SERIES

4.1 DEFINICION DE SERIES

Una sucesión o una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto (1, 2,3,…) de los enteros positivos.

Los números en el contra dominio de la sucesión se llaman elementos de la sucesión. Si la sucesión tiene un primer y último número, entonces se dice que la sucesión es finita. En caso contrario se dice que es infinita.

Si el n-esimo elemento de la sucesión está dado por f(n) entonces la sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma (n, f (n)) donde n es un entero positivo.

4.1.1SERIES FINITAS

Al contrario de la serie infinita que contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.

Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). Ahí denota el término general. Las series finitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.

Existen dos tipos posibles de series finitas:

Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10…}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.

Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4,

8, 16…}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.

Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice que la serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.

Propiedades de las series finitas:

1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

Además de estas propiedades, existen algunos teoremas importantes que pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones que involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas más importantes de las series dice que

La suma de n términos de la serie es igual a n (n + 1) / 2.

Se puede probar como:

Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, obtenemos

S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n

S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1

Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)

Como S contiene n términos, por lo tanto, 2S también debe contener n términos.

Por tanto, 2S = n (n + 1)

Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos

S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.

4.1.2 SERIES INFINITAS

Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de ´´sumas infinitas´´ Informalmente, si (an) es una sucesión infinita, entonces

∑n→1

∞

an=a1+a2+a3+…+an

Es una serie infinita (o simplemente una serie) los términos a1+a2+…+an son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 8 o algún otro entero. Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita como ∑ an,ç. En tales casos, el valor inicial para índice debe deducirse del contexto establecido. Para encontrar la suma de una serie infinita considere la siguiente sucesión de sumas parciales.

S1=a1

S2=a1+a2

Sn=a1 +a2+a3…………+an

Si esta sucesión de sumas parciales converge se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente.

DEFINICION DE SERIE CONVERGENTE Y DIVERGENTE

Dada una serie infinita ∑n=1

∞

an la e-nesima suma parcial está dada por

Sn=a1 +a2+a3…………+an

Si la sucesión de sumas parciales {sn } converge a S entonces la serie ∑n=1

∞

an

converge. El limite S se llama suma de la serie

S=a1 +a2+a3…………+an+…….

Si {sn } diverge, entonces la serie diverge

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZON Y PRUEBA DE LA RAIZ

Se dice que la serie infinita∑n=1

∞

U n es absolutamente convergente si la serie ∑n=1

∞

|U n|

es convergente.

Una serie es convergente, pero no absolutamente convergente se dice que es

condicionalmente convergente.

TEOREMA: Prueba de la razón. Sea ∑n=1

∞

U n una serie infinita dada, para la

cual toda Un ≠ 0 entonces:

Si limn→∞|U n+1

Un|=L <1 la serie dada es absolutamente convergente.

Si limn→∞|U n+1

Un|=L ˃1 o bien lim

n→∞|U n+1Un

|¿∞ , la serie dada es divergente.

Si limn→∞|U n+1

Un|=1 no se puede concluir nada acerca de la divergencia.

TEOREMA: Prueba de la raíz.∑n=1

∞

U n una serie infinita específica para la

Si limn→∞

n√|U n|=L<1 la serie es absolutamente convergente.

Si limn→∞

n√|U n|=L˃1 o bien si limn→∞

n√|U n|=+∞, la serie es divergente.

Si limn→∞

n√|U n|=1 no podemos obtener ninguna conclusión.

4.3 SERIE DE POTENCIAS

Una serie de la forma:

En la serie que los coeficientes, recibe el nombre de series de potencia de x.

analógicamente una serie de la forma:

Se denomina serie de potencias de ( x- a).

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la

forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesión.

CAMPO DE CONVERGENCIA: es el conjunto de los valores de x para los cuales

una serie de potencias es convergente. Evidentemente (1) es convergente para x

= 0 y (2) lo es para x = a. cuando existan otros valores de x para las cuales las

series (1) y (2) sean convergentes, estas lo serán, o bien para todos los valores de

x, o bien para todos los valores de x pertenecientes a un intervalo finito (abierto,

cerrado o semiabierto) cuyo punto medio es x = 0 para (1) y x (2).

Si la serie de potencias tiene radio de convergencia

la función definida por es continua

en y derivable.

Recuerda de cálculo que una serie de potencias en (x – a) es una serie de la

forma:

Se dice que es una serie de potencias centrada en a.

La serie converge: Si existe el siguiente límite de las sumas parciales:

Intervalo de convergenciaEs el conjunto de números reales x o intervalo para los que la serie converge.

Radio de convergenciaSi R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| < R y

diverge para |x – a| > R. Si R = 0 la serie converge solo para x = a. Y si la serie

converge para todo x, entonces escribimos R = ∞.

Convergencia absolutaDentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge

absolutamente. Es decir, la siguiente serie converge:

∑n=0

∞

cn ( x−a )n=c0+c1( x−a )+c2( x−a)

2+⋯

limN→∞SN (x )=limN→∞∑n=0

Ncn (x−a )

n

∑n=0

∞|cn( x−a)

n|

Prueba de convergencia (criterio del cociente) Suponiendo cn ¹ 0 para todo n,

y

Si L < 1, la serie converge absolutamente; si L > 1, la serie diverge; y si L = 1, el

criterio no es concluyente

Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie,

donde es continua, derivable e integrable:

Función analítica en un puntoUna función f(x) es analítica en un punto a, si se puede representar mediante una

serie de potencias en (x – a) con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo:

Aritmética de series de potenciasLas series de potencias se pueden combinar mediante operaciones de suma,

resta, multiplicación y división.

limn→∞

|cn+1( x−a)

n+1

cn( x−a)n |=|x−a| lim

n→∞|cn+1

cn|=L

y '( x )=∑n=1

∞nxn−1 , y \( x \) = Sum rSub { size 8{n=2} } rSup { size 8{ infinity } } {n \( n - 1 \) x rSup { size 8{n - 2} } } } {¿

y ( x )=∑n=0

∞cn x

n

e x=1+x1 !

+x2

2 !+⋯, sin x=x−x

3

3 !+x

5

5 !−⋯

cos x=1−x2

2!+x

4

4 !−x

6

6 !+⋯