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UNIVERSIDAD DE CHILE Curso EH2801 Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Prof. José Maza Sancho Departamento de Astronomía 1 Abril 2016

1.03. Claudio Ptolomeo y el Universo Geocéntrico. 1.03.01. Introducción: Las primeras nociones cosmológicas sustentadas por la mayoría de los pueblos antiguos corresponden a un modelo simple de una Tierra plana limitada en lo alto por una bóveda celeste. La forma exacta del modelo varía de pueblo en pueblo, dependiendo de la geografía del lugar, de la tradición cultural y de la imaginación de cada sociedad. Nuestros sentidos parecen indicarnos efectivamente que la Tierra es plana e inmóvil con una bóveda celeste en la cual vemos el Sol, la Luna y varios miles de estrellas. Las más simples observaciones permiten ver que las figuras que forman las estrellas permanecen invariables a lo largo de las noches, semanas, meses y años. La sensación de que el cielo es una semi-esfera, algo como un sombrero puesto alrededor del horizonte, se ve desafiada por la constatación del giro de cielo nocturno. Si se observa la bóveda celeste al empezar la noche y luego una tres horas más tarde, se puede comprobar que las configuraciones estelares han cambiado de posición; han salido nuevas estrellas por el oriente (la dirección en el horizonte por donde se ve salir al Sol) mientras otras estrellas han desaparecido bajo el horizonte en la dirección opuesta. Las estrellas que estaban en el oriente al empezar la noche terminaran en el poniente al romper la claridad del alba. Si observamos el cielo al empezar la noche durante un par de meses, podremos comprobar que las configuraciones estelares se van desplazando hacia el oeste con el pasar de los días, dejando de ser visibles algunas de ellas, siendo reemplazadas por otras nuevas que salen por el oriente. En un período de 365 días, un año, vuelve el cielo nocturno a ocupar la misma posición en la bóveda celeste. Es natural interpretar ese cambio del firmamento como el reflejo del giro anual del Sol en torno de la Tierra, con respecto a las "estrellas fijas". La Tierra sería entonces el centro de una esfera celeste completa, de la cual vemos sobre el horizonte sólo la mitad, en un instante dado.

El siguiente gran paso fue el reconocimiento de la esfericidad de la Tierra. Hoy sabemos que la Tierra es redonda porque así lo revelan las fotos tomadas desde el espacio exterior. Sin embargo en la época de Pitágoras (siglo VI a.C.) las evidencias acerca de la esfericidad de la Tierra eran más débiles: los barcos que se alejan de un puerto se hunden en el horizonte, desapareciendo primero el casco y al final los mástiles; un viajero rumbo al norte ve cambiar la altura del polo celeste (el punto en torno del cual se ve girar a toda la bóveda celeste); un viajero rumbo al sur ve aparecer nuevas estrellas en el horizonte sur; la sombra que proyecta la Tierra sobre la Luna en un eclipse es siempre un arco de círculo. Por último razones de simetría y belleza podrían haber empujado a Pitágoras a adoptar y enseñar la esfericidad de la Tierra en el siglo VI a.C.

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Una Tierra esférica, en el centro del cosmos, es un modelo de gran sofisticación intelectual; implica aceptar la existencia de las antípodas, la relatividad de la vertical. Incluso ahora mucha gente tiene problemas aceptando la idea de las antípodas [puntos diametralmente opuestos en el globo terrestre]. El notable filósofo griego Aristóteles, en el siglo IV a.C. documenta en sus tratados la esfericidad de la Tierra, dando para ella un valor de su radio un 50% mayor de lo real. Posteriormente el encargado de la Biblioteca del Museo de Alejandría, el matemático y astrónomo Eratóstenes (276 al 194 a.C.), midió el radio terrestre observando que la luz solar cae vertical en el fondo de un pozo en Asuán el día del solsticio de verano; ese mismo día la luz solar forma un ángulo mínimo de 7,2° (1/50 de círculo) con la vertical de Alejandría. Midiendo la distancia entre Asuán y Alejandría Eratóstenes encontró un valor para el radio terrestre que es correcto al 1%. Notable si se piensa que es un trabajo realizado en el siglo III a.C. (alrededor del año 230 a.C.).

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Por siglos la idea de las antípodas no fue aceptada y hace cinco siglos, la proeza de Colón consistió, entre otras cosas, en convencer a un grupo de marineros para atreverse a intentar un viaje que podría terminar, según muchos, en una caída en el abismo al fin del mar. Durante siglos el modelo de mundo acuñado por la Grecia clásica representó un refinamiento intelectual muy superior al exhibido por la Europa de la Edad Media. La observación cuidadosa del cielo estrellado lleva pronto al descubrimiento del lucero del atardecer y al lucero del alba. Se trata del planeta Venus, el cuerpo celeste más brillante después del Sol y la Luna, que lo vemos seguir al Sol en su puesta en el oeste o anteceder al astro-rey en su salida. Los planetas Marte, Júpiter y Saturno se desplazan entre las estrellas, como así también el elusivo Mercurio que camina entre las estrellas siguiéndole los pasos al Sol más de cerca que Venus. El Sol, la Luna y los cinco vagabundos (planetas) giran en el cielo siguiendo una franja inclinada con respecto al ecuador celeste, llamada zodíaco, compuesta por doce constelaciones de igual longitud, denominadas constelaciones zodiacales. La trayectoria del Sol sobre la esfera celeste cruza la parte central de todas las constelaciones zodiacales y es conocida como la eclíptica. La trayectoria de la Luna en el cielo forma un ángulo de 5° con la eclíptica, cruzando la eclíptica en dos puntos, los nodos de la órbita lunar. El Sol debe estar cerca de la dirección de esos puntos de cruce para que puedan producirse los eclipses; de ahí el nombre de eclíptica. Por esos sólo en dos épocas del año, separadas por seis meses, pueden producirse eclipses de Sol o de Luna. El movimiento de la Luna y el Sol es siempre de oeste a este con respecto a las estrellas. El desplazamiento de las planetas, tomemos como ejemplo a Marte, es lento

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hacia el este; en un momento determinado el planeta empieza a detenerse y aumenta su brillo, se detiene y se mueve hacia el oeste alcanzando su brillo máximo junto con su máxima velocidad en sentido inverso, luego su brillo disminuye y su movimiento se detiene para reasumir su viaje hacia el este. Este desplazamiento general hacia el oriente (movimiento directo) combinado con el movimiento opuesto hacia el oeste (retrogradación o movimiento retrógrado) eran perfectamente conocidos en la época de Platón cuatro siglos antes de nuestra era.

Platón propuso por razones estéticas y metafísicas, que los cuerpos celestes deberían seguir órbitas circulares con movimientos uniformes por ser éstos los más perfectos. Con ello Platón colocó al estudio del cielo en un difícil pie: las observaciones indicaban que el Sol, la Luna y los planetas no se desplazan en torno a la Tierra con velocidad angular constante y debían ser modelados mediante movimientos circulares uniformes. Hubo varias soluciones que reproducían las retrogradaciones en términos generales, pero no podían explicar en detalle las observaciones.

Eudoxio, discípulo de Platón y Calipo son los más destacados astrónomos-geómetras que abordaron el problema de Platón ideando un bello y complejo sistema de esferas homocéntricas (concéntricas). Gracias al trabajo de muchos observadores anónimos de Babilonia y la brillante labor de los geómetras Euclides y Apolonio y al más brillantes de los observadores griegos Hiparco, se perfeccionaron las herramientas geométricas y las observaciones que le permitieron finalmente al gran astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo, en el siglo II de nuestra era, consolidar el modelo geocéntrico de universo desarrollado por los griegos desde antes de los tiempos de Aristóteles. 1.03.02. Claudio Ptolomeo: Ptolomeo es el último gran astrónomo de la antigüedad. Floreció hacia el año 140 de nuestra era. En los 260 años transcurridos entre Hiparco y Ptolomeo la astronomía no experimentó avances de importancia. Los únicos astrónomos interesantes del período son Poseidonio (133 a.C. - 49 a.C.) y Sosígenes del siglo I a.C., que es conocido por haber sido consultado por Julio César para la reforma del calendario. Ptolomeo fue un astrónomo, astrólogo, geógrafo y matemático nacido alrededor del año 100 de nuestra era y que vivió unos setenta años. Su apellido "Ptolemaeus" muestra que provenía de una familia griega o a lo menos helenizada, mientras que su nombre "Claudius" nos indica que tenía ciudadanía romana. En su libro reporta observaciones hechas entre los años 127 al 141. Por ende no debe haber nacido mucho después de comienzos del siglo II.

El Almagesto lo publica en el 145 pero posteriormente publicó varias obras, por lo que su muerte debe haber ocurrido entre los años 165 al 170. Sus trabajos astronómicos los dedica a un desconocido "Syrus" y agradece a su maestro "Teón" por haberle dado un archivo de observaciones planetarias; esto es todo lo poco que se conoce acerca de la vida de Claudio Ptolomeo, el más famoso astrónomo de la antigüedad.

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Escribió una serie de 13 volúmenes sobre astronomía, libro llamado “Sintáxis” pero hoy conocido como Almagesto. Es una recopilación del trabajo de varios astrónomos anteriores, principalmente Hiparco. El Almagesto describe por primera vez en la historia un modelo matemático que permite predecir las posiciones de los planetas, del Sol y de la Luna. Junto con un modelo matemático Ptolomeo presenta también un tratado de astronomía práctica donde se explica cómo obtener los parámetros del modelo a partir de observaciones y cómo calcular efemérides astronómicas. El Almagesto es el primer libro en la historia (hasta donde la conocemos hoy) donde se entregan las tablas para calcular las posiciones exactas de los cuerpos celestes en cualquier fecha. Aristóteles, Platón y muchos filósofos presentaron modelos cualitativos para el universo, descripciones que pretendían darle un marco a los fenómenos, "explicar" porqué ocurre esto o aquello. Sin embargo el poder predictivo de esos modelos iniciales es muy débil. Sólo con Ptolomeo se pueden predecir los movimientos de los cuerpos celestes.

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El gran libro de Ptolomeo, junto con una descripción teórica del modelo geocéntrico, presenta modelos geométricos de gran sofisticación, junto con tablas para calcular las efemérides planetarias. La antigüedad no elaboró modelo alguno a la altura del presentado por Ptolomeo; el Almagesto es único en su género. Con justicia los árabes lo titularon "El más grande..." (Al Magesti ...) y de ahí el título Almagesto que ha reemplazado a su título original griego Sintaxis o Tratado Matemático. Ptolomeo escribió para la astronomía un tratado equivalente a Los Elementos de Euclides para la geometría. Ambos tratados fueron sin duda un éxito pues se constituyeron por más de catorce siglos en los libros fundamentales de sus respectivas disciplinas. El Almagesto está tan bien estructurado que cuando Copérnico quiso reemplazarlo lo hizo mediante un libro que sigue de cerca su diseño.

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En la introducción del primer libro de la Sintaxis (Almagesto) Ptolomeo resume los principales postulados de la astronomía:

• El cielo es una esfera rotando en torno a un eje fijo. • La Tierra es una esfera situada en el centro de los cielos. • La Tierra es un punto comparada con la esfera celeste. • La Tierra no tiene movimiento de traslación porque, en primer lugar, debe haber un

punto fijo al cual referir el movimiento de los otros y segundo, porque los cuerpos pesados descienden hacia el centro del Universo, que es el centro de la Tierra. Si es que hubiese un movimiento, sería proporcionado a la Tierra y por ende los animales y las cosas se irían quedando atrás arrojadas por los aires. Esto también demuestra lo falso de la sugerencia hecha por algunos de que la Tierra, aunque inmóvil en el espacio, rote en torno de un eje, lo que Ptolomeo reconoce, simplificaría enormemente las cosas.

Así describe Ptolomeo, según Dreyer, las suposiciones básicas de la astronomía. Apolonio había demostrado (unos 200 años antes de nuestra era) que el movimiento planetario podría representarse mediante el giro de un círculo pequeño (epiciclo) cuyo centro gire en torno a la Tierra (deferente). Las excelentes observaciones planetarias hechas en Babilonia desde 700 años antes de Cristo hasta la época de Ptolomeo, habían mostrado que los planetas no se desplazan en el cielo con una velocidad constante. Por ejemplo Marte se mueve 40% más rápido en Capricornio que cuando está en el punto opuesto en el cielo en la constelación de Cáncer. El problema era: ¿cómo representar el movimiento planetario utilizando epiciclos y deferentes con movimiento uniforme? Las observaciones babilónicas y del gran astrónomo griego Hiparco (siglo II a.C.) mostraban claramente que un modelo simple de epiciclo y deferente no se ajustaba a las observaciones. Además de una diferente velocidad la amplitud de las retrogradaciones variaba, dependiendo de la posición en el cielo donde se vea proyectada.

En lo que a la teoría del Sol respecta, Ptolomeo se contentó con la teoría de Hiparco. Sin embargo cometió un error pues en los 260 años transcurridos, el desplazamiento de la línea de las ápsides (desconocido para Ptolomeo) había aumentado el error de la longitud del apogeo de 35´ para el valor de Hiparco a 5º 30´. El año trópico adoptado por Hiparco era más largo que el real y por ende su movimiento medio más bajo que el real. En el tiempo transcurrido entre Hiparco y Ptolomeo este y otros errores hicieron que las tablas solares de Ptolomeo tuviesen errores de unos 100´. Es curioso que Ptolomeo no intentara mejorar su teoría solar que daba errores obvios de casi 2º (recuérdese que el diámetro solar alcanza a ½º). Ptolomeo sí mejoró sustancialmente la teoría lunar de Hiparco. El epiciclo y deferente de Hiparco fueron modificados, poniendo el deferente en forma excéntrica con relación a la Tierra. Esta y otras modificaciones le permitieron representar mejor el movimiento de la Luna en longitud. Sin embargo la distancia Tierra-Luna variaba tanto que si se fijaba su diámetro angular en el apogeo para que coincidiera con el valor real, el

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diámetro resultante para la Luna en el perigeo alcanzaba un valor muy cercano a 1 grado (la Luna varia su diámetro angular entre apogeo y perigeo de 29,5´ a 33´). Ptolomeo se debe haber dado cuenta de esto pero no lo menciona en absoluto en su libro. Esto lo debe haber llevado a pensar que su teoría era simplemente una herramienta de cálculo pero no podía pretender ser una representación de la realidad.

El gran mérito de Ptolomeo está en el desarrollo que hizo de la teoría de epiciclos para el movimiento de los planetas. La Tierra está inmóvil, en el centro del sistema. Cada planeta gira en un pequeño círculo (epiciclo), el centro del cual se traslada alrededor de la Tierra siguiendo un círculo mayor (deferente). Para Mercurio y Venus los planetas interiores, siempre el centro C del epiciclo permanece alineado con la Tierra y el Sol, completando por ende su revolución en un año. Para los planetas exteriores (Marte, Júpiter y Saturno) el radio vector que une el centro del epiciclo y el planeta permanece siempre paralelo a la recta Tierra-Sol. Se elige la razón entre el radio del epiciclo y el del deferente de modo de reproducir con la mejor precisión posible las retrogradaciones. Pese a que el sistema tolemaico es un sistema geocéntrico, el Sol rompe la armonía pues su presencia es determinante en las retrogradaciones de los planetas. Las retrogradaciones de los planetas superiores se producen cuando éstos se encuentran en oposición al Sol. Para los planetas interiores, los centros de sus deferentes están siempre sobre la línea que une a la Tierra y al Sol. Hiparco había enfrentado el problema solar (diferencias de velocidad del Sol en distintas partes de cielo) poniendo la órbita excéntrica. De ese modo el Sol, visto desde la Tierra, se veía cruzar más rápidamente un sector del cielo que el opuesto. Ptolomeo adoptó círculos excéntricos para los deferentes de los planetas. Sin embargo para la órbita de Marte era necesario desplazar a la Tierra del centro del deferente en un 20% del radio. Si el radio del epiciclo se elegía de modo de representar la retrogradación promedio, al poner el deferente tan excéntrico las retrogradaciones en Cáncer y Capricornio no resultaban bien modeladas. La primera resultaba muy pequeña y la otra, demasiado grande.

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Para ajustar la amplitud variable de las retrogradaciones se necesitaba desplazar el centro del deferente en sólo un 10%, con lo que se lograba un ± 10% de cambio de velocidad (un 20% entre los extremos). Aquí aparece el genio de Ptolomeo; decide variar el giro uniforme en el deferente y elige al punto opuesto a la Tierra con respecto al centro del deferente como el punto desde el cual se ve al centro del epiciclo moverse con velocidad angular constante; lo llamó punto ecuante.

En la figura superior se representa el deferente del planeta; por simplicidad, se ha omitido el

epiciclo. Con el punto ecuante y la posición excéntrica de la Tierra en el defente se logra una excelente aproximación a la segunda ley de Kepler. De acuerdo con ella el planeta gira más rápido en su órbita en torno al Sol, cuando su distancia a éste es menor y de tal manera que el radio vector que conecta al Sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. El modelo de deferente y epiciclo de Ptolomeo, visto desde nuestra perspectiva heliocéntrica, corresponde a las órbitas del planeta en torno del Sol

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(deferente) y de la Tierra en torno del Sol (epiciclo). Esto puede verse claramente para los planetas exteriores (Marte, Júpiter y Saturno) que recorren su epiciclo en un año y el radio vector que conecta el centro del epiciclo con el planeta es siempre paralelo al radiovector que une la Tierra y el Sol, en el modelo de Ptolomeo.

Matemáticamente la introducción del punto ecuante para describir el giro del deferente se puede ver gráficamente que, en primer orden, reproduce la ley de las áreas. El giro uniforme con respecto al punto ecuante hace que el centro del epiciclo recorra en tiempos iguales los arcos AB, BC, CD y DA (en cada uno de ello se demora la cuarta parte del período). Según la ley de las áreas (encontrada por Kepler a comienzos del siglo XVII) esos arcos serán recorridos en tiempos iguales si las áreas barridas de A a B son iguales que el área barrida de B a C, etc. y deberían corresponder a la cuarta parte del área del círculo. En la figura los triángulos achurados son "casi" iguales, salvo que el “triángulo” superior tiene un lado curvo. Por eso ese “triángulo” posee un área ligeramente menor que el triángulo inferior. Sin embargo la aproximación del punto ecuante es muy satisfactoria, además de ingeniosa, sobretodo si se tiene en cuenta que las observaciones astronómicas de la época de Ptolomeo tenían una precisión del orden de ± 0,1°. En algunos casos los errores podían llegar a 1° o más, en cambio en otros bordeaban los minutos de arco. Las observaciones se hacían a simple vista y la resolución angular del ojo alcanza a los 2 minutos de arco. La calidad de los instrumentos utilizados, la precisión de las escalas graduadas, los métodos de observación, etc. producían errores del orden de 10 minutos. El catálogo estelar contenido en el Almagesto de Ptolomeo ocupa los libros VII y VIII, tabula 1022 estrellas en 48 constelaciones, presentando para cada una su longitud y latitud eclípticas, especificadas en fracción de grado (en sextos de grado, que corresponden a 10 minutos); ocasionalmente algunas aparecen tabuladas en cuartos de grados (15 minutos). Eso da una buena idea de lo confiable que eran las posiciones en el cielo de los cuerpos celestes, en tiempos de Ptolomeo.

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Es interesante notar aquí que dividir un cuadrante de círculo en intervalos de minutos, con separaciones entre los minutos del orden de 1 milímetro, implica 60 milímetros por grados y 5400 milímetros para el cuadrante, que resulta de un radio de 3,4 metros. Un instrumento de esas dimensiones no es fácil de construir y menos de manejar. Los cuadrantes o sextantes rara vez excedían un radio de 1 metro, en cuyo círculo una distancia de 1 milímetro corresponde a 3,4 minutos. En escalas de madera es difícil hacer marcas de tinta más cercanas que 1 milímetro. La gran revolución observacional la introdujo en la astronomía el astrónomo danés Tycho Brahe, en la segunda mitad del siglo XVI. Tycho construyó instrumentos de grandes dimensiones, con escalas metálicas. Cada instrumento, después de haber sido fabricado con máximo rigor, es calibrado en sus imperfecciones y con ello se corrigen sus lecturas. Además observa con varios instrumentos diferentes y toma valores promedios. Logra así posiciones estelares confiables al minuto de arco. Años más tarde Kepler, al no poder ajustar las observaciones de Tycho con discrepancias menores que 8 minutos de arco, decidió reformar la astronomía, descartando los círculos e introduciendo las elipses. El refinamiento de modelar las órbitas mediante elipses fue el resultado de un cuerpo de observaciones del planeta Marte, hechas por Tycho Brahe durante dos décadas, con precisiones del orden de 1 minuto de arco. Con observaciones de precisiones de 10 minutos, como era lo usual hasta Copérnico, las órbitas circulares representaban adecuadamente la realidad observada.

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Copérnico, Tycho Brahe y Kepler constituyen un trío de científicos que, por diversos caminos, reformularon la cosmología, dando origen a la ciencia moderna. Copérnico, por razones estéticas y de simplicidad matemática, propone un nuevo modelo para el ordenamiento cósmico. Tycho Brahe, medio siglo después, se da cuenta que sólo un conjunto de observaciones de la más alta calidad podría servir para distinguir entre el modelo de Ptolomeo y el de Copérnico. Con un rigor extraordinario realiza observaciones celestes por dos décadas. Finalmente Kepler refina el tratamiento

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matemático tanto de Ptolomeo como de Copérnico ya que éstos consideran sólo los efectos de la excentricidad de las órbitas planetarias en primer orden. Kepler establece, más allá de cualquier disputa, los métodos matemáticos para abordar el problema de las efemérides planetarias, dándole de paso una sustentación incontrarrestable al sistema heliocéntrico. El sistema geocéntrico de Ptolomeo, con sus métodos matemáticos contenidos en el Almagesto, representa el clímax de la elaboración científica de la antigüedad. Su elegancia cautivó a los árabes y por catorce siglos fue el modelo sin rivales para describir el ordenamiento planetario. El tremendo desarrollo intelectual introducido en Europa a mediados del siglo XV con la imprenta de Gutenberg llevó a la cadena de acontecimientos que desató Copérnico en 1543 y que coronó Isaac Newton en 1687 con la publicación de su libro "Principios Matemáticos de Filosofía Natural". La vigencia del Almagesto por catorce siglos nos dice más sobre la época que sobre el propio libro. La actividad intelectual declinó hasta casi desaparecer durante la parte final del Imperio Romano y gran parte de la Edad Media. Sólo algunos árabes hicieron comentarios inteligentes sobre el Almagesto pero ninguno de ellos rehizo el tratado de Ptolomeo.

Para mejorar o cambiar el sistema tolemaico se necesitaban observaciones sistemáticas y éstas no fueron realizadas durante muchos siglos. En el siglo XIII, en la corte del rey Alfonso X, el Sabio (1221-1284), un grupo de astrónomos elaboraron tablas para calcular las posiciones planetarias que facilitaban la labor con relación a las tablas del Almagesto. Dichas tablas, conocidas como las Tablas Alfonsinas constituyeron la fuente "oficial" de efemérides astronómicas hasta fines del siglo XV. Dicen que el rey Alfonso X habría dicho que si él hubiese estado en el momento de la creación podría haberle dado a Dios buenos consejos. Esta anécdota hace alusión a lo "complejo" de la construcción tolemaica. Se ha usado para indicar que, con el paso de los siglos, el sistema geocéntrico habría sido complicado con la introducción de epiciclos sobre epiciclos y que a la época de Copérnico, hacia fines del siglo XV, el sistema de Ptolomeo habría estado a punto de derrumbarse por su propio peso. Nada más lejano a la verdad; el modelo utilizado por los astrónomos reunidos en Toledo en la corte del rey Alfonso utilizó un epiciclo, un deferente excéntrico y un punto ecuante, como demuestran las reconstrucciones de los cálculos hechas mediante un computador.

No había necesidad alguna de ir complicando el modelo dado que no había observaciones astronómicas nuevas, de buena calidad, para tener que re-ajustar los parámetros del modelo de Ptolomeo y menos aún complicarlo matemáticamente. Hubo algunos intentos aislados de introducir más de un epiciclo para librarse del punto ecuante y volver con ello al axioma de Platón de movimientos circulares y uniformes. Esos intentos fueron hechos principalmente en la escuela de Maragha (en el actual Irán) en el siglo XIII, pero no constituían una construcción coherente, alternativa al Almagesto y no eran la versión "oficial" del sistema de mundo en la Europa del siglo XV.

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Hay que recalcar que los epiciclos sobre epiciclos eran un ataque filosófico a Ptolomeo y no un intento de mejorar la capacidad predictiva de su modelo. Se pretendía enfatizar ideas platónicas y aristotélicas con esas variantes al sistema geocéntrico. Bibliografía: Dreyer, J.L.E. "A History of Astronomy from Thales to Kepler", Dover, N.York, 1953 Hoskin, Michael (Ed.) “Cambridge Illustrated History of Astronomy”, Cambridge University Press, 1997.