UNIDAD #4: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES4.1.- ESFUERZO Y DEFORMACIN DEBIDO A CARGAS EXTERNAS, ESFUERZOS MECNICOS, TRMICOS Y LEY DE HOOKE.Las propiedades mecnicas de la materia son la elasticidad, la compresin y la tensin. Definimos a un cuerpo elstico, como aquel que recobra su tamao y forma original cuando deja de actuar sobre l una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elsticas, las pelotas de ftbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elsticos. Para todos los cuerpos elsticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformacin y las fuerzas deformantes.Considere el resorte de longitud 1 de la figura siguiente. Podemos estudiar su elasticidad aadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 2N alarga el resorte 1 cm, una pesa de 4N alarga el resorte 2 cm y una pesa de 6N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relacin directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.(a) posicin de equilibrio1 cm2 N4 N2 cm3 cml6 N

Robert Hooke fue el primero en establecer esta relacin por medio de la invencin de un volante para resorte para reloj. En trminos generales, Hooke descubri que cuando una fuerza F, acta sobre un resorte, produce en l un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. La Ley de Hooke se representa como:F = ks.La constante de proporcionalidad k vara mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante del resorte. Para el ejemplo anterior, la constante del resorte es de:k = F/s = 20 N/cmLa Ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformacin de todos los cuerpos elsticos. Para que la Ley pueda aplicar de un modo ms general, es conveniente definir los trminos esfuerzo y deformacin. El Esfuerzo se refiere a la causa de una deformacin elstica, mientras que la deformacin se refiere a su efecto, es decir a la deformacin en s misma. Existen 3 tipos de esfuerzos, los de tensin, de compresin y cortantes, en este subtema, nos centraremos a analizar el esfuerzo de tensin que se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre s como se ve en la figura siguiente:WFFTensin

La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del rea sobre la que se distribuye la fuerza, por ello una definicin ms completa del esfuerzo se puede enunciar de la siguiente forma:Esfuerzo: es la razn de una fuerza aplicada entre el rea sobre el cual acta, por ejemplo: Nwtones/m, o libras/ft.Deformacin: es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicacin de un esfuerzo.En el caso de un esfuerzo de tensin o de compresin, la deformacin puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud.El lmite elstico es el esfuerzo mximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformacin sea permanente. Por ejemplo, un cable de aluminio cuya seccin transversal es de 1 pulg, se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensin mayor de 19000 libras. Esto no significa que el cable se romper en ese punto, sino que nicamente que el cable no recuperar su tamao original. En realidad, se puede incrementar la tensin hasta casi 21000 libras antes de que el cable se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales ms pequeas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de lmite de rotura.Si no se excede el lmite elstico, de un material, podemos aplicar la Ley de Hooke a cualquier deformacin elstica. Dentro de los lmites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relacin de un esfuerzo determinado entre la deformacin que produce es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin.La Ley de Hooke, establece:Siempre que no se exceda el lmite elstico, una deformacin elstica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de rea (esfuerzo).Si llamamos a la constante de proporcionalidad el mdulo de elasticidad, podemos escribir la Ley de Hooke en su forma ms general:EsfuerzoDeformacin

Mdulo de elasticidad = Los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambres, varillas, o barras. El esfuerzo longitudinal est dado por:Esfuerzo longitudinal = F/A.La unidad del esfuerzo longitudinal en el Sistema Internacional es el Newton/metro cuadrado, el cual se redefine como Pascal:1 Pa = 1 N/mEn el Sistema Ingls es la libra por pulgada cuadrada:1 lb/in= 6895 Pa = 6.895 kPa.El efecto del esfuerzo de tensin es el alargamiento del alambre, o sea un incremento en su longitud. Entonces, la deformacin longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud, podemos escribir:Deformacin longitudinal = 1/1Donde l es la longitud original, l es la elongacin (alargamiento total). Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminucin similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresin. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto sujeto a tensin o de un objeto a compresin.Si definimos el mdulo de elasticidad longitudinal o mdulo de Young Y, podemos escribir la ecuacin de esfuerzo entre deformacin como:Esfuerzo longitudinalDeformacin longitudinal

Mdulo de Young = Y = F/A = F1 1/1 A1Las unidades del mdulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo, libras por pulgada cuadrada o Pascales. En el cuadro siguiente se observan algunos valores del mdulo de Young para algunos materiales, tanto en el Sistema Internacional como en el Sistema Ingls.MaterialMdulo de Young en el Sistema Internacional. Y (MPa) 1 MPa = 1 x 106 Pa.Mdulo de Young en el Sistema Ingls (lb/in2)Lmite elstico en MPa

Aluminio6890010 x 106.131

Latn8960013 x 106.379

Cobre11700017 x 106.159

Hierro8960013 x 106.165

Acero20700030 x 106.248

Problema de esfuerzos longitudinales.1.- Un alambre de telfono de 120 m de largo, y 2.2. mm de dimetro se estira debido a una fuerza de 380N. Cul es el esfuerzo longitudinal? Si la longitud despus de ser estirado es de 120.10 m., Cul es la deformacin longitudinal?, Determine el mdulo de Young para el alambre?Solucin: El rea de la seccin transversal del alambre es de:A = D2 = (3.14) (2.2 x 10-3 m)2 = 3.8 x 10-6 m2. 44Esfuerzo = F/A = 380 N = 100 x 106 N/m2. = 100 MPa. 3.8 x 10-6 m2.Deformacin = 1/1 = 0.10 m/120 m = 8.3 x 10-4.

Y = esfuerzo/deformacin = 100 MPa/8.3 x 10-4. = 120000 MPa.

4.2.- VIGAS CON DOS APOYOS CARGADAS EN PUNTOS: VIGAS CON CARGAS UNIFORMES, VIGAS.Se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexin. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin, producindose las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. Tambin pueden producirse tensiones por torsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de un forjado.Vigas con cargas uniformes. Considerando una porcin de una viga sometida a una carga uniforme w, cada segmento dx de la carga w crea una fuerza concentrada igual a dF = wdx sobre la viga. Si dF est localizada en x, donde la ordenada de la lnea de influencia de la viga para alguna funcin (reaccin, cortante o momento) es y, entonces el valor de la funcin es (dF) (y) = (wdx) y.El efecto de todas las fuerzas concentradas dF se determina integrando sobre la longitud total de la viga, ya que w es constante. Adems, esta integral equivale al rea bajo la lnea de influencia, entonces, en general, el valor de una funcin causada por una carga uniforme distribuida es simplemente el rea bajo la lnea de influencia para la funcin, multiplicada por la intensidad de la carga uniforme.Vigas hiperestticas. Son aquellas vigas que, para su clculo, presentan ms incgnitas que ecuaciones. En general, una estructura es hiperesttica o estticamente indeterminada cuando est en equilibrio pero las ecuaciones de la esttica resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.Existen diversas formas de hiperestaticidad: Una estructura es internamente hiperesttica si las ecuaciones de la esttica no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma. Una estructura es externamente hiperesttica si las ecuaciones de la esttica no son suficientes para determinar fuerzas de reaccin de la estructura al suelo o a otra estructura.Una estructura es completamente hiperesttica si es internamente y externamente hiperesttica.Una forma de enfocar la resolucin de las vigas hiperestticas consiste en descomponer la viga inicial en varias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situacin original. Las solicitaciones externas, cargas y reacciones, generan cortante, momento y deformacin, siendo vlido el principio de descomposicin de las vigas en vigas cuyas acciones sumen el mismo efecto.Los problemas hiperestticos requieren condiciones adicionales usualmente llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos internos y desplazamientos de puntos de la estructura. Existen varios mtodos generales que pueden proporcionar estas ecuaciones: Mtodo matricial de la rigidez Teoremas de Castigliano Teoremas de Mohr Teorema de los tres momentosVigas en Cantiliver: Tambin se les llama vigas en voladizo. En estas vigas un extremo esta fijo para impedir la rotacin; tambin se conoce como un extremo empotrado, debido a la clase de apoyo.

4.3.- CLASIFICACIN DE COLUMNAS.Una columna es un elemento axial sometido a compresin, lo bastante delgado respecto de su longitud, pero que bajo la accin de una carga gradualmente creciente se rompa por flexin lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Esto se diferencia de un poste corto sometido a compresin, el cual, aunque est cargado excntricamente, experimenta una flexin lateral despreciable. Aunque no existe un lmite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresin es una columna si su longitud es ms de diez veces su dimensin transversal menor o rea o grosor de la misma. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas e intermedias. A veces, los elementos cortos a compresin se consideran como un tercer grupo de las columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas se rompen por pandeo o flexin lateral; las intermedias, por una combinacin de aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento. Examinemos ahora estas diferencias.Una columna ideal es un elemento homogneo, de seccin recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresin. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeas imperfecciones de material y fabricacin, as como una inevitable excentricidad accidental en la aplicacin de la carga. Todo esto se representa muy exageradamente en la figura siguiente:mnPExcentricidad accidental o evitableEje real con curvatura inicial (muy exagerada)e= excentricidad de P en una seccin m-n

La curvatura inicial de la columna, junto con la posicin de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad, en una seccin cualquiera m-n. El estado de carga en esta seccin es similar al de un poste corto similar cargado excntricamente, y el esfuerzo resultante est producido por la superposicin del esfuerzo directo de compresin y el esfuerzo de flexin (o mejor dicho, por flexin). Si la excentricidad es pequea y el elemento es corto, la flexin lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexin es insignificante comparado con el esfuerzo de compresin directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho ms flexible ya que las deflexiones son proporcionales al cubo de la longitud (l3), con un valor relativamente pequeo de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexin grande acompaado de un esfuerzo directo de compresin despreciable. As, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresin, y una columna larga est sometida principalmente al esfuerzo de flexin. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y los efectos del esfuerzo directo de compresin y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexin. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varan estos dos tipos de esfuerzos, o la proporcin con la que cada una contribuye al esfuerzo total.No se ha dado, hasta aqu, criterio alguno de diferenciacin entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es decir la columna larga est sometida esencialmente a esfuerzos de flexin y la intermedia lo est a esfuerzos de flexin y compresin directa. La distincin entre ambos tipos de acuerdo con su longitud slo puede comprenderse despus de haber estudiado las columnas largas.Las columnas representan el elemento vertical de soporte para la mayora de las estructuras a base de marcos. Para analizar la capacidad de carga de las columnas se deben referirse al conjunto al que pertenecen y al sistema en el que trabajan; es decir, a las caractersticas generales del edificio en trminos de la forma en que se encuentran definidas las partes integrantes o marcos, que son estructuras reticulares que contienen un cierto nmero de claros para una serie de niveles o entrepisos.La columna clsica se compone de tres partes: La base: protege a la columna de los golpes que podran deteriorarla, al mismo tiempo que da una superficie de sustentacin mayor. El fuste. El capitel: es necesario para proporcionar un asiento capaz de recibir mejor el entabla miento.

Las columnas tradicionales se distinguen por su construccin. La columna construida en una sola pieza de material se llama monoltica; cuando est formada por una superposicin de discos, cuya altura es superior dimetro se llama en trozos, y de tabores si la altura es inferior. Si el interior de la columna es hueco y contiene una escalera de caracol se llama cclida. En su forma ms simple, las columnas son barras prismticas, rectas y largas, sujetas a cargas axiales de compresin. Atendiendo a su disposicin en relacin con otros componentes de un edificio, pueden distinguirse estos tipos de columnas: Columna aislada o exenta: La que se encuentra separada de un muro o cualquier elemento vertical de la edificacin. Columna adosada: La que est yuxtapuesta a un muro u otro elemento de la edificacin. Columna embebida: La que aparenta estar parcialmente incrustada en el muro u otro cuerpo de la construccin.

En el ao 1757, el gran matemtico suizo Leonhard Euler realiz un anlisis terico de la carga crtica para columnas esbeltas basado en la ecuacin diferencial de la elstica: = M. Ahora se sabe que ste anlisis solamente es vlido hasta que los esfuerzos alcanzan el lmite de proporcionalidad. En tiempos de Euler no se haban establecido los conceptos de esfuerzo, ni de lmite de proporcionalidad, por lo que el no tuvo en cuenta la existencia de un lmite superior a la carga crtica.La ecuacin de la frmula de Euler para el anlisis de columnas es:

Donde P = Carga crtica en Newtons (N)E = Esfuerzo en Newtons/m2 Pascales (Pa)L = Altura o longitud de la columna en metros (m)