UNIDAD 7

Medidas de dispersin

UNIDAD 7

MEDIDAS DE DISPERSIN

Al calcular un promedio, por ejemplo la media

aritmtica no sabemos su representatividad

para ese conjunto de datos. La informacin

suministrada por ella es limitada y nada nos

dice sobre la forma como estn diseminados

los datos con relacin a la tendencia central.

Si existe concentracin de datos alrededor del

promedio, nos indica una buena aplicacin en

su uso, por el contrario una gran dispersin

est indicando poca representatividad, por lo

tanto no ser confiable.

Las medidas de dispersin son las indicadas

cuando queremos evaluar dos o ms

promedios.

Las medidas de dispersin ms conocidas y

utilizadas son la varianza, la desviacin tpica o

estndar.

7.1 VARIANZA ( )

La varianza se define como la media aritmtica

de los cuadrados de las diferencias entre los

valores que toman la variable y su media

aritmtica. Se simboliza en la muestra y en la poblacin.

Datos sin agrupar: al trabajar con datos sin agrupar utilizamos:

=

y

=

EJEMPLO 1.

Con los siguientes datos 5, 3, 1, 6, 10 calcule la

varianza

=

=5 + 3 + 1 + 6 + 10

5= 5

=

=5 5 + 5 3 + 5 1 + 5 6 + 5 10

5

= 9,2

Datos agrupados: al trabajar con datos agrupados utilizamos:

=

y

=

EJEMPLO 2.

Calcular la varianza para las siguientes

distribuciones:

xi ni ni xi (

5

10

15

20

25

2

4

8

5

1

10

40

120

100

25

-9,75

-4,75

0,25

5,25

10,25

-19,50

-19,00

2,00

26,25

10,25

190,1250

90,2500

0,5000

137,8125

105,0625

20 295 - 0,00 523,7500

=

=

29520

= 14,75

=

=

523,7520

= 26,1875

Medidas de dispersin 49

7.2 DESVIACIN TPICA ( )

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la

varianza, considerada siempre positiva.

= - y

= -

La desviacin tpica, es la medida de dispersin

ms utilizada y de mayor utilidad, dado que las

unidades son expresadas en la misma de la

variable; mientras que, la varianza se expresan

en las mismas unidades pero al cuadrado.

EJEMPLO 3.

Si la varianza es = 26,1875, la desviacin tpica es:

= - = -26,1875 = 5,12

7.3 COEFICIENTE DE VARIACIN (./)

Se utiliza para comparar la variabilidad entre

dos series de datos. Es frecuente encontrar que

dos series de datos no tienen las mismas

unidades, por lo tanto no podrn compararse

con sus varianzas, entonces el coeficiente de

variacin es un buen aplicativo

01 =

2

01 =

100

EJEMPLO 4.

= 5,12

= 14,75

01 =

100 =5,12

14,75 100 = 34,71%

EJEMPLO 5.

Para la media y la varianza de un conjunto se

han hallado, respectivamente los valores 4 y 25

qu opinin merece la media aritmtica?

01 =

100 =54

100 = 125%

Esta media aritmtica no lo es suficientemente

representativa de la distribucin, debido a

variabilidad tan alta.

7.4 PUNTAJE TPICO O ESTANDARIZADO (5, 6)

Es el estadgrafo de dispersin muy utilizado en

la distribucin normal y en el anlisis de

coeficiente de correlacin, mide la desviacin

de una observacin con respecto a la media

aritmtica en unidades de desviacin tpica,

determinando la posicin de una observacin

dada, dentro de un conjunto de observaciones.

7 =

=

El puntaje tpico sirve para comparar dos o ms

datos individuales, aunque pertenezcan a

distribuciones diferentes, an en casos en que

la media y/o la varianza no coincidan. Se utiliza

a Z cuando la muestra es mayor de 30 y t

cuando es menor

EJEMPLO 6.

En un examen final de estadstica la puntuacin

media de un grupo de 150 estudiantes fue de

78 y la varianza 64. En contabilidad general, sin

embargo, la media final del grupo fue de 73 y la

desviacin 7,6. En que asignatura hubo mayor

a. Dispersin absoluta

b. Dispersin relativa

c. Si un estudiante consigui 75 en estadstica y 71 en contabilidad general en qu

asignatura fue su puntuacin relativa

superior?

50

Carlos Merlano Blanco Estadstica Descriptiva

Solucin

a. Dispersin absoluta =

( = 64 57,76

( 8 7,6

En estadstica hubo una mayor dispersin

absoluta

b. Dispersin relativa CV ;

?>

@

7( 75 78

8 0,37

7 71 73

7,6 0,26

En contabilidad general hubo una mayor

puntuacin relativa del estudiante

7.5 MEDIDAS DE ASIMETRA O DE DEFORMACIN

Una distribucin simtrica no tiene riesgo; si

AB AC consideramos que la distribucin

es normal y tiene la forma de una campana,

denominada de Gauss o normal, ya que el

promedio se ubica en el centro de ella

En los problemas prcticos las distribuciones

dejan de ser simtricas para convertirse en

asimtricas positivas o negativas y las tres

medidas media, median y moda no tienen igual

valor. As:

D AB D AC E 2

G AB G AC H I2

7.6 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (AP)

Kurtosis o estadgrafo de apuntamiento, mide

el grado de agudeza en la cima de la curva que

la representa. Esta agudeza que se observa en

la regin del modo, comparada con las

condiciones halladas para el mismo sitio en la

curva normal, es lo que se llama curtosis.

Si la curva es plana con relacin a la normal, se

denomina platicurtica; si es ms aguda se llama

leptocurtica; si es igual a la normal se

denomina mesocurtica.

AB AC

Leptocrtica

Platicrtica Mesocrtica

Medidas de dispersin 51

7.7 TALLER DE COMPETENCIAS 7

1. Dados los nmeros: 19, 25, 18, 24, 21, y 15 encuentre la varianza, la desviacin tpica,

coeficiente de variacin relativo

2. Un examen presentado por 40 estudiantes se calific de 1 a 50 los resultados fueron:

31 13 34 32 31 29 7 39

27 30 37 36 38 36 29 38

12 41 30 27 11 29 13 26

35 29 34 9 46 12 27 19

41 32 36 38 44 14 39 40

a. Ordene los datos.

b. Construya la tabla de frecuencias agrupadas

c. Calcule la media, la mediana y la moda

d. la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo

3. Los salarios semanales (en miles de pesos) pagados a los empleados de la compaa

La Tacaa ltda son como se muestra en

la siguiente tabla:

152 45 125 45 25 48 48 63 48 125

124 78 63 148 85 135 146 122 123 135

125 127 58 35 123 123 65 129 65 65

45 120 52 89 56 118 75 135 104 69

64 87 85 87 65 65 87 178 97 107

87 96 62 96 78 78 96 89 85 87

98 66 45 84 73 105 125 120 125 152

125 129 56 105 45 130 100 129 135 77

139 135 125 120 65 127 106 17 127 89

150 120 46 63 56 126 126 106 126 65

Construya una tabla de frecuencias

acumuladas, empleando las tcnicas

estadsticas aprendidas para ello y

encuentre las medidas de tendencia

central y las medidas de desviacin

4. El administrador de la tienda de ropa para nio El Agchate registr el nmero de

prendas vendidas en un da durante el

ltimo mes. Los resultados son:

15 32 24 18 28 32 10

25 32 25 16 28 16 10

40 26 19 9 17 35 29

16 38 19 9 16 20 16

38 24

a. Construir un cuadro de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas

anteriormente.

b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polgono de frecuencia. Haga una

interpretacin del mismo

c. En un mismo plano dibuje las ojivas.

d. Determine la mediana, la moda y la mediana

e. El cuartil 3, el decil 3, el percentil 70

f. Realizar el anlisis estadsticos de acuerdo con la informacin del cuadro y

las calculadas

g. Calcule la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo

5. En el departamento mdico del colegio El descalabrado se mantiene un registro de

las estaturas, en centmetro, de los

estudiantes de los grados noveno y

dcimo. A continuacin, se muestran estos

datos.

Noveno Dcimo

174 159 147 153 144 175 200

144 197 170 176 180 200 160

170 130 157 178 156 199 139

161 182 144 142 137 197 158

171 153 133 191 136 134 144

162 183 169 180 142 149 144

186 200 138 170 150 152 150

135 168 153 200 162

a. construir un cuadro de frecuencias agrupadas para cada uno de los grados,

usndolos intervalos: 130 a 139, 140 a

149, etc.

b. Construir los histogramas de frecuencias para cada uno de los grados

52

Carlos Merlano Blanco Estadstica Descriptiva

c. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir los

polgonos de frecuencias

correspondientes.

d. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir las

ojivas correspondientes.

e. De acuerdo con los polgonos, establecer las semejanzas y diferencias entre los

estudiantes de grado dcimo y noveno.

f. Calcule para cada grupo la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin

relativo

g. Utilizar las tablas de frecuencias, la media aritmtica, la moda y las medidas de

dispersin para establecer las semejanzas

y diferencias entre los estudiantes de

grado dcimo y noveno.

6. Se pregunt a 32 nios, del mismo estrato, entre 4 y 9 aos sobre las horas que

dedican a ver televisin en un da hbil de

la semana. Los resultados son:

4 5 5 5 4 5 6

8 5 5 5 3 6 6

4 4 4 4 4 6 7

7 4 4 5 3 7 5

3 4 5 7

a. Construir una tabla de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas en

esta seccin.

b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polgono de frecuencia. Haga una

interpretacin del mismo

c. En un mismo plano dibuje las ojivas.

d. Realizar el anlisis estadsticos de acuerdo con la informacin del cuadro,

las grficas y la medidas de tendencia

central y las medidas de dispersin

7. Determine la medidas de tendencia central y de dispersin con la informacin que se

sumista

Intervalo Frecuencia

27,5 32,5

32,5 37,5

37,5 47,5

47,5 62,5

2

5

6

3

8. Los jornales por hora de los operarios de Industrias Manufactures el Mocho son:

62 58 57 46 45 46 44 50 49 43

51 47 42 43 41 37 40 54 39 30

43 38 52 55 37 41 42 54 38 53

32 52 36 46 42 52 30 37 52 36

40 42 47 43 49 45 50 43 58 46

64 47 46 50 40 44 45 45 57 51

a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas.

b. Dibuje el histograma, el polgono de frecuencia y las ojivas.

c. Determine las medidas de tendencia central

d. Y la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo

9. En la institucin educativa El Machete se efectu un estudio para analizar la

capacidad intelectual; se trabajo con 40

alumnos que registraron las siguientes

puntuaciones:

161 138 146 168 146 164 158 126

145 173 138 150 140 135 142 178

147 132 142 147 150 153 145 128

140 165 135 152 149 144 144 136

163 135 118 148 125 153 154 157

a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas.

b. Dibuje el histograma, el polgono de frecuencia y las ojivas.

c. Calcule las medidas de tendencia central y las medidas de dispersin

d. Realice los anlisis correspondientes