unidad 5 calculo5555

Instituto Tecnológico de Celaya Departamento de Ciencias Básicas

Eloísa Bernardett Villalobos Oliver 251 Ma. Del Carmen Cornejo Serrano

UNIDAD V

INTEGRACIÓN Competencia específica a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos de situaciones concernientes a las diferentes áreas de la ingeniería en las que se utilicen integrales de línea, integrales dobles e integrales triples en diferentes sistemas de referencia. Conocimientos a adquirir Habilidades a desarrollar Actitudes

Identifica una integral de línea.

Construye una integral de línea, proveniente de diferentes contextos

Reconoce la importancia de las integrales de línea y su utilidad en la ingeniería. Reconoce la importancia de las integrales dobles y triples y su utilidad en la ingeniería. Adquiere la sensibilidad para hacer modelos matemáticos a partir de integrales de línea. Adquiere la sensibilidad para hacer modelos matemáticos a partir de integrales dobles y triples. Busca y organiza información proveniente de fuentes diversas Organiza y planifica sus actividades Toma decisiones Aprende en forma autónoma Aprende a trabajar en equipo. Actúa críticamente para mejorar sus resultados.

Reconoce una integral de línea y su posible representación en el espacio.

Grafica curvas en el espacio limitadas por funciones de dos variables con ayuda de software matemático y sin él.

Reconoce una integral doble y su posible representación en el plano.

Grafica curvas en el plano para delimita regiones de integración con ayuda de software matemático y sin él.

Aplica integrales dobles para el cálculo de áreas, volúmenes, centroides y momentos de inercia.

Resuelve ejercicios en los que utilice integrales dobles para el cálculo de áreas, centroides y momentos de inercia.

Interpreta geométricamente el significado de una integral doble.

Grafica regiones en el plano y en el espacio para encontrar los límites de una integral doble.

Conoce y analiza varios sistemas de referencia, es decir utiliza coordenadas rectangulares o coordenadas polares o cilíndricas, para construir integrales dobles según se requiera en el problema.

Utiliza los principios medulares del cálculo vectorial para establecer relaciones en la solución de problemas donde se involucren las integrales dobles, tanto en el plano como en el espacio.

Reconoce una integral triple y su posible representación en el espacio.

Grafica curvas en el plano y superficies en el espacio, para delimita regiones de integración con ayuda de software matemático y sin él.



Aplica integrales triples para el cálculo de volúmenes, centroides y momentos de inercia.

Resuelve ejercicios en los que utilice integrales triples para el cálculo de volúmenes, centroides y momentos de inercia.

Interpreta geométricamente el significado de una integral triple.

Grafica regiones en el espacio para encontrar los límites de una integral triple.

Conoce y analiza varios sistemas de referencia, es decir utiliza coordenadas rectangulares, coordenadas polares, cilíndricas o esféricas, para construir integrales triples según se requiera en el problema.

Utiliza los principios medulares del cálculo vectorial para establecer relaciones en la solución de problemas donde se involucren las integrales triples.

Interpreta y analiza la información para la solución de problemas

Utiliza los principios medulares de la integración triple para establecer relaciones en la solución de problemas donde se involucren integrales dobles o triples en diferentes sistemas de referencia.

Al termino de esta sección

Identificará una integral de línea Construirá una integral de línea proveniente de diferentes contextos Graficará curvas en el espacio limitadas por funciones de dos variables con ayuda de software matemático y sin él. Identificará una integral doble Graficará curvas en el plano para delimitar regiones de integración con ayuda de software matemático Resolverá ejercicios en los que utilice integrales dobles para el cálculo de áreas, centroides y momentos de inercia en el plano. Graficará áreas planas y superficies en el espacio para encontrar los límites de una integral doble. Resolverá ejercicios en los que utilice integrales dobles para el cálculo de volúmenes, centroides y momentos de inercia en el espacio Identificará una integral triple Graficará superficies en el espacio, para delimita regiones de integración triple con ayuda de software matemático Resolverá ejercicios en los que utilice integrales triples para el cálculo de volúmenes, centroides y momentos de inercia Utilizará los principios medulares de la integración triple para establecer relaciones en la solución de problemas donde se involucren integrales dobles o triples en diferentes sistemas de referencia.



5.1 Introducción En el curso de cálculo integral se estudiaron integrales de la forma:

( )b

af x dx∫ (5.1)

La ecuación (5.1) representa el área definida por la función ( )f x en el intervalo [ ],a b y el eje X, tal y como se muestra en la figura 5.1. Generalmente se dice que la integral es el área bajo la curva, pero se debe tener cuidado con esta última expresión porque si se buscara la integral de –f(x), la curva quedaría por debajo del eje de las abscisas y ahora la integral debería definirse como el área por encima de la curva.

Figura 5.1 Área definida por la integral de la curva de ( )f x en el intervalo [ ],a b En esta sección se estudiarán diferentes tipos de integrales tales como las integrales de línea que tienen la forma:

( , )C

f x y ds∫ (5.2)

Donde el subíndice C indica que se integra sobre la curva. Las integrales dobles que tienen la forma:

( , )R

f x y dA∫∫ (5.3)

Donde el subíndice R indica que se integra sobre la región en el plano. Las integrales triples que tienen la forma:



( , , )Q

f x y z dV∫∫∫ (5.4)

Donde el subíndice Q indica que se integra sobre la región en el espacio. Estos nuevos tipos de integrales se utilizarán en el diseño de superficies y sólidos de formas no convencionales, en el cálculo de centros de masa y momentos de inercia de superficies y volúmenes de densidad constante y variable, así como en el cálculo del trabajo de campos vectoriales como los que se estudiaron en el capítulo 4 de este libro. 5.2 Integrales de línea Supongamos que queremos encontrar la masa de un alambre que tiene densidad variable ( )xρ y que se extiende desde a hasta b como se muestra en la figura 5.2.

Figura 5.2 Alambre de densidad ( )xρ La masa puede calcularse mediante la integral:

( )b

ax dxρ∫ (5.5)

Este procedimiento es adecuado para objetos en una dimensión, sin embargo, supongamos que queremos obtener la masa de un alambre en el que la densidad es variable en dos dimensiones como lo muestra la figura 5.3



Figura 5.3 Alambre de densidad variable en dos dimensiones, ( , )x yρ . En este caso, se utilizará una integral semejante a la ecuación (5.2), excepto que en lugar de integrar sobre una curva definida como ( )f x en el intervalo [ ],a b se integra en una curva C dada paramétricamente. A dichas integrales se les llama integrales de línea. En el caso bidimensional, la función densidad toma la forma ( , )x yρ y la curva es una curva plana que empieza 0 0( , )x y y termina en ( , )n nx y y está descrita por las ecuaciones

paramétricas ( )x x t= y ( )y y t= , o por la ecuación vectorial ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= + que

supone una curva suave. Esto significa que ´r es continua y (́ ) 0r t ≠ .

Si se divide la curva C en n segmentos de longitud is∆ muy pequeños, y iP corresponde al

punto ( , )i ix y contenido en la pequeña porción de la curva iC , entre 1iP− y iP para cada

1,2,...i n= ; entonces podemos considerar la densidad constante en la porción iC , de modo

que la masa se puede calcular como el producto de la densidad por la longitud de iC . Si se

toma el punto ( , )i ix y y aproximamos la densidad en iC como ( , )i ix yρ , la masa de la

porción iC es aproximadamente: ( , )i i i im x y sρ= ∆ (5.6)

donde is∆ representa la longitud de arco de iC . La masa total del alambre se puede aproximar mediante la suma de todas las porciones:

1( , )

n

i i ii

m x y sρ=

≈ ∆∑ (5.7)



Si se toma como norma la partición P , la máxima de las longitudes de arco is∆ ( 1, 2,...i n= ), se tiene:

0 1lim ( , )

n

i i iP im x y sρ

→=

= ∆∑ (5.8)

Siempre que el límite exista y sea independiente de los puntos de evaluación ( , )i ix y .

La integral de línea de ( , , )f x y z sobre una curva en el espacio se define análogamente:

Para evaluar una integral de línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si ( , )f x y es continua en C, entonces el límite existe y es el mismo para todas las parametrizaciones dadas, entonces la ecuación (5.9) puede transformarse para su evaluación en:

[ ] [ ]2 2( , ) ( ( ), ( )) '( ) '( )b

aC

f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫ (5.11)

De manera análoga, si ( , , )f x y z es continua en C, entonces el límite existe y es el mismo para todas las parametrizaciones dadas, entonces la ecuación (5.10) puede transformarse para su evaluación en:

[ ] [ ] [ ]2 2 2( , , ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) '( ) '( )b

aC

f x y z ds f x t y t z t x t y t z t d t= + +∫ ∫ (5.12)

Definición 5.1 (Integral de línea en el plano). Sea la función ( , )f x y definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de ( , )f x y a lo largo de C está dada por:

0 1( , ) lim ( , )

n

i i iP iC

f x y d s f x y s→

=

= ∆∑∫ (5.9)

Siempre que el límite exista y sea el mismo para cualquier elección del punto de evaluación.

Definición 5.2 (Integral de línea en el espacio). Sea la función ( , , )f x y z definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de ( , , )f x y z a lo largo de C está dada por:

0 1( , , ) lim ( , , )

n

i i i iP iC

f x y z d s f x y z s→

=

= ∆∑∫ (5.10)

Siempre que el límite exista y sea el mismo para cualquier elección del punto de evaluación.



Ejemplo 5.1

Evalúe 2 2( )C

x y dS+∫ alrededor del triángulo con vértices (0,0), (1,0) y (0,1) en el sentido

contrario a las manecillas del reloj.

Figura 5.4 Triángulo con vértices (0,0), (1,0) y (0,1)

Solución La trayectoria C está formada por 1C , 2C y 3C de la figura, que son tres rectas. Para expresar cada una de ellas en forma paramétrica hay que recordar como se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta (ver Unidad 1), así tenemos: Para 1C

0, 0 1,0x y t− − = Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

x t= (1) 0y = (2)

Entonces:

1dxdt

= (3)

1ds dt dt= = para 0 1t< < (4) Para 2C

1, 0 1,1x y t− − = − Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

1x t= − (5) y t= (6)

Entonces:



1dxdt

= − (7)

1dydt

= (8)

1 1 2ds dt dt= + = para 0 1t< < (9) Para 3C

0, 1 0, 1x y t− − = − Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

0x = (10) 1y t= − (11)

Entonces:

0dxdt

= (12)

1dydt

= − (13)

0 1ds dt dt= + = para 0 1t< < (14) Se construye la integral de línea:

1 1 12 2 2 2 2 2

0 0 0( ) 2 (1 ) (1 )

C

x y dS t dt t t dt t dt + = + − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ (15)

1 1 12 2 2 2 2

0 0 0( ) 2 (1 2 2 ) (1 2 )

C

x y dS t dt t t dt t t dt+ = + − + + − +∫ ∫ ∫ ∫ (16)

( ) 12 2 2

0( ) 2 1 (1 2 2

C

x y dS t t dt + = + − + ∫ ∫ (17)

( )13

2 2 2

0

2( ) 2 13C

tx y dS t t

+ = + − +

∫ (18)

( ) ( )2 2 2 2( ) 2 1 1 1 2 13 3C

x y dS + = + − + = + ∫ (19)

2 2( ) 1.6095

C

x y dS+ =∫ (20)

Ejemplo 5.2 Bosqueje y encuentre la longitud de la curva 3 3ˆ ˆ( ) 3co s( ) 3sen ( )r t t i t j= +

en el intervalo [ ]π2,0 .



Solución Usando el graficador Geogebra se obtiene la gráfica de la curva mostrada en la figura 3.19 (recuperada del Capítulo 3)

Figura 3.19 Gráfica de la curva 3 3ˆ ˆ( ) 3co s( ) 3sen ( )r t t i t j= +

Para encontrar la longitud de la curva se utiliza la ecuación (5.11) haciendo ( , ) 1f x y = , de esta forma la integral se transforma en:

[ ] [ ]2 2( , ) '( ) '( ) )b

aC

f x y ds x t y t dt= +∫ ∫ (1)

Que es la ecuación (3.41) para el cálculo de la longitud de arco.

( ) ( )2

2 22 2

0

9cos ( )sen( ) 9sen ( )cos( )S t t t t dtπ

= − +∫ (2)

2

4 2 4 2

0

81cos ( )sen ( ) 81sen ( )cos ( )S t t t t dtπ

= +∫ (3)

( )2

2 2 2 2

0

81cos ( )sen cos ( ) sen ( )S t t t t dtπ

= +∫ (4)

22 2

0

81cos ( )sen ( )S t t dtπ

= ∫ (5)



2

0

9sen( )cos( )S t t dtπ

= ∫ (6)

220

9 sen ( )2

S t π= (7)

[ ]9 0 0 02

S = − = (8)

Debido a la simetría de la curva la integral resultante es igual a cero, pero eso no significa que la curva no tenga cierta longitud. Para evitar que la longitud del arco superior se elimine al sumarse con el arco inferior se puede fraccionar la integral en cuatro partes y sumar los valores absolutos de cada segmento de la siguiente manera:

/ 2 3 / 2 2

0 / 2 3 / 2

9sen( )cos( ) 9sen( )cos( ) 9sen( )cos( ) 9sen( )cos( )S t t dt t t dt t t dt t t dtπ π π π

π π π

= + + +∫ ∫ ∫ ∫ (9)

/ 2 3 / 2 22 2 2 2

0 / 2 3 / 2

9 sen ( ) sen ( ) sen ( ) sen ( )2

S t t t tπ π π π

π π π

= + + + (10)

9 1 0 0 1 1 0 0 1 1 82

S = − + − + − − + + = (11)

Para desarrollar la competencia Evalúe las siguientes integrales de línea siguiendo las trayectorias propuestas:

1. 3C

xdS∫ donde C es el segmento recto desde (1,4) hasta (3,7).

2. (3 2 )C

x y dS−∫ donde C es el segmento recto desde (6,4) hasta (8,10).

3. (3 )C

x y dS−∫ donde C es un cuarto de circunferencia 2 2 9x y+ = desde (0,3) hasta

(3,0).

4. 3C

ydx∫ donde C es la mitad de la elipse 2 24 4x y+ = orientada en sentido de las

manecillas del reloj.

5. 3C

ydS∫ donde C es la porción de 2y x= desde (2,4) hasta ((0,0).



6. 3C

xdS∫ donde C es el segmento recto desde (0,0) hasta (1,0) seguido por un cuarto de

circunferencia hasta (0,1)

7. 3C

xzdS∫ donde C es el segmento recto desde (2,1,0) hasta (2,0,2).

8. (3 ( ) 2cos )C

sen x dx ydy+∫ dondeC es la mitad superior de la circunferencia

2 2 1x y+ = del punto (1,0) al punto (-1,0).

9. ( )C

ydx zdy xdz+ +∫ sobre la trayectoria C : 3x t= , y t= , 2z t= para 0 1t≤ ≤

10. 2

C

x y zdz∫ sobre la trayectoria C : x t= , 2y t= , 2z t= para 0 1t≤ ≤

5.2.1 Representación de la Integral de línea Al igual que para una integral sencilla ordinaria, la integral de línea representa el área “bajo

la curva”; para ( , )C

f x y dS∫ representa el área de una “cerca” cuya base es C y su altura

sobre el punto ( , )x y es ( , )f x y si ( , ) 0f x y > .

Figura 5.5 Representación geométrica de la integral ( , )C

f x y dS∫

Ejemplo 5.3 Encuentre el área de la superficie lateral limitada por la función ( , )f x y xy= y el círculo

2 2 1x y+ = desde punto (1,0) al punto (0,1).



Solución

00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.810

0.1

0.2

0.3

0.4

XY

Z

Figura 5.6 Área delimitada por el círculo 2 2 1x y+ = y la función ( , )f x y xy=

Para encontrar el área lateral, se plantea la integral:

C

A xydS= ∫ (1)

Empleando las siguientes ecuaciones paramétricas

cos x t= (2)

sen y t= (3)

sendx tdt= − (4)

cosdy tdt= (5)

2 2sen cosdS t tdt= + = dt (6)

al sustituir (2), (3), (4), (5) y (6) en (1), se tiene.

∫ ∫ =−=

==

C

tdtttxydS2/

0

2/

0

2

21)01(

21

2sen))(sen(cos

ππ

(7)



5.2.2 Masa y centro de masa de un alambre Como se estudió al inicio de esta sección se sabe que es posible calcular la masa de un alambre a partir de la ecuación (5.8), la cual se puede transformar en la ecuación (5.13) como el valor límite de las aproximaciones.

( , )C

m x y dSρ= ∫ (5.13)

Entonces el centro de masa de un alambre con densidad ( , )x yρ se sitúa en el punto ( , )X Y donde:

1 ( , )C

X x x y dSm

ρ= ∫ (5.14)

1 ( , )C

Y y x y dSm

ρ= ∫ (5.15)

Ejemplo 5.4 Un alambre delgado tiene la forma de un arco de un cuarto de la circunferencia 2 2 1x y+ = . Encuentre la masa y el centro de masa del alambre si la densidad lineal en cualquier punto es ( , )x y kxyρ =

Figura 5.7 Alambre con forma de un arco de un cuarto de circunferencia de radio 1

Solución Para la curva C las ecuaciones paramétricas son:

cosx t= (1) sendx tdt= − (2)

sen y t= (3) cosdy tdt= (4)



Se calcula la masa mediante la ecuación (5.13) 2 22

0co s( ) ( ) sen ( ) co s( )

C

m kxydS k t sen t t t dtπ

= = +∫ ∫ (5)

2 2

0

( )2 2

sen t km k

π

= =

(6)

El valor de X se calcula de la siguiente manera: 1 ( , )

C

X x x y dSm

ρ= ∫ (7)

2 2 2 220

2 co s( ) ( ) sen ( ) co s( )C

X kx ydS k t sen t t t dtk

π

= = +∫ ∫ (8)

3 2

0

cos ( ) 2 22 (0 1)3 3 3

tX

π

= − = − − =

(9)

El valor de Y se determina como: 1 ( , )

C

Y y x y dSm

ρ= ∫ (10)

2 2 2 220

2 co s( ) ( ) sen ( ) co s( )C

Y kxy dS k t sen t t t dtk

π

= = +∫ ∫ (11)

3 2

0

( ) 223 3

sen tY

π

= =

(12)

Ejemplo 5.5 Encuentre la masa de un resorte helicoidal dado por las ecuaciones paramétricas

( ) 2 ( )x t sen t= y ( ) 2co s( )y t t= y ( )z t t= para 0 8t π≤ ≤ .Si la densidad del alambre es ( , , ) 2x y z tρ = .

Solución La figura 5.8 muestra el resorte definido por las ecuaciones paramétricas anteriores. Para utilizar la ecuación (5.13) tenemos:

'( ) 2 ( )x t cos t= (1) '( ) 2 ( )y t sen t= − (2) '( ) 1z t = (3)

De esta forma, al sustituir (1), (2) y (3) en (5.12).

8 8 82 2 2

00 02 4co s( ) 4 ( ) 1 2 5 5m t t sen t dt tdt t

π π π= + + = =∫ ∫ (4)

25(64)m π= (5)



-2-1

01

2

-2

-1

0

1

20

5

10

15

20

25

30

XY

Z

Figura 5.8 Resorte helicoidal

Para desarrollar la competencia

1. Calcule la masa y el centro de masa de una varilla de densidad ( , )x y xρ = donde C es la porción de 2y x= para 0 3x≤ ≤ .

2. Calcule la masa y el centro de masa de una varilla de densidad ( , )x y yρ = donde C es la porción de 24y x= − para 0 2x≤ ≤ .

3. Calcule la masa de un resorte en forma de hélice cos(2 )x t= , (2 )y sen t= y z t= cuya densidad es 2( , )x y yρ = para 0 4t π≤ ≤

4. Calcule la masa de un alambre en forma de elipse 4cos( )x t= , 4 ( )y sen t= cuya densidad es ( , ) 2x yρ = para 0 2t π≤ ≤ .

5. Calcule la masa de un alambre de forma dada por 2 ˆˆ ˆ( ) 3r t t i tj tk= + + cuya densidad es ( , )x y zρ = para 0 1t≤ ≤ .

6. Encuentre el área de la superficie lateral que se extiende desde un cuarto de la circunferencia 2 2 4x y+ = del punto (2,0) al punto (0,2) hasta la superficie

2 2z x y= +



7. Encuentre el área de la superficie lateral que se extiende desde la elipse 2 24 4x y+ = hasta la superficie 2 2 6x z y+ + =

8. Una cerca circular de radio 5 esta dada por las ecuaciones 5cos( )x t= y 5 ( )y sen t= . La altura está dada por 2 2( , ) 10 2h x y x y= − − Encuentre el área de la

superficie lateral para 0 1t≤ ≤ 9. Encuentre el área de la superficie lateral sobre el rectángulo cuyos vértices son

(0,0), (1,0), (1,1) y (0,1) y bajo la superficie 2 24 4z x y= + . 10. Encuentre el área de la superficie lateral que se extiende desde la curva 24y x= −

hasta la superficie z xy= desde el punto (2,0) hasta el punto (0,4) 11. Encuentre el área del barandal de la escalera en forma de caracol que se extiende

desde la curva ˆˆ ˆ( ) 2co s( ) 2 ( ) 2r t t i sen t j tk= + + hasta la superficie 22z x= + para 0 10t π≤ ≤

5.2.3 Trabajo Como se estudió en la sección 1.4, si una fuerza constante F

aplicada a un cuerpo actúa formando un ángulo θ en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por F

se define en forma vectorial como W F d= ⋅

. Ahora, si en lugar de tener una sola fuerza actuando sobre un objeto, se tiene un campo de fuerzas dado como

ˆˆ ˆ( , , )F x y z Pi Qj Rk= + +

el trabajo realizado se podrá calcular mediante una integral de línea. Para determinar el trabajo realizado por el campo de fuerzas, necesitamos considerar solamente la proyección de cada fuerza que actúa en la misma dirección en que se mueve el objeto (o en dirección opuesta) tal y como se muestra en la figura 5.9.

Figura 5.9 Trabajo realizado por un campo de fuerzas

En términos de vectores esto significa que en cada punto de la curva C consideramos la proyección de F

en dirección del vector tangente unitario, que es el que determina la dirección del movimiento.



2Pr ( )T

F Toy F T F T TT

⋅= = ⋅

(5.16)

En un arco pequeño de longitud S∆ el incremento de trabajo es: [ ] SzyxTzyxFdistanciafuerzaW ∆⋅==∆ ),,(),,())((

(5.17) Para el campo de fuerzas, se utiliza la integral:

( , , ) ( , , )C

W F x y z T x y z d S= ⋅∫

(5.18)

Ejemplo 5.6 Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza 2 ˆˆ ˆ( , , )F x y z xi xyj z k= − +

para mover una partícula a lo largo de la hélice dada por ˆˆ ˆ( ) cos senr t ti tj tk= + +

desde el punto (0,0,0) hasta (-1,0,3π ) Solución Primero se obtiene el vector tangente unitario:

ˆˆ ˆ(́ ) sen cosr t ti tj k= − + + (1)

2 2(́ ) sen cos 1 2r t t t= + + = (2)

sen cos 1ˆ ˆ2 2 2t tT i j k= − + +

(3)

Se plantea la integral para calcular el trabajo mediante la ecuación (5.18): 3 2

0

sen cos 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(cos cos sen ) 22 2 2C

t tF TdS ti t tj t k i j k dtπ ⋅ = − + ⋅ − + +

∫ ∫

(4)

2 23

0

sen cos sen cos 22 2 2C

t t t t tF TdS dtπ

⋅ = − − +

∫ ∫

(5)

32 3 3 3

0

cos cos 1 1 27 1 1 02 3 3 2 3 3 2 3C

t t tF TdSπ

π − ⋅ = + + = + + − + + ∫

(6)

32 93C

F TdS π⋅ = − +∫

(7)

5.2.4 Forma alternativa de la integral de línea para el trabajo.

En algunas ocasiones resulta complicado calcular el trabajo mediante la ecuación (5.18), ya

que en el cálculo de la longitud de arco va implícito el uso de una raíz cuadrada, por lo que



se plantea una forma alternativa de esta ecuación. Se sabe que el vector tangente unitario

se obtiene mediante la ecuación (3.26):

'( )( )'( )

r tT tr t

=

(3.26)

y que la longitud de arco se obtiene mediante la ecuación (3.42):

∫=b

a

dttrS )(' (3.42)

Por lo que:

'( )dS r t dt= (5.19)

Al sustituir (3.26) y (5.19) en (5.18) se obtiene:

(́ ) (́ ) (́ )(́ )

b

C a

r tW F r t dt F r t dtr t

= ⋅ = ⋅

∫ ∫

(5.20)

C

W F dr= ⋅∫

(5.21)

Ejemplo 5.7 Utilice la ecuación (5.21) y encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza

kzjxyixzyxF ˆˆˆ),,( 2+−=

para mover una partícula a lo largo de la hélice dada por ktjtittr ˆˆsenˆcos)( ++= desde el punto (0,0,0) hasta (-1,0,3π )

Solución Usando la definición 5.3 podemos encontrar el trabajo de la siguiente manera:

T

dS dtdtrd

Definición 5.3 (Integral de línea de un campo vectorial). Sea F

un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C de longitud finita dada por ( )r t en a t b≤ ≤ , entonces la integral de línea de F

a lo largo de C está dada por.

C

W F dr= ⋅∫

(5.21)



ˆˆ ˆ( ) cos senr t ti tj tk= + + (1)

ˆˆ ˆ(́ ) ( sen cos )dr r t dt ti tj k dt= = − + + (2)

2 ˆˆcos cos senF ti t tj t k= − +

(3)

3 2

0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(cos cos sen ) ( sen cos )

CF dr ti t tj t k ti tj k dt

π⋅ = − + ⋅ − + +∫ ∫

(4)

3 2 2

0( sen cos sen cos )

CF dr t t t t t dt

π⋅ = − − +∫ ∫

(5)

32 3 3 3

0

cos cos 1 1 27 1 1 02 3 3 2 3 3 2 3C

t t tF drπ

π ⋅ = + + = + − + − + + ∫

(6)

32 93C

F dr π⋅ = − +∫

(7)


1. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza ˆ ˆ( , ) 2 2F x y xi yj= +

para mover una partícula a lo largo del segmento recto del punto (5,3) al punto (0,2).

2. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza ˆˆ ˆ( , , ) 2F x y z zi j xyk= + +

para mover una partícula a lo largo de la hélice dada por ˆˆ ˆ( ) cos sen 3r t ti tj tk= + +

desde el punto (0,0,0) hasta (0,1,π )

3. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza 2 ˆˆ( , , ) 2F x y z zi x yk= +

para mover una partícula a lo largo de la elipse dada por ˆˆ ˆ( ) 2cos 4senr t ti tj k= + +

desde el punto (2,0,1) hasta (0,3,1)

4. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza ˆˆ ˆ( , , )F x y z xi yj zk= + +

para mover una partícula a lo largo de la curva dada por 2 ˆˆ ˆ( ) 4r t t i tj tk= − + −

para 1 2t− ≤ ≤

5. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza

2 2 2 2ˆ ˆ( , , ) x yF x y z i j

x y x y= +

+ +

para mover una partícula a lo largo de la curva

dada por ˆ ˆ( ) 2r t t i tj= + para 0 2t≤ ≤

5.2.5 Otra notación para la integral de línea.

Si F

es un campo vectorial de la forma

jQiPyxF ˆˆ),( +=

(5.22)

y C viene dada por



jtyitxtr ˆ)(ˆ)()( += (5.23)

Entonces la ecuación (5.21) se transforma en:

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( (́ ) (́ ) )b

aC C

drF dr F dt Pi Qj x t i y t j dtdt

⋅ = ⋅ = + ⋅ +∫ ∫ ∫

(5.24)

C C

dx dyF dr P Q dtdt dt

⋅ = + ∫ ∫

(5.25)

( )C C

F dr Pdx Qdy⋅ = +∫ ∫

(5.26)

Para tres variables.

( )C C

F dr Pdx Qdy Rdz⋅ = + +∫ ∫

(5.27)

Ejemplo 5.8

Para la notación mencionada anteriormente, evalúe 2( )C

xydx x dy+∫ a lo largo de la curva

dada por 3xy = para 21 ≤≤− x Solución

Figura 5.10 Curva 3xy = para el cálculo del trabajo



Usamos como parámetro: 3xy = (1)

dxxdy 23= (2) Se plantea la integral.

22 3 2 2

1( ) ( ) (3 )

C

xydx x dy x x dx x x dx− + = + ∫ ∫ (3)

Finalmente se obtiene:

2 25 52 5

11

3 4 4(32) 4 132( )5 5 5 5 5 5C

x xxydx x dy x−−

+ = + = = + = ∫ (4)

Ejemplo 5.9

Evalúe la ( )C

ydx zdy xdz+ +∫ en la trayectoria indicada en la figura entre (0,0,0) y (6,8,5).

Figura 5.11 Trayectoria de tres rectas para la integral de línea. Solución La trayectoria se divide en tres rectas: Para 1C se escoge como parámetro x , entonces:

0, 0, 0 6,0,0x y z t− − − = (1) 6x t= (2)



6dx dt= (3) 0y = (4) 0dy = (5) 0z = (6)

0dz = (7) Se evalúa la integral:

( ) 0(6 ) 0(0 ) 6 (0 ) 0C

ydx zdy xdz dt dt t dt+ + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ (8)

Para 2C se escoge como parámetro z , entonces:

6, 0, 0 0,0,5x y z t− − − = (9) 6x = (10) 0dx = (11) 0y = (12) 0dy = (13) 5z t= (14) 5dz dt= (15)

Se evalúa la integral:

( ) 0(6 ) 5 (0 ) 6(5 )C

ydx zdy xdz dt t dt dt+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ (16)

Para conocer los límites de la tercera integral como se tomo como parámetro z se observa que:

Cuando 0z = ; 0t = (17) Cuando 5z = ; 1t = (18)

Entonces la integral toma los siguientes límites: 1

0( ) 0(6 ) 5 (0 ) 6(5 ) 30

C

ydx zdy xdz dt t dt dt+ + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ (19)

Para 3C se escoge como parámetro y , entonces: 6, 0, 5 0,8,0x y z t− − − = (20) 6x = (21) 0dx = (22) 8y t= (23) 8dy dt= (24) 5z = (25) 0dz = (26)

Se evalúa la integral:

( ) 8 (0 ) 5(8 ) 6(0 )C

ydx zdy xdz t dt dt dt+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ (27)

Para conocer los límites de la tercera integral como se tomo como parámetro y se observa que:

Cuando 0y = ; 0t = (28)



Cuando 8y = ; 1t = (29) Entonces la integral toma los siguientes límites:

1

0( ) 8 (0 ) 5(8 ) 6(0 ) 40

C

ydx zdy xdz t dt dt dt+ + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ (30)

Finalmente la integral resulta:

1 2 3

( ) 30 40 70C C C

ydx zdy xdz+ +

+ + = + =∫ (31)

Ejemplo 5.10 Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas ˆ ˆF yi xj= +

que actúa a lo largo de la curva ln( )y x= del punto (1,0) al punto (e,1), donde e es la base de los logaritmos naturales.

Figura 5.12 Trayectoria ln( )y x= para la integral de línea Solución Se toma como parámetro x , de esta manera tenemos:

ˆ ˆ( ) lnr t xi xj= + (1)

1ˆ ˆ( ) ( )dr t i j dxx

= + (2)

ˆ ˆF yi xj= +

(3) ˆ ˆln( )F x i xj= +

(4) Para el cálculo del trabajo se utiliza la ecuación (5.21):

1

1ˆ ˆ ˆ(ln ) (ln 1)e

F dr xi xj i dx x dxx

⋅ = + ⋅ + = + ∫ ∫ ∫

(5)



]1ln ln ln 1ln(1)eF d r x x x x x x e e⋅ = − + + = = −∫

(6)

F dr e⋅ =∫

(7)

Para desarrollar la competencia 1. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2ˆ ˆ2F y i xyj= +

que actúa a lo largo de la curva 21y x= − del punto (1,0) al punto (-1,0).

2. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas ˆ ˆ(2 3 1) (3 5)F x y i x y j= − + − + −

que actúa a lo largo de la curva xy e= del punto (0,1) al punto (2,7.389).

3. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2ˆ ˆ(2 ) ( )F xy i x y j= + +

que actúa a lo largo de la curva 28y x= − del punto (0,8) al punto (2,4).

4. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2ˆ ˆ(2 ) ( )F xy i x y j= + +

que actúa a lo largo de la recta y x= del punto (0,0) al punto (5,5).

5. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2 ˆ ˆ( ) (2 )F x y i xy j= + +

que actúa

a lo largo de la curva 21x y= − del punto (1,0) al punto (0,1). 5.2.6 Teorema fundamental para las integrales de línea

El teorema fundamental de las integrales de línea establece que sí el campo vectorial F

es conservativo, entonces su integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia en los valores de la función potencial f en dichos puntos. Independencia del camino. Decimos que una región del plano o del espacio es conexa si dos puntos arbitrarios de la región pueden unirse mediante una curva suave a trozos, toda ella situada en la región interior.

Teorema 5.1 (Teorema fundamental para las integrales de línea.) Sea C una curva suave descrita por la función vectorial ( )r t en el intervalo bta ≤≤ y f una función diferencial de dos o tres variables, cuyo vector gradiente f∇ es continuo en C entonces se cumple que:

2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( , , ) ( , , )C

f d r f b f a f x y z f x y z∇ • = − = −∫ (5.28)



Figura 5.13 Regiones en el plano Por el teorema fundamental de las integrales de línea, si F

es continuo y conservativo en una región abierta . El valor de ∫ ⋅

CrdF

es el mismo para toda curva suave a trazar entre

dos puntos fijos en , o sea que ∫ ⋅C

rdF

es independiente del camino en la región .

Demostración

( ) (́ )b

C af dr f t r t dt∇ = ∇ ⋅∫ ∫

(5.29)

b

C a

df dx df dy df dzf dr dtdx dt dy dt dz dt

∇ = + +

∫ ∫

(5.30)

( )b

C a

df dr f t dtdt

∇ =∫ ∫

(5.31)

( ) ( )C

f d r f b f a∇ = −∫

(5.32)

Ejemplo 5.11 Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza jxixyyxF ˆ2ˆ4),( 2+=

para mover una partícula de (0,0) a (1,1) a lo largo de las tres trayectorias propuestas:

a) 1C : y x= b) 2C : 2x y= c) 3C : 3y x=

Solución a) 1C : y x=



Figura 5.14 Trayectoria y x= para la integral de línea Se escoge x t= como parámetro, entonces:

ˆ ˆ( )r t xi yj= + (1) ˆ ˆ( )r t ti tj= + (2)

ˆ ˆ(́ ) ( )r t i j dt= + (3)

2 2ˆ ˆ( ) 4 2F t t i t j= +

(4) Para calcular el trabajo:

1 12 2 2 2

0 0ˆ ˆ ˆ ˆ(4 2 ) ( ) (4 2 )

C

F dr t i t j i j dt t t dt⋅ = + ⋅ + = +∫ ∫ ∫

(5)

131 2

00

66 23C

tF dr t dt

⋅ = = =

∫ ∫

(6)

b) 2C : 2x y=



Figura 5.15 Trayectoria 2x y= para la integral de línea

Se escoge x t= como parámetro, entonces:

ˆ ˆ( )r t xi yj= + (7) ˆ ˆ( )r t ti t j= + (8)

1ˆ ˆ(́ ) ( )2

r t i j dtt

= + (9)

1ˆ ˆ2

dr i j dtt

= +

(10)

2ˆ ˆ( ) 4 2F t t ti t j= +

(11) 3/ 2 2ˆ ˆ( ) 4 2F t t i t j= +


( )1 3/ 2 2

0

1ˆ ˆ ˆ ˆ4 22C

F dr t i t j i j dtt

⋅ = + + ∫ ∫

(13)

( )21 1 13/ 2 3/ 2 3/ 2 3/ 2

0 0 04 4 5

C

tF dr t dt t t dt t dtt

⋅ = + = + =

∫ ∫ ∫ ∫

(14)

15/ 2

02 2

C

F dr t ⋅ = =∫

(15)



c) 3C : 3y x=

Figura 5.16 Trayectoria 3y x= para la integral de línea Se escoge x t= como parámetro, entonces:

ˆ ˆ( )r t xi yj= + (16) 3ˆ ˆ( )r t ti t j= + (17)

2ˆ ˆ(́ ) ( 3 )r t i t j dt= + (18)

4 2ˆ ˆ( ) 4 2F t t i t j= +


1 1 14 2 2 4 4 4

0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ(4 2 ) ( 3 ) 4 6 10

C

F dr t i t j i t j dt t t dt t dt⋅ = + ⋅ + = + =∫ ∫ ∫ ∫

(20)

15 15

00

10 2 25C

tF dr t

⋅ = = =

∫

(21)

Como al calcularC

F dr⋅∫

con distintas trayectorias se obtiene el mismo resultado, podemos

afirmar que el campo es conservativo. Comprobando para 2ˆ ˆ4 2 F xyi x j= +

(4 ) 4dP d xy xdy dy

= = (22)

2(2 ) 4dQ d x xdx dx

= = (23)



Como dP dQdy dx

= se dice que el campo es conservativo.

Ahora, se puede calcular ∫ ⋅ rdF

utilizando el teorema fundamental de las integrales de

línea, para lo cual es necesario obtener la función potencial como se estudió en el capítulo 4:

Se identifican:

( , ) 4 f x y xyx∂

=∂

(24)

2( , ) 2f x y xy∂

=∂

(25)

Al integrar (24) con respecto a x:

224( , ) 4 ( ) 2 ( )

2xf x y xydx y g y x y g y= = + = +∫ (26)

Al derivar (26) con respecto a y: 2( , ) 2 (́ ) f x y x g y

y∂

= +∂

(27)

Al comparar (25) con (27):

(́ ) 0 g y = (28) Que al integrar se tiene:

1( )g y k= (29) Al sustituir (29) en (26) se obtiene la función potencial:

122),( kyxyxf += (30)

Al aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea para calcular el trabajo:

2 2 1 1( , ) ( , )b

aF dr f x y f x y⋅ = −∫

(31)

( ) ( )2 21 11,1 0,0

2 2b

aF dr x y k x y k⋅ = + − +∫

(32)

Finalmente se obtiene:

2b

aF dr⋅ =∫

(33)

Como se observa, mediante ambos procedimientos se llega al mismo resultado.



Ejemplo 5.12 Calcule el trabajo producido por el campo de fuerzas

ˆ ˆ( , ) ( ( )) ( cos( ))x xF x y e y sen y i e x y j= + + +

al moverse por la curva dada por ˆ ˆ( ) senr t t ti tj= +

, cuando 0 t π≤ ≤ . Solución Para utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea, hay que comprobar si el campo es conservativo, entonces:

cos( )xP e yy

∂= +

∂ (1)

cos( )xQ e yx

∂= +

∂ (2)

Como P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂, se dice que el campo es conservativo.

Entonces ( , ) ( ) ( )b

aF dr f x y dr f b f a• = ∇ • = −∫ ∫

Se obtiene la función potencial:

( , ) ( )xf x y e y sen yx

∂= +

∂ (3)

( , ) ( )xf x y e xcos yy

∂= +

∂ (4)

Al integrar (3) con respecto a x

( , ) ( ( )) ( ) ( )x xf x y e y sen y dx e y xsen y g y= + = + +∫ (5) Al derivar (5) con respecto a y:

( , ) co s( ) (́ ) xf x y e x y g yy

∂= + +

∂ (6)

Al comparar (4) con (6) se tiene que: (́ ) 0 g y = (7)

Se integra (7) para obtener ( ) g y :

( ) (́ ) 0g y g y dy dy C= = =∫ ∫ (8) Al sustituir (8) en (5) la función potencial está dada por:

( , ) ( )xf x y e y xsen y C= + + (9) Ahora para calcular el trabajo se utiliza el teorema fundamental de la integral de línea.

( , ) ( ) ( )b

aW F r f x y dr f b f a= ⋅ = ∇ ⋅ = −∫ ∫



0 ( )xW e y xsen y

π= + (10)

De la ecuación de la curva se sabe que: sen x t t y t= =

Que al sustituir en la ecuación (10) se obtiene. 2

0 0 ( ) ( ) ( )x tsentW e y xsen y e t tsen t

π ππ= + = + = (11)


1. Determine si el campo de fuerzas 2 2 ˆ ˆ(3 ) 2xF x y i xyjy

= + +

es conservativo y de ser

así, calcule la función potencial tal que ( , )F f x y= ∇

. 2. Determine si el campo de fuerzas ˆ ˆ( ) ( cos )x xF e seny i e y j= +

es conservativo y de ser así, calcule la función potencial tal que ( , )F f x y= ∇

. 3. Determine si el campo de fuerzas ˆ ˆ( 1) ( )xy xyF e i xe j= − +

es conservativo y de ser así, calcule la función potencial tal que ( , )F f x y= ∇

. 4. Determine si el campo de fuerzas 2 2 ˆˆ ˆ( 2 ) ( 1) (2 3)F x xy i x j xz k= + + + −

es conservativo y de ser así, calcule la función potencial tal que ( , , )F f x y z= ∇

. 5. Determine si el campo de fuerzas 2 2 ˆˆ ˆ( 2 ) ( 1) (2 3)F x xy i x j xz k= + + + −

es conservativo y de ser así, calcule la función potencial tal que ( , , )F f x y z= ∇

. 6. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 3ˆ ˆ( 1) ( 3 2)F x i y y j= + + + +

que actúa a lo largo de la mitad superior de la circunferencia 2 2 2x y+ = .

7. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆˆ ˆx y zF i j k

x y z x y z x y z= + +

+ + + + + +

que actúa del punto (1,3,2)

al punto (2.3,5). 8. Calcule

CF dr∫

para el campo vectorial ˆˆ ˆco s( ) ( ) ( )F xz yz i xysen yz j sen yz k= + +

sobre la trayectoria 2 ˆˆ ˆ( ) 2r t ti tj t k= + + de 0 4t≤ ≤ . Si es conveniente puede utilizar

el teorema fundamental de la integral de línea. 9. Calcule

CF dr∫

para el campo vectorial ˆˆ ˆz z zF e xi e xyj e xk= + +

sobre la

trayectoria 2 ˆˆ ˆ( ) 4 ( ) 4co s( )r t sen t i t j t k= + + de 0 2t≤ ≤ . Si es conveniente puede

utilizar el teorema fundamental de la integral de línea. 10. Calcule

CF dr∫

para el campo vectorial 2 ˆˆ ˆ3F xz i xj yk= + −

sobre la trayectoria 2 3 ˆˆ ˆ( ) 3 5r t ti t j t k= + +

de 0 4t≤ ≤ . Si es conveniente puede utilizar el teorema fundamental de la integral de línea.



5.2.7 Integrales de línea a lo largo de curvas cerradas simples.

Figura 5.17 Curva cerrada simple En una curva cerrada simple C es necesario precisar el sentido de integración, el sentido se considera positivo cuando va en dirección contraria a las manecillas del reloj y se considera negativo cuando va en la misma dirección de las manecillas del reloj.

Si F

es el campo de velocidades de un fluido, entonces la circulación es una medida de la cantidad con la cual el fluido tiende a hacer girar la curva C en sentido opuesto al reloj. Si F

es perpendicular a T

en todo punto (x,y) de C , entonces ∫ =⋅ 0dsTF

y la curva no

se mueve si ∫ ∫ >⋅<⋅ 0 ó 0 dsTFdsTF

significa que el fluido tiende a hacer girar a

C en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario al reloj respectivamente. Ejemplo 5.13 Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + −

que actúa a lo largo de la curva cerrada que se muestra en la figura.

Definición 5.4 (Curva cerrada simple). Se dice que una curva es cerrada si su punto final coincide con su punto inicial, es decir

( ) ( )r b r a=

Definición 5.5 (Circulación). La integral de línea de un campo vectorial F

alrededor de una curva cerrada simple C se dice que es la circulación de F

en C . Circulación =

C CF dr F Tds⋅ = ⋅∫ ∫

(5.33)



Figura 5.18 Semicircunferencia simple Solución Para la trayectoria 1C se tiene una recta con las siguientes ecuaciones paramétricas:

2, 0 4,0x y t+ − = (1) 4 2x t= − (2) 0y = (3)

ˆ( ) (4 2)r t t i= − (4)

ˆ( ) 4dr t dti= (5)

2 ˆ(4 2)F t i= −

(6) Los límites de la integral se toman para 2x = − , 0t = a 2x = , 1t = porque la curva está orientada en sentido contrario de las manecillas del reloj, de esta forma tenemos:

1 12 2

0 0ˆ ˆ(4 2) (4 ) (4 2) 4F dr t i dt i t dt ⋅ = − ⋅ = − ∫ ∫ ∫

(7)

13

0

(4 2) 8 8 163 3 3 3

tF dr −

⋅ = = + =

∫

(8)

Para la trayectoria 2C se tiene un semicírculo con las siguientes ecuaciones paramétricas para 0 t π≤ ≤ :

2cos( )x t= (9) 2 ( )y sen t= (10)

Entonces: ˆ ˆ( ) 2co s( ) 2 ( )r t t i sen t j= +

(11) ˆ ˆ( ) ( 2 ( ) 2co s( ) )dr t sen t i t j dt= − +

(12) 2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + −

(13) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ(4 ( ) 4co s( )) (8 ( ) co s( )) 4 (8 ( )co s( ))F sen t t i sen t t j i sen t t j= + − = −

(14)

0ˆ ˆ ˆ ˆ4 (8 ( )co s( )) ( 2 ( ) 2co s( ) )F dr i sen t t j sen t i t j dt

π ⋅ = − ⋅ − + ∫ ∫

(15)

2

08 ( ) (1 6 ( )co s( ))F dr sen t sen t t dt

π ⋅ = − − ∫ ∫

(16)

1C



3

0

cos ( ) 168cos( ) (16 ) 8( 1 1) ( 1 1)3 3

tF dr tπ

⋅ = + = − − + − −

∫

(17)

803

F dr⋅ = −∫

(18)

La integral total será: 16 80 643 3 3

F dr⋅ = − = −∫

(19)

Como indica el teorema fundamental de las integrales de línea, sí el campo vectorial F

es conservativo, entonces su integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia en los valores de la función potencial f en dichos puntos, cuando se mueve alrededor de una curva cerrada, el punto inicial de la trayectoria coincide con el punto final, de esta forma se cumple el siguiente teorema.

Ejemplo 5.14 Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas 2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + +

que actúa a lo largo de la curva cerrada que se muestra en la figura.

Figura 5.19 Curva cerrada simple

Teorema 5.2 La integral de línea de un campo vectorial conservativo F

alrededor de una curva cerrada simple C se dice que:

Circulación = 0C C

F dr F Tds⋅ = ⋅ =∫ ∫

(5.33)



Solución Para la trayectoria 2y x= se toma como parámetro x , entonces:

2ˆ ˆ( )r t xi x j= + (1)

ˆ ˆ( ) ( 2 )dr t i xj dx= + (2)

2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + +

(3) 2 4 2 2 4 3ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) ( ) 2F x x i x x j x x i x j= + + = + +

(4) Los límites de la integral se toman de 0x = a 1x = porque la curva está orientada en sentido contrario de las manecillas del reloj, de esta forma tenemos:

1 2 4 3

0ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( 2 )F dr x x i x j i xj dx ⋅ = + + + ∫ ∫

(5) 1 12 4 4 2 4

0 0( ) 4 ( 5 )F dr x x x dx x x dx ⋅ = + + = + ∫ ∫ ∫

(6) 13

5

0

1 413 3 3xF dr x

⋅ = + = + =

∫

(7)

Para la trayectoria y x= se toma como parámetro x , entonces: ˆ ˆ( )r t xi x j= +

(8)

1ˆ ˆ( ) ( )2

dr t i j dxx

= + (9)

2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + +

(10) 3

2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) ( ) 2F x x i x x j x x i x j= + + = + +

(11) Los límites de la integral se toman de 1x = a 0x = porque la curva está orientada en sentido contrario de las manecillas del reloj, de esta forma tenemos:

31 2 2

0

1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( )2

F dr x x i x j i j dxx

⋅ = + + ⋅ + ∫ ∫

(12)

0 02 2

1 1( ) ( 2 )F dr x x x dx x x dx ⋅ = + + = + ∫ ∫ ∫

(13)

03

2

1

1 413 3 3xF dr x

⋅ = + = − − = −

∫

(14)

Finalmente la integral es. 4 4 03 3

F dr ⋅ = + − = ∫

(15)

Como se observa, el resultado de la integral es cero, esto se debe a que el campo vectorial es conservativo, como se comprueba a continuación para 2 2 ˆ ˆ( ) 2F x y i xyj= + +

2P yy

∂=

∂ (16)

2Q yx

∂=

∂ (17)



Como P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂, se dice que el campo es conservativo, por lo tanto se cumple el teorema

5.2.


1. Calcule C

F dr⋅∫

para el campo vectorial 2ˆ ˆ2F y i xyj= +

sobre la trayectoria

triangular de vértices (0,0), (4,1), (2,3) en sentido horario.

2. Calcule C

F dr⋅∫

para el campo vectorial 2ˆ ˆ2F y i xyj= +


semicircular 2 2 1x y+ = que inicia en el punto (-1,0) y termina en el punto(1,0), seguido del segmento de recta que inicia en el punto (1,0) y termina en el punto (-1,0) en sentido horario.

3. Calcule C

F dr⋅∫

para el campo vectorial ˆ ˆ(2 3 1) (3 2)F x y i x y j= − + + + −

sobre la

trayectoria semicircular 2 2 1x y+ = que inicia en el punto (0,-1) y termina en el punto (0,1), seguido del segmento de recta que inicia en el punto (0,1) y termina en el punto (0,-1) en sentido antihorario.

4. Calcule C

F dr⋅∫

para el campo vectorial 2 2ˆ ˆF xy i x yj= +


mostrada en la figura 5.20 en sentido antihorario.

Figura 5.20 Curva cerrada entre 2 2 1x y+ = y 2 2 4x y+ =

5. Calcule C

F dr⋅∫

para el campo vectorial 2 2 ˆˆ ˆco s( ) (1 co s( )) 2 ( )F z y xy i z x xy j zsen xy k= + + +

sobre la trayectoria mostrada en la figura 5.21 en sentido antihorario.



Figura 5.21 Curva cerrada sobre el plano 1z y= −

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