UNIDAD V ANALISIS DE LA UNIDAD V ANALISIS DE LA REGRESIÓNREGRESIÓN

• Competencia:Competencia:• --El estudianteEl estudiante debe utilizar correctamente el Análisis de la Regresión en la debe utilizar correctamente el Análisis de la Regresión en la

construcción de diferentes modelos que permitan estimar y predecir, mediante los construcción de diferentes modelos que permitan estimar y predecir, mediante los mínimos cuadrados ordinarios.mínimos cuadrados ordinarios.

• Objetivos.Objetivos.• -Utilizar correctamente el Método de estimación de los Mínimos Cuadrados -Utilizar correctamente el Método de estimación de los Mínimos Cuadrados

Ordinarios ,para la predicción y/o la realización de Políticas de Control ,utilizando Ordinarios ,para la predicción y/o la realización de Políticas de Control ,utilizando herramientas como paquetes electrónicos(E-Views).herramientas como paquetes electrónicos(E-Views).

• Descripción general de la unidad:Descripción general de la unidad:• -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos :Análisis de -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos :Análisis de

Regresión, coeficiente de Correlación Lineal, Coeficiente de determinación o ajuste, Regresión, coeficiente de Correlación Lineal, Coeficiente de determinación o ajuste, Función de regresión poblacional como muestral.Además la utilización de los diferentes Función de regresión poblacional como muestral.Además la utilización de los diferentes modelos uniecuacionales para la predicción y /o realización de políticas de Control.modelos uniecuacionales para la predicción y /o realización de políticas de Control.

• LecturaLectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para :Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.326 al 375Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.326 al 375

• Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,75 al 911996 Pags,75 al 91

• Bibliografía Básica:Bibliografía Básica: Gujarati (2003) “Econometría”(4ª ed) México .Pags.56al Gujarati (2003) “Econometría”(4ª ed) México .Pags.56al 217217

• Referencia electrónicaReferencia electrónica: http://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm: http://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm

1.-1.-

• EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES INVESTIGACIONES ES EFECTUAR INVESTIGACIONES ES EFECTUAR PREDICCIONES EN BASE DE ECUACIONES PREDICCIONES EN BASE DE ECUACIONES MATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOSMATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOS

• LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL ANÁLISIS DE LA REGRESIÓNANÁLISIS DE LA REGRESIÓN

• ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN:ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN: a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL

ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y)ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y)→ Y= f(Xs)→ Y= f(Xs) b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA

ENTRE Xs e YENTRE Xs e Y→ coeficiente de correlación → coeficiente de correlación (r)(r)

Objetivos del análisis de la RegresiónObjetivos del análisis de la Regresión

• 1.-Formulación y planteamiento de 1.-Formulación y planteamiento de modelos verificablesmodelos verificables

• 2.-Estimación, interpretación y 2.-Estimación, interpretación y comprobación de los modeloscomprobación de los modelos

• 3.-Utilización de los modelos:3.-Utilización de los modelos:

a) En la prediccióna) En la predicción

b) En la realización de políticas de b) En la realización de políticas de control control

METODOLOGÍA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓN

TEORÍA Ó HIPÓTESIS

MODELO MATEMÁTICO DE LA TEORÍA Y=f(Xs)

MODELO REGRESIVO DE LA TEORÍAY=f(X,µ)

DATOS

ESTIMACIÓN DEL MODELO regresivo

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRONÓSTICO Ó PREDICCIÓN POLÍTICAS DE CONTROL

• DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNDIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.-.-• ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DEL COMPORTAMIENTO DE LAS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y)VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y)

• PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA DEL MODELO DEL MODELO →TIPO DE MODELO:→TIPO DE MODELO:

1.-MODELO LINEAL1.-MODELO LINEAL 2.-MODELO EXPONENCIAL2.-MODELO EXPONENCIAL 3.-MODELO DE PRODUCCIÓN3.-MODELO DE PRODUCCIÓN 4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS)4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS) 4.-MODELO RECÍPROCO4.-MODELO RECÍPROCO 5.-MODELO TEMPORAL……5.-MODELO TEMPORAL……

2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN

• MODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALESMODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALES::

A)SIMPLE :A)SIMPLE : a)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicosa)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicos

d) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anovad) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anova

B)MÚLTIPLE:B)MÚLTIPLE:

a) Simple ,b)Polinomiales c)Logarítmicos a) Simple ,b)Polinomiales c)Logarítmicos

d)Ancovasd)Ancovas

• MODELOS DE REGRESIÓN DE MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEASECS.SIMULTANEAS

• MODELOS DE SERIES TEMPORALESMODELOS DE SERIES TEMPORALES

3.-Modelos de regresion3.-Modelos de regresion uniecuacionalesuniecuacionales• Una sola ecuaciónUna sola ecuación

• Una sola relación unidireccional:Una sola relación unidireccional:

de causa( Xs) a efecto(Y)de causa( Xs) a efecto(Y)

Modelos de Reg.simple.Modelos de Reg.simple.

La FRPLa FRP→ Y = → Y = ββ11+ + ββ22X +X +µµ donde:donde:

Y= v.d.regresada ó predichaY= v.d.regresada ó predicha

X= v.i. regresor ó predictor ó factorX= v.i. regresor ó predictor ó factor

µ =v.a.ó µ =v.a.ó Estocástica ,Residual ,perturbaciónEstocástica ,Residual ,perturbación

ββ11== Intercepto, (Y)…….autónomoIntercepto, (Y)…….autónomo

ββ22 =Coef,de regresión, PM…………(Y) =Coef,de regresión, PM…………(Y)

Estimación: Mínimos cuadrados Estimación: Mínimos cuadrados ordinarios (M.C.O.) E(ordinarios (M.C.O.) E(µ) = 0µ) = 0

• La FRMLa FRM→ → Ŷ = Ŷ = ββ11+ + ββ22X r² , r X r² , r

1.-Coeficiente de determinación (1.-Coeficiente de determinación (r²).- 0r²).- 0< < r² r² <1:<1:

Mide el grado de ajuste por la aplicación de la Mide el grado de ajuste por la aplicación de la recta estimada.recta estimada. si 0.9 < si 0.9 < r² r² <1 excelente <1 excelente

si 0.8 < r² si 0.8 < r² < 0.9 muy bueno< 0.9 muy bueno 2.-Coeficiente de correlación(r).- -1< r < 12.-Coeficiente de correlación(r).- -1< r < 1 Mide el grado de asociación lineal entre Xe YMide el grado de asociación lineal entre Xe Y si r= -1 Rel.perfecta inversasi r= -1 Rel.perfecta inversa si r= 0 No existe rel.lineal si r= 0 No existe rel.lineal si r= 1 Relación perfecta directasi r= 1 Relación perfecta directa

TÉCNICAS DE ESTIMACIÓNTÉCNICAS DE ESTIMACIÓN• 1.-Manual : 1.-Manual : ΣΣx ; x ; ΣΣy; y; ΣΣx² ; x² ; ΣΣy²; y²; ΣΣx yx y

X; X; ῩῩ; Sxy = ; Sxy = ΣΣx y-n(X)(x y-n(X)(ῩῩ); Sxx = ); Sxx = ΣΣx² -n(X)²; Syy= x² -n(X)²; Syy= ΣΣy²-n(y²-n(ῩῩ )² )²

ββ22= Sxy/Sxx ; = Sxy/Sxx ; ββ11 = = Ῡ Ῡ - - ββ2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r²2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r²

• 2.-Modo Estadístico (modelos simples).2.-Modo Estadístico (modelos simples).

• 3- Matricial (modelos simples y múltiples)3- Matricial (modelos simples y múltiples)

• ββi= ( X´X) ( X´Y) donde: Xi= ( X´X) ( X´Y) donde: Xnxknxk y Y y Ynx1nx1 ββi= A x D i= A x D donde donde

r²=(r²=(ββi ´D -ni ´D -n Ῡ²) /( Y´Y -n Ῡ²)Ῡ²) /( Y´Y -n Ῡ²)

• 4.-PC(SSPSS ó E Views )4.-PC(SSPSS ó E Views )

Nota.- Nota.- Antes efectuar el Diagrama de dispersiónAntes efectuar el Diagrama de dispersión

-1

-1

Ej. De modelo de reg.lineal simpleEj. De modelo de reg.lineal simpleLos siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y del Los siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y del

coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una turbina de propulsiónturbina de propulsión

Velocidad del aire Coef.de evaporación . Se desea predecir el Velocidad del aire Coef.de evaporación . Se desea predecir el coeficiente decoeficiente de

(cm/seg) X (mm²/seg) Y evaporación,cuando la (cm/seg) X (mm²/seg) Y evaporación,cuando la velociadadvelociadad

20 0.18 del aire sea :20 0.18 del aire sea :

60 0.37 a) de 190 (cm/seg) 60 0.37 a) de 190 (cm/seg)

100 0.35 b) de 390 (cm/seg)100 0.35 b) de 390 (cm/seg)

140 0.78 Sol.-140 0.78 Sol.-

180 0.56 Causa velocidad del aire180 0.56 Causa velocidad del aire→X→X

220 0.75 Efecto Coef.de evapor. 220 0.75 Efecto Coef.de evapor. →Y→Y

260 1.18 La FRP 260 1.18 La FRP → Y = f( X)→ Y = f( X)

300 1.36300 1.36

340 1.17340 1.17

380 1.65380 1.65

Diagrama de dispersiónDiagrama de dispersiónyy 1.65 x1.65 x

1.36 x1.36 x

1.18 x1.18 x 1.17 x1.17 x

0.78 x0.78 x 0.75 x0.75 x 0.56 x0.56 x

0.37 x0.37 x 0.35 x0.35 x

0.18 x0.18 x

0 20 40 60 100 140 180 220 260 300 340 3800 20 40 60 100 140 180 220 260 300 340 380

XX

Modelo estimadoModelo estimadoLa FRMLa FRM→ → Ŷ = 0.069 + 0.0038 X r²=0.9053 . r= 0.9515Ŷ = 0.069 + 0.0038 X r²=0.9053 . r= 0.9515

Interpretación.-Interpretación.- ββ1 =0.069 es el coef. de evaporación autónoma1 =0.069 es el coef. de evaporación autónoma no depende de la velocidad del aireno depende de la velocidad del aire ββ2 =Coef.de regresión. PME de evaporación2 =Coef.de regresión. PME de evaporación por c/u que se por c/u que se ΔΔ la velocidad del aire se espera que se la velocidad del aire se espera que se

epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4%epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4% r² = 0.9053 significa un ajuste del 91%r² = 0.9053 significa un ajuste del 91% r= 0.9515 significa una asociación lineal de aprox. 95% r= 0.9515 significa una asociación lineal de aprox. 95%

entreentre X e YX e YEstimación Estimación a)a) Para X= 190 → Para X= 190 → Ŷ = 0.069 + 0.0038 (190)=0.79 Ŷ = 0.069 + 0.0038 (190)=0.79

(mm²/seg)(mm²/seg)b)b) Para X= 390 → Para X= 390 → Ŷ = 0.069 + 0.0038 (390)=1.551 Ŷ = 0.069 + 0.0038 (390)=1.551

(mm²/seg(mm²/seg

Estimación por Intervalos de confianzaEstimación por Intervalos de confianzaIC para E( IC para E( Ŷo/Xo al 100 r%=[Ŷo ± tŶo/Xo al 100 r%=[Ŷo ± t/2(n-k) ee(Ŷo)]/2(n-k) ee(Ŷo)]

MóduloMódulo error (E)error (E)

Donde:Var(Ŷo) = Donde:Var(Ŷo) = σσ²[ 1/n + (Xo- ẍ )²/Sxx]→ee(²[ 1/n + (Xo- ẍ )²/Sxx]→ee(Ŷo) =√ Var(Ŷo)Ŷo) =√ Var(Ŷo)

Sxx= Sxx= ΣΣx²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; x²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; Ŷo = Valor estimado puntual de Ŷo = Valor estimado puntual de Y /XoY /Xo

Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Xo=190Xo=190

Sol.-Sol.-

r=0.95r=0.95→ → αα= 0.05 = 0.05 → to,o→ to,o5/2 : (10-2)=2.306 5/2 : (10-2)=2.306 Sxx=132 000 ; ẍ= 200Sxx=132 000 ; ẍ= 200

E=0.39 E=0.39 → El IC al 95% de E(→ El IC al 95% de E(Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39]Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39]

=[0.67 ; 0.91] =[0.67 ; 0.91]

Significa que de 100 m.a que se tomen se espera que 95 tengan la ŶoSignifica que de 100 m.a que se tomen se espera que 95 tengan la Ŷo

Estén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a no esténEstén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a no estén

Nota.-Cuando se estima es aconsejable no extrapolar muy lejos del Nota.-Cuando se estima es aconsejable no extrapolar muy lejos del rangorango

Extensión del modelo de reg. Lineal simpleExtensión del modelo de reg. Lineal simple • Modelo Exponencial.- cuya FRP Modelo Exponencial.- cuya FRP → → YY= = ββ11 ββ22

yy

x x Linealizando ,aplicando ln → lnY =ln Linealizando ,aplicando ln → lnY =ln ββ1 + X ln 1 + X ln ββ2 + 2 + µµAplicando Los M:C:O se puede estimarAplicando Los M:C:O se puede estimar

cuya FRM cuya FRM →→ lnlnŶŶ =ln =ln ββ11 + X ln + X ln ββ22 aplicando cualquier aplicando cualquier técnica de estimación teniendo presente que al técnica de estimación teniendo presente que al intruducir los datos de y deben estar logaritmizadosintruducir los datos de y deben estar logaritmizados

Donde Donde ββ2 = cambio porcentual en y . 100%2 = cambio porcentual en y . 100% cambio absoluto en Xcambio absoluto en X

x

Ej de modelo exponencialEj de modelo exponencialSe tiene las cifras sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por cierto Se tiene las cifras sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por cierto

fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millasfabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas

Millas recorridas Porcentaje De acuerdo al modelo adecuado.se pide estimarMillas recorridas Porcentaje De acuerdo al modelo adecuado.se pide estimar(miles) X Util Y a) qué porcentaje de las llantas radiales durarán al(miles) X Util Y a) qué porcentaje de las llantas radiales durarán al 1 98.2 menos 25 000 millas.b) 51 000 millas?1 98.2 menos 25 000 millas.b) 51 000 millas? 2 91.7 Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y palicando2 91.7 Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y palicando 5 81.3 Log decimal:5 81.3 Log decimal: 10 64.0 FRM 10 64.0 FRM → Log → Log Ŷ =2.0002 -0.0188 XŶ =2.0002 -0.0188 X 20 36.4 Para Xo= 2520 36.4 Para Xo= 25 30 32.6 30 32.6 → Log → Log Ŷ =2.0002 -0.0188(25)Ŷ =2.0002 -0.0188(25) 40 17.1 40 17.1 → Log → Log Ŷ = 1.5302Ŷ = 1.5302→ → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 %Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % 50 11.3 50 11.3 → → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 %Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % b) Para X= 51 b) Para X= 51 → Log → Log Ŷ =2.0002 -0.0188(51)Ŷ =2.0002 -0.0188(51) → → Log Log Ŷ = 1.0414Ŷ = 1.0414→ → Ŷ = Antilog(1.0414) = 11.00 Ŷ = Antilog(1.0414) = 11.00

%% ó FRM ó FRM →ln →ln Ŷ = 4.6046 -0.0432 X para xo= 25 Ŷ = 4.6046 -0.0432 X para xo= 25 → Ln → Ln Ŷ =4.6046 -0.0432(25)= 3.5246 Ŷ =4.6046 -0.0432(25)= 3.5246 → → Ŷ =Antiln(3.5246) = 33.94%Ŷ =Antiln(3.5246) = 33.94% para xo = 51→Ln para xo = 51→Ln Ŷ =4.6046 -0.0432(51)= 2.4014→ Ŷ =Antiln(2.4014) = 11%Ŷ =4.6046 -0.0432(51)= 2.4014→ Ŷ =Antiln(2.4014) = 11%

YY 5.0 5.0

4.6 x x4.6 x x

4.5 x4.5 x

xx

4.0 x4.0 x

x x ln ln Ŷ = 4.6046 – 0.0432 X Ŷ = 4.6046 – 0.0432 X r²=0.9880r²=0.9880

3.5 x r= -3.5 x r= -0.99400.9940

xx

3.03.0

xx

2.52.5

xx

2.02.0

0 1 2 5 10 20 30 40 500 1 2 5 10 20 30 40 50

x x

Representación del modelo exponencial estimadoRepresentación del modelo exponencial estimado

Modelo potencialModelo potencial

La FRP La FRP → Y = → Y = ββ1 1 X e Se aplica cuando X e Se aplica cuando se quiere estimar cambios porcentulaes se quiere estimar cambios porcentulaes en laY debido a un cambio del 1% en el Xen laY debido a un cambio del 1% en el X

Linealizando aplicando LnLinealizando aplicando Ln

→ → Ln Y = ln Ln Y = ln ββ1 1 ± ± ββ22 Ln X Ln X + + uuCuya FRM Cuya FRM Ln Ln ŶŶ = ln = ln ββ1 1 ± ± ββ22 Ln X Ln X

donde donde ββ2 = (cambio porcentual en y) /(cambio porcentual en 1% 2 = (cambio porcentual en y) /(cambio porcentual en 1% enX)enX)

ββ2 = ELASTICIDAD si 2 = ELASTICIDAD si ββ2 < 1 → inelástica2 < 1 → inelástica

si si ββ2 = 1 → Unitaria2 = 1 → Unitaria

si si ββ2 > 1 → elástica2 > 1 → elástica

β2 µ

Ej. De modelo LOG-LOGEj. De modelo LOG-LOGSe tiene los datos sobre la demanda de un producto (miles de Se tiene los datos sobre la demanda de un producto (miles de

unidades) y su precio (en centavos) tomado de 5 diferentes unidades) y su precio (en centavos) tomado de 5 diferentes centros comercialescentros comerciales

Se pide estimar:Se pide estimar:

Precio Demanda a) La elasticidad de la demandaPrecio Demanda a) La elasticidad de la demanda

X Y b) La demanda cuando el precio sea de 12 X Y b) La demanda cuando el precio sea de 12 ctvs $ctvs $

20 2220 22

16 41 Sol.-a) La FRP16 41 Sol.-a) La FRP→→ Ln y = Ln y = ββ1 X e 1 X e

10 120 10 120 →Ln y = Ln →Ln y = Ln ββ1 + 1 + ββ2 Ln X +2 Ln X +µµ

11 89 la FRM 11 89 la FRM →Ln →Ln ŶŶ = 10.2103- = 10.2103- 2.3608 Ln X 2.3608 Ln X

14 56 Como 14 56 Como ββ2= -2.3608 <1 → inelástica 2= -2.3608 <1 → inelástica

b) Para X= 12 b) Para X= 12

→ →Ln Ln ŶŶ = 10.2103- = 10.2103- 2.3608 Ln (12) 2.3608 Ln (12)

→→Ln Ln Ŷ= 4.3439Ŷ= 4.3439

→ → Ŷ = antiln(4.3439)= 77 unidadesŶ = antiln(4.3439)= 77 unidades

β2 u

B.-Modelos de Reg.MúltipleB.-Modelos de Reg.MúltipleGralmente Una Y = f( Xs)Gralmente Una Y = f( Xs)

1.-Múltiple lineal1.-Múltiple lineal

→ → La FRP → Y= La FRP → Y= ββ0 0 + + ββ11XX11 + + ββ22XX22 + …+ + …+ ββkkXXkk + + uu ; R²; R ; R²; R

Cuya FRM → Cuya FRM → ŶŶ= = ββ0 0 + + ββ11XX11 + + ββ22XX22 + …+ + …+ ββkkXXkk

La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views)La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views)

donde donde ββ00 = Intercepto = Intercepto

ββ11 = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte

ββ22 = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte

R² = Coef.de Determinación múltiple(ordinario)R² = Coef.de Determinación múltiple(ordinario)

R = Coef.de Correlación lineal múltipleR = Coef.de Correlación lineal múltiple

Ŕ² Ŕ² = = Coef. De determinación ajustadoCoef. De determinación ajustado

Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)]Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)]

Ej.de modelo de reg.multiple simpleEj.de modelo de reg.multiple simpleEJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones necesarias para romper una EJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones necesarias para romper una

barra hecha con cierto tipo de aleación y los porcentajes de los metales barra hecha con cierto tipo de aleación y los porcentajes de los metales que la integren: Estímese el Nº de torsiones que la integren: Estímese el Nº de torsiones necesarias paranecesarias para

Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando:Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando:

y x1 x2 X1= 2.5 ; X2= 12y x1 x2 X1= 2.5 ; X2= 12

38 1 5 38 1 5

40 2 5 Sol:- La FRP →Y= 40 2 5 Sol:- La FRP →Y= ββo+ o+ ββ1X1+ 1X1+ ββ2X2 +2X2 +µµ

85 3 5 La FRM →85 3 5 La FRM →ŶŶ= 42.7790+ 8.3161X1-= 42.7790+ 8.3161X1-1.2229X21.2229X2

59 4 5 R² =0.48; R= 0.69 ; para x1= 2.5 ; 59 4 5 R² =0.48; R= 0.69 ; para x1= 2.5 ; x2= 12x2= 12

40 1 10 →40 1 10 →ŶŶ= 42.7790+ 8.3161(2.5)-1.2229(12) = 42.7790+ 8.3161(2.5)-1.2229(12) =48.9=48.9

60 2 10 →60 2 10 →ŶŶ = 49 torsiones = 49 torsiones

68 3 1068 3 10

53 4 1053 4 10

31 1 1531 1 15

35 2 1535 2 15

Tipos de modelos múltiplesTipos de modelos múltiples

• Los polinomiales:Los polinomiales:

a) Los Cuadráticos a) Los Cuadráticos

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + µµ

b) Los Cúbicosb) Los Cúbicos

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ00 + + ββ11XXii ββ2 2 XXii + + ββ3 3 XXii ++µµ

• Los log-log ó exponencialesLos log-log ó exponenciales

cuya FRP cuya FRP → Y = → Y = ββ11XX22 X X3 3 ee

LnY = ln LnY = ln ββ1 1 + + ββ22 ln X ln X22 + +ββ33X3 X3 ++µµ

2

2 3

β2 β3 µ