UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ACADEMIA DE ÁLGEBRA

PROBLEMARIO DE ÁLGEBRA II

SEGUNDO SEMESTRE

CICLO ESCOLAR 2017 – 2018

Aranda Sánchez Virginia

Herrera Flores Alma Rosa

Larios Luna Ubaldo

Palmeros Rojas Oscar

Panteleeva Olga Vladimirovna

Suarez Sánchez Juan

Ulloa González Franco Ariel

Álgebra II

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RESUMEN UNIDAD I: FUNCIÓN LINEAL

Definición: Una función f, que va del conjunto A en un conjunto B es una regla de

correspondencia que asigna a cada elemento x en A uno y sólo uno de los elementos

𝒚 = 𝒇(𝒙 ) en B.

A está formado por todos los valores “x” para los cuales la regla de correspondencia 𝑓 tiene

sentido y se le llama DOMINIO DE LA FUNCIÓN. Al conjunto formado por todas las

imágenes 𝑦 = 𝑓(𝑥), se le llama RANGO DE LA FUNCIÓN.

Nota: Usualmente a 𝑥 se le llama variable independiente, mientras que 𝑦 se denomina

variable dependiente.

Definición: Se dice que una variable 𝑦 es directamente proporcional a la variable 𝑥 si la

razón de dos valores correspondiente cualesquiera 𝑦

𝑥 es constante, es decir si

𝑦

𝑥 = 𝑘

De forma equivalente, 𝑦 es directamente proporcional a la variable 𝑥 si

𝑦 = 𝑘𝑥

el coeficiente k se llama constante de proporcionalidad y nos mide el aumento o la

disminución de la variable dependiente por cada unidad de la variable independiente.

La gráfica de 𝑦 = 𝑘𝑥 es una recta que pasa por el origen del plano coordenado.

1. Si 𝑘 > 0 la función 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 es creciente.

2. Si 𝑘 < 0 la función 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 es decreciente.

3. Si 𝑘 = 0 la función 𝑦 = 0 es constante. Su gráfica es el eje X (abscisas).

Nota: La constante de proporcionalidad 𝑘 se interpreta como la pendiente 𝑚 de la recta.

Definición: Una función lineal en la variable 𝑥, es una expresión del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, o de manera equivalente

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚, 𝑏 son constantes. Su gráfica es una recta, donde 𝑚 es la pendiente de la recta y 𝑏

determina el punto de intersección de la recta con el eje 𝑌 (ordenadas).

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1. Si 𝑚 > 0 la función 𝑦 = 𝑚 · 𝑥 + 𝑏 es creciente (figura I).

2. Si 𝑚 < 0 la función 𝑦 = 𝑚 · 𝑥 + 𝑏 es decreciente (figura II).

3. Si 𝑚 = 0 la función 𝑦 = 𝑏 es constante. Su gráfica es paralela al eje X (figura III).

(Figura I) (Figura II) (Figura III)

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UNIDAD I

FUNCIÓN LINEAL

A. Variación directamente Proporcional (VDP)

I. Usando ocho valores de x, obtén los correspondientes valores de 𝑦, construye una

tabla y grafica en un plano coordenado cada una de las siguientes funciones lineales.

1. 𝑦 = 𝑥

2. 𝑦 = 2𝑥

3. 𝑦 = 5𝑥

4. 𝑦 = 20𝑥

5. 𝑦 =1

2𝑥

6. 𝑦 =2

3𝑥

7. 𝑦 =5

4𝑥

8. 𝑦 = −1

4𝑥

9. 𝑦 = −3

2𝑥

10. 𝑦 = −3

7𝑥

II. Análisis de gráficas de Función Lineal.

11. En el ejercicio I, observaste que las funciones son de la forma 𝑦 = 𝑘𝑥, donde 𝑘 es la pendiente de la recta. Con base en lo que observaste al realizar los problemas, responde las siguientes preguntas:

a. Si 𝑘 > 0, ¿cómo se comporta la gráfica de la función lineal 𝑦 = 𝑘𝑥?(CRECE o DECRECE)

b. Si k < 0, ¿cómo se comporta la gráfica de la función lineal y = kx? (CRECE o DECRECE)

III. Realiza los siguientes ejercicios de Variación Directamente Proporcional.

12. Para los datos presentados

i. Completa la tabla

ii. Obtén el valor de 𝑘

iii. Construye el modelo matemático que describa el

comportamiento de variación que presentan entre

sí las cantidades tabuladas.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑘 =∆𝑦

∆𝑥 (𝑥, 𝑦)

1 1/5

2 2/5

3 3/5

4 4/5

5 5/5

6 6/5

7 7/5

8 8/5

9 9/5

10 10/5

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13. Los datos presentados en la siguiente tabla provienen de

un fenómeno de VDP. Además, se sabe que 𝑘 = 10

iv. Completa la tabla

v. Grafica los datos

vi. Obtén el modelo matemático que describe el

fenómeno.

14. Completa la siguiente tabla, construye la gráfica y obtén

el modelo matemático que describa el comportamiento de

los datos.

IV. Obtén el modelo matemático que corresponde a cada una de las gráficas siguientes.

15.

16.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑘 =∆𝑦

∆𝑥 (𝑥, 𝑦)

3 10

4 10

6 10

7 10

9 10

10 10

13 10

15 10

17 10

20 10

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑘 =∆𝑦

∆𝑥 (𝑥, 𝑦)

3 3

6 3

9 3

12 3

15 3

18 3

21 3

24 3

27 3

30 3

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17.

18.

V. Lee detenidamente los siguientes problemas y contesta lo que se te pide.

i. Asigna a “x” 10 valores que consideres apropiados,

para cada valor de “x”, obtén el correspondiente valor

(imagen) de “y”. Presenta tus resultados con una tabla

como la siguiente.

ii. Determina la constante de proporcionalidad;

iii. Reescribe el enunciado en forma funcional. Para esto,

define dos variables “x” e “y”, de tal manera que “y”

sea una función de “x”.

iv. Dibuja un plano cartesiano y grafica los puntos (x , y).

19. La bicicleta de Elena avanza 90cm por cada vuelta completa que dan ambas ruedas.

Se quiere conocer la distancia que recorre Elena en función del número de vueltas de

las ruedas.

20. Un refresco de lata cuesta $7.50. Si “x” representa el número de latas, “y” el costo

total correspondiente; busca una fórmula algebraica que relacione el costo total en

función del número de latas.

21. El promedio de goleo de Javier Hernández es de 0.48 por partido. Encuentra la

relación entre el número de goles anotados como función de los partidos jugados.

Interpreta tus resultados.

22. Una receta para hacer helados recomienda poner 5g de vainilla por cada 100 cm3 de

leche. Encuentra la relación entre la cantidad de leche y de vainilla y representa la

función.

23. Dibuja un triángulo isósceles cuya base mida 5 cm, con una altura que creas

conveniente. Encuentra la relación entre el área del triángulo como función de la

altura.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑘 =∆𝑦

∆𝑥 (𝑥, 𝑦)

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B. FUNCIÓN LINEAL

I. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una función lineal? Justifica tu

respuesta.

24. 𝑦 = 𝑥2 + 5

25. 𝑦 =5

𝑥+ 2

26. 𝑦 =𝑥

5+ 2

27. 𝑦 = (𝑥 − 5)2

28. 𝑦 =𝑥+3

3

29. 𝑦 =6−4𝑥

8

30. 𝑦 =2

3𝑥− 1

31. 𝑦 =2

𝑥+3

II. Usando ocho valores de x, obtén los correspondientes valores de y, construye una

tabla y grafica en un plano coordenado cada una de las siguientes funciones lineales.

32. 𝑦 = 𝑥 + 3

33. 𝑦 = −𝑥 − 1

34. 𝑦 = 4𝑥 + 3

35. 𝑦 =1

2𝑥 + 2

36. 𝑦 = −1

5𝑥 − 3

37. 𝑦 = 4𝑥 − 3

38. 𝑦 = −1

3𝑥 +

1

2

39. 𝑦 =1

3𝑥 +

9

2

40. 𝑦 = −3𝑥 − 1

41. 𝑦 = −1

3𝑥 −

1

2

III. Cambiar las siguientes ecuaciones de dos variables a funciones lineales y graficar las

funciones.

42. 7𝑥 − 5𝑦 + 3 = 11

43. 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 57

44. 6𝑥+𝑦

2= 3

45. 𝑥−𝑦

5= −1

46. 1

2𝑥 + 𝑦 =

2

3𝑥 +

1

2𝑦 − 1

47. 𝑥+3𝑦

4=

𝑥+1

2−

𝑥−𝑦

6

48. 1

2𝑥 −

1

3𝑦 = 𝑥 +

2

3𝑦 − 4

49. 𝑦 + 4 = – 3(𝑥 – 1)

50. 2𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 𝑦 − 10

51. 1

5(𝑥 − 2𝑦) + 1 = 𝑥 +

2

3(𝑦 + 4)

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IV. Asocia a cada línea de la gráfica su ecuación correspondiente (escribe la ecuación

sobre la recta que corresponda) y establece para cada una cual es el valor de su

pendiente.

52. 𝑦 + 2 = 0, 𝑚 =

53. 3𝑥 − 𝑦 = 3, 𝑚 =

54. 2𝑥 − 3𝑦 = 12, 𝑚 =

55. 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑚 =

56. Obtén la función lineal de la siguiente gráfica:

i. ¿Cuánto vale y para 𝒙 = 𝟓?

ii. ¿Cuánto vale y para 𝒙 = 𝟕?

iii. Usando el mismo procedimiento utilizado en la obtención de los incisos a) y b),

completa la tabla.

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V. Llena la siguiente tabla y grafica cada una de las funciones lineales.

57. 𝑦 = 3 58. 𝑦 = 5𝑥 − 2 59. 𝑦 = −

𝑥

2+ 3 60. 𝑦 = −2𝑥

Valor de 𝑚

Valor de 𝑏

Coordenada

(0, 𝑏)

Creciente o

Decreciente

VI. Lee detenidamente cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se te pide.

i. Reescribe cada enunciado en forma funcional, es decir, define dos variables “x”

e “y”, de tal manera que “x” sea una función de “y”;

ii. Asigna a “x”, valores de 0 a 10, entonces, para cada valor, obtén el

correspondiente valor de “y”.

iii. Para cada problema, dibuja un plano cartesiano y grafica los puntos (𝑥 , 𝑦).

61. En la ciudad de México, el banderazo de salida es de $25 y por cada km adicional, se

cobran $8. Encuentra la relación entre el número de kilómetros y el precio a pagar en

cada viaje.

62. Una compañía de telefonía cobra $0.8 por establecer la llamada y $0.97 por minuto

hablado. Establece una relación o ecuación que te permita obtener el precio de la

llamada (y), en función de los minutos.

63. Un fabricante de ventanas rectangulares cobra $300 por cada metro lineal de marco y

$120, por mano de obra. Encuentra la expresión que nos dé el precio de una ventana

en función de las dimensiones y realiza una representación gráfica de esta función.

VII. OTROS MODELOS

64. Modelos moleculares. Los alcanos alifáticos lineales son moléculas orgánicas que se

componen solo de carbono e hidrógeno. El carbono al ser un átomo tetravalente,

acepta 4 enlaces sobre sí. De este modo se tienen las estructuras fundamentales

siguientes:

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a. A partir de las estructuras anteriores estructuras completa la tabla siguiente:

b. Establece el modelo matemático para calcular el número de átomos de hidrógeno

contenidos en cualquier alcano, en base al número de átomos de carbono de su

estructura.

c. Grafica los datos de la tabla

d. ¿Cuantos átomos de hidrógeno tiene una molécula de nonano?

65. Algunos científicos piensan que el promedio de temperatura de la superficie de la

Tierra ha estado subiendo constantemente. El promedio de temperatura de la

superficie se puede modelar con: T = 0.02t + 15, donde T es la temperatura en °C y

t es “años después de 1950”.

a. Grafica la función lineal.

b. ¿Que representa la pendiente y el punto de intersección en T?

c. Use la ecuación para pronosticar el promedio de temperatura de la superficie de

la Tierra en 2050

VIII. Los siguientes pares ordenados pertenecen a una función lineal. Determina el valor

de la pendiente y encuentra la función lineal que las representa:

66. 𝑃(−3,2), Q(3,6)

67. R(8, −6), S(−2, −1)

68. A(−1, −3), B(1,1)

69. C(0,0), D(7, −4)

70. 𝑃(−3,3), 𝑄(3,1)

71. 𝑅(3,0), 𝑆(6,4)

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RESUMEN UNIDAD II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas1, con una o

varias incógnitas.

Ejemplos:

1) −3𝑥 + 2 = 8

2) 2𝑥 + 5𝑦 = 3𝑧 − 5

3) 𝑥2 − 4 = 0

4) 4

𝑥−2−

2

𝑥2−4=

5

𝑥+2

5) √4𝑥 − 5 = 3 − √𝑥 + 2

6) 32𝑥+1 = 93𝑥

7) log5(𝑥 − 7) = log5(2𝑥 + 3) + 8

Definición: Se dice que una ecuación es lineal si todas las variables presentes en ella tienen

exponentes iguales a uno y ningún término de la ecuación tiene más de una variable como

factor.

Ejemplos y contraejemplos:

1) 2𝑥 − 𝑧 = −3𝑦 + 1, es una ecuación lineal en 𝑥, 𝑦, 𝑧

2) −3𝑎 + 2𝑏 = 6𝑎 + 4𝑏 + 8, es una ecuación lineal en 𝑎, 𝑏

3) 𝑥2 + 𝑥 = 6, no es una ecuación lineal

4) 3𝑠 − 𝑠𝑡 = 9, no es una ecuación lineal

Definición: Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones en dos o más variables que

se resuelven en forma simultánea y pueden tener una, varias o ninguna solución.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde todas las ecuaciones del

sistema son ecuaciones lineales.

En el curso se tratarán dos casos particulares:

i. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, llamado Sistema 𝟐 × 𝟐,

ii. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, llamado Sistema 𝟑 × 𝟑.

La solución de un Sistema 2 × 2, es una pareja ordenada2 que satisface ambas ecuaciones del

sistema.

La solución de un Sistema 3 × 3, es una terna ordenada3 que satisface las tres ecuaciones del

sistema.

1 Una expresión algebraica es la combinación de letras y números mediante las operaciones básicas (suma, resta,

multiplicación, división, potencias, etc.) 2 Ejemplos de parejas ordenadas: (𝑥, 𝑦), (𝑎, 𝑏), (𝑚, 𝑛), 𝑒𝑡𝑐. 3 Ejemplos de ternas ordenadas: (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑝, 𝑞, 𝑟), 𝑒𝑡𝑐.

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Tipos de soluciones, Sistemas 2 × 2:

i. Solución única: Cuando las rectas se intersectan (vea Figura I).

ii. No hay solución: Cuando las rectas son paralelas (vea Figura II).

iii. Infinidad de soluciones (muchas soluciones): Cuando las ecuaciones representan a

una misma recta (vea Figura III).

Figura I Figura II Figura III

Los métodos para resolver Sistemas 2 × 2, vistos en clase, son:

1) Método Gráfico

2) Método de Reducción o Método de Suma y Resta

3) Método de Sustitución

4) Método de Igualación

5) Método por Determinantes (Cramer)

Para el caso de Sistemas 3 × 3, sucede algo análogo. En vez de rectas, en forma gráfica, se

consideran planos.

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UNIDAD II

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

I. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

1. {𝑥 = 2

𝑥 + 3𝑦 = 5

2. {𝑦 = −1

3𝑥 + 𝑦 = 2

3. {𝑥 + 2𝑦 = 82𝑥 + 𝑦 = 7

4. {2𝑥 + 3𝑦 = 3

3𝑥 − 2𝑦 = 11

5. {4𝑥 + 5𝑦 = −15

8𝑥 + 10𝑦 = −30

6. {2𝑥 = −32−3𝑦 + 𝑥 = 5

7. {3𝑦 + 3𝑥 = −35 = 4𝑥 + 4𝑦

8. {3𝑥 = 6𝑦 + 18−7𝑦 = 4𝑥 − 9

9. {8𝑥 = −10 + 2𝑦

5𝑥 + 𝑦 = −4

10. {

13

7𝑦 = −2𝑥 −

16

72

5𝑥 + 2𝑦 −

14

5= 0

II. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de reducción y sustitución.

11. {3𝑎 + 3𝑏 = −3

4𝑎 + 𝑏 = 5

12. {

2

3𝑥 +

1

2𝑦 = 6

1

2𝑥 + 𝑦 = 7

13. {2𝑚 + 9𝑛 = 8

3𝑚 + 10𝑛 = 5

14. {4𝑥 + 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = 7

15. {4𝑥 + 3𝑦 = 106𝑥 + 9𝑦 = 21

16. {2𝑥 − 2𝑦 = −6

𝑥 − 𝑦 = −3

17. {5𝑝 − 4𝑞 = −135𝑝 = −4𝑞 − 7

18. {7 − 3𝑎 − 2𝑏 = 0

4𝑎 + 𝑏 = 8

19. {2𝑥 = 7𝑦 − 26

5𝑥 + 𝑦 = 9

20. {4𝑣 = 3𝑤 − 2

8𝑣 − 10 = −𝑤

III. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación y determinantes.

21. {𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 2

22. {2𝑥 + 3𝑦 = 3

3𝑥 − 2𝑦 = 11

23. {2𝑥 + 9𝑦 = 8

3𝑥 + 10𝑦 = 5

24. {𝑥 + 3𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 1

25. {4𝑥 + 5𝑦 = 0−2𝑥 − 𝑦 = 3

26. {3𝑥 − 7𝑦 = −2

4𝑥 − 3𝑦 =1

2

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27. {5𝑥 = 2𝑦 − 2

4𝑥 = 20 − 2𝑦

28. {−2𝑥 − 4𝑦 = 22−7𝑥 − 5𝑦 = 32

29. {4𝑥 + 10𝑦 = 12−2𝑥 + 2𝑦 = 8

30. {2𝑥 + 5𝑦 = 25

−10𝑥 − 9𝑦 = −77

IV. Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva

empleando cualquier método.

31. {𝑥+3𝑦

4+

𝑥

6=

−1

12

𝑥 + 4𝑦 = 2

32. {2𝑥+1

5=

𝑦

4

2𝑥 − 3𝑦 = −8

33. {𝑥

2−

𝑥−𝑦

3= −

1

2

𝑥 + 4 = −1

34. {

2(𝑥+4)

2−

𝑦

2=

9

2

𝑥 − 2𝑦 − (𝑥 −2

3) = −

4

3

35. {

2𝑥−1

2−

𝑦−3

3=

11

6−2𝑥

5+

𝑦−1

10= −

5

6

36. {

3𝑥−2𝑦

3+ 4𝑦 =

13

32(−2𝑦+𝑥)

3−

3𝑥

2= −

13

6

37. {

𝑥+𝑦

𝑥−𝑦=

−2

7

8𝑥+𝑦−1

𝑥−𝑦−2= 2

38. {2(𝑥+𝑦)

3− 𝑦 = −3

3(𝑥 − 𝑦 + 5) + 3𝑥 = 12

39. {7𝑥−9𝑦

2−

2𝑥+4

2= −5

2(𝑥 − 1 + 𝑦) = −10

V. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos

métodos diferentes.

40. {𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑦 = 𝑎 − 𝑏

41. {𝑥 − 𝑦 = 𝑎

𝑥 − 2𝑦 = −3𝑎

42. {2𝑥 + 𝑦 = 𝑏 + 2

𝑏𝑥 − 𝑦 = 0

43. {𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 + 𝑏

3𝑏𝑥 − 2𝑎𝑦 = 3𝑎 − 2𝑏

44. {2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎2

𝑥 + 𝑦 = 3𝑎 − 𝑏

45. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐

46. {𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑

47. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2

48. {𝑎𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑏 − 1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎 + 𝑏

49. {

𝑥

𝑎+ 𝑦 = 2𝑏

𝑥

𝑏− 𝑦 = 𝑎 − 𝑏

50. {(𝑎 − 𝑏)𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑦 = 𝑏2 − 3𝑎𝑏

(𝑎 + 𝑏)𝑥 − (𝑎 − 𝑏)𝑦 = 𝑎𝑏 − 𝑏2

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ECUACIONES FRACCIONARIAS QUE PUEDEN HACERSE LINEALES

VI. Resuélvase para 1

x y para

1

y, después para x y para y, los siguientes sistemas.

51. {

1

𝑥+

1

𝑦= 7

3

𝑥+

2

𝑦= 16

52. {

1

𝑥+

1

𝑦=

−7

12

2

𝑥+

1

𝑦= −

11

12

53. {

2

3𝑥 +

1

2𝑦 = 6

1

2𝑥 + 𝑦 = 7

54. {

3

𝑥−

2

𝑦=

1

2

2

𝑥+

5

𝑦=

23

12

55. {

1

2𝑥 −

1

3𝑦 = 0

𝑥 +2

3𝑦 = 8

56. {

1

𝑥+

2

𝑦=

7

6

2

𝑥+

1

𝑦=

4

3

57. {

2

𝑥−

3

𝑦=

−3

2

5

𝑥+

1

𝑦=

23

12

58. {

2

𝑥−

1

𝑦= 1

2

𝑥+

1

𝑦= 11

59. {

5

𝑥+

4

𝑦= 7

7

𝑥−

6

𝑦= 4

60. {

12

𝑥+

5

𝑦= −

13

2

18

𝑥+

7

𝑦= −

19

2

SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

VII. Resuelva las ecuaciones siguientes para x, y, z. Cada una por los métodos de

reducción (suma y resta) y determinantes

61. {𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 82𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

62. {𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 7

3𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = −12𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 6

63. {

𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = −7𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 6

𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 4

64. {2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 123𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 13

65. {3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 20𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −32𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9

66. {5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −4

3𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = −112𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11

67. {2𝑥 − 𝑦 = 11

2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = −33𝑥 + 5𝑧 = 17

68. {2𝑥 + 3𝑦 = 9

4𝑥 − 2𝑧 = −2 4𝑦 + 3𝑧 = 25

69. {𝑥 + 4𝑧 = 3𝑦 + 3𝑧 = 9

2𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5

70. {

2𝑥 + 𝑦 = 182𝑦 + 2𝑧 = −2

3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 38

Álgebra II

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PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

VIII. Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para

resolverlos.

PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Las cifras o dígitos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ejemplos: 8 tiene una cifra (un dígito); 35 tiene dos cifras (dos dígitos); 527 tiene

tres cifras (tres dígitos)

Estructura de un número, ejemplos:

324 = 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10+4

58 = 5 ∙ 10 + 8

7310 = 7 ∙ 1000 + 3 ∙ 100 + 1 ∙ 10 + 0

71. La suma de dos números es el doble que su diferencia. El número más grande es el

doble del menor más 6.

72. Un número es 5 unidades mayor que el triple de un segundo número. Encuentra esos

números, si la suma de ellos es de 77 unidades.

73. Un número es 15 unidades mayor que otro. ¿Cuáles son esos números, si su suma es

193?

74. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 7. Cuando los dígitos

se intercambian, el número se incrementa en 27. Hallar el número.

75. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 11, el dígito de las

decenas es menor en 5 que el de las unidades.

PROBLEMAS ACERCA DE PRECIOS

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Ejemplos de precios unitarios (o tasas):

Pago de entrada de un niño, tasa de $1.50 por niño, se representa $1.50

1 niño

Pago por una caja de fresa: tasa de $7 por caja, se representa $7

1 caja

Cálculos con precios unitarios:

Si hay 5 niños el pago por todos es de 5 niños ∙$1.50

1 niño= $7.50

Por 4 cajas de fresa hay que pagar 4 cajas ∙$7

1 caja= $28

76. La cuota de entrada a un parque de diversiones es de $1.50 por niño y $4 por adulto.

Cierto día, 2200 personas entraron al parque, y se recibieron $5,050 de entradas.

¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?

Álgebra II

17 de 46

77. En el puesto de un mercado se venden dos variedades de fresas: la estándar y la de

lujo. Una caja estándar de fresas se vende en $7, y una caja de fresas de lujo se vende

en $10. Un día el puesto vende 135 cajas de fresas por un total de $1,110. ¿Cuántas

cajas de cada tipo se vendieron?

78. Un grupo de 6 adultos y 12 niños pagaron en total $900 por sus boletos de viaje. Otro

grupo de 4 adultos y 16 niños pagaron en total también $900. ¿Cuál es el costo de un

boleto para niño, y de un boleto para adulto?

79. Los boletos para un concierto se vendieron en dos días. El viernes se vendieron 200

boletos de la sección A y 350 de la sección B, por $7200. El sábado se vendieron 250

boletos de la sección A y 500 de la sección B, por $9750. ¿Cuál fue el precio de cada

tipo de boleto?

80. Dos estudiantes tuvieron un ingreso de $690 por concepto de venta de dulces a razón

de $1.50 el paquete y de nueces a razón de $1.00 la bolsa. Originalmente habían

gastado $407.50, pagando el paquete de dulces a $1.00 cada uno y la bolsa de nueces

a $0.50 cada una. ¿Cuántos paquetes de dulces y cuántas bolsas de nueces vendieron?

PROBLEMAS ACERCA DE PORCENTAJES Y MEZCLAS:

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas.

Significado de multiplicar por una fracción o decimal. 1

2∙ 8 quiere decir, la mitad de ocho,

1

2∙ 8 = 4 (compruébalo en tu calculadora)

1

5∙ 20 quiere decir, la quinta parte de veinte,

1

5∙ 20 =

20

5= 4

3

4∙ 20 quiere decir, las tres cuartas partes de veinte,

3

4∙ 20 =

20

4∙ 3 = 5 ∙ 3 = 15

1

10∙ 450 quiere decir, la décima parte de 450,

1

10∙ 450 =

450

10= 45

0.1 ∙ 450 también quiere decir, la décima parte de 450, 0.1 ∙ 450 =450

10= 45

(compruébalo en tu calculadora) 15

100∙ 300, quiere decir, quince centésimos de 300, o quince porciento de 300,

300

100∙

15 = 45

0.15 ∙ 300, también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere decir

quince porciento de 300.

Otra manera de representar es 15% ∙ 300 = 45. (15

100= 0.15 = 15%).

En general, se tiene la relación a% ∙ b = c, en la cual, si se conocen dos

cantidades se conoce la tercera.

Si se conocen b, c entonces a% =c

b .

Si se conocen a%, c entonces b =c

a%.

Álgebra II

18 de 46

81. Como producto de dos inversiones una persona recibe anualmente $302.55.Una de las

inversiones produce 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Si las inversiones se

intercambiaran una por otra ganaría $280.90. ¿A cuánto asciende cada inversión?

82. Un tabernero eleva la cantidad de alcohol de un licor, que contiene 10% de alcohol,

añadiendo una solución de 70% de alcohol, el resultado en un licor que tiene una

concentración de 16%, llena 1000 botellas de a litro. ¿Cuántos litros de licor (10%) y

cuántos de solución de alcohol (70%) usó?

83. Un químico tiene dos contenedores grandes para soluciones de ácido sulfúrico, cada

contenedor tiene una concentración diferente de ácido. Se mezclan 300 ml de la

primera solución y 600 ml de la segunda y se obtiene una mezcla que es de 15% de

ácido, pero si se mezclan 100 ml de la primera con 500 ml de la segunda da una

concentración de 12.5 % de ácido sulfúrico. ¿Cuáles son las concentraciones de los

contenedores originales?

84. Se mezclaron dos tipos de solución; una al 15% de ácido y la otra al 8% de ácido,

para producir 40 litros de solución al 10.8% de ácido. ¿Cuántos litros de cada tipo de

solución se usaron?

85. Un comerciante mezcla tabaco de cierta calidad y precio de $28 por kilogramo con

otro de precio $36 por kilogramo y obtiene 100 kilogramos de una mezcla que vende

a $31.20 por kilogramo. ¿Cuánto usó de cada clase de tabaco?

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Si 𝑑 es la distancia, 𝑣 es la velocidad (o tasa) y 𝑡 es el tiempo, con sus unidades

consistentes, es decir, si la velocidad son 𝑘𝑚

ℎ la distancia debe estar en 𝑘𝑚 y el

tiempo en ℎ.

La relación entre estos tres conceptos es: 𝑑 = 𝑣𝑡 o 𝑣 =𝑑

𝑡 o 𝑡 =

𝑑

𝑣, siempre que

sea posible hay que trabajar con la primera (sin denominador).

Si la velocidad de un avión sin viento es 𝑣𝑎 y tiene un viento en contra 𝑣𝑣, la

velocidad del avión será 𝑣𝑎 − 𝑣𝑣, si tiene el viento a favor 𝑣𝑎 + 𝑣𝑣

86. Dos aeropuertos, A y B, están a 1,800 km uno de otro y B está situado al este de A.

Un avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en 41

2 horas. Si durante todo

el viaje estuvo soplando viento del oeste a velocidad constante, encontrar la velocidad

del avión en el aire en reposo y la velocidad del viento.

87. Un piloto voló una avioneta entre dos poblaciones, separadas por 180 millas, como el

viento estuvo en contra, tardó 2 horas. De regreso, el viento estuvo soplando a la

misma velocidad, así que el viaje le tomó sólo 1.2 horas, ¿cuál sería la velocidad de la

avioneta sin viento, y cuál fue la velocidad del viento?

88. Un piloto vuela 1760 kilómetros hacia el norte y luego regresa a su punto de partida.

Durante todo el viaje sopló viento del norte con velocidad constante. Determínese la

Álgebra II

19 de 46

velocidad del avión, relativa al aire y la velocidad del viento, sabiendo que en el viaje

de ida empleó cuatro horas veinticuatro minutos y en .el viaje de regreso tan sólo

cuatro horas.

89. Un ingeniero dedicado a la perforación de pozos petroleros sale de su campamento

viajando en su propio automóvil hasta la estación más cercana de autobuses; ahí toma

un autobús y se dirige a la ciudad más próxima a pasar el fin de semana. Mientras

viajaba en su automóvil conservó una velocidad promedio de 65 kilómetros por hora

y cuando viajaba en autobús una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Para

el recorrido total empleó cinco horas. La gasolina del automóvil le costó a razón de

23.4 centavos por kilómetro y el pasaje en autobús a razón de 31.3 centavos por

kilómetro. Determínese la distancia recorrida en cada vehículo sabiendo que el viaje

le costó $115.00.

90. Una persona viajó por tren, con velocidad promedio de 80 kilómetros por hora, desde

su pueblo natal hasta la Estación Unión de los Ángeles. Ahí tomó un taxi, velocidad

promedio 32 kilómetros por hora, que la llevó hasta el centro de los Ángeles, y luego

un autobús que con velocidad promedio de 22.4 kilómetros por hora la llevó hasta

Hollywood. El recorrido totalizó 575 kilómetros y le tomó 7.6 horas. El tiempo

empleado en el recorrido en autobús fue 5 veces al empleado en el recorrido en taxi.

¿Cuánto tiempo empleó viajando en cada uno de los tramos así descritos?

PROBLEMAS DE TRABAJO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una

hora, por ejemplo si una pared se pinta en 11 horas, se pinta a una tasa de 1

11 de

pared cada hora, en 8 horas se pinta 8 ∙1

11=

8

11 de pared. Si una alberca se llena

con una bomba en 7 horas, se llena a una tasa de 1

7 de alberca por hora, en 3

horas se tiene 3 ∙1

7=

3

7 de alberca llena. Establecidas las fracciones, la suma

debe ser uno, para el trabajo completo o para la alberca llena.

91. Un agricultor con un tractor grande y su ayudante con un tractor chico pueden arar

juntos un terreno en 51

3 horas, también pueden arar el campo si el agricultor trabaja 6

horas solo y luego el ayudante trabaja solo durante 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán

el terreno trabajando solos sin ayuda?

92. Dos hermanos cortan el césped de un cierto terreno en 2 2/9 horas. En una ocasión el

hermano mayor trabaja solo durante 3 horas y luego el otro hermano termina el trabajo

en 1 ¼ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada muchacho hacer todo el trabajo él

solo?

93. Un chofer y su ayudante pueden descargar un tráiler juntos en 2 horas, si el ayudante

trabaja sólo durante 3 horas, el chofer puede terminar de descargar, sólo, en 11

2 horas.

¿Qué tiempo emplearían en descargar el tráiler cada uno sólo?

Álgebra II

20 de 46

94. Alicia y Beatriz trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en este tiempo la mitad

del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Alicia trabajó

sola durante dos horas, luego se le unió Beatriz y juntas terminaron en cuatro horas

más. ¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola ese trabajo?

95. Si una bomba A trabaja durante 8 minutos y otra bomba B durante 15 minutos, pueden

llenar una alberca. Además, si la bomba A trabaja 12 minutos y la bomba B 10

minutos, también pueden llenar la alberca. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada bomba

llenar la alberca?

PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS LINEALES DE 3X3

IX. Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para

resolverlos.

96. CULTIVO DE BACTERIAS. Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas

(denotadas por I, II y III) en un tubo de ensayo, donde serán alimentadas con tres

diferentes fuentes alimenticias (A, B y C). Cada día 400 unidades de A, 600 de B y

600 de C se colocan en el tubo de ensayo, y cada bacteria consume cierto número de

unidades de cada alimento por día, como se muestra en la tabla. ¿Cuantas bacterias de

cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento?

CEPA

BACTERIANA I

CEPA

BACTERIANA II

CEPA

BACTERIANA III

Alimento A 1 2 0

Alimento B 2 1 1

Alimento C 1 1 2

97. NUTRICIÓN. Un médico recomienda que su paciente tome diariamente 50 mg de

niacina, de riboflavina y de tiamina, para aliviar una deficiencia vitamínica. En su

maletín de medicinas en casa, el paciente encuentra tres marcas de píldoras de vita-

mina. Las cantidades de las vitaminas relevantes por píldora se dan en la tabla

siguiente. ¿Cuántas píldoras de cada tipo debe tomar a diario para obtener 50 mg de

cada vitamina?

Vitamax Vitron VitaPlus

Niacina (mg) 5 10 15

Rivoflavina (mg) 15 20 0

Tiamina (mg) 10 10 10

Álgebra II

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98. DISTANCIA, VELOCIDAD Y TIEMPO. Amanda, Bryce y Corey entran a una

competencia en la que deben correr, nadar y andar en bicicleta en una ruta marcada.

Sus magnitudes de velocidad promedio se dan en la siguiente tabla. Corey termina

primero con un tiempo total de 1h 45 min. Amanda llega en segundo lugar con un

tiempo de 2h 30 min. Bryce termina al último con un tiempo de 3 h. Encuentre la

distancia (en millas) para cada parte de la carrera.

Promedio de velocidad (mi/h)

CORRER NADAR BICICLETA

Amanda 10 4 20 Bryce 7 1/2 6 15 Corey 15 3 40

99. ELECTRICIDAD. Mediante el uso de las Leyes de

Kirchhoff, se puede demostrar que las corrientes I1, I2 e I3

que pasan por las tres ramas del circuito de la figura

satisfacen el sistema lineal dado. Resuelva el sistema para

hallar el valor de I1, I2 e I3.

{

𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 06𝐼1 − 8𝐼2 = 4

8𝐼2 + 4𝐼3 = 5

100. CORRIENTES ELÉCTRICAS. En la figura se muestra el diagrama de un

circuito eléctrico que contiene tres resistores, una batería de 6 volts y una batería

de 12 volts. Se puede demostrar, usando las Leyes de Kirchhoff, que las tres

corrientes, I1, I2 e I3 son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0𝑅1𝐼1 + 𝑅2𝐼2 = 6

𝑅2𝐼2 + 𝑅3𝐼3 = 12

Encuentre las tres corrientes si:

a. R1 = R2 = R3=3 ohms.

b. R1 = 4 ohms, R2 = 1 ohm y R3 = 4 ohms.

101. GASOLINA. Una gasolinera vende tres tipos de gasolina: Regular en $3.00 el

galón, Performance Plus en $3.20 el galón y Premium en $3.30 el galón. En un día

particular se vendieron 6500 galones de gasolina para un total de $20,050. Se

vendieron tres veces más galones de gasolina Regular que de Premium. ¿Cuántos

galones de cada tipo de gasolina se vendieron ese día?

Álgebra II

22 de 46

102. AGRICULTURA. Un agricultor tiene 1200 acres de tierras en las que produce

maíz, trigo y frijol de soya. Cuesta $45 por acre producir maíz, $60 producir trigo

y $50 producir frijol de soya. Debido

a la demanda del mercado, el

agricultor producirá el doble de acres

de trigo que de maíz. Ha asignado

$63,750 para el costo de producir sus

cosechas. ¿Cuántos acres de cada

cultivo debe plantar?

103. AJUSTE DE CURVAS I. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa

por los puntos: 𝐴(−2,0), 𝐵(0,2) y 𝐶(−4,2). Es preciso aclarar que una

circunferencia tiene la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 y que el sistema de

ecuaciones que resuelven este problema se pueden generar sustituyendo las

componentes de cada punto en esta expresión.

Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes 𝐷, 𝐸 y 𝐹, grafica la

ecuación resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para

corroborar tus resultados.

104. AJUSTE DE CURVAS II. Encuentra la ecuación de la parábola vertical que pasa

por los puntos: 𝐴(1, −1), 𝐵(2,3) y 𝐶(3,15). Recuerda que una parábola vertical

tiene la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y que el sistema de ecuaciones que resuelven

este problema se puede generar sustituyendo las componentes de cada punto en

esta expresión.

Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐, grafica la

ecuación resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para

corroborar tus resultados.

105. LLENAR UNA PISCINA. Una piscina puede ser llenada por tres tubos, A, B y

C. El tubo A por sí solo puede llenar la piscina en 8 horas. Si los tubos A y C se

usan juntos, la piscina se puede llenar en 6 horas; si el B y el C se usan juntos,

tardan 10 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse la piscina si se usan los tres

tubos?

Álgebra II

23 de 46

RESUMEN UNIDAD III: ECUACIÓN CUADRÁTICA

Definición: una ecuación cuadrática o de segundo grado es una expresión de la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes conocidas y 𝑥 es la incógnita.

Observa que el exponente máximo de la incógnita es dos, de ahí el nombre de la ecuación.

Las expresiones ax2, 𝑏𝑥, 𝑐, son los términos cuadrático, lineal e independiente,

respectivamente.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas (tienen los tres términos: 𝑎𝑥2, 𝑏𝑥, 𝑐) e

incompletas (falta el término lineal bx, o el independiente c).

Ecuación cuadrática: {

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, ecuación completa, los 3 términos

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, ecuación incompleta, falta 𝑐

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, ecuación incompleta, falta 𝑏𝑥

MÉTODOS DE SOLUCIÓN.

La ecuación cuadrática tiene máximo dos soluciones, sean reales o complejas. Resolver una

ecuación significa determinar los valores de la incógnita que cumplen con la igualdad, que

se conocen como raíces o soluciones.

Para aplicar cualquier método de solución, la ecuación debe transformarse a la forma simple

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

A. POR FACTORIZACIÓN.

Este método se aplica tanto a ecuaciones cuadráticas completas como incompletas.

Por factorización debemos entender, transformar sumas de términos algebraicos en un

producto o multiplicación de factores. Así, para resolver una ecuación cuadrática por

factorización, se debe:

a) Factorizar la expresión algebraica de la ecuación en factores lineales.

b) Con cada factor se define una ecuación lineal.

c) Resolver las ecuaciones resultantes.

d) Los valores encontrados son las raíces de la ecuación.

Álgebra II

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B. COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP).

El método consiste en completar un trinomio cuadrado perfecto y se aplica a ecuaciones

completas. Se realiza como sigue:

a) Trasponer el término independiente 𝑐, al lado opuesto del signo igual.

b) Hacer que el coeficiente del término cuadrático 𝑎, sea uno, lo que se obtiene al dividir

la ecuación entre la misma 𝑎.

c) Completar un trinomio cuadrado perfecto (TCP) con los términos cuadrático y lineal,

sumando a ambos lados del signo igual, el cuadrado de la mitad del coeficiente del

término lineal.

d) Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado.

e) Continuar simplificando hasta determinar las raíces.

C. MÉTODO DE FÓRMULA GENERAL

La fórmula que se usa para resolver una ecuación cuadrática (tanto completa como

incompleta) es la expresión 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎. Observa que está definida sólo en base a los

coeficientes numéricos a, b, c de la misma ecuación.

TIPO DE RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

La expresión D = b2 − 4ac, se conoce como discriminante y se utiliza para determinar el

tipo de raíces de una ecuación cuadrática. Note que D, es la expresión que está bajo el signo

radical de la fórmula general.

a) Si D > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

b) Si D = 0, la ecuación tiene una raíz repetida. Esto sucede cuando la expresión de la

ecuación es un TCP.

c) Si D < 0, la ecuación no tiene raíces reales, son complejas.

Álgebra II

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UNIDAD III

ECUACIÓN CUADRÁTICA

I. Transforma la expresión a una ecuación cuadrática en su forma general e identifica los

coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐. Para esto necesitas realizar operaciones algebraicas.

1. (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 6

2. (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 𝑥 + 3

3. 2(𝑥 − 1)2 − 4 = 𝑥(𝑥 + 3)

4. 3(𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 4)2 − 12

5. 𝑥−1

𝑥+3+

𝑥−2

𝑥+1= 1

6. 3𝑥−5

𝑥+1=

2(𝑥+4)

2𝑥−3

7. (𝑥 + 13)2 = (𝑥 + 12)2 + (𝑥 − 5)2

8. (3𝑦 − 1)(2𝑦 + 1) = 3(2𝑦 + 1)

9. 𝑥2−6

3−

3𝑥2−5

2= 1

10. (7 + 𝑥)2 = −(7 − 𝑥)2 + 130

II. Resuelve por factorización las ecuaciones completas. Recuerda que un trinomio

cuadrático se factoriza como el producto de dos binomios. Si es necesario debes

simplificar

11. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

12. 𝑦2 + 9𝑦 + 14 = 0

13. 10𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0

14. 10𝑥2 + 13𝑥 − 3 = 0

15. 15𝑧2 + 16𝑧 − 15 = 0

16. 6𝑢2 + 𝑢 − 1 = 0

17. 12𝑣2 + 11𝑣 − 5 = 0

18. 2𝑥2 = −14𝑥 − 12

19. −𝑥2 = 2𝑥 − 99

20. 2(𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 1)2 = 2𝑥 + 7

III. Resuelve por factorización las ecuaciones cuadráticas cuya expresión algebraica es un

TCP. Su raíz es un solo valor de la incógnita.

21. 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 0

22. 𝑧2 + 10𝑧 + 25 = 0

23. 25t2 − 10t + 1 = 0

24. 16𝑥2 + 24𝑥 + 9 = 0

25. 9ℎ2 + 6ℎ + 1 = 0

26. 9𝑤2 + 12𝑤 + 4 = 0

27. 64𝑟2 + 64𝑟 + 16 = 0

28. 4𝑘2 + 4𝑘 + 1 = 0

29. 49m2 − 14m + 1 = 0

30. 36𝑧2 + 96𝑧 + 64 = 0

IV. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.

31. 4𝑥2 − 49 = 0

32. 9𝑥2 − 25 = 0

33. 16𝑥2 − 81 = 0

34. 64𝑥2 − 1 = 0

35. 5𝑥2 − 45 = 0

36. 4𝑥2 − 8𝑥 = 0

37. 6𝑥2 − 27𝑥 = 0

38. 𝑥2 + 9𝑥 = 0

39. 3𝑥2 + 12𝑥 = 0

40. 2𝑥2 + 8𝑥 = 0

Álgebra II

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V. Resuelve las ecuaciones cuadráticas completando el TCP

41. 𝑥2 − 8𝑥 − 20 = 0

42. 𝑥2 − 5𝑥 − 1 = 0

43. 𝑥2 − 6𝑥 + 2 = 0

44. 𝑥2 + 11𝑥 + 11 = 0

45. 𝑥2 + 8𝑥 − 1 = 0

46. 4𝑥2 + 8𝑥 − 1 = 0

47. 5𝑥2 + 15𝑥 + 1 = 0

48. 3𝑥2 − 18𝑥 − 12 = 0

49. 2𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0

50. 3𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0

VI. Utilizando la fórmula general, resuelve las ecuaciones cuadráticas

51. 7𝑥2 + 21𝑥 − 28 = 0

52. −𝑥2 + 4𝑥 − 7 = 0

53. −9𝑥2 + 17𝑥 + 2 = 0

54. 𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0

55. 6𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0

56. −2𝑥2 + 8𝑥 + 10 = 0

57. 𝑥2 −7

6𝑥 +

1

3= 0

58. 9𝑥2 + 18𝑥 + 17 = 0

59. 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0

60. −4𝑥2 + 13𝑥 + 152 = 0

VII. Problemas que conducen a ecuaciones de segundo grado

A. PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS

61. El dígito de las decenas de cierto número es dos unidades mayor que el dígito de las

unidades y además la suma de cuadrados de ambos dígitos es 52. Encuentre el número.

62. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto exceda a su suma en 41 unidades.

63. Encuentre un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo

número sea igual a 6.

64. Encuentre dos números cuya diferencia sea 9 y cuyo producto sea 190.

65. La diferencia entre el cuadrado de un número positivo y el séxtuplo de dicho número es

16 unidades. Encuentre el número.

66. Separe el número 27 en dos partes cuyo producto sea 162.

67. Separe el número 42 en dos partes cuyo producto dea 341.

68. La suma de un número con su recíproco es 25

12. Encuentre el número.

69. La diferencia de dos números es 6, y la suma de sus recíprocos es 5

8. Encuentre los

números.

70. El producto de un entero positivo par con el recíproco del siguiente entero positivo par

es igual al recíproco del primer entero mencionado. Encuentre dicho número.

Álgebra II

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C. PROBLEMAS CON GEOMETRÍA

71. El área de un triángulo es 42 metros cuadrados. Encuentre la base y la altura si la última

excede a la primera en 5 metros.

72. Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 64 metros y cuya área es

252 metros cuadrados.

73. Si el radio de un círculo se incrementa en 4 unidades, entonces el área resulta multiplicada

por 9. Encuentre el radio original.

74. Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 metros requiere 42 metros

cuadrados de alfombrado de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto?

75. Un cuadrado de linóleo requiere 5 metros más de longitud para cubrir un piso rectangular

cuya área es de 84 metros cuadrados. Calcule las dimensiones de la pieza adicional del

linóleo que debe comprarse.

76. Una persona construye una banqueta recta de concreto, el perímetro de la base es de 15

metros de longitud y un volumen total de un metro cúbico, formando una losa de 10

centímetros de espesor. ¿Cuáles son las dimensiones de la banqueta?

77. Una oficina cuadrada contiene 25 escritorios y además un pasillo, de 3 metros de ancho,

a lo largo de uno de sus lados. Si el espacio destinado a cada ocupante es de 5.2 metros

cuadrados, calcule el tamaño de la oficina.

78. Se instala un tendedero de 2.5 metros de longitud a lo largo de la diagonal de un patio de

servicio rectangular. Sabiendo que se requieren 3.5 metros de barda para cubrir dos de

los lados adyacentes del patio calcule las dimensiones del patio.

79. Un granjero inspecciona la cerca de su granja rectangular dando una vuelta alrededor de

ella en su jeep, calculando, por medio del velocímetro, qué el perímetro es de 3.5 millas.

Si el área de la granja es de 480 acres, calcule las dimensiones del rectángulo. Nota. 1

milla cuadrada es igual a 640 acres.

VIII. Convierte las siguientes ecuaciones a su forma estándar y resuélvelas por cualquier

método

80. 2x

x−1− 2 =

3

x+1

81. x+2

x+ 3x =

5x+6

2

82. 2x−1

2x+1−

x−4

3x+2= −

2

3

83. 1 − 2x−3

x+5=

x−2

10

84. x+3

x−1−

x2+1

x2−1=

26

35

85. 3−x

x+2−

x−1

x−2= 2

86. 5x+1

x2−4−

1

x+2=

x

x−2

87. x

x−6−

1

2=

x

6−

x+6

x−6

Álgebra II

28 de 46

88. x−3

x2−x−

x+3

x2+x=

2−3x

x2−1 89.

2x

x−1+

3x+1

x−1= 2

IX. Usar la fórmula general para despejar la variable indicada

90. y2 − x2 + 5x + y − 6 = 0; resolver para y en términos de x.

91. y2 + 2y − x2 − 4x − 3 = 0; resolver para y en términos de x.

92. x2 − 7y − y2 − 3x − 10 = 0; resolver para x en términos de y.

93. x2 − 4y2 − 2x − 12y − 8 = 0; resolver para x en términos de y.

94. 2y2 + 9x − y − 2x2 − 10 = 0; resolver para y en términos de x.

95. 3x2 − 2y + 10x + 8 − 3y2 = 0; resolver para y en términos de x.

96. 5y2 − 5x2 + 8y − 2x + 3 = 0; resolver para x en términos de y.

X. Resuelva las siguientes ecuaciones reducibles a cuadráticas

97. 36x4 − 13x2 + 1 = 0

98. (p − 1)2 + 4(p − 1) + 3 = 0

99. (t + 4)2 − 10(t + 4) + 21 = 0

100. x4 + 144 = 40x2

101. 3x2

3 + 8x1

3 − 3 = 0

102. 2x−2 = x−1 + 3

103. 6x−2 = 6 − 5x−1

104. (x2 + 3x)2 − 3(x2 + 3x) = 4

105. (x

x−1)

2

+ 4 = 5 (x

x−1)

106. (x+2

x−1)

2

− 5 (x+2

x−1) + 6 = 0

XI. Resuelve las siguientes ecuaciones que comprenden radicales

107. 2x = √2x + 5 + 1

108. 3x = √10 − 2x + 7

109. √4x + 1 =1

2x + 2

110. √2a + 9 − a + 3 = 0

111. √x + 1 + √x − 6 = 7

112. √x + 5 + √x = 5

113. √x − 2 = √x − 8

114. √2x + 3 − √x − 2 = 2

115. √4x − 3 − √x + 1 = 1

116. √2x + 3 = 1 + √x + 1

117. √x2 − 3x + 5 = √2x − 1

118. √2x − 5 − √x − 3 = 1

Álgebra II

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XII. Resolver para la variable que se indica

119. 𝑉 =1

3πr2h , para r

120. s =1

2gt2 + v0t , para t

121. A = 2πr(r + h) , para r

122. y =b

a√a2 − x2 , para x

123. F =G(m1∙ m2)

d2 , para d

124. F =K(q1∙ q2)

r2 , para r

125. P =√3mk

2t2 , para t

126. T =k−d2+

4π

√4F

4kx+2π−d , para F

127. ec =1

2mv2 + t , para v

128. F = mw2r − h , para w

129. F = 1 − mx4π2

T2 , para T

Álgebra II

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RESUMEN UNIDAD IV: FUNCIÓN CUADRÁTICA Y DESIGUALDAD

CUADRÁTICA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Definición: una función cuadrática, tiene la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, con 𝑎 ≠ 0.

a. La gráfica de la función es una curva llamada Parábola

i. Si 𝑎 > 0, se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba, al punto más bajo se le

llama vértice.

ii. Si 𝑎 < 0, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo, al punto más alto se le

llama vértice.

b. El vértice de la parábola 𝑉(ℎ, 𝑘), está dado por las siguientes expresiones ℎ = −𝑏

2𝑎

, 𝑘 = 𝑐 −𝑏2

4𝑎 o también 𝑘 = 𝑓(ℎ).

c. El eje de simetría es la recta 𝑥 = −𝑏

2𝑎, la abscisa del vértice.

d. Las intersecciones de la gráfica (raíces) de 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con el eje 𝑥,

se obtienen al resolver la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, si son raíces reales. En el caso

de que las raíces sean complejas, la gráfica no corta al eje 𝑥.

El discriminante 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, determina el número de intersecciones de la gráfica

con el eje 𝑥.

i. Si 𝐷 > 0, la gráfica tiene dos intersecciones,

ii. Si 𝐷 = 0, una,

iii. Si 𝐷 < 0, ninguna.

e. La intersección con el eje 𝑦, se obtiene al sustituir 𝑥 = 0, en la función y determinar

el respectivo valor de 𝑦 = 𝑓(0).

PARA BOSQUEJAR LA GRÁFICA DE 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, SE PROCEDE

COMO SIGUE

i. Determinar concavidad de la gráfica (el signo de 𝑎 lo determina).

ii. Determinar vértice 𝑉(ℎ, 𝑘). Las coordenadas del vértice se pueden obtener con las

fórmulas dadas líneas arriba, o transformando la función a la forma canónica

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, que implica completar Trinomio Cuadrado Perfecto.

iii. Determinar intersecciones con los ejes coordenados, como se mencionó antes.

iv. Si es necesario podemos determinar algunos puntos adicionales.

v. Se localizan en el plano cartesiano los puntos que corresponden al vértice, las

intersecciones con los ejes y los adicionales obtenidos (si los calculaste en iv) y se

unen con una línea suave.

El dominio de la función cuadrática cbxaxxf 2, es el conjunto de los números

reales ℝ, esto es 𝐷𝑓 = ℝ. Su rango o es 𝑅𝑓 =] − ∞, 𝑘], si la gráfica de la función es

cóncava hacia abajo, y 𝑅𝑓 = [𝑘, −∞[, si es cóncava hacia arriba.

Para cualquier función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, la gráfica de 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, tendrá la misma

forma que la gráfica de 𝑓(𝑥) , pero desplazada como se indica:

Álgebra II

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i. Si h es positivo, la gráfica se desplaza a la derecha,

ii. Si h es negativo, la gráfica se desplaza a la izquierda,

iii. Si k es positivo, la gráfica se desplaza hacia arriba, y

iv. Si k es negativo, la gráfica se desplaza hacia abajo.

Para cambiar la forma de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, se hace

completando trinomio cuadrado perfecto. DESIGUALDAD CUADRÁTICA

Propiedades. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℝ, entonces se cumple lo siguientes

i. Si 𝑝 < 𝑞, entonces, 𝑝 + 𝑟 < 𝑞 + 𝑟

ii. Si 𝑝 < 𝑞, entonces, 𝑝 − 𝑟 < 𝑞 − 𝑟

iii. Si 𝑝 < 𝑞 y 𝑟 > 0 entonces, 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟

iv. Si 𝑝 < 𝑞 y 𝑟 < 0 entonces, 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟

NOTA: las propiedades se cumplen también para las desigualdades del tipo: ≤; >; ≥.

Definición: una desigualdad cuadrática es una expresión de forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; o

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, aunque también se pueden emplear las desigualdades mayor o igual o

menor igual, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números reales con 𝑎 ≠ 0.

PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA DE LA

FORMA 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

i. Se trasladan todos los términos de la desigualdad al miembro de la izquierda o

derecha, respetando las propiedades de las desigualdades.

ii. Resolver la ecuación cuadrática asociada, obteniendo las raíces 𝑥1 , 𝑥2.

iii. Con las raíces obtenidas, definir intervalos (−∞, 𝑥1); (𝑥1, 𝑥2); (𝑥2, ∞)

iv. Tomar un valor de prueba 𝑥0 en cada uno de los intervalos obteniendo 𝑦0 = 𝑓(𝑥0)

para determinar el signo de 𝑦0.

v. Ver cuál de los valores 𝑦0 cumplen la desigualdad.

NOTA: los pasos previos son válidos también para las desigualdades del tipo: ≤; >; ≥.

Álgebra II

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UNIDAD IV

FUNCIÓN CUADRÁTICA, Y

DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRÁTICAS.

I. Tabule y dibuje las siguientes funciones cuadráticas en el intervalo 𝑥 ∈ [−4, 4].

1. 𝑦 = 10𝑥2

2. 𝑦 = −10𝑥2

3. 𝑦 =1

2𝑥2

4. 𝑦 = −1

3𝑥2

5. 𝑦 = 𝑥2 + 1

6. 𝑦 = 𝑥2 − 1

7. 𝑦 = −2𝑥2 + 1

8. 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥

9. 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥

10. 𝑦 =1

2𝑥2 + 3𝑥

11. 𝑦 = 3𝑥2 − 16𝑥 + 16

12. 𝑦 =3

4𝑥2 + 2𝑥 − 5

II. Para cada ejercicio, determina el valor de los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 e indica si la parábola es

cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

13. 𝑦 = (3𝑥 − 4)(4𝑥 − 3) − 15𝑥2

14. 𝑦 = −3(2𝑥 + 1) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

15. 𝑦 = 8(𝑥 − 4)2 − (4𝑥 − 3)𝑥

16. 𝑦 =1

3(3𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

17. 𝑦 =1

2− (3𝑥 − 4)2 − 10𝑥2

18. 𝑦 = 4 + (3𝑥 + 2)(4 − 5𝑥) − 15𝑥

19. 𝑦 = −(−3𝑥 + 4)(1 − 𝑥) + 1

20. 𝑦 = −𝑥2 +7

4(

1

7𝑥 − 4) (𝑥 + 1)

21. 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 1 − 5(2𝑥 + 1)

22. 𝑦 = −𝑥(2𝑥 + 1) − 6𝑥2 − 1

III. Determine las raíces de las siguientes funciones cuadráticas

23. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 16

24. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥2

25. 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

26. 𝑦 = 4 − (𝑥 − 2)2

27. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 16𝑥 + 16

28. 𝑓(𝑥) = 25𝑥2 − 10𝑥 − 2

29. 𝑓(𝑥) = 10 − 9𝑥 − 9𝑥2

30. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 3

31. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 5𝑥 − 30

32. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1

33. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥2

34. 𝑓(𝑥) = 15 − 9𝑥 − 9𝑥2

Álgebra II

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IV. Transforma la función a la forma canónica, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , y determina

el vértice.

35. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 8

36. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 + 3

37. 𝑦 = 4𝑥2 + 3𝑥 − 1

38. 𝑡 = −3𝑦2 + 5𝑦 + 7

39. 𝑔(𝑘) = 5𝑘2 + 3𝑘 + 2

40. ℎ(𝑙) = −2

3𝑙2 − 2𝑙 + 7

V. Cambia la función a la forma general, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

41. 𝐹(𝑥) = −1

2(𝑥 − 2)2 − 6

42. 𝑔(𝑥) = 5(𝑥 − 3)2 + 10

43. ℎ(𝑐) = 4(𝑐 − 3)2 − 3

44. 𝑦 = 3 (𝑥 +3

2)

2

+ 2

45. ℎ =3

5(𝑘 + 2)2 −

2

3

46. 𝑓(𝑡) = 6(𝑡 + 1)2 − 4

VI. En cada uno de los ejercicios siguientes, utiliza la ecuación del eje de simetría y el

hecho de que 𝑦 = 𝑓(𝑥), para obtener el vértice de la parábola.

47. 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

48. 𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥

49. 𝑦 = −12𝑥2 + 11𝑥 + 15

50. 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 9

51. 𝑦 = −2𝑥2 + 20𝑥 − 43

52. 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 − 11

53. 𝑦 = −3𝑥2 − 6𝑥 − 6

54. 𝑦 = 𝑥2 −7

6𝑥 +

1

3

55. 𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 10

56. 𝑦 = −4𝑥2 + 13𝑥 + 152

VII. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, hallar:

a) Vértice,

b) Eje de simetría,

c) Intersección con el eje 𝑦 e intersección(es) con el eje 𝑥

d) Con la información de los incisos del a) al c), bosqueja la gráfica de la función.

57. 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 54

58. 𝑦 = 2𝑥2 − 42 − 5𝑥

59. 𝑦 = 3𝑥2 + 8𝑥 − 35

60. 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 5

61. 𝑦 = 𝑥2 + 11𝑥 + 29

62. 𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥 − 1

63. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1

64. 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 3

65. 𝑦 = 𝑥2 − 9𝑥 + 20

66. 𝑦 = 7𝑥2 + 21𝑥 − 28

67. 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 7

68. 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 − 18

Álgebra II

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VIII. Determina función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, conocido el vértice V, y un

punto de la gráfica. Traza la gráfica.

69. 𝑉(3, 2) y 𝐴(5, 10)

70. 𝑉(−1, 4) y 𝐵(−3, −8)

71. 𝑉(2, −5) y 𝐶(5,25

4)

72. 𝑉(4, −1) y 𝑃(−3, 5)

73. 𝑉(3, 2) y 𝑄(5,0)

74. 𝑉(3, 1) y 𝑅(0, 5)

IX. Determina la función cuadrática que describe la gráfica que se proporciona.

75.

76.

X. Resolver las siguientes desigualdades lineales. Graficar el conjunto solución en la

recta de los reales y expresarlo en notación de intervalos.

77. 𝑥 + 1 > 3

78. 2𝑥 + 17 ≤ 3

79. 𝑥 − 1 < 1

80. 5𝑥 + 2 > 3𝑥 + 3

81. 3𝑥 + 4 ≥ 𝑥 + 2

82. 3𝑥 − 1 < 𝑥 + 3

83. −𝑥 + 2 < 3𝑥 − 7

84. 7𝑥 − 4 ≤ 3𝑥 + 2

85. 4𝑥 − 5 < 𝑥 − 2

86. 2𝑥 + 7 > 3𝑥 + 5

87. 2𝑥−1

3+ 1 >

𝑥+1

2

88. 𝑥+3

4− 2 ≥

𝑥−1

3

XI. Resuelva las siguientes desigualdades cuadráticas y exprese la solución en notación

de intervalos.

89. 𝑥2 − 2𝑥 − 5 > 3

90. 7𝑥 − 10 < 𝑥2

91. 9 − 4𝑥2 ≥ 0

92. 𝑥2 + 4 ≤ 0

93. 3𝑥2 − 16𝑥 + 16 ≥ 0

94. 10𝑥 > 𝑥2

Álgebra II

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95. 9 + 5𝑥 ≤ 4𝑥2

96. 17𝑥 < 15 − 4𝑥2

97. 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0

98. 2𝑥2 + 5𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 + 1

99. (3 − 5𝑥)(1 − 2𝑥) ≤ 0

100. 𝑥(𝑥 − 2) < 3

XII. Determinar el intervalo para x de tal manera que, el radical represente números

reales

101. √𝑥2 + 9

102. √2𝑥2 + 5𝑥 − 3

103. √𝑥2 − 16

104. √𝑥2 − 4𝑥

105. √4 − (𝑥 − 2)2

106. √15 + 11𝑥 − 12𝑥2

107. √𝑥(𝑥 + 5)

108. √√𝑥2 + 4

109. √𝑥2 − 3𝑥 + 1

110. √𝑥2 − 3𝑥 +1

2

111. √𝑥2 + 𝑥 − 1

112. √𝑥2 + 𝑥 − 12

XIII. Problemas que conducen a funciones de segundo grado

113. Considere que una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una rapidez

inicial de 16 pies por segundo, desde la parte superior de un edificio de 128 pies

de altura, entonces su altura h sobre el piso después de t segundos será de

ℎ = 128 + 16𝑡 − 16𝑡2. ¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo

menos 32 pies por arriba del nivel del suelo?

114. La distancia 𝑑, en pies, que hay entre un objeto y el piso t segundos después de

que aquel se deja caer desde un aeroplano, está dada por la fórmula

𝑑 = −16𝑡2 + 784.

a. Determine la distancia del objeto respecto del piso 3 segundos después que se

dejó caer.

b. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en chocar contra el piso?

115. La fuerza gravitacional 𝐹 ejercida por la tierra sobre un cuerpo de masa de 100 𝑘𝑔

está definida por la ecuación. 𝐹 =4 000 000

𝑑2 , donde 𝑑 es la distancia en 𝐾𝑚, desde

el cuerpo al centro de la tierra y la fuerza 𝐹 se mide en Newtons. ¿Para qué

intervalo de distancia la fuerza gravitacional estará entre 0.0004 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠 y

0.01 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠?

Álgebra II

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116. Cerca de una fogata, la temperatura 𝑇 en ℃ a una distancia de 𝑥 metros del centro

del fuego está determinada por 𝑇 =800 000

𝑥2+300, ¿En qué intervalo de distancias desde

el centro de la fogata, la temperatura es mayor a 500 ℃?

117. El consumo de gasolina en millas por galón de un vehículo conducido a 𝑣 millas

por hora está determinado por 𝑔 = 10 + 0.9𝑣 − 0.01𝑣2. Siempre que 𝑣 se

mantenga entre 10 y 75 millas por hora. ¿Para qué intervalo de velocidades el

consumo es menor o igual a 30 millas por galón ?

118. La velocidad de la sangre que está a r centímetros del eje central de una arteria de

radio R es

S(r) = c(R2 − r2 )

donde c es una constante positiva. ¿Dónde es mayor la velocidad de la sangre?

119. Un fabricante considera que los ingresos generados por la venta de x unidades de

un determinado producto está dada por la función

𝑅(𝑥) = 80𝑥 − 0.4𝑥2

donde los ingresos R(x) se miden en dólares. ¿Cuál es el máximo ingreso y cuál es

el número de unidades que se deben fabricar para obtener este máximo?

120. Un vendedor de cerveza ubicado en una playa popular analiza sus registros de

ventas y observa que al vender x latas en una día, su ganancia (en dólares) viene

dada por

𝑦 = −0.001𝑥2 + 3𝑥 − 1800

Determine cuál es su ganancia máxima por día y el número de latas que debe

vender para alcanzar el máximo beneficio.

121. Cuando un determinado medicamento se toma por vía oral, la concentración del

fármaco en el torrente sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por,

𝐶(𝑡) = 0.06𝑡 − 0.0002𝑡2

donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 240 y la concentración se mide en mg/L. ¿Cuándo se alcanza la

concentración máxima en el suero y cuál es la concentración máxima?

122. El número de manzanas producida por cada árbol en un huerto de manzanas

depende de qué tan densamente se plantan los árboles. Si n árboles se plantan en

una hectárea entonces cada árbol produce 900 -9n manzanas. Así el número de

manzanas producidas por acre es

𝐴(𝑛) = 𝑛(900 − 9𝑛)

¿Cuántos árboles se deben ser plantados en cada hectárea para obtener el máximo

rendimiento de manzanas?

Álgebra II

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RESUMEN UNIDAD V: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Definición: Se llama sistema de ecuaciones no lineales a aquel que tiene al menos una de

las ecuaciones no lineal.

Existen sistemas no lineales diversos (exponenciales, logaritmos, trigonométricos, etc.), los

sistemas algebraicos considerados en esta unidad son:

1. Cuadráticos con Lineales

2. Cuadráticos con Cuadráticos

Para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la solución es uno o más valores de (x, y)

que satisfacen simultáneamente las ecuaciones, en caso contrario no hay solución del

sistema.

Ejemplos particulares:

Cuadrática-Lineal

{y = x2 parábolay = x recta

Cuadrática-Cuadrática

{x2 + y2 = 1 circunferencia

y = x2 parábola

{x2 + y2 = 1 circunferencia

y = x recta

{y = x2 parábola

x = y2 parábola

{x2 − y2 = 1 hipérbolay = x recta

{x2 + y2 = 1 circunferencia

x2 − y2 = 1 hipérbola

{4x2 + 9y2 = 36 elipsey = x recta

{4x2 + 9y2 = 36 elipsexy = 1 hipérbola equilátera

Para la solución de sistemas de ecuaciones no lineales se pueden utilizar los métodos ya

vistos en la unidad II:

i. Sustitución

ii. Igualación

iii. Eliminación

iv. Gráfico

La elección del método depende del ejemplo a resolver, incluso pueden combinarse según

convenga.

NOTA: En el método gráfico pueden representarse en el plano cartesiano las soluciones

obtenidas (por otro método), así como las intersecciones correspondientes con cada eje

coordenado, para bosquejar el sistema. O usar alguna herramienta para graficar (Geogebra,

Derive).

Álgebra II

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UNIDAD V

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método indicado.

Sustitución. Igualación. Eliminación.

1. {𝑥 + 𝑦 = 4

𝑦 = 𝑥2 + 2 6. {

𝑥2 + 𝑦2 = 2

3𝑥2 + 4𝑦2 = 7 11. {

𝑥2 − 𝑦2 = 4

2𝑥2 + 𝑦2 = 8

2. { 𝑦2 − 2𝑥 = −2

𝑥 + 2𝑦 = 7 7. {

9𝑥2 + 4𝑦2 − 17𝑦 = 21

4𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑦 = 1 12. {

𝑥2 − 𝑦 − 2 = 0

2𝑥2 + 𝑦 − 6𝑥 − 7 = 0

3. {𝑥𝑦 = 1

𝑦 = −2𝑥 + 3 8. {

𝑦 = 2𝑥 − 1𝑥𝑦 = 6

13. { 𝑥2 + 𝑦2 = 13

2𝑥2 + 3𝑦2 = 30

4. { 2𝑥2 + 𝑦2 = 16

𝑥2 − 𝑦2 = −4 9. {

𝑦 = 𝑥2 + 1𝑥 + 𝑦 = 3

14. { 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑦 = 3𝑥 + 4

5. { 2𝑥2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 3

𝑥 − 𝑦 = 0 10. {

2(𝑥 − 4)2 = 9(𝑦 − 1)

(𝑥 − 4)2 = −9(𝑦 − 4) 15. {

4𝑥2 + 9𝑦2 = 36

2𝑥2 − 9𝑦2 = 18

II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquier método.

16. {𝑦 = 𝑥2 + 1𝑥 + 𝑦 = 3

21. {𝑥2 − 𝑦 − 2 = 0

2𝑥2 + 𝑦 − 6𝑥 − 7 = 0

17. {4𝑥2 + 9𝑦2 = 2

2𝑥 + 3𝑦 = 2 22. {

2𝑥2 − 𝑦2 = 14𝑥 − 𝑦 = 1

18. {𝑥2 + 3𝑦2 = 7

2𝑥2 − 𝑦2 = 7 23. {

9𝑥2 + 𝑦2 = 2

18𝑥2 + 3𝑦2 = 5

19. {𝑥 = 𝑦2 − 4𝑦 + 5

𝑥 − 𝑦 = 1 24. {

𝑥𝑦 = 4𝑥 − 4𝑦 = 0

20. {𝑥2 − 𝑦 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 25. {

𝑥2 − 𝑦 = 02𝑥 − 𝑦 = −3

III. Traza la gráfica de cada sistema de ecuaciones cuadráticas y estima la solución.

Comprueba resolviendo en forma algebraica por sustitución.

26. {𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8

𝑦 = 𝑥 + 2

27. {𝑥2 + 𝑦2 = 16

9𝑥2 + 16𝑦2 = 144

28. {𝑦 − 𝑥 = 1

𝑥2 + 𝑦2 = 1

29. {𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑦 = 3𝑥 + 4

Álgebra II

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

NOTA: Para resolver los problemas debes definir un sistema de ecuaciones cuadráticas.

30. Encuentra dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 29 y la

diferencia de sus cuadrados sea 21.

31. El perímetro de un rectángulo es 34 metros y la diagonal mide 13 metros. Calcula las

dimensiones del rectángulo.

32. Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 80 m y su área es 375

m2.

33. Se desea construir una pista rectangular para baile que tenga un perímetro de 90m y

un área de 500 m2. Determina las dimensiones de la pista de baile.

34. Un área rectangular que está a la orilla de un río será cercada. Si 40 m de cerca

encierran un área de 200 m2, determina las dimensiones del área cercada.

35. Una pista rectangular de patinaje sobre hielo tiene un área de 4800 m2. Si la diagonal

de la pista mide 100 m, determina las dimensiones de la pista.

36. Un carpintero tiene un trozo rectangular de madera. Mide su diagonal y determina

que es de 17 pulgadas. Cuando corta el trozo a lo largo de la diagonal, el perímetro

de cada triángulo que se forma mide 40 pulgadas. Determina las dimensiones del

trozo de madera original.

37. La vela de un velero tiene forma de un triángulo rectángulo. Su perímetro mide 36 m

y tiene una hipotenusa de 15 m. Determina la longitud de los catetos del triángulo.

38. Tres caminos se intersectan formando un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide

26 yardas y el área 120 yardas cuadradas, determina la longitud de los catetos del

triángulo.

Álgebra II

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RESUMEN UNIDAD VI: EXPRESIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

Definición: la función exponencial con base 𝒂 se define para todo número real 𝒙 como

𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 𝑜 𝑦 = 𝑎𝑥,

donde a es un número real positivo (𝑎 > 0) y distinto de 1 (𝑎 ≠ 1).

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

a) Como la base 𝑎 de la función exponencial siempre es positiva, entonces 𝑦 = 𝑓 (𝑥)

siempre es positivo.

b) El dominio de la función es ]−∞, ∞[,

El rango de la función es, ]0, ∞[, c) Si 𝑎 = 1, entonces 𝑓(𝑥) = 1𝑥 = 1 (figura I).

d) No cruza al eje 𝑥.

e) Cuando 𝑥 = 0, la función corta al eje 𝑦 en el punto 𝑃(0 , 1).

f) Si 𝑥 = 1, la función pasa por el punto 𝑃(1, 𝑎).

g) La gráfica de la exponencial es creciente si 𝑎 > 1 (figura II) y es decreciente si 0 < 𝑎 < 1 (figura III).

h) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 también es exponencial. Su gráfica se obtiene

trasladando la gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑥 en 𝑏 unidades hacia arriba si 𝒃 es positivo, y en 𝒃

unidades hacia abajo si es negativo.

i) La función 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 es también es exponencial. Su gráfica se obtiene trasladando la

gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑥 en 𝑏 unidades hacia la izquierda si 𝒃 es positivo, y en 𝑏 unidades

hacia la derecha si es negativo.

Figura I Figura II Figura II

LOGARÍTMOS.

Definición: Sean 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, relacionados por la expresión 𝑥 = 𝑎𝑛.

Se define al logaritmo en base 𝒂 de un número 𝒙 como el exponente 𝒏 al que hay que

elevar la base para obtener dicho número, esto es:

𝑥 = 𝑎𝑛 ⟺ loga 𝑥 = n NOTA: cuando trabajes con logaritmos, no debes olvidar que un logaritmo no es otra cosa

que un exponente.

Álgebra II

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LOGARITMOS DECIMALES

Se llaman logaritmos decimales a los que tienen por base el número 10. En este único

caso, no se escribe la base, es decir,

log10 𝑥 = log 𝑥.

LOGARITMOS NATURALES

Se llaman logaritmos naturales a los que tienen por base al número 𝑒. Igual que en el caso

anterior se tiene una notación especial para estos logaritmos,

loge 𝑥 = ln 𝑥

CAMBIO DE BASE

Existe una propiedad de los logaritmos que nos permite transformar un logaritmo de una

cierta base dada en otro logaritmo expresado en otra base.

loga 𝑥 =logb 𝑥

logb 𝑎,

donde 𝑎 y 𝑏 son bases diferentes.

LEYES DE LOS LOGARITMOS

1. loga 1 = 0,

2. loga 𝑎 = 1,

3. loga 𝑎𝑥 = 𝑥,

4. loga [𝑥 ∙ 𝑦] = loga 𝑥 + loga 𝑦,

5. loga𝑥

𝑦= loga 𝑥 − loga 𝑦,

6. loga 𝑥𝑘 = 𝑘 loga 𝑥,

Definición: sean 𝑎 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑥 > 0 y 𝑎 ≠ 1, se define a la función logarítmica

como el exponente al cual debe elevarse la base 𝒂 para obtener el número 𝑥, esto es,

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥. Propiedades

1. El dominio de la función es ]0, ∞[,

2. El rango de la función es, ]−∞, ∞[,

3. La gráfica pasa por los puntos, (1

𝑎, −1), (1 , 0) y (𝑎 ,1)

4. Si 𝑎 > 1, la función es creciente.

5. Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

Álgebra II

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ECUACIONES EXPONENCIALES

Definición: Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas que contienen al menos un

término de la forma 𝒂𝒙.

La solución de una ecuación exponencial es un valor que toma la incógnita de tal manera

que al sustituirlo en la igualdad esta se cumpla.

Para resolver ecuaciones exponenciales se deben aplicar las leyes de los exponentes y

utilizar que: si 𝑎𝑢 = 𝑎𝑣 implica que 𝑢 = 𝑣.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Las ecuaciones que contienen términos de la forma loga 𝑥 donde 𝑎 es un número real

positivo, diferente de cero, se conocen como ecuaciones logarítmicas. Estas se resuelven

aplicando las leyes de los logaritmos y utilizar que: si log𝑎 𝑢 = log𝑎 𝑣 implica que 𝑢 = 𝑣.

Álgebra II

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UNIDAD VI

EXPRESIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

I. Usando que aL = N ⟺ loga N = L, exprese en forma de logaritmo cada

problema.

1. 72 = 49

2. 34 = 81

3. 53 = 125

4. 161

4 = 2

5. 272

3 = 9

6. 323

5 = 8

7. 3−2 =1

9

8. (1

8)

− 1

3= 2

9. (16

81)

−3

4=

27

8

10. 3−4 =1

243

11. 2−4 =1

16

12. (1

64)

−5

6= 32

II. Sabiendo que loga N = 𝐿 ⟺ 𝑎𝐿 = 𝑁, exprese en forma de exponente cada

problema.

13. log3 9 = 2

14. log2 8 = 3

15. log2 16 = 4

16. log𝑎3 𝑎2 =2

3

17. log𝑎2 𝑎6 = 3

18. log27 81 =4

3

19. log4 32 =5

2

20. log64 16 =2

3

21. log41

64= −3

22. log9

4

243

32=

5

2

23. log 8

27

4

9=

2

3

24. log16 8 =3

4

III. Con ayuda de la definición de logaritmo y sin usar calculadora, obtén el valor del

logaritmo.

25. log8 64 =

26. log5 625 =

27. log343 7 =

28. log 10000 =

29. log4 64 =

30. log225 15 =

31. log625 25 =

32. log243 3 =

33. log128 2 =

34. log1

5

1

125=

35. log1

9

1

3=

36. log1

4

1

8=

IV. Escribe la ecuación en forma exponencial y determina el valor de la variable

desconocida.

37. log6 𝑛 = 3

38. log𝑏 27 = 3

39. log4 𝑛 = 4

40. log9 𝑛 =3

2

41. log𝑏 49 = 2

42. log𝑏 9 =1

2

43. log𝑏 1000 = 3

44. log𝑏 3 =1

4

45. log8 𝑛 =4

3

46. log𝑏 125 = 3

Álgebra II

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V. Resuélvanse las ecuaciones de los problemas siguientes.

47. 4𝑥 = 64

48. 7𝑥−1 = 343

49. 53𝑥−2 = 625

50. 2𝑥2+1 = 4𝑥

51. 4𝑥2+3𝑥 = 256

52. 5𝑥2−3 = 25𝑥

53. 73𝑥−2 = 1

54. 3𝑥 − 31−𝑥 = 2

55. 𝑒𝑥 − 6𝑒−𝑥 = 1

56. (195)𝑥 = 2.68

57. (3.02)𝑥 = 0.00739

58. 22𝑥 − 2𝑥 = 12

VI. Usando las propiedades de los logaritmos, expresa las funciones siguientes como

suma o deferencia de logaritmos (las literales deben estar en primera potencias).

59. 𝑦 = log2𝑐𝑥3

𝑥+1

60. 𝑧 = log √𝑥+𝑦

(𝑥−2𝑦)𝑐

61. 𝑧 = log3(𝑐𝑥2 √𝑥 + 33

)

62. 𝑤 = log𝑐 √𝑥

3

𝑥(𝑥−𝑦)3

63. 𝑤 = log2𝑐𝑥2𝑦3

(𝑥+𝑦)2

64. 𝑢 = log𝑐(𝑥+𝑦)3

√𝑥−𝑦

65. 𝑢 = ln𝑦2𝑐

𝑥2 √𝑦−3𝑥3

66. 𝑣 = log1

2

3𝑥4√2𝑦6

67. 𝑦 = log74(𝑥3−6)𝑥

(9𝑥−11)

68. 𝑦 = ln𝑐𝑥

𝑥−3

69. 𝑣 = log3 √𝑥2𝑦5

3𝑧4

70. 𝑢 = ln 𝑥𝑘(𝑚𝑥 + 𝑏)4

VII. Exprese los siguientes productos, cocientes y/o potencias de logaritmo en un solo

logaritmo.

71. 𝑧 = 3 log 𝑦 +1

4log(𝑥 − 𝑐) −

1

3log(𝑥 + 𝑦 − 𝑐)

72. 𝑢 = 2 log 𝑐 −1

2log(𝑥 − 2𝑦)

73. 𝑣 = 2 log 𝑥 − 3 log 𝑐 + log(2𝑥 + 𝑦)

74. w = log 𝑐 + 2 log 𝑥 − log(𝑥 − 1)

75. 𝑧 = log8 16 + log8(𝑥 − 2)

76. 𝑢 = log2(𝑥2 − 3𝑥 + 6) − log2(𝑥 − 1)

77. 𝑣 = log6(𝑥2 + 2𝑥 + 15) − log6(𝑥 + 2)

78. y = log2 𝑛 + log2(𝑛 + 4) − log2(𝑛 − 3)

79. w = 4log7 3 − [2 log7(𝑥 + 4) + 5 log7 𝑥]

80. z = log𝑎 13 + log𝑎 𝑥 + 5 log𝑎 𝑦4

Álgebra II

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VIII. Resolver para x cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas

81. log3(2𝑥 − 1) + log3(3𝑥 + 1) = 0

82. log (3x + 1) = 2 − log(𝑥 + 7)

83. log6(𝑥2 + 2𝑥 + 15) − log6(𝑥 + 2) = log6 6

84. 3log5 2 −3

2log5(𝑥 − 2) =

1

2log5(𝑥 − 2)

85. log5 [log3(log2 𝑥)] = 0

86. 2 log(log x) = log(7 − 2log 𝑥) − log 5

87. ln 12 − ln(𝑥 − 1) = ln(𝑥 − 2)

88. log2 (x − 3) − log2(2𝑥 − 3) = 1

89. log2 x − log1/2 x + log4 x + log√2 x =15

2

90. log (2x + 1) + log 4 = log(7𝑥 + 8)

IX. Resuélvanse para 𝑥 o para 𝑛 según corresponda, las ecuaciones siguientes.

91. 𝑦 = 2𝑒𝑥

92. 𝑦 = 𝑒−𝑏𝑥

93. 𝑦 = 𝑎𝑒−𝑥

94. 𝑦 = 3𝑒−2𝑥

95. 𝑦 = 2(𝑐 + 𝑟)𝑛

96. 𝑦 =𝑟𝑛

𝑎

97. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑛+1

98. 𝑦 = ln [𝑥 + √(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)]

99. 𝑦 = ln √𝑥+2

2−𝑥

100. 𝑦 = ln(𝑥 + √𝑥2 − 1)

101. 𝑦 = ln √(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

X. Grafique en el mismo sistema coordenado las siguientes funciones exponenciales.

102. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 3𝑥 ℎ(𝑥) = 2−𝑥 𝑢(𝑥) = 3−𝑥

103. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 3𝑥+1 ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 1

XI. Grafique en el mismo sistema coordenado las siguientes funciones logarítmicas.

104. 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 ℎ(𝑥) = log2 𝑥

105. 𝑓(𝑥) = log1

2

𝑥 𝑔(𝑥) = log1

3

𝑥 ℎ(𝑥) = log1

5

𝑥

106. 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑔(𝑥) = log ( 𝑥 + 2) ℎ(𝑥) = log 𝑥 + 2

Álgebra II

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XII. Grafique en el mismo sistema coordenado las siguientes funciones exponenciales y

logarítmicas.

107. 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑔(𝑥) = 10𝑥;

108. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥;

109. 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥;

110. 𝑓(𝑥) = log3 𝑥 𝑔(𝑥) = 3𝑥;

XIII. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

111. Para calcular cuántos habitantes habrá en una ciudad, (actualmente hay 2000

habitantes), en un momento determinado, se utilizar la expresión

𝑦 = 2000(1.2)0.1 𝑡

donde, 𝑡 es el número de años contados a partir de hoy. Determina cuántos

habitantes tendrá la ciudad dentro de 10 años, y 100 años.

112. El costo de un carro Mustang es de $ 620,000. Si el auto se devalúa a una tasa de

15% anual. El valor del automóvil dentro de 𝑡 años, puede calcularse con la

expresión

𝑉(𝑡) = 620000(0.85) 𝑡

Determina el valor del vehículo dentro de 6 años.

113. Si el valor de los bienes raíces se incrementa a razón de 10% por año, entonces

después de t años, el valor 𝑉 de una casa, comprada en 𝑃 pesos, está dado por 𝑉(𝑡) = 𝑃(1.1)𝑡

Si una casa fue comprada en $880,000 en 1999. ¿Cuál será su precio en 2009?

114. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es

de 10𝑚𝑔, la cantidad presente en el cuerpo después de 𝑡 horas está dada por

𝐴(𝑡) = 10(0.8)𝑡

a) Calcule la cantidad de fármaco restante en el organismo 8 horas después de la

ingesta.

b) ¿Qué porcentaje del medicamento se elimina cada hora?

115. En química pH es un número que describe cuantitativamente la acidez o la

basicidad de ciertas soluciones. Por definición

pH = − log[H+] donde H+ es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Aproxime la

concentración de iones hidrógeno H+ en cada una de las siguientes sustancias:

a) Manzanas: pH ≈ 3.0

b) Cerveza: pH ≈ 4.2

c) Leche: pH ≈ 6.6