UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE Facultad de Ciencias de la ...

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE

Facultad de Ciencias de la Ingenier ía Escuela de Ingenier ía Civil Acústica

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN DE FRF Y APLICACIÓN EN ANÁLISIS MODAL

DE VIBRACIONES

Roberto Andrés Pereira Tor res

Valdivia, Chile

Agosto 2008

Profesor Patrocinante: Dr. Jorge P. Arenas

Instituto de Acústica Universidad Austral de Chile

Tesis presentada como parte de los requisitos para optar al título profesional de Ingeniero Civil Acústico.

1

AGRADECIMIENTOS

Dedico este trabajo a mi Madre

El viento del mar envidia tu libertad. Fuente inagotable de amor, sabiduría y vida.

Agradezco sinceramente:

Al proyecto FONDECYT Nº 1060117 por el financiamiento de esta tesis y por su

valioso aporte al desarrollo de la investigación científica en Chile. Al Profesor Jorge Arenas del Instituto de Acústica de la Universidad Austral de

Chile, por su gran calidad humana y valiosa guía académica. A Don Víctor Cumián por su invaluable ayuda, compañía y por su siempre

excelente disposición durante todo este trabajo. A mi Padre Jaime Pereira, por siempre inculcar el valor de la educación en mí y

en mis queridísimos hermanos Loreto y Javier. No puedo dejar de agradecer a toda mi Familia por su constante apoyo y preocupación.

Al cuerpo docente y funcionarios del Instituto de Acústica de la Universidad

Austral de Chile por su enorme labor y por la excelencia que siempre demuestran. A mis amigos y colegas Jorge Letelier, Juan Andrés Oliveros, Joaquín Stevens,

Daniel Sánchez, Juán Luis Aguayo, Joaquín Solís y Cristóbal Albarracín por el valioso aporte brindado en distintas etapas de este trabajo.

A mis amigos y compañeros por todas las experiencias que hemos compartido.

Agradezco además a Juika-Bloth por la oportunidad de desarrollarme como músico y guitarrista, y al Preuniversitario Solidario San Francisco por darme la oportunidad de aportar con un granito de arena al sueño de muchos de vivir en un país más justo.

A las Circunstancias, al Poder de la Crítica y del Análisis, a la Energía, a la

Simpleza, a la Complejidad, a Valdivia, a la Guitarra, a la Música y a la Naturaleza por permitir la existencia de la Belleza y desarrollar la Pasión.

Finalmente a mi querida Kekita, por regalarme su hermosa sonrisa cada día.

2

ÍNDICE ÍNDICE........................................................................................................................................2 RESUMEN ..................................................................................................................................4 SUMMARY.................................................................................................................................5 INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................6 OBJETIVOS................................................................................................................................7

Objetivo General .....................................................................................................................7 Objetivos Específicos..............................................................................................................7

1. TEORÍA DEL ANÁLISIS MODAL .....................................................................................8 1.1 Supuestos Básicos.............................................................................................................8 1.2. Teoría Modal ....................................................................................................................8

1.2.1. Desacoplamiento de un sistema vibratorio MDOF................................................8 1.2.2. Función de Respuesta de Frecuencia....................................................................11 1.2.3. Tipos de Funciones de Respuesta de Frecuencia.................................................14

2. ANÁLISIS MODAL EXPERIMENTAL............................................................................16 2.1. Cadena Básica de Medición..........................................................................................16

2.1.1. Introducción............................................................................................................16 2.1.2. Excitación de la Estructura....................................................................................16 2.1.3. Transducción Mecánico - Eléctrica ......................................................................17 2.1.4. Conversión Análogo Digital y Analizador ............................................................19

2.2. Procesamiento Digital de Señales.................................................................................19 2.2.1. Introducción............................................................................................................19 2.2.2. Aliasing....................................................................................................................20 2.2.3. Transformada Discreta de Fourier .......................................................................20 2.2.4. Fuga Espectral........................................................................................................21

2.3. Determinación de la Función de Respuesta de Frecuencia y Coherencia..................22 2.3.1. Proceso General de Obtención de FRF y Función de Coherencia.....................22 2.3.2. Estimación de la FRF.............................................................................................23 2.3.3. Estimación de la Función de Coherencia .............................................................24

2.4. Extracción de los Parámetros Modales.........................................................................24 2.4.1. Clasificación de los métodos de Identificación ....................................................24 2.4.2. Método de Extracción de Peaks.............................................................................25

3. METODOLOGÍA .................................................................................................................27 3.1. Metodología General de Medición y Análisis..............................................................27 3.2. Instrumentación Disponible..........................................................................................27 3.3. Uso y Estructura del Software de Cálculo de FRF y Función de Coherencia...........28

3.3.1. Introducción............................................................................................................28 3.3.2. Sistema Multicanal y Advertencias de Posibles Errores en la Configuración...29 3.3.3. Configuración de Parámetros de Adquisición de Datos......................................30 3.3.4. Configuración y Cálculo de FRF y Función de Coherencia ...............................31 3.3.5. Visualización...........................................................................................................32 3.3.6. Selección de Display y Advertencias de Errores en Selección de Visualización34 3.3.7. Exportación de Datos a Matlab.............................................................................34 3.3.8. Diagrama de Flujo General ...................................................................................35

3

3.4. Procedimientos de Medición.........................................................................................37 3.4.1. Barra Empotrada-Libre.........................................................................................37 3.4.2. Placa Libre en sus Cuatro Bordes.........................................................................39

4. RESULTADOS Y ANÁLISIS.............................................................................................42 4.1. Barra Empotrada Libre..................................................................................................42

4.1.1. Predicciones Teóricas............................................................................................42 4.1.2. Resultados de Mediciones......................................................................................43 4.1.3. Análisis y Comparación entre Predicciones Teóricas y Mediciones..................45

4.2. Placa Libre en sus Cuatro Bordes.................................................................................53 4.2.1. Predicciones Teóricas............................................................................................53 4.2.2. Resultados de Mediciones......................................................................................54 4.2.3. Análisis y Comparación entre Predicciones Teóricas y Mediciones..................58

5. CONCLUSIONES................................................................................................................71 5.1. Conclusiones Generales.................................................................................................71 5.2. Conclusiones Específicas..............................................................................................71

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................72

4

RESUMEN

El presente documento plantea metódicamente el trabajo requerido para el diseño e implementación de un sistema multicanal de medición de funciones de respuesta de frecuencia (FRF), enfocado al análisis modal de vibraciones, usando la instrumentación disponible en el Instituto de Acústica de la Universidad Austral de Chile.

El trabajo consiste en constituir las conexiones necesarias para el correcto flujo y

procesamiento analógico de las señales eléctricas captadas por los sensores piezoeléctricos disponibles, junto con la programación en Labview 6i de un software que realice el procesamiento digital de las señales captadas y que brinde diversos tipos de utilidades al usuario.

Se diseñaron y llevaron a cabo experimentos para la realización de mediciones de FRF a

una barra empotrada - libre y a una placa libre en sus cuatro bordes, con el fin de reconstruir los respectivos modos de vibración de ambas estructuras mediante el método de extracción de peaks. En el caso de la barra, existe evidente correspondencia entre los resultados experimentales y las predicciones teóricas, tanto en las formas de modo como en las frecuencias naturales detectadas. En la placa no se observa correspondencia alguna entre el modelo teórico y los resultados obtenidos a partir de las FRF medidas, obteniéndose posibles frecuencias naturales y modos de vibración distintos a los indicados en las referencias. Se considera como principal causa de esta disparidad a la diferencia entre el tipo de montaje utilizado en la referencia y el montaje planteado en el presente trabajo.

5

SUMMARY

This work presents the steps required for the design and implementation of a Frequency Response Function (FRF) multichannel measurement system, focused on the vibration modal analysis, by using the available instrumentation on the Institute of Acoustics of the Universidad Austral de Chile.

The work consists on constituting the necessary connections for the correct flow and

analogical processing of the electric signals measured by piezolectric sensors, as well as the programming of a signal processing software in Labview 6i that offers diverse types of utilities to the user.

FRF measurements were done over a free – clamped bar and over a completely free

square plate in order to get the vibration mode shapes of both structures by using the peak extraction method. In the bar case, evident correspondence exists between the experimental results and the theoretical predictions. No correspondence is observed between the theoretical model and the results obtained from the measured FRF for the plate. The possible natural frequencies and mode shapes obtained were different from the indicated in the references. The main reason for this disparity is considered to be the difference between the set up used in the reference and the one presented in this work.

6

INTRODUCCIÓN

En el ámbito del diseño y en el control de ruido y vibraciones es fundamental el conocimiento de las frecuencias naturales y modos de vibración propias del sistema bajo análisis. Cualquier cuerpo sometido a vibraciones mecánicas puede resultar dañado por éstas si no ha sido correctamente diseñado, además de presentar serias deficiencias en su desempeño.

El análisis modal experimental se basa en la medición de funciones de respuesta de

frecuencia (FRF) y permite, mediante diversos métodos, determinar el valor de los parámetros modales de un sistema.

El diseño e implementación de un sistema de medición de FRF permitirá obtener

información clave sobre la respuesta de un cuerpo cuando es sometido a fuerzas, bajo diversas condiciones operacionales. A la vez, el sistema planteado permitirá realizar la validación de diversos modelos analíticos predictivos y podrá ser utilizado en la realización de variadas actividades pedagógicas.

7

OBJETIVOS

Objetivo General

El objetivo general de esta tesis será la implementación completa de un sistema de medición de FRF para ser aplicado en análisis modal de vibraciones.

Objetivos Específicos

• Realización de investigación y estudio de la teoría y práctica del análisis modal. • Programación de software que permitirá el cálculo inmediato de FRF y brindará

otras utilidades al usuario.

• Integración del software diseñado con el hardware disponible en un sistema global de medición de FRF.

• Demostración de la fiabilidad del sistema determinando experimentalmente las

frecuencias de resonancia y formas de modo de una barra empotrada – libre y de una placa libre en sus cuatro bordes.

• Comparación de los resultados obtenidos en las mediciones con los obtenidos

mediante el modelo teórico.

Capítulo 1 – Teoría del Análisis Modal

8

1. TEORÍA DEL ANÁLISI S MODAL

1.1 Supuestos Básicos

Cada estructura sometida al análisis modal debe cumplir con 4 supuestos básicos [6]: 1. La estructura tiene un comportamiento lineal: La respuesta de la estructura a cualquier

combinación de fuerzas aplicadas de manera simultánea será la suma de las respuestas individuales a cada fuerza que actúa sobre el cuerpo. Además, la respuesta de la estructura es proporcional a la excitación.

2. La estructura es invariante en el tiempo: Los parámetros a determinar son constantes en

el tiempo. 3. La estructura satisface la Ley de Reciprocidad de Maxwell: La respuesta de la

estructura en el grado de libertad q , debido a la fuerza aplicada en el grado de libertad p, es igual a la respuesta en el grado de libertad p debido a la fuerza aplicada en el grado de libertad q.

4. La estructura es observable: Las mediciones realizadas deben contener suficiente

información para la obtención de un modelo adecuado que describa el comportamiento de la estructura.

1.2. Teor ía Modal

1.2.1. Desacoplamiento de un sistema vibratorio MDOF

El comportamiento vibratorio de un sistema de N grados de libertad que cumple con los requerimientos expuestos en la sección 1.1 puede representarse mediante el sistema de N ecuaciones diferenciales

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )M x t C x t K x t f t+ + =

,

donde [ ]M , [ ]C y [ ]K son matrices de orden NxN llamadas matrices de masa,

amortiguamiento y rigidez, respectivamente, ( )f t representa la fuerza aplicada y los

vectores ( )x t

, ( )x t

y ( )x t corresponden a la aceleración, velocidad y desplazamiento

del sistema.

El amortiguamiento viscoso es aceptado como una buena aproximación al amortiguamiento de estructuras reales [1]. La presencia de este tipo de amortiguamiento en el sistema descrito por la ecuación (1.1) no permite el cálculo de vectores propios que permitan un desacoplamiento directo de las ecuaciones. Sin embargo, la reformulación del sistema mediante la representación ‘espacio – estado’ es una técnica comúnmente utilizada

(1.1)


9

para su resolución [12]. Esta representación convierte el sistema original compuesto de N ecuaciones, en uno compuesto por 2N ecuaciones lineales definiendo un vector de estado

=

)(

)()( 12 tx

txty Nx .

Utilizando la ecuación (1.2) se puede reescribir el sistema como

[ ] [ ] )(')()( tftyBtyA =+,

donde [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

0M

MCA y [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

−

=M

KB

0

0.

Si bien las matrices [ ]A y [ ]B contienen elementos distintos de cero fuera de la diagonal

principal, que no permiten el desacoplamiento directo de las ecuaciones, es posible realizar una transformación de coordenadas que permite cumplir este propósito.

Cada sistema vibratorio posee frecuencias y modos naturales de vibración que definen su comportamiento ante cualquier tipo de excitación [1,2,4,5,6]. El cálculo de estas frecuencias y modos naturales está directamente asociado al cálculo de valores y vectores propios de matrices [4] y requiere de la solución de la ecuación homogénea asociada a la ecuación (1.1)

[ ] [ ] [ ] 0)()()( =++ txKtxCtxM

Asumiendo una solución a la ecuación de movimiento de la forma:

stextx =)( ,

y sustituyendo en la ecuación (1.4) [1,2] se obtiene

[ ] [ ] [ ][ ] 02 =++ xKCsMs .

La solución del problema planteado en la ecuación (1.6) constituye un problema de valores y vectores propios complejo, por lo que se obtendrán 2N soluciones (pares conjugados), de la forma

Nrss

rr

rr ,...,1*,

*,=

ψψ

donde rs representa el r-ésimo valor propio y rψ su vector propio asociado [1].

Volviendo a la ecuación (1.3), y asumiendo que la respuesta del sistema espacio estado

puede representarse como una superposición de las 2N respuestas del sistema, dentro del espacio modal [2,3] se puede decir que

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)


10

=

=N

rrr tpty

2

1

' )()( ψ ,

donde

=rr

rr s ψ

ψψ ' .

Reescribiendo la ecuación (1.8) en forma matricial:

[ ] )(')( tpty ψ= ,

donde la r-ésima columna de la Matriz Modal [ ]'ψ corresponde al vector '

rψ y donde

)(tp representa la coordenada modal .

La transformación de coordenadas físicas a coordenadas modales implica que los modos de vibración de la estructura o vectores propios definidos en la ecuación (1.9), conforman un nuevo sistema de referencia que permite expresar en coordenadas modales cualquier movimiento de la estructura [2] y que además provee un método para desacoplar el sistema planteado en la ecuación (1.1) [1,2,3]. Una explicación mas detallada respecto a este cambio de coordenadas y diversos aspectos relacionados se puede encontrar en las referencias [2] y [4].

Sustituyendo la ecuación (1.10) en la ecuación (1.4) y premultiplicando por la matriz

[ ]T'ψ , se obtiene:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] 0)('')('' =+ tpBtpA TT ψψψψ

La propiedad de ortogonalidad [1,2,3,4] del modelo modal permite el desacoplamiento del sistema, ya que

[ ] [ ][ ] )('' rT adiagA =ψψ

[ ] [ ][ ] )('' rT bdiagB =ψψ ,

en donde )( radiag y )( rbdiag representan matrices diagonales.

Como el vector modal 'rψ representa la respuesta relativa entre los distintos grados de

libertad del sistema, se realiza un proceso de normalización de estos vectores que permite obtener un parámetro característico del sistema [1]. El proceso de normalización que más relevancia tiene dentro del análisis modal es el de la ortonormalización con respecto a la matriz [ ]A , es decir

[ ] [ ][ ] [ ]IAT ='' φφ

[ ] [ ][ ] )('' rT sdiagB −=φφ

(1.8)

(1.10)

(1.9)

(1.11)

(1.12)

(1.13)


11

donde la columna r

r

ra

ψφ 1= es el vector modal normalizado, r

rr a

bs =− y representa

la solución de la ecuación característica del sistema e [ ]I es la matriz identidad [3,12].

Al reemplazar la ecuación (1.10) en 1.3, luego reemplazar el vector [ ]'ψ por el vector

normalizado [ ]'φ , posteriormente premultiplicar por el vector [ ]' Tφ y finalmente utilizar la

propiedad de ortonormalidad descrita en la ecuación (1.13), se obtiene que

[ ] 1( ) ( ) ( ) ' '( )

T

rr

p t diag s p t f ta

φ− =

De esta manera el sistema original descrito en la ecuación (1.1) ha sido desacoplado y en

su lugar existen 2N ecuaciones diferenciales independientes. Para cada una de estas ecuaciones diferenciales se cumple que [1,6,12]

21 rrrrr wws ξξ −+−= ,

en donde rw y rξ representan la frecuencia natural y factor de amortiguamiento crítico asociados al correspondiente modo.

Cada modo de vibración tiene un comportamiento similar al de un modelo masa–resorte−amortiguador de un grado de libertad (SDOF). En otras palabras, el sistema original (Ec. 1.1) ha sido descompuesto en 2N modelos aislados de un solo grado de libertad [2,3,6].

1.2.2. Función de Respuesta de Frecuencia

El comportamiento de los sistemas vibratorios puede modelarse a partir de la relación existente entre la fuerza de excitación y la respuesta provocada (desplazamiento, velocidad, aceleración) [2], como ilustra la siguiente figura

Figura 1.1: Relación entre fuerza y desplazamiento.

En el dominio del tiempo, la respuesta del sistema a un impulso es llamada respuesta al

impulso y se representa como ( )h t . En el dominio de la frecuencia la relación ( )H w , llamada función de respuesta de frecuencia (FRF), corresponde a la razón existente entre la excitación y la respuesta del sistema

( )

( )( )

X wH w

F w= .

(1.14)

(1.15)

( )f t ( )x t Sistema ( )h t

(1.16)


12

Esta función contiene toda la información correspondiente a las propiedades del sistema.

Uno de los métodos matemáticos utilizados para la obtención de la FRF, en el caso del análisis modal de vibraciones, requiere de la utilización de la transformada de Laplace [2,3]. La transformada de Laplace de una función ( )f t se define como

0

( ) ( )stF s e f t dt∞

−=

,

donde s jwσ= + es llamada la variable de Laplace. Al aplicar la transformada de Laplace a la ecuación (1.13) y asumiendo condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene la expresión

[ ] [ ] 1( ) ' '( )

T

rr

s s P s F sa

ψ− = .

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (1.10) y despejando la matriz, luego

reemplazando en la ecuación (1.18) y finalmente premultiplicando por la matriz [ ] 1'ψ −

, se

obtiene

' '2

1

( ) '( )( )

TN

r r

i r r

Y s F sa s s

ψ ψ

=

=−

.

Finalmente, volviendo al sistema original y despejando la expresión

( )

( )

X s

F s, se obtiene

la función de transferencia

=)(sH

2

1

( )

( ) ( )

TNr r

i r r

X s

F s a s s

ψ ψ=

=−

.

Como los valores y vectores propios utilizados en la ecuación (1.20) corresponden a un

conjunto de N pares conjugados, se puede reescribir esta ecuación como:

=

−

+−

==N

r rr

T

rr

rr

Trr

ssassasF

sXsH

1**

**

)()()(

)()(

ψψψψ,

con

drrr jws +−= σ ,

donde rrr w ξσ = es llamado factor de amortiguamiento modal y 21 rrdr ww ξ−= se denomina frecuencia modal amortiguada.

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)


13

Debido a que, en el análisis modal experimental, tanto la excitación como la respuesta del sistema pueden ser medidas en el dominio de la frecuencia, resulta ser de suma utilidad evaluar la función de transferencia (Ec. 1.21) a lo largo del eje jws = , para obtener así la llamada función de respuesta de frecuencia (FRF):

[ ] [ ]

[ ] *

*1

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

Nrr

s jwr r r

RRX jwH s H jw

F jw jw s jw s==

= = = +

− −

,

donde [ ] r

Trr

r aR

ψψ= es llamado matriz residuo. La ecuación (1.23) puede reescribirse

como:

[ ] = +−

+=

N

r rrr

rr

wwjww

jwBAjwH

122 2)(

)(ξ

,

donde [ ])Im()Im()Re()Re(2 rrrrr sRsRA +−= y )Re(2 rr RB = y donde el término

rr jwBA + es llamado constante modal. La constante modal es un número complejo que contiene la información sobre el movimiento relativo existente entre los distintos grados de libertad que componen el sistema vibratorio. A partir de este término, se pueden obtener las formas de los modos de vibración.

El análisis modal experimental se basa en las mediciones de respuestas de frecuencia debido a una excitación realizada en el punto k y a una respuesta medida en el punto j. Dentro de la matriz [ ])( jwH , esta medición correspondería al elemento

[ ] )()( whjwH jkjk = . La expresión correspondiente a este término es

[ ] [ ]( )

= +−

−−=

n

r rrrrr

rrrkrjrjk

aw

jwh

122222

2

4)1(

2)1()(

ξββξββψψ

,

donde 2 1r r rβ ξ ξ= + + .

Es conveniente realizar un análisis de las implicancias físicas que algunas de las

variables y fórmulas expuestas en el desarrollo matemático tienen en el comportamiento vibratorio de la estructura.

La información entregada por el factor de amortiguamiento rσ y la frecuencia natural

amortiguada drw (Ec. 1.22) correspondiente al modo r puede ser visualizada más

claramente examinando la función de respuesta al impulso del sistema. Esta función se obtiene aplicando la transformada inversa de Fourier a la función de respuesta de frecuencia (Ec. 1.23)

(1.23)

(1.24)

(1.25)


14

[ ] [ ] [ ]

=

−− +=N

r

tjwr

tjwr

t drdrr eReRetH1

* )()( σ

En el caso de un sistema masa – resorte - amortiguador de un grado de libertad (SDOF),

la respuesta al impulso tiene la siguiente forma

tiwttiwtw doo eexeexth σξξ −−− == ˆˆ)(21

En la figura 1.2 se observa que el factor de amortiguamiento determina la rapidez con la

cual la amplitud de la masa de la estructura decae, mientras que la frecuencia natural amortiguada determina la cantidad de oscilaciones por segundo de la masa.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Res

pues

ta

( )tiw deRe

te σ−

dw

π2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Res

pues

ta

( )tiw deRe

te σ−

dw

π2

Figura 1.2: Implicancia física del factor de amortiguamiento y la frecuencia natural

amortiguada en la respuesta al impulso de un sistema SDOF.

1.2.3. Tipos de Funciones de Respuesta de Frecuencia

Las funciones de respuesta de frecuencia son evaluadas a través de la razón existente entre la salida y entrada a un sistema. En el ámbito de la dinámica estructural, las salidas pueden corresponder ya sea a la aceleración, velocidad o desplazamiento. Es muy común la utilización de acelerómetros para la medición de la respuesta del sistema. La función de

transferencia resultante en este caso corresponde a )(

)(2

wF

wXw , en donde )(wF es la

trasformada de Fourier de la entrada (fuerza) y )(2 wXw es la transformada de Fourier de la salida (aceleración). La Tabla 1.1 es un resumen de los nombres utilizados para la denominación de los distintos tipos de funciones de transferencia:

(1.26)

(1.27)


15

Parámetro de Respuesta R

R/F (Estándar )

F/R (Inversa)

Desplazamiento

-Receptancia -Admitancia -Compliancia Dinámica -Flexibilidad Dinámica

-Rigidez Dinámica

Velocidad -Mobilidad -Impedancia Mecánica

Aceleración -Inertancia -Acelerancia -Masa Aparente

Tabla 1.1: Distintos tipos de FRF [1].

Capítulo 2 - Análisis Modal Experimental

16

2. ANÁLISIS MODAL EXPERI MENTAL

2.1. Cadena Básica de Medición

2.1.1. I ntroducción

Si bien existen diversas configuraciones en cuanto al equipamiento requerido para la medición de FRF, en términos generales existen tres etapas comunes a cualquier tipo de sistema de medición:

- Mecanismo de Excitación: en el caso del análisis modal experimental, el martillo de impacto y el shaker son los mecanismos de excitación de la estructura más habituales.

- Mecanismo de Transducción: convierte los parámetros mecánicos de interés en señales eléctricas proporcionales. Los transductores de mayor uso son los acelerómetros y transductores de fuerza.

- Analizador : permite la realización de los cálculos requeridos para la obtención de la FRF, además de brindar otras prestaciones tales como la visualización de la FRF y de las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia

ControlControl

GeneradorGenerador

AnalizadorAnalizador

Amplificador dePotencia


ShakerShaker

Acondicionadoresde Señal

Acondicionadoresde Señal Estructura

MonitorMonitor

Transductor de Fuerza

Acelerómetro

ControlControl

GeneradorGenerador

AnalizadorAnalizador



ShakerShaker

Acondicionadoresde Señal

Acondicionadoresde Señal Estructura

MonitorMonitor

Transductor de Fuerza

Acelerómetro

Figura 2.1: Cadena básica de medición [1].

2.1.2. Excitación de la Estructura

Al medir FRF, la estructura debe ser excitada por una fuerza dinámica mensurable. No existen restricciones teóricas para la forma de onda de la fuerza empleada. De todas formas, ciertos parámetros deben ser considerados al elegir el tipo de excitación a utilizar:

- Aplicación: Depende de la precisión requerida en los resultados, así como del tiempo e instrumentación disponibles.


17

- Control de Espectro: Es la capacidad de limitar el contenido espectral de la excitación al rango de frecuencias de interés. Este problema puede ser fácilmente controlado si se dispone de un filtro antialiasing o de un ecualizador.

- Factor de Cresta: Se define como la razón entre el peak y la desviación estándar de la señal. Altos factores de cresta producen una disminución de la relación señal-ruido y pueden, además, provocar un comportamiento no lineal de la estructura.

La excitación puede ser provocada por mecanismos unidos a la estructura o por mecanismos que provocan un impacto impulsivo sobre la estructura. Los mecanismos de excitación de uso mas generalizado son los Martillos de Impacto y los Shakers Electro-Magnéticos (Fig. 2.2).

Apoyo

Estructura Magnética

Bobina

Agujero Ranurado

Magneto

Suspensión

Protección ElásticaGuía

Carcaza

Figura 2.2: Shaker electro-magnético [21].

2.1.3. Transducción Mecánico - Eléctrica

Al momento de excitar la estructura, tanto la excitación como la respuesta deben ser medidas para obtener la FRF deseada. Este proceso requiere del uso de transductores mecánico-eléctricos.

Los transductores que han alcanzado mayor uso en la actualidad son los transductores piezoeléctricos. Estos dispositivos funcionan en base a la propiedad de los materiales piezoeléctricos de generar una carga eléctrica cuando son sometidos a fuerzas mecánicas. Este tipo de transductores poseen tamaño pequeño, baja masa y han demostrado tener buena linealidad, amplio rango dinámico y buen funcionamiento dentro de un extenso rango de frecuencia.


18

En el caso de los sensores de fuerza, la fuerza F transmitida se aplica directamente a través del cristal piezoeléctrico, el que a la vez genera una carga qproporcional aF .

F

F

Cristales Piezoeléctricos

-

+

q

Carcaza Figura 2.3: Principio de funcionamiento de sensor de fuerza [1].

Para la medición de respuesta del sistema se utilizan generalmente acelerómetros

piezoeléctricos. La fuerza aplicada sobre el material piezoeléctrico se realiza mediante una masa sísmica. El movimiento de la estructura provocará el movimiento de la masa, la que ejercerá una fuerza sobre los cristales piezoeléctricos proporcional a la aceleración. Finalmente, los cristales generarán una carga eléctrica proporcional a la aceleración de la masa. El principio general de funcionamiento de estos acelerómetros puede ser visto en la figura 2.4:

M

m

q

Cuerpo

Cristales

Masa Sísmica

Resorte de Precompresión

Figura 2.4: Principio de funcionamiento de un acelerómetro de tipo compresión [1].

Las resonancias presentes en estos acelerómetros y que definen el rango de frecuencias de trabajo dependen, en gran medida, del tipo de montaje que se utilice (Fig. 2.5)


19

Desviación de

Sen

sibilida

d

Frecuencia (Hz)

CementoGomaAdhesiva

CojineteMagneto

PlanoDoble

MagnetoFijaciónManual

Desviación de

Sen

sibilida

d

Frecuencia (Hz)

CementoGomaAdhesiva

CojineteMagneto

PlanoDoble

MagnetoFijaciónManual

Figura 2.5: Efectos del tipo de montaje en el rango de funcionamiento de un acelerómetro [19].

2.1.4. Conversión Análogo Digital y Analizador

La conversión de una señal continua a una discreta se realiza mediante un conversor análogo digital. Estos dispositivos toman muestras discretas [ ]nx de la señal continua ( )tx

cada cierto período de tiempo T determinado por la frecuencia de muestreo sf . La cantidad de bits del conversor condicionará la fidelidad en cuanto a amplitud de la muestra

[ ]nx , respecto al correspondiente valor de la señal original. La mayoría de los analizadores utilizados actualmente son los llamados ‘Analizadores

Digitales de Espectro’ y permiten el cálculo directo (utilizando la Transformada Discreta de Fourier), del contenido espectral, tanto de las señales de entrada y de salida, de las FRF y permiten además al usuario emitir señales. En el caso de los analizadores más costosos se puede realizar el cálculo directo de las propiedades modales del sistema bajo estudio.

2.2. Procesamiento Digital de Señales

2.2.1. I ntroducción El análisis de las señales en el dominio discreto requiere de una serie de pasos y

consideraciones necesarias para la correcta obtención de resultados y minimización de los errores propios del proceso de discretización. En los siguientes puntos se plantea la importancia que la Transformada Discreta de Fourier tiene en el proceso de discretización y análisis de señales.

La figura 2.6. muestra los pasos básicos del proceso del análisis de Fourier en tiempo

discreto, para una señal en tiempo continuo.


20

Filtro Antialiassing Conversión A/D x DFT

)( ΩjHaa

)(txc)(tsc [ ]nx

[ ]nw

[ ]nv [ ]kV

Figura 2.6: Pasos del proceso del análisis de Fourier [20].

2.2.2. Aliasing

Uno de los principales problemas asociados a la discretización de señales continuas es el llamado solapamiento o aliasing. Si la señal original contiene componentes de frecuencias mayores a 2 veces la frecuencia de muestreo sf , no será interpretada correctamente por el analizador (Fig. 2.7). Las componentes de frecuencias altas se interpretarán como más bajas, lo que generará ‘distorsión por solapamiento’ .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 2.7: El fenómeno del aliasing.

Los filtros antialiasing representan una solución a este problema, permitiendo controlar

el contenido espectral de la señal mediante la aplicación un filtro pasa-bajos antes de ingresar a la etapa de conversión A/D.

2.2.3. Transformada Discreta de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) permite el cálculo del espectro de una señal discreta. El proceso de representación en el dominio de la frecuencia es reversible y se realiza mediante la llamada Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT). Los algoritmos que permiten el cálculo están dados por las fórmulas

IDFT: NknjN

k

ekXN

nx /21

0

)(1

)( π −

=

= ; 10 −≤≤ Nn

(2.1)


21

DFT: NknjN

n

enXKX /21

0

)()( π −

=

= ; 10 −≤≤ Nn

donde N es el largo del registro y tamaño de la DFT.

Con el fin de reducir los tiempos de cálculo, se ha planteado un algoritmo eficiente de cálculo de la DFT, llamado Transformada Rápida de Fourier (FFT). El tiempo requerido para el cálculo de la FFT es de aproximadamente NN 2log , mientras que el requerido para

el cálculo de la DFT es de 2N . Es importante mencionar que la FFT asume para su utilización que la señal analizada es periódica.

2.2.4. Fuga Espectral

Este problema se produce debido al incumplimiento por parte de una señal finita del requerimiento de periodicidad de la FFT. En la figura 2.8 se observa una señal sinusoidal que no cumple con este requerimiento, por lo que la aplicación de la FFT no arroja una única línea espectral, corrompiéndose así su verdadero contenido en el dominio de la frecuencia.

0f

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

00f

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t0 1 2 3 4 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t Figura 2.8: Fuga espectral.

El control de las fugas espectrales intenta reducir las amplitudes de los lóbulos laterales

que aparecen debido al registro de datos finitos. Una solución práctica a este problema es la aplicación de una función ventana. En el dominio temporal, las ventanas ayudan a que la señal satisfaga de mejor manera los requerimientos de periodicidad de la FFT (Fig. 2.9). En el análisis modal experimental, es de uso común la ventana Exponencial para las pruebas de impacto y el uso de la ventana Hanning para las pruebas con señales de excitación aleatorias.

(2.2)


22

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Señal Aleatoria

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

Señal Aleatoria Enventanada

Figura 2.9: Aplicación de ventana Hanning a señal aleatoria.

2.3. Determinación de la Función de Respuesta de Frecuencia y Coherencia

2.3.1. Proceso General de Obtención de FRF y Función de Coherencia

Conviene plantear un esquema que resuma todos los pasos requeridos para la obtención de la FRF y de la coherencia entre dos señales. El siguiente esquema emula el proceso seguido por dos señales en un analizador FFT de dos canales.

)( tf)( nf

)( nx)( tx

)( wF

)( wX

FFG

FXG

XXG

XX

FX

G

G

XF

XX

G

G

XF *

1H

2H

2γFFXF

XF

GG

G2

FF *

XX *

Ventana

Ventana

Muestreo y Cuantización Transformación

Estimación Espectral

Post Proceso

Mediciones Presentaciones

Canal de Excitación

Canal de Respuesta

Figura 2.10: Analizador FFT de dos canales [13].


23

Las secciones de ‘Muestreo y Cuantización’ y ‘Transformación’ (figura 2.10) ya fueron

expuestas en las secciones 2.1.4 y 2.2.3, respectivamente. A continuación, se realiza un breve análisis de los procesos realizados en las secciones ‘Estimación Espectral’ y ‘Post Proceso’ .

2.3.2. Estimación de la FRF

Idealmente la obtención de la FRF debería realizarse simplemente mediante el cálculo de la razón entre el espectro de la respuesta del sistema y el espectro de la fuerza aplicada. Sin embargo, en la práctica, la presencia de ruido mecánico o eléctrico en las distintas etapas de la medición (Fig. 2.11), hacen necesario el uso de diversas herramientas estadísticas que permiten minimizar estos problemas.

)(wH

++

Fuerza Respuesta Real

++Ruido RuidoFuerza Medida Respuesta Medida

Figura 2.11: Presencia de ruido en mediciones [13].

El principio de los mínimos cuadrados [24] permite minimizar el efecto del ruido en la salida:

( ))(

)(

)()(

)()(

1

*

1

*

1 wG

wG

wFwF

wXwFwH

FF

FXN

iii

N

iii

prom

prom

==

=

= ,

donde )(wGFX es el espectro cruzado entre la respuesta y la fuerza y donde )(wGFF es el autoespectro de la fuerza.

El ruido en la entrada del sistema puede minimizarse de manera análoga:

( ))(

)(

)()(

)()(

1

*

1

*

2 wG

wG

wFwX

wXwXwH

XF

XXN

iii

N

iii

prom

prom

==

=

= ,

donde )(wGXF es el espectro cruzado entre la fuerza y la respuesta y donde )(wGXX es el autoespectro de la respuesta.

(2.3)

(2.4)


24

Finalmente ( )wH1 y ( )wH2 conforman los límites del intervalo de confianza para la

verdadera FRF, ( )wH :

( ) ( )wHwHwH 21 )( ≤≤

2.3.3. Estimación de la Función de Coherencia

La función de coherencia otorga una forma de corroborar el grado de linealidad entre una señal de entrada y una de salida. Esta función se define como:

)()(

)(

)(

)()(

2

2

12

wGwG

wG

wH

wHw

FFXX

XF==γ ,

donde 1)(0 2 ≤≤ wγ .

En términos generales, la coherencia adopta el valor 1 si no existe ruido presente en las mediciones y el valor cero si sólo existe ruido en las mediciones. En el caso de las resonancias, el valor de esta función será cero [1,4].

2.4. Extracción de los Parámetros Modales

2.4.1. Clasificación de los métodos de Identificación

Los distintos métodos de extracción de parámetros modales pueden clasificarse de varias formas. Algunos de estos métodos trabajan en el dominio del tiempo y otros en el dominio de la frecuencia. A su vez, estos métodos pueden clasificarse como directos (identificación de la FRF basada en el modelo modal), o indirectos (identificación de la FRF basada en el modelo espacial).

Existe también una clasificación que indica la utilidad de los métodos al enfrentarse a distintos grados de acoplamientos modales. En el caso que la FRF muestre un acoplamiento modal ligero (modos relativamente independientes o aislados entre sí), el análisis SDOF puede dar resultados exactos. En el caso de un fuerte acoplamiento modal o de tener modos muy cercanos, el análisis MDOF se hace necesario.

Algunos métodos de análisis modal pueden procesar sólo una FRF a la vez (métodos SISO), mientras que otros métodos pueden trabajar con varias FRF a la vez, en donde la fuerza se aplica siempre en el mismo punto y la respuesta se mide en distintos lugares (métodos SIMO o globales). Finalmente, existen métodos que trabajan con FRF obtenidas variando tanto los puntos de excitación como los de medición de respuesta (métodos MIMO o de polireferencia).

La figura 2.12 es un resumen de los distintos métodos de extracción:

(2.5)

(2.6)


25

Métodos de Identificación

Dominio de la Frecuencia

Dominio del Tiempo

Indirecto MDOF

Directo MDOF

SISO

SIMO

MIMO

SISO

MIMO

CESSTD

LSCEITD

PRCEERA

ARMA

DSPI

Indirecto

SDOF

Directo

MDOF

SISO

MIMO

SIMO

QuadratureResponseMax. Quad. Comp.Kennedy – PancuCircleFittingInverseBendentPeak Amplitude

GSHEwins-GleesonFDPMCEFDRFP

SISO

GRFPGLOBAL

ERD-FDPRFD

SIMOMDOF

SFDISSPA

SpectralMulti-MatrixSIMO

Figura 2.12: Clasificación de lo métodos de extracción de parámetros modales [26].

2.4.2. Método de Extracción de Peaks

Como ya se demostró en la sección 1.2.1, el sistema original acoplado de N grados de libertad se descompuso en subsistemas de un grado de libertad. La expresión para la FRF, correspondiente al modo r es [2]:

+−

−−

=2

2

2

2

2

4)1(

2)1(

)(

rrr

rr

rrr

r

w

w

w

wmw

w

wi

w

w

wh

ξ

ξ,

en donde rr

rr

mk

c

2=ξ y rm , rk , rc corresponden a la masa, rigidez y amortiguamiento

modal, respectivamente.

Al evaluar la expresión 2.7 en la frecuencia natural rww = , la parte real de la ecuación

se iguala a cero, por lo que tanto la magnitud como la fase de )(whr dependen sólo de su

(2.7)


26

parte imaginaria. De esta forma, al realizar mediciones en una estructura dada y luego de obtener la parte imaginaria de la FRF, es posible determinar las formas de los modos que gobiernan el comportamiento vibratorio de la estructura [2,5]. Esto es posible debido a que la respuesta del sistema es igual al producto de la FRF y la transformada de Fourier de la excitación. Como la respuesta del sistema es proporcional a la excitación, puede asumirse que la respuesta del sistema en rww = será proporcional a la FRF evaluada en rww = , lo que hace válida la utilización de la parte imaginaria de la FRF para la obtención gráfica de los modos de vibración de la estructura.

El procedimiento se realiza de la siguiente manera:

1. Luego de haber realizado las mediciones de las distintas )(whij ( i constante en el

caso de utilización de martillo de impacto, j constante si se utiliza un shaker), se analizan cuidadosamente las partes imaginarias de las FRF medidas, registrando el valor de los peaks correspondientes a ondas de pliegue. Es necesario también registrar la posición del punto en el cual se realizó la medición. Esto será equivalente a registrar una fila de la matriz función de transferencia (prueba de impacto), o una columna (shaker).

2. Posteriormente, se traza una curva que une los peaks registrados en las posiciones

correspondientes. Diversos métodos de interpolación pueden ser utilizados en esta etapa del análisis (interpolación lineal, cuadrática, splin cúbico, bilineal, bicúbica , entre otros). De esta manera, se reconstruirán las formas de modo correspondientes. La figura 2.13 es un ejemplo de reconstrucción de modo para un barra empotrada libre.

( )jh2Im

)(Hzf)(Hzf )(Hzf Figura 2.13: Reconstrucción del segundo modo de vibración para barra empotrada libre

mediante el método de extracción de peaks [5]. En las secciones 4.1.3 y 4.2.3 se describe el proceso de obtención de las formas de

modos de vibración de una barra empotrada – libre y de una placa libre en sus cuatro bordes, mediante este método aplicado a datos obtenidos experimentalmente.

Finalmente, debe mencionarse que la utilización de este método no es adecuada cuando

las estructuras presentan una alta densidad modal. Las contribuciones energéticas de los modos cercanos pueden provocar alteraciones en el valor de la FRF evaluada en rww = .

Capítulo 3 – Metodología

27

3. METODOLOGÍ A

3.1. Metodología General de Medición y Análisis Se implementó un sistema de medición de FRF aplicado al análisis modal de vibraciones

usando la instrumentación y softwares disponibles en el Instituto de Acústica de la Universidad Austral de Chile. Además, se diseñaron dos experimentos cuyos resultados ya han sido estudiados y modelados, con el fin de poder comparar los resultados obtenidos mediante mediciones, con los obtenidos utilizando la teoría.

El software utilizado para el procesamiento de los datos adquiridos y la obtención, visualización y almacenamiento de las FRF y funciones de Coherencia, fue programado en LabView 6i.

El análisis posterior se realizó utilizando Matlab. La figura 3.1 es un resumen del sistema de trabajo utilizado:

PC:-LabView 6i-Matlab R12

PC:-LabView 6i-Matlab R12

Conversor A/DConversor A/D

EcualizadorEcualizador

Reproductor de CDReproductor de CD

AmplificadorAmplificador

ShakerShaker

Estructura

Acondicionadores de Señal

Acelerómetro Sensor de Fuerza

Figura 3.1: Esquema general de trabajo.

Este sistema de medición se basa en las propuestas planteadas en las referencias [1,3,4,5].

3.2. I nstrumentación Disponible

El siguiente es el equipamiento con el cual se implementó el sistema de medición y se realizaron las respectivas mediciones:

1. Acelerómetros PCB Piezotronics 352C67 (2 gramos) y 352C22 (0,5 gramos).


28

2. Sensor de fuerza PCB Piezotronics 209C01 .

3. 2 acondicionadores de señal PCB Piezotronics 480C02 .

4. Shaker Bruel & Kjaer 4810.

5. Front End NI BNC-2090.

6. Conversor A/D NI PCI-6036E.

7. Amplificador Samson Servo 260.

8. Ecualizador Behringer Ultragraph Pro, modelo FBQ 6200.

9. Reproductor American Audio MCD-110.

10. Cables.

11. Software LabView 6i.

12. Software Matlab R12.

13. Barra de Aluminio de 40cm x 1,9 cm x 0,3 cm.

14. Placa de Aluminio de 80cm x 80cm x 0,2 cm.

15. Prensas, barras de hierro, material aislante, bloque de cemento para

empotramiento de la barra, etc.

3.3. Uso y Estructura del Software de Cálculo de FRF y Función de Coherencia

3.3.1. I ntroducción

LabView es un lenguaje de programación diseñado especialmente para la adquisición y procesamiento de datos obtenidos mediante mediciones. Este lenguaje ofrece paquetes de funciones prediseñadas llamadas ‘Sub VI’s’ (Sub Virtual Instruments), que pueden ser directamente utilizadas por el programador.

Vale la pena mencionar que, debido a la naturaleza gráfica de programación utilizada en LabView y a la gran cantidad de subfunciones requeridas para la realización del programa ‘VibronMulti2’, se revisará el software por secciones y se analizarán las subfunciones que poseen mayor importancia dentro del algoritmo diseñado, ya que un análisis absolutamente detallado del diagrama de flujo general del programa no puede ser realizado en formato


29

tesis por razones de espacio. Si algún interesado desea realizar un examen detallado al diagrama de flujo, puede acceder directamente al programa que se encuentra en el CD adjunto.

3.3.2. Sistema Multicanal y Advertencias de Posibles Errores en la Configuración

Se permite la medición simultánea de hasta 7 ó 12 FRF y funciones de coherencia (según el número de sensores de fuerza utilizados). Ha sido diseñado de este modo para así poder utilizar todos los canales (en modo diferencial), del Front End BNC 2090. El usuario definirá los canales a utilizar en el panel de control (Fig 3.2), teniendo en cuenta los siguientes pasos:

1. Configurar el número de sensores de fuerza y acelerómetros a utilizar: Por defecto el número de sensores de fuerza y de acelerómetros es uno, ya que este modo de trabajo es el más usual. Sin embargo, se brinda la posibilidad de utilizar hasta 7 acelerómetros e incluso dos sensores de fuerza en caso de que se requiera verificar o comparar con rapidez la utilización de dos sensores o tipos de excitación distintos. Es importante destacar que, en este caso, el uso de dos sensores de fuerza no es para el cálculo de FRF utilizando múltiples excitaciones.

2. Asignar a cada sensor y a cada acelerómetro un número de canal específico: por ejemplo, si en el paso a) se selecciona una cantidad de 1 sensor de fuerza y 3 acelerómetros, sólo las ventanas Sensor 1, Ac 1, Ac 2 y Ac 3 tendrán utilidad, ya que el número escrito en las ventanas Ac 4, Ac 5, Ac 6 y Ac 7 no será considerado por el algoritmo.

Figura 3.2: Configuracón de canales.

3. Verificar si la ventana ‘Advertencia Canales’ emite algún aviso: Estas advertencias no corresponden necesariamente a errores. En el caso de advertencias visibles, el usuario deberá verificar si el mensaje emitido se aplica a su configuración. El usuario podrá revisar el contenido de cada mensaje presionando las teclas


30

Control+H y situando el cursor sobre esta ventana. La configuración de canales que el software trae por defecto no posee errores, en cualquier caso ésta puede utilizarse como alternativa segura, variando solamente el número de acelerómetros o sensores de fuerza si el usuario así lo requiere.

3.3.3. Configuración de Parámetros de Adquisición de Datos

LabView 6i también ofrece un paquete de funciones o ‘Sub VI’s ‘ (Sub Virtual Instruments), prediseñadas y destinadas a la configuración de la adquisición de datos. La primera de estas subfunciones en ser utilizada corresponde a ‘AI Acquire Waveforms.vi’ (Fig. 3.3.a). Esta subfunción constituye el nexo entre LabView y la tarjeta de adquisición, permitiendo controlar los siguientes parámetros:

a) Tarjeta de adquisición de datos a utilizar: La opción ‘device’ corresponde al número

asignado a la tarjeta de adquisición utilizada. En este caso el número es 1.

b) Canales a utilizar: La opción ‘channels’ especifica que canales de la tarjeta serán utilizados.

c) Número de muestras por canal: La opción ‘number of samples/ch’, corresponde al número de muestras que serán almacenadas y con las cuales se realizarán las distintas operaciones matemáticas requeridas para los cálculos asociados a la obtención de la FRF.

d) Frecuencia de muestreo: La opción ‘scan rate’ permite seleccionar la frecuencia de muestreo.

Figura 3.3.a: Sub función ‘AI Acquire Waveforms.vi’ y configuración de parámetros de

adquisición de datos.


31

e) La salida ‘waveforms’ es un arreglo de 2 dimensiones que contiene la información adquirida en todos los canales. Cada columna de este arreglo contiene información sobre una muestra de información y sobre el canal del cual esa muestra proviene.

Como la información de los canales viene contenida en un solo arreglo (‘waveforms’), es necesario filtrar la información proveniente de cada uno de estos canales. La separación de las señales en arreglos que contengan las formas de onda de algún canal específico, se realiza mediante la subfunción ‘ Index Waveform Array.vi ’ (Fig. 3.3.b).

Figura 3.3.b: Sub función ‘ Index Waveform Array.vi’ .

a) La entrada ‘waveformarray’ es la misma salida ‘waveforms’ proveniente de la subfunción ‘AI Acquire Waveforms.vi’ .

b) ‘ Index’ corresponde al número de canal del cual se desea extraer la información.

c) La salida ‘waveform’ corresponde finalmente a la forma de onda proveniente por el canal especificado en ‘ index’.

3.3.4. Configuración y Cálculo de FRF y Función de Coherencia

Labview proporciona una subfunción (‘Frequency Response Function (Mag-Phase).vi’), incorporada directamente en el programa realizado que permite el cálculo directo de la FRF y de la función de coherencia. Esta subfunción permite ingresar directamente las distintas señales, variables, parámetros y otra subfunciones requeridas para su funcionamiento (Fig. 3.4)

Figura 3.4: Entradas y salidas de Sub VI ‘Frequency Response Function (Mag-Phase).vi’ .


32

a) Las entradas ‘time signal x’ y ‘ time signal y’ corresponden a las señales de excitación y de respuesta, respectivamente y corresponden a las salidas ‘waveform’ de los sub VI ‘ Index Waveform Array.vi ’ .

b) ‘Window’ permite el uso, si así se requiere, de cualquiera de las funciones ventana proporcionadas por esta versión de LabView . Las ventanas disponibles son: Hanning, Hamming, Blackman-Harris, Exact-Blackman, Blackman, Flat Top, 4 Term B-Harris, 7 Term B-Harris, Low Sidelobe. En las mediciones se utilizó la ventana Hanning debido a que es recomendada para las mediciones con ruido aleatorio.

c) ‘Averaging parameters’ permite la realización de promediaciones si así se requiere. Esta herramienta permite controlar el ‘modo de promediación’ (Vector Averaging, RMS Averaging), el ‘modo de ponderación’ (Linear, Exponential) y el número de promediaciones requeridas. En las mediciones se utilizó en el modo de promediación RMS una ponderación lineal, debido a que de esta manera la FRF se estabilizaba más rápidamente.

d) ‘FRF mode’ permite seleccionar el tipo de FRF que se desea obtener ( 1H , 2H o

3H ). Para la mayor parte de las mediciones, se utilizó 1H pues los resultados obtenidos coincidían de mejor forma con los obtenidos teóricamente.

Las salidas de esta subfunción (Fig. 3.4) se describen a continuación:

e) ‘Averaging Done’ es un indicador luminoso que se activa cuando las

promediaciones fueron realizadas.

f) ‘Magnitude’ y ‘Phase’ corresponden a la magnitud y fase de la FRF, en el dominio de la frecuencia.

g) ‘Coherence’ corresponde a la respectiva función de coherencia.

h) ‘Averages completed’ indica cuantas promediaciones han sido realizadas.

3.3.5. Visualización El programa posee 5 ventanas en las cuales se puede visualizar:

a) La forma de onda de la señal proveniente desde el sensor de fuerza (Fig. 3.5.a), b) la forma de onda de la señal proveniente desde el acelerómetro (Fig. 3.5.a),


33

Figura 3.5.a: Señales temporales de fuerza y aceleración.

c) magnitud (o parte real) de la FRF (Fig. 3.5.b),

d) fase (o parte imaginaria) de la FRF (Fig 3.5.b) y

Figura 3.5.b: Magnitud y fase de FRF medida.

e) función de coherencia (Fig. 3.5.c).

Figura 3.5.c: Coherencia.


34

LabView ofrece opciones para la visualización del gráfico según las necesidades del usuario. Permite, por ejemplo, utilizar escalas logarítmicas, realizar zoom, opción de autoajuste, entre otros.

3.3.6. Selección de Display y Advertencias de Errores en Selección de Visualización

En el caso de realizar mediciones utilizando más de dos canales, el usuario podrá visualizar la FRF y formas de onda que requiera durante el proceso de medición, mediante la utilización de la sección Display. Si el usuario desea observar la forma de onda medida en el acelerómetro ‘ i’ , la forma de onda proveniente del sensor de fuerza ‘ j’ , la FRF ijH y

finalmente la correspondiente función de coherencia, los pasos a seguir son:

a) Selección del acelerómetro y sensor de fuerza requeridos: Si se desea observar el

acelerómetro 1 y sensor de fuerza 1, debe ingresarse un 1 en la ventana ‘Acelerómetro’ y un 1 en la ventana ‘Sensor de Fuerza’ . No debe ser ingresado el número de canal.

b) Selección de modo de visualización de FRF: Puede visualizarse la Magnitud y Fase de la FRF o la Parte Real e Imaginaria de ésta.

c) Verificación de errores: En caso de haber sido seleccionado un sensor o acelerómetro no utilizado, se activará una advertencia.

Figura 3.6: Elección de canales, FRF y función de coherencia a visualizar.

3.3.7. Exportación de Datos a Matlab La subfunción ‘Write to SpreadSheet File.vi’ (Fig. 3.7), permite exportar los datos

medidos en el formato especificado. Este formato se ha elegido de tal forma que los datos exportados sean compatibles con Matlab.


35

Figura 3.7: Exportación de Datos a Matlab.

El uso de este comando activa un cuadro de diálogo en el cual el usuario determina dónde los datos serán guardados. Primero, se guarda la coherencia y luego la FRF, cuya primera fila corresponde a la magnitud y su segunda fila corresponde a la fase. Después de haber sido almacenados los datos, el programa se detendrá.

Las entradas de esta subfunción son las siguientes:

a) ’2D data’ y ‘1D data’ corresponden a la información que se desea guardar. Si esta información corresponde a números complejos, esta debe ser agrupada utilizando algún cluster y luego ingresada a la subfunción en la entrada ‘2D data’. Si la información corresponde sólo a números reales, ésta se agrupa utilizando un cluster y se ingresa en la entrada ‘1D data’ .

b) ‘ format %.3f’ asigna el formato requerido por el usuario a los datos.

3.3.8. Diagrama de Flujo General

Por la gran cantidad de casos considerados en la programación, resulta más simple visualizar el flujo de datos separando el algoritmo en secciones. Cada una de estas secciones cumple una función principal. El contenido de estas secciones variará según la cantidad de sensores y acelerómetros utilizados (Case N.S. y Case N.Ac. - Ver figura 3.8), pero su función principal siempre será la misma.

Existen además conjuntos de entradas proporcionadas por el usuario que pueden ser

agrupadas según el uso que se les dé. A continuación se presenta el algoritmo simplificado correspondiente al programa diseñado:


36

S1S1S2S2 S3S3 S4S4 S5S5Waveforms

P.Ad.

C.a.Ut.

WindowAv.Par.

FRF Mode

Exc

Exc.Ac.

Ac

MagFaseCoh

ExcAc

MagFaseCoh

S6S6

Orden deExportar

Orden deDetención

N.Ac. N.S.

Case N.S.

Case N.Ac.

S7S7

S8S8

P.Vis.

Detener o Continuar

LO

OP

Parámetros ingresados por el usuario

Secciones

Figura 3.8: Algoritmo resumido del programa.

Las secciones indicadas en la figura se describen a continuación:

- Sección 1: Constituye el nexo de comunicación entre el programa y la tarjeta de

adquisición de datos (Punto 3.3.3). - Sección 2: Obtiene las formas de ondas correspondientes a cada canal (Punto 3.3.3). - Sección 3: Realiza el cálculo de la FRF y coherencia (Punto 3.3.4). - Sección 4: Selecciona las señales, FRF y coherencia a graficar, además de convertir

la FRF a parte real e imaginaria si el usuario lo requiere para la visualización (Punto 3.3.6).

- Sección 5: Grafica las señales determinadas en la sección 4 (Punto 3.3.5). - Sección 6: Exporta datos y envía orden de detención o continuación del programa.

Esta continuación depende del Loop indicado en la figura 3.9. - Sección 7: Detecta posibles fallas en la configuración de los canales (Punto 3.3.2). - Sección 8: Detecta posibles fallas en instrucciones de visualización (Punto 3.3.6).

Los parámetros ingresados por el usuario se agrupan en:


37

- Parámetros de adquisición (P.Ad.): Remitirse al punto 3.3.3. - Canales a Utilizar (C.a.Ut): Remitirse al punto 3.3.2. - Parámetros de visualización: Remitirse al punto 3.3.6. - Número de acelerómetros (N.Ac): Remitirse al punto 3.3.2. - Número de sensores de fuerza (N.S): Remitirse al punto 3.3.2. - Ventanas, parámetros de premediación y modo de FRF (Window, Av.Par., FRF

Mode): Remitirse al punto 3.3.4. - Orden de exportar: Remitirse al punto 3.3.7. - Orden de detención: Remitirse al punto 3.3.7.

3.4. Procedimientos de Medición

3.4.1. Barra Empotrada-Libre

La primera estructura bajo estudio fue una barra de aluminio. Sus características geométricas y estructurales se presentan en la siguiente tabla. La explicación sobre la elección de estas dimensiones se realiza en el punto 4:

Largo 40 cm. Densidad 2700 Kg/m3

Ancho 1,905 cm. Masa 61,722 gr Espesor 0,3 cm. Modulo de Young 72 x 109 N/m2

Volumen 22,86 cm3 Coeficiente de Poisson 0,34 Tabla 3.1: Características de barra bajo estudio.

La configuración utilizada para la excitación y medición de la respuesta de la barra se

aprecia en el siguiente diagrama:

Acondicionamiento de Señaly Cálculos

123456

7

8910

Acelerómetro Sensor de Fuerza

Barra de AluminioBloque de Cemento

Material Absorbente

Shaker

Figura 3.9.a: Diagrama de configuración experimental utilizada para mediciones a barra.


38

Figura 3.9.b: Foto de configuración experimental utilizada para mediciones a barra.

Las mediciones se efectuaron excitando la barra mediante el shaker en su extremo libre

y por lo tanto midiendo siempre la fuerza aplicada en el punto 1. Las aceleraciones fueron medidas en todos los puntos marcados en la figura 3.9.a. Las posiciones de cada punto se dan a conocer en la siguiente tabla:

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 1 cm 5 cm 8 cm 11 cm 15 cm 21 cm 23 cm 27 cm 32 cm 37 cm Tabla 3.2: Posiciones de los puntos de medición medidos a partir del extremo empotrado.

Los puntos no son equidistantes para disminuir la posibilidad de situar el acelerómetro

en más de un nodo, correspondiente a algún modo determinado.

La señal de excitación utilizada fue ruido blanco. Se decidió usar el acelerómetro PCB 352C22 después de realizar varias mediciones de prueba, utilizando un martillo de impacto y el acelerómetro PCB 352C67. La configuración utilizada para la adquisición y procesamiento de datos se resume en la siguiente tabla:

Frecuencia de muestreo 10 KHz Modo de promediación RMS Número de muestras por canal 20000 Modo de ponderación Lineal Ventana Hanning Número de promediaciones 50 Modo de FRF H1 Tabla 3.3: Configuración utilizada para la adquisición y procesamiento de datos en barra).


39

Después de medir, la FRF y Coherencia fueron exportadas a Matlab, en donde se llevó a cabo el método de extracción de peaks (sección 2.4.2). Los gráficos de los modos se realizaron utilizando la interpolación tipo Splin Cúbico [25].

3.4.2. Placa Libre en sus Cuatro Bordes

Una placa libre en sus cuatro bordes fue la segunda estructura bajo estudio. Se realizó la elección de esta estructura debido a que alcanzar las condiciones de borde descritas anteriormente es, en la práctica, más simple. Sus características geométricas y estructurales se presentan en la Tabla 3.4:

Largo 80 cm. Densidad 2700 Kg/m3

Ancho 80 cm. Masa 3,456 Kg Espesor 0,2 cm. Modulo de Young 72 x 109 N/m2

Volumen 1280 cm3 Coeficiente de Poisson 0,34 Tabla 3.4: Características de la placa bajo estudio.

Se requirió del diseño y construcción de una estructura metálica que permitiera

suspender la placa de tal forma que las condiciones de borde fuesen alcanzadas (Fig. 3.10.a, Tabla 3.5). La placa se suspendió en sus 2 esquinas superiores mediante 2 cables elásticos provenientes de la estructura. Cada uno de los elementos de esta estructura corresponde a tubos de metal, rellenando con arena las partes p5, p6, p7, p8 y p15 para disminuir la influencia de la estructura sobre los resultados de las mediciones.

P1

P2

P3 P4

P5 P6

P7 P8

P9

P10

P14

P15 P16

P17

P13

P11P12

150

30

35

Figura 3.10.a: Estructura diseñada para la suspensión de la placa.


40

Elemento P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Medida 110 110 65 65 153 153 155 155 110 Elemento P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 Medida 110 33 33 110 80 81 80 81

Tabla 3.5: Diagrama de estructura soporta placa. Dimensiones en cm.

Figura 3.10.b: Foto de configuración experimental utilizada en mediciones a placa.

Las mediciones se realizaron excitando la placa en el punto 40 mediante el shaker

suspendido por hilos de nylon (Fig. 3.10.b), y capturando la respuesta de la placa en forma de aceleraciones en 49 puntos equidistantes (Fig. 3.10.c).


41

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35

36 37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48 49

7 cm

7 cm

Figura 3.10.c: Esquema de puntos de medición utilizados en placa.

La configuración utilizada para la adquisición y procesamiento de datos se resume en la

siguiente tabla:

Frecuencia de muestreo 2 KHz Modo de premediación RMS Número de muestras por canal 8000 Modo de ponderación Lineal Ventana Hanning Número de premediaciones 50 Modo de FRF H1 Tabla 3.5: Configuración utilizada para la adquisición y procesamiento de datos en placa.

Al igual que en la barra, luego de medir, las FRF y Coherencias eran exportadas a

Matlab en donde se llevó a cabo el método de extracción de peaks. Los gráficos de los modos se realizaron utilizando la interpolación tipo Splin Cúbico.

Capítulo 4 – Resultados y Análisis

42

4. RESULTADOS Y ANÁLISI S

4.1. Barra Empotrada Libre

4.1.1. Predicciones Teóricas

La ecuación diferencial que describe el comportamiento de las ondas de pliegue que se transmiten a lo largo de una barra es [7,8]:

yy vkvx

44

4

)( =∂∂

,

en donde yv : Velocidad en la dirección ‘y’ )/( sm ; wBmk 4 '= ; número de onda de pliegue;

Lmm /'= : Masa por unidad de longitud; ρ : Densidad del material )/( 3mkg ; L : Longitud de la

barra )(m ; EIB = : rigidez al pliegue ( )2Nm ; E : Módulo de elasticidad o módulo de Young

( )2/ mN ; I : momento de inercia )( 4m En el caso de una barra con sección transversal

rectangular de altura h y ancho b 12/3bhI = )( 4m ; w : Frecuencia angular )/( segrad

Si la barra se encuentra empotrada en 0=x , se cumple que el desplazamiento y la velocidad angular son nulos, es decir:

0)(0

==x

xY ; 0)(

0

=∂

∂

=xx

xY

La condición libre en Lx = implica que no existen momentos ni fuerzas de corte:

0)(

2

2

=∂

∂

=Lxx

xY ; 0

)(3

3

=∂

∂

=Lxx

xY

Después de aplicar las condiciones de contorno (Ecs. 4.2 y 4.3) a la ecuación (4.1) y desarrollar

las expresiones resultantes [8], se obtiene la ecuación característica del sistema:

( ) 01)cosh(cos =+kLkL Las soluciones de la ecuación (4.4) determinan a las frecuencias naturales del sistema. Estas

soluciones han sido calculadas mediante un algoritmo programado en Matlab similar al método de bisección [25]. Luego de probar distintas longitudes, considerando las dimensiones de las barras disponibles en el mercado, e intentando obtener frecuencias naturales relativamente lejanas entre sí, para así evaluar el sistema dentro de un amplio rango de frecuencias, se obtuvieron las frecuencias naturales dadas en la tabla siguiente:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)


43

Fn 1 Fn 2 Fn 3 Fn 4 Fn 5 Fn 6 Fn 7 Fn 8 Fn 9 15 Hz 98 Hz 274 Hz 537 Hz 889 Hz 1328 Hz 1854 Hz 2469 Hz 3172 Hz

Tabla 4.1: Frecuencias naturales de barra empotrada - libre obtenidas teóricamente.

A partir de la ecuación (4.1) y de las condiciones de borde expuestas en las ecuaciones (4.2) y (4.3) puede determinarse una expresión que representa la forma de cada uno de los modos de vibración de la barra [28]:

( ) ( ) −

+−−

+−= )sinh()sin()sinh()sin(

)cosh()cos()cosh()cos()( xkxk

LkLk

LkLkxkxkCxY nn

nn

nnnnn

en donde la constante C es arbitraria [28] y nk corresponde a las soluciones de la ecuación (4.4). A partir de la ecuación (4.5) se obtendrán las formas teóricas de modo, que serán analizadas en la sección 4.2.3.

4.1.2. Resultados de Mediciones

La figura 4.1 muestra las magnitudes de las 10 FRF medidas en la barra:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hz

A/F

Magnitudes FRF Barra

Mag H 1-1Mag H 2-1Mag H 3-1

Mag H 4-1

Mag H 5-1Mag H 6-1Mag H 7-1

Mag H 8-1

Mag H 9-1Mag H 10-1

Figura 4.1: Magnitudes FRF medidas en barra.

En la figura se observan claramente los peaks asociados a las frecuencias de resonancia

ubicadas entre los 0 y los 5000 Hz. Utilizando las amplitudes de los peaks observados en los gráficos de las partes imaginarias de las 10 FRF medidas, se elaboró el cuadro resumen expuesto

(4.5)


44

en la Tabla 4.2. A partir de los valores expuestos en esta tabla se aplicará el método de extracción de peaks (sección 2.4.2). En el CD adjunto a esta tesis se encuentran claramente ordenados y organizados todos los registros de mediciones y gráficos utilizados para la obtención de los valores expresados a continuación.

Pos Hij FN6 Amp FN7 Amp FN8 Amp FN9 Amp

P10 Im 10-01 1076 -4,3 1509 4,7 1998 -7,12 2565 6,32 P9 Im 09-01 1082 -2,29 1518 -1,23 2006 5,09 2567 -5,90 P8 Im 08-01 1073 7,5 1516 -2,025 2009 -4,65 2570 5,06 P7 Im 07-01 1085 -0,28 1509 3,02 2012,8 3,53 2578 -4,39 P6 Im 06-01 1075 -6,57 1515 2,32 2005 6,70 2583 -3,16 P5 Im 05-01 1082,5 1,76 1513 -4,13 2002 -4,14 2591 0,54 P4 Im 04-01 1079 3,51 1510 4,27 2011 4,37 2588 -1,09 P3 Im 03-01 1082 -2,5 1518 0,5 2009 3,46 2571 4,81 P2 Im 02-01 1076 -3,67 1510 -3,2 2008 -5 2585 -1,98 P1 Im 01-01 1080 3,24 1515 4,51 2013 2,25 2586 1,75

Prom 1079,1 1513,3 2007,4 2578,4 Desv. Est. 3,9 3,6 4,8 9,5

Tabla 4.2: Resumen de frecuencias y amplitudes de peaks observados en partes imaginarias de FRF medidas en barra.

en donde:

Pos: Posición del acelerómetro; Hij: función de transferencia obtenida mediante respuesta en i y excitación en j; Im 10-01, …, Im 01-01: Parte imaginaria de H10-01,… , H01-01; P1,..., P10: Posición 1, ……, Posición 10 (especificadas en Tabla 3.2); FN1,…, FN9: Frecuencia Natural 1, … , Frecuencia Natural 9 (Hz); Amp: Amplitud observada; Prom: Frecuencia natural promedio para un modo específico; Desv. Est: Desviación estándar del conjunto de frecuencias naturales detectadas para un modo específico.

Pos Hij FN1 Amp FN2 Amp FN3 Amp FN4 Amp FN5 Amp P10 Im 10-01 17 -0,07 86 -0,08 227 0,53 440 -1,50 724 3,56 P9 Im 09-01 17 0,04 87 -0,70 225 2,74 434 -4,62 720 5,80 P8 Im 08-01 17,8 0,18 96,5 -1,14 225 2,95 440 -1,25 724 -3,81 P7 Im 07-01 17,8 0,21 86 -1,28 227 2,03 439 2,70 723 -4,01 P6 Im 06-01 17,8 0,29 86,3 -1,26 227,5 0,56 435,8 4,91 726,5 -1,45 P5 Im 05-01 18,5 0,37 87 -0,83 226 -2,09 440 1,13 718 5,29 P4 Im 04-01 18,3 0,43 87,3 -0,19 226 -2,08 438 -3,17 729 -0,33 P3 Im 03-01 19 0,45 88 0,43 228 -1,20 437 -3,60 724 -4,38 P2 Im 02-01 19,3 0,60 89 0,96 230 0,30 440 -1,00 725 -2,75 P1 Im 01-01 19,8 0,55 88,8 1,44 228,5 2,27 439 3,32 724 3,47

Prom 18,2 88,2 227 438,3 723,8 Desv. Est. 0,9 3,1 1,6 2,1 3,1


45

La validez de la consideración de cada una de las frecuencias indicadas en la Tabla 4.2, se discute a continuación.

4.1.3. Análisis y Comparación entre Predicciones Teóricas y Mediciones

Frecuencias Naturales La comparación entre las frecuencias naturales calculadas teóricamente y las obtenidas

experimentalmente indica una notoria similitud en la distribución de éstas (Tabla 4.3).

FN 1 FN 2 FN 3 FN 4 FN 5 FN 6 FN 7 FN 8 FN 9

Teor ía (Hz)

15 98 274 537 889 1328 1854 2469 3172

Mediciones (Hz)

18,2 88,2 227 438,3 723,8 1079,1 1513,3 2007,4 2578,4

Error 21,3% 10,0% 17,2% 18,4% 18,6% 18,7% 18,4% 18,7% 18,7%

Tabla 4.3: Comparación entre frecuencias naturales obtenidas teóricamente y a través de mediciones a barra empotrada libre.

Se aprecia además, que los valores de error son bastante similares para todas las frecuencias.

Las variaciones en los valores de las constantes físicas del material provocarán un desplazamiento de las frecuencias naturales del sistema, lo que puede verificarse mediante inspección directa de los componentes de las ecuaciones (4.1) y (4.4). Esto permite inferir que los errores se deben a considerar valores incorrectos en las constantes físicas del material.

Verificación de Fenómenos Asociados a las FRF Al graficar en el mismo plano la parte real e imaginaria de una FRF, se observará que la parte

imaginaria alcanza un peak precisamente en la frecuencia de resonancia, mientras que la parte real pasa de negativo a positivo encontrándose un cero precisamente en la frecuencia de resonancia [3]. Los fenómenos mencionados pueden concluirse fácilmente al analizar la ecuación (2.7).

La verificación de estos fenómenos permitirá concluir que los peaks examinados corresponden a ondas de pliegue.

En las siguientes figuras se expone la verificación de este fenómeno utilizando la FRF 11H .

Las partes imaginarias se grafican en color verde mientras que las partes reales se grafican en color azul.


46

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

A/F

Hz

Frecuencia de Resonancia 1 - 19.8 Hz

Figura 4.2.a: Parte imaginaria y parte real - primera frecuencia de resonancia.

75 80 85 90 95 100-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

A/F

Hz


Figura 4.2.b: Parte imaginaria y parte real – segunda frecuencia de resonancia.

210 215 220 225 230 235 240 245

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

A/F

Hz


Figura 4.2.c: Parte imaginaria y parte real – tercera frecuencia de resonancia.


47

420 425 430 435 440 445 450 455

-2

-1

0

1

2

3

A/F

Hz

Frecuencia de Resonancia 4 - 439 Hz

Figura 4.2.d: Parte imaginaria y parte real – cuarta frecuencia de resonancia.

710 715 720 725 730 735

-2

-1

0

1

2

3

A/F

Hz


Figura 4.2.e: Parte imaginaria y parte real – quinta frecuencia de resonancia.

1065 1070 1075 1080 1085 1090 1095

-2

-1

0

1

2

3

A/F

Hz


Figura 4.2.f: Parte imaginaria y parte real – sexta frecuencia de resonancia.


48

1506 1508 1510 1512 1514 1516 1518 1520 1522

-2

-1

0

1

2

3

4

A/F

Hz


Figura 4.2.g: Parte imaginaria y parte real – séptima frecuencia de resonancia.

2000 2005 2010 2015 2020 2025

-3

-2

-1

0

1

2

3

A/F

Hz


Figura 4.2.h: Parte imaginaria y parte real – octava frecuencia de resonancia,

2570 2575 2580 2585 2590 2595 2600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

A/F

Hz


Figura 4.2.i: Parte imaginaria y parte real – novena frecuencia de resonancia.


49

El fenómeno descrito con anterioridad se verifica aproximadamente en todas las frecuencias de resonancia presentadas y puede ser verificado en todas las FRF medidas. Se debe mencionar que, a medida que la frecuencia aumenta, la claridad y exactitud de este fenómeno disminuye.

Determinación y Verificación de Formas de Modo Se ha calculado la forma de los modos utilizando la representación de FRF llamada receptancia

( ))(/)( wFwY . Esta forma de FRF relaciona el desplazamiento con la fuerza aplicada y se obtiene

al dividir la acelerancia medida ( ))(/)( wFwY por 2w− .

Los siguientes gráficos corresponden a las formas de los 9 primeros modos de vibración de la barra obtenidas a partir de las columnas de la Tabla 4.2 (curva verde), utilizando el método de extracción de peaks y el comando ‘spline’ de Matlab, el cual realiza interpolación tipo spline cúbico (sección 2.4.2). Esta curva se compara con las predicciones teóricas realizadas, utilizando la ecuación (4.5) (curva roja).

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

-4

-3

-2

-1

0

x 10-5

Y/F

cm

Ac 352C22 - Receptancia - H1 - Modo - 1 - 18.2 Hz

Figura 4.2.a: Primer modo de vibración de barra empotrada libre – 18,2 Hz.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-6

Y/F

cm


Figura 4.2.b: Segundo modo de vibración de barra empotrada libre – 88,2 Hz.


50

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x 10-6

Y/F

cm

Ac 352C22 - Receptancia - H1 - Modo - 3 - 227 Hz

Figura 4.2.c: Tercer modo de vibración de barra empotrada libre – 227 Hz.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-7

Y/F

cm


Figura 4.2.d: Cuarto modo de vibración de barra empotrada libre – 438,3 Hz.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 10-7

Y/F

cm


Figura 4.2.e: Quinto modo de vibración de barra empotrada libre – 723,8 Hz.


51

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 10-7

Y/F

cm


Figura 4.2.f: Sexto modo de vibración de barra empotrada libre – 1079,1 Hz.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-8

Y/F

cm


Figura 4.2.g: Séptimo modo de vibración de barra empotrada libre – 1513,3 Hz.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-6

-4

-2

0

2

4

x 10-8

Y/F

cm


Figura 4.2.h: Octavo modo de vibración de barra empotrada libre – 2007,4 Hz.


52

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x 10-8

Y/F

cm


Figura 4.2.i: Noveno modo de vibración de barra empotrada libre – 2578,4 Hz.

La forma de modo obtenida para la primera frecuencia natural (Fig. 4.2.a), presenta una cierta

tendencia similar a la de las predicciones. Sin embargo, son notorias las irregularidades y diferencias en comparación con la teoría.

En los modos 2, 3, 4 y 5 (Figs. 4.2.b, 4.2.c, 4.2.d, 4.2.e), se observa una importante similitud

entre las predicciones teóricas y las formas de modo obtenidas experimentalmente. En los modos 3, 4 y 5, los nodos coinciden plenamente con la teoría.

La similitud entre las mediciones y la teoría se mantiene para los modos 6, 7 y 8 (Figs. 4.2.f,

4.2.g, 4.2.h), pero las posiciones de los nodos no coinciden. Se comienzan a observar irregularidades importantes en las amplitudes de los modos.

El noveno modo de vibración (Fig. 4.2.i) presenta una importante irregularidad entre los entre

los 15 y los 30 centímetros, además del desplazamiento del primer nodo.

Fuentes de Error Algunas razones para el error obtenido en las mediciones pueden asociarse a fallas en la

implementación del experimento y a las características propias de los componentes de la cadena de medición.

1) Incumplimiento de las condiciones de borde: Una de las razones para las diferencias detectadas entre teoría y mediciones corresponde a que las condiciones de borde no fueron plenamente alcanzadas. La masa finita del bloque de cemento provoca que las vibraciones de la barra se transmitan a este y que por lo tanto la condición de desplazamiento cero no se cumpla totalmente a pesar de la gran masa del bloque. En el caso del extremo libre, el hecho de adosar el transductor de fuerza a la barra restringe el movimiento de esta a los movimientos realizados por el shaker, lo que impide alcanzar la condición de libertad deseada.

2) Influencia de la masa del acelerómetro: En la Tabla 4.2 se observan diferencias en las

frecuencias naturales observadas al variar de posición el acelerómetro PCB 352C22 (0,5


53

gramos). En las mediciones de prueba realizadas con el acelerómetro PCB 352C67 (2 gramos) la desviación estándar fue mucho mayor (Tabla 4.4), lo que sugiere la influencia de la masa del acelerómetro en las mediciones [1]:

Promedio

FN1 FN2 FN3 FN4 FN5 FN6 FN7 FN8 FN9 Masa Ac

Ac 352C22 18,2 88,2 227 438,3 723,8 1079,1 1513,3 2007,4 2578,4 0,5 gr

Ac 352C67 17,8 84,4 221,7 430.,9 709,3 1058,9 1475,2 1966,0 2534,9 2 gr

Desviación Estándar

FN1 FN2 FN3 FN4 FN5 FN6 FN7 FN8 FN9 Masa Ac

Ac 352C22 0,9 3,1 1,6 2,1 3,1 3,9 3,6 4,8 9,5 0,5 gr

Ac 352C67 0,46 3,5 3,8 5,9 6,8 8,8 13,7 27,2 104,2 2 gr

Tabla 4.4: Comparación entre frecuencias naturales promedio y desviaciones estándar obtenidas mediante el acelerómetro PCB 352C22 y mediante mediciones de prueba realizadas

con el acelerómetro PCB 352C67. 3) Respuesta del hardware en bajas frecuencias: La pobre respuesta del amplificador y el

shaker en bajas frecuencias [21,23] constituye una razón para el error obtenido en la forma de modo asociada a la primera frecuencia natural. Vale la pena mencionar que el uso del ecualizador Behringer como filtro antialiasing, implica la activación automática de un filtro pasa altos (Butterworth ,12 db/Oct), con frecuencia de corte mínima en 10 Hz. Las características de este filtro pueden afectar el contenido de las señales captadas tanto por el acelerómetro como por el sensor de fuerza, en frecuencias cercanas a los 10 Hz [22].

4.2. Placa Libre en sus Cuatro Bordes

4.2.1. Predicciones Teóricas

La ecuación diferencial que describe el comportamiento de ondas de pliegue que se propagan a través de una placa que yace sobre el plano xz y con desplazamientos transversales η en la dirección y es [7]:

ηη 4k=∆∆ ,

en donde 4

2

'

''

B

mwk = : número de onda de pliegue; Smm /'' = : masa por unidad de superficie;

m : masa de la placa; S: superficie de la placa )( 2m ; 121

'3

2

hEB

µ−= : rigidez al pliegue de la

placa ( )2Nm ; E : módulo de Young ( )2/ mN ; µ :coeficiente de Poisson; h : espesor de la placa

)(m ; 2

2

2

2

zx ∂∂+

∂∂=∆ : operador de Laplace en dos dimensiones.

(4.7)


54

La ecuación (4.7) no puede ser resuelta analíticamente en el caso de las condiciones de borde planteadas, por lo que la determinación tanto de las frecuencias naturales como de las formas de modo se ha realizado mediante rutinas del método de elementos finitos [10]. Este modelo plantea finalmente la ecuación (4.8) para la determinación de las frecuencias naturales del sistema:

( )2

3

2

2

1''122 µπλ

−=

m

Eh

af

ij

ij ; ,.....3,2,1=i ; ,.....3,2,1=j

El parámetro ijλ depende de las condiciones de borde y de las dimensiones de la placa. En el

caso de una placa cuadrada de lado a y libre en sus cuatro bordes, este parámetro adquiere los siguientes valores:

ijλ e ( )ij

1 2 3 4 5 13,49 (2,2)

19,79 (1,3)

24,43 (3,1)

35,02 (3,2)

35,02 (2,3)

Tabla 4.6: Valor de parámetro i jλ correspondiente a los primeros seis modos de vibración ( )ij

de una placa cuadrada libre en sus cuatro bordes. No se consideran los modos de cuerpo rígido [10].

En la Tabla 4.6 se observa que los modos (3,2) y (2,3) comparten la misma frecuencia natural.

Esto se debe a que ambos modos son simétricos. Los modos (1,1), (1,2) y (2,1) corresponden a modos de cuerpo rígido. Reemplazando los valores presentados en la Tabla 4.6 en la ecuación (4.6) se obtienen las primeras cinco frecuencias naturales del sistema, sin considerar los modos de cuerpo rígido:

1 2 3 4 5

143,5 (2,2)

308,8 (1,3)

470,5 (3,1)

966,9 (3,2)

966,9 (2,3)

Tabla 4.7: Primeras seis frecuencias naturales de placa libre en sus cuatro bordes obtenidas teóricamente. No se consideran los modos de cuerpo rígido.

4.2.2. Resultados de Mediciones La figura 4.3 corresponde a una superposición de las 49 FRF medidas en la placa:

(4.8)


55

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6

7

8

Hz

A/F

Magnitudes FRF Placa

Figura 4.3: Magnitudes FRF medidas en placa.

Las mediciones realizadas en la placa no presentan la claridad y nitidez de las FRF obtenidas

en la barra (Fig. 4.1). Se utilizó el valor de los peaks observados en las partes imaginarias de las 49 FRF medidas para la elaboración de un cuadro resumen (Tabla 4.8). A partir de los valores expuestos se aplicará el método de extracción de peaks. Los peaks seleccionados para la elaboración de esta tabla son los que cumplen con el criterio de selección expuesto en la sección 4.1.2 (Verificación de fenómenos asociados a las FRF). En el CD adjunto a esta tesis se encuentran claramente ordenados y organizados todos los registros de mediciones y gráficos utilizados para la obtención de los valores expresados a continuación.

Pos Hij FO 1 Amp FO 2 Amp FO 3 Amp FO 4 Amp P1 Im 01-40 82,3 -0,4 121 0,56 265 0,5 346,3 0,4 P2 Im 02-40 82,3 -0,15 113 -0,48 264,8 -0,35 346 0 P3 Im 03-40 82 0,22 121,3 -0,5 264,8 1,1 345,8 1,62 P4 Im 04-40 82 0,3 121,5 0,3 265 -1,6 346 -2,1 P5 Im 05-40 82,3 0,1 121,5 0,48 265 1 346 2 P6 Im 06-40 82 0 121 0 265,5 -0,3 346 0,12 P7 Im 07-40 82 0 121,5 -0,5 265,3 1,1 346 0 P8 Im 08-40 81,8 0,05 121 0 265,3 0,6 346 0,3 P9 Im 09-40 82 0 121,5 0,06 265,3 -0,6 346 -0,2 P10 Im 10-40 82,3 -0,03 121 0 265 0 346 -1,09 P11 Im 11-40 82,2 -0,05 121,5 -0,05 265,8 0,4 345,8 2 P12 Im 12-40 82,2 -0,07 121,5 -0,04 265 0,2 346 -1,44 P13 Im 13-40 82 0 121 0 265,3 -0,68 346 0,05 P14 Im 14-40 82,2 0,05 121,5 0,24 265 0 346 0,2 P15 Im 15-40 82 0,2 121,5 -0,5 265,3 -0,7 346,3 -2,06 P16 Im 16-40 82 0,04 121,5 0,06 265,5 0,72 346,3 1,25


56

Pos Hij FO 1 Amp FO 2 Amp FO 3 Amp FO 4 Amp P17 Im 17-40 82 -0,12 121,8 0,14 265 -0,3 346 0 P18 Im 18-40 82,2 0,09 121,8 -0,1 265 0 346,3 -0,7 P19 Im 19-40 82 -0,04 121,5 -0,5 265 0 346 0 P20 Im 20-40 82 0 121 0 265,8 0,8 346 0,8 P21 Im 21-40 82 0,01 121,5 0,35 265 0 345,8 -1,8 P22 Im 22-40 82 0 121,5 -0,14 265,5 -1,2 346 2,2 P23 Im 23-40 82 0 121 0 265 0 346,8 -0,8 P24 Im 24-40 82 0 121,5 0,08 266 -0,5 346 0 P25 Im 25-40 82 0 121 0 266 0,9 346 0 P26 Im 26-40 82 0 121,3 0,04 265 0 346 0 P27 Im 27-40 82 0 121,5 -0,05 265 0 346 0 P28 Im 28-40 82 0 121,5 -0,15 266 -1,3 346,5 2 P29 Im 29-40 82 -0,1 121,3 0,4 265 0 346,5 -1,7 P30 Im 30-40 82 -0,05 121 0 266,3 0,4 346,5 0,6 P31 Im 31-40 82 0,05 121,5 -0,25 266,3 -0,5 346 0 P32 Im 32-40 82 0,1 121 0 266,3 0,5 347 -0,5 P33 Im 33-40 82 0 121,5 0,18 266,5 -0,78 346,5 0,37 P34 Im 34-40 82 0 121 0 267 0,57 347 0,12 P35 Im 35-40 81,8 -0,1 121,3 -0,22 266 0 346 0 P36 Im 36-40 82 0 121,3 0,25 265 0 346 0 P37 Im 37-40 82 0 121 0 265 0 346 0 P38 Im 38-40 82 0 121 0 267,5 0,6 347,3 -0,4 P39 Im 39-40 82 0 121 0 265 0 347 0,6 P40 Im 40-40 82 0 121 0 265 0 347 -0,5 P41 Im 41-40 82 0 121 0 265 0 347 0,13 P42 Im 42-40 82 0 121 0 265 0 347 0,1 P43 Im 43-40 82 -0,2 121 0 265 0 346,8 -0,6 P44 Im 44-40 82 0 121 0 265 0 346 0 P45 Im 45-40 82,3 0,12 121 0 265 0 347 0,4 P46 Im 46-40 82,3 0,14 121 0 265 0 347 -0,9 P47 Im 47-40 82 0 121 0 265 0 346,8 1,4 P48 Im 48-40 82,3 -0,12 121 0 265 0 346 0 P49 Im 49-40 82,3 -0,1 121 0 265 0 346 0

Prom 82,1 121,1 265,6 346,4 Desv.Est 0,2 1,7 0,7 0,5

Tabla 4.8: Resumen de frecuencias y amplitudes de peaks observados en partes imaginarias de FRF medidas en placa.

Pos Hij FO 5 Amp FO 6 Amp FO 7 Amp P1 Im 01-40 353 1,4 509,5 1,5 712,5 1,6 P2 Im 02-40 353,3 -1,1 509,3 -2,04 712,3 1,7 P3 Im 03-40 356 0 509,5 1,03 713 0 P4 Im 04-40 356 0 509,8 0,53 712 -1,3 P5 Im 05-40 353 -1 509,8 -1,71 713 0 P6 Im 06-40 353 0,8 509,3 2,9 713 0 P7 Im 07-40 352,8 -1,1 509,5 2,3 712 2,15 P8 Im 08-40 356 0 509,5 -1,4 713 0 P9 Im 09-40 353 -0,06 509,8 0,67 712,3 0,75 P10 Im 10-40 356 0 510,0 -0,1 713 0 P11 Im 11-40 356 0 509,8 -0,34 712 -0,8 P12 Im 12-40 356 0 509,8 1,2 712,5 -0,5 P13 Im 13-40 353 0,4 509,8 -1,35 712 0,5


57

Pos Hij FO 5 Amp FO 6 Amp FO 7 Amp P14 Im 14-40 353 -0,34 509,3 2,56 713 0 P15 Im 15-40 353 -0,55 509,8 0,8 712 -1 P16 Im 16-40 353 0,3 509,8 -0,26 713 0 P17 Im 17-40 356 0 511,0 0 712,5 -0,2 P18 Im 18-40 356 0 510,0 0,3 712,5 0,8 P19 Im 19-40 353 0,3 510,0 -1 712,5 0,6 P20 Im 20-40 356 0 510,0 1 712,5 -0,5 P21 Im 21-40 356 0 509,8 -1,95 712,3 -1,2 P22 Im 22-40 352,8 -1,5 510,0 0,6 712 -1,6 P23 Im 23-40 356 0 511,3 -0,4 714 -1,8 P24 Im 24-40 356 0 511,0 0,3 713 0 P25 Im 25-40 356 0 511,0 -0,17 714 0,9 P26 Im 26-40 356 0 511,3 0,28 713,5 1,7 P27 Im 27-40 354 -1 511,3 -0,35 713 0 P28 Im 28-40 354 1,2 511,0 0,6 713,5 -2 P29 Im 29-40 354 -0,6 511,3 -1,85 713 0 P30 Im 30-40 354 0,5 511,0 1,2 714 -0,5 P31 Im 31-40 354 -0,2 511,0 -0,5 714 -0,4 P32 Im 32-40 354 -0,2 511,0 0 714 1 P33 Im 33-40 354 0,65 511,0 0,4 714 0,7 P34 Im 34-40 354 -0,85 511,0 0 713 0 P35 Im 35-40 354 1,2 511,0 0,8 713,5 -1,3 P36 Im 36-40 356 0 511,0 2,2 713 0 P37 Im 37-40 356 0 511,5 -1,6 714 0,6 P38 Im 38-40 356 0 511,5 0,9 713 0 P39 Im 39-40 356 0 511,5 -0,25 714 -0,5 P40 Im 40-40 356 0 511,5 -0,5 713,5 -0,4 P41 Im 41-40 354 0,25 511,5 0,8 713,8 0,3 P42 Im 42-40 353,8 -0,5 511,5 -1,5 713,5 0,8 P43 Im 43-40 353,8 1 511,8 -1 713 1,6 P44 Im 44-40 353,8 -0,6 511,5 1,7 713,5 0,6 P45 Im 45-40 356 0 511,5 -1 713 0 P46 Im 46-40 353,5 0,5 511,0 0 713 -0,8 P47 Im 47-40 353,8 -0,75 511,5 0,5 713,5 -0,8 P48 Im 48-40 353,5 0,5 511,5 -1,5 713 0 P49 Im 49-40 356 0 511 2 713,5 1,2

Prom 353,5 510,6 713,0 Desv.Est 0,5 0,8 0,8

Tabla 4.8: Resumen de frecuencias y amplitudes de peaks observados en partes imaginarias de FRF medidas en placa.

en donde: Pos: Posición del acelerómetro; Hij: función de transferencia obtenida mediante respuesta en i y excitación en j; Im 10-01, …, Im 01-01: Parte imaginaria de H10-01,… , H01-01; P1,...,P10: Posición 1, ……, Posición 10 (especificadas en Tabla 3.2); FO1,…, FO9: Frecuencia Observada 1, … , Frecuencia Observada 9 (Hz); Amp: Amplitud observada; Prom: Frecuencia natural promedio para un modo específico; Desv. Est: Desviación estándar del conjunto de frecuencias naturales detectadas para un modo específico.


58

La validez de la consideración de cada una de las frecuencias indicadas en la Tabla 4.8 se

discute a continuación.

4.2.3. Análisis y Comparación entre Predicciones Teóricas y Mediciones

Frecuencias Naturales

No existe concordancia entre las predicciones expuestas en la Tabla 4.7 y las posibles resonancias observadas. Mientras la teoría predice que dentro del rango de frecuencias estudiado (0 Hz a 1 KHz) deben existir cinco modos de vibración no rígidos, las mediciones arrojan 7 posibles modos de vibración no rígidos (ver sección 4.2.3 – Determinación y verificación de formas de modo).

FN 1 FN 2 FN 3 FN 4 FN 5

Teoría (Hz) 143,5 308,8 470,5 966,9 966,9

FO 1 FO 2 FO 3 FO 4 FO 5 FO 6 FO 7

Mediciones (Hz) 82,1 121,1 265,6 346,4 353,5 511,5 713,0

Tabla 4.9: Comparación entre frecuencias naturales obtenidas teóricamente y posibles frecuencias naturales observadas en mediciones realizadas a placa.

Verificación de Fenómenos Asociados a las FRF

Las frecuencias seleccionadas son las que cumplen con el criterio expuesto en la sección 4.1.2 (Verificación de fenómenos asociados a las FRF). En las siguientes figuras se expone la verificación de este fenómeno utilizando la FRF 401−H . Las partes imaginarias se grafican en color verde mientras que las partes reales se grafican en color azul.

80 80.5 81 81.5 82 82.5 83 83.5 84 84.5 85

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

A/F

Hz

Frecuencia Observada 1 - 82.3 Hz

Figura 4.4.a: Parte imaginaria y parte real - primera posible frecuencia natural observada.


59

118 119 120 121 122 123 124

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A/F

Hz

Frecuencia Observada 2 - 121 Hz

Figura 4.4.b: Parte imaginaria y parte real - segunda posible frecuencia natural observada.

260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

A/F

Hz


Figura 4.4.c: Parte imaginaria y parte real – tercera posible frecuencia natural observada.

343 344 345 346 347 348 349

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

A/F

Hz


Figura 4.4.d: Parte imaginaria y parte real – cuarta posible frecuencia natural observada.


60

349 350 351 352 353 354 355 356 357

-0.5

0

0.5

1

A/F

Hz


Figura 4.4.e: Parte imaginaria y parte real – quinta posible frecuencia natural observada.

507 507.5 508 508.5 509 509.5 510 510.5 511 511.5 512

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

A/F

Hz


Figura 4.4.f: Parte imaginaria y parte real – sexta posible frecuencia natural observada.

709 710 711 712 713 714 715 716

-0.5

0

0.5

1

1.5

A/F

Hz


Figura 4.4.g: Parte imaginaria y parte real – séptima posible frecuencia natural observada.


61

Al observar las figuras 4.4, el fenómeno descrito con anterioridad se verifica aproximadamente en todas las posibles frecuencias de resonancia observadas y puede ser observado en todas las FRF medidas.

Determinación y Verificación de Formas de Modo En la figura 4.5 se observan los primeros 5 modos de vibración (excluyendo modos de cuerpo

rígido) de una placa cuadrada y libre en sus cuatro bordes [9]. Estas formas de modo han sido obtenidas experimentalmente por Waller, utilizando una placa de Chladni. A partir de los datos obtenidos en las mediciones se ha calculado la forma de los modos utilizando la representación de FRF llamada receptancia ( ))(/)( wFwY .

Figura 4.5: Primeras cinco formas de modo de una placa cuadrada libre determinadas utilizando

una placa de Chladni [9].

Los siguientes gráficos (Figs. 4.6) corresponden a las formas de los 9 posibles primeros modos de vibración de la placa obtenidas a partir de las columnas de la Tabla 4.9. Estos han sido calculados utilizando el comando ‘ interp2’ de Matlab, el cual incluye dentro de su código una rutina de interpolación bicúbica [29]. Cada forma de modo se representa mediante un mapa de colores (utilizando el comando ‘pcolor’ de Matlab), una representación tridimensional (utilizando el comando ‘surf’ de Matlab) y un mapa en blanco y negro mediante en el cual las líneas nodales detectadas se representan con el color negro. Esta última representación ha sido realizada graficando el valor absoluto de las deformaciones medidas en la placa y luego variando el contraste utilizando la herramienta ‘ Interactive Colormap Shift’ , incluido en Matlab.


62

Figura 4.6.a: 82 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación

tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


63

Figura 4.6.b: 121 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación

tridimensional.

(i) (ii)

(iii)


64

Figura 4.6.c: 267 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


65

Figura 4.6.d: 346 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


66

Figura 4.6.e: 354 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


67

Figura 4.6.f: 511 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


68

Figura 4.6.g: 713 Hz - Posible Forma de Modo 1; (i) Mapa de colores; (ii) Líneas nodales; (iii) Recreación tridimensional.

(i) (ii)

(ii i)


69

Ninguna de las posibles formas de modo obtenidas a partir de las mediciones efectuadas coincide con las expuestas en la referencia [9] (Fig. 4.6). Se observan notorias disminuciones de las amplitudes del borde inferior de la placa con respecto al superior, indicador de posibles errores experimentales.

Existe tendencia a la simetría en todos los posibles modos expuestos. Esta puede verificarse

observando el mapa de colores o las respectivas líneas nodales. A continuación se realiza un breve análisis de cada posible modo presentado:

82 Hz (Fig. 4.6.a): Se observa una tendencia a la simetría entre los cuatro bordes de la placa,

con amplitudes menores del borde inferior y el derecho con respecto al superior y al izquierdo respectivamente. Existen anomalías en la parte central de la placa y casi nulo desplazamiento en la esquina superior derecha.

121 Hz (Fig. 4.6.b): Existe simetría entre el lado derecho e izquierdo de la placa, además de un

desfase de 180º deducible por los colores observados en el mapa. El borde inferior presenta casi nulo desplazamiento. Un análisis detallado del mapa de colores confirma la tendencia a la simetría y al desfase en 180º. Se distinguen tres líneas nodales horizontales y tres líneas nodales verticales.

267 Hz (Fig. 4.6.c): El mapa de colores indica simetría entre la mitad izquierda y derecha de la

placa. El borde inferior presenta en gran parte casi nulo desplazamiento. 346 Hz (Fig. 4.6.d): La mitad interior de la placa presenta desplazamientos menores en

relación a la mitad superior. A pesar de esto existe una clara simetría en el mapa de colores y tendencia a la simetría en las líneas nodales.

354 Hz (Fig. 4.6.e): Existe simetría (especialmente visible en los bordes), interrumpida por la

presencia de una gran anomalía en la mitad derecha (color rojo). 511 Hz (Fig. 4.6.f): Presenta uno de los patrones modales con mejor definición. Se caracteriza

por la sucesión de máximos y mínimos en sentido diagonal. 713 Hz (Fig. 4.6.f): Es otro de los patrones modales que presentan mayor definición. Se

observan dos líneas nodales horizontales y dos verticales con presencia de mínimos en las cuatro esquinas y en el centro, y máximos en los centros de los bordes.

Diferencias Experimentales y Fuentes de Error A continuación se analizan las diferencias entre los montajes experimentales utilizados en el

presente trabajo y en la investigación realizada por Waller [9]. Además se identifican las principales causas de errores propios de la experimentación:

1) Diferencias en montaje: Se advierte que el montaje utilizado en el experimento difiere en gran manera del utilizado por Waller para la obtención de las líneas nodales presentadas en la figura 4.5. La placa de Chladni utilizada consiste en una placa cuadrada unida en el centro a una estructura de gran rigidez y masa, lo que impone una condición de nulo


70

desplazamiento en el punto central que no se presenta en el montaje utilizado en este trabajo. Esto puede constituir una de las causas de la gran diferencia entre las formas de modo obtenidas y las formas de modo planteadas en [9].

2) Geometr ía de la placa: Se observa a través de una vista lateral, una leve curvatura en la

placa. Esta pequeña deformación provoca que la rigidez al pliegue de la estructura difiera levemente del expresado en la ecuación (4.7), lo que finalmente se traducirá en inexactitud en el cálculo de las frecuencias naturales.

3) Montaje del shaker :

a) Ángulo entre placa y shaker: A pesar de la minuciosidad con la cual se realizó el

montaje, siempre existirá la posibilidad de no lograr total perpendicularidad entre la superficie de la placa y el sistema shaker - sensor de fuerza. Esto provocará que se apliquen fuerzas indeseadas paralelas a la superficie de la placa y que la señal eléctrica emitida por el sensor de fuerza no refleje debidamente la fuerza aplicada.

b) Resonancias propias del montaje: El tipo de montaje utilizado (sensor de fuerza

colgando) presenta menos efectividad en frecuencias bajas [1], ya que el movimiento de la placa puede inducir movimientos indeseados en el shaker, lo que se traducirá en una aceleración indeseada del sistema en general. Además, el montaje tipo péndulo del shaker posee resonancias propias que se verán reflejadas en las mediciones.

.

Capítulo 5 – Conclusiones

71

5. CONCLUSIONES

5.1. Conclusiones Generales

1. Se ha diseñado e implementado exitosamente un sistema multicanal de medición de FRF en base a la instrumentación disponible en el Instituto de Acústica de la Universidad Austral de Chile. El algoritmo de procesamiento de datos, la interfaz gráfica y las utilidades informáticas para el usuario han sido programados en LabView 6i.

2. Este sistema de medición puede ser perfectamente utilizado tanto para la realización de investigaciones de carácter científico como para actividades pedagógicas.

3. Se ha planteado un método para la reconstrucción de patrones modales basado en la medición de FRF y al método de extracción de peaks, que puede ser aplicado en estructuras modelables mediante funciones de una variable (barra), o de dos variables (placas).

5.2. Conclusiones Específicas

1. Se han reconstruido con éxito, a partir de las mediciones de FRF realizadas a una barra empotrada – libre, mediante el sistema implementado y el método de extracción de peaks, los nueve primeros modos de vibración de la estructura, observándose evidente correspondencia con las predicciones teóricas, tanto en las formas de modo como en las respectivas frecuencias naturales.

2. No ha sido posible corroborar el modelo planteado en la referencia [9] para el cálculo de frecuencias naturales de placas cuadradas libres en sus cuatro bordes. Las mediciones a la placa han arrojado FRF con un patrón complejo, que no permite asegurar que las formas de modo obtenidas correspondan a ondas de pliegue, a pesar de la verificación de los fenómenos asociados a este tipo de ondas en cada una de las 49 FRF medidas. Esta ‘no correspondencia’ se asocia principalmente a las diferencias entre el montaje realizado en el presente trabajo con el montaje utilizado por Waller en sus ensayos. A pesar de esto, se ha podido reconstruir en base a las mediciones realizadas y al método de extracción de peaks, posibles formas de modo que presentan una clara tendencia a la simetría, especialmente en las formas de modo obtenidas en los 511 Hz y en los 713 Hz.

3. En el caso de la realización de un alto número de mediciones y del análisis de un

elevado número de posibles frecuencias naturales, el método de extracción de peaks posee limitaciones prácticas en cuanto al tiempo requerido, tanto para llevar a cabo la inspección de todas las FRF medidas, como para corroborar los fenómenos requeridos para asociar los peaks observados a ondas de pliegue.

72

6. REFERENCI AS BIBLIOGRÁFI CAS [1] Ewins, D.J. ‘Modal Testing: Theory and Practice’, Research Studies Press LTD. for

Brüel & Kjaer, 1986 [2] Coleman, R. ‘Experimental Structural Dynamics’ , AuthorHouse, April 2004. [3] Gutiérrez, C. ‘ Investigación del Método de Fracción Racional Polinómica para la

extracción de parámetros modales a través de la técnica de impacto’ . Tesis presentada para optar al grado de Licenciado en Acústica y al título de Ingeniero Acústico, Universidad Austral de Chile, 2002.

[4] Inman, D.J. ‘Vibration’ , Prentice Hall, 1989, [5] Avitabile, P. ‘Experimental Modal Analysis – A Simple NonMathematical

Presentation’, Sound and Vibration. January 2001. [6] Harris, C.M., Piersol, A.G. ‘Shock and Vibration Handbook’ , McGrawHill, 2002. [7] Cremer, L., Heckl, M. ‘Structure Borne Sound’, Springer-Verlag, 1988. [8] Meirovitch, L. ‘Fundamentals of Vibrations’, McGraw-Hill, International Edition

2001. [9] Blevins, R. ‘Formulas for Natural Frequency and Mode Shape’ , Krieger Publishing

Company, 2001. [10] Leissa, A.W. ‘Vibration of Plates’, Scientific and Technical Information Division,

Office of Technology Utilization, National Aeronautics and Space Administration, 1969.

[11] Jurado, C. ‘Estudio Experimental de la Impedancia Acústica en Conductos y

Silenciadores bajo Diferentes Condiciones de Borde’ , Tesis presentada para optar al grado de Licenciado en Acústica y al título de Ingeniero Acústico, Universidad Austral de Chile, 2004.

[12] Arenas, J.P. ‘Apuntes de la Asignatura Control de Vibraciones’, Universidad Austral

de Chile, 2005. [13] D∅ssing, O. ‘Structural Testing Part 1: Mechanical Mobility Measurements’, Brüel

& Kjaer Technical Review, March 1988. [14] D∅ssing, O. ‘Structural Testing Part 2: Modal Analysis and Simulations’ , Brüel &

Kjaer Technical Review, March 1988.

73

[15] Zaveri, K., Phil, M. ‘Modal Analysis of Large Structures – Multiple Exciter Systems’ , Brüel & Kjaer Technical Review, April 1985.

[16] Agilent Technologies ‘The Fundamentals of Modal Testing’ , Aplication Note 243 –

3, 1997. [17] Petterson, B.A.T. ‘Compendium of Structural Acoustics’, Technische Universität

Berlin, 2005. [18] Shabana, A.A. ‘Vibration of Discrete and Continuous Systems’ , Springer, 1996. [19] PCB Piezotronics – Vibration Division, ‘Model 352C67 – ICP® Accelerometer –

Installation and Operating Manual’ , Manual Number 18292, 2002. [20] Oppenheim, A., Schafer, R. ‘Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto’ , Prentice

Hall, 2000. [21] Bruel & Kjaer, ‘Product Data – Mini Shaker Type 4810’. [22] Behringer® ‘Ultragraph Pro FBQ 6200 – Technical Specifications’, Version 1.1,

2003. [23] Samson Audio ‘Servo 260 Power Amplifier – Specification Sheet’ , 1998. [24] Freund, J.E., Miller, I., Miller, M. ‘Estadística Matemática con Aplicaciones’ ,

Prentice Hall, 1999. [25] Mathews, J., Fink, K. ‘Métodos Numéricos con Matlab’ , Prentice Hall, 1999. [26] Mendes, N.M. ‘Extraction of Valid Modal Properties from Measurements Data in

Structural Vibrations’ , Thesis submitted to the University of London, Londres, 1998. [27] PCB Piezotronics – Vibration Division, ‘Model 352C22 – ICP® Accelerometer –

Specification Sheet’ , Specification Number 10668, 2002. [28] Voltera, E., Zachmanoglou, E. C. ‘Dynamics of Vibrations’ , Charles E. Merrill Books

Inc., 1965. [29] Spath, H. ‘Two Dimensional Spline Interpolation Algortihms’, A.K. Peters Ltd.,

1995.

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE Facultad de Ciencias de la ...

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE Facultad de Ciencias de la ...