filas son las de orden 1xn y las matrices columnas son las de orden mx1 (vectores)

A es una matriz fila.

B es una matriz columna.

Igualdad de matricesIgualdad de matricesDos matrices A y B del mismo orden son iguales si todos sus elementos correspondientes son iguales.

ijijmxnmxn baBA

Matrices especiales: Matriz diagonalMatriz diagonal

Es la matriz cuadrada Anxn = [aij] definida por:

n

A

000

000

000

000

3

2

1

aij =i si i = j

0 si i ≠ ji Є R

Matrices especiales: Matriz identidadMatriz identidad

Es un caso particular de la matriz diagonal, en la cual los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

1000

0100

0010

0001

nI

Matrices especiales: Matriz TriangularMatriz Triangular

Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos iguales a cero.

jiaij ,0

Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero.

jiaij ,0

Matriz transpuestaMatriz transpuesta

Dada una matriz Amxn = [aij], llamaremos matriz transpuesta de A a la matriz que resulta de intercambiar en A las filas por columnas. Esta matriz estará denotada por At

nxm = [aji].

11

35

12

A

131

152tA

ttt

ttt

tt

tt

ABBA

BABA

RkkAkA

AA

.. )4

)3

, )2

)1

Propiedades:

Matrices especiales: Matriz simétrica y antisimétricaMatriz simétrica y antisimétrica

965

641

512

A

Una matriz cuadrada A se llama simétrica si

At = A y antisimétrica si At = -A.

0623

6074

2701

3410

B

A es una matriz simétrica, pues At = A.

B es una matriz antisimétrica, pues Bt = -B.

Adición y sustracción de matricesAdición y sustracción de matricesDadas las matrices Amxn = [aij] y Bmxn = [bij] del mismo orden, la suma (A+B) o diferencia (A-B) es una matriz cuyos elementos son las sumas o diferencias de cada uno de los elementos respectivos de las matrices.

A + B = [aij + bij] ; A – B = [aij – bij]

Multiplicación de un escalar por una matrizMultiplicación de un escalar por una matriz

El producto de un escalar k por una matriz es otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k.

2820

12168: 4 si

25

342

21

kAtienesekA

Ejercicios:

Ejercicio 6.1 – Prob. 12 (pág. 230)

Construya la matriz B = [bij] si B es de orden 2x2 y bij = (-1)i+j(i2 + j2)

Ejercicio 6.1 – Prob. 13 (pág. 230)

Si A = [aij] es de orden 12x10, ¿cuántas entradas tiene A? Si aij = 1 para i = j y aij = 0 para i ≠ j, encuentre a33, a52, a10,10 y a12,10

Ejercicio: Construya una matriz A = [aij], si A es de orden 3x2 donde aij = 4i + 2j

Ejercicios:

Ejercicio 6.2 – Probs. 29, 30 y 34 (pág. 238)Calcule: 3AT + D (B – C)T

(D – 2AT)T

Dadas las matrices:

07

-10

21

A= B=-14

31C=

21

01

201

-121D=

Aplicaciones:

Ejercicio 6.1 – Prob. 29 (pág. 230)La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones (filas), en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices de enero (E) y febrero (F) son:

a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron?b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?

E=

0972

5310

2162F=

6204

2332

4820