UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS.docx
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE-L
PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL - AGOSTO 2015
NOMBRE: Edison Guilcamaigua
ASIGNATURA: Álgebra FECHA DE ENVIÓ: 26 de Mayo del 2015
PARALELO: T1 B-110 FECHA DE REVISIÓN: 28 de Mayo del 2015
TEMA: Divisibilidad, Cocientes Notables, MCD, MCM.
CONSULTA N°02
DIVISIBILIDAD
Dados dos polinomios D(x ) y d (x ) de grados no nulos, se dirá D(x ) es divisible por d (x ) si existe
un único Q(x ), tal que la división es exacta. Es decir: D(x )≡ d (x)⋅Q(x )
TEOREMAS DE DIVISIBILIDAD
TEOREMA 1
Si F (x) es divisible por G(x ) y G(x ) es divisible por H (x ), entonces F (x) es divisible por H (x ).
TEOREMA 2
Si F (x) y G(x ) son divisibles por H (x ), entonces la suma y la diferencia de F (x) y G(x ) es
divisible por H (x ).
TEOREMA 3
⇒ Si el polinomio P(x ) es divisible separadamente por los binomios (x−a), (x−b) y (x−c) tal que
(a≠ b ≠ c ), entonces P(x ) es divisible por el producto (x−a)(x−b)(x−c )
⇐Recíprocamente si el polinomio P ( x ) es divisible por el producto ( x−a ) ( x−b ) ( x−c ), entonces será
divisible separadamente por ( x−a ), ( x−b ) y ( x−c ). (a≠ b ≠ c )
COCIENTES NOTABLES (C.N.)
Llamaremos cocientes notables (C.N.) a aquellos cocientes que obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad efectuar el proceso de la división.
En forma general se tendrá divisiones de la siguiente manera: xm± y p
xa ± yb
La cual genera un cociente notable (C.N.) si se cumple la siguiente:
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE ma= p
b=n
donde "n" es el número de términos del cociente notable (n ≥ 2 ,n∈Z).
TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL
Si un cociente notable consta de "n" elementos y se quiere calcular un término de lugar "k", se utilizará la siguiente expresión:
Caso 1 xm± y p
xa− yb Entonces: T k⏟lugar
=( xa )n−k ( yb )k−1
Caso 2 xm± y p
xa+ yb Entonces: T k⏟lugar
=(−1 )k+1 ( xa )n−k ( yb )k −1
TÉRMINO CENTRAL (n→ impar ) T central=T n+12
=( xa )n−1
2 ( yb )n−1
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CASOS PARTICULARES
A continuación mostraremos un cuadro resumen de los cocientes notables que se obtienen de las divisiones de la forma:
x ⁿ ± y ⁿx ± y
Problema 1. Si el polinomio P ( x )¿ x3+3 x2+ Ax+B
es divisible entre ( x+4 ) (x−2 ), entonces el valor de A−B es
A)−2 B)−1 C)0
D)2 E)3
SOLUCIÓN x3+3 x2+Ax+B
x+4∧ x3+3 x2+ Ax+B
x−2
Por teorema del resto
x=−4⟹ (−4 )3+3 (−4 )2+ A (−4 )+B=0
−64+48−4 A+B=0
⟹4 A−B=−16
i. x=2⟹23+3 (2 )2+ A (2 )+B=0
8+12+2 A+B=0
⟹2 A+B=−20
Luego
{4 A−B=−162 A+B=−20
⟹ A=−6∧B=−8
∴ A−B=−6−(−8 )=2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
Calcular el mínimo común múltiplo
En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el