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El objetivo es que puedas interpretar el concepto de Límite de una función en diferentes contextos, a determinar si existe o no su límite y a calcular límites de funciones algebraicas
Dra. MARTHA ANGÉLICA ELIZONDO SÁMANO 1
Bienvenidos a la clase de Calculo Integral
UNIDAD I PRELIMINARES
TEMA 6
Analiza el siguiente caso
Si un péndulo se mueve desde su posición de equilibrio y se suelta, oscilará de un lado a otro. Debido a la fuerza de fricción, cada oscilación será más corta que la anterior. Supón que la longitud de la primera
oscilación es de 1
2 de una unidad y
cada oscilación mide la mitad de la anterior.
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La longitud de la n-ésima oscilación
será. 𝑙𝑛 =1
2𝑛
1
2,
1
22 ,1
22 ,1
24 ,1
25 ∙∙∙,1
2𝑛
1
2,1
4,1
8,
1
16,
1
32,∙∙∙,
1
2𝑛
Calculando las longitudes de las primeras 5 oscilaciones
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Si algunos términos se grafican en una recta numérica tendremos:
ENTONCES
Cuando n se incrementa sin límite, los puntos que representan la longitud de la oscilación se acercan más y más a 0(cero), pero siempre permanecen mayores que
cero. Entonces el límite de 1
2𝑛 ,
cuando n se incrementa sin límite es cero.
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Pero ¿Qué es un Límite?
Para darnos una idea Decimos que el número L es el
límite de F(x) cuando x tiende a a
siempre que podamos hacer que
F(x) se acerque a L tanto como
queramos, escogiendo simplemente
x suficientemente cerca, aunque no
igual al número a.
( ) ( ) a -0.5 a a +0.6
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Siempre que hablamos del límite de una
función, existe una palabra clave en dicha
frase, y me refiero a la palabra función, lo
que implica es que tenemos que tener claro
los conceptos básicos de una función:
Sabemos que en la notación matemática de
la función, donde están involucradas cuando
menos dos variables, que normalmente son
la variable “x” y la variable “y”
Entonces
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Y también a parte de su expresión algebraica, también se pueden
expresar de manera numérica, representadas en la tabla de datos, en
donde una columna corresponde el valor de «x» y la otra columna
corresponde al valor de la variable «y»
Y como se llenan los datos Si tenemos la siguiente función: 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2 + 1
Le damos un valor a “x” y para conocer el valor de “y” sustituimos el valor de x en la función y obtenemos su valor Así formamos la tabla
X y Punt
o
1 1 (1, 1)
2 4 (2, 4)
3 9 (3, 9)
Así podemos seguirla dando valores a x Obteniendo los valores de y seguir llenando la tabla
Cuando x = 1, y = 1 Cuando x = 2, y = 4
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Con estos valores que se encuentran en pares ordenados, los podemos trasladar a un plano cartesiano, donde tenemos el eje x y el eje y , localizando estos puntos, podemos tener la gráfica de la función.
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Para explicar el concepto del límite nos vamos a enfocar solo en el eje x
Y un acercamiento
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Si proporcionamos el número más cercano a uno, sin que sea el uno
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podríamos tener que alguien dijera que es cero, es el más cercano a uno, si hablamos de números enteros, pero si hablamos de decimales podría ser el 0.9 y podríamos tener una cantidad indeterminadas de 9 y estos valores menores que uno serían los más cercanos a uno
Así tendríamos también los números mayores que uno más cercanos, diríamos que el 2 es el más cercano número entero, 1.1, 1.01 y podemos tener una cantidad en esta posición indeterminada de ceros
0 2 0.9 1.01 0.99 1.001 0.999 1.0001 0.9999 1.0001 0.9 1.0
Son valores de x que tienden a 1 sin llegar a uno
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Ahora Involucrando al eje y. Retomando la función
anterior que graficamos. Viendo solamente los
valores de 0 a 2.
Son valores de x que tienden a 1 sin llegar a uno Y que sobre la línea de la grafica valores que tienden al punto (1, 1)
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Si nos fijamos en lo dicho anteriormente Se dice generalizando que: Si 𝑥 → 𝑎 con valores siempre superiores a a, tiende a a por la derecha. Si 𝑥 → 𝑎 con valores siempre menores a a, tiende a a por la izquierda.
La tendencia por la derecha se escribe; 𝑥 → 𝑎+ .
La tendencia por la izquierda se escribe; 𝑥 → 𝑎−.
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Mediante el uso de los límites
conocemos el comportamiento de
una función en las cercanías de un
valor, resuelven muchos de los
problemas de ciencias, negocios o
economía, etc.
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¿Pero para que nos sirven, los límites,
Usaré esto alguna vez?
Cundo hablamos del límite de una función existe una nomenclatura específica que es
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿 Usando la función anterior
𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑥2 = 1 Evaluar un límite de manera algebraica analítica, que es tan sencillo como sustituir hacia donde tiende x en la función y lo hacemos de la siguiente manera
𝑙𝑖𝑚𝑥→1 12 = 1
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Si se tiene una función f y los números a y L se dice que:
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿
Si para todo ∈>0 existe un número δ>0 Si para todo 𝑓 𝑥 − 𝐿 <∈ siempre que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 Es decir que el límite de f(x) cuando 𝑥 → 𝑎 es igual a L Si para todo ∈>0 existe una δ>0, tal que 0< 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 >∈
DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE
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¿Cómo se hace el calculo de un límite?
Para calcular un límite es necesario conocer algunas reglas básicas
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QUE A CONTINUACIÓN SE MUESTRAN
Límite de la función constante
Para cualquier constante c y cualquier número real a
lim𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
Nota La constante c no depende de x Por lo tanto permanece invariable cuando 𝑥 → 𝑎
Ejemplo
lim𝑥∗→𝑎
8 = 8
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Límite de la función f(x)=x
Para cualquier número real a
lim𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
Ejemplo
lim𝑥→5
𝑥 = 5 Nota: Cuando 𝑥 → 𝑎
x se acerca a a
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Propiedades de los Límite
Teorema Límites de operaciones con funciones
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Ejemplos
Calcular
lim𝑥→3
(𝑥 + 1) Tenemos: f(x)=x+1 f(3)=4
lim𝑥→3
𝑓 𝑥 = 4
lim𝑥→3
𝑥 + 1 = 4
Calcular
lim𝑥→2
(𝑥2 + 4𝑥)
Tenemos:
𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥)
𝑓 2 = 22 + 4 2 = 12
lim𝑥→2
𝑓 𝑥 = 12
lim𝑥→2
𝑥2 + 4𝑥 = 12
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Ejemplos
Calcular
lim𝑥→5
𝑥 + 3 = lim𝑥→5
𝑥 + lim𝑥→5
3 = 5 + 3 = 8
Calcular
lim𝑥→2
5𝑥3 = lim𝑥→2
5 × lim𝑥→2
𝑥 × lim𝑥→2
𝑥 × lim𝑥→2
𝑥 = 5 × 2 × 2 × 2 = 40
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Ejemplos
Calcular
lim𝑥→2
4𝑥 + 7
2𝑥 + 1=
lim𝑥→2
(4𝑥 + 7)
lim𝑥→2
(2𝑥 + 1)=
lim𝑥→2
4𝑥 + lim𝑥→2
7
lim𝑥→2
2𝑥 + lim𝑥→2
1=
4 × 2 + 7
2 × 2 + 1=
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5= 3
Calcula
lim𝑥→3
2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 4=
lim𝑥→3
(2𝑥 + 5)
lim𝑥→3
(𝑥2 + 2𝑥 + 4)=
2 3 + 5
32 + 2 3 + 4=
6 + 5
9 + 6 + 4=
11
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Sean 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑔 𝑥 =2𝑥2−7𝑥
7𝑥−5
Calcular
lim𝑥→−1
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = lim𝑥→−1
3𝑥2 + 2𝑥 + 1 −2𝑥2 − 7𝑥
7𝑥 − 5
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Ejemplo
Ejercicios
Calcula los siguientes límites
lim𝑥→4
8.
lim𝑥→1
𝜋 .
lim𝑥→2
5𝑥.
lim𝑥→−3
7𝑥 .
lim𝑥→−1
4𝑥2 .
lim𝑥→3
𝑥2 + 3
4.
lim𝑥→3
𝑥 − 4 .
lim𝑥→4
2𝑥 + 7
𝑥 + 1.
lim𝑥→2
4𝑥3 − 2
2𝑥 + 1.
lim𝑥→0
5𝑥4 − 6
𝑥2 + 2.
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Ejercicios
Calcula los siguientes límites
lim𝑥→1
5𝑥2 − 4𝑥 + 6 .
lim𝑥→−1
6𝑥3 − 4𝑥2 + 1 .
lim𝑥→3
7𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 9 .
lim𝑥→𝑎
𝑥2 − 𝑎𝑥 .
lim𝑥→𝑎
𝑥2 − 7𝑥𝑎 + 4 .
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Entrega de las practicas Y de los ejercicios De 7:00 a 12:00 AM el día 13 de octubre del 2017
Para hacerlo necesitas hacerlos en tu cuaderno Luego escanearlo para ponerlos en un archivo y enviarlo por el correo
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En el correo el día 14 de octubre del 2017 Se les enviará, la solución de los ejercicio y de las practicas.
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BIBLIOGRAFÍA
Vargas A. P. 2013. Propuesta para la enseñanza y aprendizaje de las
inecuaciones lineales. Sede de Occidente, Universidad de Costa Rica. San
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Smith R.T:, Minton R.B.2005. Calculo Diferencial e Integral. Editorial:
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5. México D. F.
Flores M. M. A., Fautsch T.E. L. 1999. Calculo Básico. Editorial Progreso
S.A. de C.V. ISNB:968-436-201-3 México D. F.
Araya J.C., Lardner R. W..2002. Editorial: Pearson Educación. ISNB: 968-
444-437-0 México D. F.
Vazquez S. P., Flores B.G., Sánchez G. S: 2000. Matemáticas IV. Editorial;
Compañía Editorial Nueva Imagen, S. A. de C.V. ISNB: 970-638-083-
3.México D.F.