Unidad 5 Material Complementario-2
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Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
2 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Dirección de Educación Virtual Gestión 2011-2014 Trabajo y Energía Primera Edición Autores: Emma Encarnación y Javier Paulino
Reservados todos los derechos: Este documento tiene prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio sea electrónico, mecánico o fotoquímico sin la autorización formal de la institución y el consentimiento del autor.
Dirección: Yasmin Hernández, M.A Coord. De Contenido: Rina Familia Asesora pedagógica: Fátima Toribio
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
3 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando
están en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energía
cinética comienza a ser convertida a Energía potencial gravitacional, pero,
si se asume una fricción insignificante y otros factores de retardo, la cantidad
total de energía en el sistema sigue siendo constante.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
4 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
INDICE DEL CONTENIDO
Introducción ........................................................................................ 5
Energía Potencial .................................................................................. 5
Energía Potencial Gravitatoria ................................................................ 7
Energía Potencial Elástica ...................................................................... 8
Conservación de la Energía Mecánica .................................................... 10
Videos para mayor comprensión del tema .............................................. 12
Problemas Resueltos ........................................................................... 12
Problemas Propuestos ......................................................................... 21
Bibliografía ........................................................................................ 30
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
5 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Introducción
Este material de estudio es la segunda parte del tema que aborda Trabajo y
Energía, en el mismo se desarrollan los conceptos relacionados con la energía
potencial gravitatoria, la energía potencial elástica y la conservación de la
energía. El mismo está elaborado de manera didáctica mostrando las
ecuaciones correspondientes a cada concepto, así como imágenes, ejemplos,
entre otros.
Energía potencial
La energía potencial es la capacidad
que tienen los cuerpos para realizar un
Trabajo.
Dependiendo de la configuración que
tengan en un sistema de cuerpos que
ejercen fuerzas entre sí. Puede
pensarse como la energía almacenada
en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar.
Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociado a un
campo de fuerzas. Cuando la energía potencial está asociada a un campo de
fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual
al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
6 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es
conservativa, es decir que cumpla con alguna de las siguientes propiedades:
El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del el
camino
El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo
Cuando el rotor de F es cero.
Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir que
cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial
se define como
De la definición se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede
obtener la fuerza a partir del gradiente de U:
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
7 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función
energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula
anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa
Evidentemente la forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza
de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico) el resultado del
producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia
entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se
incrementa dicha distancia.
Energía potencial gravitatoria
Podemos escribir la energía potencial para un cuerpo de masa m y se
encuentra a una altura h sobre la superficie de la tierra como.
Aquí observamos que la energía potencial depende la altura h de la masa m
del cuerpo y de la gravedad se observa que la altura es proporcional a la
energía potencial.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
8 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Energía potencial elástica
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es
mediante la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida por el
resorte con la distancia adicional producida por alargamiento del siguiente
modo:
Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y Δx es
la separación de su extremo respecto a su longitud natural. La energía de
deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento del resorte
viene dada por la siguiente ecuación
:
El grafico F =f(x), para un resorte; el área bajo el grafico es la energía
potencial, la pendiente del grafico es igual a la constante elástica del resorte
F =f(x)
Lo cual no es más que una consecuencia del teorema fundamental del cálculo
ya que recordamos que una fuerza conservativa y una energía potencial
asociada a ella se relacionan por:
X
F
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
9 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Esta ecuación nos dice la relación que hay entre la energía potencial asociada a
un cuerpo y la fuerza asociada al mismo
Uso de la formula ; tomando en cuenta solo en una dirección en x
esto es igual ; si le aplicamos esta fórmula a para la ecuación de la
energía de un resorte tenemos ; tenemos los siguiente.
) =
Obtenemos la ley de Hooke.
Esta me da la relación entre la energía potencial y la fuerza asociada a
esta energía y viceversa.
Esto significa que si conocemos la expresión de la energía potencial podemos
hallar la fuerza asociada a esa energía, y si conocemos la fuerza podemos
hallar la expresión de la energía potencial de esa fuerza
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
10 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Conservación de la energía mecánica
La energía mecánica, se denomina a la suma de las energías cinética y
potencial (de los diversos tipos). En la energía potencial puede considerarse
también la energía potencial elástica, aunque esto suele aplicarse en el estudio
de problemas de ingeniería y no de física. Expresa la capacidad que poseen los
cuerpos con masa de efectuar un trabajo
Conservación de la energía mecánica Para sistemas cerrados formados por
partículas que interactúan mediante fuerzas puramente mecánicas o campos
conservativos la energía se mantiene constante con el tiempo:
Es importante notar que la energía mecánica así definida permanece constante
si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre las partículas
Sin embargo existen ejemplos de sistemas de partículas donde la energía
mecánica no se conserva: que es cuando sobre el sistema actúan fuerza de
fricción o de rozamiento.
Podemos resumir de la clase anterior y concluir que el trabajo es igual al
cambio de energía cinética más el cambio de energía potencial o
es lo mismo decir que el trabajo es igual al cambio de energía mecánica.
Si un cuerpo se desplaza del punto A al punto B , el cambio de
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
11 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
energía mecánica es igual al trabajo, ahora bien si la fuerza que actual son
fuerza conservativa el cambio de energía mecánica es igual a cero esto es
Esto implica =
Si un cuerpo tiene energía potencial gravitatoria y cinética la expresión seria:
Si el cuerpo tiene energía potencial elástica para un resorte.
Esto significa que la energía mecánica se conserva. Ahora bien si sobre el
sistemas actual fuerza de fricción o de rozamientos, en este caso la fuerza que
actúan no son conservativa en este casa se cumple o lo que es
los mismo esto significa que el trabajo realizado por fuerza externa
tiene que ser igual al cambio de energía mecánica.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
12 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
VIDEOS PARA MAYOR COMPRENSION DEL TEMA
2 Conservación de la energía parte 1 VIDEO
3 Conservación de la energía parte 2 VIDEO
4 Conservación de la energía parte 3 VIDEO
Problemas Resueltos
1
Si una masa de 10 gr cae, sin
velocidad inicial, desde una
altura de 1 m y rebota hasta
una altura máxima de 80 cm.
¿Qué cantidad de energía ha
perdido?
Solución : energía que tiene ante es:
= =
Energía después es:
= 0.8m =
2
En un resorte actúa una
energía potencial de 12 J si
Solución: la energía para un resorte
viene dadas por
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
13 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
este tiene una constante de
elástica de 200 N/m. Hallar la
des formación del resorte.
despejando x que es la
deformación del resorte
. = = 0.35 m
3
Un resorte se comprime una
distancia de 30 cm si tiene
una constante elástica de K=
350 N/m a) Hallar la fuerza
que actúa sobre el resorte. b)
Hallar la energía potencial que
este almacena.
Solución: a) la fuerza viene dada por la
ley de Hooke
= =350 N/m(0.30m)= 105N
b) la energía potencial está dada por:
𝑈=
15,75 J
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
14 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
4
A partir de su posición natural
se comprime 7 cm una pistola
de resorte con una bala de 0,4
gr. La constante del resorte es
de 7,0 N/cm. Suponiendo que
no hay fricción y que el cañón
de la pistola esta horizontal,
cuál será la rapidez con la cual
la bala abandona la pistola?
Solución: en este caso al que igualar la
energía cinética y la energía potencial
elástica
𝐸= y la
= despejando la tenemos
Dándole valores tenemos:
Convirtiendo los gr a kg y los cm a m
=
5
En la cima de unas montañas
rusas un vehículo está a una
altura de 40 m sobre el suelo
y avanza a 5 m/s. Calcular la
energía cinética del vehículo
cuando está en una segunda
cima situada a 20 m sobre el
Solución: la energía mecánica es: aquí
se compara la energía mecánica entre
dos puntos que si no hay fricción
permanece constante.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
15 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
suelo, si se desprecian los
rozamientos. La masa del
vehículo con sus ocupantes es
de 1.000 kg.
6
Dos cuerpo que tienen una
masa M1, M2 tienen una
energía potencial asociada
dada por la expresión de
, hallar la
expresión de la fuerza
asociada ello. Siendo G, M1,
M2 constante.
Solución: la relación que hay entre la
fuerza y la energía asociada en un
sistema conservativo es. Por lo
tanto en este caso aplicando esta fórmula
tenemos.
-
De tal modo que la fuerza asociada es
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
16 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
F
7
Un péndulo simple se suelta
desde la posición horizontal.
Demostrar que la tensión del
hilo al pasar por la posición
vertical es tres veces el peso
del cuerpo.
Solución: aplicando la formula entre esto
dos punto cuando el péndulo pasa por el
punto B actúan su peso y la fuerza
centrifuga que la suma de esta es igual a
la tensión.
Aquí tenemos ; ;nuestra
incógnitas
; dividiendo entre m
tenemos
B
A
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
17 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Pe ro la tensión de la cuerda T= w + Fc
dándole valores
2g =
8
Un pequeño objeto de masa m
se suelta desde el punto A del
rizo. Calcular:
a) velocidad del cuerpo en
el punto C,
b) fuerza que ejerce la vía
sobre el cuerpo en dicho punto
Solución: aplicando la formula
Aquí tenemos ; es la velocidad
en C; ; , dividiendo entre
m y despejando tenemos:
=
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
18 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
=
Que es la fuerza que actúa en el punto C
9
Un cuerpo de 2 kg se deja
caer de una altura de 8 m por
un plano inclinado a) Hallar
la velocidad cuando la altura
es 2m. b) cuando baja del
plano inclinado no hay fricción
Solución: a) la energía mecánica es en
el punto más alto es dándole
valores tenemos.
=
Como no hay fricción la energía mecánica
en B es
siendo y h’ es la
velocidad y la altura en B despejando
tenemos
8m
A
B
2m C
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
19 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
dándole valores
tenemos = 10.85
m/s
b) Cuando el cuerpo llega a C todas la
energía mecánica se con vierte en
cinética por lo tanto tenemos:
despejando v
= =12.5 m/s
10
Una masa de 4 kg que se
mueve horizontal a una
velocidad vo, si el coeficiente
de fricción es de 0.25 choca
contra un resorte que tiene
una constante de 200 N/m, si
el resorte se comprime 0.20 m
.hallar la velocidad vo ante del
choque.
Solución: la expresión de la energía
cinética y la energía potencial.
El W que hace la fuerza de fricción es :
W= Fd=
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
20 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
La energía que trae el cuerpo se convierte
en energía potencial + el trabajo que
hace la fuerza de fricción
Despejando
=
= 1.73m/s
x
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
21 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
PROBLEMAS PROPUESTOS
1
Una esfera metálica de 100 kg de
masa se deja
caer desde una altura de 5 metros
sobre un suelo
Hallar la energía potencial.
2
Un resorte se comprime una
distancia de 20 cm si la constante es
de 200N/m, hallar la energía que
almacena, y la fuerza que actúa
sobre el resorte.
3
Un cuerpo de 5kg se deja caer
desde el punto
más alto de un plano de 3 metros de
longitud
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
22 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
inclinado 45o Calcula:
a) La variación de energía potencial
del cuerpo al
Llegar al punto más bajo del plano.
b) La energía cinética en ese
momento.
4
Se deja caer un bloque de 0,4 kg de
masa desde una altura de 2 m
sobre un resorte espiral. La
constante de fuerza del resorte es
de 1850 N/m. Encuentre cuanto se
comprimirá el resorte debido a la
fuerza ejercida por el bloque en su
caída. Desprecie fuerzas de fricción
y realice este problema
considerando fuerzas conservativas
y conservación de la energía
mecánica.
5
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
23 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Una masa de 5 kg se mueve sobre
una superficie horizontal sin
rozamiento con velocidad de 4 m/s y
choca frontalmente con un muelle
cuya constante de recuperación vale
180 N/m. Calcular la máxima
compresión del muelle y la velocidad
de la masa cuando el muelle se
haya comprimido 30 cm.
6
Para subir un cuerpo de 10 kg una
altura de 2 m mediante un plano
inclinado de 5 m
de longitud, se necesita aplicar una
fuerza constante de 50 N paralela al
plano. Calcula
el rendimiento.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
24 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
7
Un cuerpo de 5 kg de masa cae
libremente. Cuando se encuentra en
el punto A, a 7 m
del suelo posee una velocidad v= 6
m/s. Determina su energía cinética
y potencial
Cuando se encuentre en B a 3 m de
altura.
8
Se lanza con una velocidad de 50
m/s un disco de 500 g de masa por
una pista horizontal de 500 m de
Longitud. Se pide:
a. Energía mecánica inicial y final si
no hay rozamiento.
b. Energía perdida por rozamiento si
ì=0,2.
c. Energía cinética final si hay
rozamiento.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
25 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
d. Velocidad final si hay rozamiento.
9
Un péndulo de 1 metro de longitud y
200 gramos
de masa se deja caer desde una
posición horizontal. Hallar la
velocidad que lleva en el punto más
bajo de su recorrido
.
10
Un cuerpo de masa 2 kg se deja
caer por un plano inclinado de 10 m
de altura y llega al final de este
con una velocidad de 10 m/s.
Calcular la energía perdida por
rozamiento.
11
Un bloque que pesa 35.6 N se
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26 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
desliza por una mesa horizontal sin
rozamiento con una velocidad de
1.22 m/s. Choca con un muelle de
constante K=3.66 N/m, y lo
comprime hasta que se detiene.
Calculad la deformación sufrida por
el muelle en ese momento.
12
Un bloque de 5 kg que desliza por
una superficie horizontal choca con
una velocidad de 10 m/s con un
muelle de constante elástica k= 25
N/m. El coeficiente de rozamiento
entre el bloque y la superficie es de
0.2. Despreciando la masa del
muelle, calculad la longitud que se
comprime
13
Una masa de 100 gr está sujeta a
un muelle fijo por un extremo, cuya
K=50 N/m, y reposa sobre una
superficie horizontal. Se estira de la
masa hasta que se separa 5 cm de
la posición de equilibrio del muelle,
y se suelta. Calculad la velocidad
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
27 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
que llevará al pasar por el punto de
equilibrio del muelle a)sin contar
con el rozamiento. b)suponiendo la
existencia de una fuerza de
rozamiento de valor constante de
0.1 N
14
. Un bloque de 20 kg se lanza desde
el principio de un plano inclinado
30° con la horizontal con una
velocidad de 12 m/s. El bloque
realiza un movimiento de subida y
bajada llegando nuevamente al
comienzo del plano con una
velocidad de 6 m/s. Calculad el
coeficiente de rozamiento entre
bloque y plano, la aceleración de
subida y la aceleración de bajada.
15
Un cuerpo de 4 kg se deja caer de
una altura de 12 m, y rueda por un
riel sin fricción. Hallar la velocidad
cuando pasa por el punto B que está
a 3 m.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
28 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
16
Una masa de 4 kg que se mueve
horizontal a una velocidad 6.0 m/s,
si el coeficiente de fricción es de
0.22 choca contra un resorte que
tiene una constante de 400 N/m,
hallar que distancia se comprime el
resorte.
17
x
12m
3m
B
A
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
29 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
La función de la energía potencial de
la fuerza que ejercen dos átomos
entre sí en una molécula biatómica
puede expresarse, en forma
aproximada, con la siguiente
ecuación para la energía potencial
U(x) = a/x12 + b/x6 (para la grafica
de U(x) como función de x y de F(x)
como función de x), en donde a y b
son constantes positivas y x es la
distancia interatómica. Para que
valores de x resulta que U(x) es
cero? En que valores de x es U(x)
un mínimo? Determine la fuerza
entre los átomos.
18
Fuerza ejercida por un resorte que
no obedece la ley de Hooke y cuya
fuerza obedece a la expresión
F (x) = -kx + cx2 .Hallar la energía
asociada a esa fuerza.
Material de lectura de la unidad 5: Trabajo y Energía
30 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Bibliografía
Sears, F., Zemansky, M., Young, H., Freedman, R, and Ford L. (2009). Física
universitaria. Editor: Pearson Educación, Addison-Wesley. Volumen 1, Edición
12.
Serway, R and Jewett, J. (2008). Física para ciencias e ingenierías. Editor:
CENGAGE Learning. Volumen 1, 7ma. Edición.
