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U N I D A D I I . E L C A M P O O R D E N A D O D E L O S N Ú M E R O S R E A L E S

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos con características definidas, a dichos objetos se les llama elementos del conjunto. Matemáticamente se representan con una letra mayúscula.

REPRESENTACIONES

Los conjuntos se pueden representar a través de un diagrama o entre llaves {J}. Veremos a detalle cada tipo de representación.

Tabla 1 Representaciones de un conjunto.

Representación con diagramas

Utilizamos diagramas de Venn-Euler para representar a los conjuntos y su relación entre ellos. Muchas veces el diagrama se nombra solamente como diagrama de Venn, pero hay una diferencia entre un diagrama de Venn y un diagrama de Euler:

Figura 1 El diagrama de Venn muestra todas las

posibles relaciones entre los conjuntos, incluso si no las

hay.

Figura 2 El diagrama de

Euler muestra de manera separada los conjuntos que

no tienen elementos en común.

En los diagramas de Venn-Euler, el conjunto mayor, llamado conjunto universo se representa con un rectángulo y los demás conjuntos se representan con circunferencias entrelazadas dentro de él.

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Representación por extensión

La representación por extensión o en forma extensa, consiste en enlistar todos los elementos contenidos en el conjunto. Los elementos se colocan entre llaves, separados por comas, observa los ejemplos.

• Si el conjunto A contiene el número en cada una de las caras de un dado:

𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Si el conjunto B contiene las diferentes figuras en la baraja inglesa:

𝐵 = {𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑡𝑟é𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠}

• Si el conjunto C contiene a los números enteros positivos mayores o iguales a 3 y menores o iguales a 10. 𝐶 = {3,4,5,6,7,8,9,10}

Representación por comprensión

Los conjuntos pueden contener una gran cantidad de elementos, incluso pueden contener una cantidad infinita de elementos, por lo que no siempre es posible enlistarlos todos en su representación por extensión. Así que resulta más útil resumir el contenido con reglas, que pueden ser matemáticas o con texto breve, observa los ejemplos.

• Si el conjunto A contiene a todos los números enteros mayores a 5.

𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 > 5}

Se lee: El conjunto 𝐴 contiene a todas las 𝑥 que pertenecen a los números enteros, tal que 𝑥 es mayor que 5. ¿Qué números cumplen la condición? El 6, 10, 34, 86, 10000, 156785… una cantidad infinita de números.

• Si el conjunto B contiene a todos los números pares positivos 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍!|𝑥𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟}

Se lee: El conjunto 𝐵 contiene a todas las 𝑥 que pertenecen a los números enteros positivos, tal que 𝑥 es par.

SUBCONJUNTO

Dado un conjunto S, se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S.

Ejemplo:

Figura 3 Ejemplo de subconjunto.

En la figura se observa un conjunto S de polígonos, con un subconjunto A que corresponde únicamente a los polígonos que son regulares.

Como todos los polígonos regulares, pertenecen al conjunto de los polígonos, entonces el conjunto A es subconjunto del conjunto S, eso se representa matemáticamente como:

𝐴 ⊂ 𝑆

Se lee: A es subconjunto de S

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CONJUNTO UNIVERSO

Si varios conjuntos A, B, C… son subconjuntos del mismo conjunto 𝑈, entonces ese conjunto es llamado conjunto universo de los conjuntos A, B, C… Por ejemplo, como las vocales y las consonantes son subconjuntos del alfabeto, podemos decir que el alfabeto es el conjunto universo de las vocales y consonantes.

En un diagrama de Venn, el conjunto universo se representa por un rectángulo con una 𝑈 mayúscula que contiene a los demás conjuntos.

Figura 4 Representación del conjunto universo 𝑈 con subconjuntos A y B en un diagrama de Venn.

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que hay en él, se representa con 𝑛(), por ejemplo:

𝑛(𝐴) = 6 𝑛(𝐵) = 7 𝑛(𝐶) = 4

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Ejemplo 1. Conjuntos y subconjuntos. I. Representa de manera extensa los conjuntos e indica su cardinalidad.

#1. Los colores primarios. 𝐴 = {𝑟𝑜𝑗𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑎𝑧𝑢𝑙}

𝑛(𝐴) = 3

#2. Los números enteros positivos mayores o iguales a 10 y menores o iguales a 14. 𝐵 = {10, 11, 12, 13, 14}

𝑛(𝐵) = 5 #3. Los números pares mayores a 5 y menores a 17.

𝐶 = {6, 8, 10, 12, 14, 16} 𝑛(𝐶) = 6

II. Dados los conjuntos 𝐴 = {0,2,4,6,8,10,12}𝑦𝐵 = {3,6,9,12}. Indica si el elemento mostrado pertenece ∈ o no

pertenece ∉ al conjunto indicado.

#4. 2 ∈ 𝐴 #5. 2 ∉ 𝐵 #6. 6 ∈ 𝐴 #7. 5 ∉ 𝐵 #8. 7 ∉ 𝐴 #9. 10 ∉B

III. Dados los conjuntos 𝑈 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 = {2,4,6,8,10}𝑦𝐶 = {4,8} . Indica si el

conjunto de la izquierda es subonjunto ⊂ o no es subconjunto ⊄ del conjunto de la derecha.

#10. 𝐴 ⊂ 𝑈 #11. 𝐵 ⊂ 𝑈 #12. 𝐴 ⊄ 𝐵 #13. 𝐵 ⊄ 𝐴 #14. 𝐶 ⊂ 𝐵 #15. 𝐶 ⊄ 𝐴

Puedes ver la explicación del ejemplo en el video:

https://www.instagram.com/tv/CDcz2AHDqTn/

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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

Si unimos un conjunto A con un conjunto B, entonces dicha unión contiene todos los elementos de ambos conjuntos. Matemáticamente se representa como 𝐴 ∪ 𝐵 y en un diagrama de Venn, se representa sombreando los conjuntos que se están uniendo.

Figura 5 Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos.

Ejemplo 2. Unión de dos conjuntos.

Representa en forma extensa la unión de los conjuntos 𝐴 = {3,6,9} y 𝐵 = {2,4,6,8}.

Solución

Como la unión de los conjuntos debe contener tanto a los elementos de A como a los elementos de B, debemos escribirlos todos, sin repetir:

𝐴 = {2,3,4,6,8,9}

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La intersección de los conjuntos A y B contiene únicamente los elementos en común de A y de B y se denota como 𝐴 ∩ 𝐵. En un diagrama de Venn, esto se representa sombreando únicamente el área solapada de los conjuntos.

Figura 6 Diagrama de Venn de la intersección de dos conjuntos.

Ejemplo 3. Intersección de dos conjuntos.

Representa en forma extensa la intersección de los conjuntos 𝐴 = {𝑀, 𝐴, 𝑅, 𝐼, 𝑁} y B= {𝐵, 𝑅, 𝐸, 𝑁, 𝐷, 𝐴}.

Solución

La intersección de los conjuntos debe contener únicamente los elementos de A que también estén en B.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝐴, 𝑅, 𝑁}

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COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

El complemento de un conjunto A contiene a todos los elementos del conjunto universo, excepto los elementos contenidos en A. El complemento del conjunto A, se denota como 𝐴" y en un diagrama de Venn se representa sombreando todo excepto el círculo que representa a A.

Figura 7 Diagrama de Venn del complemento del conjunto A.

Ejemplo 4. Complemento de un conjunto.

Dado el conjunto Universo 𝑈 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y un conjunto A= {3,6,9}, determina en forma extensa el complemento del conjunto A.

Solución

El complemento del conjunto A, son todos los elementos que están en el universo U, pero no están en A.

𝐴" = {0,1,2,4,5,7,8}

Mira estos videos para complementar tu aprendizaje:

"Conjuntos: intersección, unión, complemento | Ejemplo 1" del canal "WissenSync"

https://www.youtube.com/watch?v=TkUN8_2Ns4M

"🚀OPERACIONES entre CONJUNTOS, Unión, Intersección, Diferencia y Complemento😱. Nivel Básico" del canal "1000ton Cesar"

https://www.youtube.com/watch?v=3kOSEQeGe3o

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos con los que contamos objetos, sin incluir al cero: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … ¡no podríamos escribirlos todos, son infinitos!, así que para representarlos a todos, utilizamos el símbolo: ℕ.

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son la ampliación de los naturales, ahora se cuentan los números negativos y el cero: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…, también son infinitos 🤓, su símbolo es: ℤ.

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son números con cifras decimales decimales finitas o con cifras decimales perioódicas, pueden tener signo positivo o negativo, y es posible escribirlos de la forma #

$ (o sea, como una fracción) donde 𝑝 y 𝑞 son

números enteros. Algunos ejemplos de números racionales son: −3.0, −2. 36`̀`̀ , − %&, '(, 8.12. El conjunto de los números

racionales se representa con el símbolo: ℚ.

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números irracionales tienen cifras decimales infinitas no periódicas. Por ejemplo: -8.45689332731…, los puntos suspensivos nos indican que el número continúa sin secuencia alguna. Las raíces cuadradas de números primos también son irracionales, por eso lucen mejor dentro del radical √2, √3, √7… . Algunos números irracionales importantes en la ciencia y en la naturaleza tienen sus propios símbolos, como 𝜋 = 3.1415926535…, la constante de euler 𝑒 = 2.71828182845… o la proporción áurea 𝜑 = 1.6180339887…. El símbolo de los números irracionales es: 𝕀.

NÚMEROS REALES

Son todos los números que puedes encontrar en la recta numérica, los números que vemos por todas partes. Se representan con ℝ.

NÚMEROS IMAGINARIOS

Los números imaginarios surgieron porque los matemáticos no resistían que algunas ecuaciones de grado superior a 1 no tuvieran solución. Son todas las raíces ciuadradas de números negativos: √−3,√−16,√−36, … Estos números se pueden trabajar como si fueran reales si aplicamos la siguiente sustitución 𝑖 = √−1 , entonces, los ejemplos anteriores se escribirían como √3𝑖, √16𝑖, √36𝑖 (quitamos el signo y ponemos la 𝑖). Podemos representar al conjunto de los números imaginarios con la 𝑖.

NÚMEROS COMPLEJOS

Por fin llegamos: el conjunto universo. Los números complejos se forman por una parte real y por una parte imaginaria. Todos los números son complejos, aunque algunas veces la parte imaginaria es cero y otras veces es la parte real la que vale cero.

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A continuación se representan los conjuntos numéricos en un diagrama de Venn-Euler:

Figura 8 Represetación de los conjuntos numéricos en un diagrama de Venn-Euler.

RELACIÓN DE ORDEN Los números reales pueden relacionarse entre sí como sigue: • 𝑎 > 𝑏, se lee: a es mayor que b. • 𝑎 < 𝑏, se lee: a es menor que b. • 𝑎 ≥ 𝑏, se lee: a es mayor o igual que b. • 𝑎 ≤ 𝑏, se lee: a es menor o igual que b. • 𝑎 = 𝑏, se lee: a es igual a b. Para saber cómo se relacionan los números, es necesario ubicarlos mentalmente en la recta numérica. Si comparamos dos números, el menor siempre estará a la izquierda del mayor. Mira el siguiente video: "Orden en R y signos de relación – Educatina" del canal "Educatina" https://www.youtube.com/watch?v=SkBQO_h_YOQ

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Ejemplo 5. Conjuntos numéricos en forma extensa. I. Se proporcionan los conjuntos 𝐴 y 𝐵 en su notación por comprensión. Obtener los conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵 y

𝐴 ∩ 𝐵, en forma extensa.

𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ|2 ≤ 𝑥 ≤ 6} 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ|3 ≤ 𝑥 ≤ 11}

Solución El conjunto 𝐴 se lee: 𝐴 contiene a todas las 𝑥 que pertenecen a los números enteros, talque 𝑥 es mayor o igual a 2 y es menor o igual a 6. Luego:

𝐴 = {2,3,4,5,6} Se incluyen los extremos 2 y 6, porque los signos de relación dicen que 𝑥 puede ser igual a ellos. El conjunto 𝐵 se lee: 𝐵 contiene a todas las 𝑥 que pertenecen a los números enteros, talque 𝑥 es mayor o igual a 3 y es menor o igual a 11. Luego:

𝐵 = {3,4,5,6,7,8,9,10,11} También se incluyen los extremos 3 y 11. La unión de los conjuntos 𝐴 y 𝐵 contiene a los elementos de 𝐴 y a los elementos de 𝐵 , sin repetir elementos. Entonces:

𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} La intersección de los conjuntos A y B contiene únicamente a los elementos comunes de 𝐴 y de 𝐵, observamos que ambos conjuntos contienen al 3,4,5 y 6, por lo tanto:

𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4,5,6} II. Dados los conjuntos U, A y B en su notación por comprensión. Obtener los conjuntos 𝑈, 𝐴, 𝐵, 𝐴" y 𝐵", en forma

extensa.

𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑁|𝑥 < 10} 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|𝑥 ≤ 5}

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁|3 < 𝑥 < 8} Solución El conjunto universo son los números naturales menores a 10, entonces:

𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Observa que no se incluye el extremo 10, esto es porque el signo se lee "menor que diez" más no es el 10. El conjunto A son los números naturales menores a 5:

𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} Aquí sí se incluye el 5 porque el signo se lee "menor o igual que el 5", o sea, sí puede ser el 5. El conjunto B son los números naturales entre el 3 y el 8, pero sin contar los extremos, porque los signos de relación no implican una posible igualdad. Luego:

𝐵 = {4, 5, 6, 7} Para obtener el complemento de 𝐴, debemos observar el conjunto universo. ¿Qué elementos están en el universo y NO están en 𝐴?

𝐴" = {6, 7, 8, 9} Análogamente para B, ¿qué elementos están en el universo y NO están en 𝐵?

𝐵" = {1, 2, 3, 8, 9}

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Actividad 2. Conjuntos numéricos. I. Relaciona cada símbolo o notación con su significado, escribiendo el número que le corresponde sobre la línea.

1) 𝑛(𝐴) _____ Pertenece. 2) ∈ _____ No pertenece. 3) ∉ _____ a es menor que b. 4) | _____ a es mayor o igual que b. 5) 𝑎 < 𝑏 _____ Conjunto de los números enteros. 6) 𝑎 > 𝑏 _____ Conjunto de los números irracionales. 7) 𝑎 ≥ 𝑏 _____ a es mayor que b. 8) 𝑎 ≤ 𝑏 _____ Subconjunto. 9) ⊂ _____ Conjunto de los números naturales. 10) ⊄ _____ No es subjonjunto. 11) ℝ _____ Conjunto de los números reales. 12) ℤ _____Tal que. 13) ℕ _____ a es menor o igual que b. 14) 𝕀 _____ Conjunto de los números racionales. 15) ℚ _____ Cardinalidad del conjunto A.

II. Expresa lo que se pide en forma extensa. Ordena de menor a mayor.

𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑍| − 15 < 𝑥 ≤ −5} 𝐴 = {𝑥 ∈ U|𝑥 < −8}

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥𝑒𝑠múltiplode3}

#1. 𝑈 = #2. 𝐴 = #3. 𝐵 = #4. 𝐴 ∪ 𝐵 = #5. 𝐴 ∩ 𝐵 =

#6. 𝐴" = #7. 𝐵" = #8. (𝐴 ∪ 𝐵)" = #9. (𝐴 ∩ 𝐵)" =

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III. Expresa lo que se pide en forma extensa. Ordena de menor a mayor.

𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑍| − 3 < 𝑥 < 8} 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|𝑥 < 8} 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟}

𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥𝑒𝑠𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜}

#10. 𝑈 = #11. 𝐴 = #12. 𝐵 = #13. 𝐶 =

#14. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = #15. (𝐵 ∪ 𝐶)" = #16. (𝐴 ∩ 𝐶)" =

IV. Observa los conjuntos dados, luego, coloca los símbolos ∈, ∉,⊆,⊈, según se relacionen los elementos y conjuntos

dados.

𝐴 = {0,3,6,9}

𝐵 = {1,3,5,7,9,11}

𝐶 = {3,5,7,11}

𝐷 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

𝐸 = {5,6,7,8,9}

#17. 𝐸_______𝐷 #18. 𝐶_______𝐵 #19. 4______𝐴 #20. 𝐴______𝐷 #21. 7______𝐵

#22. 0______𝐸 #23. 𝐵_______𝐷 #24. 9_______𝐶 #25. 6______𝐷 #26. 𝐶______𝐸

V. Observa las afirmaciones, indica con una V si es verdadera o con una F si es falsa.