UNIDAD I 8º2013

Marcelo Neftalí Saavedra Fuentes, ATE www.lideraeducar.cl

NOMBRE ALUMNO/A………………………………………………………………..

1

CUADERNO PARA EL APRENDIZAJE

UNIDAD I

NÚMEROS Y ALBEBRA

PRIMER EMESTRE 2012

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

OCTAVO AÑO BÁSICO

http://www.lideraeducar.cl/


APRENDIZAJE ESPERADO N°1

ESTABLECEN ESTRATEGIAS PARA CALCULAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE NÚMEROS ENTEROS.

2



1. Calculan multiplicaciones de enteros utilizando la estrategia establecida.

Entonces para multiplicar 2 x 3 (identificando a = 2 y b = 3) y calcular el valor, se utiliza la siguiente estrategia:

3



1. Ahora es tu turno, calcula las siguientes multiplicaciones:

a) 3 x 6b) 3 x 2c) 5 x 5d) 3 x 8e) 4 x 4

4

2°Estrategia

3° Estrategia



Entonces para multiplicar 2 x (−3) (identificando a = 2 y b = −3) y calcular el valor, se utiliza la siguiente estrategia:

2. Ahora es tu turno, calcula las siguientes multiplicaciones:

a) 3x (−4)b) 5 x (−3)c) 5 x (−5)d) 3 x (−8)e) 4 x (−3)

5

1º ESTRATEGIA

2° ESTRATEGIA



Entonces para multiplicar (−2) *3 (identificando a = −2 y b = 3) y calcular el valor, se utiliza la estrategia siguiente:

3. Ahora te toca a ti calcula las multiplicaciones siguientes:

a) (−3) x 3b) (−2) x 4c) (−3) x 6d) (−4) x 8

6

1º ESTRATEGIA

2º ESTRATEGIA

(−2 ) ∙3=−(2∙3)

(−2 ) ∙3=−6

Como tienen signos diferentes se multiplica 2 con 3 en valor absoluto adicionándole al final el signo negativo.

Por lo que el resultado final tendrá signo negativo.



Para calcular el valor de − (−2) se procede de la siguiente manera:

− (−2) = 2 se coloca el 2 y el signo positivo, esto porque hay una Cantidad par del mismo signo anteponiéndose al 2

En el caso general

4. Ahora te toca a ti, calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) −(−5)b) −{−(−11)}c) −{−{−{−22}}}Escriba aquí la ecuación.

7

−¿= 2 Signo final del número es Positivo, ya que tienen una Cantidad par del mismo signo



Entonces para multiplicar (−2) x (−3) (identificando a = −2 y b = −3) y calcular el valor, se utiliza la siguiente estrategia:

1° Estrategia

(−2) x (−3) = 2 x 3 cuando los signos de los números son iguales se Multiplican los números en valor absoluto y luego se adiciona el signo positivo = 2 x 3 = 6

5. Ahora te toca a ti, calcula las siguientes multiplicaciones:

a) (−4) x (−4)b) (−5) x (−5)c) (−4) x (−8)d) (−4) x (−6)

8



Para calcular la multiplicación (2 − 4) x (−3 + 5) se procede a utilizar la siguiente estrategia:

(2 − 4) x (−3 + 5) = (−2) x 2 Se simplifica los signos de agrupación de adentro hacia afuera, en nuestro caso los paréntesis.

= −(2 x 2) Se multiplican en valor absoluto y después se coloca el signo negativo

= −4 (Multiplicación de dos números con signos diferentes)

6. Ahora es tu turno, calcula los resultados de las siguientes operaciones:

a) (10 − 4) * (−5 + 2)

b) (−4 + 6) * (5− 3)

c) (−3 − 3) * (−4 − 6)

d) d) (4+ 7) *(11 + 9)

9



Para calcular la multiplicación 2 − 4 x (−3) + 5 se procede a utilizar la Siguiente estrategia:

2 − 4 x (−3) + 5 = 2 + (−4) x (−3) + 5 Se utiliza la jerarquía de los operaciones primero multiplicación y división y después suma y resta

= 2 + 12 + 5

= 19 resultado final

7. Ahora es tu turno, calcula los resultados de las siguientes operaciones:

a) +4 − 4 *4 + 8

b) (−4 *9) − 5 + 3

c) 9 − 3 *5 + 6

10

Se multiplican el valor absoluto y después se coloca el signo positivo. Multiplicación de dos números con signos iguales



Para reducir y calcular el resultado de 6 * (3+ 1)− (7− 2) *(−9+ 7), recuerde que se debe empezar por los paréntesis o cualquier otro signo de agrupación.

6 x (3 + 1) − (7 − 2) x (−9 + 7) = 6 x 4 − 5 x (−2) sumas y restas en los paréntesis

= 24 − (−10) multiplicación de dos enteros

= 24 + 10 = 34 suma de dos enteros

8. Reduzca y calcule el valor de las expresiones siguientes:

a) 4 * (9 − 4) + 5 * (−10 + 4 * 4)b) (−50 + 18 − 65) * (−5)

9. Calcula :

1) -4 · -4= 2) - 14 · -4= 3) -4 · -12= 4) -10 · -4= 5) 4 · -41=

6) -12 · -4= 7) 4 · -12= 8) - 10 · -40= 9) -5 · 9 = 10) -2 · 8 =

11) -3 · 4 = 12) -4 · 10 =

11



2. Calculan divisiones de enteros utilizando la estrategia establecida

Para dividir la expresión 6 ÷ 2 = 6/2 se puede considerar la siguiente estrategia:

1. Ahora te toca a ti, efectúa las siguientes operaciones:

a) 6 ÷ 3b) 15 ÷ 5c) 4 ÷ 2d) 14 ÷ 7

12



2. Ahora te toca a ti, calcula las siguientes operaciones:

a) (−6) ÷ (−3)b) (−15) ÷ (−5)c) (−4) ÷ (−2)d) (−14) ÷ (−7)

13



3. Dada las estrategias, calcule las siguientes operaciones:

a) (−6) ÷ 3b) (−15) ÷ 5c) (−4) ÷ 2d) (−14) ÷ 7

14



4. Escribe el numero que falta en cada operación

-24: =12 -340: =34 340: = -170-32: 4= -25: 5= 440: -10=

-256:=-16 -(28) :4= 1800: =- 100250: = -10 -900: =- 90 -3000: =300

34: -170 500: = -10 -48: -2=

15



5. Ahora te toca a ti, calcula las siguientes operaciones:

a) (−6) ÷ (−3)b) (−15) ÷ (−5)c) (−4) ÷ (−2)d) (−14) ÷ (−7)

Para dividir (8 ÷ 4) ÷ 2 se procede de la siguiente manera:

(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 se divide primero el paréntesis

= 1 se divide como antes, obteniendo el resultado Final

16



6. Ahora es tu turno, calcula el valor de cada expresión

a) (20 ÷ 10) ÷ 2

b) (12 ÷ 6) ÷ 2

c) (8 ÷ 2) ÷ 2

7. Calcula los siguientes cuocientes

-98: 16= -(-(-8):-4= -220:.-22=-(-88): 4= 140: -14= -(-(-55)): 5=-(-(-70): 7 23:-(-(-23) -48: -24=

-[-(240:2)]: 2 -60:-4= -1000:-10=

8. Resuelve y completa la siguiente tabla.

17



Para calcular 2 + 6 ÷ 3 − 5 se procede de la siguiente manera:

2 + 6 ÷ 3 − 5

= 2 + 2 − 5 primero se divide o se multiplica y luego se suma o se resta.

= −1 se suma y se resta obteniendo el resultado final.

9. Luego, utilizando lo anterior, se presenta el desafío de calcular lo siguiente

a) 3 − 5 ÷ 5 − 1b) 4 − 12 ÷ 3 + 8c) −10 + 18 ÷ 4 + 4

18



Se te presenta el siguiente desafío, calcula las siguientes divisiones:

a)

b)

c)

19




ESTABLECER ESTRATEGIAS PARA DETERMINAR EL VALOR DE BASE ENTERA Y EXPONENCIAL NATURAL

20



Utilizan estrategias para determinar el signo de expresiones del

tipo (−1)ncuando n es un número natural

21



1. Ahora estás en condiciones de determinar el signo de las expresiones siguientes:

a).(-1)4

b).(-1)6

c).(-1)7

d).(-1)11

2. Señala cuáles son enteros positivos y cuáles enteros negativos.

a) La temperatura es de doce grados bajo cero.

b) Cinco metros sobre el nivel del mar.

c) La temperatura es de treinta grados sobre cero.

d) Cuarenta metros bajo el nivel del mar.

e) Deber veinticuatro pesos.

22



f) Tener seiscientos pesos.

2. Ahora estás en condiciones de determinar el signo de las expresiones siguientes

a).

b).

c).

23



Para determinar el signo de la expresión

Queremos saber el signo de la expresión el signo es positivo según La ecuación (4).

3. Ahora Usted puede determinar el signo de las expresiones siguientes:a).(-1)11

b).(-1)17

c).(-)12

d).(-1)21

24



4. Ahora te toca a ti determina el signo de las expresiones siguientes

a¿ (−1)5 ∙(−1)4 ∙(−1)15

b¿ (−1)3 ∙(−1)4 ∙(−1)5 c ¿(−1)2n∙(−1)2n+1 ∙(−1)2n+2 , donde nes par .

25



2. Utilizan estrategias para determinar el valor de expresiones del

tipo (−a )n cuando a, n son números naturales

Recordar que la expresión

Por lo tanto para determinar el valor de 24 se procede como la ecuación (5), es decir:

24=2 ∙2 ∙2 ∙2=16

1. Ahora estás en condiciones para determinar el valor de las expresiones siguientes

a¿36

b¿ 45

c ¿54

d ¿63

e ¿153

26

n veces a



2. Es tu turno calcula los valores de

a).1000-361

b).3000 -42-30

c).62 -60-50

d) 2001 ∙2400

27



3. Estás en condiciones de determinar

a¿ (−9)0+100

b¿−120+140

c ¿100−440

4. Estás en condiciones de calcular lo siguiente:

28



a¿ (−4+4 ∙8−9)0

b¿ (3−1000 ∙456+4−8)0

c ¿(−4−7−8−10+10)0

29



5. Estás en condiciones de determinar las expresiones siguientes

a¿32 ∙30

b¿63 ∙73

c ¿53 ∙94

30



6. Ahora tú puedes determinar el valor de las siguientes expresiones

a¿ (−10)4

b¿ (−3)6

c ¿(−3)3

d ¿−24

e ¿(−3)4

7. Determine el valor de las expresiones siguientes

a¿Calcule (−6 ) ∙ (−6 ) ∙(−6)b¿Calcule(−5)2+(−5)2

31



3. Estiman mentalmente potencias de base entera de un dígito y

exponente natural menor de 5. Por ejemplo estima (−7)4 como 49 ·

49 obteniendo un número menor a 2500

1. Ahora realiza tú mentalmente las potencias siguientes

32



2. Ahora realiza tú mentalmente las potencias siguientes

33



3. Estimar mentalmente los valores de las expresiones siguientes:

34



4. Estimar mentalmente los valores de las expresiones siguientes:

35



5. Ahora estas en condiciones de realizar mentalmente las potencias siguientes

36



6. Te corresponde a ti realizar las aproximaciones siguientes

a)

b)

c).

d).

37



7.Escucha con atención los ejercicios que tu profesor(a) leerá y luego anota solamente tus resultados, lo más rápido posible.

CALCULO MENTAL

1 8

2 9

3 10

4 Puntaje:

5

6

738




DETERMINAR PROPIEDADES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL

39



1 Explican los pasos realizados para determinar las propiedades de potencias de base entera y exponente natural.

Ahora es tu turno, explique e identifique la(s) propiedad(es) a utilizar al llegar a calcular el valora¿7 ∙7b¿15 ∙15c ¿9 ∙9d ¿14 ∙14

40



Ahora es tu turno, explique e identifique la(s) propiedad(es) a utilizar al llegar a calcular el valor

a¿ (−5 ) ∙(−5)b¿ (−12 ) ∙(−12)c ¿ (−3 ) ∙(−3)d ¿ (−6 ) ∙(−6)

41



Ahora es tu turno, explique e identifique la(s) propiedad(es) a utilizar al llegar a calcular el valor

a¿ (5 ) ∙(−5)b¿ (12 ) ∙(−12)c ¿ (3 ) ∙(−3)d ¿ (6 ) ∙(−6)

42



Ahora es tu turno, explique los pasos e identifique la(s) propiedad(es) a utilizar al llegar a calcular el valor

a¿ (−4)3 ∙42

b¿ (−3)4 ∙52

c ¿(−2)3 ∙(−4)2

43



Para determinar el valor de la expresión 108

106 se realizan una serie de pasos (que

algunos alumnos llamarían estrategias) y por cada paso a realizarse se debe explicar siendo el objetivo final la identificación de la propiedad a utilizar para el cálculo del valor resultante o simplemente para una escritura más compacta que la original.

Se debe recordar La ley de los signos

Ahora es tu turno, explique los pasos e identifique la(s) propiedad(es) a utilizar al llegar a calcular el valor de

a¿ 106

104

b¿ 124

126

c ¿ 68

67

44



Para determinar el valor de la expresión 108

58 se realizan una serie de pasos (que

algunos alumnos llamarían estrategias) y por cada paso a realizarse se debe explicar siendo el objetivo final la identificación de la propiedad a utilizar para el cálculo del valor resultante o simplemente para una escritura más compacta que la original.



a¿ 1005

54

b¿ 368

94

45



c ¿ 126

46

Para determinar el valor de la expresión se realizan una serie de pasos (que algunos alumnos llamarían estrategias) y por cada paso a realizarse se debe explicar siendo el objetivo final la identificación de la propiedad a utilizar para el cálculo del valor resultante o simplemente para una escritura más compacta que la original.



46



2. Calculan potencias de base entera y exponente natural utilizando las propiedades determinadas.

Para calcular la expresión

25∙23 ∙21

26 ∙22

Se utiliza algunas estrategias, las que son

25∙23 ∙21

26 ∙22 =25+3+1

26+2

29

28 =29−8=21

1. Ahora es turno, calcule las potencias siguientes

a¿ 65 ∙63 ∙61

66 ∙62

b¿ 45 ∙42

46 ∙41

c ¿ 104 ∙107

103 ∙104

47



Deseamos calcular la operación ¿¿ , para ello recordemos

¿

Entonces el resultado es 32 ∙3=36

Realizar las siguientes operaciones con potencias

a¿ [ ( 73 )2 ]¿3

b¿ (−3)5 ∙23

c ¿ [ (23 )4 ]2

48




VERIFICAR QUE PROPIEDADES DE POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL SE CUMPLEN EN POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA POSITIVA, DECIMAL POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL

49



Calculan multiplicaciones de potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural utilizando la propiedad relativa a multiplicación de potencias de igual base entera y exponente natural

1. Calcule lo siguiente:

a¿ ( 49 )

2

∙( 49 )

3

=¿

b¿ ( 94 )

2

∙( 94 )

3

=¿

2. Determine el valor de la expresión.

a¿( 25

4 )5

∙( 254 )

3

( 254 )

4

∙( 254 )

2=¿

50



3. Realice los cálculos para la expresión

4. Calcule la siguiente multiplicación

2. Verifican que propiedades relativas a la división de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva

51



1. Verifican que propiedades se cumplen en la división de potencias

2. Verifican que propiedades se cumplen

( 52 )

5

∙( 52 )

0

( 25 )

4

∙( 25 )

2 =

55

25

26

56

=511

511=(52 )

11

3. ¿Qué propiedades de la división de potencias se cumplen?

( 45 )

3

∙( 54 )

2

=43 ∙52

53 ∙42

52



¿43−2 ∙52−1=4 ∙5=20

2.4. Identifique que propiedades se cumplen en el desarrollo de la expresión siguiente.

( 23 )

2

∙( 32 )

2

=22 ∙32

32 ∙22

¿22−2 ∙32−2=20 ∙30

¿1 ∙1=1

3. Explican de manera escrita los pasos realizados en la verificación de potencias de potencias de base decimal positiva y exponentes naturales

53



Considero la expresión ((1,8 )2)2 , vamos a explicar de

manera escrita el desarrollo de la manera siguiente

((1,8 )2)2=(1,8 ∙1,8 )2

¿(1,8)2 ∙(1,8)2

Están en condiciones de resolver las expresiones siguientes explicar los pasos realizados en la verificación de potencias de potencias.

a¿ ( (1,9 )2)3=(1,9 ∙1,9 )3=1,93 ∙1,93

b¿ ( (1 )5 )2=(1∙1 ∙1 ∙1 ∙1 )2=12 ∙12 ∙12 ∙12 ∙12

c ¿ (1,5∙1,5 ∙1,5 )3=1,53 ∙1,53 ∙1,53

Considero la expresión ((2,1 )2 )2 vamos a explicar

de manera escrita el desarrollo de la manera siguiente

((2,1 )2 )2=(2,1∙2,1 )2

¿(2,1)2 ∙(2,1)2

1. Están en condiciones de resolver las expresiones siguientes explicar los pasos realizados en la verificación de potencias de potencias

54

La potencia de una base

Potencias de bases iguales.



a¿ ( (−1,5 )2 )3=(1,5 ∙1,5 )3=1,53 ∙1,53

b¿ ( (−1 )5)2=(1 ∙1 ∙1 ∙1∙1 )2=12 ∙12∙12 ∙12 ∙12

c ¿ (−1,2∙−1,2∙−1,2 )3=−1,23 ∙−1,23 ∙−1,23

Considero la expresión

((2,1 )2 )2

((2,1 )3 )3

Vamos a explicar el desarrollo de la manera siguiente

((2,1 )2 )2

((2,1 )3 )0=

(2,1)4

(2,1)0

¿(2,1)4

1

55

Se determina la potencia de la potencia de una base.

División de potencia de bases iguales.



2. Están en condiciones de resolver las expresiones siguientes explicar los pasos realiza-dos en la verificación de potencias de potencias

a¿((2,5 )2 )3

((2,5 )2 )2=(2,5)6

(2,5)4 =2,56−4=2,52

b¿((−1 )5 )2

((−1 )2 )3=

(−1)10

(−1)6 =(−1)10−6=(−1)4=1

c ¿(−1,3 ∙−1,3 ∙−1,3)3=−1,33 ∙1,33 ∙1,33

56




RESOLVER PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Y LAS POTENCIAS DE BASE ENTERA, FRACCIONARIA O DECIMAL POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL

57



Resuelven problemas relativos a multiplicaciones de enteros

1.1. Resolver

a¿ (−7)5 ∙(−9)2

b¿ (−4 ) ∙ (−5 ) ∙6c ¿−(−3)4 ∙52

2. Reducir

a¿7−6÷3+4

b¿−9+8 ∙ (−5 )+3

c ¿4−8÷4+2−9+10∙ (−5 )−2

58



1.3. Si se duplica la expresión se obtiene:

a¿35

b¿ 48

c ¿54

d ¿74

e ¿64

2. Aplican correctamente la regla de los signos y la prioridad de las operaciones en la resolución de problemas de operatoria combinada con números enteros.

59



Para resolver el ejemplo

(−5) * 2 + 14 ÷ 7 se procede como sigue(−5) *2 + 14 ÷ 7 = −10 + 2 aplico la jerarquía de las operaciones, primero división y multiplicación y después suma el resultado final de restar números enteros= −8

1. Estas en condiciones de aplicar correctamente la regla de los signos.

a¿ (−11 )÷3+4 ∙(−7)

b¿9 ∙¿

c ¿93 ∙(−9)2

2. Simplifique (−3 ∙102 )3 ∙ (104 )÷ (−3 ) ∙ (−10 )5

60



3. Calcule (−4 )5 ∙ (−4 )2 ∙43

Se tiene la expresión

61



[2 * (−3 + 4) * (5 − 3)]/( −8 ÷ 4) para encontrar el resultado debemos aplicar bien la ley de los signos y las operaciones pertinentes del siguiente modo:

2 *(−3 + 4) * (5 − 3) = 2 * 1 * 2 simplifica paréntesis de las operaciones con las operaciones de los signos

= 4 resultado final de multiplicar números enteros

Estas en condiciones de aplicar correctamente la ley de los signos y las reglas operacionales

a¿ (−24 )÷6−15 ∙(−3)b¿16÷ ¿c ¿43 ∙(−4)2

3. Resuelven problemas en contextos cotidianos que involucren potencias de base entera y exponente natural

62



1. Los trabajadores de una mina se encuentran a 20 metros bajo tierra. Si excavan 3 metros y desde allí suben otros 8 metros para coger una carretilla, ¿a qué altura estaba la carretilla?

2. Marta y su madre van de compras. Marta tiene 50 $ y se quiere comprar unos zapatos que cuestan 36 $ y una sudadera de 25 $. ¿Tendrá e l dinero necesario para pagarlo todo? ¿Cuánto tendrá que pedir prestado a su madre si quiere comprárselo?

3. El quintuplo del número par consecutivo de 10 es:

63



4. Verifican los resultados obtenidos en función del contexto del problema

4.1. Se tiene la expresión Verifican si para n = 2 que el resultado final es 8

4.2. Actualmente la edad de A es cuatro veces la de B, es decir la diferencia de edad es 4-1=3 veces, que es la diferencia entre la edades de A y B. Además cuando B nació A tenia 12 años más, es decir: A=B+12 años, es decir : A-B=12 años, pero A-B es igual a 3 veces, luego, una edad es 12 :3=4 años y la otra es: 4x4=16 años respectivamente. Verifican estos resultados.

64



4.3. Un Pueblo tiene 100 casas en casa hay 4 piezas y en cada pieza 4 camas, para una persona por cama. ¿Cuántas personas tiene en total el Pueblo?

4.4. Un vehículo avanza en línea recta 45 km., retrocede 10km. luego avanza 5km y retrocede 20km., quedándose en que avanzó recorrió 20km. Verifican si efectivamente es así.

65


1.-En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 persona

4 500 : 90 = 50 árboles hay en la urbanización.4 500 :12 = 375 tendría que haber, para que a cada 12 habitantes les correspondiese un árbol.

375 − 50 = 325 árboles

2.-Si vives en la 8ª planta y bajas 9 pisos, ¿a qué plantas llegas? ¿Y si desde allí bajas 3 pisos más?


5. Analizan los procedimientos utilizados en términos de los resultados obtenidos

Analizar los siguientes procedimientos

66


1.-En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 persona

4 500 : 90 = 50 árboles hay en la urbanización.4 500 :12 = 375 tendría que haber, para que a cada 12 habitantes les correspondiese un árbol.

375 − 50 = 325 árboles

2.-Si vives en la 8ª planta y bajas 9 pisos, ¿a qué plantas llegas? ¿Y si desde allí bajas 3 pisos más?


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