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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Soluciones viscosas de ecuaciones elípticas no lineales con operadores no locales.

Trabajo de Titulación, modalidad Proyecto de Investigación, previo a la obtención del Título de Ingeniera Matemática.

AUTORA: Peña García Giovanella Isabel.

TUTOR: Ph.D. Yangari Sosa Miguel Ángel.

QUITO, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Giovanella Isabel Peña García en calidad de autor y titular de los derechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación Soluciones viscosas de ecuaciones elípticas no lineales con operadores no locales, modalidad proyecto de investigación, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la norma citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

Giovanella Isabel Peña García

C.C. 1723644132

[email protected]

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación, presentado por GIOVANELLA ISABEL PEÑA GARCÍA para optar por el Grado de Ingeniera Matemática; cuyo título es: SOLUCIONES VISCOSAS DE ECUACIONES ELÍPTICAS NO LINEALES CON OPERADORES NO LOCALES, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 29 días del mes de enero de 2019.

Ph.D. Miguel Angel Yangari Sosa

DOCENTE-TUTOR

C.I. 1715020309

DEDICATORIA

A Dios por permitirme cumplir

Mis metas junto a mis seres queridos.

A mi madre Isabel García por ser el pilar

fundamental de nuestro hogar y ser mi motivación.

A mis hermanos Raúl y Ángel por siempre apoyarme y cuidarme.

A mí enamorado Jhonatan por todo

su amor y apoyo incondicional brindado.

A mi ángel de la guarda Ángel García por

siempre haberme acompañado y cuidado desde el cielo.

AGRADECIMIENTO

A Dios por brindarme la salud y vida para poder realizarme profesionalmente y sobre todo por siempre poner en mi camino seres humanos que me han apoyado en especial a mi Tutor Miguel Yangari Ph.D. quien sabiamente me guio en este proceso, por brindarme su valiosa amistad y por ser un gran docente.

A mi mayor motivación y ejemplo a seguir mi “Madre”. A ella por ser mi todo, a ella por enseñarme a vivir a pesar de los momentos más adversos, a ella por entregar todo para ser de sus hijos su mejor versión.

Agradezco a mis hermanos por siempre motivarme a seguir con mis estudios, en especial a Raúl por guiarme y apoyarme.

A mi enamorado por ser un gran apoyo en todo este tiempo y por ser de mí un mejor ser.

Agradezco a mis familiares quienes siempre estuvieron pendientes en este camino y a mis amigos en especial a las chicas.

A mi ángel de la guarda quien siempre me acompañó en cada etapa y ahora lo hace desde el cielo, a ti mi abuelito gracias por siempre haberme cuidado y brindado su amor. Vive y vivirá por siempre en mi mente y corazón.

Finalmente agradezco a cada docente y compañeros quienes fueron parte de esta etapa.

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACION DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO v

CONTENIDO vii

RESUMEN viii

ABSTRACT ix

INTRODUCCION 1

DEFINICION DEL PROBLEMA 3

1. Conceptos y resultados preliminares 5

1.1. Cotas, supremo e ınfimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Conjuntos acotados y compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Sucesiones y sub-sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Lımite superior e inferior de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Funciones en R y RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2. Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3. Lımite superior e inferior de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4. Funciones semi-continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.5. Envoltura semi-continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.6. Funciones derivables e integrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.7. Teorema de Convergencia Dominada y Lema de Fatou. . . . . . 28

2. Ecuaciones elıpticas de segundo orden con operadores locales 32

2.1. Ecuaciones elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Existencia de soluciones viscosas por el Metodo de Perron . . . . . . . 40

2.2.1. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-soluciones viscosas 41

2.2.2. El Metodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3. Existencia de una solucion viscosa continua . . . . . . . . . . . 46

2.3. Principio de Comparacion de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vi

3. Ecuaciones elıpticas de segundo orden con operadores no locales 52

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Notacion basica y nocion de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Soluciones viscosas discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-soluciones viscosas . . . . 67

3.5. Metodo de Perron Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6. Principio de Comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 85

4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. BIBLIOGRAFIA 87

6. ANEXOS 89

6.1. Anexo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1.1. Laplaciano fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

vii

TÍTULO: Soluciones viscosas de ecuaciones elípticas no lineales con operadores no locales.

Autora: Giovanella Isabel Peña García

Tutor: Ph.D. Miguel Ángel Yangari Sosa.

RESUMEN

Este trabajo está enfocado en estudiar las ecuaciones elípticas no lineales con operadores no locales tipo Lévy mediante soluciones viscosas. La existencia de estas soluciones discontinuas están basadas en el Método de Perron, que junto con el Principio de Comparación nos permiten obtener la existencia de soluciones continuas. Además, presentamos una solución general para Hamiltonianos que verifican todas las hipótesis mencionadas.

PALABRAS CLAVE: SUB Y SUPER-SOLUCIÓN VISCOSA / SUB Y SUPER -SOLUCIÓN VISCOSA DISCONTINUA / OPERADOR INTEGRO-DIFERENCIAL/ MÉTODO DE PERRON / TEOREMA DE COMPARACIÓN.

TITLE: Viscosity solutions for elliptic non-linear equations with non-local operators

Author: Giovanella Isabel Peña García

Tutor: Ph.D. Miguel Ángel Yangari Sosa.

ABSTRACT

The current investigation work is intended to study elliptic non-linear equations with Lévy-type non-local operators by using viscosity solutions. The existence of such discontinuous solutions is based on Perron which together, with, the Comparison Principle, allowed obtaining continouos solutions. Additionally, we have introduced a general solution for Hamiltonians to verify all above-mentioned hypotheses.

KEYWORDS: SUB AND SUPER-SOLUTION VISCOSITY / SUB AND SUPER-SOLUTION VISCOSITY DISCONTINUOUS / INTEGER-DIFERENTIAL OPERATOR / PERRON'S METHOD / COMPARISON THEOREM.

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones integro-diferenciales o bien conocidas como ecuaciones integrales han sido una línea de investigación muy importante desde hace mucho tiempo en diferentes ramas como en física, mecánica, finanzas entre otras.

Las ecuaciones elípticas nacen históricamente de las integrales elípticas. En 1679, el matemático suizo Jacob Bernoulli encontró una integral elíptica tratando de calcular la longitud de una espiral. En 1825, el matemático noruego Niels Abel introdujo el concepto de ecuaciones integrales es decir, una función desconocida aparece bajo el signo de la integral (véase [11], [12]). Cuyo desarrollo sistemático empezó después de 70 años por el matemático y físico italiano Vito Volterra que trabajo en la aplicación sobre las ecuaciones integrales, con el que supo resolver determinados problemas físicos en campos como la óptica, el electromagnetismo. El matemático sueco Erik Fredholm desarrolló las ecuaciones integrales de Fredholm que se utilizó para el cálculo de las tarifas de aseguramiento (véase [13] y [14]).

En 1983, los matemáticos Pierre Lions y Grain Crandall introdujeron el término de solución viscosa para las ecuaciones Hamilton-Jacobi (véase [8]). En 1984 junto con el matemático Lawrence Evans realizaron definiciones y propiedades para ecuaciones de primer orden de soluciones viscosas. Después, en 1992 Pierre, Crandall y con el matemático Hitoshi Ishii presentaron soluciones viscosas para ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, adaptando para este tema el Teorema de Perron el cual hace posible construir soluciones discontinuas casi sin considerar hipótesis sobre las condiciones iniciales y el Principio de comparación que permite verificar su unicidad (véase [16] y [17]).

El objetivo de este trabajo de investigación es estudiar las soluciones viscosas para ecuaciones elípticas no lineales que involucran operadores no locales tipo Lévy, los cuales son operadores que generalizan al bien conocido Laplaciano fraccionario, sobre el cual, en los últimos años ha evidenciado un gran interés por sus aplicaciones en física, finanzas y en el propio estudio de sus propiedades como generador infinitesimal de un semigrupo de operadores compactos.

En el Capítulo 1, recopilaremos una serie de definiciones, proposiciones, lemas y teoremas de fundamento de la matemática, análisis matemático, funcional y teoría de la medida en ℝ

y ℝ tomadas de [1] a [5].

En el Capítulo 2, revisaremos detalladamente la teoría de las soluciones viscosas, para el cual estudiaremos las notas de Pierre Cardaliaguet [6] y [9] que obtiene soluciones débiles, esto se da cuando el dominio de estudio es muy general y es imposible verificar que sean

suficientemente diferenciable, para una mejor explicación se da el siguiente ejemplo. Sea la ecuación eikonal definida como

|()| = 1;∀0,1(1) = (0) = 0.

Notemos que es una ecuación elíptica de primer orden no lineal además, este problema no tiene solución clásica, pero si existe una función 0,1 que verifique la ecuación. En efecto, por el Teorema de valor medio existe 0,1 tal que

0 = (1) − (0)1 − 0 =

Por lo tanto contradice.

El objetivo del Capítulo 3 es detallar todo los cálculos del artículo de Erwin Topp y Miguel Yangari [7] el cual se enfoca en la derivada de Caputo, es decir, en una variable temporal fraccionaria pero nuestro trabajo es realizar para un operador fraccionario en espacio. Para esto introduciremos las propiedades del Laplaciano fraccionario detalladas en el Anexo A tomadas de [18] y [20], definición de viscosidad para la ecuación elíptica no lineal con operadores no locales tipo Lévy, las soluciones viscosas discontinuas y la aplicación del Teorema de Perron para construir la solución viscosa y del Principio de Comparación para la unicidad y continuidad de la solución.

DEFINICION DEL PROBLEMA

Formulacion del problema

Estamos enfocados en hallar una soluciones viscosas u : RN → R de la ecuacion elıpticano lineal con operadores no locales, donde consideramos la forma general

F (x0, u,Du,D2u, I(u)) = 0, x0 ∈ RN

como hipotesis basica tenemos que la funcion F ∈ C(RN × R × RN × RN×N × R) escontinua ademas, el operador no local esta dado por

I[RN ](u, x0, Du) =

∫

RN

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du, z〉]νdz,

donde 1B es la indicatriz de la bola unitaria y ν es una medida no negativa que verificala condicion de integrabilidad de Levy. Un ejemplo conocido de este tipo de operadores el laplaciano fraccionario dado por

(−)αu(x0) = lımε→0

∫

|x0−y0|>ε

u(y0)− u(x0)

|x0 − y0|N+2αdy.

Justificacion del problema

El uso de operadores no locales tipo Levy en problemas elıpticos y parabolicos hallamado la atencion de la comunidad cientıfica en los ultimos anos por sus diversasaplicaciones en modelos de difusion anomala en fısica, finanzas, hidrologıa, etc. Estetipo de operadores tambien han sido estudiados en varios contextos en la rama delas matematicas, como son el analisis de ecuaciones en derivadas parciales, analisisnumerico, teorıa de operadores, teorıa de probabilidades y procesos estocasticos, entreotros.

OBJETIVOS

Objetivo General

Estudiar la existencia y unicidad de soluciones viscosas de ecuaciones elıpticas no li-neales con operadores no locales.

Objetivo Especıfico

• Estudiar la teorıa relacionada a operadores no locales tipo Levy.

3

• Comprender las propiedades principales de las formulaciones viscosas.

• Demostrar el Metodo de Perron y el Principio de Comparacion para el estudio deexistencia de soluciones viscosas continuas.

4

Capıtulo 1

Conceptos y resultados preliminares

En este capıtulo haremos una recopilacion de una serie de resultados principales defundamentos de la matematica, analisis matematico, funcional y teorıa de la medidaque seran utilizadas a lo largo de este proyecto de investigacion tomadas de [1] a [5].

1.1. Cotas, supremo e ınfimo.

Definicion 1.1. Sean a, b ∈ R. Si a < b+ ε para todo ε > 0, entonces a ≤ b.

Definicion 1.2. Sea Ω subconjunto no vacıo de R, se dice que

1. Ω tiene maximo si existe un numero real x ∈ Ω tal que x ≥ a, para todo a ∈ Ω.Es inmediato que x es unico, se denomina maximo de Ω y se denota maxΩ.

2. Ω tiene mınimo si existe un numero real y ∈ Ω tal que y ≤ a para todo a ∈ Ω. Esinmediato que y es unico, se denomina mınimo de Ω y se denota mınΩ.

Definicion 1.3. Sea Ω subconjunto no vacıo de R, se dice que

1. Ω tiene una cota superior si, para todo x ∈ R tal que

x ≥ a, ∀a ∈ Ω.

2. Ω tiene una cota inferior si, para todo x ∈ R tal que

x ≤ a, ∀a ∈ Ω.

Definicion 1.4. Sea Ω un subconjunto no vacıo de R, se tiene

1. Si Ω esta acotado superiormente por x, se define a x como el supremo de Ω quees el mınimo del conjunto de las cotas superiores de Ω. Se denota

x = supΩ.

2. Si Ω esta acotado inferiormente por y, se define a y como el ınfimo de Ω que esel maximo del conjunto de sus cotas inferiores de Ω. Se denota

y = ınf Ω.

Proposicion 1.1. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y sea x ∈ R se denomina supremode Ω, si x verifica las siguientes condiciones:

1. Si x es cota superior de Ω.

5

2. Si y < x, entonces existe un a0 ∈ Ω tal que y < a0.

Demostracion: Vease en [1].

Proposicion 1.2. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y sea x ∈ R se denomina ınfimode Ω, es decir, x = ınf Ω si x verifica las siguientes condiciones:

1. Si x es cota inferior de Ω.

2. Si x < y, entonces existe un a0 ∈ Ω tal que a0 < y.

Demostracion: Vease en [1] y [4].

Definicion 1.5. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y sea h ∈ R tal que

1. Si Ω tiene supremo, para cualquier x de Ω se tiene x > supΩ− h.

2. Si Ω tiene ınfimo, para cualquier x de Ω se tiene x < ınf Ω + h.

Proposicion 1.3. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y tiene una cota inferior entoncesΩ tiene ınfimo.

Demostracion: Sea Ω = x : x ∈ Ω un conjunto de R, tomamos −Ω = −x : x ∈ Ω.Primero probemos que x es cota inferior de Ω, si y solo si, −x es cota superior de −Ω.Por Definicion 1.2 se tiene

x ≤ m, ∀m ∈ Ω ⇔ −x ≥ −m, ∀(−m) ∈ −Ω,

por lo tanto −x es cota superior de −Ω y como −x ∈ Ω entonces −Ω esta acotadasuperiormente. Ahora supongamos que h = sup(−Ω) por Definicion 1.3, h esta aco-tando superiormente a Ω, entonces −h esta acotando inferiormente a Ω. Finalmenteprobemos que −h es el maximo de las cotas inferiores de Ω. Si x es cota inferior de Ωse tiene −x es cota superio de −Ω, luego por Definiciones 1.2, 1.3 se tiene −x ≥ h yx ≤ −h. Por Definicion 1.4 se concluye que −h = ınf Ω.

Definicion 1.6. Notemos que ademas en la Proposicion 1.3 hemos probado que si Ωsubconjunto no vacıo de R y Ω tiene ınfimo entonces:

1. −Ω tiene supremo, es decir, ınf Ω = − sup(−Ω).

2. Cambiando Ω por −Ω, entonces −Ω tiene ınfimo y se tiene supΩ = − ınf(−Ω.)

Proposicion 1.4. Sean A y B subconjuntos no vacıos de R y A ⊂ B, se tiene

1. Si B tiene supremo entonces A tiene supremo y supA ≤ supB.

2. Si B tiene ınfimo entonces A tiene ınfimo y ınf A ≥ ınf B.

Demostracion: Si B tiene supremo entonces existe β = supB. Como A ⊂ B entoncesexiste b ∈ B tal que a ≤ b ≤ β para todo a ∈ A, luego a ≤ α para α ∈ R. Por lo tanto,A tiene supremo, es decir, α = supA. Notemos que β es una cota superior de A, portanto α ≤ β, es decir, supA ≤ supB. Para probar 2. sabemos que A ⊂ B entoncestambien −A ⊂ −B con lo que, por lo demostrado de 1. se tiene, sup(−A) ≤ sup(−B),por Definicion 1.5 − ınf A ≤ − ınf B, por lo tanto ınf A ≥ ınf B.

Definicion 1.7. Sean A y B subconjuntos no vacıos de R y sea a ≤ b para todoa ∈ A, b ∈ B. Entonces A tiene supremo, B tiene ınfimo y que supA ≤ ınf B.

Definicion 1.8. Sean Ω subconjunto no vacıos de R, es decir:

6

1. Si Ω tiene supremo y sea c ∈ R. Se define el conjunto c + Ω = c + x : x ∈ Ω,entonces sup(c+ Ω) = c+ supΩ.

2. Si Ω tiene ınfimo y sea c ∈ R. Se define el conjunto c + Ω = c + x : x ∈ Ω,entonces ınf(c+ Ω) = c+ ınf Ω.

Proposicion 1.5. Sean A y B conjuntos no vacıos de R y sea C el conjunto definidocomo C = a + b | a ∈ A , b ∈ B. Si A y B estan acotados superiormente, entoncesel conjunto C tambien esta acotado superiormente y supC = supA+ supB.

Demostracion: Supongamos que A y B estan acotados superiormente, es decir,

α = supA y β = supB,

entonces α ≥ x para todo x ∈ A y β ≥ y para todo y ∈ B luego α+β ≥ x+y. Por tanto,C esta acotado superiormente y se tiene que supC ≤ α + β = supA + supB. Ahorasupongamos por absurdo que supC < supA + supB, llamamemos k = supA + supB

y h = supC ası, h < k, tomemos d =1

2(k − h) > 0. Por Definicion 1.1, existe x0 ∈ A

y y0 ∈ B tales que x0 > α− d y y0 > β − d. Entonces

x0 + y0 > α + β − 2d, llamamos z0 = x0 + y0 donde z0 ∈ C

z0 > α + β − (k − h)

> α + β − (supA+ supB − supC)

> supC,

lo cual es absurdo. Ası supC ≥ supA + supB, De esta ultima desigualdad y de lademostrada anteriormente, se deduce que supC = supA + supB.

Proposicion 1.6. Sean A y B subconjuntos no vacıos de R y sea C el conjunto definidocomo C = a + b | a ∈ A , b ∈ B. Si A y B estan acotados inferiormente, entoncesel conjunto C tambien esta acotado inferiormente y ınf C = ınf A+ ınf B.

Demostracion: Se procede como en la demostracion anterior.

1.2. Conjuntos acotados y compactos.

Historicamente los conceptos de conjunto y en especial el concepto de conjuntos com-pactos aparecio en relacion con los problemas donde se necesitaba encontrar sucesionesconvergente dentro de un conjunto. Sucesiones se vera en la siguiente seccion.

Definicion 1.9. Sea x ∈ RN y r > 0, se define la bola abierta con centro x y radio rcomo el conjunto

Br(x) = y ∈ RN : ‖x− y‖ < r.

Y la bola cerrada con centro x y radio r como el conjunto

Br(x) = y ∈ RN : ‖x− y‖ ≤ r.

Notemos que ‖x− y‖ es la distancia de x a y.

Definicion 1.10. Sea x ∈ RN . Un subconjunto Ω ⊂ RN es un entorno de x ∈ RN siexite una bola abierta con centro en x tal que Br(x) ⊂ Ω.

Definicion 1.11. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Se dice que x ∈ RN es unpunto interior de Ω si existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ Ω.

7

Definicion 1.12. Sea

Ω el conjunto de todos los puntos interiores de Ω y

Ω ⊂ Ω.

Definicion 1.13. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Un punto x ∈ RN es adherentea Ω si para cada r > 0 se tiene que

Br(x) ∩ Ω 6= ∅.

Definicion 1.14. El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto Ω se llamaadherencia o clausura, de Ω y se denota Ω y Ω ⊂ Ω.

Notemos que si Ω un subconjunto de RN , se tiene que

Ω ⊂ Ω ⊂ Ω.

Definicion 1.15. Sea Ω un subconjunto de RN , se dice que x ∈ RN es un punto deacumulacion de Ω si, toda bola abierta con centro x contiene un punto Ω distinto de x.Dicho de otro modo si, ∀r > 0 se tiene que

(Br(x)− x) ∩ Ω 6= ∅.

Definicion 1.16. Sea Ω un subconjunto de RN se dice abierto, si para cada x ∈ Ωexiste r > 0 tal que Br(x) ⊂ Ω.

Ejemplo 1. Sea el intervalo A = (a, b) = x ∈ R : a < x < b es el ejemplo funda-mental de un conjunto abierto en R. Para x ∈ (a, b) y el radio r = mınx − a, b − xla bola Br(x) es el intervalo (x− r, x+ r) y este esta contenido en A.

Ejemplo 2. Sea A = x = (x1, ..., xn) : xi > 0, i = 1, ..., n en Rn. El conjunto Aes abierto, porque para cada x = (x1, ..., xn) ∈ A tomando r = mınx1, ..., xn obtene-mos para cada y ∈ Br(x), 1 ≤ i ≤ n :

| xi − yi |<‖ x− y ‖< r ≤ xi,

y se sigue que yi ≥ xi− | xi−yi |> 0. De tal manera se ha probado que Br(x) ⊂ A. Ası,notemos que las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjunto abierto esuna bola.

Proposicion 1.7. Los conjuntos abiertos verifican las siguientes propiedades:

1. ∅ y RN son conjuntos abiertos.

2. La union de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, es decir si Aα ⊂ Ω esabierto en RN para cada α ∈ N entonces

⋃

α∈NAα es abierto en RN .

3. La interseccion de conjuntos abiertos finitos es un conjunto abierto, es decir siAj ⊂ RN , j = 1, ..., n son abiertos en RN , entonces

⋂nj=1Aj es abierto en RN .


Definicion 1.17. Sea Ω un subconjunto de RN es cerrado si su complemento es abierto.

Notemos que las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjuntos cerradosque no son bolas cerradas.

Proposicion 1.8. Los conjuntos cerrados verifican las siguientes propiedades:

1. ∅ y RN son conjuntos cerrados.

2. La interseccion de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, es decir si Aα ⊂ RN

es cerrado en RN para cada α ∈ N entonces⋂

α∈N Aα es cerrado en RN .

8

3. La union de conjuntos cerrados finitos es un conjunto cerrado, es decir si losconjuntos Aj ⊂ RN , j = 1, ..., n son cerrados en RN , entonces

⋃nj=1Aj es cerrado

en RN .


Definicion 1.18. Sea Ω un subconjunto de RN , Ω es acotado si, existe M > 0 tal que

‖x‖≤M, ∀x ∈ RN

Definicion 1.19. Un subconjunto Ω de RN es compacto si, Ω es cerrado y acotado.

Proposicion 1.9. Un subconjunto Ω de RN es compacto entonces cualquier subcon-junto cerrado de un conjunto compacto es compacto.


1.3. Sucesiones y sub-sucesiones.

En esta seccion recordaremos los temas de sucesiones, sub-sucesiones y lımite superiore inferior de las mismas ademas las condiciones necesarias para la convergencia que serequiere para los siguientes capıtulos.

Definicion 1.20. Una sucesion de numeros reales es, por definicion, una aplicacionde N en R. Notaremos (xn)n∈N a la sucesion definida por

(xn)n∈N = xn : n ∈ N.

Definicion 1.21. Sea (xn)n∈N una sucesion, se dice que:

1. La sucesion es creciente si xn ≤ xn+1, para todo n ∈ N.

2. La sucesion es decreciente si xn ≥ xn+1, para todo n ∈ N.

3. La sucesion se llama monotona si la sucesion es a la vez creciente y decreciente.

Definicion 1.22. Sea (xn)n∈N una sucesion, se dice que:

1. La sucesion esta acotada superiormente si existe A ∈ R tal que (xn)n∈N ≤ A.

2. La sucesion esta acotada inferiormente si existe a ∈ R tal que a ≤ (xn)n∈N.

3. La sucesion esta acotada si esta a la vez esta acotada superiormente e inferior-mente, es decir, existe M ∈ R+ tal que |(xn)| ≤M, para todo n ∈ N.

Definicion 1.23. Una sucesion (xn)n∈N de numeros reales es convergente, si y solo si,existe un numero real x tal que

∀ε > 0, ∃m ∈ N tal que n ≥ m⇒ |(xn)− x| < ε.

En este caso, se denota xn → x cuando n→ ∞ o tambien lımn→∞(xn) = x.

Proposicion 1.10. Sea (xn)n∈N una sucesion convergente, su lımite es unico; es decir,sean a, b ∈ R tales que lımn→∞(xn) = a y lımn→∞(xn) = b, entonces a = b.

9

Demostracion: Sea ε > 0, existe N1, N2 ∈ N tal que n ≥ N1, m ≥ N1, ademas

|xn − a| <ε

2y |xm − b| <

ε

2.

Tomemos N = maxN1, N2 entonces

|a− b| = |a− xN + xN − b|

≤ |a− xN |+ |xN − b|

<ε

2+ε

2< ε.

Como ε es arbitrario, elejimos ε = 0 entonces |a− b| = 0, por lo tanto a = b.

Teorema 1.1. Toda sucesion creciente y acotada superiormente es convergente.

Demostracion: Sea A = xn : n ∈ N un conjunto de terminos de la sucesion (xn)n∈N.Entonces, A esta acotado superiormente, por lo que existe una cota superior α y es lamenor de las cotas superiores tal que α = supA. Dado ε > 0 existe un xN ∈ (xn)n∈N talque α− xN < ε. Puesto que (xn)n∈N es creciente entonces xN ≤ xn, para todo n > N.Por tanto α− xn < α− xN < ε, ası obtenemos que lımn→∞ xn = α.

Teorema 1.2. Toda sucesion decreciente y acotada inferiormente es convergente.


Proposicion 1.11. Toda sucesion convergente esta acotada.

Demostracion: Probemos que (xn)n∈N es acotada, esto es, existe M > 0 tal que

|xn| ≤M.

Sea ε > 0, existe m ∈ N tal que n ≥ m implica |xn − x| < ε, con lo que para n ≥ m,tomamos m1 = max |xn| entonces

|xn| = |xn − x+ x|

≤ |xn − x|+ |x|

< ε+ |x|

= m2.

Elejimos M = maxm1, m2, entonces |xn| ≤ M para todo n ∈ N.

Teorema 1.3. Si (xn)n∈N, (yn)n∈N son dos sucesiones convergentes, entonces la suce-sion (xn + yn)n∈N es convergente y se tiene

lımn→∞

(xn + yn) = lımn→∞

(xn) + lımn→∞

(yn).

Demostracion: Tenemos que lımn→∞(xn), lımn→∞(yn) es convergente es decir,

lımn→∞

(xn) → x⇔ ∀ε > 0, ∃m1 ∈ N : n ≥ m1 ⇒ |(xn)− x| <ε

2,

lımn→∞

(yn) → y ⇔ ∀ε > 0, ∃m2 ∈ N : n ≥ m2 ⇒ |(yn)− y| <ε

2.

Elejimos M = maxm1, m2 entonces, para n ≥M se cumple que

|(xn + yn)− (x+ y)| ≤ |(xn + x)|+ |(yn − y)| <ε

2+ε

2= ε.

10

Con lo que, usando la Definicion 1.23, hemos demostrado que

lımn→∞

(xn + yn) = lımn→∞

(xn) + lımn→∞

(yn).

Teorema 1.4. Sean (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈N sucesiones tales que (xn) ≤ (yn) ≤ (zn)para todo n ∈ N. Si (xn)n∈N y (zn)n∈N convergen a un mismo lımite l, entonces (yn)n∈Ntambien converge a dicho lımite l.

Demostracion: Sea l = lımn→∞(xn) = lımn→∞(zn), Probemos que (yn) → l. Dadoε > 0 tenemos m ∈ N tal que, para n > m se tiene |xn − l|, |zn − l| < ε Entonces, paran > m, se tiene l − ε < xn ≤ yn ≤ zn < l + ε, luego |yn − l| < ε. Ası,

l = lımn→∞

(yn).

Definicion 1.24. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y Ω tiene supremo si, existe unasucesion (xn)n∈N ∈ Ω tal que

supΩ−1

n< xn ≤ supΩ.

Formamos ası una sucesion (xn)n∈N ∈ Ω que evidentemente converge al supΩ.

Definicion 1.25. Sea Ω subconjunto no vacıo de R y Ω tiene ınfimo si, existe unasucesion (xn)n∈N ∈ Ω tal que

ınf Ω ≤ xn < ınf Ω +1

n.

Formamos ası una sucesion (xn)n∈N ∈ Ω que evidentemente converge al ınf Ω.

Definicion 1.26. Sea (xn)n∈N una sucesion de R y

n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·

siendo (nk)k∈N una sucesion estrictamente creciente. Llamamos sub-sucesion a todosubconjunto de la sucesion, denotado por (xnk

)n,k∈N de modo que se conserva el ordende (xn)n∈N. Ademas, una sub-sucesion es a su vez otra sucesion.

Proposicion 1.12. Toda sub-sucesion de una sucesion convergente es tambien con-vergente y tiene el mismo lımite.

Demostracion: Sea ε > 0, existe m ∈ N tal que n ≥ m implica (xn)n∈N → x. Entonces,como nk ≥ k para todo k ∈ N, si k ≥ m entonces nk ≥ m por lo tanto |xnk

−x| < ε.

Teorema 1.5 (Bolzano-Weierstrass). Sea (xn)n∈N una sucesion de numeros reales aco-tada. Entonces al menos existe una sub-sucesion (xnk

)n,k∈N convergente.


Proposicion 1.13. Sea (xn)n∈N una sucesion de R es de Cauchy si verifica la siguientecondicion:

∀ε > 0, ∃m ∈ N tal que p, q ≥ m⇒ |xp − xq| < ε.

Proposicion 1.14. Toda sucesion de Cauchy esta acotada.

11

Demostracion: Sea (xn)n∈N una sucesion de Cauchy. Tomamos ε = 1, existe n0 ∈ N talque n, m ≥ n0 entonces |xn − xm| < 1 luego, para todo n ≥ n0,

|xn| = |xn − xn0+ xn0

|

≤ |xn − xn0|+ |xn0

|

< 1 + |xn0|.

Ası, para todo n ∈ N, |xn| ≤ max|x1|, |x2|, ..., |xn0|, 1 + |xn0

| = M, por lo tanto,(xn)n∈N esta acotada.

Proposicion 1.15. Sea (xn)n∈N una sucesion convergente, entonces (xn)n∈N es unasucesion de Cauchy.

Demostracion: Como (xn)n∈N es convergente, entonces existe x ∈ R tal que (xn) → x.

Dado ε > 0, existe m ∈ N tal que n ≥ m entonces |xn − x| <ε

2. Ası, para p, q ≥ m

|xp − xq| = |xp − x+ x− xq|

≤ |xp − x|+ |x− xq|

<ε

2+ε

2= ε.

Lo que prueba que (xn) es una sucesion de Cauchy.

Teorema 1.6 (Complitud de R). Sea (xn)n∈N una sucesion de R es de Cauchy si ysolo si (xn)n∈N es una sucesion convergente.

Demostracion: Basta demostrar que si (xn)n∈N es una sucesion convergente entonces(xn)n∈N es de Cauchy, la otra implicacion esta demostrada en la Proposicion 1.15.Supongamos que (xn)n∈N es de Cauchy, es decir, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

p, q ≥ n0 ⇒ |xp − xq| <ε

2.

ademas, sabemos por Proposicion 1.14 que la sucesion esta acotada y por Teorema deBolzano Weierstrass, existe una sub-sucesion convergente tal que lımk→∞(xnk

) = x.Probemos que lımk→∞(xn) = x. Tomemos ε > 0, existe k0 tal que nk ≥ nk0 ası

|xnk− x| <

ε

2,

por tanto, para todo n ≥ maxn0, nk0 se sigue

|xn − x| = |xn − xnk0+ xnk0

− x|

≤ |xn − xnk0|+ |xnk0

− x|

<ε

2+ε

2= ε.

Ası, hemos demostrado que una sucesion convergente es de Cauchy.

1.3.1. Lımite superior e inferior de sucesiones.

Definicion 1.27. Sea (xn)n∈N una sucesion acotada. Para cada k ∈ N, definimos elconjunto An = ınfxk : k ≥ n tal que A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ An+1 · · · . Por otro lado,sabemos que existen sus supremos e ınfimos, permitiendo definir sucesiones nuevas,como yn = ınf An. La sucesion yn es creciente y acotada por tanto existe

y = lım yn = supyn : k ∈ N = supınfxk : k ≥ n = lım ınf xn

a y se le llama lımite inferior de la sucesion (xn)n∈N y se denota por y = lım ınf xn.

12

Definicion 1.28. Sea (xn)n∈N una sucesion acotada. Para cada k ∈ N, definimos elconjunto An = ınfxk : k ≥ n tal que A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ An+1 · · · . Por otro lado,sabemos que existen sus supremos e ınfimos, permitiendo definir sucesiones nuevas,como tn = supAn. La sucesion tn es decreciente y acotada por tanto existe

t = lım tn = ınftn : k ∈ N = ınfsupxk : k ≥ n = lım sup xn

a t se le llama lımite superior de la sucesion (xn)n∈N y se denota por t = lım sup xn.

Teorema 1.7. Toda sucesion acotada posee lımite superior y lımite inferior.

Demostracion. Vease en [4]

Teorema 1.8. Sea (xn)n∈N una sucesion acotada, si

α = lım ınf xn, β = lım sup xn,

entonces para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que α− ε < xn < β + ε.


Teorema 1.9. Sea (xn)n∈N una sucesion de R acotada es convergente es decir,

lım xn = x⇔ lım ınf xn = lım sup xn = x.

Demostracion: Sea ε > 0, si x = lım ınf xn = lım sup xn, entonces se tiene que paratodo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que x−ε < xn < x+ε, para todo n > n0. Esto implica quelım xn = x. Ahora supongamos que (xn)n∈N convergue a x entonces todos los lıımitesde sus sub-sucesiones van a ser tambien x por lo tanto

lım ınf xn = lım sup xn = a.

Proposicion 1.16. Sea (xn)n∈N una sucesion entonces, lım ınf xn ≤ lım sup xn.

Demostracion: Supongamos que y = lım yn = lım ınf xn ≤ lım sup xn = lım tn = t. PorDefinicion 1.27, se tiene que y = supyn : k ∈ N y yn es creciente, entonces

ınfxn : n ∈ N ≤ supyn : k ∈ N = y,

por otro lado, de la Definicion 1.28, se tiene t = ınftn : k ∈ N y tn es decreciente, ası

t = ınftn : k ∈ N ≤ supxn : n ∈ N.

Ademas, vemos que yn ≤ tn pues yn es creciente y tn es dreciente, nos lleva a

y1,≤ · · · ≤, yn ≤ · · · ≤ tn ≤ · · · ≤ t1.

Por lo tanto y = lım ınf xn = supyn : k ∈ N ≤ ınftn : k ∈ N = lım sup xn = t.

Proposicion 1.17. Sea (xn)n∈N una sucesion entonces, lım ınf xn = − lım sup(−xn).

Demostracion: Sabemos que, si A un conjunto no vacıo de R, entonces

supA = − ınf(−A).

Por lo tanto, se tiene

lım ınf xn = supınfxk : k ≥ n

= − ınf− ınfxk : k ≥ n

= − ınfsup−xk : k ≥ n

= − lım sup(−xn).

13

Proposicion 1.18. Sea (xn)n∈N y (yn)n∈N sucesiones acotadas, entonces:

1. lım sup(xn + yn) ≤ lım sup(xn) + lım sup(yn).

2. lım ınf(xn + yn) ≥ lım ınf(xn) + lım ınf(yn).

Demostracion: En efecto, como (xn)n∈N y (yn)n∈N son acotadas, supongamos que

lım ınf xn = a, lım sup xn = A

lım ınf yn = b, lım sup yn = B,

es decir, sea ε > 0, existe n1, n2 ∈ N, tal que n ≥ n1 y n ≥ n2 respectivamente, ası

a−ε

2< xn < A+

ε

2

b−ε

2< yn < B +

ε

2,

tomando n0 = maxn1, n2, se sigue xn + yn < A+B + ε, a+ b− ε < xn + yn, como εes arbitrario, entonces

lım sup(xn + yn) ≤ A +B = lım sup xn + lım sup yn.

lım ınf(xn + yn) ≥ a + b = lım ınf xn + lım ınf yn.

1.4. Funciones en R y RN

Lo que vamos a ver aquı es una breve descripcion de funciones en R y RN , tambienveremos la relacion que existen entre sucesiones - funciones y continuidad. Que sera degran valor en los siguientes capıtulos.

Definicion 1.29. Sea A un conjunto no vacıo de R, llamaremos funcion real a

f : A→ R,

para cada x ∈ A, existe un valor y ∈ R tal que f(x) = y.

Definicion 1.30. Sea A un conjunto no vacıo de R y f : A→ R una funcion real. Si,f es continua en x0 ∈ A, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

|x− x0| < δ entonces |f(x)− f(x0)| < ε.

Definicion 1.31. Sea A un conjunto no vacıo de R y sea f : A→ R una funcion real.Se dice que f es continua en A cuando f es continua en todo los puntos de A.

Definicion 1.32. Sea A conjunto no vacıo de R. Sea f : A → R una funcion real.Diremos que f es continua en x ∈ A si para todo (xn)n∈N elementos de A convergentea x, tal que f(xn) converge a f(x), es decir

lımxn→x

f(xn) = f(x)

Proposicion 1.19. Sea A conjunto no vacıo de R, si f y g son funciones de A en R

continuas en un punto x de A, entonces f + g y fg son continuas en x.

14

Demostracion: Sea (xn)n∈N sucesion de A que convergue a x. Entonces, por ser f y gcontinuas en x tenemos que f(xn) → f(x) y g(xn) → g(x). Por lo tanto

(f + g)(xn) = f(xn) + g(xn) → f(x) + g(x) = (f + g)(x),

(fg)(xn) = f(xn)g(xn) → f(x)g(x) = (fg)(x).

Es decir, f + g y fg son continuas en x.

Definicion 1.33. Sea f : (a, b) → R una funcion real que cumple con lo siguiente:

1. Se dice que f es monotona creciente en (a, b) si a < x < y < b implica

f(x) ≤ f(y).

2. Se dice que f es monotona decreciente en (a, b) si a < x < y < b implica

f(x) ≥ f(y).

Definicion 1.34. Sea f : (a, b) → R una funcion y sea x ∈ (a, b). Se dice que f esderivable en x y se denota por f ′(x) si, existe el siguiente lımite

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→x

f(h)− f(x)

h− x.

Proposicion 1.20. Sea (a, b) abierto y f : (a, b) → R una funcion diferenciable. Si falcanza un maximo o un mınimo en c ∈ (a, b) entonces f ′(c) = 0.

Demostracion. Supongamos que f alcanza un maximo en c ∈ (a, b) entonces

f(x) ≤ f(c)

para x ∈ (a, b) cerca de c. Por lo tanto tenemos que si, h ≥ 0 y es pequeno entonces

f(c+ h)− f(c)

h≤ 0,

si, h ≤ 0 y es pequeno entonces

f(c+ h)− f(c)

h≥ 0.

Como existe el lımite y es igual a f ′(c) es decir

f ′(c) = lımh→0

f(c+ h)− f(c)

h,

tenemos que f ′(c) ≤ 0 y f ′(c) ≥ 0. Por lo tanto f ′(c) = 0.

Teorema 1.10 (Rolle). Sea [a, b] cerrado y f : [a, b] → R una funcion continua dife-renciable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f(a) = f(b) entonces exite c ∈ (a, b) talque f ′(c) = 0.

Teorema 1.11 (Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una funcion continua diferenciableen el intervalo abierto (a, b) entonces exite c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

15

Demostracion: Sea ϕ la funcion definida por

ϕ(x) = f(x)−

(

f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)

)

.

Entonces

ϕ′(x) = f ′(x)−f(b)− f(a)

b− a,

ademas, ϕ(a) = ϕ(b) = 0 cumple con las hipotesis del Teorema de Rolle en el [a, b].Por lo que existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0. Asi,

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Definicion 1.35. Sea u : Ω → R una funcion con Ω subconjunto abierto de RN

entonces:

1. La funcion u tiene un maximo local en x0, si existe r > 0 tal que Br(x0) en RN

entonces para todo punto x ∈ Br(x0) ∩ Ω se tiene,

u(x0) ≥ maxx∈Br(x0)

u(x), tambien se denota u(x0) ≥ u(x).

2. La funcion u tiene un mınimo local en x0, si existe r > 0 tal que Br(x0) en RN

entonces para todo punto x ∈ Br(x0) ∩ Ω se tiene,

u(x0) ≤ mınx∈Br(x0)

u(x), tambien se denota u(x0) ≤ u(x).


entonces:

1. La funcion u tiene un maximo local estricto en x0 ∈ Ω, si existe r > 0 tal queBr(x0) en RN entonces para todo punto x ∈ (Br(x0) \ x0) ∩ Ω se tiene,

u(x0) > maxx∈∂Br(x0)

u(x), tambien se denota u(x0) > u(x).

2. La funcion u tiene un mınimo local estricto en x0 ∈ Ω, si existe r > 0 tal queBr(x0) en RN entonces para todo punto x ∈ (Br(x0) \ x0) ∩ Ω se tiene,

u(x0) < mınx∈∂Br(x0)

u(x), tambien se denota u(x0) < u(x).


entonces:

1. La funcion u tiene un maximo global en x0 ∈ Ω, si para cualquier x ∈ Ω, se tiene

u(x0) ≥ u(x).

2. La funcion u tiene un mınimo global en x0 ∈ Ω, si para cualquier x ∈ Ω, se tiene

u(x0) ≤ u(x).

16

3. La funcion u tiene un maximo global estricto en x0 ∈ Ω, si

u(x0) > u(x) para cualquier x ∈ Ω \ x0.

4. La funcion u tiene un mınimo global estricto en x0 ∈ Ω, si

u(x0) < u(x) para cualquier x ∈ Ω \ x0.

Definicion 1.38. Sea Ω un subconjunto de RN , la funcion u : Ω → R es continua enx0 ∈ Ω si y solo si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si, ‖x− x0‖< δ entonces

|u(x)− u(x0)| < ε.

La definicion de continuidad es local; es decir, la propiedad de continuidad se verificaen cada punto.

Teorema 1.12 (Teorema de Weiestrass.). Sea Ω un subconjunto compacto de RN ysea la funcion u : Ω → R continua. Entonces, existe x0, x1 ∈ Ω tal que ∀x ∈ Ω,

u(x0) ≤ u(x) ≤ u(x1).

Es decir, x0 es un mınimo global de u en Ω y x1 es un maximo global de u en Ω.

Proposicion 1.21. Sea Ω un subconjunto de RN , las funcion u, v : Ω → R son conti-nuas en x0 ∈ Ω. Entonces

1. u+ v es continua en x0 ∈ Ω.

2. au+ bv es continua en x0 ∈ Ω, con a, b ∈ R.

3. uv es continua en x0 ∈ Ω.

Proposicion 1.22. Sea Ω un subconjunto de RN . Entonces la funcion u : Ω → R escontinua x0 ∈ Ω si solo si, para cada sucesion (xn)n∈N en Ω que converge a x0, entoncesla sucesion u(xn) converge al punto u(x0).

Demostracion: Supongamos primero que u es continua en x0 ∈ Ω, dado ε > 0 existeδ > 0 tal que ‖x − x0‖< δ implica que |u(x) − u(x0)| < ε. Como xn → x0 entoncesexiste N ∈ N tal que para todo n ≥ N , se tiene ‖xn − x0‖< δ. Entonces, para n ≥ N,

|u(xn)− u(x0)| < ε.

Ahora supongamos que la funcion u no es continua en x0 ∈ Ω. Entonces existe ε0 > 0tal que, para todo δ > 0, existe x ∈ Ω tal que ‖x− x0‖< δ implica que

|u(x)− u(x0)| ≥ ε0.

Entonces, para cada n ≥ 1, podemos escoger xn ∈ Ω tal que

‖xn − x0‖<1

ny |u(xn)− u(x0)| ≥ ε0.

Tal sucesion (xn)n∈N satisface que xn → x0 y u(xn) 9 u(x0).

Definicion 1.39. Sea la funcion u : Ω → R con Ω un subconjunto de RN y x0 unpunto de acumulacion de Ω. Entonces u es continua en x0 si y solo si,

lımx→x0

u(x) = u(x0).

Es decir, esto implica la relacion entre continuidad y punto de acumulacion .

17

Los resultados anteriores se refieren a la continuidad de una funcion de manera local(en un punto). La siguiente proposicion, sin embargo, analizamos la continuidad globalde una funcion, es decir, en todo su dominio.

Proposicion 1.23. Sea Ω ⊂ RN es cerrado si y solo si, cada sucesion en Ω que esconvergente en RN tiene lımite en Ω.

Demostracion: Sea Ω ⊂ RN un conjunto cerrado en RN tomemos (xn)n∈N una sucesionde elementos de Ω. Supongamos que (xn) → x cuando n → ∞ con x ∈ X . Si x /∈ Ω,entonces x ∈ Ωc es decir Ac es conjunto abierto. Existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ Ωc.La bola Br(x) no contiene ningun elemento de la sucesion (xn)n∈N, lo que contradicecon lo que supusimos, por lo tanto x ∈ Ω. Ahora supongamos que cada sucesion enΩ que es convergente en RN tiene lımite en Ω. Sea x ∈ Ωc. Si Ωc no es abierto, paracada n ∈ N la bola B 1

n(a) contiene a un elemento de Ω, tomemos a xn. De tal manera

obtenemos xn → x mientras que x /∈ Ω. Esto contradice lo supuesto.

Proposicion 1.24. Sea Ω un subconjunto de RN compacto de RN y u : Ω → R unafuncion continua. Entonces u(Ω) es compacto en RN .

Teorema 1.13 (Weierstrass). Sea Ω un subconjunto de RN compacto y u : Ω → R

una funcion continua. Entonces u alcanza un maximo y un mınimo absolutos en Ω, esdecir, existen a, b ∈ Ω tales que

1. Para todo x ∈ Ω, u(x) ≤ maxy∈Ω u(y) = u(a).

2. Para todo x ∈ Ω, u(b) = mıny∈Ω u(y) ≤ u(x).

En particular u esta acotada en Ω.


1.4.1. Funciones lineales

Definicion 1.40. Sea Ω un subconjunto de RN , dada la funcion u : Ω → R se dice queu es una aplicacion lineal si, verifica las siguientes condiciones:

1. u(x+ y) = u(x) + u(y), ∀x, y ∈ Ω.

2. u(ax) = au(x), ∀x ∈ Ω, a ∈ R.

Definicion 1.41. Sea Ω un subconjunto de RN , dada la funcion u : Ω → R es unaaplicacion lineal. Se dice que u es acotada si, existe M > 0 tal que

|u(x)| ≤M‖x‖, ∀x ∈ Ω.

Nota: La Definicion 1.42 nos permite garantizar la continuidad de las funciones lineales,

es decir si, u : Ω → R es una aplicacion lineal y x ∈ Ω para cada ε > 0 tomamos δ =ε

M,

donde M > 0 es la acotacion de u. Entonces, si ‖x− y‖< δ tal que

|u(x)− u(y)| = |u(x− y)|

≤ M‖x− y‖

≤ Mε

M= ε.

Definicion 1.42. Sea Ω un subconjunto de RN y la funcion u : Ω → R es llamada unafuncion de Lipschitz si, existe M > 0, tal que satisface

|u(x)− u(y)| ≤M‖x− y‖,

donde M es constante de Lipschitz de u. Ademas toda funcion de Lipschitz es continua.

18

1.4.2. Continuidad Uniforme

Definicion 1.43. Sea Ω un subconjunto de RN . Entonces la funcion u : Ω → R esuniformemente continua si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖x− y‖< δ implica

|u(x)− u(y)| < ε, ∀x, y ∈ Ω

La diferencia entre una funcion continua y una funcion uniformemente continua esque, la continuidad nos dicen que existe ε > 0 y δ que depende del punto ε y en elsegundo caso, existe ε > 0 y δ que es independiente del punto donde queremos verificarcontinuidad.

Teorema 1.14. Sea Ω un subconjunto de RN . La funcion u : Ω → R es uniformementecontinua y x0 un punto de acumulalcion de Ω. Entonces u tiene lımite en Ω.

Demostracion: Sea (xn)n∈N una sucesion en Ω que converge a x0. Mostraremos que lasucesion u(xn) para todo R es de Cauchy, y por lo tanto converge en R. Tomemos ε > 0y como u es uniformemente continua, existe δ > 0 tal que

‖x− y‖< δ, entonces |u(x)− u(y)| < ε.

Como (xn)n∈N es converge, entonces es una sucesion de Cauchy en RN y existe N > 0tal que, para k, l ≥ N, |xn − xl| < δ. Entonces, para k, l ≥ N , |u(xn) − u(xl)| < ε, ypor lo tanto u(xn) es una sucesion de Cauchy y converge. Probemos que para L ∈ R

lımx→x0

u(x) = L.

Sea ε < 0 dado, y sea δ > 0 tal que |u(x) − u(y)| <ε

2para todo ‖x − y‖< δ. Ahora

fijamos K > 0 tal que, para k ≥ K,

‖xn − x0‖<δ

2y |u(xn)− L| <

δ

2,

entonces, si ‖x− x0‖<δ

2, se tiene

‖x− xK‖ = ‖x− x0 + x0 − xK‖

≤ ‖x− x0‖+‖x0 − xK‖

<δ

2+δ

2= δ,

luego |u(x)− u(xK)| <ε

2. Por lo tanto, si 0 < ‖x− x0‖<

δ

2, tenemos

|u(x)− L| = |u(x)− u(xK) + u(xk)− L|

≤ |u(x)− u(xK)|+ |u(xK)− L|

<ε

2+ε

2= ε.

Observemos que una funcion continua en general, no es uniformemente continua. Sinembargo, el siguiente teorema establece cuando podemos garantizar continuidad uni-forme.

Teorema 1.15. Sea Ω un subconjunto de RN . Entonces la funcion u : Ω → R escontinua y Ω es compacto, entonces u es uniformemente continua.


19

1.4.3. Lımite superior e inferior de funciones.

Como en el caso de sucesiones este temas es de mera importancia para los siguientescapıtulos.

Definicion 1.44. Sea Ω un subconjunto de RN y la funcion u : Ω → R es acotada enuna vecindad de x0 ∈ Ω.

1. Se define lımite superior de u en x0 al mayor valor de adherencia de u en x0.

lım supx→x0

u(x) = L.

2. Se define lımite inferior de u en x0 al menor valor de adherencia de u en x0.

lım infx→x0

u(x) = l.

Teorema 1.16. Sea Ω un subconjunto de RN y la funcion u : Ω → R acotada en unavecindad de x0 ∈ Ω. Entonces, para L = supx∈Br(x0) u(x) y l = ınfx∈Br(x0) u(x) se tiene

lım supx→x0

u(x) = lımr→0

L,

lım infx→x0

u(x) = lımr→0

l.

Teorema 1.17. Sea Ω un subconjunto de RN y u : Ω → R acotada en una vecindad dex0 ∈ Ω. Para todo ε > 0, existe r > 0 tal que x ∈ Ω, es decir para x ∈ Br(x0) entoncesl − ε < u(x) < L+ ε donde

l = lım infx→x0

u(x) y L = lım supx→x0

u(x).

Corolario 1.1. Sea Ω un subconjunto de RN y la funcion u : Ω → R acotada en unavecindad de x0 ∈ Ω. Entonces existe lımx→x0

u(x) si solo si, la funcion u posee un unicovalor de adherencia en x0, es decir

lım infx→x0

u(x) = lım supx→x0

u(x) = lımx→x0

u(x).

Proposicion 1.25. Sea Ω un subconjunto de RN y las funciones u, v : Ω → R acotadasen una vecindad de x0 ∈ Ω. Entonces:

1. lım supx→x0(u+ v)(x) 6 lım supx→x0

u(x) + lım supx→x0v(x).

2. lım supx→x0(−u(x)) = − lım infx→x0

u(x).

Demostracion: Sean las funciones u, v : Ω → R acotadas en x0 ∈ Ω. Supongamos quelım supx→x0

u(x) = L1 y lım supx→x0v(x) = L2 entonces por el teorema anterior existen;

r1 > 0 y x ∈ Br1(x0) implica u(x) < L1 +ε2y si tomamos r2 > 0 con x ∈ Br2(x0)

implica v(x) < L2 +ε2, luego tomamos r = mınr1, r2 por tanto

(u+ v)(x) < L1 + L2 + ε.

En efecto (u + v)(x) 6 L1 + L2 , ∀x ∈ Br(x0), entonces el mayor valor de adherenciade u+ v esta acotado, es decir ‖u+ v‖≤ L1 + L2, por tanto

lım supx→x0

(u+ v)(x) ≤ L1 + L2

lım supx→x0

(u+ v)(x) ≤ lım supx→x0

u(x) + lım supx→x0

v(x).

20

Finalmente por propiedad de lım sup y lım inf se tiene,

lım supx→x0

(−u(x)) = lımr→0

supx∈Br(x0)

(−u(x))

= lımr→0

(− ınfx∈Br(x0)

)u(x)

= lımr→0

(−l)

= − lımr→0

l

= − lım infx→x0

u(x).

Proposicion 1.26. Sea Ω un subconjunto de RN y las funciones u, v : Ω → R acotadasen una vecindad de x0 ∈ Ω. Entonces:

1. lım infx→x0(u+ v)(x) > lım infx→x0

u(x) + lım infx→x0v(x).

2. lım infx→x0(−u(x)) = − lım supx→x0

u(x).

Demostracion: Se demuestra como en la anterior proposicion.

1.4.4. Funciones semi-continuas.

Definicion 1.45. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R, ası:

1. u es semi-continua superior en x0 ∈ Ω y de denota por (SCS) si, para todo ε > 0,existe δ > 0 tal que ‖x− x0‖ < δ entonces u(x) ≤ u(x0) + ε para todo x ∈ Ω.

2. u es semi-continua inferior en x0 ∈ Ω y se denota por (SCI) si, para todo ε > 0,existe δ > 0 tal que ‖x− x0‖ < δ entonces u(x) ≥ u(x0)− ε para todo x ∈ Ω.

Proposicion 1.27. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R escontinua si y solo si, u es semi-continua superior y semi-continua inferior.

Demostracion: Sea la funcion u : Ω → R, supongamos que u es continua en x0 ∈ Ω,entonces por definicion, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖x − x0‖ < δ entonces|u(x)−u(x0)| < ε, que se puede expresar como u(x0)−ε < u(x) < u(x0)+ ε, en efecto,u es a la vez semi-continua superior e inferior.Ahora supongamos que u es semi-continua superior e inferior en x0 ∈ Ω, para todoε > 0 existen δ1, δ2 > 0 respectivamente tales que para todo x ∈ Ω

‖x− x0‖ < δ1 ⇒ u(x) ≤ u(x0) + ε

‖x− x0‖ < δ2 ⇒ u(x) ≥ u(x0)− ε.

Tomemos δ = mınδ1, δ2, ası u(x0)−ε < u(x) < ε+u(x0) entonces |u(x)−u(x0)| < ε.Por lo tanto, u es continua.

Proposicion 1.28. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R essemi-continua inferior (SCI) en x0 ∈ Ω si y solo si,

u(x0) 6 lım infx→x0

u(x).

21

Demostracion: Sea u semi-continua inferior en x0 ∈ Ω por definicion anterior si, paratodo ε > 0 existe δ > 0 y Bδ(x0) ⊂ Ω tal que, para todo x ∈ Ω implica u(x0)−ε < u(x).Como u es acotada inferiormente en Bδ(x0) entonces existe l > 0 tal que

lım infx→x0

u(x) = l,

y u(x0)− ε es una cota inferior en Bδ(x0) entonces u(x0)− ε < l por tanto

u(x0) 6 lım infx→x0

u(x).

Ahora, si u(x0) 6 lım infx→x0u(x) se tiene que u(x) es acotado inferiormente por u(x0),

es decir, existe una vecindad de x0 por lo que podemos suponer que lım infx→x0u(x) = l.

Entonces para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para x ∈ Ω se tiene que ‖x − x0‖ < resto implica que l − ε < u(x), por tanto u(x0)− ε < u(x) es decir, u es semi-continuainferior en x0.

Proposicion 1.29. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R essemi-continua superior (SCS) en x0 ∈ Ω si solo si,

u(x0) ≥ lım supx→x0

u(x).

Demostracion: Se demuestra como en la anterior proposicion.

Proposicion 1.30. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R. Paratoda sucesion (xn)n∈N ∈ Ω lımn→∞ xn = x0 entonces

1. u es semi-continua superior en x0, es decir u(x0) ≥ lım supn→∞ u(xn).

2. u es semi-continua inferior en x0, es decir u(x0) ≤ lım infn→∞ u(xn).

Proposicion 1.31. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y u, v : Ω → R entonces:

1. Si, u, v semi-continuas superiores en x0 ∈ Ω. Entonces u + v es semi-continuasuperior en x0 ∈ Ω.

2. Si, u, v semi-continuas inferiores en x0 ∈ Ω. Entonces u + v es semi-continuainferior en x0 ∈ Ω.

Demostracion: Sea las funciones u, v : Ω → R y x0 ∈ Ω. Supongamos que u y v sonsemi-continuas superiores en x0 entonces, por la proposicion anterior tenemos

lım supx→x0

u(x) ≤ u(x0),

lım supx→x0

v(x) ≤ v(x0).

Luego,lım supx→x0

u(x) + lım supx→x0

v(x) ≤ u(x0) + v(x0),

por Proposicion 1.25 se sigue

lım supx→x0

(u+ v)(x) 6 (u+ v)(x0).

Por lo tanto, u+ v es semi-continua superior en x0 ∈ Ω.Ahora supongamos que u y v son semi-continuas inferiores en x0 entonces, por propo-sicion anterior tenemos

lım infx→x0

u(x) ≥ u(x0),

22

lım infx→x0

v(x) ≥ v(x0).

Luego,lım infx→x0

u(x) + lım infx→x0

v(x) ≥ u(x0) + v(x0),

por Proposicion 1.26 se sigue

lım infx→x0

(u+ v)(x) ≥ (u+ v)(x0).

Por lo tanto, u+ v es semi-continua inferior en x0 ∈ Ω.

Proposicion 1.32. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y las funciones u, v : Ω → R

tal que u(x) > 0 y v(x) > 0, para todo x ∈ Ω, se tiene:

1. Si las funciones u, v son semi-continuas superiores en x0 ∈ Ω, entonces uv essemi-continua superior en x0 ∈ Ω.

2. Si las funciones u, v son semi-continuas inferiores en x0 ∈ Ω, entonces uv essemi-continua inferior en x0 ∈ Ω.


Proposicion 1.33. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y u : Ω → R, se dice que:

1. La funcion u es semi-continua superior si y solo si, −u es semi-continua inferior.

2. La funcion u es semi-continua inferior si y solo si, −u es semi-continua superior.

Demostracion: Sea la funcion u : Ω → R, supongamos que u es semi-continua superioren x0 ∈ Ω, entonces por Proposicion 1.30 y 1.25, se tiene

lım supx→x0

u(x) ≤ u(x0)

lım infx→x0

(−u(x)) ≥ −u(x0)

ası, −u es semi-continua inferior. Ahora supongamos que que u es semicontinua inferioren x0 ∈ Ω, entonces por Proposicion 1.30 y 1.26, se tiene

lım infx→x0

u(x) ≥ u(x0)

lım supx→x0

(−u(x)) ≤ −u(x0)

ası −u es semi-continua superior en x0 ∈ Ω.

Proposicion 1.34. Sea Ω un conjunto compacto de RN y u : Ω → R. Es decir:

1. Si la funcion u es semi-continua superior, entonces u es acotada superiormente yalcanza un maximo en Ω.

2. Si la funcion u es semi-continua inferior, entonces u es acotada inferiormente yalcanza un mınimo en Ω.

Proposicion 1.35. Sea Ω un conjunto de RN . Se verifica las siguientes condiciones:

1. Si (ui)i∈I es una familia de funciones semi-continuas superiores definidas en Ω aR, entonces la funcion u es semi-contina superior definida como

u(x) = ınfi∈I

ui(x), ∀x ∈ Ω.

23

2. Si (ui)i∈I es una familia de funciones semi-continuas inferiores definida en Ω a R

entonces la funcion u es semi-contina inferior definida como

u(x) = supi∈I

ui(x), ∀x ∈ Ω.

Demostracion: Sea Ω un conjunto de RN y tomamos x0 ∈ Ω. Supongamos que

u(x0) = ınfi∈I

ui(x0),

si, existe c ∈ R tal que u(x0) < c. Entonces existe i0 ∈ I tal que u(x0) < ui0(x0)ademas, por hipotesis ui0 es semi-continua superior en x0, ası por Definicion 1.48 paratodo ε > 0 existe un δ > 0 tal que ‖x− x0‖< δ lo que implica, para todo x ∈ Ω ası

ui0(x) < ui0(x0) + ε

u(x) < ui0(x0) + ε.

Por tanto, u es semi-continua superior. Ahora supongamos que

u(x0) = supi∈I

ui(x0),

si, existe c ∈ R tal que u(x0) > c. Entonces existe i0 ∈ I tal que u(x0) > ui0(x0),ademas por hipotesis ui0 es semi-continua inferior en x0, ası por Definicion 1.48 paratodo ε > 0 existe un δ > 0 tal que ‖x−x0‖< δ lo que implica, para todo x ∈ Ω se tiene

ui0(x) > ui0(x0) + ε

u(x) > ui0(x0) + ε.

Por tanto, u es semi-continua inferior.

1.4.5. Envoltura semi-continua.

Definicion 1.46. Sea Ω un conjunto abierto de RN y u : Ω → R una funcion:

1. La envolutura semi-continua superior es la mas pequena de las funciones semi-continuas superiores de u, se denota como u∗ siendo u∗ > u y esta dada por

u∗(x) = ınff(x) | f es SCS y f > u,∀x ∈ Ω.

2. La envolutura semi-continua inferior es la mas grande de las funciones semi-continua inferiores de u, se denota como u∗ siendo u∗ < u y esta dada por

u∗(x) = supf(x) | f es SCI y f 6 u,∀x ∈ Ω.

Observacion: De la anterior definicion se puede determinar las siguientes ecuaciones

u∗(x) = lım supx0→x

u(x0),∀x ∈ Ω. (1.1)

u∗(x) = lım infx0→x

u(x0),∀x ∈ Ω. (1.2)

Ademas, por Proposicion 1.35 garantiza que u∗ es SCS y u∗ es SCI. Las definiciony observacion antes expuestas, permiten que se cumplan ciertas propiedades que lasenunciaremos a continuacion.

24

Lema 1.1. Sea u∗ y v∗ las envolturas SCS de u y v respectivamente, ademas u∗ y v∗son las envolturas SCI de u y v respectivamente. Entonces

1. u∗ 6 u 6 u∗.

2. u∗ = −(−u)∗ y u∗ = −(−u)∗.

3. Si u < v ⇒ u∗ ≤ v∗.

4. Si u∗ ≤ u∗ entones u es continua.

5. u es continua si y solo si u∗ = u∗.

Demostracion: Para probar 1. sabemos que u∗ es la envoltura SCI de u entonces cumplecon (1.2) y por Proposicion 1.25

u∗(x) = − lım supx0→x

−u(x0),

ademas u∗ es envoltura SCS entonces, por (1.2) tenemos

(−u)∗(x) = lım supx0→x

−u(x0),

por lo tanto u∗(x) = −(−u)∗(x). Probemos 2. por hipotesis y por la definicion tenemosque

u(x) 6 v(x) ≤ v∗(x),

y sabemos que u(x) ≤ u∗(x) en efecto hemos probado que u∗(x) ≤ v∗(x). Ahoraprobemos 3. por definicion se tiene que u∗(x) ≤ u(x) ≤ u∗(x) y por hipotesis obtenemosu∗(x) ≤ u(x) ≤ u∗(x) ≤ u∗(x) ası, u∗(x) = u∗(x) = u(x) en otras palabras u escontinua. Por ultimo probemos 4. si u es continua entonces, u es SCS y SCI es deciru = u∗ = u∗ por otro lado por definicion y por 3. obtenemos que u es continua.

1.4.6. Funciones derivables e integrables.

Definicion 1.47. Sea Ω un subconjunto abierto de RN , a ∈ Ω, v ∈ RN y sea lafuncion u : Ω → R. La derivada direccional de u, en el punto a, segun la direccion dev, denotada por Dvu(a), se define por

Dvu(a) = lımt→0

u(a+ tv)− u(a)

t.

Definicion 1.48. Sea Ω un subconjunto abierto de RN , a ∈ Ω y la funcion u : Ω → R.Se llama derivada parcial de primer orden de la funcion u, respecto de la variable

i-esima, en el punto a, denota Dxiu(a) o

∂u(a)

∂xies decir en Dvu(a) y se define por

∂u(a)

∂xi= lım

t→0

u(a+ tei)− u(a)

t.

Definicion 1.49. Si u : Ω → R tiene un maximo o mınimo local en x0 y sus derivadasparciales existen, entonces para i = 1, · · · , n

∂u(a)

∂xi= 0.

25

Definicion 1.50. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R sedenomina vector gradiente de u en a y se denota por grad(u)(a) o ∇u(a), al vector quetiene por componentes las derivadas parciales de primer orden de u en a es decir,

∇u(a) =

(

∂u

∂x1(a), · · · ,

∂u

∂xn(a)

)

.

Definicion 1.51. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y u : Ω → R es de clase C1(Ω)si, existen las derivadas parciales de primer orden y son continuas en Ω dada por

∂u

∂xi: Ω → R.

Ası denotamos a la funcion u como u ∈ C1(Ω).

Definicion 1.52. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R.

Supongamos que la derivada parcial de primer orden existen∂u

∂xi. Si la funcion

∂u

∂xi: Ω → R

admite derivada parcial j-esima en x ∈ Ω, se dice que u tiene derivada parcial desegundo orden en x y se denota

∂2u

∂xi∂xj(x) =

∂

∂xi

(

∂u

∂xj(x)

)

.

Teorema 1.18. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R tal

que existen las derivadas parciales de segundo orden∂2u

∂xi∂xjy

∂2u

∂xj∂xiy son continuas

en Ω. Entonces para todo (α1, ..., αn) ∈ Ω, se cumple que

∂2u

∂xi∂xj(α1, ..., αn) =

∂2u

∂xj∂xi(α1, ..., αn).

Definicion 1.53. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y la funcion u : Ω → R. Sitodas las derivadas parciales de segundo orden de u existen y son continuas en Ω, sedefine la matriz hessiana de u como H, a la matriz n× n, se tiene

H =

(

∂2u

∂xi∂xj

)

i,j

,

tomando la siguiente forma

H =

∂2u

∂x21,

∂2u

∂x1∂x2, · · ·

∂2u

∂x1∂xn

∂2u

∂x2∂x1,

∂2u

∂x22, · · ·

∂2u

∂x2∂xn

......

. . ....

∂2u

∂xn∂x1,

∂2u

∂xn∂x2, · · ·

∂2u

∂xnn

.

Ademas si, u ∈ C2 entonces la matriz hessiana esta bien definida, y por Teorema 1.18,es una matriz simetrica.

26

Definicion 1.54. Dado un vector A = (A1, · · · , An) ∈ RN , llamamos transformacionlineal de RN en R a la funcion T definida por,

T : RN → R

v → T (v) = 〈A, v〉.

Mas aun, vemos que la funcion T es lineal es decir, para α, β escalares y v, w vectoresde RN , se tiene

T (αv + βw) = αT (v) + βT (w)

Definicion 1.55. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R

es diferenciables en el punto a ∈ Ω si, existe un vestor A = (A1, · · · , An) y unatransformacion lineal T : RN → R para todo v = (α1, · · · , αn) ∈ RN , se verifica

u(a+ v)− u(a) = 〈A, v〉+ ‖v‖p(v), lımv→0

p(v) = 0,

donde ‖v‖p(v) es el error. Decimos ademas que u es diferenciable en Ω cuando esdiferenciable en todo a ∈ Ω.

Definicion 1.56. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R esdiferenciable en el punto a ∈ Ω y denotamos dua, a la transformacion lineal

dua : Ω → R dua(v) =∂u

∂v(a) =

n∑

i=1

∂u

∂xi(a)αi,

para todo v = (α1, ..., αn) ∈ RN .

La continuidad es una condicion necesaria para la difenciabilidad. Dicho de otra forma,una funcion diferenciable es continua.

Proposicion 1.36. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sean las funcionesu, v : Ω → R diferenciables en el punto a ∈ Ω, tambien son diferenciables las funcionesu+ v, uv y verifican las siguientes condiciones:

1. d(u+ v)a = dua + dva.

2. d(uv)a = v(a)dua + u(a)dva.

Definicion 1.57. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R

si, existen las derivadas parciales de segundo orden en un punto a ∈ Ω, denotado pord2ua, a la transformacion lineal

d2ua : Ω → R d2ua(v) =n∑

i=1

∂2u

∂xi∂xj(a)αiαj,

para todo v = (α1, ..., αn) ∈ Ω.

Proposicion 1.37. Sea Ω un subconjunto abierto de RN y sea la funcion u : Ω → R

y sea a ∈ Ω. Supongamos que u existen las derivadas parciales de segundo orden y queson continuas en Ω es decir, u ∈ C2 en alguna bola Bε(a) ⊂ Ω. Entonces:

1. Si todos los vectores propios de la matriz Hessiana son positivos, es decir, si laforma cuadratica d2u es definida positiva, u presenta mınimo local en a.

2. Si todos los vectores propios de la matriz Hessiana son negativos, es decir, si laforma cuadratica d2u es definida negativa, u presenta maximo local en a.

27

Proposicion 1.38. Si Ω ⊂ RN es un abierto, u : Ω → R es diferenciable y x0 ∈ Ω esun extremo local, entonces ∇u(x0) = 0, esto es, x0 es un punto crıtico de u.

Proposicion 1.39. Sea u : RN → R es continua y es diferenciable en algun puntox0 ∈ RN. Entonces existe una funcion v ∈ C1(RN) tal que u(x0) = v(x0) y u− v poseeun maximo local estricto en x0 o un mınimo local estricto en x0.

Teorema 1.19 (Rolle). Sea u(x) una funcion definida por lo menos, en un intervaloabierto(a, b) tal que, u es continua en el intervalo cerrado [a, b] , u es diferenciable enel intervalo abierto (a, b) y u(a) = u(b) = 0. Entonces existe un numero c tal que

a < c < b y u′(c) = 0.

Teorema 1.20 (Valor Medio). Sea u(x) una funcion definida por lo menos, en unintervalo abierto (a, b) tal que, u es continua en el intervalo cerrado [a, b], u es dife-renciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un numero c tal que a < c < b

u′(c) =u(b)− u(a)

b− a.

Notemos que el teorema de Rolle aparece como un caso particular del teorema del valormedio. En efecto, si se tiene u(a) = u(b) = 0, entonces el teorema del valor medio da

u′(c) =0

b− a= 0.

que es la conclusion del teorema de Rolle.

1.4.7. Teorema de Convergencia Dominada y Lema de Fatou.

El Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue es, sin duda, el mas conocido de losteoremas que hacen intervenir el lımite de funciones y su relacion con la integral. Puesnos proporciona, bajo hipotesis muy simples de verificar, un criterio para intercambiarlos signos de lımite y de la integral que sera de suma importancia en el capıtulo 3 de [5].

Definicion 1.58. Sea X un conjunto. Para todo subconjunto A de X definimos sufuncion indicatriz como

1A : X → 0, 1

x → 1A(x) =

1, si x ∈ A.

0, si x /∈ A.

Definicion 1.59. Un subconjunto A ⊂ P(X) es una algebra de partes sobre X si:

1. Los conjuntos ∅ y X pertenece a A.

2. Si B ∈ A entonces Bc ∈ A.

3. Si B,C ∈ A entonces B ∪ C ∈ A y B ∩ C ∈ A.

Definicion 1.60. Sea X un conjunto y A una algebra sobre X. Una funcion aditivade conjuntos sobre (X,A) es una aplicacion

m : A →−

R+

siendo−

R+= [0,+∞[ que verifica:

28

1. m(∅) = 0

2. Para todo A,B ∈ A, se tiene la implicacion

A ∩B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) +m(B)

Definicion 1.61. Una σ−algebra A sobre un conjunto X. De manera mas precisa,un subconjunto A ⊂ P(X) es una σ−algebra si se verifican las condiciones:

1. Los conjuntos ∅ y X pertenece a A .

2. Si B ∈ A entonces Bc ∈ A .

3. Para todas familia numerable (An)n∈N de elementos de A tenemos

+∞⋂

n=0

An ∈ A y

+∞⋃

n=0

An ∈ A

Un conjunto X dotado de una σ−algebra A se llama espacio medible y se nota por(X,A ). Los elementos de la σ−algebra A se denomina conjuntos A -medibles.

Definicion 1.62. Sea (X,A ) un espacio medible. Una medida sobre (X,A ) es una

funcion µ : A →−

R+ que verifica las propiedades siguientes.

1. µ(∅) = 0.

2. Para toda sucesion de elementos disjuntos (An)n∈N de elementos de A ,

µ

(

⋃

n∈N

An

)

=∑

n∈N

µ(An).

La tripleta (X,A , µ) se denomina espacio medido. Para todo elemento A de A , deno-minaremos la cantidad µ(A), la µ−medida de A.

Definicion 1.63. En un espacio medido (X,A , µ), una parte D deX es µ(A)−despreciablesi esta contenida en un conjunto A ∈ A de µ−medida nula; es decir, si

D ⊂ A ∈ A y µ(A) = 0.

Definicion 1.64. Sea (X,A , µ) un espacio medido. Decimos que una propiedad P (· · · )que depende de un punto x ∈ X es valida µ−casi en todas partes ( µ−c.t.p. o c.t.p.)si el conjunto de los x ∈ X en donde esta propiedad no esta verificada es un conjuntode µ−medida nula o si es un conjunto µ−despreciable.

Ejemplo Para una funcion f definida sobre un espacio medido (X,A , µ) a valo-res reales, escribiremos f(x) = 0 µ−c.t.p. si el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0 esµ−despreciable; es decir si

µ (x ∈ X : f(x) 6= 0) = 0.

Definicion 1.65 (Convergencia µ−c.t.p). Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones defi-nidas sobre un espacio medido (X,A , µ) y si f es una funcion definida sobre (X,A , µ),entonces diremos que (fn)n∈N converge en µ−c.t.p. si el conjunto de puntos en don-de la relacion f(x) = lımn→∞ fn(x) falla es µ−despreciable. Notaremos este tipo deconvergencia de esta manera: fn → f µ−c.t.p.

29

Teorema 1.21 (Teorema de convergencia monotona de Beppo Levi). Sean (X,A, µ)un espacio medible, f un funcion A-medibles y (fn)n∈N una sucesion crecientes de

funciones A-medibles, ambas definidas sobre X que toman valores en−

R+, tales que

lımn→+∞

fn(x) = f(x)

µ-casi todo punto. Entonces se tiene la identidad∫

X

f(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Lema 1.2 (Lema de Fatou). Sean (X,A, µ) un espacio medible y (fn)n∈N una sucesion

de funciones A-medibles definida sobre X que toman valores en−

R+ . Entonces∫

X

lımn→+∞

ınf fn(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

ınf

∫

X

fn(x)dµ(x).

Demostracion. Vease la demostracion en [5].

Lema 1.3 (Lema de Fatou en su vesion dominada). Sean (X,A, µ) un espacio medible,f una funcion y (fn)n∈N una sucesion de funciones, ambas A-medibles definida sobre

X ademas, existe una funcion integrable g : X →−

R+ tal que, para todo n ∈ N,

|fn(x)| ≤ g(x), µ− c.t.p.

y lımn→+∞ fn(x) = f(x), es decir,∫

X

f(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) y lım supn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤

∫

X

f(x)dµ(x).

Demostracion. En efecto, por hipotesis∣

∣

∣

∣

∫

X

fn(x)dµ(x)

∣

∣

∣

∣

≤

∫

X

|fn(x)|dµ(x) ≤

∫

X

g(x)dµ(x) < +∞, ∀x ∈ X,

es decir, g(x) < +∞. Tenemos una sucesion de funciones (g + fn)n∈N tal que

(g + f)(x) = lımn→+∞

(g + fn)(x), ∀x ∈ X.

Aplicando el Lema de Fatou detallado en el Lema 1.2 para tener la siguiente desigualdad∫

X

(g + f)(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

(g + fn)(x)dµ(x),

por la aditividad de la integral, obtenemos∫

X

f(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Ahora, tomando la sucesion (g − fn)n∈N y realizando el mismo procedimiento tenemos

lım supn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤

∫

X

f(x)dµ(x).

Por lo tanto, se concluye la demostracion.

30

Teorema 1.22 (Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue ). Sean (X,A, µ) unespacio medible, f una funcion y (fn)n∈N una sucesion de funciones, ambas A-medibles

definidas sobre X y que toman valores en−

R+. Ademas:

1. Para µ-casi todo x ∈ X, se tiene lımn→+∞ fn(x) = f(x).

2. Existe una funcion integrable g : X →−

R+ tal que, para todo n ∈ N, |fn(x)| ≤ g(x)µ-casi en todas partes en X.

Entonces f es una funcion integrable y

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x).

Demostracion. Vease la demostracion en [5].

31

Capıtulo 2

Ecuaciones elıpticas de segundoorden con operadores locales

Las siguientes definiciones, proposiciones, lemas y teoremas detalladas en este capıtulocon sus respectivas demostraciones sobre las soluciones viscosas para ecuaciones elıpti-cas de segundo orden con operadores locales son tomadas de las notas del curso deCardaliaguet P. [6] y de [9] que seran usadas para el desarrollo del siguiente capıtulo.

2.1. Ecuaciones elıpticas

Consideremos el siguiente problema, siendo Ω un subconjunto abierto de RN y

H(x, u(x), Du(x), D2u(x)) = 0, x ∈ Ω (2.1)

u = u0, ∀x ∈ ∂Ω, (2.2)

donde la funcion u : Ω → R es desconocida,Du yD2u que denotan la primera y segundaderivada es decir, el gradiente y la matriz hessiana de u en x ∈ Ω respectivamente. Comohipotesis generales del Hamiltoniano, definida como

H : Ω× R× RN × SN → R

es continua, donde SN es el espacio de las matrices simetricas de orden N × N,ademas, u0 ∈ C(∂Ω) y como hipotesis particular, H es elıptica es decir, para todo(x, s, p,X, Y ) ∈

(

Ω× R× RN × SN × SN

)

tal que

si X ≤ Y entonces H(x, s, p,X) ≥ H(x, s, p, Y ), (2.3)

asi, X ≤ Y significa que X − Y es simetrica definda negativa.

Definicion 2.1. Sea la funcion u : Ω → R sub-solucion viscosa de (2.1) si u es (SCS)en Ω y si para toda funcion test φ ∈ C2(Ω) tal que u − φ tiene un maximo local enx0 ∈ Ω entonces

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0.

Definicion 2.2. Sea la funcion u : Ω → R super-solucion viscosa de (2.1) si u es(SCI) en Ω y si para toda funcion test φ ∈ C2(Ω) tal que u− φ tiene un mınimo localen x0 ∈ Ω entonces

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0.

Definicion 2.3. Una funcion u : Ω → R es una solucion viscosa de (2.1) si u essub-solucion viscosa y super-solucion viscosa de (2.1).

32

Proposicion 2.1. Sea la funcion u : Ω → R una sub-solucion viscosa de (2.1) si ysolo si, 0 = (u− φ)(x0) ≥ (u− φ)(x) para todo x ∈ Ω entonces,

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≤ 0.

Demostracion: Consideremos la funcion u como sub-solucion viscosa de (2.1), probemos

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≤ 0.

En efecto, por hipotesis para toda funcion test φ ∈ C2(Ω) se tiene

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0.

ademas, 0 = (u− φ)(x0) por lo tanto u(x0) = φ(x0) se sigue

Dφ(x0) = Du(x0)

D2φ(x0) = D2u(x0),

ası, se concluyeH(x0, u(x0), Du(x0), D

2u(x0)) ≤ 0.

Ahora supongamos que u es una sub-solucion viscosa de (2.1), en efecto por hipotesisse sabe que para x0 ∈ Ω, 0 = (u−φ)(x0) entonces x0 es punto maximo de u− φ lo queimplica que Dφ(x0) = Du(x0) y D

2φ(x0) = D2u(x0) ademas (u− φ)(x0) ≥ (u− φ)(x)para todo x ∈ Ω. Definimos una funcion φδ ∈ C2(Ω) de la siguiente forma

φδ(x) = φ(x) + δ‖x− x0‖4+(x− φ)(x0),

para δ > 0, analizando se tiene

(u− φδ)(x) = u(x)−[

φ(x) + δ‖x− x0‖4+(x− φ)(x0)

]

= (u− φ)(x)− δ‖x− x0‖4−(x− φ)(x0)

≤ 0,

como (u− φδ)(x0) = 0 entonces de la anterior desigualdad se obtiene

(u− φδ)(x) ≤ (u− φδ)(x0) = 0,

entonces, x0 ∈ Ω es un punto maximo de u− φδ ası,

Dφδ(x0) = Du(x0)

D2φδ(x0) = D2u(x0),

luego,H(x0, u(x0), Dφδ(x0), D

2φδ(x0)) ≤ 0,

peroDφδ(x0) = Du(x0) = Dφ(x0)

D2φδ(x0) = D2u(x0) = D2φ(x0),

por lo tanto se concluye

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0.

33

Proposicion 2.2. Sea la funcion u : Ω → R una super-solucion viscosa de (2.1) si ysolo si, 0 = (u− φ)(x0) ≤ (u− φ)(x) para todo x ∈ Ω entonces,

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≥ 0.

Demostracion: Consideremos u como super-solucion viscosa de (2.1), probemos

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≥ 0.

En efecto, por definicion de super-solucion viscosa, para toda funcion test φ ∈ C2(Ω)se tiene

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0.

ademas, 0 = (u− φ)(x0) ≤ (u− φ)(x) para todo x ∈ Ω, es decir,

Dφ(x0) = Du(x0)

D2φ(x0) = D2u(x0),

por tanto, se ha probado que

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≥ 0.

Ahora supongamos que u es una super-solucion viscosa de (2.1), en efecto por hipotesisse sabe que para x0 ∈ Ω, 0 = (u− φ)(x0) entonces x0 es punto mınimo de u− φ lo queimplica que Dφ(x0) = Du(x0) y D

2φ(x0) = D2u(x0) ademas, (u− φ)(x0) ≤ (u− φ)(x)para todo x ∈ Ω. Definimos una funcion φδ ∈ C2(Ω) de la siguiente forma

φδ(x) = φ(x) + δ‖x− x0‖4+(x− φ)(x0),

para δ > 0, analizando se tiene

(u− φδ)(x) = u(x)−[

φ(x) + δ‖x− x0‖4+(x− φ)(x0)

]

= (u− φ)(x)− δ‖x− x0‖4−(x− φ)(x0)

≥ 0,

como (u− φδ)(x0) = 0 entonces de la anterior desigualdad se obtiene

(u− φδ)(x) ≥ (u− φδ)(x0) = 0,

entonces, x0 ∈ Ω es un punto mınimo de u− φδ ası

Dφδ(x0) = Du(x0)

D2φδ(x0) = D2u(x0),

luegoH(x0, u(x0), Dφδ(x0), D

2φδ(x0)) ≥ 0,

peroDφδ(x0) = Du(x0) = Dφ(x0)

D2φδ(x0) = D2u(x0) = D2φ(x0),

por lo tanto se concluye que

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0.

34

Proposicion 2.3. Sea la funcion u ∈ C2(Ω) tal que u : Ω → R con Ω un subconjuntoabierto de RN , entonces u es una sub-solucion viscosa de (2.1) si y solo si,

H(x, u(x), Du(x), D2u(x)) ≤ 0.

Demostracion: Consideremos u ∈ C2(Ω) como sub-solucion viscosa de (2.1). Probemosque H(x, u(x), Du(x), D2u(x)) ≤ 0 para todo x en Ω. Tomando φ ∈ C2(Ω) una funciontest tal que u− φ alcanza un maximo local en x0 ∈ Ω ası φ(x0) = u(x0) por lo tanto

Du(x0) = Dφ(x0)

Du2(x0) = D2φ(x0),

por hipotesis tenemos H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0, por lo tanto

H(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0)) ≤ 0.

Ahora probemos que u es sub-solucion viscosa de (2.1). En efecto, sea φ = u, ası

(u− φ)(x) = 0, ∀x ∈ Ω,

lo que implica queD(u)(x0) = D(φ)(x0)

notemos que x0 es un punto critico de u − φ, es decir, es un maximo local de u − φademas

D2u(x0) = D2φ(x0),

de la hipotesis se sigue

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) 6 0.

Esto prueba que u es sub-solucion viscosa de (2.1).

Proposicion 2.4. Sea u ∈ C2(Ω) tal que u : Ω → R con Ω un subconjunto abierto deRN , entonces u es una super-solucion viscosa de (2.1) si y solo si verifica

H(x, u(x), Du(x), D2u(x)) ≥ 0.

Demostracion: Se demuestra como en la anterior Proposicion.

Proposicion 2.5. Sea la funcion u : Ω → R sub-solucion viscosa de (2.1), entonces−u es una super-solucion viscosa de (2.1) tal que, para todo x en Ω

−

H (x, u(x), Du(x), D2(x)) ≥ 0,

donde para todo (x, s, p,X) ∈(

Ω× R× RN × SN

)

se define

−

H (x, s, p,X) = −H(x, s,−p,−X).

Demostracion: Como u es sub-solucion viscosa de (2.1) entonces por Propiedad 1.50−u es semi-continua inferior. Ahora tomando φ ∈ C2 y x0 ∈ Ω tal que (−u)−φ alcanceun mınimo local en x0 ∈ Ω. Ası u− (−φ) posee un maximo local en x0 ∈ Ω, como u essub-solucion viscosa de (2.1) se tiene

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0) ≤ 0,

es decir−H(x0, u(x0),−Dφ(x0),−D

2φ(x0) ≥ 0.

Por hipotesis se concluye que−

H (x0, (−u)(x0), Dφ(x0), Dφ2(x0)) ≥ 0, es decir, que −u

es una super-solucion viscosa de (2.1).

35

Proposicion 2.6. Sea la funcion u : Ω → R super-solucion viscosa de (2.1), entonces−u es una sub-solucion viscosa de (2.1) tal que, para todo x en Ω

−

H (x, u(x), Du(x), D2(x)) ≤ 0,

donde verifica la misma expresion de la anterior Proposicion.

Demostracion: Como u es super-solucion viscosa de (2.1) entonces por Propiedad 1.50−u es semi-continua superior. Ahora tomando φ ∈ C2 y x0 ∈ Ω tal que (−u) − φalcance un maximo local en x0 ∈ Ω. Ası u− (−φ) alcance un mınimo local en x0 ∈ Ω,como u es super-solucion viscosa de (2.1) se tiene

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0) ≥ 0,

es decir−H(x0, u(x0),−Dφ(x0),−D

2φ(x0) ≤ 0.

Por hipotesis se concluye que−

H (x0, (−u)(x0), Dφ(x0), Dφ2(x0)) ≤ 0, es decir, que −u

es una sub-solucion viscosa de (2.1).

Lema 2.1. Podemos reemplazar maximo local por maximo local estricto en la definicionde sub-solucion viscosa de (2.1).

Demostracion: Por definicion de sub-solucion viscosa se demuestra el sentido de ida.Para probar el otro sentido, tomamos x0 ∈ Ω y una funcion test φ ∈ C2(Ω) tal queu− φ alcanza un maximo local en x0 probemos que

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0) ≤ 0.

Consideremos una funcion test φ1 ∈ C2(Ω) como

φ1(x) = φ(x) + ‖x− x0‖4,

evaluando la anterior expresion en x0 ∈ Ω se tiene que φ1(x0) = φ(x0) luego,

Dφ1(x0) = Dφ(x0)

D2φ1(x0) = D2φ(x0),

notemos que φ1 alcanza un maximo local estricto en x0 pues, |x−x0‖4 > 0 si x 6= x0 y

por hipotesis de maximo local sabemos que (u− φ)(x) ≤ (u− φ)(x0) con r > 0 y paratodo x ∈ Br(x0) entonces

(u− φ)(x)− |x− x0|4 < (u− φ)(x0)− |x− x0|

4

(u− φ1) < (u− φ1)(x0), ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

por hipotesis tenemos

H(x0, u(x0), Dφ1(x0), D2φ1(x0)) ≤ 0

por lo tanto, concluimos que

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0.

Lema 2.2. Podemos reemplazar mınimo local por mınimo local estricto en la definicionde super-solucion de (2.1).

36

Demostracion: Por definicion de super-solucion viscosa se demuestra el sentido de ida.Para probar el otro sentido, tomamos x0 ∈ Ω y una funcion test φ ∈ C2(Ω) tal queu− φ alcanza un mınimo local en x0 probemos que

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0) ≥ 0.

Consideremos una funcion test φ1 ∈ C2(Ω) como

φ1(x) = φ(x) + ‖x− x0‖4,

evaluando la anterior expresion en x0 ∈ Ω se tiene que φ1(x0) = φ(x0) luego,

Dφ1(x0) = Dφ(x0)

D2φ1(x0) = D2φ(x0),

notemos que φ1 alcanza un mınimo local estricto en x0 pues, |x− x0‖4 > 0 si x 6= x0 y

por hipotesis de mınimo local sabemos que (u− φ)(x) ≥ (u− φ)(x0) con r > 0 y paratodo x ∈ Br(x0) entonces

(u− φ)(x)− |x− x0|4 > (u− φ)(x0)− |x− x0|

4

(u− φ1) > (u− φ1)(x0), ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

por hipotesis tenemos

H(x0, u(x0), Dφ1(x0), D2φ1(x0)) ≥ 0

por lo tanto, concluimos que

H(x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0.

Lema 2.3. Sea una funcion v : Ω → R continua que alcanza un maximo local estrictox0 ∈ Ω y si una sucesion (vn)n∈N continua que convergen localmente uniforme a ventonces, existe una sucesion (xn)n∈N que es maximo local de vn, converge a x0.

Demostracion: Como v es continua y alcanza un maximo local estricto en x0 ∈ Ω,existe un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω y sabemos que para todo x ∈ Br(x0)

v(x0) > v(x)

para δ = r2tenemos

v(x0) = maxBδ(x0)

v > max∂Bδ(x0)

v.

Por hipotesis se sabe que (vn) converge localmente uniforme a v, es decir

lımn→∞

vn(x0) = maxBδ(x0)

lımn→∞

vn > max∂Bδ(x0)

lımn→∞

vn,

podemos hallar n0 > 0 tal que, para todo n ≥ n0

vn(x0) > max∂Bδ(x0)

vn.

En efecto, vn es continua para todo n ∈ N y Bδ(x0) es compacto ası, posee un punto

xn ∈ Bδ(x0) tal que xn es un maximo local de vn en Bδ(x0). Probemos que x ∈ Bδ(x0),por absurdo supongamos que x ∈ ∂Bδ(x0) ası, por la anterior desigualdad

vn(x0) > vn(xn)

37

lo que contradice lo supuesto por lo tanto xn ∈ Bδ(x0) y es maximo local de vn.Finalmente probemos que xn converge a x0. Puesto que xn ∈ Bδ(x0) para todo n ∈ N

es acotada y por el Teorema de Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion (xnk) que

converge hacia un punto y ∈ Bδ(x0) es decir, y es un punto de acumulacion de (xn).

En efecto, para cada z ∈ Bδ(x0) se tiene que

vnk(xnk

) ≥ vnk(z)

y como (vnk) converge localmente uniforme a v pasando al lımite se tiene

lımk→∞

lımk→∞

vnk(xnk

) ≥ lımk→∞

lımk→∞

vnk(z)

lımk→∞

vnk( lımk→∞

xnk) ≥ lım

k→∞vnk

(z)

v(y) ≥ v(z).

Por lo tanto, y es un maximo local de v en Bδ(x0), ası llegamos a una que esto contra-dicion por lo tanto x0 = y. Ası, se concluye que xn → x0.

Lema 2.4. Sea v un funcion continua definida como v : Ω → R que alcanza unmınimo local estricto en x0 ∈ Ω ademas, una sucesion de funciones (vn)n∈N continuasque convergen localmente uniforme en v entonces, existe una sucesion (xn)n∈N siendoxn mınimo local de vn que converge a x0.

Demostracion: Como v es continua y alcanza un mınimo local estricto en x0 ∈ Ω, existeun r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω y sabemos que para todo x ∈ Br(x0)

v(x0) < v(x)

para δ = r2tenemos

v(x0) = maxBδ(x0)

v < max∂Bδ(x0)

v.

Por hipotesis se sabe que (vn) converge localmente uniforme a v, es decir

lımn→∞

vn(x0) = maxBδ(x0)

lımn→∞

vn < max∂Bδ(x0)

lımn→∞

vn,

podemos hallar n0 > 0 tal que

vn(x0) < max∂Bδ(x0)

vn , ∀n ≥ n0.

En efecto, vn es continua para todo n ∈ N y Bδ(x0) es compacto ası, posee un punto

xn ∈ Bδ(x0) tal que xn es un mınimo local de vn en Bδ(x0). Probemos que x ∈ Bδ(x0),por absurdo supongamos que x ∈ ∂Bδ(x0) ası, por la anterior desigualdad se tiene que

vn(x0) < vn(xn)

lo que contradice lo supuesto por lo tanto xn ∈ Bδ(x0) y es un punto mınimo local devn.Finalmente probemos que xn converge a x0. Puesto que xn ∈ Bδ(x0) para todo n ∈ N

es acotada y por el Teorema de Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion convergente(xnk

) hacia un punto y ∈ Bδ(x0) es decir, y es un punto de acumulacion de (xn). En

efecto, para cada z ∈ Bδ(x0) se tiene que

vnk(xnk

) ≤ vnk(z)

38

y como (vnk) converge localmente uniforme a v pasando al lımite se tiene

lımk→∞

lımk→∞

vnk(xnk

) ≤ lımk→∞

lımk→∞

vnk(z)

lımk→∞

vnk( lımk→∞

xnk) ≤ lım

k→∞vnk

(z)

v(y) ≤ v(z).

Por lo tanto, y es un mınimo local de v en Bδ(x0), ası llegamos a una contradicion porlo tanto x0 = y. Ası, se concluye que xn → x0.

Notemos que podemos relajar las hipotesis de que las funciones tengan convergencialocalmente uniforme por una cota localmente uniforme en el conjunto de solucionesgracias a la tecnica de semi-lımites relajados de Barles y Perthame (Ver [10]) y de [9] .

Definicion 2.4. Sea una sucesion de funciones (un)n∈N localmente uniformes mayo-radas en Ω. Se define el semi-lımite relajado superior para todo x en Ω

u(x) = lım supxn→x

un(xn).

Definicion 2.5. Sea una sucesion de funciones (un)n∈N localmente uniformes minora-das en Ω. Se define el semi-lımite relajado inferior para todo x en Ω

u(x) = lım infxn→x

un(xn).

Lema 2.5. Sea v una funcion SCS definida como v : Ω → R alcanza un maximo localestricto en x0 ∈ Ω. Si (vn)n∈N sucesion de funciones SCS tales que

v(x0) = lım supzn→x0

vn(zn),

entonces, existe una sucesion (xn)n∈N tal que es maximo local de vn que converge a x0ademas, vn(xn) → v(x0) cuando n→ ∞.

Demostracion: Como v alcanza un maximo local estricto en x0 ∈ Ω tomamos r > 0 talque para todo x ∈ Br(x0),

v(x0) > v(x).

Ademas, vn es SCS es decir, vn es acotada superiormente y alcanza un maximo localen xn ∈ Bδ(x0) para δ = r

2. Ahora notemos que (vn) es una sucesion de funciones

localmente uniformes mayoradas en el compacto Bδ(x0) y para todo zn en Bδ(x0)

vn(xn) > vn(zn),

luego como (xn) es acotada y por Teorema de Bolzano-Weierstras existe una sub-

sucesion tal que xnk→ y es decir, para todo znk

en Bδ(x0) tal que

vnk(xnk

) ≥ vnk(znk

),

ası, tomando lımite superior en la anterior desigualdad se sigue

lım supxnk

→yvnk

(xnk) ≥ lım sup

znk→x0

vnk(znk

)

v(y) ≥ v(x0),

Por lo tanto contradice a la hipotesis pues x0 es un maximo local estricto de v entoncesy = x0 y ası xnk

→ x0.

39

Por ultimo probemos que vn(xnk) → v(x0). Dado que para todo xnk

en Bδ(x0) se tienev(x0) ≥ v(xn), ademas v es SCS ası,

v(x0) = lım supn→∞

vn(xn) ≥ lım supn→∞

v(xn).

Por lo tanto, v(x) < v(x0) es decir,

ınfk∈N

supn≥k

vn(xn) ≥ ınfk∈N

supn≥k

v(xn)

≥ supn≥

v(xn).

por definicion de cota inferior,

supn>k

vn(xn) > supn>k

v(xn)

y sabemos que que existe k ∈ N tal que

vn(xn) > supn>k

v(xn) > v(x).

Por lo tanto, para todo v(x) < v(x0) existe k ∈ N tal que para todo n > k se tiene

v(x) < vn(xn)

asıv(x0) 6 lım inf

n→∞vn(xn) 6 lım sup

n→∞vn(xn) 6 v(x0)

v(x0) = lım infn→∞

vn(xn) = lım supn→∞

vn(xn).

Por lo que se concluye, lımn→∞ vn(xn) = v(x0).

Lema 2.6. Sea u una funcion SCI definida como u : Ω → R alcanza un mınimo localestricto en x0 ∈ Ω. Si (un)n∈N sucesion de funciones SCI tales que

u(x0) = lım infzn→x0

un(zn),

entonces, existe una sucesion (xn)n∈N tal que es mınimo local de un que converge a x0ademas, un(xn) → u(x0) cuando n→ ∞.

Demostracion: Se procede la demostracion como en el anterior Lema.

2.2. Existencia de soluciones viscosas por el Metodo de Perron

En esta seccion, explicamos como construir una solucion viscosa para el problema (2.1)conociendo una sub y super-solucion viscosa de (2.1) asumiendo que tiene un Principiode Comparacion.

Para este capıtulo utilizaremos las definiciones y proposiciones de envoltura semi-continua del capıtulo 1.

Definicion 2.6. La funcion u : Ω → R es una solucion viscosa discontinua de (2.1) siu∗ es sub-solucion viscosa y u∗ es super-solucion viscosa de (2.1).

40

2.2.1. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-soluciones viscosas

Se define un subconjunto no vacıo de ındices reales denotado porA que contiene (uα)α∈Auna familia de funciones de Ω en R acotadas superiormente definida para todo x en Ω

u(x) = supα∈A

uα(x). (2.4)

Lema 2.7. Sea (uα)∗ una sub-solucion viscosa de (2.1) para todo α ∈ A entonces, u∗

es una sub-solucion viscosa de (2.1).

Demostracion: Sea φ ∈ C2(Ω) y x0 ∈ Ω tal que u∗−φ tiene un maximo local estricto enx0 ∈ Ω. Probemos que H(x0, u

∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) 6 0. En primer lugar tomemos

r > 0 y η > 0 tal que(u∗ − φ)(x0) = max

Br(x0)(u∗ − φ),

(u∗ − φ)(x0) > max∂Br(x0)

(u∗ − φ) + η. (2.5)

Ahora por definicion de u∗ existe una sucesion (xn) ⊂ Br(x0) con xn ∈ Br(x0) tal quexn → x0 y u(xn) → u∗(x0) cuando n→ ∞. Mas aun, por Definicion 1.24 se tiene, paracada xn ∈ Br(x0) existe αn ∈ A con n ∈ N tal que

uαn(xn) > u(xn)−

1

n. (2.6)

Probemos que (uαn)∗(xn) → u∗(x0) cuando n→ ∞. En efecto u∗ es SCS, es decir

u∗(x0) > lım supxn→x0

u∗(xn), (2.7)

y por definicion de envoltura superior tenemos

u∗(xn) > lım supx→xn

u(x) y (uαn)∗(xn) > lım sup

x→xn

uαn(x),

u∗(xn) > (uαn)∗(xn) > u(xn), (2.8)

tomando lımite superior cuando n→ ∞ y por propiedad de ınfimo tenemos

lım supn→∞

u∗(xn) > lım infn→∞

(uαn)∗(xn),

usando (2.7) se sigueu∗(x0) > lım inf

n→∞(uαn

)∗(xn). (2.9)

Ahora, tomando lımite inferior cuando n→ ∞ en la (2.6) tenemos

lım infn→∞

(uαn)(xn) > lım inf

n→∞(u(xn)−

1

n)

> lım infn→∞

u(xn) + lım infn→∞

(−1

n),

Dado que lımn→∞ u(xn) = u∗(x0) y lımn→∞− 1n= 0, por tanto

lım infn→∞

(uαn)(xn) > u∗(x0). (2.10)

Ası, por (2.8), (2.9) y (2.10),obtenemos lo siguiente

u∗(x0) > lım infn→∞

(uαn)∗(xn) > lım inf

n→∞(uαn

)(xn) > u∗(x0),

41

lımn→∞

(uαn)∗(xn) = u∗(x0).

Para un n suficientemente grande tomemos |φ(xn)− φ(x0)| 6n4, es decir

−φ(x0) 6n

4− φ(xn). (2.11)

Ademas, |u∗(x0)− (uαn)∗(xn)| <

n

4, ası

u∗(x0) < (uαn)∗(xn) +

n

4. (2.12)

y sabemos que u > uαny por Lema 1.1 tenemos

u∗ > (uαn)∗. (2.13)

de (2.11) y (2.12) tenemosn

2+ ((uαn

)∗ − φ)(xn) > (u∗ − φ)(x0) usando (2.13) ası

n

2+ ((uαn

)∗ − φ)(xn) > max∂Br(x0)

(u∗ − φ) + η

> max∂Br(x0)

((uαn)∗ − φ) + η.

En consecuencia((uαn

)∗ − φ)(xn) > max∂Br(x0)

((uαn)∗ − φ) +

η

2. (2.14)

Tenemos que (uαn)∗ − φ tiene un maximo local en un punto yn de Br(x0). En efecto,

puesto que (uαn)∗ − φ es SCS y Br(x0) es compacto entoces existe yn ∈ Br(x0) tal que

yn es el maximo de (uαn)∗ − φ. Por absurdo supangamos que yn ∈ ∂Br(x0), de (2.14)

((uαn)∗ − φ)(xn) > ((uαn

)∗ − φ)(yn),

como xn ∈ Br(x0) se tiene una contradiccion con el hecho de que yn es maximo de

((uαn)∗ − φ) en Br(x0). Ası concluimos que yn ∈ Br(x0). Por lo tanto como (uαn

)∗ esuna sub-solucion de (2.1), se tiene que

H(yn, (uαn)∗(yn), Dφ(yn), D

2φ(yn)) 6 0. (2.15)

Finalmente probemos que yn → x0 y que (uαn)∗(yn) → u∗(x0). En efecto, vemos que

(u∗ − φ)(yn) ≥ ((uαn)∗ − φ)(yn) ≥ ((uαn

)∗ − φ)(xn), (2.16)

puesto que u > uαny yn es el maximo de Br(x0).

− Probemos que yn → x0. Tomemos y ∈ Br(x0) un punto lımite de acumulacion de ynes decir, existe ynk

una subsucesion de yn tal que ynk→ y. En efecto por (2.16)

(u∗ − φ)(ynk) ≥ ((uαnk

)∗ − φ)(xnk),

como u∗ − φ es semi-continua superior y ynk→ y se sigue que

(u∗ − φ)(y) = lım supk→∞

(u∗ − φ)(ynk)

≥ lım supk→∞

((uαnk)∗ − φ)(xnk

)

= (u∗ − φ)(x0)

42

siendo x0 un punto de maximo local estricto se obtiene que y = x0. Ası, como (yn) esacotado, concluimos que yn → x0.− Por otro lado probemos que (uαn

)∗(yn) → u∗(x0). De (2.26) tenemos que

(u− φ)(x0) ≥ (u∗ − φ)(yn)

≥ ((uαn)∗ − φ)(yn)

≥ ((uαn)∗ − φ)(xn)

≥ (u∗ − φ)(x0),

tomando n→ ∞ y como (uαn)∗(xn) → u∗(x0), ası

((uαn)∗ − φ)(yn) → (u∗ − φ)(x0).

Ahora tomemos que

|(uαn)∗(yn)− u∗(x0)| ≤ |(uαn

)∗(yn)− φ(yn) + φ(yn)− φ(x0) + φ(x0)− u∗(x0)|

≤ |((uαn)∗ − φ)(yn)− (u∗ − φ)(x0)|+ |φ(yn)− φ(x0)|,

siendo yn → x0 tenemos |((uαn)∗−φ)(yn)− (u∗−φ)(x0)| → 0 y |φ(yn)−φ(x0)| → 0 ası

(uαn)∗(yn) → u∗(x0).

Finalmente de (2.14) tomando n→ ∞ se tiene que

H(x0, u∗(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0)) 6 0.

Se define un subconjunto no vacıo de ındices reales denotado porA que contiene (uα)α∈Auna familia de funciones de Ω en R acotadas inferiormente definida para todo x en Ω

u(x) = ınfα∈A

uα(x). (2.17)

Lema 2.8. Sea (uα)∗ una super-solucion viscosa de (2.1) para todo α ∈ A entonces,u∗ es una super-solucion viscosa de (2.1).

Demostracion: Se procede la demostracion como en el anterior Lema.

2.2.2. El Metodo de Perron

El objetivo de esta seccion es desarrollar el Metodo de Perron para este tipo de ecua-ciones, que nos permite hallar la existencia de la solucion..

Teorema 2.1. Sean las funciones u, v : Ω → R sub-solucion y super-solucion viscosade (2.1) respectivamente tal que u ≤ v en Ω. Entonces existe una solucion viscosadiscontinua con w : Ω → R tal que u ≤ w ≤ v.

Demostracion: Definamos el conjunto

Γ := z : Ω → R | z∗ es una sub-solucion viscosa de (2.1) y u ≤ z ≤ v.

Veamos que Γ 6= ∅, como u es una sub-solucion viscosa de (2.1) entonces u = u∗ ∈ Γ .Consideremos ahora, que para todo x en Ω

w(x) = supz∈Γ

z(x).

43

Probemos que w es solucion viscosa discontinua.Notemos que w ∈ Γ pues u ≤ w ≤ v ademas, por el Lema 2.7 w∗ es una sub-solucionviscosa de (2.1), ası w ∈ ΓProbemos que w∗ es una super-solucion viscosa de (2.1). Por absurdo supongamos queexiste una funcion test φ ∈ C2(Ω) y x0 ∈ Ω tal que w∗ − φ tiene un mınimo localestricto en x0 tal que w∗(x0) = φ(x0) y

H(x0, w∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0. (2.18)

En primer lugar probemos que w∗(x0) < v(x0). En efecto, w(x0) ≤ v(x0) por lo tanto

w∗(x0) ≤ v∗(x0) = v(x0),

w∗(x0) ≤ v(x0),

supongamos que w∗(x0) = v(x0), ası, v − φ tiene un mınimo local en x0 ∈ Ω y como ves super-solucion viscosa de (2.1) tenemos

H(x0, v(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0

siendo w∗(x0) = v(x0) entonces H(x0, w∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≥ 0 esto contradice

que v es una super-solucion viscosa. Por lo tanto w∗(x0) < v(x0) y

H(x0, w∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0)) ≤ 0.

Ahora elijamos r > 0 y ǫ > 0 suficientemente pequeno tal que Br(x0) ⊂ Ω y

1. Por la continuidad de H ademas, w∗(x0) = φ(x0) tenemos para todo x ∈ Br(x0)

H(x, φ(x) + ǫ,Dφ(x), D2φ(x)) ≤ 0.

2. Como w∗−φ tiene un mınimo local estricto en x0 ∈ Ω tal que para todo x ∈ Br(x0)

w∗(x0) = φ(x0) ⇔ (w∗ − φ)(x0) = 0 ⇒ (w∗ − φ)(x) > 0,

siendo w∗ − φ es SCI y ∂Br(x0) es compacto entonces existe−x∈ ∂Br(x0) tal que

mın∂Br(x0)

(w∗ − φ)(x) = (w∗ − φ)(−x) , ∀x ∈ ∂Br(x0),

Luego, existe ǫ > 0 tal que (w∗ − φ) > ǫ para todo x ∈ ∂Br(x0).

3. Como v super-solucion viscosa y x0 es mınimo local de v − φ para φ ∈ C2(Ω)entonces para todo x ∈ Br(x0)

(v − φ)(x0) < (v − φ)(x)

ademas, φ(x0) = w∗(x0) < v(x0) tenemos

(w∗ − φ)(x0) < (v − φ)(x0)

ası, para todo x ∈ Br(x0)

(w∗ − φ)(x0) < (v − φ)(x0 < (v − φ)(x)

por hipotesis φ(x0) = w∗(x0) entonces existe ε > 0 suficientemente pequeno talque

ε < (v − φ)(x),

por lo tanto φ(x) < v(x)− ε.

44

Consideremos ahora

q(x) =

w(x), si x ∈ Ω \Br(x0).

maxw(x), φ(x) + ǫ, si x ∈ Br(x0).(2.19)

Veamos que q ∈ Γ en efecto, por 3. notemos que q ≤ v, ademas u ≤ w ≤ q ası,u 6 q 6 v. Probemos ahora que q∗ es una sub-solucion de (2.1).Sea una funcion test ψ ∈ C2(Ω) y x1 ∈ Ω. tal que q∗−ψ tiene un maximo local estrictoen x1 y con q∗(x1) = ψ(x1). Entonces probemos que

H(x1, q∗(x1), Dψ(x1), D

2ψ(x1)) ≤ 0.

Supongamos que w∗(x1) ≤ q∗(x1). Ası tenemos dos casos

1. Si q(x1) = w(x1) ası w∗(x1) = q∗(x1) entonces w

∗ − ψ tiene un maxima local enx1 y como w∗ es subsolucion viscosa de (2.1) se tiene

H(x1, w∗(x1), Dψ(x1), D

2ψ(x1)) ≤ 0,

por lo tantoH(x1, q

∗(x1), Dψ(x1), D2ψ(x1)) ≤ 0.

2. Si w∗(x1) < q∗(x1), por la defincion de q en (2.18) tenemos que x1 ∈ Br(x0).Notemos ademas que q∗(x1) = (φ(x1) + ε)∗ siendo φ y ε constantes obtenemos

q∗(x1) = φ(x1) + ε. (2.20)

Por absurdo supongamos que x1 ∈ ∂Br(x0). En efecto, por 3. tenemos que

q∗(x1)− φ(x1) > w∗(x1)− φ(x1)

> w∗(x1)− φ(x1)

> ε,

por lo tanto q∗(x1) > φ(x1) + ε lo que contradiccion (2.19).Ahora como x1 ∈ Br(x0) tenemos que (φ + ε) − ψ tiene un maximo local en x1,en efecto por (2.18) se tiene que

q(x1) = max(w(x1), φ(x1) + ε) , x1 ∈ Br(x0),

por lo tanto q∗(x1) ≥ φ(x1) + ε , x1 ∈ Br(x0).

Ahora existe δ > 0 suficientemente pequeno Bδ(x0) ⊂ Br(x1). Es decir

ψ(x1) ≥ q∗(x1) ≥ φ(x1) + ε , x1 ∈ Bδ(x0),

ası

ψ(x1) = q∗(x1) = φ(x1) + ε , x1 ∈−

Br (x0) ,

por lo tanto tiene un maximo local en x1 entonces ψ(x1) = φ(x1) + ε. Ademas,

D(ψ(x1)− φ(x1)− ε) = 0

D(ψ(x1)) = D(φ(x1) + ε)

D(ψ(x1)) = D(φ(x1)),

luego, tenemos la siguiente matriz simetrica definica positiva

D2(ψ(x1)− φ(x1)− ε) ≥ 0

D2(ψ(x1)) ≥ D2(φ(x1) + ε)

D2(ψ(x1)) = D2(φ(x1)),

45

por 1. y de la elipticidad de H tenemos

H(x1, q∗(x1), Dψ(x1), D

2ψ(x1)) ≤ H(x1, q∗(x1), Dφ(x1), D

2φ(x1)) ≤ 0,

Por lo tanto, H(x1, q∗(x1), Dφ(x1), D

2φ(x1)) ≤ 0.

En consecuencia, hemos probado que que q∗ es subsolucion de (2.1) y ası q ∈ Γ.Finalmente probemos que z 6= w. Note que

φ(x0) + ε > φ(x0) = w∗(x0) (2.21)

De la definicion de w∗ podemos hallar una sucesion (xn) ⊂ Br(x0) tal que (xn) → (x0)y

w(xn) → w∗(x0). (2.22)

Ademas por definicion de q en (2.19) y como xn ∈ Br(x0),∀n ∈ N tenemos que

q(xn) ≥ φ(xn) + ε, (2.23)

De (2.22) y tomando η > 0 tal que φ(x0)+ε−η = w∗(x0)+η como φ(xn)+ε → φ(x0)+ε,podemos hallar un n suficientemente grande tal que

|(φ(xn) + ε)− (φ(x0) + ε)| < η,

−η < (φ(xn) + ε)− (φ(x0) + ε) < η,

−η + φ(x0) + ε < φ(xn) + ε,

ademas de (2.23) tenemos |w(xn)− w∗(x0)| < η, es decir

w(xn) < η + w∗(x0).

Ası, para n suficientemente pequeno y por (2.24) tenemos

q(xn) ≥ φ(xn) + ǫ

> φ(x0) + ǫ− η

> w∗(x0) + η

> w(xn),

En efecto, q 6= w. En consecuencia como probamos que q ∈ Γ y q ≥ w con q 6= w loque es absurdo pues w es el supremo de Γ. Por tanto w∗ es una super-solucion y ası wes la solucion viscosa discontinua de (2.1).

2.2.3. Existencia de una solucion viscosa continua

Para recuperar la continuidad de la solucion de (2.1), supondremos que la ecuacionverifica el Principio de Comparacion que sera estudiado en la siguiente subseccion.

Definicion 2.7. Diremos que el problema (2.1) y (2.2) verifica un principio de com-paracion en Ω, si para todo u sub-solucion viscosa, v super-solucion viscosa y si u ≤ ven ∂Ω entonces u ≤ v en Ω.

Observacion: Puesto que en esta subseccion vamos a prolongar en ∂Ω, tenemos:

1. Si u : Ω → R es SCS definimos la prolongacion a ∂Ω para todo x ∈ Ω por

u(x) = lım supx′→x, x′∈Ω

u(x′).

46

2. Si u : Ω → R es SCI definimos la prolongacion a ∂Ω para todo x ∈ Ω por

v(x) = lım infx′→x, x′∈Ω

v(x′).

3. Si u es SCS y v es SCI, u 6 v en ∂Ω tenemos para todo x ∈ Ω que

lım supx′→x, x′∈Ω

u(x′) ≤ lım infx′→x, x′∈Ω

v(x′).

Definicion 2.8. Diremos que u es una sub-solucion viscosa (2.1) y (2.2) si u es sub-solucion de la ecuacion (2.1) y ademas, para todo x ∈ Ω

u0(x) = lımx′→x, x′∈Ω

u(x′).

Corolario 2.1. Supongamos que (2.1) y (2.2) verifica un Principio de Comparacionen Ω. Existe las funciones u y v tal que:

1. u una sub-solucion viscosa de la ecuacion (2.1) y para todo x ∈ Ω


u(x′).

2. v una super-solucion viscosa de la ecuacion (2.1) y para todo x ∈ Ω


v(x′).

Entonces existe una unica solucion viscosa continua w de (2.1) y (2.2) con w = u0 en∂Ω.

Demostracion: Por el Metodo de Perron detallado en el Teorema 2.1 podemos contruiruna solucion viscosa discontinua w de (2.1) tal que u 6 w ≤ v en Ω.Probemos que w∗ = w∗ = u0 en ∂Ω. En efecto para toda x ∈ ∂Ω, notemos primero quew∗ ≤ w∗, entonces


u(x′) = lım infx′→x, x′∈Ω

u(x′) 6 lım infx′→x, x′∈Ω

w(x′) 6 w∗(x),

w∗(x) 6 lım supx′→x, x′∈Ω

w(x′) 6 lım supx′→x, x′∈Ω

v(x′) = lımx′→x, x′∈Ω

v(x′) = u0(x),

por lo tanto w∗ = w∗ = u0 en ∂Ω. Ademas, tenemos que w∗ es una super-solucionviscosa de (2.1) y w∗ es una sub-solucion viscosa de la ecuacion (2.1) por el principiode comparacion sabemos que

w∗ ≤ w∗

en Ω y tenemos que w∗ ≤ w∗ asıw∗ = w∗.

Por lo tanto w es una solucion viscosa continua en ∂Ω.Finalmente probemos la unicidad en efecto, la unicidad se deduce por el principio decomparacion, sea w1 y w2 dos soluciones continuas distintas de (2.1) y (2.2). Entonces,Si w1 es sub-solucion viscosa y w2 es super-solucion viscosa de (2.1) entonces w1 6 w2,ahora si, w2 es sub-solucion viscosa y w1 es super-solucion viscosa de la ecucion (2.1)entonces w2 ≤ w1. Por lo tanto, w1 = w2 en ∂Ω. Esto contradice nuestra suposicion,por lo tanto el problema tiene una unica solucion viscosa continua que es w.

47

2.3. Principio de Comparacion de primer orden

Puesto que en el siguiente capıtulo estudiaremos un Principio de Comparacion paraHamiltionianos que involucran derivadas de primer y segundo orden y tambien operado-res no locales. En este capıtulo daremos la demostracion del Principio de Comparacionpara problemas de primer orden, en el cual nuestro unico objetivo didactico es com-prender las ideas principales que se deben llevar a cabo para demostrar este tipo deresultados bajo un esquema viscoso.

Definimos el siguiente problema con Ω un conjunto abierto de RN y acotado

H(x, u(x), D(x), D(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

u(x) = 0, ∀x ∈ ∂Ω.

(2.24)

siendo H : Ω×R×RN → R que satisface las siguientes hipotesis, dado γ > 0 y C > 0tal que

1. H(x, s1, p)−H(x, s2, p) ≥ γ(s1 − s2) si s1 ≥ s2 ,∀(x, s1, s2, p) ∈ Ω× R× RN.

2. |H(x, s, p)−H(y, s, p)| ≤ C(1 + |p|)|y − x|,∀(x, y, s, p) ∈ Ω× R× RN.

Para los siguientes resultados consideremos a u y v como funciones semi-continuas su-perior e inferior respectivamente pero no son regulares es decir, u, v /∈ C1(Ω).

Para todo ε > 0 definimos wε con (x, y) ∈ Ω× Ω tal que

wε(x, y) = u(x)− v(y)− ε−2‖x− y‖2. (2.25)

Es claro que wε es SCS en Ω× Ω y prolongando la funcion wε a Ω× Ω, de la forma

wε(x, y) = lım sup(x′,y′)→(x,y), (x′,y′)∈Ω×Ω

wε(x′, y′) , ∀(x, y) ∈ (Ω× Ω)− (Ω× Ω) (2.26)

Como wε es SCS y esta definida en (Ω×Ω) que es un conjunto compacto es decir paratodo ε > 0, wε alcanza maximos en (xε, yε) ∈ Ω× Ω.

Lema 2.9. Sea (xε, yε) un maximo de wε en Ω× Ω. Entonces

1. lımε→0+ wε(xε, yε) =M, donde M = supx∈Ω(u− v)

2. Existe θ > 0 y ε0 > 0 tales que, para todo ε ∈ (0, ε0), d∂Ω(xε) ≥ θ.

3. lım infε→0+ ε−2|xε − yε|

2 = 0.

Demostracion: Tomemos Mε = maxΩ×Ω wε(x, y) = wε(xε, yε), notemos que

Mε = wε(xε, yε) ≥ wε(x0, y0),

pues (xε, yε) es el maximo de wε ası

Mε = wε(xε, yε) ≥ wε(x0, x0) = u(x0)− v(x0) =M,

por lo tanto Mε ≥ M. Ahora como Ω es acotado y u es SCS y v es SCI en Ω, existek > 0 tal que u ≤ k y v ≥ −k ası tenemos que

M ≤Mε = u(ε)− v(ε)− ε−2|xε − yε|2 ≤ 2k − ε−2|xε − yε|

2

ε−2|xε − yε|2 ≤ 2k −M = C

48

|xε − yε|2 ≤ Cε2C→0 → 0

|xε − yε|ε→0 → 0.

Ahora tomando x un punto de acumulacion comun a (xε) y (yε). Como (xε) es acota-do existe (xεn) tal que xεn → x, ademas considerando la sucesion (yεn) que tambienes acotado podemos hallar (yεn,k

) sub-solucion viscosa de (yεn) tal que yεn,k→ y ası,

xεn,k→ x y yεn,k

→ y por lo tanto

|x− y| ≤ |x− xεn,k|+ |xεn,k

− yεn,k| − |yεn,k

− y| → 0,

ası, x = y. Por facilidad de notacion consideremos (xεn,k, yεn,k

) como (xε, yε) y tomando

M ≤ lım infε→0

Mε ≤ lım supε→0


(u(xε)− v(xε)),

como u− v es SCS y M es el supremo tenemos

M ≤ lım supε→0

(u(xε)− v(xε)) = u(x)− v(x) ≤M, (2.27)

ası hemos probado que lımε→0+ Mε =M, es decir

lımε→0+

wε(xε, yε) =M.

Siguiendo de (2.27) tenemos que M = u(x) − v(x) y por lo tanto x es un maximo deu − v y por analisis anteiror x ∈ Ω. Ası para ε suficientemente pequeno tenemos que(xε, yε) ∈ Ω× Ω. Ademas de (2.27) tenemos que

M ≤ lım supε→0


(u(xε)− v(xε)) + lım supε→0

(−ε−2|xε − yε|2)

M ≤M + lım supε→0

(−ε−2|xε − yε|2)

0 =M −M ≤ lım supε→0

(−ε−2|xε − yε|2),

por propiedad de infımo tenemos

lım infε→0

(ε−2|xε − yε|2) = − lım sup

ε→0(−ε−2|xε − yε|

2) ≤ 0,

por lo tantolım infε→0

(ε−2|xε − yε|2) = 0.

Teorema 2.2. Sea u es una sub-solucion viscosa y v una super-solucion viscosa de(2.26), si u 6 v en ∂Ω entonces u 6 v en Ω.

Demostracion: Por absurdo supongamos que existe x ∈ Ω tal que u(x) > v(x) entonces

u(x)− v(x) > 0,

ası definimosM = sup

x∈Ω(u− v)(x) > 0.

Notemos que M alcanza un maximo, puesto que Ω es acotado, en efecto como −v esSCS entonces u− v es SCS. Ademas Ω = Ω∪ ∂Ω es compacto existe un x0 ∈ Ω tal que

M = (u− v)(x0) > 0,

49

pero como u ≤ v ∈ ∂Ω se deduce que x0 ∈ Ω. Luego, como u ≤ v ∈ ∂Ω, tenemos que

M = maxx∈Ω

(u− v)(x) > 0.

Ahora notemos que si u y v son C1(Ω) en efecto, sea x0 ∈ Ω tal que u − v tiene unmaximo en x0 ∈ Ω, ası M = u(x0)− v(x0) > 0 y

Du(x0) = Dv(x0) , (2.28)

como u es una sub-solucion viscosa de (2.26), consideremos v ∈ C1(Ω) como funciontest entonces u− v tiene un maximo estricto en x0 ∈ Ω ası

H(x0, u(x0), Dv(x0)) ≤ 0.

Ası mismo como v es una super-solucion viscosa de (2.26), consideremos u ∈ C1(Ω)como funcion test entonces v − u tiene un mınimo estricto en x0 ∈ Ω ası

H(x0, v(x0), Du(x0)) ≥ ,0

Por (2.30) tenemos H(x0, v(x0), Dv(x0)) ≥ 0 ası,

0 ≥ H(x0, u(x0), Dv(x0))−H(x0, v(x0), Dv(x0))

aplicando la hipotesis i) tenemos

0 > H(x0, u(x0), Dv(x0))−H(x0, v(x0), Dv(x0)) > γ(u(x0)− v(x0)).

con u(x0) > v(x0) tenemos 0 ≥ γ(u(x0) − v(x0)) por lo tanto u(x0) ≤ v(x0) lo quecontradice lo supuesto. En consecuencia u ≤ v.Considerando las funciones u y v como no regulares entonces wε alcanza un maximo enel punto (xε, yε) ∈ Ω×Ω y definimos φ(x) ∈ C1(Ω) de la forma φ(x) = v(yε)+

1ε2|x−yε|

2,luego (u− φ)(xε) alcanza un maximo en xε y como u es una sub-solucion. Entonces

H(xε, u(xε), Dφ(ε) ≤ 0,

H(xε, u(xε),2

ε2|x− yε|) ≤ 0.

De la misma manera, definimos la funcion ψ(x) ∈ C1(Ω) de la forma ψ(y) = u(xε) +1ε2|xε − y|2, donde yε es un mınimo de (v − ψ)(yε) y dado que v es una super-solucion

se tiene que H(yε, v(yε), Dψ(ε) ≥ 0, es decir

H(yε, v(yε),2

ε2|xε − y|) ≥ 0.

Entonces

H(xε, u(xε),2

ε2|x− yε|)−H(yε, v(yε),

2

ε2|xε − y|) ≤ 0,

por hipotesis i) y ii) tenemos

γ(u(xε)− v(yε))− C(1 +2

ε2|xε − yε|)|xε − yε| ≤ 0,

γMε − C|xε − yε| − C2

ε2|xε − yε|

2 ≤, 0

tomando lım infε→0+ y usando la propiedad de adicion de infimo se sigue

γ lım infε→0+

Mε − C lım infε→0+

|xε − yε| − C lım infε→0+

2

ε2|xε − yε|

2 ≤ 0

50

Por Lema 1.4 tenemosγ lım inf

ε→0+Mε → γM,

lım infε→0+

|xε − yε| → 0,

Ası γM ≤ 0. En efecto es una una contradiccion pues M > 0 ası concluimos lademostracion del teorema.

51

Capıtulo 3

Ecuaciones elıpticas de segundoorden con operadores no locales

Para desarrollar las siguientes definiciones, proposiciones, lemas y teoremas de estecapıtulo nos apoyaremos en el artıculo de Erwin Topp y Miguel Yangari [7].

3.1. Introduccion

En este capıtulo nos interesa las ecuaciones de evaluacion cuya forma general es

F (x, u,Du,D2u, Iu) = 0, ∀x ∈ RN (3.1)

donde u : RN → R es la funcion que queremos hallar; Du,D2u denotan la primera ysegunda derivada es decir, el gradiente y la matriz Hessiana de u respectivamente.La condicion basica que asumiremos sobre el Hamiltoniano es la continuidad, es decir

F ∈ C(RN × R× RN × RN×N × R).

Se considera como operador integro-diferencial en la variable de espacio x ∈ RN nolocal, definida como

Iu(x) =

∫

RN

[u(x+ z)− u(x)− 1B〈Du(x), z〉ν(dz)],

donde 1B es la indicatriz de la bola unitaria, Du ∈ RN y ν una medida no negativacuya propiedad basica es la propiedad de integrabilidad de Levy,

∫

RN

mın1, |z|2ν(dz) < +∞. (PL)

Este tipo de operador es una generalizacion de Laplaciano Fraccionario el cual estadado para y ∈ RN y ε > 0

(−)αu(x) = lımε→0

∫

|x−y|>ε

u(y)− u(x)

|x− y|N+2αdy,

que verifica unas propiedades basicas que seran detalladas en el Anexo A.

Como condiciones basicas del Hamiltoniano, las cuales sera utiles al momento de probarexistencia y unicidad son las siguientes:

52

1. La elipticidad degenerada de F dada, para todo x, p ∈ RN , si X ≥ Y y l1 ≥ l2entonces

F (x, u, p,X, l1) ≤ F (x, u, p, Y, l2). (H1)

2. F es una funcion propia es decir, existe una constante λ0 ≥ 0 y u, v ∈ R con u ≥ vtal que

F (x, u, p,X, l)− F (x, v, p,X, l) ≥ λ0(u− v), (H2)

para todo x, p,X, l en sus respectivos espacios.

3.2. Notacion basica y nocion de solucion

Sea Br(x) la bola abierta centrada en x ∈ RN y radio r > 0, se denota Br cuandox = 0 y B cuando x = 0 y r = 1.

Se considera una notacion para el operador integro-diferencial en un conjunto no vacıoA ⊂ RN y para todo x, p ∈ RN se define

I[A](φ, x, p) =

∫

A

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈p(x), z〉ν(dz)], (3.5)

omitimos el termino p en el caso de que sea la primera derivada de la funcion a evaluar,

I[A](φ, x) = I[A](φ, x,Dφ(x)).

Ademas, si A es un conjunto vacio definimos I[A](φ, x, p) = 0.Ahora definimos el Hamiltoniano F cuando δ > 0 y p no es la derivada de la funcion

Fδ[u, φ, x] = F (x, u(x), Dφ(x), D2φ(x), Iδ(u, φ, x)), (3.6)

donde la ultima dependencia no local se define mediante

Iδ(u, φ, x) = I[Bδ](φ(· ), x) + I[Bcδ ](u(· ), x,Dφ(x)). (3.7)

En el caso de la evaluacion clasica se da cuando δ = 0 y u = φ suave es decir φ ∈ C(RN)

F [φ, x] = F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iφ(x))

Definicion 3.1. Sea la funcion u : RN → R, y δ > 0 se tiene que

1. u es una sub-solucion viscosa de (3.1) si, u es SCS en RN y para toda funciontest φ ∈ C2(RN ) tal que u− φ tiene un maximo local en x0 ∈ RN entonces,

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0.

2. u es una super-solucion viscosa de (3.1) si, u es SCI en RN y para toda funciontest φ ∈ C2(RN ) tal que u− φ tiene un mınimo local en x0 ∈ RN entonces,

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≥ 0.

3. u es solucion viscosa de (3.1) si, u es sub y super-solucion viscosa de (3.1).

Lema 3.1. Sea la funcion u : RN → R una sub-solucion viscosa de (3.1) si y solo si,para todo punto x0 ∈ RN y para φ ∈ C2(RN ) tal que u− φ alcanza un maximo local enx0 y φ(x0) = u(x0) entonces, para δ > 0

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iδ(u, x0)) ≤ 0.

53

Demostracion: En un sentido se concluye directamente por la definicion de sub-solucionviscosa de (3.1). Ahora probemos que u es una sub-solucion viscosa de (3.1).Sea una funcion φ ∈ C2(RN) tal que u − φ alcanza un maximo local en x0 ∈ RN y(u−φ)(x0) ≥ (u−φ)(x)x ∈ Bδ(x0). Se define una constante c = φ(x0)−u(x0) ademas,tomando la funcion

φ1(x0) = (φ− c)(x0) ∈ C2(RN),

tal que verifica0 = (u− φ1)(x0) ≥ (u− φ1)(x), ∀x ∈ Bδ(x0),

se sigue que u− φ1 tiene un maximo en x0 y u(x0) = φ1(x0) luego, se tiene que

Dφ(x0) = Dφ1(x0) = Du(x0)

D2φ(x0) = D2φ1(x0) = D2u(x0),

aplicando estos resultados en la hipotesis, F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iδ(u, x0)) ≤ 0

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, u, x0)) ≤ 0,

siguiendo, analicemos la ultima dependencia no local

Iδ(u, u, x0) = I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ](u(· ), x0, Du(x0))

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ1(x0 + z)− φ1(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z) + c− φ(x0)− c− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tanto,F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0.

Esto prueba que u es una sub-solucion viscosa de (3.1).

Lema 3.2. Sea la funcion u : RN → R una super-solucion viscosa de (3.1) si y solosi, para todo punto x0 ∈ RN y φ ∈ C2(RN ) tal que u − φ alcanza un mınimo local enx0 y φ(x0) = u(x0) entonces, para δ > 0

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u,Dφ, x0)) ≥ 0.

Demostracion: En un sentido se concluye directamente por la definicion de super-solucion viscosa de (3.1). Ahora probemos para el otro sentido, es decir, u es unasuper-solucion viscosa de (3.1). Sea una funcion φ ∈ C2(RN) tal que u− φ alcanza un

54

mınimo local en x0 ∈ RN . Se define una constante c = φ(x0) − u(x0) para x0 ∈ RN

ademas, tomandoφ1(x0) = (φ− c)(x0) ∈ C2(RN),

tal que verifica0 = (u− φ1)(x0) ≥ (u− φ1)(x), ∀x ∈ Bδ,

se sigue que u− φ1 tiene un mınimo en x0 y u(x0) = φ1(x0) luego, se tiene

Dφ(x0) = Dφ1(x0) = Du(x0)

D2φ(x0) = D2φ1(x0) = D2u(x0),

aplicando estos resultados en la hipotesis, F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iδ(u, x0)) ≥ 0

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, u, x0)) ≥ 0,

siguiendo, analizando la dependencia no local

Iδ(u, u, x0) = I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ](u(· ), x0, Du(x0))

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ1(x0 + z)− φ1(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z) + c− φ(x0)− c− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tanto,F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≥ 0.

Esto prueba que u es una super-solucion viscosa de (3.1).

Corolario 3.1. Sea la funcion u : RN → R una solucion viscosa de (3.1) si y solo si,la funcion u cumple con el Lema 3.1 y Lema 3.2.

Proposicion 3.1. Sea una funcion u : RN → R tal que u ∈ C2(RN) es una sub-solucion viscosa de (3.1) si y solo si, verifica la formulacion clasica es decir,

F (x, u(x), Du(x), D2u(x), Iu(x)) ≤ 0, ∀x ∈ RN

Demostracion: Consideremos la funcion u ∈ C2(RN ) y u como sub-solucion viscosa de(3.1) probemos que se verifica la formulacion clasica. Por definicion de sub-solucionviscosa, se toma una funcion test φ ∈ C2(RN) tal que u − φ alcanza un maximo localen x0 ∈ RN y para δ > 0

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0,

55

ademas φ(x0) = u(x0) ∈ C2(RN) por tanto

D(u(x0)− φ(x0)) = 0

Du(x0) = Dφ(x0),

luego, tenemos las matrices simetricas definidas positivas tal que

D(u(x0)− φ(x0)) ≥ 0

Du(x0) ≥ Dφ(x0),

por condiciones de elıpticidad degenerada (H1) se sigue

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)),

por lo tantoF (x0, u(x0), Du(x0), D

2u(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0

analizando la ultima dependencia no local se sigue,

Iδ(u, φ, x0) = I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ](u(· ), x0, Du(x0))

= I[RN ](u, x0)

= Iu(x0),

por lo tanto, se concluye que

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iu(x0)) ≤ 0.

Ahora probemos que la funcion u es una sub-solucion viscosa de (3.1). Sea φ una funciontest, u, φ ∈ C2(RN) tal que u− φ alcanza un maximo local en x0 ∈ RN y sabemos que

Dφ(x0) = Du(x0)

D2φ(x0) ≥ D2u(x0).

Por hipotesis, F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iu(x0)) ≤ 0, de donde

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iu(x0)) ≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iu(x0)) ≤ 0,

56

tomando la ultima dependencia no lineal se tiene

Iu(x0) = I[RN ](u, x0)

= I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Du(x0))

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tantoF (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0.

Esto prueba que u es sub-solucion viscosa de (4.2).

Proposicion 3.2. Sea una funcion u : RN → R tal que u ∈ C2(RN) es una super-solucion viscosa de (3.1) si y solo si, verifica la formulacion clasica es decir,

F (x, u(x), Du(x), D2u(x), Iu(x)) ≥ 0, ∀x ∈ RN .

Demostracion: Se considera la funcion u ∈ C2(RN) y u como super-solucion viscosa de(3.1) probemos que se verifica la formulacion clasica. Por definicion de super-solucionviscosa de (3.1) se toma una funcion test φ ∈ C2(RN) tal que u−φ alcanza un mınimolocal en x0 ∈ RN y para δ > 0

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≥ 0,

ademas φ(x0) = u(x0) ∈ C2(RN) por tanto

D(u(x0)− φ(x0)) = 0

Du(x0) = Dφ(x0),

luego, tenemos las matrices simetricas definidas negativa tal que

D(u(x0)− φ(x0)) ≤ 0

Du(x0) ≤ Dφ(x0),

por condiciones de elıpticidad degenerada (H1) se sigue

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≥

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)),

por lo tantoF (x0, u(x0), Du(x0), D

2u(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≥ 0

57

analizando la ultima dependencia no local se sigue,


=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ](u(· ), x0, Du(x0))

= I[RN ](u, x0)

= Iu(x0),

por lo tanto,F (x0, u(x0), Du(x0), D

2u(x0), Iu(x0)) ≥ 0.

Ahora, probemos que la funcion u es una super-solucion viscosa de (3.1). Sea φ unafuncion test, u, φ ∈ C2(RN) tal que u−φ alcanza un mınimo local en el punto x0 ∈ RN

entonces,Du(x0) = Dφ(x0),

D2u(x0) ≤ D2φ(x0).

Por hipotesis, F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iu(x0)) ≥ 0, de donde

F (x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0), Iu(x0)) ≥ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iu(x0)) ≥ 0,

tomando la ultima dependencia no local se tiene

Iu(x0) = I[RN ](u, x0)

= I[Bδ](u(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Du(x0))

=

∫

Bδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Du(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tanto, se concluye


Esto prueba que u es super-solucion viscosa de (3.1).

58

Lema 3.3. Sea la funcion u : RN → R y φ ∈ C2(RN). Si x0 ∈ RN es el maximo puntode u− φ en Bδ(x0) entonces, para todo 0 < τ < δ tenemos

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ (u, φ, x0)).

Demostracion: Considerando x0 ∈ RN punto maximo de u − φ y tomando la ultimadependencia no local de F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ (u, φ, x0)), se sigue

Iτ (u, φ, x0) = I[Bτ ](φ(· ), x0) + I[Bcτ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

=

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcτ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz),

sabemos que Bcτ = Bδ−τ ∪B

cδ y por propiedad de integrabilidad de Levy (PL) tenemos

Iτ (u, φ, x0) =

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bδ−τ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz),

como x0 ∈ RN es un punto maximo de u−φ entonces, con τ > 0 para todo x ∈ Bτ (x0)

u(x0)− u(x) ≥ φ(x0)− φ(x),

considerando z ∈ Bτ ası x + z ∈ Bτ se sigue, u(x0) − u(x + z) ≥ φ(x0) − φ(x + z),tomando x = x0 tenemos, u(x0 + z) − u(x0) ≤ φ(x0 + z) − φ(x0) reemplazamos en eloperador integro-diferencaial, ası

Iτ (u, φ, x0) ≤

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bδ−τ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0, Dφ(x0)) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tanto,Iδ(u, φ, x0) ≥ Iτ (u, φ, x0),

luego, usando la condicion de elıpticidad (H1) en el Hamiltoniano F se concluye

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ[u, φ, x0]) ≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ [u, φ, x0]).

59

Lema 3.4. Sea la funcion u : RN → R y φ ∈ C2(RN). Si x0 ∈ RN es el mınimo puntode u− φ en RN entonces, para todo 0 < τ < δ

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ[u, φ, x0]) ≥ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ [u, φ, x0]).

Demostracion: Considerando x0 ∈ RN punto mınimo de u − φ y tomando la ultimadependencia no local de F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ (u, φ, x0)), se sigue

Iτ (u, φ, x0) = I[Bτ ](φ(· ), x0) + I[Bcτ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

=

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcτ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz),

sabemos que Bcτ = Bδ−τ ∪B

cδ y por propiedad de integrabilidad de Levy (PL) tenemos

Iτ (u, φ, x0) =

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bδ−τ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz),

como x0 ∈ RN es un punto mınimo de u−φ entonces, con τ > 0 para todo x ∈ Bτ (x0)

u(x0)− u(x) ≤ φ(x0)− φ(x),

considerando z ∈ Bτ ası x + z ∈ Bτ se sigue, u(x0) − u(x + z) ≤ φ(x0) − φ(x + z),tomando x = x0 tenemos, u(x0 + z) − u(x0) ≥ φ(x0 + z) − φ(x0) reemplazamos en eloperador integro-diferencial

Iτ (u, φ, x0) ≥

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bδ−τ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0, Dφ(x0)) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0),

por lo tanto,Iδ(u, φ, x0) ≤ Iτ (u, φ, x0),

luego, usando la condicion de elıpticidad (H1) en el Hamiltoniano F se concluye que

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ[u, φ, x0]) ≥ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iτ [u, φ, x0]).

60

Lema 3.5. Podemos reemplazar maximo local por maximo local estricto en la definicionde sub-solucion viscosa de (3.1).

Demostracion: Por definicion de sub-solucion viscosa se demuestra el sentido de ida.Para probar el otro sentido, tomamos x0 ∈ RN y φ ∈ C2(RN ) tal que u− φ alcanza unmaximo local en x0, por absurdo supondremos que

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) = η > 0.

Definimos la funcion φ1 ∈ C2(RN) como

φ1(x) = φ(x) + ‖x− x0‖4.

Evaluando la anterior expresion en x0 ∈ RN se tiene φ1(x0) = φ(x0) luego, por laregularidad de φ y φ1 tenemos

D(φ1 − φ)(x0) = 0

Dφ1(x0) = Dφ(x0)

D2(φ1 − φ)(x0) ≥ 0

D2φ1(x0) ≥ D2φ(x0),

veamos que u− φ1 alcanza un maximo local estricto en x0 en efecto, ‖x− x0‖4 > 0 si

x 6= x0 y sabemos que (u− φ)(x) ≤ (u− φ)(x0) para todo x ∈ Bδ(x0) entonces

(u− φ)(x)− ‖x− x0‖4 < (u− φ)(x0)− ‖x0 − x0‖

4

(u− φ1)(x) < (u− φ1)(x0), ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

Consideramos 0 < τ < δ cualquiera y por Lema 3.3 se tiene

F (x0, u(x0), Dφ1(x0), D2φ1(x0), Iτ(u, φ1, x0)) ≤ 0,

por lo anterior se sigue que

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iτ (u, φ1, x0)) ≤ 0,

ahora, tomando la ultima dependencia no local y por definicion de φ1 se sigue

Iτ (u, φ1, x0) = I[Bτ ](φ1(· ), x0) + I[Bcτ ](u(· ), x0, Dφ1(x0))

=

∫

Bτ

[φ1(x0 + z)− φ1(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcτ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ1(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bτ

[φ(x0 + z) + ‖z‖4 − φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcτ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bτ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz) +

∫

Bδ

‖z‖4ν(dz)

+

∫

Bcτ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bτ ](φ(· ), x0) + I[Bcτ ](u(· ), x0, Dφ(x0)) +

∫

Bτ

‖z‖4ν(dz)

= Iτ (u, φ, x0) +

∫

Bτ

‖z‖4ν(dz),

61

analizamos el ultimo termino y aplicando la propiedad de Levy (PL) con τ < |z| < 1

∫

Bτ

‖z‖4ν(dz) =

∫

Bτ

‖z‖4τ 2

τ 2ν(dz)

= τ 2∫

Bτ

‖z‖2ν(dz)

≤ τ 2∫

Bτ

‖z‖2ν(dz)

= c τ 2

Iτ (u, φ1, x0) ≤ Iτ (u, φ, x0) + c τ 2,

luego, por Lema 3.3 se sigue

Iτ (u, φ1, x0) ≤ Iδ(u, φ, x0) + c τ 2

aplicando en el Hamiltoniano F y por condicion de elipticidad degenerada (H1) se tiene

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)

≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iτ (u, φ1, x0)) ≤ 0

por lo tanto,

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2) ≤ 0,

finalmente, tomando τ → 0 y por continuidad, para ε =η

2existe δ > 0 tal que

|Iδ − (Iδ + c τ 2)| < δ entonces

| F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)

− F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0))| <

η

2,

en consecuencia, tomando una desigualdad se sigue

−η

2+ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)

< F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0,

por hipotesis se tiene

−η

2+ η < F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0

η

2< F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0,

ası, se contradice el absurdo pues η > 0. Por lo tanto


Lema 3.6. Podemos reemplazar mınimo local por mınimo local estricto en la definicionde super-solucion viscosa de (3.1).

62

Demostracion: Por definicion de super-solucion viscosa se demuestra el sentido de ida.Para probar el otro sentido, tomamos x0 ∈ RN y φ ∈ C2(RN ) tal que u− φ alcanza unmınimo local en x0, por absurdo supondremos que

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) = η < 0.

Definimos la funcion φ1 ∈ C2(RN) como

φ1(x) = φ(x) + ‖x− x0‖4.

Notemos, evaluando la anterior expresion en x0 ∈ RN se tiene φ1(x0) = φ(x0) luego,luego, por la regularidad de φ y φ1 tenemos

D(φ1 − φ)(x0) = 0

Dφ1(x0) = Dφ(x0)

D2(φ1 − φ)(x0) ≤ 0

D2φ1(x0) ≤ D2φ(x0),

veamos que u − φ1 alcanza un mınimo local estricto en x0 en efecto, ‖x− x0‖4 > 0 si

x 6= x0 y por hipotesis de mınimo local se tiene (u − φ)(x) ≥ (u − φ)(x0) para todox ∈ Bδ(x0) entonces

(u− φ)(x)− ‖x− x0‖4 > (u− φ)(x0)− ‖x0 − x0‖

4

(u− φ1)(x) > (u− φ1)(x0), ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

Consideramos 0 < τ < δ cualquiera y por Lema 3.4 se tiene

F (x0, u(x0), Dφ1(x0), D2φ1(x0), Iτ(u, φ1, x0)) ≥ 0,

por lo anterior se sigue que

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iτ (u, φ1, x0)) ≥ 0,

ahora, tomando la ultima dependencia no local y por la demostracion del anterior Lema

Iτ (u, φ1, x0) = Iτ (u, φ, x0) +

∫

Bτ

‖z‖4ν(dz)

analizando el ultimo termino y aplicando la propiedad de Levy (PL) con τ < |z| < 1∫

Bτ

‖z‖4ν(dz) =

∫

Bτ

‖z‖4τ 2

τ 2ν(dz)

= τ 2∫

Bτ

‖z‖2ν(dz)

≤ τ 2∫

B

‖z‖2ν(dz)

= c τ 2

Iτ (u, φ1, x0) ≤ Iτ (u, φ, x0) + c τ 2,

luego, por Lema 3.4 se sigue

Iτ (u, φ, x0) ≥ Iδ(u, φ, x0) + c τ 2

aplicando en el Hamiltoniano y por la condicion de elipticidad degenerada (H1) se tiene

63

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)

≥ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iτ (u, φ1, x0)) ≥ 0

por lo tanto,

F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2) ≥ 0,

finalmente, por continuidad, para ε =η

2existe δ > 0 tal que |Iδ − (Iδ + c τ 2)| < δ

entonces

| − F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0))

+ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)| <

η

2,

en consecuencia, tomando una desigualdad se sigue

0 ≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0) + c τ 2)

<η

2+ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u, φ, x0))

tomando τ → 0 y por hipotesis se tiene

0 ≤ F (x0, u(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) <

η

2+ η =

3η

2

ası, se contradice el absurdo pues η < 0. Por lo tanto


Lema 3.7. Sea la funcion u : RN → R una sub-solucion viscosa de (3.1) detalladoen la Definicion 3.1.1 si y solo si, la funcion φ : RN → R es acotada y suave ademasx0 ∈ RN es un punto maximo global de u−φ en RN que definen la formulacion clasica

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iφ(x0)) ≤ 0.

Demostracion: Sea φ suave y acotada, x0 ∈ RN punto maximo global de u−φ tal que,para todo δ > 0 el punto x0 es maximo de u− φ en Bδ(x) ası, por Definicion 3.1.1


Sin perdida de generalidad por Lema 3.3, x0 es maximo local estricto de u − φ y porProposicion 3.4, u(x0) = φ(x0) ası,

0 = u(x0)− φ(x0) ≥ u(x)− φ(x), ∀x ∈ RN

por tanto,u(x) ≤ φ(x), ∀x ∈ RN (3.8)

ademas, note que Du(x0) = Dφ(x0) y D2u(x0) ≤ D2φ(x0) ası, se tiene

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(u, φ, x0)) ≤ 0,

tomando la utima dependencia no local y analizamos en el complemento de la bola


64

I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0)) =

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

se considera z ∈ RN , x0 + z ∈ RN y u(x0) = φ(x0) se tiene

I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0)) =

∫

Bcδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bcδ ](φ(· ), x0, Dφ(x0)),

ası,

Iδ(u, φ, x0) = I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ](φ(· ), x0, Dφ(x0))

= I[RN ][φ, φ, x0]

= Iφ(x0),

por la condicion de elıpticidad (H1) en F , se concluye con la formulacion clasica

F (x, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iφ(x0)) ≤ 0.

Para el otro sentido, consideremos que φ es suave y para todo δ > 0 el punto x0 ∈ RN

es maximo estricto de u−φ en Bδ(x0) por el Lema 3.3 y sin perdida de generalidad porPropiedad 3.4 se dice que u(x0) = φ(x0). Para obtener un maximo global extendemosla funcion test φ mediante sucesiones para esto suponemos que existe una sucesionφnn∈N acotada en C2(RN) tal que

φn(x) = φ(x), ∀x ∈ Bδ(x0), (3.9)

y φn(x) ≥ u(x) tal que φn(x) → u(x) convergue localmente cuando n → ∞. Entonces

u− φn alcanza un maximo global en x0 ∈ RN , ası escribiremos la hipotesis en φn como,

F (x0, φn(x0), Dφn(x0), D2φn(x0), Iδ[φn, φn, x0) ≤ 0,

por (3.9) se tiene,

Dφn(x0) = Dφ(x0)

D2φn(x0) ≤ D2φ(x0)

aplicando (3.9) y las anteriores desigualdades en la hipotesis de φn, se sigue

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(φn, φn, x0)) ≤ 0

tomando la ultima dependencia no local y por su definicion,

Iδ(φn, φn, x0) = I[Bδ](φn(· ), x0) + I[Bcδ ](φn(· ), x0, Dφn(x0))

como (3.9) se encuentra en Bδ(x0), entonces nos queda por analizar en Bcδ(x0), ası

Iδ(φn, φ, x0) = I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](φn(· ), x0, Dφn(x0)),

se sabe que φn → u convergue localmente ademas, la sucesion φnn∈N es acotada en

C2(RN) es decir, existe una constante c > 0 tal que |φn|≤ c. Note que la funcion c esintegrable en Bc

δ pues, para δ < |z|< 1 se tiene∫

c ν(dz) =

∫

cδ2

δ2ν(dz)

=

∫

C|z|2ν(dz),

65

luego, por la propiedad de Levy (PL) se sigue∫

c ν(dz) < ∞+ es decir, es integrable.Por lo tanto, se puede aplicar el Teorema Convergencia Dominada

lımn→∞

(

I[Bcδ ](φn(· ), x0, Dφn(x0)

)

= lımn→∞

∫

Bcδ

[φn(x0 + z)− φn(x0)− 1B〈Dφn(x0), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ

[u(x0 + z)− u(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0)),

luego,

lımn→∞

(

Iδ(φn, φ, x0))

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](u(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ(u, φ, x0)

Aplicando el anterior resultado en el Hamiltoniano F y usando la hipotesis de queφ(x0) = u(x0), se concluye que F (x0, u(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ[u, φ, x0]) ≤ 0.

Lema 3.8. Sea la funcion u : RN → R una super-solucion viscosa de (3.1) detalladoen la Definicion 3.1.2 si y solo si, la funcion φ : RN → R es acotada y suave ademas,x0 ∈ RN es un punto mınimo global de u−φ en RN que definen la formulacion clasica

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iφ(x0)) ≥ 0.

Demostracion: Se procede a demostrar como en el anterior lema.

3.3. Soluciones viscosas discontinuas

Sea u : RN → R una funcion acotada. Se define la envoltura semi-continua superiorcomo la mas pequena funcion SCS mayor a u, se denota como u∗ y esta dada por

u∗(x0) := ınfv(x0) | v es SCS y v > u.

Por la Proposicion 1.35 se tiene que u∗ es SCS. Ademas

u∗(x0) = lım supx→x0

u(x). (3.10)

Ası mismo, nombraremos envoltura semi-continua inferior como la mas grande funcionSCI menor a u, a esta funcion se denota como u∗ y esta dada por

u∗(x0) = supv(x0) | v es SCS y v 6 u.

Por la Proposicion 1.35 garantiza que u∗ es SCI. Ademas

u∗(x0) = lım infx→x0

u(x). (3.11)

Las definiciones antes expuestas, cumplen con las propiedades definidas en el Lema 1.2.

Definicion 3.2. Sea u : RN → R una funcion acotada, se dice que en (3.1):

1. u es sub-solucion viscosa discontinua si u∗ es sub-solucion viscosa.

2. u es super-solucion viscosa discontinua si u∗ es super-solucion viscosa.

3. u es solucion viscosa discontinua si u es sub y super-solucion viscosa discontinua.

66

3.4. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-solucionesviscosas

Sea S0 una familia no vacıo de sub-soluciones viscosas discontinuas de (3.1) que estanuniformemente acotadas en R. Se define la funcion mediante

u(x) = supv∈S0

v(x), x ∈ R. (3.12)

Note que S0 es uniformemente acotado, entonces se sigue que u es acotado.

Lema 3.9. Sea la funcion u definida en (3.12) una sub-solucion viscosa discontinuade (3.1).

Demostracion: Sea la funcion test φ ∈ C2(RN ) tal que u∗ − φ tiene un maximo localestricto en x0 ∈ RN y sea δ > 0. Probemos que

F (x0, u∗(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ(u∗, φ, x0)) ≤ 0.

Puesto que u esta definido como un supremo y por Lema 2.5 existe una sucesion(yk)k∈N ⊂ Bδ(x0) tal que yk → x0 cuando k → ∞ ademas, (u∗k)k∈N ⊂ S0, se define

(u∗k − φ)(yk) = max(u∗k − φ)(yk),

por lo tanto, (u∗k − φ)(yk) → (u∗ − φ)(x0). Probemos que

u∗k(yk) → u∗(x0). (3.13)

En efecto,

|u∗k(yk)− u∗(yk)| = |u∗k(yk)− φ(yk) + φ(yk)− φ(x0) + φ(x0)− u∗(yk)|

≤ |u∗k(yk)− φ(yk) + φ(x0)− u∗(yk)|+|φ(yk)− φ(x0)|

luego, aplicando lımite en la desigualdad anterior cuando k → ∞ se prueba (3.13).Para cada k ∈ N, usando la desigualdad viscosa de la sub-solucion u∗k en el punto ykse define

F (yk, u∗k(yk), Dφ(yk), D

2φ(yk), Iδ(u∗k, φ, yk)) ≤ 0,

tomando la ultima dependencia no local y por su definicion

Iδ(u∗k, φ, yk) = I[Bδ](φ(· ), yk) + I[Bc

δ ](u∗k(· ), yk, Dφ(yk)).

Analicemos por partes, por (4.6) se dice,

I[Bδ](φ(· ), yk) =

∫

Bδ

[φ(yk + z)− φ(yk)− 1B〈Dφ(yk), z〉]ν(dz)

como φ(yk) → φ(x0) cuando k → ∞ es decir, convergue puntualmente. Para aplicarel Teorema de Convergencia Dominada probaremos que φ(yk) esta acotada por unafuncion integrable. Suponiendo que δ < 1 tal que z ∈ Bδ y por la condicion de integra-bilidad de Levy (PL) se ve que esta acotada por funciones cuadraticas pues, usando laexpansion de Taylor se tiene

φ(yk + z) = φ(yk) +1B

1!〈Dφ(yk), z〉 +

c

2!‖D2φ(t)‖|z|2

para t ∈ N fijo y c > 0, luego definimos una funcion constante g mediante

φ(yk + z)− φ(yk)−1B

1!〈Dφ(yk), z〉 = C|z|2= g

67

tomando la siguiente desigualdad,

|φ(yk + z)− φ(yk)−1B

1!〈Dφ(yk), z〉| ≤ g,

notemos que g es integrable para δ < |z| < 1 y por (PL) se tiene∫

Bδ

g ν(dz) =

∫

Bδ

gδ2

δ2ν(dz)

=

∫

Bδ

C|z|2ν(dz)

< +∞,

es decir, g es integrable. Luego, aplicando el Teorema de Convergencia Dominada enBδ,

lımk→∞

I[Bδ](φ(· ), yk) = lımk→∞

∫

Bδ

[φ(yk + z)− φ(yk)− 1B〈Dφ(yk), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0).

Ahora tomando I[Bcδ ](u

∗k(· ), yk, Dφ(yk)) y por definicion se sigue,

I[Bcδ](u

∗k(· ), yk, Dφ(yk)) =

∫

Bcδ

[u∗k(yk + z)− u∗k(yk)− 1B〈Dφ(yk), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ

[u∗k(yk + z)− u∗k(yk) + u∗(x0)

− u∗(x0)− 1B〈Dφ(yk), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ

[u∗(x0)− u∗k(yk)]ν(dz) +

∫

Bcδ

[u∗k(yk + z)− u∗k(yk)]ν(dz)

−

∫

Bcδ

[1B〈Dφ(yk), z〉]ν(dz)

= (u∗(x0)− u∗k(yk))

∫

Bcδ

ν(dz) +

∫

Bcδ

[u∗k(yk + z)− u∗k(yk)]ν(dz)

−

∫

Bcδ

1B〈Dφ(yk), z〉ν(dz).

De la definicion de u se sigue que u ≥ uk para todo k ∈ N y considerando las propiedadesde semi-continuidad superior se tiene u∗ ≥ u∗k para todo k ∈ N y por (3.13) se sigue,

I[Bcδ ](u

∗k(· ), yk, Dφ(yk)) ≥ 0k(1)

∫

Bcδ

ν(dz) +

∫

Bcδ

[u∗(yk + z)− u∗(yk)]ν(dz)

−

∫

Bcδ

1B〈Dφ(yk), z〉ν(dz),

veamos que es integrable, lo estudiaremos una vez mas por partes: Notemos que0k(1) → 0 cuando k → ∞,

∫

Bcδ

ν(dz) =

∫

B−Bcδ

ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz),

68

podemos escribir∫

Bcδ

ν(dz) =

∫

B−Bcδ

δ2

δ2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz),

tomando δ < |z| < 1 y por la condicion de integrabilidad de Levy (PL), se tiene

∫

Bcδ

ν(dz) =

∫

B−Bcδ

|z|2

δ2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

< +∞,

por lo tanto

0k(1)

∫

Bcδ

ν(dz) → 0.

Ahora se toma la integral con la indicatriz que contiene a z ∈ Bcδ por lo que es cero

fuera de la bola, por esto se reescribe de la siguiente forma∫

Bcδ

1B〈Dφ(yk), z〉ν(dz) =

∫

B−Bcδ

〈Dφ(yk), z〉ν(dz) +

∫

Bc

0 ν(dz)

=

∫

B−Bcδ

〈Dφ(yk), z〉ν(dz).

Ademas, sabemos que φ es continua y yk → x0 cuando k → ∞ por lo tanto

Dφ(yk) → Dφ(x0),

〈Dφ(yk), z〉 → 〈Dφ(x0), z〉,

ası, tenemos que Dφ es continua, converguente y para el acotamiento nos basaremosen la proposicion de Cauchy Schwarz, recordando que δ < |z| < 1 es decir

|〈Dφ(yk), z〉| ≤ |Dφ(yk)||z|

= c|z|δ

δ

=c

δ|z|2

= C|z|2,

aplicando el Teorema de Convergencia Dominada se tiene∫

Bcδ

1B〈Dφ(yk), z〉ν(dz) →

∫

Bcδ

1B〈Dφ(x0), z〉ν(dz).

Finalmente, tomamos la ultima integral y por (3.13) se sabe que la funcion u es acotadoentonces u∗ es acotado, es decir

u∗(yk + z)− u∗(yk) ≥ −2‖u∗‖= g∫

Bcδ

[u∗(yk + z)− u∗(yk)]ν(dz) ≥

∫

Bcδ

gν(dz)

analizando se tiene

∫

Bcδ

gν(dz) = g

∫

Bcδ

ν(dz) = g

(

∫

B−Bcδ

ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

,

69

sabemos que δ < |z| < 1 y por la condicion de integrabilidad de Levy (PL) se sigue

g

∫

Bcδ

ν(dz) = g

(

∫

B−Bcδ

|z|2

δ2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

= g

(

C

∫

B−Bcδ

|z|2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

< +∞,

es decir es integrable. Aplicando el Lema de Fatou en su version dominada,

I[Bδ](u∗(· ), x0, φ(· ), x0) ≥ lım sup

k→∞(I[Bδ](u

∗k(· ), yk, φ(· ), yk))

Uniendo las dos partes y como existe las convergencias se tiene

I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bδ](u∗(· ), x0, φ(· ), x0)

≥ lım supk→∞

(I[Bδ](φ(· ), yk)) + lım supk→∞

(I[Bδ](u∗k(· ), yk, φ(· ), yk))

Iδ(u∗, φ, x0) = lım sup

k→∞(I[Bδ](φ(· ), yk) + I[Bδ](u

∗k(· ), yk, φ(· ), yk))

= lım supk→∞

(Iδ(u∗k, φ, yk))

aplicando en el Hamiltoniano y por la condicion de elipticidad degenerada (H1), se sigue

F (x0, u∗(x0), Dφ(x0), D

2φ(x0), Iδ[u∗, φ, x0])

≤ F (yk, u∗k(yk), Dφ(yk), D

2φ(yk), lım supk→∞

(Iδ(u∗k, φ, yk)))

= lım supk→∞

(F (yk, u∗k(yk), Dφ(yk), D

2φ(yk), Iδ(u∗k, φ, yk)))

≤ 0.

Por lo tanto, se ha probado la desigualdad. En consecuencia u∗ es sub-solucion viscosadiscontinua de (3.1).

Lema 3.10. Sea x0 ∈ RN , la funcion φ ∈ C2(RN) acotada y θ > 0 tal que

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iφ(x0)) < −θ. (3.14)

Entonces existe r0 > 0 tal que para todo r ∈ (0, r0), para todo |x− x0|< r y para todoδ′ > 0 ademas, existe ǫ0 > 0 pequeno en terminos de δ′ tal que para ǫ ∈ (0, ǫ0) la

funcion φ = φx,δ′,ǫ definida como

φ(x) =

φ(x) + ǫ, si x ∈ Bδ′(x)

φ(x), si x ∈ Bcδ′(x),

(3.15)

satisface la desigualdad, F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iφ(x)) < 0.

Demostracion: Sea φ ∈ C2(RN) y acotada ası, se tiene que Dφ,D2φ son continua.Probemos que el operador Iφ es continua, en efecto, consideremos (xn)n∈N una sucesionarbitaria que converge a x0 entonces φ(xn) converge a φ(x0) cuando n→ ∞. Definimosel operador integro-diferencial para esta sucesion

Iφ(xn) = I[RN ](φ, xn)

= I[Bδ](φ(· ), xn) + I[Bcδ](φ(· ), xn, Dφ(xn)).

70

Primero probemos que φ(xn) es acotada por una funcion integrable. Supongamos quez ∈ Bδ para δ < 1 y por la condicion de integrabilidad de Levy (PL) esta cotada porfunciones cuadraticas usando la expansion de Taylor dada por

φ(xn + z) = φ(xn) +1B

1!〈Dφ(xn), z〉+

c

2!‖D2φ(t)‖|z|2

para t ∈ N fijo y C > 0 luego, definimos una funcion constante g mediante

φ(xn + z)− φ(xn)−1B

1!〈Dφ(xn), z〉 = C|z|2= g

tomando la siguiente desigualdad,

|φ(xn + z)− φ(xn)−1B

1!〈Dφ(xn), z〉| ≤ g,

ası, notemos que la funcion g es integrable en Bδ pues, para δ < |z| < 1 se tiene

∫

g ν(dz) =

∫

gδ2

δ2ν(dz)

=

∫

C|z|2ν(dz)

< +∞,

por la condicion de integrabilidad de Levy (PL) tenemos que g es integrable. Aplicandoel Teorema de Convergencia Dominada en el operador con Bδ se sigue

lımn→∞

I[Bδ](φ(· ), xn) = lımn→∞

∫

Bδ

[φ(xn + z)− φ(xn)− 1B〈Dφ(xn), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0)

Ahora, analizamos el otro termino del operador teniendo en cuenta que z ∈ Bcδ ası

I[Bcδ ](φ(· ), xn, Dφ(xn)) =

∫

Bδc

[φ(xn + z)− φ(xn)− 1B〈Dφ(xn), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδc

[φ(xn + z)− φ(xn)]ν(dz)−

∫

Bδc

[1B〈Dφ(xn), z〉]ν(dz)

Analicemos por partes, por hipotesis sabemos que φ es acotado entonces,

φ(xn + z)− φ(xn) ≥ −2‖φ‖= g,

siendo g una constante y aplicando la integral con medida ν, se tiene∫

Bcδ

[φ(xn + z)− φ(xn)]ν(dz) = g

∫

Bcδ

ν(dz)

= g

(

∫

B−Bcδ

ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

,

71

con δ < |z| < 1 y por la condicion de integrabilidad de Levy (PL) se sigue

g

∫

Bcδ

ν(dz) = g

(

∫

B−Bcδ

|z|2

δ2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

= g

(

C

∫

B−Bcδ

|z|2ν(dz) +

∫

Bc

ν(dz)

)

< ∞+,

aı, g es integrable. Ahora se toma la integral con la indicatriz que contiene a z ∈ Bcδ

por lo que es cero fuera de la bola, por esto se reescribe de la siguiente forma∫

Bcδ

1B〈Dφ(xn), z〉ν(dz) =

∫

B−Bcδ

〈Dφ(xn), z〉ν(dz) +

∫

Bc

0 ν(dz)

=

∫

B−Bcδ

〈Dφ(xn), z〉ν(dz).

Sabemos por hipotesis que:Dφ(xn) → Dφ(x0),

〈Dφ(xn), z〉 → 〈Dφ(x0), z〉,

ası, tenemos queDφ que es continua, converguente y para el acotamiento nos basaremosen la proposicion de Cauchy Schwarz, recordando que δ < |z| < 1 es decir

|〈Dφ(xn), z〉| ≤ |Dφ(xn)||z|

= c|z|δ

δ

=c

δ|z|2

= C|z|2,

aplicando el Teorema de Convergencia Dominada∫

Bcδ

1B〈Dφ(yk), z〉ν(dz) →

∫

Bcδ

1B〈Dφ(x0), z〉ν(dz).

Por lo tanto

lımn→∞

I[Bcδ ](φ(· ), xn, Dφ(xn)) = lım

n→∞

∫

Bδc

[φ(xn + z)− φ(xn)]ν(dz)

− lımn→∞

∫

Bδc

[1B〈Dφ(xn), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδc

[φ(x0 + z)− φ(x0)]ν(dz)

−

∫

Bδc

[1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bcδ ](φ(· ), x0, Dφ(xn))

Ası, uniendo las partes tenemos

lımn→∞

Iφ(xn) = lımn→∞

I[Bδ](φ(· ), xn) + lımn→∞

I[Bcδ ](φ(· ), xn, Dφ(x0))

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ](φ(· ), xn, Dφ(x0))

= I[RN ](φ, x0)

= Iφ(x0).

72

Por lo tanto el operador es continuo es decir, la funcion x→ Iφ(x) es continua ademas,como F es continua entonces F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iδ′(φ, x)) es continuo en x.De (3.14), existe r0 > 0 pequeno en terminos de θ tal que, para todo r ∈ (0, r0) se tiene

F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iδ′(φ, x)) < −θ

2, ∀x ∈ Br(x0), (3.16)

con δ′ > 0, para x ∈ Br(x0) y ε fijo, se sigue que φ = φx,δ′,ε como en (3.15) ası

Dφ(x) = Dφ(x)

D2φ(x) = D2φ(x),

ası,

F (x, φ(x) + ε,Dφ(x), D2φ(x), Iδ′(φ, x)) < −θ

2,

con respecto al operador integro-diferencial y por su definicion tenemos

Iδ′(φ, x) = I[Bδ′ ](φ(· ), x) + I[Bcδ′ ](φ(· ), x),

pero analizamos al operador integro diferencial con la funcion φ por parte, se tiene

I[Bδ′ ](φ(· ), x) =

∫

Bδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ′

[φ(x+ z) + ε− φ(x)− ε− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

= I[Bδ′ ](φ(· ), x).

I[Bcδ′ ](φ(· ), x) =

∫

Bcδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ′

[φ(x+ z) + ε− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz) +

∫

Bcδ′

ε ν(dz)

= I[Bδ′ ](φ(· ), x) + C(δ′)ε.

Uniendo las dos partes se tiene

Iδ′(φ, x) = I[Bδ′ ](φ(· ), x) + I[Bδ′ ](φ(· ), x) + C(δ′)ε

= Iδ′(φ, x) + C(δ′)ε

Iδ′(φ, x) = Iδ′(φ, x)− C(δ′)ǫ

tomando ε muy pequeno y puesto que el Hamiltoniano F es continua

F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iδ′(φ, x)) < −θ

2.

y considerando θ muy pequeno se demuestra el lema.

73

3.5. Metodo de Perron Generalizado

Ahora estudiaremos el metodo de Perron generalizado para la ecuacion elıptica nolineal con operadores no locales conociendo una sub y super-solucion viscosa de (3.1).

Teorema 3.1. Sea ψ− ∈ SCS(RN) y ψ+ ∈ SCI(RN) sub-solucion y super-solucionviscosa de (3.1) respectivamente. Si ψ− y ψ+ son acotadas en RN y verifican

ψ− ≤ ψ+,

entonces, existe una solucion viscosa discontinua u : RN → R para (3.1) tal que

ψ− ≤ u ≤ ψ+.

Demostracion: Sea la funcion z : RN → R, consideremos la siguiente condicion

ψ−(x) ≤ z(x) ≤ ψ+(x), (3.17)

para todo x ∈ RN ademas, definimos el conjunto

Λ =

z : RN → R | z∗ es sub-solucion de (3.1) y verifica (3.17)

. (3.18)

Notemos que Λ 6= 0 pues ψ− es una sub-solucion viscosa discontinua de (3.1) perocomo ψ− es SCS entonces ψ− = (ψ−)

∗ es decir, ψ− es sub-solucion viscosa de (3.1) asıψ− ∈ Λ. Ahora consideremos la siguiente definicion, para todo x ∈ RN

u(x) = supz∈Λ

z(x).

Probemos que u es una solucion viscosa discontinua de (3.1). En efecto, por Lema 3.9u es una sub-solucion viscosa discontinua y tomando (3.17) se sigue

ψ−(x) ≤ supz∈Λ

z(x) ≤ ψ+(x)

ψ−(x) ≤ u(x) ≤ ψ+(x),

ası, u ∈ Λ. Ahora, probemos que la funcion u es una super-solucion viscosa discontinuade (3.1). Por absurdo y usando el Lema 3.7 asumimos la existencia de x0 ∈ RN , lafuncion test φ ∈ C2(RN) acotada tal que x0 es un punto mınimo global estricto deu∗ − φ en RN y u∗(x0) = φ(x0) ademas, para algun θ > 0

F (x0, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iφ(x0)) < −θ. (3.19)

Debemos hallar un ε, r > 0 tal que la siguiente funcion w definida como

w(x) =

maxu(x), φ(x) + ε, si x ∈ Br(x0)

u(x), si x ∈ Bcr(x0).

(3.20)

sea una sub-solucion viscosa de (3.1), w ∈ Λ y tal que w > u en algun punto de RN .Esto conduce a la contradiccion habitual de la maximalidad de u.Usando (3.19), se considera r0 > 0 como en el Lema 3.9 y se toma que r, δ′ ∈ (0, r0 \ 2)luego, para todo ε > 0 suficientemente pequeno, se escribe la siguiente formulacion

F (x, φ(x), Dφ(x), Iφ(x)) ≤ 0, ∀x ∈ Br(x0) (3.21)

donde φ = φx,δ,ǫ es definida como en (3.15). Por otro lado, ψ+ es una super-solucionviscosa de (3.1) entonces ψ+ − φ alcanza un mınimo local en x0 ∈ RN . Probemos que

74

u∗(x0) < (ψ+)∗(x0) en sabemos que ψ−(x) ≤ u(x) ≤ ψ+(x) entonces u∗(x) ≤ (ψ+)∗(x)para todo x ∈ RN , analicemos el caso u∗(x0) = (ψ+)∗(x0) en efecto, (ψ+)∗−φ tiene unmınimo local en x0 ∈ RN y (ψ+)∗(x0) = φ(x0) = ademas, como ψ+ es super-solucionde (3.1) ası,

F (x, (ψ+)∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ((ψ+)∗, φ, x0)) ≥ 0,

por hipotesis se sigue

F (x, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ((ψ+)∗, φ, x0)) ≥ 0,

analizando el operado tenemos

Iδ((ψ+)∗, φ, x0) = I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ]((ψ+)∗(· ), x0, Dφ(x0))

= I[Bδ](φ(· ), x0)

+

∫

Bcδ

[(ψ+)∗(x0 + z)− (ψ+)∗(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

≥ I[Bδ](φ(· ), x0)

+

∫

Bcδ

[φ(x0 + z)− φ(x0)− 1B〈Dφ(x0), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](φ(· ), x0) + I[Bcδ ]φ(· ), x0, Dφ(x0))

= Iδ((ψ+)∗, φ, x0)

luego, por condicion de elipticidad degenerada (H1)

F (x, φ(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ(φ, φ, x0)) ≥

F (x, (ψ+)∗(x0), Dφ(x0), D2φ(x0), Iδ((ψ+)∗, φ, x0)) ≥ 0,

lo que contradice con (3.19) ası, u∗(x0) < (ψ+)∗(x0).Ahora tomando r, ε mas pequenos, probemos que φ(x) + ǫ < (ψ+)∗(x), en efecto

u∗(x0) < (ψ+)∗(x0)

u∗(x0)− (φ)(x0) < (ψ+)∗(x0)− (φ)(x0)

sabemos que u∗(x0) = (φ)(x0) y que x0 es un mınimo local de (ψ+)∗ − φ aplicando elpor Lema 3.5 x0 es un mınimo local estricto entonces

0 < (ψ+)∗(x0)− (φ)(x0) < (ψ+)∗(x)− (φ)(x), ∀x ∈ Br(x0)

lo que implica que existe un ε > 0 y se prueba que

φ(x) + ǫ < (ψ+)∗(x).

Y usando que x0 es un mınimo estricto por u∗ − φ se tiene que

u∗(x0)− φ(x0) < u∗(x)− φ(x), ∀x ∈ Br0(x0)Br(x0),

por hipotesis, u∗(x0) = φ(x0) por lo tanto existe un ε > 0 y se prueba que

φ(x) + ǫ ≤ u∗(x) (3.22)

75

De ψ− ≤ u ≤ w en RN probemos que ψ− ≤ w ≤ ψ+, analicemos en dos partes:Para x ∈ Br(x0), en efecto

w = maxu(x), φ(x) + ε

< maxψ+(x), ψ+(x)

≤ ψ+(x)

y w = maxu(x), φ(x) + ε

≥ u

≥ ψ−(x)

ası, ψ− ≤ w ≤ ψ+, ahora para x ∈ Bcr(x0)

w = u(x)

≤ ψ+(x)

y w = u(x)

≥ ψ−(x)

por lo tanto ψ− ≤ w ≤ ψ+ por lo que se demuestra lo deseado.Queda por demostrar que w∗ es una sub-solucion viscosa de (3.1). Consideremos quex ∈ RN , una funcion ϕ ∈ C2(RN ) y δ ≥ 0 tal que w∗(x) = ϕ(x) y w∗(x) < ϕ(x) paratodo x ∈ Bδ(x)x. Dividimos el analisis en 2 casos:

1. Si w∗(x) = u∗(x) cuando x es punto maximo local estricto de u∗(φ)− ϕ en Bδ(x)y como u∗ es una sub-solucion viscosa discontinua de (3.1) se escribe

F (x, u∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(u∗, ϕ, x)) ≤ 0,

como w∗(x) = u∗(x) se sigue

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(u∗, ϕ, x)) ≤ 0,

tomando la ultima dependencia no local del Hamiltoniano F se tiene

Iδ(u∗, ϕ, x) = I[Bδ](ϕ(· ), x) + I[Bc

δ](u∗(· ), x, Dϕ(x))

= I[Bδ](ϕ(· ), x) +

∫

Bcδ

[u∗(x+ z)− u∗(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

≤ I[Bδ](ϕ(· ), x) +

∫

Bcδ

[w∗(x+ z)− w∗(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

= I[Bδ](ϕ(· ), x) + I[Bcδ](w

∗(· ), x, Dϕ(x))

= Iδ(w∗, ϕ, x),

por la condicion de elıpticidad degenerada (H1) se sigue,

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(w∗, ϕ, x) ≤ F (x, u∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(u

∗, ϕ, x))

por lo tanto se concluye que w∗ es sub-solucion viscosa de (3.1)

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(w∗, ϕ, x)) ≤ 0.

2. Si w∗(x) > u∗(x) por (3.20) tenemos

w∗(x) =

maxu∗(x), φ(x) + ε, si x ∈ Br(x0)

u∗(x), si x ∈ Bcr(x0).

76

po lo que elegimos x ∈ Br(x0) ademas, si w∗(x) > u∗(x) entonces w∗(x) = φ(x)+ǫ.Como el punto x esta en un abierto podemos encontrar una bola mas pequena, para0 < δ′′ < mınδ′, δ tal que Bδ′′(x) ⊂ Br(x0) y por hipotesis tenemos w∗(x) < ϕ(x)para todo x ∈ Bδ′′(x) entonces

ϕ(x) ≥ φ(x) + ǫ,

con x ∈ Br(x0) se tiene ϕ(x) = φ(x) + ǫ es decir, alcanza un mınimo local en xademas, ϕ, φ ∈ C2(RN) ası,

D(ϕ(x)− φ(x) + ǫ) = 0

Dϕ(x) = D(φ(x) + ǫ)

= Dφ(x),

D2(ϕ(x)− φ(x) + ǫ) ≥ 0

D2ϕ(x) ≥ D2(φ(x) + ǫ)

= D2φ(x).

Probemos ahora que F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ′′(w∗, ϕ, x)) ≤ 0, tomando la

ultimo dependecia no local del Hamiltoniano F y por su definicion se sigue

Iδ′′(w∗, ϕ, x) = I[Bδ′′ ](ϕ(· ), x) + I[Bc

δ′′ ](w∗(· ), x, Dϕ(x))

tomando en cuenta la definicion de φ en (3.15) y sus respectivas desigualdadesademas, aplicando las anteriores desigualdades tenemos, para Bδ′′

I[Bδ′′ ](ϕ(· ), x) =

∫

Bδ′′

[ϕ(x+ z)− ϕ(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

≥

∫

Bδ′′

[φ(x+ z) + ǫ− φ(x)− ǫ− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ′′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

= I[Bδ′′ ](φ(· ), x),

ahora, analicemos en Bcδ′′ pero sabemos que Bc

δ′′ = Bδ′−δ′′ ∪ Bcδ′ se tiene

I[Bcδ′′ ](w

∗(· ), x, Dϕ(x)) =

∫

Bcδ′′

[w∗(x+ z)− w∗(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ′−δ′′

[w∗(x+ z)− w∗(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ′

[w∗(x+ z)− w∗(x)− 1B〈Dϕ(x), z〉]ν(dz)

luego, notemos que por (3.22) implica que w∗ ≥ φ+ ǫ en Bδ′(x) ası,

I[Bcδ′′ ](w

∗(· ), x, Dϕ(x)) ≥

∫

Bδ′−δ′′

[φ(x+ z) + ǫ− φ(x)− ǫ− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

+ I[Bcδ′ ](w

∗(· ), x, Dφ(x))

=

∫

Bδ′−δ′′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x), z〉]ν(dz)

+ I[Bcδ′ ](w

∗(· ), x, Dφ(x))

= I[Bδ′−δ′′ ](φ(· ), x) + I[Bcδ′ ](w

∗(· ), x, Dφ(x)),

77

ası, uniendo las dos partes en la ultima dependencia no local y agrupando se tiene

I[Bδ′′ ](ϕ(· ), x) + I[Bcδ′′ ](w

∗(· ), x, Dϕ(x)) ≥ I[Bδ′′ ](φ(· ), x)

+ I[Bδ′−δ′′ ](φ(· ), x)

+ I[Bcδ′ ](w

∗(· ), x, Dφ(x))

Iδ′′(w∗, ϕ, x) ≥ I[Bδ′ ](φ, x) + I[Bc

δ′ ](w∗, x, Dφ(x).

Por ulitmo, sabemos que w∗ ≥ φ ası analizando en la anterior desigualdad se sigue

I[Bcδ′ ](w

∗, x, Dφ(x)) =

∫

Bcδ′

[w∗(x+ z)− w∗(x)− 1B〈Dφ(x, z〉]ν(dz)

≥

∫

Bcδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x, z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ′

[φ(x+ z)− φ(x)− 1B〈Dφ(x, z〉]ν(dz)

= I[Bcδ′ ](φ, x, Dφ(x)).

En efecto, se concluye que

Iδ′′(w∗, ϕ, x) ≥ I[Bδ′ ](φ, x) + I[Bc

δ′ ](φ, x, Dφ(x)

≥ I[RN ][φ, x]

= Iφ[x],

aplicando este resultado en el Hamiltoniano F , por (H1) y (3.21) sigue

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ′′(w∗, ϕ, x)) ≤ F (x, φ(x), Dφ(x), D2φ(x), Iφ(x)).

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ′′(w∗, ϕ, x)) ≤ 0.

ası, tenemos la desigualdad de viscosidad deseada para w∗ asociada a δ′′ pero porLema 3.3 siendo 0 < δ′′ < mınδ′, δ se concluye que w∗ es sub-solucion viscosa

F (x, w∗(x), Dϕ(x), D2ϕ(x), Iδ(w∗, ϕ, x)) ≤ 0.

Por lo tanto de los casos se concluye que w∗ es sub-solucion viscosa de (3.1) ası w ∈ Λ.Finalmente probemos que w 6= u. Notemos que

φ(x0) + ε > φ(x0) = u∗(x0),

de la definicion de u∗ existe una sucesion (xn)n∈N ⊂ Bδ(x0) tal que xn → x0 y

u(xn) → u∗(x0)

en efecto, para todo η > 0, ∃r1 > 0 tal que |xn−x0| < r1 entonces |u(xn)−u∗(x0)| < η

u(xn) < η + u∗(x0)

luego φ(xn) → φ(x0) en efecto, para todo η > 0, ∃r2 > 0 tal que |xn−x0| < r2 entonces|φ(xn)− φ(x0)| < η ası −η + φ(x0) + ε < φ(xn) + ε.Finalmente, tomando r0 = mınr1, r2 existe m ∈ N tal que xn ∈ Br0(x0) ademas, dela definicion de w en (3.20) y remplazando las anteriores desigualdades se tiene

w(xn) ≥ φ(xn) + ε

> −η + φ(x0) + ε

> −η + u∗(x0)

> u(xn),

78

en efecto, w(x0) > u(x0). En consecuencia w ∈ Λ, w > u y w 6= u contradice ladefinicion u. Por lo tanto, u es super-solucion y sub-solucion viscosa discontinua de(3.1) por lo que concluimos que u es la unica solucion viscosa discontinua de (3.1).

3.6. Principio de Comparacion

Este Principio de Comparacion es una generalizacion del Principio de comparacion deprimer orden, en el cual se permite que el Hamiltoniano tenga variables que involu-cren derivadas de segundo orden y operadores integro-diferenciales como el operadorde Levy. Para la demostracion necesitamos introducir mas suposiciones y previamentedefinir algunos Lemas.

(F1) Para todo R > 0, existen modulos de continuidad w y wR tal que para todo|x|, |y| ≤ R, |v| ≤ R, l ∈ R y X, Y que satisface

[

X 00 −Y

]

≤ ε−1

[

IN −IN−IN IN

]

+ r(β)

[

IN 00 IN

]

(3.23)

para algun ε > 0, r(β) → 0 cuando β → 0, entonces si s(β) → 0 cuando β → 0 tenemos

F (y, v, ε−1(x− y) + s(β), Y, l)− F (x, v, ε−1(x− y), X, l)

≤ w(β) + wR(|x− y|+ ε−1|x− y|2).

La condicion (3.23) es conocida como propiedad matricial de Ishii-Jensen, la cual esobtenida directamente al aplicar un desdoblamiento de variables gracias al Corolario 1en [8].

(F2) Sea F (x, u, p,X, l) Lipschitz continua en la variable no local l y uniforme conrespecto a las otras variables (x, u, p,X).

(F3) Para cada R > 0 existe una constante LF (R) > 0 tal que

|F (x, u, p,X, l)| ≤ LF (R)

para todo x ∈ RN y todo |u|, |p|, |X|, |l| ≤ R.

Lema 3.11. Sea el operador integro diferencial I definido como

Iu(x) =

∫

RN

[u(x+ z)− u(x)− 1B〈Du(x), z〉ν(dz)].

Sea ψ ∈ C2(RN) tal que ‖ψ‖C2(RN )≤ Λ para algun Λ > 0. Para β > 0 se define

ψβ(x) = ψ(βx), x ∈ RN . (3.24)

Entonces, la funcion ψβ satisface

‖Dψβ‖L∞(RN )≤ Λβ, ‖D2ψβ‖L∞(RN )≤ Λβ2, ‖I(ψβ, ·)‖L∞(RN )≤ Λoβ(1),

donde oβ(1) → 0 cuando β → 0.

Demostracion: Vease la demostracion en [7].

79

Teorema 3.2. (Principio de Comparacion) Consideremos el problema

F (x, u,Du,D2u, Iu) = 0, x ∈ RN (3.25)

donde asumimos que las condiciones como (PL), (H1), (H2), (F2) y (F1) se mantienen.Sean las funcion u, v : RN → R acotadas, SCS y SCI, sub y super-solucion viscosa de(3.25) respectivamente. Entonces u ≤ v en RN .

Demostracion: Por absurdo supongamos que

supx∈RN

u(x)− v(x) =M > 0 (3.26)

consideremos una funcion ψ ∈ C2b (R

N ) con ψ = 0 en la bola unitaria B1 y

ψ ≥ supRN

u− v

en Bc2 y para β > 0 definimos la funcion ψβ como en (3.24). Luego, tomamos β sufi-

cientemente pequeno tal que se escribe

supx∈RN

u− v − ψβ(x) = M >M

2, (3.27)

y el supremo se alcanza en algun punto x1 ∈ B1/β . Ahora definimos Φ con ε > 0 como

Φ(x, y) = u(x)− v(y)− φ(x, y)

siendoφ(x, y) = ε−1|x− y|2 + ψβ(y)

Por la forma de Φ esta funcion alcanza un maximo en (x, y) ∈ RN con y ∈ B2/β .Por otra parte, se tiene Φ(x, y) ≥ Φ(x1, x1) tal que por definicion de Φ se sigue

u(x)− v(y)− ε−1|x− y|2 − ψβ(y) ≥ u(x1)− v(x1)− ε−1|x1 − x1|2 − ψβ(x1)

u(x)− v(y)− ψβ(y) ≥ u(x1)− v(x1)− ψβ(x1) + ε−1|x− y|2,

u(x)− v(y)− ψβ(y) ≥ M. (3.28)

por Lema 2.9 se tiene ε−1|x− y|2 → 0 cuando ε→ 0 ası, x, y → x1 cuando ε→ 0.Mas especıficamente, aplicando el lema de la matriz de Ishii-Jensen (F1), la continuidaddel Hamiltoniano F y (PL) tal que para todo ε > 0 y para algun δ > 0 tenemos

F (x, u(x), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x)) ≤ 0 (3.29)

F (y, v(x), q, Y, Iδ(v,−φ(x, ·), y)) ≥ 0. (3.30)

conp = 2ε−1(x− y)

q = p−Dψβ(y)

yX, Y matrices simetricas que satiscafen la condicion (3.23). Analizando (3.28) se sigue

u(x) ≥ M + v(y) + ψβ(y)

≥ v(y) + ψβ(y),

luego, aplicando en (3.29) la condicion de funcion propia (H2) y con la anterior expre-sion se tiene

80

F (x, u(x), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))− F (x, v(y) + ψβ(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))

≥ λ0(u(x)− v(y)− ψβ(y)) ≥ λ0M

siendo λ0 > 0 ademas, sabemos que y → x1 ∈ B1/β , si a ε le tomamos demasiadopequeno entonces y ∈ B1/β por lo tanto ψβ(y) = 0 ası

λ0M + F (x, v(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x)) ≤ F (x, u(x), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x)) ≤ 0

λ0M + F (x, v(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x)) ≤ 0.

Ahora tomamos (3.30) y restemos la anterior desigualdad ası tenemos

F (x, v(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))− F (y, v(x), q, Y, Iδ(v,−φ(x, ·), y)) ≤ −λ0M. (3.31)

Analicemos los operadores integro-diferencial de (3.31), es decir Iδ(u, φ(·, y), x) yIδ(v,−φ(x, ·), y).

1. Empecemos analizando Iδ(v,−φ(x, ·), y), por su definicion se sigue

Iδ(v,−φ(x, ·), y) = I[Bδ](−φ(x, ·), y) + I[Bcδ ](v(x, ·), y, q),

tomando I[Bcδ](v(x, ·), y, q) y aplicando su definicion tenemos

I[Bcδ](v(x, ·), y, q) =

∫

Bcδ

[v(y + z)− v(y)− 1B〈q, z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ

[v(y + z)− v(y)− 1B〈p−Dψβ(y), z〉]ν(dz)

=

∫

Bcδ

[v(y + z)− v(y)− 1B〈p, z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

1B〈Dψβ(y), z〉ν(dz),

luego, de (3.28) se tiene v(y) ≥ u(x)− ψβ(y) ası

I[Bcδ](v(x, ·), y, q) ≥

∫

Bcδ

[u(x+ z)− ψβ(y + z)− u(x) + ψβ(y)− 1B〈p, z〉]ν(dz)

+

∫

Bcδ

1B〈Dψβ(y), z〉ν(dz)

=

∫

Bcδ

[u(x+ z)− u(x)− 1B〈p, z〉]ν(dz)

−

∫

Bcδ

[ψβ(y + z)− ψβ(y)− 1B〈Dψβ(y), z〉]ν(dz)

= I[Bcδ ](u(·), x, p)− I[Bc

δ ](ψβ , y),

aplicando Lema 3.10 concluimos que

I[Bcδ ](v(x, ·), y, q) ≥ I[Bc

δ ](u(·), x, p)− oβ(1). (3.32)

Tomando la otra expresion y notemos que

I[Bδ](−φ(·, y), x) = −I[Bδ](φ(·, y), x)

81

por definicion de φ, propiedad de integrabilidad de Levy (PL) y Lema 3.10 se sigue

I[Bδ](φ(·, y), x) =

∫

Bδ

[φ(x+ z, y)− φ(x, y)− 1B〈Dφ(x, y), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[ε−1|x+ z − y|2+ψβ(y)− ε−1|x− y|2−ψβ(y)

− 1B〈(p+Dψβ(y)(x, y), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[ε−1|x+ z − y|2−ε−1|x− y|2−1B〈p, z〉]ν(dz)

−

∫

Bδ

1B〈Dψβ(y)(x, y), z〉]ν(dz)

=

∫

Bδ

[ε−1|x+ z − y|2−ε−1|x− y|2−1B〈2ε−1|x− y|, z〉]ν(dz)

−

∫

Bδ


= ε−1

∫

Bδ

[|x+ z − y|2−|x− y|2−1B〈2|x− y|, z〉]ν(dz)

−

∫

Bδ


usando la expansion de Taylor se tiene

|x+ z − y|2= |x− y|2+1B

1!〈|x− y|〉+

c

2!|t||z|2

para todo t ∈ N fijo y c > 0 luego,

|x+ z − y|2−|x− y|2−1B

1!〈|x− y|〉 =

c

2!|t||z|2 = C|z|2

en efecto, por la condicion de integrabilidad Levy (PL) con δ < |z| < 1 y C > 0se sigue

C

∫

Bδ

|z|2ν(dz) = Coδ2(1)

ası,

I[Bδ](φ(·, y), x) = Cε−1oδ2(1)−

∫

Bδ


notemos que estamos en Bδ y por Lema 3.10

I[Bδ](φ(·, y), x) ≤ Cε−1oδ2(1)−

∫

Bδ

‖Dψβ(y)‖‖z‖ν(dz)

≤ Cε−1oδ2(1)− C

∫

Bδ

β‖z‖ν(dz)

= Cε−1oδ2(1)− Coβ(1)oδ2(1)

= C(ε−1 + oβ(1))oδ2(1).

donde oδ(1) → 0 cuando δ → 0 uniformemente con respecto a otras variables.Uniendo tenemos

−Iδ(v, φ(x, ·), y) ≥ C(ε−1 + oβ(1))oδ2(1) + I[Bcδ ](u(·), x, p)− oβ(1). (3.33)

82

2. Por ultimo analizamos Iδ(u, φ(·, y), x) por su definicion se sigue

Iδ(u, φ(·, y), x) = I[Bδ](φ(·, y), x) + I[Bcδ ](u(·, y), x, p),

notemos que para este caso tambien se verifica

I[Bδ](φ(·, y)) = C(ε−1 + oβ(1))oδ2(1),

ası,Iδ(u, φ(·, y), x) = C(ε−1 + oβ(1))oδ2(1) + I[Bc

δ ](u(·, y), x, p)

en efecto, por (3.33) vemos que

Iδ(v,−φ(x, ·), y) ≥ Iδ(u, φ(·, y), x)− oβ(1). (3.34)

usando la condicion degenerada F dado por (H1) en (3.34) tenemos

F (x, v(y), p, X, Iδ(v,−φ(x, ·), y)) ≤ F (x, u(x), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))) + oβ(1). (3.35)

Luego, con el siguiente termino

F (x, v(y), p, X, Iδ(v,−φ(x, ·), y))

sumamos y restamos en (3.31), ası

λ0M ≤ F (y, v(x), q, Y, Iδ(v,−φ(x, ·), y))− F (x, v(y), p, X, Iδ(v,−φ(x), y))

+ F (x, v(y), p, X, Iδ(v,−φ(x, ·), y))− F (x, v(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))

remplazando el valor de p, q y aplicando (F1) se tiene

λ0M ≤ F (y, v(x), ε−1|x− y|2 −Dψβ(y), Y, Iδ(v,−φ(x, ·), y))

− F (x, v(y), ε−1|x− y|2, X, Iδ(v,−φ(x), y))


≤ w(β) + wR(|x− y|+ ε−1|x− y|2)


aplicando (3.35) se sigue

λ0M ≤ w(β) + wR(|x− y|+ ε−1|x− y|2)

+ F (x, u(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x)) + oβ(1)− F (x, v(y), p, X, Iδ(u, φ(·, y), x))

luego con el supuesto (F3)

λ0M ≤ w(β) + wR(|x− y|+ ε−1|x− y|2) + LF (ε−1oδ2(1) + oβ(1))

de lo cual, sabemos que ε−1|x− y|2 → 0 cuando ε→ 0 ası,

λ0M

2< λ0M ≤ oε(1) + ε−1oδ2(1) + oβ(1),

tomando δ → 0, ε → 0 y β → 0 por lo que obtenemos una contradiccion. Por lo tantoconcluimos con la demostracion.

Teorema 3.3. Si ψ− es sub-solucion viscosa de (3.25) y ψ+ super-solucion viscosade (3.25), entonces existe una unica solucion viscosa continua u de (3.25) tal queψ− ≤ u ≤ ψ+.

83

Demostracion: Por el Metodo de Perron detallado en el Teorema 3.1 sabemos que existeuna solucion viscosa discontinua u : RN → R tal que

ψ− ≤ u ≤ ψ−

y por Lema 1.2 tenemosψ− ≤ u∗ ≤ u∗ ≤ ψ−

luego, por definicion de solucion viscosa sabemos que u∗ es sub-solucion viscosa y u∗ essuper-solucion viscosa ademas, por Teorema 3.2 del Principio de Comparacion se sigue

u∗ ≤ u∗

por lo tantou∗ = u∗ = u.

Es decir, la solucion discontinua en el Metodo de Perron ahora es continua y verifica

ψ− ≤ u ≤ ψ−.

Ahora, supongamos que las funciones u, v : RN → R son soluciones viscosas en efecto,si tomamos u como sub-solucion viscosa y v como super-solucion viscosa entonces

u ≤ v,

ahora si tomamos u como super-solucion viscosa y v como sub-solucion viscosa entonces

u ≥ v

Por lo tanto u = v ası, se prueba que u es unica.

Ejemplo General de Hamiltoniano: Este ejemplo verifica todas las hipotesis quese ha expresado en el capıtulo 3 y esta definido por

F (x, u,Du,D2u, Iu) = ınfa∈A

supb∈B

λab(x)u−Tr(Aab(x)D2u)+AabI(u)−fab(x)Du−lab(x)

donde A,B son conjuntos de ındices para cada (a, b) ∈ A × B, Aab son constantespositivas y λab, lab : RN → R+, fab : RN → RN , Aab : RN → SN son acotadas ycontinuas, tal que para cada x ∈ RN tenemos λab > 0, Aab(x) es definida (semi)positiva. Este tipo de ecuaciones se ajusta a los supuestos (F1) y (F2). Ası notemos:Si u = 1 es super-soluciones viscosa pues

F (x, 1, 0, 0, 0) = ınfa∈A

supb∈B

λab(x)− lab(x)

con λab > lab se tiene queF (x, 1, 0, 0, 0) ≥ 0.

Ahora, veamos que u = −1 es sub-soluciones viscosa pues

F (x,−1, 0, 0, 0) = ınfa∈A

supb∈B

−λab(x)− lab(x)

= ınfa∈A

supb∈B

−(λab(x) + lab(x))

por lo tanto,F (x,−1, 0, 0, 0) ≤ 0.

El Teorema de Perron nos asegura la existencia de la solucion y el Principio de Com-paracion la unicidad para cualquier tipo de operadores.

84

Capıtulo 4

CONCLUSIONES YRECOMENDACIONES

4.1. Conclusiones

1. Se ha evidenciado que el Metodo de Perron es util para probar la existencia de so-luciones discontinuas cuando se trabaja con problemas que involucran operadoresintegro-diferenciales.

2. Se ha demostrado que cuando un Hamiltoniano verifica la hipotesis de HamiltonJacobi entonces el problema elıptico admite un Principio de Comparacion.

3. Con el ejemplo dado en la ultima seccion del capıtulo 3 se evidencia que no solohemos demostrado la existencia y unicidad de soluciones continuas para un pro-blema sino que se ha trabajado al mismo tiempo con una cantidad infinita deproblemas es decir, en el problema se puede hacer variar las funciones λab, lab, fab.

4.2. Recomendaciones

1. En este tema se podrıa incluir variables temporales locales y no locales como en[7], cuya forma general es

Dαu+ F (x, t, u,Du,D2u, Iu) = 0, ∀x ∈ RN ,

siendo Dαu la derivada fracionaria de Caputo de orden α con α ∈ (0, 1) definidacomo

Dαu = Dαt u(t) = γ(1− α)−1

∫ t

0

(t− ξ)−αu′(ξ)dξ,

donde γ denota la funcion Gamma.

2. En base a este trabajo, en lugar del operador Laplaciano Fraccionario podemostrabajar con el operador p−Laplaciano como se lo hace en Ishi-Nakamura [19] con

M [u](x) = P.V.

∫

B(0,ρ(x))

p− σ

|z|n+σ|u(x+ z)− u(x)|p−2(u(x+ z)− u(x))dz,

donde σ ∈ C(RN), σ(x) > 0. Siguiendo el mismo proceso a traves del Metodo dePerron y el Principio de Comparacion.

85

3. En vista que el Metodo de Perron se aplica tambien a sistema de ecuaciones comoen [21], se puede realizar el mismo estudio para el siguiente sistema

Fi(x,Dui, D2ui, Ii(ui)) +

n∑

j=1

mij(x)uj = 0, x ∈ RN , i ∈ 1, · · · , n,

donde ui : RN → R es la funcion desconociada; Du,D2u es el gradiente y lamatriz Hessiana de ui respectivamente. La condicion basica que asume sobre elHamiltoniano es la continuidad , es decir

Fi ∈ C(RN × R× RN × SN × R).

86

Capıtulo 5

BIBLIOGRAFIA

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88

Capıtulo 6

ANEXOS

6.1. Anexo A

Las siguientes definiciones y proposiciones son tomadas de [18] y [20].

6.1.1. Laplaciano fraccionario

Sea L(RN) al espacio de Schwartz conformado por funciones C∞(RN) de decreicimientorapido, es decir,

L(RN) = f ∈ C∞(RN) | ∀α, β : ‖ f ‖α,β< +∞

donde, α = (α1, . . . , αN) y β = (β1, . . . , βN) son multındices ademas,

‖ f ‖α,β = ‖ xαDβf ‖ = supx∈RN

xα1

1 . . . xαN

N

∂|β|f

∂xα1

1 . . . ∂xαN

N

y |β| =∑N

i=1 βi.

Definicion 6.1. Para u ∈ L(RN) y α ∈ (0, 1), el Laplaciano fraccionario denotadopor (−∆)α esta definido por

(−∆)αu(x) = C(N,α) P.V.

∫

RN

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy,

donde (P.V.) son los valores principales tomados como limite de la integral y C(N,α)la constante que depende de α es decir,

(−∆)αu(x) = C(N,α) lımε→0+

∫

|x−y|≥ε

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy

C(N,α) = π−(2α+N2 )

Γ(

N2+ α

)

Γ(−α).

Proposicion 6.1. Sea α ∈(

0, 12

)

y la funcion u lipschitz acotada, entonces (−∆)αu(x).

Demostracion: Sea x ∈ RN , R > 0 y C(N,α) una constante. Notemos que si α ∈ (0, 12)

en la definicion de (−∆)α no es necesario tomar los valores principales. Como u esLipschitz acotada, entonces∫

RN

|u(x)− u(y)|

|x− y|N+2αdy ≤ C(N,α)

∫

BR(x)

|x− y|

|x− y|N+2αdy + 2‖u‖L∞

∫

BcR(x)

1

|x− y|N+2αdy

≤ C(N,α)

(

∫

BR(x)

1

|x− y|N+2α−1dy +

∫

BcR(x)

1

|x− y|N+2αdy

)

89

haciendo cambio de variable r = |x− y| ası,

∫

RN

|u(x)− u(y)|

|x− y|N+2αdy ≤ C(N,α)

(∫ R

0

rN−1

rN+2α−1dr +

∫ ∞

R

rN−1

r2α+Ndr

)

≤ C(N,α)

(∫ R

0

1

r2αdr +

∫ ∞

R

1

r2α+1dr

)

< +∞.

.

Proposicion 6.2. Si α ∈ (12, 1), u ∈ C1,β(RN)

⋂

L∞(RN) con β > 2α − 1, entonces(−∆)αu(x) ∈ L∞(RN ), es decir, es no singular en x.

Demostracion: Sea x ∈ RN , por definicion de Laplaciano fraccionario

(−∆)αu(x) = C(N,α)P.V.

∫

RN

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy

considerando que

C(N,α)P.V.

∫

|x−y|<δ

∇u(x)u(x− y)

|x− y|N+2αdy = 0 (6.1)

es una funcion impar, ademas C(N,α) = 1 y δ > 0 ası, tenemos

(−∆)αu(x) = C(N,α)P.V.

∫

RN

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy

= C(N,α)P.V.

∫

|x−y|<δ

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy + C(N,α)P.V.

∫

|x−y|≥δ

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy

= I1 + I2

usando el desarrollo de Taylor en x ∈ RN verifica que

|u(x)− u(y) +∇u(x)(x− y)|≤ c|x− y|1+β, ∀y ∈ Bδ(x)

se tiene, por (4.1)

I1 = C(N,α)P.V.

∫

|x−y|<δ

u(x)− u(y) +∇u(x)u(x− y)

|x− y|N+2αdy

ası,

|I1| ≤ C(N,α)P.V.

∫

|x−y|<δ

|u(x)− u(y) +∇u(x)u(x− y)|

|x− y|N+2αdy

≤ C(N,α)P.V.

∫

|x−y|<δ

|u(x)− u(y) +∇u(x)u(x− y)|

|x− y|N+2αdy

como vimos los valores principales no los necesitamos asi que los quitamos y reempla-zamos r = |x− y| luego,

|I1| ≤ C(N,α)

∫ δ

0

rN−1r1+β

rN+2αdr

= C(N,α)

∫ δ

0

1

r2α−βdr

= C(N,α)rβ−2α+1|δ0= C < +∞.

90

Ademas,

I2 = C(N,α)P.V.

∫

|x−y|≥δ

u(x)− u(y)

|x− y|N+2αdy

|I2| ≤ C(N,α)P.V.

∫

|x−y|≥δ

|u(x)− u(y)|

|x− y|N+2αdy

≤ C(N,α)P.V.

∫

|x−y|≥δ

|u(x)− u(y)|

|x− y|N+2αdy

como vimos los valores principales no los necesitamos asi que los quitamos luego,

|I2| ≤ C(N,α)P.V.

∫

|x−y|≥δ

1

|x− y|N+2αdy

= C(N,α)

∫ ∞

δ

rN−1

rN+2αdr

= C(N,α)

∫ ∞

δ

1

r2α+1dr

= C(N,α)r−2α|∞δ = C < +∞

Proposicion 6.3. Sea α ∈ (0, 1) y u ∈ L(RN) entonces

(−∆)αu(x) = −1

2C(N,α)

∫

RN

u(x+ y) + u(x− y)− 2u(x)

|y|N+2αdy.

Demostracion: Vease en [18] la demostracion.

91

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