Circuitos de corriente alterna Análisis senoidal en estado ...
Unidad III Regimen Perm Senoidal
description
Transcript of Unidad III Regimen Perm Senoidal
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE CIRCUITOS Y MEDICIONES
CCAAPPIITTUULLOO IIVV
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL
(NOTAS DE CLASES DICTADAS POR EL PROF. DAVID MATHEUS)
Realizado por: Tutor: Br. Angel Figueredo Prof. David Matheus
Aplicación de las señales senoidales a los elementos circuitales pasivos:
1) Resistencia:
i(t) V(t)ref
Se puede observar que i(t) y V(t) coinciden en cuanto a su ubicación en el tiempo, cuando esto ocurre dice que: En las Resistencias, el voltaje y la corriente están en FASE.
Diagrama de vectores rotatorios
( ) ( )ωtVmsent =V
( ) ( ) ( )R
ωtVmsenR
tt ==V
i ( ) ( ) ( )R
ωtVmsenR
tt ==V
i
2) Capacitor:
0
Vm
CVm
V(t) , i(t)
t
En un Condensador el voltaje esta ATRASADA 90° con respecto a la corriente.
Diagrama de vectores rotatorios
i(t)
V(t)ref
( ) ( )ωtVmsent =V
( ) ( ) ( )( )dt
ωtVmsendCdt
tdCt ==V
i
( ) ( )ωtVmcosCt ω=i
( ) ( )°+ω= 90ωtVmsenCti
( ) ( )°+= 90ωtsen
Cω1mVti
Reactancia Capacitiva (Ω)
Cω1XC =
3) Inductancia:
En la inductancia la corriente esta ATRASADA 90° con respecto al voltaje.
Diagrama de vectores rotatorios
( ) ( )ωtVmsent =V
( ) ( ) ( )dttL1tt
t
t0
0
∫+= Vii
( ) ( ) ( )tcosL
VmdttVmsenL
t ωω
−=ω= ∫1
i
( ) ( )°+−= 90tωsenLω
Vmti
( ) ( )°−= 90ωtsenLωmVti
Reactancia Inductiva (Ω)
LXL ω=
1) Circuito RL en serie:
+V(t)
-
R
L
VR(t)
VL(t)
i(t)
+
+
-
-
L.V.K. ( ) ( ) ( )dt
tdLtRt iiV +⋅=
( ) ( ) ( )L
tVmsentLR
dttd ω
=+ ii
El circuito está en régimen permanente. La respuesta transitoria ya se extinguió ( ) ( )tt pii = Entonces determinamos ( )ti por el método de los coeficientes indeterminados:
( ) ( ) ( )tcosBtsenAt ω+ω=i
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsenL
VmtcosBLRtAsen
LRtsenBtcosA ω=ω+ω+ωω−ωω
( ) ( ) ( )tsenL
VmtcosBLRAtsenBA
LR
ω=ω⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +ω+ω⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+ω
=ω−
0BLRA
LVmBA
LR
Resolviendo el sistema de ecuación, queda:
( )22 LωRRVmA+
= ( )22 LωR
LVmωB+
−=
( ) ( )ωtVmsent =V
( ) ?t =i
( )( )
( ) ( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
+= 4444 34444 21 tωcosLωtωRsen
LωRVmt 22
i
( )( )
( )444444 8444444 76
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
+= −
RLωtgtωsenLωR
LωRVmt 122
22i
( )( ) ⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+= −
43421φ
RLωtgtωsen
LωRVmt 1
22i
Diagrama de vectores rotatorios
VL(t)
V(t)ref
VR(t)
i(t)
L.V.K: ( ) ( ) ( )ttt LR VVV +=
( ) ( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+==
RLωtg-tωsen
LωR
RVmt.Rt 1-22R iV
( ) ( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+== 90
RLωtg-tωsen
LωR
LVmωdt
tdLt 1-22L
iV
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=RCω1tgtωsen
Cω1R
Vmt 1-2
2
i
2) Circuito RC en serie:
+V(t)
-
R
C
VR(t)
VC(t)
i(t)
+
+
-
-
0
Vm
V(t) , i(t)
t
Im
Diagrama de vectores rotatorios
VR(t)
V(t)ref
VC(t)
i(t)
L.V.K: ( ) ( ) ( )t+t=t CR VVV
( ) ( )ωtVmsent =V( ) ?t =i
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
==RCω1tgtωsen
Cω1R
RVmt.Rt 1-2
2R iV
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
== 90-RCω1tgtωsen
Cω1R
VmCω
1
dttdLt 1-
22
Li
V
3) Circuito RLC en serie:
+
-
R
L
C
V(t) VL(t)+
-
VR(t)+ -
VC(t)+-
i(t)
Sea Cω
1XC = y Lω=XL
• Si XC > XL ( )ti está adelantada respecto de ( )tV .
(El circuito tiene predominio capacitivo)
• Si XC < XL ( )ti está atrasada respecto de ( )tV .
(El circuito tiene predominio inductivo)
• Si XC = XL ( )ti y ( )tV están en fase.
(Condición de resonancia o el circuito está en resonancia). La condición de resonancia en un circuito, implica que los efectos de las inductancias se contraponen a los efectos de las capacidades produciendo que la fuente del circuito solo vea un circuito resistivo.
( ) ( )ωtVmsen=tV( ) ?t =i
( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=R
LωCω1
tgtωsen
LωCω1R
Vmt 1-2
2
i
Transformación de las ecuaciones integro-diferenciales (Dominio del tiempo) a ecuaciones complejas (Dominio de la frecuencia).
Se tiene señales eléctricas tal que:
( ) ( )ϕ+=
VωtVmcostV
Recordemos la Fórmula de Euler:
jAsenxAcosxAejx +=
Si se tiene una señal eléctrica tal que:
( ) ( )e VωtjVmt ϕ=′ +V
( ) ( ) ( )ϕϕ +++=′VV
ωtjVmsenωtVmcostV
( ) ( ) tt VV ′= R
( ) ( )2
Vm2
t eee tωjωtj
tωjV
−+
−
⋅=⋅′V
e VjVef ϕ⋅=V
Fasor: Es la representación de una señal senoidal en el dominio de la frecuencia.
e VjVef ϕ⋅=V
vv senjVefVefV ϕϕ ⋅+⋅= cos VefV = ∠ϕV
e VjVef ϕ⋅=V Forma Exponencial
vv senjVefVefV ϕϕ ⋅+⋅= cos Forma Binómica o Cartesiana
VefV = ∠ϕV Forma Polar
ϕv - ϕI IefVef
=IV
ϕv - ϕI ImVm
2Im2Vm
===IVZ
ϕI - ϕV VmIm1
==Z
Y
Dado un circuito eléctrico tal que: Sea ( ) ( )ϕ+=
VωtVmsentV
e ( ) ( )ϕ+=I
ωtImsenti
Si lo llevamos al dominio de la frecuencia:
Impedancia ( Z ): Es el índice de oposición de los elementos circuitales pasivo al paso de una corriente senoidal. Su unidad es: Z [ ]Ω ohm.
• La impedancia no es un fasor puesto que no está representado a ninguna señal eléctrica. • El reciproco de la impedancia se denomina Admitancia ( Y ).
Circuito en el dominio
de la frecuencia
+V-
ϕv - ϕI 0° RRVm
Vm==
ImVm
=IV
IVZR ==
ϕv - ϕI ϕv – (ϕv – 90°) LVm
Vmω
=ImVm
=IV
IVZL == 90° 90° Lω= Ljω=
ϕv - ϕI ϕv – (ϕv + 90°) CVmVm
ω=Im
Vm=
I
V
IV
ZC == −90° −90°
Cj
ω−=
Cω=
1
Representación de los elementos circuitales pasivos en el dominio de la frecuencia:
1) Resistencia: 2) Inductancia:
3) Capacitor:
ZR R
R
+ -
XCjZC C1
Comportamiento de la Impedancia/Admitancia de los elementos circuitales pasivos en función de la frecuencia (ω). 1) Resistencia:
ZR = R ; YR GR1
==
2) Inductancia:
ZL = jXL = XL ; YL ==Xj1
L
-jBL = BL
90° −90°
3) Capacitor: ZC = -jXC = XC ; YC = jωC = jBC = BC
4) R y C en serie:
Triángulo de impedancias ó diagrama de impedancia
−90° 90°
ZC
C
ZR
RZeq
[ ]( )ΩωC1jRZZZ CReq −=+=
Resolución de circuitos usando diagrama fasorial
Esta técnica permite resolver gráficamente los ejercicios aplicando geometría y
trigonometría sobre la base de las propiedades de los elementos circuitales y las leyes y métodos de solución. 1) Circuito RL en serie:
+V(t)
-
i(t) R
L VωtVmsentV
Llevamos al circuito al dominio de la frecuencia:
Donde 2
VV mef =
Llevamos al dominio del tiempo:
Diagrama Fasorial del circuito
L.V.K: V = VR + VL
;
V=V ϕv Vef= ϕv
ZZV
ZVI
LReq +==
( )22
ef
LωRV+
=I ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω
−−ϕ R
LtgV
1
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
+= −
RLωtgφtωsen
LωRV2t 1
V22
efi
VR
VVL
I
ZV
ZV
L
L
R
RI ==2
L
2
R VVV +=
2) Circuito RC en paralelo:
+
-R Ci(t)
iR(t) iC(t)
V(t) IωtImcosti
Llevamos al dominio de la frecuencia:
Diagrama Fasorial del circuito
L.C.K: I = IR + IC
V = Zeq.I
ZZZZZ
CR
CReq
.+
=
YYY CReq
IIV+
==
2
C
2
R III += α Δθ
Diagrama Fasorial del circuito
L.V.K: V = VR + VL+ VC
L.V.K: V = VR + VL+ VC
El circuito esta en RESONANCIA
I ZL I = I ZC I
PREDOMINIO INDUCTIVO
PREDOMINIO CAPACITIVO
CONDICIÓN DE RESONANCIA
VR
I
VL VL
VC
VC
V
V
VR
IVL VL
VC
VC
I
VL VL
VC
VC
VR = VZZZZZ RCLReq
VVVI =++
==
Ejemplo: El circuito mostrado está en Resonancia. Determine R, L, C e iL(t)
+V (t)
C
LiL(t)
R V
A
A = 2 A
V = 5 V
( ) ( )°−= 221000tsen24tV V
Para la resolución de este circuito tenemos que tomar en cuenta lo sigue:
1. Llevamos el circuito al dominio de la frecuencia, identificando cada voltaje, corriente e impedancia en su forma fasorial.
´
¡Importante! El circuito esta en condición de resonancia, puede ser una vía importante para la resolución del ejercicio.
2. Se empieza a construir el diagrama fasorial del circuito según los datos del problema. 2.1. Se elige la referencia del diagrama según el elemento que tenga el voltaje o la
corriente en común con los otros elementos. En este caso, nuestra referencia es VR, visto que VR es el mismo voltaje que en la inductancia.
° V = 4 V
5VR =
2.2. La corriente IR esta en fase con VR y la corriente que pasa por el inductor esta
atrasada 90° con respecto al voltaje VR. 2.3. Aplicamos la L.C.K en el nodo a: IC = LI′ + IR (Analíticamente).
2.4. Y luego aplicamos la L.C.K pero en su forma fasorial, como la suma de favores
según la ecuación IC = LI′ + IR.
IL IC
VRIR
3. Ya formado una parte del diagrama fasorial podemos calcular L. Cálculo de L:
IVLωXZ
L
RLL
′=== Aplicamos trigonometria:
Se sabe que: II LL =′
Por Pitágoras: 2L
2R
2C III +=
( ) ( )22
L A6,1A2I −= ; A2,1IL =
A2,1V5LHz1000 =⋅ ; 4,17mHL =
4. Como se quiere calcular R se toma en cuenta la condición de resonancia y lo ilustramos en
el diagrama fasorial.
4.1. La condición de resonancia nos dice que la corriente IC esta en fase con la V de la fuente, es decir, es como si la fuente suministrara energía a puros resistores.
´
4.2. La corriente IC esta en fase con V y la corriente que pasa por el capacitor esta adelantada 90° con respecto al voltaje VC.
4.3. Aplicamos la L.V.K. en la malla donde esta la fuente (V, VR y VC), donde: V = VR +
VC (Analíticamente) y luego obtenemos el diagrama fasorial del circuito.
Diagrama Fasorial del circuito
IL
VR
IC
IR
VC
V
L.C.K: IC = LI′ + IR L.V.K: V = VR + VC
5. Formado el diagrama, se procede al cálculo de R y C.
6. En el diagrama fasorial se observa triángulos rectos entre los vectores. Cálculo de R:
IVRZ
R
RR == Basándonos en el diagrama del circuito, aplicamos trigonometría:
VV
αcosR
= ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
V5V4cosα 1 ; °= 86,36α
( )54A2αcosII CR == ; A6,1IR =
Ω125,3A6,1
V5R == ; Ω125,3R =
Cálculo de C:
IV
Cω1
XZC
CCC === Por Pitágoras: 22
C2
R VVV +=
( ) ( )22
C V4V5V −= ; V3VC =
A2V3
CHz10001
=⋅
; Fμ67,666C =
7. Para el cálculo de )t(Li se utilizan los siguientes pasos:
7.1. En el diagrama se observa la corriente LI′ más no IL, entonces se procede a dibujar el fasor IL al sentido opuesto que LI′ .
7.2. Se procede al cálculo de ϕI según la referencia original del circuito, más no la
referencia guía.