UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ......mecánica de las rocas y del concreto. En la sección...

ACADEMIA NACIONAL DE LA INGENIERÍA Y EL HÁBITAT

UNA NUEVA METODOLOGÍA PARA DETERMINAR

LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS ROCOSOS Y EN

EL CONCRETO

Roberto Ucar Navarro

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA, MÉRIDA, VENEZUELA


2

Dedicatoria

A Dios todo poderoso por haberme dado la oportunidad de poder contribuir modestamente con el desarrollo de mi país A mis difuntos padres Pedro Ucar Echeverría y Dorita Navarro de Ucar A mi esposa Damaris y a mis hijos Adriana, Jorge y Eduardo


3

ÍNDICE Página

RESUMEN…………………………………………………………… 7 1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………… 9 1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos……………. 17 2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE

PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O

CURVA DE RESISTENCIA INTRÍNSICA…………………………… 22

3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA

ENVOLVENTE…………………………………………………………. 28

4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA…………………………… 30

4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown……………………… 37

4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown…………………. 49

4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu…………………………… 54

4.4 Criterios de Ramamurthy et al y Sheory…………………………. 56

4.5 Otros Criterios de rotura ………………………………………….. 64

4.5.1 Criterio de Henning y Zimmerman……………………………… 68


4

Página

4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m……………………………………… 73

4.5.3 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer ……. 75

5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO

PRINCIPAL INTERMEDIO σ2 …………………………………………. 80

5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura……… 97

6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE

MATERIALES CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DE

TENSIONES……………………………………………………………….. 106

6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior(Single Strength

Theory - SSS -Lower Bound Criterion)……………………………………. 107

6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas

Intermedias (Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory-

Intermediate Curves Criteria)………………………………………………108

6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples

Parámetros…………………………………………………………………. 109

6.3 Teoría de resistencia al corte doble, o criterio del límite superior

(Twin-Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion)………… 109


5

6.4 Teoría de resistencia unificada de Yu……………………………… 110

Página

6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al. ……. 112

7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE

ROTURA…………………………………………………………………. 117

7.1 Determinación de la envolvente de rotura……………………………. 119

7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de

Aplicación…………………………………………………………………… 126

7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes

I1, J2 y ……………………………………………………………........….. 131

7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración)…. 132

7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES……… 138

7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura

a través de los estudios experimentales realizados por Torres………… 140

7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos………… 144

7.6.2 Determinación del error estándar…………………………………. 149


6

Página

7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios

experimentales de Aire………………………………………………… 152

7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo

criterio de rotura a través de las pruebas de resistencia realizadas por

Aire………………………………………………………………………… 164

8. EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR

EL CRITERIO LINEAL DE ROTURA……………………………… 166

8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la

persistencia de las discontinuidades……………………………………… 176

9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN. 178

10. REFERENCIAS………………………………………………………… 183


7

RESUMEN

En la presente monografía se ha desarrollado una expresión analítica que permite

hallar la resistencia al corte en macizos rocosos y en materiales de rotura frágil

como el concreto en función de los esfuerzos principales 1 y 3 .

A través de este nuevo criterio empírico de rotura bidimensional se ha determinado

la tensión normal actuando sobre el plano de rotura al resolver la ecuación

diferencial lineal de primer orden, y por ende la envolvente de falla.

Para facilitar los cálculos la relación entre los esfuerzos principales 1 y 3 en el

instante de la rotura se ha expresado en forma adimensional, a través de la

siguiente ecuación:

1/ 2

3 311 2

c c c

K K

c y t representan la resistencia a compresión sin confinar y a tracción de la

roca intacta (matriz rocosa) respectivamente, y por otra parte ξ es un parámetro

adimensional que define el cociente de t entre c.

Estos valores de resistencia, junto con las constantes K1 y K2 a determinar para

cada roca en particular, permitirá hallar la vinculación analítica entre 1 y 3 .

En estas condiciones, al aplicar esta nueva hipótesis, conjuntamente con los

conceptos matemáticos básicos sobre contactos de curvas para obtener la

envolvente de una familia de círculos de falla, es posible determinar la resistencia

al corte = ζ ( β ) y la tensión normal sobre el plano de rotura n =ψ (β).

Por lo tanto, ambas curvas están definidas paramétricamente a través del ángulo

β que forma la tangente a la envolvente falla con la horizontal, conocido también


8

como ángulo de fricción interna instantáneo φi. Lo anterior indica que:

tan tann

id

d

Por otra parte, el cálculo analítico de la envolvente o curva de resistencia intrínseca

se ha obtenido considerando como punto de partida que se conoce la magnitud

del esfuerzo normal n*, el cual corresponde a la solución de la ecuación

diferencial. Posteriormente, utilizando la técnica de iteración con el objeto que la

función ζ (n, β) =0, se obtiene β. A través del referido ángulo, junto con la

tensión normal n se halla la resistencia al corte , la cual se expresa en la

forma: 2

2

2

2

1

tan 452 2

tan 452

tan4 2

n

c c

K

K

Cabe destacar, que esta representación analítica de la curva intrínseca ayudará sin

lugar a dudas a desarrollar nuevos métodos de cálculo en lo concerniente a la

estabilidad de taludes y obras subterráneas, en el diseño del soporte en macizos

rocosos mediante anclajes, en la estimación de la resistencia por el fuste en roca de

calidad pobre siendo el tipo de fundación por medio de pilotes, así como la carga

de hundimiento de una fundación en terrenos diaclasados, y en otras innumerables

aplicaciones dentro del campo de la geotecnia.

también, debe señalarse que excelentes resultados se han obtenido empleando este

nuevo criterio de rotura al determinar la resistencia al corte del concreto en * n = α (Ambos componentes representan o denotan a la tensión normal)


9

función de los parámetros K1 y K2 a través de pruebas de laboratorio en probetas

sometidas a tracción, compresión uniaxial y triaxial , esta última para la

condición en la cual σ2 = σ3 . Los resultados se pueden observar en detalle en las

secciones 7.6 y 7.7.Finalmente, vista la relevancia del tópico investigado se ha

considerado de interés incluir la parte correspondiente a los diferentes criterios de

rotura en roca, así como la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en el

proceso de fractura de la roca y en el ángulo de rotura.

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años una extensa investigación se ha realizado en el campo de la

ingeniería geotécnica con el objeto de poder determinar con mayor precisión la

resistencia al corte de la roca tanto en la condición sana como fracturada.

Todo esto ha generado como resultado la publicación de una gran cantidad de

estudios para definir un criterio tanto del punto de vista teórico como experimental

que permita predecir la rotura del macizo rocoso, desde que en 1773 Coulomb

postulara la primera hipótesis de falla.

La causa fundamental de que ninguno de los criterios existentes haya tenido una

utilización universal radica en el hecho de que son muchos los parámetros que

gobiernan el proceso de rotura de la roca, factores estos que dependen tanto del

propio macizo rocoso como del estado tensional. Cabe destacar como se apreciará

más adelante, que en las últimas décadas se han desarrollado diferentes criterios

empíricos, los cuales aunque no poseen el esperado fundamento científico, ofrecen

la gran ventaja de acercarse a la realidad del fenómeno físico.

Por otra parte, el gran reto se fundamenta en llevar a cabo investigaciones que

permitan obtener la resistencia de la roca en la condición fracturada y meteorizada;

tarea esta nada fácil por lo complejo del problema.


10

También otro aspecto a señalar son las importantes contribuciones realizadas por

Bieniawski [1], Barton [2], Hoek y Brown [3] y Ramamurthy et al [4] entre otros

destacados investigadores, al avanzar con paso firme y aproximarse a los valores

reales de la resistencia de la roca en función del grado y las características de la

fracturación, tamaño de los bloques, abertura, relleno y alteración de las

discontinuidades. Otra valiosa contribución, ha sido la de Yu [5] a través de su

excelente libro” “Unified Stremgth Theory and Its Applications”, el cual se

recomienda su lectura junto con el de los siguientes autores:

Sheorey [6], “Empirical Rock Failure Criteria”, Andrev [7], “Brittle Failure Of

Rocks Materials”, Chen y Liu [8], “Limit Analysis in Soil Mechanics”, Chen y

Saleeb [9], “Constitutive Equations for Engineering Materials”, Chen y Mizuno

[10], “Non Linear Analysis in Soil Mechanics-Theory and Implementation”,

Chen [11] “Plasticity in Reinforced Concrete”, Chen y Baladi [12], “Soil

Plasticity”, y Mogi [13] “Experimental Rock Mechanics, donde investiga en detalle

la deformación y fractura de rocas, así como la transición de la rotura de frágil a

dúctil en función de la presión de confinamiento.

Teniendo en cuenta el aporte de estos investigadores, conjuntamente con el nuevo

criterio propuesto y la solución analítica de la envolvente de rotura, en la sección

siete se demuestra su importancia y aplicación práctica en el campo de la

mecánica de las rocas y del concreto.

En la sección 7.2, se lleva a cabo un ejemplo detallado para la condición de roca

intacta, y en las secciones 7.6 y 7.7 se utilizan casos prácticos aplicados al

concreto, cuyos buenos resultados demuestran y comprueban la validez de este

nuevo criterio de rotura. Por otra parte, cabe señalar que una de las ventajas del

procedimiento analítico el cual se detalla en la sección 7.4, es que permite

obtener con un buen rango de aproximación las constantes requeridas que

vinculan los esfuerzos principales a través un sistema de ecuaciones no lineales.


11

Esto se logra conociendo únicamente la relación entre la resistencia a tracción

uniaxial y la resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca o concreto

(ξ =t/c ), incorporando además las respectivas condiciones de borde. Es decir,

para determinar las referidas constantes no se requiere tener como datos de

entrada los valores de las tensiones principales del ensayo triaxial (3, 1)

En la tabla anexa, utilizando la hoja de cálculo de Excel se comparan los resultados

obtenidos del esfuerzo principal mayor 1 considerando la solución del sistema de

ecuaciones no lineales, y el ajuste de curva aplicando la técnica de mínimos

cuadrados. A través del programa asistido por el ordenador EES (Engineering

Equation Solver) se han calculado las constantes K1 Y K2 considerando la nueva

expresión que vincula los esfuerzos principales, junto con la constante de

integración K4 de la ecuación que relaciona la tensión normal n y (ángulo que

forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal para cada punto de

coordenas n,). A la vez, se han determinado cuatro incógnitas adicionales para

la condición en la cual el esfuerzo principal menor 3 =0 y n =0

3

3

10 00 0

3' ', , ,

nn

n

c cf f

En la referida tabla, se aprecia que las magnitudes de 1 aplicando la solución del

sistema de ecuaciones no lineales varían aproximadamente entre menos del 1% a

un 4%. al compararse con la curva de ajuste de mínimos cuadrados. El porcentaje

lógicamente aumenta a medida que la presión de confinamiento también

incrementa. Esto se debe, como previamente se ha indicado a que dichas constantes

se han determinado sin considerar los valores (3 , 1) de los ensayos triaxiales.


12

Tabla 1.1

Comparación de los resultados de σ1 obtenidos a través de los ensayos de laboratorio y los valores de

σ1 mediante el ajuste de la curva por mínimos cuadrados y empleando el sistema de ecuaciones no lineales

Sistema de Sistema de Parámetros Curva ecuaciones Curva ecuaciones

f'c(kgf/cm2) Valores en kgf/cm2Ajuste Ucar no lineales Ajuste Ucar no lineales

330.00 σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c) σ1 kgf/cm2 σ1 kgf/cm2

-35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0 0 0

σt (kgf/cm2) 0.000 330.00 0 1 1.000090787 1.000402802 330.0299598 330.1329246

-35.00 27.97 466.86 0.084757576 1.414727273 1.376015548 1.366140012 454.085131 450.82620438.46 538.95 0.116545455 1.633181818 1.497968271 1.483802588 494.3295293 489.6548542

ξ 55.94 578.90 0.169515152 1.754242424 1.686551791 1.664876448 556.5620911 549.4092278

-0.106060606 69.99 636.62 0.212090909 1.929151515 1.827859596 1.799894919 603.1936666 593.9653234Ajuste Curva 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.926463111 647.0768683 635.7328266

к1 97.90 696.74 0.296666667 2.111333333 2.088393839 2.047438215 689.1699667 675.6546108

0.712 111.89 746.12 0.339060606 2.260969697 2.211033429 2.163369916 729.6410316 713.9120722

к2 139.86 794.50 0.423818182 2.407575758 2.443860538 2.382481176 806.4739774 786.2187881

2.839 153.85 858.16 0.466212121 2.600484848 2.555125049 2.486757328 843.1912662 820.6299181167.83 863.62 0.508575758 2.617030303 2.663361537 2.587937752 878.9093073 854.019458

Ecuaciones 174.83 870.90 0.529787879 2.639090909 2.716545792 2.637563989 896.4601113 870.3961163No lineales 181.82 891.27 0.550969697 2.700818182 2.769025326 2.686475085 913.7783574 886.5367782

195.80 971.71 0.593333333 2.944575758 2.872217819 2.782487147 947.8318802 918.2207584

Қ1 209.79 982.94 0.635727273 2.978606061 2.973301575 2.87633152 981.1895197 949.1894018

0.5 223.78 1008.41 0.678121212 3.055787879 3.072386679 2.968127963 1013.887604 979.4822276237.76 1030.47 0.720484848 3.122636364 3.169564304 3.05797685 1045.95622 1009.13236

Қ 2 251.76 1088.86 0.762909091 3.299575758 3.265180892 3.146212297 1077.509694 1038.250058

2.909 265.73 1107.72 0.805242424 3.356727273 3.359019418 3.232646711 1108.476408 1066.773415279.72 1135.73 0.847636364 3.441606061 3.451526108 3.317702537 1139.003616 1094.841837

f'c = Resistencia a compresion simple del concreto en kgf/cm2

σt = Resistencia a tracción del concreto en kgf/cm2

ξ=σt /f 'c

K1 = Constante

K2 = Constante

(σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar mediante ajuste de la curva

(σ1/ f'c)

Nota: Los valores de las constantes K1 y K2 obtenidas a través del sistema de ecuaciones simultáneas no

lineales se determinaron únicamente conociendo la relación ξ=σt /f 'c = - 0,106 .Es decir no se consideró

como datos de entrada los valores (σ1 ,σ3) de los ensayos triaxiales.

Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar

obtenidos a través del sistema de ecuaciones no lineales

LEYENDA

Resultados de los ensayos de laboratorio

Valores adimensionales

3 311

1/ 2

2' ' 'c c c

K Kf f f

Obsérvese , que la diferencia en los

valores de σ1 al aplicar el sistema de ecuciones no lineales con la curva de ajuste varía aproximadamente entre el 1% al 4%


13

Sistema de Ecuaciones no Lineales- EES (Engineering Equation Solver)


14

0

3

3

0

0

0

1 00

1/ 2

3 31

2''

3'

' ' '

330, 00 /0,1676 , 41, 67

3 0, 06993 , 51, 41

0,5 2,909 , 0,106

nn

nc

c

c

c c c

kgf cmsigman ff

sigmaf

f f f

Solución del sistema de ecuaciones no lineales a través del programa EES

(Engineering Equation Solver)


15

Adicionalmente es de interés señalar que el objetivo trazado en la próxima fase de

investigación de este apasionante tema concerniente con la resistencia de macizos

rocosos , es desarrollar primeramente un criterio práctico y efectivo de rotura que

considere el estado de fractura y meteorización de la roca utilizando las bien

conocidas clasificaciones geomecánicas, tales como el Rock Masas Rating de

Bieniawski [1],el Sistema Q de Barton [2] ,o el Índice de Resistencia Geológica

(Geological Strength Index-GSI )de Hoek y Brown [3].

En estas condiciones se propone una ecuación de la forma:

1 1 33 tm tmK K (1.1)

Donde σtm representa la resistencia a tracción de la masa rocosa, y es una fracción

de la resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt .

En general, es práctica común determinar la resistencia de la masa rocosa a

compresión σcm y a tracción σtm a través de las siguientes expresiones:

100expcm

c

RMR

a

(1.2)

σc = resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca intacta

100exptm

t

RMR

b

(1.3)

RMR= índice de calidad de Bieniawski

a, b = parámetros que varían de acuerdo al investigador

a ≈ 18,75-25

b ≈ 12-27

Por ejemplo Sheorey [6], en su criterio de rotura utiliza los siguientes valores:


16

a=20 y b=27

Dividiendo la ecuación (1.1) por σcm , resulta:

311

3 tmtm

cm cm cm cmcm

KK

(1.4)

Llamando:

2

cm

KK

(1.5)

La ecuación anterior se transforma,

311 2

3 tmtm

cm cm cm cmK K

(1.6)

A través de (1.2) y (1.3), la relación σtm / σcm puede representarse como sigue:

100 100exptm t

cm c

RMR RMR

b a

(1.7)

Por lo tanto, en forma reducida se tiene;

exp expmt

c

RMR RMR

(1.8)

100 100RMR RMRRMR

b a

(1.9)

Quedando finalmente,

3 311 2

1/ 2

m mcm cm cm

K K

(1.10)

Lógicamente, si RMR=100 (roca intacta), se observa a través de (1.9) que:


17

0 , cm

t

RMR

Por lo tanto, en este caso en particular la ecuación (1.10) pasa a representar la

condición de una roca intacta.

Finalmente, la segunda etapa de investigación se fundamenta en ampliar el criterio

propuesto en un procedimiento práctico y efectivo de rotura en tres dimensiones,

por cuanta hay evidencias que demuestran que el esfuerzo principal intermedio

σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca. En caso de lograse, su aplicación

sería de gran utilidad al poder determinar con mayor exactitud la resistencia de la

masa rocosa en función de las tres tensiones principales. Así, por ejemplo por

mencionar dos casos, es de fundamental importancia optimizar el diseño del

sostenimiento de túneles junto con una reducción en los costos de la obra, e

igualmente es de interés analizar en mayor detalle la estabilidad de hoyos en la

industria petrolera, cuyo campo tridimensional de esfuerzos es complejo de

determinar.

1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos

Con el objeto de poder apreciar la importancia de las ecuaciones (1.7) y (1.10), a

continuación se lleva cabo un ejemplo práctico a través del cual se determina la

relación ente los esfuerzos principales considerando el índice de calidad RMR de

Bieniaswki [1] y las ecuaciones (1.2) y (1.3) utilizando las constantes a=20 y b=27

sugeridas por Sheorey [6]

A la vez los resultados se comparan con el criterio de rotura generalizado de Hoek

y Brown.

Los datos de entrada de la masa rocosa investigada son los siguientes:

σc = 40,00MPa , σt = 40,00/12 =3,33 MPa


18

1

12t

c

RMR = GSI (Índice de Resistencia Geológica de Hoek y Brown ) = 60

Al aplicar (1.10), resulta:

1 60 100 60 100exp 0,14

12 27 20tm

mcm

Utilizando el programa EES (Engineering Equatión Solver), se ha resuelto el

sistema de cinco ecuaciones simultáneas no lineales.

Por otra parte, el procedimiento analítico para determinar las referidas ecuaciones

se detalla en la sección (7.4). Adicionalmente cabe señalar, que previo al cálculo

se ha reemplazado σc por σcm y ξm por ξ, con la finalidad de pasar de la

condición de roca intacta a diaclasada.

Los cinco valores obtenidos son:

K1 = 4,16

K2 =1,12

K4 =0,02793 (constante de integración, la cual se encuentra en la ecuación de σn )

03

0,154nn

cm

σn =Esfuerzo normal actuando en el plano de rotura para el caso particular que la

tensión principal menor σ3 =0

=44,36o (inclinación de la tangente a la envolvente de rotura, para la condición en

la cual σ3 =0. Ensayo de compresión sin confinar)

Por lo tanto, el ángulo que forma el plano de falla con el esfuerzo principal menor

es: α = (π/4+/2)= 67,18o


19

Con los valores de K1, K2, K4 y ξm es posible determinar la tensión normal

empleando la ecuación (7.42) indicada en la sección (7), y la resistencia la corte a

través de (7.27)

1 1 1 1

2

1 1

4

22

2 1 1

4 (3 ) 1 11

1 1m

n

cm

K

K

K K K K sensen K

K K sen

(1.11)

2

3

2

1

tan 452

tan 452

tan4 2

mn

cm cm

K

K

(1.12)

Finalmente, en la tabla anexa con la ayuda de la hoja de cálculo Excel se compara

el nuevo criterio propuesto con el criterio generalizado de Hoek Y Brown.

Se observa, para este caso en particular que la diferencia existe en la zona de

tracción y a partir de valores de σ3 > 5 MPa. Para mayor detalla véase la figura 1.1

En definitiva, es necesario seguir investigando y analizando a profundidad la

resistencia al corte en rocas fracturadas y meteorizadas, tal como se ha mencionado

como una segunda fase de investigación, debiéndose hacer hincapié en los

parámetros σtm y σcm y por ende en el factor ξm= (σtm /σcm ).

Todo esto con el propósito fundamental de obtener valores lo más cercanos

posibles a los reales, tarea por supuesto nada fácil de lograr. Además de comparar

las expresiones de σtm y σcm con los obtenidos por Sheorey [6] , será necesario

tener en cuenta otras investigaciones las cuales se mencionan en la sección nueve ,

por cuanto ξm es el factor más importante que gobierna la resistencia al corte de la

roca.


20

Comparación de resultados entre el nuevo criterio de rotura propuesto por Úcar y el de Hoek y Brown

σcm (MPa) σc (MPa) σ3 (MPa) σ3/σcm (σ1/σcm) Ucar σ3 (MPa) (σ1) Ucar σ3 (MPa) (σ1) HB

5.41 40 -0.757669 -0.13996 0 -0.75767 0 -0.1624 0.006196379-0.5 -0.09236 0.442359484 -0.5 2.39467384 -0.1 2.404105126

σtm (MPa) σt (MPa) -0.25 -0.04618 0.733107427 -0.25 3.96861205 -0.05 3.33259724

-0.76 -3.333333333 0 0 1.001247654 0 5.42016539 0 4.0835637360.1 0.018473 1.104888245 0.1 5.98121454 0.1 5.321159803

ξ RMR 0.25 0.046182 1.257571327 0.25 6.80775087 0.25 6.832584376-0.08333333 60 0.5 0.092363 1.506311395 0.5 8.15428317 0.5 8.892788165

K1 0.6 0.110836 1.604209077 0.6 8.68424359 0.6 9.62021691

4.16 0.8 0.147781 1.797795574 0.8 9.73220693 0.8 10.9647991

K2 ξm 1 0.184726 1.988893093 1 10.7666964 1 12.19829262

1.12 -0.139961467 1.5 0.27709 2.458222757 1.5 13.3073709 1.5 14.95373677

2 0.369453 2.91854392 2 15.7992787 2 17.39634674

m mb 2.5 0.461816 3.372226643 2.5 18.2552499 2.5 19.6298829912 2.876 3 0.554179 3.820754382 3 20.6833151 3 21.71084915s a 4 0.738906 4.706063639 4 25.4758582 4 25.54282914

0.0117 0.513 5 0.923632 5.579612361 5 30.2047368 5 29.05851846 1.108358 6.444366956 6 34.8860091 6 32.34604256

Sigma3t (σtm)HB( MPa) 7 1.293085 7.302223548 7 39.5299397 7 35.45883383

-0.1624 0.006196379 8 1.477811 8.154481342 8 44.1435617 8 38.432202119 1.662538 9.002076648 9 48.7319437 9 41.2909322410 1.847264 9.845710684 10 53.2988818 10 44.05321759

σ3 = Esfuerzo principal menor en la rotura , MPa

σ1 = Esfuerzo principal mayor en la rotura , MPa

σc = Resistencia a la compresion simple de la roca intacta (matriz rocosa) , MPa

σt = Resistencia a la tracción unidimensional de la roca intacta , MPa

ξ=σt /σc

ξm=σtm /σcm

K1 = Constante

K2 = Constante

m, s = Parámetros del criterio empírico de rotura de Hoek y Brown

σcm = Resistencia a la compresion simple de la masa rocasa en MPa

σtm = Resistencia a la tracción unidimensional de la masa rocosa en MPa

LEYENDA

Parámetros Hoek & Brown

Curva Ajuste H&B

Curva Ajuste Ucar

Curva Ajuste Ucar

3 311

1/ 2

2m mcm cm cm

K K

Tabla 1.1 Comparación de los valores de σ1, aplicando el nuevo criterio de rotura

propuesto y el criterio generalizado de Hoek y Brown.


21

Fig.1.1 Gráfico comparativo entre el nuevo criterio de rotura propuesto en esta

investigación y el criterio generalizado de Hoek y Brown.

Obsérvese en este caso en particular que para valores de 0 ≤ σ3 ≤ 5 MPa, ambos

criterios tienen resultados muy semejantes. La diferencia se aprecia en la zona de

tracción y para valores del esfuerzo principal menor σ3 > 5MPa

COMPARACIÓN DE CRITERIOS DE ROTURA EN MACIZOS ROCOSOS

-10

0

10

20

30

40

50

60

-2 0 2 4 6 8 10 12

Esfuerzo Principal Menor Sigma3, MPa

Es

fue

rzo

Pri

nc

ipa

l Ma

yo

r S

igm

a1

, MP

a

Serie1

Serie2

Criterio de Hoek & Brown

Criterio de Úcar


22

2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE

PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O CURVA

DE RESISTENCIA INTRÍNSICA.

Utilizando las ecuaciones de equilibrio en un estado bidimensional y mediante la

figura (2.1) se sabe que:

2

3122

31 22

1

Que equivale a escribir, (2.1)

2 1 31 3 1 3

221

( , , , ) 02 2

f

Por cuanto 1 = (3), la ecuación (2.1) toma la forma.

f (, , 3 ) = 0 (2.2)

Donde, = n y representan el esfuerzo normal y tangencial sobre el plano

de rotura respectivamente.

Por otra parte, si la familia de líneas planas f (, , 3) = 0, admite envolvente,

las funciones = (3) y = (3) que definen las ecuaciones paramétricas

de esta envolvente, satisfacen el sistema de ecuaciones:

3

3

( , , ) 0

0

f

f

(2.3)


23

Despejando en (2.3) las tensiones y en función de 3, se obtienen las

ecuaciones paramétricas que definen la envolvente.

Asimismo, en caso que sea posible, se puede proceder eliminando 3 en las dos

ecuaciones indicadas en (2.3), hallándose una relación de la forma ζ(, ) = 0, la

cual representa también la envolvente.

Cabe destacar, que la familia de circunferencias de radio variable 3, representada

a través de (2.1) recibe el nombre de involutas.

Tomando la derivada de 1 con respecto a 3 en ambos lados de la ecuación (2.1)

queda:

1

21

2

1

2

12

3

131

3

131

(2.4)

02

11

21 31

3

131

3

1

(2.5)

Al simplificar resulta:

1 33

1

3

1

(2.6)

Reemplazando (2.6) en (2.1) y despejando , se obtiene:

3

1

3

1

31

1

(2.7)


24

Figura 2.1. Envolvente de rotura por cizallamiento en macizos rocosos.


25

Al dividir (2.7) entre (2.6), es posible escribir:

2/1

3

13

2/1

3

1

3

(2.8)

Por otro lado, al observar el triángulo ABC de la figura (2.1), el ángulo de rotura se

calcula a través de la expresión:

2/1

3

1tan

(2.9)

Igualmente, al observar la figura (2.1), se aprecia que el ángulo que forma el plano

de falla con el esfuerzo principal menor y la inclinación de la envolvente de falla

, están relacionados a través de la expresión:

2 = (/2 + ) (2.10)

Es decir:

tan.tan2 = -1 (2.11)

Cabe destacar, que se conoce también como el ángulo de fricción interna

instantáneo ( = i)

A la vez utilizando (2.11), la pendiente de la envolvente puede determinarse como

sigue:

tan2

1tantan

2

d

d (2.12)

Al reemplazar (2.9) en (2.12), resulta:


26

'2/1

3

1

3

1

2

1

tan

d

d (2.13)

Llamando† 1

3

1 '

, queda por tanto:

2/11

1

'2

1''

(2.14)

La cual se transforma:

1' - 2 ' · ( 1' ) 1/2 – 1 = 0 (2.15

De donde:

( 1' ) 1/2 = ' + [ 1 + ( ' ) 2 ] 1/2 (2.16)

Despejando = n en (5), se tiene:

1'

1'

2

1

1

13131 (2.17)

Al simplificar resulta:

1

131

'1

'

(2.18)

Al despejar el esfuerzo principal menor 3 de la ecuación (2.7) se obtiene:

† En este caso 1

13

'

, por lo tanto no se refiere a la presión efectiva.


27

2/1

1

113

'

'1

(2.19)

Reemplazando dicho valor en (2.18), queda:

2/11

11111

'

'1''1

(2.20)

Al despejar 1 de la ecuación anterior, es posible escribir:

1 = + ( 1' ) 1/2 (2.21)

Sustituyendo (2.16) en (2.21) se obtiene:

2/12'1'

1 (2.22)

Es decir:

'1 · 2/12'1

(2.23)

Igualmente, el esfuerzo principal menor 3 puede expresarse:

'3

- · 2/12'1

(2.24)

Siendo la diferencia entre los esfuerzos principales:

( 1 - 3 ) = 2 · 2/12'1

(2.25)

Elevando (2.16) al cuadrado:

2'12/12'1'22'

1'

(2.26)

Así:

2/12'1'22'213

11'

(2.27)


28

3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA ENVOLVENTE

A continuación, a través de un ejemplo sencillo descrito por Marín Tejerizo [14], se

determina la envolvente a una familia de circunferencias, cuyo procedimiento es el

utilizado en esta investigación para determinar la nueva envolvente de rotura en

macizos rocosos.

En resumen, si la familia de líneas planas f(x, y, t) = 0, admite envolvente, las

funciones x=ξ(t), y=φ(t) que definen las ecuaciones paramétricas de esta

envolvenvente, satisfacen por lo tanto el sistema de ecuaciones:

( , , ) 0f x y t y 0f

t

(3.1)

Considérese según [14] la ecuación (x-t)2+y2-2t+1=0, la cual representa una familia

de circunferencias de radio variable, teniendo todas ellas (ver figura 3.1) su centro

en el eje OX. Al aplicar el sistema de ecuaciones indicado en (3.1), y derivando se

obtiene que:

2 2 2 1 0

2 ) 2 0

x t y t

x t

(3.2)

Obteniéndose por tanto, dos arcos

1x t

2 1y t (3.3)

1x t

2 1y t (3.4)


29

Suponiendo que t ≥1, estos dos arcos forman la parábola y2 = 2x, la cual es la

envolvente a las circunferencias, que en este caso son las involutas.

Figura No 3.1 -Envolvente a una familia de círculos


30

4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA

Un criterio empírico de rotura permite determinar con la mayor precisión posible

la resistencia de la roca a través de datos experimentales.

Por otra parte, se deben obtener los mejores valores de las constantes o parámetros

incógnitas para cada roca en particular de la función escogida, de manera que la

curva pase lo más cerca posible del conjunto de puntos obtenidos

experimentalmente a través de los ensayos de tracción, compresión sin confinar y

triaxial en núcleos de rocas intactas .

Este método analítico de ajuste de la curva es ampliamente utilizado y se conoce

como el método de los mínimos cuadrados.

Sin embargo, cabe indicar que algunos de los criterios establecidos han buscado

mecanismos para hallar la resistencia en rocas diaclasadas y meteorizadas.

Esto se ha logrado relacionando en forma aproximada las nuevas constantes

involucradas en macizos rocosos fracturados y alterados por la acción de agentes

externos, con los parámetros de la roca intacta previamente obtenidos mediante

el ajuste de la curva y considerando adicionalmente los bien conocidos índices

de calidad tales como el RMR [1] , también denominado Rock Masas Raiting de

Bieniaswki ,el sistema Q de Barton [2] y el índice de resistencia geológica

(Geological Strength Index GSI) propuesto por Hoek y Brown [3]

De acuerdo a Edelbro [15], en la tabla anexa se indican varios criterios empíricos

de rotura en roca intacta propuesta por diferentes investigadores.


31

Tabla No.4.1.Resumen de diferentes criterios de rotura en rocas, según Edelbro [15]

Ecuación de Rotura Comentarios Autor

2

1 3 1 3a b Una generalización empírica de la

teoría de Griffith de roca intacta

Fairhurst( 1964)

1 3 3f

c F Ajuste de curva mediante datos

experimentales en roca intacta

Hobbs(1964)

1 3b

c a Ajuste de curva mediante datos

experimentales en roca intacta

Murrel(1965)

0

C

m m

c c

D

Ajuste de curva mediante datos

experimentales en roca intacta Hoek(1968)

1 3c a Ensayo triaxial en roca blanda Bodonyi(1970)

11 3 1 3

BBc

Ajuste de curva ensayando 500

testigos de rocas

Franklin(1971)

12

1 3 32ccm s

Aplicación de la teoría de Griffith

,y ajuste de curva en roca intacta

y diaclasada-

Hoek y Brown

(1980)

31

c c

a b

Ajuste de curva ensayando 700

testigos de roca, tanto .en intacta

como diaclasada

Bieniawski(1974)

Modificado por

Yudhbir(1983)

1 3 33

b

ca

Aplicación utilizando 80 testigos

de rocas

Ramamurthy et al

(1985)

1 3' ' 1B

n n

M

B

Ajuste de curva para suelos y

roca

Johnston(1985)


32

31 1

b

ct

Aplicación en roca intacta y

fracturada

Balmer (1952),

Sheorey et al (1952)

1

31 3

B

cc

SA

A, B y S parámetros de corte Yoshida(1990)

'' ' 31 3 bci

ci

a

m s

Versión 2002 Hoek y Brown

(1980)

31 cici

ci

A B

A , parámαetro adimensional , B

es una contante de la roca y el

valor de α ≈ 0,65

Yudhbir et al

(1973)

31 1cm

t m

bm

Emplea RMR76

Sheorey et al (1989)

' ' '1 3 3 '

3m

bmcia

Versión 2001 Ramamurthy(1995)

De acuerdo a la tabla (4.1):

A, a, am, b, bm, B, F, f, M, m, s α, mb son constantes a determinar

1 es el esfuerzo principal mayor en la rotura y 3 el esfuerzo principal menor.

Al considerar las tensiones principales efectivas, éstas se denotan como ’1 y ’3.

c =ci es la resistencia a compresión simple de la roca “intacta (matriz rocosa).

m= (1+3)/2 y m= (1-3)/2

σtm representa la resistencia la tracción de la masa rocosa, y es una fracción de la

resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt .


33

σcm= resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa

σ’1n= ’1 /c y σ’3n= ’3 /c (tensiones normales efectivas normalizadas)

Adicionalmente, cabe destacar que el autor del presente trabajo ha determinado la

envolvente de rotura del criterio original de Hoek y Brown [16] y de Murrel [17].

Este último en mencionarse ha sido expresado posteriormente en forma

adimensional por Bieniawski [18], en el cual los esfuerzos principales en el instante

de la falla están vinculados a través de la ecuación.

131

K

cc

A

(4.1)

Siendo c la resistencia a compresión simple de la roca intacta y los parámetros A

y K, constantes que dependen de las características geomecánicas de la roca, tal

como se indican en la tabla anexa

Tabla No 4.2 según Bieniawski [18]

31 1c c

K

A

K = 0,75

Tipo de roca intacta A

Norita 5,0

Cuarcita 4,5

Limolita 4,0

Lodolita 3,0

Mayoría de las rocas 3,5

Por otro lado, Wang Chuan-zhi et al [19], mencionan los trabajos de Richart

realizados en ensayos triaxiales en concreto, quien obtuvo inicialmente la relación:


34

31 1 4,10

c c

(4.2)

Es decir, A = 4,10 y K=1. Esta ecuación lineal corresponde al criterio de rotura de

Mohr – Coulomb como se apreciará más adelante en el apéndice (A) de este

estudio.

En este caso en particular 2tan 4,10 37, 43

4 2A

.

Siendo φ el ángulo de fricción interna del concreto.

Posteriormte Richart la modificó, obteniendo A=3,7 y K=0,86, como puede

apreciarse en la figura 4.1. También a través de la referida figura se comparan

ambos criterios de rotura, observándose que aproximadamente hasta valores con

relaciones de σ3/σc = 0,60 ambas ecuaciones presentan resultados muy cercanos

de σ1/σc. Igualmente puede observarse que el valor obtenido por Richart en

concreto es de K =0,86, mientras que para rocas Bieniawski recomienda utilizar

K=0,75.

Teniendo en cuenta que ambos criterios son utilizados en el campo de la mecánica

de las rocas para detrminar la resistencia al corte, al final de esta investigación en el

apéndice (A) se explica en detalle el desarrollo analítico para el caso particular

que K=0,75, valor obtenido experimentalmente por Bieniawski [18]

Cabe destacar que a partir de 1980 el criterio de rotura de Hoek y Brown [16] es

uno de los más utilizados, en particular se ha popularizado luego que la ecuación

original ha sido expandida y mejorada, con la ventaja adicional que los parámetros

m y s se obtienen bien sea en función del índice de calidad RMR de Bieniaswki

[1], o a través y del índice de resistencia geológica GSI [3]


35

Para mayor detalle véase el artículo de Hoek –Brown failure Criterion-2002

Edition, por Hoek, Carranza –Torres y Corkum [20], el cual está disponible en la

página Web www.rocscience.com, incluyendo además el programa asistido por el

ordenador Analysis of Rock Strength using RocLab.

Considerando lo previamente mencionado, es de vital importancia poder comparar

ambos criterios, con la ecuación propuesta en esta investigación.

En dicha comparación se han utilizado los datos experimentales obtenidos por

Torres [21] en cilindros de concreto ensayados a tracción, compresión simple y

triaxial.

A la vez cabe destacar, que al equipararse los resultados obtenidos entre ambos

criterios con la nueva relación que vincula a los esfuerzos principales 1 y 3 en

el instante de la falla , se observa que la nueva relación propuesta se ajusta mucho

mejor a los datos experimentales.


36

Figura 4.1 - Comparación de los ensayos de compresión triaxial en muestras

de concreto según diferentes autores, según Wang Chuan-zhi et al [19].

Obsérvese que en ambas ecuaciones se obtienen iguales resultados para

valores de σ3 /f ’c ≤ 0,60


37

4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown

Teniendo en cuenta la importancia de este criterio y su utilización cada día mayor

en la ingeniería de las rocas, a continuación se describe la nueva hipótesis de

rotura propuesta por Hoek y Brown [16] tanto en roca intacta como en macizos

que exhiben características predominantes de diaclasamiento y metereorización.

A través de innumerables ensayos de laboratorio, conjuntamente con los

fundamentos teóricos que existen sobre fractura y propagación de grietas en roca,

Hoek y Brown [16], hallaron una nueva hipótesis empírica de rotura estableciendo

la siguiente relación entre los esfuerzos principales 1 y 3, es decir:

2/13

31

sm

cc

En forma adimensional (Ver figura No 4.2) (4.3)

2/1331

sm

ccc

Donde:

1 = esfuerzo principal mayor en la rotura

3 = esfuerzo principal menor en la rotura

c = resistencia a la compresión simple de la roca “intacta”

m, s =constantes que dependen de las propiedades de la roca

El parámetro (m) controla la curvatura entre los esfuerzos principales, mientras que

(s) regula la localización de la curva entre 1 y 3.


38

En la tabla No 4.3, se pueden apreciar los diferentes valores de m y s, dependiendo

del índice RMR de Bieniaswki. Por otra parte de acuerdo a González de Vallejo et

al [22] la tabla No 4.4 incluye la clasificación Q de Barton.

La resistencia a compresión simple de la roca intacta c se obtiene al convidar que

no existe confinamiento lateral (3 = 0), y que además s = 1, resultando a través de

(4.3) que 1 = c.

Cuando el macizo presenta planos de fracturas (s < 1), la resistencia a compresión

sin confinar de la masa rocosa se denomina cm y se determina como una fracción

de c, como podrá apreciarse más adelante.

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación (4.3) y despejando 3 resulta:

2/121

2213 44

2

1

2 cccc smmm

(4.4)

Tomando la raíz no positiva de 21

22 44 ccc smm ya que 3

corresponde al esfuerzo principal menor, se tiene por tanto:

2/121

2213 44

2

1

2 cccc smmm

(4.5)

La resistencia de la tracción unidimensional de la masa rocosa tm se determina al

considerar 1 = 0, así la ecuación anterior toma la forma:

1/ 223 4

2c

tm m m s (4.6)


39

Figura 4.2 Criterio de rotura original de Hoek y Brown [16]


40

Tabla 4.3 – Valores típicos de los parámetros del criterio de rotura de Hoek y

Brown [16] en función del índice RMR


41

Tabla 4.4


42

A través de (4.3) y (4.6) se aprecian los límites de s, es decir:

s = 1, 1 = c roca intacta

s = 0, 3 = t = 0 roca muy fracturada

De lo anterior resulta, que para otros estados intermedios del macizo rocoso, (s) se

encontrara dentro del entorno 0 < s < 1.

Al considerar s=1 y m=mi., se obtiene la resistencia a tracción en la condición

intacta. Por tanto (4.6) se transforma:

1/ 22 42

cit im m

(4.7)

El valor de m en roca intacta puede hallarse midiendo el ángulo que forma la

superficie de falla con la dirección del esfuerzo principal menor 3.

Adicionalmente, al observar el triangulo ABC de la figura No 2.1 y empleando la

ecuación (4.3), la magnitud de () se determina mediante la siguiente expresión:

2/1

2/13

2/1

3

1

2

1tan

sm

m

c

(4.8)

Al considerar que:

s = 1 roca intacta

3 = 0 ensayo de compresión sin confinar

Resulta por lo tanto: tan2α= (1+ mi /2) y mi = 2 (tan2-1)

Adicionalmente, a continuación se demuestra que para la condición de la roca

intacta (s = 1), el valor del parámetro m = mi es:


43

(condición intacta),c

tim m m

(4.9)

Por otra parte, la ecuación (4.3) puede expresarse como sigue:

3 31

2

1mc c c

(4.10)

Como previamente se ha mencionado la resistencia a tracción t en la condición

intacta (s=1) se determina considerando 1 = 0. En estas condiciones 3 = t, por

lo tanto la ecuación anterior toma la forma:

2

1t tmc c

(4.11)

Al despejar m, se obtiene:

2

1t

ct

t

c

m valor negativo

(4.12)

Como una simple aproximación, si se considera que la relación 1

10t

c

su

cuadrado es << 1, obteniéndose finalmente que: m= m i ≈ (σc / σt)

También, cabe destacar que Ucar [23] aplicando dicho criterio original de Hoek y

Brown, determinó analíticamente la solución exacta de la envolvente de rotura, es


44

decir la ecuación que gobierna la resistencia al corte , conjuntamente la tensión

normal n tal como se especifica a continuación‡ :

i

ic

senm

tan

1

8 (4.13)

i = inclinación de la envolvente de falla. Se conoce también como ángulo de

fricción interna instantáneo (ver figura 2.1).

24i = ángulo entre la superficie de falla y la dirección del esfuerzo

principal menos 3.

2

1 3

8 2 16ii

c cnm m s

sensen m

(4.14)

Los valores de m y s en función de RMR, pueden obtenerse de acuerdo a Hoek y

Brown [24] mediante la siguiente expresión cuando la roca ha sido bien excavada

mediante voladura controlada (sin ser perturbada), y cuando ha sido perturbada.

1,00 (roca perturbada)

mi I

RMRmm

14

100exp Im = (4.15)

2,00 (roca no perturbada)

m i = valor de m en la condición “intacta”, ver tabla 4.3 y 4.4

‡ La ecuación empírica de la envolvente utilizada por Hoek y Brown es:

n t

B

cc

A

, A y B constantes a determinar mediante ensayos.


45

1,00 (roca perturbada)

sI

RMRs

6

100exp Is = (4.16)

1,50 (roca no perturbada)

Por otra parte, Hoek, Kaiser y Bawden [25], han determinado los parámetros m y s

en función de un nuevo índice de calidad de la roca, conocido como índice de

resistencia geológica GSI (Geological Strength Index), el cual evalúa la calidad

del macizo rocoso en función del grado de fractura , tamaño de los bloques ,

rugosidad y alteración de las discontinuidades. Al tener en cuenta este nuevo índice

resulta:

100

.exp28i

GSIm m

(Ver tabla No 4.5)

9

100exp

GSIs (4.17)

mi corresponde al valor de m para la roca intacta, es decir cuando GSI=100,

por lo tanto s=1

Adicionalmente dichos investigadores, indican que el índice de resistencia

geológica (Geological Strength Index) GSI = RMR76, para valores de RMR76 > 18

y por otra parte, GSI = (RMR89 – 5), cuando el índice calidad del macizo rocoso

RMR89 > 23.

En resumen, el GSI a través de observaciones visuales en el campo permite

determinar la reducción de la resistencia de la masa rocosa en función de la

frecuencia de las diaclasas, su rugosidad, relleno y alteración de las paredes de las

discontinuidades.


46

En este punto debe señalarse que Stille y Palmström§, indican que este

procedimiento visual representa un retorno a la descripción cualitativa en lugar de

lograr avances dese el punto de vista cuantitativo con datos de entrada como el

RMR o el sistema Q. Adicionalmente mencionan que el GSI se ha encontrado

principalmente útil en roca débiles con valores de RMR<20, concluyendo por otra

parte, que es este índice de resistencia geológica no corresponde a una clasificación

ingenieril de la roca. Posiblemente debido a lo previamente indicado, Sömez y

Ulusay [26] recientemente han modificado la tabla anterior determinando el GSI

en función del índice volumétrico de las diaclasas Jv, el cual representa el número

total de discontinuidades que interceptan un volumen unitario (1m3), cuantificando

además la rugosidad, alteración y relleno de las fracturas. De esta manera logran

un valor del GSI más representativo a través del procedimiento de valoración que

se indica en la tabla 4.6

§ Stille, H y Palmström, A (2003), “Classification as a tool in rock engineering”, Tunnelling and Underground Space Technology, Volume 18, pp 331-345


47

Tabla No 4.5 Índice de calidad GSI


48

Tabla 4.6


49

4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown

Como se sabe, el criterio original de rotura en rocas publicado por Hoek y Brown

[16] en 1980 ha generado buenos resultados para las mayorías de las rocas de

calidad buena y media, en la cual la resistencia está controlada por un fuerte

trabado de los trozos angulares de los granos minerales.

Posteriormente Hoek y Brown en 1992 [27] mejoraron y extendieron la ecuación

(4.3), la cual permite estimar con mayor precisión la resistencia en macizos

rocosos de calidad pobre en donde la unión o trabazón de las partículas de roca ha

sido destruida bien sea por efectos de la meteorización o el cizallamiento, dando

como resultado una roca sin resistencia a la tracción o cohesión.

Teniendo en cuenta lo previamente indicado, los mencionados autores han

expresado en una forma más general la ecuación (4.3) en función del exponente

(a), resultando por lo tanto:

asm

ccc

331 (4.18)

Siendo:

0,65200

GSIa , si GSI 30 (4.19)

Cuando GSI 30, a =1/2

Posteriormente, Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20] y en el programa Roc Lab

[28], incorporan en la ecuación (4.17) el factor D que depende del grado de

perturbación de la roca durante el proceso de excavación.

A la vez el exponente (a) involucrado en la fórmula (4.18) que vincula a los

esfuerzos principales en la falla σ1 y σ3 ha sido modificado y se expresa como

sigue:


50

/15 20/31 1

2 6GSIa e e (4.20)

100

exp28 14i

GSIm m

D

(4.21)

100

exp9 3

GSI

Ds

Al considerar nuevamente que σ3 = 0 el valor de la resistencia a compresión sin

confinar de la mas rocoas es σcm . Por tanto, la ecuación (4.18) toma la forma:

c

acm s (4.22)

Cabe señalar que algunos autores , como por ejemplo que Ramamurthy ** denotan

dicha resistencia como (σc)j para la condición en la cual la roca contiene planos

de discontinuidades que condicionan el comportamiento deformacional, hidráulico

y resistente de los macizos rocosos.

Se aprecia a través de la ecuación anterior, que para el caso particular en el cual el

parámetro s =1, σcm= σc, es decir corresponde cuando el medio rosos es

completamente sano (roca intacta).

Para el caso en cual σ3 = σtm, y σ1 = 0, la resistencia a tracción de la masa rocosa

empleando (4.18), se transforma en la siguiente expresión:

tms c

m

(4.23)

** Ramamurthy, T (2004) . A geo-engineering classification for rocks and rocks masses. International Journal Of Rock Mechanics and Mining Sciences, Vol 41, pp 89-101


51

Dicho valor aproximado se obtiene considerando que (σtm / σc) 1/ a o

Para la condición de roca intacta, s=1, m = mi y por lo tanto: σt ≈ - σc/mi

Por otra parte, en relación a la resistencia a la compresión sin confinar σcm ,

Marinos y Hoek [29] , han determinado dicho valor en función del índice GSI ,

mi y de la resistencia a comprensión sin confinar de la roca intacta σc= σci, como

a continuación se indica:

0,100,800, 0034 1, 029 0, 025 iicm

GSIm

m ci e

(4.24)

También, el valor de σcm puede obtenerse según Kalamaras y Bieniawski [30]

en función del índice RMR de Bieniawski, a través de la expresión:

100exp

24cm cRMR

(4.25)

Debe indicarse que las ecuaciones (4.24) y (4.25) dan resultados muy parecidos.

Sin embargo, si hay diferencias con la ecuación propuesta por Burton [2]

1/3510cm cQ

(4.26)

Siendo, Qc= Q (/100) , con σc en MPa y γ el peso unitario en kN/m3 .

Para completar este importante tópico, es oportuno aclarar lo siguiente:

Hoek en su artículo Uniaxial compressive Strength versus Global strength in

the Hoek Brown criterion, disponible en www.rocsciece.com, indica que la

ecuación (4.22), tiene aplicación limitada por cuanto calcula la resistencia

específicamente en la periferia de un túnel , o en el lindero de la cara del talud o

de un pilar , pero no en el interior de la masa rocosa .


52

A la vez, menciona que es de interés determinar la resistencia a la compresión de

la roca en función del grado de confinamiento conocida como resistencia global o

media.

En estas condiciones previamente descritas Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20],

recomiendan la siguiente ecuación††:

14 ( 8 )

4

2(1 )(2 )confinadacm c

am

m s a m s s

a a

(4.27)

Definida en el intervalo: 304c

Sin lugar a dudas, este intervalo es muy amplio y por lo tanto dicho valor indicado

en (4.27) es una simple aproximación al problema y debe emplearse con

precaución, por cuanto la resistencia a la compresión de la roca varía

significativamente con el grado de confinamiento debido a la elevada pendiente de

la curva σ1 =f (σ3) del referido criterio de Hoek y Brown.

Por otra parte, en el presente trabajo a la ecuación (4.27) se le ha colocado como

subíndice la palabra “confinada”, para no confundir dicha ecuación con las

indicadas en (4.22), (4.24) , (4.25) y (4.26) que se refieren específicamente a la

resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa , la cual corresponde

cuando σ3=0

Se ha considerado conveniente esta aclaratoria, ya que Marinos y Hoek [29] han

definido con anterioridad a σcm como la resistencia a compresión sin confinar.

†† En este trabajo se emplea (σcm )confinado en lugar de σcm , tal como lo expresan los referidos autores en su artículo Hoek-Brown Criterion – 2002 Edition [20]


53

Igualmente, cabe mencionar que Hoek y Marinos en el año 2000 utilizan el mismo

concepto de σcm descrito en el párrafo anterior en el artículo Predicting tunnel

squeezing problems in weak heterogeneous rock masses (Véase Select

Publications by E.Hoek: http://www.rocscience.com/hoek/references/Published-

Papers.htm). Teniendo en cuenta el análisis precedente, es oportuno señalar que es

necesario ser cuidadoso con la terminología empleada en los diferentes artículos

sobre resistencia al corte en macizos rocosos. Un caso particular es el programa

Roc Lab, en el cual valor de σcm ha sido definido como la resistencia global a la

compresión y no como la resistencia sin confinar de la masa rocosa, por cuanto

son dos conceptos totalmente diferentes.

Para mayor detalle el referido programa [28] asistido por el ordenador se obtiene

libremente a través de: http://www.rocscience.com/products/overview

Finalmente, Kumar [31], teniendo en cuenta el criterio de rotura desarrollado por

Hoek y Brown [16] , ha determinado la envolvente de rotura y la tensión normal

para el caso general de 2

1a mediante un sencillo procedimiento analítico, sin

necesidad de resolver ninguna ecuación diferencial, tal como fue hallada

previamente por Ucar [23], utilizando la ecuación original que relaciona los

esfuerzos principales 1 y 3 del mencionado criterio, mediante la conocida

ecuación cuadrática representada a través de la ecuación (4.3), es decir a =1/2.

Lamentablemente estas ecuaciones han sido poco difundidas, a pesar de que la

contribución llevada a cabo por Kumar es de gran relevancia al poder determinar

la resistencia al corte en macizos rocosos, tanto en la condición intacta como

considerando los planos de discontinuidad.

La resistencia al corte y la tensión normal, según dicho autor, son las siguientes:


54

11 1 cos

2 2i i

i

aaaa

c

senm a

sen

(4.28)

1111 11

12

i i

i

aan

c

sen senm a s

m sen a m

Como puede apreciarse, al considerar el valor de a =1/2, se obtienen las ecuaciones

indicadas a través (4.13) y (4.14), las cuales han sido derivadas por Ucar [23]

4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu [32]

Dichos investigadores han desarrollado la siguiente ecuación para roca intacta.

' '1 3 1N N

BM

B

(4.29)

Expresando los esfuerzos efectivos en forma normalizada en términos de σc

''' ' 31

1 3,N Nc c

(4.30)

Donde '1 y

'3 corresponden al esfuerzo efectivo principal mayor y menor en

instante de la falla respectivamente.

M y B = constantes de la roca obtenidas experimentalmente.

Cuando '3 =0 ,

'1 c

Cuando '1 0 ,

'3 c ,

c

t

M

B

(4.31)


55

Para el caso particular que B=1, resulta;

''

' ' 311 3 1 1N N

c c

M M

(4.32)

En este caso, al ser la relación entre las tensiones principales lineal su envolvente

también es lineal, obteniéndose la conocida ecuación de Mohr- Coulomb.

Siendo por lo tanto,

'

'

1

1

senM

sen

(4.33)

Posteriormente, Johnston [33] determinó mediante regresión por mínimos

cuadrados que:

2

2

1 0,0172 log

( )

2,065 0, 276 log

c

c

c

B

kPa

M

(4.34)

Cuando 0, 1, 2, 065B y Mc

Es decir, la evolvente o curva de resistencia intrínseca es lineal y al aplicar (4.33),

se obtiene un ángulo de fricción interna efectivo de 0' 20 .Este valor como lo

menciona Parry [34] corresponde a una arcilla blanda normalmente consolidada.

En el caso de una arcilla rígida sobre consolidada con valores de c =200,00kPa,

Johnston determinó que B=0,90. Es decir una envolvente ligeramente curva.

En rocas con alta resistencia a la compresión ( c =250,00MPa), B=0,50

obteniéndose la familiar curva parabólica.

Mediante el ajuste la función indicada en (4.29), Johnston [33] determinó los

siguientes valores para diferentes grupos de roca.


56

En la tabla adjunta se resumen los valores de las constantes.

2

2

2

2

2,065 0,170 log

2,065 0,231 log

2,065 0,270 log

2,065 0,659 log

c

c

c

c

Grupo a M

Grupo b M

Grupo c M

Grupo e M

(4.35)

Tabla 4.7, según Johnston [33]

Mejor ajuste Ecuación

No 4.34

Ecuación

No 4.35

Roca

Grupo

c MPa B M B M

Caliza a 96,00 0,481 7,43 0,573 6,29

Limolita b 1,30 0,750 6,16 0,833 4,30

Arenisca c 68,00 0,444 11,40 0,598 8,37

Granito e 230,00 0,538 15,60 0,505 21,02

4.4 Criterios de Ramamurthy et al [4] y Sheory [6]

En esta sección se describen los trabajos realizados por investigadores de la India,

cuyo aporte ha sido de gran importancia en el campo de la mecánica de las rocas.

Ramamurthy ex-profesor del Indian Institute of Technology y Sheory Director of

Cental Mining Research Institute han desarrollado criterios de rotura teniendo en

cuenta las discontinuidades de la roca.

Ramamurthy y colaboradores [4] han propuesto la siguiente ecuación:

1 3 33

c

b

a

(4.36)


57

Siendo a y b contantes de la roca para la condición intacta

Adicionalmente, dichos investigadores basándose en un extensivo programa

experimental tanto en roca intacta como conteniendo planos de discontinuidad

lograron determinar una expresión que vincula a cm en función de c, junto con

un factor de diaclasamiento. Cabe señalr que llevaron a cabo más de 250 ensayos

de compresión sin confinar en un ancho rango de resistencia y 1.300 ensayos

triaxiales en roca intacta y diaclasada.

Para ello, emplearon una técnica especial variando el número de fracturas e

inclinación. Además de testigos de roca utilizaron como material yeso de París

(plaster of Paris).

exp 0, 008 fc

cm J

(4.37)

Siendo:

cm = Resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa medida sobre los

planos de discontinuidad (strength of jointed rock).

Jn =Factor de diaclasamiento.

nf

JJ

n r (4.38)

Jf =Factor de diaclasamiento. Varía desde cero en roca intacta a 500 en roca muy

diaclasada


58

Jn = Parámetro que tiene en cuenta la frecuencia de diaclasamiento, y corresponde

al número de diaclasas por metro

n = Parámetro que depende del ángulo de inclinación de la diaclasa con la

vertical

r = Parámetro relacionado con la resistencia de la roca.

Dichos valores se obtienen a través de las tablas siguientes:

Tabla 4.8.

VALORES DE ( n) ÁNGULO DE

ANISOTROPÍA FORMA DE U FORMA DE HOMBRO

0º 0,82 0,85

10º 0,46 0,60

20º 0,11 0,20

30º 0,05 0,06

40º 0,09 0,12

50º 0,30 0,45

60º 0,46 0,80

70º 0,64 0,90

80º 0,82 0,95

90º 0,95 0,98


59

Tabla 4.9

c ( Resistencia a compresión

uniaxial en roca intacta,MPa)

r

2,50 0,30

5,00 0,45

15,00 0,60

25,00 0,70

45,00 0,80

65,00 0,90

100,00 1,00

Para mayor detalle, véase la figura 4.3 la cual muestra la variación de (n) en

función del ángulo de inclinación del plano de diaclasa con la vertical.

La curva con forma de hombro es predominante en rocas estratificadas o

diaclasadas de elevada resistencia. Mientras que la forma en U representa rocas

débiles con un plano de estratificación o de diaclasa.

Al considerar los planos de discontinuidad, la resistencia de la masa rocosa a

través de ecuación (4.36) puede expresarse en forma más general según [4] como


1 3 33

bmcm

ma

(4.39)

Siendo,


60

exp 2,0370,13m

cm

c

aa

(4.40)

. mcm

c

b b

(4.41)

El factor de diaclasamiento Jf expresado en función del índice RMR y el sistema Q

de Barton, está definido por las ecuaciones.

/ 5 100fJ RMR (4.42)

Al considerar RMR = 100, se observa a través de (4.42), (4.41), (4.40) y 4.37)

que: Jf = 0, bm = b, am = a y cm = c

250 1 0,30logfJ Q (4.43)

Al reemplazar (4.42) en (4.37) se obtiene:

100exp

25cm

c

RMR

(4.44)

Se observa que dicha expresión es muy parecida ala ecuación (4.26), la cual ha sido

determinada por Kalamaras y Bieniawski [30].


61

Figura 4.3 Variación del parámetro de inclinación (n) en función de la orientación

de los planos de discontinuidad, según Ramamurthy et al [4]


62

Por otra parte, de acuerdo a las investigaciones de Sheorey [6] recomienda el

siguiente criterio de rotura.

Roca Intacta (matriz rocosa)

131ct

b

(4.45)

1sn

t

c

(4.46)

σc, σt y b son parámetros a ser determinados en la roca intacta a través de las

pruebas de laboratorio empleando diferentes niveles de confinamiento

11

b

s bc tb

b

(4.47)

2

0

2 21

2 1s

s t

tb

b

(4.48)

0,90

t

s

c

(4.49)


63

Masa Rocosa

131cm

t m

bm

(4.50)

1 nsm

cm

t m

(4.51)

100exp

20cm

c

RMR

(4.52)

RMR= índice de calidad de Bieniawski -Versión 1976

100exp

27tm

t

RMR

(4.53)

Siendo σtm la resistencia uniaxial a tracción de la masa rocosa.

/100 , 0,95RMRm mb b b (4.54)


64

11

m

m

bm

bm

cm tmsmb

b

(4.55)

2 2

0

2 1

2 1m

m

sm tmm

sm tm

b

b

(4.56)

00,9

mtm

msm

c

(4.57)

4.5 Otros Criterios de rotura

En las secciones anteriores se han mencionado los diferentes criterios de rotura

teniendo en cuenta la relación entre los esfuerzos principales σ1 y σ3 en el instante

de la falla, sin embargo otros autores han desarrollado criterios de resistencia en

términos del esfuerzo cortante resistente y la tensión normal actuando sobre un

determinado plano de rotura . De acuerdo al modelo propuesto por Barton [35] y

más recientemente por Barton y Choubey [36], se sabe que:

10'

'tan logbnn

JCSJRC

(4.58)

Donde:


65

= Resistencia al corte en discontinuidades rugosas.

’n = Tensión normal efectiva (MPa).

JRC =Coeficiente de rugosidad en la discontinuidad 0 JRC 20.

JRC =0 (superficie perfectamente suave).

JRC =20 (superficie muy rugosa).

JCS =Resistencia a la compresión de las paredes de la discontinuidad (MPa).

Si las paredes de las discontinuidades no están alteradas o meteorizadas, puede

tomarse el valor de la resistencia a compresión simple en la condición intacta c.

Si la pared está alterada, como ocurre en muchos casos, el valor de JCS puede

tomarse a través de los resultados del esclerómetro o martillo Schmidt empleando

la ecuación: 10log 0,88 1,01JCS R , siendo el peso unitario en MN/m3, y

JCS en MPa y R el valor del rebote en el esclerómetro.

Se observa que este modelo de rotura bidimensional esta fundamentado en la

influencia de las rugosidades o asperezas que frecuentemente presentan las

discontinuidades. Por lo tanto las irregularidades de una superficie de fractura

consiste en un ángulo de rugosidad ( i ) al cual se le suma el ángulo básico de

fricción para obtener un valor p = (i+b). A la vez al no existir cohesión en la

discontinuidad resulta la conocida ecuación:

' tann p (4.59)

En estas condiciones, a través de (4.36) se aprecia que:

10 'logn

JCSi JRC

(4.60)

Barton y Choubey [36], también mencionan que una vez realizado el ensayo de

corte directo sobre un determinado plano de fractura, el área de contacto real puede


66

variar entre una décima a una milésima del área bruta total del plano de

discontinuidad.

Por tanto, la relación entre el área bruta sobre la real está íntimamente relacionada

con el cociente JCS/n, el cual juega un papel preponderante en la resistencia al

cizallamiento.

Por ejemplo si la tensión normal n= 0,10 MPa y JCS= 50MPa, la relación del

área real /área bruta es de dos milésimas. Adicionalmente, cabe destacar, que la

magnitud de la tensión normal efectiva actuando sobre el plano de discontinuidad

es el factor externo más importante que afecta la resistencia al corte.

El ángulo de fricción interna instantáneo puede calcularse al tener en cuenta que

n

i arctan , es decir:

10

21010

tan tan log

log (2,718281)1 tan log

180

i bn n

bn

JCSJRC

JRC JCSJRC

(4.61)

Siendo por lo tanto, la cohesión instantánea:

´ tani n iC (4.62)

En general , Hoek y Bray [37] señalan que pruebas de laboratorio a través de

diferentes ensayos de corte con resultados del ángulo de rugosidad entre 40° a 50°

están relacionados con tensiones normales efectivas inferiores a los 0,70 MPa.


67

Esto demuestra claramente que los valores instantáneos del ángulo de fricción

interna son muy altos cuando el campo de tensiones normales efectivas es bajo, por

el contrario dicho ángulo disminuye cuando el estado tensional aumenta.

Este último efecto se debe como resultado del aumento progresivo de la tensión

normal, lo que genera que las asperezas sean cortadas o cizalladas y por ende se

obtiene una inclinación mucho menor de la envolvente de rotura.

Por otra parte, González de Vallejo, et al [22], indican que si se ejerce un esfuerzo

cortante sobre la discontinuidad donde actúan tensiones normales bajas, al

producirse el corrimiento a favor del plano tiene lugar una dilatancia (apertura o

separación) de las paredes de la discontinuidad, al tener que exceder el ángulo i

para que se genere el desplazamiento, siendo además la cohesión nula o

prácticamente nula. Al continuar el desplazamiento tangencial, se pueden romper

los bordes más angulosos, limando o suavizando las rugosidades y las dos

superficies se ponen en contacto prevaleciendo el valor del ángulo b.

Las rugosidades o asperezas presentes en las paredes de las juntas es uno de los

aspectos más influyentes en la resistencia friccionante, en particular en planos de

fracturas sometidos a esfuerzos normales bajos. Cabe destacar que a través de la

ecuación de Barton y Choubey se obtienen ángulos de fricción interna muy altos

para tensiones normales de compresión muy bajas actuando sobre el plano de

discontinuidad.

En definitiva los valores equivalentes del ángulo de fricción interna están

representados por el ángulo de fricción básico b (determinado en una superficie

suave aparente) y el ángulo de rugosidad i, el cual depende de las irregularidades

que exhiba la masa rocosa, es decir = (b + i). Por lo general b varía entre 25º y

35º, y el valor del ángulo suele encontrarse en el rango de 35º a 70º. En este


68

sentido, Barton y Choubey [36], recomiendan truncar los valores de, cuando dicho

valor alcanza los 70º.

Igualmente, mencionan que los geólogos expertos en tectónica registran valores de

la cohesión de decenas de MPa y ángulos de fricción interna de unos 20º, cuando la

roca está sometida a elevadas tensiones normales, mientras que, el ingeniero

geotécnico que investiga la estabilidad de taludes obtiene valores del ángulo de

fricción interna de 70º y cero cohesión.

También señalan que en la mayoría de los problemas investigados en el campo de

la ingeniería de rocas, es común obtener magnitudes del esfuerzo normal efectivo

variando en el rango de 0,10 a 2 MPa (1 a 20 kgf/cm2). Estas cifras son por lo

general alrededor de tres órdenes de magnitud menores que las obtenidas por los

geólogos que investigan fallas tectónicas, es decir cuando los valores de la presión

normal efectiva se encuentra entre 100 y 2000 MPa.

4.5.1Criterio de Henning y Zimmerman

Dreyer [38] en su libro The Science of Rock Mechanics, menciona la ecuación

propuesta por Henning y Zimmerman, en la cual la resistencia al corte en

función de la tensión normal n está, definida por la ecuación:

mtnk (4.63)

σt =resistencia a tracción unidimensional (valor negativo)

k , m = parámetros a determinar experimentalmente.

La gráfica anexa según Dreyer [38], muestra la envolvente de rotura a través de

ensayos realizados en muestras de roca de la Liniel Salt, cuyos valores se indican

en la tabla 4.10. A través de dichos valores, la ecuación que vincula la resistencia

al corte con el esfuerzo normal es:


69

0,205 2, /69,9 kgf cmtn (4.64)

Figura No 4.4 Envolvente de rotura [38]


70

Tabla 4.10

Tensión Normal

n (kgf/cm2 )

Resistencia al Corte

( kgf/cm2 )

n = t =-25 0

-20 97

0 135

25 156

50 169

100 188

150 202

200 212

250 221

300 229

350 236

400 242

450 247

500 252

550 257

600 262


71

Como se ha demostrado previamente en la sección (2), los esfuerzos principales 1

y 3 pueden expresarse en función de la tensión normal y cortante, junto con la

inclinación de la tangente a la envolvente de falla β, mediante las fórmulas :

2 1/2' 1 '1 n (4.65)

Igualmente, el esfuerzo principal menor puede expresarse:

3 2 1/2' 1 'n (4.66)

Siendo además

1tan'

mn n t

d mk

d

(4.67)

Por lo tanto, al considerar que α’ = tan, (4.65) y (4.66) toman la forma:

21 tan 1 tan tan secn n (4.68)

23 tan 1 tan tan secn n (4.69)

Reemplazado (4.63) y (4.67) en las dos últimas ecuaciones, se obtiene finalmente

las tensiones principales en función de la tensión normal y los parámetros k y m

2 2 21

2 1 2 11

m m mn n t n t n tm k k m k

(4.70)

2 2 22 1 2 1

3 1m m m

n n t n t n tm k k m k

(4.71)


72

Una forma más práctica de utilizar la ecuación 4.63, es expresarla en forma

adimensional. En estas condiciones se tiene:

c c

mtn

k

(4.72)

La cual equivale a escribir,

c c c

mmt

cnk

(4.73)

Llamando,

nn

c cy

1m

m tc n

c ck

(4.74)

Resultando finalmente,

1

m

nc

k

(4.75)

Siendo,

1

1mt

cc

y k k

(4.76)

ξ es negativo , por cuanto en el sistema de convención utilizado se considera que

los esfuerzos de tracción son negativos.


73

Cabe señalar que la ecuación (4. 75) es exactamente igual a la utilizada por Hoek y

Brown en su criterio original de rotura.

Dichos autores al no poder hallar la envolvente analíticamente en función de su

criterio original de rotura σ1 =f (σ3, σc, m, s), aplicaron la fórmula:

c c

B

A

(4.77)

Es decir: A=K1 y B=m

4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m

Los valores de k1 y m indicados en (4.75) pueden obtenerse con buena

aproximación conociendo ξ= (σc/σt) conjuntamente con las ecuaciones (4.70) y

(4.71), y agregando una tercera ecuación vinculada con la tensión normal σn, como


2 21 3cosn sen (4.78)

Al dividir la ecuación anterior por la resistencia a compresión sin confinar σc

resulta,

2 231 cosn

n

c

sen

(4.79)

Siendo además,

33

11

c

c

(4.80)


74

Para el caso particular que σ1/σc =1, σ3/σc =0, la ecuación (4.79) se transforma:

2 1 cos 2cos

2nn

c

(4.81)

Por otra parte, al observar la figura (2.1) la relación entre α y el ángulo de

inclinación β que forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal es:

2α = (π/2+β) (4.82)

Al reemplazar dicho ángulo en (4.78) se obtiene que:

03

112n sen

(4.83)

Adicionalmente, según (2.12), se sabe que:

tann n

d d

d d

(4.84)

Por lo tanto al derivar (4.63) :

2

1

1tan1

m

nsen

k msen

(4.85)

Quedando finalmente,

1

03

03

0 03 3

1

1

1 2.

2

mn

n

n n

k m

(4.86)


75

En estas condiciones, al considerar (4.86) junto con (4.70) y (4.71) expresadas

adimensionalmente para el caso que σ1/σc =1, σ3/σc =0, se han obtenido tres

ecuaciones con tres incógnitas: k1, m y 03

n

es decir:

2 2 2

2 2 2

2 1 2 1

1 1 1

2 1 2 1

1 1 1

1 1

0 1

m m m

m m m

n n n n

n n n n

m k k m k

m k k m k

1

03

03

0 03 3

1

0

1

1 2.

2

mn

n

n n

k m

(4.87)

4.5.4 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer

Los parámetros de corte obtenidos por Dreyer [38] en muestras de roca de la Liniel

Salt indicados en la tabla 4.10 son K=69,90 y m =0,205. Al emplear (4.63) la

ecuación resultante es: 0,205 2, /69,9 kgf cmtn

Adicionalmente se conoce que:

2404, 60 /

0, 062

225, 00 /

kgf cmc

t

c

kgf cmt


76

Por otra parte, a través de la solución del sistema indicado en (4.87) , los valores

de los parámetros k1, m y 03

n

son los siguientes:

k1= 0,5898, m =0,2385 y al aplicar (4.54),

1

0, 589857, 000.7615

404, 60

1m

c

kk

Con dichos valores la ecuación (4.63) y (4.75) toman la forma,

0,2385 257, 00 , /kgf cmtn

(4.88)

0,23850, 5898

cn

20, 3715 0, 3715. 150, 00 /

03

kgf cmn cnc

0,2385 257, 00 150, 00 195, 00 /kgf cmt

Siendo la inclinación de la envolvente en el punto (α,σn)=(150,195),

correspondiente a σ3 =0 y σ1= σc al aplicar (4.83):

03

1 2 0, 743 14, 89sen n

Al utilizar las constantes obtenidas por Dreyer, el valor de K1 es:


77

1 0,205 10, 5914404, 601 69, 90.

mck k

En forma adimensional, la ecuación de Dreyer al emplear (4.75) toma la forma:

0,2050, 5914

cn

(4.89)

Finalmente en la tabla anexa se comparan las ecuaciones (4.88) y (4.89),

observándose la buen aproximación al resolver el sistema de ecuaciones no

lineales indicados en (4.87) y conociendo que ξ= σt/σc. Cabe señalar que la

solución del sistema de ecuaciones no lineales se ha llevado a cabo a través del

programa EES (Engineering Equation Solver), cuyos resultados se anexan.


78


79

0,20569, 90 tn 0,2385

57, 00 tn

Tensión Normal

n (kgf/cm2 )

Valores Dreyer

( kgf/cm2 )

Solución Aproximada

( kgf/cm2 )

n = t =-25 0 0

-20 97 84

0 135 123

25 156 145

50 169 160

100 188 180

150 202 195

200 212 207

250 221 218

300 229 226

350 236 234

400 242 241

450 247 248

500 252 254

550 257 259

600 262 265


80

5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO

PRINCIPAL INTERMEDIO σ2

Como es bien conocido existe mucha evidencia la cual indica que el esfuerzo

principal intermedio σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca.

Diferentes investigadores como Mogi [13], Pan y Hudson [39], Brown [40], Lade

[41] Wang y Kemeny [42], Chang y Haminson [43], Colmenares y Zoback [44],

entre otros han demostrado la importancia de considerar la rotura de la roca en tres

dimensiones.

Teniendo en cuenta que el criterio de rotura de Hoek y Brown es ampliamente

utilizado en el campo de la ingeniería de rocas, varios autores como Pan y Hudson

[39] y Zhang [36] han incorporado el esfuerzo principal intermedio σ2 en el

referido criterio empírico de rotura.

Pan y Hudson [45], han propuesto una expresión en tres dimensiones

empleando el criterio original de Hoek y Brown [16], la cual está definida a

través de la fórmula :

1

2 2

3 3

2 3 cc

IJ m J m s

(5.1)

1 1 2 3' ' 'I = Primera invariante de esfuerzos efectivos del tensor σij

J2 = Segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij

2 22

1 2 2 3 3 1' '

2' ' ' '1

6J (5.2)


81

Antes de proseguir con los criteros de rotura en tres dimensiones, es importante

considerar algunos aspectos de interés relacionados con el estado de tensiones

que originan cambios de volumen y de forma

Teniendo en cuenta que el campo tensional en un punto del sólido está definido por

el tensor de esfuerzos ij, un criterio de plastificación corresponde a una ley que

defina el límite del comportamiento elástico de la masa de suelo o roca.

En estas condiciones es necesario obtener una ley que permita expresar una

determinada función de la forma:

f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) = C (5.3)

C = constante (valor crítico)

Si el valor de la función en cualquier punto es menor que (C), es decir:

f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) < C (5.4)

El material se comporta elásticamente sin que haya ocurrido plastificación. En

caso contrario, si la función es mayor o igual al mencionado valor crítico habrá

plastificación.

Se ha podido comprobar que la tensión normal media m = (1 +2 +3 )/3 tiene

muy poco o ningún efecto sobre la plastificación del material, por lo que el tensor

esférico no interviene en dicho proceso, al producir únicamente cambio de volumen

pero no de forma.

Por el contrario, el tensor desviador produce distorsión o cambio de forma pero no

de volumen, ya que su primera invariante J1 = 0, como se apreciará más adelante.

Esta distorsión es la causante de la plastificación del material.

Por otro lado, se ha podido comprobar que una forma más conveniente de expresar

dicha función es a través de los esfuerzos principales, y por ende en términos de la

invariante de esfuerzos. Adicionalmente un procedimiento más conveniente para

describir la rotura se basa en considerar diferentes combinaciones de las invariantes


82

de esfuerzos con la ventaja que permiten interpretar geométrica y físicamente el

criterio de rotura utilizado.

Por lo tanto:

f (1, 2, 3) = C (5.5)

f (I1, J2, J3) = C (5.6)

Siendo:

I1 = (1 + 2 + 3) (5.7)

I1 =primera invariante de esfuerzos del tensor ij

J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij

J3 = tercera invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij

zxyzx

yzyyx

xzxyx

zzxyxz

xzyyxy

xzxyxx

ij

333231

232221

131211

(5.8)

xx,yy, zz = tensiones normales (el primer subíndice indica la dirección normal

al plano donde actúa el esfuerzo y el segundo subíndice la dirección del eje al cual

es paralela la componente normal del esfuerzo). Lógicamente, en el caso de las

tensiones normales ambos subíndices coinciden.

xy, yz, xz = tensiones tangenciales (nuevamente el primer subíndice indica la

dirección normal al plano en que actúa la componente tangencial del esfuerzo, cuya

dirección es paralela al eje que indica el segundo subíndice


83

Por otra parte, al considerar lo previamente indicado, es conveniente descomponer

el tensor de esfuerzos ij en dos partes, la primera correspondiente al tensor

hidrostático* o esférico, y la otra llamada tensor desviador Sij.

El tensor esférico está definido por los elementos m. ij, siendo m la tensión

normal media y ij el delta de Kronecker, es decir:

1321 3

1

3

1

3

1

3

1Izzyyxxkkm (5.9)

El valor de m se conoce también como tensión normal octaédrica (m = oct).

j i si , 0

j i si , 1ij

m

m

m

mijm

00

00

00

010

010

001

(5.10)

En estas condiciones:

ij = Sij + m.ij (5.11)

Sij = ij - m.ij (5.12)

Resultando por tanto:

m

m

m

ij

SSS

SSS

SSS

S

333231

232221

131211

333231

232221

131211

(5.13)

Que equivale a la notación:

* Tratándose de masas de suelo o de roca es más conveniente llamarlo litostático. Suppe, J. (1985) “Principles of Structural Geology”, 537 p.


84

mzzzyzx

yzmyyyx

xzxymxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

SSS

SSS

SSS

S

(5.14)

Nótese además que Sij = ij, cuando i j.

Por otro parte, el tensor desviador en función de los esfuerzos principales es:

m

m

m

ijS

3

2

1

00

00

00

=

3

200

03

20

003

2

213

132

321

(5.15)

Finalmente, los valores principales del tensor de esfuerzos desviadores se obtienen

a través de la expresión:

0det ijij SS (5.16)

Resultando:

S3 – J1S2 – J2S – J3 = 0 (5.17)

Siendo J1, J2 y J3 la invariante de esfuerzos del tensor desviador.

J1 = Sii = S11 + S22 + S33 = S1 + S2 + S3 = 0 (5.18)


85

3113122121122

332

222

112 ...2

1.

2

1SSSSSSSSSSSJ jiij

233232231331 ... SSSSSS

231

223

212

233

222

211

23

22

21 222

2

1

2

1SSSSSSSSS

133221 ... SSSSSS

222222

6

1zxyzxyxxzzzzyyyyxx

213

232

2216

1

2 2 2 21 2 3 1 2

1 13

2 3m m m I I (5.19)

mzzzyzx

yzmyyyx

xzxymxx

kijkij SSSJ

..

3

13

mmmSSSSSS 3213213

33

23

1 ..3

1

1 3(2 9 27 )1 1 2 327I I I I (5.20)

La ecuación cúbica indicada a través de (5.17) puede resolverse sin dificultad con

la ayuda de la siguiente expresión trigonométrica:

03cos4

1cos

4

3cos3 (5.21)

Considerando el cambio de variable:

S = Rcos (5.22)


86

La fórmula (5.17) se transforma:

0coscos33

223

R

J

R

J (5.23)

Al comparar (5.21) y (5.23) resulta:

23

2JR (5.24)

Siendo además:

2/32

3

2

333cos

J

J (5.25)

0 /3 (5.26)

Adicionalmente, la tensión tangencial octaédrica oct (ver figura 5.1) puede

relacionarse a través de la invariante de esfuerzo J2 utilizando la expresión:

23

2Joct (5.27)

Adicionalmente, cabe destacar que () se conoce como ángulo de similitud o de

Lode (en reconocimiento al ingeniero alemán W. Lode, 1926). Se encuentra en el

plano desviador y corresponde al ángulo entre la proyección de 1 sobre el plano

desviador 1’ y el vector de esfuerzos desviador [S1, S2, S3],ver figura (5.2a y 5.2b).

Por otro lado, la dirección del esfuerzo tangencial octaédrico está definido por el

ángulo de similitud, el cual está relacionado con las invariantes de esfuerzos J2 y

J3, tal como lo mencionan Chen [11] y Chen y Saleeb [9].

Por tanto, al tener en cuenta (5.25) y (5.27) queda:

3323cos

oct

J

(5.28)


87

La selección de la alternativa de las invariantes I1, J2 y (ángulo de Lode), es decir

(oct, oct,), tiene la ventaja que permite la evaluación directa de los esfuerzos

principales 1, 2 y 3, en lugar de resolver la engorrosa ecuación cúbica. A la vez

las invariantes I1 y J2 están directamente relacionadas con m= oct y oct

respectivamente. En estas condiciones los esfuerzos principales desviadores al

considerar (5.22) y (5.24) son:

cos3

221 JS (5.29)

3

2cos

3

222 JS (5.30)

3

2cos

3

223 JS (5.31)

Por tanto, al considerar (5.12) las tensiones principales 1, 2 y 3 (1 2 3) en

función de σoct = (1+ 2 +3)/3 = I1/3 y los esfuerzos desviadores, S1 S2 y S3, se

obtiene:

1

2

3

2

cos

2 2cos

33

2cos

3

oct

oct

oct

J

(5.32)


88

1 1

2 2

3 3

oct

oct

oct

S

S

S


89

Figura 5.1


90

Figura 5.2a y 5.2 b


91

Figura 5.3


92

Zhang-Zhu [46 ] utilizando el criterio original de Hoek y Brown ha obtenido

siguiente ecuación :

2 2',2

3

2 2

9

2 oct octoct mc

m sm

(5.33)

Siendo

1 3,2

' ''

2m

(5.34)

2 22

1 2 2 3 3 1' ' ' ' ' '1

3oct (5.35

Considerando las diferencias entre los criterios originales y generalizados de

Hoek y Brown, dichos investigadores modificaron la ecuación (5.33), la cual se

transforma como sigue:

1

',22

3 3

2 2

aoct

c oct cmc

msm

(5.36)

Criterio de Lade modificado

El criterio de Lade [47], fue originalmente desarrollado para materiales

friccionantes sin cohesión, como suelos granulares, y se expresa a través de la

ecuación:

31 1

13

'

27a

mI I

I P

(5.37)

1 1 2 3I =primera invariante de esfuerzos


93

3 1 2 3I = tercera invariante de esfuerzos

Pa = presión atmosférica

m’ y η = constantes a determinar

Posteriormente Ewy [48] en 1999, considero las presiones efectivas y la

resistencia cohesiva, resultando:

3

1

3

'

' 27I

I (5.38)

1 1 2 3' ' ' '

/ tan / tan / tanC C CI (5.39)

3 1 2 3' ' ' '

/ tan / tan / tanC C CI (5.40)

24 tan 9 7

1

sen

sen

(5.41)

Criterio propuesto por Zhou

Zhou [49] ha propuesto un criterio de rotura muy similar al desarrollado por

Wiebols y Cook [50] y es referido como una modificación de de los mencionados

autores.

1 222 m mJ A B C (5.42)

Siendo,

1 2 31' ' ''

3 3mI

= tensión efectiva normal media (5.43)

2 221/ 2

1 2 2 3 3 1' '

2

' ' ' '1

6J (5.44)

J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador.


94

Por otra parte, las constantes se obtienen a través de las expresiones:

1

1 1

2

1

3

3 3

'

' '

( 1)27 1

22 ( 1) 2 (2 1)

tan ( / 4 / 2)

(1 0,6 tan )

c

c c

c

C q qC

qC q C q

q

C

(5.45)

3'2 2

3 1

2 3 cq C

B qq

2

3 93cc cA B C

Criterio de Mogi

Mogi [51] ha investigado en detalle la fractura de rocas desde el año 1960, a

través de innumerables experimentos los cuales se pueden apreciar en su excelente

libro Experimental Rock Mechanics, que es el resultado de su labor como

investigador y director en el Instituto de Investigaciones Sísmicas en la Universidad

de Tokio.

Él ha dividido los criterios de rotura en dos grupos, el primero el cual no tiene en

cuenta el efecto del esfuerzo principal intermedio σ2 , como es el caso del criterio

de Mohr – Coulomb, el de Hoek y Brown y el propuesto en esta investigación, y el

segundo que si existe una dependencia de σ2 de acuerdo al ensayo triaxial

verdadero o poliaxial σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 .


95

Mogi [51] también menciona que varios investigadores propusieron una realción

del tipo oct =f (σoct) como criterio de fractura, pero no se ajusta a los datos

experimentales. Es decir no hay una buena correlación con los valores de

resistencia obtenidos a través de los ensayos de laboratorio.

Adicionalmente, [51], menciona que la superficie de rotura es aproximadamente

paralela a σ2, y por lo tanto considera que la energía de distorsión se incrementa

con el esfuerzo normal medio 1/2(σ1+ σ3). En estas condiciones dicho

investigador ha propuesto un criterio de rotura del tipo: oct =f (σ1+ σ3).

Expresada en una función potencial toma la forma:

oct ≈ A(σ1+ σ3)n

(5.46)

Los valores del exponente (n) obtenidos por Mogi [51] se indican a continuación.

Sin embargo, al observar las gráficas obtenidas por el referido investigador a

través de los diferentes ensayos en rocas, la ecuación anterior se puede aproximar a

una recta, siendo la referida linearización indicada también por dicho investigador

Tabla No 5.1

Roca ensayada Valores de n

Caliza de Solnhofen 0,56

Dolomita de Duham 0,72

Mármol de Yamaguchi 0,74

Granito de Inada 0,87

Andesita de Manazuru 0,88

Granito de Westerley 0,89

Anfibolita de KTB 0,86


96

Al-Ajmi y Zimmerman [52] mencionan que la ecuación (5.46), es el aspecto

relevante de la contribución de Mogi [51], y aun cuando la ecuación es

usualmente considerada en forma potencial, estos investigadores han obtenido un

ajuste lineal con coeficientes de determinación R2 entre 0,933 y 0,999 empleando

los mismos valores experimentales obtenidos por Mogi en la mayoría de las

rocas previamente señaladas . Dichos resultados se indican en la tabla 5.2.

Tabla No 5.2

La relación lineal es:

1 3

2oct a b

(5.47)

Los valores obtenidos de σc y q = tan2 (45+/2) se indican en la tabla 5.3.

oct=a+b[(σ1+ σ3)/2]

Roca ensayada a (MPa) b R2

Dolomita de Duham 58,32 0,55 0,99

Caliza de Solenhofen 103,95 0,35 0,983

Arenisca de Shirahama 32,95 0,39 0,933

Anfibolita de KTB 26,30 0,69 0,998

Mármol 9,80 0,58 0,999

Granito de Westerley 23,88 0,74 0,999


97

Tabla 5.3

Teniendo en cuenta las tablas (5.2) y (5.3), a través de este estudio y con la ayuda

de la hoja Excel y aplicando la técnica de los mínimos cuadrados se ha determinado

el siguiente ajuste de curvas para calcular los parámetros a y b en función de σc en

unidades de MPa y q respectivamente.

23 2

10 44 61, 25 7,77 , 0,95100 100 100

c c cMPa Ra

(5.48)

221,17 1,832 0,017 0,0135 , 0,99

10 10

q qb R

(5.49)

Se aprecia que el valor de 7,77 y 0,0135 corresponden al error estándar, es decir a

la desviación estándar de la distribución muestral del estimador.

Roca ensayada σc (MPa) q=tan2(45+/2)

Dolomita de Duham 298,93 3,66

Caliza de Solenhofen 351,50 2,16

Arenisca de Shirahama 123,59 2,31

Anfibolita de KTB 220,35 6,44

Mármol 54,02 4,15

Granito de Westerley 240,09 8,20


98

5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura

Por lo general los criterios de rotura se expresan como una funcion f (σ1, σ3)=0,

para el caso bidimensional o en tres dimensiones f (σ1, σ2, σ3)=0.

Sin embargo, es común expresar también los criterios en términos de las

invariantes y del ángulo (), el cual como previamente se ha indicado se

conoce como ángulo de similitud o de Lode.

Chen y Saleeb [9] en el libro Contitutive Equations for Engineering Materials,

exponen con gran claridad los diferentes criterios de rotura.

Considerando el criterio de Tresca , se tiene la siguiente expresión :

1 3

1

2k (5.50)

Es decir la rotura ocurre cuando el máximo esfuerzo cortante en un punto alcanza

el valor crítico k .En el espacio de los esfuerzos principales representa un prisma

cuya sección en el plano desviador es un hexágono regular.

Utilizando (5.32), la ecuación anterior se transforma en términos de la invariante J2

y el ángulo, como sigue:

1 32

1 2cos cos( )

2 33J k

(5.51)

Siendo, 1 2 3 ,0 60

La ecuación anterior a través de simplificaciones trigonométricas se reduce,

2 2

1, ( ) 0

3f J J sen k (5.52)

En función de , , (véase figuras 5.2a y 5.2b, resulta,

1, ( ) 2 0

3f sen k (5.53)


99

Criterio de von Mises

Este criterio establece que la falla ocurre cundo el esfuerzo cortante octaédrico

oct alcanza un valor límite. Matemáticamente puede expresarse a través de

cualquiera de las tres fórmulas siguientes:

22 2 0

2 0

20

3oct oct

f J J k

f k

f k

(5.54)

En función de los esfuerzos principales, resulta

2 2 2 21 2 2 3 3 1 6k (5.55)

En el espacio de los esfuerzos principales la superficie de rotura está representada

por un cilindro cuya generatriz es paralela al eje litostático. La traza de la

superficie en el plano desviador es un circulo que circunscribe el hexágono de

Tresca (ver figura 5.4)

Criterio de Morh –Coulomb

Como se demostrara en el apéndice (A) de esta investigación, el criterio de Mohr-

Coulomb en función de los esfuerzos principales 1 y 3 está representado por la

ecuación:

1 3

1 11

2 cos 2 cos

sen sen

C C

(5.56)

Siento C la resistencia cohesiva y el águlo de fricción interna.

Empleando la ecuación (5.32) junto con (5.56) en términos de la invariante I1, J2 y

, se obtienen las siguientes expresiones:


100

1 12 2

2 2 2cos 1 cos( ) 1 2 cos

3 3 33 3

I IJ sen J sen C

(5.57)

21 2cos 1 cos 1 cos 0

3 33

JIsen sen sen C

(5.58)

21 1 3cos cos . cos 1 cos 0

3 2 23

JIsen sen sen sen C

(5.59)

Finalmente, mediante transformaciones trigonométricas se obtiene:

211 2 2, , ( /3) cos( /3) cos 0

3 3

JIf I J sen J sen sen C

(5.60)

Que equivale a escribir,

1 2 1 2

3 1 3 3 cos, , 3 cos 0

2

sen sen senf I J I sen J C

(5.61)

La cual también puede expresarse,

3 1 3 3 cos, , 6 3 2 cos

2

sen sen senf sen C

(5.62)

Siendo,

1 2 33 33 octy

(5.63)


101

Figura 5.4


102

En el espacio de los esfuerzos principales el criterio de Mohr-Coulomb representa

una pirámide hexagonal irregular, véase figura 5.5

Figura 5.5 Criterio de Mohr-Coulomb


103

Criterio de Drucker –Prager

Es una extensión del criterio de von Mises y es utilizado en ciertas aplicaciones

prácticas en suelos.

Dicho criterio se representa mediante la ecuación:

1 2 2 1, 0f I J J I k (5.64)

La cual equivale a escribir, al considerar que: 21 / 3 , 2I J

, 6 2 0f k (5.65)

La superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales es un cono y su

traza en el plano desviador es un círculo. Véase figuras 5.6 y 5.7.

De esta forma dicho criterio puede ser observado como una superficie suave de

Mohr –Coulomb

El valor de las constantes en términos de C y para el caso que circunscribe el

hexágono de Mohr –Coulomb. Corresponde al límite exterior y los parámetros se

obtienen al coincidir ambos criterios en =0◦ (ver punto A de la figura 5.7)

2 6. .,

3 (3 ) 3 (3 )

Csen senk

sen sen

(5.66)

Si el círculo está inscrito en el hexágono =60◦ (ver punto B de la figura 5.7),

resulta:

2 6. .,

3 (3 ) 3 (3 )

Csen senk

sen sen

(5.67)


104

Superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales correspondiente al

criterio criterio de Drucker –Prager

Figura 5.6


105

Figura 5.7


106

Criterio Original de Hoek y Brown

Como previamente se ha mencionado, este criterio es muy utilizado en el campo

de de la ingeniería de rocas conjuntamente con el índice de resistencia geológica

GSI y la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc.

Por otra parte, con el objeto de expresar dicho criterio en función de las invariantes,

es beneficioso expresar la ecuación 4.3 en la forma siguiente:

2

3 31 2c m s

c c c

(5.68)

Reemplazando (5.32) en la ecuación anterior resulta:

1 1

1

22 2 22 2cos cos

3 3 33 3 2 22 cos3 33

0

J JI I

Jm I

c cs

(5.69)

2 12

2cos 3

cos2 2 24 22 cos

3 33 30

senJJ m I

ccs

(5.70)

Obteniéndose finalmente,

2 12

24 22 2 cos3 33

03

JJ m Isen

ccs

(5.71)


107

6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE MATERIALES

CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DETENSIONES.

Como lo menciona Yu [5], en los últimos 100 años desde que la bien conocida

teoría de Mohr-Coulomb fue establecida en el año 1900, una considerable cantidad

de investigación teórica y experimental se ha llevado a cabo para determinar la

resistencia de materiales sometidos a diferentes estados de esfuerzos.

Mohr usando su círculo de esfuerzos, el cual lleva su nombre desarrolló su teoría

de resistencia, la cual es muy utilizada para determinar la resistencia de los suelos

en función de las presiones efectivas.

Cabe destacar qua a sus treinta y dos años al ser reconocido como un destacado

ingeniero, fue invitado como profesor en la Universidad de Stuttgart donde a

través de sus clases magistrales de ingeniería mecánica, sembró la semilla y el

interés en sus estudiantes, logrando que algunos de ellos se destacaran como

investigadores en el campo de la resistencia de materiales.

Sin embargo, es oportuno señalar que Parry [34], en la nota histórica de su libro

“Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics”, indica que si bien el círculo de

esfuerzos es atribuido a Mohr, quien fue el pionero en representar gráficamente los

esfuerzos fue Karl Kulmann cuyo aporte en la teoría de estructuras de puentes,

diseño de armaduras, su libro de estática gráfica, presiones sobre muros y obras

subterráneas contribuyó en forma relevante en el desarrollo de la ingeniería para su

época.

Por otro lado, Mohr se destacó por sus estudios de las tensiones en dos y tres

dimensiones, en el desarrollo de su criterio de rotura aplicando el círculo de

esfuerzos, conocido como representación o diagrama de Mohr.


108

Esta representación plana de los esfuerzos se extendió rápidamente, facilitando los

cálculos ya que el elipsoide de Lamé da un análisis o interpretación de los

esfuerzos, la cual no es práctica por extenderse en tres dimensiones.

Yu [5], autor del excelente libro “Unified Strength Theory and Its Applications”,

junto con su artículo “Advances in strength theories for materials under complex

stress state in the 20th Century”, [53] y “A unified strength criterion for rock”, Yu

et al [54] divide su investigación en tres grupos de teorías de resistencia,

considerando la tensiones cortantes principales y los esfuerzos normales actuando

sobre los planos donde se generan las referidas tensiones cortantes.

Las tensiones tangenciales y normales están representadas por las ecuaciones:

1

2 i jij

, 1, 2,3i j (6.1)

1

2 i jij

En forma sucinta, utilizando la nomenclatura de Yu [5, 53] * , y Yu et al [54] se

indican algunos de los criterios más importantes descritos por el referido

investigador.

* Dicho autor al igual que en la teoría de la elasticidad establece que los esfuerzos de tracción son

positivos. Por ejemplo, en el criterio de Mohr Coulomb : 1 3 t

Se observa que al considerar σ3=0 , σ1=σt .Cuando σ1=0 , σ3=-σc (compresión es negativo)

Como se sabe en mecánica de rocas y de suelos se utiliza la notación en la cual las tensiones de

compresión son positivas. La razón se debe a que la mayoría de las tensiones actuando en la corteza

terrestre son compresionales.


109

6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior (Single Strength Theory -

SSS -Lower Bound Criterion)

1) En el caso del criterio de rotura de Mohr-Coulomb Yu [5, 53, 54] lo expresa

como sigue:

13 13F C (6.2)


1 3 tF (6.3)

σc y σt, corresponden a la resistencia a compresión sin confinar y a tracción

unidimensional respectivamente, siendo α = σt/ σc.

2) Criterio de Tresca

13 Cf (6.4)

6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas Intermedias

(Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory- Intermediate Curves Criteria)

Matemáticamente puede escribirse como sigue:

8 8 8 8( , ) ( )F C f (6.5)

8 8,oct oct (6.6)

Siendo,

2 2 2

1 2 2 3 3 1 281 2

3 3oct J (6.7)

2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1

6J (6.8)

81

1 2 33 moct (6.9)


110

3) Criterio de von Mises (un parámetro)

8 2,f C es decir J C (6.10)

C = parámetro a determinar

4) Drucker-Prager (dos parámetros)

8 8.F C (6.11)

β y C = parámetros a determinar

6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples parámetros

2 288 8

1 0F A B C

También esta última ecuación puede expresarse en la forma,

28 8 8F A b a C

(6.13)

6.3 Teoría de Resistencia al Corte Doble, o Criterio de límite Superior (Twin-

Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion)

Estas teorías de resistencia, considera la tensión cortante máxima 13 , los esfuerzos

cortantes principales intermedios 12 o 23 y la influencia de los esfuerzos normales

σ13 y σ12 o σ23 .Matemáticamente se expresa como sigue:

13 12 13 12, , ,F C (6.14)

Yu [55], ha propuesto el siguiente criterio considerando dos parámetros.

13 12 13 12F C (6.15)

Cuando,

12 12 23 23 (6.16)


111

Por otra parte,

13 23 13 22F C (6.17)

Cuando,

12 12 23 23 (6.18)

En función de los esfuerzos principales las referidas ecuaciones pueden expresarse

como sigue:

1 2 32 tF (6.19)

Cuando,

1 32 1

(6.20)

1 2 31

2' tF (6.21)

Cuando,

1 32 1

(6.22)

6.4 Teoría de resistencia Unificada de Yu

La teoría de resistencia unificada propuesta por Yu [5, 53, 54], presenta las

siguientes características;

a) Tiene la habilidad de reflejar el comportamiento de la roca para diferentes

resistencias a tracción, compresión, presión litostática, y el efecto del esfuerzo

principal intermedio.

b) Representa un modelo matemáticamente simple y unificado


112

c) Es fácil de aplicar en modelos analíticos y numéricos. Igualmente es aplicable en

el campo de la plasticidad y puede expresarse en términos de la invariante de

esfuerzos.

El modelo matemático puede expresarse como sigue:

13 12 13 12F b b C (6.23)

Cuando se cumple que,

12 12 23 23 (6.24)

Por otra parte,

13 23 13 23'F b b C (6.25)

Debiendo satisfacer la condición,

12 12 23 23 (6.26)

En función de los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 , resulta:

1 2 31 tF bb

(6.27)

Debiéndose cumplir (6.20), es decir: 1 3

2 1

(6.28)

Por otra parte,

1 2 3'1 tF b

b

(6.29)

Debiendo satisfacer (6.22).

La teoría de resistencia unificada, se reduce a la teoría cortante simple, por ejemplo

en el caso de Mohr-Coulomb cundo b=0, y al criterio cortante doble cuando b =1.

En general, se obtiene un amplio rango para valores de 0 ≤ b ≤ 1, siendo además

versátil en reflejar el efecto del esfuerzo principal menor σ2.


113

De acuerdo a Yu et al [54] en la mayoría de las rocas el parámetro (b) se

encuentra entre 0,5 y 1. A la vez recomiendan emplear el criterio unificado con

b=0,5, reemplazando el criterio de Mohr-Coulomb (Teoría Cortante Simple) a

través de de las ecuaciones siguientes:

1 2 323 tF , cuando

1 32 1

(6.30)

1 2 3

1' 2

3 tF , cuando 1 3

2 1

Para un caso mas general, el parámetro (b) pude inicialmente ser obtenido en

función de la resistencia a la tracción, compresión y al corte o de la roca.

0

0

1 t

t

b

(6.31)

6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al [54]

Yu y sus colaboradores dividen en tres grupos los criterios no lineales de rotura en

rocas.

El esfuerzo principal mayor σ1 es función del esfuerzo principal menor σ3

Murrell, 1965

1 3b

c a (6.32)

Bieniawski, 1974, Yudhbir, 1983


114

31 1c c

b

(6.33)

Cabe destacar que Ucar [55] determinó la envolvente de rotura considerando el la

relación indicada en (6.33), para el caso particular que α =0,75, valor recomendado

por Bieniawski [56]. En el apéndice (A) se determina analíticamente la referida

curva de resistencia intrínseca.

Balmer, 1952, Sheorey et al, 1989

31 1c

t

b

(6.34)

Mogi

13a b c

(6.35)

En el segunda agrupación el esfuerzo cortante principal 13=(σ1- σ3)/2 es una

función del esfuerzo principal menor σ3 .

Hobbs, 1964

1 3 3cba (6.36)

Ramamurthy et al, 1985

1 3 3c

ct

b

a

(6.37)

Hoek y Brown, 1980

1/ 2

31 3 c

c

m s

(6.38)

Yoshida, 1990


115

31 3 c

c

b

a s

(6.39)

Finalmente en el tercer grupo el esfuerzo cortante principal 13=(σ1-σ3)/2 es una

función de la tensión normal σ13=(σ1+σ3)/2

Franklin, 1971

1 3 1 3

ba (6.40)

Fairhurst, 1964

2

1 3 1 3a b (6.41)

En las ecuaciones indicadas en esta sección a, b, c, α, m y s, corresponden a

parámetros de la roca determinados mediante ajuste de la curva a través de

ensayos de compresión, tracción y triaxiales.

Criterio de Rotura No Lineal Unificado de acuerdo a Yu et al [54]

El criterio de rotura no lineal unificado propuesto por Yu y sus colaboradores pude

expresarse como sigue:

13 12 13 23 13 12 23, , , , , mF f (6.42)

Siendo el criterio de rotura,

1 2 3

2

22 31

1

1 cm c b

bsF b

b

(6.43)

Si F ≥ F’

1 2 3 3

2

21'

1 c csF b mb

(6.44)

Si F’ ≥ F


116

σc, es la resistencia de la roca intacta a compresión simple.

m y s son parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown previamente

definidos. Por otra parte el valor de α de acuerdo a la ecuación (4.6) es:

1/ 2214

2t

c

m m s

(6.45)

Los valores de m y s se determinan a través de las tablas (4.4) y (4.5), y empleando

la ecuación (4.17)

Al considerar el criterio de resistencia al corte doble (Twin –Shear Strength

Theory-TSS), con el parámetro b=1, resulta;

1 2 3 3 221

( ) / 2 02 c cF m s (6.46)

Si F ≥ F’

1 2 3 321

' 02 c cF m s (6.47)

Si F’ ≥ F

En general, el criterio de resistencia unificado para el caso no lineal según Yu y sus

colaboradores está representado por las ecuaciones:

1 2 3 2 31

1

1 c

nm

bb c

sF bb

(6.48)

Si F ≥ F’

1 2 3 3 3 01

'1

nm

csF b

b

(6.49)

Si F’ ≥ F


117

Teniendo en cuenta que el ángulo de similitud o de Lode es:

023 2 2

13 12 1 2 3

3 3arctan , 0 60

2

(6.50)

Al utilizar la ecuación (5.32), dicho criterio unificado en función de las invariantes

características I1 y J2, puede expresarse como sigue:

Si F ≥ F’

2

22

2 12

0

4

3 31

2 2 2cos cos

3 3 33 1c c

c

F sen b sen Jb

m mb J I s

b

(6.51)

Si F’ ≥ F

2

22

2 12

0

4

3 31

2 2cos

3 33c c

c

F sen b sen Jb

m mJ I s

(6.52)

Si en la ecuación (6.51), se particulariza para b=0, es decir no se tiene en cuenta el

esfuerzo principal intermedio σ2 ,se obtiene el criterio empírico original de Hoek

Brown.

22 2

1

2

0

3 2cos

3 6 3

12 4

c

c c

mF sen J J

smI

(6.53)

Cabe destacar que la ecuación (6.53) es exactamente igual a la ecuación (5.71)

previamente obtenida al utilizar en criterio de Hoek y Brown.


118

7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE ROTURA

El criterio bidimensional propuesto en esta investigación que relaciona los

esfuerzos principales 1 y 3 en el instante de la rotura está representado por la

ecuación:

1/ 2

1 1 3 3t tK K (7.1)

Siendo K y K1 contantes del material a determinar y σt la resistencia a tracción.

En el caso del ensayo de compresión sin confinar, se sabe que:

3 =0 y por lo tanto 1 c , transformándose la ecuación (7.1) como sigue:

1/ 2

1 t tc K K (7.2)

Cabe destacar que los signos convencionales utilizados en este trabajo son:

Esfuerzo de compresión positivo y de tracción negativo.

Al despejar el valor de K1 en (7.2), se obtiene:

1/ 2

1t

t

cKK

(7.3)

Dividiendo ambos lados de la ecuación (7.1) por σc resulta:

1/ 2

3 311

t t

c c cc

KK

(7.4)

Como previamente se ha mencionado,

t

c

(7.5)

Si además, se tiene en cuenta que:


119

2c

KK

(7.6)

La ecuación (7.4) se trnasforma,

1/ 2

3 311 2

c c cK K

(7.7)

Al aplicar nuevamente las condiciones de borde correspondientes al ensayo de

compresión simple, se obtiene que: 3 = 0 y 1 c .Adicionalmente debe

cumplirse considerando (7.7) la siguiente expresión:

1/ 2

1 21 K K (7.8)

Como ejemplo de aplicación Torres [21] , en su trabajo de investigación realizado

en un total de 55 probetas de concreto de 5,00cm de diámetro y 10,00 cm de altura,

a través de ensayos de compresión simple, tracción indirecta y compresión triaxial

(σ2= σ3) llevados a cabo en el Laboratorio de Materiales y Ensayos de la Facultad

de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, determinó los siguiente parámetros:

2 2

1 233, 00 3, 50 0, 712 2, 839/ ,/ , MN m K y KMN mc t

2

2

35,00 /0,107

330,00 /t

c

MN m

MN m

Al utilizar (7.8), resulta:

1/ 20,712 0,107 2,839 0,107 1,0048 1

Es decir, cumple con dicha condición.

Por otra parte, para simplificar cálculos posteriores es conveniente expresar la

ecuación (7.7) en forma adimensional:


120

1/ 2

1 23 31 K K (7.9)

Siendo,

311 3

c cy

(7.10)

7.1 Determinación de la envolvente de rotura

Primeramente, es necesario determinar la pendiente de la curva que relaciona al

esfuerzo σ1 =f(σ3). Por lo tanto al derivar la ecuación (7.7) el valor de la

pendiente 1 1

3 3

es:

1

3 3

21

2

KK

(7.11)

Utilizando (2.36), y considerando que:

tan' d

d

(7.12)

Se obtiene la siguiente expresión:

21

1' 1 2 tan 2 tan .sec3

(7.13)

Mediante transformaciones trigonométricas (7.13) se reduce finalmente en la

expresión siguiente:

2

11

3

1tan

1 4 2' sen

sen

(7.14)

Igualando (7.11 y (7.14) , resulta:


121

2 2

3

21tan tan

4 2 2

KK

(7.15)

Al despejar 3 se obtiene:

22

3

2 2

32 2

1 1

14

tan tan4 2 4 2

K K

K K

(7.16)

Siendo,

22

3 2

KK

(7.17)

Por otra parte, la ecuación (2.8) expresada adimensionalmente toma la forma:

1/ 2

13

3

n

(7.18)

Al igual que lo indicado a través de (7.8), todas las tensiones o esfuerzos se han

expresado en forma adimensional al dividirse por la resistencia a compresión

simple de la roca intacta σc.

nn

c cy

(7.19)

Por simplicidad en términos de (x, y) , la ecuación (7.18) se transforma:

1/ 2

13

3

y x

(7.20)


122

Es decir:

, ny x (7.21)

A través de (7.14) se sabe que:

1/ 2

1

3

tan 452

por lo tanto,

tan 453 2xy

(7.22)

La cual puede expresarse también,

3tan 452

y x

(7.23)

Al despejar 3 resulta,

3 tan 452

x y

(7.24)


3 tan 452

x y

(7.25)

Reemplazando el valor de 3 indicado a través de la ecuación (7.16) en

(7.245) , se obtiene que:

2

32

1

tan 452

tan4 2

Kx y

K

(7.26)

Al despejar y = (τα /σc ) = queda:


123

2

3

2

1

tan 452

tan 452

tan4 2

Ky x

K

(7.27)

Llamando a X = (x-ξ), la ecuación anterior se transforma finalmente.

2

3

2

1

tan 452

tan 452

tan4 2

Ky X

K

(7.28)

Por otra parte, al derivar la ecuación anterior se obtiene la pendiente de la

envolvente, es decir;

2

1 24

2

3

s e c4 2

ta n ta n4 2 2

ta n4 2

d y dX

d X d X

f f dK

d X

(7.29)

Siendo las funciones,

2

2 21 1

1sec tan

2 4 2 4 2f K

(7.30)

2 22 1tan 2 tan tan sec

4 2 4 2 4 2 4 2f K

(7.31)


124

Luego de realizar simplificaciones se obtiene:

2332 tan tan cos ( )

4 2 4 2

d dX K f

dX dX

(7.32)

2

2

1

1

3 3

3 tan4 2

( )

tan4 2

Kf

K

(7.33)

A través se transformaciones trigonométricas la fórmula anterior queda:

2

3

2

1

3

1

3 tan4 2

tan4 2

tan4 2

Kd d

X KdX dX

K

(7.34)

Adicionalmente, al expresar esta última ecuación en términos de dX

d

, resulta:

21

21

33

3 tan4 2

tan 04 2

tan4 2

KdX dX

X Kd d

K

(7.35)

El próximo paso es resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, que es

de primer grado en la variable dependiente y a su derivada. La cual en forma

compacta toma la forma,

( ) 0dX

P X Qd

(7.36)


125

Siendo por lo tanto,

21

21

33

( ) tan4 2

3tan4 2

( )

tan4 2

P

KQ K

K

(7.37)

La solución de la ecuación diferencial lineal es según [57] y [58]:

( )( )4 ( )

P dP dX e K e Q d

(7.38)

Siendo K4 una constante de integración a determinase posteriormente en función

de las condiciones de borde. Aplicando (7.38) se obtiene,

21

21

4 3 3

cos cos1 1

3tan4 2

tan4 2

tan4 2

d dse se

KX e K K e d

K

(7.39)

21

21

34 3

3 tan4 2

1 tan1 4 2

tan4 2

KK

X sen K dsen

K

(7.40)


126

Al considerar que,

2cos 1

tan tan4 2 1 4 2 1

seny

sen sen

, la solución de la integral

se simplifica, obteniéndose finalmente,

1 12

1 11 1

43

21 1

4 (3 )1

1 11 1

K

K

K KX sen K

K K senK K sen

(7.41)

Teniendo en cuenta que X=(x-ξ) y K3 = (K2/2)2, resulta:

1 1 1 1

2

1 1

4

22

2 1 1

4 (3 ) 1 11

1 1

K

K

K K K K senx sen K

K K sen

(7.42)

Con las ecuaciones (7.28) y (7.42) se tiene el par de ecuaciones requeridas

representadas paramétricamente a través del ángulo β que forma la tangente a la

envolvente de falla, conocida también como curva de resistencia intrínseca.

Igualmente, se observa que tanto el esfuerzo cortante τα como el normal σn

están expresados en forma adimensional, es decir: y = (τα /σc ), x = (σn /σc).

Por lo tanto, si se conoce la tensión normal σn a través de la ecuación (7.40) se

determina β y posteriormente τα empleando (7.28).

En estas condiciones para cada intervalo de esfuerzos (σn , τα ), habrá un ángulo β,

o ángulo de fricción interna instantáneo φi


127

7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de aplicación

Para efectos prácticos se ha considerado el siguiente ejemplo.

Parámetros de la roca intacta obtenidos a través de pruebas de laboratorio y

utilizando la técnica de mínimos cuadrados:

K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa, 1

16t

c

Al aplicar (7.7) se tiene la siguiente relación entre los esfuerzos principales;

1/ 2

3 311 2

c c cK K

1/ 21 13 31 2 3, 5

16 16c c c

Por otra parte, cuando 3 =0 (ensayo de compresión sin confinar) 1 c ,

debiéndose cumplir de acuerdo a (7.8) que:

1/ 2

1 21 K K

1/ 21 1

1 2 3,516 16

A través de (7.11), la pendiente de la curva que relaciona σ1 con σ3 es:

21

3 33

21

3,5tan 2

4 2 12 216

KK

Para facilitar los cálculos, se determinará primeramente la pendiente para el caso

particular de un ensayo de compresión simple, en el cual 3 =0.


128

3, 52tan 2 94 2 1

216

Por otra parte, se sabe que el ángulo (α) que forma el plano de falla con el

esfuerzo principal menor es,

71, 564 2

(7.43)

Siendo por lo tanto β = 53,13

Al considerar la ecuación (2.6) expresada forma adimensional se determina la

relación (σn / σc), y el esfuerzo normal σn actuando sobre el plano de rotura de

inclinación (α) con la horizontal.

Para el ensayo de compresión simple se sabe que:

σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:

31

3

1

3

11/10

1 91

c cn

c c

Por lo tanto, el esfuerzo normal como una fracción de σc es,

13, 20

10MPan c

Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación:

2 2 231 171, 56

10cos 1 cosn

nc c c

x sen

Reemplazando dicho valor en (7.42) se determina la constante de integración K4.


129

24

53,1353,13

53,13

3,06259

8 (3 2) 1 2 1 21 11

10 16 1 2 1 2

sensen K

sen

K4 = - 0,81944

A través de (7.23), el esfuerzo cortante para la condición en la cual 33 0

c

es,

3 71, 561 3

45 tan10 102

39, 60

10

tanc

MPac

y x

Igual valor se obtiene a través de la ecuación,

31 3143,12

10

12 1

2c c c

sen sen

Resumiendo, a continuación se indican los valores de obtenidos a través del

ensayo de compresión sin confinar (σ3 =0) son los siguientes:

,71, 56 53,13

1 3, ,

10 10

32, 00 , (3, 20 , 9, 60)

12, 00

16

4 2

t

n

c c

MPa nc

tMPac

Véase figura (2.1)


130

En definitiva, la envolvente de rotura indicada en (7.27) puede construirse

partiendo de la ecuación (7.42) considerando inicialmente diferentes valores de

n

c

, por ejemplo:

0, 0,05 , 0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50.........n

c

.

Luego para cada valor de x = (σn /σc) se determina el correspondiente ángulo β

y seguidamente y = (τα /σc ), a través de la referida ecuación (7.27)

Continuando con el problema, se determinará un segundo punto de la envolvente

considerando el caso particular que σ3/ σc = 0,10.

Por lo tanto, para esta presión de confinamiento, la rotura ocurrirá cunado σ1/ σc

alcance el siguiente valor.

1/ 2

3 311 2

c c cK K

σ1 = 55,55 MPa

1/ 2

1 1 12 0,1 3, 5 0,1 1, 736

16 16c

.

La inclinación de la tangente a la envolvente de falla β y el ángulo que forma el

plano de rotura α con el esfuerzo principal menor en el intervalo (σ3/ σc, σ1/σc),

representado por los valores (0,10, 1,736) son los siguientes:


131

21

3 3

21

3,5tan 2 6,34

4 2 12 2 0,1016

KK

β = 46,68 ◦ y α = (π/4+ β/2) = 68,34◦

Al utilizar la ecuación (7.42) y (7.22), el valor de (σn /σc) y (τα /σc), es

respectivamente:

2

7 3 46, 681 3,06251 46, 68 0, 81944

916 1 3 46, 68

n

c

sensen

sen

10, 323

3n

c

2 2 2 231 11, 736 68, 34 68, 34 0, 323

10cos cosn

nc c c

sen sen

10,34n MPa

68, 3413 45 0, 323

2 10

0, 562 17, 98 18, 00 . De igual forma se obtiene :

tan tann

c c c

MPac

31 11, 736 0,10 136, 48 0, 563

2

12

2c c c

sen sen

Resumiendo, para (σ3/ σc =1/10) (σ1/ σc = 1,736), los valores son:


132

,

0, 323 0, 562

10, 34 , 17, 98

68, 34 48, 64

, ,

32, 00 , ( )

12, 00

16

4 2

t

n

c c

MPa MPanc

tMPac

Véase figura (2.1)

7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes I1, J2 y

Teniendo en cuenta la ecuación (7.7), es posible transformarla como a

continuación se indica:

23 311 2

2

c c cK K

(7.44)

2 31 1 3 1 2

21

c cK K K

(7.45)

Reemplazando 5.32 en la ecuación anterior resulta:

1 1

2

2222

1 12 2

12

1 2 2 2cos cos( )

3 3 33 3

2 2cos( ) 0

3 33

c

c

I IJ K J K

IKJ K

(7.46)

A través de simplificaciones queda,


133

1 11 1 1

2

2

2222

12

211 cos

3 3

2 2cos( ) 0

3 33

c

c

I KK J k sen K

IKJ K

(7.47)

7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración)

Los valores de K1 y K2 indicados en (7.7) pueden obtenerse con buena

aproximación conociendo ξ=σc/σt conjuntamente con las ecuaciones obtenidas

aplicando las siguientes condiciones:

1) Para el caso particular del ensayo de compresión simple, se sabe que;

3 = 0, y 1 c ,

Debiéndose por lo tanto cumplir a través de la ecuación (7.7) :

1/ 2

1 21 K K (7.48)

2) La pendiente de la curva que relaciona 1 3f , es de acuerdo a (7.11) :

21

3 3

21tan

2

KK

(7.49)

Por otra parte, al emplear (7.18), es posible escribir:

1/ 2

13 1 3

3

12

2n sen

(7.50)

Siendo además,


134

1 31 3y , ,n

nc c c c

(7.51)

Continuando con el ensayo de compresión simple, se conoce que:

1 31 3y 1 0

c c

Por lo tanto, (7.50) se transforma:

203

1 1 2 tantan 2

2 2 1 tann sen

(7.52)

En estas condiciones, al reemplazar el valor de tan2α indicado en (7.49), se obtiene

la siguiente expresión:

03

21 112

KKn

(7.53)

3) A través de (2.12) y (2.13) se determina la pendiente a la envolvente de rotura,

definida por la ecuación;

1

3

1/ 2

1

3

1'tan

2

d

d

(7.54)


135

Por otra parte de acuerdo a la figura (2.1) la relación entre el ángulo de rotura α y

el ángulo de inclinación β que forma la tangente a la envolvente o curva de

resistencia intrínseca es: 2α = (π/2+β)

Mediante transformaciones trigonométricas se obtiene que:

21 tan 1tan

2 tan

(7.55)

Por lo tanto, (7.54) se transforma:

212

21

121 tan 1

2 tan2

2

KK

KK

(7.56)

El próximo paso a seguir, es determinar el valor de 03

n

Al aplicar (4.79), y considerando que,

1 31 3y resu lta :1 0 ,

c c

2 2 2

3 2103

1cos cos

1 tann

cn sen

(7.57)

Por lo tanto,

03

1 1tan 1 1

/n c n

(7.58)

Sustituyendo esta última ecuación en (7.49), se obtiene:


136

3

3 3

21

0

210 0

11 2 2

12

n

n n

KK

KK

(7.59)

4) Otro valor de importancia es determinar el ángulo β para la condición en la cual:

33 0

c

A través de (7.14) la pendiente de 1 3f es: 1

3

1

1'1

sen

sen

Por lo tanto, al despejar senβ, y empleando (7.49) resulta:

2

1

203

2 21 1

1 tan1

2

senK

K

(7.60)

5) La última ecuación a emplear es la (7.42) la cual relaciona (σn /σc) y el ángulo

de fricción instantánea β=i , para la condición 33 0

c

.

En estas condiciones es posible calcular la constante de integración K4


137

1 1 1 1

2

1 1

00 33

034

03

22

2 1 1

1

4 (3 ) 1 1

1 1

n

K

K

sen

K K K K senK

K K sen

(7.61)

De acuerdo a las ecuaciones obtenidas se tienen cinco ecuaciones con cinco

incógnitas. Como previamente se ha señalado la solución del sistema de ecuaciones

no lineales (7.48), (7.53), (7.59), (7,60) y (7.61) se ha llevado a cabo a través del

programa EES (Engineering Equation Solver), tal como se podrá apreciar en las

páginas siguientes.

Las cinco incógnitas a determinar son:

K1, K2, K4, y [senβ, (σn /σc)].Las dos últimas indicadas corresponden a la

condición en la cual el esfuerzo σ3 =0

En caso que se requiera, pueden agregarse dos fórmulas adicionales al sistema de

ecuaciones no lineales para la condición en la cual σn=0.

Considerando dicha condición y llamando a = 1, la ecuación 7.42 se transforma:

1

1 1 1 1 1

2

1 1 1

0

0

4

0

22

2 1 1

1

4 (3 ) 1 1

1 1

n

n

K n

K

sen

K K K K senK

K K sen

(7.62)


138

La otra ecuación se obtiene al utilizar nuevamente (4.79) y considerando que

σn=0. Por lo tanto,

2 231 cos 0n

n

c

sen

(7.63)

Resultando,

231 tan (7.64)

A través de (2.10) se conoce que: = (/4 + /2)

Reemplazando el valor de en (7.64) y llamando a = 1, se obtiene:

2 131 tan

4 2

(7.65)

Al substituir esta última ecuación en (7.7), queda finalmente para esta condición

en particular:

1/ 2

2 13 1 3 2 3

0 0 0tan 0

4 2n n nK K

(7.66)

Es de hacer notar que 1 es el ángulo que forma la tangente a la envolvente de

rotura en el punto correspondiente a la ordenada en el origen.

7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES

En la sección 7.2 se determinaron los valores de las tensiones normales y

tangenciales para el caso de una roca intacta con los siguientes parámetros;

K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa, 1

16t

c

Las constantes K1 y K2, se obtuvieron mediante el ajuste de curva aplicando la

técnica de mínimos cuadrados tomando como datos los ensayos de compresión

simple, tracción indirecta y las pruebas triaxiales a través de los núcleos de rocas.


139

Empleando el programa matemático EES (Engineering Equation Solver) asistido

por el ordenador se han determinado las constantes K1 y K2 que vinculan a los

esfuerzos principales σ1 y σ3. El referido programa numérico ha sido desarrollado

por Apple Macintosh y opera en sistema Windows. Está diseñado para resolver

sistemas de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales, problemas de

variables complejas e integración numérica.También minimiza y maximiza

funciones, así como lo referente al ajuste de curvas entre otras importantes

aplicaciones. Aplicando dicho programa con las cinco ecuaciones arriba indicadas

y considerando únicamente la relación entre resistencia a la tracción y a la

compresión, es decir xi = ξ= σt/ σc=-1/16, se han obtenido los mismos valores

K1 y K2, a través del programa EES cuya solución se anexa a continuación.


140


141

7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura a través de

los estudios experimentales realizados por Torres [21]

En esta sección, se han utilizado los valores de resistencia obtenidos por Torres

[21] en 350 probetas de concreto, 55 de ellas correspondientes a las pruebas

triaxiales (σ2=σ3), en muestras cilíndricas de 5,00cm de diámetro y 10,00cm de

altura, las restantes probetas se fabricaron variando la relación ancho/altura y

tamaño.

Adicionalmente, Torres [21] llevó a cabo pruebas de resistencia a la compresión

simple en probetas tomadas como referencia en cilindros con relación altura /ancho

de 2;1 , de diámetro =15,00cm y altura H=30,00cm. La resistencia media de los

treintas cilindros ensayados resultó ser de f ’c = 268,79 kgf/cm2, con una

desviación estándar σ f ’c =9,608 kgf/cm2.

En la tablas (7.1) y (7.2) se anexan los valores promedios para los diferentes

rangos de presiones (σ3, σ1) y se comparan con los resultados del criterio de rotura

propuesto en esta investigación, conjuntamente con el de Hoek y Brown, Murrell-

Bieniaswki y Mohr-Coulomb.

A continuación se indican las diferentes ecuaciones cuyas constantes se han

obtenido mediante el ajuste de curvas aplicando la técnica de mínimos cuadrados y

con la ayuda de la hoja de cálculo Excel


142

Criterio de Ucar

1/ 2

3 311' ' '2

c c c

K Kf f f

Constantes obtenidas: 1 20, 712 , 2, 839K K

Criterio original de Hoek y Brown

Constantes obtenidas: 7, 037 , 1m s

1/ 2

3 31' ' '

c c c

m sf f f

Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075)

Constante obtenida: 2, 67A

31' '

0,75

1c c

Af f

Criterio lineal

Constante obtenida: 3,14k

31' '1

c c

kf f

Tabla 7.1


143

Curva Curva Curva Curva Valores en kgf/cm2

Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste M&B Ajuste Lineal

f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c)HB (σ1/ f'c)MB (σ1/ f'c)Lineal

330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0.397577672 * 0.666969697

0.000 330.00 0 1 1.000090787 1 1 1

σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 1.376015548 1.348260271 1.419416157 1.266138788

-35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 1.497968271 1.465667526 1.532577441 1.36595272755.94 578.90 0.16951515 1.754242424 1.686551791 1.650352118 1.705371085 1.532277576

ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 1.827859596 1.790851096 1.83445477 1.665965455-0.10606061 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.924491769 1.956147542 1.798511515

к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 2.088393839 2.053835792 2.073279478 1.931533333

0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 2.211033429 2.179161007 2.186367557 2.064650303

к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 2.443860538 2.419415472 2.402477651 2.330789091

2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 2.555125049 2.535205765 2.506429917 2.463906061167.83 863.62 0.50857576 2.617030303 2.663361537 2.648399957 2.607970224 2.596927879

m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 2.716545792 2.70421132 2.658012401 2.6635339397.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 2.769025326 2.759402118 2.707485587 2.730044848

195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 2.872217819 2.868258973 2.805033731 2.863066667

s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 2.973301575 2.975302623 2.900922423 2.9961836361 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 3.072386679 3.08060721 2.995224452 3.129300606

237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 3.169564304 3.184232376 3.087997145 3.262322424251.76 1088.86 0.76290909 3.299575758 3.265180892 3.286515889 3.179545069 3.395534545265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 3.359019418 3.387197292 3.269636186 3.528461212279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 3.451526108 3.486730354 3.358676859 3.661578182

*Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante

f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm2

σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm2

ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown

K1 = Constante

K2 = Constante

(σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar

(σ1/ f'c)HB Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown

(σ1/ f'c)MB Valores de (σ1/f 'c) correspondientes al criterio de rotura de Murrell-Bieniawski

(σ1/ f'c)lineal Valores de (σ1/ f'c )correspondientes al criterio de rotura lineal

Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio

LEYENDA



3 311

1/ 2

2' ' 'c c c

K Kf f f


144

Tabla 7.2

Curva Curva Curva Curva

Valores en kgf/cm Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste MB Ajuste Lineal

f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1)Ucar (σ1)HB (σ1)MB (σ1)Lineal

330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 131.2006318 * 220.1

0.000 330.00 0 1 330.0299598 330 330 330

σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 454.085131 444.9258894 468.4073317 417.8258

-35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 494.3295293 483.6702836 505.7505555 450.764455.94 578.90 0.16951515 1.754242424 556.5620911 544.6161989 562.7724581 505.6516

ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 603.1936666 590.9808616 605.3700741 549.7686

-0.106060606 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 647.0768683 635.0822839 645.5286888 593.5088

к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 689.1699667 677.7658112 684.1822277 637.406

0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 729.6410316 719.1231322 721.5012939 681.3346

к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 806.4739774 798.4071058 792.8176249 769.1604

2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 843.1912662 836.6179024 827.1218725 813.089167.83 863.25 0.50857576 2.615909091 878.9093073 873.9719859 860.630174 856.9862

m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 896.4601113 892.3897357 877.1440925 878.96627.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 913.7783574 910.6026989 893.4702438 900.9148

195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 947.8318802 946.5254611 925.6611312 944.812

s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 981.1895197 981.8498655 957.3043997 988.7406

1 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 1013.887604 1016.600379 988.4240692 1032.6692237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 1045.95622 1050.796684 1019.039058 1076.5664251.75 1088.86 0.76287879 3.299575758 1077.487347 1084.526301 1049.228446 1120.495265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 1108.476408 1117.775106 1078.979942 1164.3922279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 1139.003616 1150.621017 1108.363363 1208.3208

*Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante

f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm2

σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm2

ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown

K1 = Constante

K2 = Constante

(σ1)Ucar Valores de (σ1) correspondientes al criterio de rotura de Ucar

(σ1)HB Valores de( σ1) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown

(σ1)MB Valores de (σ1) correspondientes al criterio de rotura de Murrell- Bieniawski

(σ1)lineal Valores de (σ1 )correspondientes al criterio de rotura lineal

Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio

LEYENDA



VALORES DEL ESFUERZO PINCIPAL MAYOR σ1 en kgf/cm2

' 1/ 21 2 31 3

K K ft c t


145

7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos

Criterio lineal

Como se sabe, al ser la relación entre los esfuerzos principales lineal, la resistencia

al corte es también lineal † obteniéndose la bien conocida envolvente de rotura de

Mohr-Coulomb, siendo por tanto:

2 1tan ( /4 /2)

1

senk

sen

(7.67)

231' '1 tan

4 2c cf f

. En estas condiciones al considerar el valor de

k=3,14, se obtiene que el ángulo de fricción interna del concreto es =31,12o.

Por otra parte, al aplicar el criterio de Mohr –Coulomb, se obtiene la expresión:

' 2 tan( / 4 / 2)cf C (7.68)

A través de esa última ecuación, el valor de la cohesión del concreto es:

Por otro lado, cabe señalar que Chen [11] en su libro de Plasticity in Reinforced

Concrete, indica valores de ≈37o y 2

2' 330,00 /

82,50 /4 4cf kgf cm

C kgf cm

Adicionalmente, a través de la figura (4.1), se observa que en la ecuación lineal

propuesta por Richart el parámetro k =4,10. Utilizando dicho valor se obtiene

un ángulo ≈37o , es decir coincide con las experiencias de Chen [11].

† En el apéndice A , se lleva a cabo el desarrollo analítico, en el cual se demuestra que la envolvente de rotura es lineal cuando la relación entre los esfuerzos principales también es lineal .

22

' 330,00 /93,11 / (9,13 )

2 tan( / 4 / 2) 2 3,14cf kgf cm

C kgf cm MPa


146

En definitiva, se aprecia que en los parámetros obtenidos por Torres [21], el

ángulo de fricción interna es unos seis grados menor y la resistencia cohesiva es un

12% mayor. Sin embargo al aplicar el criterio original empírico de Hoek y Brown,

las constantes obtenidas son m =7 y s =1, las cuales coinciden con una roca

intacta del tipo caliza. Como se sabe esta roca es utilizada frecuentemente como

agregado en la elaboración de concretos, y por lo tanto dichos parámetros son

buenos indicadores de los resultados obtenidos.

Además, para llevar a cabo una comparación detallada de los parámetros de corte

C y del concreto, es necesario conocer en detalle , los ensayos granulométricos

de los agregados , el diseño de la mezcla, así como la elaboración de las probetas,

su normativa y otros factores que influyen en la resistencia del concreto.

En este sentido, cabe señalar las investigaciones realizadas por Aire [59] en su

tesis doctoral sobre el comportamiento del hormigón confinado sometido a

compresión.

Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a

diferentes niveles de confinamiento (σ2=σ3) en dos casos específicos con

resistencias a la compresión uniaxial de 35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de

alta resistencia)

En la tabla 7. 3 se presentan los resultados de dicho investigador, indicándose los

parámetros de corte C y de su estudio experimental.

Finalmente, se observa que el concreto con resistencia f ’c =35MPa, tiene un

ángulo de fricción interna que coincide con el obtenido por Torres [21], pero la

cohesión es un 27% mayor. Por otra parte, de acuerdo a los estudios experimentales

realizados por Aire [59], se aprecia que el concreto de alta resistencia f ’c =68MPa

duplica la cohesión al compararse con el concreto de 35,00MPa, pero el ángulo de


147

fricción interna disminuye en unos cinco grados con respecto al concreto de menor

resistencia. Cabe destacar que los parámetros de corte C =9,13 MPa =31,12o

obtenidos por Torres [21], para un concreto con resistencia f ’c=33MPa se

asemejan a los valores experimentales obtenidos por Aire [59] para el caso de un

concreto en el cual la resistencia f ’c=35MPa

Tabla 7.3 Parámetros del Criterio de Mohr-Coulomb, según Aire [59]

Parámetros de

resistencia

C (MPa)

Angulo de Fricción

tan

Coeficiente de Fricción

f ’c=35MPa 11,60 31,50 0,614

f ’c=68MPa 22,60 29,10 0,557


Este criterio propuesto por Murrell y luego modificado por Bieniawski no acepta

tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción), tal como se pude

apreciar a través de la ecuación: 31' '

0,75

1c c

Af f

Es decir, el referido criterio está limitado para el caso de tensiones de tracción, y

por lo tanto se reduce su aplicación. Obsérvese que en las tablas 7.1 y 7.2 para el

caso de que σt =-35,00kgf/cm2 no se registra ningún valor, ya que todos los

valores de las tensiones deben ser de compresión

Por otra parte, si el exponente K=1, la relación entre los esfuerzos es lineal y la

constante A = tan2(π/4+/2). Para mayor detalle véase apéndice (A).


148

Criterio de rotura de Hoek y Brown (HB)

A través de la tabla 7.2, se oberva que el valor de σ1=131,20kgf/cm2 corresponde

cuando la resistencia a la tracción σt=-35,00 kgf/cm2. Lógicamente el valor de

σ1 debe ser cero para el caso particular en el cual σ3 =σt. Por tanto, el referido

criterio de rotura no cumple con dicha condición. Con el objeto de conocer las

razones por la cuales el esfuerzo principal mayor σ1 no es cero, se aplicará la

ecuación derivada por dichos investigadores para determinar la resistencia a la

tracción σt a través de la ecuación (4.6), es decir:

1/ 223 4

2c

t m m s

Por otra parte, los valores de (m) y (s) obtenidos mediante el ajuste de la curva

aplicando la técnica de mínimos cuadrados en función de los 21 ensayos de (σ1,σ3)

indicados en la tablas (7.1) y (7.2), han dado como resultado que m=7 y s =1.

Con dichos parámetros al aplicar (4.6) resulta:

1/ 2

32330

7 49 4 1 46, 22 /2t kgf cm

Es decir, esta resistencia no corresponde con el valor obtenido experimentalmente

de σt =-35 kgf/cm2.

Adicionalmente, para que se obtenga dicho valor, es necesario según el criterio de

Hoek y Brown aplicar la ecuación (4.9), definida por la relación:

'c c

t t

fm

.En estas condiciones, m= f ’c/σt= (330 kgf/cm2/35 kgf/cm2) ≈ 9,4

Con dicho valor y s=1, la resistencia a la tracción al aplicar (4.6) corresponde a una

resistencia a la tracción de σt=-35,00 kgf/cm2.


149

Por oto lado, el parámetro m =7, obtenido mediante el ajuste de la curva no

coincide con el valor teórico de m =9,40 al aplicar el mencionado criterio de rotura.

En definitiva estas discrepancias entre lo teórico y experimental producen

restricciones al criterio, aunque es muy posible que en otros casos no se produzca.

Por supuesto, si se utiliza m =9,40 en lugar de m =7,00, los valores de σ1 se alejan

todavía más con relación a los obtenidos experimentalmente.

Criterio de rotura de Ucar

Al examinar las constantes K1 y K2 de este nuevo criterio, se observa que la

constante K2 tiene una gran influencia sobre la curvatura y por ende en la variación

del vector tangente al moverse sobre la curva.

Por otra parte, si K2 0, la relación entre los esfuerzos principales es lineal y

por lo tanto el radio de curvatura , y la constante K1=tan2(π/4+/2), como

se demuestra a continuación.

Al ser K2 =0, la ecuación (7.7) se trasforma:

311

c cK

(7.69)

31 1 1 3 1

t

cc c

cK K K

(7.70)

Por cuanto σt es negativo resulta,

1 1 3 1 tK K (7.71)

Por otra parte, si σ1=σc σ3 =0, por tanto:

1 1tc

ct

K K

(7.72)


150

Quedando finalmente la conocida relación lineal,

1 1 3 cK (7.73)

Adicionalmente, un aspecto de importancia que debe señalarse en el referido

criterio, es que ambas constantes están vinculadas con dos propiedades

fundamentales como son la resistencia a la compresión y la tracción, a través de la

relación:

't t

cfc

(7.74)

Debiéndose cumplir a través de la ecuación (7.8) que:

1/ 2

1 1 32 Para la condición1 , 0cK K

Cabe señalar, como se podrá apreciar en la próxima sección, que este criterio

presenta el menor error estándar al compararse con el Murrell –Bieniawski, Hoek y

Brown y la relación lineal entre σ1 y σ3.

7.6.2 Determinación del error estándar

En la tabla 7.2, a través de los diferentes criterios de rotura investigados se

indica la variación del esfuerzo principal mayor σ1 = f (σ3). Estos valores se han

utilizado para determinar el error estándar del valor estimado.

Dicho valor es simplemente la desviación estándar de los valores observados de σ1

(valor experimental) alrededor de de la línea de regresión estimada, la cual se

utiliza frecuentemente como una medida resumen de la bondad de ajuste de dicha

línea. En resumen, el Error Estándar no es otra cosa que la desviación estándar de

la distribución muestral del estimador.


151

2

1

iu

n k

(7.75)

exp estimado1 1iu (7.76)

ui es el residuo, es decir la diferencia entre el valor experimental y el estimado.

2suma de los valores residuales al cuadradoiu

(n-k), se conoce como el número de grados de libertad.

El término grados de libertad, significa el número total de observaciones(n) en la

muestra menos el número de restricciones independientes (k)

k =número de parámetros o constantes a determinar.

En el caso, correspondiente a los criterios investigado k =2, excepto en la ecuación

de Murrell-Bieniawski, en la cual k =1

Tabla 7.3 Desviación estándar para los diferentes criterios

Criterio de Rotura Desviación Estándar σσ1 (kgf/cm2 )

Ucar 19,04

Hoek y Brown 38,60

Murrell-Bieniawki 23,65

Lineal 72,04

Se observa de acuerdo a tabla 7.3 que el menor error estándar corresponde al

criterio de rotura empírico propuesto por Ucar. Estos resultados se basan en el

estudio experimental realizado por Torres [21] en probetas de concreto sometidas a


152

compresión triaxial (σ3 = σ2). Los valores para diferentes intervalos de tensiones

(σ3 , σ1) se indican en la tabla 7.2.

Resumiendo se tiene:

Criterio de Ucar

1/ 2 21 1 3 3

'2 , /t tcK K f kgf cm

Constantes obtenidas: 1 20, 712 , 2, 839K K

' 2 2330, 00 / , 35, 00 /kgf cm kgf cmc tf

Desviación Estándar = 19,04kgf/cm2

Criterio original de Hoek y Brown

1/ 2

31 3

' 2/' , kgf cmc

c

f m sf

Constantes obtenidas: 7, 037 , 1m s

Desviación Estándar = 38,60 kgf/cm2


31

' ' 2, /'

0,75

c kgf cmcc

A f ff

Constante obtenida: 2, 67A


153


Criterio lineal

1 3'

ck f

Constante obtenida: 3,14k


7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios experimentales

de Aire [59].

Con la finalidad de apreciar la utilidad del nuevo criterio de rotura, a continuación

se consideran los resultados de las investigaciones realizadas por Aire [59] en su

tesis doctoral sobre el comportamiento del concreto cuando está sometido a

compresión triaxial

Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a

diferentes niveles de confinamiento pero considerando la condición en la cual

σ3=σ2, es decir el esfuerzo principal menor e intermedio son iguales.

Investigó dos casos específicos con resistencias a la compresión sin confinar de

35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de alta resistencia).

La tabla 7.4, muestra los valores (σ3, σ1), para el caso particular de las pruebas de

concreto con una resistencia fc’=35,00 MPa


154

Tabla 7.4 Resultados de los ensayos triaxiales realizados por Aire [59]

σ 3 (MPa) 3 = σ3/ f ’c

σ1(MPa) 1 =σ1/ f ’c

0 0 f ’c =35 1

7 0,20 71 2,03

17 0,49 103 2,94

28 0,80 132 3,77

Valores de

resistencia del

Concreto a

diferentes estados

de confinamiento

f ’c =35MPa

35 1 151 4,31

La fase siguiente es determinar las constantes K1 y K2 a través del nuevo criterio

propuesto y comparar los resultados con los valores de σ1 de la tabla 7.4.

Por cuanto, Aire [59] en sus pruebas de laboratorio no determinó la resistencia a la

tracción del concreto σt, es necesario hallar una constante adicional la cual

corresponde a ξ = σt / fc’. Por tanto, se aplicará nuevamente la ecuación (7.7) representada por:

1/ 2

3 311 2

c c cK K

Adicionalmente, para el caso del ensayo de compresión simple, se debe cumplir

que 1 c y por tanto 3 = 0, obteniéndose a través de esta última ecuación que:

1/ 2

1 21 K K

Las otros dos ecuaciones se determinan, considerando los valores de la tabla 7.4,

para el valor intermedio de 3 = 17MPa y el extremo con 3 = 35MPa.


155

En forma adimensional se tiene:

(σ3 / fc’, σ1 / fc’) = ( 0,49, 2,94) y (1, 4,31)

En estas condiciones el sistema de ecuaciones simultáneas no lineales es:

1/ 2

1 21 K K

1/ 2

1 22,94 0, 49 0, 49K K

1/ 2

1 24,31 1 1K K

Adicionalmente, al aplicar el programa matemático asistido por el ordenador EES

(Engineering Equation Solver), las constantes obtenidas son:

K1 =0,67, K2 =3,40 y ξ = σt / fc’ =- 0,0778, por lo tanto σt =-2,72 MPa (valor

teórico estimado). A través de la ecuación (7.15) el ángulo de rotura (α) que forma

el plano de falla con el esfuerzo principal menor es:

2 21

3 3

21tan tan

4 2 2

KK

Tabla 7.5

3 3'/ cf 1 3/ αo βo

0 6,765 68.97 47,94

0,20 3,895 63,13 36,26

0,49 2,926 59,69 29,38

0,80 2,484 57,61 25,21

1 2,3075 56,64 23,29


156

Adicionalmente se ha determinado β, el ángulo que forma la tangente a la

envolvente de rotura con la horizontal en cada plano de rotura definido en el

intervalo de tensiones (α, σn). Como se ha mencionado previamente β= i, es

decir el ángulo de fricción interna instantáneo.

Tabla 7.6

Valores Experimentales según Aire [59 ]

en probetas de concreto sometidas a

compresión triaxial

Valores utilizando el

Criterio de Ucar

σ3 (MPa) 3

σ1(MPa)1

1 1(MPa)

0 0 f ’c =35 1 1 f ’c =35

7 0,20 71 2,03 1,98 69,30

17 0,49 103 2,94 2,94 103

28 0,80 132 3,77 3,77 132

35 1 151 4,31 4,25 148,80

31

1 3' ',c cf f

; 1/ 2

1 3 33, 400,67 0,0778

Seguidamente, se determina la resistencia al corte y el esfuerzo normal para cada

intervalo de tensiones (σ3, σ1).

Expresando la ecuación (2.6) en forma adimensional se obtiene primeramente para

cada intervalo (σ3,σ1) la relación (σn / σc), y (α / σc) .


157

Luego el esfuerzo normal σn y la resistencia al corte α actuando sobre el plano de

rotura de inclinación (α) con la horizontal.

Como ejemplo, se ha considerado el ensayo de compresión simple. Por lo tanto:

σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:

31

3

1

3

' '

' '1

0,12881 6, 765

1

n c c

c c

f f

f f

El esfuerzo normal como una fracción de σc es,

' '0,1288 4, 508 , 35, 00c cMPa MPan f f

Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación:

2 2 231' ' ' 68, 97 0,1288cos 1 cosn

nc c c

x senf f f

Por otra parte, la tensión cortante definida a través de (7.23) es la siguiente:

3' 45 , siendo :2

tanc

y xf

3

3' 'c c

nx yf f

La cual equivale a escribir:


158

68, 97' ' '

'

3 45 0,1288 tan 0, 3352

0, 335 11, 73 ..

tanc c c

c

n

MPa

f f f

f

Igual valor se obtiene a través de la ecuación,

31' ' '

11 0, 335

2

12 137,94

2c c c

sen senf f f

En la tabla anexa, se indican los diferentes valores de las tensiones normales y

cortantes para cada intervalo (σ3, σ1) y en la figura 7.1, los círculos de Mohr de

los ensayos triaxiales y la envolvente no lineal de rotura.

Cabe señalar que la figura 7.2 representa la relación entre las tensiones

principales (σ3, σ1) junto con el nuevo el nuevo criterio empírico de rotura, el cual

permite calcular σ1=f (σ3, ξ, K1, K2) con un buen nivel de aproximación para

diferentes presiones de confinamiento.

A la vez debe indicarse el beneficio de obtener una envolvente curva, por cuanto

se ajusta con mayor precisión a los valores reales de las tensiones actuando sobre

los planos de rotura , además de la evidente diferencia al compararse con la

envolvente lineal (véase figura 7.3), en particular en la zona de tracción y de

compresión sin confinar. Por otra parte, al incrementarse la presión de

confinamiento la pendiente de la curva tiende a disminuir. Obsérvese a través de la

tabla 7.5 como el ángulo β=47,94o, valor que corresponde cuando no hay presión

de confinamiento y que disminuye a β=23,29 o al incrementarse a σ3 /f ’c =1.


159

Tabla 7.7 Tensión normal y cortante para cada intervalo (σ3 / fc’, σ1 / fc’)

3'/ cf 1

'/ cf '/ cn f

'/ cf n (MPa) (MPa)

0 1,00 0,129 0,335 4,510 11,72

0,20 1,98 O,564 0,718 19,73 25,12

0,49 2,94 1,114 1,067 38,99 37,36

0,80 3,77 1,652 1,344 57,83 47,02

1,00 4,25 1,982 1,4927 69,39 52,24

La tabla 7.7, muestra los valores de σn y α pertenecientes a la referida curva de

resistencia intrínseca, cuyos valores se han determinado conociendo previamente

el intervalo de los esfuerzos principales (σ1 ,σ3 ) y el ángulo α.

En estas condiciones se construye la curva considerando las coordenadas de las

tensiones (σn , α ).

Lógicamente, la forma elegante de obtener la envolvente de rotura es a través de

la ecuación (7.28), en función de la tensión normal σn y el ángulo que forma la

tangente a la envolvente con la horizontal β =i (ángulo de fricción interna

instantáneo).


160

Figura 7.1


161

Los pasos a seguir son los siguientes conociendo las constantes K1, K2 y ξ

A través de la ecuación (7.53) determinar:

3cuando 0nn

c

03 21 1

2

1n

KK

Utilizando la ecuación (7.60) se obtiene el ángulo β para la condición en la

cual σ3=0.

1 2

03

41

2 (1 )sen

K K

Cononociendo los valores de :

40 03 3, se calcula la constante deintegración Kn y

El próximo paso es utilizar la ecuación (7.42), la cual es la solución de la

ecuación diferencial lineal de primer orden. Fácilmente, a través de dicha expresión

se calcula la constante K4.

Por lo tanto, se tiene la función ζ(σn, β,ξ,K1,K2, K4) =0, definida por:

1 1 1 1

2

1 1

4

22

2 1 1

4 (3 ) 1 11 0

1 1

Kn K

K K K K sensen K

K K sen


162

Por ejemplo, al considera nuevamente los ensayos experimentales realizados por

Aire [59], y las constantes K1=0,67, K2=3,40 y ξ=-0,0778 obtenidas utilizando el

criterio de rotura propuesto, resulta:

03 3,40

1 0,672 0,0778

0,12881

n

03

4 0,07781 0,7424 47,94

2 0,0778(1 0,67) 3, 40sen

Por lo tanto, al sustituir los valores de la tensión nomal σn y β, en (7.42), la

constante de integración K4 =-1,863.

En estas condiciones, al utilizar la fórmula (7.42) para diferentes valores de σn ,

se determina el correspondiente ángulo β. También, puede aplicarse el caso

contrario, es decir dando valores de β=i se calcula la tensión normal.

Finalmente, para cada valor de σn junto con el respectivo ángulo β, se

determina la resistencia al corte α, y se construye la envolvente o curva de

resistencia intrínseca representada por la ecuación (7.28), es decir:

2

22

2

1

tan 452 2

tan 452

tan4 2

n

K

K


163

Figura 7.2

Relación entre los esfuerzos principales obtenida en este estudio empleando los

datos experimentales de Aire [59]


164

Envolvente lineal obtenida por Aire [59] en sus estudios experimentales del

concreto confinado sometido a compresión

Figura 7.3


165

7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura

a través de las pruebas de resistencia realizadas por Aire [59] .

En la sección 7.1, se determinó que la pendiente de la curva que vincula σ1=f (σ3),

está representada por la ecuación:

21

3 3

21tan

4 2 2

KK

(7.78)

Siendo,

31 1 11 3

3 3' ', ,

c cf f

Seguidamente se determina el valor medio de la refererida pendiente, considerando

a través de la tabla 7.7 los siguientes límites de integración:

3 33 3' '0 1

c cf f

Como se sabe el valor medio de una función ‡ 1

( ) ,

b

m

a

y f x dx a x bb a

3

3

1

213

3 30

21

1tan d

4 2 (1 0) 2

KK

(7.79)

'

' 0,0778 12,85t c

tc

f

f

‡ Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica,G, Thomas (1966) , Editorial Aguilar, pp234-236


166

Al integrar se obtiene:

121

303

1 2tan4 2

valor medio

K K

K1=0,67 y K2 =3,40

21

3

tan 0,67 3,40 (1,04 0,28) 3,254 2

valor medio

El próximo paso, es determinar la pendiente aplicando el criterio lineal y comparar

resultados. Al aplicar el criterio lineal con los datos indicados en la tabla 7.7, se

obtiene mediante el ajuste por mínimos cuadrados:

231' '3, 44 1 , 0,973

c c

Rf f

. Por lo tanto, la pendiente de la recta es

021

3

tan / 4 / 2 3,44 33,34d

d

Obsérvese que la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura

corresponde a 3,25, es decir ligeramente menor al compararse con el criterio lineal.

En estas condiciones, el valor del ángulo de fricción interna es:

002tan 3,25 31,97 32

4 2 valor promedio


167

8 .EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR EL CRITERIO

LINEAL DE ROTURA

Un aspecto importante a señalar, es que el criterio lineal es ampliamente utilizado

en el campo de la geotecnia, aun cuando presenta limitaciones.

Además, por su simplicidad es una herramienta básica para el ingeniero por cuanto

permite resolver innumerables problemas relacionados con fundaciones,

excavaciones y obras subterráneas.

En el apéndice (A) se demuestra analíticamente que al ser la relación entre los

esfuerzos principales lineal, también es lineal la relación entre la resistencia al corte

y el esfuerzo normal actuando sobre el plano de falla, la cual corresponde a la bien

conocida ecuación de Mohr-Coulomb.

Por tal motivo, es de interés relacionar los parámetros resistentes utilizando el

referido criterio como a continuación se lleva a cabo.

Criterio de Mohr-Coulomb en función los esfuerzos principales (σ1, σ3)

2

1 3 tan 2 tan4 2 4 2

C

(8.1)

Teniendo en cuenta que el plano de rotura α = (π/4+/2)

21 3 tan 2 tanC (8.2)

Siendo además,

2 1tan

4 2 1

senN

sen

(8.3)

1/ 2costan

4 2 1N

sen

(8.4)


168

Relación entre la resistencia al corte y el esfuerzo normal (σn, τα)

tan ( )Ecuación de Mohr CoulombnC (8.5)

A continuación se deducen algunas expresiones de interés, las cuales permiten

relacionar los parámetros resistentes.

1) Relación entre la resistencias a compresión σc y a tracción σt

Ensayo de compresión sin confinar

Condiciones de borde: σ3=0, por lo tanto σ1= σc

Reemplazando dichos valores en la ecuación (8.1) se obtiene la resistencia a

compresión sin confinar en términos de C y , es decir:

2. tan4 2c C

(8.6)

A la vez, la ecuación (8.1) puede expresarse en forma compacta como sigue:

2

1 3 tan4 2 c

(8.7)

Ensayo de tracción

Condiciones de borde : Al Considerar σ3= σt , σ1=0

Al aplicar la ecuación (8.1), se obtiene la siguiente ecuación;

2

2tan4 2

tan4 2t c

c

(8.8)


169

Por lo tanto, la relación entre la resistencia a la compresión simple y la tracción

está representada por la ecuación.

2tan

4 2c

t

(8.9)

Siendo la tangente del ángulo de rotura α = (π/4+/2)

tan4 2

c

t

(8.10)

El próximo paso es representar la ecuación (8.1) en forma segmentaria o canónica,

por cuanto permite expresarla en forma sencilla cuando se conoce el segmento de

recta definido por los puntos: (0, σc) y (σt ,0).

En estas condiciones la ecuación (8.8) se transforma:

231

tan / 4 / 21

c c

(8.11)

Teniendo en cuenta (8.9), se obtiene que:

31

2

1

tan / 4 / 2c c

(8.12)

Resultando finalmente al considerar la ecuación (8.8):

31 1tc

(8.13)

Para mayor detalle, véase figura (8.1)


170

2) Determinación de la cohesión en función de σc y σt

El valor de la cohesión en términos de la resistencia a la compresión sin confinar y

de la tracción, se obtiene reemplazando la tangente del ángulo de rotura

representada a través de (8.8) en (8.5).

2. c

tc C

(8.14)

Al despejar el valor de la ecuación queda,

1

2 c tC (8.15)

3) Obtención del ángulo de fricción interna en función de σc y σt

Despejando sen en la ecuación (8.2), se obtiene que:

2

2

tan / 4 / 2 1

tan / 4 / 2 1sen

(8.16)

Por otra parte, al sustituir el valor de tan2 (π/4+/2) a través de la ecuación (8.10)

en (8.13), se obtiene:

1

1

c

t

c

t

sen

(8.17)


171

Figura 8.1


172

4) Determinación del coeficiente de rozamiento interno μ=tan en suelos

granulares en función de los esfuerzos principales σ1 y σ3.

Si la masa de suelo investigada es granular, es decir C=0, la ecuación (8.6)

que representa la resistencia al corte se reduce a la siguiente expresión:

tann (8.18)

Por otra parte, se sabe que:

2 21 3

1 3

cos

12

2

n sen

sen

(8.19)

Reemplazando (8.19) en (8.18), y despejado μ= tan , resulta:

1 31 3

2 2 21 3 1 3

12 tan2tan

cos tan

sen

sen

(8.20)

Considerando en (8.2) que C=0 : σ1=σ3 tan2 α .

Siendo α el ángulo que forma el plano de rotura con el esfuerzo principal menor.

En función del valor arriba indicado, la ecuación (8.20) se transforma en

función de los esfuerzos principales como sigue:

1

1 33 1 3

1 1 3

tan2 2

(8.21)

Algunos aspectos a mencionar sobre las limitaciones de dicho criterio son las

siguientes:

Al igual que el nuevo criterio propuesto en este estudio , la ecuación lineal entre

los esfuerzos principales no toma en cuenta la tensión principal intermedia σ2


173

Goodman [60], menciona que no es razonable admitir la resistencia friccionante

en la presencia de esfuerzos de tracción, perdiendo por lo tanto la ecuación de

Mohr-Coulomb α=C+σn tan su validez física en la zona de tracción.

Muchos investigadores recomiendan, crear una línea de corte en la región de

tracción (Tension Cutoff), tal como se muestra en la figura (8.2).En estas

condiciones se obtiene que la resistencia al corte es cero cuando σ3= σt.

Sobrevalora la resistencia a la tracción.

Se ha determinado que la resistencia de la roca aumenta menos con el

incremento de la presión de confinamiento, que la obtenida al considerar una

ley lineal.

Lo anterior demuestra que la envolvente de rotura no lineal se ajusta mejor al

fenómeno físico al compararse con la ecuación de la recta de Mohr-Coulomb.

También, a través de este criterio es difícil determinar los parámetros de corte

en forma global teniendo en cuenta los planos de discontinuidad y los puentes

de roca sana. Por tal motivo, se ha tratado de obtener valores de la cohesión y

fricción del macizo rocoso a partir de expresiones del criterio de Hoek y Brown

(HB), junto con las clasificaciones geomecánicas, mediante cálculos que no son

inmediatos .Esto se debe a que la principal dificultad estriba en que el criterio

de HB no es lineal, y por lo tanto los referidos parámetros C y no son

constantes, sino que dependen de la tensión normal σn .

Cabe destacar que dichos autores a través de su criterio no lineal y el programa

Roc Lab (http://www.rocscience.com/assets/files/uploads/8079.pdf), determinan

los valores C y equivalentes para cada intervalo de tensiones σn.

Ucar [61] en su Manual de Anclajes en Ingeniería Civil, también ha desarrollado

una metodología analítica para calcular los referidos parámetros equivalentes


174

utilizando el criterio de Hoek y Brown, con aplicación a la estabilidad de taludes

y excavaciones subterráneas.

Bieniawski [1] en su libro Engineering Rock Mass Classifications, recomienda

en función del índice de calidad RMR los siguientes valores:

Valores de RMR

100-81 80-61 60 -41 40 -21 <20

Cohesión (MPa) > 25 15-25 8,5-15 4,5-8,5 <4,5

(grados) >65 55-65 48-55 41-48 <41

También menciona la siguiente relación obtenida por Trunk y Hönish, en función

de cuarenta casos estudiados:

=0,5 RMR+8,3 (±7,2) (8.22)

Por supuesto, al considerar los comentarios previamente indicados, estos valores

deben tomarse con mucha precaución.

Finalmente, es de importancia mencionar los resultados obtenidos por Torres [21]

a través de sus estudios experimentales en probetas de concreto y cuyos resultados

se pueden observar en la tabla 7.1, especialmente en los valores correspondientes a

σc= f’c =330,00 kgf/cm2 y σt=-35,00 kgf/cm2.

Si se emplea el criterio lineal, al aplicar las ecuaciones (8.10) y (8.15) , el valor de

la cohesión y del ángulo de fricción interna es por lo tanto,

02'

tan 9,43 53,924 2

c

t

f

21 1330,00 ( 35,00) 53,74 / 5,27

2 2c tC kgf cm MPa


175

Por otra parte, estos resultados no concuerdan con la ecuación lineal obtenida

mediante el ajuste de mínimos cuadrados (véase sección 7.6), y representada por

la fórmula:

31' '1 , 3,14

c c

k kf f

02 3,14 31,121

tan ( / 4 / 2)1

senk

sen

Obsérvese, que en este caso la resistencia es compresión es 3,14 veces la de

tracción. Lógicamente dicho resultado no concuerda con el valor real obtenido en

el laboratorio, en el cual fc’ /σt = 9,43

Al aplicar (7.63), el valor de la cohesión es:

22

' 330,00 /93,11 / (9,13 )

2 tan( / 4 / 2) 2 3,14cf kgf cm

C kgf cm MPa

Como previamente se ha mencionado, estas diferencias tan notables en los

resultados al aplicar el criterio lineal de Mohr-Coulomb se debe a que la

resistencia friccionante (σn tan) en la presencia de esfuerzos de tracción pierde su

validez física .Por lo tal motivo, es práctica común dividir la envolvente en una

zona de compresión aplicando la ecuación lineal de Mohr-Coulomb , y una línea de

corte en la región sometida a tracción “tension cutoff ”, tal como se puede observar

a través de la figura (8.2)


176

Figura 8.2


177

8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la persistencia de las

discontinuidades.

En esta sección, se describe con un ejemplo práctico el procedimiento para obtener

la resistencia aproximada en rocas fracturadas a través del modelo propuesto por

Terzaghi, el cual menciona Pariseau [62] en su libro Design Analysis in Rock

Mechanics. Básicamente, a través del concepto de persistencia se estudia los planos

de discontinuidad y los puentes de roca sana entre segmentos fracturados.

Es un parámetro que no es fácil de cuantificar, en especial cuando no se puede

visualizar en detalle el afloramiento

Si el área de roca intacta y fracturada se denotan por Ai y Af respectivamente, y

definiendo la persistencia p como la relación entre Af y el área total A= (Ai y Af),

resulta por lo tanto que: P= Af /( Ai + Af ).

En estas condiciones, es posible escribir las siguientes expresiones para determinar

la resistencia global o promedio τp de la masa rocosa en función de la roca intacta

y diaclasada.

fpAA fi

i A A

(8.23)

Siendo i yf la resistencia de la roca intacta y fracturada respectivamente.

fpA A Af f

i A A

(8.24)

1 fp p pi (8.25)

1 tan tanp p C p Ci n i f n f (8.26)

Llamando a Cp y p los parámetros de corte promedios de la masa rocosa, se

obtiene:


178

tanp p n pC (8.27)

Por lo tanto, los valores promedios de la cohesión y ángulo de fricción interna en

función de la persistencia se determinan a través de (8.26) como a continuación se

indica:

1p i fC p C p C (8.28)

tan 1 tan tanp i fp p (8.29)

Con el objeto de poder apreciar la aplicación de esta metodología, a continuación

se lleva a cabo un ejemplo de aplicación resuelto por Pariseau [62] en su libro

Design Analysis in Rock Mechanics.

Medidas de campo en afloramientos indican que la persistencia de la roca

fracturada es p = 0,75. Por otra parte, a través de las pruebas de laboratorio en roca

intacta se determinó que σc=105,00MPa y σt=-10,50MPa.

Adicionalmente se realizaron ensayos de corte directo, obteniéndose los siguientes

parámetros resistentes promedios medidos en los planos de discontinuidad:

Cf =0,06MPa y f =25o

Utilizando (8.15) y (8.17), los valores de la cohesión y ángulo de fricción interna

para la condición intacta son:

1 1105,00.( 10,50)

2 2c tiC

21(105,00) /10 16,60

2iC MPa

19

54,90111

o

c

t

c

t

i isen


179

Por lo tanto, los parámetros resistentes promedios o globales de la masa rocosa al

emplear las ecuaciones (8.28) y (8.29) son los siguientes:

1 (1 0,75)16,6 0,06 4,21p i fC p C p C MPa

0 0tan 1 tan tan (1 0,75)tan54,90 0,75 tan25fp ip p

p=35,20o

9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN

Como se ha mencionado al principio de este estudio, la siguiente etapa de

investigación está orientada en extender el nuevo criterio de rotura propuesto a

través una metodología real y efectiva de rotura en tres dimensiones.

Cabe señalar que muchos investigadores han estudiado en detalle este importante

tema de la mecánica de las rocas ,en especial Mogi [13] quien ha demostrado en

sus estudios experimentales a partir de 1964 que existen evidencias notables que

demuestran la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en la resistencia de

la roca. Dicho investigador desarrolló un equipo triaxial verdadero (True triaxial

apparatus) , en el cual los tres esfuerzos pueden ser aplicados independientemente,

y aplicando altas presiones.

Sin lugar a dudas, esta es una tarea complicada, en especial cuando se desea

ampliar las condiciones de rotura para un estado de esfuerzo poliaxial σ1> σ2> σ3

Por otra parte, ya se han iniciado los primeros pasos para investigar un

procedimiento el cual considere las condiciones de fractura y meteorización del

macizo rocoso. Dicho estudio se fundamenta en un estado de esfuerzo

bidimensional utilizando las bien conocidas clasificaciones geomecánicas, tales

como el Rock Masas Rating (RMR) de Bieniawski [1],el sistema Q de Barton [2] ,o


180

el Índice de Resistencia Geológica (Geological Strength Index-GSI )de Hoek y

Brown [3] .Para mayor detalle , véase la sección uno correspondiente a la

introducción del presente trabajo. .

En estas condiciones se propone la ecuación (1.10) , la cual nuevamente se indica:

3 311 2

1/ 2

m mcm cm cm

K K

(9.1)

Siendo,

tmm

cm

(9.2)

Como previamente se ha mencionado, σcm es la resistencia a compresión uniaxial

(compresión simple o sin confinar) de la masa rocosa, y σtm representa la

resistencia tracción unidimensional de la masa rocosa, y es una fracción de la

resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt

En función de ξ=σt / σc y del índice RMR, resulta:

expmt

c

RMR RMR

(9.3)

En base los estudios realizados por Hoek y Bray [3,27], junto con Kalamaras y

Bieniwski [30], Ramamurthy et al [4], Singh y Goel [63], Hoek [64], Mehrotra

[65], Zhang [66] y Brady citado por Aubertin et al [67], se ha iniciado el proceso de

obtener las constantes K1 y K2 que vinculan las tensiones principales en el instante

de la rotura.


181

Con la ayuda de la hoja de cálculo, y el programa Crystal Ball utilizando la técnica

de simulación de Monte Carlo, ha sido posible establecer las siguientes ecuaciones

aproximadas para σcm y σtm considerando las experiencias de los investigadores

previamente mencionados.

RMR Versión 1989100

exp , = 22,6 1,4

cm

c

RMR

(9.4)

100exp

14 1tm

c

RMR

(9.5)

Transformándose (9.3) como sigue:

100 100

14 1 22,6 1, 4

RMR RMRRMR

(9.6)

Teniendo en cuenta los valores medios, resulta:

100

37

RMRRMR

(9.7)

Quedando finalmente como una primera aproximación,

100exp

37mt t

c c

RMRRMR

(9.8)

La ecuación (9.8), reviste gran importancia, por cuanto es el vínculo para

determinar las referidas constantes K1 , K2 , con las siguientes ecuaciones:

1/ 2

1 21 m mK K (9.9)


182

03

21 112

KKn

m

(9.10)

3

3 3

21

0

210 0

11 2 2

12

n m

n nm

KK

KK

(9.11)

2

1

203

2 21 1

1 tan1

2 m

senK

K

(9.12)

1 1 1 1

2

1 1

00 33

034

03

22

2 1 1

1

4 (3 ) 1 1

1 1

n m

K

K

sen

K K K K senK

K K sen

(9.13)

En la sección 7.4, se explica en detalle en función de las condiciones de borde, el

procedimiento a través del cual se han obtenido estas cinco ecuaciones no lineales

que son las claves del éxito para determinar las referidas constantes, junto con la

constante de integración K4 ,el valor de la tensión normal σn y el ángulo =i .


183

Debe indicarse que estos últimos valores están calculados para la condición en la

cual σ3=0. Por supuesto, pueden utilizarse únicamente las tres primeras ecuaciones,

es decir (9.8), (9.9) y (9.10), obteniéndose K1, K2 y 3 0n .

El siguiente paso de la segunda etapa de investigación próxima comenzar, es

preparar una tabla con diferentes valores de ξ=σt/σc y de ξm empleando la

ecuación (9.8) u otra similar. Posteriormente se deberá determinar las respectivas

constantes y luego comparar la ecuación obtenida σ1= f (σ3, ξm, K1, K2) con

otros criterios de rotura.

Los criterios que se desean comparar inicialmente son:

Hoek y Brown generalizado [24]

Sheorey [6]

Ramamurty et al [4]

Murell [17], empleando la solución obtenida por Ucar [55 ],

que se anexa en el apéndice (A)

Yu [ 54]

Finalmente, en base a los resultados obtenidos, se llevará a cabo un análisis

detallado con sus respectivas conclusiones y recomendaciones.


184

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193

APÉNDICE A

UNA METODOLOGÍA RECIENTE PARA DETERMINAR

LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS ROCOSOS

Trabajo publicado en el Volumen 2 (2003) Ingeniería del Terreno

Editor: Carlos López Jimeno, U.D. Proyectos, E.T.S.I Minas

Universidad Politécnica de Madrid pp. 99-116

DEDICATORIA

El autor dedica con admiración y cariño el presente estudio al profesor Eduardo

Peláez como reconocimiento a su extraordinaria labor docente y humana, la cual

llevó a cabo con notable dedicación en la formación de profesionales de la

ingeniería en nuestra querida y recordada Escuela de Geología y Minas de la

Universidad Central de Venezuela.


194

APÉNDICE B

DETERMINATION OF SHEAR FAILURE ENVELOPE IN

ROCK MASSES

Trabajo publicado en el Journal of the Geotechnical Engineering

Division, ASCE, Vol. 112, No. 3, March, 1986 , pp 303-315.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ......mecánica de las rocas y del concreto. En la sección...

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