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En la teoría matemática, como en todo lo demás, la belleza puede ser percibida pero no explicada. Arthur Cayley (1821-1895) Unidad 6 Sistemas de ecuaciones lineales en general Objetivos m ecuaciones lineales en n incógnitas por el método algebraico. mecuaciones lineales en n incógnitas a partir del planteamiento de un problema. mecuaciones lineales en n incógnitas.
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En la teoría matemática, como en todo lo demás, la belleza puede ser percibida pero no explicada.
Arthur Cayley (1821-1895)
Unidad 6Sistemas de ecuac iones lineales en general
Objetivos
m ecuaciones lineales en n incógnitas por el método algebraico.
m ecuaciones lineales en n incógnitas a partir del planteamiento de un problema.
m ecuaciones lineales en n incógnitas.
ÁLGEBRA
20 3
Introducción
E n la unidad 3 se definió lo que es una ecuación lineal y en la unidad 5 se estudiaron algunos
métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales muy particular: dos ecuaciones con
dos incógnitas. Sin embargo, los sistemas de ecuaciones no siempre contienen el mismo
número de ecuaciones que de variables ni están formados necesariamente por ecuaciones lineales. En
esta unidad estudiaremos algunos métodos de resolución para sistemas de ecuaciones lineales en general.
Ejemplos:
1. 5 7 6 1
4 3 2
x y z
x y z
( )
( )
Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones lineales que contienen las mismas 3 variables. Por
lo tanto, el sistema es un sistema de 2 por 3: 2 ecuaciones lineales en 3 variables.
2. 2 5 1
6 7 2
3 0 3
x y
y
y z
( )
( )
( )Las ecuaciones (1), (2) y (3) son lineales. La (1) tiene dos variables: x y y; la (2) tiene una
variable: y, y la (3) tiene dos variables: y y z. Por lo tanto, el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 variables: x, y y z. Éste es un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3.
3.
5 0 1
8 2
12
54
3
2 4
x y
x
x y
y
( )
( )
( )
( )
Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) son lineales. El sistema es de 4 por 2: tiene 4 ecuaciones
y 2 variables.
4. 4 8 1
2 5 3 2
x yx
y xy
( )
( )
Las ecuaciones (1) y (2) no son lineales porque tienen el término mixto xy, cuyo grado es
2 (para recordar la definición de una ecuación lineal puedes consultar la unidad 3 de este libro.) Por
lo tanto, tenemos un sistema de 2 ecuaciones en 2 variables. Observa que se omitió la palabra lineal.
5.2 9 1
5 2
7 8 9 3
2
x y z
xy z
x y z
( )
( )
( )
Unidad 6
20 4
Las ecuaciones (1) y (3) son lineales, pero la Ec. (2) no lo es. Por lo tanto, tenemos un sistema de 3 ecuaciones en 3 variables.
6.
ax b
cy d
ez f
gw h
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
Si consideramos a x, y, z y w como variables, y a a, b, c, d, e, f, g y h como números dados, las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) son lineales. Por lo tanto, tenemos un sistema de 4 ecuaciones lineales en 4 incógnitas. Esto es un sistema de 4 por 4.
Generalizando:
Sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas
El conjunto de m ecuaciones lineales
(I )
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a
n n
n n
m m
11 1
21 1
1 1
12 2 1 1
22 2 2 2
1
2
( )
( )
22 2x a x bmn n m ( )m
en donde las a con doble subíndice y las b con subíndice son números dados, se llama
sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas (variables) x1 , x2 , ... , xn . El sistema es de
m por n.
Si alguna de las ecuaciones no es lineal, el sistema se llamará simplemente sistema de m
ecuaciones en n incógnitas (variables) .
De manera análoga al caso de 2 por 2, diremos que x1 = s1, x2 = s2, ... , xn = sn es una
solución del sistema (I ) , independientemente de que éste sea lineal o no, si los valores de las x
con subíndice satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.
Al conjunto { x1 = s1, x2 = s2, ... , xn = sn} le llamamos conjunto solución .
La notación utilizada para los coeficientes aij es muy útil, pues el primer subíndice nos señala
el número de ecuación de la que se trata y el segundo subíndice el número de variable de la cual es
coeficiente aij. Por ejemplo: a12; como el primer subíndice es 1, nos indica que se trata de la primera
ecuación, y como el segundo subíndice es 2, a12 es coeficiente de la segunda variable, que es x2 .
ÁLGEBRA
20 5
Cuando aplicamos algún método para resolver un sistema de ecuaciones, lo que en realidad
estamos haciendo es buscar un nuevo sistema (generalmente uno más simple) con el mismo número
de ecuaciones y de incógnitas, y con la misma solución, es decir, un sistema equivalente .
Ejemplos:
7. El sistema 2 3 7
4
3 7
x y z
x y z
y z
es equivalente al sistema x y
y
z
1
2
3
porque:
a) Tienen el mismo número de ecuaciones.
b) Tienen las mismas variables.
c) Y tienen la misma solución: x = 1, y = –2 y z = 3. Comprueba que estos valores sean
solución de los dos sistemas.
8. El sistema 3 2 3
1
1
x y
y z
z
tiene como solución x = –1, y = 0 y z = 1.
El sistema x z
x
x z
0
1
2 4 6
tiene como solución x = –1 y z = 1. Los dos sistemas están formados por tres ecuaciones,
pero no son equivalentes porque no tienen el mismo número de incógnitas.
Ejercicio 1
Determina si cada uno de los siguientes sistemas es un sistema de ecuaciones lineales o no. En cada caso da el número de ecuaciones y de incógnitas.
1. 2 4 9
7
8 4 5 4
x y z
x y w
x y z w
2.
17
435
3
2 0
x y
x y
z w
3. xy w
xy z w
7
6 12
Unidad 6
20 6
Determina si cada par de sistemas es equivalente:
4. 3 13
7 27
3
x y
x y
z
y
x
x y
y z
4
3 1
2 7
5. 2 0
3
x w
x w y x w
x w
3
2 2 6
Determina si el conjunto S está formado por la solución del sistema correspondiente:
6.
3 2 5 0
6 4 1
12
14
14
1
x y z
x y z
x y z
S = { x = y = z = 1}
7.
2 8
1
3 9
x y
x y
x y S = { x = 3, y = –2}
6.1.Solución de sistemas de 3 ecuaciones lineales en 3 incógnitas
6.1.1. Método algebraico o método de reducción
La idea esencial de este método es básicamente la misma que se manejó en el método de
eliminación de 2 por 2: eliminar incógnitas. Desarrollaremos este tema a través de varios ejemplos.
Ejemplos:
9. (I ) 3 2 1 1
4 3 7 2
4 6 3
x y z
x y z
x y z
( )
( )
( )
Buscaremos un sistema equivalente que contenga ecuaciones más sencillas. La manera de
eliminar variables entre dos ecuaciones es la misma que se utilizó en el método de eliminación para
sistemas de 2 por 2 (ver unidad 5). Seleccionamos una variable para ser eliminada; en este ejemplo
eliminamos x, y seleccionamos una ecuación que sirva de enlace con las otras 2. En este ejemplo
seleccionamos la ecuación (2). Observa que para eliminar a x en la ecuación (3), debemos multiplicar
por 4 a la ecuación (2) y sumarla con la ecuación (3), obteniendo así la ecuación (4), es decir:
ÁLGEBRA
20 7
4 4 3 4 7
4 16 12 28
4 615 11 22
( ) ( )( )x y z
x y z
x y zy z
Se multiplica por (–3) la Ec. (2) + Ec. (1)( )( ) ( )( )3 4 3 3 7
3 12 9 21
3 2 1
14 10 1
x y z
x y z
x y z
y z
Dividiendo entre 2– 7y + 5z = 10
Un sistema equivalente a (I ) es:
15 11 22 4
7 5 10 5
4 3 7 2
y z
y z
x y z
El nuevo sistema debe ser equivalente a (I ). Además de las ecuaciones resultantes: Ec. (4) y
Ec. (5), le agregamos una ecuación del sistema original. En este caso seleccionamos la Ec. (2) por
ser la ecuación de enlace. Ahora podemos resolver las ecuaciones (4) y (5) simultáneamente.
Resolviendo el sistema
15 11 22 4
7 5 10 5
y z
y z
( )
( )
por alguno de los métodos estudiados en la unidad 5, obtenemos: y = 0 , z = 2Sustituyendo estos valores en la Ec. (2), tenemos: x + 4(0) – 3(2) = –7Despejando x: x = –1Por lo tanto, la solución del sistema es x= –1, y= 0, y z= 2. Comprueba este resultado.
10. (I )
x y z
x y z
x y z
14 (1)
2 4 2 28 (2)
12
14
13
3 (3)
Buscaremos un sistema equivalente que contenga ecuaciones más sencillas. Eliminamos x, apoyándonos en la ecuación (2).
Observa que 2Ec.(1) + Ec.(2) es la ecuación:
2 2 2 28
2 4 2 28
0 2 4 0
x y z
x y z
y z
D ividiendo entre 2: y – 2z = 0 (4)
y que 4Ec. (3) + Ec. (2) es la ecuación:
243
12
2 4 2 28
0 3103
16
x y z
x y z
y z
(4)
(5)
Unidad 6
20 8
Multiplicando por 3: 9 y –10z = 48 (5)
Un sistema equivalente a (I ) es:
y z
y z
x y z
2 0 4
9 10 48 5
14 1
( )
( )
( )
Además de las ecuaciones resultantes: Ec.(4) y Ec. (5), le agregamos la Ec.(1) del sistema
original por ser la más sencilla.
Resolviendo el sistema y z
y z
2 0 4
9 10 48 5
( )
( )
por alguno de los métodos estudiados en la unidad 5, obtenemos: y = 12, z = 6
Sustituyendo estos valores en la Ec. (1), tenemos: x – 12 – 6 = –14
Despejando x: x = 4
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 4, y = 12 y z = 6. Comprueba este
resultado.
11. La edad de Juan es el doble de la edad de Gabriela y la edad de Gabriela es la quinta
parte de la edad de L iliana. La suma de la edad de Juan, más el triple de la edad de Gabriela, menos
la edad de L iliana es cero. ¿Cuántos años tiene cada uno?
A la edad de Juan la llamamos: x
A la edad de Gabriela la llamamos: y
A la edad de Liliana la llamamos: z
La edad de Juan es el doble de la edad de Gabriela: x = 2y x – 2y = 0
La edad de Gabriela es la quinta parte de la edad de L iliana: yz5
yz5
= 0
La edad de Juan, más el triple de la edad de Gabriela, menos la edad de Liliana, es 0: x + 3y – z = 0
El sistema a resolver es: (I )
x y
yz
x y z
2 0 1
50 2
3 0 3
( )
( )
( )Eliminaremos la variable x.
–1 Ec.(1)+ Ec.(3): 5y – z = 0 (4)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es:
x y
yz
y z
2 0 1
50 2
5 0 4
( )
( )
( )
Resolvemos el sistema y
z
y z5
0 2
5 0 4
( )
( ) y obtenemos: 0 = 0
ÁLGEBRA
20 9
Lo que significa (ver unidad 5) que el sistema tiene infinitas soluciones. Ya que las ecuaciones
(2) y (4) son linealmente dependientes, es decir que 5 Ec.(2) = Ec.(4)
z = 5y yz5
Sustituyendo este valor en la Ec.(1), tenemos que: x – 25
025
zx z
Lo cual significa que hay dependencia entre los valores de las variables.
Observamos que los valores de las variables x y y dependen del valor de la variable z, y el
número de soluciones es infinito.
Ejercicio 2
Resuelve los siguientes sistemas de 3 por 3 por el método algebraico:
1. 2 3 5 9
7 2 4 1
7 3 14
x y z
x y z
x y z
2.
34
25
12
14
15
14
65
35
12
54
3720
a b c
a b c
a b c
Determina si cada uno de los siguientes sistemas de 3 por 3 tiene solución. Si la solución existe, resuelve el sistema:
3.
3 5 1
2 4
6 2 4
x y z
x y z
x y z
4.
3 5 1
12
12
2
6 2 3
x y z
x y z
x y z
Unidad 6
210
Resuelve el siguiente problema:
5. Se tiene un número de tres cifras tal que la suma de sus dígitos es igual al doble de sus unidades,
más 1. Por otra parte, el dígito de las centenas es la mitad del dígito de las decenas y 3 unidades
menor que el dígito de las unidades. Encuentra el número:
6.1.2. Método de Cramer
En la unidad 5 estudiamos el método de Cramer para sistemas de 2 por 2. En esta sección lo
haremos para sistemas de 3 por 3. Como en el método algebraico, los procedimientos no difieren
demasiado respecto a los sistemas de 2 por 2.
Recordarás que el método de Cramer está basado en el cálculo de determinantes, así que
empezaremos por mostrarte cómo se calcula un determinante de 3 por 3.
A un arreglo rectangular de la forma
a b c
d e f
g h i
se le llama matriz de 3 por 3 . Un determinante es un número que se le asigna
a una matriz cuadrada, es decir, una que tiene igual número de columnas que
de renglones. Como la matriz
M=
a b c
d e f
g h i tiene 3 renglones: ( a b c ), ( d e f ), ( g h i ) y 3 columnas:
a
d
g
b
e
h
c
f
i
, ,
entonces tiene sentido hablar del determinante de M.
Existen varias formas de calcular un determinante. Nosotros utilizaremos el método llamado
por cofactores , que consiste en descomponer el determinante de 3 por 3 en una suma de tres
determinantes de 2 por 2. La ventaja de este procedimiento es que nos permitirá aplicar lo estudiado
en la unidad anterior.
¿Cómo se calcula un determinante de una matr iz de 3 por 3?
ÁLGEBRA
211
El determinante de la matriz
a b c
d e f
g h i
se representa también por a b c
d e f
g h i
La manera de calcularlo es:
Cálculo de un determinante de 3 por 3
a b c
d e f
g h i
ae f
h ib
d f
g ic
d e
g h
Observa que:
i) El determinante e f
h i = ei – hf
que multiplica a a se forma con los números que quedan al eliminar el renglón y la columna
que se cruzan en a:
a b c
d e f
g h i
ii) El determinante d f
g i = di – gf
que multiplica a – b se forma con los números que quedan al eliminar el renglón y la columna
que se cruzan en b: a b c
d e f
g h i
iii) El determinante d e
g h = dh – ge
que multiplica a c se forma con los números que quedan al eliminar el renglón y la columna
que se cruzan en c:
Unidad 6
212
a b c
d e f
g h i
Ejemplos:Observa que siempre al segundo término le precede un signo menos.
12.
2 3 1
1 5 0
3 4 2
25 0
4 23
1 0
3 21
1 5
3 4
2 5 2 4 0 3 1 2 3 0 1 1 4 3 5
2 10 0 3 2 0 1 4 15 445
13.
2 4 5
3 2 1
7 3 2
22 1
3 24
3 1
7 25
3 2
7 3
2 4 3 4 6 7 5 9 14 61
14.
12
235
14
3 0
3 2154
12
3 0
2154
2
14
0
3154
35
14
3
3 2
12
3154
214
154
35
14
2 9
458
158
35
1 182
152
5110
75 5110
125
Considera el siguiente sistema de 3 por 3:
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 bb3
El arreglo rectangular cuyas columnas contienen los coeficientes de cada variable es:
a a a b
a a a b
a a a b
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
ÁLGEBRA
213
y se le llama matriz de coeficientes (igual que en el caso de 2 por 2).
Si el determinante
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
entonces las ecuaciones son linealmente independientes, lo cual significa que ninguna de ellas
puede obtenerse de multiplicar las otras por una constante y sumarlas.
Si las ecuaciones de un sistema cuadrado son linealmente independientes, entonces el método
de Cramer es aplicable.
Resumiendo podemos decir que el método de Cramer se aplica solamente a sistemas
cuadrados cuyo determinante sea diferente de cero.
De manera análoga al caso de 2 por 2, si queremos calcular el valor de:
i) x1, sustituimos la columna de sus coeficientes: a
a
a
11
21
31
por la columna que forman los términos independientes: b
b
b
1
2
3
entonces el valor de x1 está dado por:
x
b a a
b a a
b a a
a a a
a a a
a a a
1
1 12 13
2 22 23
3 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ii) x2, sustituimos la columna de sus coeficientes: a
a
a
12
22
32
por la columna que forman los términos independientes:
b
b
b
1
2
3
entonces el valor de x2 está dado por:
Unidad 6
214
x
a b a
a b a
a b a
a a a
a a a
a a a
2
11 1 13
21 2 23
31 3 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
iii) x3, sustituimos la columna de sus coeficientes: a
a
a
13
23
33
por la columna que forman los términos independientes:
b
b
b
1
2
3
entonces el valor de x3 está dado por:
x
a a b
a a b
a a b
a a a
a a a
a a a
3
11 12 1
21 22 2
31 32 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
15. Resolver por el método de Cramer el sistema 3 2 1
2 3 0
2 4 1
x y
x y z
x y z
Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes para determinar si el método
es aplicable o no.3 2 0
2 3 1
2 4 1
33 1
4 12
2 1
2 10
2 3
2 4
3 3 4 2 2 2 0
= 21 – 8 = 13.
Como 13 0 el método es aplicable. Por lo tanto:
ÁLGEBRA
215
x
1 2 0
0 3 1
1 4 1
3 2 0
2 3 1
2 4 1
1 3 4 2 1
135
13
y
3 1 0
2 0 1
2 1 1
3 2 0
2 3 1
2 4 1
3 1 1 2 2
131
13
z
3 2 1
2 3 0
2 4 1
3 2 0
2 3 1
2 4 1
3 3 2 2 1 8 6
13713
Ejercicio 3
Determina en cada sistema si el método de Cramer es aplicable. Si tu respuesta es afirmativa aplícalo
y resuélvelo.
1.
3 2 5
2
1
x y
x y
x y
2. 3 2 5
2
1
x y
x y
x y z
3.
2 1 37
1 2 11
5 32
x y z
x y z
x y
Unidad 6
216
Aplica el método de Cramer para resolver el sistema que representa el siguiente problema:
4. Se tiene un total de 12 monedas de $1.00, $2.00 y $5.00. Si se sabe que juntas suman $27.00
y que la cantidad de monedas de $1.00 es el doble de la cantidad de monedas de $2.00, ¿cuántas
monedas hay de cada una?
6.2. Sistemas de ecuaciones lineales en general
En la introducción aparecen algunos ejemplos en los cuales se muestra que un sistema de
ecuaciones lineales no necesariamente debe tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
En esta sección estudiaremos la forma de resolverlos.
6.2.1. Método algebraico
A diferencia del método de Cramer, el método algebraico no es exclusivo de
los sistemas cuadrados; es decir, aquellos cuyas ecuaciones son linealmente
independientes y cuyo número es igual al número de variables. De hecho, la
manera de aplicarlo a este tipo de sistemas es exactamente la misma que se
utilizó para el caso de 3 por 3. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos:
16. Resuelve por el método algebraico el sistema (I ) 2 8 1
3 5 2
x y
x z
( )
( )
Observa que el sistema es de 2 por 3.
Para eliminar la variable que está presente en ambas ecuaciones. –2x –6z = –10 2x – y = 8–2Ec. (2)+ Ec. (1) elimina la variable x: –6z – y = – 2 (3)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es: x z
z y
3 5
6 2
(3)
La ecuación (1) se sustituye por la ecuación (3):
Despejando z de la Ec.(2) obtenemos: zx5
3
¿Todos los sistemas lineales son cuadrados?
(2)
ÁLGEBRA
217
Sustituyendo este valor en la Ec.(3) y despejando y:
65
32 10 2 2
xy x y
Despejando y: y = 2x – 8
Por lo tanto la solución del sistema es y = 2x – 8, zx5
3 con x cualquier número real.
Es decir, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Comprueba este resultado, dándole un
valor a x.
17. Resuelve por el método algebraico el sistema (I )
3 1 1
6 3 1 2
5 2 0 3
a b c d
a b d
b d
( )
( )
( )Observa que el sistema es de 3 por 4.
3Ec. (2)+ Ec. (1): –17b – c + 8d = –2 (4)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es:
17 8 2 4
6 3 1 2
5 2 0 3
b c d
a b d
b d
( )
( )
( )
Despejando d de la Ec. (3) obtenemos: db5
2 (5)
N ota: es conveniente que al despejar cada variable todas queden en función de la misma.
Por ejemplo, en este caso, al despejar d, quedó en función de b; entonces, al despejar a y c de las
otras ecuaciones también las dejaremos en función de b. Se sobreentiende que esto se tomará en
cuenta sólo cuando el sistema no tenga solución única.
Sustituyendo este valor en Ec. (4) y despejando c: –17b – c 852
2b
c = 2 + 3b.
Sustituyendo el valor de d en la Ec. (2) y despejando a, obtenemos: a – 6 b + 352
1b
a= 1152
6b b
ab2 3
2
Por lo tanto, la solución del sistema es: ab2 3
2, c = 2 + 3b, d
b52
donde b es
cualquier número real. Es decir, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Comprueba
este resultado.
18. Aplica el método algebraico para resolver el sistema (I ) 2 3 2 1
3 2
6 4 3 7 3
x y z
x y z w
x y z w
( )
( )
( )
Unidad 6
218
Observa que el sistema es de 3 por 4.
–2Ec. (2)+ Ec. (1): –5y + 3z – 2w = –4 (4)
–Ec. (2)+ Ec. (3): 5y – 3z + 2w = – 10 (5)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es:
x y z w
y z w
y z w
3 2
5 3 2 4 4
5 3 2 10 5
( )
( )
( )
Ec. (4)+ Ec. 5): 0 = – 14 (una contradicción.)
Por lo tanto, el sistema (I ) no tiene solución.
i) Si un sistema lineal con más variables que ecuaciones posee solución, entonces tiene
infinitas soluciones.
Observa que en los ejemplos 17 y 18 el número de ecuaciones es menor que el número de
variables y que si la solución existe entonces es infinita. Esto no es una coincidencia, sino una propiedad
que se cumple en general en los sistemas lineales y que podemos establecer como sigue:
Si un sistema lineal con más variables que ecuaciones posee solución, entonces tiene
infinitas soluciones.
Ejercicio 4
Determina si cada uno de los siguientes sistemas tiene solución. Si la respuesta es afirmativa
resuélvelo.
1.
3 2 7 1
3 2
0
x y z w
y w
x z w
2.
2 3 12
4 18
13
12
2
15 42
a b
a b
a b
a b
ÁLGEBRA
219
3.
3272
332
92
112
2 9 11
x y
x y
x y
4.
2 3 12
4 18
13
12
1
3 15 2
x y
x y
x y
x y
Aplica el método algebraico para resolver el siguiente problema:
5. Los lados de un pentágono miden unidades enteras. Los lados de la parte superior y la base
miden igual. Se sabe que la suma de los otros dos lados es igual al doble de la suma de los lados
iguales y que el perímetro es de 18 cm. Encuentra cuánto mide cada lado:
6.2.2. Método de Gauss–Jordan*
El método recibe este nombre en honor al gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss,
quien vivió de 1777 a 1855, y del matemático francés Camille Jordan, quien nació en 1838 y
murió en 1922.
Este método es aplicable a cualquier tipo de sistema de ecuaciones lineales, es decir, cuadrado
o no, y está basado en tres procedimientos u operaciones básicas que hemos seguido en todos los
desarrollos del método algebraico:
1. H abrás notado que un sistema de ecuaciones lineales no se altera si cambias el orden de
las ecuaciones que lo forman.
Por ejemplo: el sistema
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
1
2
( )
( )
aa x a x a x a x b31 1 32 2 33 3 34 4 3 3( )
* Método alternativo.
Unidad 6
220
es exactamente el mismo sistema que: a x a x a x a x b
a x a x a x a x b11 1 12 2 13 3 14 4 1
31 1 32 2 33 3 34 4 3
1
3
( )
( )
aa x a x a x a x b21 1 22 2 23 3 24 4 2 2( )
Simbólicamente, este paso lo representamos por P2,3 que significa que se permutaron las
ecuaciones 2 y 3.
2. Si una ecuación de un sistema se multiplica por una constante diferente de cero, entonces
el sistema formado por esa nueva ecuación y las restantes será equivalente al sistema original.
Por ejemplo: si en el sistema (I ) se multiplica la Ec. (2) por una constante k 0, el nuevo
sistema (I I ) será equivalente. La equivalencia de dos sistemas se representa por el símbolo .
Simbólicamente este caso es representado por: M2(k), que significa que la ecuación 2 fue
multiplicada por la constante k.
(I )
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
1
2
( )
( )
aa x a x a x a x b31 1 32 2 33 3 34 4 3 3( )
(I I )
a x a x a x a x b
ka x ka x ka x ka x k11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4
1( )
bb
a x a x a x a x b2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
2
3
( )
( )
3. Otro de los procedimientos utilizados fue el de multiplicar una ecuación por una constante
k 0 y sumársela a otra ecuación. Al efectuar este paso sustituimos una de la ecuaciones por el
resultado de esta suma.
Por ejemplo, si a la Ec. (3) la multiplicamos por k 0 y se la sumamos a la Ec. (1), el nuevo
sistema (I I ) es equivalente al sistema original (I ).
Simbólicamente, este caso lo representamos por S31
(k), que significa que la ecuación 3
la multiplicamos por la constante k y se la sumamos a la ecuación 1; el resultado de la operación,
la ecuación (4), sustituye a la Ec. (1):
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
1
2
( )
( )
aa x a x a x a x b31 1 32 2 33 3 34 4 3 3( )
Observa que en estos tres casos las variables conservan sus posiciones originales: x1 permanece
en la primera columna, x2 permanece en la segunda columna, y así sucesivamente. En general, x
n
M2(k)
(I )
(I I ) (4)
(2)
(3)S
3,1(k)
a ka x a ka x a ka x a ka x b
a11 13 1 12 32 2 13 33 3 14 34 4 1
221 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
x a x a x a x b
a x a x a x a x b
ÁLGEBRA
221
permanece en la n– ésima columna. Por lo tanto, si seguimos respetando este orden no es necesario escribir las variables y la notación puede simplificarse significativamente.
Por otra parte, recuerda que cuando aplicamos el método de Cramer formamos un arreglo rectangular con los coeficientes de las variables del sistema y le llamamos matriz de coeficientes. Pues bien, el método de Gauss–Jordan hace algo parecido, pero además de los coeficientes incluye en ese arreglo rectangular los términos independientes.
Por ejemplo: en un sistema de 4 4 el arreglo rectangular que se debe considerar si se desea
aplicar el método de Gauss–Jordan, es:
a a a a
a a a a b
a a a a b
a a a a b
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
41 42 43 44 4
b
La última columna contiene los términos independientes.
Al arreglo rectangular que resulta de agregar a la matriz de coeficientes una última columna
que contiene a los términos independientes, se le conoce como matriz aumentada .
Ejemplos:19. La matriz aumentada correspondiente al sistema
7 2 0
6 6
2 1
5 3 3
x y
x y z
x w
y w
es:
7 2 0 0 0
6 1 1 0 6
2 0 0 1 1
0 5 0 3 3
20. La matriz aumentada correspondiente al sistema 5 6 3 2
1
x y z w
y es: 5 6 3 1 2
0 1 0 0 1
21. Se sabe que el arreglo rectangular 2 3 12
0 1 3
2 0 1
4 5 8 es una matriz aumentada. Encuentra el sistema que representa esta matriz.
El sistema es: 2 3 12
3
2 1
4 5 8
x y
y
x
x y
Unidad 6
222
Observa que puedes representar las variables con cualquier letra.
Entonces, si una matriz aumentada concentra la información de un sistema de ecuaciones
lineales, y sabemos que a través de los pasos 1, 2 y 3, anteriormente descritos, podemos obtener
sistemas equivalentes, no debe extrañarnos que esos mismos pasos generen una secuencia de matrices
equivalente, es decir, arreglos rectangulares que representan sistemas equivalentes.
Operaciones con los renglones o ecuaciones de una m atrizLas operaciones que son permitidas entre los renglones de una matriz son:
i) Intercambiar los renglones i y j. Simbólicamente Pi, j
ii) Multiplicar el renglón i por la constante k, k 0. Simbólicamente M i(k)
iii) Multiplicar el renglón i por la constante k, k 0 y sumárselo al renglón j.
Simbólicamente, Si, j(k).
El método de Gauss–Jordan consiste en transformar una matriz aumentada, aplicando las
operaciones básicas para llegar a una matriz escalonada reducida, que sea equivalente.
Una matriz escalonada reducida tiene la forma:
1 0 0
0 1 0
P
Q
0 0 1 R
Es una matriz cuya diagonal está formada por unos y el resto de los elementos son cero, y
que corresponde al sistema solución:x
y
R
P
Q
z
Esto significa que el método de Gauss–Jordan, parte de una matriz aumentada y su
objetivo es llegar a una forma escalonada reducida, aplicando las tres operaciones básicas que sean
necesarias:
a a a b
a a a b
a a a b
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 0 0
0 1 0
P
Q
0 0 1 R
Veamos cómo se aplica este método para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
ÁLGEBRA
223
22. Aplica el método de Gauss–Jordan para obtener un sistema equivalente a:
(I ) 2 6 1 1
3 2 2
x y
x y z
( )
( ) y resuélvelo.
La matriz aumentada correspondiente al sistema (I ) es:
A= 2 6 0 1
1 3 1 2La idea es realizar algunas operaciones con los renglones de A para generar un sistema
equivalente al (I ) que sea más fácil de resolver.
2 6 0 1
1 3 1 2P1 2,
1 3 1 2
2 6 0 1 S1 2 2,
1 3 1 2
0 0 2 3
Obtenemos un sistema equivalente a (I ):
x y z
z
3 2 1
2 3 2
( ')
( ') Observa que este sistema es mucho más sencillo.
Despejando z de la Ec. (2'): z32
Sustituyendo z en la Ec. (1'): x y332
2
Despejando x: x y12
3
Por lo tanto, la solución del sistema es x y12
3 , z32
y y cualquier número real.
Comprueba este resultado.
23. Aplicar el método de Gauss–Jordan para resolver el sistema (I ) 5 3 1 1
2 3 5 2
2 4 0 3
x y z
x y z
x y z
( )
( )
( )
La matriz aumentada correspondiente al sistema (I ) es: A =
5 3 1 1
1 2 3 5
2 1 4 0
N ota: la ecuación que contenga un 1 en la diagonal principal no se sustituye:
5 3 1 1
1 2 3 5
2 1 4 0 P1 2,
1 2 3 5
5 3 1 1
2 1 4 0 S1 2 5,
1 2 3 5
0 13 16 26
2 1 4 0
S1 3 2,
1 2 3 5
0 13 16 26
0 5 10 10 M 3
15
1 2 3 5
0 13 16 26
0 1 2 2 P2 3,
1 2 3
0 1 2
0 13 16
5
2
26
Unidad 6
224
S2 1 2,
1 0 1 1
0 1 2 2
0 13 16 26 S2 3 13,
1 0 1 1
0 1 2 2
0 0 10 0 M 3110
1 0 1 1
0 1 2 2
0 0 1 0
S3 2 2,
1 0 1 1
0 1 0 2
0 0 1 0 S3 1 1,
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 0
Obtenemos un sistema equivalente a (I ): x
y
z
1 1
2 2
0 3
( ')
( ')
( ')
Por lo tanto, la solución del sistema (I ) es: x= –1, y= 2, z= 0
Observa que si el método de Gauss–Jordan se aplica "adecuadamente", el
sistema resultante arrojará la solución directamente.
Para que al aplicar el método de Gauss–Jordan obtengas una matriz
que rápidamente te conduzca al resultado del sistema, procede como
sigue:
1. A través de las operaciones con renglones obtén un 1 en el primer
elemento diferente de cero del primer renglón y abajo de este 1
exclusivamente ceros.
2. Considera el segundo renglón. A través de las operaciones con renglones
obtén un 1 en el primer elemento del renglón que sea diferente de cero,
y arriba y abajo de este 1 exclusivamente ceros.
3. Sigue con este procedimiento. Considera el tercer renglón y, a través
de las operaciones con renglones, obtén un 1 en el primer elemento del
renglón que no sea cero, y arriba y abajo de este 1 exclusivamente ceros.
4. Si dos renglones consecutivos no están formados exclusivamente de ceros, entonces
el primer 1 del renglón superior debe estar más a la izquierda que el primer 1 del renglón
inferior.
5. El proceso termina cuando se presenta uno de los 3 casos siguientes:
i. Sólo quedan renglones con todos sus elementos iguales a cero. Pueden ser uno o más
renglones los que presenten esta situación.
ii. Sólo quedan renglones con todos sus elementos iguales a cero, excepto el último. Pueden
ser uno o más renglones los que presenten esta situación.
iii. El primer elemento diferente de cero en el último renglón es un 1.
¿Qué tipo de matr iz debemos tratar de obtener a t ravés del método de Gauss–Jordan para que nos conduzca directamente a la solución del sistema?
¿Cuál es la forma de una matr iz escalonada?
ÁLGEBRA
225
6. Cuando el proceso haya terminado, determina el sistema correspondiente a la última
matriz y resuélvelo.
De una matriz que tiene las características de los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 se dice que está en
forma escalonada.
Ejemplos:24. H allar 3 números sabiendo que el doble del primero, menos el segundo, más el tercero,
es igual a 3. Por otra parte, si al primero le sumamos el triple del segundo y le restamos el doble
del tercero el resultado es 11. Encontrar 5 soluciones distintas.
Al primer número lo llamamos: x
Al segundo número lo llamamos: y
Al tercer número lo llamamos: z
El doble del primero, menos el segundo, más el tercero, es 3: 2x – y + z = 3
El primero más el triple del segundo menos el doble del tercero es 11: x + 3y – 2z = 11
El sistema a resolver es: (I ) 2 3 1
3 2 11 2
x y z
x y z
( )
( )
La matriz aumentada que representa al sistema (I ) es: A= 2 1 1 3
1 3 2 11Aplicando el método de Gauss–Jordan obtenemos:
2 1 1 3
1 3 2 11 P1 2,
1 3 2 11
2 1 1 3
El primer elementodiferente de cero en elprimer rrenglón es 1.
S1 2 2,
1 3 2 11
0 7 3 19
1Ceros abajo del .
M 2
17
1 3 2 11
0 137
197 S2 1 3,
1 05
7207
0 157
197
Observa que hemos llegado al punto 5. Por lo tanto, un sistema equivalente a (I ) es:
El primer elemento diferente de cero en el segundo renglón es 1. Ceros arriba del 1 el proceso
termina (caso 5iii).
Unidad 6
226
x z
y z
17
207
57
197
Despejando x y y obtenemos: xz20
7 y x
z19 57
Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones generadas por xz20
7, x
z19 57
en
donde z es un número real arbitrario. Comprueba este resultado. Cinco soluciones distintas a este
problema son:
x 3 4 5 6 7
y 24
7 59
7 94
7 129
7 164
7
z 1 8 15 22 29
25. Aplicar el método de Gauss–Jordan para resolver el sistema (I ) 2 3 5 1
6 9 15 2 2
a b b d
a b c d
La matriz aumentada que representa al sistema (I ) es: A = 2 3 5 1 1
6 9 15 2 2Aplicando el método de Gauss–Jordan obtenemos:
A
M 1
12
132
52
12
12
6 9 15 2 2 S1 2 6, ( )
132
52
12
12
0 0 0 1 5
S1 2
12,
132
52
0 2
0 0 0 1 5
Por lo tanto, un sistema equivalente a (I ) es: a b c
d
32
52
2
5
1
2
a b c32
52
2
Por lo tanto, el sistema (I ) tiene un número infinito de soluciones de la forma a b c32
52
2 ,
d= 5, en donde b y c son números reales arbitrarios.
El primer elemento diferente de cero en el segundo renglón es 1.
Ceros arriba del 1 el proceso termina (caso 5iii).
ÁLGEBRA
227
Ejercicio 5
Aplica el método de Gauss–Jordan para determinar si cada uno de los siguientes sistemas tiene
solución, y si éste es el caso resuélvelos.
1. a b c
a b c
2 4 5
3 6 12 15
2.
a b c d
a b c d
a b c d
c d
2 2
4 2 3 6
4 2 2 2 5
3 0
3.
4 2 5
7 5 10 11
3 2
a b c
a b c
a b c
4. x y
x y
x y
4
2 3 7
6 5
5. H ace 5 años, la edad de Pedro era igual a la edad de Juan, más cuatro veces la edad de María.
Actualmente, la edad de Juan es un tercio de la edad de Pedro y la edad de Pedro es 4 veces la edad
de María. Por otra parte, si dentro de 3 años a la edad de Juan le aumentamos 4 años, ésta será igual
al quíntuple de la edad de María, menos la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Unidad 6
228
Ejercicios resueltos
En los ejercicios del 1 al 6 aplica el método algebraico para determinar si el sistema de ecuaciones
involucrado tiene solución. Si la respuesta es afirmativa resuélvelo.
1.
232
53
20 1
4 14 2
12
23
6 3
x y z
x y z
x y z
( )
( )
( )
Solución:En la Ec. (1) observa que MCM(2, 3)= 6, entonces 6Ec. (1) es: 12x – 9y – 10z = –120 (1')
En la Ec. (3) tenemos el mismo caso, entonces 6Ec. (3) es: 6x – 3y – 4z = –36 (3')
Un sistema equivalente a (I ) es:
12 9 10 120 1
4 14 2
6 3 4 36 3
x y z
x y z
x y z
( ')
( ')
( ')
12Ec. (2)+ Ec. (1') es: 39y – 22z = 48 (4)
6Ec. (2)+ Ec. (3') es: 21y – 10z = 48 (5)
Otro sistema equivalente a (I ) es: 39 22 48 4
4 14 2
21 10 48 5
y z
x y z
y z
( )
( )
( )
Resolviendo el sistema 39 22 48 4
21 10 48 5
y z
y z
( )
( )
por alguno de los métodos estudiados en la unidad 5, obtenemos: y = 8, z = 12
Sustituyendo estos valores en la Ec. (2), tenemos: –x + 32 – 12 = 14
Despejando x: x = 6
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6, y = 8 y z = 12. Comprueba este resultado.
2. La mitad del dinero que tiene A es igual a la cantidad de dinero que tiene B, y el triple del dinero
de B es igual a 35
de la cantidad de dinero que tiene C. Mientras que la suma de la tercera parte del
dinero de A, más el dinero de B, menos la tercera parte del dinero de C es igual a cero. ¿Cuánto
dinero tiene cada caso?
Solución:
Al dinero que tiene A lo llamamos: a
Al dinero que tiene B lo llamamos: b
ÁLGEBRA
229
Al dinero que tiene C lo llamamos: c
La mitad del dinero de A es igual al dinero de B: 12
12
0a b a b
El triple del dinero de B es igual a 35
del dinero de C: 335
335
0b c b c
La tercera parte del dinero de A, más el dinero de B, menos la tercera parte del dinero de C es 0:
13
13
0a b c
El sistema a resolver es: (I )
12
0 1
335
0 2
13
13
0 3
a b
b c
a b c
( )
( )
( )
Para resolver un sistema no es estrictamente necesario eliminar las fracciones en las ecuaciones
que lo forman; por tal motivo en este ejercicio trabajaremos con ellas.
3Ec. (1)+ Ec. (2) es: 32
35
0a c (4)
Ec. (1)+ Ec. (3) es: 56
13
0a c (5)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es:
12
0 1
32
35
0 4
56
13
0 5
a b
a c
a c
( )
( )
( )
Resolvemos el sistema
32
35
0 4
56
13
0 5
a c
a c
( )
( ) y obtenemos: 0 = 0.
Lo que significa (ver unidad 5) que el sistema tiene infinidad de soluciones:
32
35
25
a c a c
Sustituyendo este valor en la Ec. (1), tenemos que: 12
25
015
c b b c
Por lo tanto, la solución del sistema es a c25
, y b c15
y c puede tomar cualquier valor
que represente una cantidad de dinero. Comprueba este resultado.
Unidad 6
230
Por lo tanto, los datos que proporciona el problema no son suficientes para saber cuánto dinero tienen A, B y C.
3. En la clase de química dos estudiantes han obtenido los siguientes datos al realizar una mezcla con 3 sustancias: A, B y C. Las cantidades están dadas en litros.
El triple de la cantidad de la sustancia A, menos el doble de la cantidad de la sustancia B, más la cantidad de la sustancia C, es igual a 4 litros. La cantidad de la sustancia A, más la cantidad de la sustancia B, menos la cantidad de la sustancia C, es igual a 2 litros. El cuádruple de la cantidad de la sustancia A, más el doble de la cantidad de la sustancia B, más el cuádruple de la cantidad de la sustancia C, es igual a 5 litros. Por último, la cantidad de la sustancia B, menos la cantidad de la sustancia C, es igual a 3 litros. ¿Cuántos litros se utilizaron de cada sustancia para preparar la mezcla?
Solución:
A la cantidad en litros que se utilizó de la sustancia A la llamamos: x
A la cantidad en litros que se utilizó de la sustancia B la llamamos: y
A la cantidad en litros que se utilizó de la sustancia C la llamamos: z
El triple de la sustancia A, menos el doble de la sustancia B, más la sustancia C, es igual
a 4 litros: 3x – 2y + z = 4
La sustancia A, más la sustancia B, menos la sustancia C, es igual a 2 litros: x + y – z = 2
El cuádruple de la sustancia A, más el doble de la sustancia B, más el cuádruple de la sustancia
C, es igual a 5 litros: 4x + 2y + 4z = 5
La sustancia B, menos la sustancia C, es igual a 3 litros: y – z = 3
El sistema a resolver es: (I )
3 2 4 1
2 2
4 2 4 5 3
3 4
x y z
x y z
x y z
y z
( )
( )
( )
( )
–3Ec. (2)+ Ec. (1): – 5y + 4z = –2 (5)
–4Ec. (2)+ Ec. (3): – 2y + 8z = –3 (6)
Un sistema equivalente a (I ) es:
5 4 2 5
2 8 3 6
2 2
3 4
y z
y z
x y z
y z
( )
( )
( )
( )
Resolviendo el sistema 5 4 2
2 8 3
y z
y z obtenemos: y
18
y z1132
Sustituyendo estos valores en la Ec. (2) y despejando x: x4932
ÁLGEBRA
231
Sustituyendo estos valores en la Ec. (4) obtenemos: 18
1132
432
1132
1532
3
Por lo tanto, el sistema no tiene solución y concluimos que los datos de los estudiantes son
erróneos.
Por otra parte, al resolver un problema es conveniente tener presente el tipo de resultados que
se deben esperar. En este caso los resultados deberían ser números no negativos porque representan la
cantidad de litros utilizados al preparar la mezcla, así, al obtener z1132
inmediatamente pudimos
haber suspendido el procedimiento del método y haber concluido que los datos tenían errores.
4. (I ) 5 2 3 2 1
3 5 2
7 1 3
a b c d
a b d
b c
( )
( )
( )
–Ec. (3)+ Ec. (1): 5a + 5c – 3d = 1 (5)
Ec. (3)+ Ec. (2): a – 7c – 3d = –4 (6)
Un sistema equivalente al sistema (I ) es: 5 5 3 1 5
7 3 4 6
7 1 3
a c d
a c d
b c
( )
( )
( )
De la Ec. (3) despejamos b: b = 1 + 7c
Ec. (5)–Ec. (6): 4a + 12c = 5
Despejando a: ac5 12
4
Sustituyendo a en la Ec. (6): 5 12
47 3 4 3
214
10c
c d d c
dc21 40
12
Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones:
ac5 12
4, b = 1 + 7c, d
c21 4012
con c cualquier número real. Comprueba este resultado.
5. (I ) 3 2 1 1
3 3 3 5 2
27 7 15 4 10 3
x y w
x y z
x y z w
( )
( )
( )
–4Ec. (1)+ Ec. (3): 15x + 15y – 15z = –6 (4)
Unidad 6
232
Un sistema equivalente al sistema (I ) es:
3 2 1 1
3 3 3 5 2
15 15 15 6 4
x y w
x y z
x y z
( )
( )
( )
–5Ec. (2)+ Ec. (4): 0 = 19 (una contradicción.)
Por lo tanto, el sistema no tiene solución.Aplicar el método de Cramer para resolver los ejercicios 6 y 7.
6. Se tienen 3 depósitos con agua con la siguiente concentración de alcohol: el depósito A está al
9%, el depósito B al 25% y el depósito C al 40%. Se desea mezclar las soluciones de los 3 depósitos
para obtener 30 litros al 32%, se debe utilizar el doble de la solución al 9% que de la solución al
25%. ¿Cuántos litros deben usarse de cada una?
Solución:
A la cantidad que se usará de la solución del depósito A la llamamos: x
A la cantidad que se usará de la solución del depósito B la llamamos: y
A la cantidad que se usará de la solución del depósito C la llamamos: z
Se desean obtener 30 litros de la nueva solución: x + y + z = 30
La nueva solución debe estar al 32%: .09x + .25y + .40z = (x + y + z)(.32)
9x + 25y + 40z = 960
La cantidad que se utilice de la solución al 9% debe ser el doble de la cantidad que se utilice
de la solución al 25%: x = 2y
El sistema a resolver es: x y z
x y z
x y
30
9 25 40 960
2 0
El determinante de la matriz de coeficientes es:
1 1 1
9 25 40
1 2 0
25 40
2 0
9 40
1 0
9 25
1 2
= 80 + 40 – 43 = 77Por lo tanto:
x
30 1 1
960 25 40
0 2 0
1 1 1
9 25 40
1 2 0
3025 40
2 0
960 40
0 0
960 25
0 2
77
30 80 0 960 2
7748077
ÁLGEBRA
233
y
1 30 1
9 960 40
1 0 0
1 1 1
9 25 40
1 2 0
960 40
0 030
9 40
1 0
9 960
1 0
77
0 30 40 960
7724077
z
1 1 30
9 25 960
1 2 0
1 1 1
9 25 40
1 2 0
25 960
2 0
9 960
1 030
9 25
1 2
77
19220 960 30 18 25
77
1 590
77
Es decir, la solución del sistema es x y z48077
24077
1 59077
, , .
7.
2 7 1
12
0
52
2
x y z
x z
x y z
Solución:
El determinante de la matriz de coeficientes es:
2 7 1
1 012
52
1 1
2
012
1 1
71
12
52
1
1 0
52
1154
Por lo tanto:
x
1 7 1
0 012
2 1 1
2 7 1
1 012
52 1 1
012
1 1
70
12
2 1
0 0
2 1
1544
152
154
2
Unidad 6
234
y
2 1 1
1 012
52
2 1
2 7 1
1 012
52 1 1
20
12
2 1
112
52
1
1 0
52
1
1554
154
154
1
z
2 7 1
1 0 0
52
1 2
2 7 1
1 012
52 1 1
20 0
1 27
1 0
52
2
1 0
52
1
154
151554
4
La solución del sistema es x = –2, y = –1, z = –4.
Aplicar el método de Gauss–Jordan para determinar si los sistemas de los ejercicios 8 y 9
tienen solución. Si la respuesta es afirmativa resuélvelo.
8. (I ) 3 2 1
2 0
1
x y z w
y z w
x w
Solución:
La matriz aumentada es:
3 2 1 1 1
0 1 1 2 0
1 0 0 1 1
3 2 1 1 1
0 1 1 2 0
1 0 0 1 1P1 3,
1 0 0 1 1
0 1 1 2 0
3 2 1 1 1S1 3 3, ( )
1 0 0 1 1
0 1 1 2 0
0 2 1 4 2
S2 3 2, ( )
1 0 0 1 1
0 1 1 2 0
0 0 1 8 2 M 3 1
1 0 0 1 1
0 1 1 2 0
0 0 1 8 2 S3 2 1, ( )
1 0 0 1 1
0 1 0 6 2
0 0 1 8 2
ÁLGEBRA
235
Un sistema equivalente a (I ) es: x w
y w
z w
1
6 2
8 2
Despejando x, y y z en términos de w, obtenemos: x = 1 + w, y = 2 + 6 w, z = 2 + 8 w.
Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones de la forma x = 1 + w,
y = 2 + 6w, z = 2 + 8 w, en donde w es un número real arbitrario.
9. (I )
a b c
a b c
a c
b c
7 8
2 1
3 8 0
3 13 1
Solución:
La matriz aumentada es:
1 1 7 8
2 1 1 1
3 0 8 0
0 3 13 1
1 1 7 8
2 1 1 1
3 0 8 0
0 3 13 1
S1 2 2, ( )
1 1 7 8
0 3 13 15
3 0 8 0
0 3 13 1
S1 3 3, ( )
1 1 7 8
0 3 13 15
0 3 13 24
0 3 13 1
M 2
13
1 1 7 8
0 1133
5
0 3 13 24
0 3 13 1
S2 4 3, ( )
1 1 7 8
0 1133
5
0 3 13 24
0 0 0 14
Aun cuando el proceso no haya terminado, observa que el último renglón es una contradicción
(0 = 14), entonces no tiene sentido reducir la matriz a la forma escalonada. Concluimos que el
sistema no tiene solución.
Unidad 6
236
Ejercicios propuestos
En los ejercicios del 1 al 6 aplica el método algebraico para determinar si cada uno de los sistemas
tiene solución. Si la respuesta es afirmativa resuélvelo. Si el sistema tiene un número infinito de
soluciones encuentra su forma general.
1. H ace 6 años, Joaquín tenía la cuarta parte de la edad de Mario. Dentro de 4 años Mario tendrá
el doble de la edad de Joaquín, pero dentro de 5 años la edad de Joaquín más 15 será la edad de
Mario.
2. Si se mezclan 3 kilogramos de café del tipo A con 9 kilogramos del tipo B, con 2 kilogramos del
tipo C, la mezcla cuesta $75.00 el kilogramo. Pero si se mezclan 5 kilogramos de café del tipo A
con 15 kilogramos del tipo C, la mezcla cuesta $87.50 el kilogramo. Por otra parte, si se mezclan
1 kilogramo de café del tipo A con 3 kilogramos del tipo B, con 23
de kilogramo del tipo C, el
precio de la mezcla por kilogramo es $25.00, ¿cuánto cuesta cada kilogramo de café?
3.
5 7 5
3 2 1
3 4 5 1
8 0
y z
x y z
x y z
x z
4.
5 7 4 7
2
4 3 1
0
x y z
x y z
y z
x y z
5.
2 4 12
1
2 3 23
1 7 314
x y z
x y z
x y z
6. Encuentra 3 números tales que la suma de sus recíprocos sea 5. El doble del recíproco del primero
menos el triple del recíproco del segundo, menos el cuádruple del recíproco del tercero, sea –11.
Y el triple del recíproco del primero, más el doble del recíproco del segundo, menos el recíproco
del tercero, sea –6.
ÁLGEBRA
237
Aplica el método de Cramer para resolver los ejercicios 7 y 8.
7.
712
12
1
512
74
16
5
12
14
43
8
x y z
x y z
x y z
Aplica el método de Gauss–Jordan para resolver los ejercicios 8 y 9. Si el sistema tiene un número
infinito de soluciones, encuentra la forma general.
8.
a b c d
a b c d
a b c
a b c d
3 2 2 0
2 4 5 1
4 2 3 4
2 3 0
9.
2 2 6 2
4 5 3 3 5
3 2 0
x y z
x y z w
x z w
Unidad 6
238
Autoevaluación
1. Tres hombres juntos a los que llamaremos A, B y C son capaces de levantar 182 kg. A y B juntos levantan 115 kg. B y C juntos levantan 137 kg. ¿Cuántos kilogramos levanta cada uno?
a) A levanta 45 kg B levanta 70 kg
C levanta 67 kg
b) A levanta 50 kg B levanta 60 kg C levanta 72 kg
c) A levanta 55 kg B levanta 50 kg C levanta 77 kg
d) A levanta 45 kg B levanta 55 kg C levanta 82 kg
e) A levanta 57 kg B levanta 60 kg C levanta 65 kg
2. Dos obreros, A y B, tardan 4 días en hacer juntos un trabajo. Los obreros B y C juntos tardan
7 días, y los obreros A y C juntos tardan 8 días en terminar el trabajo. ¿Cuántos días tardan los 3 obreros en hacer juntos el trabajo?
a) 32529 días
b) 7715 días
c) 534
días
d) 212
días
e) 5 días
ÁLGEBRA
239
3. El sistema
3 2 5 8
2 3 1
18 17 23 35
x y z
x y z
x y z puede resolverse por:
a) Método algebraico. Método de Gauss–Jordan. b) Sólo con el método de Cramer.
c) Método algebraico. Método de Gauss–Jordan. Método de Cramer.
d) Sólo el método algebraico.
e) Sólo el método de Gauss–Jordan.
4. El sistema
x y z
x y z
x y z
4 7
2 3 1
12 13 13 19
a) No tiene solución.
b) Tiene infinitas soluciones.
c) Tiene solución única.
d) x = –6, y = –3, z = 4
e) x = –10, y = –19, z = 9
5. Aplica el método que consideres adecuado para resolver el siguiente sistema:
e
d e
c d e
b c d e
a b c d e
1
13
23
1
16
13
12
1
2 3 4 10
13
23
53
5
Unidad 6
240
a) b = c = d = e = 1, a = 2
b) a = b = c = d = e = 1
c) a = b = c = d = 1, e = –1
d) a = c = e = 1, b = d = –1
e) e= 1, a=12
, b= –1, c=32
, d= –2
ÁLGEBRA
241
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Ej. 4
Respuestas a los ejercicios
1. Sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
2. Sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
3. Sistemas de 2 ecuaciones con 4 incógnitas.
4. Sí.
5. Sí.
6. Sí.
7. No.
1. x = 1, y = 2, z = –1
2. a = –1, b = 0, c = 1
3. No.
4. xy
zy5 4
513 10
5, , y es un número real arbitrario.
5. 245
1. No.
2. x y z95
15
35
, ,
3. x = –1, y = 1, z = 12
4. 6 de $1.00, 3 de $2.00 y 3 de $5.00.
1. x =32
115
12
45
y z y, , w = 3y – 2, y es un número real arbitrario.
2. a b10211
2411
,
Unidad 6
242
3. xy11 9
2, y es un número real arbitrario.
4. Sin solución.
5. Lados iguales Cuarto lado Quinto lado
x y z
2 1 11
2 2 10
2 3 9
2 4 8
2 5 7
2 6 6
1. Sin solución.
2. a = b = –3, c d14
34
,
3. ac
bc5 1
211 3
2, , c es un número real arbitrario.
4. x = 195
, y = 15
5. Juan tiene 20 años, María tiene 15 años y Pedro tiene 60 años.
1. Joaquín tiene 11 años y Mario tiene 26 años.
2. Infinitas soluciones. a es el precio de 1 kg del café del tipo A. b es el precio de 1 kg
del café del tipo B, y c es el precio de 1 kg del café del tipo C. a = 17.5 – 3c, bc22 5 7
9.
,
c puede tomar cualquier valor no negativo y que no genere valores negativos para a.
3. Sin solución.
Ej. 5
Ejercicios propuestos
ÁLGEBRA
243
4. x y z32
12
1, ,
5. x y z13
116
, ,
6. 12
13
16
, ,
7. x = 6, y = 4, z = –3
8. a = 3, b = –1, c = 2, d = 1
9. x = z = –w, y = 1 – 2w, es un número real arbitrario.
1. a)
2. a)
3. c)
4. a)
5. a)
Autoevaluación
