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UNIDAD 9

MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA

servicio.

de servicio.

Investigación de operaciones

343

Introducción

A l inicio del S. XX, la industria de la telefonía se enfrentó al siguiente problema: ¿Cómo determinar el número óptimo de operadoras para dar

servicio en sus centrales?

Este problema se originó debido a que las llamadas telefónicas de una persona a otra se realizaban a través de las operadoras, las cuales tenían que conectar con un caimán la línea de las personas que se querían comunicar. Esto provocaba que los usuarios en ocasiones, tuvieran que esperar demasiado tiempo antes de ser atendidos. La solución de este problema no es fácil, ya que si se aumentaba arbitrariamente el número de operadoras, se incrementaban los costos de operación y pudiera suceder que el mayor tiempo estuvieran ociosas. Si se contrataba un número menor de operadoras, el costo de operación disminuía, pero también disminuía el número de clientes af i l iados debido a que buscan una compañía que les ofrezca un tiempo de espera menor, por lo tanto esto también repercute en una pérdida para la compañía. Es en 1909, cuando A. K. Erlang experimenta con el problema del congestionamiento de tráfico telefónico, él consideró sistemas formados por una sola operadora. En 1917 generalizó su teoría al incluir varias operadoras. Durante muchos años estos trabajos no tuvieron un mayor impacto, es en la Segunda Guerra Mundial cuando la teoría de líneas de espera se empieza a utilizar en diversos problemas.

A diferencia de los modelos estudiados en las unidades anteriores, los modelos matemáticos de líneas de espera son modelos probabilísticos. Esto debido a que en general tanto la l legada de clientes como el tiempo de atención son variables cuyo valor depende del azar y que por lo tanto no es posible conocer con precisión. Para estudiar este tipo de modelos vamos a util izar la teoría de probabilidades vista en el curso de Estadística y Probabilidad.

Empezamos la unidad estudiando la terminología concerniente a este nuevo tipo de modelos, además de dar algunos ejemplos particulares de líneas de espera. Continuamos estudiando los modelos probabilísticos para la llegada de clientes y para el tiempo de servicio. Finalizamos la unidad presentando

Unidad 9

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el modelo de líneas de espera que tiene una llegada de clientes con función de distribución de probabilidad tipo Poisson y un tiempo de servicio con función de distribución de probabilidad exponencial.

9.1. Terminología

Un problema de líneas de espera se forma cuando los clientes1 l legan a una estación a solicitar un servicio. Si el tiempo de atención es mayor al número de clientes que llegan a solicitar el servicio, entonces se forma una línea de espera. Algunos ejemplos de líneas de espera son:

- La llegada de llamadas telefónicas a un conmutador de un hospital.- La llegada de equipos electrónicos al área de control de calidad

dentro de una fábrica.- La llegada de trabajos a la cola de impresión en una computadora.- La l legada de pacientes a un consultorio.- La llegada de operaciones computacionales a un microprocesador.

Un sistema de líneas de espera se forma por

clientes que l legan a solicitar un servicio, que forman los clientes para esperar el servicio, y

estaciones de servicio que atienden a los clientes, los cuales después de ser atendidos salen del sistema (ver f igura 9.1).

1 La palabra cliente se uti l iza para denotar una persona o un objeto.

FILAMECANISMODE SERVICIO

FilaLlegadas Salida

Figura 9.1.

Disciplina de la


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Existen sistemas de líneas de espera que están formados por una sola f i la y una sola estación de servicio, por ejemplo, la llegada de operaciones al microprocesador en una computadora. Otros pueden estar formados por varias f ilas y varias estaciones de servicios, por ejemplo: las computadoras que tienen varios microprocesadores conectados en paralelo. O bien, en algunos centros de atención telefónica existe un único número telefónico y las l lamadas se distribuyen al operador que esté desocupado. En este caso existen varios centros de servicio pero se forma una sola f i la. En otros centros se dispone de diferentes números telefónicos, con lo cual se forman diferentes f ilas en cada uno de ellos.

Existen varias combinaciones posibles, las cuales estudiaremos más adelante.

Para poder analizar los modelos de líneas de espera, es importante def inir la terminología que vamos a util izar.

Los parámetros más importantes de una línea de espera son:

1. Tasa de llegada . Es el número de clientes que llegan a solicitar el servicio. Esta tasa puede ser determinística o probabilística. Si es probabilística, se debe determinar la función de distribución de probabilidades que la modela. Por ejemplo:

La l legada de l lamadas a un conmutador, la llegada de operaciones al microprocesador de la computadora, la l legada de trabajos de impresión a una computadora, etc.

2. Tasa de servicio . Es el tiempo que se tarda el cliente en la estación de servicio. Este tiempo, al igual que la tasa de llegada, puede ser determinístico o probabilístico. Si es probabilístico, se debe determinar la función de distribución de probabil idades que lo modela. Por ejemplo:

El tiempo de atención del conmutador a una llamada, el tiempo que dura un despachador en llenar el tanque de gasolina de un automóvil, el tiempo que tarda el microprocesador en realizar una operación, el tiempo que tarda la impresora en imprimir un archivo, etc.

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3. . Si consideramos que la f ila puede crecer inf initamente, entonces no debemos poner restricciones en cuanto a la cantidad de clientes en la f ila, de otra manera debemos construir un modelo que tome en cuenta que al l legar a cierto tamaño, la f ila ya no permite que se formen. Esto último complica la construcción del modelo, por lo que vamos a considerar sistemas que acepten una cantidad inf inita de clientes. Para el caso de filas finitas, vamos a utilizar otro modelo dentro de la I.O. llamado: Simulación. Por ejemplo:

En teoría suponemos que la cantidad de llamadas que pueden estar en espera en un conmutador es inf inita, ya que de otra manera tendríamos que manejar la probabil idad de que al realizar la llamada el conmutador esté saturado.

En un verificentro el tamaño de la f ila puede crecer indefinidamente, sólo está acotado por la decisión del conductor si es que se encuentra dispuesto a esperar o no.

4. Número de estaciones . Es la cantidad de estaciones de servicio que están disponibles. Este número depende de la política de la empresa. Las estaciones pueden estar dispuestas en serie o en paralelo. Por ejemplo:

En una empresa dedicada a la manufactura de equipos electrónicos, las estaciones de servicio son las máquinas que añaden componentes a la tarjeta principal (donde se va a armar el circuito), en este caso las estaciones se encuentran en serie y el equipo tiene que pasar por todas antes de abandonar el sistema.

En un hospital el número de consultorios con médicos para consulta externa son estaciones de servicio en paralelo, ya que es un cliente por consultorio y después abandona el sistema.

En una estación de servicios para automóviles, las bombas de gasolina son las estaciones de servicio, colocadas en paralelo.

5. . Es la manera como se van a formar las f ilas y cómo van a ser atendidos los clientes, ésta es también una decisión de la empresa. Usaremos la siguiente nomenclatura para la disciplina de la f ila*:

* Tomado de Taha, Hamy A. Investigación de operaciones, Pretice may, 1998.


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FCFS = El primero que llega el primero que se atiende. LCFS = El último que l lega el primero que se atiende. SIRO = Servicio en orden aleatorio. GD = Disciplina general (es decir cualquier tipo de disciplina).

Por ejemplo:

En la cola de impresión de una computadora, el primer trabajo en llegar es el primero en ser impreso, mientras que en el microprocesador no necesariamente la primera operación en ser solicitada es la primera en ser atendida, ya que existen ciertas prioridades.

Una notación adecuada para resumir las características de un sistema de líneas de espera es la siguiente: (a / / c) : (d / e / ),

donde:

a Es la función de distribución de probabilidades de las llegadas.Es la función de distribución de probabilidades del tiempo de

atención.c Número de estaciones de servicio en paralelo.d Disciplina de la línea de espera.e Número máximo de clientes en el sistema.

Tamaño de la población.

Ejemplo 1

En un sistema de línea de espera cuyas llegadas siguen una distribución de Poisson, el tiempo de atención sigue una distribución exponencial, con 3 estaciones de servicio en paralelo, con una disciplina de que el primero en llegar es el primero es ser atendido, con una capacidad en la f ila inf inita y una población inf inita, se representa como:

(P,E,3) : (FCFS, , ).

Una vez que estudiamos la terminología referente a líneas de espera, surge la siguiente pregunta:

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¿Por qué debemos estudiar las líneas de espera?

existen costos relacionados con el proceso.

Los dos costos más signif icativos son:

Esperar signif ica desperdicio de algún recurso activo que bien pudiera ser aprovechado. Por ejemplo:

En una empresa el tiempo que deben esperar los productos terminados en el departamento de control de calidad representa un costo, ya que la mercancía no puede ser comercializada para recuperar la inversión y las ganancias.

En un banco el tiempo que debe esperar una persona para cambiar un cheque tiene un costo, ya que la persona podría estar haciendo algo más productivo.Para el primer problema podríamos determinar el costo de espera en función de los intereses que nos daría un banco si depositáramos el costo de las mercancías. Este costo se daría entonces en pesos por unidad de tiempo. Para el segundo caso resulta más complicado poder determinar el costo de espera, ya que inf luye el comportamiento humano.

Es el costo en el que incurre la empresa por poner y mantener en operación las estaciones de servicios. Por ejemplo:

Para una compañía de telefonía celular las estaciones de servicio son las antenas que debe colocar en toda la región de cobertura, pero cada una de ellas tiene un costo, además de que una vez en operación se debe dar mantenimiento, pagar servicios, etc.

Otro empleo es el costo asociado al sueldo de los empleados que deben atender la caseta de herramientas en una fábrica.

Para determinar los costos de servicio y de espera se recurre a economistas que realizan los estudios necesarios para estimarlos.

Desde el punto de vista económico, podemos resumir el problema de líneas de espera de la siguiente manera:


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Si queremos bajos costos de servicio, se experimentan largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el costo de servicio disminuyen los costos de espera. Esto nos indica que ambos costos están en conf licto, ya que al disminuir uno el otro aumenta y viceversa. El propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

En la f igura 9.2 presentamos estas ideas de una manera gráf ica.

En la siguiente sección vamos a estudiar los modelos matemáticos que se uti lizan para los procesos de llegada y de servicio.

Ejercicio 1

1. Un sistema de líneas de espera está formado por cl ientes y _______________ de servicio.

2. La forma como llegan los clientes a un sistema de líneas de espera, es por lo general una _______________ aleatoria.

3. El tamaño de la f ila puede ser _______________ o f inito.

4. Las estaciones de servicio pueden estar en __________ o en serie.

Costo

Tasaóptima

Tasa de servicio

Costo total

Costo total del servicio

Costo total de espera

Figura 9.2.

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350

5. La forma como se atiende a los _____________ en la fila se llama disciplina de la fila.

9.2. Modelado de los procesos de llegada y de servicio

Para poder determinar el comportamiento de una fila, es indispensable conocer la forma como llegan los clientes al sistema y el tiempo que se tardan en la estación de servicio. En la sección anterior mencionamos que estos procesos en general son aleatorios, por lo tanto necesitamos la teoría de probabilidades que estudiamos en el libro de Estadística y Probabilidad de esta misma serie. En particular vamos a ocupar dos funciones de distribución de probabilidades, una discreta y otra continua, las cuales están estrechamente relacionadas:

Empecemos con el proceso de llegada de los clientes al sistema, el cual vamos a considerar aleatorio. En consecuencia, necesitamos definir variables aleatorias para poder medirlo. Lasllegada pueden ser las siguientes:

a) Sea t el tiempo que transcurre entre la l legada de un cliente y otro. En este caso ésta es una variable aleatoria continua.

b) Sea n el número de clientes que llegan en la unidad de tiempo. En este caso ésta es una variable aleatoria discreta.

Ejemplo 2

En una central telefónica las llamadas l legan de manera aleatoria. Podemos medir el tiempo que transcurre entre una l lamada y otra o bien podemos medir el número de l lamadas que se reciben, por ejemplo, en una hora.

Para poder analizar el comportamiento de un sistema de líneas de espera es más práctico uti lizar la segunda variable, es decir, medir el número de


351

clientes que l legan en la unidad de tiempo. Entonces el experimento que tenemos es el siguiente:

Deseamos medir el número de “éxitos” (llegadas de clientes) en un intervalo de tiempo, además los resultados que se obtienen en intervalos de tiempos disjuntos son totalmente independientes, la probabil idad de que ocurran n l legadas en un intervalo de tiempo depende de la longitud del mismo. Todo esto se ajusta a la def inición de un experimento de Poisson*, por lo tanto la llegada de clientes la vamos a modelar util izando:

El Modelo de Poisson

Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que l legan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabil idad de que n = k está dada por:

P n kt ek

kk t

( )( )

!, , ,...0 1 2

Donde es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo.

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por:

E n t

V n t

( )

( )

Ejemplo 3

La l legada de trabajos a una impresora compartida es una variable aleatoria discreta con distribución de Poisson con un promedio de 5 trabajos por hora. Determinar la probabilidad de que:

a) Lleguen 8 trabajos en la próxima hora.b) Lleguen 3 trabajos en la próxima hora.c) Lleguen 2 trabajos o menos en la próxima hora.d) Lleguen 3 trabajos o más en la próxima hora.e) Llegue un trabajo en los próximos 10 min.

* UNITEC, Estadística y probabil idad, p. 237.

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En el problema nos dicen que el valor de la constante 5trabajos

hora;

uti lizamos la distribución de Poisson con k = 8 y t = 1 hora:

a) P n

e x( )

( * )!

* . .*

85 1

8390625 6 738 10

403202632 03125

4032

8 5 1 3

000 0653. %

b) P(n )( * ) e

!* . x .

. .*

35 1

3125 6 738 10

60 84225

60 1404 14 04

3 5 1 3

%%

c) P( n 2) = P(n = 0) + P(n = 1) + P(n = 2), calculamos cada una de estas probabilidades y obtenemos los siguientes resultados:

P(n = 0) = 0.00673P(n = 1) = 0.0337P(n = 2) = 0.0842P( n 2) = 0.00673 + 0.0337 + 0.0842 = 0.12463 = 12.46%

d) P(n 3) = 1 – P( n 3) = 1 – P(n = 0) – P(n = 1) – P(n = 2) = 1 – 0.00673 – 0.0337 – 0.0842 = 1–0.125463 = 0.87537 = 87.54%

e) Ahora la unidad de tiempo cambia, por lo tanto debemos convertir los 10 min. a fracción de hora:

101

6016

min( )hora

utoshora

min

P ne

( )( )

!. * .

. . %

*

15

161

0 8333 0 43461

0 3621 36 21

1 516

Para el proceso de atención en las estaciones de se rvicio , podemos nuevamente def inir dos variables aleatorias, las cuales son:

a) t que tarda el cl iente en la estación de servicio.

b) natendidos en la unidad de tiempo.


353

La variable que es más útil para el análisis de los sistemas de líneas de espera es la primera, por lo tanto vamos a util izar esta variable para l levar a cabo el desarrollo del modelo. Necesitamos determinar la función de distribución de probabil idades para esta variable, considerando la siguiente propiedad:

Que el tiempo que duró el servicio anterior no afecte en nada al tiempo del próximo servicio.

En el l ibro de Estadística y Probabilidad se estudió el modelo exponencial, el cual se def inió de la siguiente manera:

El modelo exponencial

Dada t una variable aleatoria continua del experimento realizado, se dice que tiene distribución exponencial con parámetro en el intervalo [ , )0 donde su función de densidad de probabilidad es:

f te

t

t

t

( )1

0 0

0

Como t es una variable aleatoria continua, no tiene ningún caso preguntarnos por la probabilidad de que t sea igual a algún valor en particular, ya que esta probabilidad es igual a cero, en lugar de ello nos interesa determinar la probabil idad de que la variable t esté dentro de un intervalo [0, a]. Para determinar esta probabil idad tenemos que resolver la siguiente integral:

P t a e dt et

aa

( )01

10

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Teorema . En un sistema de líneas de espera la variable representa el tiempo promedio que dura el servicio. La esperanza y varianza de esta función de distribución exponencial está dada por:

E(t) = V(t) = 2

Ejemplo 4

Un conmutador tarda en promedio 10 seg. desde que acepta la llamada hasta que la transf iere a la extensión deseada. El conmutador sólo puede atender una l lamada a la vez. ¿Cuál es la probabil idad de que el conmutador se tarde menos de 15 segundos en transferir la siguiente l lamada?

Nos indican que el valor de =10 seg., y que a = 15 seg.

P t e dt et

( ) . . . %151

101 1 0 2231 0 7769 77 6910

0

151510

El parámetro determina el tiempo promedio que tardan las estaciones de servicio en atender a un cliente. Este parámetro está íntimamente l igado al parámetro , valor promedio de la función de distribución de probabilidades de Poisson. Matemáticamente esta relación se escribe como:

1

Esto quiere decir que el parámetro mide el tiempo que transcurre entre el tiempo de un éxito y otro, mientras que mide el número de éxitos en la unidad de tiempo, por lo tanto las dos variables que definimos para ambos procesos son equivalentes, ya que podemos medir el número de


355

clientes que l legan en la unidad de tiempo (distribución de Poisson) o podemos medir el tiempo que transcurre entre la l legada de un cliente y otro (distribución exponencial), y lo mismo sucede para el proceso de servicio, podemos medir el número de clientes atendidos en la unidad de tiempo (distribución de Poisson) o podemos medir el tiempo que se tarda la estación de servicio en atender un cliente (distribución exponencial).

Ejemplo 5

El tiempo promedio entre la llegada de una operación y otra a un microprocesador es de 9 milisegundos. Calcular la probabilidad de que lleguen 50 operaciones en un segundo.

En este caso conocemos el valor del parámetro que es igual a 9 mil isegundos; sin embargo, nos preguntan por la probabilidad de que l leguen 50 operaciones en un intervalo de tiempo de un segundo, por lo tanto debemos util izar la función de distribución de Poisson, para lo cual determinamos el valor del parámetro :

19 10

111 113 .

queremos calcular:

P ne

( )( . * )

!.

. *

50111 11 1

503 549 10

50 111 11 111

Para determinar cuál es la probabil idad de que la siguiente operación l legue en los próximos 100 milisegundos, uti lizamos la distribución exponencial:

P t e dt et

( ) . . .10019

1 1 1 496 10 0 999985 99 99

0

1001009 5x 9985%

Por lo tanto, para poder construir el modelo de líneas de espera, vamos a util izar estas dos distribuciones de probabilidad.

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356

Ejercicio 2

1. En el modelo Poisson la variable que mide el número de clientes que l legan por unidad de tiempo, es una variable:

a) Determinística b) Continua c) Aleatoria discreta d) Aleatoria continua

2. La función de distribución de probabil idades para el proceso de l legada es:

a) ( )

!t ek

k t

b) ( )

!t ek

k t

c) ( )

!t ek

k t

d) ( )

!t ek

k t

3. En el modelo exponencial la fdp del tiempo de servicio está dada por:

a) 1

0e tt

b) e tt

0

c) e tt

0

d) 1

0e tt


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4. En el modelo exponencial, el tiempo de servicio es una variable:

a) Discreta. b) Aleatoria continua. c) Determinística continua. d) Determinística.

5. Si el tiempo de servicio en una gasolinera es de 0.05 hrs. por cl iente, ¿cuántos clientes se atienden en una hora?

a) 15 clientes. b) 18 clientes. c) 22 clientes. d) 20 clientes

9.3. Tiempos de llegada Poisson con servicio exponencial

En esta sección desarrollamos los modelos matemáticos para los sistemas de líneas de espera formados por una sola f i la y una única estación de servicio. Presentamos sin demostración cómo este modelo se puede adaptar al caso en el que existe una sola f ila y varias estaciones de servicio e indicamos de manera general el comportamiento de sistemas con varias f ilas (multif i la) y con varias estaciones de servicio (multiservicio).

El primer modelo de líneas de espera que vamos a estudiar es el que está formado por una estación de servicio y una única f ila. Empezamos analizando la parte estable del sistema, es decir, el comportamiento del sistema a largo plazo, una vez que ya pasó el periodo de estabil ización o transitorio, el cual es más dif ícil de estudiar.

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358

La importancia de estudiar el modelo en un estado estable, es que podemos responder las siguientes preguntas, las cuales nos sirven para tomar decisiones sobre la mejor estrategia para optimizar el sistema de líneas de espera.

El modelo generalizado de estado estable supone que las tasas de llegada y salida son dependientes del estado, es decir, que la llegada de un nuevo cliente depende de la cantidad de clientes que están en la f ila. Por ejemplo: en una fábrica la llegada de máquinas al área de servicio por descompostura va disminuyendo conforme aumenta el número de éstas en el área (una máquina fuera de servicio no puede descomponerse). El tiempo de servicio también depende del estado del sistema, por ejemplo, el tiempo de servicio en un centro telefónico trata de disminuirse cuando hay varios clientes esperando.

Vamos a def inir los siguientes parámetros:

n = Número de clientes en el sistema.n n en el sistema.n n en el sistema.n n clientes en el sistema.

Para desarrollar el modelo, supongamos que tenemos un sistema con cuatro clientes, tres en la fila y uno en la estación de servicio, ver la f igura 9.3.

Clientes en la fila

Estación deservicio.

Cliente en laestación de

servicio

Figura 9.3.


359

Si analizamos el comportamiento del sistema en un intervalo de tiempo suf icientemente pequeño, tenemos las siguientes tres opciones:

a) Que llegue un cliente y salga ninguno. Entonces el sistema tendría n+1 clientes, ver f igura 9.4.

b) Que salga un cliente y l legue ninguno. Entonces el sistema tendría n-1 clientes, ver f igura 9.5.

c) Que llegue un cliente y que también salga un cliente. Entonces el sistema permanece con n clientes:

Clientes en la fila



servicio

Figura 9.5.

Cliente queabandonó el

sistema

n = 3

Clientes en la fila

Nuevo cliente



servicio

Figura 9.4.

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360

Estos cambios en el sistema sólo dependen de las tasa de entrada n y

de la tasa de salida n y nos indican que el estado con n clientes sólo

puede cambiar a los estados n – 1 y n+1, por lo tanto, para mantener el sistema en estado estable de n cl ientes, existen tres eventos mutuamente excluyentes que son:

a) Que el sistema esté en el estado n – 1 y entonces debe existir una entrada al sistema. La probabilidad de este evento es el producto de que

el sistema esté en el estado n – 1 ( Pn 1) por la tasa de entrada:

P Evento Pn n( ) *1 1 1

b) Que el sistema esté en el estado n+1 y entonces debe existir una salida del sistema. La probabilidad de este evento es:

P Evento Pn n( ) *2 1 1

Los dos casos anteriores se consideran f lujo de entrada al estado n, por lo tanto, la tasa esperada de f lujo de entrada al estado n es:

tasa esperada de flujo

de entrada al estado nP Pn n n1 1 1 nn 1

c) Que el sistema esté en el estado n y ocurra una entrada y una salida del sistema. La probabilidad de este evento es:

4

Clientes en la fila



servicio

Figura 9.6.

Cliente queabandonó el

sistema

Nuevo cliente


361

P Evento Pn n n( ) *3

Este evento se considera el f lujo de salida del estado n, por lo tanto, la tasa esperada del f lujo de salida del estado n es:

tasa esperada de flujo

de salida del estado nPn n n( ) *

Si suponemos que el sistema está en un estado estable, se debe cumplir que la tasa de f lujo de entrada y salida del sistema en estado n deben ser iguales. Al igualar estas dos expresiones obtenemos la ecuación de balance para n mayores que cero:

n n n n n n nP P P n1 1 1 1 1 2( ) * , ,...

y para n = 0 la ecuación de balance es:

0 0 1 1P P

Si conocemos el valor de P0 podemos obtener el valor de P1

P P10

10

Si conocemos el valor de P1 podemos obtener el valor de P2

P P21 0

2 10

En general, se puede demostrar por inducción que:

P Pnn n

n n

1 2 0

1 10

......

El valor de P0 se determina a parti r de la siguiente igualdad:

Pnn

10

Unidad 9

362

Ejemplo 6

Dentro de una of icina con 5 empleados se tiene una fotocopiadora. La probabilidad de que l legue un empleado a la fotocopiadora depende del número de empleados en el sistema y se da en la siguiente tabla:

La tasa de tiempo de servicio en la fotocopiadora es constante y es igual a:

n

clientesminuto

0 5.

Determinar la probabilidad de los posibles estados estables del sistema.Los posibles estados estables del sistema son:

n = 0.n = 1.n = 2.n = 3.n = 4.n = 5.

Ahora debemos calcular la probabilidad asociada a cada uno de los estados anteriores.

P P P P1

0

10 0 0

10 5

2.

P P P P2

0 1

2 10 2 0 0

1 0 80 5

3 2* ..

.

Empleados en el sisteman n

empleadosminuto

1

2

3

4

5

0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1


363

P P P P3

0 1 2

3 2 10 3 0 0

1 0 8 0 60 5

3 84* . * .

..

P P P4

0 1 2 3

4 3 2 10 4 0

1 0 8 0 6 0 40 5

3 07* . * . * .

.. 22 0P

P P50 1 2 3 4

5 4 3 2 10 5

1 0 8 0 6 0 4 0 20 5

* . * . * . * ..

P P0 01 2288.

P P6

0 1 2 3 4 5

6 5 4 3 2 10

1 0 8 0 6 0 4 0 2 00 5

* . * . * . * . *. 66 0 0P

Como las anteriores son todas las posibles probabilidades, y como se trata de una distribución de probabil idad, la suma de ellas debe ser igual a uno, es decir:

Pii

10

6

Si sustituimos el valor de cada una de las probabilidades en términos de P0, obtenemos la siguiente ecuación:

P P P P P P0 0 0 0 0 02 3 2 3 84 3 072 1 2288 0 1. . . .

114 3408 1

114 3408

0 0

0

0

.

..

P

P 6697

Por lo tanto la probabil idad de que la fotocopiadora esté ociosa es del 6.97%. El resto de las probabilidades las presentamos en la siguiente tabla.

Empleados en el sistema (n) Pn

2

3

4

5

6

1

22.3%

26.76%

21.41%

8.56%

0%

13.94%

Unidad 9

364

Esto quiere decir que la mayor parte del tiempo la fotocopiadora estará ocupada y dos personas estarán esperando en la fila, ya que la probabilidad de que existan tres personas en el sistema es la más alta.

salida constantes

En el modelo anterior se consideró que la tasa de llegada y la tasa de salida dependen del número de clientes que están en la f ila, esto debido a que tenemos una población f inita, por lo tanto al aumentar la cantidad de clientes en la f ila disminuye la tasa de l legada; sin embargo, si consideramos que tenemos una población inf inita, la tasa de l legada permanecerá constante. Si consideramos tanto la tasa de llegada como la tasa de salida constantes, el modelo toma la siguiente forma:

P P1 0

P P2

2

0

P Pn

n

0

Además la suma de todas las probabil idades debe ser igual a uno, es decir:

Pii

10

Si sustituimos el valor de cada probabilidad en términos de obtenemos:

i

i

P00

1

Sacamos de la suma el término constante y nos queda una suma geométrica.

Pi

i0

0

1


365

Aquí se impone la condición de que la tasa de llegada de clientes debe ser menor que la tasa de servicio, ya que de otra manera la suma no converge. Esta condición matemática se interpreta de la siguiente manera:

Si la tasa de l legada es igual a la tasa de servicio, el estado transitorio del sistema sería permanecer con un solo cliente en el sistema, ya que al l legar el primer cl iente se atiende y cuando l lega el segundo el primero ya fue atendido. Si la tasa de llegada es mayor que la tasa de servicio el estado permanente del sistema sería inestable, ya que al l legar más cl ientes de los que se pueden atender, la f i la crecería indef inidamente.

Recordemos que si tenemos una suma geométrica con razón menor que uno en valor absoluto, ésta converge a:

rr

si rn

n 0

11

1

Util izando este resultado obtenemos la siguiente expresión:

P Pi

i0 0

0

1

11

De donde podemos despejar P0:

P0 1

Esto quiere decir que la probabilidad de que el sistema esté ocioso es igual

a 1 . Una vez que conocemos el valor de P0 podemos conocer el valor

de Pn para n mayor o igual a cero.

P nn

n

1 0

Unidad 9

366

Esta expresión representa la función de densidad de probabilidades discreta del sistema de líneas de espera. Podemos calcular ahora la esperanza matemática de esta función de distribución:

E n nP n nnn n

n

( )0 0

1 1n

n

0

La suma nrr

rn

n 02

1 por lo tanto la esperanza matemática es:

E n( )

La esperanza matemática nos dice cuál es el número de clientes esperado o en promedio que estarán en el sistema. Esta esperanza considera tanto a los clientes que están en la f i la como a los que están en la estación de servicio. Si nos interesa determinar el tamaño promedio de la f i la debemos restar a la esperanza del tamaño del sistema la probabilidad de que un cliente esté en la estación de servicio (recordemos que sólo estamos trabajando con una f ila y una estación de servicio).

Sea w la variable aleatoria que mide el número de clientes que están en la f ila de un sistema de líneas de espera, entonces la esperanza de esta variable es:

E w E n P( ) ( )( )1

2

Ya tenemos dos expresiones que nos permiten determinar en promedio el número de clientes en el sistema y en la f i la, ahora vamos a determinar en promedio cuánto tiempo permanece un cliente en el sistema y cuánto tiempo en la f i la.

Sea v la variable aleatoria que mide el tiempo que permanece un cliente en el sistema. El tiempo promedio que va a pasar el cl iente en el sistema es la esperanza matemática de esta variable, es decir: E(v). Durante un periodo E(v) el número de clientes que llegan al sistema es E(v), que debe ser igual al promedio de clientes en el sistema, es decir, E(n).


367

Si igualamos estas dos expresiones y despejamos el tiempo promedio obtenemos la siguiente expresión:

E n E v

E v E n

( ) ( )

( ) ( )1 1

Lo único que falta es determinar el tiempo promedio que va a pasar un cliente en la f i la. Def inimos la variable aleatoria como el tiempo que permanece un cliente en la f i la. El tiempo promedio es entonces la esperanza matemática de esta variable; pero esta esperanza es igual al tiempo promedio que permanece el cl iente en el sistema menos el tiempo que tarda en la estación de servicio, es decir:

E t E v( ) ( )( )

1

Así terminamos el modelado de un sistema de líneas de espera con una sola fila y una sola estación de servicio. A continuación mostramos una tabla con las ecuaciones del modelo:

Unidad 9

368

Ejemplo 7

En una central telefónica rural, las llamadas de larga distancia se deben realizar a través de operadora. En la actualidad sólo existe una operadora y la tasa de petición de l lamadas es de 20 llamadas cada hora, mientras que la tasa de servicio es de 25 llamadas cada hora. Las políticas de la empresa para aumentar la cantidad de clientes son las siguientes:

operadora y ésta lo comunica al destino solicitado no debe exceder de 10 minutos.

Al interior de la empresa algunas de las políticas son:

mayor a 18 minutos cada hora.

¿Es posible que el sistema cumpla con las políticas de la empresa?

Para calcular los parámetros que caracterizan a un sistema de líneas

de espera, uti lizamos las ecuaciones de la tabla 9.1, con los parámetros

20llamadasminuto

y 25llamadasminuto

.

Lo primero es verif icar que , lo cual sí se cumple. Realizamos los

cálculos y obtenemos los siguientes resultados:


369

Estos resultados nos indican lo siguiente:

para poder cumplir con sus políticas, ya que el tiempo promedio que espera un cliente en la f ila es de 9.6 minutos, el cual es mayor a los 5 minutos que dice la empresa.

cada hora (en promedio) lo cual representa el 20% del tiempo. Este valor se encuentra por debajo del establecido por la empresa.

Esto quiere decir que si colocamos otra operadora puede ser posible que el tiempo ocioso aumente y sobrepase el establecido, pero si no colocamos otra operadora los clientes tienen que esperar demasiado tiempo para ser atendidos.

Si en el ejemplo anterior se contrata otra operadora y se deja una sola línea para recibir las peticiones de l lamadas de larga distancia, lo que tenemos es un sistema con una sola f ila y varias estaciones de servicio, ver f igura 9.7.

Unidad 9

370

En este tipo de modelos se supone que las estaciones de servicio están colocadas en paralelo y que cada una de ellas ofrece el mismo tipo de servicio, por lo tanto, el cliente tiene la opción de pasar a cualquiera de ellas, sin que exista diferencia alguna.

Consideremos el caso en que se tienen dos estaciones de servicio con una tasa de servicio . Si al sistema llega un cliente, éste pasa inmediatamente a cualquiera de las dos estaciones. Si l legan dos clientes, entonces cada uno de ellos pasa a una de las estaciones de servicio y la tasa de servicio del sistema se duplica, ya que si la tasa es de 2 clientes cada hora, al tener dos estaciones la tasa de atención es de 4 clientes cada hora, siempre y cuando las dos estaciones estén ocupadas, es decir, la tasa de servicio del sistema sería 2 . Si llegan más de dos clientes la tasa de servicio del sistema sigue siendo 2 ya que sólo se pueden atender dos clientes al mismo tiempo.

Por lo tanto la tasa de servicio para este tipo de sistemas depende del número de clientes en el sistema, y crece de manera proporcional hasta un valor máximo que depende del número de estaciones de servicio disponibles. Matemáticamente lo podemos expresar como:

s

n si n c

c si n c

Donde n es el número de clientes en el sistema y c es el número de estaciones de servicio.


Figura 9.7.

Estación deservicio 2.


371

Entonces el problema lo podemos resolver uti l izando el modelo para La probabi l idad de que estén n cl ientes

en el sistema está dada por:

Pn

Pn

P n c

c c c

n

n n

n

n

( )( ) ( ) !

( )( ) ( ) ( )(

2 3

2 3 1

0 0

)) !n c

n

n c nP

c cP n c0 0

Haciendo k y uti lizando las fórmulas del modelo de tasas variables,

siempre y cuando se cumpla que kc

1, obtenemos:

Pkn

kc k

c

kc

n

n

c c

00

1

1

1

11

! !

Si el sistema es estable con n cl ientes, donde n es menor al número de estaciones de servicio, el problema no es interesante, ya que cada cliente que llegue encontrará una estación de servicio vacía y pasará sin hacer f ila. Por lo tanto vamos a considerar de aquí en adelante que el número de clientes es mayor que el número de estaciones de servicio. En estas condiciones nos interesa determinar el número de clientes que estarán en la f i la, es decir:

E w n c P rP rkc c

Pk

c c kPn

n cr c

r

r c

r

c

( ) ( )! ( )!( )0

0

1

21 000r

El número total de clientes en el sistema está dado por:

E n E w k( ) ( )

El tiempo promedio por cl iente en el sistema está dado por:

E vE n E w k

( )( ) ( )

Unidad 9

372

Y f inalmente el tiempo promedio por cl iente en la f ila es:

E tE w

( )( )

Ejemplo 8

Supongamos que en el ejemplo 7 (de la central telefónica) se contrata otra operadora, con el mismo horario que la primera. ¿Cómo cambia el comportamiento del sistema?

Los parámetros del sistema son:

20 25 2clientes

horaclientes

horac

Calculamos el valor de k

k2025

0 8.

Verif icamos que la f i la no crece indef inidamente:

kc

0 82

0 4 1.

.

Por lo tanto el sistema llega a un estado estable f inito.

Calculamos el tiempo en que el sistema está ocioso.

Pkn

kc k

c

n

n

c c

00

1

1

1

10 428

! !. 66

Esto quiere decir que el sistema permanece ocioso el 42.86% del tiempo.

Calculamos el tamaño esperado de la f ila:

E wk

c c kP clientes

c

( )( )!( )

.( . )

. .1

2 0

3

210 8

2 0 80 4286 0 1524


373

Se espera que en la f ila estén 0.1524 clientes, esto quiere decir que la mayor parte del tiempo la f ila estará vacía.

Calculamos el número de clientes en el sistema:

E n E w k clientes( ) ( ) . . .0 1524 0 8 0 9524 Calculamos los tiempos totales y en la f i la:

E vE n

hrs( )( ) .

. .0 9524

200 04762 2 86min

E tE w

hrs seg( )( ) .

. .0 1524

200 00762 27 43

Observamos que los tiempos de espera disminuyen notablemente; sin embargo, el tiempo que permanece ocioso el sistema aumentó al 42.86%, sobrepasando la política de la empresa. Es decisión del ingeniero si deja una sola operadora o dos. La investigación de operaciones es una herramienta que permite tener un análisis cuantitativo para la toma de decisión.

Si el sistema de líneas de espera está formado por varias estaciones de servicio y cada una de ellas tiene su propia f ila, tenemos un sistema multif i la y multiservicio. Si obtener el modelo para el caso de una f ila y varias estaciones de servicio fue complicado, obtener un modelo para este caso general lo es más, por lo tanto debemos util izar otras técnicas que nos permitan tomar decisiones. Una de las técnicas más utilizadas es la Simulación , la cual consiste en construir un modelo probabilístico, donde a las variables aleatorias se les asignan números aleatorios y con ello se simula el comportamiento del sistema de las líneas de espera. Para obtener resultados conf iables de la Simulación se debe realizar una cantidad grande de repeticiones, por lo tanto es indispensable util izar la computadora para obtener resultados en un tiempo razonable*.

* Para más detal les leer Bu, Coss, Simulación un enfoque práctico, Limusa.

Unidad 9

374

Ejercicio 3

1. Los modelos que desarrollamos se uti l izan en la parte _____________ del sistema, ya que la parte ____________ es más dif ícil de modelar analíticamente.

2. Para sistemas con poblaciones f initas, la tasa de llegada y la tasa de salida ___________ del número de clientes en el sistema.

3. En un periodo suf icientemente pequeño, un sistema con n cl ientes sólo puede pasar a los estados ______ y n – 1.

4. Para calcular la probabilidad de que existan n cl ientes en el sistema con tasa de llegada y salida variable es necesario conocer la __________ de que existan n-1 clientes en el sistema.

5. Los modelos que desarrollamos ponen la condición de que la tasa de l legada sea ______________ que la tasa de salida.

Relaciona las siguientes columnas.

( ) Tiempo úti l de la estación a) E n( )

( ) Tiempo promedio en la f i la b) E w( )( )

2

( ) Tiempo promedio en el sistema c) E v( )1

( ) Promedio de clientes en el sistema d) E t( )( )

( ) Tiempo que la estación permanece ociosa e) P0 1

( ) Promedio de clientes en la f i la f )


375

Ejercicios propuestos

1. Dentro de una of icina se tiene una impresora compartida para 5 computadoras, la probabil idad de que l legue un trabajo a la impresora depende del número de trabajos que están en la f i la:

La tasa de tiempo de impresión depende de la cantidad de trabajos que estén en el sistema, ya que se cuenta con un programa que acelera la impresión al ir creciendo el número de trabajos en “ la cola”. La tasa se muestra en la siguiente tabla:

Determinar la probabilidad de los posibles estados estables del sistema.

Trabajos en el sisteman n

trabajosminuto

1

2

3

4

5

0

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

1.5

Trabajos en el sisteman n

trabajosminuto

1

2

3

4

5

0

0.9

0.8

0.7

0.6

0

1

Unidad 9

376

2. A un microprocesador llegan 1 000 operaciones cada segundo, mientras que su velocidad es de 333 microsegundos por operación. Determinar:

a) Promedio de operaciones en el sistema.

b) Promedio de operaciones en la f i la.

c) Tiempo promedio de cada operación en el sistema.

d) Tiempo promedio de cada operación en la f i la.

e) Tiempo que el microprocesador permanece ocioso.

f ) Tiempo útil del microprocesador.


377

Autoevaluación

1. Para indicar que un sistema de líneas de espera tiene tasa de llegada tipo Poisson, tasa de servicio exponencial, con tres estaciones en paralelo, se utiliza la notación:

a) (P,B,2):(FCFS, , ) b) (B,P,3):(FCFS, , ) c) (P,E,3):(FCFS, , )d) (E,B,2):(FCFS, , )

2. El costo asociado al tiempo que pasa un cliente en el sistema es

a) Costo de producción.b) Costo de servicio.c) Costo de espera.d) Costo de ocio.

3. Las operaciones que l legan a un microprocesador tienen una tasa de 5 000 operaciones cada segundo. ¿Cuál es la probabil idad de que l leguen 10 operaciones en el próximo mil isegundo?

a) 1.81 %b) 1.18 %c) 18.13 %d) 11.83 %

4. Una operadora tarda en promedio 20 segundos en atender un cliente, ¿cuál es la probabilidad de que la operadora se tarde más de 25 segundos con el próximo cliente?

a) 71.35 %b) 17.35 %c) 22.13 %d) 28.65 %

Unidad 9

378

5. Después de cierto tiempo de funcionamiento un sistema de líneas de espera l lega a un estado:

a) Transitorio.b) Estable.c) Aleatorio.d) Determinístico.

6. Para determinar el valor de ociosidad de un sistema de líneas de espera con tasa de llegada y salida variables, se util iza la expresión:

a) Pnn

100

b) Pnn

0 10

.

c) Pnn

10

d) Pnn

0 50

.

7. El número promedio de clientes en un sistema de una f ila con una estación de servicio, con tasa de l legada y tasa de salida está dada por:

a) 2

( )

b) ( )

c) ( )

d)


379

Para contestar las preguntas 8 y 9 considera el siguiente problema: un ingeniero en sistemas se dedica por las tardes a dar servicio técnico por teléfono. Para dar una mejor atención contrató el servicio de llamada en espera, el cual le permite tener un cliente en espera. La tasa de l legada es de 15 l lamadas cada hora, mientras que la tasa de servicio es de 18 l lamadas cada hora.

8. La cantidad esperada de clientes en el sistema es:

a) 2b) 5c) 4.16d) 6.2

9. El tiempo de espera en la f i la es de:

a) 20 minb) 15 minc) 18.3 mind) 16.7 min

10. Un centro de atención telefónica cuenta en la actualidad con 5 operadores para dar servicio a los clientes, los cuales l laman con una tasa de 20 l lamadas cada hora. La tasa de servicio de cada uno de los operadores es la misma y es igual a 22 l lamadas cada hora. La probabilidad de que el sistema esté ocioso es de:

a) 50.2 %b) 40.29%c) 38.3%d) 45.4 %

Unidad 9

380

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. Estaciones.2. Variable.3. Inf inito.4. Paralelo.5. Clientes.

Ejercicio 2

1. c)2. c)3. a)4. b)5. d)

Ejercicio 3

1. Estable; Transitoria.2. Dependen.3. n+14. Probabilidad.5. Menor.6. f, d, c, a, e, b.


381

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. Los posibles estados del sistema son:

n = 0.n = 1.n = 2.n = 3.n = 4.n = 5.

Ahora debemos calcular la probabilidad asociada a cada uno de los estados anteriores.

P P P P1

0

10 0 0

11 6

0 625.

.

P P P P2

0 1

2 10 0 0

1 0 91 7 1 6

0 331* .

. * ..

P P P3

0 1 2

3 2 10 0

1 0 9 0 81 8 1 7 1 6

0 147* . * .

. * . * .. PP0

P P40 1 2 3

4 3 2 10

1 0 9 0 8 0 71 9 1 8 1 7 1 6

* . * . * .. * . * . * .

P P0 00 054.

P P50 1 2 3 4

5 4 3 2 10

1 0 9 0 8 0 7 0 62 1 9 1 8* . * . * . * .* . * . ** . * .

.1 7 1 6

0 0160 0P P

P P P P P P

P

P

0 0 0 0 0 0

0

0

0 625 0 331 0 147 0 054 0 016 1

2 173 1

12

. . . . .

.

...

1730 460

Unidad 9

382

Por lo tanto la probabil idad de que la impresora esté ociosa es del 46%. Se calcula el resto de las probabilidades, las cuales presentamos en la siguiente tabla.

Esto quiere decir que el mayor tiempo la impresora estará ociosa, y que el 28.8% de las veces va a estar atendiendo un trabajo sin que ningún otro se encuentre en la f i la.2. La tasa de servicio es:

10 000333

3003 003.

.operaciones

segundo

Lo primero es verif icar que , lo cual sí se cumple. Realizamos los cálculos y obtenemos los siguientes resultados:


383

Respuestas a la autoevaluación

1. c)2. c)3. a)4. d)5. b)6. c)7. b)8. b)9. d)10. b)

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