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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS (ICYTAL) / ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas
UNIDAD 2: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION (ESTADO ESTACIONARIO)
GUIA DE PROBLEMAS 1. Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es
sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la
superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es
disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un
coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas
superficiales T1 y T2 para:
cmL 2= ; CmWK º20= ; 2
50 10 m
Wq = ; CT º50=∞ ; CmWh º500 2=
T1 T2
q
∞T
Desde T2 a T se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la
fórmula:
∞
( )∞−= TThAq
2 ( )∞−TTq 2 ⋅= Ah
Reemplazando:
( )CTCm
WmW º50
º50010 222
5 −=
200ºC = T2 – 50ºC
T2 = 250ºC
Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto
utilizamos la fórmula:
( )e
TTKAq 12 −−=
( )e
TTKAq 21 −=
( )e
TTKAq 21 −=
( )e
TTKAq 21 −=
( )m
TCm
WmW
02,0250
º2010 1
25 −
=
100 ºC = T1 – 250
T1 = 350ºC
2. Un cilindro hueco con radio interior r = a y radio exterior r = b es
calentado en la superficie interior a una velocidad q0 (W/m²) y disipa calor
por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a una
temperatura T∞ con un coeficiente de transferencia de calor h. La
conductividad térmica es constante.
Calcular las temperaturas T1 y T2 correspondientes a las superficies interior
y exterior, respectivamente, para a = 3cm; b = 5cm; h = 400 W/m²-°C;
T = 100 °C; K = 15 W/m-°C ; q∞ 0 = 105 W/m².
POR CONVECCIÓN (T2 T∞ ) )( TAhq ∆××= Y como el área del cilindro es HrA ⋅⋅⋅= π2 despejamos q en función de la longitud:
hr
TTHq
exterior ×××
∞−=
π21
)( 2
Solución Como q está en función del área del cilindro se despeja de modo que quede
en función de la longitud del cilindro.
2510
mW
Aq=
Área del cilindro = Hr erno ××× int2 π
HrmWq ××××= π210 2
5
HmmWq ××××= 03.0210 2
5 π
mW
Hq 18849=
Calculo de T2 : por convección entre la superficie del cilindro y el medio
hr
TTHq
exterior ×××
∞−=
π21
)( 2
CmWm
CTmW
º40005.02
1)º100(18849
2
2
×××
−=
π
T2 = 250ºC
POR CONDUCCIÓN (T1 T2) : drdTAkq ××−=
Calculo de T1 : por conducción entre la superficie interna y externa del cilindro De la misma manera dejamos q en función de la longitud del cilindro:
)(
)(2
int
21
erno
externo
rrLn
TTkHq −×××=
π
)03.005.0(
)º250(º
15218849
1
mmLn
CTCm
W
mW −×××
=π
T1 =352ºC
3. Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1,0 pie
de longitud, con diámetro interno de 0,25 pulg. y diámetro externo de 0,40
pulg., para extraer calor de un baño . La temperatura en la superficie interior
del tubo es de 40 °F y 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del
acero inoxidable 304 depende de la temperatura: K = 7,75 + 7,78 X 10 -3 T,
donde K está en BTU/hr-pie-°F y T en °F.
Calcúlese la extracción de calor en BTU/s y Watts.
q
T ∞
T2
r2
T1
r1
1 pie = H
Datos : H= 1 pie
r1= piepu
piepupu 0104,0lg1
0833,0lg125,02
lg25,0=⋅= T1=40ºF
r2= piepu
pupu 01666,0lg1
0833,0lg2,02
lg4,0=⋅= T2=80ºF
q= -K A drdT HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2
Reemplazando:
drdTHrKq ⋅⋅⋅⋅⋅−= π2
Integrando: dTAKqdr ⋅⋅−=
∫∫ ⋅=2
1
2
1
T
T
r
r
dTKAdrq
∫∫ ⋅⋅⋅⋅=2
1
2
1
2T
T
r
r
dTKHrdrq π
Reemplazando:
( )∫∫ −⋅+⋅⋅=80
40
32
1
1078,775,72 dTTHrdrq
r
r
π
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅−= −− )
2401078,7()
2801078,7(408075,72
0104,00167,0ln
23
23Hq π
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⋅⋅−=
hrBTUHq 224,6896,243102
0104,00167,0ln π
shr
hrBTUq
3600141,4360 ⋅−=
sBTUq 21,1−=
sJ
wattBTU
Js
BTUq1
1105521,1 ⋅⋅−=
wattq 9,1277=
4. Se desea construir un almacén refrigerado con una capa interna de 20
mm de madera de pino, una capa intermedia de corcho prensado y una
capa externa de 52 mm de concreto. La temperatura de la pared interior es -
18°C y la de la superficie exterior, 30°C en el concreto. Las conductividades
promedio son, para el pino, 0,151; para el corcho 0,0433; y para el concreto
0,762 W/m-K. El área superficial total interna que se debe usar en los
cálculos es aproximadamente 50 m² (omitiendo las esquinas y los efectos
de los extremos). ¿Que espesor de corcho prensado se necesita para
mantener la pérdida de calor en 550 W?
a : madera de pino (20mm)
b: corcho (??)
c: concreto(52mm)
El calor se trasmite en serie por lo tanto el flujo de calor es el mismo en cualquier punto del circuito eléctrico.
Solución:
Ecuación general:
total
ie
RTT
Aq )( −=
Donde:
Te =Temperatura externa del almacén refrigerado
Ti = Temperatura interna del almacén refrigerado
R total =Resistencia total del circuito
R total = Ra + Rb + Rc Como las resistencias se encuentran en serie entonces la Ecuación para calcular la resistencia es:
AkeR×
=
Donde: e : espesor de las capas
k : conductividad térmica del material
A: área total de la cámara
WKm
Kmwm
keR
a
aa
2
13.0º151.0
02.0===
Kmwx
keR
b
bb º0433.0
==
WKm
Kmwm
keR
c
cc
2
068.0º762.0
052.0===
Reemplazando en la ecuación general se despeja x que es el espesor de la capa de corcho:
total
ie
RTT
Aq )( −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−−=
WKmx
WKm
WKm
CCmW
2222
0433.0068.013.0
)º18(º3050550
x = 0.18m Por lo tanto el espesor del corcho debe ser 180mm Nota: la relación entre de temperatura que existe entre los ºK y los ºC es de uno a uno por lo tanto, las unidades
de estas no influyen en el cálculo.
5. ¿Que cantidad de aislante de fibra de vidrio (K=0,02 BTU/hr-pie-°F) es
necesaria para garantizar que la temperatura exterior de un horno de cocina
no excederá de 120 °F? La temperatura máxima del horno que será
mantenida por el control termostático de tipo convencional es de 550 °F, la
temperatura del ambiente de la cocina puede variar de 60 a 90 °F y el
coeficiente promedio de transferencia de calor entre la superficie del horno y
la cocina es de 2,5 BTU/hr-pie²-°F.
q
T2
T∞=60 - 90 ºF
T1
Nota: Se escoge la mayor temperatura para el medio, ya que esto nos
asegurará que sea cual sea la temperatura de este, el espesor de aislante
calculado garantizará una temperatura exterior no mayor a 120ºC
Datos: T1= 550 ºF
T2= 120 ºF
T = 90ºF ∞
FpiehrBTUh º5,2 2 ⋅⋅
=
Transferencia de calor por convección entre T2 y T∞ :
( )∞−= TThAq
2
( ) FFpiehr
BTUAq º90120
º5,2 2 −
⋅⋅=
275piehr
BTUAq
⋅=
Entre T1 y T2 se transmite calor por conducción:
( )e
TTKAq 21 −=
( )e
FFpiehr
BTUpiehr
BTU º120550º
02,075 2
−⋅
=⋅
e = 0,115 pie
6. Un gas a 450 °K fluye en el interior de una tubería de acero, número de
lista 40 (K = 45 W/m-K), de 2,5 pulg. de diámetro. La tubería está aislada
con 60 mm de un revestimiento que tiene un valor medio de K = 0,0623
W/m-K. El coeficiente convectivo de transferencia de calor del gas en el
interior de la tubería es 40 W/m²-K y el coeficiente convectivo en el interior
del revestimiento es 10. La temperatura del aire es 320 °K.
D nominal = 2 pulg.
D externo = 2,375 pulg.
D interno = 2,067 pulg.
Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en m de tubería.
320ºk
q
450ºk
mpu
mpur 0263,02
1085,0lg1
0254,0lg067,2int ==⋅=
mpu
mpurext 0301,02
0603,0lg1
0254,0lg375,2 ==⋅=
mrrev 09,006,003,0 =+=
total
total
RT
q∆
=
HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2
WKm
HmKmWAh
Rgasº151,0
20263,0º4011
20
=⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅
=π
Convección
WKm
HKmWHK
rr
Raceroº100,5
2º45026,003,0ln
2
ln41
2
−×=⋅⋅⋅
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=ππ
Conducción
WKm
HKmWHK
rr
Raislanteº8,2
2º0623,003,009,0ln
2
ln1
2
=⋅⋅⋅
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=ππ
Conducción
WKm
HmKmWAh
Raireº176,0
209,0º1011
20
=⋅⋅⋅
⋅
=⋅
=π
Convección
( )( )
WKm
KHq
º176,08,20,5151,0
º3204504 +++
−=
−
q = 41,53 W/m
7. En el interior de una tubería de acero (K = 45 W/m-K) de 2,0 pulg. de
diámetro, fluye agua a temperatura promedio de 70°F, mientras en el
exterior se condensa vapor de agua a 220 °F. El coeficiente convectivo del
agua en el interior de la tubería es h = 500 BTU/hr-pie²-°F y el coeficiente
del condensado de vapor en el exterior es h = 1600 W/m²-K.
Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en pies.
Datos: Diámetro interno: 2.0pulg radio interno: 0.083pie
Diámetro externo: 2.4pulg radio externo.0.0996pie
h interno = 500 BTU/hr-pie²-°F
h externo = 1600 W/m²-K. =282BTU/hr-pie2-ºF
K = 45 W/m-K =26 BTU/hr-pie-ºF
Solución:
)2
1()2ln
()2
1(
)( 12
ee
ei
ii hrkrr
hr
TTHq
×××+
××+
×××
−=
πππ
convección conducción convección
Donde:
re : radio externo del cilindro
ri : radio interno del cilindro
T2: temperatura del vapor de agua condensado
T1: temperatura del agua
Resistencia del agua por convección:
BtuFpie
FpieBtupie
º1083.3)
º500083.02
1( 3
2
−×=×××π
Resistencia del acero por conducción:
BtuFpie
FpiehrBtupiepieLn
º1012,1)
º262
)083.0
0996.0(( 3−×=
−××π
Resistencia del condensado de vapor (conducción):
BtuFpie
FpieBtupie
º1067.5
º2820996.02
1 3
2
−×=×××π
Al reemplazar todas las resistencias en la ecuación se obtiene la perdida de calor por unidad de longitud:
BtuFpie
BtuFpie
BtuFpie
FHq
º1067.5º1012,1º1083.3
)º70220(333 −−− ×+×+×
−=
piehrBTU
Hq
×= 3.14124
8. Calcular el flujo de calor a través de la pared mostrada en la fig.
Suponiendo que este es unidimensional.
Datos: T1 = 50ºC
T2 = 20ºC
Ka =200 W/mºC
Kb =50 W/mºC
Kc =40 W/mºC
Kd =90 W/mºC
Area transversal = 1m2
Area B = 0.5m2
Area C = 0.5m2
Solución:
Calculo del flujo de calor a través de la pared
Formula general: eqRT
Aq ∆= Req = Ra + Rbc + Rd
Calculo de Resistencias en series (Ra y Rd):
WC
mCmWm
AKe
Raa
aa
º100.51º200
01.0 52
−×=×
=⋅
=
WC
mCmWm
AKe
Rdd
dd
º1022.21º90
02.0 42
−×=×
=⋅
=
Calculo de Resistencias en paralelo (Rb y Rc):
cbBC RRR111
+=
c
cc
b
bb
bc eAk
eAk
R×
+×
=1
mmCmW
mmCmW
Rbc 03.05.0)º(40
03.05.0)º(501 22 ×
+×
=
CWRbc º9.149911
=
WCRbc
º1067.6 4−×=
WCxxxReq
º1039.91067.61022.2100.5 4445 −−−− ×=++=
Reemplazo en la formula para el cálculo del flujo de calor:
q = wCº1039.9
C)º2050(4−×
−
q = 31948.9 w
9. Una pared de un horno es construida de ladrillos que tienen dimensiones
comunes 9 x 4 1/2 x 3 pulgadas. Se dispone de dos clases de material: uno
que tiene una temperatura útil límite de 1900 °F y una conductividad térmica
de 1 BTU/hr-pie-°F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 1600°F
y una conductividad térmica de 0,5. Los ladrillos tienen el mismo costo y
pueden colocarse de cualquier forma, pero se desea construir la pared más
económica para un horno con una temperatura del lado caliente de 1900°F
y del lado frío de 400 °F. Si la cantidad máxima permisible de transferencia
de calor es 300 BTU/hr-pie² de área, determinar el arreglo más económico
para los ladrillos disponibles.
0,25pie
q 0,75pie
400ºF 0,35pie
1900ºF
1.- Tº útil límite = 1900ºF; K= 1 BTU/ hr pie ºF
2.- Tº útil límite = 1600ºF; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF
Respuesta: si se tienen dos tipos de ladrillos de distinta conductividad
térmica, para economizar en ladrillos, lo ideal es utilizar aquellos que tengan
la menor conductividad térmica, pero en este caso, no es posible utilizar los
ladrillos de conductividad térmica 0,5 BTU/ hr pie ºF, en el interior del horno,
ya que solo resisten una temperatura de 1600ºF y la temperatura al interior
del horno es de 1900ºF, por esta razón utilizaremos en el interior del horno
los ladrillos de conductividad térmica=1 BTU/ hr pie ºF, y posteriormente
utilizaremos los otros.
q= 300 BTU/ hr pie2
eTTKA
q 21 −⋅=
( )pie
FTFpiehr
BTUpiehr
BTU75,0
º1900º1300 2
2
−⋅⋅⋅=
⋅
T2=1675 ºF
( )pie
FTFpiehr
BTUpiehr
BTU25,0
º1675º1300 2
2
−⋅⋅⋅=
⋅
T2 =1600 ºF
( )
eF
FpiehrBTU
piehrBTU º4001600
º5,0300 2
−⋅⋅⋅=
⋅
e = 2 pie
Se necesitarán 2 corridas de ladrillos de K = 1 BTU/ hr pie ºF, y 4 corridas
de ladrillos de; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF
10. Para la pared compuesta representada en la figura adjunta, asumiendo
una transferencia de calor unidireccional y sabiendo que:
Area A = 1 pie²
Area B = Area E
Area C = AreaD=2
AreaE
KA = 100 BTU/hr - pie - °F;
KB = 20 BTU/hr - pie - °F;
KC = 60 BTU/hr - pie - °F;
KD = 40 BTU/hr - pie - °F;
KE = 80 BTU/hr - pie - °F;
KF = 100 BTU/hr - pie - °F;
a) Encontrar el flujo de calor.
Solución
Calculo de áreas:
Espesor de A = piepupiepu 332.0
lg083.0lg4 =×
Espesor de F y C = piepupiepu 1666.0
lg083.0lg2 =×
Espesor de D = piepupiepu 664.0
lg083.0lg8 =×
Espesor de B y E = piepupiepu 833.0
lg0833.0lg0.1 =×
Según la figura: Area A = AreaB + AreaC+ AreaE
1pie2 = Area E+2
AreaE +Area E
Area E = 0.4 pie2
Por lo tanto:
Area C = 2
AreaE
Area C= 2
4.0 2pie
Area C= 0.2pie2
Area B =Area E
Area D= Area C
Cálculo de Resistencias en series:
dd
d
cc
cdc Ak
eAk
eRR×
+×
=+
22 2.0º
40
6664.0
2.0º
60
1666.0
pieFhrpie
Btupie
pieFhrpie
BtupieRR dc
×+
×=+
FhrBtu
FhrBtuRR dc º
0833.0º
0138.0 +=+
FhrBtuRR dc º
0971.0=+
Cálculo de Resistencias en paralelo:
EEEbbbEDCb Ake
FhrBtuAkeRRRR ×
++×
=++
+1
º0971.0
11111
pieFhrpie
BtupieFhr
BtupieFhrpie
BtupieRRRR EDCb 4.0º
80833.0
1
º0971.0
1
4.0º
20833.0
1111
×++
×=+
++
BtuFhr
mCmWm
AkeR
aa
aa
º10332.31º100
332.0 32
−×=×
=×
=
BtuFhr
mCmWm
AkeR
FF
FF
º10666.11º100
1666.0 32
−×=×
=×
=
BtuFhr
pieFhrpie
BtuAhR
i
º045.02.2
º10
112
2
=×
=×
=∞
BtuFhr
pieFhrpie
BtuAhR º033.0
2.2º
15
112
22
2 =×
=×
=∞
La sumatoria de todas las resistencias es:
FhrBTURtotal º
1.0=
El flujo de calor de la pared compuesta se calcula a partir de la ecuación:
FhrBtu
FR
Tqtotal
º1.0
)º50110( −=
∆=
hrBTUq 600=
b) Encontrar la temperatura en la interfase de las paredes C y D. Nota:
En la figura se observa que las paredes C y D que se encuentran en serie
están en paralelo con las paredes B y D, por lo tanto para poder calcular la
temperatura entre ambas paredes es necesario primero calcular las
temperaturas en las superficies de la figura. Siguiendo los siguientes pasos:
Cálculo de Ts1: (en la superficie por el lado A)
)( 11 STTAhq −××= ∞
Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:
)º110(2.2º
10600 12
2 STFpieFhrpie
BtuhrBtu
−××=
Despejando TS1
FTS º73.821 =
Calculo de TS2 (en la superficie por el lado F)
)( 22 ∞−××= TTAhq S
Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:
)º50(2.2º
10600 22
2 FTpieFhrpie
BtuhrBtu
S −××=
Despejando TS2
FTS º18.682 =
Con las temperaturas de las superficies se calcula ∆T
21 SS TTT −=∆
FFT º55.14)º18.6873.82( =−=∆
El calor que pasa sobre las paredes es:
ECDB qqqq ++=
EEECDBBB AkeT
RT
AkeTq
×∆
+∆
+×
∆=
hrBtu
FhrBtuF
RTqCD
CD 85.149
º0971.0
º55.14==
∆=
Con el cálculo de qCD se puede obtener la temperatura en la interfase de las paredes C y D.
D
S
E
SCD R
TTR
TTq )()( 21 −=
−=
FhrBtu
TFhrBtu
º0138.0
º73.8285.149 −=
FT º66.80=