Unidad 5 Ecuaciones lineales de segundo orden con coe...

Unidad 5 Ecuaciones lineales de segundo orden con coe�cientes variables5.1 Ecuación de Bessel

Ejemplos de Ecuaciones

Ecuación de Airy En las ciencias físicas, la función Airy (o la función Airy del primer tipo) Ai(x) esuna función especial que lleva el nombre del astrónomo británico George Biddell Airy (1801�1892).

La función Ai (x) y la función relacionada Bi (x) son soluciones linealmente independientes de laecuación diferencial.

y′′ − xy = 0

conocida como la ecuación de Airy o la ecuación de Stokes. Esta es la ecuación diferencial lineal desegundo orden más simple con un punto de in�exión (un punto donde el carácter de las solucionescambia de oscilatorio a exponencial).

La función Airy es la solución a la ecuación de Schrödinger para una partícula con�nada dentro de unpozo de potencial triangular y para una partícula en un campo de fuerza constante unidimensional.Por la misma razón, también sirve para proporcionar aproximaciones semiclásicas uniformes cerca deun punto de in�exión en la aproximación WKB, cuando el potencial puede aproximarse localmentepor una función lineal de posición. La solución de pozo de potencial triangular es directamenterelevante para la comprensión de muchos dispositivos semiconductores.

La función Airy también subyace a la forma de la intensidad cerca de una cáustica direccionalóptica, como la del arco iris. Históricamente, este fue el problema matemático que llevó a Airy adesarrollar esta función especial.

Una función diferente que también lleva el nombre de Airy es importante en microscopía y astro-nomía; describe el patrón, debido a la difracción e interferencia, producido por una fuente puntualde luz (una que es mucho más pequeña que el límite de resolución de un microscopio o telescopio).

Solución de la ecuación diferencial de Airy Dada la ecuación diferencial

y′′ − xy = 0

usamos el método de la serie de potencias y proponemos la solución y =

∞∑n=0

cnxn. Al sustituir en

la ecuación diferencial se tiene

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 − x

∞∑n=0

cnxn = 0

Facultad de Ciencias UNAMEcuaciones Diferenciales 1

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 −

∞∑n=0

cnxn+1 = 0

expandiendo el primer sumando

2c2 +

∞∑n=3


∞∑n=0

cnxn+1 = 0

recorriendo indices

2c2 +

∞∑n=0

(n+ 3)(n+ 2)cn+3xn+1 −

∞∑n=0

cnxn+1 = 0

de lo anterior 2c2 = 0 implican c2 = 0. Por otro lado

(n+ 3)(n+ 2)cn+3 − cn = 0 ⇒ cn+3 =cn

(n+ 3)(n+ 2)

sustituimos n = 0, 1, 2, ... y obtenemos

c3 =c03 · 2

c4 =c14 · 3

c5 =c25 · 4

= 0

c6 =c36 · 5

=4c06!

c7 =c47 · 6

=2 · 5c17!

c8 =c58 · 7

= 0

c9 =c69 · 8

=4 · 7c09!

c10 =c7

10 · 9=

2 · 5 · 8c110!

Se tiene el patron

c3n+2 = 0, c3n =1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)

(3n)!, c3n+1 =

2 · 5 · 8 · · · (3n− 1)

(3n+ 1)!

escribimos la solución

y =

∞∑n=0

cnxn = c0 + c1x+ c2x

2 + c3x3 + · · ·

y = c0 + c1x+1

3!c0x

3 +2

4!c1x

4 +4

6!c0x

6 +2 · 57!

c1x7 +

4 · 79!

c0x9 +

2 · 5 · 810!

c1x10 + · · ·

y = c0

(1 +

1

3!x3 +

4

6!x6 +

4 · 79!

x9 + · · ·)+ c1

(x+

2

4!x4 +

2 · 57!

x7 +2 · 5 · 810!

x10 + · · ·)

y = c0

∞∑n=0

1 · 4 · · · (3n− 2)

(3n)!x3n + c1

∞∑n=0

2 · 5 · · · (3n− 1)

(3n+ 1)!x3n+1




Ecuación de Hermite Charles Hermite (1822-1901) fue un matemático francés que realizó investiga-ciones sobre teoría de números, formas cuadráticas, teoría de invariantes, polinomios ortogonales,

La ecuación de Hermite es nuestro primer ejemplo de una ecuación diferencial, que tiene una soluciónpolinomial. Tenemos que determinar la elección correcta para los coe�cientes (cn).

Solución de la ecuación de Hermite Considere la ecuación diferencial

y′′ − 2xy′ + λy = 0

para esta ecuación proponemos la solución en serie de potencias∞∑

n=0

cnxn. Al sustituir en la ecuacón

se tiene∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 − 2x

∞∑n=1

ncnxn−1 + λ

∞∑n=0

cnxn−2 = 0

∞∑n=2


∞∑n=1

2ncnxn +

∞∑n=0

λcnxn−2 = 0

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn −

∞∑n=0

2ncnxn +

∞∑n=0

λcnxn−2 = 0

∞∑n=0

((n+ 2)(n+ 1)cn+2 − 2ncn + λcn)xn = 0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2 − 2ncn + λcn = 0

Obtenemos la relación de recurrencia

cn+2 =(2n− λ)

(n+ 1)(n+ 2)cn

tomando n = 0, 1, 2, 3, ... se obtiene




c2 =−λ2 · 1

c0

c3 =2− λ3 · 2

c1

c4 =4− λ4 · 3

c2 =

(4− λ4 · 3

(−λ)2 · 1

c0

)= − (4− λ)λ

4!c0

c5 =6− λ5 · 4

c3 =

(6− λ5 · 4

(2− λ)3 · 2

c1

)=

(6− λ)(2− λ)5!

c1

la solución nos queda

y = c0

[1− λ

2!x2 − (4− λ)λ

4!x4 − (8− λ)(4− λ)λ

6!x6 − · · ·

]+c1

[x+

2− λ3!

x3 +(6− λ)(2− λ)

5!x5 + · · ·

]Ecuación de Legendre En matemáticas, en el análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias, las fun-

ciones de Legendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Legendre:

(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0

llamadas así en honor del matemático francés Adrien-Marie Legendre.

Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuel-ve la ecuación de Helmholtz (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricasmediante el método de separación de variables.La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias.Esta ecuación surge en muchos problemas de física, especialmente en problemas de valor de límiteen esferas

(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0

donde α es una constante.

Solución de la ecuación de Legendre Escribimos la ecuación

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

donde

p(x) =−2x1− x2

, q(x) =α(α+ 1)

1− x2




es claro que tanto p(x) como q(x) son analíticas en el origen y el radio de convergencia es ρ = 1.Proponemos entonces la solución

y =

∞∑n=0

cnxn

al sustituir en la ecuación(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0

obtenemos

(1− x2)∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 − 2x

∞∑n=1

ncnxn−1 + α(α+ 1)

∞∑n=0

cnxn = 0

expandiendo

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 − x2

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 − 2x

∞∑n=1

ncnxn−1 + α(α+ 1)

∞∑n=0

cnxn = 0

simpli�cando

∞∑n=2


∞∑n=2

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=1

2ncnxn +

∞∑n=0

α(α+ 1)cnxn = 0

recorriendo las series

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn −

∞∑n=0

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=0

2ncnxn +

∞∑n=0

α(α+ 1)cnxn = 0

simpli�cando

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1)cn+2 − n(n− 1)cn − 2ncn + α(α+ 1)cn]xn = 0

se tiene entonces

(n+ 2)(n+ 1)cn+2 − n(n− 1)cn − 2ncn + α(α+ 1)cn]xn = 0 ⇒ cn+2 = − (α− n)(α+ n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)cn

sustituyendo n = 1, 2, 3, ...

c2 = −α(α+ 1)

2 · 1c0

c3 = − (α− 1)(α+ 2)

3 · 2c1

c4 = − (α− 2)(α+ 3)

4 · 3c2 = − (α− 2)(α+ 3)

4 · 3

(−α(α+ 1)

2 · 1c0

)=

(α− 2)α(α+ 1)(α+ 3)

4!c0




c5 = − (α− 3)(α+ 4)

5 · 4c32 = − (α− 3)(α+ 4)

5 · 4

(− (α− 1)(α+ 2)

3 · 2c1

)=

(α− 3)(α− 1)(α+ 2)(α+ 4)

5!c1

se tiene el patron

c2n = (−1)n (α+ 2n− 1)(α+ 2n− 3) · · · (α+ 1)α(α− 2) · · · (α− 2n+ 2)

(2n)!c0

c2n+1 = (−1)n (α+ 2n)(α+ 2n− 2) · · · (α+ 2)(α− 1)(α− 3) · · · (α− 2n+ 1)

(2n+ 1)!c1

escribimos la solucióny = c0y1 + c1y2

donde

y1 = 1 +∞∑

n=1

(−1)n (α+ 2n− 1)(α+ 2n− 3) · · · (α+ 1)α(α− 2) · · · (α− 2n+ 2)

(2n)!x2n

y

y2 = x+

∞∑n=1

(−1)n (α+ 2n)(α+ 2n− 2) · · · (α+ 2)(α− 1)(α− 3) · · · (α− 2n+ 1)

(2n+ 1)!x2n+1

Ecuación de Laguerre Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamadosasí en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

xy′′ + (1− x)y′ +my = 0, m ∈ Z+

Edmond Nicolas Laguerre (9 de abril de 1834, Bar-le-Duc - 14 de agosto de 1886), fue un matemáticofrancés, conocido principalmente por la introducción de los polinomios que llevan su nombre.

Comenzó sus estudios en la École Polytechnique (Promoción X1853). Efectuó una carrera militarde 1854 a 1864 como o�cial de artillería. Luego, fue tutor de la École polytechnique.Gracias al apoyo de Joseph Bertrand, obtiene la cátedra de físico matemático en el Colegio deFrancia, en 1883, y se convierte en miembro de la Academia de Ciencias en 1885.Laguerre publicó más de 140 artículos sobre los diferentes aspectos de la geometría y del análisis.Sus obras completas fueron publicadas en diez volúmenes entre 1898 y 1905 por encargo de CharlesHermite, Henri Poincaré y Eugène Rouché.




Solución de la ecuación de Laguerre Escribimos la ecuación

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

p(x) = 1− x, q(x) = mx

es claro que tanto p(x) como q(x) son analíticas en el origen. Proponemos entonces la solución

y =

∞∑n=0

cnxn+r

al sustituir en la ecuaciónxy′′ + (1− x)y′ +my = 0

obtenemos

x

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−2 + (1− x)

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1 +m

∞∑n=0

cnxn+r = 0

expandiendo

x

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r− 1)cnxn+r−2 +

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1− x

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1 +m

∞∑n=0

cnxn+r = 0

simpli�cando

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−1 +

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1 −

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r +m

∞∑n=0

cnxn+r = 0

∞∑n=0

[(n+ r)(n+ r − 1) + (n+ r)]cnxn+r−1 −

∞∑n=0

[(n+ r)−m]cnxn+r = 0

∞∑n=0

(n+ r)2cnxn+r−1 −

∞∑n=0

[(n+ r)−m]cnxn+r = 0

recorriendo los índices

∞∑n=0


∞∑n=1

[(n+ r − 1)−m]cn−1xn+r−1 = 0

tomando el primer elemento de la primer suma

r2c0xr−1 +

∞∑n=1


∞∑n=1

[(n+ r − 1)−m]cn−1xn+r−1 = 0

agrupando

r2c0xr−1 +

∞∑n=1

[(n+ r)2cn − [(n+ r − 1)−m]cn−1]xn+r−1 = 0




se tiene entoncesr2c0x

r−1 = 0 r = 0

(n+ r)2cn − [(n+ r − 1)−m]cn−1 = 0 ⇒ cn =n+ r − 1−m

(n+ r)2cn−1

con r = 0 se tiene

cn =n− 1−m

(n)2cn−1

sustituyendo n = 1, 2, 3, ... tenemos

c1 =−m12

c0 =−m(1!)2

c0

c2 =1−m22

c1 =1−m

2

(−m(1!)2

c0

)= (−1)2m(m− 1)

(2!)2c0

c3 =2−m32

c2 =2−m32

((−1)2m(m− 1)

(2!)2c0

)= (−1)3 (m− 2)m(m− 1)

32(2!)2c0 = (−1)3 (m− 2)m(m− 1)

(3!)2c0

se observa el patron

cn = (−1)nm(m− 1)(m− 2) · · · (m− n+ 1)

(n!)2c0

por tanto la solución de la ecuación de Laguerre es:

y = c0

∞∑n=0

(−1)nm(m− 1)(m− 2) · · · (m− n+ 1)

(n!)2xn

= c0

m∑n=0

(−1)nm(m− 1)(m− 2) · · · (m− n+ 1)(m− n)!(m− n)!(n!)2

xn

= c0

m∑n=0

(−1)n m!

(m− n)!(n!)2xn

Ecuación de Chevyshev La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden.

(1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0

donde α es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático rusoPafnuty Chebyshev. Es conocido por su trabajo en el área de la probabilidad y estadística.




Solución a la ecuación de Chebyshev La ecuación de Chebyshev

(1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0

en el punto x = 0 tiene un punto ordinario, por lo que se tiene una solución de la forma

y =

∞∑n=0

cnxn

sustituyendo en la ecuación(1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0

obtenemos

(1− x2)∞∑

n=2


∞∑n=1

ncnxn−1 + α2

∞∑n=0

cnxn = 0

expandiendp

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−2 − x2

∞∑n=2


∞∑n=1

ncnxn−1 + α2

∞∑n=0

cnxn = 0

simpli�cando

∞∑n=2


∞∑n=2

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=1

ncnxn + α2

∞∑n=0

cnxn = 0

recorriendo indices en el primer sumando

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn −

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn −

∞∑n=1

ncnxn + α2

∞∑n=0

cnxn = 0

extraemos los primeros términos del primer sumando

(2)(1)c2x0+(3)(2)c3x+

∞∑n=2

(n+2)(n+1)cn+2xn−

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−

∞∑n=1

ncnxn+α2

∞∑n=0

cnxn = 0

ahora extraemos el primer sumando del término en rojo

(2)(1)c2x0+(3)(2)c3x+

∞∑n=2

(n+2)(n+1)cn+2xn−

∞∑n=2

n(n−1)cnxn−(1)c1x−∞∑

n=2

ncnxn+α2

∞∑n=0

cnxn = 0

�nalmente extraemos los primeros términos del último sumando

(2)(1)c2x0 + (3)(2)c3x+

∞∑n=2

(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn −

∞∑n=2

n(n− 1)cnxn−(1)c1x−

∞∑n=2

ncnxn

+α2c0x0 + α2c1x+

∞∑n=2

cnxn = 0




agrupando

2c2 + α2c0 + (6c3 − c1 + α2c1) +

∞∑n=2

[(n+ 2)(n+ 1)cn+2 − n(n− 1)cn − ncn − α2cn]xn = 0

tenemos que

2c2 + α2c0 = 0 ⇒ c2 = −α2

2c0

6c3 − c1 + α2c1 = 0 ⇒ c3 =1− α2

6c1

(n+ 2)(n+ 1)cn+2 − n(n− 1)cn − ncn − α2cn ⇒ cn+2 =n2 − α2

(n+ 1)(n+ 2)cn

sustituyendo n = 0, 1, 2, ... se tiene

c2 = −α2

2c0

c3 =1− α2

3!c1

c4 =22 − α2

4 · 3c2 =

22 − α2

4 · 3

(−α

2

2c0

)=

(22 − α2)(−α2)

4!c0

c5 =32 − α2

5 · 4c3 =

32 − α2

5 · 4

(1− α2

3!c1

)=

(32 − α2)(1− α2)

5!c1

c6 =42 − α2

6 · 5c4 =

42 − α2

6 · 5

((22 − α2)(−α2)

4!c0

)=

(42 − α2)(22 − α2)(−α2)

6!c0

se observa el patron

c2n =[(2n− 2)2 − α2][(2n− 4)2 − α2] · · · (22 − α2)(−α2)

(2n)!c0

c2n+1 =[(2n− 1)2 − α2][(2n− 3)2 − α2] · · · (32 − α2)(1− α2)

(2n+ 1)!c1

y la solución de la ecuación de Chebyshev es:

y = c0

(1 +

∞∑n=1

[(2n− 2)2 − α2][(2n− 4)2 − α2] · · · (22 − α2)(−α2)

(2n)!

)x2n+

c1

( ∞∑n=1

[(2n− 1)2 − α2][(2n− 3)2 − α2] · · · (32 − α2)(1− α2)

(2n+ 1)!

)x2n+1




Ecuación Hipergeométrica de Gauss A continuación resolvemos la ecuación diferencial de segundoorden llamada ecuación diferencial hipergeométrica utilizando el método de Frobenius.La solución de la ecuación diferencial hipergeométrica es muy importante. Por ejemplo, se pue-de mostrar que la ecuación diferencial de Legendre es un caso especial de la ecuación diferencialhipergeométrica. Por lo tanto, al resolver la ecuación diferencial hipergeométrica, uno puede compa-rar directamente sus soluciones para obtener las soluciones de la ecuación diferencial de Legendre,después de realizar las sustituciones necesarias. Para más detalles, veri�que la ecuación diferencialhipergeométrica.

La ecuación hipergeométrica de Gauss es:

x(1− x)y′′ + [γ − (α+ β + 1)x]y′ − αβy = 0

la cual se escribe en forma

y′′ +[γ − (α+ β + 1)x]y′

x(1− x)− αβy

x(1− x)y = 0

en este casop(x) = [γ − (α+ β + 1)x, q(x) = −αβ

Se tiene que x = 0, x = 1 son puntos singulares. Frobenius propone la solución

y =

∞∑n=0

cnxn+r

sustituyendo en la ecuación

x(1− x)y′′ + [γ − (α+ β + 1)x]y′ − αβy = 0

obtenemos

x(1−x)∞∑

n=0

(n+ r)(n+ r−1)cnxn+r−2+[γ− (α+β+1)x]

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1−αβ

∞∑n=0

cnxn+r = 0

expandiendo

x

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−2 − x2

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−2 + γ

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1

−(α+ β + 1)x

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1 − αβ

∞∑n=0

cnxn+r = 0




simpli�cando

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−1 −

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r + γ

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1

−(α+ β + 1)

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r − αβ

∞∑n=0

cnxn+r = 0

recorriendo indices

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cnxn+r−1 −

∞∑n=1

(n+ r − 1)(n+ r − 2)cn−1xn+r−1 + γ

∞∑n=0

(n+ r)cnxn+r−1

−(α+ β + 1)∞∑

n=1

(n+ r − 1)cn−1xn+r−1 − αβ

∞∑n=1

cn−1xn+r−1 = 0

extraemos el primer término de los sumando primero y tercero

r(r−1)c0xr−1+∞∑

n=1

(n+r)(n+r−1)cnxn+r−1−∞∑

n=1

(n+r−1)(n+r−2)cn−1xn+r−1+γrc0xr−1+γ

∞∑n=1

(n+r)cnxn+r−1

−(α+ β + 1)

∞∑n=1

(n+ r − 1)cn−1xn+r−1 − αβ

∞∑n=1

cn−1xn+r−1 = 0

agrupando[r(r − 1) + γr]c0x

r−1

+

∞∑n=1

[(n+r)(n+r−1)cn−(n+r−1)(n+r−2)cn−1+γ(n+r)cn−(α+β+1)(n+r−1)cn−1−αβcn−1]xn+r−1 = 0

de aquí

[r(r − 1) + γr]c0 = 0 ⇒ r(r − 1) + γr = 0 ⇒ r(r − 1 + γ) = 0 ⇒ r = 0, r = 1− γ

también

(n+r)(n+r−1)cn−(n+r−1)(n+r−2)cn−1+γ(n+r)cn−(α+β+1)(n+r−1)cn−1−αβcn−1 = 0

⇒ cn =(n+ r − 1)(n+ r − 2) + (α+ β + 1)(n+ r − 1) + αβ

(n+ r)(n+ r − 1) + γ(n+ r)cn−1

⇒ cn =(n+ r − 1)(n+ r + α+ β − 1) + αβ

(n+ r)(n+ r + γ − 1)cn−1

⇒ cn =(n+ r − 1)(n+ r + α− 1) + (n+ r − 1)β + αβ

(n+ r)(n+ r + γ − 1)cn−1

⇒ cn =(n+ r − 1)(n+ r + α− 1) + (n+ r − 1 + α)β

(n+ r)(n+ r + γ − 1)cn−1




⇒ cn =(n+ r + α− 1)(n+ r − 1 + β)

(n+ r)(n+ r + γ − 1)cn−1

tomando n = 1, 2, 3, ... tenemos

c1 =(r + α)(r + β)

(1 + r)(r + γ)c0

c2 =(r + α+ 1)(r + β + 1)

(2 + r)(r + γ + 1)c1 =

(r + α+ 1)(r + β + 1)

(2 + r)(r + γ + 1)

((r + α)(r + β)

(1 + r)(r + γ)c0

)c3 =

(r + α+ 2)(r + β + 2)

(3 + r)(r + γ + 2)c2 =

((r + α+ 2)(r + β + 2)

(3 + r)(r + γ + 2)

)(r + α+ 1)(r + β + 1)

(2 + r)(r + γ + 1)

((r + α)(r + β)

(1 + r)(r + γ)c0

)Una forma de escribir las expresiones anteriores es usando el símbolo de Pochhamer, el cual se de�ne

(α)n = α(α+ 1)(α+ 2) · · · (α+ n− 1)

donde (α)0 = 1 y n es un entero positivo. De esta manera tenemos que

c1 =(r + α)(r + β)

(1 + r)(r + γ)c0

c2 =(r + α)2(r + β)2(1 + r)2(r + γ)2

c0

c3 =(r + α)3(r + β)3(1 + r)3(r + γ)3

c0

y en general

cn =(r + α)n(r + β)n(1 + r)n(r + γ)n

c0

y la solución de la ecuación hipergeométrica de Gauss es

y = c0

∞∑n=0

=(r + α)n(r + β)n(1 + r)n(r + γ)n

xn+r



Unidad 5 Ecuaciones lineales de segundo orden con coe...

Documents

Transcript of Unidad 5 Ecuaciones lineales de segundo orden con coe...