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UNIDAD DIDÁCTICA 3:Acoplamiento magnético en

circuitos electrónicos

TEMA 6: Análisis de circuitos acoplados magnéticamente

TEMA 6

6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto.

•AutoinducciónHasta ahora hemos estudiado circuitos sin considerar el acoplo magnético.En ese caso calculamos la tensión generada en los bornes de cada bobina según lafórmula:

La constante de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinducción de la bobina.En el sistema internacional la unidad de autoinducción se llama henrio (H).En una bobina de N espiras, la tensión inducida viene dada también por la ley deFaraday:

en donde Ndф es el flujo que abraza al circuito o flujo de acoplamiento, que recibe elnombre de flujo concatenado.

2Fundamentos de Análisis de Circuitos

dt

tdiLtvL

)()(

dt

dNtvL )(

6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto

•Autoinducción (continuación)

Igualando las dos expresiones anteriores podemos obtener:

De donde:


dt

dN

dt

tdiL

)(

di

dNL


•Inductancia mutua

Supongamos que tenemos la bobina 1 , por la que circula una corriente i, que varía con el tiempo, estableciéndose un flujo magnético ф11 . Cerca de la bobina 1, tenemos la 2:

Una parte del flujo atraviesa también a la bobina 2 y lo expresaremos como ф12. La tensión inducida en la bobina 2 viene dada por la ley de Faraday:


dt

dNvL

1222


•Inductancia mutua (continuación)

Como ф12 está relacionado con la corriente i, vL2 es proporcional a la variación de i con el tiempo, es decir:

donde la constante de proporcionalidad M se denomina coeficiente de inductancia mutua entre las dos bobinas y su unidad, en el sistema internacional, es el henrio (H).

El flujo del acoplamiento depende de la separación y orientación de los ejes de las bobinas y de la permeabilidad magnética del medio donde se encuentran dichas bobinas. Se define el coeficiente de acoplamiento magnético K:

Por ser ф12 ≤ ф11 y ф21 ≤ ф22 , el valor máximo de K es la unidad.


dt

diMvL

12


•Inductancia mutua (continuación)

El coeficiente de acoplamiento K es una medida del grado en el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra (0 ≤ K ≤ 1). Si las bobinas no están acopladas, entonces K=0. Si las bobinas están perfectamente acopladas, entonces K=1.

El coeficiente M se puede expresar en función de las autoinducciones L1 y L2 y del coeficiente de acoplamiento magnético K como:



•Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamenteDado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, supuesto que se asignan las corrientes y voltajes como se observa en la figura:

El voltaje inducido en la bobina 1, v1 está formado por el generado por la inductancia L1 y el producido por la inductancia mutua M.Igualmente, el voltaje inducido en la bobina 2 (v2) está formado por el generado por la inductancia L2 y el producido por la inductancia mutua M.


dt

diM

dt

diLv 21

11

dt

diM

dt

diLv 12

22


•Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación)

El signo de las tensiones debidas a la inductancia mutua dependerá de si los flujos magnéticos producidos por ambas bobinas se suman o se restan.

Si los flujos se suman el signo será positivo:


dt

diM

dt

diLv 21

11

dt

diM

dt

diLv 12

22



Si los flujos se restan el signo será negativo:

El sentido de los flujos magnéticos se obtiene utilizando la regla de la mano derecha.


dt

diM

dt

diLv 21

11

dt

diM

dt

diLv 12

22



La regla de la mano derecha dice lo siguiente:“Si agarramos una bobina con los dedos de la mano derecha siguiendo la dirección de la corriente, el pulgar de la mano derecha nos indica el sentido del campo magnético en el interior de la bobina.”

Para simplificar este tipo de análisis que obliga a conocer la dirección de los arrollamientos se emplea el criterio del punto.



•Criterio del puntoDada más de una bobina, se coloca un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán.Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden esquematizarse de la siguiente manera:



•Criterio del punto (continuación)Regla general: si ambas corrientes de las bobinas entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido. En otro caso, los signos serán opuestos.

Ejemplo de aplicación:

o en régimen permanente sinusoidal (fasores):

V1 = –jwL1I1 + jwMI2

V2 = –jwL2I2 + jwMI1


i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2M dt

diM

dt

diLv 21

11

dt

diM

dt

diLv 12

22


•Análisis de circuitos empleando el criterio del punto

El método de análisis por mallas es el más apropiado cuando tenemos circuitos con acoplamiento magnético. Debemos seguir los siguientes pasos:

1) Escójanse arbitrariamente los sentidos de corriente en cada malla2) La autoinducción produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la corriente 3) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos4) Aplíquese la Ley de Kirchoff de tensiones a cada malla



•Análisis de circuitos empleando el criterio del punto (continuación)

Ejemplo:

Trabajando con fasores en el dominio de la frecuencia y empleando las corrientes I1 e I2

que marca el problema como corrientes de malla, las ecuaciones de malla quedarían:

–Vg + R1I1 + jwL1I1 – jwMI2 = 0R2I2 + jwL2I2 – jwMI1 = 0



•Cálculo de equivalente Thevenin (Norton) en circuitos con bobinas acopladas

En aquellos problemas donde sea necesario calcular el equivalente Thevenin o Norton de un circuito con varias bobinas acopladas magnéticamente (por ejemplo, cálculos de máxima transferencia de potencia o simplificación de circuitos) es imprescindible recordar que:

1) La impedancia Thevenin o Norton no puede calcularse como una simple reducción a la impedancia equivalente, ya que se perdería el efecto de la inductancia mutua M.

2) Tampoco puede emplearse el método de la fuente de test.3) La impedancia Thevenin o Norton debe calcularse mediante el cociente entre la

Tensión de Thevenin y la corriente de Norton del circuito:


N

THTHN

I

VZZ

6.2 Transformador ideal

•Introducción

Un transformador consta de un núcleo sobre el que se enrollan dos o más devanados que reciben el nombre de primario y secundario.Los transformadores tienen varios usos destacando entre otros el de variador de tensión, adaptador de impedancias y separador (aislador de cargas y corrientes).

Un transformador de N1 espiras en el primario y N2 espiras en el secundario, se considera ideal si verifica las siguientes condiciones:K = 1L1 = L2 = ∞R1 = R2 = 0 (pérdidas insignificantes en los devanados).

El símbolo que emplearemos para representarun transformador ideal será:


1: a


•Relaciones fundamentales en un transformador ideal

Se conoce como razón de transformación de un transformador ideal al cociente:

En un transformador ideal se puede demostrar que:

Siempre y cuando los voltajes V1 y V2 sean ambos positivos o negativos en las terminales con punto, caso contrario a=N2/N1 = - V2/V1

Si a > 1, el transformador es elevadorSi a < 1, el transformador es reductor


1

2

N

Na

aN

N

V

V

1

2

1

2


•Relaciones fundamentales en un transformador ideal (continuación)

En un transformador ideal también se cumple que:

siempre y cuando ambas corrientes I1 e I2 entren o salgan de las terminales con punto, caso contrario N2/N1 = I1/I2.


aN

N

I

I

1

2

2

1


•Transformador ideal como adaptador de impedancias

Consideremos el circuito de la figura siguiente en el que se utiliza un transformador ideal para conectar magnéticamente una fuente o circuito 1 a una carga ZL.

Podemos calcular la impedancia del circuito conectado a la fuente mediante:


1

11

I

VZ

idealdorTransformaaII

aVV

21

21

circuitoZIV L22


•Transformador ideal como adaptador de impedancias (continuación)

Por tanto, obtenemos:

Por tanto, el circuito 1 ve una impedancia igual a la de la carga ZL escalada por el factor 1/a2. Se dice que Z1 = Zeq es la impedancia reflejada en el primario del transformador. En conclusión, los siguientes circuitos son equivalentes:


eqL ZZaI

V

aaI

aVZ

2

2

2

2

2

21

11Leq Z

aZ

2

1

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