UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y … · nueva estrategia de transporte público...

UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PROGRAMACIÓN DE LOS HORARIOS DE SALIDA DE LOS ÚLTIM OS TRENES DE LAS ESTACIONES TERMINALES DEL METRO.

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN GESTIÓN DE OPERACIONES

TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL INDUS TRIAL

MARÍA-PAZ MACARENA SALVATIERRA ROASENDA

PROFESOR GUÍA:

PABLO ANDRÉS REY

PROFESOR COGUÍA:

CRISTIAN CORTÉS CARRILLO

MIEMBROS DE LA COMISION:

GUILLERMO ALFREDO DURÁN

VICENTE ROMERO SOLIMANO

SANTIAGO DE CHILE

MARZO, 2008

A mi familia…

RESUMEN EJECUTIVO

Actualmente, la empresa Metro S.A enfrenta una serie de problemas que se producen a la

hora de cierre. Pasajeros que consiguen entrar a la red no pueden finalizar sus viajes ya

que cuando desean realizar trasferencias de trenes, la operación de éstos ya ha finalizado.

El foco de esta tesis es la creación de un modelo matemático capaz de resolver esta

problemática. Para esto se distingue dos temas: el primero, es la programación de

horarios de salida de los últimos trenes en servicio; y el segundo, es la optimización de los

recursos a la hora de cierre, para que cada pasajero pueda concretar los trasbordos que

son necesarios para su viaje.

El problema se enfrenta con dos modelos de programación matemática entera. El primero

programa la salida de los trenes a partir de las 22:00 hrs, hasta la hora de cierre de

puertas, que debe ocurrir después de las 23:00 hrs. El segundo, programa las

transferencias que se deben realizar con los últimos trenes, decidiendo además si es

necesaria la utilización de trenes extra para poder completar todas las rutas demandadas

a la hora de cierre.

Estos modelos son integrados para obtener una solución final. Los resultados obtenidos

por el segundo modelo, indican el horario de salida del último tren de cada estación

terminal, lo cual se incorpora como restricción en el primer modelo. En caso de existir

trenes extra, sus horarios de salida también son ingresados como restricciones al primero.

Como resultado inicial se obtiene la programación de los viajes que resultan ser 126 sobre

toda la red. Se realiza un análisis sobre los tiempos de espera de los pasajeros y se

incorporan trenes intermedios (entre el último tren y el extra) desde 4 estaciones

terminales, para brindar una mejor calidad de servicio, disminuyendo los tiempos de

espera de los últimos pasajeros entre un 62% y 100%. La solución final consta de 130

viajes. La forma actual de operar de Metro bajo los mismos estándares de calidad, posee

20 viajes más, lo que repercute fuertemente en los costos operacionales de la empresa.

i

TABLA DE CONTENIDOS

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 1

2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 5

2.1 Planificación del transporte público de trenes .................................................................. 5

2.1.1 Pasos generales de la planificación del transporte público de trenes ............................. 5

2.1.2 Planificación de la oferta de transporte en Metro S.A. ................................................... 8

2.2 Programación de trenes................................................................................................. 13

2.3 Coordinación de trasbordos ........................................................................................... 18

2.3.1 Introducción a las transferencias ................................................................................. 18

2.3.2 Costos asociados a los trasbordos ................................................................................ 20

2.3.3 Restricciones sobre las ventanas de tiempo ................................................................. 22

3. MODELACIÓN PROPUESTA ....................................................................................... 24

3.1 Enfoque del problema ................................................................................................... 24

3.2 Modelo de Salida de trenes con Tiempos Fijos (MSTF) .................................................... 25

3.2.1 Conjuntos .................................................................................................................... 27

3.2.2 Parámetros .................................................................................................................. 28

3.2.3 Variables ..................................................................................................................... 29

3.2.4 Restricciones ............................................................................................................... 30

3.2.5 Función Objetivo ......................................................................................................... 42

3.3.6 Cuadro resumen del MSTF ........................................................................................... 42

3.3 Modelo de Salida de trenes con Tiempos Variables (MSTV) ............................................ 44

3.3.1 Conjuntos .................................................................................................................... 46

3.3.2 Parámetros .................................................................................................................. 48

3.3.3 Variables ..................................................................................................................... 49

3.3.4 Restricciones ............................................................................................................... 50

3.3.5 Función Objetivo ......................................................................................................... 56

3.3.6 Cuadro resumen del MSTV .......................................................................................... 57

3.4 Integración de los modelos ........................................................................................... 58

3.4.1 Conversión de resultados del MSTV al MSTF ................................................................ 58

3.4.2 Nuevas restricciones del MSTF ..................................................................................... 59

ii

4. APLICACIÓN DE LOS MODELOS................................................................................. 61

4.1 Tamaño de las instancias ............................................................................................... 61

4.1.1 Tamaño del MSTF ........................................................................................................ 61

4.1.2 Tamaño del MSTV ........................................................................................................ 62

4.2 Resolución de los modelos ............................................................................................. 63

4.2.1 Resolución del MSTV ................................................................................................... 64

4.2.2 Resolución del MSTF .................................................................................................... 70

4.3 Análisis y experimentos ................................................................................................. 75

4.3.1 Horarios de salida ........................................................................................................ 75

4.3.2 Generación de rutas .................................................................................................... 77

4.3.3 Tiempos de espera ...................................................................................................... 80

4.3.4 Análisis de la situación actual ....................................................................................... 87

5. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES ....................................................................................... 90

6. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 94

ANEXOS ...................................................................................................................... 96

1. Red de Metro, Diciembre 2007. .................................................................................... 96

2. Siglas Estaciones de Metro. .......................................................................................... 97

iii

INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1: Proceso jerárquico de planificación del transporte público de trenes. ............... 6

Figura 2.2: Esquema general de la planificación de la oferta de transporte en Metro S.A. .. 9

Figura 2.3: Problema de programación de horarios a costo mínimo. .................................. 16

Figura 2.4: Representación de los trenes feeder, critical y next. ......................................... 20

Figura 3.1: Red espacio temporal de viajes en una línea. .................................................... 30

Figura 3.2: Diagrama de conservación de flujo. ................................................................... 33

Figura 3.3: Maniobra tras-estación. ..................................................................................... 36

Figura 3.4: Maniobra ante-estación. .................................................................................... 37

Figura 3.5: Estacionamiento de trenes en una estación terminal........................................ 37

Figura 3.6: Diagrama de satisfacción de demanda............................................................... 41

Figura 3.7: Modelo de Salida de trenes con Tiempos Fijos (MSTF). .................................... 43

Figura 3.8: Combinación Estación Los Héroes. ..................................................................... 47

Figura 3.9: Red del Metro de Santiago. ................................................................................ 48

Figura 3.10: Combinación de un tren a otro. ....................................................................... 52

Figura 3.11: Modelo de Salida de trenes con Tiempos Variables (MSTV). .......................... 57

Figura 4.1: Llegadas a las estaciones de combinación. ........................................................ 65

Figura 4.2: Gráfico de la demanda en Línea 1 dirección SP-EM. .......................................... 73

Figura 4.3: Gráfico de la demanda en Línea 1 dirección EM-SP. .......................................... 73

Figura 4.4: Rutas L1-L4-L4A y L5-L4-L4A. .............................................................................. 78

Figura 4.5: Rutas L2-L4A-L4 y L4-L4A-L2. .............................................................................. 79

Figura 4.6: Rutas L4A-L4-L1 y L4A-L4-L5. .............................................................................. 79

Figura 4.7: Incorporación de trenes intermedios. ................................................................ 83

Figura 4.8: Tramos de la red. ................................................................................................ 85

iv

INDICE DE TABLAS

Tabla 4.1: Cantidad de variables del MSTF. .......................................................................... 61

Tabla 4.2: Cantidad de restricciones del MSTF. ................................................................... 62

Tabla 4.3: Cantidad de variables del MSTV .......................................................................... 62

Tabla 4.4: Cantidad de restricciones del MSTV. ................................................................... 62

Tabla 4.5: Tiempos de viaje entre estaciones de combinación............................................ 66

Tabla 4.6: Tiempos de viaje desde las estaciones terminales a las de combinación. .......... 66

Tabla 4.7: Número de trenes extras c/r a Tmax. .................................................................. 67

Tabla 4.8: Instantes de salida de los últimos trenes de las estaciones terminales. ............. 69

Tabla 4.9: Instantes de salida de los trenes extra desde la estaciones terminales.............. 69

Tabla 4.10: Disponibilidad inicial de los trenes en las estaciones terminales...................... 71

Tabla 4.11: Parámetros co, cap, tv y m. ............................................................................... 72

Tabla 4.12: Tiempos mínimos y máximos entre trenes consecutivos. ................................ 72

Tabla 4.13: Instantes de salida de los últimos trenes y de los trenes extra. ........................ 74

Tabla 4.14: Cantidad de viajes por línea............................................................................... 75

Tabla 4.15: Horarios de salida de los últimos trenes y los trenes extra. .............................. 76

Tabla 4.16: Cantidad de trenes extra c/r a emax. ................................................................ 77

Tabla 4.17: Tiempos de espera por último tren. .................................................................. 81

Tabla 4.18: Tiempos de espera por trenes extra. ................................................................. 82

Tabla 4.19: Tiempos de espera con trenes intermedios. ..................................................... 84

Tabla 4.20: Tiempos en ruta L1-L4-L4A. ............................................................................... 86

Tabla 4.21: Tiempos en ruta L5-L4-L4A. ............................................................................... 86

Tabla 4.22: Tiempos en ruta L2-L4A-L4. ............................................................................... 86

Tabla 4.23: Tiempos en ruta L4-L4A-L2. ............................................................................... 86

Tabla 4.24: Tiempos en ruta L4A-L4-L1. ............................................................................... 86

Tabla 4.25: Tiempos en ruta L4A-L4-L5. ............................................................................... 87

Tabla 4.26: Tiempos de espera actuales por últimos trenes................................................ 88

1

1. INTRODUCCIÓN

La programación horaria de trenes, constituye una parte fundamental dentro del proceso

de planificación del trasporte público de trenes. En este proceso se debe programar las

salidas y llegadas de trenes para puntos específicos de una red. Además dependiendo de

los distintos propósitos que se busquen, la información es requerida en distintos niveles

de agregación, según las características de la red.

Esta tesis aborda un problema de programación de horarios de trenes que circulan en una

red. Específicamente, la red en estudio corresponde al Metro de Santiago, ferrocarril

metropolitano que cruza gran parte de la capital, siendo uno de los principales operadores

de transporte público del país, transportando a más de dos millones de personas a diario.

Actualmente lo componen 5 líneas, y se está trabajando en proyectos para su extensión,

con lo que abarcaría 21 comunas de la capital1.

Actualmente, Metro S.A. ha enfrentado un sin número de problemas de aspectos

operacionales que han sido noticia pública, principalmente por la incorporación de una

nueva estrategia de transporte público implementada en la capital, en donde un gran

porcentaje de santiaguinos ha cambiado su modalidad de viaje, prefiriendo el antiguo y

conocido sistema de Metro, a la utilización de nuevos buses con nuevos recorridos. El

principal resultado de esto es un aumento inesperado en la demanda de viajes en Metro,

lo que ha significado un mayor control y precisión en cuanto a la operación.

Algunos de estos problemas son causados a la hora de cierre, en donde se ha encontrado

a pasajeros que quedan dentro de la red sin poder llegar a sus destinos. Este problema

ocurre cuando los pasajeros que deben realizar combinaciones, para llegar a su destino, y

no alcanzan a tomar el tren que corresponde para realizar la transferencia. Como solución

a esto, en algunos casos, Metro ha debido pagar por un trasporte público alternativo para

que estas personas puedan completar su viaje.

1 http://www.metrosantiago.cl/organizacion.php

2

La motivación de esta tesis surge debido a los costos asociados a esta medida y por la

calidad de servicio que desea brindar Metro, por lo que se desea solucionar esta situación

a la hora de cierre, asegurando a cada pasajero la llegada a su destino.

El tema abordado en este trabajo es la programación horaria de trenes a partir de un

cierto instante cercano a la hora de cierre, en donde se genere una programación viaje a

viaje que permita ir disminuyendo su frecuencia de salida y así comenzar a guardar los

trenes en sus cocheras, teniendo siempre en cuenta el trade-off producido entre el nivel

de servicio entregado a los pasajeros y los costos operacionales en los que se incurre.

El alcance de esta tesis es el planteamiento de un modelo que permita a los pasajeros que

consiguieron entrar a la red de Metro, poder llegar a sus destinos con al menos un camino

lógico factible. Al decir lógico se refiere a realizar rutas directas y con un único destino. La

palabra factible hace referencia a que exista un camino por donde circulen trenes para

poder realizar combinaciones si fuese necesario.

El problema será abordado con la creación de modelos matemáticos, que se basarán

principalmente en problemas relacionados a la programación de trenes, y a la

coordinación de transferencias respectivamente.

Referente a lo anterior, existe una amplia línea de investigación sobre estos temas. Para el

problema de programación de horarios, en la literatura, principalmente se abarca el tema

de la programación bajo el supuesto que el resultado obtenido se replica durante toda la

jornada de operación, con el fin de enfrentar la demanda por transporte, junto a una serie

de restricciones operativas de por medio, que hay en común. Para enfocarse en el

problema planteado en esta tesis, es decir, el cierre de la jornada, se debe incorporar el

hecho de guardar trenes en sus cocheras, y así disminuir la frecuencia de salida de éstos.

En cuanto a la literatura sobre la coordinación de transferencias se discute principalmente

el tiempo que deben esperar los pasajeros para poder realizar combinaciones. Esto servirá

para poder trabajar con las transferencias, identificándolas y alineando objetivos según las

características del problema planteado.

3

De acuerdo a lo expuesto, el problema general de esta tesis será abordado con la creación

de dos modelos. El primero de ellos tiene por objetivo generar las salidas de trenes a

partir de un cierto instante y el estacionamiento final de los mismos, sujeto a un conjunto

de restricciones, con el fin de minimizar la cantidad de viajes realizados en una línea. El

segundo modelo trabajará con las líneas en forma conjunta y consistirá en programar las

salidas de los últimos trenes desde cada estación terminal con el fin de poder satisfacer las

rutas entre todos los pares origen-destino de la red, después de la hora de cierre.

Una diferencia que hay entre los modelos, es que en el primero de ellos no se pueden

manejar los tiempos de estacionamiento de los trenes en las estaciones intermedias de la

red, debido al gran número de viajes que se producen, lo que resultaría difícil de operar

para Metro (muchos trenes con distintos tiempos de parada en las estaciones), a

diferencia del segundo donde sólo se trabaja con un tren desde cada estación terminal.

Una vez concebidos ambos modelos, éstos se podrán juntar añadiendo restricciones que

surjan a partir de los resultados del segundo de ellos, al primero, y así poder obtener la

solución final deseada para el problema.

En cuanto a la estructura del informe, en el Capítulo 2 se realiza una revisión bibliográfica

que contiene los principales temas de esta tesis. Se comienza con una descripción en

cuanto a la planificación del transporte público en general y cómo se realiza en Metro S.A.

Además, se analiza los temas de la programación de horarios y la coordinación de

transferencias, mostrando las principales formulaciones.

En el Capítulo 3 se presenta la creación de los modelos desarrollados en el marco de esta

tesis. Se comienza con el primer modelo que se hace cargo de la programación de horarios

de trenes hasta la hora de cierre, en donde la principal característica es la disminución de

la frecuencia de salida de los trenes pudiendo satisfacer la demanda que se enfrenta a esa

hora.

Luego se presenta la creación del segundo modelo que se hace cargo de la coordinación

que debe existir en los trasbordos. El capítulo concluye con una explicación de cómo

4

ocurre la integración de ambos modelos, incorporando resultados del segundo en forma

de restricciones en el primero.

En el Capítulo 4 se presentan los resultados de los modelos, se realiza análisis de los

principales indicadores de desempeño de la operación, se plantea alternativas de solución

y se hacen comparaciones con respecto a la situación actual con la que trabaja Metro S.A.

Finalmente en el Capítulo 5 se discute los resultados y los principales análisis obtenidos de

ellos, pudiendo concretar y sintetizar lo realizado escogiendo una solución final

satisfactoria. Además se presenta las conclusiones del trabajo.

5

2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

En el presente capítulo se realiza una descripción de la planificación del transporte público

de trenes desarrollada en países europeos y además se muestra cómo Metro S.A. trabaja

su planificación, dando una breve descripción de cada una de sus etapas.

Además, se revisa algunos casos estudiados por ciertos autores, donde se incluye los dos

temas que se mencionaron en la Introducción, que sirven de referencia para el desarrollo

de los modelos para esta tesis, esto es, la programación de horarios de trenes y las

combinaciones o trasbordos que se realizan en una red.

2.1 Planificación del transporte público de trenes

El proceso de planificación de transporte público de trenes posee dos grandes

componentes que se relacionan con la determinación de las rutas entre cada origen y

destino, y con la asignación de recursos necesaria para poder satisfacer las necesidades de

los pasajeros. En relación a dichas componentes, a continuación se presenta un esquema

general del proceso de planificación del transporte público de trenes, que se utiliza en

países europeos, analizando brevemente cada una de sus partes. En seguida se describe

cómo Metro trabaja actualmente este tema.

2.1.1 Pasos generales de la planificación del transporte público de trenes

En la actualidad, la planificación del transporte público de trenes es una tarea bastante

compleja debido a la gran cantidad de factores que deben interactuar simultáneamente.

Entre ellos predominan los kilómetros que componen la red, la cantidad de trenes que se

utilizan, la cantidad de kilómetros recorridos a diario, la cantidad de empleados, y las

grandes cantidades de dinero que mueve todo este sistema. Por ejemplo, para redes de

trenes en países europeos, las cifras que se observan son del orden de billones de

kilómetros viajados, y un número similar con

transportados (Lindner, 2000

Es precisamente por estas enormes cifras, que se constituye un concepto de

jerárquico (Bussieck, 1998

transporte público de trenes utilizado en Alemania

En él se observa que el proceso comienza con el análisis

por el servicio, la cual por lo general

siguiente tarea es la planificación

puntos de parada, conexiones y tiempos de ciclo, es decir, su ruta y su frecuencia; en

seguida para la planificación

trenes deben ser fijadas de acuerdo a

más adelante en base a variaciones temporales y restricciones operativas;

viaje programado se le debe asignar una cantidad de coches para la operación, y para

finalizar el proceso se debe asignar

Figura 2.1: Proceso jer

6

kilómetros viajados, y un número similar con respecto a la cantidad de pasajeros

er, 2000).

por estas enormes cifras, que se constituye un concepto de

, 1998). La Figura 2.1 representa el esquema de

de trenes utilizado en Alemania.

En él se observa que el proceso comienza con el análisis sobre la demanda de pasajeros

por el servicio, la cual por lo general se expresa como una matriz Origen

planificación de las líneas, lo que implica la determinación


planificación de los horarios de trenes, todas las llegadas y salidas de

trenes deben ser fijadas de acuerdo a los tiempos de ciclo, lo cual se pu

más adelante en base a variaciones temporales y restricciones operativas;


finalizar el proceso se debe asignar una tripulación a cargo de cada viaje

Proceso jerárquico de planificación del transporte público

Administración de la tripulación

Planificación del material rodante

Planificación de los horarios de trenes

Planificación de líneas

Demanda de pasajeros

respecto a la cantidad de pasajeros

por estas enormes cifras, que se constituye un concepto de planificación

igura 2.1 representa el esquema de planificación de

la demanda de pasajeros

una matriz Origen-Destino; la

de las líneas, lo que implica la determinación de sus


de los horarios de trenes, todas las llegadas y salidas de

o, lo cual se puede ir afinando

más adelante en base a variaciones temporales y restricciones operativas; luego a cada


viaje.

ción del transporte público de trenes.

7

2.1.1.1 Demanda de pasajeros

Con el fin de establecer un servicio de transporte orientado a las necesidades de los

pasajeros, el volumen de tráfico o la demanda de pasajeros debe ser dada o se debe

estimar. La forma convencional de demanda de pasajeros es la llamada matriz Origen-

Destino, en donde una entrada (i,j) entrega la cantidad de personas que desean viajar

desde i a j, donde i representa la estación de origen y j la estación de destino. Esta matriz

es calculada cada cierto intervalo de tiempo definido, durante todo un día de operación.

Cabe destacar que los resultados obtenidos de esta matriz, sólo reflejan la demanda de los

pasajeros para una red que ya se encuentra establecida (líneas y programación horaria

determinadas). Si la planificación de líneas o la programación de los trenes cambiaran, tal

vez la elección de los pasajeros se podría ver afectada.

2.1.1.2 Planificación de las líneas

Se puede definir una línea por la ruta que se le asigna y la frecuencia con la que opera.

Una ruta queda definida por un camino en la red, y la frecuencia determina que tan

seguido se operará con trenes en esa línea dentro del período programado. En esta etapa

se busca seleccionar líneas dentro de un conjunto de líneas factibles de operar, sujeto a

una serie de restricciones y un objetivo final.

Dentro de las restricciones que se deben cumplir, una primordial es que la cantidad de

viajes programados debe ser suficiente para poder transportar a todos los pasajeros.

Comúnmente a la hora de elegir un objetivo se debe lidiar con el trade-off entre la calidad

de servicio ofrecido y la minimización de costos operacionales.

2.1.1.3 Planificación de los horarios de los trenes

La generación de horarios de trenes consiste en fijar los tiempos de salida y llegada de

todos los trenes a todas las estaciones de la red. Según el número de trenes programados

8

que pasan por una determinada estación y la frecuencia con que lo hacen, la

programación de los horarios podría estar orientada a la optimización de diferentes

criterios (Vega et al, 2002): costos del usuario (tiempos totales empleados, ya sea de viaje

y de espera), costos de operación (tiempos de operación y cantidad de vehículos

utilizados), y costos de la calidad de servicio (costos por viajar de pie y la densidad de

viajeros que viajan a pie)

2.1.1.4 Planificación del material rodante y de la tripulación

Los viajes establecidos por la programación de horarios deben ser realizados por algún

vehículo (coches por ejemplo) y por una tripulación (conductores principalmente). Hay

que destacar que la administración de la tripulación no solo involucra a quienes van a

bordo del tren, si no que también incluye a la gente de aseo de cada una de la estaciones,

a los encargados de atender en boletería, y personal de seguridad entre otros.

La integración de cada uno de estos pasos, permite que se construya en forma clara y

ordenada la planificación del transporte público de trenes. La realización de cada uno de

estos pasos es de suma importancia, ya que cada uno de ellos depende del anterior para

poder tomar las decisiones correspondientes.

2.1.2 Planificación de la oferta de transporte en Metro S.A.

A continuación se describe cómo Metro trabaja la planificación de su oferta de viajes con

el fin de cumplir con la demanda que enfrenta, entregando un nivel de servicio

satisfactorio para sus pasajeros. Su forma de trabajo particular, se asemeja en algunos

pasos al esquema mencionado en la sección anterior.

Como lo establece Romero (2005), la forma en que opera Metro se puede representar en

base a cuatro etapas claves, las cuales se muestran a continuación:

Asignación de conductores y generación de rotaciones

Generación de tableros de presencia de conductores

Planificación agregada del transporte público

Figura 2.2: Esquema general de la

Realizando un pequeño paralelo con el proceso jerárquico establecido para la

planificación del transporte público de trenes en Europa, se reconocen en éste último las

etapas del anterior. Las dos primeras etapas del modelo europeo se encuentran en la

primera del proceso utilizado por Metro, la

encuentran en la segunda etapa del modelo de Metro, y la última etapa del modelo

europeo se descompone en las dos últimas etapas del modelo de Metro.

Es preciso notar que una parte importante de esta tesis tiene su foco

del modelo utilizado por Metro y

tema que se abordará en la siguiente sección.

A continuación de detalla cada uno de los pasos que componen el proceso

de la oferta de transporte en Metro

2.1.2.1 Planificación agregada de

Esta etapa está compuesta por tres aspectos que de

entrada para poder generar la planificación de la producción de viajes para dar servicio.

Éstos son, la demanda de pasajeros por viajes, los estándares de calidad que se desean

9

Asignación de conductores y generación de rotaciones

Generación de tableros de presencia de conductores

Generación de programas de circulación

Planificación agregada del transporte público

: Esquema general de la planificación de la oferta de transporte en Metro S.A.



l anterior. Las dos primeras etapas del modelo europeo se encuentran en la

ilizado por Metro, la tercera y cuarta etapa del modelo europeo se


descompone en las dos últimas etapas del modelo de Metro.

preciso notar que una parte importante de esta tesis tiene su foco en la segunda etapa

del modelo utilizado por Metro y en particular en la tercera etapa del modelo europeo,

en la siguiente sección.

cada uno de los pasos que componen el proceso

de la oferta de transporte en Metro.

agregada del transporte público

Esta etapa está compuesta por tres aspectos que deben ser considerados como datos de


la demanda de pasajeros por viajes, los estándares de calidad que se desean

de transporte en Metro S.A.



l anterior. Las dos primeras etapas del modelo europeo se encuentran en la

etapa del modelo europeo se


descompone en las dos últimas etapas del modelo de Metro.

en la segunda etapa

en particular en la tercera etapa del modelo europeo,

cada uno de los pasos que componen el proceso de planificación

ben ser considerados como datos de


la demanda de pasajeros por viajes, los estándares de calidad que se desean

10

brindar y las restricciones operativas generales. A continuación se explica cada uno de

ellos.

Análisis de la demanda

La demanda es uno de los datos de entrada más importantes para la planificación del

transporte público de trenes. A partir de ella, se pueden definir los requerimientos que

deben ser satisfechos durante la operación.

La forma de trabajar con estos datos dependerá del día de operación y del período horario

en cuestión, es decir, se debe trabajar en forma separada los datos de demanda

correspondientes a un día laboral v/s fin de semana, y además dependerá si los datos

corresponden a un período punta o no (por lo general se presentan horas punta en la

mañana y en la tarde que no son comparables con la demanda que se presenta al medio

día o en la noche, las cuales son mucho menores).

Las técnicas utilizadas actualmente por Metro para la estimación de demanda de

pasajeros son las que se describen a continuación:

• Caldas

El sistema Caldas es un software orientado a estimar los flujos en la red tales como

demanda de viajes en las interestaciones, subidas y bajadas de pasajeros en las

estaciones y trasbordos en las estaciones que conectan una línea con otra. La

demanda de pasajeros en una interestación para un período horario es igual a la

cantidad de personas que desean pasar por ese punto en ese período horario

determinado. La metodología consiste en establecer la demanda de viajes en Metro a

partir de la distribución espacio-temporal de la afluencia.

Se entienede por afluencia en un punto determinado el total de viajes demandados

con origen en el punto de interés dentro del período de análisis.

11

El sistema recibe los siguientes datos de entrada: (a) afluencias de pasajeros por

estación desagregadas en períodos de 15 minutos; (b) matriz de tiempos de viaje entre

cada par de estaciones de la red, construida a partir de las marchas tipo de los trenes y

suponiendo tiempos de trasbordo; (c) matriz de probabilidades de viaje obtenida a

través de la encuesta origen-destino que periódicamente realiza Metro, la

probabilidad de viaje entre la estación A y B representa el porcentaje de la afluencia

de la estación A, que tiene como destino la estación B.

Sea Pik la probabilidad de pasar por la interestación k dado que se comenzó un viaje en

i, ��,� la afluencia en la estación i entre los instantes de tiempo t1 y t2, y vik el

tiempo de viaje entre la estación i y la interestación k, la demanda para una

interestación k entre los instantes t1 y t2 queda representada por la siguiente ecuación:

�� ,� � �� ,�� 2.1�

La demanda por cada interestación es la desagregación máxima que se puede tener

por concepto de espacio.

• Sistema de pesaje

La metodología de Sistema de pesajes utiliza sensores eléctricos ubicados en ciertos

puntos de la red, capaces de identificar cada tren y estimar el peso de cada coche. La

ubicación de los sensores corresponde a donde se registra la demanda máxima. Con

este sistema se puede determinar la carga de los coches, estimando un peso promedio

por persona, y así calcular cuántas personas pasan por ese tramo.

Hay que notar que entre el sistema de Caldas y el de pesaje, existe una diferencia

conceptual en términos de lo que se mide, ya que el primero de ellos mide demanda

(demanda efectiva), mientras que el otro método mide carga (demanda estimada).

12

El sistema de Caldas se considera el más apropiado para trabajar en esta tesis, ya que

analiza en detalle, en cuanto a espacio, una estimación de la demanda efectiva por viajes

en la red.

Calidad de servicio

En cuanto a los estándares de calidad que se debe tener para ofrecer un servicio

adecuado, se debe establecer la densidad de pasajeros en los viajes y las restricciones de

intervalo máximo permitido en la frecuencia de operación de trenes. Esto reflejará cuánto

es lo máximo que un pasajero esperará por un tren en cualquier estación de la red. Ambos

parámetros deben ser trabajados dependiendo del día y del período horario.

Restricciones operativas generales

Las restricciones operativas generales que se deben considerar son las que manejan el

sistema de operación de los trenes en régimen normal. Éstas son las restricciones de

intervalos mínimos de salida entre trenes, la disponibilidad de éstos, el estado de las

cocheras para estacionar trenes, los tiempos de viaje entre estaciones y los tiempos de

maniobra en las estaciones terminales.

2.1.2.2 Generación de programas de circulación

Para la generación de los programas de circulación, actualmente se utiliza Hastus2, un

software canadiense que además se encarga de la programación de las últimas dos etapas

del proceso de planificación (tableros de presencia de conductores y rotación de

personal). Como datos de entrada para la programación, se necesita el número de trenes

y/o frecuencia por período horario. Este cálculo se realiza en base a los datos de demanda

(para la planificación agregada se utiliza Afluencia y para estimar demanda proyectada al

año, en el corto plazo, se utiliza Caldas y pesaje), y a los estándares de calidad de servicio

2 Gerencia de Operaciones, Metro S.A.

13

(densidad de pasajeros). Además se deben introducir otros parámetros propios de la

operación. Con todo esto se consigue una generación viaje a viaje de toda la jornada.

2.1.2.3 Generación de tableros de presencia de conductores

En esta etapa se debe programar y organizar las actividades que se desprenden del punto

anterior, a modo que sean factibles de ser realizadas por las personas que componen el

grupo de servicio de conducción. Para esto se deben considerar restricciones que son

propias de la actividad de conducción, las cuales reflejan la duración máxima de una

jornada de trabajo para un conductor y la cantidad máxima de horas consecutivas que

puede estar conduciendo.

2.1.2.4 Asignación de conductores y generación de rotaciones

El último paso, consiste en la determinación de las cargas de trabajo mensuales tanto de

conductores internos como de empresas externas, en base a los servicios definidos en la

etapa anterior (disponibilidad de conductores internos o de empresas externas).

Así es como finaliza la planificación del transporte público de trenes en Metro S.A. en

donde el principal resultado es la estimación en detalle de los recursos necesarios para

poder operar y ofrecer un servicio de alta calidad y eficiente, para un período de un año.

2.2 Programación de trenes

A continuación se describe el tercer paso de la planificación de transporte público de

trenes, que corresponde a la planificación de los horarios de los trenes.

Diversos autores han trabajado este tema, en el cual se centran en la creación de modelos

que permitan programar horarios de trenes para un período de tiempo determinado, el

cual se replica durante la jornada de operación. La base de muchos de estos problemas

14

viene del problema de programación de eventos periódicos, PESP (Periodic Event

Scheduling Problem). En éste se construye una programación para períodos de tiempo en

donde el último evento ocurrido en uno de los períodos programados se coordina

exactamente con el primer evento del período siguiente, conexión que permite la

extensión de la programación para el resto de la jornada.

La mayoría de los trabajos relacionados al PESP (Villumsen, 2006; Nielsen et al, 2006;

Lindner and Zimmermann, 2005), se basan en el paper de Serafini and Ukovic (1989), en

donde se introduce el PESP.

En este problema, un período de tiempo T y un conjunto de eventos V son dados. Los

eventos sólo ocurren dentro del período en consideración T. Estos eventos corresponden

a salidas y llegada de trenes a las estaciones, y el objetivo final es la programación de cada

uno de estos sucesos con el fin de optimizar una función objetivo dada.

Para modelar la conexión entre eventos, se introduce un conjunto de restricciones A. Cada

restricción (p,q) conecta un par de eventos con respecto a una cota superior e inferior,

l(p,q) y u(p,q) respectivamente. La idea es que para dos eventos, la diferencia entre el tiempo

t(p) para p y el tiempo t(q) para q debe ser al menos l(p,q) y a lo más u(p,q). La diferencia de

ocurrencia de los eventos es tomada por módulo T, de tal forma que sólo pueda tomar

valores entre 0 y T.

�� !,"�# $%� & ' ��!,"� � ��!,"� �2.2�

Por lo general, la función que se desea minimizar es como la que se muestra a

continuación.

� (�!,"� � �� !,"�# $%� &�!,"�)* �2.3�

En la ecuación anterior c(p,q) representa el costo por unidad de tiempo asociado a los

eventos (p,q).

15

Otro modelo basado en el PESP, está orientado a la minimización de costos, tal como lo

hace Lindner and Zimmermann (2005), basado en el modelo planteado por Claessens et al

(1998). En el trabajo de Lindner and Zimmermann (2005) se consideran costos fijos por

período, por trenes y por coches (lo que incluye depreciación, costos de capital,

mantención y estacionamientos nocturnos), y costos variables (por distancia recorrida,

cantidad de trenes y coches utilizados).

El modelo considera un coso operacional dependiendo del tipo de tren que sea asignado a

cada línea, luego los autores proponen un problema de programación lineal mixto, donde

se busca el mínimo costo de operación para cada línea según el tipo de tren utilizado, de

un conjunto T de tipos de trenes disponibles para la operación (cuya principal diferencia

son las distintas velocidades que pueden alcanzar).

Las variables involucradas en el modelo son las siguientes:

,-,.,/: 1 si la línea 8 ) 9, utiliza tren tipo @ ) &- , con ( ) BЦ…ПF coches; 0 si no. �-,J� : instante de llegada de un tren de la línea 8, con dirección � a la estación M. �-,J� : instante de salida de un tren de la línea 8, con dirección � a la estación M. O: vector de enteros para las restricciones del �QR�. Aquí Tr denota el conjunto de trenes que pueden ser utilizados en la línea r є R, Ц es el

número mínimo de coches de un tren, П el máximo número de coches. La dirección u

puede ser 0 ó 1, correspondiendo respectivamente a las dos direcciones de cada línea. El

modelo de minimización de costos de programación horaria es el que se muestra en la

Figura 2.3.

La función objetivo planteada resume todos los costos involucrados en la operación. El

primer término representa los costos fijos, mientras que el segundo representa los costos

por kilómetro recorrido. Los parámetros utilizados son los siguientes:

tr,g: tiempo empleado en viajar de un extremo de la línea r al otro y volver, con un tren

tipo g.

16

S.T�U V S.T�UW: costo fijo por operar con tren tipo g y costo por coche respectivamente.

S. X V S. XW: costo por km. por operar con tren tipo g y costo por coche por km.

respectivamente.

YZ[� � �\�-,./^^&_ � �S.T�U ` ( � S.T�UW#,-,.,/ ` �- � �S. X ` ( � S. XW�,-,.,/П

/aЦ.)bc-)d

e. �. � � �f. � ( � ,-,.,/

П/aЦ.)bc-)d g [h i j ) Q

� �,-,.,/ � 1П/aЦ.)bc i 8 ) 9

� �k.�,�l � ,-,.,/П

/aЦ.)bc ' �-,J�l � �-,J� ' � �m.�,�l � ,-,.,/П

/aЦ.)bc i 8 ) 9, �M, Mn� ) 8; 8je�8o((oóp �QR�

,-,.,/ ) B0,1F i 8 ) 9, i@ ) &- , i ( ) BЦ…ПF �-,J� , �-,J� ) q

O, Mj(�%8 jp�j8%

Figura 2.3: Problema de programación de horarios a costo mínimo.

dr: largo (en kilómetros) de la línea r.

Kg: capacidad de un coche correspondiente a un tren tipo g.

Ne: capacidad mínima que debe ser ofrecida (se entiende como la demanda a abastecer).

k.�,�n y m.�,�n: cota inferior y superior respectivamente, del tiempo de viaje para ir de v a v’,

utilizando tren tipo g.

17

En el trabajo de Nielsen et al (2006), se describe un modelo de programación lineal entera

para la generación de horarios de trenes para una compañía de trenes Danesa.

El modelo toma como entrada el tiempo de viaje entre estaciones, los tiempo de

maniobra en cada estación terminal para que los trenes puedan dar la vuelta y los

patrones de los tiempos de parada en las estaciones para cada tipo de tren y línea. Los

costos de operación vienen dados según la programación horaria que se haga y son

proporcionales al número de trenes requeridos, luego el principal objetivo es la

programación de estos horarios con el fin de minimizar el número de trenes necesarios

para poder operar el horario generado.

Además, en el modelo se trabaja con la interacción de las líneas que tienen estaciones de

trasbordo, y entre las líneas que realizan viajes entre las mismas estaciones, pero sólo en

líneas paralelas.

Al modelo también se agregan restricciones sobre los intervalos de salida de los trenes y

para aquellos pasajeros que realizan combinaciones. El modelo se restringe para que los

pasajeros no esperen tiempos demasiado grandes por el tren de trasbordo.

En dicho trabajo también se utilizan nociones del PESP, para un período de 20 minutos.

Las principales variables de decisión del modelo son los instantes de salida de los trenes

de cada estación, y los tiempos de espera en cada estación terminal. Además, se considera

un tiempo de holgura (slack time) extra de espera en las estaciones en caso de ser

necesario, el cual también es una variable más de decisión del modelo.

En la función objetivo, como ya se mencionó, se busca la minimización del número de

trenes necesarios y además se introduce la minimización de estos tiempos de espera extra

considerados, es decir, se busca también que el tiempo de viaje entre estaciones sea el

mínimo.

El análisis de estos trabajos servirá para el desarrollo del primer modelo de esta tesis,

tema al cual se le deberán agregar características sobre la hora de cierre, esto es, la

18

decisión de comenzar a guardar trenes, tema que no ha sido estudiado por los autores

mencionados.

2.3 Coordinación de trasbordos

En esta sección se discute el problema de la coordinación que debe existir en el transporte

público tanto de trenes, sistema de buses o mixto. Este tema es de interés para el

desarrollo de la tesis ya que se debe realizar una coordinación para los últimos trenes que

salen desde las estaciones terminales, con el fin de que todos los pasajeros puedan

realizar las combinaciones que requieran para llegar a sus destinos.

El tema ha sido estudiado por varios autores, teniendo como objetivo común la

optimización de los sistemas de costos asociados (costos operacionales, costos por tiempo

de espera de los pasajeros y/o costos asociados a la calidad de servicio brindada)

2.3.1 Introducción a las transferencias

Dentro de las actividades de toda ciudad, la cantidad de rutas origen-destino demandadas

resulta cada vez más compleja de abastecer en forma directa con transporte público

(trenes o buses). Es por esto que para poder satisfacer la demanda, son necesarias las

transferencias, las cuales deben ser coordinadas con el propósito de cumplir con las rutas

demandadas.

Las transferencias en transporte público permiten una baja en los costos al hacer

interactuar dos sistemas, en vez de crear caminos directos para el gran número de rutas

demandadas.

En este ámbito se enfrentan dos típicos problemas (Knoppers and Muller, 1995): la

reducción del tiempo necesario para realizar la transferencia, y la reducción de la

probabilidad de perder una conexión.

19

Se podría pensar que existe una relación entre los tiempos de espera y la probabilidad de

perder una conexión, ya que perder una conexión se traduce en un mayor tiempo de

espera.

Para efectos de esta tesis, los tiempos necesarios para realizar combinaciones dentro de la

red se consideran fijos, pues la red se encuentra predeterminada y no se puede modificar,

luego bastaría con la disminución de la probabilidad (en particular llevándola a cero) que

un pasajero pierda una conexión, y así se estaría minimizando el tiempo de espera de los

pasajeros.

Por lo general, para realizar la coordinación de vehículos, éstos son programados para

encontrarse de tal forma que el primero de ellos que llega al lugar de combinación es

demorado (held), hasta la llegada del segundo vehículo.

Abkowitz et al (1987), trabaja con distintos escenarios para la realización de sincronización

y coordinación de transferencias. Entre ellos se destacan los que se mencionan a

continuación.

• Estrategia de detención simple: el vehículo en la línea de menor frecuencia es

detenido hasta que el vehículo en la línea de mayor frecuencia llega.

• Estrategia de detención doble: el vehículo que llega primero es detenido hasta que

el otro vehículo llega.

Por las características de la hora de operación de los trenes para esta tesis (en donde la

coordinación se trabaja para los últimos trenes), se cree conveniente utilizar la estrategia

de detención doble, bajo ciertas condiciones que serán descritas en el Capítulo 3, que

hacen referencia a la calidad de servicio establecida con los tiempos máximos permitidos

de espera de los pasajeros por los últimos trenes.

20

2.3.2 Costos asociados a los trasbordos

Algunos autores (Bookbinder, 1992; Hall, 2001), proponen minimizar una función de

costos con respecto a los usuarios en la que se involucran los tiempos de espera. La

coordinación de transferencias es entendida como una estrategia de programación de

horarios donde ciertos viajes son programados para encontrarse en un punto de

combinación (llamados puntos focales). Existen dos tópicos que pueden ser tratados en

relación a este problema. Uno de ellos es definir una función objetivo que sea capaz de

reflejar todos los inconvenientes de realizar transferencias bajo un horario de trenes

previamente establecido, y el segundo punto, es desarrollar un algoritmo para encontrar

un horario que permita minimizar una función objetivo.

Para comprender el planteamiento de la función objetivo propuesta se debe introducir

algunas definiciones.

Sea F (feeder) el tren que accede por la línea Lf, en el cual vienen pasajeros y desea realizar

una combinación en un punto focal. Sea C (critical), en Lr, el tren con el que F debiera

combinar. Sea N (next) un tren posterior a C, en Lr, que se llevará a los pasajeros de F si es

no pudieron irse en C por que llegaron después.

Figura 2.4: Representación de los trenes feeder, critical y next.

Además se definen los siguientes tiempos de llegada al punto focal para cada uno de los

trenes respectivamente tc, tn y tf, y se asume además que dichos tiempos pertenecen a un

intervalo finito acotado por [af, af + zf], [ac, ac + zr] y [an, an + zr] respectivamente. Estos

F

C N

21

intervalos son ventanas de tiempo, y donde z corresponde a la tasa de llegada (arrival

spread). Se puede notar que a corresponde al menor instante de llegada posible.

Con esto se puede definir una función w(·) la cual indica el tiempo de espera de los

pasajeros:

,��/ , �s , �T# � t �/ � �T eo �/ g �T�s � �T jp %�8% (�e%^ �2.4� Otro ejemplo donde se trabaja con política de demora de trenes, considera el caso donde

se cuenta con los tiempos de salida de los trenes desde el punto focal: dc, dn, df .

Luego si se dispone de los tiempos t y d, y se asume que los viajes se realizan

inmediatamente si es que éstos están atrasados, la función queda definida como sigue:

w ��/ , �s, �T# � w dx � ty si tx ' dx, ty ' dxtx � ty si tx z dx, tx g tyd{ � ty si ty z dx, ty z dx, t{ ' d{tx � ty en otro caso ̂ (2.5)

Una vez conocido el tiempo de espera de los pasajeros, es posible crear una función de

desutilidad la cual tenga como entrada este tiempo. Sea g la función de desutilidad, un

caso particular de esta función podría ser g(w)=w, dado que el tiempo de espera

representa un costo (no monetario) para los usuarios.

Sea D = E(g(w)), la esperanza del tiempo de espera, se puede demostrar (Bookbinder,

1992) que D queda completamente determinado por los valores de los parámetros af, ac,

zf y zr.

Hasta el momento la función de desutilidad encontrada mide el “costo” de un pasajero

sólo por realizar un trasbordo. Ahora se quiere encontrar una función que sea capaz de

juntar en ella todos los trasbordos para una programación de horarios de trenes conocida,

T.

22

Para esto, sean todos los posibles trasbordos k definidos para T, con k = {1, 2… M}. Luego

para cada trasbordo se tendrá una función Dk(T) que representa la esperanza del tiempo

de espera, por realizar el trasbordo k, bajo T. Además sea nk el flujo de la transferencia, es

decir, la cantidad de pasajeros que realiza el trasbordo. Con esto se puede definir la

siguiente función de costos:

S�&� � �p �&�| a} �2.6�

Con esta función dada, se podría encontrar la programación de horarios T, que minimice

dicha función de costos.

2.3.3 Restricciones sobre las ventanas de tiempo

Cuando un pasajero desea realizar un trasbordo, es decir, en una estación determinada

bajarse de un tren t y subirse a un tren t’, suponiendo que el tiempo que demora en

realizar esta acción va entre los 2 y 4 minutos, debe suceder que

dt’ – at ) [2,4]T �2.7� donde dt’ representa la salida del tren t’ desde la estación de trasbordo, at la llegada del

tren t a la estación, y [2,4]T la periodicidad. Luego un equivalente sería

��n � �� ` ��$%� & � ) [2,4] �2.8�

Generalizando el modelo, como lo discute (Giesemann, 2002) basado en el PESP, la

restricción sobre la ventana de tiempo que debe existir entre la llegada de t y la salida de

t’ se podría representar de la siguiente forma:

�� ` ��$%� & � ) ��, �� 2.9�

23

En la Ecuación 2.9 T є � es el período establecido por el horario de programación, y lij y uij

є � las cotas inferiores y superiores respectivamente, para el trasbordo de i a j. Además se

puede asumir que lij - uij є [0,T].

De lo anterior se puede apreciar que i, j son eventos que corresponden a las llegadas o

salidas de los trenes a la estación de trasbordo, y ti, tj las variables de decisión de

ocurrencia de los eventos.

Con esta información, se tiene una noción sobre el problema que se enfrenta en esta

tesis, en donde la principal decisión son los tiempos de ocurrencia de los eventos

asociados a los últimos trenes.

Los temas tratados en las secciones 2.2 y 2.3 recientemente expuestas, referentes a la

programación de trenes y la coordinación de trasbordos respectivamente, son los que

alimentan la creación de los modelos desarrollados en el siguiente capítulo, modelos que

intentan resolver la problemática planteada en esta tesis.

24

3. MODELACIÓN PROPUESTA

En el presente capítulo se describe los modelos realizados para la hora de cierre del

Metro, en donde la principal característica es la toma de decisiones en cuanto a los

instantes de salida de los últimos trenes y cómo cada tren se va guardando, hasta finalizar

la jornada.

Todo lo anterior debe ir respaldado por un conjunto de restricciones, tanto operativas, de

calidad de servicio y de consistencia del modelo, las que permiten que la toma de

decisiones este estructurada bajo ciertos patrones, pudiendo así llegar a soluciones reales

y por sobre todo aplicables a la red en cuestión.

A continuación se presenta el enfoque del problema a resolver, posteriormente se

presentan las formulaciones de los modelos planteados, y finalmente se establece la

forma en que ambos modelos son integrados.

3.1 Enfoque del problema

Se busca resolver el problema de la programación de viajes de trenes, cercana a la hora de

cierre de las estaciones, para cada una de las líneas que compone la red de Metro, y las

posteriores entradas de trenes a cochera. Para esto es necesario definir un modelo que

sea capaz de coordinar los horarios de salida de los trenes desde las estaciones

terminales, hasta la hora en que ninguno de ellos esté circulando. Además la formulación

deber ser capaz de resolver el problema que se presenta a la hora de cierre de puertas de

cada estación, hora en la cual se debe garantizar que cada pasajero que consiguió entrar a

la red sea capaz de llegar a su destino.

En base a estos dos problemas, se ha desarrollado dos modelos. El primero de ellos se

encarga de realizar una programación de horarios en forma independiente para cada

línea, en la cual se debe ir disminuyendo la frecuencia de salida de los trenes hasta que

todos estén estacionados en sus cocheras. El segundo problema enfrenta la coordinación

que debe existir entre los trenes de las distintas líneas para poder realizar los últimos

25

trasbordos después de la hora de cierre de las puertas de las estaciones de Metro.

Posteriormente, éstos deben ser integrados para poder obtener una solución final capaz

de dar respuesta al problema en conjunto.

Otra característica que distingue a los modelos es que en el primero de ellos se trabaja

con los tiempos de estacionamiento fijos para cada estación intermedia, por lo tanto el

tiempo que emplea un tren en ir desde un extremo de una línea al otro será conocido y

fijo. Éste es el Modelo de Salida de trenes con Tiempos Fijos (MSTF). En el segundo

modelo se podrá decidir cuánto permanecer estacionado en las estaciones intermedias de

la red, para así poder coordinar los trasbordos, luego el tiempo de viaje para una línea no

será conocido y dependerá de la decisión tomada. Este último, es llamado Modelo de

Salida de trenes con Tiempos Variables (MSTV).

La razón de lo anterior, es que trabajar con tiempos de estacionamientos distintos para los

últimos n trenes presenta complicaciones operativas para Metro, por lo que se decide

operar con los mismo tiempos de estacionamiento para un intervalo de tiempo dado, y

existe la posibilidad de modificar estos tiempos para el último tren de cada línea.

En las siguientes secciones se presenta en detalle cada uno de los modelos.

3.2 Modelo de Salida de trenes con Tiempos Fijos (MSTF)

En esta sección se describe cada una de las partes que componen el MSTF. A continuación

se muestra ciertas consideraciones y supuestos que se deben tomar en cuenta a la hora

de modelar el problema descrito.

• La modelación del problema es válida a partir de un cierto instante T, instante en el

cual todos los datos son conocidos. Esto incluye la cantidad de trenes en operación

en cada una de las líneas, la posición de cada uno de ellos, el instante en que

llegarán a la estación terminal a la cual se dirigen, y las capacidades efectivas de las

cocheras en ese instante.

26

• Sólo se trabajará con material rodante de configuración fija3. De esta forma no se

debe incurrir en los tiempos de enganche y desenganche de coches en las

estaciones terminales.

• No se realizarán operaciones bucle4. Esto principalmente por trabajar en un

período que no es horario punta.

• La maniobra realizada en las estaciones terminales para cambiar la dirección de los

trenes será de tipo ante-estación. Esto se debe a las restricciones sobre los trenes

que deben estacionarse en la misma estación, (ver Sección 3.2.4).

• Se define un instante Tm después de cual no se podrá seguir operando, después del

cual todos los trenes deben estar estacionados en sus cocheras. Este instante

dependerá de lo que demore el viaje en cada una de las líneas y de un instante Tc

que es el horario mínimo permitido para el cierre de puertas para el ingreso a las

estaciones.

Antes de comenzar a formular el problema se debe aclarar ciertas definiciones que serán

utilizadas en el transcurso del trabajo.

• Nodo: un nodo corresponde a un punto en la red representado por una estación,

ya sea terminal o no. Las acciones permitidas en un nodo son, la llegada de trenes

al nodo, estacionar trenes en el nodo por un intervalo de tiempo, y la salida de

trenes del nodo. Se entiende que cada una de estas acciones, para un mismo nodo,

deben realizarse en instantes de tiempo distintos, ya que por ejemplo, en el caso

de los nodos que representan estaciones no terminales, la capacidad de

estacionamiento en un sentido alcanza sólo para un tren. Esta consideración está

incluida dentro de las restricciones de intervalos mínimos de salidas entre trenes

consecutivos, la cual es explicada en mayor detalle en la Sección 3.2.4.

3 Esto es para los trenes que operan en la Línea 4, los cuales son de configuración variable, pero para este problema se utilizará un solo tipo de tren. 4 Corresponden a subcircuitos que se realizan en una línea. Válido para la línea 1, 2 y 5.

27

• Arco: un arco representa la unión de dos nodos en la red, es decir, representa el

tramo existente entre dos estaciones pertenecientes a una misma línea. Se

trabajará con tres tipos de arcos: arcos que comienzan en una estación terminal y

terminan en una estación terminal; arcos que comienzan en una estación terminal

y terminan en cualquier estación, y arcos que unen nodos consecutivos de la red.

A continuación se presenta todos los elementos que hacen posible el desarrollo del MSTF,

el cual determina las salidas de trenes bajo los supuestos mencionados anteriormente.

3.2.1 Conjuntos

A continuación se presenta los conjuntos con los que se trabaja en el MSTF:

• I: conjunto de estaciones terminales, i є I.

• P: conjunto de períodos, t є P.

• R: conjunto de divisiones de P, r є R.

• Tr: conjunto de períodos en r, tr є Tr

• K: conjunto de trenes en operación, k є K.

• A: conjunto de arcos, a є A.

El conjunto P de períodos t, es dividido en r intervalos, en donde en el intervalo r los

períodos son denotados por tr.

El conjunto de arcos definido para una línea corresponde al tercer tipo de arcos definido,

es decir, a cada uno de los tramos que conectan estaciones consecutivas de la línea en

cuestión.

28

3.2.2 Parámetros

Se definen los siguientes parámetros para el MSTF:

• T: instante de inicio de la operación.

• Tm: instante máximo de operación.

• h: número de trenes en operación en T.

• coi: 1 si la estación terminal i se utiliza como cochera; 0 si no.

• capi: capacidad de la cochera correspondiente a estación terminal i.

• mi: tiempo empleado en realizar la maniobra ante-estación en i.

• tminr: tiempo mínimo de salida entre trenes consecutivos permitido en r.

• tmaxr: tiempo máximo de salida entre trenes consecutivos permitido en r.

• tvi: tiempo de viaje si comienzo en estación terminal i, hasta la otra estación

terminal de la línea.

• tsia: tiempo de viaje desde la estación terminal i hasta el inicio del arco a.

• d: período de medición de la demanda.

• ddaiat: demanda por arco a, accediendo desde i entre t y t+d.

• capa: capacidad del tren.

Los parámetros tminr y tmaxr son crecientes en r, es decir, a medida que avanzan los

intervalos de tiempo, los tiempos mínimos entre salida de trenes consecutivos van

aumentando y el tiempo máximo permitido de espera de un pasajero por un tren también

lo hace a través del tiempo. Esto resulta necesario para poder disminuir la frecuencia de

salida de trenes.

Los parámetros de demanda se miden en intervalos de tiempo de d unidades, para cada

uno de los arcos de la red. Así el parámetro ddaat representa la demanda en el arco a (de

nodos consecutivos) entre los instantes de tiempo t y t+d.

29

Los tiempos de viaje tvi y tsi,a representan los tiempos empleados en viajar partiendo

desde la estación terminal i hasta el otro extremo de la línea, y hasta el inicio del arco a

respectivamente.

La capacidad de los trenes (capa) es fija por línea y no depende del tipo de tren, pues se

trabajará con configuración fija, luego como el modelo trabaja con las líneas en forma

independiente, el parámetro capa dependerá exclusivamente de cada caso particular.

3.2.3 Variables

Las variables para el modelo de salida de trenes son las siguientes:

• Xikt: 1 si el tren k inicia viaje en instante t en i; 0 si no.

• Yikt: 1 si el tren k se guarda en instante t en i; 0 si no.

• Wikt: 1 si el tren k está disponible en instante t en i; 0 si no.

Las tres variables utilizadas son binarias e indican la realización de ciertas actividades para

todo instante t. Las actividades representadas son la salida de trenes a operación, los

estacionamientos de trenes en sus cocheras y la disponibilidad de éstos en las estaciones

terminales para poder iniciar un nuevo viaje o ser enviado a cochera.

Tal como se muestra en la Figura 3.1, se puede concebir a priori una red espacio-temporal

donde se permita la ocurrencia de los tres eventos antes mencionados, y tratar el

problema como uno de flujo en redes (Vaidyanathan et al, 2007) al cual se le debe agregar

un serie de restricciones propias de la conservación de flujo, otras operacionales y otras

que reflejan la calidad de servicio del sistema.

30

Estación terminal 1 Estación terminal 2

espera viaje salida a cochera

Figura 3.1: Red espacio temporal de viajes en una línea.

3.2.4 Restricciones

Existe un gran número de consideraciones que se deben respetar a la hora de cierre del

Metro, además de los patrones de calidad de servicio que se quiere entregar a los

pasajeros. A continuación se describe cada una de ellas.

• Disponibilidad inicial de los trenes.

Como se mencionó en los supuestos asociados al problema, existe un cierto

instante T en el cual el modelo comienza a operar, instante en el cual la posición

de cada uno de los trenes que operan en la línea en cuestión es conocida.

Entonces, se puede establecer el instante de disponibilidad de los trenes en las

Tiempo

31

estaciones terminales a las que se dirigen, fijando los valores de las variables Wikt

en 1 para los instantes de tiempo correspondientes a cada tren.

En conjunto con esto se fija en 0 los valores de las variables Wikt para todo instante

t anterior al instante de disponibilidad de dicho tren en su próxima estación

terminal.

• Disponibilidad de un tren para realizar acciones.

Cada vez que se quiera tomar una decisión sobre un tren, tanto como para iniciar

un viaje como para guardarlo, éste sólo podrá realizar la acción si se encuentra

disponible en la estación terminal en la cual se está tomando la decisión, de lo

contrario el modelo reflejará que el tren no se encuentra en esa posición y por lo

tanto no se puede realizar las acciones (iniciar viaje o gurdarlo).

Además se debe asegurar que el modelo no tome decisiones simultáneas sobre un

mismo tren, es decir, si en el instante t decide iniciar un viaje, no puede además

tomar la decisión de guardarlo, por lo tanto al tratarse de variables binarias, la

suma de ellas para un mismo i, k, t deberá ser menor o igual a uno.

La restricción anterior se refleja en la siguiente ecuación.

�� ` �� ' �� io, i�, i� �3.1�

De esta forma se asegura que la suma de las variables Xikt e Yikt sea menor o igual a

que el valor la variable de disposición Wikt (1 si está disponible y 0 si no)

• Desactivación de disponibilidad.

En conjunto con la restricción anterior, se agrega esta restricción la cual cambia el

estado de la variable Wikt cuando se realiza una acción en el instante anterior.

�1 � �� # g �� } io, i�, i�: 1………&X � 1 �3.2�

32

La Ecuación 3.2 asegura que si se inicia un viaje con un tren o si éste es guardado,

la variable Wikt+1 tomará valor 0. Además hay que recordar que Xikt e Yikt no pueden

tomar valor 1 simultáneamente, por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación

tendrá cota inferior y superior, 0 y 1 respectivamente, por lo que los valores para

Wikt+1 quedan bien definidos.

• Conservación de flujo.

Así como en la restricción anterior se puede cambiar el valor de la variable Wikt de

0 a 1, debe existir una restricción que sea capaz de activar el valor de dicha

variable, con la nueva disposición de trenes.

La Figura 3.2 representa el diagrama de conservación de flujo que debe existir para

este problema. Las estaciones i y j representan las estaciones terminales de una

línea. La flecha en verde (Xikt’) que sale de la estación i representa la salida del tren

k en el instante t’ y su llegada a la estación j en el instante t-1. La flecha en verde

(Wikt-1) en la estación j que va desde t-2 a t-1 representa la disponibilidad del tren k

en el instante t-1. Luego como un tren no se puede encontrar en dos lugares

simultáneamente, sólo una de estas dos acciones es posible (sólo una de las

flechas en verde).

Por otra parte las flechas en azul que salen de la estación j en t-1 (Xikt-1, Wikt, Yikt-1)

representan la salida del tren k desde j en dirección a i en t-1, la disponibilidad del

tren k en j en t y la salida del tren k a su cochera en t-1, respectivamente. Como los

trenes sólo pueden realizar una acción a la vez, sólo una de éstas es posible (sólo

una flecha en azul).

33

Estación i Estación j

t’

t-2

t-1

t

Figura 3.2: Diagrama de conservación de flujo.

Lo anterior se puede escribir analíticamente de la siguiente forma.

�� l `�� } � �� ` �� } ` �� } io, �, i�, i� �3.3�

En la ecuación (3.3), el término t’ es igual a (t-tvi-mj), es decir, que si la variable Xikt’

toma valor 1, significa que el tren k inicia un viaje desde i en t’ y por lo tanto estará

disponible en la estación j en el instante t, ya que tvi representa el tiempo

empleado en viajar desde la estación i a la otra estación de la línea, y mj el tiempo

empleado en realizar la maniobra ante-estación en la estación terminal j.

Esta ecuación representa al lado derecho la salida de un tren en el instante t’ o la

disposición de este tren en la estación terminal opuesta en t-1, de las cuales sólo

Xikt’

Wikt-1

Wikt

Xikt-1 Yikt-1

tvi + mj

Tiempo

34

una de ellas puede tomar valor 1, o ambas 0. El lado izquierdo de la ecuación

representa la disponibilidad del tren en el instante t, la realización de una salida de

la estación j en el instante anterior, o si el tren fue guardado en t-1. Al igual que al

otro lado de la ecuación, sólo una de estas tres variables puede tomar valor 1, o las

tres en conjunto el valor 0.

Hay que notar que la restricción planteada es válida para valores de t mayores a

tvi+mj (y mayores a tvj+mi en el caso de estar en la otra estación terminal). Se

podría pensar que las dos restricciones anteriores presentadas (Ecuaciones 3.1 y

3.2) podrían incluirse en esta última, pero esas dos restricciones son capaces de

hacerse cargo de los casos para valores de t entre 1 y tvi+mj (o entre 1 y tvj+mi), por

lo tanto se considera relevante utilizarlas en el modelo.

• Un tren es guardado hasta el día siguiente

Esta restricción refleja el instante en que un tren es guardado, instante después del

cual, el modelo no puede contar más con la disposición de ese tren, y por lo tanto,

tampoco seguir generando salidas con éste.

�� b��a� ' Y�1 � �� # io, i�, i� �3.4�

El lado izquierdo de la ecuación anterior representa todas las salidas posibles

generadas por el tren k a partir del instante t, luego si se decide guardar el tren k

(reflejado al lado derecho de la ecuación), todas las variables de salidas posibles

para el tren k en instantes posteriores a t deberán tomar valor 0. El parámetro M,

representa un número grande, que en este caso el valor que se le asigna, es la

máxima cantidad de viajes que puede realizar un tren saliendo desde la estación

terminal i, es decir, (Tm/tvi).

35

• No se guardan trenes simultáneamente en una misma estación

Se debe procurar que el modelo no decida guardar trenes simultáneamente5, de lo

contrario podrá generar soluciones factibles teóricamente pero que en la realidad

retrasarían todo el proceso.

�� ' 1 io, i� �3.5�

Hasta el momento se ha definido sólo restricciones que tienen que ver con la consistencia

del modelo y la relación entre las variables de decisión. A continuación se muestra las

restricciones operativas del modelo que son específicas para el trabajo.

• Capacidad de las cocheras.

Cada una de las estaciones terminales tiene asociado un sector de

estacionamientos para los trenes que terminan sus viajes en tal estación. En

algunas estaciones, este sector corresponde a las mismas estaciones terminales y

en otras se puede asignar a un cochera que se ubica en algún tramo de la línea.

��

�ab `�� (%� ' (� � io, i� �3.6�

En la Ecuación 3.6 se observa al lado derecho la capacidad de estacionamiento de

trenes del lugar asignado a la estación terminal i. Al lado izquierdo de la ecuación

se observa dos términos. El primero de ellos corresponde a la cantidad de trenes

que han sido estacionados en ese lugar hasta el instante t. El segundo término está

acompañado por el parámetro coi, parámetro binario que toma valor 1 si una

estación terminal es utilizada como lugar de estacionamiento de trenes, y 0 si los

5 Lo mismo para que no genere viajes simultáneamente, pero esa restricción queda contenida en los

intervalos mínimos de salida permitidos para trenes consecutivos.

36

trenes de esa estación son asignados a una cochera, luego para aquellas estaciones

donde el parámetro tome valor 1, la capacidad de la cochera será utilizada a la vez

por los trenes que se encuentren disponibles en la estación para, ya sea iniciar un

nuevo viaje o bien para ser guardados.

• Último tren estacionado.

Cuando un tren llega a una estación terminal, para poder cambiar la dirección del

viaje, debe realizar el cambio de dirección, para esto cuenta con dos tipos de

maniobra, ante- estación y tras-estación.

andén

andén

Figura 3.3: Maniobra tras-estación.

En la maniobra tras-estación mostrada en la Figura 3.3, una vez que el tren llega a

la estación, los pasajeros descienden en el andén, y en seguida el tren continúa en

la misma dirección para detenerse más adelante, en donde el chofer debe caminar

hasta el otro extremo del tren e iniciar un nuevo viaje pero esta vez en la otra

dirección y cambiando de vía las por medio de las líneas intermedias que conectan

los andenes.

La Figura 3.4 representa la maniobra ante-estación, en donde el cambio de vía se

produce antes del descenso de los pasajeros, los cuales deben bajar en el andén

opuesto.

37

andén

andén

Figura 3.4: Maniobra ante-estación.

Dentro de los supuestos que se plantean para abordar el problema, se estipula que

las maniobras que realizaran los trenes serán ante-estación, esto principalmente

por la condición que debe cumplir el último tren que se estaciona en una estación

terminal cuando coincide con el lugar de estacionamiento.

Esto hace referencia a que, una vez que se han ocupado todos los lugares de

estacionamientos en la estación, la operación se debe terminar, es decir, no

pueden volver a iniciarse viajes desde esa estación, ni tampoco pueden llegar

nuevos trenes pues no habrá espacio disponible para realizar cualquiera de las

maniobras.

Figura 3.5: Estacionamiento de trenes en una estación terminal

38

Luego, cuando quede sólo un espacio disponible en la estación terminal, si un tren

llega, éste sólo podrá realizar la maniobra ante-estación e iniciar su viaje hacia la

otra estación. De lo contrario si en el lugar que queda frente al andén se encuentra

un tren estacionado, no se podrán iniciar viajes posteriores porque el tren no

tendrá donde realizar la maniobra para viajar hacia la otra estación. La restricción

operativa se refleja en la siguiente ecuación.

�� b��a� ' Y � �(� � � � ��

�a�} � ` Y � �1 � (%�� io, i� �3.7�

El lado izquierdo de la ecuación representa la salida de trenes de la estación. El

lado derecho de la ecuación sólo tomará valor 0 cuando la capacidad del lugar de

estacionamiento de trenes sea copada, y si además el parámetro coi toma valor 1,

de lo contrario, la condición para el último tren no será valida para aquellas

estaciones que tengan asignada una cochera.

En este caso el valor que toma M, es el mismo que en la Ecuación 3.4, que

corresponde a la cantidad máxima de viajes que se pueden realizar por un tren

dentro del período de tiempo a considerar.

• Todos los trenes deben guardarse.

Dentro de los parámetros del problema, se establece una hora máxima de

operación de los trenes, es decir, para todos los trenes se debe haber tomado la

decisión de guardarlos antes de ese instante.

�� 3.8�

39

• Intervalos mínimos entre salidas de trenes consecutivos.

Existen dos razones por las cuales se debe establecer esta restricción. La primera

de ellas es por un tema operativo, ya que para que la red opere correctamente no

se puede mandar trenes desde una estación terminal en instantes de tiempo muy

cercanos pues, podrían encontrarse en alguna estación intermedia de la línea. La

segunda razón por la que se debe tener este tipo de restricción es porque se debe

tener intervalos de tiempo crecientes entre las salidas de trenes consecutivos, es

por eso que se ha dividido el período de operación en intervalos de tiempo r, en

los cuales los tiempos mínimos permitidos entre salidas de trenes consecutivos van

aumentando según r, parámetro que se expresa como tminr.

� � �� -��X�sc�}�a�- ' 1 io, i�8 �3.9�

La ecuación anterior evita que se genere más de un viaje dentro de un intervalo de

tiempo tminr para todo instante t perteneciente a un subconjunto tr.

Con esta restricción se concluye con las restricciones que hacen referencia a la parte

operativa del modelo, incluyendo en ellas consideraciones propias de la forma de operar

de Metro.

Las restricciones que faltan para completar el modelo, son las que reflejan la calidad de

servicio que se desea entregar a los pasajeros de Metro, esto es, la frecuencia de salida de

los viajes y la satisfacción de demanda.

• Intervalo máximo de espera por un tren.

Esta restricción es la que refleja la calidad de servicio que se ofrece. En ella se

establece el tiempo máximo permitido de espera de un pasajero por un tren, el

40

cual es creciente en el tiempo. Esto principalmente porque la demanda que se

enfrenta disminuye a medida que crece t.

� � �� -��X�Uc�}�a�- g 1 io, i�8 �3.10�

En la ecuación anterior se obliga al modelo a que en un intervalo tmaxr al menos se

realice un viaje. La restricción es valida para todo tr, y como se mencionó

anteriormente con tmaxr creciente en r.

• Satisfacción de demanda.

Se podría pensar que por tratarse de la hora de cierre del Metro esta restricción no

sea activa en el modelo, pero es necesario incluirla porque la hora de inicio de

operación para el modelo podría variar, e incluso extenderse a horas punta del día,

en donde sí serían de suma importancia.

�� (� ��a� g ��,�,��,� i�, io, i� �3.11�

El lado izquierdo de la ecuación representa la oferta de transporte para todo

intervalo de largo d, mismo intervalo de tiempo en el cual es medida la demanda.

La ecuación representa que en cada intervalo de largo d debe salir la cantidad

suficiente de trenes, para que se haga cargo de la demanda que se espera en un

arco a, con el tiempo desviado en lo que se demora un tren partiendo desde una

estación terminal i al inicio del arco a. En el siguiente diagrama se representa

gráficamente la restricción.

41

Estación i Inicio Arco a

t+d

t+tsia

t+tsia+d

Figura 3.6: Diagrama de satisfacción de demanda.

En la Figura 3.6 se observa que la salida de trenes de la estación terminal i coincide

con la llegada de trenes al inicio del arco a, transcurrido el tiempo de viaje

correspondiente, luego la demanda observada en ese arco en (t+tsi,a), debe ser

satisfecha por la cantidad de trenes que salgan de i en t.

Con la restricción anterior se completan las restricciones para el MSTF, bajo las

condiciones estipuladas por el Metro de Santiago.

d

d

t +tsi,a

t

Tiempo

42

3.2.5 Función Objetivo

Existe un gran número de funciones objetivo a optimizar por la empresa que se podrían

utilizar para este modelo (Vega et al, 2002). En este caso la función objetivo escogida,

apuntará a la minimización de costos operacionales. Estos costos pueden expresarse de

distintas formas, ya sea por la cantidad de viajes realizados, los kilómetros recorridos o las

horas de conducción necesarias, entre otros.

Para este problema, y por la forma del modelo, se ha decidido minimizar la cantidad de

viajes realizados, lo cual haría que todos los trenes se guardaran en su disponibilidad

inmediata, si no fuese por las restricciones de intervalos máximos de espera por trenes, y

la restricción de satisfacción de demanda.

Luego la función objetivo asociada a este modelo, se presenta en la siguiente ecuación.

YZ[�� 3.12�

Los valores entregados por esta función, sólo serán validos si se desea resolver un

problema para el secuenciamiento de estacionamientos de trenes en un terminal, pero no

entrega el resultado buscado por esta tesis, aún.

Al problema de le debe agregar restricciones adicionales que provienen de los resultados

del segundo modelo que se presenta. Al final del capítulo se muestra cómo es que los

modelos se integran para finalmente obtener el modelo definitivo.

3.3.6 Cuadro resumen del MSTF

La Figura 3.7 presenta un cuadro resumen del MSTF, con todas sus restricciones.

43

YZ[��

s.a �� ` �� ' �� io, i�, i� �1 � �� # g �� ,��} io, i�, i�: 1………&X � 1 �� l `��, ,��} � �� ` �� ,��} ` �� ,��} io, �, i�, i�

�� b��a� ' Y�1 � �� # io, i�, i�

�� ' 1 io, i�

��

�ab `�� (%� ' (� � io, i� �� b�

�a� ' Y � �(� � � � �� a�} � ` Y � �1 � (%�� io, i�

��

� � �� -��X�s-�}�a�- ' 1 io, i�8

� � �� -��X�U-�}�a�- g 1 io, i�8

�� (� ��a� g ��,�,��,� i�, io, i�

�� , �� ,�� ) B0,1F io, i�, i� Figura 3.7: Modelo de Salida de trenes con Tiempos Fijos (MSTF).

Como se mencionó en la sección 3.2.4, las dos primeras restricciones que aparecen en el

cuadro resumen podrían omitirse dentro del modelo al estar incluidas en la tercera

44

restricción, pero como esta última no es válida para todo t, es necesario incorporarlas

para hacerse cargo del resto de los casos, fundamentalmente por la relación entre las

variables.

Así se finaliza con el primer modelo, donde el objetivo es minimizar la cantidad de trenes

utilizados para la hora de cierre de Metro, de tal forma de ir disminuyendo su frecuencia

de salida, satisfaciendo la demanda enfrentada en esa hora, hasta el instante en que todos

los trenes estén estacionados.

3.3 Modelo de Salida de trenes con Tiempos Variables (MSTV)

En esta sección se presenta el segundo modelo diseñado en esta tesis. El MSTV tiene

como objetivo identificar los horarios de salida de los últimos trenes de las estaciones

terminales, pudiendo decidir el tiempo que permanece estacionado en estaciones

intermedias para así lograr la coordinación de los trasbordos posibles con otros trenes.

Con esto se busca que cada pasajero que consiguió entrar a la red, sea capaz de llegar a su

destino, a través de al menos una ruta.

Los supuestos planteados para la generación de este modelo son los siguientes:

• Sólo se manejará el tiempo de estacionamiento en las estaciones de combinación,

sin alterar aquel utilizado en el otro modelo para las estaciones intermedias que no

corresponden a estaciones terminales ni de combinación.

• Se establecerá un tiempo mínimo y máximo de estacionamiento permitido en las

estaciones de combinación, por razones operativas y de calidad de servicio

respectivamente.

• Se considera un tiempo de trasbordo conocido en las estaciones de combinación,

el cual considera el tiempo desde que un pasajero se baja de un tren hasta que

llega al andén en donde tomará el siguiente tren.

45

• Se realizará un solo viaje por cada línea en cada dirección, tratando de maximizar

la cantidad de alimentaciones de un tren a otro, para lograr la mayor cantidad de

rutas realizables a la hora de cierre con los trenes disponibles.

• En caso que un tren no pueda combinar con otro en una estación de combinación,

se realizará un viaje extraordinario por la línea que debe recoger a los pasajeros

que esperan del otro tren.

Además se considera una serie de características que debe cumplir la red bajo estudio.

Éstas son:

• Cada estación que sea capaz de realizar una combinación de líneas, sólo conectará

dos de ellas en ese punto, es decir, no existen combinaciones de tres o más líneas

en un mismo punto.

• Si dos líneas pueden realizar combinación entre ellas, éstas lo realizarán en una

sola estación.

• Una línea no necesariamente se conecta con todas las demás, pero al menos lo

hace con otras dos.

• Para cualquier par de nodos de la red, el número de combinaciones necesarias

para llegar de uno a otro es a lo sumo dos.

Estas características se cumplen para la red del Metro de Santiago, en su estado

Diciembre, 2007 (ver Anexos 1).

Las definiciones utilizadas en este modelo son similares en algunos aspectos al modelo

anterior, pero es necesario aclarar sus diferencias:

• Nodos: para este modelo los nodos quedan representados sólo por estaciones de

combinación de la red, y por estaciones terminales.

• Arco: un arco quedará determinado por la unión de dos nodos consecutivos de la

red, notando que cada arco puede contener un conjunto de estaciones

intermedias.

46

A continuación se presenta todos los elementos que hacen posible la creación del modelo.

3.3.1 Conjuntos

A continuación se presenta los conjuntos con los que se trabaja en el MSTV:

• I: conjunto de direcciones de llegada a todas las estaciones de combinación de la

red, i є I.

• ady: conjunto de pares (i,j) adyacentes de la red, (i,j) є ady, i,j є I.

• com: conjunto de pares (i,j) factibles de combinación, (i,j) є com, i,j є I.

• doub: conjunto de rutas de doble combinación, C є doub.

• K: conjunto de líneas de la red, k є K.

• Rk: conjunto de subíndices i que pertenecen a la línea k, i є I, k є K.

• ext: conjunto de subíndices i, que corresponden al primer elemento de cada línea.

El subíndice i representa básicamente las distintas formas para acceder a una estación de

combinación. Por ejemplo como se muestra en la Figura 3.8, para la combinación

realizada en Los Héroes por las líneas 1 y 2, existirán 4 posibles llegadas a este punto,

arribando desde La Moneda, República, Santa Ana y Toesca respectivamente.

Luego de la estación de combinación Los Héroes, se desprenden 4 elementos del conjunto

I: {Los Héroes llegando por La Moneda, Los Héroes llegando por Toesca, Los Héroes

llegando por República, Los Héroes llegando por Santa Ana}

47

Figura 3.8: Combinación Estación Los Héroes.

El conjunto ady es un subconjunto de pares (i,j), donde i y j pertenecen a I, y son

direcciones de llegada a estaciones de combinación adyacentes en la red (sin considerar

estaciones intermedias que no corresponden a estaciones de combinación). Por ejemplo

en la Figura 3.8 sea i = Los Héroes llegando por Toesca y j = Santa Ana llegando por Los

Héroes, entonces el par (i,j) pertenece al conjunto ady.

El conjunto com es un subconjunto de pares (i,j), donde i y j son direcciones de llegada a

una misma estación de combinación de la red provenientes de distintas líneas. Por

ejemplo, en la Figura 3.8 sea i = Los Héroes llegando por Toesca, j = Los Héroes llegando

por La Moneda y r = Los Héroes llegando por República, los pares (i,j) y (i,r) pertenecen al

conjunto com, pero el par (j,r) no pertenece.

El conjunto doub está formado por las etiquetas de rutas distintas que requieren dos

combinaciones para ir de un nodo a otro. En la Figura 3.9 se representa la red de Metro,

en la cual se puede observar que, por ejemplo, un par (i,j) donde i pertenezca a la línea 4 y

j pertenezca a la línea 2, la ruta que los unirá requiere dos combinaciones. Se observa que

se puede generar 3 rutas distintas realizando la primera combinación con la línea 1, la

línea 5 o la línea 4A.

REPUBLICA

TOESCA LA MONEDA

48

Figura 3.9: Red del Metro de Santiago.

El conjunto K está compuesto por todas las líneas de la red, diferenciando entre aquellas

que tienen sentidos opuestos. Por ejemplo para la línea 4, se distingue entre la línea con

dirección Sur y la con dirección Norte.

Los conjuntos Rk están conformados por subconjuntos de I, donde cada i є I, pertenece a

la línea k. Por ejemplo, para la línea 4 con dirección al Norte, el conjunto está formado por

los tres arribos a las estaciones de combinación con dirección al Norte.

3.3.2 Parámetros

A continuación se definen los siguientes parámetros para el MSTV

• emin: intervalo de tiempo mínimo de estacionamiento.

• emax: intervalo de tiempo máximo permitido de estacionamiento.

• tvij: tiempo de viaje desde la salida de i a la llegada de j.

49

• tcij: tiempo que un pasajero emplea en realizar una combinación desde la llegada

de i a j.

• Tmax: instante máximo permitido de la salida de trenes desde sus estaciones

terminales.

• tei: tiempo de viaje empleado en ir desde una estación terminal hasta la llegada a

la estación de combinación i más cercana de la misma línea.

• Tentrada: tiempo empleado por un pasajero en ir desde la puerta de entrada de una

estación hasta el andén.

El parámetro emin, representará el tiempo mínimo que por motivos operacionales, un

tren debe permanecer estacionado para que los pasajeros puedan descender y abordar al

tren.

El parámetro emax, reflejará la calidad de servicio que se desea brindar a los pasajeros, en

cuanto al tiempo de espera en tren. Los pasajeros no estarán detenidos en una estación

de combinación un tiempo superior a emax.

Los tiempos de viaje tvij entre estaciones de combinación serán fijos, y los tiempos de

combinación tcij serán tomados como el máximo tiempo que un persona demora en

realizar una combinación. El tiempo Tentrada, se considera como el máximo empleado por

un pasajero en llegar al andén.

3.3.3 Variables

Las variables utilizadas en el MSTV son las siguientes:

• Xij: 1 si el tren que llega en i puede realizar combinación con el tren de j; 0 si no.

• Yi: 1 si se requiere un viaje extra que pase por i; 0 si no.

• Li: instante de llegada del último tren a i.

• Si: instante de salida del último tren de i.

• Qk: 1 si pasa tren extra por línea k; 0 si no.

50

La variable Xij es una variable binaria que representa la factibilidad de una combinación, es

decir tomará valor 1 si los pasajeros que abordaban en el tren que llegó a i, pueden

realizar la combinación hacia el tren que llegó a j, siempre y cuando (i,j) pertenezca a un

conjunto factible de pares de combinación, es decir, (i,j) є com, y tomará valor 0 en el caso

que el tren que llego a j, se haya iniciado su viaje antes de la llegada del tren a i.

La variable Yi representa los viajes extras que se deben realizar cuando no es posible

realizar un combinación, es decir, si la variable Xij toma valor 0 para (i,j) є com, significa

que aún hay pasajeros que llagaron a i que no han podido realizar combinación con el tren

que llega a j, luego se deberá realizar un viaje extra que llegue a j. En este caso, la variable

Yj tomará valor 1.

Por otra parte las variables Li y Si representan los instantes de llegada y salida de un tren

en una estación de combinación i, permitiendo calcular con ellos el intervalo de tiempo

que un tren permanece estacionado.

La variable Qk, lo que hace es reunir a todos los trenes extras que se decide enviar por una

misma línea k en un solo tren. Es decir, si para una línea k hay dos variables Yi que valen 1,

la variable Qk tomará valor 1 y sólo enviará un tren por esa línea y no dos.

3.3.4 Restricciones

Las restricciones del modelo deben representar básicamente las relaciones mencionadas

anteriormente, más un conjunto de restricciones operativas del modelo.

• Tiempos de viaje.

Se debe establecer que para cualquier par de estaciones de combinación

adyacentes en la red, el tiempo de viaje es fijo y conocido, luego se debe cumplir la

siguiente relación: R� ` �M�� k� i �o, �� ) ��V �3.13�

51

En donde por razones de consistencia de la ecuación, el par (i,j) debe pertenecer al

conjunto de los pares adyacentes de la red.

• Tiempo mínimo de estacionamiento.

Debe existir un tiempo mínimo de estacionamiento en las estaciones para que

todo pasajero sea capaz de descender de un tren, y abordarlo quienes lo deseen.

La ecuación que contiene esta restricción es la siguiente:

k� ` j$op ' R� i o �3.14�

• Tiempo máximo de estacionamiento.

Esta restricción refleja la calidad de servicio que se desea brindar a los pasajeros,

fijando una cota superior al tiempo de estacionamiento de los trenes en las

estaciones. La restricción está dada por la siguiente ecuación:

k� ` j$�� g R� io �3.15�

• Combinación de un tren a otro.

Como se mencionó en la sección 3.3.3 la variable Xij tomará valor 1 en aquellos

casos en que los pasajeros que vienen de i, pueden realizar la combinación con el

tren que llegó a j. Esta acción sólo tendrá sentido cuando la salida del tren que

llegó a j ocurra después de la llegada del tren a i más el tiempo que demoran los

pasajeros en realizar la combinación, tal como se muestra en el diagrama espacio-

temporal de la Figura 3.10.

Tal representación queda expresada en la siguiente ecuación:

�� Y g R� � �k� ` �(��# i �o, �� ) (%$ �3.16�

52

En la ecuación, M representa un número lo suficientemente grande como para

superar un instante de salida de cualquier tren a la hora de cierre, que puede

representarse por la diferencia de los parámetros Tm y T del MSTF.

Además, hay que notar que los pares (i,j) que participan en esta restricción son

sólo aquellos que pertenecen al conjunto com, que representa los pares factibles

que realizan alguna combinación en la red.

estación i-1 estación combinación estación j-1

i j

Tiempo de combinación

Tiempo de estacionamiento

línea k línea k’

Figura 3.10: Combinación de un tren a otro.

Analizando la Ecuación 3.16, se observa que el valor de la variable Xij quedará

fijado en 1 cuando el lado derecho de la ecuación tome valor positivo, en otro caso

el valor de dicha variable no queda determinado, por lo tanto se requiere una

ecuación extra para determinar el caso opuesto.

53

• Combinación de trenes infactible.

La siguiente ecuación representa el caso contrario al mostrado en la restricción

anterior, y es cuando no es posible realizar una combinación desde i a j, es decir

cuando el tiempo de salida de j ocurre antes de la llegada de i más el tiempo de

combinación. �� Y ' R� � �k� ` �(��# ` Y i�o, �� ) (%$ �3.17�

En este caso, la diferencia R� � �k� ` �(��# tomará un valor negativo, luego la

variable Xij deberá tomar valor 0, para conservar la desigualdad de la ecuación.

Claramente el par (i,j) también debe pertenecer al conjunto de combinaciones

factibles de la red.

• Tren extra.

El modelo debe asegurar que dada la hora de cierre de las puertas de las

estaciones, un pasajero que entró a la estación pueda realizar cualquier viaje en la

red desde un nodo a otro. Para esto debe existir un tren que sea capaz de llevarse

a cualquier usuario desde un lugar al que llegó a hacer combinación hasta

cualquier otro. En caso que el pasajero no pueda realizar la combinación necesaria

debido a que el tren en cuestión ya pasó por esa estación, será necesaria la

asignación de un nuevo tren que pase por ese punto para llevarse a los pasajeros

que esperan ahí.

�� g 1 � �� i�o, �� ) (%$ �3.18�

Como se muestra en la Ecuación 3.18, en caso que los pasajeros que llegaron a i no

puedan realizar la combinación a j, deberá existir un tren que pase por j para poder

llevarse más tarde a estos pasajeros.

Al igual que en las restricciones anteriores, el par (i,j) debe pertenecer a los pares

factibles de combinaciones en la red.

54

• Todas las rutas factibles.

Con las restricciones descritas hasta ahora, todo pasajero puede abordar un tren y

realizar una combinación si lo estima necesario para poder llegar a su destino. Pero

existe un grupo de pares origen-destino que necesitan realizar dos combinaciones

para poder llegar a su destino.

Sea A la línea en donde se encuentra el origen y B la línea donde se encuentra el

destino, y las líneas A y B no tienen punto de combinación entre ellas, a partir de

los supuestos y las características de la red, habrá al menos dos líneas con las que

la línea A puede realizar combinación. Sean C1 y C2 líneas que combinan con A y

además combinan con B, luego el pasajero que entró a A y desea ir a una estación

en B podrá optar por ir de A a C1 y de C1 a B, o de A a C2 y de C2 a B, realizando

dos combinaciones en cada caso.

Lo que pretende este modelo es que el pasajero llegue a la estación ubicada en B

al menos por una de las posibles rutas que posee, es decir, que una de ellas sea

factible. Luego, para que eso se cumpla, bajo las características de este modelo, es

necesario que el tren que se necesita tomar para pasar de A a C1 o de A a C2 no

sea un tren extra. Si se cumple lo anterior, por una de las rutas estará realizando la

primera combinación con los primeros trenes, y la segunda combinación vuelve al

problema de sólo una combinación, la cual puede ser realizada o no con un tren

extra.

Lo descrito aquí se escribe matemáticamente de la siguiente forma:

� ��,�� ) W ' |S| � 1 i S ) �%�� 3.19�

En la ecuación anterior, los conjuntos C representan todos los conjuntos de

variables Yi, para aquellos pares origen-destino que requieren dos combinaciones,

donde Yi representa el tren extra que se debe o no tomar en la primera

55

combinación. Luego si al menos uno de esos trenes no existe, habrá una ruta

factible para el par origen-destino del conjunto C.

• Unión de trenes extras en una misma línea

Un tren extra es necesario en una línea k cuando al menos una de las

combinaciones que usa esa línea lo requiera. De esta forma la salida de un tren

extra se ve forzada por las variables Yi.

� g �� i�, io ) 9 �3.20�

Luego si alguna de las variables Yi tomara valor 1, inmediatamente la variable Qk,

tomaría el mismo valor, independientemente de la cantidad de variables Yi que lo

hagan. En caso de que ninguna de las variables Yi tome valor 1, la variable Qk se

verá forzada a tomar valor 0. Esto se explicará mejor en la Sección 3.3.5.

• Tiempo máximo permitido de la salida de trenes

La resolución de este problema podría entregar muchas soluciones en donde se

respeten todas las restricciones planteadas, pero hasta el momento no se le ha

pedido al modelo que los valores de la solución estén dentro de un tiempo máximo

permitido de operación. Es por esto que las salidas de los últimos trenes desde sus

estaciones terminales deben estar acotadas por un cierto instante, el cual

determinará lo más tarde que un tren puede iniciar un viaje. Analíticamente,

k� � �j� ' &$�� io ) j�� 3.21�

• Instante mínimo permitido para la salida de trenes

56

La restricción anterior no asegura un acotamiento inferior de los tiempos de salida

de los trenes, incluso éstos podría tomar valores negativos y la restricción seguiría

siendo válida. Para dar solución a esto se debe establecer un instante a partir del

cual puedan comenzar a salir estos últimos trenes. En este modelo, el instante t=0

corresponde al horario mínimo permitido para el cierre de puertas, luego

considerando que un pasajero consiguió entrar a la red en ese instante, demorará

un tiempo conocido (Tentrada) en llegar al andén. De esta forma Tentrada

corresponderá al mínimo instante en que un tren podrá iniciar un viaje desde una

estación terminal (comenzando en un instante t=0). Analíticamente,

&hs�-�� ' k� � �j� io ) j�� 3.22�

3.3.5 Función Objetivo

Al igual que en el MSTF, lo que se busca es cumplir con ciertas restricciones incurriendo en

el mínimo costo posible, lo que se traduce en el número mínimo de trenes que se deben

sacar a circulación para cumplir con las exigencias requeridas. En este modelo se trabaja

con el último tren de cada una de las líneas, tren que debe existir para cada línea, por lo

tanto lo que se querrá minimizar es el número de viajes extra que se debe realizar para

poder efectuar las combinaciones posibles en la red. Luego la función objetivo para este

modelo queda representada como sigue.

YZ[ �� 3.23�

Como se planteó en una de las restricciones al estar minimizando la suma de las variables

Qk, en la Ecuación 3.20 cuando todas la variables Yi toman valor cero, la función objetivo

obliga a que el valor de la variable Qk sea 0.

57

3.3.6 Cuadro resumen del MSTV

A continuación se presenta un cuadro resumen del MSTV. YZ[ ��

s.a R� ` �M�� k� i �o, �� ) ��V k� ` j$op ' R� i o ) Z k� ` j$�� g R� i o ) Z �� Y g R� � �k� ` �(��# i �o, �� ) (%$ �� Y ' R� � �k� ` �(��# ` Y i�o, �� ) (%$ �� g 1 � �� i�o, �� ) (%$

� ��,�� ) W ' |S| � 1 i S ) �%��

� g �� i�, io ) 9 �� j� ' &$�� io ) j�� &hs�-�� ' �� j� io ) j�� ) B0,1F io, � �� ) B0,1F io k� , R� g 0 io Figura 3.11: Modelo de Salida de trenes con Tiempos Variables (MSTV).

Los resultados que se obtienen de este modelo son de suma importancia para el resultado

final buscado por esta tesis. Estos resultados serán utilizados en la formulación del MSTF

tal como se explica en la siguiente sección, donde se finaliza el capítulo con la integración

de los modelos.

58

3.4 Integración de los modelos

En esta sección se explica cómo se realiza la integración de ambos modelos. A partir de la

solución del MSTV, se incorpora nuevas restricciones al MSTF, para así completar el

objetivo de esta tesis.

Como se mencionó, el MSTV a diferencia del MSTF trabaja con todas las líneas de la red en

forma conjunta ajustando los tiempos de salidas de trenes para poder realizar los

trasbordos necesarios a la hora de cierre. Por lo tanto, de los resultados del MSTV se

espera una programación de horarios para los últimos trenes y además para los trenes

extras que sea necesario utilizar.

Estos resultados deben ser llevados al MSTF para cada una de las líneas, identificando en

ellas los instantes de salida desde las estaciones terminales del último tren y del tren extra

si es que existiese.

Los instantes de salida de los últimos trenes desde las estaciones terminales obtenidos

con el MSTV tomarán valores entre Tentrada y Tmax. La forma en que estos valores se

convierten a valores del MSTF es la que se describe a continuación.

3.4.1 Conversión de resultados del MSTV al MSTF

En el MSTV se establece un parámetro Tmax, el cual indica el horario máximo permitido

de salida de los últimos trenes desde sus estaciones terminales. Lo mismo sucede con

Tentrada que condiciona el instante mínimo de salida. Luego, los valores obtenidos en el

MSTV para (li- tei) estarán en el intervalo [Tentrada, Tmax], donde li corresponde a la llegada

de un tren a la primera estación de combinación de una línea k, con i є k, y tei corresponde

al tiempo de viaje entre la estación terminal desde la que sale el tren y la primera estación

de combinación a la que llega.

Por otra parte, en el MSTF se establece un tiempo Te el cual indica el horario mínimo de

cierre de puertas de las estaciones. A partir de este instante se puede conocer el instante

59

mínimo de salida de un último tren desde una estación terminal, el cual está dado por (Te

+ Tentrada) donde Tentrada corresponde al tiempo empleado por un pasajero en ir desde la

entrada de la estación hasta el andén.

Luego, el mínimo instante de salida de un tren desde su estación terminal generado por el

MSTV (li- tei) entre todas las líneas, corresponderá al instante (Te + tentrada) en el MSTF.

El mínimo de los (li- tei) en el MSTV será fijado como el instante inicial de salida de los

últimos trenes (Te + Tentrada) y se podrá recalcular los (li- tei) para cada una de las líneas,

para llevarlos al MSTF.

La misma transformación se debe hacer para los tiempos de salida desde las estaciones

terminales para los trenes extras que son requeridos.

3.4.2 Nuevas restricciones del MSTF

Una vez conocidos los tiempos de salida de los últimos trenes y de los trenes extras desde

las estaciones terminales, el paso siguiente es imponer en el modelo que en esos instantes

de tiempo se debe generar un viaje. Analíticamente, para una estación �� y un tiempo �� ,

��¡� �� 1 �3.24�

La restricción anterior es válida tanto para los últimos trenes como para los trenes extras.

Además, sean tultimo y textra los tiempos de salida para el último tren y el extra desde una

estación terminal, el intervalo de tiempo r = [tultimo , textra] quedará fuera de la restricción

de intervalo máximo de salida de trenes consecutivos.

Por último el parámetro Tm, parámetro del MSTF que indica el instante de tiempo

después del cual no deben quedar trenes en circulación, corresponderá al máximo (textra +

tvi), entre las dos estaciones terminales de la línea, que corresponde al instante de salida

60

del tren extra más el tiempo empleado en llegar al otro extremo de la línea. En caso de no

ser necesario un tren extra, Tm = max {tultimo + tvi}

En resumen, los pasos a seguir para la obtención del resultado final son los siguientes:

1. Resolución del MSTV.

2. Obtención del mínimo de los (li- tei) entre todas las líneas.

3. Fijar el valor anterior en (Te + Tentrada) y transformar los valores (li- tei) para cada

una de las líneas.

4. Imponer en el MSTF que para algún k la variable Xikt tome valor 1 en los

instantes de tiempo calculados en el paso anterior, para la estación terminal

correspondiente.

5. En caso de haber tren extra, excluir el intervalo de tiempo entre la salida del

último tren y el extra de la restricción de intervalo máximo.

6. Fijar el valor de Tm como el máximo instante de salida de un tren más el

tiempo que utiliza en el viaje.

7. Resolver el MSTF.

Así, se da por finalizada la construcción de los modelos que resuelven la problemática

presentada en esta tesis. En el siguiente capítulo se detalla la resolución de los modelos,

mostrando los resultados obtenidos, aplicados a la red de Metro.

61

4. APLICACIÓN DE LOS MODELOS

En el presente capítulo, se presenta y analiza los resultados obtenidos con los modelos

planteados.

Se comenzará mostrando los tamaños de las instancias a trabajar, luego los resultados de

cada modelo y su integración.

Para finalizar el capítulo se realiza un análisis sobre las soluciones obtenidas, basadas

principalmente en los tiempos de espera de los usuarios. Se concluye con una

comparación de la solución obtenida con la forma actual que utiliza Metro en su

operación.

4.1 Tamaño de las instancias

Se puede determinar el tamaño de los modelos en términos de la cantidad de variables y

restricciones que éstos poseen. A continuación se observa el detalle de cada uno de ellos.

4.1.1 Tamaño del MSTF

Variables Cantidad

Xikt |I|·|K|·|P|

Yikt |I|·|K|·|P|

Wikt |I|·|K|·|P| Tabla 4.1: Cantidad de variables del MSTF.

Restricciones Cantidad

Disponibilidad inicial |K|

Disponibilidad de un tren |I|·|K|·|P|

Desactivación de disponibilidad |I|·|K|·(|P|-1)

Conservación de flujo |I|·|K|·(|P|-tv-m)

Un tren se guarda hasta el día siguiente |I|·|K|·|P|

No se guardan trenes simultáneamente |I|·|P|

Capacidad de las cocheras |I|·|P|

Último tren estacionado |I|·|P|

Todos los trenes deben guardarse 1

62

Intervalo mínimo |I|·|P|

Intervalo máximo |I|·|P|

Satisfacción de demanda |I|·|A|·|P| Tabla 4.2: Cantidad de restricciones del MSTF.

Analizando la instancia para la Línea 1 de la red actual de Metro, los tamaños de los

conjuntos son los siguientes:

• |I| = 2 (estaciones terminales)

• |K| = 22 (trenes en operación)

• |P| = 170 (períodos en cuestión)

• |A| = 23 (arcos de la línea)

Luego, la cantidad de variables binarias del modelo es de 7.480. En cuanto a las

restricciones, se tiene un total de 37.923 restricciones.

4.1.2 Tamaño del MSTV

Variables Cantidad

Xij |I|·|I|

Yi |I|

Li |I|

Si |I|

Qk |K| Tabla 4.3: Cantidad de variables del MSTV

Restricciones Cantidad

Tiempos de viaje |ady|

Estacionamiento mínimo |I|

Estacionamiento máximo |I|

Combinación de trenes |com|

No combinación de trenes |com|

Tren extra |com|

Caminos factibles |doub|

Unión de trenes |K|

Tiempo máximo de salida |ext| Tabla 4.4: Cantidad de restricciones del MSTV.

Tomando la instancia en cuestión, los tamaños de los conjuntos son los siguientes:

63

• |I| = 28 (distintas llegadas a estaciones de combinación)

• |ady| = 18 (pares de estaciones de combinación adyacentes en la red)

• |com| = 40 (pares del conjunto I que poseen combinaciones factibles)

• |doub| = 6 (rutas que requieren dos combinaciones)

• |K|=10 (cantidad de líneas en la red)

• |ext|=10 (subconjunto de I que contiene los i más próximos a cada una de las

estaciones termianles)

De los datos anteriores, el modelo cuenta con un total de 878 variables y 220

restricciones. Se observa que el problema es pequeño en cuanto a cantidad de variables y

restricciones, esto principalmente se debe a la previa eliminación de restricciones y

variables que de antemano se sabía que tomaban valores cero, o que no eran factibles

dentro del modelo. Esto se pudo realizar con la incorporación de varios de los conjuntos

que corresponden a subconjuntos de otros.

4.2 Resolución de los modelos

Los problemas modelados fueron programados en el compilador algebraico GAMS 21.7, y

los modelos fueron resueltos utilizando el solver MIP en CPLEX 9.0. Este paquete de

optimización matemática, contiene un conjunto variado de algoritmos para resolver

diversos tipos de problemas de programación matemática. Para encontrar soluciones

enteras realiza un Branch and Bound, hasta llegar a una solución factible entera dentro del

rango de aceptación dado por el GAP relativo entre la solución entera encontrada y la

mejor de las cotas encontradas en el Branch and Bound, que es por default de un 10%, o

bien, hasta que se acaben sus ramas. El GAP relativo utilizado en la resolución de los

modelos fue cambiado y fijado en un 0%.

En Anexos 2, se encuentra un listado de la notación utilizada para cada estación de la red,

para un mejor entendimiento de los resultados expuestos.

64

4.2.1 Resolución del MSTV

Antes de reportar los resultados obtenidos con el MSTV se presentan los principales

parámetros (y supuestos sobre éstos) utilizados para la resolución del modelo.

4.2.1.1 Parámetros del MSTV

La red actual del Metro de Santiago está compuesta por 5 líneas, luego el conjunto de

líneas planteado para este modelo posee 10 elementos, los cuales se desprenden de las

dos posibles direcciones que puede tomar cada una de las líneas de Metro.

Las estaciones de combinación de la red son 7, y hay cuatro formas de llegar o salir de

cada una ellas, luego el conjunto de llegadas a estaciones de combinación i є I, tendrá 28

elementos. Dichos elementos se presentan en la Figura 4.1. Tal como se muestra en ella,

por ejemplo, la estación de combinación encerrada en el círculo, posee 4 distintas formas

de llegar a ella con i = {9, 10, 11, 12}.

La unidad con que se trabajaron los tiempos fue de 10 segundos. Luego todos los

parámetros y los resultados obtenidos que sean de tiempo se encuentran en esa unidad.

Además, el instante t=0 queda establecido como el instante mínimo de cierre de puertas,

23:00 hrs.

Los valores para los tiempos de estacionamiento mínimo (emin) y máximo (emax) son 2 y

20 respectivamente.

Los valores para los tiempos de combinación entre líneas en una estación terminal (tcij)

fueron todos fijados en 21. El valor del parámetro Tentrada es 18.

En la Tabla 4.5 se presentan los tiempos de viaje entre las estaciones de combinación (tvij

con (i,j) є ady).

En la Tabla 4.6 se presentan los tiempo utilizados en ir desde las estaciones terminales

hasta la primera estación de combinación (i є ext).

65

1 3

Con respecto al parámetro Tmax, que corresponde al instante después del cual todos los

últimos trenes deben haber iniciado su viaje desde las estaciones terminales, el modelo se

hizo correr en base a distintos valores de éste, tal como se detalla más adelante en este

capítulo.

Figura 4.1: Llegadas a las estaciones de combinación.

2 4

5 7

6 8

13 26

15 14

24

16

17 25

20 18

19 27

23 21

22 28

9 11

12 10

66

Dirección i Dirección j Tiempo de viaje tvij

1 7 9

7 16 111

25 8 107

8 4 7

5 9 35

9 13 37

14 10 39

10 6 35

1 11 27

11 23 109

28 12 106

12 2 27

26 18 116

18 21 6

22 19 7

19 15 120

24 20 52

27 17 52 Tabla 4.5: Tiempos de viaje entre estaciones de combinación.

Dirección i Tiempo de viaje tei

1 21

3 83

5 77

14 24

22 78

24 0

25 0

26 0

27 0

28 0 Tabla 4.6: Tiempos de viaje desde las estaciones terminales a las de combinación.

67

4.2.1.2 Resultados del MSTV

La función objetivo de este modelo es minimizar el número de trenes extras que se

necesitan para poder realizar los trasbordos necesarios a la hora de cierre. Para

determinar este número, se trabajó en base a distintos valores de sus parámetros.

Como se explicó en el capítulo anterior, si no fuera por el parámetro Tmax, el problema

podría entregar distintas soluciones con una misma función objetivo. Es por esto que el

problema debe ser acotado con respecto al horario de la salida de trenes, es decir, según

Tmax se define el instante máximo permitido para la salida del último tren desde cada

estación terminal de la red.

En base a los distintos resultados obtenidos se logró identificar tres valores de Tmax en

donde la función objetivo cambiaba de valor. En la Tabla 4.7 se presenta los resultados

obtenidos de acuerdo a los valores de Tmax.

Valores de Tmax Número de Trenes Extras

315 6

326 5

407 4 Tabla 4.7: Número de trenes extras c/r a Tmax.

Para todos los valores de Tmax por debajo de 315, el problema es infactible. Esta

infactibilidad se debe principalmente a la restricción presentada en la Ecuación 3.19 del

capítulo anterior, para la generación de rutas que requieren doble combinación. De lo

contrario en el peor de los casos, el problema hubiese entregado trenes extras para cada

una de las líneas definidas para el MSTV, según fuese necesario.

Para todos los valores incluidos en el intervalo [315,326[, la función objetivo es la misma y

la cantidad de trenes extras requeridos resulta ser 6.

Para los valores incluidos en el intervalo [326,407[, el valor de la función objetivo

corresponde a 5 trenes extras.

68

Para los valores mayores o iguales a 407, el valor fue siempre el mismo y corresponde a 4

trenes extras.

Los parámetros Tmax fueron elegidos como los mínimos valores dentro de cada intervalo

donde la función objetivo era la misma, esto porque para distintos valores de Tmax dentro

de un mismo intervalo, las variables de salida de los trenes se iban ajustando a estos

valores máximos permitidos, con esto se permiten salidas más tardías de trenes, lo que se

traduce en mayores tiempos de espera para los pasajeros. Luego tomando los mínimos

Tmax de cada intervalo, se asegura que los trenes están saliendo de las estaciones

terminales tan pronto como sea necesario.

A partir de los datos de Tmax v/s la cantidad de trenes necesarios, se puede realizar un

análisis del trade-off existente entre la calidad de servicio brindada vs los costos asociados

a la operación. Esto se discute en la Sección 4.3.

A partir de los resultados dados por los distintos Tmax, los horarios establecidos para los

últimos trenes están dados por las variables Si y Li del modelo, y los horarios de los trenes

extras que deben iniciar viaje desde las estaciones terminales quedan determinados según

las llegadas de trenes que necesitan realizar trasbordo con el tren extra. Esto es, sea k la

línea que requiere tren extra, se busca el máximo de los Lj (instante de llegada con

dirección j), con j cualquier llegada tal que (i,j) є com, con i є k, más el tiempo de trasbordo

requerido para ir de j a i, tcji, más el tiempo de viaje desde la estación terminal hasta i.

Así, los horarios de salida desde cada estación terminal de los últimos trenes y de los

trenes extra, según el parámetro Tmax, son los mostrados en las Tablas 4.8 y 4.9

respectivamente.

69

Línea Estación Tmax = 315 Tmax = 326 Tmax = 407

L1 EM 107 77 77

SP 24 24 24

L2 VN 18 18 18

LC 101 101 101

L4 TO 178 178 235

PPA 209 201 301

L4A VM 315 315 407

LC 234 226 298

L5 QN 103 81 199

VV 101 326 398 Tabla 4.8: Instantes de salida de los últimos trenes de las estaciones terminales.

Línea Estación Tmax = 315 Tmax = 326 Tmax = 407

L1 EM 444 436 525

SP 315 361 433

L2 VN 176 419 491

LC 408 408 500

L4 TO - - -

PPA - - -

L4A VM - - -

LC - - -

L5 QN 219 219 -

VV 354 - - Tabla 4.9: Instantes de salida de los trenes extra desde la estaciones terminales.

Se aprecia que los valores mostrados en la Tabla 4.8 están en el intervalo establecido

[Tentrada, Tmax], tomando en los tres casos los valores extremos para la salida desde alguna

estación terminal.

En cuanto a los tiempos de estacionamiento de los últimos trenes, éstos toman valores

entre 2 y 20. El modelo sólo permite decidir estos tiempos en las estaciones de

combinación de la red, adquiriendo el valor mínimo cuando el tren en cuestión no espera

ningún otro tren para realizar trasbordo. En caso de esperar a algún tren que proviene de

otra línea, utiliza el tiempo mínimo requerido con el cual es capaz de esperar al tren de la

otra línea más el tiempo que un pasajero demora en realizar el trasbordo.

70

Con respecto a los tiempos de estacionamiento de los trenes extras, se utilizó el tiempo

mínimo establecido, 2. Esto se debe a que cuando estos trenes pasan, los pasajeros que

los deben abordar ya estarán esperando por ellos, luego ese tiempo sólo permite la subida

de pasajeros y no la espera de la llegada de los pasajeros al tren.

Estos trenes son los que permitirán establecer los tiempos de espera de los pasajeros, ya

que los trenes anteriores estarán cumpliendo las restricciones de intervalos máximos de

salida establecidas en el MSTF. Esos resultados se analizarán en la Sección 4.3.

4.2.2 Resolución del MSTF

Como se mencionó anteriormente, este modelo trabaja con las líneas de la red en forma

independiente. Los parámetros presentados corresponden sólo a la Línea 1 de la red

actual de Metro, no así los resultados obtenidos que se presentan en conjunto para toda

la red.

Además hay que recordar que este modelo utiliza resultados del MSTV para poder llegar a

los resultados finales.

4.2.2.1 Parámetros del MSTF

El MSTF comienza a operar desde las 22:00 hrs. Para poder establecer la ubicación de los

trenes y con esto su disponibilidad en las estaciones terminales, los datos son extraídos

del Programa de Circulación de Metro. En éste se detalla la salida de cada uno de los

trenes bajo la forma actual de operación desde el inicio de actividades hasta la hora de

cierre. Con la información contenida en este programa se puede conocer cual fue el

último viaje que inició cada tren que continúa en operación previo a la hora en que

comienza a operar el modelo.

71

Así, se puede fijar los valores de las variables de disponibilidad de los trenes en 0 hasta el

instante anterior en que los trenes se encuentren disponibles en las estaciones terminales

correspondientes, y cuando el tren ha llegado la variable de disponibilidad toma valor 1.

En el caso de la Línea 1, a las 22:00 hrs. se encuentran 22 trenes en operación.

La unidad de tiempo con la que trabaja este modelo es de 60 segundos. Esta decisión fue

en base a la capacidad de resolución de los problemas, y por las unidades de los

parámetros de demanda trabajados que están dados en múltiplos de 60 segundos.

En la Tabla 4.10 se muestran los períodos t en los cuales las variables de disponibilidad

toman valor 1. Esta es la principal entrada del modelo.

Estación SAN PABLO (SP)

Instante 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

Estación ESCUELA MILITAR (EM)

Instante 1 4 7 11 14 17 21 24 27 31

Tabla 4.10: Disponibilidad inicial de los trenes en las estaciones terminales.

Con respecto a las cocheras, ambas estaciones terminales funcionan como cocheras y

además se cuenta con una cochera intermedia ubicada a un costado de la estación

Neptuno. De preferencia conviene que los trenes que se estacionan en ese lugar

provengan de la estación terminal San Pablo dada su cercanía. En caso de no ser factible,

se asignará trenes que provengan desde la otra estación terminal, Escuela Militar. Los

parámetros anteriores (coi y capi), los tiempos de viaje empleados en ir desde una

estación terminal a la otra (tvi), y los tiempos empleados en realizar la maniobra en las

estaciones terminales (mi) se muestran en la Tabla 4.11.

72

Parámetros EM (i=1) SP (i=2)

Co 1 1

Cap 5 14

Tv 30 31

M 3 3

Tabla 4.11: Parámetros co, cap, tv y m.

La Línea 1 posee un total de 24 estaciones, luego el conjunto A (arcos entre

interestaciones) tiene 23 elementos. Para cada uno de estos arcos se calculó el tiempo

que demora un tren desde la estación terminal hasta el inicio del arco.

Los períodos fueron divididos en tres intervalos de tiempo. De acuerdo a estos intervalos

los tiempos mínimos y máximos permitidos entre trenes consecutivos, continuando el

crecimiento establecido por los datos de entrada, son los mostrados en la Tabla 4.12.

R tmin Tmax

1 4 5

2 6 8

3 8 12

Tabla 4.12: Tiempos mínimos y máximos entre trenes consecutivos.

En la Línea 1 operan actualmente 7 tipos de trenes conformando un total de 40 trenes

para la operación, de los cuales 22 estarán en funcionamiento después de las 22:00 hrs.

Sus capacidades varían según el tipo de tren y la cantidad de coches que éstos posean. Es

por esto que se trabaja con una capacidad promedio de 1262 personas por tren.

73

Los datos de demanda con los que se trabaja son los datos que se tienen por cada

interestación de la red. Estos datos de obtienen a través de las “Caldas” que corresponden

a estimaciones de la demanda por tren cada 15 minutos en cada una de las

interestaciones de la red. Los gráficos que se presentan a continuación muestran como es

el comportamiento de la demanda a lo largo de la Línea 1 en sus dos direcciones.

Figura 4.2: Gráfico de la demanda en Línea 1 dirección SP-EM.

Figura 4.3: Gráfico de la demanda en Línea 1 dirección EM-SP.

74

De los resultados obtenidos del MSTV, se tiene que para la Línea 1, los datos utilizados en

el MSTF para los instantes de salida de los últimos trenes y de los trenes extra (según el

parámetro Tmax del MSTV) son los mostrados en la Tabla 4.13.

L1 Estación Tmax = 315 Tmax = 326 Tmax = 407

Último EM 77 72 72

SP 64 64 64

Extra EM 134 132 147

SP 112 120 132

Tabla 4.13: Instantes de salida de los últimos trenes y de los trenes extra.

Estos resultados están transformados según la unidad de medida del MSTF y ajustados

para que las 22:00 hrs. corresponda a t=0.

4.2.2.2 Resultados del MSTF

Los resultados mostrados del MSTV permiten agregar las restricciones adicionales al

MSTF, obteniendo los siguientes valores para la función objetivo del problema.

El número de viajes mostrados en la Tabla 4.14 son los que ocurren en el intervalo de

tiempo entre las 22:00 hrs y el máximo valor tomado por el último viaje programado, ya

sea de tren extra o no.

75

Línea Tmax = 315 Tmax =326 Tmax = 407

L1 27 27 27

L2 24 24 24

L4 23 23 25

L4A 27 27 33

L5 25 31 33

Total 126 132 142

Tabla 4.14: Cantidad de viajes por línea.

En cuanto a la frecuencia de salida de los trenes, se obtuvo un comportamiento creciente

en sus intervalos de salida.

Los datos extraídos del Programa de Circulación hasta las 22:00 hrs, tenían un intervalo de

salida de 3 minutos. Los resultados arrojados por el modelo, adquieren intervalos en

forma creciente de 5, 7, 8 y 12 minutos respectivamente, intervalos de tiempo dentro de

las cotas permitidas por Metro.

La relajación del problema, entrega como resultado una solución con variables enteras,

entregando el mismo valor de la función objetivo con el problema no relajado.

4.3 Análisis y experimentos

4.3.1 Horarios de salida

De los resultados obtenidos del MSTV se observa en la Tabla 4.7 que mientras más tarde

se permite la salida de los últimos trenes, menor es la cantidad de trenes extras

necesarios para poder realizar los trasbordos a la hora de cierre.

Por otra parte, al trabajar con los datos obtenidos del MSTV en el MSTF se observa que la

cantidad de viajes totales aumenta al permitir que la salida de los últimos trenes sea más

76

tarde. La razón de esto es que el modelo se ve obligado, por las restricciones de intervalo

máximo, a poner trenes entre viajes establecidos (en este caso entre el último tren y los

viajes anteriores). Luego, la disminución de trenes extras en el MSTV (2 trenes) no se

compensa con la gran diferencia de viajes necesarios que se desprenden del MTSF (16

trenes).

A partir del resultado anterior, el posible trade-off entre calidad de servicio y costos,

asociado al tiempo de espera vs cantidad de trenes, que se desprende el MSTV, se anula al

compararlo con los resultados del MSTF, en donde en conjunto se obtiene un menor

tiempo de espera de los pasajeros por el último tren y además la minimización del número

de viajes realizados (minimización de costos operacionales). A partir de esto se tiene que

el parámetro a utilizar como Tmax queda fijo en 315, lo que en hora real equivale a las

11:52:30 hrs., (los pasajeros que entran a la estación que cierra más tarde sus puertas

toman el tren en ese instante de tiempo).

Así los instantes de salida en hora real para los últimos trenes y los trenes extra desde

cada una de las estaciones terminales son los que se muestran en la Tabla 4.15.

Línea Estación Último Extra

L1 EM 11:17:50 12:14:00

SP 11:04:00 11:52:30

L2 VN 11:03:00 11:29:20

LC 11:16:50 12:08:00

L4 TO 11:29:40 -

PPA 11:34:50 -

L4A VM 11:52:30 -

LC 11:39:00 -

L5 QN 11:17:10 11:36:30

VV 11:16:50 11:59:00 Tabla 4.15: Horarios de salida de los últimos trenes y los trenes extra.

Además se realizó un análisis en cuanto a la variación de los tiempos de estacionamiento

de los trenes en las estaciones de combinación para el MSTV. El tiempo permitido de la

77

solución actual es de 200 segundos de estacionamiento. Ante variaciones del parámetro

emax, se presentan diferencias significativas para valores muy elevados de éste, que se

escapa de lo planteado por Metro en cuanto al tiempo de estacionamiento (entre 4 ó 5

minutos como máximo). El número mínimo de trenes extra que se necesitaría para poder

generar todas las rutas, bajo las características de la red en cuestión, es 3 con un tiempo

de estacionamiento máximo permitido de casi 40 minutos (utilizando el mismo

Tmax=315).

emax [seg] cantidad de trenes extras

0-190 infactible

200-300 6

310-980 5

990-2320 4

2330- 3 Tabla 4.16: Cantidad de trenes extra c/r a emax.

Dados estos valores se mantiene el valor de emax en 200 segundos y el estacionamiento

mínimo emin en 20 segundos, tiempo necesario para que los pasajeros puedan descender

y abordar los trenes.

4.3.2 Generación de rutas

Con los horarios establecidos para los últimos trenes y los trenes extras, se busca que

cada pasajero que tomó el último tren pueda llegar a cualquier punto de la red, pudiendo

realizar los trasbordos requeridos. El modelo asegura que al menos existirá una ruta para

cualquier par origen-destino de estaciones de la red.

Los pares origen-destino, según las características de la red, son clasificados en tres

grupos: aquellos pares que no requieren realizar trasbordos (se encuentran en una misma

línea), aquellos que requieren un trasbordo (estaciones que pertenecen a líneas que se

78

conectan en una estación de combinación), y aquellos que requieren de dos trasbordos

(estaciones pertenecientes a líneas que no tienen estación de combinación).

Para el primer grupo, la ruta queda establecida por la línea en la que se encuentran ambas

estaciones. Para estas rutas se utiliza el último tren.

Para aquellos pares que requieren de un trasbordo, la ruta queda establecida mediante la

utilización de ese único trasbordo, es decir, desde la estación de origen a la estación de

combinación, y desde ésta a la estación de destino. Para estas rutas el tren que se toma

en la estación de origen corresponde al último tren, y el tren con el que combina para

pasar a la línea donde se encuentra la estación de destino, puede ser último o extra.

Para aquellos pares que requieren dos combinaciones se establecen rutas específicas las

cuales aseguran encontrar trenes de trasbordo en ambos puntos de combinación. Las

rutas que conectan dos puntos de la red pueden ser variadas, pero para la hora de cierre

no se podrán realizar todas ellas. Es por esto que las rutas para llegar desde cualquier par

origen-destino que requiera de dos trasbordos (en donde se comience con el último tren)

deben ser como sigue:

Figura 4.4: Rutas L1-L4-L4A y L5-L4-L4A.

79

Figura 4.5: Rutas L2-L4A-L4 y L4-L4A-L2.

Figura 4.6: Rutas L4A-L4-L1 y L4A-L4-L5.

• L1(último tren) – L4(último tren) – L4A(último tren)

• L5 (último tren)– L4(último tren) – L4A(último tren)

• L2 (último tren)– L4A(último tren) – L4(último tren)

• L4 (último tren)– L4A(último tren) – L2(tren extra)

80

• L4A (último tren)– L4(último tren) – L1(tren extra)

• L4A (último tren)– L4(último tren) – L5(tren extra)

Estas secuencias de trenes son las que deben ser las utilizadas para viajar en la red

después de la hora de cierre de puertas, asegurando que cada pasajero llegue a su

destino.

Se observa que la línea 4 y 4A son las más utilizadas. Esto se debe a que son aquellas que

operan hasta más tarde sin la utilización de trenes extras, por lo que favorece que los

trasbordos de la hora de cierre se realicen con los últimos trenes y no con los extras, como

se indica en el modelo.

La generación de estas rutas nace a partir del MSTV a través de la restricción que se

establece en la Ecuación 3.19 en donde para cada par origen-destino que requiere de dos

combinaciones, de todas las rutas posibles al modelo se le exige que por lo menos exista

una factible.

4.3.3 Tiempos de espera

Dados los horarios de trenes para la hora de cierre y las rutas a seguir por los pasajeros se

puede analizar los tiempos de espera de éstos.

Para el primer grupo de nodos (los que pertenecen a una misma línea), el tiempo de

espera por los trenes será el tiempo que demora en pasar el último tren. Estos tiempos

quedan acotados por los parámetros utilizados en las restricciones de intervalo máximo

del MSTF.

En la Tabla 4.17 se muestran los resultados obtenidos del MSTF para los tiempos de

espera por los últimos trenes (en [seg]).

81

L1 L2 L4 L4A L5

EM SP VN LC TO PPA VM LC QN VV

480 720 480 480 720 720 480 720 540 600

Tabla 4.17: Tiempos de espera por último tren.

El segundo grupo de nodos (aquellos que requieren de un trasbordo) se puede dividir en

dos: aquellos que realizan trasbordo con un último tren o aquellos que lo hacen con un

tren extra. Quienes combinan con un último tren, al igual que en el caso anterior los

tiempos de espera de ambos trenes están dados por las restricciones de intervalo

máximo, y dependiendo de la dirección que toman en el trasbordo los tiempos de espera

serán los mostrados en la Tabla 4.17. Para quienes combinan con un tren extra, los

tiempos de espera del primer tren son los de la Tabla 4.17 y los tiempos de espera por los

trenes extras (en [seg]) en las estaciones de combinación, utilizando la notación del

conjunto I mostrada en la Figura 4.1, son los de la Tabla 4.18.

De la Tabla 4.18 se observa, por ejemplo, que el tren extra que sale desde la estación

terminal Quinta Normal (QM) está siendo esperado en dos partes de la red i = {4, 10}. Para

los pasajeros de i=4, el tiempo de espera es cero y para los pasajeros de i=10, el tiempo de

espera es de 520 segundos (8 minutos 40 segundos).

Los tiempos de espera de los trenes que provienen de las estaciones terminales Quinta

Normal (QN) y Vespucio Norte (VN) se consideran razonables, ya que están dentro del

rango de aceptación establecido por la condiciones de intervalos máximos. Por el

contrario, se observa que para las otras estaciones de donde provienen trenes extras, los

tiempos de espera de algunos pasajeros que desean hacer el trasbordo superan los 2000

segundos (más de 30 minutos de espera).

82

QN VN EM

I Te I te i te

4 0 2 0 12 2790

10 520 6 220 15 0

SP LC VV

I te I te i Te

7 2590 17 0 21 0

8 1290 6 2670 22 460

11 2370 2 2650 10 2490

12 1990 4 2490

15 0

Tabla 4.18: Tiempos de espera por trenes extra.

Para la disminución de esos largos tiempos de espera se proponen 2 alternativas:

utilización de trenes intermedios u operación normal hasta trenes extra. Estas alternativas

de describen a continuación.

Utilización de trenes intermedios

Se puede disminuir el tiempo de espera de algunos pasajeros utilizando un tren

intermedio (entre el último tren y el tren extra) que beneficie a los grupos de pasajeros

que más esperan para realizar un trasbordo. De los resultados mostrados en la Tabla 4.18

se podría iniciar viajes con trenes intermedios desde las estaciones terminales EM, SP, LC y

VV beneficiado así a ciertos grupos de pasajeros que presentaban tiempos de espera por

el tren extra muy elevados. Con esto, los tiempos de espera de estos pasajeros se verán

disminuidos, entregando una calidad de servicio adecuada.

83

Los tiempos de salida de estos nuevos trenes deben seguir cumpliendo las restricciones de

capacidad y de intervalos fijados en el MSTF. Luego, el tiempo de salida fue calculado de

tal forma que los pasajeros que llegan entre la salida del último tren y el tren extra,

quienes esperaran más del tiempo máximo establecido (emax) por el tren extra, se suban

al tren intermedio, que se llevará a todos los que se encuentren esperando. En la Figura

4.7 se ilustra la explicación anterior.

último tren tren intermedio tren extra

emin emax

tiempo

llegada de pasajeros

Figura 4.7: Incorporación de trenes intermedios.

Con estos nuevos trenes los tiempos de espera (en [seg]) para los pasajeros quedan como

se muestra en la Tabla 4.19.

84

SP =85 LC = 86 EM = 87 VV = 86

i te I Te i te i te

7 980 6 410 12 700 10 760

8 0 2 380 4 760

11 760

12 590

Tabla 4.19: Tiempos de espera con trenes intermedios.

La incorporación de estos trenes intermedios permite la reducción de los tiempos de

espera entre un 62% y un 100%. De no ser por las restricciones de intervalo mínimo del

MSTF, se podría haber hecho reducciones de tiempo para todas las líneas en un 100% en

al menos una estación.

Con esta solución, la cantidad de viajes en total que se deben realizar en toda la red sube

de 126 a 130.

Operación normal hasta trenes extra

Esta solución transforma los trenes extra en últimos trenes, es decir el MSTF se hace

correr fijando los horarios de los extras como últimos viajes sujeto a todas las restricciones

que se establecen en este. Operando de esta forma, se debe indicar a los pasajeros cual es

el último tren con el que pueden hacer combinaciones para llegar a cada uno de los

destinos de la red, tren que queda determinado por el tren que realiza un viaje en el

horario más próximo (por debajo) del horario establecido anteriormente para el último

tren.

Haciendo correr el MSTF en base a lo anterior, la solución entregada corresponde a un

total de 153 viajes. Con esto se asegura que los tiempos de espera de los usuarios no sean

superiores a los parámetros establecidos para intervalos máximos.

85

1 3

Para aquellos pares de nodos que necesitan dos trasbordos, se presenta en detalle el

seguimiento de la ruta. Para esto, la red ha sido dividida en tramos tal como se muestra

en la Figura 4.8.

Figura 4.8: Tramos de la red.

Las Tablas que se presentan a continuación muestran los tiempos de espera (te), tiempos

de viaje (tv) y tiempos de espera en tren (tet) para cada una de las rutas señaladas en la

sección anterior (todos en [seg]).

a b c d

e

f

g

h

i

j

k

l m

n

86

L1-L4-L4A

origen te tv tet te tv tet te tv tet destino

a 720 1490 40 0

1160 0 0 520 0 h b 720 720 20 0

c 720 370 0 0

d 480 240 0 470 Tabla 4.20: Tiempos en ruta L1-L4-L4A.

L5-L4-L4A


l 540 1570 260

0 70 0 0 520 0 h m 540 1360 6

n 540 1090 0 Tabla 4.21: Tiempos en ruta L5-L4-L4A.

L2-L4A-L4


i 480 1110 0

0 520 0

0 1200 0 e

j 480 1200 100 0 60 0 f

l 480 2030 120 0 870 20 g Tabla 4.22: Tiempos en ruta L2-L4A-L4.

L4-L4A-L2


e 720 1160 0

0 520 0

0 1070 0 i

f 720 70 0 0 1140 20 j

g 720 850 200 0 1960 40 l Tabla 4.23: Tiempos en ruta L4-L4A-L2.

L4A-L4-L1


h 720 520 0 0 1200 0

0 1000 40 a

0 740 20 b

0 390 0 c

0 210 0 d Tabla 4.24: Tiempos en ruta L4A-L4-L1.

87

L4A-L4-L5


h 720 520 0 0 60 0

0 1060 0 n

0 1330 20 m

0 1520 40 l Tabla 4.25: Tiempos en ruta L4A-L4-L5.

De las tablas anteriores, se puede observar que los tiempos de espera que aparecen en la

segunda columna son los que un pasajero debe esperar por el último tren que proviene de

esa línea en dirección a la estación de combinación.

Los tiempos de espera para realizar los trasbordos (quinta y octava columnas)

correspondientes a trenes extras o últimos son todos cero, menos uno que debe esperar

470 segundos (7 minutos, 50 segundos) tiempo que está dentro del rango de aceptación.

En cuanto a los tiempos de espera en tren, son exactamente los establecidos como el

estacionamiento mínimo que realiza un tren equivalente a 20 segundos en cada estación

de combinación.

Del análisis de los 3 tipos de pares origen-destino, se puede concluir que los tiempos de

espera que deberían ser modificados son sólo aquellos en los que incurren los pasajeros

que realizan una combinación y éstos corresponden a trasbordos con trenes extras. Con la

utilización de los trenes intermedios se logra una solución mejor que con la extensión de

la operación hasta la hora de salida de los trenes extras (una diferencia de 20 viajes entre

ambas soluciones).

Además, dado los bajos tiempos de espera para el tercer tipo de pares de nodos, la

incorporación de trenes intermedios no afecta el comportamiento de aquellos pares.

4.3.4 Análisis de la situación actual

Actualmente la programación de horarios para los trenes se opera en forma

independiente para cada una de las líneas y no asegura que después de la hora de cierre

88

de puertas los pasajeros puedan llegar a cualquier punto de la red. Los horarios de trenes

programados aseguran combinaciones factibles hasta las 22:30 hrs., hora establecida

después de haber obtenidos los programas de circulación para cada línea. A partir de

estos horarios se generan rutas indicando a los pasajeros cuales son los trenes que deben

tomar para poder llegar a los distintos tramos de la red.

Los tiempos de espera actuales (en [seg]) de los pasajeros están dados por los últimos

intervalos de salida de los trenes. Estos se presentan a continuación.

L1 L2 L4 L4A L5

EM SP VN LC TO PPA VM LC QN VV

390 360 420 480 480 480 480 720 420 420

Tabla 4.26: Tiempos de espera actuales por últimos trenes.

Estos tiempos si bien son menores que los establecidos por los últimos trenes de los

modelos planteados en esta tesis, fluctúan entre valores similares, teniendo como cota

superior 12 minutos.

Si se considera el esquema de operación actual de Metro, operando con trenes hasta las

23:05 hrs para las líneas 1, 2, 4 y 5 y hasta las 23:45 hrs para la línea 4A, la cantidad total

de viajes realizados es 120.

Hay que notar que tanto la situación actual como los modelos planteados, tiene una hora

de cierre de puertas posterior a las 23:00 hrs. Ahora, si bien los tiempos de espera de la

situación actual y la cantidad de viajes realizados son menores a los resultados obtenidos

por los modelos, hay que recordar que la situación actual tiene media hora menos que los

modelos planteados de satisfacción de rutas para los pasajeros, situación que si se viera

igualada, manteniendo los patrones de la operación actual, operaría con un total de 150

viajes aprox. Lo anterior se traduce en la generación de 20 viajes más.

89

Si se quisiera igualar el nivel de servicio entregado, con la utilización de los modelos

propuestos se estaría hablando de una reducción de costos operacionales considerable

para Metro.

90

5. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES

El objetivo de esta tesis es la programación de los horarios de salida de los último trenes

de las estaciones terminales del Metro con el fin de que cada pasajero que consiguió

entrar a la red, pueda llegar a su destino al menos a través de una ruta.

Para cumplir con lo anterior se trabajó en el desarrollo de dos modelos de programación

lineal, los cuales consistían en la programación horaria de trenes hasta la hora de cierre

(MSTF), y en la coordinación de trasbordos de los últimos trenes (MSTV) respectivamente.

Posteriormente estos modelos fueron integrados para poder obtener el resultado final.

Trabajar con estos dos modelos permite principalmente trabajar con las líneas en

conjunto para poder coordinar los trasbordos de los últimos trenes y esto trasmitirlo a la

generación de horarios de una línea en particular. La forma en que opera Metro

actualmente sólo trabaja con las líneas en forma independiente, y no en conjunto para

coordinar los trasbordos, generando los programas de circulación para cada línea, y a

partir de éstos, se evalúa cuáles son las rutas y combinaciones que se pueden realizar a la

hora de cierre.

El MSTF tenía por objetivo la minimización del número de viajes que se de deben realizar

desde las 22:00 hrs. hasta la hora de cierre de las puertas del Metro. Por su parte, el MSTV

tenía por objetivo la minimización del número de trenes extra (después del último tren)

que son necesarios para que los usuarios puedan llegar a cualquier punto de la red

tomando el último tren de cada línea. Para la integración de los modelos, los resultados

del MSTV fueron agregados en forma de restricciones al MSTF, y finalmente éste fue

resuelto.

El principal resultado obtenido fue la programación horaria de trenes en detalle para cada

línea a partir de las 22:00 hrs. hasta la hora de cierre de puertas (después de las 23:00

hrs.) coordinando los últimos trasbordos con el fin de minimizar la cantidad de trenes

requeridos para la operación. Con esto se pudo establecer los horarios de los últimos

91

trenes que salen desde las estaciones terminales, horario posterior al instante mínimo

establecido para el cierre de puertas.

En cuanto a la calidad de servicio entregada, reflejada principalmente en los tiempos de

espera de los usuarios, está incorporada en forma de restricción en el MSTF acotando los

intervalos de salida de trenes desde sus estaciones terminales. El problema podría haber

sido abordado con una función multi-objetivo en donde se minimizaran costos

operacionales y tiempos de espera. Si se llevara ese problema a una función mono-

objetivo utilizando el método de restricciones (Constraint Method and Goal Programming)

se puede establecer una cota para el tiempo de espera, que fue lo que se hizo a priori para

el desarrollo del MSTF, y resolver la función objetivo minimizando el número de trenes

sujeto a las restricciones de calidad de servicio.

En cuanto al problema de coordinación, no es posible realizar todas las combinaciones

sólo con los últimos trenes desde cada estación terminal para cualquier tipo de red con

más de dos líneas. Es por esto que se deben incorporar trenes extras para recoger a los

pasajeros que aún esperan el tren de trasbordo. El objetivo del segundo modelo era la

minimización de tales trenes, consiguiendo trasbordos factibles para toda la red.

La utilización de trenes extras vs una operación normal hasta la misma hora, permite

claramente una disminución en la realización de viajes ya que éstos trenes están

programados de tal forma que se hacen cargo exclusivamente de las personas que están

esperando en estaciones de combinación y no para la operación normal con frecuencias

de salida constantes.

Con respecto a las rutas generadas según el tipo de par origen-destino, se realizó un

análisis de los tiempos de espera en los que incurrían los pasajeros, observando que

quienes realizaban una combinación debían esperar tiempos muy grandes por los trenes

de trasbordo. Para dar solución a esto se propuso la incorporación de trenes intermedios

en las líneas que lo requiriesen, beneficiando a algunos grupos de pasajeros. La

disminución de estos tiempos fluctuó entre un 62% y 100%.

92

La cantidad de viajes que deben ser realizados en base a la propuesta expuesta

anteriormente es 130, con un funcionamiento de la red de Metro, en que cada una de las

estaciones cierra después de las 23:00 hrs., asegurando que ingresando a esa hora pueden

llegar a cualquier punto de la red.

La forma de operación actual de Metro utiliza 120 viajes, pero sólo asegura caminos

factibles para cualquier par de nodos de la red hasta la 22:30 hrs. Frente a esto, se

propone el resultado obtenido con la generación de 10 viajes más pero asegurando la

llegada al destino de los pasajeros entre las 23:00 y las 23:50 hrs., dependiendo de la

estación en la que se ingrese.

Los resultados obtenidos son satisfactorios. En cuanto al primer modelo (MSTF), el

resultado de la relajación coincide con el resultado del problema entero, lo cual asegura

que se está en el óptimo. En cuanto al segundo, el problema es pequeño y la solución

entera es encontrada rápidamente.

Por otra parte, los supuestos utilizados para la creación de los modelos, limitan

ligeramente la aplicabilidad real de los mismos, principalmente debido a características

que debe comprender la red en estudio, los períodos horarios utilizados y a características

propias de los trenes tales como capacidades y maniobras. Como solución a esto se

propone la extensión de los modelos a una red general y trabajar con los tiempos en

forma más desagregada o en función de los tiempos de operación de cada tren en cada

línea (PESP).

En cuanto a trabajos futuros se propone la utilización de una función multi-objetivo como

se mencionó anteriormente, en donde se optimice una función de costos y otra con

respecto a la calidad de servicio. Utilizando distintos métodos de solución se podría llegar

a soluciones Pareto óptimas, en donde el tomador de decisiones deberá escoger según los

intereses y objetivos de su estudio.

También se propone la utilización de un solo modelo que sea capaz de enfrentar los dos

problemas tratados con distintos modelos en esta tesis, es decir, un modelo que sea capaz

93

de entregar una programación horaria para un conjunto de líneas que conforman una red,

considerando los trasbordos que se realizan en ésta.

94

6. BIBLIOGRAFÍA

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[19] www.metrosantiago.cl

96

ANEXOS

1. Red de Metro, Diciembre 2007.

Fuente: www.metrosantiago.cl

97

2. Siglas Estaciones de Metro.

LINEA 1 L1

SAN PABLO SP

NEPTUNO NP

PAJARITOS PJ

LAS REJAS LR

ECUADOR EC

ALBERTO HURTADO AH

U DE SANTIAGO US

ESTACIÓN CENTRAL EL

U LATINOAMERICANA LA

REPÚBLICA RE

LOS HÉROES LH

LA MONEDA LM

UNIVERSIDAD DE CHILE CH

SANTA LUCÍA SL

UNIVERSIDAD CATÓLICA UC

BAQUEDANO BA

SALVADOR SA

MANUEL MONTT MM

PEDRO DE VALDIVIA PV

LOS LEONES LE

TOBALABA TO

EL GOLF GO

ALCÁNTARA AL

ESCUELA MILITAR EM

LINEA 2 L2

LA CISTERNA LC

EL PARRÓN EP

LO OVALLE LO

CIUDAD DEL NIÑO CN

DEPARTAMENTAL DE

LO VIAL LV

SAN MIGUEL SM

EL LLANO LL

FRANKLIN FR

RONDIZONNI RO

PARQUE O'HIGGINS PQ

TOESCA TO

LOS HEROES LH

SANTA ANA SA

CAL Y CANTO CA

PATRONATO PT

98

CERRO BLANCO CB

CEMENTERIOS CE

EINSTEIN EI

DORSAL DO

ZAPADORES ZA

AMÉRICO VESPUCIO NORTE VN

LINEA 4 L4

TOBALABA TO

COLÓN CO

BILBAO BI

PRÍNCIPE DE GALES GA

SIMÓN BOLÍVAR SB

PLAZA EGAÑA EG

LOS ORIENTALES OR

ROTONDA GRECIA RG

LOS PRESIDENTES LP

ROTONDA QUILÍN RQ

LAS TORRES LT

MACUL MC

VICUÑA MACKENNA VM

VICENTE VALDÉS VA

ROJAS MAGALLANES RM

TRINIDAD TR

LOS QUILLAYES LQ

ELISA CORREA EA

HOSP. SÓTERO DEL RÍO HS

PROTECTORA DE LA INF PI

LAS MERCEDES ME

PLAZA PUENTE ALTO PPA

LINEA 4A L4A

VICUÑA MACKENNA VM

SANTA JULIA JU

LA GRANJA LG

SANTA ROSA SR

SAN RAMÓN RN

LA CISTERNA LC

99

LINEA 5 L5

QUINTA NORMAL QN

CUMMING RC

SANTA ANA SA

PLAZA DE ARMAS PZ

BELLAS ARTES BE

BAQUEDANO BQ

PARQUE BUSTAMANTE PB

SANTA ISABEL SI

IRARRÁZAVAL IR

ÑUBLE UN

RODRIGO DE ARAYA RA

CARLOS VALDOVINOS CV

CAMINO AGRÍCOLA AG

SAN JOAQUÍN SJ

PEDREROS PE

MIRADOR AZUL MA

LA FLORIDA LF

VICENTE VALDÉS VV

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