UNIDAD No. 2Métodos de integración

Integración por sustitución trigonométrica

INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Cuando un integrando contiene

potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones:

, o bienes posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.

22 xa 22 xa 22 ax

CASO 1 Integrandos que contienen

22 xa

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

22 xa

xa

)(aSenx

CASO 2 Integrandos que contienen

22 xa

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

22 xa

x

a

)(aTanx

CASO 3 Integrandos que contienen

22 ax

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

22 ax

x

a

)(aSecx

PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Para resolver una integral mediante

el método de sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso:

1. Proponer la sustitución adecuada.2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la

sustitución propuesta.3. Resolver la integral equivalente obtenida al

reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta.

4. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.

EJEMPLO:

Resolver:

Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y:

1. El cambio indicado es:

Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:

216 xx

dx

22 xa

)(4 Tanx

SOLUCIÓN:

2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:

216 xx

4

)(4 Tanx

22 161616 Tanx

)1(16 2Tan

SecSec 416 2

dSecdx 24

SecTan

dSec

xx

dx

44

4

16

2

2

SOLUCIÓN…

Simplificando:

Esta última representa la integral equivalente.

d

Send

CosSen

Cos

xx

dx 1

4

1

/

/1

4

1

16 2

SecTan

dSec

xx

dx

44

4

16

2

2

Tan

dSec

xx

dx

4

1

16 2

dCscxx

dx

4

1

16 2

SOLUCIÓN…

3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como:

Entonces:

4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que:

cCotuCscuCscudu ln

cCotCscdCscxx

dx

ln4

1

4

1

16 2

cxx

x

xx

dx

416

ln4

1

16 2

PROBLEMAS: Resolver:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

dxx

x 2

2

25

dxx

x

29

2/32 )1( x

dx

dxx

x

4

2 9

dxx 21 42x

dx