Unidad 4 Probabilidades
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
UNIDAD 1
PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
UNIDAD 4
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
INTRODUCCIÓN
En esta unidad y para concluir con la tarea de plasmar los primeros
conceptos de Probabilidades y Estadística; desarrollaremos los conceptos
referidos a la probabilidad clásica y frecuencial. Las reglas y los conceptos
generales, hasta la utilización de la regla de Bayes.
Luego se exponen las distribuciones de probabilidad para espacios
muestrales discretos como la distribución uniforme discreta, la Binomial, la
Multinomial, la Poisson, y para espacios muestrales continuos, como la
distribución uniforme continua, la normal y la exponencial.
Trabajar con las tablas permite ahorrar tiempo y esfuerzo, al tiempo que
podemos entender mejor algunos conceptos. Adelante…
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
► Que el alumno luego de conocer los conceptos básicos de probabilidad, los
aplique en distribuciones discretas y/o continuas.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
CONTENIDOS 4.1. Probabilidades.
4.2. Distribuciones Discretas de Probabilidad.
Uniforme discreta.
Binomial.
Hipergeométrica.
Multinomial.
Poisson.
4.3. Distribuciones Continuas de Probabilidad.
Uniforme continua.
Normal.
Exponencial.
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Tipos
Dis
trib
uci
on
es
de
pro
bab
ilid
ad
Pueden ser:
Esquema de contenidos
A continuación le presentamos un esquema con vinculación de contenidos.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Iniciaremos el recorrido de la cuarta Unidad Didáctica. Le deseamos
mucha suerte.
Comenzamos…
Desarrollo de los contenidos
4.1.PROBABILIDADES
Vamos a describir a la probabilidad como la posibilidad de ocurrencia
de un hecho, la misma mide la frecuencia con la que aparece un resultado
determinado cuando se realiza un experimento.
Por ejemplo: si tiramos un dado y se quiere conocer cual es la probabilidad de
que salga un 5, o que salga un número impar, o de obtener un número mayor que
3.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse
los diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún
realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, en la
probabilidad, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Por ejemplo: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o seca,
pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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► Definiciones:
Espacio Muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. “S”
Suceso compuesto o evento: es un subconjunto del espacio muestral.
Suceso unitario o evento simple: son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio
Por ejemplo: Si en una línea de producción se seleccionan 3 artículos que
pueden ser buenos (B) o defectuosos (D), el espacio muestral será:
S = {BBB, BBD, BDB, BDD, DBB, DBD, DDB, DDD}
Si definimos el evento A: al menos un art. es Bueno
A = { BBB, BBD, BDB, BDD, DBB, DBD, DDB}
En las carreras de caballos el “Batalla de Tucumán” es el premio más importante
de la Provincia, puede ganar cualquier caballo entre el número 1 y el 12, pero no
sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo
en este momento).
Existen experimentos que no son aleatorios, razón por la cual no se les puede
aplicar las reglas de la probabilidad.
Si un experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el
espacio muestral estaría formado por S = {(CC), (CS), (SC), y (SS)}.
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ÁLGEBRA DE CONJUNTOS:
Espacio muestral; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {1, 3, 5} B = { 1, 4} C = { 4, 5, 6} D = { 2, 4, 6}
Intersección de eventos: BA {1} es el conjunto de todos los
elementos comunes de A y de B.-
Unión de eventos: CA { 1, 3, 4, 5, 6} es el conjunto de todos los
elementos de A ó de C ó de
ambos.-
Eventos mutuamente excluyentes: DA se da cuando no existen
elementos comunes entre los
eventos.-
Complemento de eventos: cA S – A cA { 2, 4, 6} ; cB { 2, 3, 5,
6}
Es el conjunto de todos los
elementos de “S”, que no están en
el evento respectivo.-
Corolario: cAA S
Idea:
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor
posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un
experimento aleatorio.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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La probabilidad da como resultados posibles valores entre 0 y 1 (expresados en
tanto por ciento, entre 0% y 100%):
AXIOMAS DE PROBABILIDAD:
1) 0)( P Al suceso imposible (conjunto vacío) le corresponde el valor cero.
Por ejemplo: la probabilidad de que salga el número 7 si lanzamos un dado al aire
es cero (si es un dado normalizado de seis caras).
2) 1)( SP El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire
y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
3) 1)(0 AP En el calculo de probabilidades de un suceso habrá
probabilidades entre cero y uno, que tenderá a la unidad cuanto más probable
sea que dicho suceso tenga lugar.
PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE:
Uno de los métodos más utilizados define la probabilidad de un suceso como el
cociente entre el número de sucesos favorables y el número de sucesos posibles.
posiblessucesosdeN
favorablessucesosdeNAP
..º
..º)(
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Veamos algunos ejemplos de probabilidad a priori:
a) La probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 5: el caso favorable
es tan sólo uno (que salga el cinco), mientras que los casos posibles son seis
(puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:
1667,06
1)( AP (lo que sería el 16,67 %)
b) La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar: en este caso
los casos favorables son tres (que salga el uno, el tres o el cinco), mientras que
los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
50,02
1
6
3)( BP (lo que representaría el 50%)
c) La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en
este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el
cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
6667,06
4)( CP (lo que sería el 66,67 %)
d) La probabilidad de que nos toque “La cabeza" de la quiniela: tan sólo un caso
favorable, el número que jugamos, frente a 1.000 casos posibles. Por lo tanto:
001,0000.1
1)( DP (o lo que es lo mismo el 0,1 % ó el 1 ‰).
No olvide que los objetivos de cada Unidad guiarán su estudio haciéndoselo más agradable porque sabe dónde debe (quiere) llegar. Sigamos…
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Ejemplos
Qué lástima...... parece que, tiene la misma probabilidad el número 452, que el
número 001, pero ¿cuál de ellos comprarías?
Existen dos requisitos para poder aplicar la Regla de Laplace que el
experimento aleatorio tiene que cumplir
El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si
hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos
posibles" el cociente siempre sería cero.
Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar
un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no
podríamos aplicar esta regla.
Como lo expusimos a la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad
a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento
cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas
probabilidades.
En el caso que el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados
vamos a acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la
experiencia (modelo frecuencial). Cuando se realiza un experimento aleatorio un
número elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos
empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas
probabilidades.
Si repito el experimento de lanzar una moneda al aire un número elevado de
veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se
vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos
sucesos según el modelo frecuencial.
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En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni
que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
A esta definición de la probabilidad se le denomina “probabilidad a posteriori”,
ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces
podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.
Cuando el número de ensayos tiende a ∞; la probabilidad frecuencial tiende
a la probabilidad clásica.
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar
dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden
establecer entre los mismos. Veamos ahora cómo se refleja esto en el cálculo de
probabilidades.
Si un evento puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad
del primer evento será menor que la del evento que lo contiene.
BA )()( BPAP
Por ejemplo, si lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: i) que salga el
número 5, y ii) que salga un número impar. Dijimos que el evento i) está
contenido en el evento ii).
1667,06
1)5( XP
50,06
3)º( imparnP
Podemos apreciar que la probabilidad del evento i), es menor que la probabilidad
del evento ii).
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Si dos eventos son iguales: las probabilidades de ambos eventos son las
mismas.
Por ejemplo lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga
número par, y ii) que salga múltiplo de 2. En este caso las soluciones coinciden.
50,06
3)º( parnP
50,06
3)..( dosdemultiploP
Intersección de eventos (o evento conjunto): es aquel evento
compuesto por los elementos comunes de los dos o más eventos que se
intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos
comunes.
Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga
número impar, y i) que sea mayor que 2. La intersección de estos dos eventos
tiene dos elementos: el 3 y el 5.
Su probabilidad será por tanto:
3333,03
1
6
2)( BAP
La probabilidad que ocurran los eventos A y B es de 0,333
Unión de dos o más eventos: la probabilidad de la unión de dos eventos
es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos
que se unen, menos la probabilidad del evento intersección.
)()()()( BAPBPAPBAP
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Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: i) que salga
número par, y ii) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría
formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
S(A) = {2,4,6} S(B) = {4,5,6} S(AB) = {4,6}
P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 3333,06
2)( BAP
6667,03333,0)50,050,0()( BAP
La probabilidad que ocurran los eventos A o B es de 0,6667
Eventos mutuamente excluyentes: la probabilidad de la unión de dos
eventos mutuamente excluyentes será igual a la suma de las
probabilidades de cada uno de los eventos (ya que la intersección es el
conjunto vacío y 0)( P ).
Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga
un número menor que 3, y ii) que salga el número 6.
La probabilidad de la unión de estos dos eventos será igual a:
S(A) = {1,2} S(B) = {6} S(AB) =
P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166
De donde, 50,01667,03333,0)( BAP
Eventos complementarios: la probabilidad del evento complementario es
igual a )(1)( APAP c
Por ejemplo si lanzamos un dado al aire. el suceso (i) es que salga un número
par, luego su complementario, suceso (ii), es que salga un número impar.
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La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50
La probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = P(A)C = 1 - P(A) = 1 - 0,50 =
0,50
Podemos comprobar aplicando la regla general de "casos favorables / casos
posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50
Unión de eventos complementarios: la probabilidad de la unión de dos
sucesos complementarios es igual a 1.
Si seguimos con el ejemplo anterior: i) que salga un número par, y ii) que salga
un número impar. La probabilidad del evento unión de estos dos será igual a:
P(A) = 6
3 = 0,50 P(B) =
6
3 = 0,50
Por lo tanto: P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
Algunas veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es
complejo y hay que aplicar reglas matemáticas, para ello vamos a diferenciar:
a) Combinaciones:
Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden
formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del
resto en los elementos que lo componen, sin que importe el orden.
)!!.(
!
rnr
nCrn
Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden
formar con los números 1, 2 y 3.
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Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de
combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se
cuentan una vez.
3)!23!.(2
!323
C combinaciones distintas.
b) Variaciones o Permutaciones de n objetos tomando r a la vez:
Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los
elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto
es que si importa el orden de los elementos (es lo que le diferencia de las
combinaciones).
Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este
caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.
)!(
!,
rn
nPV rnrn
6)!23(
!323
P permutaciones posibles.
No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.
Continuamos…
Recuerde que:
El término " n! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los
números que van desde "n" hasta 1.
Por ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
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Probabilidad condicional:
Las probabilidades condicionales se calculan una vez que poseemos información
adicional a la situación inicial:
)(
)()/(
BP
BAPBAP
con P(B) > 0
Nota: )/( BAP debe leerse “probabilidad de que ocurra A, habiendo antes
ocurrido B”. Es decir, que para calcular una probabilidad condicionada, tuvo
necesariamente que haber ocurrido el otro evento
P (A/B) es la probabilidad de que se de el suceso A condicionada a que se haya
dado el suceso B.
)( BAP es la probabilidad del evento simultáneo (o evento conjunto)de A y de B,
tal como se ha definido antes.
P (B) es la probabilidad a priori del evento B; la que no puede ser igual a cero, ya
que caeríamos en una indeterminación.
Por ejemplo: si se tira un dado sabemos que la probabilidad de que salga un 5
es una en seis (probabilidad a priori). Y si incorporamos nueva información (por
ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número impar) entonces la
probabilidad de que el resultado sea el 5 ya no es 1/6.
P (A/B) es la probabilidad de obtener el n° 5 (Suceso A) dado que salió un n°
impar.
De donde: P (A B) = 1/6 ; P (B) = ½ ; P (A/B) = 2/1
6/1 = 1/3
Luego, la probabilidad de que salga el número 5, si ya sabemos que ha salido un
número impar, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).
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Otro caso: En un estudio pre-laboral se ha llegado a la conclusión de que la
probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el
0,10 (probabilidad a priori).
Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad
(suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez
problemas de obesidad y coronarios (suceso conjunto de A y B) es del 0,05.
Si queremos calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas
coronarios si está obesa (sería la probabilidad condicionada P(B/A)).
P (B A) = 0,05 ; P (A) = 0,25 ; P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No
siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la priori o
menor.
La regla de multiplicación de probabilidades deriva de la probabilidad
condicional:
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso
intersección de A y B o suceso conjunto de Ay B) es igual a la probabilidad del
suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al
cumplimiento del suceso A.
La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:
)()./()()./()( APABPBPBAPBAP
Es decir, que la probabilidad de eventos conjuntos es igual a la probabilidad de
ocurrencia de un evento por la probabilidad del otro evento condicionada por el
que ocurrió primero
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Si estudiamos el suceso A (operarios que hablan inglés) y el suceso B
(operarios del sector fábrica) y obtenemos la siguiente información:
Un 50% de los operarios hablan inglés. De los operarios que hablan inglés, un
20% se encuentran en el sector fabrica (suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un operario hable inglés y sea del sector fábrica
(suceso intersección de A y B).
Tenemos: P (A) = 0,50 ; P (B/A) = 0,20
P (A B) = 0,50 . 0,20 = 0,10
O sea, un 10% de los operarios hablan inglés y trabajan en el sector fábrica.
El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionadas.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
)/().()( ii ABPABP (donde “i” toma valores entre 1 y n)
En otras palabras, la probabilidad de que ocurra el suceso B es igual a la suma
de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con
los diferentes sucesos A, por la probabilidad de cada suceso A. Teniendo en
cuenta que para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un
requisito: los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que
contemplar todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el
100%
El Teorema de Bayes: deriva del principio del Teorema de la probabilidad total,
sigue el proceso inverso al que hemos visto: a partir de que ha ocurrido el suceso
B deducimos las probabilidades del suceso A:
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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La fórmula del Teorema de Bayes es:
)(
)(
)/().(
)/().()/(
BAP
BAP
ABPAP
ABPAPBAP
i
i
ii
ii
i
Vamos a intentar explicar este concepto con un ejemplo. De todos modos, antes
de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso
A forme un sistema completo.
Ejemplo de Bayes: un operario puede desempeñarse en tres sectores de una
empresa:
P (sector 1) = 50% ; P(sector 2) = 30% ; P(sector 3) = 20%
Según los posibles sectores donde se le asigne el trabajo, la posibilidad de que
ocurra un accidente (evento A) es la siguiente:
P(A / sector 1) = 10% ; P(A / sector 2) = 20% ; P(A / sector 3) = 5%
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la
empresa, no sabemos en que sector ocurrió (S1, S2 o S3). El teorema de Bayes
nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (S1 = 50%, S2 = 30% y S3 =
10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las
probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B),
que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a calcular algunas
probabilidades.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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a) La probabilidad de accidente será:
P(A) = P(AS1) + P(AS2) + P(AS3)
Según la fórmula para calcular dos eventos
conjuntos: )()./()()./()( APABPBPBAPBAP
P(A) = P(S1) P(A/S1) + P(S2) P(A/S2) + P(S3) P(A/S3)
P(A) = 0,50 x 0,10 + 0,30 x 0,20 + 0,20 x 0,05 = 0,12
Este resultado debe interpretarse del siguiente modo: la probabilidad de
accidente en esa empresa es 0,12 (12%)
b) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 1
dado que tuvo un accidente será:
Vamos a aplicar la fórmula:
)/().(
)/().()/(
ii
ii
iABPAP
ABPAPBAP
)05,020,0()20,030,0()10,050,0(
10,050,0)/( 1
ASP = 0,4167
c) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 2 dado
que tuvo un accidente será:
)05,020,0()20,030,0()10,050,0(
20,030,0)/( 2
ASP = 0,50
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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d) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 3 dado
que tuvo un accidente será:
)05,020,0()20,030,0()10,050,0(
05,020,0)/( 3
ASP = 0,0833
Independencia de sucesos
Se dice que dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de
uno de ellos no incide para nada a la ocurrencia del otro.
Por ejemplo: el suceso asistencia de los operarios de una fábrica y el color del
pelo son independientes: que un operario falte más o menos a su trabajo no va a
influir en el color de su cabello, ni viceversa.
Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de
las siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de B, dado el suceso A, es
exactamente igual a la probabilidad de B.
P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de A, dado el suceso B, es
exactamente igual a la probabilidad de A.
P (A B) = P (A) . P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el
suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A
multiplicada por la probabilidad del suceso B.
Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B
también es independiente del suceso A.
Por lo tanto, si no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas: los dos
sucesos no son independientes, entonces decimos que existe algún grado de
dependencia o relación entre ellos.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Por ejemplo si analicemos dos sucesos: “A” la probabilidad de que haga buen
tiempo es del 0,4 y suceso “B” la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda
es del 0,5, si tenemos que la intersección: la probabilidad de que haga buen
tiempo y que salga cara es 0,2, veamos si se cumple alguna de las condiciones
señaladas:
)(5,04,0
2,0
)(
)()/( BP
AP
BAPABP
)(4,0
5,0
2,0
)(
)()/( AP
BP
BAPBAP
2,04,0.5,0)().()( BPAPBAP Son sucesos independientes
4.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Definiciones y conceptos
Variable aleatoria: Es aquella cuyos valores surgen asignando números a
los resultados de un experimento aleatorio. Como los valores que asumen las
variables aleatorias surgen de cuantificar eventos, podemos asignar una
probabilidad a cada valor de la variable aleatoria. Es decir, si se tiene una
variable X, cuyos posibles valores X1 , X2 , ........... , Xn , a los cuales
podemos asociarles una probabilidad p1 , p2 , .............. pn , decimos que ha
quedado definida una variable aleatoria.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas
Distribuciones discretas
Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede
tomar un número determinado de valores, provienen de espacios muestrales
discretos cuya característica principal es que surgen del hecho de contar.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Se representan por el conjunto de números enteros, los naturales y el cero, no
admiten en la observación valores de la variable con decimales. Por ejemplo: si
se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede
tomar un valor del 1 al 32; una familia puede no tener hijos (0 hijos) o puede tener
1, 2, 3, …..10 hijos, nunca podrían tener 1,5 hijos.
Como los valores de probabilidad surgen de cuantificar todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio, la suma de las probabilidades debe se igual
a uno:
1)(1
n
i
ixp
Función de distribución de probabilidad: para estas variables es una
función que acumula probabilidades de manera similar a las frecuencia
acumuladas en una tabla de frecuencias relativas y se simboliza:
F (u) = P (x u)
Se lee: probabilidad de que la variable tome un valor menos o igual a u.
Distribuciones continuas
Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de
posibles soluciones, provienen de espacios muestrales continuos cuya
característica principal es que surgen del hecho de medir.
Se representan por el conjunto de números reales, admiten infinitos valores
intermedios como puntos en un segmento de línea, con la particularidad que la
probabilidad que una variable aleatoria continua asuma un valor exacto tiende a
cero. Por ejemplo: el peso medio de los alumnos de una clase puede tomar
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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infinitos valores dentro de cierto intervalo (de 42 a menos de 45 kg, de 45 a
menos de 48, etc.); la esperanza media de vida de una población (72,5 años,
75,13 años, 72, 51234 años).
Al tener la variable infinitos valores, se puede calcular la probabilidad que valores
particulares de la variable aleatoria ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos
considerando la función matemática que se conoce con el nombre de función de
densidad de probabilidad: f (x).
Si X es una variable aleatoria continua, cuyo campo de variabilidad es el
intervalo: a x b, siendo a y b dos números reales fijos, la probabilidad en este
intervalo se define:
En las variables aleatorias continuas también se pueden calcular una función
de distribución que acumula probabilidades y se define como:
u
adxxfuFuXaP )()()(
F(u) está representada por el área comprendida entre el eje x, la función de
densidad f(x) y las ordenadas f(a) y f(b), pero también la podemos representar
como la función de probabilidad acumulada; de allí que F(a) = f(a) y F(b) = 1
1)()( b
adxxfbXaP
f(x)
)( bXaP
25
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Las distribuciones quedan definidas a través de sus parámetros: esperanza
matemática, varianza y desvío estándar.
No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA
EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.
Sigamos…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
¡No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes
consignas.
1. Defina espacio muestral. De al menos un ejemplo
2. ¿Qué implica en probabilidades, obtener un 1 como resultado
3. Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes. De un ejemplo
4. A qué se llama eventos independientes.
26
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
5. Qué requisito debe darse para que, dados dos eventos, se pueda calcular una probabilidad condicionada.
6. Si dos eventos son independientes, ¿a qué es igual la probabilidad
conjunta de ambos?
4.2.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
4.2.1.1.- Uniforme discreta:
Cuando la variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con idéntica
probabilidad la distribución de dicha variable recibe el nombre de distribución
discreta uniforme.
.,,,,´
1);( 21 kxxxxcon
kkxf
Por ejemplo: Si seleccionamos un empleado de un grupo de 8 para supervisar
determinado proyecto, eligiendo aleatoriamente una placa numerada de un box
que contiene 8 fichas numeradas del 1 al 8. ¿Cuál sería la fórmula para la
distribución de probabilidad de X que representa el número de la placa que se
saca?. ¿Cuál sería la probabilidad que el número que se saque sea menor que
6?
.8,,2,1,8
1)8;( xconxf
27
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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P(x < 6) = P(x ≤ 5) = 625,08
5
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
La media aritmética de una distribución uniforme discreta está dada por:
k
xk
ii
1
La varianza de una distribución uniforme discreta está dada por:
k
xk
ii
2
12
)(
1.4.2.1.2.- Binomial – Proceso de Bernoulli:
El proceso de Bernoulli es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza
una sola vez y que puede tener dos soluciones: éxito (acierto) o fracaso:
Cuando es éxito (acierto) la variable toma el valor 1
Cuando es fracaso la variable toma el valor 0
Por ejemplo: Variables dicotómicas como la probabilidad de salir cara al lanzar
una moneda al aire (sale cara o no sale); probabilidad de acertar una quiniela (o
aciertas o no aciertas), o dicotomizadas probabilidad de ser admitido en una
universidad (o lo admiten o no lo admiten).
Al hablar de dos soluciones únicamente se trata de sucesos
complementarios:
A la probabilidad de éxito se le denomina "p"
A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" = 1 - p
28
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Verificándose que: p + q = 1
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:
P (cara) = p = 0,5
P (cruz) = q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1
b) Probabilidad de ser admitido en la universidad:
P (admitido) = p = 0,25
P (no admitido) = q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1
c) Probabilidad de acertar a la quiniela:
P (acertar) = p = 0,001
P (no acertar) =q = 0,999 p + q = 0,001 + 0,999 = 1
La distribución de Bernoulli se aplica cuando se realiza una sola vez un
experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por
lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0
.14.2.1.3.- Distribución discreta binomial:
La distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:
La distribución binomial se aplica cuando se repite un número "n" de veces el
experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La
variable puede tomar valores entre:
29
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
0: si todos los experimentos han sido fracaso
n: si todos los experimentos han sido éxitos
En general, las condiciones que debe cumplir son:
El experimento consiste en n intentos repetidos.
Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como
un éxito o como un fracaso.
La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante
para todos los intentos.
Los intentos repetidos son independientes.
La distribución de probabilidad para este tipo de distribución basada en
experimentos de Bernoulli, donde estudiamos el comportamiento de la variable
aleatoria binomial X, el número de éxitos en n experimentos independientes,
sigue el siguiente modelo:
knk
kn qpCkxP ..)( con k = 0,1,2,…,n
Recuerde que:
)!!.(
!
knk
nCkn
Ejemplo de distribución binomial. En cierto sector de una empresa el 75% de
los accidentes se deben a la falta de señalización adecuada ¿Cuál es la
30
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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probabilidad de que dentro de los próximos 8 accidentes, exactamente 4 se
deban a la falta de señalización?
"k" es el número de éxitos. En este ejemplo " k " igual a 4 (en cada éxito decimos
que la variable toma el valor 1: como son 4 éxitos, entonces k = 4)
"n" es el número de intentos. En el caso planteado n = 8
"p" es la probabilidad de éxito, es decir, que los accidentes de deban a la falta de
señalización adecuada. Por lo tanto p = 0,75
La fórmula quedaría: 08652,025,0.75,0.)!48!.(4
!8)4( )48(4
xP
O sea, que la probabilidad de que 4 de los próximos 8 accidentes se deban a la
falta de señalización es del 8,652%.
31
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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A nuestro problema también lo solucionamos con el Excel, vamos a insertar función:
Elegimos en seleccionar una categoría de funciones, a las estadísticas, y dentro
de las estadísticas, escogemos a la DISTR.BINOM.
Ingresamos la información del problema y listo. P(X=4) = 0,086517334
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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En una distribución binomial, tenemos que:
Continuando con el ejemplo anterior si queremos conocer ¿Cuál es la
probabilidad de que menos de 4 accidentes se deban a la razón antes indicada?
33
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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En este caso nos pide P(x<4) al ser una variable discreta sería:
P(x ≤ 3) = P(x=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Lo podemos obtener directamente de la tabla acumulada (ver anexo tablas
estadísticas) F(3) = 0,0273
1.4.2.1.4.- Poisson – Experimentos de Poisson:
Cuando la variable aleatoria X representa el número de resultados durante un
intervalo de tiempo dado o una región específica nos encontramos frente a
experimentos de Poisson.
Generalmente cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un
número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo
es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson.
El proceso de Poisson tiene las siguientes características:
El número de ocurrencias en dos intervalos de tiempo disjuntos son
independientes.
La probabilidad de exactamente una ocurrencia en un intervalo de tiempo
muy pequeño es proporcional a la longitud del intervalo y no depende del
intervalo en particular.
La probabilidad de tener más de una ocurrencia en un intervalo de tiempo
particular muy pequeño es despreciable.
No olvide que los objetivos de cada Unidad guiarán su estudio haciéndoselo más agradable porque sabe dónde debe (quiere) llegar. Sigamos…
34
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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La distribución de probabilidad para este tipo de distribución basada en
experimentos de Poisson, donde estudiamos la variable aleatoria binomial X, el
número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una
región específica, sigue el siguiente modelo:
!
)(.)(
k
tekxP
kt con k = 0,1,2,…,n
t t 2
Recuerde que:
e = 2,71828…
t = es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región.
“k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando
Ejemplo de Poisson: Si en promedio, llegan tres operarios por minuto al servicio
de comidas de la fábrica durante la hora del almuerzo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos
operarios? Y
Datos: t = 3 operarios por minuto
K = 2
224,0!2
)3(.)2(
23 exP
O sea, que la probabilidad de que lleguen exactamente 2 operarios es del 22,4%.
35
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Para resolver esto utilizado Excel. De las funciones estadísticas, seleccionamos
la función POISSON.
Ingresamos la información que tenemos: y listo, tenemos el resultado:
P(X=2) = 0,2240
36
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Continuando con el ejemplo:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de dos operarios en un minuto
dado?
P(X>2) = ?
Con el Excel encontraremos P(X ≤ 2) y hacemos el siguiente cálculo:
P(X > 2 ) = 1 - P(X ≤ 2)
Entonces:
P(X>2) = 1 – 0,4232 = 0,5768
37
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Utilizando nuevamente el Excel:
► Lea atentamente el siguiente concepto:
Algunas veces nos encontramos con muestras de tamaño bastante grande y con
probabilidades de éxito, a las que hemos llamado p, muy pequeñas. En estos
casos, la distribución de Poisson resulta apropiada para obtener una buena
aproximación al resultado que se obtendría si se aplicara la distribución binomial.
38
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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En general, se usa como regla que cuando n 30 y además n.p < 5 ó n.q < 5,
se puede obtener de la distribución de Poisson aproximaciones apropiadas a la
distribución binomial.
Cuando se utiliza la distribución de Poisson para aproximar el modelo binomial,
los parámetros se definen como:
pnXE )( 2
Ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tránsito es de 0,02 cada vez
que se viaja. Si se realizan 200 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener
exactamente 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 5,
entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
!3
4.)3(
34 eXP
Luego, P (x = 3) = 0,1953
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 200 viajes es del
19,53%
1.4.2.1.5.- Hipergeométrica:
Las distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica cundo tenemos k
éxitos en un total de N experimentos posibles, del siguiente tipo:
Son experimentos donde, al igual que en la distribución binomial, en cada ensayo
hay tan sólo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Pero se diferencia de la
distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí:
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.
Continuamos…
Si en un proceso de selección del personal con 5 postulantes experimentados y 3
novatos, si en un primer ensayo saco un experimentado, en el segundo ensayo
hay un postulante experimentado menos por lo que las probabilidades son
diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).
Un experimento hipergeométrico tiene las siguientes características:
Una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona sin reemplazo de un
total de N unidades totales.
k unidades del total N pueden clasificarse como éxitos y N-k como
fracasos.
La distribución de probabilidad basada en experimentos Hipergeométricos, donde
estudiamos la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una
muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de N resultados posibles, de
los cuales k son éxitos y N-k fracasos, sigue el siguiente modelo:
nN
xnkNxk
C
CCknNxhxXP
.),,;()( con k = 0,1,2,…,n
Tener en cuenta que:
N
kn.
40
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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)1.(..1
2
N
k
N
kn
N
nN
Ejemplo de hipergeométrica: en una reunión hay 20 personas: 14 invitados y 6
de la casa. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3
sean de la casa?
0175,0.
)3(320
01436 C
CCxP
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas
sean de la casa es sólo del 1,75%.
Para resolver esto utilizado Excel. De las funciones estadísticas, seleccionamos
la función DISTR.HIPERGEOM.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Ingresamos la información que tenemos: y listo, tenemos el resultado:
P(X=3) = 0,0175
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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► Lea atentamente los siguientes conceptos:
Una distribución binomial se detecta por los datos n intentos, p
probabilidad:
Una distribución poisson se detecta por los datos t
Una distribución hipergeométrica se detecta por los datos k éxitos, N-K
fracasos.
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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1.4.2.1.6.- Multinomial:
La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia
de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber
múltiples resultados:
.......!...!.!.
!,...),(
3
3
2
2
1
1
321
3322,11
xxxppp
xxx
nxXxXxXP
Por ejemplo: En una exposición, el 20% de los asistentes son españoles, el 30%
franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han
reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2
italianos?
Aplicando el modelo:
0384,01,0.4,0.3,0.2,0.!0!.2!.0!.4
!4)0,2,02( 0202
432,1 XXXXP
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por personas de estos
países es tan sólo del 3,84%.
1.4.2.1.7.- Hipergeométrica multivariada:
Es similar a la distribución hipergeométrica, con la diferencia de que en la urna,
en lugar de haber únicamente elementos de dos colores, hay de diferentes
colores.
La distribución hipergeométrica multivariada sigue el siguiente modelo:
nN
xNXNxN
C
CCCxXxXxXP
.....,...),( 33221 1
3322,11
Ejemplo: Si en un refrigerador hay 12 envases de refrescos de los cuales son 3
de manzana, 5 de naranja y 4 de uva, ¿cual es la probabilidad de que al surtir un
44
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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pedido de 7 envases tomados al azar 2 sean de manzana, 4 de naranja y 1 de
uva?
712
344523)13,42,21(C
CCCXXXP
= 0,0758
La probabilidad que el pedido sea surtidos con 2 envases de manzana, 4 de
naranja y uno de uva es de 7,58%
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
¡No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes
consignas.
1. Proporcione ejemplos de espacios muestrales discretos
2. Proporcione ejemplos de espacios muestrales continuos
Si finalizó con la tarea, continúe con la lectura.
45
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
4.2.2.- DISTRUBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
4.2.2.1.- Uniforme continua:
La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro
de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.
Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no
únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones
discretas). La función de densidad, aquella que nos permite conocer la
probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:
1)(xf , con x <
Podemos ejemplificar diciendo: el precio medio del litro de gasoil durante el
próximo año se estima que puede oscilar entre 2,40 y 3,60 $. Podría ser, por
tanto, de 2,43 $, o de 2,434 $, o de 2,4345 $, o de 2,43455 $, etc. Hay infinitas
posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.
1)(xf , con x <
Donde: : es el extremo superior (en el ejemplo, 3,60 $)
: es el extremo inferior (en el ejemplo, 2,40 $)
Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:
8333,020,1
1
40,260,3
1)(
xf
46
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Es decir, que el valor final esté entre 2,40 $ y 2,50 $ tiene un 8,33% de
probabilidad, que esté entre 2,50 y 2,60, otro 8,33%, etc.
El valor medio de esta distribución se calcula:
2)(
xE
$00,32
60,340,2
Por lo tanto, el precio medio esperado del gasoil para el próximo año es de $ 3,00
La varianza en una distribución uniforme continua será:
12
)()(
22
xVAR
22
2 $12,012
)40,260,3(
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
¡No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes
consignas.
1. ¿Cómo será la gráfica de una distribución uniforme continua?
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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2. En este caso ¿es lo mismo P (X< 6 ) que P(X ≤ 6), por qué?
Si finalizó con la tarea, continúe con la lectura.
4.2.2.2.- Normal:
La teoría de probabilidades se basa en el estudio de este tipo de distribuciones,
es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que una multitud de
fenómenos se comportan según una distribución normal.
Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una
campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio
de la distribución
Distribución normal
Valor medio
La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y
varianza σ2, es:
2)(2
1
..2
1)(
x
exf
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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Donde ...14159,3 y e = 2,71828…
A no asustarse la aplicación en la práctica es de cálculo sencillo, utilizando
la tabla de la distribución normal.
Características de la Distribución Normal:
La Moda, que es el punto donde la curva tiene su máximo valor, sobre el
eje horizontal, ocurre en x = μ.
La curva es simétrica respecto de su eje vertical donde tiene la media μ.
La curva posee sus puntos de inflexión en x = μ ± σ, entonces es cóncava
hacia abajo si μ - σ < X < μ + σ y es cóncava hacia arriba en cualquier otro
punto.
La curva normal es asintótica en cualquiera de las dos direcciones
alejándose de la media, se acerca al eje horizontal, sin tocarlo.
El área total bajo la curva y por encima del eje horizontal es igual a uno.-
La distribución normal viene definida por dos parámetros:
X ~ N (μ , σ2)
μ: como ya lo expusimos es el valor medio de la distribución y precisamente allí
es donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).
σ 2 : es la varianza, indica si los valores están más o menos alejados del valor
central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta,
entonces los valores están muy dispersos.
Cuando la μ = 0 y σ = 1 se denomina normal estándar, y su ventaja reside en
tablas donde se recogemos la probabilidad acumulada para cada punto de la
curva. Además, toda distribución normal se puede transformar en una normal
estándar empleando una fórmula de transformación
49
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Para transformarla en una normal estándar se crea una nueva variable (Z) que
será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación estándar
(que es la raíz cuadrada de la varianza).
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitiéndonos,
por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor: Z ~ N (0, 1)
Trabajar con la distribución normal estándar tiene la ventaja, de que las
probabilidades o áreas para cada valor bajo la curva se encuentran en una tabla.
Por ejemplo: tenemos una variable aleatoria que sigue el modelo de una
distribución normal conμ= 10 y σ2 = 4. Transformarla en una normal estándar. X
~ N (10, 4)
XZ
2
10
XZ
Distribuciones Normal Estándar
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5723
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7090 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7813 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
50
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8416 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
Metodología de trabajo de la Tabla Normal:
La columna de la izquierda indica el valor estándar Z (entero y primer decimal)
cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La fila superior nos indican el
segundo decimal del valor que estamos consultando.
Por ejemplo: si queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 1,88.
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 1,8 y en la primera fila
el valor 0,08. La casilla donde se intersectan es su probabilidad acumulada
(0,9699, es decir 96,99 %).
51
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Nota: la tabla nos da probabilidades acumuladas, es decir, la que va desde el
inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad
concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente
despreciable.
Ejemplo Tabla Normal 1:
La probabilidad acumulada en el valor Z = 0,85: la respuesta es 0,8023
La probabilidad acumulada en el valor Z = 1,28: la respuesta es 0,8997
La probabilidad acumulada en el valor Z = 2,33: la respuesta es 0,9901
Ejemplo Tabla Normal 2:
El tiempo medio que los empleados de una empresa trabajan en una maquina en
particular, se distribuye según una distribución normal, con media 5 hs. y
desviación estándar de 1 hs. Calcular el porcentaje de empleados que trabajan
menos de 7 hs. en la máquina.
Lo primero que vamos a hacer es transformar esa distribución en una normal
estándar, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X)
menos su media y dividida por la desviación estándar:
52
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Recuerde que:
XZ en nuestro ejemplo será 2
1
57
Z
Esta nueva variable Z se distribuye como una normal estándar. Ahora podemos
consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la
probabilidad de empleados que trabajan menos de 7 hs. en la máquina). Esta
probabilidad es 0,97725 o sea que el porcentaje de empleados que trabajan
menos de 7 hs. en la máquina es del 97,725%.
- EJERCICIOS RESUELTOS-
I.- La renta media de los habitantes de un país es de 40.000 $/año, con una
varianza de 150 millones de pesos. Se supone que se distribuye según una
distribución normal. Calcular:
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 30 mil $; Lo primero que
hacemos es estandarizar los valores:
XZ en nuestro ejemplo será 8165,0
45,12247
4000030000
Z
(*) Recordemos que el denominador es la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 30 mil $ es -0,816, o sea P (X < 30) = P (Z < -0,8165)
Ahora tenemos que buscar cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Si
bien la tabla de sólo abarca valores positivos, este problema tiene fácil solución,
ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio.
53
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Entonces P (Z < -0,8165) = P (Z > 0,8165)
Como la probabilidad que hay de un valor hacia delante es igual a 1 (100%)
menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor:
P (Z> 0,8165) = 1 - P (Z < 0,8165) = 1 - 0,7925 = 0,2075
De donde, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 30 mil $.
b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.
Vemos en la tabla el valor de la variable Z cuya probabilidad acumulada es el 0,9
(90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior.
Ese valor corresponde a Z ≈ 1,282. Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal estandarizada:
ZX en nuestro ejemplo será 23,701.5545,12247.282,140000 X
De donde, aquellas personas con ingresos superiores a 55.701,23 $ constituyen
el 10% de la población con renta más elevada.
c) Ingresos mínimo y máximo que encierra al 60% central de la población.
Buscamos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad
acumulada es el 0,8 (80%). Como tenemos el 60% al centro, a cada lado queda
un 20%, hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que
entre la media y este valor de Z hay un 30% de probabilidad.
54
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Z y la media hay otro
30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Z, Z) encierra al 60% de
población con renta media.
No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.
Continuamos…
El valor de Z que acumula el 80% de la probabilidad es aproximadamente 0,842,
por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los
valores de la variable X correspondientes a estos valores de Z.
Los valores de X son 29.687,65 y 50.312,35. Por lo tanto, las personas con
ingresos superiores a 29.687,65 $ e inferiores a 50.312,35 $ constituyen el 60%
de la población con un nivel medio de ingresos.
II.- La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza
de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?
Calculamos el valor estándar de la normal equivalente a 75 años
4,15
6875
Z
Por lo tanto P (X > 75) = P (Z > 1,4) = 1 - P (Z < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808
De aquí que el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años
55
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años
6,15
6860
Z
Por lo tanto P (X < 60) = P (Z < -1,6) = P (Z > 1,6) = 1 - P (Z < 1,6) = 0,0548
Entonces, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a
esta edad.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
¡No hay aprendizaje sin actividad!
EJERCICIOS PROPUESTOS:
III.- El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59
litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una
distribución normal.
a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que
beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?
56
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho
¿qué podría argumentar en su defensa?
IV.- A un examen de admisión se han presentado 2.000 aspirantes. La nota
media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,5.
a) Tan sólo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir
organizando una fiesta para celebrar su éxito?
b) Va a haber una 2ª oportunidad para el 20% de notas más altas que no se
hayan clasificados. ¿A partir de que nota se podrá participar en este repechaje?
57
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la interpretación del contenido. Responda ahora a las siguientes consignas.
1. ¿Cuáles son las características de una curva normal?
2. ¿Qué se entiende por el proceso de estandarización?
Continuamos…
4.3.3.- Exponencial:
A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos
problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que
requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y
la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., en este modulo solo
trataremos sobre el uso de la exponencial.
La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas
tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma
juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de
confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el
tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente
involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la
exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de
problemas.
58
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su
función de densidad es:
x
xxf
.1
)( , con x>0 . f(x) = 0 en cualquier otro caso.
donde 0
La media y la variancia de la distribución exponencial son:
y 2 2
La media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del
parámetro en la distribución de Poisson. Como mencionamos oportunamente se
dice con frecuencia que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál
implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes.
Aquí el parámetro importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría
de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de
Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas
descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la
distribución exponencial es aplicable.
En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución
exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también
juega un papel importante en la solución.
Ejemplo 1) Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo
tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida
exponencialmente con tiempo promedio de falla 5. Si 5 de estos
59
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que
al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?
La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún
después de 8 años es:
2,0.5
1)8( 5
8
8
5
edtexP
t
donde la integral se evalúa desde 8 hasta .
Si x representa el número de componentes funcionando después de 8 años.
Entonces mediante la distribución Binomial,
n = 5
p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8
años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8
años
P(x 2 ) = P (x=2) + P (x=3) + P (x=4)+ P (x=5) = 1 – P (x = 0, 1)
2627,007373,1})8,0()2,0()8,0()2,0({1 41
15
50
05 CC
Ejemplo 2) El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en
una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con
una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea
atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días
siguientes?
60
PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________
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5276,01.4
1)3( 4
3
4
13
0
.4
1
edteTPt
la integral se evalúa de 0 a 3
Si x es el número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran
3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 días
p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3
minutos en un día cualquiera = 0,5276
q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3
minutos en un día cualquiera = 1- p = 0,4724
})4724,0()5276,0()4724,0()5276,0( 06
66
15
56 CC 0,11587 + 0,02157 = 0,13744
Consulte a su tutor por intermedio de la PLATAFORMA EDUCATIVA
INTERACTIVA.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
¡No hay aprendizaje sin actividad!
En una investigación sobre la cantidad de visitantes que utilizarán los sistemas de elevación de autosillas, se considera que sigue una distribución normal, con media de 30 visitantes hora con una desviación estándar de 5 horas:
7. ¿Podríamos obtener que probabilidad hay de que utilicen el sistema menos de 35 visitantes, como?
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8. ¿Y más de 35 visitantes, como lo haría?
9. El gerente nos pregunta que valores encierra el 80% central, como lo calculamos?
10. ¿Y para conocer el valor por encima del cual se encuentra el 5% de mayor concurrencia?
¡Si obtuvimos los valores necesarios del ejemplo planteado, es que la herramienta está comenzando a sernos útil, afiancemos los conceptos más importantes y habremos maximizado nuestros conocimientos. Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la interpretación del contenido. Responda ahora a las siguientes consignas.
1. Cuántos tipos de distribuciones de probabilidad conoce, y qué las
diferencia: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _
2. La exponencial es una distribución _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ , _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
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3. La media y la varianza son iguales en la distribución de _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
4. Cómo se determina si una variable aleatoria tiene distribución normal o no: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _ _ _
5. ¿Cómo expondría un ejemplo de una distribución uniforme continua _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _
_ _ _ _ _
6. Si utilizamos la distribución multinomial es porque estamos en presencia
de:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _
7. Si la variable aleatoria X solo puede tomar valores enteros, entonc x es un número entero.
8. Al hablar de k éxitos y N-k fracasos ¿A qué distribución nos estamos
refiriendo? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
9. Exponga la fórmula que utilizamos para el proceso de estandarización: _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
10. ¿Qué condiciones debe cumplir una distribución para aplicar lo del
punto anterior? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
BIBLIOGRAFIA
1. BERENSON Mark y LEVINE David, Estadística Básica en Administración.
Conceptos y Aplicaciones. 6ª Edición. – Pearson -Prentice-Hall (2006)
2. VALIENTE, Stella Maris – PASCUAL, Mónica. “Temas de Estadística y
Probabilidades”. Edición de las autoras. Bs. As., Mar del Plata. 1999
3. MONTGOMERY, DOUGLAS –RUNGER, GEORGE C. "Probabilidad y
Estadística Aplicadas a la Ingeniería" (2ª. Ed) McGraw-Hill. 2003.
4. MILTON,J SUSAN & ARNOLD,JESSE C “Probabilidad Y Estadistica con
aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales”(Editorial McGraw-
Hill) (4ª edición - 2004).
5. WALPOLE-MYERS. “Probabilidad y Estadística " McGRAW-HILL. 1992
6. JAY. L. DEVORE “Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias” (Paraninfo)
7. MEYER, Paul L. "Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas". De. Fondo
Educativo Interamericano. México. 1.986.
8. CRAMER, Harold. “Teoría de Probabilidades y Aplicaciones" De. Aguilar -
Madrid 1966
9. CRISTOFOLLI MARIA Y BELLIARD MATÍAS, Manual de Estadística con
Excel, Omicron System S.A. (2003)
10. FREEMAN, Howard G. " Introducción a la Teoría Matemática de las
Probabilidades y a la Estadística”. De. Mc. Graw-Hill. México. 1.993.
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RESUMEN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
El análisis y la interpretación, constituyen los eslabones necesarios para
obtener los indicadores de un conjunto de datos que nos provee la estadística,
herramienta de gran utilidad para distintas ramas del estudio de los hechos.
Cuando calculamos una media poblacional o muestral, la interpretamos y luego
observamos si existe mucha o poca variabilidad respecto de ella, ya tenemos
indicadores resúmenes de estos conjuntos de datos.
Con el agregado de la Asimetría, ya podemos concluir acerca del análisis
de este conjunto de datos a los cuales sumados la interpretación, tenemos
información para ser presentada a terceros.
CONCLUSIÓN
Estimado alumno: En este módulo, se ha plasmado, lo
que creemos que es lo mínimo que debe conocer un
profesional de Seguridad de Higiene Laboral sobre su
principal objeto de trabajo...
Queda como inquietud individual, la profundización de
estos conocimientos por medio de la bibliografía
sugerida o la constante actitud atenta a lo largo de los
años de actividad que les espera.
No obstante, debemos recordar, que la Estadística está
siempre presente desde el primer acto de nuestro día:
me abrigo hoy porque hay probabilidad que haga
frío????
...Y tal vez por ello es que creemos tan importante, el
uso de la herramienta, para discernir acerca de que
camino elegir.
La formación que buscamos debe aplicarse al servicio
del ser humano, nuestro prójimo, en vías de lograr sus
anhelos y felicidad.
Si logramos comprender ésto, estamos construyendo
un futuro mejor.
C.P.N. Vicente Niziolek
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Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek
Aprovechen este material para el que hemos trabajado, buscando explicitar de la
manera más clara conceptos, ideas y ejemplos de la herramienta más usada por
el hombre en todas las ciencias: LA ESTADÍSTICA.
Hemos llegado al final del MÓDULO “PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA”. ¡¡¡ Suerte y éxitos!!!
Para Reflexionar:
"La confianza en uno mismo y la rápida decisión son el preludio del éxito".
José Marti, escritor cubano