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UNIDAD V FUNCIONES

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Tabla de contenido 5. Concepto de función ...................................................................................................... 3

5.1. Función ..................................................................................................................... 3

5.2. Variable independiente .......................................................................................... 3

5.3. Variable dependiente ............................................................................................. 3

5.4. Dominio .................................................................................................................... 3

5.5. Contradominio ......................................................................................................... 3

5.6. Representación de funciones ............................................................................... 4

5.6.1. Representación algebraica ............................................................................... 4

5.6.1.1. Evaluación de funciones ................................................................................ 4

5.6.2. Dominio ................................................................................................................ 6

5.6.3. Contradominio ..................................................................................................... 7

5.6.4. Representación tabular ...................................................................................... 8

5.6.5. Representación grafica .................................................................................... 10

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ELEMENTO DE COMPETENCIA 5: FUNCIONES

5. Concepto de función En Matemáticas las funciones son utilizadas para representar la dependencia de una cantidad respecto a otra, por ejemplo:

La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.

El área de un círculo depende del radio del mismo. La temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar. La distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que

transcurre en cada instante.

Escribe otro ejemplo de una cantidad que dependa de otra y comenta con tus compañeros:

Esto nos conduce al concepto matemático de función.

5.1. Función es una regla que toma ciertos números como datos o entradas y asigna a cada uno, un número definido de salida o resultado.

Para este curso, en las reglas que usaremos las cantidades que varían serán dos, a las cuales se les asignara una letra que llamaremos variable, siendo:

5.2. Variable independiente: Letra a la que le asignamos un dato o entrada. 5.3. Variable dependiente: Letra que toma la salida o resultado.

Ejemplo 1

En la expresión: el área de un círculo depende del radio del mismo, si se asigna la variable a, al área del circulo y la letra r, al radio tendríamos “a depende de r”. En este último enunciado la letra “a· es la que depende por tal motivo:

“a” es la variable dependiente y “r” será entonces la variable independiente.

Ejemplo 2

La temperatura de ebullición del agua está en función de la altura del lugar. Enunciado que puede escribirse como: la temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar. Recordemos que “está en función” es equivalente a depender. Si se asignara la letra “t” a la temperatura de ebullición y a la altura la letra “a” podría escribirse: “t” depende de “a” y tendríamos para este enunciado:

“t” como variable dependiente y “a” como variable independiente Como se mencionó anteriormente, en las funciones se asignarán y se tendrán números como resultado, con lo cual se definen:

5.4. Dominio: Es el conjunto de todos los números de entrada. 5.5. Contradominio: Es el conjunto de todos los números de salida.

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5.6. Representación de funciones

Se tienen varias formas de representar a una función. En esta sección las representaciones que utilizaremos son: algebraica, tabular y gráfica. Una función puede representarse de las tres maneras, lo cual resulta útil para adquirir conocimiento adicional de esa función, por tal motivo se definirán las características de cada uno de los sistemas de representación y cómo pasar de la representación algebraica a la representación tabular y de la representación tabular a la representación gráfica.

5.6.1. Representación algebraica

También llamada fórmula. Comúnmente al trabajar con funciones en esta representación se utilizan las letras “x” e “y”, de las cuales solemos utilizar la letra “y” como variable dependiente y a la letra “x” como independiente, es decir decimos:

“y” depende de “x”, o bien, “y” está en función de “x”. Situación que también se puede representar con la notación mostrada en la Figura 1.

𝒚 = 𝑓(𝒙)

Es importante mencionar que en la notación de la Figura 1, la 𝒇 no es una variable, la

𝒇 indica función.

5.6.1.1. Evaluación de funciones

Evaluar es utilizar la función para transformar un número. El valor que se asigna a la

variable “x” se sustituye en la formula y se realizan los cálculos indicados. Evaluar la

función en 𝑥 = 𝑎 es equivalente a 𝑦 = 𝑓(𝑎).

Ejemplos

Evaluar en la función el valor de x que se indica

y = 5x + 2

a) En 𝑥 = 3 𝑦 = 5(3 ) + 2 = 15 + 2 = 17

b) En 𝑥 = −2 𝑦 = 5(−2 ) + 2 = −10 + 2 = −8

c) En 𝑥 = 20 𝑦 = 5(20 ) + 2 = 100 + 2 = 102

d) En 𝑥 =4

3 𝑦 = 5 (

4

3) + 2 =

20

3+ 2 =

26

3

𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4

a) En 𝑥 = 1 𝑦 = 3(1)2 − 5(1) + 4 = 3 − 5 + 4 = 2

b) En 𝑥 = 4 𝑦 = 3(4)2 − 5(4) + 4 = 48 − 20 + 4 = 32

c) En 𝑥 = −5 𝑦 = 3(−5)2 − 5(−5) + 4 = 75 + 25 + 4 = 104

Variable independiente Variable dependiente

Figura 1. Notación para representar y en función de x

5

𝑦 =𝑥+3

4𝑥3+𝑥2

a) 𝑓(2) =(2)+3

4(2)3+(2)2=

5

32+4=

5

36

b) 𝑓(−4) =(−4)+3

4(−4)3+(−4)2 =−1

−256+16=

1

240

c) 𝑓(0.1) =(0.1)+3

4(0.1)3+(0.1)2 =3.1

0.004+0.01=

3.1

0.014≈ 221.42

𝑦 = |𝑥 − 8|

a) 𝑓(−5) = |−5 − 8| = 13

b) 𝑓(4) = |4 − 8| = 4

c) 𝑓(20) = |20 − 8| = 12

𝑦 = 2𝑥 + 𝑥2

a) 𝑓(ℎ) = 2(ℎ) + (ℎ)2 = 2ℎ + ℎ2

b) 𝑓(−3𝑟) = 2(−3𝑟) + (−3𝑟)2 = −6𝑟 + 9𝑟2

c) 𝑓(𝑥 + 3) = 2(𝑥 + 3) + (𝑥 + 3)2 = 2𝑥 + 6 + 𝑥2 + 6𝑥 + 4 = 𝑥2 + 8𝑥 + 10

Ejercicios

Evalúa las funciones en los valores indicados

1) y = 3x − 4

a) En 𝑥 = 5

b) En 𝑥 = 10

c) En 𝑥 = −4

2) y = 𝑥2 + 4x + 10

a) En 𝑥 = 2

b) En 𝑥 = 0

c) En 𝑥 = 8

3) y = √6 − 𝑥

a) 𝑓(5)

b) 𝑓(−19)

c) 𝑓(1)

4) y =3𝑥+5

4+𝑥

a) 𝑓(2)

b) 𝑓(3)

c) 𝑓(1

2)

5) 𝑦 = 𝑥(2 − 𝑥)3

a) 𝑓(4)

b) 𝑓(−1)

c) 𝑓(6)

6) 𝑦 = 2𝑥+1 − 2

a) 𝑓(1)

b) 𝑓(−1)

c) 𝑓(3)

7) 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥2

a) 𝑓(4𝑚)

b) 𝑓(𝛼)

c) 𝑓(𝑥 + ℎ)

8) 𝑦 = 5𝑥 + 2

a) 𝑓(𝑥 + 3)

b) 𝑓(∆𝑥 − 2)

c) 𝑓(𝑟2)

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La evaluación de funciones no siempre se puede realizar, existen operaciones como la

raíz cuadrada o la división entre otras, en los que ciertos números generarían errores

al sustituir, por tal motivo se debe establecer el dominio de la función.

5.6.2. Dominio

El dominio está formado por el conjunto de números que es posible asignarle a la

variable independiente.

Ejemplos

Determinar el dominio de las siguientes funciones

a) 𝑦 = 2𝑥 + 3

Debido que a la variable “x”, en la función 𝑦 = 2𝑥 + 3, se le puede asignar cualquier

valor entero, racional e irracional, sin tener ningún error o problema al sustituirlos, se

establece que el dominio son todos los números reales o bien (−∞, +∞).

b) 𝑦 = 𝑥2 + 4

El dominio para a función 𝑦 = 𝑥2 + 4 son todos los números reales o bien (−∞, +∞),

debido que todo número se puede elevar al cuadrado y sumarle cuatro unidades.

c) 𝑦 = √𝑥 − 2

En este curso no se ha definido la raíz cuadrada de números negativos, por tal motivo

los valores que sustituyamos en x deberán ser valores que al restarles dos, generen

resultados cero o positivos. Es decir 𝑥 − 2 debe ser cero o positivo. Con lo cual

tenemos que x puede tomar todos los números mayores o iguales al dos. El dominio

es [2, +∞).

d) 𝑦 =3

𝑥−4

Cuando la expresión con la que se trabaja es una fracción, se debe cuidar que al

sustituir valores el denominador sea distinto a cero, ya que se genera una

indeterminación. Por tal motivo la expresión 𝑥 − 4 no debe ser cero, es decir x no

puede tomar el valor cuatro. El dominio son todos los números excepto el cuatro. El

dominio es (−∞, 4) ∪ (4, +∞).

e) 𝑦 =√−𝑥

𝑥2+5𝑥+6

La raíz cuadrada solo se puede calcular para números positivos. La expresión −𝑥 será

positiva cuando a “x” se le asignen valores negativos. Por otra parte el denominador

𝑥2 + 5𝑥 + 6 =(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) debe ser distinto a cero. Es decir el denominador no podrá

tomar los valores 𝑥 = −3 y 𝑥 = −2. Por tal motivo el dominio es todos los negativos,

excepto los números −3 𝑦 − 2 . El dominio es (−∞, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2, 0).

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5.6.3. Contradominio

El contradominio está formado por el conjunto de números que se obtienen como

salida o resultado.

Ejemplos

Describe el contradominio de las siguientes funciones

a) 𝑦 = 2𝑥 + 3

Se determinó en la sección anterior que el dominio para la función son todos los

números reales. Ahora para determinar el contradominio, nuestra atención debe estar

en los valores que toma la variable “y” como respuesta. Al sustituir valores negativos

del (−∞, −1.5) la variable “y” tiene resultados negativos, el resultado cero se obtendría

cuando la x toma el valor de -1.5, para tener resultados positivos la x debe tomar

valores (−1.5, +∞). Con ello las respuestas que se obtienen o bien los valores que la y

obtiene son todos los números reales es decir (−∞, +∞).

b) 𝑦 = 𝑥2 + 4

Dado que la variable “x” puede tomar todo número real, ahora respecto a los

resultados, todo número negativo que se le asigne a la variable “x” al elevarlo al

cuadrado será un numero positivo, por tal motivo en las respuestas no habrá

resultados negativos, los resultados que tomará la variable “y” o bien las respuestas

que se obtendrán serán los números positivos a partir del cuatro es decir [4, +∞).

c) 𝑦 = √𝑥 − 2

Al calcular la raíz cuadrada de un número los resultados son positivos, además de que

cuando a la letra “x” se le asigna el valor dos se tendrá un resultado cero. El

contradominio de la función son todos los números positivos incluyendo al cero es

decir [0, +∞).

d) 𝑦 =3

𝑥−4

El resultado de una división de números es cero solo si el numerador es cero, lo cual

para este ejercicio no es posible ya que en el numerador se tiene la constante tres, los

resultados que tendrá en la “y” podrán ser positivos y negativos, el dominio es

(−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Ejercicios:

Escribe el dominio y contradominio de las funciones

1) 𝑦 = 7 − 𝑥

2) 𝑦 = 100𝑥 + 400

3) 𝑦 = 𝑥2 − 20

4) 𝑦 = 𝑥3 + 4𝑥2

5) 𝑦 = √𝑥 + 5

6) 𝑦 = √𝑥2 + 4

7) 𝑦 = √9 − 𝑥2

8) 𝑦 =𝑥

𝑥+8

9) 𝑦 =𝑥2+2𝑥

𝑥−5

10) 𝑦 =7

𝑥2−25

8

5.6.4. Representación tabular

Para representar a una función en este registro se utilizan una tabla con dos columnas

y n renglones. En el primer renglón se indican las variables, la primera columna es

para la variable independiente y los números en los que se evaluará la función

(dominio) y la segunda columna es para la variable dependiente y los números que se

obtenga como resultado (contradominio) (

Figura 2).

x y

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 8

Figura 2. Representación tabular

Ejemplos

Representación tabular de funciones

a) 𝑦 = 3𝑥 + 8

x y

-3 3(−3) + 8 = −9 + 8 = −1

-2 3(−2) + 8 = −6 + 8 = 2

-1 3(−1) + 8 = −3 + 8 = 5

0 3(0) + 8 = 0 + 8 = 8

1 3(1) + 8 = 3 + 8 = 11

b) 𝑦 = (𝑥 − 2)2

x y

-4 (−4 − 2)2 = (−6)2 = 36

-2 (−2 − 2)2 = (−4)2 = 16

0 (0 − 2)2 = (−2)2 = 4

2 (2 − 2)2 = (0)2 = 0

4 (4 − 2)2 = (2)2 = 4

c) 𝑦 = 5𝑥2 − 𝑥

x y

-3 48

-2 22

-1 6

0 0

1 4

2 18

d) 𝑦 =5−𝑥

𝑥+2

x y

-1 6

0 5/2

1 4/3

2 3/4

3 2/5

Variable dependiente Variable independiente

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Ejercicios:

Representa en forma tabular las funciones

1) 𝑦 = 3𝑥 + 4

x y

-3

-2

-1

0

1

2) 𝑦 = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥

x y

3) 𝑦 = 4+(𝑥 − 2)3

x y

4) 𝑦 = √𝑥 + 3

x y

5) 𝑦 =𝑥

𝑥−4

x y

10

4 3 2 1 1 2 3 4x

4

3

2

1

1

2

3

4

y

Representación grafica

Para la representación gráfica se utiliza un plano formado por dos rectas numéricas

perpendiculares entre sí. La recta horizontal es para la variable independiente y la

vertical para la variable dependiente, al cruce de los ejes se le llama origen. A la

derecha de la recta y arriba se encuentran los números positivos, a la izquierda y hacia

abajo los negativos, generando cuatro secciones llamadas cuadrantes. ().

Figura 3. Plano cartesiano

Para graficar una función se localizan en el plano cartesiano las coordenadas (x,f(x)) o (x,y) los cuales son instrucciones para que a partir del origen se avance x unidades horizontalmente e y unidades verticalmente. La gráfica de la función se genera con el conjunto de puntos marcados, entre más puntos se localicen mejor es la representación de la función (Figura 4).

Figura 4. Representación gráfica de funciones

2 1 1 2

2

1

1

2

Cuadrante III Cuadrante IV

Cuadrante II Cuadrante I

Variable independiente

Variable dependiente

11

3 2 1 1 2 3

2

2

4

6

8

10

2 2 4

2

2

4

6

8

10

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

Ejemplo

Representación gráfica de funciones

a) 𝑦 = 3𝑥 + 8

x y

-3 −1

-2 2

-1 5

0 8

1 11

b) 𝑦 = (𝑥 − 2)2

x y

-1 9

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

5 9

y

c) 𝑦 =2(𝑥+3)

𝑥+1

x y

-5 1

-4 2/3

-3 0

-2 -2

0 6

1 4

2 10/3

3 3

4 14/5

5 8/3

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Ejercicios:

Elaborar una tabla de datos y localizar coordenadas para representar gráficamente las

funciones, indica el dominio y contradominio de la función

1) 𝑦 = 4 − 2𝑥

2) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 4

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

13

3) 𝑦 = 0.5𝑥3 − 3𝑥

4) 𝑦 = 2√9 − 𝑥2

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

14

5) 𝑦 = (x − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

6) 𝑦 =𝑥

𝑥−1

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

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Ejercicios en línea

Evaluación de funciones

http://www.thatquiz.org/tq-0/?-j100-la-n34-p3t0

https://es.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/evaluating-

functions/e/functions_1

Localizar puntos para graficar funciones

http://www.thatquiz.org/tq-0/?-j10g-la-n34-p3t0

Completar tabla de valores

https://es.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/function-inputs-and-

outputs/e/views_of_a_function

Dominio y Contradominio

http://wolframalpha0.blogspot.mx/2012/02/hallar-el-dominio-y-rango-de-una.html

Bibliografía

Cálculo. Segunda edición. Deborah Hughes-Hallett, Andrew M. Gleason, et al. Editorial

CECSA