UNIDAD N° 2LIMITES DE FUNCIONES

DocenteValentin Prieto Saucedo

Santa Cruz - Bolivia

Definición de LimitesEn matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Definición de límiteSea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos

si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < d | f(x) – L | < e

Proceso de Calculo de Limites

x0

L

L +1/10

L–1/10

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < e = 1/10

x0

L

L +1/10

L–1/10

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número)

x0+d1/10x0+d1/10

x0

LL +1/100

L–1/100

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < e = 1/100

x0

LL +1/100

L–1/100

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < d1/100

x0+d1/100x0+d1/100

Reglas para calcular límites

Teorema #1Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL

por una constante5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 06. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Tipos de Indeterminación

Operaciones Conocidas

Límites de PolinomiosTeorema #2Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustituciónSi P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Teorema #3Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Indeterminación 0/0Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

hh

h

22lim0

xx

xxx

2

2

1

2lim

Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0

Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego remplazar el limites.