Universidad Autónoma de Querétaro

Escuela de Bachilleres “Salvador Allende”

Programa de Matemáticas III

Plan de Estudios PRE09

Mayo 2010

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Matemáticas III: Geometría Euclidiana y Trigonometría

Semestre: Tercero

Asignatura: Geometría Euclidiana y Trigonometría

Tipo: Curso

Horas por semestre: 80 horas

Horas por semana : 5 horas

Créditos: 8 (ocho)

Horas teoría/sem: 3 Horas práctica/sem: 1 Horas de lab/sem: 1

Introducción

En general, la forma de todo lo que nos rodea tiene que ver con la geometría, puntos y líneas

modelan y definen figuras que la naturaleza ha creado y también las creadas por el hombre.

Este fue el motivo por el cual las antiguas culturas, desarrollaron estudios sobre esos

elementos y figuras geométricas. En la Geometría Euclidiana el razonamiento deductivo se

antepone al inductivo como resultado de la certeza de lo propuesto, pues hay que demostrar

lo que se afirma para poder aplicar en casos particulares lo generalmente demostrado. La

Geometría Euclidiana por sí misma no es la solución, sin embargo, puede mostrarnos la

manera de pensar de forma adecuada. De esto, se tiene la posibilidad de razonar ante una

problemática adversa, concibiendo estrategias de solución que puede facilitarnos la

existencia.

El estudio de la Geometría Euclidiana aporta al individuo un método deductivo que le

permite no sólo el trabajo en trazar figuras geométricas sino el razonamiento para justificar

sus aseveraciones. Es decir, partir de lo concreto y poder concluir en lo abstracto validando

así sus afirmaciones. Por otro lado, la trigonometría, como complemento de la geometría,

permite el estudio de las propiedades en figuras geométricas elementales que son de

aplicación en la vida cotidiana.

Justificación

El poner al estudiante en contacto con el método deductivo se orienta a lograr que todo

bachiller haya visto, entendido y practicado en casos sencillos la forma en que la matemática

valida sus proposiciones, ya que esta forma de razonamiento no sólo es útil en las

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matemáticas. La Geometría Euclidiana debe estudiarse para que el estudiante se enfrente

con este método, no se pretende que el estudiante deba conocer profundamente un

desarrollo axiomático, sino algunas deducciones que se puedan hacer suponiendo algunos

hechos como conocidos. La Geometría Euclidiana también debe estudiarse para resolver

problemas, además de que deben verse los temas necesarios para el estudio de la

Trigonometría y de la Geometría Analítica.

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El crecimiento que se da en el estudio de la Trigonometría posterior al de la secundaria va

encaminado a la introducción de las funciones trigonométricas, proporciona bases para el

curso de Geometría Analítica, Cálculo y para la resolución de ciertos problemas de otras

materias como Física, Química, Formación Estética, etc.

La materia de Matemáticas III es la tercera de un conjunto de seis que conforman el Eje

Matemático del Mapa Curricular, sus antecedentes son las asignaturas de Matemáticas I y II

(que corresponden al Álgebra) donde se considera que los estudiantes aprendieron las

bases algebraicas para continuar sus estudios en esta parte de la matemática, donde

adquirieron el lenguaje matemático que les permita plantear y resolver problemas más

complejos y más cercanos a su vida diaria. Durante el curso se consolidan y se diversifican

los aprendizajes y desempeños adquiridos, ampliando y profundizando los conocimientos,

habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas.

Las materias del Plan de Estudios mantienen una relación transversal y longitudinal entre sí,

que desde el enfoque por competencias reitera la importancia de promover el trabajo

colaborativo y situacional, conforme se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. Es

por esto que, todas las matemáticas de esta currícula son fundamentales para la

interrelación de las materias de otros Ejes, en este caso con Física (en unidades como:

Mecánica, Óptica, Acústica, etc.). Además, constituyen un apoyo para las Ciencias Sociales

como en Formación Estética e Informática.

Todas las asignaturas contribuyen al desarrollo de las competencias genéricas y cada una

tiene participación específica. En particular, Matemáticas III contribuye a lograr el desarrollo

de las distintas competencias; cuando el estudiante se autodetermina y cuidad de sí, al

enfrentar las dificultades que se le presentan para plantear y resolver un problema

presentado en clase; toma decisiones de acuerdo al resultado obtenido y expresa sus ideas

utilizando las distintas representaciones con las que cuente y eligiendo el lenguaje e

instrumentos adecuados para esto. El estudiante piensa crítica y reflexivamente, construye

hipótesis, diseña y aplica modelos lineales y cuadráticos de una o más ecuaciones; aprende

de forma autónoma cuando revisa sus procesos de construcción del conocimiento

matemático y los relaciona con su vida cotidiana, trabaja de forma colaborativa al aportar,

sus puntos de vista, sus ideas, sus soluciones para resolver un problema o ejercicio

matemático.

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Las competencias tanto disciplinares como genéricas forman parte del perfil de egreso de

nuestra Escuela de Bachilleres; en este semestre los estudiantes continúan desarrollando

capacidades y habilidades básicas como la del razonamiento matemático, el uso adecuado

del lenguaje y su capacidad lectora; por lo que la educación que se imparte en la aulas debe

proporcionar recursos, herramientas y actitudes adecuadas que les permitan, a los

egresados, participar en esta sociedad del conocimiento ya sea incorporándose al siguiente

nivel educativo o en su caso al ámbito laboral.

Objetivo general

Al finalizar el curso el alumno comprenderá los conceptos y resultados fundamentales de la

Geometría Euclidiana y de la trigonometría sobre triángulos en relación con paralelismo,

congruencia, semejanza y las funciones trigonométricas. Se espera que el alumno relacione

el conocimiento teórico con la aplicación práctica de los criterios de semejanza y

trigonometría para que confirme la validez de lo aprendido en el aula.

Competencias genéricas

Se autodetermina y cuida de sí

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los

objetivos que persigue.

Atributos:

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores,

fortalezas y debilidades.

Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro

de sus metas.

Se expresa y comunica

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4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Atributos:

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o

gráficas.

Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el

contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de

ellas.

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y

expresar ideas.

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Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos.

Atributos:

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de

fenómenos.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar

información.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Atributos:

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad,

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida

cotidiana.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Atributos:

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo,

definiendo un curso de acción con pasos específicos.

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Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera

reflexiva.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

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Competencias disciplinares

Las competencias que a continuación se enuncias buscan formar a los estudiantes en la

capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente.

1. Propone, formula, define y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes

enfoques.

2. Argumenta la solución obtenida de un problema mediante el lenguaje verbal y

matemático.

Contenido general

El curso de Matemáticas III está dividido en dos unidades: Geometría Euclidiana y

Trigonometría. Para dar una idea de los pesos específicos que se consideran para cada una

de ellas se propone que, si el semestre consta de al menos ochenta horas de clase, cuarenta

se dediquen a Geometría Euclidiana y cuarenta a Trigonometría.

Con la propuesta que a continuación se presenta será necesario que el profesor diseñe sus

estrategias de enseñanza para lograr efectivamente los propósitos de aprendizaje aquí

planteados. Asimismo, le sugerimos apoyarse en el laboratorio con programas

computacionales como el Cabri, Geogebra o Geometra para la Unidad I y el Graphmatica

para la Unidad II.

Se insiste en que la enseñanza debe ser, siempre que sea posible, a través de problemas y

se aclara que por un problema, se entiende una situación nueva para el estudiante que tenga

que resolver, este puede ser de la Matemática misma o una aplicación de la Matemática.

Contenido programático por unidad

Unidad I. Geometría Euclidiana

Puntos, rectas, segmentos y rayos

Definición de ángulo y triángulo

Copiar un segmento, un ángulo y un triángulo dado

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Bisecar un ángulo dado

Construcción de una paralela a una recta dada

Dividir un segmento en n partes iguales.

Construir el punto medio de un segmento dado

Construir una perpendicular a una recta dada.

Construir la mediatriz de un segmento

Construcciones de puntos y líneas importantes en un triángulo

Construcción del teorema – meta.

Concepto de congruencia.

Congruencia de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Razones y proporciones.

Concepto de semejanza.

Semejanza de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y

semejanza.

Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)

Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)

Tipos de ángulos dentro de la circunferencia

Teoremas en la circunferencia.

Unidad II. Trigonometría

Ángulos

Positivos, negativos y coterminales

Unidades y sus conversiones

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas

Valores exactos de las razones trigonométricas en 2

,3

,4

,6

,0 y sus múltiplos

Triángulo rectángulo

Resolución de triángulos rectángulos.

Problemas de aplicación.

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Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos

Resolución de triángulos utilizando Ley de Cosenos

Planteo y resolución de problemas de aplicación

Funciones trigonométricas

Concepto

Gráfica de funciones trigonométricas simples

Gráficas de funciones trigonométricas compuestas

Identidades trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas

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Propuesta metodológica

Esta asignatura está organizada en dos unidades de aprendizaje, con el objeto de facilitar la

formulación y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de

garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y

actitudes, en el estudiante. A continuación se desglosan los temas de Matemáticas III con

algunas sugerencias metodológicas y sobre la profundidad con que debieran ser

desarrollados.

Unidad I. Geometría Euclidiana (40 horas)

Los propósitos principales del estudio de la Geometría Euclidiana en este nivel son:

que el alumno haga construcciones geométricas con regla y compás;

que distinga, al leer una proposición o teorema, las hipótesis y la conclusión;

que verifique con regla y compás un teorema de Geometría Euclidiana;

que se acerque al método deductivo de la matemática;

se considera que la Geometría Euclidiana es un gran lugar para ejemplificar lo que es una

demostración y que el alumno entienda los pasos que la componen;

efectúe algunas demostraciones sencillas y entienda, algunas otras más complicadas;

adquiera los elementos y el lenguaje necesario para estudiar después Trigonometría y

Geometría Analítica.

Es indispensable, además de formativo, hacer obligatorio que el alumno acuda a las clases

donde se vean construcciones con regla y compás con los instrumentos necesarios para que

pueda trabajar, como son: tabla para apoyarse, regla sin graduación, compás de precisión,

lápiz adecuado, goma, sacapuntas y papel blanco.

La forma en que se propone llevar a cabo esta parte del curso es la siguiente:

Plantear a los alumnos un problema de la Geometría Euclidiana que resulte interesante para

ellos. Aquí mencionamos tres teoremas cuya demostración no es trivial, lo hacemos a modo

de ejemplo y el planteamiento sería pedir la verificación y demostración de uno de ellos al

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que llamaremos meta. La idea es desarrollar posteriormente los conceptos necesarios para

poder llegar a verificarlo con regla y compás y demostrarlo. Los tres teoremas son:

Teorema 1. Triángulo de Napoleón (ver anexo).

Teorema 2. Circunferencia de los Nueve Puntos (ver anexo).

Teorema 3. Poliedros Regulares (ver anexo).

Una vez marcada la meta, se empezará con construcciones con regla y compás. Hay que

tener cuidado de que a medida que se avance se compruebe si los términos usados son

conocidos por los estudiantes, de no ser así habrá que introducirlos.

Se verán construcciones básicas como son: bisectriz de un ángulo; mediatriz de un

segmento; perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado; recta paralela a una

recta dada que pasa por un punto dado; copiado de un ángulo, etc.

Se enunciarán algunos teoremas y se pedirá que se verifiquen con regla y compás, por

ejemplo: las bisectrices en un triángulo son concurrentes; las alturas de un triángulo son

concurrentes, las medianas en un triángulo son concurrentes, las mediatrices en un triángulo

son concurrentes; un ángulo que subtiende un diámetro es recto. Se terminará verificando el

teorema que se haya enunciado como meta.

Es importante señalar que se pretende que el estudiante además de adquirir la destreza para

operar con estos instrumentos, entienda los elementos que componen una proposición y

distinga las hipótesis y la conclusión.

Habrá que hacer ver que verificar no es demostrar, pues depende de la figura, de los

instrumentos, etc. y hacer ver en consecuencia la necesidad de la demostración.

Los programas de geometría dinámica han abierto nuevas posibilidades para la geometría.

La principal novedad es que las figuras dejan de se estáticas y saltan a la pantalla de la

computadora para presentarse en forma de animaciones para que podamos observarlas

desde distintos puntos de vista. Pero no es sólo el movimiento de las figuras lo que les

proporciona interés para el aprendizaje de las matemáticas, lo realmente innovador es que

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los diseños pueden ser concebidos para que podemos modificar ciertos parámetros en la

construcción y comprobar los efectos de nuestros cambios.

Cabri Géometre, Geometra y Geogebra son programas de geometría con una serie de

características que lo han ido convirtiendo en un recurso muy especial para las clases de

matemáticas de este nivel. Para esta parte es recomendable llevar a cabo las nueve

primeras Practicas con las que se cuenta en el Manual para esta materia.

En el salón de clases se continúa hablando sobre los postulados, definiciones, teoremas,

lemas, corolarios, hablar sobre los postulados de Euclides. Se hará un estudio sobre

triángulos, se verán algunos resultados sobre triángulos congruentes y semejantes, se hará

hincapié en razones y proporciones, aquí se puede hablar sobre la razón áurea. Es

importante mencionar que algunos de estos temas fueron estudiados en secundaria sin

demostración y que incluso debieron haber visto demostraciones del Teorema de Pitágoras,

por lo que hay que hacer participar al estudiante activamente.

No es necesario demostrar absolutamente todos los teoremas que se enuncien, la elección,

de cuáles sí y cuáles no, queda a cargo del profesor que con su experiencia y sensibilidad irá

marcando un ritmo y una profundidad de acuerdo al grupo con el que esté trabajando. Por

ejemplo, se puede demostrar aquí que las bisectrices en un triángulo concurren y después,

en Matemáticas IV (Geometría Analítica), probar que las medianas en un triángulo

concurren. Se terminará este tema trabajando con polígonos en general.

Se hablará de los ángulos y sus medidas en grados y en radianes para después hacer un

estudio de la circunferencia. Se estudiarán teoremas sobre: ángulos en la circunferencia, tres

puntos no colineales determinan una circunferencia, puntos concíclicos, rectas secante,

radio, diámetro, tangente y se puede empezar a introducir el concepto de límite para ver la

tangente a una circunferencia como un caso límite. En esta unidad se finaliza con los

teoremas necesarios para llegar a la demostración del teorema meta.

Unidad II. Trigonometría (40 horas)

El estudio de la Trigonometría se inició en tercero de secundaria, únicamente se han visto

razones trigonométricas y se han aplicado a la solución de problemas. Aquí se pretende

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avanzar hacia las funciones trigonométricas, hacer un análisis de ellas, de sus gráficas y

aplicaciones en la resolución de ecuaciones trigonométricas y adquirir los conocimientos y el

lenguaje necesarios para otros cursos como Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e

Integral y Física.

Se inicia recordando las definiciones de razones trigonométricas para resolver los primeros

problemas que involucren resolución de triángulos rectángulos y hay que revisar las razones

trigonométricas de ángulos especiales (30º, 45º, 60º y sus múltiplos). Para la resolución de

triángulos oblicuángulos se aborda la ley de los senos y ley de los cosenos.

Se introducirán ángulos positivos y negativos así como ángulos coterminales para hablar del

círculo trigonométrico y dar las definiciones de las funciones trigonométricas. Se estudian los

signos de estas funciones en cada cuadrante y se inicia un análisis de los intervalos de

valores de las mismas.

Se enlistan las identidades trigonométricas usuales. Se demuestran a manera de ejemplo

algunas de ellas y se ven sus aplicaciones. Se estudian las funciones trigonométricas

compuestas para hablar de frecuencia y amplitud, tales como xy 3sec24 .

El utilizar el Laboratorio de Matemáticas en esta parte es de gran ayuda, ya que permite

visualizar las graficas de las funciones trigonométricas y sus propiedades así como trabajar

con graficas de funciones compuestas, en particular se debe llevar a cabo la práctica diez del

Manual.

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Evaluación y acreditación

La evaluación del aprendizaje es inherente al proceso educativo, por lo que su diseño debe

verse como un componente aparte; ya que a través de aquella se emite un juicio de valor

respecto a los aprendizajes desarrollados por el estudiante, con base en los parámetros

establecidos en los programas de estudio. Sobre la evaluación se señala lo siguiente:

1. La evaluación debe ser continua y además de darle un peso para la acreditación, debe

diseñarse de tal manera que también permita ser una estrategia de enseñanza.

2. Bajo el enfoque por competencias, la evaluación del aprendizaje busca valorar

(cualitativamente) el nivel de desarrollo de las competencias establecidas, las cuales

integran un conjunto de saberes en un contexto determinado; organizados en unidades

de competencias e indicadores de desempeño. Bajo este esquema se busca que los

estudiantes tomen conciencia de sus logros y dificultades en el proceso de aprendizaje

de tal manera que puedan corregirlos y superarlos; y que los docentes cuenten con

información objetiva que le permita valorar la efectividad de las secuencias didácticas,

recursos y/o materiales seleccionados, para estar en la posibilidad de retroalimentar

constructivamente a cada uno de los involucrados respecto al nivel de desarrollo de las

competencias alcanzado.

3. Cuando se habla de desarrollar competencias se tiene que hablar de evaluar

desempeños en contextos reales lo que debe llevar a los estudiantes a realizar tareas no

sólo algorítmicas o de planteamiento de problemas planteados en los libros sino más

bien buscar la manera de realizar tareas que puedan embonar con sus otras actividades

y de esta manera propiciar habilidades y conocimientos que utilicen en otros contextos,

estas tareas pueden ser proyectos para una exposición escolar, presentaciones en el

salón de clases utilizando las TIC’s, reportes de investigación, etc. Para la evaluación de

estas tareas se recomienda la conformación de un portafolio de evidencias de

aprendizaje que contenga aquellos productos de aprendizaje que permitan identificar el

nivel de desarrollo de las competencias.

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4. Se busca, mediante actividades de evaluación, que el alumno y el docente desarrollen

procesos de reflexión crítica sobre si mismo y su manera de actuar y además que

promueva la toma de decisiones para proseguir, conservar o transformar su actuar en su

vida diaria.

5. Crear espacios de reflexión y discusión donde intervengan docentes, alumnos y la

misma institución con la finalidad de mejorar la actividad de evaluación.

6. El profesor debe recomendar el uso de los bancos de reactivos de la academia con la

finalidad de que el alumno aplique los conocimientos adquiridos y desarrolle habilidades,

aptitudes y destrezas en la resolución de ejercicios y problemas. Estos reactivos deben

ser resueltos por los alumnos fuera del horario de clases.

7. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los

conocimientos, habilidades, valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas,

honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo que contribuyan al desarrollo

individual y de la sociedad.

8. Las técnicas que se pueden utilizar son:

a) observación (llevar registros de comportamiento, participación, desempeño, etc.);

b) comprobación (pruebas orales, escritas, tareas, practicas de laboratorio, etc.);

c) proyectos (investigación, trabajo en equipo, presentaciones, etc.);

d) entrevistas, encuestas, etc.

9. Las rúbricas y listas cotejo se utilizan para recopilar la información generada por las

técnicas de evaluación realizadas durante el periodo.

En cuanto a la acreditación:

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1. La calificación mínima aprobatoria de 6 (seis)

2. La asistencia igual o mayor al 80%, así como el 80% en trabajos entregados, es requisito

indispensable para tener derecho a presentar los exámenes parciales. En relación a las

prácticas de laboratorio el alumno debe cubrir al menos el 80% de las prácticas

realizadas durante el curso.

3. Los exámenes parciales se realizan por lo regular dos días después de finalizar la unidad

correspondiente.

4. Las dudas generales del curso, se resolverán tanto en clase como en asesorías.

5. Para exentar la materia deberá de tener un promedio numérico mínimo de 8 (ocho)

siempre y cuando todos los parciales estén acreditados.

6. Para presentar el examen final, el alumno deberá de contar con al menos el 80% de

asistencias de las sesiones programadas según el calendario escolar.

7. Un examen con fines de acreditación debe incluir problemas, ejercicios y preguntas

teóricas que relacionen conceptos y aplicaciones.

En el caso de trabajos de investigación, se evaluarán los contenidos, la puntualidad de la

entrega, la presentación, la ortografía y la limpieza del mismo.

Bibliografía

BALEY – SARELL. 2004. Trigonometría. México. Ed. McGraw-Hill.

BERNAL, JUAREZ Y SARABIA.2008. Trigonometría México. Ed. Mc Graw Hill.

19

CUELLAR CARVAJAL Juan Antonio. 2008. Matemáticas II Geometría y trigonometría.

México. Segunda edición. Ed. Mc Graw Hill.

MOISE - DOWMNS, Moise. 2003. Geometría Moderna. Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana

FRIEDMAN, Lev. 1995. “Metodología para resolver problemas de matemáticas”.

México, Grupo Editorial Iberoamérica.

FUENLABRADA, S. 1994. Geometría y Trigonometría. España. Ed. McGraw-Hill.

GILI, Gustavo. 1985. “La Geometría en la Arquitectura”. España, Alsina – Trillas.

HOLLIDAY, CUEVAS, GILBERT, CARTER.2002. Geometría analítica con trigonometría.

México. Ed. Mc Graw Hill, 2002

ORTIZ, Campos Francisco.2005. Matemáticas geometría y trigonometría. México. Ed.

Grupo Patria Editorial

Para la parte computacional:

Paquetes: Graphmatica, Geogebra, Geometra y Cabri.

Manual de Prácticas de Laboratorio: Geometría y Trigonometría. Academia de

Matemáticas de la Escuela de Bachilleres UAQ. 2009.

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Anexo

Teorema 1 (Circunferencia de los 9 puntos). Los puntos medios de los lados, los pies de

las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro de un

triángulo cualquiera son concíclicos (están en una misma circunferencia).

Demostración.

Sea H el ortocentro del ABC. Sean L, M y N los puntos medios de BC, CA y AB,

respectivamente; sean D, E y F los pies de las alturas de BC, CA y AB, respectivamente; y

sean P, Q, y R los puntos medios de los segmentos BH, CH y AH, respectivamente. Sea c la

circunferencia que pasa por L, M y N.

El cuadrilátero LMND es un trapecio isósceles: LM = ND ya que cada uno es igual a la mitad

de AB. Dicho trapecio es concíclico por lo que D está sobre c. Análogamente para E y F.

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Si P es punto medio de BH, al considerar el ABC y al unir P con L se tiene CH es paralela

a PL (ambos son puntos medios) y como HC es perpendicular a AB, también HC es

perpendicular a LM. Luego MLP= /2, por lo que P está en c. Análogamente para Q y R .

Corolario 1. El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del

segmento que une al ortocentro y el circuncentro.

Demostración.

Sea O el circuncentro del ABC, O es el ortocentro del LMN y dado que ABC es

semejante al LMN con una razón de semejanza 2, se obtiene que BH=2OM. Luego, PH

es igual a OM, y como son paralelos se tiene que PHOM es un paralelogramo.

Como las diagonales de un paralelogramo se intersectan en el punto medio, se obtiene que

HO y PM se intersectan en el punto medio, el cual es el centro de la circunferencia de los

nueve puntos ya que PM es diámetro .

Corolario 2. El ortocentro, el circuncentro, el centroide y el centro de la circunferencia de los

nueve puntos son colineales. La línea a la cual pertenecen es conocida como Línea de

Euler.

Demostración.

Sea G la intersección de BM con HO. Dado que BH es paralela a OM se obtiene que

BHG es semejante al MOG y como BH = 2OM, se tiene que BG=2GM. Luego, G es el

centroide ya que BM es mediana y G es su punto de trisección.

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Teorema 2. (Triángulo de Napoleón). Sea ABC un triángulo, sobre cada lado de éste,

constrúyase un triángulo equilátero exterior al triángulo y de lados iguales al lado

considerado entonces el triángulo cuyo vértices son los circuncentros de los triángulos

construidos es un triángulo equilátero el cual se llama el Triángulo de Napoleón del triángulo

dado.

Demostración. Sean L, M, N puntos tales que los triángulos, ABL, ACM y BCN son

equiláteros. Sean E,F,G los circuncentros de los triángulos, ABL, ACM y BCN

respectivamente. Sea H el punto de intersección distinto de A de la circunferencia

circunscrita del ABL con la circunferencia circunscrita del ACM.

El ángulo BLA = 60° porque el ABL es equilátero, luego BHA= 120°.

Análogamente, se tiene CHA = 120° y como BNC = 60° entonces B,H,C,N son

concíclicos. Por lo que la circunferencia circunscrita del BCN pasa por H.

Sean S y T la intersecciones de BH y EG y de AH y EF respectivamente, BH es

perpendicular a EG lo cual implica que ESH = 90°. Similarmente ETH = 90°. Por lo

tanto SET = GEF = 60°. Análogamente EFG = FGE = 60°.

C

B

A

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Teorema 3. Poliedros Regulares. Supóngase que el tetraedro, el octaedro, el icosaedro, el

cubo y el dodecaedro son poliedros convexos regulares entonces no puede haber otros

poliedros convexos regulares distintos de ellos.

Demostración:

En un vértice de un poliedro convexo deben de incidir por lo menos tres caras y el ángulo

poliedro que se forma es menor que 360°, por lo que procedemos de la siguiente manera:

1°. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, por lo que sólo pueden formarse

ángulos poliedros juntando tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros, ya que para seis su

suma es de 360°, por lo que no hay poliedros convexos regulares de caras triangulares

distintos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro.

2°. Puesto que cada ángulo de un cuadrado mide 90°, puede formarse un ángulo poliedro

sólo con tres cuadrados, por lo que el único poliedro convexo regular que se puede formar

con caras cuadradas es el cubo.

3°. Para un pentágono regular se tiene que cada uno de sus ángulos mide 108° y sólo puede

formarse un ángulo poliedro con tres pentágonos, por lo que el único poliedro convexo

regular que se puede formar con caras pentagonales es el dodecaedro.

4°. Para polígonos regulares con más de cinco lados se tiene que la suma de tres veces la

medida de sus ángulos es mayor o igual que 360°, por lo que no pueden haber poliedros

convexos regulares cuyas caras sean cualquiera de esos polígonos.

Luego, el teorema se sigue.