UNIDAD 5 ECUACIONES - Mata Jove
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1 UNIDAD 5 ECUACIONES 4º ESO MATEMÁTICAS APLICADAS
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UNIDAD 5
ECUACIONES
4º ESO MATEMÁTICAS APLICADAS
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1. ECUACIONES 1.1. Identidades y ecuaciones
Una igualdad no es lo mismo que una identidad. Hay igualdades de dos diferentes tipos: ecuaciones e identidades. Identidades y ecuaciones tienen dos lados o miembros, donde el signo igual separa las expresiones matemáticas, el miembro de la derecha y el miembro de la izquierda.
En Álgebra una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores que puedan tomar sus variables. Por ejemplo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Una ecuación es una igualdad que expresa una relación entre cantidades dadas, las incógnitas, que deben ser determinadas. ¿Conoces alguna?
Ejemplos:
1) Determina si estas igualdades son ciertas para los valores indicados.
2) Indica si estas igualdades son identidades o ecuaciones.
3
3) Escribe dos igualdades que sean identidades y otras dos que sean ecuaciones.
4) Determina los diferentes elementos de las siguientes ecuaciones.
1.2. Solución. Soluciones equivalentes.
Los valores de las incógnitas que hacen cumplir la igualdad son llamadas soluciones. Resolver una ecuación es encontrar la solución o soluciones.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ejemplos:
1) ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación 5x – 9 = 4(x-5)?
4
2. Ecuaciones lineales (Ecuaciones de primer grado)
Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es una constante, o el producto de una contante por una variable Se escribe, en general, como ax + b = 0, siendo a y b números reales, y a≠0.
Este tipo de ecuaciones tienen una única solución: a
bx
2.1. Solución algebraica de resolución de ecuaciones lineales
Reglas para obtener ecuaciones equivalentes.
Transposición de términos.
Los siguientes pasos son seguidos para resolver ecuaciones lineales:
Paso 1: Observa cómo se ha construido la expresión que contiene la variable.
Paso 2: Realiza las operaciones inversas, en ambos términos, para “deshacer” la construcción de la ecuación. En este sentido, lo que estamos haciendo es “aislar” la incógnita.
Paso 3: Comprueba la solución encontrada por sustitución en la expresión inicial.
Ejemplos:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
5
a) x+9 =4 b) 2x+5 = 17
c) 5x = 45
d) 3x -2= -14
e) -24 = -6x
f) 3 – 4x = -17
g) 3-x =12
h) 8 = 9 - 2x
Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comenta el resultado:
a) 2(3𝑥 + 1) − 3 = 6𝑥 − 1 b) 3(4𝑥 + 1) = 6(2𝑥 + 1)
a) 𝑥
4= 12 b)
𝑥+3
5= −2
c) 1
2𝑥 = 6 d)
1
3(𝑥 + 2) = 3
e) 5 =𝑥
−2 f)
2𝑥−1
3= 7
g) 𝑥
3+ 4 = −2 h)
1
2(5 − 𝑥) = −2
a) 2(𝑥 + 8) + 5(𝑥 − 1) = 60
b) 2(𝑥 − 3) + 3(𝑥 + 2) = −5
c) 3(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1) = 0
d) 4(2𝑥 − 3) + 2(𝑥 + 2) = 32
e) 3(4𝑥 + 1) − 2 ⋅ (3𝑥 − 4) = −7
f) 5(𝑥 + 2) − 2(3 − 2𝑥) = −14
6
2.3. Ecuaciones racionales
Ejemplos. Resuelve las siguientes ecuaciones:
7
Ejercicio 5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑥
2=
4
7 b)
5
8=
𝑥
6 c)
𝑥
2=
𝑥−2
3
d) 𝑥+1
3=
2𝑥−1
4 e)
2𝑥
3=
5−𝑥
2 f)
3𝑥+2
5=
2𝑥−1
2
g) 2𝑥−1
3=
4−𝑥
6 h)
4𝑥+7
7=
5−𝑥
2 i)
3𝑥+1
6=
4𝑥−1
−2
Ejercicio 6. Resuelve las siguientes ecuaciones, ¡ojo! No son de primer grado pero para resolverlas se transforman en otras que sí lo son, algunas soluciones pueden no ser válidas:
a) 5
𝑥=
2
3
b) 6
𝑥=
3
5 c)
4
3=
5
𝑥
d) 3
2𝑥=
7
6
e) 3
2𝑥=
7
3 f)
7
3𝑥= −
1
6
g) 5
4𝑥= −
1
12
h) 4
7𝑥=
3
2𝑥 i)
−6
3𝑥=
2
−𝑥
j) 2𝑥+3
𝑥+1=
5
3
k) 2 +2𝑥+5
𝑥−1= −3 l)
4
𝑥−1=
3
𝑥−1
8
Ejercicio 7: Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑥
2−
𝑥
6= 4
b) 𝑥
4− 3 =
2𝑥
3
c) 𝑥
8+
𝑥+2
2= −1
d) 𝑥+2
3+
𝑥−3
4= 1
e) 2𝑥−1
3−
5𝑥−6
6= −2
f) 𝑥
4= 4 −
𝑥+2
3
g) 2𝑥−7
3− 1 =
𝑥−4
6
Ejercicio 8. Encuentra cuál de las siguientes ecuaciones tiene como solución
x = 6.
Ejercicio 9. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones.
Ejercicio 10. Resuelve.
9
Ejercicio 11. Resuelve.
Ejercicio 12. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores.
Ejercicio 13. Resuelve.
10
3. Ecuaciones cuadráticas (Ecuaciones de Segundo grado) En Álgebra elemental, una ecuación cuadrática es cualquier ecuación de la forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde x representa una incógnita, y a, b y c son constantes, siendo a ≠ 0. Si a = 0, entonces la ecuación es lineal, no cuadrática. Las contantes a, b y c, son llamadas, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término constante.
Si b y c no son nulos, la ecuación es llamada completa.
Si b o c es nulo, la ecuación es llamada incompleta.
3.1. Ecuaciones cuadráticas completas
Para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado completa, utilizamos la fórmula cuadrática:
2a
4acbbx
2
El doble signo, ±, quiere decir que pueden existir dos soluciones, x1 y x2:
2a
4acbbx
2
1
;
2a
4acb-bx
2
2
Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.
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3.2. Ecuaciones cuadráticas incompletas
Caso 1. Si b = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0
Si 0a
c, entonces hay dos soluciones:
a
cx .
Si 0a
c, entonces no hay solución.
Caso 2. Si c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0
Estas ecuaciones tienen dos soluciones: x1 = 0 and x2= a
b .
Caso 3. Si b = 0 y c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 = 0
Estas ecuaciones tienen una única solución: x = 0.
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Ejemplos.
1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.
2. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.
3.3. Número de soluciones de una ecuación cuadrática
En la fórmula cuadrática aparece la expresión 4acb2 . Esta raíz cuadrada
solo existirá si el radicando es positivo o cero.
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El número b2 – 4ac es llamado discriminante, y es representado con el(letra griega, “delta mayúscula“). El número de soluciones de la ecuación depende del signo de .
= b2 – 4ac > 0. La ecuación tiene dos soluciones diferentes.
2a
4acbbx
2
1
;
2a
4acb-bx
2
2
= b2 – 4ac = 0. La ecuación tiene una solución. Es una solución “doble”.
0
2 2
2b b 4acx
2a
b b
a a
= b2 – 4ac < 0. La ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada
4acb2 no existe.
Ejemplos. Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.
Ejercicio 14. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la formula
cuadrática.
14
Ejercicio 15. Encuentra cuántas soluciones tienen estas ecuaciones, sin
resolverlas.
Ejercicio 16. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado
incompletas.
Ejercicio 17. Resuelve.
3. Formar ecuaciones
Las ecuaciones son frases matemáticas que indican que dos expresiones tienen el mismo valor. Siempre contienen el signo “=”.
Los siguientes pasos nos ayudan a convertir problemas descritos en un enunciado a una ecuación.
Paso 1: Decide cuál es la cantidad desconocida y elige una variable, por ejemplo x, para representarla.
Paso 2: Identifica las operaciones involucradas en el problema, por ejemplo:
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Texto Traducción
Disminuido en, menor en… Restar
Más que Sumar
Doble Multiplicar por dos
Mitad Dividir entre 2
Paso 3: Forma la ecuación con el signo “=”. Todas estas muestras de frases indican igualdad: “la respuesta es”, “será”, “el resultado es”, “es igual a”, “es”…
Ejercicio 35: Traduce en ecuaciones lineales, pero no las resuelvas, los siguientes textos.
a) Cuando un número es aumentado en 5 unidades, la respuesta es 7.
b) Cuando un número es disminuido en 3 unidades, el resultado es -1.
c) Cuando un número es aumentado en 5, y el número resultante es duplicado, la respuesta es 33.
d) Un número es duplicado y luego se le suma 3. El resultado es 7.
e) Si duplicamos un número el resultado es 5 unidades menor que ese número.
f) 4 veces un número es igual a 35 unidades menos el número.
Ejercicio 36: Traduce en ecuaciones, pero no las resuelvas, los siguientes
textos.
a) La suma de dos números enteros consecutivos es 21.
b) Las sumas de tres números enteros consecutivos es 162.
c) La suma de 2 números pares enteros consecutivos es 78.
d) La suma de 3 números impares enteros consecutivos es 123.
Ejercicio 37: Forma una ecuación para las siguientes situaciones:
a) Los plátanos cuestan 24 céntimos de euro cada uno, y los melocotones 46 céntimos cada uno. Si compro 3 plátanos más que melocotones, se paga en total 5,62 €.
Construye la ecuación utilizando n como el número de melocotones.
b) Pablo compra martillos a 8 € la unidad, y alicates a 6 € la unidad. Compra 11 herramientas en total, y paga por todo 80 €.
Utiliza como variable la letra h, que represente el número de martillos comprado.
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c) Jésica tiene una colección de sellos de 2 y 5 céntimos, con un valor total de 1,23 €. Tiene 2 sellos más de 2 céntimos que de 5.
Utiliza la variable f, que represente el número de sellos de 5 céntimos.
Ejercicio 38: Forma una ecuación para las siguientes situaciones:
a) Un hombre tiene 3 veces la edad de su hijo. En 11 años tendrá el doble de la edad de su hijo.
Utiliza la variable s, que represente la edad actual del hijo.
b) En el momento actual una mujer tiene el doble de la edad de su hija. Hace 20 años tenía el triple de edad que su hija.
Utiliza la variable x, que represente la edad actual de la hija.
c) Wei es 10 años mayor que Bic. En tres años Wei tendrá el triple de la edad de Bic.
Utiliza la variable y, que represente la edad actual de Bic.
Ejercicio 40: Resuelve los siguientes problemas:
1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.
2. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.
3. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número?
4. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años?
5. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?
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6. Dos ciclistas avanzan uno hacia el otro por una misma carretera. Sus velocidades son de 20km/h y de 15 km/h. Si les separan 78 km. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?
7. En un control de Biología había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contestó todas?
8. Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7 euros y cada vez que pierde paga 3 euros. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55 euros. ¿Cuántas partidas ha ganado y cuántas ha perdido?
9. En un garaje hay 110 vehículos entre coches y motos y sus ruedas suman 360. ¿Cuántas motos y coches hay?
10. Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, de tan mala suerte
11. que tropieza y se le rompen 2/5 partes de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y recoge 21 huevos más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. ¿Cuántos huevos tenía al principio?
12. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres veces mayor que la del hijo?
13. Si al doble de un número le sumas su mitad resulta 90. ¿Cuál es el número?
14. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
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15. En una granja hay doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas que de perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96 animales?
16. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
17. En una librería Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un comic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12e. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
18. Ana tiene 7 años más que su hermano Juan. Dentro de dos años la edad de Ana será el doble de la de Juan. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
19. Un padre tiene 34 años y su hijo 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?
20. Se distribuyen 400 bolsas en tres urnas sabiendo que la primera tiene 80 menos que la segunda y esta tiene 60 menos que la tercera, averigua cuántas bolsas tiene cada una.
21. Un granjero tiene 12 caballos de 9 y 11 años. La suma de sus edades es de 122 años. ¿Cuántos caballos había de cada edad?
