Unidad i funciones elementales iutajs matematica iv
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PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS.
INTERPRETACIÓN VECTORIAL DE NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo z = x + iy se puede considerar como un vector OP cuyo punto inicial
es el origen O, y cuyo punto final P es el punto (x,y). Algunas veces al vector OP se le
llama vector de posición del punto P. Dos vectores que tienen la misma longitud y
dirección se consideran iguales, aunque tengan diferentes puntos iniciales y finales.
La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de
vectores.
En este caso, para sumar los números complejos z1 y z2, completamos el paralelogramo
OABC cuyos lados OA y OC corresponden respectivamente a z1 y z2. La diagonal OB de
este paralelogramo corresponde a z1+z2.
FUNCIONES COMPLEJAS
VARIABLES Y FUNCIONES
Un símbolo, tal como z, que representa a cualquier elemento de un conjunto de números
complejos se llama variable compleja.
Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de
una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z). La
variable z frecuentemente es llamada variable independiente, mientras que la variable w es
la variable dependiente. El valor de una función en z = a se representa f (a).
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FUNCIONES UNÍVOCAS Y MULTÍVOCAS
Si a cada valor de z le corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función
unívoca de z o que f (z) es unívoca. Si por el contrario, a cada valor de z le corresponde más
de un valor de w diremos que la función es multívoca, multiforme o multivaluada.
Una función multiforme puede considerarse como una colección de funciones unívocas;
cada miembro de esta colección se llamará rama de la función. Se suele considerar un
miembro particular como una rama principal de la función multiforme y el valor
correspondiente a esta rama como el valor principal.
EJEMPLO: Si w = z2, entonces para cada valor de z existe un solo valor de w. Por tanto,
f (z) = z2 es una función unívoca de z.
EJEMPLO: Si w = z1/2
, entonces para cada valor de z existen dos valores de w. Por ello,
f (z) = z1/2
es una función multiforme (bivaluada en particular) de z.
A partir de ahora cuando hablemos de funciones, a menos que se diga explícitamente lo
contrario, supondremos que se trata de funciones unívocas.
FUNCIONES INVERSAS
Si w = f (z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente se
representa por z = g (w) = f- -1
(w). La función f -1
se llama función inversa de f. En tal caso
w = f (z) y z = g (w) son funciones inversas (una de la otra).
TRANSFORMACIONES
Si w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde x e y son
reales), podemos escribir u + iv = f (x + iy). Igualando las partes reales e imaginarias, lo
anterior equivale a
u = u (x, y) v = v (x, y) (1)
Entonces, al punto P(x, y) en el plano z le corresponde el punto P'(u, v) en el plano w.
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El conjunto de ecuaciones (1) se llama una transformación. Decimos que el punto P se
aplica o transforma en P' por medio de la transformación o que P' es la imagen de P para la
transformación (1).
EJEMPLO: Si w = z2, entonces u + iv = (x + iy)
2 = x
2 +y
2 + 2ixy y las correspondientes
transformaciones son u = x2+y
2, v = 2xy. La imagen del punto (1,2) en el plano z es el
punto (5,4) en el plano w.
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Dada la transformación w = f (z) o, equivalentemente u = u (x, y), v = v (x, y), (x, y) serán
las coordenadas rectangulares de un punto P en el plano z, y (u, v) serán las coordenadas
curvilíneas de P.
Las curvas u (x, y) = c1, v (x, y) = c2, donde c1 y c2 son constantes, se llaman curvas
coordenadas y cada par de esas curvas se cortan en un punto. Esas curvas se aplican en
rectas ortogonales entre sí en el plano w.
FUNCIONES ELEMENTALES
Las funciones de los tipos 1 a 8 y las derivadas de ellas por un número finito de operaciones
de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces se llaman funciones
elementales.
1. FUNCIONES POLINÓMICAS
Funciones polinómicas son las definidas por
w = P(z) = a0 + a1 z1 + ··· + an-1 z
n -1
+ an zn
Donde an ≠ 0, a0, a1, .. an, son constantes complejas y n es un número entero positivo
llamado el grado del polinomio P(z).
El caso particular w = az + b se llama transformación lineal.
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2. FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Funciones algebraicas racionales son las definidas por
Donde P(z) y Q(z) son polinomios. Algunas veces llamamos a estas funciones
transformaciones racionales.
El caso especial , donde ad- bc ≠ 0, se llama habitualmente transformación
bilineal.
3. FUNCIONES EXPONENCIALES
Funciones exponenciales son las definidas por
Donde e = 2,71828... es la base de los logaritmos naturales. Si a es un número real positivo
definimos
Donde ln a es el logaritmo natural de a.
Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades semejantes a las de las
funciones exponenciales reales, por ejemplo, y las derivadas (Pruébalas).
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Dadas las ecuaciones eix
=cosx+isenx, e-ix
=cosx-isenx, definimos las funciones
trigonométricas o circulares usando las funciones exponenciales de la siguiente manera:
Muchas de las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para
el caso de las funciones trigonométricas complejas y sus derivadas. Por ejemplo:
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5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Las funciones hiperbólicas están definidas como sigue:
Las siguientes propiedades son válidas:
OBSERVACIÓN: Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes relaciones entre
funciones circulares y funciones hiperbólicas y hasta las derivadas de estas:
6. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Si z = ew, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la
función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por
Donde z = reiπ
=rei(θ+kπ )
. Esta función es multivaluada, por ello se define el valor principal o
rama principal de la función ln z como ln |z|+iArg z, donde . Esta definición es
un convenio, se podría definir de igual forma tomando θ en cualquier intervalo de amplitud
2π .
La función logarítmica compleja se puede definir para cualquier base real, como la inversa
de la correspondiente función exponencial.
7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA E HIPERBÓLICAS INVERSAS
Sabiendo que la función logarítmica es la inversa de la exponencial, y a la vista de las
definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es fácil definir sus
correspondientes funciones inversas.
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8. LA FUNCIÓN zw
La función zw, donde w puede ser complejo, está definida como e
w · ln z. Análogamente, si
f (z) y g(z) son dos funciones conocidas de z, podemos definir f (z)g(z)
=eg(z) · ln f (z)
.
En general este tipo de funciones son multivaluadas.
FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES
Si w es una solución de la ecuación polinómica:
,
Donde los Pi (z) son polinomios en z, P0 no es nulo y n es un entero positivo, entonces
w =f (z) se llama una función algebraica de z.
EJEMPLO: w = z1/2
es una solución de la ecuación w2-z =0, por tanto es una función
algebraica de z.
Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica
como la anterior se llama una función trascendental.
Las funciones logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas y sus correspondientes inversas
son funciones trascendentales.
PUNTOS DE RAMIFICACIÓN Y RAMAS
Sea la función w = z1/2
, y supongamos que z dé una vuelta completa (en sentido positivo)
alrededor del origen empezando desde el punto A.
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Tenemos que z= reiθ
, con lo que , por tanto en A se tendrá . Pero
después de una vuelta completa . Es decir, no hemos obtenido
el mismo valor de w que al principio, sin embargo al dar una segunda vuelta se llega
a , es decir el mismo valor de w que al empezar.
Para describir la situación diremos que si estamos en una rama de la función
multivaluada z1/2
, mientras que si estamos en otra rama de la función.
Está claro que cada rama de la función es unívoca. Con el fin de mantener la función
unívoca, escogemos una barrera artificial tal como OB, donde B está en el infinito (aunque
podríamos usar cualquier línea que pase por el origen), la cual acordamos no cruzar. Esta
barrera se llama una rama y el punto O un punto de ramificación.
Hay que observar que una vuelta alrededor de cualquier otro punto distinto del origen no
conduce a valores diferentes, es decir, el origen es el único punto de ramificación.
EJERCICIO: Vamos a probar que f (z) =ln z tiene un punto de ramificación en Re z >0.
ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Al ser el conjunto C una ampliación de R, las operaciones definidas en C han de satisfacer
las mismas leyes formales que en R. En particular cuando los números pertenezcan a R, las
nuevas operaciones han de coincidir con las definidas anteriormente en R.
ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS (a,0)
La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la
suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes
imaginarias de los sumandos.
Como la adición es ley de composición interna en el conjunto R de los números reales, a+c
y b+d son números reales.
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Por consiguiente, la operación así definida es una aplicación CxC en C y por tanto una ley
de composición interna en C.
La suma de dos complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados
(a,b) y (a,-b). Se tiene:
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN C
Puesto que la suma de complejos equivale a dos sumas de números reales, sus propiedades
son las mismas que en R:
I. ASOCIATIVA:
Sea x=(a,b), y = (c,d), z = (e,f), se cumple:
(x+y) +z = [(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)
=(a+c+e,b+d+f)=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)] =x+(y+z)
II. CONMUTATIVA: x+y=y+x
Sea x=(a,b), y = (c,d) por la conmutatividad en R tenemos:
x+y=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)=y+x
III. ELEMENTO NEUTRO. El elemento neutro es (0,0), pues:
Al complejo (0,0) se le llama complejo cero, y es el elemento neutro de la adición.
IV. ELEMENTO SIMÉTRICO
A todo complejo (a,b) le corresponde un simétrico u opuesto de él, que es el número (-a,-b)
Estas cuatro propiedades de la adición nos prueban que (C,+) tienen estructura de :
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GRUPO CONMUTATIVO
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Como consecuencia de la estructura de grupo aditivo de los números complejos, la
operación inversa o resta está siempre definida
Se llama resta de dos complejos (a,b) y (c,d) al complejo que resulta de sumar al primero
(minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
EL GRUPO MULTIPLICATIVO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (a,0)
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El producto de dos números complejos es otro complejo que se obtiene escribiendo los
complejos dados en forma binómica y realizando la multiplicación algebraica, teniendo en
cuenta que i2 = -1. Es decir:
Como se ve, esta operación es una aplicación de CxC en C, luego es una ley de
composición interna definida en C.
Para dos números reales (a,0) y (b,0), se obtiene en particular:
Que coincide con la definición dada en R. El producto de dos números complejos
conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene:
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN C
Puesto que el producto de complejos se basa en el producto de reales, sus propiedades serán
las mismas que las del producto en R:
I. ASOCIATIVA:
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II. CONMUTATIVA:
III. ELEMENTO NEUTRO: El elemento neutro es (1,0), pues:
(a,b)(1,0)=(a1-b0,a0+b1)=(a,b)
(1,0)(a,b)=(1a-0b,1b+0a)=(a,b)
El número complejo (1,0) es el elemento unidad, elemento neutro de la
multiplicación.
IV. ELEMENTO SIMÉTRICO:
A todo número complejo (a,b) distinto del (0,0) le corresponde un simétrico o
inverswo de él (a´,b´) que cumple: (a,b).(a´,b´) = (1,0). Para hallar el inverso de
(a,b) formaremos el producto indicado e identificaremos resultados:
(a,b).(a´,b´) = (aa´-bb´,ab´+ba´)=(1,0)
Luego :
Y por tanto el inverso de (a,b) es:
V. DISTRIBUTIVA:
Las propiedades I, II, III y IV de la multiplicación nos prueban que ( C-{(0,0)} , . ) tiene
estructura de GRUPO CONMUTATIVO
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DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Por ser [C-{(0,0)}, . ] un grupo, todo elemento exceptuando el (0,0) tiene inverso y, por
tanto, se puede realizar siempre la operación inversa del producto.
Para dividir dos números complejos se escribe el cociente indicado en forma binómica, y
se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Hemos visto que:
1. [C,+] es un grupo aditivo conmutativo
2. [C-{(0,0)}, .] es un grupo multiplicativo conmutativo
3. La multiplicación es distributiva respecto de la suma
Como consecuencia, el conjunto [C,+, .] tiene estructura de CUERPO CONMUTATIVO
ISOMORFISMO ENTRE R y C*={(a,0)}
Representamos por C* al subconjunto de elementos de C cuya componente imaginaria es
nula. Existe una aplicación
a. Es aplicación biyectiva pues a cada elemento de C* corresponde un elemento de R
y cada elemento de R es imagen de un elemento de C*.
1.- Conserva la suma: la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes
2.- Conserva el producto: la imagen del producto es igual al producto de las
imágenes
Estas propiedades son las de un isomorfismo que conserva las leyes de adición y
multiplicación.
Por eso decimos que:
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1. Un número complejo que tiene la segunda componente nula es un número real [los
números (a,0) son reales]
2. Un número complejo que tiene nula su componente real es un imaginario puro [los
números (0,b)=bi]
INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO
CONJUNTOS DE PUNTOS
Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto
(bidimensional) de puntos, y cada punto es un elemento del conjunto. En el plano complejo
se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.
1. VECINDADES. Una vecindad de radio δ de un punto z0 es el conjunto de todos los
puntos z tales que |z -z0| < δ, donde δ es cualquier número real positivo dado. Una
vecindad reducida de radio δ de un punto z0 , es el conjunto de los puntos z tales que
0 < |z -z0| < δ.
2. PUNTOS LÍMITE. Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación
de un conjunto S si cada vecindad V reducida de z0 contiene puntos de S.
3. CONJUNTOS CERRADOS. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto
límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos de acumulación.
Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| < 1 es un conjunto cerrado.
4. CONJUNTOS ACOTADOS. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos
encontrar una constante M tal que |z|<M para cada punto z de S. Un conjunto
ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se
llama compacto.
5. Punto interior, exterior y frontera. Un punto z0 se llama un punto interior de un
conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos
a S. Si cada vecindad V de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos
no pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera. Si un punto no es interior
ni frontera de un conjunto S, entonces es un punto exterior de S.
6. CONJUNTOS ABIERTOS. Un conjunto abierto es un conjunto que consta
solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z|< 1
es un conjunto abierto.
7. CONJUNTOS CONEXOS. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de
puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de
recta (esto se llama un camino poligonal) contenidos es S.
8. REGIONES ABIERTAS O DOMINIOS. Un conjunto abierto conexo se llama
región abierta o dominio.
9. CLAUSURA DE UN CONJUNTO. Si a un conjunto S agregamos todos los puntos
de acumulación de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto
cerrado.
10. REGIONES CERRADAS. La clausura de una región abierta o dominio se llama
una región cerrada.
11. REGIONES. Si a una región abierta o dominio agregamos algunos, todos o
ninguno de sus puntos límite, obtenemos un conjunto llamado región. Si se agregan
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todos los puntos de acumulación está cerrada; si ninguno es agregado, la región está
abierta.
12. UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Un conjunto consiste en todos
los puntos pertenecientes al conjunto S1 o al conjunto S2 o a ambos conjuntos, se
llama la unión de S1 y S2 y se denota por S1 S2 o S1 S2. Un conjunto consistente en
todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S1 y S2, se llama la intersección
de S1 y S2 y se denota por S1S2 o S1∩ S2.
13. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. Un conjunto que consiste en todos los
puntos que no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por .
14. CONJUNTOS VACÍOS Y SUBCONJUNTOS. Es conveniente considerar un
conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío. Si dos conjuntos S1 y
S2 no tienen puntos en común (conjuntos disjuntos).
Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos
de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos
los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.
15. NUMERABILIDAD DE UN CONJUNTO. Si los miembros o elementos de un
conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números
naturales, el conjunto es llamado numerable; de lo contrario se llamará no
numerable.
EJEMPLO: Veamos las propiedades del conjunto de puntos
a. S es acotado puesto que para cada punto z de S, |z|<2 (por ejemplo), es decir, todos
los puntos de S están dentro de un círculo de radio 2 con centro en el origen.
b. Como toda vecindad reducida de z> 0 contiene puntos de S, un punto de
acumulación es z
c. Obsérvese que como S es acotado e infinito el teorema de Bolzano-Weierstrass
predice por lo menos un punto de acumulación.
d. S no es cerrado puesto que el punto de acumulación z> 0 no pertenece a S.
e. Cada vecindad reducida de radio δ de un punto i/n
con centro en i/n) contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a
S. En este caso cada punto de S, así como el punto de acumulación z >0 es un punto
frontera. S no tiene puntos interiores.
f. S no tiene puntos interiores. Por tanto, no puede ser abierto. En este caso S no es
abierto ni cerrado.
g. Si unimos dos puntos cualesquiera de S por un camino poligonal, hay puntos en este
camino que no pertenecen a S. En este caso, S no es conexo.
h. Puesto que S no es un conjunto abierto conexo, no es una región abierta o dominio.
i. La clausura de S es el conjunto
j. El complemento de S es el conjunto de todos los puntos no pertenecientes a S, es
decir, todos los puntos z =i/n, para cualquier valor natural de n.
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA IV
k. Existe una correspondencia punto a punto entre los elementos de S y los números
naturales:
Por tanto, S es numerable.
l. S es acotado pero no cerrado. Por esto, no es compacto.
m. La clausura de S es acotado y cerrado, y así es compacto.
TEOREMAS SOBRE CONJUNTOS DE PUNTOS
1. TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS. Todo conjunto infinito acotado tiene
por lo menos un punto de acumulación.
2. TEOREMA DE HEINE-BOREL. Sea S un conjunto compacto tal que cada punto
está contenido en uno o más de los conjuntos abiertos A1, A2,... (los cuales forman
un recubrimiento de S). Entonces existe un número finito de los conjuntos A1, A2,...
que cubren a S.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición.
McGraw-Hill, México.
Edminister, Joseph A. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios
Schaum, McGraw-Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
Mendiola, Esteban. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo
VII
Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”.
Ediciones CO-BO. Caracas.
INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha