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UNIVERSIDAD DE MANAGUA
1 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÒN LINEAL POR
METODO GRAFICO CON POM-QM.
Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés
Elaborado por:
Yucep Gutiérrez Baltodano.
Carlos Reynaldo Guevara.
Managua 13 de junio 2015
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2 Investigación de Operaciones I
Programación Lineal:
1) La fábrica de Hilados y Tejidos “Salazar” requiere fabricar dos
tejidos de calidad diferente T y T1; se dispone de 500 Kg de
hilo A, 300 Kg de hilo B y 108 Kg de hilo C. Para obtener un
metro de T diariamente se necesitan 125 gr de A, 150 gr de B y
72 gr de C; para producir un metro de T1 por día se necesitan
200 gr de A, 100 gr de B y 27 de C.
El T se vende a $400 el metro y el T1 se vende a $500 el metro. Si se
debe obtener el máximo del beneficio, ¿Cuántos metros de T y T1 se
deben fabricar?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas.
Restricciones:
500 Kg de hilo A
300 Kg de hilo B
108 Kg de hilo C
Produce dos tipos T y T1
Requerimiento de T
125 gr de A
150 gr de B
72 gr de C
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3 Investigación de Operaciones I
equerimiento de T1
200 gr de A
100 gr de B
27 gr de C
Venta:
T…… $400
T1…..$500
Concepto T T1 Disponible Hilo A 125 gr 200 gr ≤500,000 gr Hilo B 150 gr 100 gr ≤300,000 gr Hilo C 72 gr 27 gr ≤108,000 gr Ventas $400 $500
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 400x1 + 500x2
Sujeto a:
125x1 + 200x2 ≤500,000
150x1 + 100x2 ≤300,000
72x1 + 27 x2 ≤108,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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4 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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5 Investigación de Operaciones I
2) La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que
hacen dos tipos de ventanas: Con marco de madera y con
marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con
marco de madera y de $30 por cada una con marca de
aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al
día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día. Bob forma y corta
el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día,
cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de
vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La
compañía desea determinar: ¿Cuántas ventanas de cada tipo
debe producir al día para maximizar la ganancia total.
a. Formule el modelo de programación lineal.
b. Use el método grafico para resolver el modelo.
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ganancia total
Restricciones:
Solamente tiene tres empleados.
Doug hace marcos de madera 6 al día.
Linda hace marcos de aluminio 4 al día.
Bob forma y corta el vidrio. (48 pies cuadrados de vidrio por
Día).
Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de
vidrio
Cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio
Produce dos tipos de ventana marco de madera y marco de
aluminio.
Requerimiento de ventana de madera
6 pies cuadrados de vidrio
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6 Investigación de Operaciones I
Requerimiento de ventana de aluminio
8 pies cuadrados de vidrio
Ganancia:
Marco de madera…… $60
Marco de Aluminio…..$30
Concepto Madera Aluminio Disponible Madera 1 0 ≤6 pies2 Aluminio 0 1 ≤8 pies2 Ambos 1 1 ≤48 pies2 Ventas $60 $30
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 60x1 + 30x2
Sujeto a:
x1 ≤ 6
+ x2 ≤ 8
x1 + x2 ≤48
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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7 Investigación de Operaciones I
3. Solución del modelo:
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8 Investigación de Operaciones I
3) En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como
complemento en su economía, de forma que no se superen en
conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su
almacén solo puede albergar un máximo de 1,000 kilogramos de
heno. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de heno al
mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de
cuidado requeridos por un conejo son 3 y por un pollo 2 y que los
beneficios que reportaría su venta asciende a C$90 y C$60 por
cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben
criarse para que el beneficio sea máximo.
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas por crianza de animales.
Restricciones:
Su almacén solo puede almacenar como máximo 1,000 kg de
heno.
No se superen en conjunto 180 horas mensuales.
Cría Conejos y pollos.
Requerimiento del Conejo:
20 kg de heno al mes.
3 horas mensuales de cuido al mes.
Requerimiento del pollo:
10 kg de heno al mes.
2 horas de cuido al mes.
Venta:
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9 Investigación de Operaciones I
Conejo…… $90
Pollo…..$60
Concepto Conejo Pollos Disponible Heno 20 gr 10 gr ≤1000 Kg Horas de cuido 3 horas 2 horas ≤180 horas Ventas $90 $60
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 90x1 + 60x2
Sujeto a:
20x1 + 10x2 ≤1000
3x1 + 2x2 ≤180
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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10 Investigación de Operaciones I
3. Solución del modelo:
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11 Investigación de Operaciones I
4) En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos
para lanzarlos al mercado. El primero deja una utilidad de
C$45.00 y contiene 150 gr de polvorones, 100 gramos de
mantecado y 80 gr de roscos de vino. El segundo deja una
utilidad de C$56.00 y contiene 200 gramos de polvorones, 100
gramos de mantecados y 100 gr de roscos de vino. Se dispone
de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y
104 kg de roscos de vino. La empresa de embalaje solo le
puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo
convendría fabricar para que el beneficio sea máximo?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas de dulces.
Restricciones:
200 Kg de polvorones = 200,000 gr
130 Kg de mantecados = 130,000 gr
104 Kg de roscos de vino = 104,000 gr
La empresa solo pude suministrar 1,200 cajas.
Produce dos tipos de surtidos:
Requerimiento de 1er surtido.
150 gr de polvorones.
100 gr de mantecado.
80 gr de roscos vino.
Requerimiento de 2do surtido.
200 gr de polvorones
100 gr de mantecado
100 gr de roscos vino
Venta:
1er surtido…… C$45.00
2do surtido..…..C$56.00
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12 Investigación de Operaciones I
Concepto 1er Surtido 2do Surtido Disponible Polvorones 150 gr 200 gr ≤200,000 gr Mantecados 100 gr 100 gr ≤130,000 gr Roscos de vino 80 gr 100gr ≤104,000 gr Cajas 1 1 ≤12,000 Ventas C$45 C$56
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 45x1 + 56x2
Sujeto a:
150x1 + 200x2 ≤200,000
100x1 + 100x2 ≤130,000
80x1 + 100 x2 ≤104,000
x1 +x2 ≤ 12,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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13 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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14 Investigación de Operaciones I
5) Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. ¿Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo?
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas.
Restricciones:
La producción de una silla requiere 1 hora de montaje y de 2
horas de pinturas.
La fabricación de una mesa requiere 3 horas de montaje y 1
de pintura.
La sección de montaje solo funciona 9 horas
La sección de pintura solo 8 horas
El beneficio de mesas es doble que el de sillas.
Dos tipos de productos Sillas y mesas.
Concepto Silla(X1) Mesa(X2) Disponible Montaje 1 2 ≤9 Pintura 3 1 ≤8
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= x1 + 2x2
Sujeto a: x1 + 3x2 ≤ 9
2x1 + x2 ≤ 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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15 Investigación de Operaciones I
3. Solución del modelo:
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16 Investigación de Operaciones I
6) En una fábrica se elaboran dos tipos de herramientas A y B. En la
fábrica trabajan 2 obreros durante 8 horas diarias y un supervisor,
para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja
1 hora diaria. Para la construcción de A se emplean 3 horas diarias
de mano de obra y precisa de 4 minutos de revisión, para B es
necesaria 1 hora diaria de mano de obra y 3 minutos de revisión.
Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar
más de 12 herramientas A y B es de C$400, C$200
respectivamente. Hallar cuantas unidades se deben elaborar cada
día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo.
1. Definición del problema:
Objetivo: Maximizar ventas de herramientas.
Restricciones:
Trabajan 2 obreros 8 horas diarias.
Trabaja 1 supervisor para comprobar las herramientas
La herramienta trabajan 1 hora diaria.
No se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias,
Dos tipos de Herramientas A Y B
Requerimiento de A:
3 horas diarias de mano de obra.
4 minutos de revisión.
Requerimiento para B:
1 hora diaria de mano de obra.
3 minutos de revisión.
Venta: A=C$400
B=C$200
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17 Investigación de Operaciones I
Concepto Herramienta A Herramienta B Disponible Mano de obra 3 1 ≤ 24 Tiempo de revis. 4 3 ≤ 60 # De Herramien. 1 1 ≤ 12 Ventas C$400 C$200
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 400x1 + 200x2
Sujeto a:
3x1 + x2 ≤ 24
4x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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18 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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19 Investigación de Operaciones I
7. Una empresa produce dos tipos de mesas: un estilo colonial y otro estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen de su venta son de $20 por la colonial y $22 por la nórdica. Para esta semana ya hay un pedido de 10 mesas de tipo nórdico. El gerente de producción quiere realizar la planeación de su producción semanal sabiendo que solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200 horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la utilidad para ambas mesas.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar utilidad de venta de producción.
X1: cantidad de mesas de tipo colonial a producir
X2: cantidad de mesas de tipo nórdico a producir
Restricciones:
Pedido: 10 mesas nórdico
450 horas de construcción
200 horas de barnizado. Venta:
Colonial….. $20
Nórdica.…..$22
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20 Investigación de Operaciones I
Concepto Colonial Nórdica Disponible Pedido 0 1 ≥ 10 Construcción 6 8 ≤ 450 Barnizado 5 2 ≤ 200 Ventas $20 $22
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 20x1 + 22x2
Sujeto a:
+ x2 ≥ 10
6x1 + 8x2 ≤ 450
5x1 + 2x2 ≤ 200
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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21 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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22 Investigación de Operaciones I
8. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programar su producción semanal. Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días después de entregada. Actualmente está armando dos artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben ser armados y probados por personal especializado. La empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún caso deben superar en más de 150 al número de equipos T14. En el cuadro se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, expresado en minutos, así como la disponibilidad de tiempo.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Minimizar costos mensuales.
Restricciones:
Pedido: T 14 + B2 ≥ 100 mínimo de equipos Mínimo de B2: B ≥ ¼ T mínimo de equipos B2 Máximo de B2: B ≤ T + 150 máximo de equipos B2
Armado:10 T + 12 B ≤ 55 (60) minutos
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23 Investigación de Operaciones I
Pruebas: 30 T + 6 B ≤ 100 (60) minutos
Costos:
T14….. $100
B2….…..$60
Equipos T14 B2 Disponible Pedido 1 1 ≥ 100 Mínimo de B 1/4 1 ≥ 0 Máximo de B -1 1 ≤150 Armados 10 min 12 min ≤ 3,300 min Pruebas 30 min 6 min ≤ 6,000 min Costos $100 $60
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Min. Z= 100x1 + 60x2
Sujeto a:
x1 + x2 ≥ 100
-1/4 x1 + x2 ≥ 0
-x1 + x2 ≤ 150
10x1 + 12 x2 ≤ 3,300
30x1 + 6 x2 ≤ 6,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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24 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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25 Investigación de Operaciones I
9. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio total.
Restricciones:
150 kg de harina
22 kg de azúcar
27.5 kg de mantequilla
Dos tipos de pasteles P y Q
Requerimientos de P
3 kg de harina
1 kg de azúcar
1 kg de mantequilla
Requerimientos de Q
6 kg de harina
0.5 kg de azúcar
1 kg de mantequilla
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26 Investigación de Operaciones I
Beneficio:
P….. $20
Q……$30
Equipos P Q Disponible Harina 3 6 ≤ 150 Azúcar 1 0.5 ≤22 Mantequilla 1 1 ≤27.5 Beneficio $20 $30
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 20x1 + 30x2
Sujeto a:
3x1 + 6x2 ≤ 150
x1 + ½ x2 ≤ 22
x1 + x2 ≤ 27.5
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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27 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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28 Investigación de Operaciones I
10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a $100 y el modelo Viz a 120, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar las ventas mensual?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas mensuales.
Restricciones:
Moldeado y pintura 1500 horas como máximo
Montaje 600 horas como máximo.
Dos tipos de sombreros Bae y Viz
Requerimientos de Bae
2 horas de moldeado
3 horas de pintura
1 hora de montaje
Requerimientos de Viz
3 horas de moldeado
2 horas de pintura
1 hora de montaje
Ventas:
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29 Investigación de Operaciones I
Bae…. $100
Viz……$120
Equipos Bae Viz Disponible Moldeado 2 3 ≤ 1500 Pintura 3 2 ≤1500 Montaje 1 1 ≤600 Ventas $100 $120
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 100x1 + 120x2
Sujeto a:
2x1 + 3x2 ≤ 1500
3x1 + 2 x2 ≤ 1500
x1 + x2 ≤ 600
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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30 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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31 Investigación de Operaciones I
11. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.
Halla el número de unidades de cada producto que se deben
producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada
unidad de vino deja un beneficio de $80. y cada unidad de vinagre
de $40 .
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio.
X1= unidades de vino.
X2= unidades de vinagre.
Restricciones:
El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que
la producción de vinagre más cuatro unidades.
El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la
producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18
unidades.
Ventas:
Vino…. $80
Vinagre……$40
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32 Investigación de Operaciones I
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 80x1 + 40x2
Sujeto a:
2x1 - x2 ≤ 4
4x1 + 3 x2 ≤ 18
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Productos Vino Vinagre Disponible Producción vino 2 -1 ≤4 Producción vinagre
4 3 ≤18
Ventas $80 $40
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33 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo:
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34 Investigación de Operaciones I
12. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de $50 y el de la colonia B es $60. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio.
X1= # de litros de colonia A
X2= # de colonia B
Restricciones:
Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de
50 litros de alcohol.
Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la
colonia B
Ventas:
Colonia A…. $50
Colonia B……$60
Productos Colonia A Colonia B Disponible Jazmín 15% 30% ≤60 Alcohol 20% 15% ≤50 Producción máxima B
0 1 ≤150
Ventas $50 $60
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35 Investigación de Operaciones I
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O Max. Z= 50x1 + 60x2
Sujeto a:
0.15 x1 + 0.3 x2 ≤ 60
0.2 x1 + 0.15 x2 ≤ 50
X2 ≤ 150
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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36 Investigación de Operaciones I
3) Solución del modelo: