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UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FACULTAD DE EDUCACIÓN
Departamento de Pedagogía
HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN
DEL PENSAMIENTO LÓGICO-FORMAL EN EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
- 2010 -
TESIS DOCTORAL Presentada por:
Jesús Cerda Quintero
Dirigida por:
Jesús A. Meneses Villagrá María Fernández Hawrylak
Universidad de Burgos
UNIVERSIDAD DE BURGOS FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
Facultad de Humanidades y Educación c/ Villadiego, s/n 09001 Burgos Teléfono: 947 258 750 Fax: 947 258 723 Correo electrónico: [email protected]
Jesús A. Meneses Villagrá, Profesor del Área de Conocimiento de Didáctica de las Ciencias Experimentales
adscrita al Departamento de Didácticas Específicas, y
María Fernández Hawrylak, Profesora del Área de Conocimiento de Didáctica y Organización Escolar
adscrita al Departamento de Ciencias de la Educación
de la Facultad de Humanidades y Educación, de la Universidad de Burgos
HACEN CONSTAR:
Que el presente trabajo de investigación:
Hacia un Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal
en el aprendizaje de las matemáticas
Que presenta D. Jesús Cerda Quintero para aspirar al grado de Doctor, ha sido realizado bajo
nuestra dirección.
A efectos de su presentación ante el Tribunal correspondiente en la Universidad de
Valladolid, lo firmamos en Burgos a dos de febrero de dos mil diez.
DEDICATORIA
A Dios todopoderoso dueño de la creación y sabiduría,
quien es el guía hacia la comprensión de todo conocimiento.
A mi querida esposa María Esmeralda,
a mis hijas Isabella del Carmen y Angélica Sofía,
su amor me impulsa cada día
a ser mejor ser humano, mejor esposo y mejor padre.
AGRADECIMIENTOS
A nuestro Dios, que por su amor cada día somos mejores seres humanos para
vivir en armonía y paz universal.
Al Programa Ciencias de la Educación de la Universidad Experimental de los
Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” al que estoy adscrito como profesor, por
apoyarme en todo momento en mi formación profesional y académica.
De de la misma forma agradezco el apoyo y paciencia del Departamento de
Pedagogía de la Universidad de Valladolid por orientarme y guiarme en la
construcción y finalización de este objetivo de gran significado en mi vida personal y
profesional, muy especialmente al Dr. Don Martín Rodríguez Rojo por su invaluable
dedicación.
A los Doctores Dña. María Fernández Hawrylak y D. Jesús Meneses Villagrá
por su valiosa orientación, tutoría, esfuerzo y paciencia que entregaron para dirigirme
hacia la culminación de este difícil trabajo de Tesis Doctoral. Para ustedes mi gran
admiración, respeto y reconocimiento.
A mis colegas profesores y compañeros de doctorado por su colaboración,
motivación y preocupación en la construcción del conocimiento de esta tesis
doctoral.
A los alumnos de la Carrera de Educación Integral por su participación y
colaboración para el desarrollo y logro de los objetivos de este trabajo de
investigación.
I
ÍNDICE
RESUMEN-ABSTRAC .............................................................................. 1
INTRODUCCIÓN GENERAL ............................................................... 3
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES
TEÓRICAS ...................................................................................................... 11
I.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................... 13
I.2. FORMULACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ........ 32
I.3. JUSTIFICACIÓN .......................................................................................... 33
I.4. LA UNELLEZ-BARINAS COMO CONTEXTO DE ESTUDIO ................ 35
I.4.1. Breve reseña histórica ........................................................................ 35
I.4.2. Programa de educación ...................................................................... 38
I.5. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 39
I.5.1. Antecedentes ...................................................................................... 39
I.5.2. Conclusiones ...................................................................................... 50
I.6. BASES TEÓRICAS ...................................................................................... 54
I.6.1. La psicología del aprendizaje y sus aportes a la Didáctica de la
Matemática: desde el conductismo hasta el constructivismo ............ 54
I.6.1.1. El conductismo o asociacionismo ......................................... 54
I.6.1.2. El neoconductismo ................................................................ 57
I.6.1.3. La escuela de la Gestalt ......................................................... 60
I.6.1.4. Epistemología genética de Jean Piaget .................................. 61
I.6.1.5. Aprendizaje por descubrimiento de Bruner ........................... 70
I.6.1.6. Aprendizaje significativo de David Ausubel ......................... 72
I.6.1.7. Teoría específica del aprendizaje matemático de Dienes ...... 77
I.6.1.8. Teoría de la zona del desarrollo próximo de lev Vygotsky ... 78
I.6.1.9. La transposición didáctica como teoría básica en la
epistemología de la Didáctica de la Matemática ................... 82
I.6.2. Conclusiones ...................................................................................... 84
II
CAPÍTULO II: MARCO METODOLÓGICO ..................................... 87 II.1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ........................................... 89
II.1.1. Complementariedad de métodos cuantitativos y cualitativos .......... 92
II.1.2. Estudio de casos ............................................................................... 93
II.1.3. Técnicas e instrumentos de investigación seleccionados ................. 96
II.1.3.1. La técnica de la observación ................................................ 98
II.1.3.2. La técnica de la entrevista .................................................... 102
II.1.3.3. Las pruebas de valoración de aprendizajes .......................... 105
II.1.4. Fiabilidad y validez .......................................................................... 106
II.1.4.1. La triangulación. ................................................................... 106
II.1.5. Población y muestra ......................................................................... 107
CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN 111 III.1. PRIMERA FASE DE INVESTIGACIÓN ................................................. 113
III.1.1. Descripción de la muestra: procedimiento ..................................... 114
III.1.2. Instrumentos de recolección de información .................................. 115
III.1.2.1. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias
de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos
de la asignatura Matemática General de la carrera de
Educación Integral .............................................................. 115
III.1.2.2. Pruebas de valoración de aprendizajes ............................... 118
III.1.2.3. Observación descriptiva en audio ....................................... 121
III.1.2.4. Cuestionario de opinión para determinar el grado de
actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza y
aprendizaje del sub-proyecto Matemática General de la carrera
de Educación Integral ........................................................................ 122
III.1.2.5. Entrevista semi-estructurada de los alumnos ...................... 125
III.1.2.6. Observación descriptiva en audio ....................................... 126
III.1.3. Triangulación de los datos .............................................................. 128
III.2. SEGUNDA FASE DE INVESTIGACIÓN ................................................ 130
III.3. TERCERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN: PUESTA EN PRÁCTICA
Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN ...... 131
III.3.1. Descripción de la muestra: procedimiento ..................................... 132
III.3.2. Instrumentos de recolección de información................................... 133
III.3.2.1. Observación descriptiva en audio ....................................... 133
III.3.2.2. Cuadernos de los alumnos .................................................. 133
III.3.2.3. Entrevista semi-estructurada de los alumnos ...................... 134
III
III.3.2.4. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias
de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos
de la asignatura Matemática General de la carrera de
Educación Integral .............................................................. 135
III.3.2.5. Cuestionario de opinión para determinar el grado de
actitud del alumno con relación al proceso de
enseñanza-aprendizaje del sub-proyecto Matemática
General de la carrera de Educación Integral ....................... 136
III.3.2.6. Pruebas de valoración de aprendizajes ............................... 136
III.3.2.7. Diarios de los alumnos ........................................................ 137
III.3.3. Triangulación de los datos .............................................................. 138
ANEXO III-1. Cuestionarios de opinión para determinar las estrategias de
aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la
asignatura Matemática General ................................................... 140
ANEXO III-2. Prueba de valoración de aprendizajes .......................................... 143
ANEXO III-3. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud
del alumno y el clima social del aula en el proceso didáctico
de la asignatura Matemática General............................................ 145
ANEXO III-4. Entrevista semi-estructurada de los alumnos .............................. 148
ANEXO III-5. Guiones de trabajo para el desarrollo de la propuesta didáctica . 149
CAPÍTULO IV: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE
DIAGNÓSTICO INICIAL .......................................................................... 153 IV.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO ................................................ 157
IV.1.1. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de opinión
para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los
alumnos en los contenidos de la asignatura Matemática General
de la carrera de Educación Integral ................................................. 157
IV.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase ................................................. 165
IV.1.3. Descripción, análisis e interpretación de los resultados de las
pruebas de valoración de aprendizajes ............................................ 175
IV.1.3.1. Análisis y reflexión sobre los resultados de la prueba
de valoración en cuanto al uso de estrategias de
aprendizaje ....................................................................... 175
IV
IV.1.3.2. Análisis y reflexión sobre la valoración de los
conocimientos matemáticos de los alumnos .................... 178
IV.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO .............................................. 186
IV.2.1. Resultados del cuestionario de opinión para determinar el grado
de actitud del alumno sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje
de la asignatura Matemática General de la carrera de Educación
Integral ............................................................................................ 186
IV.2.2. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase. ................................................. 192
IV.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas aplicadas
a los alumnos .................................................................................. 200
IV.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS ...................... 207
CAPÍTULO V: PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL
PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS ........................................................................................... 213
V.1. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA EN LA DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA. .......................................................................................... 215
V.2. OBJETIVOS DEL PROGRAMA ............................................................... 217
V.3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROGRAMA ............................. 219
V.3.1. Fundamentos epistemológicos y psicológicos ................................. 219
V.3.2. Pilares que configuran el Programa ................................................. 229
V.3.2.1. Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje
utilizado en el proceso didáctico de las matemáticas ........... 230
V.3.2.2. Aplicación del razonamiento inductivo para activar las
nociones matemáticas y conducir sucesivamente al
alumno hacia la conceptualización científica y formal
del conocimiento matemático .............................................. 233
V.3.2.3. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la
resolución de problemas que promuevan el razonamiento
deductivo y la comprensión de la estructura formal de los
contenidos matemáticos ....................................................... 234
V.3.2.4. El clima social del aula flexible y dinámico, analizado
desde la perspectiva de la interacción social entre profesor
y alumnos, mediante la comunicación y la participación .... 243
V
V.3.2.5. El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración
integral y equilibrada como fundamento para el crecimiento
académico, personal y socio-afectivo de los actores
del proceso didáctico de la matemática ................................ 247
V.4. FASES QUE ESTRUCTURAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA DEL
PROGRAMA ............................................................................................... 252
V.4.1. Fase de Exploración ......................................................................... 252
V.4.2. Fase de Presentación ........................................................................ 253
V.4.3. Fase de Valoración Cognitiva .......................................................... 254
V.4.4. Fase de Proyección .......................................................................... 255
V.5. CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL DIDÁCTICO ............................ 256
CAPÍTULO VI: DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE
SISTEMAS NUMÉRICOS ......................................................................... 259 VI.1. JUSTIFICACIÓN........................................................................................ 261
VI.2. OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD DIDÁCTICA .................. 263
VI.3. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ............................................................. 264
VI.4. SECUENCIA DIDÁCTICA SUGERIDA PARA EL DOCENTE ............ 265
VI.4.1. Fase de Exploración......................................................................... 267
VI.4.2. Fase de Presentación ....................................................................... 267
VI.4.3. Fase de Valoración Cognitiva ......................................................... 268
VI.4.4. Fase de Proyección ......................................................................... 268
VI.5. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN ........................................................ 270
VI.6. INSTRUCCIONES PARA EL ALUMNO EN EL MANEJO DE LA
UNIDAD DIDÁCTICA .............................................................................. 271
VI.7. GUÍA DE CONTENIDO ............................................................................ 272
VI.8. DESARROLLO DE CONTENIDOS ......................................................... 274
VI.8.1. Sistema de los Números Naturales ................................................. 274
VI.8.1.1. Fase de exploración ............................................................ 275
VI.8.1.2. Fase de valoración cognitiva ............................................... 276
VI.8.1.3. Fase de presentación ........................................................... 277
VI.8.1.3.1. Conceptos fundamentales. ................................. 277
VI.8.1.3.2. Operaciones con números naturales ................. 278
VI.8.1.4. Fase de proyección ............................................................. 295
VI.8.1.4.1. Sistema numérico ............................................. 299
VI.8.1.4.2. Números primos y compuestos ......................... 300
VI.8.1.4.3. Múltiplo de un número natural ......................... 300
VI
VI.8.1.4.4. Divisores, factores o sub-múltiplos de
un número natural ............................................. 300
VI.8.1.4.5. Números pares .................................................. 301
VI.8.1.4.6. Números impares .............................................. 301
VI.8.1.4.7. Máximo común divisor .................................... 301
VI.8.1.4.8. Mínimo común múltiplo ................................... 302
VI.8.2. Sistema de los Números Enteros .................................................... 303
VI.8.2.1. Fase de exploración ............................................................ 304
VI.8.2.2. Fase de presentación ........................................................... 304
VI.8.2.2.1. Conceptos fundamentales ................................. 305
VI.8.2.2.2. Operaciones con números enteros .................... 306
VI.8.3. Sistema de los Números Racionales ............................................... 315
VI.8.3.1. Fase de exploración ............................................................ 316
VI.8.3.2. Fase de presentación ........................................................... 317
VI.8.3.2.1. Conceptos fundamentales ................................. 317
VI.8.3.2.2. Operaciones con números racionales ............... 321
VI.8.4. Sistema de los Números Irracionales ............................................. 338
VI.8.4.1. Fase de exploración ............................................................ 338
VI.8.4.2. Fase de presentación ........................................................... 338
VI.8.4.2.1. Conceptos fundamentales ................................. 338
VI.8.4.2.2. Operaciones con radicales ................................ 341
VI.8.5. Sistema de los Números Reales ..................................................... 343
VI.8.5.1. Fase de exploración ............................................................ 343
VI.8.5.2. Fase de presentación ........................................................... 343
VI.8.5.2.1. Conceptos fundamentales ................................. 343
VI.8.5.2.2. Operaciones con números reales ...................... 344
VI.8.6. Bibliografía ..................................................................................... 346
CAPÍTULO VII: ANÁLISIS Y REFLEXIONES DE LOS
RESULTADOS DE LA TERCERA FASE: PUESTA EN
PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE
AUTORREGULACIÓN ............................................................................... 349 VII.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
DIMENSIÓN APRENDIZAJE MATEMÁTICO SIGNIFICATIVO ...... 353
VII.1.1. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase ................................................ 353
VII.1.1.1. Unidad didáctica I: Sistema de los Números Naturales .... 354
VII
VII.1.1.2. Unidad didáctica II: Sistema de los Números Enteros ...... 366
VII 1.1.3. Unidad didáctica III: Sistema de los Números Racionales 370
VII.1.1.4. Reflexiones sobre las sesiones de clase ............................. 378
VII.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de los diarios de los
alumnos sobre las sesiones de clase .............................................. 381
VII.1.3. Análisis y reflexión de los resultados de las actividades
realizadas en los cuadernos de los alumnos ................................... 384
VII.1.4. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de
estrategias de aprendizaje .............................................................. 388
VII.1.5. Análisis y reflexión de los resultados de la prueba de valoración
de conocimientos ........................................................................... 398
VII.1.5.1. Análisis y reflexión sobre los conocimientos matemáticos 399
VII.1.5.2. Análisis y reflexión sobre las estrategias de aprendizaje
aplicadas por los alumnos ................................................. 401
VII.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
DIMENSIÓN CLIMA SOCIAL Y ACTITUD DEL ALUMNO ............. 404
VII.2.1. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase ................................................ 404
VII.2.1.1 Reflexiones sobre las sesiones de clase .............................. 413
VII.2.2. Análisis y reflexión de los resultados de los diarios de los
alumnos sobre las sesiones de clase .............................................. 414
VII.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas ............... 417
VII.2.4. Análisis y reflexión de los resultados de los cuestionarios de
actitud-opinión del alumno ............................................................ 422
VII.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS ..................... 432
ANEXO VII-1. Transcripciones de las sesiones de clases .................................. 439
CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y
RECOMENDACIONES .............................................................................. 471 VIII.1. RESEÑA DE LA INVESTIGACIÓN ..................................................... 474
VIII.2. APORTES Y ASPECTOS ORIGINALES DE LA TESIS ...................... 477
VIII.3. PRINCIPALES RESULTADOS Y CONCLUSIONES .......................... 479
VIII.3.1. Primera fase: Diagnóstico ............................................................ 479
VIII.3.2. Segunda fase: Diseño y elaboración del Programa ...................... 486
VIII.3.3. Tercera fase: Puesta en práctica y evaluación del Programa. ....... 488
VIII.4. RECOMENDACIONES PARA TRABAJO FUTURO .......................... 496
VIII
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................. 499
1
RESUMEN
HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO LÓGICO-FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Partiendo desde la integración de las perspectivas psicológica y sociológica en las
dimensiones del aprendizaje matemático, clima social del aula y actitud del alumno,
abordamos el problema de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas
en el contexto universitario. Aplicando la investigación cualitativa y el estudio de
caso evaluativo como guía en el diseño de la investigación, en su primera fase de
estudio los resultados del diagnóstico revelaron que el problema del aprendizaje de la
Matemática, además de tener su origen en las formas o procedimientos de enseñanza,
aprendizaje y evaluación tradicionales, se explica también por las deficiencias de los
alumnos en los conocimientos matemáticos previos, en la organización, elaboración
y comunicación de la información y en las dificultades de estrategias para la
resolución de ejercicios y problemas. Además, la relación entre la actitud y el
rendimiento no fue muy estrecha, es decir, aunque se observó en el grupo una buena
actitud, no hubo un dominio claro de los aprendizajes matemáticos de los contenidos
relacionados con los sistemas numéricos. Así mismo, las condiciones críticas en las
que se encuentra el aprendizaje matemático de una mayoría importante de los
estudiantes no están a la par o no guardan una relación directa con del clima social
óptimo que encontramos.
En una segunda fase de la investigación, de acuerdo con las conclusiones del
diagnóstico, se elaboró el Programa de Autorregulación del Pensamiento Lógico-Formal para el Aprendizaje de las Matemáticas como una alternativa para dar
respuestas a los problemas formulados y su posterior aplicación y evaluación en una
tercera fase de la investigación. De acuerdo al análisis y reflexión de los resultados
obtenidos llegamos a las siguientes conclusiones:los estudiantes no obtuvieron una
valoración cuantitativa y cognoscitiva contundente en la construcción científica de
los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, debido principalmente al bajo
nivel de conocimientos básicos que estos poseen; sin embargo, nuestra propuesta
didáctica representó otra guía orientadora para el docente en su toma de decisiones
para cumplir sus diferentes funciones en el proceso didáctico y lograr conjugar y
equilibrar las dimensiones del aprendizaje matemático, el clima social del aula y la
actitud del alumno, sin las cuales sería muy complicado analizar y reorientar la
práctica pedagógica de esta disciplina científica desde una forma integradora, con
una perspectiva más humana y realista. Los alumnos pudieron evolucionar
paulatinamente, de manera cualitativa, hacia el logro de aprendizajes matemáticos
significativos en un lapso de tiempo que consideramos relativamente corto con
relación a los resultados del diagnóstico. Así mismo, organizaron, estructuraron y
discriminaron de forma correcta los datos de la mayoría de los problemas propuestos
durante el desarrollo de la unidad de sistemas numéricos, lo cual originó un cambio
progresivo en su actitud hacia los contenidos de la unidad didáctica de los sistemas
numéricos, gracias al proceso didáctico desarrollado por el docente-investigador y,
de las matemáticas en forma general, además de producirse resultados satisfactorios
en la dimensión del clima social del aula.
2
ABSTRAC
TOWARDS A SELF-REGULATION PROGRAM FOR THE LOGICAL-FORMAL THINKING IN MATHEMATICAL LEARNING
Starting from the integration of psychological and sociological perspectives on the
dimensions of mathematical learning, classroom social climate and student’s attitude,
we discuss the problem of teaching, learning and assessment of mathematics in the
university context. Using qualitative research and evaluative case study to guide the
research design; in its First Phase, diagnostic study results revealed that the problem
of learning of mathematics as well as having their origin in teaching methods or
procedures, learning and traditional assessment, is also explained by the students'
deficiency in previous mathematical knowledge, in the organization, processing and
communication of information and the strategy difficulties for solving exercises and
problems. Moreover, the relationship between attitude and performance was not very
close, that is, although it was noted in the group a good attitude, there was no clear
dominance of the mathematical learning of content related to number systems.
Likewise, the critical conditions in which mathematical learning is a significant
majority of students are not at par or not directly relevant to the social climate
optimum that was found in the study.
In a Second Phase of the research, according to the findings of the diagnosis, the
Self-Regulation Program for Logical-Formal thinking in Mathematical Learning was
developed as an alternative to provide answers to the problems raised and its
subsequent implementation and evaluation third phase of the investigation.
According to analysis and reflection of the results, the following conclusions were
drawn : students did not obtain a cognitive and quantitative assessment decisively in
the scientific construction of the mathematical content of number systems, mainly
due to the student’s low level of basic knowledge; however, our didactic proposal
represented another guide for the teacher in making decisions to meet their different
roles in the learning process and achieve, reconcile and balance the dimensions of
mathematics learning, classroom social climate and student’s attitude, without which
it would be very difficult to analyze and redirect the pedagogical practice of the
discipline from an inclusive way, with a more human and realistic perspective.
Students were able to evolve gradually, in a qualitative manner, towards achieving
significant mathematical learning in a considerable short time period compared with
the diagnostic results. Students also, organized, structured and correctly
discriminated data from most of the problems set during the development of
numerical systems unit, which resulted in a gradual change in their attitude toward
the contents of the teaching unit of number systems thanks to the learning process
developed by the teacher-researcher; and mathematics in general, and produced
satisfactory results in the social dimension of classroom climate.
INTRODUCCIÓN GENERAL
5
INTRODUCCIÓN GENERAL
En las últimas décadas del siglo XX y en el nuevo milenio, la Didáctica de la
Matemática como disciplina científica ha generado un gran interés y preocupación
por innumerables investigadores para desarrollar conocimientos en la reorientación
de la práctica educativa y la consolidación de los procesos de enseñanza, aprendizaje
y evaluación en el área de la Matemática. No obstante, las implicaciones que se han
derivado de las reflexiones de la investigación sobre el docente, el alumno, el
contexto social, los centros educativos y el currículo son cada vez más complejas,
obligándonos a clasificarlas en diferentes problemas para realizar un análisis más
óptimo de los mismos.
Producto de esta complejidad, la Didáctica de la Matemática tiene un carácter
más dinámico, versátil, polifuncional y multivariable desde el punto de vista social,
psicológico y epistemológico, para determinar los aspectos más fundamentales que
nos sitúen en el camino de una mejor formación académica de los alumnos,
reestructuración de los paradigmas de enseñanza de los profesores de Matemática y
lograr un acercamiento más próximo de la humanidad con la Matemática, ciencia que
ha representado una gran importancia histórica en la evolución y progreso científico,
tecnológico, cultural y humanístico de la sociedad mundial.
Nuestra investigación se ha desarrollado partiendo desde el problema de la
enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática en el contexto universitario.
Se abordan las dimensiones del aprendizaje matemático y la actitud del alumno
desde una directriz psicológica y, la dimensión del clima social del aula, desde una
óptica sociológica, para establecer un estudio completo y más aproximado de la
realidad del contexto social de nuestra universidad, en donde los alumnos presentan
una serie de obstáculos y debilidades para lograr los aprendizaje matemáticos
necesarios para su formación académica y profesional.
La situación crítica del aprendizaje de la Matemática se manifiesta en los
diferentes niveles y modalidades de nuestro sistema educativo. Nosotros nos hemos
concentrado solamente en el nivel universitario y seleccionamos para este estudio,
como contexto social, a la Universidad Nacional Experimental Ezequiel Zamora de
la ciudad de Barinas (Venezuela), cuyos actores principales son los alumnos de la
asignatura Matemática general de la Carrera Educación Integral.
6
Hemos observado en estos alumnos graves deficiencias cognitivas para
abordar los aprendizajes matemáticos contemplados en el currículo de su carrera.
Disponen de limitadas habilidades para el razonamiento, tal vez por no tener
estrategias de aprendizaje precisas en la comprensión y comunicación de la
información. La tarea de resolver ejercicios y problemas es casi imposible para ellos,
implicando una actitud cada vez más negativa hacia el aprendizaje. Así mismo, el
clima social del aula no es apropiado, generalmente no contribuye a una
comunicación fluida entre los alumnos y profesores. Todas esta variables que
intervienen en el aprendizaje del alumno, debe ser tenidas en cuenta a la hora de
planificar un adecuado proceso didáctico para el aprendizaje de la Matemática.
Estas reflexiones del problema del aprendizaje, enseñanza y evaluación de la
Matemática en nuestro contexto, nos motivó a la realización de un análisis integrador
de l tres dimensiones de estudio en el desarrollo de nuestra investigación. El
principal reto de esta tesis doctoral es el abordaje de forma simultánea del
aprendizaje matemático, actitud del alumno y clima social del aula, y su consecuente
contribución al cambio de los paradigmas que propulsarán una verdadera
estructuración de nuestra práctica pedagógica en la asignatura de Matemática
General.
Como consecuencia directa de nuestro análisis y reflexión de los resultados
obtenidos en nuestra investigación y para dar una respuesta concreta al problema,
construimos un modelo teórico que presentamos como una propuesta didáctica a la
cual hemos denominado “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal en el aprendizaje de las Matemáticas”, fundamentado psicológicamente
en: el constructivismo psicogénetico de Jean Piaget, David Ausubel, Jerome Brunner,
en el constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, el paradigma falibilista de
Pierce, y epistemológicamente en: la falsabilidad (Popper), la tesis de los paradigmas
de Kuhn (Paradigma socio-psicológico) y de los programas de investigación de
Lakatos. La finalidad del Programa consiste en fomentar en los alumnos el proceso
de aprender a aprender y, en el docente, enseñar a pensar bajo un clima social del
aula dinámico, flexible, comunicativo y participativo que contribuya a generar en los
alumnos confianza y actitud positiva hacia el proceso didáctico, el profesor y los
contenidos matemáticos.
Asimismo, la propuesta didáctica fue aplicada y evaluada tomando la unidad
de los sistemas numéricos, con el propósito de obtener resultados favorables en la
construcción de las reflexiones y conclusiones finales de la investigación y en la
7
orientación de la toma de decisiones en la reconstrucción de la práctica pedagógica
de la asignatura Matemática general.
Por lo tanto, para orientarnos en la búsqueda de las respuestas del problema
de investigación de nuestra tesis doctoral nos formulamos las siguientes
interrogantes:
- ¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan generalmente los alumnos para
abordar los conocimientos matemáticos?
- ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos previos que los alumnos
poseen para iniciar la asignatura Matemática General?
- ¿Cuál es la actitud general que presentan los alumnos ante las
matemáticas?
- ¿Cómo se desarrolla la comunicación y participación de los alumnos
dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje?
- ¿En que medida afecta el clima social del aula en el aprendizaje
matemático de los alumnos?
- ¿Podemos diseñar un programa de enseñanza de estrategias de
aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal que
logre en los alumnos de la asignatura Matemática General un aprendizaje
significativo de los contenidos relacionados a los sistemas numéricos?
- ¿Cuáles serían los principales lineamientos que estructurarían este
programa para lograr un aprendizaje matemático significativo en los
alumnos de la asignatura Matemática General?
- ¿Qué aspectos fundamentales debe tener este programa para crear en el
aula de clase un ambiente social caracterizado por la participación y
comunicación de los alumnos en el proceso de enseñanza, aprendizaje y
evaluación de las matemáticas?
- ¿En qué grado afectan la aplicación de este programa al aprendizaje
significativo, clima social del aula y actitud general del alumnado?
8
- ¿Cuáles serían los resultados que produciría la puesta en práctica de este
programa en el proceso didáctico de la asignatura Matemática General y
en el aprendizaje significativo de los alumnos?
Este planteamiento derivó una serie de aspectos teóricos y prácticos con los
cuales construimos y estructuramos la investigación en ocho capítulos.
En el primer capítulo explicamos el problema objeto de estudio, destacando
la trascendencia que tiene la Matemática en el desarrollo integral de la humanidad y
la gran necesidad que representa su estudio en todos los niveles y modalidades del
sistema educativo. Abordamos el problema de la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática desde el marco general hasta su delimitación en nuestro contexto social
universitario, para finalmente precisar algunas alternativas de cambio, dentro de las
cuales propusimos diseñar, tomando como eje vertebrador las aportaciones de las
teorías de la psicología del aprendizaje desde la perspectiva del constructivismo
psicogénético y sociocultural, un programa de estrategias de enseñanza y aprendizaje
cuyo propósito es servir de material didáctico para que el alumno que ingresa a la
Universidad logre superar las deficiencias que posee en el pensamiento formal y
lograr un aprendizaje matemático significativo.
En el segundo capítulo realizamos un acercamiento teórico de los aspectos
relativos al marco metodológico de la investigación, para seleccionar los métodos y
técnicas de investigación que más se ajustan al problema de estudio y a nuestro
diseño de investigación. Abordamos la investigación cualitativa como enfoque más
apropiado para dar respuesta a los interrogantes formulados en el capítulo anterior.
En el tercer capítulo presentamos el procedimiento seguido en la
investigación, que estructuramos en tres fases, denominadas: a) fase diagnóstica, b)
fase de elaboración del programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal
en el aprendizaje de las matemáticas y c) fase de puesta en práctica y evaluación del
programa, describiendo también las dimensiones de estudio y los instrumentos
aplicados para la recolección de información durante el trabajo de campo.
El cuarto capítulo lo dedicamos a la presentación, análisis y reflexión de los
resultados obtenidos en la primera fase diagnóstica de la investigación, con la
finalidad de tener una primera aproximación de la realidad del problema del contexto
de estudio que nos guiara hacia las respuestas de los primeros interrogantes.
9
En el quinto capítulo iniciamos la explicación epistemológica y psicológica
bajo las cuales se fundamentó la construcción teórica del Programa de
Autorregulación del Pensamiento Lógico-formal en el Aprendizaje de las
matemáticas, el cual lo definimos como una propuesta didáctica que garantizara la
superación de las dificultades de los alumnos en el aprendizaje de los contenidos
relativos a los sistemas numéricos. Destacamos en el programa los siguientes pilares
que constituyen su guía orientadora para la construcción y consolidación del
aprendizaje significativo de las matemáticas:
- Comprensión y aplicación progresiva del lenguaje utilizado en el proceso
didáctico de las matemáticas.
- Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones
matemáticas y conducir sucesivamente al alumno hacia la
conceptualización científica y formal del conocimiento matemático.
- Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de
problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión de
la estructura formal de los contenidos matemáticos.
- El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la
perspectiva de la interacción social entre profesor y alumnos, mediante la
comunicación y la participación.
- El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y
equilibrada como fundamento para el crecimiento académico, personal y
socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática.
El sexto capítulo presenta el diseño de la unidad didáctica sobre sistemas
numéricos, el cual constituye la concreción del programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, el cual se
constituyó como el material didáctico central para el alumno durante el desarrollo de
las sesiones de clases.
En el capítulo séptimo nos detenemos a presentar, analizar y realizar el
proceso de reflexión de los resultados obtenidos en la tercera fase de la investigación,
durante la cual se aplicó y evaluó el programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, en función del aprendizaje
significativo logrado por los alumnos, el clima social del aula y la actitud del
10
alumno, estructurando el análisis y reflexión a través de las dimensiones de estudio y
aplicando la técnica de la triangulación para atribuir validez a los datos obtenidos con
los diferentes instrumentos de recolección de información.
El octavo y último capítulo contiene las conclusiones finales de la tesis
doctoral, producto del análisis y reflexiones efectuadas sobre los resultados que
obtuvimos en las tres fases del estudio, a luz de las dimensiones de estudio, las
aportaciones teóricas y los objetivos de la investigación. Asimismo, decidimos
incluir los aportes y recomendaciones más significativos que se derivaron de todo el
proceso de investigación realizado, para contribuir en el desarrollo de la Didáctica de
la Matemática.
Dedicamos un apartado específico para la presentación de las referencias
bibliográficas indispensables para atribuirle el fundamento epistemológico,
psicológico, sociológico, y matemático a la investigación, además de lograr
profundizar sobre la variedad de aspectos que integran el tema de estudio
seleccionado en nuestra tesis, actividad compleja que nos permitió desarrollar con
fluidez y conciencia las habilidades necesarias para desarrollar la actividad
investigadora. Por último, consideramos de mucha importancia incluir una sección
para los anexos dentro de los cuales se destacan los instrumentos de recolección de
información.
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES
TEÓRICAS
13
CAPÍTULO I:
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES TEÓRICAS
Nuestro propósito en este capítulo es exponer el problema objeto de estudio,
los objetivos que orientan el desarrollo de esta investigación y describir el contexto
actual donde se enmarca el presente trabajo: la Universidad Nacional Experimental
de los Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ-Barinas), dentro de la
especialidad de Matemática, en la carrera o titulación de Educación Integral.
I.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El análisis que se ha realizado del proceso histórico de la humanidad, ha
revelado la existencia de una relación indisociable entre su desarrollo económico,
social, político, científico, tecnológico y cultural, y el proceso evolutivo del intelecto
humano que ha sido destinado principalmente, a superar los desafíos que se
presentan en el momento de obtener los recursos esenciales para el disfrute de una
mejor calidad de vida que beneficie a la mayor parte de la población posible de un
grupo cultural específico, es decir, el fin último ha consistido siempre en lograr vivir
en un ambiente, en donde las sociedades puedan desenvolverse con equilibrio y
armonía.
Tal como lo señala Delors (1996:75), “esos avances se deben ante todo a la
capacidad del ser humano de dominar y organizar su entorno en función de sus
necesidades, es decir, a la ciencia y a la educación, motores fundamentales del
progreso económico”, por su parte el Director General de la UNESCO, resalta la
gran importancia de la formación educativa en ese proceso de desarrollo humano
integral al que todas las sociedades aspiran, al expresar que “el desarrollo social y
económico en nuestro universo moderno, industrializado y mundializado es
imposible sin una mano de obra competente y formada. El primer paso para crear
esas capacidades humanas es la educación” (Matsuura, 2006).
Sin embargo, en el logro de este propósito unas sociedades han tenido un
nivel de éxito más elevado que otras, puesto que sus diferencias en la capacidad
tecnológica, científica y humanística están muy marcadas, por ello, a estas
sociedades se les ha etiquetado de culturas desarrolladas o industrializadas en
contraposición con las subdesarrolladas, las cuales, por su escasa formación
14
científica han quedado en un estado de dependencia para con las otras, por lo que se
acentúa aún más su atraso en su evolución como sociedades humanas productivas y
consolidadas.
Es evidente que los países pertenecientes a estas llamadas sociedades
industrializadas o del primer mundo, dentro de los que destacan, Estados Unidos,
Inglaterra, Alemania, Japón, Francia, España, Italia, Rusia, entre otros, han logrado
alcanzar estos elevados niveles científicos, tecnológicos y humanísticos
principalmente a través de la educación, cuya finalidad esencial es dirigir y transmitir
los elementos que determinan una cultura socializada en función de las necesidades
del individuo para reorientarlas a través de unas actitudes y aptitudes que le permitan
incorporarse como un ser humano útil a esa sociedad que lo requiere para perpetuarse
y desarrollarse. Según Delors (1996:13) “frente a los numerosos desafíos del
porvenir, la educación constituye un instrumento indispensable para que la
humanidad pueda progresar hacia los ideales de paz, libertad y justicia social”.
Además, los sistemas educativos de estos países industrializados, como los
mencionados anteriormente, deben su operatividad, fundamentalmente, a sus
estructuras eficaces y eficientes en la obtención de la excelencia del recurso humano
egresado de estas instituciones educativas, situación que es contraria, en algunos
casos, en países subdesarrollados o en vías de desarrollo como algunos países
africanos y latinoamericanos donde los problemas y deficiencias educativas son
innumerables, con lo cual, se ha originado una dependencia económica con niveles
cada vez más acentuados, según Chung (1996:247), “En numerosos países de África
sólo entre el 4 y el 5% de los niños en edad de seguir estudios secundarios tienen
posibilidad de hacerlo. En la mayor parte de esos países, menos del 1% del grupo de
edad correspondiente tiene acceso a alguna forma de enseñanza superior, frente a
un porcentaje que oscila entre el 25% y el 75% en los países industrializados”.
Esta descripción del panorama educativo que ha venido caracterizando a estos
países, sin olvidar que en todo esto tiene mucho que ver el fenómeno de la
mundialización o globalización donde el capitalismo salvaje ha obstaculizado el
ascenso socio-económico de un 90% de la población acentuando la brecha entre ricos
y pobres, está creando una insensibilidad humana donde “más de 20 por ciento de la
humanidad vive una marginación rayana en la más elemental supervivencia; el 70
por ciento que le sigue no ve el futuro con esperanza, y sólo un 10 por ciento goza de
oportunidades vitales cada vez mayores” (Dahrendorf, 1997:10). Esta situación ha
llevado a la Comisión Internacional sobre la educación para el siglo XXI a
reflexionar sobre lo ocurrido desde finales del siglo pasado, “caracterizado por el
ruido y la furia tanto como por los progresos económicos y científicos –por lo demás
15
repartidos desigualmente–, es imperativo que todos lo que estén investidos de alguna
responsabilidad presten atención a los objetivos y a los medios de la educación”
(Delors, 1996:14).
Podría decirse que la educación como mecanismo para superar el estatus
social del hombre está siendo a su vez obstaculizada por las mismas circunstancias
socio- económicas en las que vive; cómo se espera que un padre de familia, si es que
éste existe, que apenas logra ganar el dinero suficiente para la alimentación de sus
hijos, pueda ofrecerles una educación aceptable en términos de calidad y cantidad
para su completa formación en una sociedad con estas características, es por esto que
“los medios económicos de que dispone una familia, junto con su capital cultural y
social, influyen poderosamente en las posibilidades educativas de sus hijos”
(Marchesi & Martín, 1998:220).
Esta situación es producida parcial o totalmente por las políticas educativas
que aplican estas naciones sumergidas en los estados de pobreza más críticas del
mundo, las cuales son establecidas por sus gobiernos, no de acuerdo a las realidades
particulares de cada sociedad, sino para satisfacer las directrices económicas de
organismos financieros internacionales, dentro de los que se destacan el Banco
Mundial y Banco Interamericano de Desarrollo; como consecuencia el modelo
educativo depende de las condiciones económicas que impone el estado (Moya,
1998:3).
En Venezuela, la educación tiene dentro de sus finalidades contribuir “a la
formación y capacitación de los equipos humanos necesarios para el desarrollo del
país y la promoción de esfuerzos creadores del pueblo venezolano hacia el logro de
su desarrollo integral, autónomo e independiente” (Ley Orgánica de Educación Art.
3), sin embargo, esta meta dista mucho de la realidad educativa existente, puesto que
se observa una serie de contradicciones en el ámbito de lo que se espera lograr y
producir, además, Venezuela no escapa de la situación que se vive en Latinoamérica
y el Caribe, donde la educación atraviesa una crisis de magnitudes considerables. De
acuerdo con Puryear (1998:4) “la mayoría de las escuelas no proveen una educación
de buena calidad”, y según Amaro (2000:7) “En Venezuela, pasan de dos millones
los analfabetas, unos tres millones de jóvenes no están incorporados al sistema
educativo, y el 54% se retira antes de concluir la educación básica. Para una nación
rica en recursos naturales y una población de 23 millones esto no es sino el producto
de una perversa inconsciencia política”.
16
Aunque la investigación educativa ha realizado grandes esfuerzos en la
búsqueda de alternativas concretas de solución para los problemas variados en la
enseñanza, aprendizaje y evaluación, las deficiencias aún se mantienen,
principalmente debido a que las nuevas teorías que se originan como producto de la
investigación educativa se aplican en contextos diferentes, pensando erróneamente
que el resultado efectivo que se produjo en un contexto particular servirá
óptimamente en otro contexto donde la realidad está caracterizada por elementos
muy distintos.
Dentro de los contenidos programáticos que se imparten en los niveles y
modalidades de los sistemas educativos, tienen una fundamental importancia las
ciencias exactas, especialmente la Matemática, la cual representa para el hombre una
ayuda para fomentar sus conocimientos, habilidades y destrezas que le permitan
desenvolverse con éxito en situaciones problemáticas de su entorno bio-psico-social.
Esto significa que existe una íntima relación entre esta ciencia y el desarrollo de las
sociedades, pues “se puede observar que los países que comienzan a gozar de
importantes resurgimientos culturales, se hacen cada vez más fuertes en
Matemática” (Jiménez, 1999:127), y también se sostiene que “las matemáticas son
una parte esencial de la tecnología material e inmaterial y de la infra-estructura
social en un sentido general. Contribuyen a dar forma a la sociedad, y lo hacen en
un grado creciente” (Niss, 1996:28).
En Venezuela se da mucha importancia al aprendizaje de las matemáticas, de
este modo, desde la Educación Básica se considera a esta área de conocimiento “Un
medio para el mejor entendimiento del individuo, su realidad y sus relaciones con
sus semejantes. En tal sentido, es una herramienta más en el proceso de construirnos
a nosotros mismos, de prepararnos para la vida en sociedad y poder generar riqueza
(entendida en un sentido amplio: económico, social, humano)” (Ministerio de
Educación, 1997:119).
La Matemática es una disciplina antigua y por lo tanto adquiere un carácter
sumamente interdisciplinario, “es una ciencia intensamente dinámica y cambiante.
Todo esto sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una
realidad de abordaje sencillo” (Briceño, 2005:3). Esta ciencia pura, se ha constituido
como la base de carreras como ingeniería, física, química, biología o arquitectura
entre otras, y sirve de apoyo a otras áreas fundamentales de las ciencias sociales.
Como afirma Jiménez (1999:27): “Bastaría con revisar los programas de estudio de
universidades alrededor del mundo para observar que la enseñanza de la
Matemática ha incrementado sus contenidos e, incluso, novedosas ramas de la
17
Matemática que tiempos atrás ni siquiera se soñaba en algunas disciplinas
aplicadas, son ahora parte integrante primordial de sus planes de estudio”.
Por otro lado López & Moreno (1997:1), sostienen también que “en todos los
países del mundo, las Matemáticas y las ciencias son una parte importante del
currículo escolar y se consideran materias esenciales para la formación de los
jóvenes. Esto es así porque ambas materias son un pilar para la integración del
individuo en un mundo cada vez más tecnificado. De igual manera, el estudio de las
Matemáticas y las Ciencias es considerado como un medio para desarrollar en el
individuo hábitos de razonamiento riguroso y crítico”.
Se ha venido observando que tanto alumnos como profesores presentan
diversos problemas con relación a su enseñanza, aprendizaje y evaluación en todos
los niveles y modalidades del sistema educativo, además, la mayoría de las personas
generalmente la consideran como una disciplina muy rigurosa, caracterizada por el
rechazo y la fobia. Así, autores como Ernest (2000:10) señalan que “muchas
personas asocian las matemáticas con la ansiedad y el fracaso. En una encuesta
realizada por Brigid Sewel para la agencia Crockcroft Inquiry acerca de las
actitudes de los adultos con la aritmética, se preguntó a una muestra de adultos
tomada en la calle si podían contestar algunas preguntas. La mitad de ellos se
negaron a contestar muchas de las preguntas cuando supieron que la encuesta
estaba relacionada con las matemáticas e incluso mostraron actitudes negativas,
tales como la fobia a las matemáticas”.
Cabe señalar que este fenómeno ya goza de mucha relevancia dentro de los
estudios pedagógicos de vanguardia “si pensamos en la escuela pitagórica, la
enseñanza de las matemáticas organizadas empezó, al menos, hace 2.600 años.
Desde entonces se considera como uno de los estudios más importantes de cualquier
sistema educativo. En general, el idioma materno y las matemáticas siempre son los
estudios básicos” (Szigueti, 2005:1); su necesidad, se intensifica en países
subdesarrollados, y particularmente en algunos latinoamericanos.
En el caso venezolano, la vigésima primera Olimpiada de Matemática
realizada en 1996, ofrece un panorama inicial de esta situación. En el concurso, de
los 37.940 alumnos participantes, se clasificaron solamente 3.394, es decir, apenas el
9% aproximadamente aprobó, mientras que el 91% no logró alcanzar la calificación
mínima aprobatoria. En el nivel 1 que comprende el noveno grado, el promedio fue
de 6,83 puntos, y en el nivel 2, que comprende el segundo año de Educación Media y
Diversificada y Profesional, fue de 7,74 puntos; esto en una escala de 1 a 20 puntos.
18
Los resultados obtenidos en las Pruebas de Aptitud Académica que se aplican
para el ingreso de los estudiantes a la Educación Superior, bajo la coordinación de la
Oficina de Planificación del Sector Universitario (O.P.S.U.) no son tampoco
óptimos. De acuerdo a la OPSU-Barinas el promedio de los puntajes obtenidos a
nivel nacional en el área de habilidad numérica para el año escolar 1999-2000 fue de
apenas 4,944 en una escala de 1 a 40 puntos, es decir, que en promedio, los alumnos
apenas respondieron al 12,4% del total de la prueba de razonamiento matemático.
Por región, el máximo puntaje lo obtuvo el Estado Falcón con 16,650 puntos. El
Estado Barinas, contexto de estudio de esta investigación, obtuvo el sexto lugar con
apenas 6,970 puntos; en el año escolar siguiente 2000-2001, los alumnos barineses
obtuvieron calificaciones que oscilaron entre 1,30 y 8,22, esto significa que los
aspirantes responden entre 3,25% y 20,55% de lo solicitado, lo cual demuestra que
nuestra región bajó al décimo lugar a nivel nacional.
Siguiendo en nuestro contexto, en el estado Barinas, las Olimpiadas que
realiza anualmente el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las
Ciencias (C.E.N.A.M.E.C.), nos revelaron a nivel regional los datos interesantes que
aparecen en la Tabla 1.1. y los Gráficos 1.1. y 1.2.:
ALUMNOS INSCRITOS
ALUMNOS CLASIFICADOS
PORCENTAJE DE APROBADOS AÑOS
NIVEL I NIVEL II NIVEL I NIVEL II NIVEL I NIVEL II
1996 331 266 37 34 11,18% 12,78%
1997 1381 702 105 21 7,6% 2,99%
1998 608 184 29 7 9,77% 3,8%
1999 1456 922 96 6 6,6% 0,006%
2000 593 398 36 55 6,1% 13,82%
TOTAL 4369 2472 303 123 6,94 4,98
Tabla 1.1. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas (1996-00). Nivel I: Comprende los tres primeros años de escuela secundaria. Nivel II: Comprende los dos últimos años de escuela secundaria.
En las estadísticas de la Tabla 1.1 y Gráficos 1.1. y 1.2. se observa un
porcentaje de aprobados o clasificados para 1996 de apenas el 11,18% y el 12,78%
respectivamente en los niveles I y II; al año siguiente el rendimiento disminuyó
considerablemente en ambos niveles, ya que solamente se clasificaron el 7,6% en el
primer nivel y el 2,99% en el segundo y aunque hubo un ligero repunte en 1998
19
donde aproximadamente el 10% del nivel I clasificó, no hubo muchas diferencias en
los clasificados en el nivel II donde difícilmente se llegó a un 3,8%. Las Olimpiadas
celebradas en 1999 se produjeron los resultados más deprimentes, en el nivel I un
escaso 6,6% de alumnos se clasificaron, mientras que en el nivel II casi fue
inexistente el número de alumnos clasificados; sin embargo en el año 2000 se llegó a
un 13,82% en este nivel y en el nivel I se ubicó un 6,1% de estudiantes.
Gráfico 1.1. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas del 7o al 9o grado de Educación Básica (1996-2000).
Gráfico 1.2. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas. Nivel II del 4to y 5to año Ciclo Diversificado (1996-2000).
010
2030
405060
7080
90100
%
1996 1998 2000
AÑOS
RESULTADOS OLIMPIADAS DE MATEMATICA CENAMEC 1996-2000 EDO BARINAS NIVEL I
CLASIFICADOS
REPROBADOS
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%
1996 1997 1998 1999 2000 TOTAL
AÑOS
RESULTADOS OLIMPIADAS DE MATEMATICAS CENAMEC 1996-2000 EDO BARINAS NIVEL II
CLASIFICADOS
REPROBADOS
20
Estos resultados cuantitativos son muy desalentadores si tomamos en cuenta
los promedios de los porcentajes obtenidos en esos cinco años. Para el nivel I el
porcentaje promedio es de 8,25 y el del nivel II es 6,67, además se puede apreciar
también que el rendimiento ha decaído considerablemente en los últimos años con
relación al año 1996; y si observamos el total de alumnos inscritos en estos cinco
años podemos apreciar que solamente un 6,94% y 4,98% han logrado aprobar en los
niveles I y II respectivamente. Con esta información estadística evidenciamos la
escasa formación matemática que tienen los alumnos, al menos en la región del
Estado Barinas; luego es de hacer notar que esta situación tan aguda sea preocupante
para la Universidad, puesto que con esta preparación tan deficiente, el ingreso de
alumnos en condiciones académicas óptimas en las carreras que ofrece esta
institución de educación superior se hace considerablemente difícil.
En la Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales
“Ezequiel Zamora” (UNELLEZ-Barinas), dentro de la especialidad de Matemática,
se ha observado que los trabajos de investigación realizados en el campo de la
Didáctica de las Matemáticas, a pesar de que las muestras son tomadas de la
población estudiantil de dicha Universidad, todavía no han tenido en cuenta
elementos y aspectos propios que caracterizan al estudiantado; de estos estudios cabe
destacar el de Brashi (1993), Guerra (1994) y Orsini (1994), entre otros.
Este último autor es el que más ha destacado en el estudio las necesidades
académicas del estudiante, ya que su investigación tuvo como objetivo principal
determinar la correlación existente entre la actitud del estudiante hacia las
Matemáticas y su rendimiento académico; sin embargo, en investigaciones
posteriores, Brashi (1999) y Guerra (1999), sí han tenido en cuenta este aspecto para
la elaboración de libros-textos para la enseñanza de la Matemática, los cuales han
sido diseñados en función de las conclusiones aportadas por estos estudios de
factibilidad donde se demuestra una elevada aceptación por parte del alumnado hacia
la construcción y elaboración por parte de los profesores de recursos didácticos de
tipo impreso adaptados a las características específicas del grupo de estudiantes para
garantizar desde el punto de vista metodológico un aprendizaje más eficaz de la
Matemática.
Por lo tanto, el estudio de las necesidades y características tanto psicológicas
como sociales que conforman el componente académico del alumno, debe ser uno de
los principales aspectos que han de matizar investigaciones futuras dentro de la
Didáctica de la Matemática en la Universidad Nacional Experimental de los Llanos
Occidentales “Ezequiel Zamora”, específicamente en el Vicerrectorado de
21
Planificación y Desarrollo Social-Barinas donde lamentablemente una mayoría
considerable de los estudiantes no posee el nivel de aprendizaje “adecuado” para
iniciar los estudios universitarios.
En el caso de las matemáticas sólo un 10% aproximadamente reúne el
aprendizaje matemático exigido para desarrollar los contenidos de la Matemática
universitaria. Como consecuencia de esta situación, un porcentaje considerable de
alumnos no logran superar las exigencias que se contemplan en los programas de
estudio del área Matemática, lo que se demuestra a través de las estadísticas
suministradas por A.R.S.E. (Admisión, Registro y Seguimiento Estudiantil de la
UNELLEZ) donde en el Programa de Educación para el año 1996, el 80% fracasó en
Matemática I y en el Programa de Contaduría 3 de cada 4 estudiantes inscritos
terminaron reprobados. De años posteriores no se tienen cifras oficiales de
rendimiento, pues lamentablemente las estadísticas de los años siguientes aún no han
sido procesadas por este Departamento.
Este nivel académico precario en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de
las matemáticas en la UNELLEZ-Barinas, para la mayoría de los docentes que
imparte esta asignatura obedece principalmente a la deficiencia que presenta el
alumno después de egresar de la Educación Básica, donde estadísticamente se
expresa que el 70% de los estudiantes de la educación Básica (1ro a 9o grado) no
demuestran comprensión lectora.
Por otra parte, en estudios realizados se ha podido constatar que la situación
académica en lecto-escritura de los docentes que imparten enseñanza en las
instituciones públicas de educación media y diversificada en Venezuela, no difiere
mucho a la de los alumnos: “según una investigación educativa realizada entre
enero y julio de 2004, los docentes venezolanos tienen enormes carencias en el área
de la comprensión e interpretación de la lectura, lo que acarrea frustración y
deserción escolar de los alumnos” (Magual, 2004). Es de hacer notar que el dominio
efectivo de la expresión oral y escrita de la lengua materna es determinante para
lograr los objetivos de aprendizaje en la demás áreas académicas que conforman el
currículo, por consiguiente este panorama representa en gran medida el primer factor
que obstaculiza el desenvolvimiento pleno de las habilidades matemáticas por parte
de los alumnos.
Según Mora (2005:1), en un estudio promovido por la UNESCO entre 1997 y
2000, comparando a Venezuela con 14 países latinoamericanos se recoge que:
“Todos los países están por debajo del 54%, incluyendo Chile y Argentina.
22
Venezuela casi está en la cola, aunque la diferencia no es muy significativa
incluyendo los demás países”. De acuerdo con The Global Competitiveness Report
2009-2010 del Foro Económico Mundial en Suiza, Venezuela ocupa el lugar número
102 de 133 países en lo que respecta a la calidad de su sistema de educación
primaria. Según Planchart et al (2005), los resultados de la prueba de Admisión de la
Universidad Simón Bolívar de marzo de 2004 aplicada a 9.356 alumnos de liceos
oficiales y privados, las medias obtenidas fueron de 7,95 en habilidad cuantitativa y
4,04 en Matemática, estas dos pruebas contenían 30 y 25 preguntas respectivamente,
es decir que el rendimiento general de los alumnos quedó muy por debajo de la
mínima aprobatoria. De cada 100 alumnos, 33 terminan la Educación Básica. Según
el CENAMEC, más del 25% de los docentes de este nivel educativo no saben sumar
quebrados, 70% no dominan los programas de Matemática y en el 4o y 5o grado no
desarrollan los contenidos de geometría.
Este descuido por parte del Estado hacia la educación repercute en la
motivación de los docentes respecto al trabajo escolar, fenómeno que se presenta con
menor intensidad en países desarrollados como Japón, donde el trabajo escolar es
más intensivo (230 días/año, incluyendo tres sábados por mes y además un
profesional gana 12% más que cualquier funcionario público), y esto se verifica en
estudios realizados a nivel internacional donde los resultados aportados por el
Proyecto Nacional Programme For International Student Assessment (PISA) con
alumnos de 15 años, colocan a Japón y Corea como los países punteros en cultura
Matemática con puntuaciones de 557 y 547 respectivamente en un rango de 334 a
557 puntos; en la media, de 493 a 503, se ubican en orden descendente Irlanda con
503 puntos, Noruega con 499 puntos, República Checa con 498 puntos y EE.UU. con
493 puntos. Es preocupante observar que en el grupo de países que están por debajo
de la media, es decir, con un puntaje menor a 493, solamente se presentaron los
resultados de dos países latinos, México con 387 puntos y Brasil con 334 puntos.
Además “se habla en este siglo XXI de que hemos iniciado un nuevo tipo de modelo
social, el de la sociedad de la información, cuyo pilar básico es
‘conocimiento=poder’; los resultados de PISA hacen dudar de que alumnos que no
son capaces de comprender y valorar lo que leen puedan construir ese
conocimiento” (Vacas & Zunker, 2001:1).
Dentro de los hallazgos que proporcionó este estudio, en cuanto al desempeño
estudiantil a nivel internacional se puede destacar (PISA, 2001:1):
23
“1. Japón y Corea son los países con más altos niveles de desempeño en la
alfabetización matemática y científica, definida como la capacidad de los
estudiantes de utilizar el conocimiento matemático y científico adquirido en
la escuela en un mundo que cada vez descansa más en los adelantos
tecnológicos y científicos.
2. Los estudiantes muestran grandes diferencias en su involucración en
general con la escuela, incluyendo grandes variaciones en sus actitudes
respecto de la lectura e incluso mayores respecto de las matemáticas.
Aproximadamente la mitad de los jóvenes de 15 años consideran a las
matemáticas como importantes en general, pero sólo unos cuantos las ve
como algo importante para su futuro”.
Otro estudio importante es el IEA Third International Mathematics and
Science Study (TIMSS), efectuado entre 1994 y 1995 con alumnos del 7° y 8°
grados, donde también tres países asiáticos ocupan los tres primeros lugares en
ambos cursos, Singapur con 643 y 601, Corea con 607 y 577 y Japón con 605 y 571;
en la lista de 40 países, queda ocupando el penúltimo lugar un país latinoamericano,
Colombia con 385 y 369, y en último lugar uno africano, Sudáfrica con 354 y 348.
El medio cultural o contexto social es un factor determinante para continuar
en la búsqueda de soluciones. Existen ejemplos de trabajos de investigación donde se
ha determinado la influencia de la cultura sobre los aspectos didácticos. En uno de
estos estudios se llegó a la conclusión de que hay muchas formas en que la cultura
escolar determina la manera en que los estudiantes resuelven problemas de
Matemática (Sutherland et al. 1996). En esta investigación se tomaron dos grupos de
alumnos, uno en México y otro en el Reino Unido, observándose diferencias
significativas como producto de las culturas distintas de ambos ambientes escolares.
Investigaciones como éstas nos llevan a pensar que se debe empezar por la
realidad particular existente que caracteriza nuestro entorno bio-psico-social o
contexto en donde nos desempeñamos como docentes; en consecuencia, las
investigaciones deben revestir una relación bidireccional con la práctica docente;
según Puig & Calderón.(1996:7): “Por un lado la investigación educativa necesita
de la participación del profesor en ejercicio, de la práctica docente, para enfocar
adecuadamente el objeto y sujeto de la investigación; por otro, utilizar
adecuadamente aquellos resultados de la investigación que puedan mejorar la
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas requiere que el profesor que se dispone a
aplicarlos tenga en cuenta los objetivos y fines que contextualizar tal investigación y
que los interprete y adapte a su entorno pedagógico concreto”. Por consiguiente al
24
partir de esta significativa premisa los caminos hacia la solución de los problemas
estarían mejor enfocados y dirigidos a obtener mejores resultados.
Es importante resaltar que en los eventos internacionales Venezuela ha
venido ocupando un lugar destacado, y esto se ha obtenido con la participación de
delegaciones que han sido entrenadas con un alto nivel de exigencia por profesores
de la Universidad Central de Venezuela (UCV), de Universidad Simón Bolívar
(USB), del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC) y de la
Universidad del Zulia (LUZ).
Siguiendo el análisis efectuado por Nieto (2001), en la Tabla 1.2. se recogen
los resultados obtenidos por el equipo venezolano en las Olimpiadas Matemáticas de
Centroamérica y del Caribe (O.M.C.C.). Observamos un progreso notable, puesto
que, después de ocupar los últimos lugares en los años 1999 y 2000,
sorprendentemente se posiciona en el primer lugar en el año 2001. Podemos señalar
que este desempeño del equipo venezolano se logró gracias a las metodologías y
procedimientos de enseñanza que se aplicaron para formar y preparar a las
delegaciones integradas por alumnos cuyas edades no sobrepasaban los 18 años.
Nº de la Olimpiada
País anfitrión Año Orden de los países Puntajes
1º.Colombia 70 2º.México 64 3º.Cuba 58
I Costa Rica 1999
4º.Venezuela 47 1º.Cuba 95 2º.México 79 3º.Colombia 62 4º.Costa Rica 59 5º.El Salvador 54
II El Salvador 2000
6º.Venezuela 52 1º.Venezuela 94 2º.México 90 3º.Colombia 85 4º.Cuba 83 5º.Costa Rica 74 6º.El Salvador 70
III Colombia 2001
7º.Puerto Rico 61 Tabla 1.2. Resultados de las Olimpiadas Matemáticas de Centroamérica y del Caribe (OMCC).
En la 42ª Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebradas en
Washington, D.C. en el 2001, también “nuestros jóvenes tuvieron una actuación muy
destacada, logrando medallas de plata, bronce y mención honorífica” (Sánchez,
2001:51); estos excelentes resultados demuestran también que el esfuerzo realizado a
través de la investigación para superar las deficiencias de la enseñanza-aprendizaje
25
de las Matemáticas merece una consideración importantísima para trasladar este tipo
de resultado al estudiante común de los diferentes niveles y modalidades de nuestro
sistema educativo.
Por lo tanto, debemos empezar por contextualizar los estudios e
investigaciones educativas que hasta el momento ha estado desvinculada con las
verdaderas realidades del país, de un estado o de una institución educativa en
particular, y realizar una pedagogía más próxima a los verdaderos problemas de la
enseñanza, aprendizaje y evaluación, en donde el que aprende sea el eje central y no
el que enseña, como es bien sabido en la pedagogía tradicional. Según Artigue
(2003:1): “Los procesos de enseñanza y aprendizaje dependen parcialmente de los
entornos culturales y sociales en los que se desarrollan. Hasta cierto punto, los
resultados que se obtienen dependen, de esta forma, del espacio y del tiempo; su
campo de validez es muy limitado. Sin embargo esos límites no son fáciles de
identificar”.
En función de este escenario entonces nos preguntamos ¿cómo y qué se debe
hacer para encontrar un escape o salida de las pedagogías descontextualizadas? La
respuesta a esta gran interrogante es muy compleja, pero se puede dar una aportación
a través de la experiencia didáctica en la especialidad de las Matemáticas con la
finalidad de encontrar la ruptura del continuismo de los ya desgastados paradigmas
pedagógicos basados en los enfoques psicológicos del conductismo representado por
John Watson (1978-1958), Ivan Pavlov (1849-1936), B. F. Skinner (1904-1990), E.
Thordike (1874-1949) con su teoría estímulo-respuesta, el Neoconductismo de
Robert Gagné (1916-) con las jerarquías del aprendizaje, y los que aún tienen mayor
vigencia como las escuelas cognitivas cuyos máximos exponentes son Jean Piaget
(1896-1980), David Ausubel (1918-), Lev Vygotsky (1896-1934), Jerom Bruner
(1915-) quienes originaron la corriente constructivista que define al aprendizaje
como la “adquisición de la información procedente del medio que el sujeto pone en
relación con la información que ya tiene, le otorga significado y la reorganiza; es
decir, como organización significativa del conocimiento a través de un proceso
interno, activo y personal” (Aznar, 1992:17); es decir, que las personas tienen la
capacidad de construir su propio aprendizaje.
Descifrando todo este componente didáctico, cuyos lineamientos tienen sus
orígenes en la Psicología Educativa, nuestra meta como docentes es dirigir esfuerzos
por definir de manera teórica y práctica, pedagogías que incorporen efectivamente
las características y necesidades del alumno, atendiendo cualitativamente el proceso
del aprendizaje que desarrollamos los seres humanos, es decir, diseñar programas
26
que propicien la metacognición del alumno, proceso que consiste en la valoración
que se tiene de los alcances y limitaciones de las habilidades cognitivas personales
para resolver problemas.
Autores como Good & Brophy (1995:277) señalan el énfasis en la enseñanza
de estas habilidades de pensamiento a los alumnos con “conciencia metacognitiva,
selección consciente de estrategias apropiadas, supervisión de sus efectividad y
corrección de errores o cambio de estrategias nuevas si es necesario”, actividad que
debe dirigir y orientar el docente para que el estudiante tome la iniciativa de
realizarla también para lograr su autonomía intelectual.
Este proceso mental se efectúa a través de la autorregulación del pensamiento
y describe la manera como el pensamiento humano de manera consciente organiza y
estructura la nueva información relacionándola con el aprendizaje que ya posee,
utilizando estrategias cognitivas particulares que ha desarrollado a lo largo de su
experiencia intelectual. Según Hernández & Sancho (1993:99): “la metacognición
vendría a ser entonces la conciencia del estudiante, adquirida a partir del desarrollo
de estrategias de aprendizaje de los propios procesos mentales. Estos procesos
mentales incluyen no sólo los logros, sino también las dificultades para el
aprendizaje”.
Cabe destacar que las aportaciones didácticas deben involucrar al profesor, al
alumno, a los contenidos, a los medios instruccionales, a la evaluación o a cualquier
otro elemento del aspecto curricular de una manera integral; es decir, que de nada
sirve una novedosa propuesta pedagógica para enseñar operaciones básicas
matemáticas, si el profesor aplica los mismos sistemas de evaluación anacrónicos, o
si a través de una investigación se logran diseñar mejores estrategias para optimizar
el desempeño docente y no se innovan los recursos y medios instruccionales. “Para
continuar investigando en este campo se hace una mayor integración entre las
disciplinas académicas. Esto es necesario porque los problemas reales del
aprendizaje de las matemáticas no saben de divisiones administrativas entre áreas
de conocimiento” (Rico, 1996:51).
En función de esto, si queremos estudiar los cambios sustanciales, se debe
involucrar todo el componente curricular, específicamente en la enseñanza,
aprendizaje y evaluación. Un ejemplo para explicar mejor este enfoque, es la
estrategia que involucra el uso de mapas conceptuales, que no sólo incluye la
enseñanza y aprendizaje sino también el proceso de evaluación tanto formativa como
sumativa (Novack & Gowin, 1988); inclusive, investigaciones como las de Morales
27
(1995), Cerda (2001), Monagas (1998), Guido (2003), han dado señales de la
efectividad que ha brindado esta estrategia en la Didáctica de las Matemáticas.
Retomando nuestra universidad como contexto de estudio, donde el problema
de las deficiencias académicas de los alumnos que ingresan cada año han
obstaculizado el desenvolvimiento óptimo de su formación profesional universitaria,
no sólo en matemáticas sino también en las demás asignaturas, es necesario
reflexionar sobre las estrategias de enseñanza y aprendizaje que se han venido
aplicando, puesto que, nosotros como profesores hemos olvidado tomar en cuenta los
saberes de nuestros alumnos, tal como lo señala Briceño (2005:3): “Corresponde a
los docentes de Matemática hacer ver que tal ciencia es sencilla, que la encontramos
en todas las áreas del conocimiento y en nuestro entorno, que constantemente sin
quererlo estamos haciendo uso de ella, pero que es obligante el poder descubrir la
magia en la enseñanza de la misma para atraer a sus potenciales usuarios”.
Ausubel (1973) defendía la tesis de que el elemento más importante que
influye en el aprendizaje del alumno es lo que él ya sabe, por lo tanto se debe hacer
un diagnóstico de los aprendizajes previos para planificar el nuevo aprendizaje. Es
importante resaltar los aprendizajes previos del alumno, y más aún, las habilidades
cognitivas que debe tener para iniciar nuevos aprendizajes.
Piaget (1983) señala que un estudiante de Educación Superior debería estar en
el período de las operaciones lógico-formales, donde es capaz de aplicar el
razonamiento hipotético-deductivo, hacer inferencias y desarrollar abstracciones, sin
embargo, estudios han comprobado que una gran mayoría de alumnos de la
UNELLEZ no poseen dichas características. De acuerdo a los resultados obtenidos
por el estudio efectuado por Vivas (1998), escasamente el 7,4% de los estudiantes
están en operación formal según el test de Lawson y en 1,7% según el test Galt,
verificando con ello un deficiente desempeño académico en el área de Matemática.
Al observar estos resultados, tendría sentido proponer un programa
constituido por estrategias de enseñanza y aprendizaje que faciliten el desarrollo de
habilidades cognitivas básicas del pensamiento formal que caracteriza a las
matemáticas, y en lo que respecta principalmente a la resolución de problemas,
habilidades tales como la aplicación del razonamiento inductivo-deductivo,
comprensión verbal, escrita y simbólica-formal, es decir, el manejo efectivo del
lenguaje matemático y la creatividad que pueda tener el alumno para manejar
situaciones matemáticas. Genovard (1990:15) señala que “ciertamente, algunos
aspectos del pensar son mejorables en diferentes grados mediante la instrucción”. Y
28
Nieto (1997:13) expone que se debe hacer énfasis en: “la necesidad de aplicar
programas de desarrollo de las capacidades intelectuales para solucionar el
problema del fracaso escolar, además explica que no está demostrado que se puedan
enseñar/entrenar las habilidades del pensamiento, pero si no se intenta, la pérdida
que puede ocasionarse, es muy grande”.
Por otro lado, también Alonso (1994:63) considera que: “Son cada vez más
numerosos los trabajos que ponen de manifiesto que es posible, bajo ciertas
condiciones, no sólo mejorar las destrezas básicas necesarias para pensar
eficientemente sobre lo que vemos u oímos o sobre lo que tenemos que hacer, sino
conseguir la generalización del aprendizaje de tales destrezas a tareas distintas de
aquellas en relación con las cuales se ha realizado el entrenamiento”.
Como puede apreciarse, este nuevo componente didáctico debería ser lo más
ecléctico posible, ya que no se trata de valorar lo que sirve y criticar lo que no sirve,
el objetivo es centrar este paradigma emergente en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, para ello es necesario llevar a cabo un proceso de reflexión donde se
tomen en cuenta todos los elementos que intervienen; la idea principal es reflexionar
sobre el esfuerzo que debemos hacer para erradicar el continuismo pedagógico
tradicional que tanto mal ha causado a la formación crítica del alumno. Esto es
precisamente lo que ha tipificado la cultura escolar en las matemáticas. Según
Gutiérrez (1994:2) “En la transmisión del saber matemático universitario se ha
descubierto un docente que prescribe y reproduce, que reprende, que aconseja, que
inquiere, que juzga y castiga. En la cultura de sobrevivencia escolar ante un saber
matemático transmitido como dogma, el estudiante asume como potestad actuar
como vicario, verdugo, seminarista, escéptico, roles aprendidos socialmente a lo
largo de su vida escolar y que dan sentido a su actuación dentro del aula”.
Dentro del aula de clase se debe mantener un ambiente de integración social y
afectiva que elimine paulatinamente este rechazo a las matemáticas por un temor sin
fundamento que esta refleja, en consecuencia, la nueva propuesta podría centrarse en
una especie de integración del desarrollo intelectual y la actividad socio-interactiva,
entendiendo la enseñanza como una situación social de negociación de significados
(González, 1994). De acuerdo con Díaz & Hernández (2002:25): “Algunos autores se
centran en el estudio del funcionamiento y el contenido de la mente de los individuos
(por ejemplo, el constructivismo psicogenético de Piaget), pero para otros el foco de
interés se ubica en el desarrollo de los dominios de origen social (como el
constructivismo social de Vygotsky). Mientras que para otros más, ambos aspectos
son indisociables y perfectamente conciliables”. Por consiguiente, estaríamos
29
hablando de una didáctica que no sólo fortalecería el componente cognitivo en donde
ya tenemos muchas aportaciones en trabajos de investigación interesantes sobre el
proceso de construcción del conocimiento, sino que también agregaríamos métodos y
técnicas específicas para el análisis del clima social, como la observación, la
entrevista, los diarios o los informes, de tal manera que se aplique un paradigma que
destaque el aspecto cualitativo del alumno (intrasujeto).
De acuerdo al Consejo Nacional de Supervisores de Matemática (C.N.S.M.),
deben existir doce áreas íntimamente relacionadas con la configuración de las
matemáticas esenciales para el siglo XXI, estas son: la resolución de problemas,
comunicar ideas matemáticas, razonamiento matemático, aplicación de las
matemáticas a situaciones de la vida diaria, atención a lo razonable de los resultados,
estimación, habilidades computacionales apropiadas, pensamiento algebraico,
medida, Geometría, Estadística y Probabilidad.
También se menciona que el clima para aprender debe estar enfocado en un
ambiente no hostil en el cual los estudiantes “son estimulados a realizar preguntas y
tomar riesgos” (C.N.S.M., 1989), y, para lograr esto se requiere de un proceso de
evaluación que además de las pruebas escritas “debe involucrar otros medios tales
como: las observaciones del profesor, entrevistas, proyectos de los estudiantes y
presentaciones” (Op. cit., 1989).
Por otro lado, se mantiene la posición de mejorar el currículo de Matemáticas
desde la escuela misma, donde el alumno comienza a enfrentarla, es por esto que, en
el caso de España, según el Real Decreto1006 (1991:68): “La formalización y
estructuración del conocimiento matemático como sistema deductivo no es el punto
de partida, sino más bien un punto de llegada de un largo proceso de aproximación
a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para
interpretar, analizar, explicar, y predecir determinados aspectos de la realidad”.
Asimismo, en las orientaciones generales para la aplicación del Programa de
Matemática para alumnos venezolanos de sexto grado de la segunda etapa de la
Educación Básica, se destaca la importancia de la resolución de problemas, “es
importante resolver problemas que demanden no sólo habilidades aritméticas y
espaciales, sino la capacidad para buscar información, verificarla, ordenarla, crear
ideas iniciales y llegar a una solución luego de un razonamiento lógico” (Ministerio
de Educación, 1997:168). En consecuencia, la formación de los alumnos en la
universidad no escapa a la necesidad de reorientar los contenidos matemáticos
dirigidos hacia una nueva concepción epistemológica en donde según Londoño &
30
Ruiz (2001:2): “el currículo en matemáticas para un programa de pregrado y /o
postgrado debe contextualizarse en torno a la resolución de situaciones
problemáticas incluyendo el modo en que se presentan los problemas, los
significados del lenguaje matemático, y el modo en que se hacen conjeturas y
razonamientos, de forma que los estudiantes puedan explorar, crear, acomodarse a
condiciones alteradas y crear conocimientos nuevos de forma activa a lo largo de
toda su vida”.
Además esto nos llevaría a la propuesta del paradigma falibilista que presenta
a las matemáticas como algo humano, corregible, enmarcado históricamente y
variable, desprendiéndonos de la antigua posición filosófica formalista, tal como lo
plantea Velázquez.(2000:5): “Siendo probablemente la Matemática el más bello, el
más exacto y riguroso constructo humano, está sujeta como el resto de los
conocimientos científicos a las teorías filosóficas del falibilismo (Pierce), de la
falsabilidad (Popper) y la tesis de los paradigmas de Kuhn (Paradigma socio-
psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de programas de
investigación racionales)”.
Por lo tanto, en esta investigación se tomarán las aportaciones que las teorías
de la Psicología del Aprendizaje desde la perspectiva del constructivismo
psicogénético y sociocultural para diseñar un programa de estrategias de
enseñanza/aprendizaje que le permita al alumno que ingresa a la Universidad
Nacional “Ezequiel Zamora”, superar las deficiencias que posee en el pensamiento
formal y lograr el aprendizaje matemático exigido de acuerdo a los programas de
estudio universitario y específicamente al perfil de la carrera Educación Integral y al
nuevo diseño curricular de la Educación Básica, y de esta manera poder integrarlo
efectivamente en el contexto social donde se desenvuelve como profesional y como
persona.
Seleccionaremos específicamente los contenidos relacionados al área del
pensamiento numérico por ser un tema que integra una gran variedad de aprendizajes
de distintos niveles de complejidad, y además, por la importancia que se le atribuye
como línea de investigación en la Didáctica de la Matemática. Rico (1996:27-28) la
define de la siguiente manera: “Línea de estudio e investigación en Didáctica de la
Matemática que se ocupa de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y
comunicación de conceptos numéricos en el Sistema Educativo y en el medio social.
El pensamiento Numérico estudia los diferentes procesos cognitivos y culturales con
que los seres humanos asignan y comparten significados utilizando diferentes
estructuras numéricas”.
31
Siguiendo estas posturas epistemológicas y aplicando un diseño metodológico
de investigación apropiado, iniciamos el desarrollo de una investigación que nos
oriente en la búsqueda de las respuestas para las interrogantes que se formulan a
continuación:
- ¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan generalmente los alumnos para
abordar los conocimientos matemáticos?
- ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos previos que los alumnos
poseen para iniciar la asignatura Matemática General?
- ¿Cuál es la actitud general que presentan los alumnos ante las
matemáticas?
- ¿Cómo se desarrolla la comunicación y participación de los alumnos
dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje? y ¿en que medida afecta el
clima social del aula en el aprendizaje matemático de los mismos?
- ¿Podemos diseñar un Programa para la enseñanza de estrategias de
aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal que
potencie en los alumnos de la asignatura Matemática General un
aprendizaje significativo de los contenidos relacionados con los sistemas
numéricos? ¿Cuáles serían los principales lineamientos que estructurarían
este Programa?
- ¿Qué aspectos fundamentales debe tener el Programa de autorregulación
diseñado para crear en el aula de clase un ambiente social caracterizado
por la participación y comunicación de los alumnos en el proceso de
enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas?
- ¿En qué grado afecta la aplicación del Programa anterior a los
conocimientos matemáticos y estrategias de aprendizaje que utilizan los
alumnos, al clima social del aula y a la actitud general del alumnado?
¿Cuáles serían los resultados que produciría la puesta en práctica de este
Programa en el proceso didáctico de la asignatura Matemática General y
en el aprendizaje significativo de los alumnos?
32
I.2. FORMULACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
En función de los problemas que nos hemos planteado para precisar los
aspectos, elementos y variables de estudio que nos orienten de la mejor manera hacia
la búsqueda de las respuestas de nuestra tesis, entonces formulamos los siguientes
objetivos de investigación:
1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en
el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la
asignatura Matemática General.
2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los
alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas
Numéricos, de la asignatura Matemática General.
3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y
valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los
contenidos matemáticos.
4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los
alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos
básicos que constituyen el clima social de aula.
5. Diseñar el Programa de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado
en la autorregulación del pensamiento lógico-formal, de acuerdo al
análisis epistemológico del paradigma constructivista y a las necesidades
detectadas en el diagnóstico de las estrategias de aprendizaje,
conocimientos previos, actitud del alumno y al clima social del aula.
6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en
función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los
contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura
Matemática General, el clima social del aula y la actitud del alumno.
33
I.3. JUSTIFICACIÓN
Los problemas que surgen en los diferentes niveles de educación con relación
a la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática no es de la total
responsabilidad de un sub-sector educativo, sino también de la Universidad, la cual a
través de su aporte científico, tecnológico y humanístico debe ser la pionera en la
búsqueda de soluciones a través de la investigación, aspecto indispensable para el
mejor desarrollo de la academia y, por lo tanto, de la región y del país. Es por esto
que el presente trabajo de investigación quiere ofrecer una nueva orientación o
enfoque didáctico para minimizar las deficiencias matemáticas en los alumnos y en
especial a los pertenecientes a la carrera de Educación Integral, quienes deben
egresar con un buen dominio matemático básico para atender las necesidades
académicas de esta disciplina científica en la Educación Básica, nivel educativo
donde les corresponderá desempeñarse de acuerdo a su perfil profesional.
Se considera importante constituir una nueva versión que pretenda a través
del uso combinado de teorías de la psicología educativa y su correspondiente
aplicación al campo de la enseñanza de la Matemática, configurar, elaborar y aplicar
un Programa de estrategias de enseñanza-aprendizaje, en función de las necesidades
que tienen los alumnos y docentes; y de una guía metodológica que brinde mejores
desenvolvimientos en cuanto al aprendizaje efectivo. No obstante en los años en que
se ha dictado este sub-proyecto o asignatura de Matemática General en la carrera de
Educación Integral de la UNELLEZ-Barinas, la elaboración de material didáctico
con estas directrices ha sido muy poca.
Otro aspecto que se tiene en cuenta, es elevar la importancia que tiene la
investigación en la Didáctica de la Matemática dentro de la UNELLEZ-Barinas, ya
que por ser una ciencia relativamente nueva, necesita de grandes aportes para
aumentar el interés de otros investigadores de la Universidad que se dedican a esta
área de conocimiento, por lo tanto nuestra investigación toma en cuenta la Didáctica
y la Orientación consideradas como las líneas de investigación del Departamento de
Pedagogía de la Universidad de Valladolid, bajo el cual se realiza el estudio del
contenido de enseñanza, así como los diversos enfoques metodológicos o modos más
eficaces de presentar el contenido al alumnado para el logro de un buen aprendizaje.
Además, con esta investigación se exponen nuevas alternativas didácticas
para dirigir los aprendizajes matemáticos en los alumnos universitarios, con la
finalidad de elevar el rendimiento académico de los mismos para que estos logren
obtener su título de profesional en el tiempo oficialmente establecido, evitando con
34
ello la repitencia y deserción dentro de la carrera universitaria. Cabe destacar que
este tema de investigación está íntimamente relacionado con tópicos que fueron
clasificados como trabajos de actualidad en la XV conferencia PMG (Psychology of
Mathematics Education) celebrada en 1991, algunos de estos estudios se basaron en
(Godino, 1991:22):
- “Fracciones, decimales, números racionales, razonamiento proporcional.
- Resolución de problemas.
- Concepciones de los alumnos, creencias...
- Factores sociales y afectivos, metacognición.
- Materiales curriculares”.
Es importante resaltar que la continuidad de las investigaciones en cualquier
área o especialidad científica determinada fortalece el aporte de las soluciones a los
problemas existentes, por lo tanto, hay que destacar el presente trabajo como una
pequeña, pero esencial ayuda al mantenimiento y fortalecimiento del interés por el
estudio de la Matemática, no sólo como ciencia formal, sino también como ciencia
aplicada a las demás áreas del conocimiento, y especialmente al de la Pedagogía,
campo que no ha sido explotado en su máxima capacidad.
35
I.4. LA UNELLEZ-BARINAS COMO CONTEXTO DE ESTUDIO
La contextualización del problema de investigación tiene un gran significado
para definir el camino adecuado en la obtención de los resultados y conclusiones del
caso seleccionado para el estudio; todas las dimensiones y aspectos que pudieran
extraerse de éste para complementar los hallazgos nos conducen a la consolidación y
construcción de las nuevas teorías con las cuales se definiría nuevamente el caso de
estudio.
Para plasmar esto iniciaremos este apartado con la descripción de nuestro
contexto físico que es la Universidad Nacional “Ezequiel Zamora”, Vicerrectorado
de Planificación y Desarrollo Social-Barinas, a través de su reseña histórica en donde
se podrán localizar aspectos que pueden ser considerados causales directos o
indirectos del problema objeto de estudio.
I.4.1. Breve reseña histórica
La Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales “Ezequiel
Zamora” (UNELLEZ), es una de las universidades más jóvenes del país. Su creación
estuvo motivada desde el comienzo de la década de los 70 cuando en Venezuela se
experimenta un crecimiento notable en el subsistema de Educación Superior. La
explosión demográfica del estudiantado de secundaria, aumentó la necesidad de
diseñar nuevas instituciones de estudios superiores a nivel regional, naciendo de esta
manera en distintas zonas del país nuevos colegios universitarios, institutos
politécnicos, pedagógicos, tecnológicos e incluso nuevas universidades capaces de
atender y formar adecuadamente al alumnado proveniente del bachillerato. En este
sentido en la región de los Llanos Occidentales hasta esa fecha existía poca
preocupación por la creación y consolidación de una Institución de Estudios
Superiores, como consecuencia los jóvenes tenían que dirigirse a otras ciudades del
país a proseguir su formación al nivel profesional y lamentablemente al egresar de
sus carreras no regresaban a la región a incorporarse al mercado de trabajo, el cual
también era casi inexistente. Esta situación originó un bajo nivel cultural de la región
de los Llanos, limitaciones en el desarrollo de las actividades económicas,
conllevando posteriormente y originando un lamentable elevado porcentaje de
analfabetismo.
Las características particulares de los Llanos Occidentales y su importancia
nacional como productora agrícola ofrecieron el primer motivo de peso para la
36
creación de un centro universitario dedicado esencialmente al ámbito rural “Este se
concentraría en el estudio y análisis de la problemática rural a la par de capacitar a
sus hombres con miras a solucionar buena parte de estos problemas y de esta
manera poder impulsar la actividad agrícola” (Gómez, 1978:27). La primera idea de
Universidad Rural o Agrícola más tarde se mantuvo, hasta que el 23 de diciembre de
1974, el Ejecutivo Nacional nombra la primera comisión organizadora de la
Universidad de los Llanos Occidentales.
El 10 de abril de 1975 la Comisión entregó al Ejecutivo, a través del Consejo
Nacional de Universidades (C.N.U.), un informe con las recomendaciones
pertinentes, analizada la propuesta por el C.N.U., en la sesión del 26 de septiembre
de 1975, se decide aprobar el estudio de factibilidad y recomendó al Ejecutivo la
creación de la Universidad.
Finalmente mediante el Decreto Nº 1.178, de fecha 7 de octubre de 1975, el
Presidente de la República crea la Universidad Experimental de los Llanos
Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ).
La UNELLEZ se estructura en cuatro Vicerrectorados ubicados en las
ciudades siguientes:
- Barinas. Estado Barinas: Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo
Social.
- Guanare. Estado Portuguesa: Vicerrectorado de producción Agrícola.
- San Carlos. Estado Cojedes: Vicerrectorado de Infraestructura y Procesos
Industriales.
- San Fernando. Estado Apure: Vicerrectorado de Planificación Regional.
El Rectorado esta localizado en la UNELLEZ-Barinas contexto de estudio en
esta investigación. El complejo universitario de Barinas, cuenta actualmente con las
siguientes estructuras físicas:
- Aulas: 49 con capacidad para 50 alumnos.
- Laboratorios: 2 de Biología, 2 de Bioquímica, 2 de Química Analítica, 2
de Química General, 4 de Idiomas.
- Salas de Dibujo: 2.
- Teatro Experimental.
- Auditorio.
- Sala de Conferencias.
37
- Biblioteca.
- Hemeroteca.
- Local para servicios asistenciales.
- Comedor.
- Cafetines: 4.
- Aulas de Post-grado: 6.
- Edificio del Rectorado: Donde funcionan las Oficinas del Rectorado,
Vicerrectorado de Servicios, Sala de reuniones del Consejo Superior y
Directivo y Oficinas de Apoyo Rectoral.
- Cubículos de Profesores.
- Dependencias Administrativas.
- Sala de Mantenimiento.
- Consejo Editorial.
- Oficina de Relaciones Públicas.
- Programa de Admisión, Registro y Seguimiento Estudiantil (ARSE).
- Programa de Economía Agrícola.
- Programa de Complementación.
- Programa de Educación.
- Programa de Sociología del Desarrollo.
De acuerdo a los datos suministrados por la Asociación de Profesores de la
UNELLEZ (APUNELLEZ) el 11-12-2001, la Universidad contaba con 312
profesores y según el Programa de admisión, registro y seguimiento estudiantil
(ARSE), el total de alumnos regulares inscritos hasta mayo del 2003 era de 16.749,
distribuidos así:
- Barinas. Estado Barinas: Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo
Social: 8.396 alumnos; y núcleo Santa Bárbara: 1.267 alumnos.
- Guanare. Estado Portuguesa: Vicerrectorado de producción Agrícola:
1.581 alumnos.
- San Carlos. Estado Cojedes: Vicerrectorado de Infraestructura y Procesos
Industriales: 1.737 alumnos; y Núcleo Tinaquillo: 691 alumnos.
- San Fernando. Estado Apure: Vicerrectorado de Planificación Regional:
2.216 alumnos.
La población estudiantil ha crecido notablemente, para el mes de mayo de
2006, en el caso del Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo social la población
estudiantil se incrementó a 13.617 y en la carrera de Educación Integral el total de
estudiantes es de 2.249.
38
I.4.2. Programa de educación
El Programa de Educación se fundó en el año de 1983, con un plan de estudio
que ha sufrido algunas modificaciones producto de las necesidades académicas
actuales y de las Resoluciones nº 12 del 19-01-83 y nº 1 del 15-01-96, que en materia
legal ha propuesto el Ministerio de Educación. Estos documentos contemplan la
formación y perfil que deben ser exigidos a los docentes de la Mención Educación
Integral para dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje en la primera y segunda
etapa de la Educación Básica, que comprende las edades entre los 6 a 12 años
aproximadamente.
Esta Mención que ofrece el Programa de Educación de la UNELLEZ, tiene
27 años de funcionamiento; actualmente cuenta con 18 aulas con capacidad para 50
alumnos, 3 talleres para actividades artísticas y manuales que forman parte de la
preparación de los alumnos cuyo número asciende a los 2.249. La planta profesoral
llega al número de 72, según datos aportados por la Jefatura del Programa para
febrero de 2002.
39
I.5. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
I.5.1. Antecedentes
Resultan de vital importancia las investigaciones relacionadas con este
trabajo, porque de esta manera nos podemos ubicar en las fronteras de sus
aportaciones y continuar así con la gran misión de terminar lo que estas comenzaron;
nosotros, como investigadores, debemos seguir avanzando para dar respuesta a las
grandes incógnitas que faltan por despejar.
En la revisión del material bibliográfico se constató una notable preocupación
con relación a la presente línea de investigación, como lo es la Didáctica de la
Matemática, y dentro de ella, muy específicamente a su dimensión psicológica que
aborda la pregunta ¿cómo se desarrolla la construcción del conocimiento matemático
por los profesores y alumnos?, a su dimensión epistemológica que da respuesta a
¿qué tipos de contenidos matemáticos deberían conformar el currículo escolar y
universitario?, y a la dimensión sociológica que nos aporta los elementos esenciales
para entender mejor las interacciones que se suscitan entre docentes, alumnos y
demás actores dentro del proceso didáctico de la Matemática.
Comenzaremos resaltando los trabajos realizados sobre estos aspectos en tesis
doctorales en España, donde estas investigaciones han tenido una notable evolución
desde el punto de vista conceptual y metodológico, destacándose como lo señala
Torralbo (2000:1) “dos focos de investigación creciente dentro del ámbito de la
Educación Matemática: «Educación e Instrucción en Matemáticas» y «Psicología de
la Educación Matemática. Investigación en Educación Matemática. Aspectos
Sociales»”.
Fernández (1990), con su trabajo titulado “Impacto de la calculadora
electrónica en la Educación Matemática Primaria. Un estudio Cuasiexperimental en
tercer nivel”, nos revela resultados valiosos en el área del pensamiento numérico,
específicamente con la aritmética elemental, bloque de contenidos que también se
han seleccionado en nuestro estudio. Los elementos o variables que se destacaron en
dicha investigación fueron el desarrollo cognitivo numérico, numeración básica,
cálculo mental, destrezas de cálculo, resolución de problemas aritméticos verbales,
rendimiento general, actitud hacia las matemáticas y actitud hacia la calculadora. El
autor concluye que el uso de las calculadoras no influye negativamente en la
enseñanza de la aritmética escolar, en consecuencia tampoco deteriora ninguna de las
variables anteriormente mencionadas a excepción del aprendizaje del cálculo mental,
40
el cual se deteriora levemente; destaca también que el uso de las calculadoras mejora
las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas y las destrezas de cálculo y
resolución de problemas complejos.
Oliveras (1994), enfocó su investigación hacia un modelo de formación de
profesores en el que se integró la Etnomatemática, rama de la Didáctica de la
Matemática que estudia las relaciones entre la cultura del hombre y la ciencia
matemática para abordar la enseñanza-aprendizaje de ésta de una manera más
eficiente. Con la tesis “Etnomatemáticas en trabajos de artesanía andaluza. Su
integración en un modelo para la formación de profesores y en la innovación del
currículo escolar” el autor logró implementar una propuesta centrada en
“microproyectos” de enseñanza cuyo objetivo central era el análisis de los
“escenarios artesanales andaluces” en las aulas de clase de alumnos de la asignatura
Didáctica de las Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Educación de la
Universidad de Granada, obteniendo la construcción de nuevas teorías para mejorar
principalmente el currículo de las matemáticas escolares.
Romero (1995), en su trabajo titulado “La Introducción del Número Real en
Educación Secundaria”, estudiando elementos tales como la organización del
contenido, la interacción social entre alumnos y profesor y la comprensión de los
contenidos por los alumnos, y utilizando una propuesta didáctica basada en el
“estudio de la evolución histórica y epistemológica del concepto de Número Real y
de los sistemas de representación que permiten aprehenderlo en los ámbitos de las
representaciones numéricas y geométricas” (Op. cit., 1995:1), obtuvo resultados
satisfactorios en la triple dimensión, contenido-interacción social-comprensión.
Como se puede apreciar, los elementos epistemológicos, sociales y psicológicos se
integran para darle una mejor explicación al problema de la enseñanza-aprendizaje
de la Matemática, tal como se pretende hacer desde la perspectiva de nuestra
investigación.
Miñán (1996), planteó en su investigación “Resolución de Problemas en
alumnos con necesidades Educativas Especiales” la problemática de la deficiencia
de los procesos cognitivos de los alumnos, a quienes consideró con necesidades
educativas especiales; el autor abordó la situación a través de un modelo didáctico
que consistió en el uso de un método formalizado de resolución de problemas
matemáticos para mejorar estas deficiencias. Destacó que los resultados obtenidos
son aplicables a la enseñanza en el aula de clase, a la formación de futuros profesores
y al desarrollo profesional de los profesores en activo; sin embargo, esta experiencia
de investigación tuvo mejores resultados con los alumnos de escolarización ordinaria
41
que con los alumnos de integración o con necesidades educativas especiales, donde
las estrategias que tuvieron mayor impacto fueron el uso de la autopregunta, la
visualización y la estimación; y en una fase más decisiva, la autocomprobación.
Otros de los aspectos que analizaremos en nuestra investigación es el
razonamiento inductivo en la construcción de los aprendizajes matemáticos. Al
respecto Ortiz (1997) en su investigación “Razonamiento inductivo Numérico, un
estudio en Educación Primaria”, expone en primer lugar que en este tipo de
razonamiento “intervienen procesos mentales, lógicos o aritméticos, implícitos en la
realización de inferencias o generalizaciones inductivas en series numéricas así
como los conceptos y propiedades del número que se utilizan en dichos procesos”
(Ortiz, 1997:1), por lo tanto se le asigna un lugar de mucha importancia dentro del
estudio del área de pensamiento numérico. Las unidades de análisis en el
mencionado estudio fueron desde los libros-textos editados en España, hasta los
propios alumnos que aportaron información sobre su desarrollo cognitivo a través de
entrevistas clínicas. El resultado final fue la construcción de un “modelo teórico
evolutivo” que difiere de la realidad o contexto de estudio.
Siguiendo con el tema de razonamiento matemático, tenemos las aportaciones
de Roa (1999:1), quien a través de su estudio, “Razonamiento Combinatorio en
estudiantes con preparación matemática avanzada”, resalta que: “a pesar del
carácter elemental de los problemas combinatorios seleccionados, los estudiantes
tienen dificultades importantes para resolverlos debido a la estructura compleja de
los procesos de resolución requeridos, puesta de manifiesto mediante un análisis de
tipo semiótico, y a deficiencias en la enseñanza de la combinatoria que enfatiza el
estudio de las fórmulas de las operaciones combinatorias en detrimento de
componentes más primarios del razonamiento combinatorio”.
Hay que considerar un breve análisis de estos resultados, porque en él se
manifiesta uno de los grandes problemas en la enseñanza de la Matemática, que es el
dominio deficiente del lenguaje de esta ciencia en un porcentaje considerable de
alumnos; el sistema de signos o símbolos que los profesores utilizan, muchas veces
no es significativo para la mayoría de los estudiantes, esto implica el diseño de
programas que profundicen en este aspecto que está estrechamente relacionado a la
organización de la información como fase inicial y fundamental en la construcción
de todo aprendizaje.
Por otra parte también se deben tomar estrategias de enseñanza que eviten el
uso excesivo del mecanicismo en la aplicación de fórmulas que carecen muchas
42
veces de un verdadero significado para el alumno que las aplica. Existen elementos
más importantes con los que se debe iniciar el desarrollo de los contenidos
matemáticos, dentro de los cuales destacan la resolución de problemas de uso
cotidiano en donde el alumno se sienta protagonista de su propia realidad, y la
ejecución de proyectos cuyos temas hayan sido elegidos entre alumnos y profesores
que impliquen una finalidad práctica y curricular a la vez.
Profundizando aún más en el aspecto de los procesos cognitivos, citamos a
Ibáñez (2000), en su trabajo, “Aspectos Cognitivos del Aprendizaje de la
Demostración Matemática en alumnos del primer curso de Bachillerato”.
Empleando una metodología cualitativa en el estudio de tres focos de atención:
esquemas de pruebas de los alumnos, el reconocimiento de procesos matemáticos, y
el estudio de la influencia de la utilización de algunas expresiones en teoremas, llegó
a la conclusión de que en este nivel los estudiantes todavía no han desarrollado las
habilidades necesarias para asumir el proceso de razonamiento deductivo para la
comprensión y demostración de teoremas. Utilizan con mayor énfasis esquemas
cognitivos de “pruebas inductivas” y sistemas “intuitivos axiomáticos”. Finaliza
recomendando este aporte teórico para una reestructuración fundamental
principalmente en el currículo implementado en este nivel de Educación.
Aguiar (2001), nos presenta un estudio titulado “El Diálogo en el aula ¿Una
alternativa al tradicional método de selección natural en la Enseñanza de la
Matemática?”, en donde explica a través de un enfoque etnográfico educativo la
problemática planteada de la investigación desde tres directrices o niveles de análisis:
la integración del alumno a la Universidad, el proceso de enseñanza-aprendizaje, y la
evaluación de profesores y alumnos, para finalmente proponer acciones concretas
para atender a cada uno de estos niveles, dentro de las cuales se destacan:“el trabajo
en grupo, la formación de un club de Matemáticas, el análisis de las
preconcepciones matemáticas de los estudiantes y la elaboración de trípticos
informativos para acerar al alumno a la realidad que dio origen al conocimiento
matemático” (Op. cit., 2001:1).
La tesis doctoral: “Formación inicial de profesores de Matemáticas:
enseñanza de funciones, sistemas de representación y calculadoras graficadoras”,
realizada por Bedoya (2001), se concretó en el diseño, planificación, implementación
y evaluación de un Programa de formación inicial de profesores de Matemática de
Educación Secundaria, en donde se necesitó principalmente por parte del docente de
un análisis didáctico integrador (de contenido, cognitivo y de instrucción) para
obtener los resultados deseados, que consistieron, según este autor en “el diseño,
43
realización, implementación y evaluación de necesidades, viabilidad y resultados del
programa, el cual tiene tres tipos de funciones o fines: servir como metodología
(macro-instrumento y técnicas) de investigación educativa, aplicarse como unidad
formativa de profesores de Matemáticas en relación con el sistema conceptual o
modelo parcial de los organizadores y constituir una propuesta de innovación
curricular universitaria y secundaria” (1). Además, el análisis descriptivo,
cualitativo e inferencial de los resultados objetivos y subjetivos del Programa,
aportaron información importante para la caracterización particular del conocimiento
didáctico de los futuros profesores de Matemática.
También Arreche (2001), en su tesis doctoral, “Formación Matemática de los
maestros” plasmó una vez más el tema de la formación del docente de matemáticas,
pero desde la vertiente del dominio del conocimiento matemático, y específicamente
con estudio de las relaciones de los conjuntos con los números naturales. Las
conclusiones a las que llegó sugieren que “la formación matemática de los maestros
debería contemplar el estudio de las nociones básicas de la teoría de conjuntos, por
el papel de las nociones conjuntistas en las diversas construcciones de los números
naturales. El estudio cognitivo muestra que las nociones conjuntistas presentan
índices de dificultad elevados para los maestros en formación por lo que se requiere
asignar un tiempo adecuado y mejorar las propuestas didácticas correspondientes.
El enfoque metodológico implementado en esta investigación se puede aplicar en
problemas didácticos similares, en particular la técnica de análisis semiótico
aplicada en el análisis de textos y transcripciones de las clases” (2).
Dentro de los trabajos de investigación que se han desarrollado en
Universidad Nacional “Ezequiel Zamora”, destacan los trabajos de Brashi (1993)
quien centró su investigación en la elaboración y evaluación de Módulos de
enseñanza-aprendizaje para el sub-proyecto Matemática II. Brashi observó que los
mismos tuvieron una aceptación general del 73%, siendo la “calidad” del material el
criterio de mayor aceptación con el 80,9% y el contenido con el 79,9%. El criterio de
menor aceptación resultó ser la utilización grupal con 64%, seguido por la utilización
individual con 62,7%. Por otro lado, Guerra (1994) realizó un estudio de los factores
que incluyen en el rendimiento académico estudiantil en el sub-proyecto Matemática
I, del Programa Complementación en la UNELLEZ-Barinas, dejando claro que: “Los
factores docentes que estuvieron correlacionados e influyeron en el rendimiento
académico fueron la responsabilidad del docente, la organización de la clase, la
motivación de la enseñanza-aprendizaje, la preparación de la clase, la presentación
de los contenidos y la dinámica de la enseñanza” (166).
44
También Orsini (1994) en su estudio de correlación entre actitud hacia las
matemáticas y el rendimiento académico en el sub-proyecto Matemática I en las
carreras de Contaduría Pública y Administración en la UNELLEZ-Barinas determinó
que “el 72% de los estudiantes del grupo ‘alto’ aprobaron el curso, mientras que
solamente el 40% del grupo ‘bajo’ pudo lograrlo”; esta investigación sólo se centró
en un estudio correlacional entre las variables actitud y rendimiento, llagando a la
conclusión de que una mejor actitud hacia las matemáticas por parte del alumno
influye significativamente en el rendimiento académico.
Investigaciones como la de Castro & Rico (1994), ponen también de
manifiesto un elemento del desarrollo del pensamiento, al exponer que “la
comprensión de los escolares, la noción de representación y los procesos mediante
los que dicha comprensión se alcanza, son factores determinantes para valorar el
conocimiento matemático de los escolares”.
En el trabajo de investigación de Castro (1994), que lleva por título
“Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales”, se
obtuvieron resultados interesantes centrados en el uso de tres sistemas simbólicos:
configuraciones puntuales, simbólico estructurado (sistema decimal de numeración)
y operatorio (desarrollos aritméticos) para las sucesiones lineales y cuadráticas de
números naturales de diferentes representaciones. Uno de los hallazgos significativos
se verificó en la efectividad de la habilidad mostrada por los alumnos en las tareas de
continuar o extrapolar términos de una secuencia mediante el uso alternativo de los
diferentes sistemas simbólicos de representación y las interpretaciones y traducciones
entre ellos.
Por su parte Morales (1995) en su trabajo titulado “Efectos de una didáctica
centrada en la resolución de problemas empleando la técnica Heurística V de Gowin
(1988) y mapas conceptuales en razonamiento matemático de los alumnos de noveno
grado de educación básica”, llegó a la conclusión de que los alumnos del grupo
experimental a los cuales se le aplicó una propuesta didáctica basada en la resolución
de problemas utilizando como técnicas el mapa conceptual y la V de Gowin (1988),
las cuales facilitan la organización de la información de los contenidos a ser
desarrollados durante la clase, desarrollaron con ello la comprensión global de los
conceptos, definiciones y teoremas para la resolución de un problema. Estos
estudiantes no sólo aumentaron significativamente el rendimiento académico, sino
que también sus calificaciones resultaron ser significativamente superiores a las
obtenidas por el grupo control, donde se siguió el esquema convencional de
enseñanza centrada en la clase magistral del profesor.
45
Otra investigación que se destaca es la realizada por Sequera (1996), quien
llegó a conclusiones interesantes después de haber aplicado un diseño instruccional
en un curso propedéutico para el ingreso de estudiantes a la Universidad de
Carabobo-Venezuela, cuyo objetivo principal era determinar el efecto de este diseño
en el desempeño de los alumnos en la asignatura Introducción a la Matemática. En la
investigación, los alumnos del grupo experimental utilizaron el material instruccional
novedoso caracterizado por una enseñanza estructurada de lo sencillo a lo complejo,
denominada aprendizaje jerárquico cuyo representante máximo es Robert Gagné; los
estudiantes obtuvieron un rendimiento mayor al del grupo control, indicando con
esto que el diseño instruccional para el curso propedéutico influyó positivamente y
mejoró los conocimientos básicos de operaciones matemáticas, pues de un promedio
de 7,44 puntos alcanzaron un promedio de 14,83 puntos, no obstante, no hubo
diferencias significativas en cuanto al rendimiento obtenido por ambos grupos en la
asignatura Introducción a la Matemática.
Además Sutherland et al. (1996) en una investigación titulada “Cultura y
Cognición Caso de las Matemáticas y la Ciencia” nos exponen los resultados de un
proyecto mexicano-británico cuyo objetivo principal era el de investigar el uso de las
hojas de cálculo como medio para expresar y resolver problemas matemáticos de
modelación en biología, química y física. El estudio se efectuó con dos grupos de
estudiantes de ciencias cuyas edades oscilaban entre los 16 y 18 años. Uno en una
escuela estatal londinense y otro en una escuela privada en la Ciudad de México. Los
investigadores llegaron a la conclusión de que: “Hay también muchas maneras en las
que la cultura matemática escolar determina las formas en las que los estudiantes
atacan problemas de álgebra y modelación en Matemática. Los resultados también
muestran que las experiencias matemáticas escolares previas estructuran las
prácticas matemáticas en la ciencia escolar” (14).
Por otro lado Gallardo (1996:220) con su trabajo “El paradigma cualitativo
en matemática educativa. Elementos teórico-metodológicos de un estudio sobre
números negativos” llegó a la conclusión de que “los análisis histórico-crítico y
clínico aportaron los elementos necesarios para la descripción de los procesos
cognitivos del sujeto en la construcción del número negativo”. El componente
clínico se basaba en entrevistas personales con el alumno a través de cuestionarios
con el fin de registrar la observación del mayor número posible de hechos en un solo
individuo.
Otro trabajo interesante es el de Arrieta (1996), donde se estableció como
objetivo “identificar variables que influyeran en el Rendimiento en Matemáticas de
46
los alumnos de 6° de E.G.B. (11-12), sobre las cuales basar un diagnóstico
individual de los alumnos y poder adoptar decisiones instruccionales que ayudasen a
mejorar dicho rendimiento”, para luego construir un modelo final donde se
incluyeran variables como: “Inteligencia general, memoria, hábitos de estudio,
autoconcepto académico, comprensión lectora y resolución de problemas que sirva
de guía para una eficaz intervención en el aula”.
En investigaciones realizadas sobre los factores sociales y académicos que
influyen en el rendimiento académico de alumnos del sub-proyecto Matemática I de
la UNELLEZ-Apure, de acuerdo con Lobo (1996:1), se determinó “la no existencia
de una relación estadísticamente significativa entre los hábitos de estudio y el
rendimiento académico de los estudiantes en Matemática I, por lo tanto, el
instrumento empleado carece de validez predictiva, explicable en parte por el bajo
conocimiento del vocabulario matemático [...]; el mayor porcentaje de los
reprobados han cursado el sub-proyecto una vez en la modalidad regular y ninguna
en autoestudio e intersemestral; esto indica un considerable nivel de deserción en el
sub-proyecto Matemática I”.
Otra investigación relacionada con la puesta en práctica de propuestas
didácticas es la de Acuña (1996), titulada “Un modelo de tratamiento didáctico para
la enseñanza del razonamiento deductivo y de la demostración en el nivel medio
superior”, desarrollada en función de cuatro momentos: tratamiento inductivo,
elaboración de conjeturas, tratamiento deductivo y ampliación de conceptos. Como
conclusión del estudio se determinó un “cambio de actitud positiva en los profesores
respecto a la utilización de estrategias que involucren pruebas empíricas e
intelectuales así como de un trabajo de elaboración de conjeturas, que permite
reformular el concepto de rigor matemático, para el desarrollo de la enseñanza del
razonamiento deductivo y de la demostración en el nivel medio superior” (107).
En estudios realizados sobre los métodos que utilizan los alumnos para
resolver problemas se ha encontrado dentro de los resultados principales que “los
estudiantes implicados en el estudio, muestran mayores dificultades para resolver
problemas que involucren situaciones de variación proporcional de magnitudes
continuas que aquellos problemas que involucren situaciones de variación
proporcional de magnitudes discretas” (Pernía, 1997:222); por otro lado, también se
comprobó una relación de dependencia entre el dominio de las operaciones básicas
con números naturales y la resolución de problemas que implican el uso del concepto
de proporción.
47
Otro estudio efectuado en la UNELLEZ-Guanare por Henriquez (1998),
sobre el rendimiento académico que obtienen los alumnos del sub-proyecto
Matemática III en función de los regímenes regular y curso intersemestral bajo los
cuales cursaron Matemática II, presentó como conclusión significativa, una
diferencia contundente a favor del grupo que cursó Matemática II en el régimen
regular en comparación con los estudiantes que aprobaron el mismo sub-proyecto en
cursos intersemestrales, por lo que el aprendizaje que obtuvieron en esta modalidad
de recuperación académica es poco significativo, y como señala el autor se pierde en
poco tiempo.
También cabe mencionar el estudio realizado por Ramírez (1998) para
desarrollar su trabajo de tesis “Propuesta metodológica para la enseñanza de tópicos
de Álgebra Lineal en el bachillerato del colegio de Ciencias y Humanidades”; esta
propuesta fue aplicada a la tercera Unidad del Programa de Matemática II del plan de
estudios actualizado (PEA) en el plantel Neucalpan. Las estrategias de aprendizajes
en las que se basó dicha propuesta están centradas en el constructivismo, y fueron
aplicadas a dos grupos experimentales con resultados satisfactorios. “Sobre la
aplicación de su metodología en dos grupos de experimentación, en contraste con
tres grupos de control, se obtuvieron los siguientes resultados en aprovechamiento:
los grupos de experimentación tuvieron mayores porcentajes (del 57.8 y del 72.9 por
ciento); mientras que los de control, en los cuales no se aplicó la metodología ni se
dispuso de materiales didácticos; el porcentaje de aprovechamiento fue menor (de
47.6, 29.16 y 47.36 por ciento)” (1).
En este sentido, en el trabajo de Vivas, (1998:61) “se analizaron de 68 (27%)
a 289 (72%) estudiantes, cursantes de matemática I y II. Los estudiantes mostraron
niveles bajos en los diferentes razonamientos evaluados. De acuerdo con los
resultados del test de Lawson 7,4% de los sujetos están en operación formal y 1,7%
según los resultados del test Galt”, estos resultados coincidieron con una correlación
alta positiva entre el rendimiento en matemática y los niveles cognoscitivos medidos
por los test, lo que hace concluir también en la evidente necesidad de desarrollar
estrategias para superar la deficiencia en las habilidades básicas del pensamiento
formal que poseen los alumnos para que puedan internalizar los aprendizajes
matemáticos que se imparten en las distintas carreras que ofrece la UNELLEZ.
Como podemos ver estas son variables esenciales que determinan también el
desarrollo del pensamiento y su autorregulación, sin embargo, se necesita ir a una
aplicación directa en el aula y evaluar la eficacia de estos modelos, razón por la cual,
48
con esta investigación queremos actuar en la práctica educativa implementando este
modelo de autorregulación del pensamiento formal.
El proyecto de investigación realizado por Arias (1999), también ofrece
importantes aportaciones en esta línea de investigación, utilizando un diseño cuasi-
experimental para determinar la relación causa-efecto entre un Módulo Instruccional
y el nivel de conocimientos matemáticos, encontró que “el nivel de comprensión
alcanzado por el grupo experimental fue superior al alcanzado por el grupo control,
por lo que el Módulo Instruccional de Nivelación Matemática, mejora la
comprensión, dominio de contenidos, la habilidad de cálculo, es decir, un mayor
nivel de conocimiento” (Arias, 1999:61).
Otro trabajo interesante es el de Orsini (1999), quien realizó estudios
importantes sobre los procesos cognitivos que activa el docente de Matemática y la
relación que tienen estos con su eficacia en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
determinando que “un docente con un nivel de eficacia alto, utiliza sus procesos con
una relación de uso-proceso significativamente directa y procesa la información
utilizando preferiblemente el método de resolución de problemas” (Orsini 1999:165),
es decir que al aplicar procesos cognitivos más elevados mayor será la tendencia
hacia una enseñanza más eficaz por parte del profesor, sin embargo, en la
investigación también se constató que dentro de la muestra de docentes un porcentaje
mínimo usaba los procesos complejos de síntesis y verificación para el desarrollo de
sus clases, en consecuencia se puede desprender la necesidad de diseñar un modelo
didáctico centrado en procesos cognitivos complejos que son los que caracterizan la
autorregulación del pensamiento matemático para lograr no solamente mayor
eficacia docente, sino también la del estudiante.
La investigación realizada por Cubillo & Ortega (2000), nos proporciona
información sobre la influencia que tienen los procedimientos de enseñanza de un
modelo didáctico en la actitud-opinión de los alumnos. El objetivo del estudio era la
implementación en el aula de un Modelo de gestión mental de A. de La Garandeire
(1983) para determinar su influencia en la opinión y actitud de los alumnos, con lo
cual obtuvieron las conclusiones siguientes:
- “La importancia que los alumnos le conceden a las matemáticas para su
formación general es alta, y esta valoración se ve ligeramente modificada, de
forma positiva, a partir de la experiencia.
49
- A partir de la valoración altamente positiva, que hacen los alumnos de los
materiales, se puede interpretar que la experiencia ha sido positiva para su
método de trabajo.
- Se observa que la participación, autoevaluación y el trabajo con los
materiales son los hechos más significativos” (Cubillo & Ortega .2000:13).
Gutiérrez (2002), enfocó su investigación en la repercusión que tienen sobre
los métodos de enseñanza las diferencias entre los lenguajes de alumnos latinos de
educación primaria, media y preparatoria en escuelas estadounidenses, determinando
que un análisis del trabajo de maestro con estudiantes latinos se demuestra que
algunas de las estrategias usadas en la escuela elemental y media por los maestros
escolares y maestros de aprendices del idioma ingles también tienen éxito con latinos
de la escuela secundaria en los que el inglés el idioma dominante.
Estas estrategias incluyen actividades tales como: la organización de
estudiantes para trabajar en grupos, permitiéndoles a los estudiantes trabajar en su
idioma primario, complementado con materiales escritos como libros-textos, y
construyendo el conocimiento previo del estudiante, sin embargo, las implicaciones
para la investigación, las políticas educativas futuras, y para la educación del maestro
son todavía discutibles. Cabe destacar que este fue un estudio cualitativo que obtuvo
resultados óptimos, puesto que, el análisis de las observaciones de los maestros, las
declaraciones de los estudiantes, las entrevistas realizadas en salón de clases, las
interacciones sociales, y las necesidades matemáticas pusieron el desarrollo de
prácticas instruccionales eficaces para los estudiantes latinos en su contexto local.
Carbonero & Navarro (2006) en su investigación titulada “Entrenamiento de
los alumnos de Educación Superior en Estrategias de Aprendizaje en matemáticas”
se obtuvieron resultados satisfactorios con el Programa al ser aplicado al grupo de
alumnos que formaron parte del grupo experimental, el cual demostró cambios
significativos en el dominio de estrategias de selección, organización, elaboración y
verificación y de las estrategias de aprendizaje en general, demostrando con ello la
eficacia del Programa de estrategias de aprendizaje.
50
I.5.2. Conclusiones
En la Tabla 1.3 podemos apreciar un resumen sobre las dimensiones
estudiadas en las diferentes investigaciones consultadas:
Destacamos en primer lugar la relevancia atribuida por los investigadores a
los fundamentos psicológicos, los cuales son comunes en la gran mayoría de los
trabajos de investigación consultados relacionados con nuestra línea de
investigación, por lo que el enfoque psicológico y sus fundamentos para la Didáctica
de la Matemática son de gran importancia para conocer los procesos internos que se
desencadenan en la construcción del aprendizaje matemático, y de esta forma
responder a dos grandes preguntas: ¿cuándo y en qué condiciones logramos el
aprendizaje ? y ¿cómo construimos nuestro aprendizaje?
Temas de investigación Autores Práctica pedagógica y
proceso didáctico Aspectos psicológicos Aspectos sociales
Fernández (1990) Desarrollo cognitivo numérico, resolución de problemas y actitud
Oliveras (1994) Currículo escolar Etnomatemática Romero (1993) Organización del
contenido Comprensión Interacción social
Miñan (1996) Resolución de problemas, procesos cognitivos
Brashi (1993) Material instruccional Henríquez(1998) Material instruccional Arias (1999) Material instruccional Orsini (1994) Actitud y rendimiento Castro & Rico (1994)
Lenguaje formal y razonamiento deductivo
Morales (1995) Resolución de problemas y mapas conceptuales
Sequera (1996) Material instruccional Enseñanza estructurada Sutherland et al (1996)
Cognición Cultura escolar
Gallardo (1996) Procesos cognitivos Arrieta (1996) Inteligencia, memoria y auto
concepto
Miñan (1996) Resolución de problemas y procesos cognitivos
Acuña (1996) Razonamiento deductivo Ortiz (1997) Razonamiento inductivo Pernía (1997) Resolución de problemas Lobo (1996) Hábitos de estudio y
rendimiento
Ramírez (1998) Estrategias de aprendizaje constructivistas
Vivas (1998) Desarrollo cognitivo Orsini (1999) Procesos cognitivos
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Temas de investigación Autores Práctica pedagógica y
proceso didáctico Aspectos psicológicos Aspectos sociales
Roa (1999) Razonamiento deductivo y lenguaje matemático
Cubillo & Ortega (2000)
Modelo Didáctico Actitud Opinión, relaciones interpersonales
Ibáñez (2000) Razonamiento deductivo Bedoya (2001) Diseño, planificación,
implementación y evaluación de programa de formación
Procesos cognitivos
Aguiar (2001) Integración social del alumno
Carbonero & Navarro (2006)
Estrategias de aprendizaje
Tabla 1.3. Investigaciones consultadas en el área de Didáctica de las Matemáticas y las dimensiones estudiadas.
Las dimensiones de mayor interés para los investigadores van desde los
procesos cognitivos que se originan en la resolución de problemas hasta la
comprensión y memorización, hábitos de estudio y autoconcepto del alumno; éstas se
relacionan en gran medida con nuestro estudio, el cual está centrado en la enseñanza
de estrategias de aprendizaje desde el punto de vista constructivista. Esto se
manifiesta en los resultados obtenidos por el estudio cienciométrico elaborado por
Fernández et al. (2003), en el que se presenta una clasificación de las tesis doctorales
españolas en el período comprendido entre 1976 y 1998, resultando con mayores
porcentajes los estudios sobre Educación e Instrucción en Matemática con 83%, y,
sobre Psicología de la Educación Matemática con 80,7%.
Por otro lado observamos un considerable desinterés por el estudio de la
dimensión social, la cual reviste una trascendencia actual en el estudio del proceso
didáctico de cualquier disciplina; sólo cuatro líneas de investigación centraron sus
análisis en aspectos sociales, tales como la Etnomatemática, el proceso de interacción
social, la cultura escolar y la integración del alumno, líneas que son fundamentales y
que representan una novedad en la construcción de la Didáctica de la Matemática
como disciplina científica. A través de la presente investigación pretendemos
contribuir al desarrollo de las líneas anteriores, complementando y ampliando el
desarrollo de las dimensiones del clima social del aula y la actitud del alumno, y de
esta manera, ampliar sus horizontes científicos.
Los aspectos relacionados con la práctica pedagógica y el proceso didáctico
en general también han sido tenidos en cuenta. La mayor parte de los estudios
prestaron atención a la elaboración, diseño y evaluación de materiales instruccionales
52
con características particulares desde el punto de vista psicológico, ofreciendo una
alternativa diferente a los textos tradicionales para la enseñanza de la Matemática;
sin embargo resaltamos que en nuestra investigación ofrecemos más aportes para la
reorientación de la práctica pedagógica en las matemáticas, principalmente desde una
propuesta didáctica cuyos lineamientos teórico-prácticos integren de manera
equilibrada los enfoques no sólo psicológicos, sino también, epistemológicos,
sociales y científicos de la Didáctica de la Matemática. Este enfoque integrador está
fundamentado en el modelo tetraédrico de Higginson (1980), citado por Godino
(2000), utilizado para representar las principales ciencias que integran a la Didáctica
de la Matemática, el cual presentamos a continuación:
Finalizamos este apartado resaltando, mediante el siguiente cuadro
comparativo (Tabla 1.4.), los diferentes enfoques que las investigaciones consultadas
en los antecedentes de nuestro trabajo de investigación utilizaron para obtener sus
respectivos logros científicos.
Nº Cuantitativo Nº Cualitativo
1 Fernández (1990) 1 Oliveras (1994) 2 Brashi (1993) 2 Romero (1995) 3 Orsini (1994) 3 Gallardo (1996) 4 Morales (1995) 4 Miñan (1996) 5 Sequera (1996) 5 Ortiz (1997) 6 Morales (1995) 6 Ibáñez (2000) 7 Lobo (1996) 7 Cubillo & Ortega (2000) 8 Henríquez (1998) 8 Aguiar (2001) 9 Ramírez (1998) 9 Arreche (2001) 10 Vivas (1998) 10 Gutiérrez (2002) 11 Arias (1999) 12 Orsini (1999) 13 Carbonero & Navarro (2006)
Tabla 1.4. Enfoque de investigación utilizado en las investigaciones consultadas.
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
FILOSOFÍA SOCIOLOGÍA
MATEMÁTICAS PSICOLOGÍA
53
Se constata que 13 de las 23 tesis consultadas siguieron un enfoque
cuantitativo, es decir la mayoría de las investigaciones se inclinaron por este
enfoque, lo que representó un 56,52% de las investigaciones citadas, incluso la más
actual de Carbonero & Navarro (2006) utilizaron un diseño cuasi-experimental, lo
cual nos indica un predominio en nuestro país del enfoque cuantitativo para la
investigación. También en la Tabla observamos estudios de Tesis Doctorales
consultadas electrónicamente en la base de datos Teseo de las universidades
españolas, el predominio de diseños de investigación bajo un enfoque cualitativo,
representando el 43,48% del total y 100% de los estudios españoles, los que nos
indica su factibilidad y adecuación para lograr un mejor estudio de las áreas de las
Ciencias Sociales, como la Educación. Por ello, en nuestro estudio apostamos por un
enfoque cualitativo.
54
I.6. BASES TEÓRICAS
En el presente trabajo de investigación se hace necesario la exposición de los
aspectos fundamentales de las diferentes teorías psicológicas de aprendizaje que han
explicado los procesos de enseñanza, aprendizaje y evaluación, en consecuencia
podemos construir una conceptualización clara y precisa del tema de investigación de
nuestro trabajo, sin embargo, la intención es lograr una descripción sucinta de los
enfoques tanto conductistas como constructivistas y analizar sus principales
aportaciones a la Didáctica de la Matemática.
I.6.1. La Psicología del Aprendizaje y sus aportes a la Didáctica de la
Matemática: desde el conductismo hasta el constructivismo
Es indiscutible la valiosa contribución que nos ha dejado la Psicología en
estos últimos cien años para redireccionar no solamente el proceso didáctico de la
Matemática, sino también el de otras áreas importantes del saber que conforman los
programas de estudio en los diferentes niveles educativos. “El enfoque psicológico
intenta comprender qué hacen los alumnos cuando se encuentran frente a las
Matemáticas. Se asume que el aprendizaje de las Matemáticas tiene su propia
psicología, que los estudiantes y profesores tienen ideas propias acerca de las
matemáticas en las situaciones de aprendizaje y que los profesores estarán mejor
equipados para su tarea si pueden comprender cómo se ven las Matemáticas desde
la perspectiva del que aprende” (Gómez, 2000:62). Por lo tanto, es de vital
importancia la exposición de una síntesis de la evolución de la Psicología el
Aprendizaje, que puede ir desde el conductismo hasta las corrientes cognitivas y de
su aplicación la enseñanza llamado, constructivismo.
I.6.1.1. El conductismo o asociacionismo
Se puede decir que el primer intento contemporáneo de explicar cómo
aprendemos, lo hizo la Psicología conductista, que a pesar de tener una visión
reduccionista del proceso de enseñanza-aprendizaje legó las primeras contribuciones
en esta materia. Este enfoque explica la asociación estímulo-respuesta como el
mecanismo que se desarrolla en el momento en que un sujeto aprende; por esta razón
también se conoce como enfoque asociacionista. Como máximos representantes
dentro de esta corriente se encuentran Pavlov (1927) con su famosa teoría del
condicionamiento clásico, Skinner (1977) con su teoría del refuerzo explicada a
55
través del condicionamiento operante, y Thorndike (1913) con sus leyes del efecto y
del ejercicio; seguiría una corriente neoconductista representada por Gagné (1977).
Quizás lo más relevante del conductismo es el gran impacto que ocasionó en
la primera mitad del siglo XX sobre la estructuración del currículo de la aritmética
elemental que se enseña a los alumnos en sus primeros años de escolaridad. Según
Gómez (2000:77) “Sus implicaciones en el currículo pueden observarse en
cualquiera de los libros de textos de Aritmética bajo el principio general de que la
instrucción debe basarse en la enseñanza directa y en la fragmentación del currículo
en un número de partes aisladas para ser aprendidos con el esfuerzo apropiado”;
hay que señalar también que este esquema se mantiene aún arraigado en la mayoría
de los programas de estudio de las matemáticas que forman parte de los diseños
curriculares del siglo XXI.
Con el condicionamiento clásico y operante, Pavlov y Skinner querían
explicar el aprendizaje humano a través de experimentos animales que consistían en
condicionar las respuestas o conductas de ciertos especimenes a estímulos
alimenticios, es por esto que el conductismo define al aprendizaje como un cambio
de conducta observable en el individuo por un período largo de tiempo, que depende
principalmente del ambiente, “el aprendizaje operante es el aprendizaje de
respuestas instrumentales que surtieron efecto en el ambiente del individuo y que,
por lo tanto, fueron aprendidas mediante el refuerzo […]. En este sentido, el hombre
es simplemente un animal que ha ido más lejos que los otros en la escala
psicogenética” (Araujo & Chadwick.1988:81).
Unos de los principales aportes de Skinner fue el aprendizaje programado,
“La repercusión más importante para la educación de los planteamientos de
Thorndike vino de las reformulaciones hechas por Skinner y de sus aplicaciones en
el diseño de máquinas de enseñanza y en la teoría de la instrucción conocida como
enseñanza programada” (Hernández & Sancho, 1993:61), dando origen a una serie
de textos instruccionales, no solamente en las matemáticas, sino también en otras
áreas del saber, centrados en el autoaprendizaje a través del refuerzo positivo o a lo
que muchos pedagogos llamaron como retroalimentación o “feed back”. Hay que
destacar que esta estrategia inició la preocupación por dejarle más autonomía al
estudiante con su aprendizaje sin desprenderse de la orientación docente, sin
embargo la interacción social es un poco difícil de lograr a través de este método que
aún en la actualidad es utilizado principalmente en la educación a distancia.
56
Otras de las ventajas de este enfoque didáctico es la secuencia y la dirección
que tienen los materiales, y que los alumnos pueden recibir retroalimentación en el
momento oportuno, sin embargo, puede presentar desventajas, tales como la
repetición de concepciones erróneas por el alumno producto de la selección que este
realice de rutas inapropiadas de aprendizaje o quizá el material carezca de interés y
motivación, por lo cual se debe tener mucho cuidado con estos criterios en el
momento de diseñar estos tipos de materiales, es por esto que la principal desventaja
de este enfoque sea el de “considerar al estudiante como un mero ejecutor de lo
programado por el profesorado, a no tener en cuenta las conductas y los
aprendizajes divergentes o relacionales, a centrarse en el almacenamiento de la
información y no en su procesamiento , a fomentar respuestas homogeneizadoras...”
(Hernández & Sancho, 1993:61).
Thorndike, unos de los primeros precursores del conductismo en la aplicación
de la enseñanza de la Matemática, se destacó por sus famosas leyes del ejercicio o
frecuencia y del efecto. La primera Ley consiste en la asociación directa de una
respuesta a una situación dada, la cual se irá asociando más fuertemente a esta
respuesta dependiendo del número de veces que se presente esta última. Es por esta
razón que profesores conductistas justifican la asignación de grandes cantidades de
ejercicios y problemas con características particulares para el aprendizaje de un
determinado tema de Matemática, que por lo general conlleva a repeticiones viciosas,
no sólo por el alumno, sino también por el profesor.
La segunda Ley explica como las respuestas acompañadas de una satisfacción
implican una repetición más consistente de las mismas, mientras que las respuestas
son acompañadas por alguna incomodidad, entonces hay una tendencia a cohibirse
de repetirlas. “Son muchas las maneras en que un alumno puede obtener satisfacción
de una respuesta. En términos ideales, si una respuesta es correcta y el alumno lo
sabe, se logra satisfacción y el chico se ve reforzado” (Orton, 1990:57).
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el enfoque conductista tiene los
siguientes componentes esenciales en el proceso de enseñanza-aprendizaje, los
cuales señalamos según Crespo y Carbonero (1993):
- La instrucción es directa.
- La instrucción siempre está basada en datos.
- Las etapas del aprendizaje.
- Los principios del aprendizaje son los que influyen en la conducta
(refuerzo positivo).
57
En función de estos elementos se puede decir que para los conductistas
prácticamente el proceso de enseñanza-aprendizaje se puede controlar a través de sus
variables como si se tratara de un fenómeno natural, dando origen a estudios de tipo
experimental en contextos sociales y complejos, que a pesar de realizar interesantes
aportaciones al campo de la enseñanza de la Matemática era evidente que el enfoque
dejaba muchos elementos del proceso sin un análisis más preciso de los mismos ,
puesto que, según los conductistas “casi toda la conducta humana es aprendida,
fruto del medio humano que refuerza unas conductas e inhibe otras. Para ellos el
papel del ambiente social, cultural, y no los determinantes genéticos, es el decisivo
«escultor» de la conducta” (Nieto, 1997:20).
I.6.1.2. El neoconductismo
Representado por Robert Gané y su teoría del aprendizaje jerárquico es otro
enfoque de la instrucción que analiza un poco más el proceso de la construcción del
aprendizaje de una manera más actualizada, pero sigue conservando rasgos
conductistas. Su idea central se apoya en el concepto de habilidades y
subhabilidades, o jerarquía del aprendizaje que consiste principalmente en un análisis
de tareas para diseñar la instrucción; para Gagné, citado por Llinares (1994:189),el
aprendizaje de la habilidad de aprender las subhabilidades que forman parte de un
orden jerárquico, naciendo de esta manera el concepto de aprendizaje acumulativo, o
como lo describe Gómez (2000:79) “las capacidades inferiores recogen el
conocimiento que se pretende fragmentado en pequeñas unidades, que se enseñarán
y evaluarán de modo separado y que generarán la transferencia de aprendizajes
previamente adquiridos a otros de orden superior”, por ejemplo, si un alumno quiere
aprender a resolver ejercicios relacionados con la potenciación de números enteros,
necesitará en este caso dominar las operaciones aritméticas fundamentales de la
adición y multiplicación de números naturales y enteros sin las cuales le resultará un
poco difícil comprender las estructuras fundamentales de las nuevas operaciones
matemáticas de la potenciación en el conjunto Z de los números enteros.
Gagné aplica al aprendizaje lo que se conoce como “Enfoques de Sistemas”,
que gira en torno a tres fases bien definidas: las condiciones de entrada o
antecedentes, los procesos internos que se dan en el proceso enseñanza aprendizaje y
finalmente los productos resultantes de la situación de aprendizaje.
En el aprendizaje, según Gagné, existe otra serie de factores tantos externos
como internos que influyen en éste. Los internos se refieren a la información fáctica
58
o práctica del alumno que puede ser presentada o recordada a partir de aprendizajes
anteriores, en segundo lugar las habilidades intelectuales y en tercer lugar las
estrategias, que vendrían a ser los estímulos externos o internos recordados a partir
de prácticas anteriores. Los factores externos son: el manejo del aprendizaje en el
tiempo, la repetición y el refuerzo.
Las variedades de los resultados de aprendizaje comprende: habilidades
intelectuales, estrategias cognitivas, información verbal, habilidades motoras y
actitudes. Los eventos de la enseñanza están íntimamente ligados a las fases y
procesos del aprendizaje, esto se puede observar en el cuadro siguiente.
Procesos Internos Eventos de Enseñanza Ejemplo de acción
Recepción Expectativa Recuperación de información hacia la memoria Percepción selectiva Codificación Semántica Emisión de una Respuesta Reforzamiento Recuperación y Reforzamiento Recuperación.
1. Generar atención. 2. Informar a los sujetos cuál es
el objetivo de aprendizaje. 3. Estimular el recuerdo de lo
aprendido. 4. Presentar el estimulo. 5. Dar “orientación” en el
aprendizaje. 6. Evocar el desempeño. 7. Ofrecer retroalimentación. 8. Evaluar el desempeño. 9. Incrementar la retención y
generalización.
- Uso de un cambio brusco de los estímulos.
- Decir a los sujetos que serán capaces de hacer después de su aprendizaje.
- Solicitar que se recuerden los conocimientos y habilidades previamente aprendidos.
- Presentar el material destacando las
características prominentes. - Sugerir una organización que tenga
significado. - Pedir al sujeto que ejecute la
actividad. - Dar al sujeto retroalimentación
efectiva. - Solicitar al sujeto que siga
actuando y continuar dándole retroalimentación.
- Proporcionar al sujeto una práctica variada y aplicarle exámenes especializados.
Tabla 1.5. Procesos Internos con Eventos de Enseñanza y los correspondientes ejemplos de acción (Gagné, 1979).
La teoría de la enseñanza de Gagné se elaboró en función de estos dos
factores esenciales, el objetivo de la misma es aplicar “un enfoque sistémico al
aprendizaje y trabajar específicamente dentro de un cuadro de referencias donde lo
más importante son las condiciones antecedentes, los procesos internos y los
productos resultantes de la situación de aprendizaje” (Araujo & Chadwick.1988:49).
59
Se destaca también el aprendizaje acumulativo jerárquico o para el diseño de
una instrucción, donde los conceptos más complicados se subdividen en tareas más
sencillas y de esta manera poder comenzar a enseñar lo fácil para luego llegar a lo
más difícil, aspecto que se toma muy en cuenta cuando se trata de aprendizajes a
nivel cognoscitivo.
Gagné propone la necesidad de la adquisición previa de habilidades o
capacidades subordinadas o jerarquías de aprendizajes, definidas como “una
hipótesis de partida sobre la manera en que se relacionan entre sí ciertas
habilidades intelectuales” (Resnick & Ford, 1990:63).
El mismo Gagné (1977) define a la jerarquía del aprendizaje como la que
“[…] describe un camino eficaz como promedio hacia el logro de una serie
organizada de destrezas intelectuales que representan la ‘comprensión de un tema’
[…]”.
Esta enseñanza gradual y el aprendizaje jerárquico o acumulativo han sido
muy criticados por los constructivistas, sin embargo, un representante importante de
este paradigma, Harris (1994) citado por Chadwick (1998), explica cómo hay
alumnos que necesitan aprender en un cierto orden. “Esto le llevó a sugerir que
muchos educadores creen que algunos alumnos requieren enseñanza más
estructurada y explícita” (Chadwick, 1998:5), además, cita también a Coll quien
expone que la enseñanza debe poner bastante énfasis en aquellos contenidos
específicos que los alumnos deben dominar, ya que éstos no se adquieren sin una
acción pedagógica directa, razón por la cual muchos de los textos de Matemática han
sido elaborados bajo estas directrices instruccionales, y además, tradicionalmente, la
mayoría de los currícula han seguido el proceso de lo sencillo a lo complejo, no
solamente en las matemáticas sino también en las demás áreas del saber, esta es otra
de las razones que apoyan el uso del aprendizaje jerárquico, puesto que la enseñanza
estructurada podría ser más efectiva para los menos “dotados” en las habilidades
matemáticas, “en le caso de la Aritmética los diseñadores de programas de
ejercicios habían intentado dar forma a la enseñanza basándose en la progresión de
los problemas más fáciles a los más difíciles” (Resnick & Ford, 1990:57).
60
I.6.1.3. La Escuela de la Gestalt
La Gestalt no sólo propuso un enfoque distinto al del Conductismo para
explicar cómo aprendemos, sino que sus estudios se concentraron específicamente en
el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; su máximo representante
fue el Psicólogo Max Wertheimer, sostenía que se podía demostrar las diferencias
significativas entre la aplicación de un aprendizaje puramente memorístico y el
aprendizaje con significado. Katona fue uno de los primeros teóricos de esta escuela
que se preocupó por el estudio en situaciones prácticas del aprendizaje significativo
demostrando que el aprendizaje no era únicamente la memorización o retención de
una serie de elementos o asociaciones de una estructura o procedimiento, lo
fundamental del aprendizaje era la reorganización de la información para estructurar
los problemas y obtener una solución que pudiera ser aplicada en situaciones
parecidas. Según Resnick & Ford (1990:58) “Los psicólogos de la Gestalt se
distinguían por su insistencia en que la mente humana interpreta todas las
sensaciones y experiencias de entrada según ciertos principios organizativos, de
forma que, en lugar de recibir simplemente la información, se consigue algún tipo de
comprensión”.
El eje central de esta corriente psicológica es el “insight” o comprensión
súbita, con lo cual se quería explicar que, a diferencia de los teóricos del
conductismo que justificaban la resolución de problemas como un proceso de ensayo
y error, este se llevaba a cabo a través de procesos más organizados y globales para
la comprensión de la estructura total de la situación problema, o lo que Wertheimer
denominaba “Pensamiento productivo”; en consecuencia pueden utilizarse técnicas
de enseñanza para que “los aprendices se percaten de la estructura del contenido que
será aprendido y de las relaciones entre sus elementos, de modo que puedan
retenerla como un cuerpo de conocimiento organizado” (Good & Brophy,
1995:158).
Es interesante acotar que, mientras una metodología de enseñanza basada en
conductismo nos limita solamente a una repetición memorística de conceptos,
definiciones, algoritmos, procedimientos para aplicarlos en la resolución de
problemas, a través de la Gestalt se nos brinda la oportunidad de explicar las razones
de la aplicación de estos elementos o la justificación de los mismos en la solución de
un problema, “cuando se comprenden claramente las razones que hay detrás de
cualquier algoritmo, el pensador o el que resuelva problemas está en una posición
mejor para elegir el algoritmo determinado que sea más adecuado al problema que
se plantea” (Resnick & Ford, 1990:168), y esto es fundamental en el pensamiento
61
matemático; la economía en razonamiento, es el primer indicador de la inteligencia
humana, entonces no es simplemente tener los mecanismos y resolver las
situaciones-problema, sino cómo lograrlo con el menor esfuerzo posible; en
consecuencia, la recomendación para el proceso didáctico de la Matemática, es
fomentar en la presentación de los problemas el énfasis sobre sus diversos
componentes interrelacionados, de tal manera que se haga hincapié en el Insight
sobre las estructuras básicas. “La aportación principal de las teorías de la Gestalt
reside en ofrecer una alternativa al asociocionismo, poniendo de manifiesto la
imposibilidad de que el conocimiento sea de carácter acumulativo y señalando la
importancia de la comprensión global por encima de la repetición asociativa de
elementos parecidos” (Cubillo.2000:49).
I.6.1.4. Epistemología genética de Jean Piaget
En la década de los sesenta la Psicología se reorienta hacia un cambio de
paradigma en las teorías que hasta los momentos explicaban el proceso de
aprendizaje en el ser humano, unos de los principales representantes de esta corriente
fue el psicólogo, epistemólogo y biólogo suizo Jean Piaget (1.896-1.980) quien
propuso su teoría de la Epistemología genética basada en los estudios del desarrollo
de la inteligencia.
Estos aportes se han destacado por su gran significación en el entorno
pedagógico de las distintas áreas del conocimiento que conforman los programas de
estudio de la educación; cabe señalar que Piaget ha enfocado de una manera especial
sus estudios del desarrollo de la inteligencia hacia los conceptos matemáticos que
están en capacidad de adquirir los niños desde el momento en que inician sus
primeros años de escolaridad.
Su contribución hacia el perfeccionamiento de una metodología de la
enseñanza de la matemática es un hecho fundamental cuando se trata de buscar
soluciones para superar las deficiencias académicas en esta área, además, los
contenidos programáticos de la misma en el nivel de Educación Básica venezolana
han tomado como piedra angular a la Teoría piagetana para efectuar los cambios
necesarios e imprescindibles, “aunque Piaget no formuló una teoría del aprendizaje
de manera explícita, sus estudios sobre la inteligencia y la epistemología genética,
esto es, el estudio de la génesis de la adquisición del conocimiento, han aportado
algunos principios de gran importancia para la planificación y puesta en práctica de
la enseñanza” (Hernández & Sancho,1993:71). En consecuencia el conocimiento de
62
dicha Teoría es de suma importancia en cualquier investigación referente a la
enseñanza de la Matemática.
Aunque el objetivo central de esta investigación no es el de hacer un estudio
minucioso de la Psicología del Desarrollo de la Inteligencia de Piaget, se considera
vital hacer una explicación de sus aspectos generales.
Esta Teoría se basa en una relación indisociable entre el crecimiento físico y
desarrollo mental, lo cual quiere decir que el niño construye su cognición a medida
que se desarrolla biológicamente; sin embargo la edad cronológica que presenta el
infante no está estrechamente relacionada con la edad psicológica del mismo. Piaget
afirma que no puede desarrollarse ningún crecimiento intelectual sin un ambiente que
le preste apoyo al individuo. Las experiencias que el niño va adquiriendo sirven de
base para el comienzo de su desarrollo cognoscitivo, en consecuencia se, debe tener
en cuenta la maduración física del alumno y a su vez las vivencias del ambiente
donde se desenvuelve.
Piaget consideró dentro de sus estudios al conocimiento como un problema
de las relaciones entre el sujeto y el objeto. La preparación que tuvo como biólogo lo
llevó al estudio de la adaptación del ser humano al medio intelectual. “El estudio del
desarrollo cognitivo del niño es la forma metodológicamente idónea para contestar
las preguntas clásicas sobre el conocimiento humano” (Mayor.1989:117).
Jean Piaget destacó también como pedagogo por sus grandes contribuciones
hacia el campo educacional, en lo referente a la comprensión de los procesos de
enseñanza-aprendizaje y la incorporación de estrategias metodológicas y recursos
instruccionales adaptados a las características cognoscitivas del educando.
Es importante señalar que “Piaget al plantear su teoría, fue uno de los
primeros psicólogos que reconocieron que nacemos como procesadores de
información activos y exploratorios, y que construimos nuestro conocimiento en
lugar de tomarlo ya hecho en respuesta a la experiencia o a la instrucción” (Good &
Brophy, 1995:29).
Según la teoría de Piaget, dentro de los procesos cognitivos, siempre están
presentes unas propiedades, denominadas por él “Invariantes Funcionales”: la
adaptación, la asimilación, la acomodación y la organización, y una base
indispensable para su evolución, la Maduración.
63
La Adaptación es un proceso psicológico de equilibrio entre el sujeto que
conoce y un objeto nuevo, es decir, un equilibrio sujeto-ambiente. Esto requiere de
una variación de las estructuras cognoscitivas a lo largo del proceso evolutivo, por
ejemplo: el ser humano al llegar a un ambiente inhóspito que le imposibilita
satisfacer sus necesidades básicas de alimentación, vestido y/o vivienda, desarrolla
estrategias y mecanismos que van destinados a acondicionar dicho medio para la
subsistencia de sí mismo, utilizando para ello su invención e inteligencia.
La Asimilación y la Acomodación constituyen a su vez dos funciones
invariables de la Adaptación. La primera consiste en una tendencia a relacionar un
nuevo acontecimiento con las ideas que ya se poseen, por ejemplo: en varias
ocasiones se puede observar a los alumnos cuando resuelven un determinado
problema de álgebra por una estrategia inicial, al presentársele una nueva situación
de problemas diferentes, inmediatamente aplican las antiguas estrategias de
resolución para obtener las respuestas. Los alumnos han realizado esta actividad
porque el nuevo problema se parece a otro que en el pasado han resuelto con esas
estrategias. La segunda se refiere al cambio que deben sufrir las ideas o experiencias
que se poseen para superar el problema o nuevos acontecimientos que se le presentan
al individuo, por ejemplo: la primera vez que el alumno resuelve el problema con las
estrategias iniciales, al resolver otro diferente tendrá que buscar nuevas alternativas
de solución para poder superar con éxito dicha tarea, es decir, tendrá que acomodarse
a este nuevo elemento.
La Organización es una propiedad de la inteligencia, dotada de una estructura
definida, “hace referencia al modo insoslayable con que el individuo tiene que
enfrentarse con el medio” (Wilson, 1972:453). Esta organización lleva implícita un
constante equilibrio entre la asimilación y acomodación, lo que permite el desarrollo
cognoscitivo, cuando nuestras estrategias de pensamiento, información y esquemas
no superan los eventos nuevos o situaciones problemáticas inéditas de la realidad que
enfrentamos, la acomodación se encarga de reestructurar y reconstruir la evolución
de dichas estrategias de pensamiento y llegar a un satisfactorio equilibrio.
La equilibración “es la suposición motivacional básica de Piaget que sostiene
que las personas luchan por mantener un balance entre la asimilación y
acomodación conforme imponen orden y significado a sus experiencias” (Good &
Brophy, 1995:29), por lo tanto, implica procesos de autodirección y regulación
internas de los esquemas mentales. Por ejemplo, hay equilibrio cuando el adulto
realiza una actividad intelectual, todos sus razonamientos, todas sus conclusiones
obedecen a un orden y secuencialidad, basados en una estructura original que poco a
64
poco se va ajustando a las necesidades cognitivas que varían gradualmente hacia un
estado de mayor complejidad.
Estos elementos anteriormente descritos constituyen la base teórica que
Piaget y sus seguidores han denominado constructivismo, esta epistemología
“sustituye la concepción del conocimiento como copia de la realidad por una
construcción subjetiva que procede de la coordinación de las acciones ejercidas por
el sujeto sobre el objeto” (Hernández & Sancho, 1993:71).
Otros aspectos esenciales dentro de la Teoría de Piaget, los constituyen las
estructuras y esquemas mentales. La estructura mental es concebida como una serie
de acciones u operaciones relacionadas entre sí que conllevan al equilibrio o
adaptación.
En los niños de edad escolar, el sumar y multiplicar son ejemplos de
estructuras que Piaget llama operaciones. El esquema es una representación mental
de una acción. Piaget habla de esquema de succión, de prensión, etc.; por lo tanto a
medida que el niño adquiera esquemas más complejos y diferenciados, éste podrá
adquirir un desarrollo intelectual progresivo.
Se incluyen, además en esta teoría factores que son de vital importancia en la
comprensión de los procesos cognitivos de los niños, estos son: la maduración que se
refiere al desarrollo de los rasgos biológicos heredados por un individuo; la
experiencia con el mundo circundante, el medio social-afectivo y el equilibrio que
consiste en un proceso mediante el cual todo organismo busca ajustarse a las
necesidades del medio.
Cabe destacar que las actividades realizadas por el niño con objetos le van
dando al infante las posibilidades de descubrir ciertas propiedades abstractas que no
son percibidas a través de los objetos por sí solos, como por ejemplo la conservación
del número de elementos u objetos a pesar de variar la posición o conformación de
éstos.
Jean Piaget supone la existencia de Períodos o Etapas graduales en el proceso
del desarrollo de la inteligencia. Expone, además, que cada uno de ellos es un
requisito fundamental para llegar al siguiente. “Aunque no se pueden fijar los
Estadios con demasiada claridad, en cuanto a los límites de las edades, tampoco
puede cambiarse su orden de progresión, pues privaría a la secuencia de toda
65
lógica” (UNA, 1986:79). Estos estadios del desarrollo intelectual de la inteligencia
son:
- Estadio Sensorio Motor (0-2 años aproximadamente): El niño efectúa una
serie de reflejos automáticos hasta llegar a inventar nuevas formas de
resolver problemas simples, que le permite diferenciar al mundo de sí
mismo. “Puede llamársele período senso-motor porque, a falta de función
simbólica, el lactante no presenta todavía pensamiento ni afectividad
ligada a representaciones que permitan evocar a personas o a objetos
ausentes” (Piaget & Inhelder, 1982:15). El niño no distingue entre él
mismo y el mundo que le rodea, luego al final del Estadio, éste adquiere
en una forma más perfecta el concepto de permanencia del objeto. El niño
buscará ahora objetos ocultos y que no ha visto esconder, a partir de la
existencia de imágenes mentales de dichos objetos. Piaget considera que
este Estadio no está sujeto a una edad cronológica bien establecida,
generalmente se considera que va desde el nacimiento hasta los dos años.
- Estadio de Preparación y Organización de las Operaciones Concretas (2-
11 años): Caracterizada por la necesidad de manipulación de objetos por
parte del niño para comprender los conceptos matemáticos que estos
generan. “El niño aprende lo que es un cubo cuando ha sido enfrentado
con ejemplares de este concepto. En esta etapa la necesidad de manipular
objetos reales es el requisito o condición necesaria para el aprendizaje”
(Gómez.2000:83). Los niños también adquieren “un pensamiento
representativo, con imágenes y símbolos que se asocian a las
abstracciones mentales” (Wilson et al., 1972:461). Este Estadio se divide
en dos subperíodos, que van desde los 18 meses de edad a los 7 años
aproximadamente.
En esta etapa el niño posee lenguaje y es capaz de pensar simbólicamente,
manejar imágenes y símbolos. En este sub-período se describen dos fases:
La etapa preconceptual (de 2 a 4 años), y la sub-etapa intuitiva (entre los 4
y 7 años), ésta última se caracteriza por el uso de intuiciones por parte del
niño para tomar decisiones en la solución de problemas. “Surgen las
primeras apariciones de descentralización y reversibilidad, y el proceso
de pensamiento viene a ser dirigido más exactamente” (Brown &
Desforges, 1984:36).
66
El subperíodo de las operaciones concretas, propiamente dicho, es el
último de la niñez que va desde los 7 a los 11 años aproximadamente, y
comprende la mayor parte de la vida escolar del educando, que
corresponde a la I y II etapa de nuestra Educación Básica. El niño cuando
llega al subperíodo de las operaciones concretas evidencia un desarrollo
cognoscitivo digno de ser considerado psicológica y pedagógicamente, ya
que empieza a utilizar la lógica no formal, y las acciones motoras se
interiorizan a través de las operaciones que son procesos exclusivamente
mentales, sin embargo, el niño sólo maneja hechos concretos que pueda
manipular y así lograr operaciones lógicas no proposicionales, lo que se
realiza a través de una “estructura integrada global, o estructura de
conjunto […]. Esta se describe en los términos de un modelo lógico-
matemático” (Piaget, 1975:36).
Dentro de estas estructuras se llevan a cabo cinco operaciones
propiedades cognitivas o reglas que surgen de la combinación de pares de
elementos. Las estructuras son: clasificaciones, seriaciones,
correspondencia uno a uno, las cuales reciben también el nombre de
agrupamientos. Las reglas son las siguientes:
● Composición: Cualquier operación que combine dos elementos de una
misma serie o grupo da como resultado un elemento del mismo grupo.
Por ejemplo: hombres blancos y hombres negros pertenecen a su vez
al grupo de hombres.
● Asociación: Las operaciones se pueden realizar por caminos distintos.
● Identidad: Sólo existe un elemento que, combinado con otro, lo deja
inalterado. Por ejemplo: el elemento neutro en la adición.
● Inversibilidad: Las operaciones son susceptibles de recibir
transformaciones, es decir, el pensamiento puede ir y venir, asociar y
disociar para obtener la solución de problemas, esta propiedad es la
base de la inteligencia y es lo que caracterizan fundamentalmente las
operaciones aritméticas. “La inteligencia […], puede construir
hipótesis y luego desecharlas para volver al punto de partida,
recorrer un camino y volver por él sin modificar las nociones
empleadas” (Piaget & Inhelder, 1982:75). Por ejemplo la división
tiene su operación inversa como lo es la multiplicación y en la adición
la sustracción y en la potenciación la radicación o el cálculo de
logaritmos.
67
● Reunir una clase consigo misma, conduce a obtener la misma clase,
mientras que añadir una unidad a una cantidad conduce a un nuevo
resultado.
En este subperíodo el niño adquiere unos adelantos cognoscitivos que
según Piaget son el soporte en la adquisición de los conceptos
matemáticos básicos por parte del alumno, estos adelantos se refieren a la
noción de conservación, en donde el niño en esta etapa mantiene la
constancia de un número de objetos, elementos y sustancias
independientemente de la forma como se le presente. “Es la capacidad de
comprender que los objetos, fenómenos o cantidades se conservan y
permanecen constantes a pesar de sufrir cambios en su apariencia. Así
por ejemplo, cuando se vierte el contenido de una botella de refresco en
varios vasos, la cantidad sigue siendo la misma. Sólo ha habido un
cambio de forma” (UNA, 1986:59). Por el contrario los niños del sub-
estadio preoperacional creen que si por ejemplo se le cambia la forma a
una barra de plastilina, la cantidad de materia disminuye transformándolas
en esferas.
● La clasificación comprende las operaciones que realiza el niño con
objetos, agrupándolos de acuerdo a características similares. Según
Inhelder y Piaget, cuando se le proporciona al niño de 5 a 13 años
objetos para que los clasifique, se observa dos relevantes etapas: desde
los 5 ½ a los 6 años clasifica objetos en una forma aparentemente
racional, puesto que discrimina los grupos de objetos solamente por
sus características y todavía no relaciona las partes con el todo
(inclusión de clases). Y desde los 8 años en adelante no sólo clasifica
tomando en cuenta uno o dos criterios sino que domina la inclusión de
clases. “Así por ejemplo, si a un niño de 8 años de edad se le
muestran 8 caramelos amarillos, 4 caramelos castaños y luego se le
pregunta ¿Hay más caramelos o más caramelos amarillos?, el niño
dirá que hay más caramelos […] un niño de cinco años de edad
probablemente dirá que hay más caramelos amarillos” (Mussen et al.,
1985: 282).
● En la seriación el niño es capaz de colocar objetos y/o elementos
atendiendo a un orden según una medida cuantificada, como por
ejemplo: el tamaño, del más grande al más pequeño o viceversa.
● La correspondencia uno a uno hace referencia por ejemplo, cuando el
niño hace corresponder cajas y juguetes seriados por el tamaño, esta
68
operación se va desarrollando hasta que el niño logre una
correspondencia cuantitativa entre colecciones de elementos y
conservación de la cantidad hasta llegar a la adquisición del concepto
de número.
- Estadio de las Operaciones Formales (de los 12 años en adelante): El
adolescente comienza a tener un pensamiento más lógico e hipotético,
este se define “como el período que coincide con una serie de avances en
el desarrollo de las estrategias y capacidades cognitivas en relación con
la capacidad de razonar tanto de forma deductiva como inductiva, y la
habilidad para plantear y comprobar hipótesis y formular teorías”
(Hernández & Sancho, 1993:168). En las operaciones formales se
consideran cuatro características principales:
● La inclinación a razonar acerca de situaciones hipotéticas y la
capacidad de hacerlo.
● La búsqueda sistemática y completa de hipótesis.
● Las reglas de orden superior u operaciones lógicas (implicaciones,
disyunciones, conjunciones, identificaciones, etc.).
● Una disposición mental para encontrar incongruencias en las
proposiciones.
Estos cuatro elementos son los que definen la estructura del pensamiento
formal de la Matemática y que por consiguiente son los que en el proceso de
enseñanza-aprendizaje representan los mayores problemas para el alumnado en
nuestro contexto de estudio, donde pese a que sus edades cronológicas corresponden
a este período de desarrollo cognitivo, parece existir una ausencia considerable del
uso del pensamiento formal en el aprendizaje matemático, y esto es vital, puesto que
si no se tienen consolidadas las estructuras mentales que caracterizan este tipo de
pensamiento difícilmente se llegarían a lograr los aprendizajes matemáticos
superiores que se requieren en la prosecución de estudios universitarios. Son
precisamente estos elementos del pensamiento formal que describe Piaget los que se
pretenden desarrollar en la propuesta o modelo didáctico de autorregulación del
pensamiento formal para el aprendizaje de la Matemática y el reto principal es llevar
a la práctica estos elementos teóricos.
Hay que resaltar algunas consideraciones que han surgido de una serie de
investigaciones relacionadas con el tema del pensamiento formal en los adolescentes
que condicionan las propuestas de las teorías formuladas por Piaget e Inhelder:
69
- Es un error afirmar que el pensamiento de los adolescentes puede llegar a
un desarrollo pleno; creer que por sus edades están lo suficientemente
habilitados para abordar aprendizajes abstractos es un mito. Según del
Pozo y Carretero (1986) se puede afirmar que algunos adultos incurren en
muchos errores o deficiencias de pensamiento.
- No se puede generalizar esta teoría para todos los grupos de alumnos.
- El pensamiento formal no se desarrolla simplemente siguiendo el nivel de
maduración, se necesita también de las intervenciones pedagógicas, “las
actividades escolares bien organizadas y estructuradas favorecen el
acceso al pensamiento formal, pero a condición de que insistan no sólo
en la transmisión de métodos, sino también de marcos conceptuales o
contenidos” (del Pozo y Carretero, 1986:15).
- No siempre el logro de una habilidad cognitiva o estrategias de
razonamientos en una situación o contexto particular de aprendizaje puede
ser generalizada a otras diferentes.
Podemos entonces citar también la aportación que hace Snow (1986:285),
para determinar las directrices en el enfoque didáctico que asumiríamos los
profesores para fomentar el pensamiento formal en los estudiantes; las principales
serían las siguientes:
- “Utilizar el papel de los errores como fuente de aprendizaje y como base
para la detectación de las estructuras cognoscitivas de los estudiantes.
- Considerar que toda instrucción es incompleta para el estudiante, pues
no hay un solo docente que pueda enseñar todo lo que un estudiante
necesita para dominar una materia o un tema.
- Tener en cuenta que transferir, generalizar un aprendizaje de una
situación a otra, es un deseo y un objetivo de algunos docentes, pero una
tarea extremadamente difícil para muchos estudiantes.
- No perder de vista que la enseñanza de procedimientos puede en
ocasiones llevar a «deshacer estrategias de aprendizajes en estudiantes
capaces».
- Tener presente la diferencia entre el procesamiento de información
automático y el conscientemente controlado.
- Por lo general, la relación del alumnado con el conocimiento no es de
carácter estereotipado. Los estudiantes suelen ser «idiosincráticos,
inventivos y astutos»”.
70
Como podemos apreciar la tarea de orientar el aprendizaje en el nivel del
pensamiento formal y sobre todo en las matemáticas posee un grado considerable de
complejidad que para ser superado de una manera aceptable, se necesitan estudiar y
analizar todas las dimensiones y aspectos que forman parte de un posible modelo de
intervención pedagógico.
I.6.1.5. Aprendizaje por Descubrimiento de Bruner
Jerome Bruner, psicológo norteamericano, expuso una teoría más cercana a la
forma en la que se aprenden las matemáticas. Su enfoque se materializa en la
representación cognoscitiva de los conceptos matemáticos. Este interés por los
procesos cognitivos humanos, son definidos por él y otros colaboradores, como los
medios a través de los cuales los seres humanos obtienen, retienen y transforman la
información que proviene del medio; fomentó las bases de una versión más
pedagógica para la reestructuración del currículum de las matemáticas escolares
hacia la década de los 60, aunque ya desde 1956 se venía trabajando en esta línea.
Bruner describe la importancia de la representación de los conceptos en la
estructuración de la enseñanza de las matemáticas no sólo escolares, sino también a
nivel general, específicamente de tres modos de representación: enactiva, icónica y
simbólica. La representación enactiva se origina a través del uso de respuestas
motrices para explicar eventos o hechos pasados en una forma material, tangible o
concreta para dar explicación a un concepto, es por esta razón que observamos en
algunas personas y sobretodo en los niños, el uso de las manos, dedos o cualquier
otro material de fácil manipulación, para desarrollar las operaciones aritméticas
fundamentales.
“El segundo modo de representación, el icónico, nos separa un paso de lo
concreto y físico para entrar al campo de las imágenes mentales” (Resnick & Ford,
1990:139), esto representa una analogía de lo que Piaget denomina, esquemas
mentales; las personas tenemos la facultad de representar, no sólo mentalmente, sino
también gráficamente los conceptos matemáticos para internalizarlos de una manera
más efectiva. En la mayoría de los casos en los que se resuelven problemas tanto
sencillos como complejos se recurre al uso de gráficos para ayudar al alumno a
comprender holisticamente la estructura del problema.
Finalmente tenemos la representación simbólica, la cual implica un nivel
mayor de abstracción “que para Bruner es la tercera forma de capturar las
71
experiencias en la memoria, se posibilita sobretodo por la aparición de la
competencia lingüística” (Op. cit.,1990:140), y es precisamente en este modo de
representación donde debemos tener cuidado en el proceso didáctico de la
Matemática, puesto que, el aprendizaje del alumno se debe llevar a través de un
proceso gradual para la comprensión y aplicación del lenguaje matemático en forma
oral y escrita para evitar errores que ocasionarían un total analfabetismo numérico
que también es agudizado por el uso de pedagogías tradicionales caracterizadas por
el formalismo simbólico las cuales impiden el desarrollo normal de los conceptos
matemáticos en niños, e incluso en los adultos.
Esta es una de las principales razones que apoyan la estructuración de la
propuesta didáctica a ser implementada y evaluada en esta investigación en donde se
parte de la resolución de problemas como pilar fundamental en el desarrollo del
pensamiento formal; aquí la organización de la información y el cómo ésta se
representa son claves para la comprensión inicial de los problemas que se plantean en
las matemáticas, en consecuencia nuestra propuesta se basará en la siguiente
secuencia de organización de la información:
- Representación y organización en forma gráfica: consiste en el uso de
dibujos, diagramas, fotos, imágenes, etc.
- Representación y comprensión del lenguaje verbal y escrito: su finalidad
es la utilización correcta del lenguaje castellano.
- Representación, organización y comprensión simbólico-formal de
conceptos matemáticos: el objetivo de este último paso es el de comunicar
en forma eficiente la información a través del uso correcto de las
notaciones matemáticas.
Todo esto partiendo del supuesto de que el aprendizaje se desarrolle mediante
las tres etapas expuestas por Bruner, porque quizá la investigación demuestre que en
casos particulares haya alumnos que construyan su aprendizaje siguiendo una
secuencia diferente. También se puede observar que el modo enactivo no se incluye,
puesto que, “ciertas ideas matemáticas pueden aprenderse directamente de las
imágenes y sin una previa dependencia de la representación enactiva” (Orton,
1990:179). Esta afirmación parece indicar que esta secuencia de representaciones
depende mucho de la naturaleza del tipo de conocimiento matemático el cual debe
ser analizado antes de abordarlo con este enfoque pedagógico.
Para Bruner el aprendizaje significativo se logra a través de un proceso de
descubrimiento guiado por la curiosidad del que aprende, por consiguiente el
72
currículo debe orientarse hacia la creación de “oportunidades para que los
estudiantes expandan su conocimiento desarrollando y probando hipótesis en lugar
de tan sólo leer y escuchar al profesor” (Good & Brophy, 1995:163).
Las orientaciones de Bruner indican la organización del proceso didáctico en
actividades que fomenten la manipulación activa de objetos para “transformarlos por
medio de la acción directa, así como las actividades que los animen a buscar,
explorar, analizar o procesar de alguna manera la información que reciben en lugar
de sólo responder a ella” (Op. cit., 1995:163). El fundamento de estas series de
actividades consiste en que los alumnos desarrollen y apliquen estrategias generales
de pensamiento para lograr aprender a aprender, lo cual garantizaría la consolidación
de habilidades cognitivas de alto nivel necesarias para el pleno desenvolvimiento del
razonamiento formal.
I.6.1.6. Aprendizaje significativo de David Ausubel
Ausubel (1973) expone en su teoría del Aprendizaje Significativo la
importancia que tiene el aprendizaje con significado de las tareas escolares en
oposición a los contenidos sin sentido psicológico para el alumno. Ausubel (1973),
destaca el papel fundamental de los conceptos previos o prerrequisitos para la
consecución de nuevos aprendizajes que denominó organizadores avanzados, que
son los contenidos introductorios claros y estables, relevantes e inclusivos del
contenido que se va a enseñar, “si tuviera que reducir todo la psicología educativa a
un solo principio diría lo siguiente, el factor más importante que influye en el
aprendizaje es lo que el alumno ya sabe, averiguase esto y enséñese en
consecuencia” (Ausubel, citado por Novack y Gowin, 1988:60).
El aprendizaje significativo como concepto fundamental de la teoría de
Ausubel se define como la “adquisición de nuevos significados. Es un proceso
mediante el cual nueva información es relacionada con una información pertinente
que existe en la estructura cognoscitiva del aprendiz” (Lejter, 1990:19). Según Díaz
& Hernández (2002:39) “el aprendizaje significativo es aquel que conduce a la
creación de estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva entre la
nueva información y las ideas previas de los estudiantes”.
Lo que expone Ausubel en cuanto a “lo que el alumno ya sabe” guarda cierta
relación con las jerarquías de aprendizaje; este representante del constructivismo
habla de aprendizaje subordinado, donde la información nueva adquiere significado a
73
través de los conceptos previos que están presentes en la estructura cognoscitiva del
alumno, a estos se les denomina conceptos integradores u organizadores avanzados,
de esta manera se da un proceso cognoscitivo que Ausubel llama reconciliación
integradora, donde “las nuevas informaciones son adquiridas y las viejas pueden
reorganizarse y adquirir nuevos significados” (Lejter, 1990:15).
En función de las ideas centrales de la teoría de Ausubel antes mencionadas,
se plantean aspectos esenciales a ser tenidos en cuenta en la instrucción y
específicamente en la organización del contenido, el cual debe tener sentido o ser
significativo, ya que por el contrario, no tiene valor y se dificulta su transferencia por
carecer de sentido, “en este sentido se sugiere que los alumnos realicen aprendizajes
significativos por sí mismos o lo que es lo mismo que aprendan a aprender. Así se
garantiza la comprensión y la facilitación de nuevos aprendizajes al tener un soporte
básico en la estructura cognitiva previa construida por el sujeto” (Aznar et al.,
1992:120). En consecuencia para lograr un aprendizaje significativo en la
organización del contenido es necesario incluir las siguientes variables cognoscitivas:
La primera se refiere al anclaje de los materiales, es decir, a la relación que
debe existir entre el nuevo material y las ideas inclusivas o conceptos previos. La
segunda variable es “la discriminalidad del material novedoso respecto a los
conocimientos establecidos […] y hace posible el aprendizaje significativo” (Op. cit.,
1992:129). La última variable está relacionada con la permanencia del nuevo
material aprendido en la memoria y en la estructura cognitiva del alumno, que
dependen de la estabilidad y claridad de los organizadores avanzados, y de la
asimilación del material aprendido con antelación.
Este enfoque en la organización de un contenido para la elaboración de un
nuevo material es importante en el momento de atender las diferencias individuales y
las particularidades del grupo de estudiantes. Cabe destacar que uno de los problemas
que se presentan en la enseñanza de la Matemática en los alumnos del primer
semestre de la carrera Educación Integral de la UNELLEZ-Barinas es precisamente
la falta de un material significativo, con sentido, que se adapte realmente a los
conceptos previos o nivel de entrada que posee el aprendiz. Por el contrario se
utilizan textos de Matemática que todavía no tienen significado para el alumno. Por
consiguiente, un medio instruccional antes de ser elaborado y presentado debe
respetar las variables antes señaladas para lograr mejores resultados en el proceso de
enseñanza aprendizaje, puesto que, de acuerdo con Cubillo (1996:70) “Atribuir las
causas del fracaso en Matemáticas sólo a las características de los alumnos sería
una consideración totalmente unilateral. De esta consideración del problema surge
74
el planteamiento de que es necesario adaptar el currículum de Matemáticas a los
alumnos y no a la inversa. Esto significa asumir la responsabilidad de determinar
cuáles son las habilidades fundamentales para el aprendizaje escolar y organizarse
para propender al desarrollo”.
Para Ausubel el eje central de la instrucción es el alumno, por lo tanto, debe
ser individualizada en la mayoría de los casos a pesar de que se planifique en función
del grupo, por ello, se recomienda la instrucción programada o el uso de un buen
texto programado.
Muchas son las recomendaciones que se hacen para reformar los contenidos y
métodos de enseñanza en el sistema educativo en donde “no sólo se abunde en el
‘saber’, sino también en el ‘saber hacer’ ni tanto en el ‘aprender’, como en el
‘aprender a aprender’ ” (Aznar et al, 1992:119). Estos autores exponen legalidades
en el proceso que se deben contemplar en un Diseño Curricular de Base, estas son:
1. Partir del nivel de desarrollo del alumno (conocimientos previos).
2. Crear las condiciones para construir aprendizajes significativos (Ausubel,
1982).
3. Modificar los esquemas mentales del sujeto, como resultado del
aprendizaje significativo logrado por los alumnos.
Como se puede apreciar, estas orientaciones teóricas servirán de soporte en el
momento de elaborar un buen material instruccional, no sólo en el área de
Matemática sino también en otras.
Dentro de la teoría ausubeliana se tienen en cuenta dos aspectos que son
importantes y que por lo tanto se definen a continuación:
En primer lugar debe existir una actitud o predisposición adecuada por parte
del sujeto hacia el aprendizaje, es decir, “una disposición para relacionar no
arbitrariamente sino sustancialmente el material nuevo con su estructura
cognoscitiva”. También un material significativo puede aprenderse por repetición, no
necesariamente debe implicar una pasividad en el alumno.
En segundo lugar está el sentido lógico y el sentido psicológico. El primero se
refiere al contenido y a su comprensión interna en cuanto a la estructura conceptual
del mismo. El segundo está relacionado con la disponibilidad de motivación que
despierte en el alumno dicho contenido, es decir, que un material a pesar de tener un
75
sentido lógico, a veces no tiene para el alumno un sentido psicológico que por lo
menos le despierte cierta motivación, que para lograrla se han de tomar muy en
cuenta las características particulares de ese estudiante.
Otro elemento fundamental para que un aprendizaje sea significativo es
utilizar la técnica de los mapas conceptuales los cuales “dirigen la atención, tanto del
estudiante como del profesor, sobre el reducido número de ideas importantes en las
que deben concentrarse en cualquier tarea específica de aprendizaje” (Chadwick,
1988:18); estos se utilizan en la elaboración del material didáctico para otorgarle lo
que Ausubel denomina “material con sentido”.
Esta técnica elaborada por Novack y Gowin (1988), que se basa en la teoría
de Ausubel y resulta de gran utilidad en el logro del aprendizaje significativo, puesto
que ayudan a representar las relaciones significativas entre los conceptos teóricos de
un contenido a través de proposiciones más sencillas; tal y como lo mencionan estos
autores: “Un mapa conceptual es un recurso esquemático para representar un
conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones”
(Novack & Gowin, 1988:33).
Los mapas conceptuales sirven de refuerzo al aprendizaje del alumno y
contribuyen a una mejor orientación y retroalimentación del docente para con el
alumno. Esta estrategia cognoscitiva tiene un sentido jerárquico ya que los conceptos
más generales e inclusivos se localizan en la parte superior del mapa y los conceptos
más específicos, en un orden progresivo y menos inclusivo en la inferior, por
consiguiente “La ejecución de los mapas conceptuales por parte de los estudiantes
constituyen una estrategia de aprendizaje en el camino de la adquisición de los
significados de los conceptos, convirtiéndose así en unos de los instrumentos más
eficaces del aprendizaje significativo” (Lejter,1990:72).
Al respecto Martínez y Garfella (1992) después de interpretar las ideas de
Novack y Gowin sugieren cuatro actividades fundamentales para introducir al
alumno en el uso de esta estrategia de aprendizaje que seguidamente recogemos:
1. Ayudarles de manera explícita a que vean la naturaleza y el papel de los
conceptos y relaciones entre conceptos, tal como existen en sus mentes y
como existen fuera, en la realidad o en la enseñanza oral y escrita.
2. Asistirlos en la extracción de conceptos específicos (palabras) del material
oral o escrito y en la identificación de relaciones entre estos conceptos a
través de palabras de enlace.
76
3. Transmitir la idea de que los mapas conceptuales presentan un medio de
visualizar conceptos y relaciones entre conceptos.
4. Construir los mapas conceptuales varias veces, para evitar errores
haciendo que sean limpios, es decir, claros, no amontonados y confusos.
Dentro de las aplicaciones educativas adicionales que generan los mapas
conceptuales se puede mencionar la exploración o diagnóstico de lo que el alumno ya
sabe antes de iniciar el aprendizaje, los profesores se pueden trazar una ruta de
aprendizaje, se logran extraer los significados de los libros de texto y le ayudan a
realizar una evaluación final del aprendizaje.
Los mapas conceptuales constituyen una técnica efectiva en la evaluación
formativa del aprendizaje, retroalimentando y orientando tanto al alumno como al
profesor, además de fomentar la creatividad. Son muchos los alumnos que se dan
cuenta de la existencia de nuevas relaciones y significados entre conceptos que con la
sola instrucción no logran internalizarlos.
La integración social entre docente alumno y alumno-alumno se facilita
también con esta técnica. Por ejemplo en el grupo donde aplicamos el material
didáctico, se le solicitó a los estudiantes que trabajaran en parejas y plasmaran las
discusiones e ideas en mapas conceptuales; surgieron gran cantidad de
participaciones de los alumnos creando un clima social efectivo en beneficio del
aprendizaje de los contenidos señalados. “Hay que vencer la falta de significatividad
de la información y la victoria consiste en llegar a compartir los significados”
(Novack y Gowin, 1982:42).
En última instancia cabe destacar el valor de los mapas conceptuales en la
evaluación de los aprendizajes, los cuales nos pueden servir de ayuda para realizar la
evaluación diagnóstica determinando lo que el alumno “ya sabe” acerca de un tema,
a verificar los cambios en la estructura cognoscitiva y cognitiva del alumno una vez
aplicada la instrucción, evaluar la comprensión de un tema y el reconocimiento de
incongruencias entre la relaciones de conceptos; también pueden dar una idea del
nivel óptimo alcanzado en el proceso de enseñanza aprendizaje.
Finalmente, según Good & Brophy (1995:161), la teoría de Ausubel nos
aporta las siguientes directrices para organizar el aprendizaje significativo en los
alumnos:
77
- “Iniciar las lecciones con presentaciones previas que incluyan principios
generales, introducciones o preguntas.
- Describir brevemente los objetivos de aprendizaje y los conceptos claves.
- Presentar el material nuevo en pequeños pasos organizado y secuenciado
de manera lógica.
- Producir respuestas en el estudiante de manera regular para estimular el
aprendizaje activo y asegurarse de que cada paso este logrado.
- Terminar con una revisión de los puntos principales.
- Dar seguimiento a la lección con preguntas o trabajos que requieran que
los estudiantes codifiquen el material en sus propias palabras y lo
apliquen en nuevos contextos”.
I.6.1.7. Teoría específica del Aprendizaje Matemático de Dienes
La mayor contribución de Zoltan P. Dienes fue la elaboración y aplicación de
una teoría específica del aprendizaje de los conceptos matemáticos apoyándose
principalmente en los trabajos de Piaget y Bruner. “Su trabajo supone una propuesta
de combinar los principios psicológicos y matemáticos en la enseñanza basada en la
estructura” (Resnick & Ford, 1990:143).
La particularidad del enfoque de Dienes para la enseñanza de las matemáticas
supone el uso de materiales y juegos concretos en secuencias de aprendizajes
cuidadosamente planificadas, el ejemplo más ilustrativo es el del valor posicional,
para lo cual Dienes construyó los Bloques Aritméticos Multibase (M.A.B.) para
iniciar a los niños en un entorno adecuado de aprendizaje temprano para la
construcción del valor posicional. La teoría de Dienes se define en cuatro principios
didácticos:
1. Principio Dinámico: Es una derivación y aplicación del enfoque
piagetiano. “Dienes se refirió a las tres etapas de Piaget en la formación
del concepto y las describió como etapa del juego, etapa de la estructura
y etapa de la práctica” (Orton, 1990:178); estas etapas también están muy
relacionadas con las propuestas por Bruner.
2. Principio Constructivo: Es una versión algo primitiva del
constructivismo, se relaciona con los conceptos individuales del
aprendizaje y no se considera la relación entre asimilación y la estructura
cognitiva existente. El aprendizaje matemático es de naturaleza jerárquica
en el que el nuevo conocimiento debe relacionarse con el ya existente.
78
3. Principio de Variabilidad Matemática: Se refiere al número de variables
que puede tener un concepto matemático; según este principio se deben
combinar o variar los elementos de un concepto para lograr una mayor
comprensión de éste; un concepto matemático está constituido
generalmente por un número de variables y es la persistencia de la
comprensión de la relación entre éstas, mientras éstas cambian, lo que
determina el aprendizaje del concepto matemático. En este caso se
recomienda en el caso de la Geometría, variar las medidas de longitudes,
ángulos y orientación de las figuras para llevar a los alumnos a una mejor
comprensión de los conceptos geométricos presentes.
4. El principio de variabilidad Perceptiva: Consiste en la necesidad de
disponer de diferentes diseños de materiales concretos para la enseñanza
de conceptos similares, como en el caso de las figuras geométricas éstas
podrían representarse en la pizarra, papel, fabricados en madera, metal o
plástico.
La teoría de Dienes le ha proporcionado a la Didáctica de la Matemática un
enfoque más flexible para comprender desde una visión más completa y
estructuradora la forma en que los niños logran el aprendizaje matemático, con esto
se le atribuye mayor importancia a los procesos involucrados más que la simple
adquisición de información. Para Dienes (1960), “la importancia de las Matemáticas
escolares radicaba en la estructura que presentaban, y no tanto en el contenido,
como consecuencia precisamente de concebir las matemáticas como estructuras
encadenadas” (Llinares, 1994:194).
I.6.1.8. Teoría de la Zona del Desarrollo Próximo de Lev Vygotsky
La teoría desarrollada por el psicólogo ruso Lev Vygotsky (1.896-1.934) se
conoce también como teoría del aprendizaje sociocultural y las ideas que se exponen
en esta postura epistemológica de la Psicología del Aprendizaje agrega a la
explicación del aprendizaje humano un matiz más social, es decir, el aprendizaje
tiene como factores determinantes las interacciones que se originan entre el aprendiz
y el que enseña, en consecuencia, el desarrollo de los procesos mentales que se
involucran en la organización de nuevas experiencias y significados se debe al modo
en que recibimos ayuda de otras personas que poseen un nivel más elevado de
aprendizaje, por lo tanto, “el aprendizaje lo concibe Vigotsky como un proceso
dinámico por medio del cual el alumno se apropia no sólo del conocimiento, sino
también de nuevas formas de conocer la realidad” (Terán et al., 2005:22).
79
Vygostky, al igual que Piaget, da una gran importancia a los factores
genéticos y evolutivos del pensamiento, sin embargo, considera que estos no logran
su pleno desarrollo sin los factores externos que brinda el contexto social en que nos
desenvolvemos. Como lo señalan Miranda et al. (1998:56) “Vygostky considera el
contexto sociocultural como aquello que llega a ser accesible para el individuo a
través de la interacción social con otros miembros de la sociedad, que conocen
mejor las destrezas e instrumentos intelectuales, y afirma que, la interacción del
niño con miembros más competentes de su grupo social es una característica
esencial del desarrollo cognitivo”.
Es aquí donde nace el concepto de la zona de desarrollo próximo o potencial,
definida por el mismo Vygostky como “la distancia entre el nivel real de desarrollo,
determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el
nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema
bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz”
(Vygostky, citado por Aznar et al.1992:107). Esta postura nos conduce a
redimensionar los procesos de enseñanza-aprendizaje, puesto que, para el
constructivismo el aprendizaje es una responsabilidad individual en donde somos
responsables de procesar y estructurar la nueva información para organizar y lograr
cambio significativo de experiencias, ahora, la zona de desarrollo próximo le
incorpora una gran responsabilidad al docente y al contexto social al que pertenecen
en la formación del alumno.
Las implicaciones de esta postura van desde el análisis de la interacción que
tienen los padres con sus hijos en la formación de los valores y creencias de la
sociedad o grupo cultural, hasta la educación formal que el sistema que un estado
administra para la preparación del un ciudadano productivo, íntegro, crítico, con
actitudes y aptitudes que le permitan desenvolverse adecuadamente en su entorno,
por lo tanto, sin educación no existe el verdadero desarrollo de las habilidades y
destrezas del pensamiento. “El desarrollo basado en la enseñanza es un hecho
fundamental. La única educación que es útil al alumno es aquella que mueve hacia
delante su desarrollo y lo dirige” (Vygostky, citado por Rodríguez, 2001:265).
Otro de los elementos centrales de la teoría del aprendizaje sociocultural, es el
concepto de internalización o la Ley de doble función. La internalización es un
proceso de reconstrucción que se efectúa al nivel del pensamiento humano de los
procesos y operaciones que se ejecutan en el exterior, de esta manera, por ejemplo,
en la aritmética el concepto de adición como operación externa puede transformarse
en interpretaciones cognitivas no iguales, pero semejantes una vez que ha pasado por
80
el proceso de reconstrucción que ejecuta cada persona en sus esquemas mentales. El
concepto de la Ley de doble función es una relación de doble implicación entre los
factores sociales y las funciones psicológicas, es decir, “una interacción social, y un
proceso de mediación interna, que tiene lugar en el plano mental y que se produce
mediante el uso de estrategias de procesamiento” (Aznar et al., 1992:110).
La formación de conceptos es otro de los elementos que constituyen el
enfoque de Vygostky, quien los clasifica en conceptos espontáneos y científicos. Los
conceptos espontáneos se desarrollan como producto de la interacción social y la
actividad consciente que la persona orienta hacia los objetos que le rodean, este
proceso se inicia desde la infancia y su desarrollo depende significativamente del
lenguaje como mecanismo responsable en la dirección de nuestros pensamientos, tal
como lo señalan Good & Brophy (1995:64): “El pensamiento y el lenguaje se
desarrollan en su mayor parte de manera separada hasta que los niños comienzan a
volverse operacionales. Entonces los esquemas verbal y cognoscitivo se asimilan
entre sí y se coordinan en esquemas más potentes y diferenciados que por último se
convierten en estrategias para aprender a aprender, lógica operacional concreta y
otras habilidades de procesamiento de información y solución de problemas”.
Es aquí donde el uso del símbolo y la palabra o cualquier código de signos
son parte fundamental en la construcción de los conceptos tanto espontáneos como
científicos. Los conceptos científicos son considerados como los verdaderos
conceptos. “Estos a diferencia de los espontáneos, se adquieren en el espacio de la
instrucción y provocados por causas diferentes” (Aznar et al., 1992:115). Estos
conceptos dependen de una verdadera acción cognitiva hacia la construcción mental
consciente de los propios conceptos con características más formales que intuitivas.
Dentro de las implicaciones educativas que la teoría del aprendizaje
sociocultural ha originado se derivan las siguientes:
- La posibilidad de organizar el proceso de aprendizaje en unidades
didácticas orientadas a lograr una verdadera transformación del desarrollo
cognitivo.
- La función docente debe estar centrada en la creación de recursos y
herramientas que ayuden al alumno a lograr una autoconstrucción del
aprendizaje.
- La zona de desarrollo próximo nos posibilita una gran ventaja para
determinar de manera cualitativa el proceso interno que los alumnos
81
ejecutan durante el aprendizaje y cómo las funciones psicológicas se van
desarrollando en la evolución de los procesos cognitivos.
- La zona de desarrollo próximo aporta elementos interesantes para el
proceso de evaluación, desde sus diferentes dimensiones diagnóstica,
continua, dinámica, flexible, holística, puesto que, al establecer la
distancia entre la zona potencial y la zona real de desarrollo podemos
realizar diagnóstico del estado evolutivo de los procesos evolutivos y
proyecciones en cuanto su futuro desempeño.
- Si el desarrollo cognitivo está determinado por la interacción social con
personas de mayor formación, entonces se debe potenciar las estrategias
de enseñanza orientadas hacia el trabajo en grupos, de esta manera con el
aprendizaje cooperativo las personas podrían madurar sus funciones
mentales para lograr un aprendizaje efectivo.
El estudio de estas implicaciones de la teoría de Vygotsky ha desembocado
en la corriente epistemológica denominada constructivismo social, que se apoya en la
premisa de la construcción social de todo aprendizaje, por consiguiente todo proceso
didáctico que se ejecute en esta dirección debe tomar en cuenta como factor principal
el ambiente social en condiciones naturales, es decir, las actividades de enseñanza y
aprendizaje deben estar relacionadas con la vida cotidiana del alumno para que este
pueda darle significado a la nueva información que recibe. En el caso de las
matemáticas, resulta muy oportuno dirigir los temas hacia el entorno geográfico en el
que se ubica la escuela o el centro de enseñanza, o a las actividades comerciales que
se desarrollan en la región, ya que esto crearía un ambiente más propicio para el
logro un aprendizaje significativo y en consecuencia, más efectivo para el alumnado,
por el contrario, si se utilizan actividades que son importadas de otros contextos
sociales y geográficos, resultará más difícil la comprensión de los conocimientos
originando un aprendizaje más memorístico y repetitivo.
Good & Brophy (1995:168), presentan en el siguiente cuadro (Tabla 1.6.) un
análisis comparativo entre el enfoque tradicional caracterizado por la sola
transmisión y exposición y el punto de vista de la construcción social de la enseñanza
y el aprendizaje.
82
Punto de vista de la transmisión Punto de vista de la construcción social
El conocimiento como un cuerpo fijo transmitido por el profesor o del texto a los estudiantes.
El conocimiento como construido por medio de la discusión.
Textos y profesor como autoridades del conocimiento
La autoridad del conocimiento reside en la construcción de los argumentos de los estudiantes en función de los conocimientos formalizados.
El profesor es el responsable del proceso didáctico.
El profesor y alumnos comparten la responsabilidad del proceso didáctico.
El profesor, explica, analiza y juzga la corrección de las respuestas de los alumnos.
El profesor actúa como líder de la discusión, promueve el diálogo entre el grupo de estudiantes.
Los estudiantes memorizan y repiten información.
Los estudiantes procuran dar sentido a la información nueva relacionándola con la que poseen y consolidándola a través del diálogo con los demás.
El discurso se centra producir respuestas correctas.
El discurso enfatiza la discusión reflexiva de redes de conocimiento conectadas.
Las actividades enfatizan modelos que siguen algoritmos paso por paso.
Las actividades enfatizan las aplicaciones para resolver problemas auténticos que requieren del pensamiento de orden superior
Los estudiantes trabajan en su mayor parte solos con la finalidad de prepararse para competir por la recompensa de pasar o aprobar exámenes.
Los estudiantes colaboran actuando como una comunidad de aprendizaje que construye conocimientos compartidos por medio del diálogo sostenido.
Tabla 1.6. Análisis comparativo entre el punto de vista de la transmisión y punto de vista de la construcción social del aprendizaje y la enseñanza.
I.6.1.9. La transposición didáctica como teoría básica en la epistemología
de la Didáctica de la Matemática
Esta interesante teoría surge por la necesidad de tener un enfoque
epistemológico más específico de la Didáctica de la Matemática, sus orígenes se le
acreditan a la escuela francesa de Educación Matemática, cuyos máximos
representantes son Brousseau, Chevallard y Vergnaud. Para no desviarnos tanto del
objetivo central de la investigación, se explicarán los elementos más relevantes,
siguiendo el trabajo de Godino (1991) y Christin (2001).
En primer lugar describiremos algunos términos fundamentales para la
comprensión del concepto de Transposición Didáctica, los cuales conforman una
definición global de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica. El
punto de partida lo conforma la idea de desarrollar modelos que comprendan las
dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas para tener una comprensión más
aproximada de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del
aula de clase; de esta manera se va construyendo una base conceptual del Sistema
Didáctico y de los tres subsistemas: profesor, alumno y saber, señalados por Christin
(2001) como la célula primaria o terna didáctica por considerarla como “la base del
esquema por la cual la Didáctica de la Matemática puede pensar su objeto, y
83
considerar su sujeto” (Christin, 2001:1). En segundo lugar la Noosfera, que
desempeña una función intermedia entre el Sistema Didáctico y el mundo externo a
la escuela o institución educativa, constituida principalmente por la sociedad en
general, los padres, profesores de Matemática, etc.
El aprendizaje y la enseñanza de la Matemática es enfocada con la Teoría de
las Situaciones Didácticas, la cual formula la iniciativa de estudiar “un conjunto de
relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre el alumno o un grupo de
alumnos, algún entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor con un
fin de permitir a los alumnos aprender-esto es, reconstruir-algún conocimiento”
(Godino, 1991:28), la construcción de este conocimiento no es posible sin el interés
personal del alumno por la resolución del problema planteado en la situación
didáctica, lo que nos indica una evolución hacia una postura de independencia
cognitiva por los estudiantes, que es fundamental para el aprendizaje de las
matemáticas y de las demás disciplinas científicas.
Esta teoría también señala algunos tipos de obstáculos en la construcción del
aprendizaje; estos pueden ser ontogéneticos, los relacionados con las características
psicogenéticas debidas al desarrollo del niño, los didácticos y los epistemológicos.
El último planteamiento que nos presenta esta concepción autónoma de la
Didáctica de la Matemática, es la relación con el saber, constituido por la relatividad
del conocimiento respecto de las instituciones, denominada Transposición Didáctica,
“el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo
en conocimiento para ser enseñado” (Godino, 1991:29), estas diferencias entre el
saber enseñado y el saber institucionalizado son la esencia del estudio de la
transposición didáctica, el cual abarca el análisis de las clases de diferencias y
determinar las causas por las cuales se han producido, con la finalidad de superarlas
y evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos
matemáticos.
84
I.6.2. Conclusiones
La Psicología ha desempeñado una función importante en el estudio de los
diferentes procesos que intervienen en nuestro aprendizaje. La Psicología del
Aprendizaje como rama de esta ciencia, conocida desde sus inicios por el uso de
métodos experimentales para el desarrollo de sus investigaciones, con la finalidad de
encontrar las respuestas a los diversos problemas en un campo tan complejo como el
de la conducta humana, nos ofreció en un primer intento explicaciones sobre el
aprendizaje, definiéndolo como un cambio de conducta observable condicionado a
una simple relación o asociación entre un estímulo y una respuesta. Las
implicaciones de esta definición no se dejaron esperar por los investigadores de las
ciencias de la educación de la época, quienes apoyaron la tesis de incorporar
estrategias basadas en la instrucción directa y repetida del conocimiento para obtener
el cambio de conducta deseado; observamos cómo las Leyes del efecto y del
ejercicio de Thorndike (1913) y la instrucción programa de Skinner (1974) son
incorporadas en la planificación de la enseñanza y muy especialmente en los textos,
no obstante la forma rigurosa, estática y mecanicista con la cual se enseñaban las
matemáticas producto de esta tendencia conductista, comienza a ser cuestionada.
En el caso de las matemáticas surgieron muchas dudas sobre si realmente la
ejercitación continua de ejercicios y problemas lograban el aprendizaje esperado por
los programas de estudio y si los refuerzos positivos o negativos fortalecían o
debilitaban el desempeño de los alumnos en tareas matemáticas. La realidad ha
demostrado que sin los procesos de internalización y comprensión de los procesos de
razonamiento y de la estructura global de los conceptos, el desempeño de los
estudiantes en las matemáticas suele ser precario.
Gagné (1977) incorpora nuevas formas de explicar el aprendizaje e introduce
el concepto de jerarquías del aprendizaje, sin embargo su postura no se desprende
mucho del enfoque conductista, gracias a esta posición conocida también como el
neoconductismo, se pudo organizar la enseñanza y la evaluación a través de la
formulación de objetivos para precisar la conducta que se requería modificar bajo
unas condiciones de ejecución y criterios de evaluación definidos, lo que originó la
tecnología educativa y el enfoque de sistemas para la instrucción y la enseñanza, el
cual reducía el proceso didáctico en tres pasos elementales para lograr los objetivos
terminales:
85
La posición conductista del aprendizaje nunca se preocupó por investigar los
procesos internos que suceden desde el inicio del estímulo hasta la respuesta, su
explicación se reduce a una simple relación de causa y efecto, por lo tanto, la
enseñanza de las matemáticas estuvo fundamentada bajo los paradigmas de la
transmisión verbal, calculista y algorítmico, según Gutiérrez (1983) y Gil (1988)
citados por González (1994), cuyo centro del proceso didáctico es, por un lado, el
conocimiento matemático del profesor, quien utilizaba a su vez un procedimiento de
enseñanza expositivo y un texto guía como recurso, y por el otro, las matemáticas
como una disciplina formal ya construida, la cual debía transmitirse respetando su
carácter científico.
Esta situación dejó vulnerable al conductismo con respecto a las nuevas
corrientes cognitivas y constructivistas, cuyos aportes han logrado cubrir el vacío
dejado en el proceso didáctico de las matemáticas y en las demás áreas del currículo.
La primera corriente psicológica que investigó los procesos mentales que se originan
cuando resolvemos problemas fue la Gestalt, escuela alemana de inicios del siglo
XX, cuya teoría del insight o aprendizaje súbito logró aproximarse a las respuestas
sobre cómo aprendemos, y a través de la tesis del aprendizaje productivo constituyó
un significativo aporte para la enseñanza de las matemáticas, puesto que incorporaba
estrategias relativas al razonamiento en la resolución de problemas, es decir, un
procedimiento de enseñanza heurístico para consolidar en los alumnos el aprendizaje.
Este trabajo lo continuaría la Epistemología genética de Piaget (1982), al
explicar la relación entre los desarrollos cognitivo y biológico en los niños,
planteamiento que se concretó en los estadios del desarrollo cognitivo que, en la
mayoría de los programas de estudio fueron incorporados para la enseñanza de las
matemáticas. Además, con los procesos de equilibración y reversibilidad del
pensamiento se pudieron introducir nuevas estrategias para orientar el proceso de
razonamiento en la resolución de problemas, siguiendo una secuencia desde las
operaciones concretas, semi-concretas y abstractas, brindándoles con esto una
oportunidad a los alumnos de construir progresivamente el aprendizaje matemático
significativo, con el apoyo del docente y recursos adaptados al nivel cognitivo del
alumno.
Conductas de entrada del alumno
Procesamiento de la
información
Aprendizajes nuevos o producto
86
Con la continuación de los trabajos de Ausubel (1973) y Brunner (1964) la
teoría de Piaget se fortalece gracias a una revisión crítica de la misma,
posteriormente la contribución de Dienes a través de la construcción de los Bloques
Aritméticos Multibase y sus cuatro principios didácticos conformaron las bases de
una teoría específica del aprendizaje matemático utilizando los fundamentos
psicológicos constructivistas, con los cuales podemos orientarnos para planificar el
proceso didáctico de las matemáticas y diseñar de una forma más precisa diferentes
estrategias y recursos para el aprendizaje que promuevan habilidades cognitivas en
los alumnos para consolidar la comprensión de conceptos, aplicación de operaciones
y propiedades en la resolución de los ejercicios y problemas.
Con el posterior advenimiento y rescate de la teoría de Vygotsky, se le
incorpora a la enseñanza de las matemáticas el constructivismo social y las
investigaciones sobre el aprendizaje dejan de tener no sólo un enfoque cognitivo,
sino que también comienzan con el análisis más profundo de los elementos
socioculturales que modifican el proceso de aprendizaje. La teoría sobre la zona de
desarrollo próximo nos explica cómo los alumnos y las personas en general
dependemos considerablemente del contexto social donde nos desenvolvemos y de
los demás seres humanos para lograr un verdadero aprendizaje, no obstante el
proceso didáctico de las matemáticas depende no sólo de los aspectos cognitivos que
se ejecutan internamente en nuestro cerebro, sino también de los elementos sociales
como las interacciones de significados, la comunicación y la orientación del docente
considerado como un actor fundamental en el desarrollo cognitivo de los alumnos.
El enfoque constructivista ha mantenido su aceptación por la comunidad de
investigadores preocupados por despejar las diferentes incógnitas de los problemas
de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas, y la producción de sus
teorías han dejado aportaciones valiosas en el estudio de la Didáctica de la
Matemática, las cuales consideramos para el desarrollo de nuestra investigación, que
persigue dentro de sus objetivos diseñar e implementar un Programa de enseñanza de
estrategias de aprendizaje como una propuesta didáctica bajo en enfoque
constructivista de la Psicología del Aprendizaje para reorientar la práctica
pedagógica de la asignatura Matemática General.
CAPÍTULO II: MARCO METODOLÓGICO
89
CAPÍTULO II:
MARCO METODOLÓGICO
En el presente capítulo se sintetizan los parámetros fundamentales desde el
punto de vista teórico que dirigen el enfoque metodológico en nuestro estudio, para
la búsqueda sistemática de las respuestas a las interrogantes que se han planteado
desde el inicio de esta investigación, en consecuencia se precisan aspectos
relacionados al tipo de investigación a seguir, los métodos, técnicas e instrumentos
utilizados con su respectiva justificación en función de la adecuación de los mismos
al trabajo de campo que pretendemos desarrollar.
II.1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
El presente estudio corresponde a una investigación educativa de tipo
cualitativo, por su naturaleza social enmarcada en el contexto del aula de clase
universitaria y por la interacción que hay entre sus participantes. Para Rodríguez et
al. (1996:32): “Los investigadores cualitativos estudian la realidad en su contexto
natural, tal como sucede, intentando sacar sentido o interpretando los fenómenos de
acuerdo con los significados que tienen para las personas implicadas. La
investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad de
materiales –entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos
históricos, imágenes, sonidos– que describan la rutina y las situaciones
problemáticas y los significados en la vida de las personas”.
Podríamos decir que los estudios cualitativos expresan una mayor integridad
de las variables porque respetan la naturaleza de las interacciones sociales. Según
Walker (1989:105), citado por Sáez & Carretero (1994:165): “Parte del reciente
entusiasmo por los métodos cualitativos en la investigación educativa se deriva más
de su flexibilidad que de cualquier otra cualidad intrínseca que posean, ya que, a
diferencia de la mayoría de los métodos cuantitativos, pueden adaptarse y
modificarse a medida que avanza el proyecto”, además, “es precisamente la
necesidad de comprender la complejidad, la dinámica y las etapas de los procesos
de cambio, como las sociedades occidentales reclaman al sistema educativo, lo que
sin duda ha contribuido a la generación y al desarrollo de los enfoques
cualitativos”.
90
Aunque estas explicaciones nos ofrecen un camino para esclarecer la esencia
de los estudios cualitativos, para complementar más esta información necesitamos
exponer un resumen de las características que de los mismos hacen Aguilera y
Blanco (1987):
- Su interés se centra en el estudio de los significados sociales.
- Los principales datos que se recogen son los aspectos relacionados a los
procesos de pensamiento, análisis e interpretación y comprensión de
situaciones sociales.
- Posee una metodología amplia, puesto que, no se limita a utilizar técnicas
restringidas sino que abre la posibilidad para obtener la integración de
la observación, entrevistas, análisis de documentos, etc., en la
recolección de la información necesaria del contexto de estudio.
- Los investigadores cualitativos no asignan valores numéricos a sus
observaciones, sino que prefieren registrar sus datos en el lenguaje de
sus sujetos.
- Su diseño es flexible en la investigación para garantizar el
descubrimiento de todas las variables del proceso.
Pérez (1998:27), también aporta un análisis de las características más
relevantes del paradigma cualitativo que guardan semejanzas con las posiciones de
los autores antes citados; estas son las siguientes:
- La teoría constituye una reflexión en y desde la praxis: De acuerdo con la
explicación de la autora el principal objetivo de este enfoque o paradigma
es la construcción de teorías prácticas que nacen desde la misma práctica
y su constitución de reglas más que de leyes.
- Intenta comprender la realidad: Lo más importante no es establecer leyes
sobre la realidad, se quiere establecer regularidades, fijar conceptos,
establecer causas que aporten una comprensión más natural de los
fenómenos estudiados en el contexto social.
- Describe el hecho en el que se desarrolla el acontecimiento: Esta
característica se ejecuta desde dos vertientes: La primera a través de datos
descriptivos constituidos por las propias palabras de las personas,
habladas o escritas, y la segunda mediante la conducta observable, por lo
cual se hace necesaria la pluralidad de métodos y la adopción de
estrategias de investigación específicas, singulares y propias de las
interacciones sociales que tipifican la condición humana.
- Profundiza en los diferentes motivos de los hechos.
91
- El individuo es un sujeto interactivo, comunicativo, que comparte
significados.
De la misma forma Stake (1999:49), describe de manera sintética los
principales elementos de la investigación cualitativa que en resumidas cuentas son
las siguientes:
- Es holística: su contexto de estudio está bien desarrollado; el caso de
estudio se entiende como un sistema limitado, evita el reduccionismo y el
elementalismo, busca comprender más su objeto qué determinar en que se
diferencia de otros.
- Es empírica: está orientada al campo de observación, por lo que no es
intervensionista sino naturalista.
- Es interpretativa: se hace uso de la intuición del investigador para lograr
una mayor interacción entre éste y los sujetos del contexto de estudio.
- Es empática: da mucha importancia a la intencionalidad del actor, a sus
esquemas de referencia, sistema de valores y a todo lo que implica sus
interacciones sociales.
Finalmente citamos a Flores & Tobón (2001:6), quienes señalan la
investigación cualitativa como: “Propia de las ciencias humanas, que permite
comprender racionalmente la vida, la cultura y el acontecer humano sin reducir la
simplicidad mecanicista, sin suprimir al sujeto, ni negar la multiplicidad de
perspectivas teóricas, lenguajes y sentidos que nos caracterizan como seres en
contexto y en interacción permanente con el horizonte de sentido de los demás,
presentes o lejanos en el espacio o en el tiempo”.
Estas orientaciones teóricas de la investigación cualitativa nos llevan a
justificar racionalmente su aplicación en nuestro estudio, para lo cual tomaremos los
elementos que más se adapten de la misma a las necesidades propias de esta
investigación, que desde nuestra perspectiva científica serían los siguientes:
- Centrar el estudio de la realidad en el contexto natural e inalterable, donde
los estudiantes y profesores como actores principales de los
acontecimientos sociales del aula interactúan en el proceso didáctico de la
Matemática.
- Analizar no sólo el resultado de los aprendizajes sino también, y lo que es
más importante, los procesos de pensamiento que se originan en los
mismos.
92
- El uso integrado de las diferentes técnicas de recolección de información
como la observación, las entrevistas, análisis de documentos, los diarios
de campo, etc., para comprender desde un enfoque holístico el caso de
estudio desde sus dimensiones cognitivas, sociológicas y psicológicas de
sus principales actores.
Estos serán los elementos que estructurarán el concepto de la investigación
cualitativa que manejaremos para los efectos de nuestro trabajo de investigación.
II.1.1. Complementariedad de métodos cuantitativos y cualitativos
Aunque se han descrito a grandes rasgos los elementos fundamentales de la
investigación cualitativa para orientar nuestra investigación, también queremos
justificar una posición o enfoque complementario entre los paradigmas cualitativos y
cuantitativos, esto le permitirá al estudio un mayor alcance en cuanto a los resultados
obtenidos, pues consideramos que se deben aprovechar al máximo las ventajas de
ambos paradigmas y no desperdiciar tiempo en discusiones estériles sobre las
diferencias o desventajas que representan cada uno.
Al respecto Pérez (1998:71) nos dice que: “Tanto la orientación de tipo
cuantitativo como cualitativo pueden considerarse interdependientes. De esta
manera se puede iniciar un estudio cualitativo, exploratorio, y posteriormente
emplear métodos cuantitativos para ir ordenando lo que se va descubriendo o, a la
inversa, iniciar un estudio cuantitativo y a lo largo de su desarrollo precisar las
aportaciones cualitativas que permitan clarificar algún aspecto del trabajo al
constatar la necesidad de contar con la información complementaria que aporte una
visión más profunda de la realidad del objeto de estudio”.
También Aguilera & Blanco (1987), están de acuerdo con que ambas
perspectivas son necesarias y pueden utilizarse de manera complementaria, cuestión
que dependerá de la situación específica de cada investigación.
Otras de las razones que podemos citar para justificar la complementariedad
de paradigmas dentro de la investigación es que “el proceso investigativo por lo
general contiene aspectos de los diversos paradigmas: en el fondo, cada paradigma
conceptualizó el proceso investigativo desde un aspecto en particular, y no desde su
globalidad” (Hurtado, 2000:8).
93
Para nosotros tanto el análisis cuantitativo como el cualitativo nos ofrecen
una mejor apertura para la elaboración de juicios y conclusiones en el estudio, ya que
no se trata simplemente de estructurar información relacionada a porcentajes de
alumnos deficientes, buenos o excelentes o de verificar una relación causa-efecto
entre programas de enseñanza y aprendizaje matemático, existen otras variables que
tienen una implicación más profunda y son las que tienen que ver con la interacción
social y psicológica de los actores del proceso de investigación, como sus actitudes,
creencias y opiniones que como seres humanos es normal que exhiban dentro del
contexto real, “la cantidad y cualidad no se oponen en la investigación cualitativa,
siempre y cuando no se suprima el contexto, ni el sujeto del intérprete configurador
de sentidos, ni la voz de los actores participantes del evento en estudio, que también
aportan su sentido al acuerdo intersubjetivo” (Flores & Tobón, 2001:9).
De esta manera se nos presenta una verdadera necesidad de enfocar esta
tendencia ecléctica en el desarrollo de la investigación actual, tal como lo señalan
(Muñoz et al., 2001:40): “Cada vez más se aprecian acercamientos entre
paradigmas y métodos. Si bien, cada uno de ellos ostenta fortalezas y debilidades,
objetos y métodos propios, marcos conceptuales diversos, campos de acción
específicos, y técnicas de observación y análisis excluyentes, la síntesis
multimetodológica aumenta credibilidad”.
II.1.2. Estudio de casos
Es conveniente aclarar que tomaremos la práctica docente dentro del aula
como una situación externa, es decir, el caso estará constituido por el contexto social
del proceso didáctico integrado por un grupo de actores cuyas características estarán
bien definidas.
Tanto los estudiantes como el profesor serán los protagonistas del estudio en
nuestra investigación, por lo tanto se usará como método de investigación el estudio
de casos. Aunque existen divergencias en cuanto a su significado, puesto que, no
sólo se le considera como una herramienta metodológica, sino también como un
enfoque o estrategia que orienta la evaluación (Sáez & Carretero, 1994:165),
expondremos algunas definiciones de los estudios de casos que se tienen del mismo
para orientar nuestra investigación.
En primer lugar podemos citar la de Martínez (1990:31) quien la define como
“una investigación naturalista que atiende las apreciaciones y actividades de los que
94
intervienen en el programa objeto de evaluación”. El estudio de caso también se
presenta como herramienta fundamental, pues es un “método relativamente sencillo
de valorar el progreso de un curso de trabajo o las relaciones de un alumno o grupo
ante los métodos de enseñanza” (Walker, 1989:77). Igualmente se le ha considerado
“como una metodología de análisis grupal, cuyo aspecto cualitativo nos permite
extraer conclusiones de fenómenos reales o simulados en línea formativa-
experimental, de investigación y/o desarrollo de la personalidad humana o de
cualquier otra realidad individualizada y única” (Pérez, 1998:83).
Rodríguez et al. (1996) exponen una conceptualización que difiere de las
anteriores, al definir el estudio de casos como “una estrategia de diseño de la
investigación” (92); esto lo justifican por el hecho de que carecen de especificidad,
por lo que se pueden utilizar en cualquier campo disciplinar y por sus distintas
aplicaciones para responder a las diferentes interrogantes que orienten la indagación.
Por otro lado, se pueden disponer de diferentes técnicas y procedimientos
para obtener información del contexto donde se desarrolla la investigación, como la
entrevista, cuaderno de campo, análisis de preguntas, videos, diapositivas,
magnetófono, grabadora o la observación; con ellos se recogerá la información para
organizarla, presentarla, analizarla e interpretarla, para luego tomar decisiones y
modificar el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación en el aula de clase como
situación social.
Este método de investigación también toma como referencia la investigación
crítica en donde “se plantean temas como la innovación y por ello, su evaluación, al
igual que la evaluación iluminativa, tiene peculiaridades que hacen generar
intervenciones que hacen modificar los comportamientos antes que se cierre la
investigación” (Martínez, 1990:30).
Es importante señalar que el estudio de casos se puede considerar “como una
sistematización de una experiencia dentro de la cual las interpretaciones son
críticamente manejadas con el propósito de evitar que la experiencia se tome
sesgada” (Stenhouse, 1987:83), y aunque han sido criticados por no tener rigurosidad
científica como los métodos cuantitativos, “los estudios de casos son especiales,
porque ellos tienen diferentes focos, se enfocan en un sistema limitado ya sea un
simple autor, una simple aula, una simple institución o una simple empresa,
usualmente bajo condiciones naturales de tal forma que se pueda entender dentro de
su propio hábitat” (Stake,1988:256).
95
Con esta investigación pretendemos determinar debilidades y fortalezas en los
aspectos, dimensiones y criterios que definen al proceso de aprendizaje matemático
en el alumno, para orientar la práctica docente a través de una propuesta o programa
de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado en la autorregulación del
pensamiento formal de los alumnos, por consiguiente, se tomará con mayor énfasis la
función de evaluación en la investigación de estudio de casos. “Cuando se dedica de
lleno a la función de evaluador de programas, el investigador en estudio de casos
elige unos criterios determinados o un conjunto de interpretaciones, mediante los
cuales se revelarán las virtudes y los defectos, los aciertos y errores del programa”
(Stake, 1999:86).
Como se puede apreciar, se trata de un estudio de casos evaluativo el cual
implica descripción, explicación y juicio. Este estudio de casos es muy útil cuando se
trata de evaluar la práctica docente, puesto que tiene la ventaja de “explicar los
vínculos causales de las intervenciones en la vida real, demasiado complejas para
ser examinadas por estrategias experimentales” (Pérez, 1998:99). Esta autora
también nos brinda una aportación valiosa de las etapas principales para realizar un
estudio de casos que a grandes rasgos son:
- Una etapa inicial donde el investigador entra en contacto con la realidad
del estudio, su naturaleza y contexto social.
- La segunda etapa cuya finalidad es la obtención de datos a través de las
diferentes técnicas de recolección de información.
- Y la tercera etapa considerada como el momento crucial, pues donde se
lleva a cabo el análisis de la información o datos obtenidos en la fase o
etapa anterior.
Dentro de las tipologías de los estudios de casos que mencionan Rodríguez et
al. (1996): diseños de casos únicos, diseños de casos múltiples y estudios globales e
inclusivos, tomaremos el segundo, pues es donde se puede obtener una gran
abundancia de información al utilizar varios casos únicos a la vez para estudiar la
realidad que se pretende explorar, describir, explicar, evaluar o modificar.
En definitiva, para nuestra investigación seguiremos las siguientes etapas en
función del análisis teórico efectuado en este apartado. Tenemos entonces tres
aplicaciones fundamentales del estudio de casos:
96
- Etapa Inicial: Durante la cual efectuaremos el diagnóstico o descripción
inicial de la situación problema, constituido principalmente por el análisis
de las estrategias de aprendizaje y la valoración de los aprendizajes
matemáticos que el alumno tiene como prerrequisito, su actitud y opinión
con relación a la asignatura de Matemática General.
- Segunda Etapa: Tiene como objetivo realizar el pronóstico o explicación
de acuerdo al análisis de los datos recolectados del contexto real del
estudio, en otras palabras, las evaluaciones efectuadas al proceso
didáctico que se desarrolló en el aula con los alumnos.
- Tercera Etapa: Efectuaremos el tratamiento de acuerdo al juicio y a las
conclusiones y toma de decisiones para mejorar la práctica educativa en la
enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas con los alumnos.
II.1.3. Técnicas e instrumentos de investigación seleccionados
Ya se ha mencionado desde el inicio de este capítulo que la investigación
cualitativa reúne una diversidad de técnicas de recolección de información tales
como la observación, la entrevista, los registros de campos, los diarios, etc., en
función de esta gama queremos especificar las que utilizaremos para los fines de
nuestra investigación, dentro de las cuales se manejará la siguiente definición de
Hurtado (2000:27): “Las técnicas de recolección de datos comprenden
procedimientos y actividades que le permiten al investigador obtener la información
necesaria para dar respuesta a su pregunta de investigación. Se pueden mencionar
como técnicas de recolección de información la observación (ver o experimentar), la
encuesta (preguntar), la entrevista (dialogar), la revisión documental (leer), las
sesiones en profundidad (hacer o participar)”.
Otra definición que consideramos pertinente citar es la de Rojas et al.
(1998:25): “Por técnicas entendemos los procedimientos específicos que utiliza una
determinada área científica para la obtención de los datos de la investigación”;
estos autores prefieren asignarle el término de técnicas de recogida de datos porque
la refiere a una etapa más específica dentro del método de investigación que la
utilice; así mismo las clasifican de una manera general, atendiendo a su grado de
simplicidad, a la información que proporcionan, a las formas de cómo se utilizan,
etc., dentro de las que podemos citar:
97
- La observación.
- La entrevista.
- La encuesta.
- Las historias de vida.
- Los test, cuestionarios y escalas.
- Los grupos de discusión.
- La experimentación.
- Las medidas psicofisiológicas.
Rodríguez et al. (1996:142), define la recogida de datos como el
procedimiento “de reducir de modo intencionado y sistemático, mediante el empleo
de nuestros sentidos o de un instrumento mediador, la realidad natural y compleja
que pretendemos estudiar a una representación o modelo que nos resulte más
comprensible y fácil de tratar”.
Por otro lado, realiza una clasificación más completa de las técnicas de
investigación según dos criterios que a nuestro juicio consideramos de importancia,
las cuales presentamos en las Tablas 2.1. y 2.1.:
Investigador y su
percepción e interpretación
de la realidad
Perspectiva de los
demás participantes
Respuestas de los
participantes a la
perspectiva del
investigador
La perspectiva que
investigador o
participante tienen de sí
mismos
Observación (listas de
control, sistemas de
categorías, sistemas de
signos, observaciones no
estructuradas, documentos
y diarios, fotografías,
vídeos, etc.).
Entrevistas no
estructuradas,
documentos, diarios
(de profesores y
alumnos).
Entrevistas
estructuradas,
cuestionarios, escalas,
test, técnicas
proyectivas.
Diarios, cuestionarios
autoaplicables, técnicas
de grupo.
Tabla 2.1. Procedimientos y técnicas según quienes solicitan la información.
Objetivo Procedimiento o técnica
Describir una situación Cuestionarios, observación no estructurada, entrevista no
estructurada, escala, inventarios...
Contrastar una explicación Test, lista de control, sistema de categorías, sistema de
signos, escala de estimación, entrevista estructurada.
Interpretar lo que otros piensan Diario, documento, biografía, entrevista estructurada,
historia de vida.
Analizar lo que pienso Autobiografía, diario, observación no estructurada,
fotografía, cuestionario autoaplicable.
Ayudar a que otros tomen conciencia Diario, unidades narrativas, triangulación, encuesta feed-
back, grupo de discusión, técnicas de grupo.
Tabla 2.2. Procedimientos y técnicas según los objetivos del investigador.
98
Es importante resaltar que existen diversas formas de clasificar las diferentes
técnicas de recolección de información, sin embargo, el presentarlas no es nuestro
objetivo en este apartado, lo fundamental es seleccionar aquellas que se ajusten a las
verdaderas necesidades de nuestra investigación, esto le dará a la misma mayor
originalidad y proporcionará aportaciones más significativas para investigaciones
futuras en esta línea de investigación. “En la actualidad existe una gran variedad de
instrumentos y técnicas de recogida de datos que investigadores y expertos han
elaborado para cubrir las necesidades de investigación” (La Torre & González,
1987:350).
II.1.3.1. La Técnica de la observación
En principio se puede afirmar que la observación constituye la génesis de las
técnicas de recolección de información dentro la investigación, la primera percepción
de los hechos, fenómenos, acciones, etc., del mundo real nos son proporcionados a
través de ella, con lo cual su perfeccionamiento se ha hecho evidente en el transcurso
de la historia de la ciencia; no obstante, para obtener una concepción más precisa de
la misma, citaremos a especialistas tales como Hernández et al. (2000:309), quienes
señalan que “la observación consiste en el registro sistemático, válido y confiable de
comportamiento o conducta manifiesta”; además, puede ser útil para determinar la
aceptación de un grupo de alumnos respecto a su profesor y su estilo o método de
enseñanza, cuestión ésta que pretendemos estudiar en nuestra investigación. De igual
forma Salkind (1999:147) describe las técnicas de observación como aquéllas en las
“que el investigador se sitúa fuera de la conducta que se está observando y crea una
bitácora, notas, o un registro en audio o video de la conducta”.
La observación se nos presenta con una serie de elementos ordenados
sistemáticamente y con un propósito bien definido, que la pueden transformar en una
valiosa herramienta en la investigación social, para lo cual, según Pérez (1998), debe
cumplir las condiciones siguientes:
- Orientar a un objetivo de investigación.
- Planificar sistemáticamente en fases, aspectos, lugares y personas.
- Controlar y relacionar con proposiciones generales en vez de ser
presentada como una serie de curiosidades interesantes.
- Someterse a comprobaciones de fiabilidad y validez.
99
Una forma muy interesante de conceptuar la observación, la exponen también
Rodríguez et al. (1996:150), a través de la siguiente relación matemática:
“O P I= + , donde O es la observación, P es el sistema perceptivo del observador,
que incluye sus metas, prejuicios, marco de referencia y aptitudes o bien la
mediación de un sistema de observación (instrumento o herramienta utilizados para
realizar y registrar la observación); e I representa la interpretación que hace de lo
observado”.
Lo significativo de esta última definición se encuentra en la posibilidad de
generar una gran cantidad de información desde diversos focos y/o posiciones que
van a depender notablemente del observador; esto nos proporcionaría mayores
oportunidades de analizar el problema objeto de estudio si contamos con las
perspectivas de los diferentes actores involucrados en el contexto de estudio y de los
diferentes investigadores que se propongan desarrollar una misma investigación
aunque parezca una tarea algo ambiciosa; “dos investigadores observando lo mismo,
jamás escribirían lo mismo, puesto que cada uno tiene su propia historia y su
manera de concebir el mundo e interpretarlo” (Muñoz et al., 2001:158).
El tipo de observación que utilizaremos en nuestro estudio será en primer
lugar para la fase diagnóstica, la externa o no participante, puesto que el
investigador-observador no pertenece al grupo que se estudia, y además, será directa
por la necesidad de tener contacto directo con la realidad objeto de estudio y por
fundamentarse en las entrevistas y cuestionarios; esta modalidad de observación está
ajustada en función del grado de participación del observador. Utilizaremos según
Pérez (1998:24), la observación directa la cual “comprende todas las formas de
investigación sobre el terreno, en contacto inmediato con la realidad, y se
fundamenta en la entrevista y el cuestionario”.
En segundo lugar utilizaremos la observación participante en donde el
maestro “examina su práctica educativa mediante un control cuidadoso con objeto
de mejorarla” (La Torre & González, 1987:363), además “en ella el observador
participa en la vida del grupo u organización que estudia, entrando en la
conversación con sus miembros y estableciendo un estrecho contacto con ellos, de
manera que su presencia no perturbe e interfiera de algún modo el curso natural de
los acontecimientos” (Pérez, 1998:25).
De esta forma garantizamos la mayor diversidad de información posible para
la ejecución de la tercera fase de la investigación, que consistirá en la puesta en
práctica y evaluación de la propuesta didáctica como respuesta hacia la reorientación
100
del proceso didáctico de las matemáticas, en consecuencia el investigador y
observador necesitarán interactuar con los actores dentro del aula para formar parte
de todo el proceso de construcción de información dentro de nuestro estudio. “El
observador participante puede acercarse en un sentido más profundo y fundamental
a las personas y a comunidades estudiadas y a los problemas que les preocupan”
(Rodríguez et al., 1996:165).
En cuanto a las estrategias de observación a utilizar consideramos que los
sistemas descriptivos son los que mayores ventajas ofrecen a nuestro estudio, porque
nos aporta de manera abierta la recolección de las diferentes características, aspectos,
dimensiones y criterios que pretendemos estudiar desde el contexto social; no
obstante, “las unidades de observación abarcan múltiples aspectos de la conducta,
ya que lo que se pretende reflejar en toda su complejidad y extensión es un proceso o
fenómeno educativo dado o una conducta en particular” (Op. cit. 1996:161), por lo
tanto, utilizaremos el registro de lo observado a través de las notas de campo,
proceso que consiste en apuntar por escrito los acontecimientos que suceden durante
el trabajo de campo para su posterior organización y reflexión sobre el problema
estudiado.
Estas notas de campo las combinaremos con los sistemas de observación
tecnológicos, específicamente recopilaremos datos a través de las grabaciones en
audio de las sesiones de clase, lo cual nos garantiza según los autores precitados “dar
respuesta a un problema salvando el carácter relativo y temporal de la información
recogida. Las dimensiones del problema quedan registradas de modo permanente,
permitiendo una continua revisión de las mismas” (164).
Finalmente para complementar las estrategias de observación usaremos
dentro de los sistemas narrativos de observación los diarios, los cuales constituyen
otro de los instrumentos útiles en el desarrollo del estudio de casos, puesto que, con
la información personal que puedan redactar los actores que forman parte del
contexto de estudio, podemos recolectar y analizar datos con mayor profundidad y
coherencia desde las posiciones subjetivas que tienen las personas con relación al
fenómeno en estudio.
Los diarios son definidos como “informes personales que se utilizan para
recoger información sobre una base de cierta continuidad. Suele contener notas
confidenciales sobre observaciones, sentimientos, reflexiones, interpretaciones,
hipótesis o explicaciones” (Pérez, 1998:45); esta misma autora sostiene que son
101
excelentes como instrumentos de recogida de datos en el aula y también para obtener
información para la triangulación en la validación de datos.
Para Rodríguez et al. (1996:163), “el diario es un instrumento reflexivo de
análisis. Es decir, el investigador va a plasmar en él no sólo lo que recuerda –casi
siempre apoyado por las notas de campo– sino también o, mejor, sobre todo, las
reflexiones sobre lo que ha visto y oído”. Para seleccionar el tipo de diario a utilizar
en nuestra investigación consideramos que la mejor orientación la aportan Pérez
(1998) y la Torre & González (1985), quienes los clasifican según el formato y grado
de libertad de quien los realiza en: abiertos, semiestructurados y estructurados.
Consideramos que el uso de un diario abierto nos aportaría mejores ventajas
para nuestro caso, ya que resulta muy adecuado para narrar información en
profundidad sobre individuos, grupos, actividades, etc., representadas en este caso
por los alumnos que cursan la asignatura de Matemática en el primer semestre de la
carrera de Educación Integral, y por las diferentes actividades que se realizan en el
proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula de clase, además, no requiere de una
elaboración y preparación específica. Estos diarios se analizarán desde la perspectiva
de los alumnos, lo que también nos ofrecerá una implicación de los mismos en la
mejora de la enseñanza.
Dentro de las ventajas que ofrecen este tipo de diarios, podemos destacar su
preparación sencilla, su fácil administración y elaboración por parte de quien lo
escribe, y el aporte de una descripción del clima social del aula en general, sin
embargo, sus desventajas son la subjetividad y dependencia de quien los realiza. Por
último exponemos las siguientes ventajas de los diarios de los alumnos según la
Torre & González (1985:351):
- “Proporcionan información desde la perspectiva del alumno.
- Pueden ayudar a identificar problemas de identificación.
- Implican a los alumnos en la mejora de la enseñanza.
- Proporcionan la base para la triangulación.
- Pueden ser una práctica no establecida en la clase”.
102
II.1.3.2. La Técnica de la entrevista
Nuestro estudio pretende lograr dentro de sus objetivos, determinar las
apreciaciones que tienen los estudiantes del proceso de enseñanza-aprendizaje en las
Matemáticas que se imparten en el primer semestre de la carrera Educación Integral
de la UNELLEZ-Barinas. Esto implica la necesidad de recolectar las diferentes
experiencias, opiniones y actitudes de los alumnos con relación a este aspecto
didáctico, por consiguiente, la sola técnica de la observación no es suficiente, aún
con una planificación sistemática y coherente de la misma, la entrevista se nos
presenta como la segunda alternativa viable para complementar nuestras técnicas de
recolección de información. Según Stake (1999:63): “Dos de las grandes utilidades
principales del estudio de casos son las descripciones y las interpretaciones que se
obtienen de otras personas. No todos verán el caso de la misma forma. Los
investigadores cualitativos se enorgullecen de descubrir y reflejar las múltiples
visiones del caso. La entrevista es el cauce principal para llegar a las realidades
múltiples”.
Esta excelente ventaja que posee la entrevista, de contar con enfoques y/o
visiones múltiples nos lleva al estudio más exhaustivo del caso, logrando con ello un
menor sesgo en los resultados y conclusiones finales obtenidos en la investigación;
otras de las bondades de la entrevista está en su gran utilidad para investigar en el
aula de clase. “Permite reunir información sobre creencias, expectativas, actitudes,
sentimientos, opiniones, etc., de los alumnos y profesores respecto a la situación del
aula. Es el medio más directo para obtener información sobre el contexto escolar”
(La Torre & González, 1985:352). Otra definición de esta técnica, la aporta Walker
(1989:113): “La entrevista se basa en la idea de que las personas son capaces de
ofrecer una explicación de su conducta, sus prácticas y sus acciones a quien les
pregunta sobre ellas. Abarca una amplia gama de técnicas, desde los cuestionarios
estructurados, hasta la conversación ‘no estructurada’ ”.
La entrevista también se puede definir “como una técnica en la que una
persona (entrevistador) solicita información de otra o de un grupo (entrevistados,
informantes), para obtener datos sobre un problema determinado” (Rodríguez et al.,
1996:150). Un concepto semejante al de este autor describe a esta técnica como una
“actividad mediante la cual dos personas (a veces pueden ser más), se sitúan frente a
frente, para una de ellas hacer preguntas (obtener información) y la otra, responder
(proveer información)” (Hurtado 2000:461).
103
Para Mora (2006), la entrevista es considerada como una manera de obtener
información por el investigador para una gran diversidad de objetivos. “Aunque la
entrevista como método cualitativo tiene expresiones diversas. La denominación de
carácter general que es acogida convencionalmente por ser distintiva de sus
diferentes formas es la entrevista en profundidad” (Mora, 2006:163). Para Wolcott
(1988), la entrevista comprende la segunda categoría de las técnicas de trabajo de
campo de mayor importancia después de la observación, y la define en un sentido
muy amplio, como la técnica en la cual el entrevistador es quién pregunta, ordena y
estructura todos los aspectos de la entrevista en la escena natural y se hace con el
intento consciente de obtener información particular directamente de los asuntos de
cada uno de los sujetos involucrados en el estudio. Y para Lankshear & Knobel,
(2003:11) “es una manera valiosa de acceder a las opiniones, creencias, valores,
prácticas de alfabetización y experiencias de enseñanza comunitaria de los
participantes”.
Para precisar mejor la modalidad de entrevista a utilizar en nuestro estudio,
nos basaremos en los tipos de entrevista que señalan, Walker (1989), Rodríguez et al.
(1996) y Hurtado (2000). Estas son tres: entrevista estructurada, semiestructurada y
entrevista en profundidad. Tomaremos la entrevista estructurada, la cual se basa
según Hurtado (2000:462): “En un formulario normalizado, cuyas preguntas han
sido previamente preparadas. Este tipo de entrevista supone conocimiento previo,
por parte del investigador, de los aspectos relevantes del evento estudiado, lo que
permite seleccionar y formular las preguntas de manera precisa; requiere además
que conozca el nivel de información y vocabulario de los entrevistados, de modo que
el lenguaje empleado sea comprensible para ellos sin necesidad de explicaciones
adicionales”.
Rodríguez et al. (1996), define a este tipo de entrevista estructurada como un
cuestionario donde no existe interacción persona a persona entre el entrevistador y
entrevistado. Es una técnica de recolección de información que implica un
interrogatorio en el cual las preguntas determinadas previamente se plantean en el
mismo orden y se formulan con los mismos términos; su principal ventaja radica en
el hecho de que con el cuestionario se logra disminuir los efectos subjetivos del
entrevistador por su carácter sistemático, puesto que, las preguntas son siempre las
mismas y se hacen de la misma forma a cada persona.
Walker (1989), por su parte explica que el cuestionario “formalmente es lo
mismo que una entrevista cara a cara, aunque a fin de prescindir de la presencia del
104
entrevistador, se presenta al sujeto lo que podría definirse como una transcripción
estructurada de entrevista sin respuestas”.
Una definición más pragmática del cuestionario señala que “es un
instrumento que agrupa una serie de preguntas relativas a un evento, situación o
temática particular, sobre el cual el investigador desea obtener información”
(Hurtado, 2000:469), también es “una forma impresa estandarizada (primaria) por
medio del cual se obtiene la información, de los sujetos, que servirá para el logro de
los objetivos y para aportar soluciones al problema en estudio” (Aroca, 2000:98).
El concepto que abordaremos de este instrumento para nuestro trabajo de
campo será el de guía para una entrevista estructurada, previamente diseñada,
ordenada y sistematizada en función de los aspectos y/o dimensiones del problema
en estudio. Esto nos llevará hacia la construcción de un cuestionario con preguntas
cerradas cuyas opciones son estructuradas, es decir, ofrece una serie de alternativas
de respuesta; sin embargo, para complementar aún más la información se incluyen
también opciones menos estructuradas. La razón de esta selección se explica por la
complementariedad de los métodos cuantitativos y cualitativos, “este enfoque del
diseño de cuestionarios ofrece una forma de integrar datos ‘cualitativos’ y
‘cuantitativos’ (Walker, 1989:130), aunque el mismo autor señala también, que es
difícil de lograr esta integración por lo complicado que es hallar un contexto
apropiado a partir de los estudios de casos, he aquí nuestro reto para superar los
obstáculos de toda investigación. Citaremos a continuación tres grandes ventajas que
nos ofrecen estos instrumentos en la recolección de información en el trabajo de
campo, según Rojas et al. (1998:117):
- “Aportan información estandarizada. Los encuestados responden al
mismo conjunto de cuestiones, por lo que es más fácil comparar e
interpretar sus respuestas.
- Ahorra tiempo. El cuestionario contribuye a realizar un uso eficiente del
tiempo de diferentes formas: 1. Permite encuestar a un gran número de
personas de una vez; 2. El encuestado puede responder en algunas
ocasiones en el momento más adecuado; y 3. Agiliza el análisis
estadístico de las respuestas.
- Facilita la confidencialidad.
105
II.1.3.3. Las pruebas de valoración de aprendizajes
Se les conoce también como pruebas de conocimiento o test de rendimiento.
Según Hurtado (2000), estos instrumentos tienen como principal objetivo determinar
el nivel de aprendizaje de los sujetos con relación a un tema específico, en nuestro
caso el área de pensamiento numérico de las Matemáticas. Por su parte, Salkind
(1999:137) las denomina pruebas de aprovechamiento para referirse a estos
instrumentos y los define con un enfoque cuantitativo como aquellos que “sirven
para medir los conocimientos en un área específica, y son las más comúnmente
utilizadas cuando el resultado que se esta midiendo es el aprendizaje. Estas pruebas
también sirven para medir la efectividad de la enseñanza que acompañó al
aprendizaje”.
El tipo de preguntas que conforman las pruebas de valoración que
aplicaremos en nuestra investigación están constituidas por ítems semiestructurados
y de tipo ensayo. En los primeros, además de ofrecer una serie de alternativas como
posibles respuestas, el participante deberá justificar la razón de su elección, lo que
nos permitirá analizar con mayor profundidad el o los procesos mentales que se
aplican en el aprendizaje matemático. En los segundos ítems existe mayor libertad
para el participante, el objetivo que se persigue con ellos es el de determinar
habilidades cognitivas más especificas que el sólo dominio de un conocimiento, lo
que se desea a grandes rasgos es analizar cuantitativamente y cualitativamente el
aprendizaje que demuestren los estudiantes en las pruebas de valoración desde una
perspectiva global e integradora de los diversos elementos que constituyen un
verdadero aprendizaje de las matemáticas. Según Badger (1989), lo importante en la
valoración de los aprendizajes o conocimientos matemáticos es el obtener
información sobre aspectos tales como:
- La capacidad de aplicar sus conocimientos en la solución de problemas
matemáticos y de otras disciplinas.
- La capacidad de utilizar el lenguaje matemático para comunicar ideas.
- La capacidad de razonar y analizar.
- El conocimiento y comprensión de los conceptos y procedimientos.
- La disposición hacia las matemáticas.
- La comprensión de la naturaleza de las matemáticas.
Estos aspectos conforman a grandes rasgos las dimensiones que se desean
estudiar en nuestra investigación. Tenemos que señalar que la valoración de los
aprendizajes también puede asumir el término de evaluación, “cuando queremos
106
referirnos a la complejidad y variedad de situaciones en las que están implicados los
profesores a la hora de valorar, enjuiciar, controlar y dirigir el trabajo de sus
alumnos se emplea el término evaluación” (Rico, 1996:107), esto es fundamental
para evitar imprecisiones en el empleo de estos conceptos en el desarrollo del
presente estudio.
II.1.4. Fiabilidad y validez
Una de las grandes preocupaciones que siempre han tenido los investigadores
es la determinar y precisar si los resultados del estudio representan con exactitud los
diferentes aspectos, elementos, dimensiones o variables del fenómeno objeto de
investigación. Este vacío se supera con la aplicación de validez y fiabilidad de los
instrumentos de recolección de información. “Si el instrumento o instrumentos
reúnen estos requisitos habrá cierta garantía de los resultados obtenidos en un
determinado estudio y, por lo tanto, las conclusiones pueden ser creíbles y
merecedoras de una mayor confianza” (Pérez ,1998:70).
La confiabilidad o fiabilidad y la validez son definidas desde el enfoque
cuantitativo relacionándolas con el uso de mediciones; la confiabilidad de un
instrumento se refiere “al grado en que su aplicación repetida al mismo sujeto u
objeto produce iguales resultados […]. La validez, en términos generales se refiere
al grado en que un instrumento realmente mide la variable que pretende medir”
(Hernández et al., 2000:235). Sin embargo, para los investigadores cualitativos “es
necesario no sólo ser exacto en la medición de las cosas, sino también lógico en la
interpretación del significado de esas mediciones” (Stake, 1999:94). En función de
esta premisa, desde la óptica de la investigación cualitativa, la fiabilidad “es el grado
en que las respuestas son independientes de las circunstancias accidentales de la
investigación, y la validez, en la medida en que se interpreta de forma correcta”.
(Pérez, 1998:79).
II.1.4.1. La triangulación
La triangulación es conocida como una de las técnicas de validación de
instrumentos más utilizadas en la investigación cualitativa. Es definida por Denzin
(1979:291) como “la combinación de metodologías en el estudio de un mismo
fenómeno”. Para La Torre & González (1985:365) “el principio básico que subyace
en la idea de triangulación es el recoger datos/observaciones de una situación o
107
algún aspecto de la misma, desde varios ángulos o perspectivas para compararlos o
contrastarlos”.
De manera más específica, Stake (1999) señala diferentes estrategias de
triangulación que pueden ser utilizadas en función de la naturaleza del estudio, sus
objetivos y necesidades, como la triangulación de las fuentes de datos observados, la
triangulación del investigador, la triangulación teórica y la triangulación
metodológica; esta última es descrita por (Walker, 1989:103), para referirse a “la
combinación de métodos en aras de un solo objetivo, esto permite observar los
mismos acontecimientos desde varios puntos de vista”.
La validación de los instrumentos de la presente investigación se realizará
mediante la triangulación metodológica, puesto que nos ofrece mayor factibilidad
para combinarlos, bondad por la que se le considera como una de las estrategias o
tipos de triangulación más usados. Esta triangulación relaciona la información
obtenida en la observación directa, la entrevista y documentos como los diarios de
los alumnos. “Con enfoques múltiples dentro de un único estudio, es probable que
clarifiquemos o que anulemos algunas influencias externas. Cuando hablemos de
métodos en los estudios de casos, nos referimos una vez más sobre todo a la
observación, la entrevista y la revisión de documentos” (Stake, 1999:99), con las
cuales se tendrá un mejor contraste de los datos que se obtengan de los participantes
en la investigación, pues, una da las mayores ventajas de los estudios de casos es que
dentro de ellos se pueden utilizar diferentes métodos para triangular los hallazgos
obtenidos (Stake, 1999).
II.1.5. Población y muestra
La población estará conformada por todos los estudiantes cursantes de sub-
proyecto o asignatura Matemática General de la carrera Educación Integral de nuevo
ingreso, y por los profesores con más de cinco años de experiencia dirigiendo el
proceso de enseñanza-aprendizaje en esta asignatura. El número total de alumnos es
de aproximadamente 450 distribuidos en nueve secciones, y el de los profesores es
de 7.
Antes de hacer la descripción de las unidades de análisis que se tomaron para
la muestra, hay que señalar algunos aspectos teóricos relacionados a este tema para
dirigir y centrar mejor este apartado de la investigación, que por su naturaleza
cualitativa implica una selección de la muestra con unos criterios bien definidos por
108
el investigador, “la selección de la muestra en un estudio etnográfico requiere que el
investigador especifique con precisión cual es la población relevante o el fenómeno
de investigación, usando criterios que pueden basarse en consideraciones teóricas o
conceptuales, intereses personales, circunstancias situacionales u otras
consideraciones” (Martínez, 1998:52).
En las investigaciones básicamente se seleccionan muestras probabilísticas –
cuando el propósito es extrapolar o generalizar resultados a la población objeto de
estudio–, o muestras intencionales –utilizadas cuando se efectúa un análisis o estudio
en profundidad del fenómeno a investigar–, siendo estas últimas las adecuadas para
el desarrollo de nuestra investigación. Según Ruiz (1999:64) “el muestreo
intencional es aquel en que los sujetos de la muestra no son elegidos siguiendo las
leyes del azar, sino de alguna forma intencional”. La forma de seleccionar los
sujetos o unidades de análisis es mediante otros métodos bien definidos. Según
Martínez (1998:54) “en la muestra intencional se elige una serie de criterios que se
consideran necesarios o muy convenientes para tener una unidad de análisis con las
mayores ventajas para los fines que persigue la investigación. Para Martínez
(1999:17), existen siete tipos de muestras intencionales: extrema o de casos
desviantes, muestra intensiva, muestra de máxima variación, muestra homogénea,
caso típico o paradigmático, muestra estratificada y caso crítico.
De estos siete tipos de muestra intencional, el que corresponde a nuestro
estudio es el del caso típico o paradigmático, puesto que “trata de ilustrar y poner de
relieve lo que es típico, normal, promedio, como ejemplo más representativo del
conjunto”; sin embargo, también utilizaremos dentro de la clasificación expuesta por
Ruiz (1999) al muestreo opinático, que es aquel en donde “el investigador selecciona
los informantes que han de componer la muestra siguiendo un criterio estratégico
personal”. Para nuestro caso, el criterio a seguir para elegir a los principales
informantes que son los estudiantes, es que estos sean alumnos regulares de la
carrera Educación Integral y que estén o hayan cursado la asignatura o sub-proyecto
Matemática General; los segundos informantes o profesores serán seleccionados de
acuerdo a sus años de experiencia como docentes del área de Matemáticas en la
misma carrera, la cual no debe ser menor a cinco años.
De acuerdo a esta exposición teórica, la muestra que tomamos para conseguir
los objetivos planteados en el presente estudio es una sección o curso de la asignatura
Matemática General. El proceso de selección de los estudiantes se realizó de manera
intencional, debido a las condiciones administrativas y de inscripción que tiene la
Universidad, y por el método y propósitos de la investigación, puesto que, los grupos
109
se deben mantener en forma intacta, puesto que no se trata de generalizar las
conclusiones sino de estudiar un Caso en profundidad.
CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN
113
CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN
Nos propusimos diseñar una planificación que nos guiara hacia el logro de los
objetivos formulados en esta investigación, para ello, estructuramos el estudio en las
que denominaremos “fases de investigación”, cada una de las cuales cumplió con un
propósito específico que nos llevó a consolidar la meta final del estudio.
III.1. PRIMERA FASE DE INVESTIGACIÓN
En esta fase de investigación efectuamos un diagnóstico de los elementos
fundamentales del Caso en Estudio. Las variables, aspectos, criterios y dimensiones
analizados nos proporcionaron datos valiosos en cuanto a la situación real e inicial
que presentan los alumnos que cursan la asignatura Matemática General de la carrera
de Educación Integral en cuanto a los conocimientos previos que poseen sobre los
sistemas numéricos, las estrategias de aprendizaje que utilizan en las matemáticas, la
opinión que tienen con respecto al proceso didáctico ejecutado por el docente, la
actitud que tienen los alumnos hacia los contenidos matemáticos, y por último, la
comunicación y participación que mantienen en el aula como elementos
fundamentales del clima social del aula.
Se presentaron, analizaron e interpretaron los resultados obtenidos una vez
aplicados los instrumentos de recolección de información, para explicar las
relaciones entre las diferentes dimensiones, criterios y aspectos evaluados en el
proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación que se generó en el aula, y para
establecer las reflexiones y conclusiones que ayudaran a efectuar los ajustes
progresivos sobre la práctica docente en el desarrollo de los contenidos curriculares
seleccionados en el Estudio de Caso.
En primer lugar diagnosticamos las estrategias de aprendizaje más usuales
que los alumnos utilizan para abordar los contenidos de la Unidad de Sistemas
Numéricos de la asignatura Matemática General y los conocimientos previos que
poseen sobre este bloque de contenidos matemáticos. Esta información nos permitió
reorientar la planificación del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación para
efectuar su intervención a través de la puesta en práctica de la propuesta didáctica de
enseñanza de estrategias denominada “Programa de Autorregulación del
Pensamiento Lógico-Formal en el Aprendizaje de las Matemáticas” para potenciar
114
un aprendizaje significativo en los alumnos, tomando como bloque de contenidos la
Unidad de Sistemas Numéricos.
III.1.1. Descripción de la muestra: Procedimiento
El universo de estudio que seleccionamos para dar respuestas a los
interrogantes de nuestra investigación y lograr los objetivos propuestos, estuvo
conformado por los alumnos y profesores del primer semestre de la asignatura
Matemática General de la carrera de Educación Integral de la Universidad Nacional
Experimental de los Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ), del
Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo Social de la ciudad de Barinas.
De acuerdo a los propósitos de la investigación, se tomaron solamente los 65
alumnos de la sección 01, como Caso de Estudio para efectuar el diagnóstico de la
primera fase de investigación. De estos, 54 asistieron regularmente a clase, por lo
cual fueron los que realmente participaron y colaboraron en el suministro de la
información que les solicitamos a través de los diferentes instrumentos de
recolección de datos.
Los criterios de inclusión para los alumnos fueron los siguientes:
- Estar inscrito regularmente en el primer semestre como estudiante de
nuevo ingreso, es decir, no haber sido reprobado en el curso o asignatura.
- Tener disposición positiva ante la investigación.
- Asistir regularmente a las sesiones de clase.
De igual forma establecimos los siguientes criterios de inclusión para el
profesor de la asignatura:
- Formar parte del personal académico de la Universidad.
- Tener como mínimo cinco años de experiencia docente en la asignatura
Matemática General.
- Tener una disposición positiva hacia la investigación.
115
III.1.2. Instrumentos de recolección de información
Con la finalidad de obtener la mayor información posible para aproximarnos
a la descripción de la situación real e inicial del Caso de Estudio nos planteamos un
proceso complejo de diseño y elaboración de instrumentos que reunieran las
características apropiadas para ser aplicados durante el trabajo de campo, con la
validez y confiabilidad necesarias para llegar a las respectivas conclusiones.
A) PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO
Para recolectar información en esta primera parte de la fase inicial,
correspondiente al diagnóstico, diseñamos, elaboramos y aplicamos los instrumentos
siguientes:
III.1.2.1. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias de
aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura
Matemática General de la carrera de Educación Integral
Debemos comenzar por señalar que los cuestionarios son “instrumentos que,
mediante la presentación de preguntas o afirmaciones para ser seleccionadas por el
encuestado, permiten medir las actitudes y opiniones de un determinado grupo de
personas” (Hurtado, 2000:478).
Con la aplicación de este primer instrumento (Ver Anexo III-1), trazamos
como objetivo determinar la opinión del alumno, entendida como “una posición
mental consciente sobre algo o alguien, pero no implica necesariamente disposición
a la acción” (Hurtado 2000:478), por lo que, en nuestra investigación obtuvimos las
opiniones de los estudiantes en cuanto a las estrategias de aprendizaje que utilizan
para la comprensión de los contenidos matemáticos de la asignatura Matemática
General; de esta manera pudimos diagnosticar cuáles de las estrategias estaban
consolidadas, cuáles estaban en proceso y aquellas que necesitaban intervención para
su respectiva nivelación.
Cabe destacar que este cuestionario se diseñó y elaboró partiendo de la
revisión teórica, que investigadores tales como Polya (1978), Miranda et al. (1998),
de Guzmán (1999), Santaló et al (1994), Ríos (2004) y Alonso (1994) han
desarrollado sobre el tema de las estrategias de aprendizaje relacionadas con la
organización de la información y la resolución de problemas matemáticos, en el
desempeño académico de los alumnos en general y en las matemáticas en particular.
116
Al finalizar el proceso de diseño, revisión bibliográfica y validación, el cuestionario
se estructuró en 48 preguntas tipo escala Lickert.
En la validación de este instrumento participaron profesores de la UNELLEZ
especialistas en el área de metodología de la investigación con título de Doctor y del
Programa de Doctorado Evaluación y Diseño Curricular organizado por el
Departamento de Pedagogía de la Universidad de Valladolid. Todas sus sugerencias
fueron consideradas durante el proceso de revisión y corrección, no sólo de los
cuestionarios, sino también del resto de los instrumentos que aplicamos en la
investigación.
Para determinar la confiabilidad de este cuestionario aplicamos la estadística
descriptiva, utilizando la prueba conocida como Alfa de Cronbach, obteniendo una
confiabilidad óptima igual a ∝=0,92; este resultado nos brindó la oportunidad de
tener una valoración cuantitativa por adelantado, para compararla posteriormente con
los datos recolectados por el resto de los instrumentos y validarla de manera
cualitativa a través del proceso de triangulación.
El cuestionario de estrategias de aprendizaje se aplicó a 54 alumnos del
primer semestre de la carrera Educación Integral, con la supervisión de la profesora
de la asignatura y del profesor investigador, quien orientó al grupo sobre la forma de
responder a las diferentes preguntas formuladas en el instrumento. El proceso de
aplicación se efectuó de manera fluida y sin contratiempos.
El objetivo de este primer cuestionario consistió esencialmente en
diagnosticar las estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizan para el estudio de
los contenidos matemáticos, analizándolas desde la dimensión del aprendizaje
matemático, y entendiéndose como el cambio significativo de experiencias que tiene
el alumno con relación a los diferentes aspectos teóricos y prácticos de los
contenidos, propiedades, estrategias de aprendizaje y procedimientos matemáticos
que se ejecutan en los Sistemas Numéricos. Esta primera dimensión de estudio
involucra los siguientes criterios:
- Estrategias en la organización de la información: Uso de estrategias para
organizar la información verbal, escrita, gráfica y simbólica que se genera
durante la clase en el intercambio entre el profesor y sus alumnos, y la que
contienen los diferentes materiales didácticos.
- Estrategias de resolución de problemas: Uso de estrategias de resolución
que los alumnos ponen en práctica para resolver ejercicios y problemas.
117
En la Tabla 3.1. presentamos resumidamente la estructura del cuestionario,
indicando el objetivo que pretende, la dimensión que aborda, los criterios e
indicadores a medir y el número de las preguntas que corresponde a cada indicador.
OBJETIVOS DIMENSIÓN CRITERIOS INDICADORES PREGUNTAS
Estrategias en la organización de la información
1. Capacidad de concentración al recibir instrucciones. 2. Utilización de técnicas de estudio. 3. Discriminación de la información. 4. Expresión verbal-escrita. 5. Utilización de material escrito. 6. Análisis de la información. 7. Proceso de abstracción.
1,2,3
4,5,6
7,8,9,10, 11,12,13
14,15,16,17
18,19,20, 21,22,23
24,25,26,27
28,29,30
1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.
Aprendizaje matemático
Estrategias de resolución de ejercicios y problemas.
1. Utilización de procesos de verificación. 2. Diseño y aplicación de planes de resolución. 3. Utilización de la intuición y proceso de inducción. 4. Apoyo en la asesoría académica del profesor. 5. Auto-evaluación del razonamiento aplicado. 6. Utilización de habilidades cognitivas personales. 7. Utilización del lenguaje matemático. 8. Uso del razonamiento deductivo en la resolución de problemas.
31,32,33
34,35,36,37
38,39,40
41
42
43
44
45,46,47,48
Tabla 3.1. Especificaciones del cuestionario de estrategias de aprendizaje.
118
Una vez obtenida la información del cuestionario, la organizamos de forma
manual y la presentamos en tablas de acuerdo a los indicadores descritos en su
estructura, apoyándonos en las distribuciones de frecuencias para hacer del
tratamiento de los datos un proceso más ordenado y sencillo, los cuales analizamos
tanto cuantitativamente como cualitativamente resaltando los indicadores en donde
los alumnos manifestaron opiniones trascendentales para el estudio realizado.
III.1.2.2. Pruebas de valoración de aprendizajes
Para complementar la recogida de datos en el diagnóstico de las estrategias de
aprendizaje y los conocimientos matemáticos previos de los alumnos, también
distribuimos la prueba diagnóstica de valoración de conocimientos matemáticos y
estrategias de aprendizaje, la cual fue analizada cuantitativamente y cualitativamente
teniendo en cuenta los siguientes criterios esenciales de la dimensión ‘aprendizaje
matemático’:
- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos aplicaron para organizar la
información.
- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para resolver los
ejercicios y problemas.
- El desempeño que demostraron en la comprensión y aplicación de los
conceptos, definiciones y propiedades de los contenidos matemáticos
desarrollados de acuerdo al programa de estudio.
Posteriormente generamos las interpretaciones, reflexiones y conclusiones
pertinentes para explicar la situación inicial del grupo de alumnos dentro del
contexto de estudio y así dar una respuesta aproximada sobre las estrategias de
aprendizaje que utilizan frecuentemente y sobre los conocimientos que poseen en el
área de ‘Sistemas Numéricos’.
Distribuimos la prueba de valoración a 53 alumnos que habían recibido el
proceso de enseñanza y aprendizaje ejecutado por la profesora de la asignatura, con
quien tuvimos algunas discrepancias en cuanto a las preguntas que formarían parte
de la evaluación, puesto que debimos ajustarnos al contenido que se había logrado
desarrollar. Cabe destacar que las sesiones de clase se efectuaron con interferencias
por los problemas internos que en ese momento se presentaron en la Universidad.
119
La prueba de valoración (Ver Anexo III-2) se construyó tomando en cuenta
los contenidos del sistema de los números racionales, quedando estructurada en dos
partes con nueve preguntas, de la siguiente manera:
- Primera parte: Consta de cinco preguntas de selección simple cuya
respuesta debía ser justificada por los alumnos para lograr valorar su nivel
de comprensión simbólico-matemática y las operaciones aritméticas
fundamentales que utiliza.
- Segunda parte: Consta de dos ejercicios para valorar la comprensión y
aplicación de las propiedades involucradas en las operaciones respectivas
y dos problemas de aplicación para diagnosticar las estrategias de
aprendizaje que los estudiantes utilizaron para resolverlos.
Para la presentación, organización y descripción de los resultados obtenidos
en la prueba de valoración, utilizamos las Tablas de criterios 3.2 y 3.3.
Objetivo 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.
DIMENSIÓN: APRENDIZAJE MATEMÁTICO
N° DE ITEM CRITERIOS Y ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Estrategias en la Organización de la Información Uso de esquemas para organizar información. Representación gráfica de situaciones matemáticas. Uso de términos matemáticos correctos. Comparaciones entre conceptos. Comprensión de símbolos matemáticos. Orden sistemático de la información. Selección precisa de datos e incógnitas. Estrategias en la Resolución de Problemas Estructuración de la información de un problema en pequeños pasos.
Uso del azar como estrategia de resolución. Presencia de estrategias originales de resolución. Persistencia en el uso de una estrategia de solución. Aplicación del lenguaje matemático adecuado. Uso de ejemplos para justificar respuestas. Uso de contraejemplos para justificar respuestas. Descripción de las propiedades matemáticas que aplica en la resolución de ejercicios y problemas.
Estrategias de estimación en la verificación de las respuestas. Tabla 3.2. Criterios para determinar la ausencia o presencia de estrategias de aprendizaje que
utilizaron los alumnos en la prueba de valoración.
120
Objetivo 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.
DIMENSIÓN: APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Criterio: Comprensión y aplicación de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos Items N° Aspectos a valorar
Parte I 1 a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos.
b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales. c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación. d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. e. No contesta.
2 a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales. c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación. d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. e. No contesta.
3 a. Errores en cálculos aritméticos elementales. b. Confusión entre los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento utilizado en la justificación. d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. e. No contesta.
4 a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de exponente negativo. b. Errores en el cálculo de potencias. c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los signos más(+) y menos( -). d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis. e. Responde correctamente. f. No contesta.
5 a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis. b. Uso del procedimiento correcto pero, persisten errores en los cálculos aritméticos. c. Contesta correctamente. d. No contesta.
Parte II 1 a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente.
b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para simplificar fracciones. c. Complican las operaciones entre fracciones al no simplificar cada expresión a una más simple. d. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar fracciones. e. Errores al operar fracciones en general. f. Contesta correctamente. g. No contesta.
2 a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para simplificar fracciones. c. Complican las operaciones entre fracciones al no simplificar cada expresión a una más simple. d. Errores al operar fracciones en general. e. Contesta correctamente. f. No contesta.
3 a. Organiza la información de problema. b. Utiliza estrategias originales. c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. e. Verifica el proceso de resolución. f. Contesta correctamente. g. No contesta.
4 a. Organiza la información de problema. b. Utiliza estrategias originales.
121
c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. e. Verifica el proceso de resolución. f. Contesta correctamente. h. No contesta.
Tabla 3.3. Criterios para determinar la valoración de conocimientos de los alumnos en la prueba diagnóstica.
Presentamos la información que obtuvimos igualmente en tablas de
distribución de frecuencias, atendiendo a la estructura descrita en las Tablas
presentadas anteriormente. Posteriormente realizamos un análisis cualitativo y de
reflexión sobre la situación general que presentaron los alumnos de la muestra en
cuanto al nivel de aprendizaje previo que tienen de los contenidos relacionados con
la Unidad de Sistemas Numéricos, específicamente en los números racionales.
III.1.2.3. Observación descriptiva en audio
A pesar de que en el inicio de las sesiones de clases sólo nos limitamos a
observar la realidad del aula, en los primeros días de clase nos sentimos un poco
incómodos con el grupo de alumnos, pues evidenciaron desconfianza ante nuestra
presencia y el trabajo que estábamos realizando. Progresivamente fuimos entablando
una mayor confianza con el grupo, posiblemente debido a que estuvimos
ayudándoles en muchas ocasiones a comprender aspectos del contenido,
respondiendo a sus preguntas, dudas y guiando en la resolución de ejercicios y
problemas formulados y asignados por la profesora. Todos los acontecimientos
fueron recopilados en una grabadora portátil, con los registros tomados por el
investigador, tratando de tomar con mayor exactitud los elementos que formaron
parte del aprendizaje matemático que se observó en los alumnos.
Para garantizar la validez de los datos obtenidos utilizamos las
transcripciones de las grabaciones de audio realizadas en las sesiones de clases
observadas. Establecimos comparaciones con los resultados del cuestionario y de las
pruebas de valoración de aprendizajes, focalizadas principalmente a detectar las
estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para organizar la información y
resolver ejercicios y problemas matemáticos.
Para extraer información de las grabaciones sobre los criterios e indicadores
señalados en el cuestionario de opinión, utilizamos el análisis del discurso tanto de la
profesora de la asignatura como de sus alumnos, complementándolos con nuestras
122
descripciones e interpretaciones de las situaciones que se generaron en el proceso de
enseñanza, aprendizaje y evaluación dentro del aula.
B) SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO
En una segunda parte del diagnóstico describimos el grado de actitud que
poseen los alumnos hacia la asignatura a través de la aceptación y valoración que
muestran hacia el procedimiento didáctico ejecutado por el docente y hacia los
contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos. Determinamos también la
participación de los alumnos en las sesiones de clase y el proceso de comunicación
que se efectúa entre el docente y sus alumnos, como aspectos relevantes del clima
social del aula durante el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Para obtener información sobre las variables de estudio en la segunda parte del
diagnóstico distribuimos un cuestionario de opinión para determinar el grado de
actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la
asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral, que pasamos a
comentar en el epígrafe siguiente.
III.1.2.4. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del
alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la
asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral
El proceso de elaboración técnica de este segundo cuestionario fue similar al
utilizado en el cuestionario para diagnosticar las estrategias de aprendizaje. El
instrumento quedó estructurado en cincuenta preguntas (Ver Anexo III-3) tipo escala
Lickert que, “consiste en un conjunto de ítems presentados en forma de afirmaciones
o juicios referidos al evento o situación acerca del cual se quiere medir la actitud”
(Hurtado, 2000:479); validado por los mismos doctores especialistas mencionados en
el apartado III.1.2.1 y evaluado estadísticamente con el Alfa de Cronbath; obtuvimos
un coeficiente de ∝=0,93. Como se puede observar, ambos cuestionarios obtuvieron
un nivel aceptable de confiabilidad desde el punto de vista cuantitativo.
Este cuestionario se diseñó y elaboró partiendo de la revisión teórica que
realizamos de las investigaciones de Miranda et al. (1998), de Guzmán (1999),
Santaló et al. (1994) y Ríos (2004), en cuanto a la actitud que manifiestan los
alumnos ante las matemáticas. Estructuramos el instrumento en una dimensión que
denominamos ‘actitud y clima social del aula’. La actitud es entendida como una
123
disposición positiva o negativa que tiene el alumno para abordar los aprendizajes de
los contenidos matemáticos, y el clima social se refiere al estado en que se encuentra
la participación y comunicación en el aula, es decir, los mecanismos de interacción
que se producen entre los actores del proceso didáctico de las matemáticas. Aunque
se pudieron separar ambos aspectos en dos dimensiones, los unificamos por
considerarlos que están íntimamente relacionados a través de los criterios e
indicadores utilizados en la elaboración del cuestionario. Esta dimensión la
dividimos en los siguientes criterios:
- Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas: Describe
el grado de percepción que tiene el alumno de su desempeño ante las
matemáticas desde el punto de vista cognitivo y afectivo. El auto-
concepto se define como “la valoración relativamente estable que hace el
sujeto acerca de sus capacidades y debilidades basándose en su historia
de éxitos y fracasos” (Miranda et al. 1998:163). Es importante destacar
que en la actitud desempeña un papel importante el auto-concepto y, en
segundo lugar, tenemos la motivación como “fuerza interior que nos
impulsa al logro de un objetivo, es el incentivo que nos conduce a una
acción” (Ríos, 2004:38). Aunque en la mayoría de los casos no se da la
importancia que merecen a los factores anteriores, en el proceso didáctico
alteran notablemente el desempeño académico de los estudiantes, por
consiguiente decidimos considerarlos como parte de nuestro estudio así
como la exploración de las creencias, conocimientos, mitos y fijaciones
más significativas que los alumnos tienen sobre las matemáticas.
- Concepción de los alumnos sobre los aprendizajes de los contenidos de la
asignatura de Matemática: Describe la opinión de los alumnos con
relación a la importancia que atribuyen a los contenidos matemáticos
aprendidos y a la valoración de las estrategias y procedimientos
personales que utilizan para estudiar las matemáticas.
- Concepción sobre el proceso didáctico desarrollado por el profesor:
Describe la valoración que el alumno hace de la situación actual que tiene
sobre el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación que desarrolla el
profesor de la asignatura en el aula de clase.
El instrumento fue contestado por los 50 alumnos que asistieron a clase el día
que se aplicó. Estuvo presente la profesora de la asignatura y el investigador, quien
explicó la finalidad y estructura del cuestionario, además de orientar a los alumnos
sobre la forma de responder al mismo para evitar en lo posible las respuestas
sesgadas de los estudiantes del curso.
124
En la Tabla 3.4. presentamos de forma resumida la estructura del cuestionario
indicando los objetivos que pretende, la dimensión que aborda, los criterios e
indicadores que pretende medir y el número de las preguntas relacionadas con cada
uno de los indicadores.
OBJETIVOS DIMENSIÓN CRITERIO INDICADORES PREGUNTAS
Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas.
1. Impulsividad. 2. Responsabilidad. 3. Capacidad de razonamiento. 4. Temor al fracaso. 5. Rechazo. 6. Capacidad de logro. 7. Iniciativa. 8. Autocontrol. 9. Constancia. 10. Disciplina.
1,2
3
4,5
6,7,8,9
10
11,12,13,14
15
16,17
18
19 Concepción de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de Matemática.
1. Memorización. 2. Procedimientos en la resolución de problemas. 3. Valoración hacia los demás. 4. Utilidad de las matemáticas. 5. Esfuerzo propio. 6. Exigencia del profesor. 7. Nivel de participación. 8 Lenguaje matemático. 9. Nivel de compromiso.
20,21
22
23
24,25
26
27,28,29,30
31,32
33
34,35
3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su aceptación y valoración hacia el procedimiento didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.
Actitud y clima social de aula.
Concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor
1. Comunicación profesor-alumno.
36
125
2. Clima de confianza profesor-alumno. 3. Dominio de los contenidos matemáticos. 4. Utilización de los recursos para el aprendizaje. 5. Estructuración de los procedimientos en la resolución de problemas. 6. Proceso de evaluación. 7. Asesoría académica. 8. Procedimiento de enseñanza utilizado por el profesor. 9. Nivel de compromiso del profesor.
37
38,39,40, 41,42
43
44
45,46,47
48
49
50
Tabla 3.4. Especificaciones del cuestionario opinión-actitud.
III.1.2.5. Entrevista semi-estructurada de los alumnos
Las entrevistas que aplicamos a los alumnos nos brindaron más información
sobre las variables de la dimensión del clima social del aula y actitud del alumno
hacia las matemáticas, no obstante la recolección de información se efectuó tomando
los datos que aportaron los alumnos seleccionados y que respondieron de manera
cordial a las preguntas de la guía de la entrevista semi-estructurada (Ver Anexo III-
4), la cual quedó constituida en cuatro preguntas sobre los siguientes aspectos:
- Actitud general del alumno ante las estrategias de enseñanza utilizadas
por el profesor.
- Comunicación personal entre el profesor y sus alumnos.
- Elementos frecuentes en el clima social de la clase.
- Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante
la clase.
126
En la entrevista participaron 17 alumnos, debidamente orientados por el
investigador sobre la forma de responder a las preguntas formuladas. Esta actividad
nos ayudó a reducir los problemas en la comprensión e interpretación de la
información y las dudas que pudieran tener en el momento de responder a cada uno
de los planteamientos descritos en la guía respectiva. Los datos recolectados los
organizamos y presentamos utilizando distribuciones de frecuencia atendiendo a un
sistema de categorías que construimos de acuerdo a las respuestas que nos dieron los
entrevistados. Esta información se describe de forma cuantitativa pero su análisis se
realizó desde un enfoque más reflexivo y cualitativo.
III.1.2.6. Observación descriptiva en audio
Las grabaciones de audio efectuadas por el investigador de las sesiones de
clase, además de aportarnos datos valiosos sobre la dimensión del ‘aprendizaje
matemático’ en la primera parte del diagnóstico, también las utilizamos para verificar
los elementos característicos de la dimensión ‘actitud del alumno y clima social del
aula’, los cuales brindaron una mayor aproximación a la realidad del contexto al
describir los criterios e indicadores señalados anteriormente en la presentación de los
instrumentos utilizados en el Estudio del Caso. La finalidad del procedimiento que
hemos utilizado en la investigación para la recolección de datos, tanto cualitativos
como cuantitativos, es la de mejorar sustancialmente la validez de los mismos, a
través de la triangulación metodológica y por consiguiente de las conclusiones de
nuestro estudio.
Los resultados obtenidos en esta parte del diagnóstico tuvieron como premisa
numerosos estudios que revelan, según Velásquez (2000), una actitud negativa de los
alumnos hacia las matemáticas, la cual se inicia desde los primeros años de
escolarización; esto nos permitió aproximarnos con anticipación y cuidado a los
probables resultados que evidencian una vinculación entre aprendizaje matemático y
actitud de quien aprende dentro de nuestro contexto de estudio, tal como lo señala
Ernest (2000:16) “las conexiones entre las creencias y actitudes hacia las
matemáticas son complejas, con múltiples facetas y nada generalizables”.
Con la descripción de los sucesos desarrollados en las clases, en primer lugar
describimos el grado de actitud que demuestra el alumno hacia el proceso de
enseñanza, aprendizaje y evaluación que se lleva a cabo durante el desarrollo de la
asignatura; para ello se describen los sentimientos positivos o negativos que los
estudiantes exponen o exhiben para establecer su valoración sobre el procedimiento
127
de enseñanza del profesor, el lenguaje que se utiliza en la clase, la interacción social
existente entre ellos y el profesor, y la dificultad que representa para ellos el
aprendizaje de los contenidos matemáticos. Y, en segundo lugar, determinamos el
estado actual del clima social del aula utilizando como indicadores los niveles de
participación y comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática
General.
El proceso de presentación, descripción, análisis, y reflexión lo efectuamos
cualitativamente tomando los acontecimientos más significativos que ocurrieron
durante el proceso didáctico del aula entre los actores involucrados. A través de estos
acontecimientos logramos explicar la situación del clima social y la actitud general
del grupo de estudiantes, para lo cual hicimos uso principalmente del análisis del
discurso que tanto la profesora como los estudiantes utilizaron para comunicar sus
ideas, conceptos y demás información durante sus intervenciones en las sesiones de
clases.
128
III.1.3. Triangulación de datos
En el siguiente cuadro (Tabla 3.5.) se presentan de manera operativa los
instrumentos utilizados para medir las dimensiones de las variables de la
investigación:
OBJETIVOS DIMENSIÓNES CRITERIOS INSTRUMENTOS
1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General. 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.
Aprendizaje Matemático.
- Estrategias en la organización de la información.
- Estrategias de
resolución de problemas.
- Comprensión y
aplicación de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos.
1. Cuestionario. 2. Prueba diagnóstica de valoración de aprendizajes y del uso de estrategias. 3. Observación descriptiva en audio.
3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el procedimiento didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social del aula
Actitud y clima social de aula
- Auto-concepto del alumno ante el desempeño de las actividades asignadas.
- Concepción que tiene
el alumno de los contenidos de la asignatura de Matemática y del clima social del aula.
- Concepción del
proceso didáctico desarrollado por el profesor.
1. Cuestionario. 2. Entrevista semi-
estructurada de los alumnos.
3. Observación
descriptiva en audio.
Tabla 3.5. Descripción de instrumentos de recolección de información.
La triangulación de datos, como técnica de validación de datos en la
investigación cualitativa, nos orientó en la comparación de la información obtenida a
través de las técnicas e instrumentos utilizados para establecer las conclusiones
finales del estudio. En el Capítulo anterior se presentó la técnica de triangulación1
metodológica como la más pertinente para evitar los sesgos producto de las
1 Cfr. Apartado II.1.4.1. Capítulo II.
129
interpretaciones inadecuadas de datos en el desarrollo del Estudio de Casos. Para
realizar esta triangulación utilizamos el siguiente procedimiento:
- Aplicación de diferentes técnicas e instrumentos (observación,
cuestionarios, entrevistas y pruebas de valoración) al grupo de alumnos
que forman el Caso de Estudio.
- Organización de la información obtenida en la recogida de datos.
- Comparación de las diferentes informaciones obtenidas por el grupo en
estudio desde las dimensiones del ‘aprendizaje matemático’ y ‘actitud del
alumno y clima social del aula’.
Para realizar esta comparación usamos la matriz de la Tabla 3.6. que refleja
para los objetivos, los resultados más significativos obtenidos en cada instrumento,
estableciendo semejanzas y diferencias en cuanto a las dimensiones de estudio.
OBJETIVO 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en el estudio de
los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
CUESTIONARIO PRUEBAS DE VALORACIÓN
DE APRENDIZAJES
OBSERVACIONES
OBJETIVO 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar
el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática
General.
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
CUESTIONARIO PRUEBAS DE VALORACIÓN
DE APRENDIZAJES
OBSERVACIONES
OBJETIVO 3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el
proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos.
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES
OBJETIVO 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en
la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES
Tabla 3.6. Matriz para comparar los resultados obtenidos con los instrumentos utilizados en la investigación.
130
III.2. SEGUNDA FASE DE INVESTIGACIÓN
El propósito de esta fase consistió en tomar las decisiones adecuadas para
reorientar el proceso didáctico estudiado en el desarrollo de los contenidos
curriculares previstos en la Unidad de Sistemas Numéricos del Programa de Estudio
de la asignatura Matemática General, los cuales se corresponden, tal como indica su
nombre con el tema del pensamiento numérico. Las reflexiones que presentamos en
el Capítulo 4, sobre el diagnóstico inicial nos guiaron hacia la planificación, diseño y
elaboración de la propuesta didáctica denominada “Programa de Autorregulación
del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas”, como
respuesta a las necesidades académicas que se evidenciaron en esta fase.
131
III.3. TERCERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN: PUESTA EN
PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE
AUTORREGULACIÓN
Finalmente, evaluamos este Programa tomando como punto de referencia las
dimensiones, criterios y aspectos que describen el proceso de enseñanza y
aprendizaje constructivista de las matemáticas, el aprendizaje matemático
significativo y el clima social del aula para obtener una respuesta completa a los
problemas formulados desde el inicio del proceso de investigación.
La razón que nos llevó a seleccionar este bloque de contenidos, era porque
nos ofrecía una mayor diversidad de situaciones de aprendizajes de conceptos
matemáticos relacionados con la vida cotidiana y, de esta forma, poder utilizar una
gran diversidad de estrategias de aprendizaje que ayuden al alumno a superar las
dificultades que presentan en la organización de la información y en la resolución de
ejercicios y problemas.
Para la evaluación de nuestra propuesta didáctica, utilizamos una serie de
sesiones de clases organizadas por unidades didácticas, en las cuales se desarrollaron
los siguientes bloques de contenidos: Sistema de los Números Naturales, Sistema de
los Números Enteros y Sistema de los Números Racionales. Esta planificación la
denominamos Guiones de Trabajo (Ver Anexo III-5). En la Tabla 3.7. presentamos,
como ejemplo ilustrativo, una de las unidades didácticas ejecutadas.
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Natural
Problemas de aplicación con
números naturales
Formalización y conceptualización de la teoría sobre el sistema de los
números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la
vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.
- Expresar la idea intuitiva del número natural.
- Relacionar el concepto de número natural a través de conjuntos de objetos.
- Organizar la información utilizando
Ideas a considerar - La necesidad
dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas.
- Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales.
- Utilización de las
Ideas a considerar - Utilidad de las
operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
Ideas a considerar - Conceptulización de
las operaciones fundamentales en N.
- Formalizar las propiedades del conjunto N.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
132
esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el
uso de los números naturales en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números naturales.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del
concepto intuitivo de número natural.
- Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta.
- Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
Aspectos a observar y valorar
- Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números naturales para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
Aspectos a observar y valorar
- Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
Tabla 3.7. Unidad Didáctica sobre el Sistema de números naturales.
III.3.1. Descripción de la muestra: Procedimiento
Los criterios utilizados para la selección de la muestra fueron semejantes a los
empleados en la primera fase de la investigación, correspondiente al diagnóstico. La
diferencia entre la primera y segunda muestra fue el número de alumnos, puesto que
en la sección seleccionada como Caso de Estudio para la puesta en práctica y
evaluación de la propuesta didáctica, se matricularon 44 alumnos, de los cuales 35
asistieron regularmente a las clases, mientras que en la primera fase de la
investigación el grupo estuvo formado por 65 alumnos, de los cuales 54 asistieron
regularmente a las clases.
133
III.3.2. Instrumentos de recolección de información
De la misma forma, para obtener información y datos en esta fase de la
investigación utilizamos tanto las técnicas e instrumentos aplicados en la fase
diagnóstica, como los diarios de los alumnos y la descripción de los trabajos
efectuados por ellos en el aula.
La aplicación de los instrumentos de recolección de información la
efectuamos de acuerdo a las dimensiones de ‘aprendizaje matemático’ y ‘el clima
social del aula y actitud del alumno’, ya definidas en la primera fase, las cuales
decidimos evaluar en la última fase de nuestra investigación para verificar los
alcances del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el
aprendizaje de las matemáticas.
A continuación presentamos de forma breve y de acuerdo al orden de
aplicación, los instrumentos que se utilizaron en la fase de investigación.
III.3.2.1. Observación descriptiva en audio
Analizaremos la transcripción de nueve sesiones de clases observadas por el
profesor investigador, grabadas de forma digital en formato mp4, para lograr su
manipulación y acceso práctico, aprovechando con ello una ventaja ofrecida por las
tecnologías de información y comunicación. La información que obtuvimos en estas
observaciones nos garantizó el estudio de las dimensiones que nos propusimos
evaluar en nuestro último objetivo de la investigación.
Las observaciones se efectuaron sin mayores contratiempos. La forma
totalmente inadvertida con la que obtuvimos las grabaciones nos ofrecieron la
confianza necesaria de parte de los alumnos para desarrollar las actividades diarias
en el aula de clase.
III.3.2.2. Cuadernos de los alumnos
Analizaremos las diferentes asignaciones que los estudiantes desarrollaron
tanto individualmente como en pequeños grupos, no mayores de cuatro participantes,
durante las nueve sesiones de clases, cuyo contenido estaba orientado a ejecutar las
diferentes estrategias de aprendizaje que ofrecimos en la propuesta didáctica y en el
134
material didáctico para el desarrollo de conceptos, ejercicios y problemas de
aplicación relativos a los sistemas numéricos estudiados.
Los datos obtenidos de los trabajos de los alumnos los utilizamos
principalmente para evaluar la dimensión del ‘aprendizaje matemático significativo
logrado y las estrategias de aprendizaje aplicadas’.
III.3.2.3. Entrevista semi-estructurada de los alumnos
De manera semejante a la fase de diagnóstico, para complementar la
recolección de información aplicamos entrevistas semi-estructuradas a los alumnos
con los que obtuvimos, a través de la formulación de cuatro preguntas abiertas,
información relativa a la actitud del estudiante ante las matemáticas y sobre sus
niveles de participación y de comunicación como aspectos básicos que constituyen el
clima social, considerado como un elemento fundamental en el proceso didáctico.
Los aspectos que se trataron en la entrevista los estructuramos en las mismas
cuatro preguntas que se formularon en el diagnóstico (Ver Anexo III-4), que versaron
sobre los siguientes aspectos:
- Actitud general del alumno ante las estrategias de enseñanza utilizadas
por el profesor.
- Comunicación personal entre el profesor y sus alumnos.
- Elementos frecuentes en el clima social de la clase.
- Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante
la clase.
Logramos entrevistar a 24 alumnos que igualmente orientamos para reducir
las dudas que pudieran tener en el momento de responder a cada uno de los
planteamientos descritos en la guía respectiva. Los datos recolectados los
organizamos y presentamos utilizando distribuciones de frecuencia atendiendo a un
sistema de categorías que se construyó de acuerdo a las respuestas que los
entrevistados nos dieron, esta información se describe de forma cuantitativa, pero su
análisis se realizó desde un enfoque más reflexivo y cualitativo.
135
III.3.2.4. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias de
aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura
Matemática General de la carrera de Educación Integral
La información que obtuvimos con este cuestionario (Ver Anexo III-3), cuya
estructura y preguntas no sufrieron modificación alguna respecto al empleado en la
fase de diagnóstico, fue recopilada esencialmente para evaluar nuevamente las
estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para el estudio de los
contenidos matemáticos desarrollados en la Unidad seleccionada, y para establecer
juicios y reflexiones sobre los avances obtenidos por ellos en la dimensión del
aprendizaje matemático. Pretendemos averiguar el cambio significativo de
experiencias que tienen los alumnos con relación a los diferentes aspectos teóricos y
prácticos de los conceptos, definiciones, propiedades, estrategias de aprendizaje y
procedimientos matemáticos que se ejecutan durante la Unidad Didáctica de los
Sistemas Numéricos.
Recordamos, de nuevo, los criterios que conforman la dimensión ‘estrategias
de aprendizaje’:
- Estrategias en la organización de la información: Además de interpretar,
analizar y reflexionar sobre la nueva información que nos ofreció el
cuestionario, establecimos comparaciones entre los resultados obtenidos
del diagnóstico de la primera fase de investigación y los obtenidos
después de la aplicación de la propuesta o Programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal, sobre la aplicación o utilización de las
estrategias para organizar la información verbal, escrita, gráfica y
simbólica que se genera durante las clases en el intercambio de ideas entre
el profesor y los alumnos, y las estrategias contenidas en la Unidad
Didáctica elaborada siguiendo los principios, objetivos, fases y
características del Programa de autorregulación para el estudio de los
contenidos seleccionados de la asignatura Matemática General.
- Estrategias de Resolución de problemas: De forma semejante procedimos
a comparar los resultados entre el diagnóstico y la nueva información
obtenida después de la aplicación o puesta en práctica del Programa de
enseñanza, específicamente en el uso de las estrategias de resolución de
ejercicios y problemas de matemáticas que los alumnos generalmente
ponen en práctica durante la ejecución de las tareas o asignaciones de la
asignatura Matemática General.
136
La información que recogimos de los 28 alumnos encuestados, la
organizamos de la misma forma que en el diagnóstico, destacando que se realizó un
análisis más cualitativo que cuantitativo.
III.3.2.5. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del
alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje del sub-
proyecto Matemática General de la carrera de Educación Integral
Este instrumento (Ver Anexo III-3) lo aplicamos para obtener información de
la dimensión ‘clima social del aula y actitud del alumno’, analizando los mismos
criterios definidos en la fase diagnóstica, los cuales seguidamente citamos:
- Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas.
- Concepción de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de
Matemática.
- Concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.
Contestaron al cuestionario los 26 alumnos que asistieron a clase el día de su
aplicación, donde estuvo presente el profesor investigador para explicar su finalidad
y estructura, además de orientar a los alumnos sobre la forma de responder al mismo
y evitar en lo posible las respuestas sesgadas de los estudiantes del curso.
III.3.2.6. Pruebas de valoración de aprendizajes
Con el fin de obtener información y datos complementarios para evaluar la
dimensión ‘aprendizaje matemático’ distribuimos una prueba de valoración con
características semejantes a la que aplicamos en el diagnóstico, la cual fue analizada
cuantitativamente y cualitativamente teniendo en cuenta, igual que en la primera
fase, los siguientes criterios esenciales de la dimensión aprendizaje matemático:
- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos aplican para organizar la
información.
- Las estrategias de aprendizaje que los estudiantes utilizan para resolver los
ejercicios y problemas.
- El desempeño que los estudiantes demuestran en la comprensión y aplicación
de los conceptos, definiciones y propiedades de los contenidos matemáticos
desarrollados de acuerdo al programa de estudio.
137
Posteriormente generamos las interpretaciones, reflexiones y conclusiones
pertinentes para explicar los logros de los alumnos de la muestra en cuanto al
aprendizaje significativo y dar una respuesta aproximada sobre el progreso en la
aplicación eficiente de estrategias de aprendizaje utilizadas en estudio de los
contenidos seleccionados de la Unidad de Sistemas Numéricos.
Distribuimos la prueba de valoración a 31 alumnos que habían participado
completamente en el proceso de enseñanza y aprendizaje ejecutado por el profesor
investigador, siguiendo el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal.
La prueba de valoración se construyó teniendo en cuenta los contenidos
correspondientes al sistema de los números racionales. Quedó estructurada en dos
partes, con diez preguntas, de la siguiente manera:
- Primera parte: Se presentaron seis preguntas de selección simple cuyas
respuestas debían ser justificadas por los alumnos para valorar su nivel de
comprensión simbólico-matemática y operaciones aritméticas
fundamentales.
- Segunda parte: Se presentaron dos ejercicios para valorar la comprensión
y aplicación de las propiedades involucradas en las operaciones
respectivas y dos problemas de aplicación para diagnosticar las estrategias
de aprendizaje que los estudiantes utilizaron para resolverlos.
III.3.2.7. Diarios de los alumnos
Para lograr obtener información a través de los diarios seleccionamos a 7
alumnos para que redactaran de manera abierta sus impresiones, comentarios y
opiniones sobre los acontecimientos que vivieron y observaron durante las sesiones
de clases. Seleccionamos dos clases porque consideramos que eran suficientes para
recolectar la información sobre las variables estudiadas y de esta manera evitar la
repetición de datos, lo cual constituía un trabajo innecesario para los estudiantes que
participaron gustosamente, reportándonos la información sobre diversos elementos
de las dos dimensiones estudiadas en esta última fase de la investigación.
Efectuamos el análisis de los instrumentos utilizados de manera cualitativa,
puesto que la naturaleza de los diarios nos restringe hacia este enfoque de análisis y
reflexión de información.
138
III.3.3. Triangulación de los datos
Para finalizar este apartado presentamos en la Tabla 3.8. la descripción
pormenorizada de los instrumentos utilizados en la tercera fase de la investigación
con sus respectivos objetivos, dimensiones y criterios.
OBJETIVO DIMENSIÓNES CRITERIOS INSTRUMENTOS
Aprendizaje matemático.
- Estrategias en la organización de la información.
- Estrategias de resolución
de problemas. - Comprensión y aplicación
de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos.
1. Cuestionario sobre estrategias de aprendizaje.
2. Prueba de valoración de aprendizajes y del uso de estrategias.
3. Observación descriptiva en audio. 4. Trabajos de los alumnos.
Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.
Actitud del alumno y
clima social del aula.
- Auto-concepto del alumno ante el desempeño de las actividades asignadas.
- Concepción que tiene el
alumno de los contenidos de la asignatura de Matemática y del clima social del aula.
- Concepción del proceso
didáctico desarrollado por el profesor.
1. Cuestionario. 2. Entrevista semiestructurada de los alumnos. 3. Observación descriptiva en audio. 4. Diarios de los alumnos.
Tabla 3.8. Descripción de instrumentos de recolección de información en tercera fase de la investigación.
La triangulación metodológica de datos como técnica de validación en la
investigación cualitativa nos orientó una vez más en la comparación de la
información obtenida a través de las técnicas e instrumentos utilizados para
establecer las conclusiones de la tercera parte del estudio. Para realizar esta
triangulación utilizamos el siguiente procedimiento:
- Aplicación de diferentes técnicas e instrumentos (observación,
cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas, diarios de los alumnos,
trabajos de los alumnos y pruebas de valoración) al grupo de alumnos que
forman el Caso de Estudio.
- Organización de la información obtenida en la recogida de datos.
139
- Comparación de las diferentes informaciones obtenidas por el grupo en
estudio desde las dimensiones del ‘aprendizaje matemático’ y ‘actitud del
alumno y clima social del aula’.
Para realizar esta comparación utilizamos la siguiente matriz, en donde se
reflejó el objetivo y los resultados más significativos obtenidos en cada instrumento,
estableciendo semejanzas y diferencias en cuanto a las dimensiones de estudio.
OBJETIVO 6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del
aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas
numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.
DIMENSIÓN: Aprendizaje matemático
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
OBSERVACIONES TRABAJO DE
LOS ALUMNOS
PRUEBAS DE
VALORACIÓN DE
APRENDIZAJES
CUESTIONARIO
OBJETIVO 6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del
aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas
Numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.
DIMENSIÓN: Clima social del aula y actitud del alumno
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA
OBSERVACIONES ENTREVISTAS DIARIOS CUESTIONARIO
Tabla 3.9. Matriz de objetivos y resultados significativos.
140
ANEXO III-1: CUESTIONARIO DE OPINIÓN PARA DETERMINAR LAS ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE QUE UTILIZAN LOS ALUMNOS EN LOS CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA GENERAL
PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACIÓN MENCIÓN DISEÑO CURRICULAR Y EVALUACIÓN EDUCATIVA CONVENIO UNIVERSIDAD DE VALLADOLID (ESPAÑA) UNIVERSIDAD EZEQUIEL ZAMORA (VENEZUELA) INSTRUCCIONES: Estimado alumno, este cuestionario tiene como propósito fundamental recolectar información para desarrollar la tesis doctoral titulada: “HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS”, mediante el cual se espera que usted mejore sus técnicas de aprendizaje e incremente su rendimiento en el área de las Matemáticas. Las respuestas son de mucho interés, por lo tanto le agradezco la mayor sinceridad y objetividad posible en el momento de responder a cada una de las preguntas formuladas. Señale con una “X” la opción que mejor se ajuste a tu situación de aprendizaje: Ejemplo:
Sie
mpr
e
Con
Fre
cuen
cia
A V
eces
Nun
ca
La Matemática es una asignatura sumamente difícil de comprender. X
Sie
mpr
e
Con
Fre
cuen
cia
A v
eces
Nun
ca
1 Antes de tomar notas en mi cuaderno presto atención selectiva a las instrucciones y/o explicaciones del profesor.
2 Cuando exploro una información, concepto, definición o problema lo hago de manera impulsiva.
3 Cuando el profesor hace preguntas durante la clase contesto de manera impulsiva sin detenerte a razonar del porqué de esa respuesta.
4 Utilizo esquemas para ordenar la información durante la clase.
5 Organizo la información de manera gráfica cuando no comprendo alguna definición, concepto o problema.
6 Para lograr una mejor comprensión, utilizo esquemas en el procedimiento a seguir en la resolución de problemas.
7 Antes de cada clase de Matemática obtengo información específica del tema que se desarrollará para así tener una idea anticipada del mismo.
8 Cuando necesito reunir datos, no logro discriminar con precisión la importancia de cada uno de ellos, para comprender un concepto o resolver un ejercicio o problema de Matemática.
9 Suelo tener problemas con la percepción de las ideas principales de la información escrita en los textos de Matemática.
10 La percepción de las ideas o información principal cuando leo algún material de apoyo, libro o guía de estudio generalmente es superficial.
141
11 Identifico con precisión los conceptos y definiciones involucrados en los ejercicios y problemas.
12 Identifico con precisión la información que se suministra, así como las incógnitas en un problema.
13 Logro identificar las diferencias sustanciales entre un problema, un ejercicio o una información trivial.
14 Cuando quiero expresar los conceptos de manera verbal logro encontrar las palabras que me faciliten su organización.
15 Solo utilizo el lenguaje verbal o escrito para organizar la información de un concepto, definición o problema cuando estudio Matemática.
16 Después de analizar verbalmente o por escrito los datos e información de un problema de Matemática los cuantifico para obtener un procedimiento de resolución.
17 Cuando necesito expresar mis ideas por escrito logro encontrar las palabras requeridas para estructurar la información.
18 Utilizo diferentes fuentes de información además de la clase del profesor para complementar mi aprendizaje.
19 Cuando no logro resolver un problema busco información adicional en materiales de apoyo, como libros-textos o guías de estudio preparadas por el profesor.
20 El material didáctico de Matemática me enseña estrategias para comprender mejor la resolución de los ejercicios y problemas.
21 Logro comprender el lenguaje matemático que utiliza el material didáctico de Matemática sugerido por el profesor.
22 El material didáctico utilizado en Matemática me ayuda a utilizar estrategias de aprendizaje para organizar la información.
23 El material didáctico utilizado en Matemática se ha elaborado de acuerdo a mis necesidades de aprendizaje.
24 Realizo comparaciones entre dos o más conceptos Matemáticos para obtener una comprensión más clara de los mismos.
25 Realizo una lectura detenida y minuciosa de los problemas matemáticos antes de resolverlos.
26 Determino con precisión el grado de relación y/o asociación entre los datos de un problema.
27 Logro determinar en un problema, cuando los datos no son insuficientes para obtener una respuesta.
28 Ordeno los datos de un problema, primero de manera verbal-escrita, luego de manera gráfica y por último uso los símbolos matemáticos para darles mayor precisión.
29 En las clases de Matemática se utilizan situaciones más concretas y cotidianas para entender un concepto, ejercicios y problemas.
30 Me detengo a verificar la exactitud de las respuestas cuando resuelvo ejercicios y problemas.
31 Analizo las posibles causas de los errores que cometo en la resolución de ejercicios y problemas.
32 Determino con una simple estimación el o los posibles resultados de un ejercicio o problema.
33 Antes de resolver un problema lo analizo sistemáticamente en pequeños pasos para seleccionar las posibles alternativas de solución.
34 Si los problemas me parecen complejos, me planteo otro similar pero con una estructura más simple.
35 Analizo los problemas hacia delante y hacia atrás, para entenderlos mejor.
36 Utilizo el azar cuando las posibles alternativas de solución del problema se han agotado.
37 Reformulo los problemas con otras palabras para evaluar con mayor precisión sus datos.
38 Al resolver un problema o ejercicio de matemática comienzo por lo más sencillo que observo de éste.
142
39 Construyo figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender la relación entre los datos del problema.
40 Busco apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto cuando tengo dificultades en la resolución de algún problema de matemática.
41 Tengo conciencia de mis debilidades y fortalezas cuando se me plantean ejercicios y problemas que considero complejos para mi.
42 Utilizo estrategias originales, es decir, de mi propia iniciativa para resolver ejercicios y problemas de Matemática.
43 Cuando uso alguna estrategia de solución de problemas y se me complica obtener el resultado correcto, me encasillo en esa única posibilidad.
44 Utilizo con eficacia el lenguaje matemático simbólico adecuado para representar la información disponible, datos e incógnitas.
45 Antes de resolver un problema, sintetizo la información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas.
46 Utilizo las propiedades matemáticas relacionadas con la resolución de problemas.
47 Determino con precisión las fórmulas necesarias para obtener el resultado de un problema.
48 Cuando aplico fórmulas y teoremas en la resolución de problemas tengo una comprensión clara de su estructura formal.
143
ANEXO III-2: PRUEBA DE VALORACIÓN DE APRENDIZAJES UNELLEZ – BARINAS PROGRAMA EDUCACIÓN SUBPROYECTO: MATEMÁTICA GENERAL PROFESOR: Alumno: Sección: C.I. Fecha: PARTE I: Selección simple. INSTRUCCIÓN: Seleccione con una “X” la respuesta que considere correcta indicando su justificación. 1. De la adición en Q se puede decir que:
a. ( ) , ,a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ + = +ℚ
b. ( ) , ,a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ − = −ℚ
c. ( ) , ,a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ ∗ = ∗ℚ
d. ( ) Se cumple la propiedad del inverso multiplicativo. Justificación:
2. El enunciado: , , ,a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
∀ ∈ + + = + +
ℚ significa:
a. ( ) Propiedad asociativa de la multiplicación de números racionales. b. ( ) Propiedad Asociativa de la adición en Q
c. ( ) Existencia de Elemento Neutro para la suma en Q d. ( ) Existencia de un Inverso Aditivo para todo número racional.
Justificación:
3. El m.c.m. entre 120,1400 y 5400 es igual a:
a. ( ) 5.400 b. ( ) 10.800 c. ( ) 37.800 d. ( ) 1.400
Justificación:
144
4.
21
3
− −
es igual a:
a. ( ) 1
9− b. ( )
1
9
c. ( ) 9− d. ( ) 9
Justificación:
5. Al efectuar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 2 2 1 2 5 2 3 2 3 2 3 2 2 1 3− − + + − − − − + + − , nos queda:
a. ( ) 27− b. ( ) 18− c. ( ) 14 d. ( ) 54−
Justificación:
PARTE II. Simplifique las expresiones siguientes:
1.
1 5 1 2 3 2 15 54 2 4 2 4 3 5
3 1 2 8 1 5 14 3 4 8 4 2 4 2 4
=+ − + +
− + + −
2.
( )
22 6 2 3
3 42
4 4 1 1
3 3 2 3
1 33
2 4
−− −
−−
=
PARTE III. Resuelva los problemas siguientes: 1. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º 50 litros en 5 minutos; el 2º 91 litros en 7 minutos
y el 3º 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abierto los desagües se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?
2. En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha lámina. Si el pedazo
que queda pesa 24,2 Kg. ¿Cuál es el peso del trozo cortado?
145
ANEXO III-3: CUESTIONARIO DE OPINIÓN PARA DETERMINAR EL GRADO DE ACTITUD DEL ALUMNO Y EL CLIMA SOCIAL DEL AULA EN EL PROCESO DIDÁCTICO DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA
GENERAL PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACIÓN MENCIÓN DISEÑO CURRICULAR Y EVALUACIÓN EDUCATIVA CONVENIO UNIVERSIDAD DE VALLADOLID (ESPAÑA) UNIVERSIDAD EZEQUIEL ZAMORA (VENEZUELA) INSTRUCCIONES: Estimado alumno, este cuestionario tiene como propósito fundamental recolectar información para desarrollar la tesis doctoral titulada: “HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS”, mediante el cual se espera que usted mejore sus técnicas de aprendizaje e incremente su rendimiento en el área de las Matemáticas. Las respuestas son de mucho interés, por lo tanto le agradezco la mayor sinceridad y objetividad posible en el momento de responder a cada una de las preguntas formuladas. Señale con una “x” el grado de acuerdo o desacuerdo con cada una de las frases siguientes: Ejemplo:
De
acue
rdo
Med
iana
men
te d
e ac
uerd
o
Sin
opi
nión
Med
iana
men
te e
n de
sacu
erdo
En
desa
cuer
do
La Matemática es una asignatura que me gusta estudiar mucho. X
De
acue
rdo
Med
iana
men
te d
e ac
uerd
o
Sin
opi
nión
Med
iana
men
te e
n de
sacu
erdo
En
desa
cuer
do
1 Experimento impulsividad por terminar una asignación o tarea relacionada con las matemáticas.
2 Generalmente realizo las tareas matemáticas con mucha prisa.
3 Evado la responsabilidad que debo tener ante la realización de las actividades de matemática que me asignan en clase.
4 Siento que no utilizo al máximo mi capacidad de razonamiento para resolver ejercicios y problemas de matemática.
5 Ante la presencia de una asignación compleja me cuesta demasiado iniciarla.
146
6 Ante un problema de matemática siento un complejo de inutilidad.
7 Siento miedo al ridículo que pueda hacer si me equivoco al intervenir en las clases de Matemática.
8 Generalmente siento mucho temor al desarrollar actividades de evaluación como las pruebas escritas en Matemática.
9 Prefiero no preguntar en clase porque siento temor hacia mi profesor.
10 Experimento generalmente cierta impresión de rechazo hacia las tareas que mi profesor de Matemática me asigna.
11 Si de verdad quisiera e invirtiera tiempo y esfuerzo suficiente, podría alcanzar éxito en las actividades de Matemática.
12 Pienso que los ejercicios y problemas complejos de Matemática significan un reto para aprender más de esta ciencia.
13 Frente a la actividad de resolver un problema siento que me proporcionará satisfacción personal el obtener una respuesta correcta.
14 EL profesor estimula mis logros como alumno de Matemática.
15 Generalmente cuando tengo la tarea de resolver ejercicios y problemas de Matemática tomo la iniciativa ante mis compañeros para elaborar un plan de resolución.
16 Para resolver los ejercicios y problemas propuestos pienso a mi ritmo, con tranquilidad y serenidad.
17 Para neutralizar el miedo a una prueba lo mejor es abordarlo con la seguridad de ir bien preparado.
18 Tengo mucha perseverancia en el momento de obtener la solución de ejercicios y problemas de Matemática.
19 Para desarrollar mis actividades asignadas en matemática necesito ajustarme a un horario planificado adecuadamente.
20 Para mi, las Matemáticas son cálculos y significan seguir unas reglas para memorizarlas.
21 En las Matemáticas, la función del estudiante es recibir información y el papel del profesor es transmitir conocimientos.
22 El procedimiento utilizado para resolver los problemas que se me presentan en matemática es muy complicado.
23 Sólo los más dotados intelectualmente o genios pueden crear Matemáticas.
24 Las matemáticas son muy importantes porque me enseñan a pensar y razonar correctamente.
25 Los contenidos que se imparten en la asignatura de matemática me resultan útiles para aplicarlos en mis actividades laborales y profesionales futuras.
26 Para aprender Matemáticas, no importa el estilo de enseñanza del profesor, lo que importa es el esfuerzo que el alumno hace para aprender.
27 La mayor parte del pánico que me producen los contenidos de esta asignatura se debe a la exigencia del profesor.
28 El profesor generalmente es riguroso y ajustado a las normas y reglamentos.
29 Generalmente has tenido profesores muy complacientes en las exigencias con el aprendizaje de esta asignatura.
30 Los profesores que tienen los mejores métodos de enseñanza son aquellos que exigen al alumno un aprendizaje más efectivo.
31 El profesor de Matemática General le da mucha importancia a la participación de los alumnos durante la clase.
32 Durante las clases de matemática, los alumnos son estimulados a expresar sus propias ideas aunque contradigan a las del profesor.
147
33 El profesor de Matemática utiliza un lenguaje poco
comprensible para mí en el momento de explicar los conceptos, definiciones, ejercicios y problemas.
34 El profesor de Matemática fomenta el compromiso que tengo como estudiante ante los objetivos que debo lograr en la asignatura.
35 En el aula de clase, generalmente muestro disposición para el trabajo en equipo.
36 El profesor mantiene una relación amigable con cada estudiante sin establecer preferencias.
37 El profesor de Matemática mantiene un clima de confianza en el aula para que los alumnos formulen preguntas y aclararen dudas.
38 El profesor de Matemática al compararlo con los profesores de otras asignaturas maneja adecuadamente la información y los procesos para la resolución de problemas.
39 El profesor de Matemática organiza la información en el pizarrón de manera clara y comprensible.
40 La información que se presenta en las clases de Matemática presenta un mejor nivel de organización que en las demás asignaturas.
41 Observas seguridad por parte del profesor en el dominio de la información matemática que desarrolla en la clase.
42 En el desarrollo de las clases de Matemática se utilizan ejemplos sencillos de la vida cotidiana relacionados con los contenidos enseñados.
43 El profesor de Matemática utiliza recursos de aprendizaje diferentes al pizarrón, tales como, láminas, diapositivas, videos, diagramas, talleres, etc.
44 El profesor describe las propiedades matemáticas de los problemas a resolver en el aula.
45 El profesor informa regularmente sobre el progreso que llevan sus alumnos en la evaluación de los aprendizajes.
46 La mayor parte de las evaluaciones que se aplican en Matemática son de carácter individual.
47 Consideras que en las Matemáticas las evaluaciones en su mayoría deben ser aplicadas en grupo.
48 Generalmente recibes ayuda y/o asesoría de parte del profesor en forma grupal e individual.
49 En general, los profesores de Matemática General que has tenido utilizan un procedimiento deficiente para enseñar la Matemática.
50 La actitud del profesor de Matemática ha sido muy positiva y de compromiso hacia la formación de los alumnos.
148
ANEXO III-4: ENTREVISTA SEMI-ESTRUCTURADA DE LOS ALUMNOS UNELLEZ – BARINAS PROGRAMA EDUCACIÓN SUBPROYECTO: MATEMÁTICA GENERAL PROFESOR: GUÍA DE LA ENTREVISTA APLICADA A LOS ALUMNOS DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA GENERAL La presente entrevista tiene por finalidad conocer tu opinión sobre la actitud que tienes ante los contenidos, el proceso didáctico y el clima social del aula de clase en la asignatura Matemática General, información valiosa para el diseño y aplicación de un Programa de intervención que mejore sustancialmente la práctica docente. Sesión N°: __________ Fecha: __________ Día: __________ Hora: __________ Contenido: ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 1. En función de las estrategias de enseñanza utilizadas por el profesor durante el desarrollo de los
contenidos, ¿cómo describirías tu actitud general durante la clase?, ¿de participación y/o colaboración?, ¿de rechazo? Explica tu respuesta.
2. Describe brevemente cómo ha sido la relación de comunicación personal entre tu profesor y los
alumnos durante la clase. 3. En esta sesión de clase, cuáles de los siguientes elementos has observado con mayor frecuencia:
a) estímulo del profesor hacia el alumno; b) motivación del profesor hacia los contenidos que enseña; c) trabajo en equipo del profesor y alumnos. Explica tu respuesta.
4. ¿Qué impresión general te causaron los contenidos que se desarrollaron durante esta clase? ¿Son
útiles para tu formación profesional?, ¿no tienen significado para ti?, ¿en general no te interesaron?, ¿perdiste el tiempo?, ¿fueron sencillos de entender?, ¿sólo unos pocos los comprendieron? Explica tu respuesta.
149
ANEXO III-5: GUIONES DE TRABAJO PARA EL DESARROLLO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Natural
Problemas de aplicación con
números naturales
Formalización y conceptualización de la teoría sobre el sistema de los
números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la
vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.
- Expresar la idea intuitiva del número natural.
- Relacionar el concepto de número natural a través de conjuntos de objetos.
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad
dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas.
- Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales.
- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.
Ideas a considerar - Utilidad de las
operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptulización de
las operaciones fundamentales en N.
- Formalizar las propiedades del conjunto N.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el
uso de los números naturales en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números naturales.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número natural.
- Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta.
- Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
Aspectos a observar y valorar
- Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números naturales para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
Aspectos a observar y valorar
- Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
150
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Negativo
Problemas de aplicación con números enteros
Formalización y conceptualización de la teoría sobre el sistema de los
números enteros Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la
vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números negativos y positivos.
- Expresar la idea intuitiva y el significado del número negativo y compararlo con el número natural.
- Relacionar el concepto de número entero a través de cantidades positivas (ganancia, utilidad, crecimiento, etc.) y cantidades negativas (pérdida, deudas, déficit, etc.).
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad
dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números negativos para representar situaciones cotidianas.
- Transición de la manipulación semi-concreta hacia la abstracción de los números negativos.
- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números enteros.
Ideas a considerar - Utilidad de las
operaciones fundamentales con números enteros en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptulización de
las operaciones fundamentales en Z.
- Formalizar las propiedades del conjunto Z.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el
uso de los números negativos y positivos en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números enteros.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número negativo, positivo y significado del cero.
- Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números enteros.
- Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
Aspectos a observar y valorar
- Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números enteros para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
Aspectos a observar y valorar
- Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números enteros.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
151
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Racional
Problemas de aplicación con
números Racionales
Formalización y conceptualización de la tª sobre el sistema de los nos Racionales
Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la
vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números racionales.
- Expresar la idea intuitiva y el significado del concepto de fracción y el número fraccionario.
- Relacionar el concepto de número fraccionario con el de expresión decimal.
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad
dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números fraccionario para representar situaciones cotidianas.
- Transición de la manipulación concreta de fracciones, semi-concreta hasta abstracción de los números racionales.
- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los nos racionales.
Ideas a considerar - Utilidad de las
operaciones fundamentales con números racionales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptulización de
las operaciones fundamentales en Q.
- Formalizar las propiedades del conjunto Q.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el
uso de los números racionales en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números racionales.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número racional. Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números racionales.
- Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
Aspectos a observar y valorar
- Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números racionales para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de resolución de probls. aplicadas durante la clase y cómo éstas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
Aspectos a observar y valorar
- Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números racionales.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
CAPÍTULO IV: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE
DIAGNÓSTICO INICIAL
155
CAPÍTULO IV:
RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE DIAGNÓSTICO
INICIAL
Los resultados que presentamos en la investigación corresponden al paso final
de un proceso riguroso de diseño, elaboración y aplicación de los instrumentos de
recolección de información durante la fase del trabajo de campo. De acuerdo al
procedimiento de nuestra investigación descrito en el Capítulo III, hemos utilizado
cuestionarios, entrevistas, cuadernos de los alumnos, observaciones y pruebas de
valoración de aprendizajes dirigidos exclusivamente a los alumnos que cursan la
asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral, sin restarle
importancia al grado de participación que pueda tener el docente con su
responsabilidad académica y administrativa. En este apartado llegamos al análisis de
datos que según La Torre & González (1987:364) es: “una etapa de búsqueda
sistemática y reflexiva de la información obtenida a través de los instrumentos de
recogida de datos. Constituye uno de los momentos más importantes del proceso de
la investigación e implica trabajar los datos, recopilarlos, organizarlos en unidades
manejables, sintetizarlos, buscar regularidades o modelos entre ellos, descubrir que
es importante y que van a aportar a la investigación”.
Para Rodríguez et al (1996:200), el análisis de datos cualitativos “supondrá
examinar sistemáticamente un conjunto de elementos informativos para delimitar
partes y descubrir las relaciones entre si mismas y las relaciones con el todo”.
Siguiendo una secuencia de análisis y reflexión sobre la fase diagnóstica,
efectuando una valoración crítica del trabajo realizado y de los acontecimientos
cotidianos que viven dentro del aula los actores del proceso didáctico de las
matemáticas, se llega a una producción científica y rigurosa de conocimientos que
pueden coincidir o discrepar de los planteamientos teóricos que han definido hasta el
presente los paradigmas en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática.
Estos nuevos conocimientos nos guiarán hacia una posible reorientación hipotética
de las bases teóricas, conceptuales y prácticas que fundamenten el modelo didáctico
para la enseñanza de las matemáticas que utiliza la autorregulación del pensamiento
formal para el aprendizaje de las matemáticas.
En este proceso sistemático de la investigación seguiremos los pasos de
presentación, análisis, interpretación y reflexión de los datos recogidos, tanto
156
cuantitativos como cualitativos, en función de la complementariedad de los métodos
cuantitativos y cualitativos que presentamos en el Capítulo II, sobre las dimensiones
que determinamos en el estudio, es decir, el aprendizaje matemático, la actitud del
alumno y el clima social del aula. Este punto de la investigación lo podemos
describir como el momento de transición entre los fundamentos epistemológicos que
vertebran la investigación y la fase empírica que demuestra lo que realmente está
ocurriendo en la realidad del contexto de estudio, información significativa para
responder a las primeras preguntas y verificar los logros alcanzados respecto a los
objetivos formulados en el planteamiento del problema de nuestro estudio.
Como señalamos anteriormente, dos dimensiones orientan el proceso de
presentación, análisis, interpretación y reflexión. La primera de ellas está constituida
por el proceso de aprendizaje matemático que ejecutan los alumnos tomando en
cuenta los siguientes criterios de análisis, ya descritos en el Capítulo III:
- Las estrategias para organizar la información.
- Las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y
problemas.
- El dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de conceptos,
definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos
matemáticos de las sesiones de clase ejecutadas.
La segunda dimensión la constituye la actitud del alumno ante las
matemáticas en general y el clima social que se genera en el aula durante el proceso
didáctico de la asignatura Matemática General. Para analizar esta dimensión de
estudio se utilizaron los siguientes criterios, también descritos en el Capítulo III:
- El auto-concepto del alumno ante su desempeño de las actividades
asignadas.
- La concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos
de la asignatura de Matemática.
- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.
157
IV.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO
En esta sección, se organizan, presentan, analizan y se lleva a cabo la
respectiva reflexión de los resultados de la dimensión de aprendizaje matemático
obtenidos de las respuesta aportadas por los alumnos en el cuestionario de estrategias
de aprendizaje, las transcripciones de las grabaciones efectuadas durante las sesiones
de clase observadas y las pruebas de valoración aplicadas al grupo de alumnos. Los
resultados los dividimos según los propósitos de cada uno de los instrumentos
utilizados.
IV.1.1. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de opinión
para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos
en los contenidos de la asignatura matemática general de la carrera de
Educación Integral
Está constituido por la distribución de la opinión que tienen los alumnos
sobre las estrategias de aprendizaje que más utilizan y cómo las aplican en la
ejecución de tareas que forman parte del contenido de la asignatura Matemática
General de la carrera Educación Mención Integral, tales como la ‘organización de la
información’ y la ‘resolución de ejercicios y problemas’.
En la Tabla 4.1. presentamos los resultados obtenidos de la aplicación del
cuestionario relativo a las estrategias de aprendizaje, atendiendo a los indicadores y
criterios de las dimensiones en estudio que están contenidos en la Tabla de
especificaciones de dicho instrumento de recolección de información.
Siempre Con
frecuencia A veces Nunca TOTAL
Indicador ITEM F % F % F % F % F %
1. Atención selectiva a las instrucciones. 30 55,56 10 18,52 14 25,93 0 54 100
2. Exploración impulsiva de la información. 2 3,70 4 7,41 32 59,26 16 29,63 54 100 C
apac
idad
de
con
cent
raci
ón
3. Respuestas impulsivas. 1 1,85 5 9,26 15 27,78 33 61,11 54 100
4. Utilización de esquemas. 5 9,26 5 9,26 24 44,44 20 37,04 54 100 5. Organización de la información de manera gráfica. 3 5,56 6 11,11 29 53,70 16 29,63 54 100
Uti
liza
ción
de
técn
icas
de
estu
dio
6. Utilización de esquemas en la resolución de problemas. 8 14,81 9 16,67 23 42,59 14 25,93 54 100
158
Siempre Con
frecuencia A veces Nunca TOTAL
Indicador ITEM F % F % F % F % F %
7. Recolección previa de información. 2 3,70 12 22,22 21 38,89 19 35,19 54 100 8. Dificultad en la discriminación de datos. 3 5,56 11 20,37 29 53,70 11 20,37 54 100 9. Problemas con la percepción de las ideas principales de la información. 4 7,41 13 24,07 27 50 10 18,52 54 100 10. La percepción superficial de las ideas. 5 9,26 5 9,26 26 48,15 18 33,33 54 100 11. Precisión en la identificación de los conceptos y definiciones. 11 20,37 18 33,33 21 38,89 4 7,41 54 100 12. Precisión de la información e incógnitas en un problema. 7 12,96 17 31,48 27 50 3 5,56 54 100 D
iscr
imin
ació
n de
la in
form
ació
n
13. Diferenciar problemas y un ejercicio. 5 9,26 15 27,78 26 48,15 8 14,81 54 100 14. Uso apropiado del vocabulario y organización de información. 14 25,93 19 35,19 17 31,48 4 7,41 54 100 15. Uso exclusivo del lenguaje verbal o escrito para organizar la información. 16 29,63 18 33,33 15 27,78 5 9,26 54 100 16. Cuantificación de datos para obtener un procedimiento de resolución. 11 20,37 15 27,78 27 50,00 1 1,85 54 100
Exp
resi
ón v
erba
l-es
crit
a
17. Uso apropiado del vocabulario para expresar conceptos de manera escrita. 19 35,19 14 25,93 20 37,04 1 1,85 54 100 18. Utilización de diferentes fuentes de información. 13 24,07 14 25,93 23 42,59 4 7,41 54 100 19. Búsqueda de información adicional en materiales de apoyo y resolución de problemas. 22 40,74 13 24,07 14 25,93 5 9,26 54 100 20. Materiales de apoyo que recomiendan los profesores de Matemática y la ayuda que estos ofrecen. 17 31,48 17 31,48 19 35,19 1 1,85 54 100 21. Comprensión del lenguaje matemático que utilizan los textos y demás materiales instruccionales. 7 12,96 13 24,07 31 57,41 3 5,56 54 100 22. Los libros-textos y demás materiales instruccionales y su adecuación a las necesidades particulares de aprendizaje. 14 25,93 15 27,78 23 42,59 2 3,70 54 100
Uti
liza
ción
de
mat
eria
l esc
rito
23. Los libros-textos y demás materiales instruccionales y su relación con habilidades cognitivas del alumno. 8 14,81 10 18,52 31 57,41 5 9,26 54 100 24. Comparaciones entre dos o más conceptos Matemáticos para obtener una comprensión más clara de los mismos. 20 37,04 15 27,78 16 29,63 3 5,56 54 100 25. Realización de lectura detenida antes de resolver problemas matemáticos. 30 55,56 16 29,63 6 11,11 2 3,70 54 100
Aná
lisi
s de
la in
form
ació
n
26. Precisión para determinar el grado de relación y/o asociación entre los datos de un problema. 15 27,78 17 31,48 20 37,04 2 3,70 54 100
159
Siempre Con
frecuencia A veces Nunca TOTAL
Indicador ITEM F % F % F % F % F %
27. Determinar si en un problema hay datos insuficientes para obtener una respuesta. 3 5,56 16 29,63 31 57,41 4 7,41 54 100 28. Ordenar datos de un problema, en la secuencia verbal-escrita, gráfica y simbólica. 15 27,78 14 25,93 20 37,04 5 9,26 54 100 29. Situaciones más cotidianas para entender información matemática. 8 14,81 20 37,04 21 38,89 5 9,26 54 100
Pro
ceso
de
abst
racc
ión
30. Construcción de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender la relación entre los datos del problema. 29 53,70 18 33,33 5 9,26 2 3,70 54 100 31. Verificación de la de las respuestas. 24 44,44 19 35,19 6 11,11 5 9,26 54 100 32. Análisis de las causas de los errores. 10 18,52 18 33,33 19 35,19 7 12,96 54 100
Uti
liza
ción
de
proc
esos
de
veri
fica
ción
33. Uso de la estimación para verificar. 20 37,04 22 40,74 10 18,52 2 3,70 54 100 34. Análisis sistemático para seleccionar las alternativas de solución. 9 16,67 18 33,33 24 44,44 3 5,56 54 100 35. Planteamiento de problemas con una estructura más simple para resolver problemas complejos. 12 22,22 15 27,78 20 37,04 7 12,96 54 100 36. Análisis retrospectivo de los problemas para entenderlo mejor. 5 9,26 8 14,81 26 48,15 15 27,78 54 100
Dis
eño
y ap
lica
ción
de
plan
es
de r
esol
ució
n
37. Persistencia en una sola posibilidad de resolución. 1 1,85 13 24,07 30 55,56 10 18,52 54 100 38. Utilización del azar cuando las estrategias de solución se han agotado. 28 51,85 14 25,93 11 20,37 1 1,85 54 100 39. Reformulación de problemas en otras palabras para evaluar con mayor precisión sus datos. 5 9,26 11 20,37 26 48,15 12 22,22 54 100
Uti
liza
ción
de
la
intu
ició
n y
proc
eso
de
indu
cció
n
40. Resolución de un problema o ejercicio de Matemática desde lo más sencillo. 26 48,15 16 29,63 11 20,37 1 1,85 54 100
Apo
yo e
n la
as
esor
ía
acad
émic
a de
l pro
feso
r
41. Apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto.
25 46,30 16 29,63 10 18,52 3 5,56 54 100
Aut
o-ev
alua
ción
del
ra
zona
mie
nto
apli
cado
42. Conciencia de debilidades y fortalezas.
9 16,67 21 38,89 21 38,89 3 5,56 54 100
Uti
liza
ción
de
habi
lida
des
cogn
itiv
as
pers
onal
es
43. Utilización de estrategias originales para resolver ejercicios y problemas de Matemática.
3 5,56 12 22,22 19 35,19 20 37,04 54 100
160
Siempre Con
frecuencia A veces Nunca TOTAL
Indicador ITEM F % F % F % F % F %
Uti
liza
ción
de
l len
guaj
e m
atem
átic
o 44. Utilización eficaz del lenguaje matemático simbólico.
6 11,11 12 22,22 30 55,56 6 11,11 54 100 45. Síntesis de la información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas. 5 9,26 19 35,19 22 40,74 8 14,81 54 100 46. Utilización de propiedades matemáticas. 14 25,93 23 42,59 15 27,78 2 3,70 54 100 47. Uso preciso de fórmulas resolver un problema. 16 29,63 24 44,44 14 25,93 0 54 100
Uso
del
raz
onam
ient
o de
duct
ivo
en la
re
solu
ción
de
prob
lem
as.
48. Aplicación formal de fórmulas y teoremas en la resolución de problemas. 10 18,52 16 29,63 25 46,30 3 5,56 54 100
Tabla 4.1. Resultados obtenidos en el cuestionario de opinión para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura Matemática General de la
carrera de Educación Integral.
Al analizar los resultados obtenidos por los alumnos en el indicador
‘capacidad de concentración’ para recibir instrucciones, la mayoría de alumnos,
aproximadamente el 70%, opina que siempre o con frecuencia presta atención
selectiva a las explicaciones e instrucciones del profesor antes de tomar notas en su
cuaderno, sin embargo, es considerable que un 30% tenga problemas con la
capacidad de atención.
Con relación a la presencia o no de conductas impulsivas muy pocos
estudiantes opinan que tienen este comportamiento cuando exploran una
información, concepto, definición o problema, o cuando tratan de responder a las
preguntas formuladas por el profesor durante la clase de Matemática. Esto demuestra
que existe un acuerdo casi total de los alumnos en el uso de la capacidad de
concentración como una estrategia de aprendizaje fundamental para comprender los
contenidos matemáticos involucrados en la clase.
Sin embargo, en el indicador ‘utilización de técnicas de estudio’, se pudo
apreciar una notable deficiencia de las mismas, puesto que una minoría de
estudiantes afirmaron utilizar esquemas para ordenar información durante las clases
de Matemática; situación semejante ocurre con la organización de la información de
manera gráfica para lograr comprender definiciones, conceptos o problemas de
matemáticas; además un considerable 68,52% no hace uso de esquemas para resolver
problemas de Matemática.
De los datos obtenidos en el indicador ‘discriminación de la información’, se
puede decir que, solamente el 25% aproximadamente recolecta información previa al
161
tema que se desarrolla en la clase, lo cual implica un notable problema inicial en el
proceso de enseñanza y aprendizaje, puesto que la mayoría no tiene un conocimiento
previo del tema a desarrollarse, por consiguiente, el alumno tendrá que enfrentar
problemas en la comprensión y aplicación de los nuevos conceptos matemáticos por
no tener un punto de partida cognoscitivo representado por los pre-requisitos, los
cuales se consideran fundamentales para lograr un verdadero aprendizaje
significativo.
Paralelamente a este hecho, muy pocos estudiantes opinan que tienen
dificultad para discriminar la información para comprender conceptos, definiciones o
problemas de Matemática, presentados durante las clases, en los textos, libros y
materiales escritos. De igual forma sólo un 31% del grupo presentó problemas con la
percepción de ideas principales de la información de los textos de Matemática,
aunque es un pequeño porcentaje, no deja de ser significativo este dato, puesto que
nos brinda información importante sobre las nuevas formas de presentar el lenguaje
escrito y las estrategias de aprendizaje para fortalecer la discriminación de la
información para el rediseño y elaboración de materiales y recursos innovadores para
la enseñanza de los temas seleccionados de la asignatura Matemática General.
De los demás ítem se desprende que el grupo en general presenta deficiencias
con la estrategia de discriminación de la información de manera parcial; un
considerable 51% aproximadamente de los estudiantes opinan que logran con
precisión la identificación de los conceptos y definiciones involucrados en los
ejercicios y problemas, un 55,56% no logran precisar la información en los
problemas de Matemática y 63% no logra diferenciar entre un problema matemático
y una información trivial.
En cuanto al dominio de la ‘expresión del lenguaje verbal y escrito’, la mayor
parte de los estudiantes opinaron que han usado el vocabulario apropiado para
comunicar organizadamente conceptos matemáticos de manera verbal, sin embargo,
todavía es preocupante que un 39% tenga dificultad con esta estrategia de
aprendizaje básica para iniciar cualquier estudio académico. Esto nos indica que no
solamente las estrategias deben estar dirigidas hacia el lenguaje matemático escrito,
sino también a la expresión verbal del mismo cuando se comunican ideas, por lo
tanto el nuevo material debe incluir ejercicios destinados a potenciar la participación
del alumno con un lenguaje matemático claro, preciso y con un dominio apropiado
de la notación formal que se utiliza en el desarrollo de los conceptos, definiciones y
demás aspectos teórico-prácticos de la Matemática.
162
También existe un dominio parcial del lenguaje matemático, según los datos
obtenidos en el ítem correspondiente a la cuantificación de datos e información para
obtener un procedimiento de resolución. El 70% de los alumnos opinó que logra
efectuar esta habilidad matemática, pero también es considerable que el porcentaje
restante no consiga esta habilidad.
En el indicador que se refiere a la ‘utilización de material escrito’, en el
primer ítem las opiniones quedan claramente divididas aproximadamente en partes
iguales, el 50% de los estudiantes opinan que utilizan diferentes fuentes de
información adicionales a la clase del profesor de Matemática para complementar su
aprendizaje; así mismo, una significativa mayoría representada por el 63% de los
encuestados, considera que los materiales de apoyo que recomiendan los profesores
les sirve de ayuda para comprender mejor la estructura de ejercicios y problemas de
Matemática, en consecuencia en el proceso didáctico el profesor debe garantizar una
constante actualización de las unidades didácticas dentro de la planificación, para
mantener la elaboración de materiales didácticos, tanto escritos como audiovisuales
que estén a la vanguardia de los cambios científicos, tecnológicos y pedagógicos.
Esto representa una información valiosa para justificar la necesidad del
diseño y elaboración de materiales didácticos escritos para la asignatura Matemática
General, los cuales deben seguir lineamientos claros y precisos, específicamente en
su redacción, por lo tanto, deben escribirse en un lenguaje sencillo puesto que, una
considerable mayoría no comprende el lenguaje matemático que utilizan los textos y
demás materiales instruccionales referidos en el programa de estudio de la
mencionada asignatura. Además, estos materiales escritos deben estar ajustados a las
necesidades particulares del nivel de aprendizaje y utilizar estrategias de aprendizaje
que fomenten el pensamiento lógico-formal en el alumno, para activar los procesos
mentales que caracterizan la inteligencia humana mencionados por Inhelder & Piaget
(1985) tales como el equilibrio cognitivo y la reversibilidad del pensamiento.
Con relación a los datos obtenidos en el indicador análisis de la información
como estrategia de aprendizaje, el 65% de los estudiantes opina que utiliza
comparaciones entre dos o más conceptos matemáticos para obtener una
comprensión más clara de los mismos; de igual forma un considerable 85% expresa
que realiza una lectura detenida y minuciosa de los problemas matemáticos antes de
resolverlos; el 59% de alumnos dice lograr precisión para determinar el grado de
relación y/o asociación entre los datos de un problema, estos resultados también
demuestran, según los alumnos encuestados, un nivel aceptable en cuanto a las
estrategias utilizadas por ellos para analizar información.
163
En cuanto al ‘proceso de abstracción’, existe un dominio parcial de la
habilidad matemática utilizada para ordenar datos de un problema en la secuencia
verbal-escrita, gráfica y simbólica para darle mayor precisión al procedimiento; se
pudo evidenciar que un 56,3% lo utiliza muy poco, un 51% necesita de situaciones
más concretas y cotidianas para entender un concepto, ejercicios y problemas de
Matemática y también el 87% de los estudiantes encuestados manifestó que hace uso
de la construcción de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para
comprender la relación entre los datos del problema, lo que indica que la forma de
pensamiento del grupo de alumnos encuestados es intuitivo y constructivo más que
analítico y abstracto. Este análisis nos conduce hacia otro elemento importante que
debemos considerar en los lineamientos de nuestra propuesta didáctica, el cual
consiste en incorporar en el diseño de la unidad didáctica o material escrito, un
enfoque más intuitivo que funcione como punto de partida en la comprensión de la
información nueva, además de agregar ejemplos prácticos de la vida cotidiana que
sirvan de soporte al inicio del estudiante en el razonamiento inductivo para luego
guiarlo hasta el deseado razonamiento deductivo, propio del conocimiento
matemático.
De los datos recogidos, correspondientes a la utilización de estrategias de
‘procesos de verificación’, se puede apreciar de los resultados obtenidos que los
alumnos hacen uso de alguna de estas habilidades; de esta forma, el 79% de los
encuestados afirma verificar la exactitud de las respuestas que obtiene cuando
resuelve problemas de Matemática; el 52% dice efectuar un análisis de las posibles
causas de los errores cometidos en la resolución de un problema y el 77,78% de los
encuestados opina que hace uso de la estimación para verificar posibles resultados de
un problema.
En la información que obtuvimos relativa al indicador ‘diseño y aplicación de
planes de resolución’ que aplican los alumnos para seleccionar las posibles
alternativas de solución, evidenciamos que, aproximadamente la mitad del grupo
encuestado opinó que hace uso de esta estrategia; muy pocos opinaron que hacen el
análisis de los problemas hacia delante y hacia atrás para entenderlo mejor, además
manifestaron que se encasillan o persisten en una sola posibilidad de resolución
cuando tienen complicaciones con un problema de Matemática. En general los textos
de Matemática no presentan la resolución de ejercicios y problemas con distintas
estrategias, procedimientos y métodos, por lo tanto, la mayoría de profesores
tampoco lo hace; las consecuencias se reflejan en el trabajo del alumno, quien se rige
por una sola manera de abordar las tareas matemáticas obstaculizando desde un
inicio su creatividad y puesta en práctica de otros recursos y estrategias que le
164
garanticen un mejor desempeño en el aprendizaje significativo de las matemáticas.
Esto implica efectuar dentro de la planificación del proceso didáctico que
pretendemos reorientar, el establecimiento de nuevos mecanismos y estrategias de
aprendizaje que diversifiquen la resolución de ejercicios y problemas tanto resueltos
como propuestos en la Unidad Didáctica fundamentada en el nuestro Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas.
En el indicador ‘utilización de la intuición’, las estrategias que según los
alumnos utilizan más son: en primer lugar el 77% de los alumnos opina que utiliza el
azar como posible alternativa de solución del problema, apenas un 30% de alumnos
dice aplicar la reformulación de problemas, en otras palabras para evaluar con mayor
precisión sus datos; el 77,78% dice que efectuar la resolución de un problema o
ejercicios de Matemática comenzando desde lo más sencillo que observa del mismo.
Esta situación indica debilidades en las estrategias que utilizan los alumnos para
resolver problemas, lo que se traduce en que hay que realizar una orientación dirigida
a incorporar en los problemas resueltos estos tipos de procedimientos para ayudar a
los estudiantes a estructurar de la manera más óptima posible sus razonamientos
matemáticos desde un enfoque inductivo hasta llegar al formalismo deductivo.
Así mismo esta orientación debe apoyarse en la ‘asesoría académica del
profesor’, pues según los resultados de este indicador, una gran parte de alumnos
afirmaron necesitar apoyo o asesorías del profesor de Matemática o de cualquier otro
experto cuando tiene dificultades en la resolución de problemas, lo cual es vital para
el alumno, si tomamos en cuenta que, un poco más de la mitad (el 55%) de los
encuestados opinó que toma conciencia de sus debilidades y fortalezas cuando se le
plantea problemas de Matemática que considera complejos.
Además, un porcentaje muy pequeño no tiene consolidadas habilidades como
el pensamiento creativo en la resolución de problemas, esto es, un 28% de alumnos
opina que ha utilizado estrategias originales para resolver ejercicios y problemas de
Matemática, a esto se le agrega que sólo el 33,33% de estudiantes opina que utiliza
con eficacia el ‘lenguaje matemático’ simbólico adecuado para representar la
información disponible, datos e incógnitas de un problema.
Por último cabe destacar los resultados que obtuvieron los alumnos en el
indicador de ‘Uso del razonamiento deductivo en la resolución de problemas’.
Solo la mitad aproximadamente de los encuestados manifestó que sintetiza la
información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas para
resolver un problema; así mismo, un considerable 68% de los alumnos opina que
165
utiliza propiedades matemáticas formales en la resolución de problemas y un 74%
que logra utilizar con precisión las fórmulas necesarias para obtener el resultado de
un problema. En cuanto a la aplicación formal de fórmulas y teoremas en la
resolución de problemas, el 46% de los alumnos opina que siempre logra una
comprensión clara de los problemas cuando hace uso de esta estrategia.
Indicadores Presencia Ausencia Presencia parcial Capacidad de concentración X Técnicas de estudio X Discriminación de la información X Expresión verbal-escrita X Utilización de material escrito X Análisis de información X Proceso de abstracción X Procesos de verificación X Planes de resolución de problemas X Intuición y proceso inductivo X Asesoría X Auto-evaluación X Habilidad cognitiva personal X Lenguaje matemático X Razonamiento deductivo X
Tabla 4.2. Presencia-ausencia de los indicadores que determinan las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos matemáticos. Resultados del cuestionario de estrategias.
De los resultados obtenidos por el cuestionario que determinó la presencia de
estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en el desempeño matemático, el
grupo de estudiantes encuestados manifestó utilizar y dominar parcialmente
estrategias de aprendizaje, es decir de un total de 16 indicadores, se determinó la
existencia de 8, esto representa un 50%, lo que implica que todavía existen
debilidades principalmente en estrategias tales como: la utilización de esquemas y
diagramas como técnicas de estudio, expresión verbal y escrita de la información,
proceso de abstracción matemática, planes de resolución de problemas, utilización
del lenguaje matemático y uso del razonamiento deductivo, fundamentales para
lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas. En la Tabla 4.2 se ilustran
estos resultados.
IV.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase
El proceso de observación que seguimos en las sesiones de clase nos
proporcionó datos relevantes en cuanto al estilo y procedimiento de enseñanza
ejecutado por el docente, así como de las diferentes técnicas, recursos y actividades
de aprendizaje, enseñanza y evaluación –características de la Didáctica de la
166
Matemática– que utiliza en el aula durante el desarrollo de las sesiones de trabajo;
además, pudimos verificar los hechos que realmente acontecen en el aula de clase,
actitudes y expresiones sinceras de los actores del caso de estudio seleccionado.
En total logramos participar en la observación de tres sesiones de clase, en las
dos primeras se desarrollaron contenidos sobre el sistema de los números racionales
y en la tercera sesión se trataron aspectos sobre el conjunto de los números
irracionales. Aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento,
hecho o situación, hemos destacado lo más relevante con el propósito de dirigirlo
hacia los objetivos de nuestra investigación.
Sesión Nº 1: Lunes, 05-06-06
En esta sesión se desarrollaron contenidos relativos a la introducción del
conjunto de los números racionales, para lo cual se necesitó aclarar el concepto de
expresiones decimales, limitadas y periódicas, y su equivalencia con sus respectivas
fracciones. Para lograr esto la docente se apoyó en la representación gráfica de los
conjuntos numéricos N y Z para explicar la evolución histórica de los mismos y su
relación de inclusión. Además, explica los diferentes procedimientos para efectuar
las operaciones de adición, sustracción, producto y división entre números
fraccionarios, conjuntamente con las propiedades que se cumplen en el sistema de los
números racionales.
Del desarrollo de la clase apreciamos que se desprende un poco del carácter
formalista que generalmente se aplica en las matemáticas, la profesora utiliza un
lenguaje más cotidiano para comunicar la información y se podría decir que centra su
enseñanza en la explicación intuitiva de los conceptos involucrados en el tema de la
sesión de clase, puesto que los alumnos demuestran muchas dudas y las definiciones
matemáticas están bastante confundidas; incluso obtener la expresión decimal de una
fracción origina dificultades en muchos de ellos, en consecuencia, la clase se torna
unidireccional en la mayor parte del tiempo de su ejecución.
La mayoría de los alumnos del grupo observado recuerda algunos conceptos,
propiedades y procedimientos para efectuar operaciones con números fracciones,
pero todavía existe una gran confusión y distorsión de las definiciones y términos
fundamentales para lograr el aprendizaje en un grado óptimo del tema desarrollado.
167
Prof: ¿Cuál es el conjunto N?
Alumnos: Los naturales; 0,1,2,3...
Prof: ¿Cuál es el conjunto Z?
Observador: Los alumnos no responden, por lo que la profesora dibuja un diagrama de
Venn para explicar la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos N, Z y Q.
Alumno: ¿Dónde se ubican las expresiones decimales ilimitadas periódicas?
Prof: Ahora vamos a explicar eso.
Observador: La profesora inicia la explicación algo intuitiva de expresiones que se
consideran decimales, ilimitadas periódicas; luego se señalar algunos ejemplos procede a
explicar el concepto y ejemplos de expresiones decimales mixtas.
Prof: Las expresiones decimales mixtas están compuestas por un anteperiodo, es decir
decimales que están ubicados antes de los valores que se repiten.
Observador: En este momento la clase es interrumpida por un grupo de alumnos que llegan
tarde a la clase.
Prof: Acordamos iniciar las clases a las 8:30, no vuelvan a interrumpir la clase.
Prof: ¿El conjunto Q está formado por?; ¿con qué letra se simbolizan los racionales?
Alumnos: La letra Q.
Prof: ¿Qué operaciones se efectúan en el conjunto Q?
Alumnos: Adición, sustracción, multiplicación, división.
Un alumno intervine: Las operaciones son las mismas solo que cambian a fracciones.
Prof: Ok, vamos a resolver sumas o adiciones con números fraccionarios. Existen dos
maneras de sumar fracciones:
* Podemos aplicar esta “formulita”, a c ad bc
b d bd
++ = , multiplicamos y luego
simplificamos la fracción resultante.
Observador: La profesora desarrolla ejemplos para ilustrar el procedimiento.
Prof: Prefiero aplicar el método del mínimo común denominador, porque tiene la ventaja de
que el resultado queda simplificado directamente, además se evitan operaciones largas de
multiplicación y adición.
Observador: La profesora explica este último procedimiento utilizando ejemplos para ello e
insiste en recomendarlo a los alumnos. Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 8 6
3 4+ =
Prof: Vamos a aplicar mínimo común denominador (m.c.d).
Alumnos: Profesora nos resultó igual por ambos métodos y no necesitamos simplificar al
final.
Prof: Lo que sucede es que no seleccioné el ejemplo adecuado; vamos a resolver otro.
Observador: Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 4 3
9 12+ =
Prof: ¿El m.c.d. es igual a?
Observador: Los alumnos calculan, algunos quedan observando la pizarra y parecen no
entender lo que la profesora ha preguntado.
Alumnos: Profesora ¿se seleccionan los comunes y no comunes con su mayor exponente?
Prof: Sí, ¿por qué están confundidos?, ya lo habíamos explicado.
Observador: En este momento los alumnos tienen problemas para descomponer en factores
primos a los denominadores de las fracciones, por lo que la profesora interviene
nuevamente.
168
Prof: ¿Cuándo un número es divisible por 2?, ¿cuándo un número es divisible por 3?
¿cuándo un número es divisible por 5?
Alumno: Estas son las reglas de la divisibilidad.
Alumno: ¿Cuándo un número es divisible por 3?
Observador: La profesora explica con un ejemplo y continúa aplicando la técnica de la
pregunta-respuesta para guiar a los alumnos en el cálculo preciso del m.c.d.
Alumno: ¡Es 36! Profesora.
Prof: Muy bien.
Observador: La profesora explica y escribe en la pizarra: 4.4 3.3
36
+ = , hemos dividido el
m.c.d. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador
respectivamente.
Prof: Multiplicamos, sumamos y el resultado es 16 9 25
36 36
+ = . Ahora vamos a resolverlo
con el otro método.
Observador: La profesora escribe y explica las operaciones y procedimiento siguiente:
4 3 4.12 3.9 48 27 75 25
9 12 9.12 108 108 36
+ ++ = = = =
Prof: Observen que al final se necesitó multiplicar y sumar cifras más elevadas y simplificar
75
108, para obtener el resultado.
Se observa un rechazo de los alumnos por el procedimiento en el que se
calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, esto se debe a la dificultad
que tiene la mayoría para determinarlo, es decir, existen vacíos cognitivos en el
concepto del m.c.m. y el método para calcularlo, lo que genera la actitud antagónica
y persisten en apoyarse en el método alternativo que sólo utiliza la multiplicación, al
que muchos de los alumnos llaman el “método de la cruz”, el cual es criticable desde
todo punto de vista didáctico porque se basa en la aplicación mecánica de un
algoritmo y no se internaliza en procesos de pensamiento más complejos que
expliquen y justifiquen de manera lógica y procedimental el método de resolución.
Observador: La profesora rápidamente cambia de sección en el contenido, y formula la
pregunta siguiente:
Prof: ¿Cuáles son las propiedades de la adición?
Observador: Los alumnos responden con algunas dudas y la profesora explica brevemente y
algo rápido.
Prof: ¿Qué significa inverso aditivo?
Alumno: Que todo número tiene su inverso.
Observador: La profesora explica utilizando el formalismo matemático esta propiedad y
escribe en el pizarrón:
/ 0a a a a
b b b b
∀ ∃− + − =
169
Prof: Por ejemplo el inverso 7
3es
7
3−
Prof: ¿El inverso de 4
5− es?
Alumno: 4
5
Alumno: Es decir, ¿qué el inverso es la misma fracción pero de signo contrario?
Prof: Sí, si lo quieres resumir de esa manera.
Prof: Vamos a pasar rápidamente a las operaciones de multiplicación y división con
números fraccionarios.
Observador: La profesora explica brevemente el procedimiento de la multiplicación
utilizando ejemplos sencillos y señala el cuidado que se debe tener en los signos al
multiplicarlos.
Prof: Con respecto a la división, ¿cómo se efectúa?
Alumnos: Se aplica la “doble c”.
Observador: La profesora siguiendo la intervención de algunos de sus alumnos desarrolla
dos procedimientos para dividir fracciones, utilizando ejemplos sencillos. Luego pasa a
repasar las propiedades de la multiplicación.
Prof: ¿Quién recuerda las propiedades de la multiplicación?
Alumnos: Conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva e inverso multiplicativo.
Observador: La profesora sigue preguntando y explicando de manera rápida las
propiedades de la multiplicación de números racionales, luego señala una actividad para
desarrollarla en el aula y asigna una serie de ejercicios. Mientras escribe en la pizarra,
algunos alumnos hablan y salen del aula.
Prof: ¡Necesito que pasen al pizarrón tres alumnos!
Observador: Sólo uno levanta la mano; la profesora selecciona dos más, éstos lo aceptan de
manera obligada. La profesora dirige la actividad formulando preguntas y aclarando las
dudas de los alumnos, podríamos decir que utiliza el procedimiento de enseñanza socrático
para ello.
En la sesión de clase se pudo observar como característica principal la
preocupación que manifiesta la profesora por desarrollar todos los aspectos que
integran el contenido para cumplir el 100% de la programación planificada; las
explicaciones de cada término, concepto, definición, operaciones, algoritmos,
propiedades, ejercicios y problemas son tratados de manera acelerada. Esta actitud se
explica en parte por los problemas de índole administrativo y académico que tuvo la
Universidad en esos momentos, el semestre se inicio tres semanas más tarde de lo
previsto en el calendario académico.
Por otro lado, la profesora se apoyó mucho en los conocimientos previos de
los alumnos sobre el tema de los números racionales y en las investigaciones que le
asignaban como parte de las actividades de discusión y participación en el proceso de
enseñanza-aprendizaje. La comprensión que logran los alumnos se debe
170
principalmente al enfoque intuitivo que ejecutó la docente, puesto que, al utilizar el
lenguaje matemático para representar las propiedades de la adición y multiplicación
de los números racionales se generaban conflictos en la interpretación de los mismos,
lo cual indica que la sola exposición del formalismo sin ejemplos concretos e
ilustrativos disminuyen las posibilidades de éxito del alumno en el aprendizaje
matemático.
Sesión Nº 2: Lunes, 06-06-06
En esta segunda sesión observada se desarrollaron aspectos relativos a la
operación de potenciación con números fraccionarios. La clase estuvo centrada en las
diferentes propiedades que se aplican para efectuar los ejercicios, aunque los
alumnos comprenden cada regla o propiedad por separado, al enfrentarse a los
ejercicios combinados se les presentan dificultades para seleccionar el camino más
apropiado para resolverlos, es decir, no analizan qué propiedad aplicar o seleccionar,
puesto que no logran una visión integral de las operaciones a efectuar; se puede decir
que esto es producido por el enfoque algorítmico-mecanicista con el cual los
alumnos abordan la mayoría de los conceptos y propiedades matemáticas, además de
la forma un poco accidentada con la cual se ejecutan las clases.
La profesora mantiene su estilo de enseñanza intuitivo, pero sin prescindir del
formalismo matemático; combinando ejemplos ilustrativos y ejercicios, los alumnos
mantienen su nivel de participación a pesar de que muchas de sus intervenciones se
caracterizan por ideas intuitivas, información incompleta, poco estructurada y con
errores conceptuales, lo que constata las dificultades que tienen para comprender el
lenguaje matemático que se escribe en la pizarra.
Prof: Ayer vimos operaciones con fracciones, se supone ya han estudiado estos aspectos.
Hoy vamos a trabajar con la potenciación, lo que se debe tener en cuenta son las
propiedades.
Primera propiedad: Todo número elevado a la cero es igual a la unidad.
Observador: La profesora escribe en la pizarra la expresión siguiente:
a0 =1, a∀ ∈ Q aunque no aclara que esta propiedad se aplica siempre y cuando la base sea
diferente de cero, por eso debió escribir 0a∀ ≠ .
Prof: Segunda propiedad: el cero elevado a cualquier potencia es igual a cero, con la
excepción de que el exponente tiene que ser diferente de cero.
Observador: Escribe en la pizarra utilizando el lenguaje matemático respectivo, los alumnos
se limitan a tomar apuntes.
Alumno: ¿Qué pasa si el exponente es una fracción?
Prof: El valor del exponente tiene que ser entero, porque tendríamos potencias con
exponentes fraccionarios que pueden ser números irracionales.
171
Observador: Llega un grupo de alumnos tarde e interrumpen la clase, sin embargo la
profesora hace caso omiso y continúa con la explicación del tema.
Prof: Toda base elevada a la uno es igual a sí misma, es decir,. a 1 =a, a∀ ∈ Q
Observador: La profesora escribe en la pizarra la siguiente expresión: ( )nxyz = y formula
preguntas a los alumnos.
Prof: ¿Qué es esto?, ¿cómo se desarrolla?
Observador: Los alumnos no responden, la profesora no espera mucho tiempo por las
respuestas y explica.
Prof: Nos queda de la forma siguiente: ( )n n n nxyz x y z= , observen que se multiplican los
exponentes.
Prof: Ahora, si tenemos la expresión m nx x = , ¿cómo nos quedaría el resultado?
¿si tenemos bases iguales y están multiplicando?
Alumnos: Se coloca la misma base y se suman los exponentes, es decir, m nx +
Prof: Vamos con la división. Si tenemos
n
x
y
¿cómo se desarrolla esta potencia?, esto es
igual a
n
n
x
y. ¿Qué sucede si las potencias son de igual base y se dividen?, es decir
m
n
x
x
Alumnos: Se coloca la misma base y se restan los exponentes.
Prof: Entonces, ¿cómo lo escribimos?
Alumnos: m
m n
n
xx
x
−=
Prof: Se debe tener en cuenta que el denominador debe ser diferente de cero. ¿Quién
recuerda como se desarrolla una potencia de una potencia?, es una expresión de la forma
( )nmx
Alumnos: Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, mnx
Prof: Si tengo un número elevado a un entero negativo, esto nos indica que es una fracción,
1 1a
a
− = y 1n
na
a
− = . Si tenemos la expresión
na
b
−
, ¿cómo la desarrollamos?
Alumnos:
nb
a
Observador: La profesora explica el procedimiento para demostrar la igualdad
n na b
b a
− =
Observador: Los alumnos siguen tomando sus apuntes y no prestan atención a la explicación
del profesor.
Prof: Les recomiendo practicar mucho para dominar este tipo de ejercicios, se necesitan
resolver suficientes, voy a explicar algunos ejemplos y luego les asignaré otros para que los
resuelvan durante la clase.
172
Observador: La profesora borra la pizarra y escribe dos ejercicios con operaciones
relacionadas a las propiedades de la potenciación.
Alumnos: Profesora, ¡por favor, resuelva el segundo que es el más difícil!
Prof: ¿Por dónde empezamos?
Alumnos: Por los paréntesis.
Prof: ¿Cómo se resuelve el primer paréntesis?, ¿qué propiedad aplicamos?
Observador: Una alumna interviene confusa.
Alumna: ¡No entendí el último paso!
Prof: Esto se eleva también al mínimo exponente, es decir, como si fuera una potencia de
una potencia.
Alumna: ¿Se eliminan cuando tienen signos más y menos?
Prof: ¿Dónde, en el numerador o en el denominador?, si tenemos expresiones iguales en el
numerador y denominador sí., ¿cómo resolvemos arriba en el numerador?
Alumnos: Se aplican las propiedades del producto de las potencias de igual base.
Observador: Una alumna pasa hasta la pizarra y pregunta.
Alumna: ¿Si lo hago de esta manera, invierto primero el signo menos y luego multiplico?
Prof: está bien.
Observador: La profesora utiliza la pregunta para explicar al resto del grupo y aclarar las
dudas.
Prof: También podemos resolverlo de esta segunda forma.
Alumnos: No profesora, mejor es la primera forma.
Observador: La profesora explica el segundo procedimiento y una de las alumnas muestra
una actitud de rechazo, al final de la explicación el grupo cambia de opinión, muestran
comprensión del segundo método se resolución y toman notas.
Sesión Nº 3: Lunes, 19-06-06
El concepto y operaciones de números irracionales supone un esfuerzo mayor
del alumno desde el punto de vista cognitivo, puesto que se enfrenta a una
abstracción. La interpretación y comprensión del lenguaje matemático para
representar un radical y su equivalente con una expresión decimal ilimitada implica
la aplicación de propiedades algebraicas, que, de no profundizarlas e internalizarlas
en el proceso de enseñanza y aprendizaje, los logros serían muy precarios.
En esta sesión se aprecia claramente cómo el docente lleva la dirección
completa del proceso de enseñanza-aprendizaje, los alumnos en la mayoría de los
casos se limitan a escuchar y a prestar atención a la explicación, el carácter abstracto
de los contenidos origina este proceso unidireccional de la clase.
Prof: La clase pasada vimos racionalización y definición de radicales semejantes, ¿qué
dijimos que era un radical semejante?
Observador: Un alumno responde con dudas.
Alumnos: Son los que tienen igual índice y cantidad subradical.
Prof: Para sumar radicales semejantes ¿qué hay que hacer?
173
Observador: Los alumnos no responden.
Prof: ¿Cómo se le denomina al proceso de descomposición de radicales?
Observador: Los alumnos siguen sin responder.
Prof: Hoy vamos a continuar con la clase de radicales, desarrollaremos los temas de
multiplicación, división y potenciación de radicales.
Observador: Los alumnos manifiestan desmotivación por el tema y preguntan por los
resultados de la última evaluación.
Prof: Al final de la clase podemos hablar de las calificaciones. Vamos a desarrollar cinco
propiedades para efectuar las operaciones de multiplicación, división, potenciación,
potencias con exponente fraccionario y radicación de radicales.
¿Qué procedimiento se aplica cuando se multiplican radicales de igual índice?
Observador: Los alumnos responden con dudas y la profesora escribe la siguiente
expresión:n n n na b c abc=
Prof: Se coloca el mismo índice de la raíz y se multiplican los radicandos o cantidades
subradicales. Ahora ¿cómo se resuelve si las raíces tienen diferentes índices?
Observador: La profesora explica el procedimiento ante la falta de participación de los
estudiantes.
Prof: La tercera propiedad se utiliza para resolver potencia de radicales. La expresión
( )mn a ¿cómo se efectúa?
Observador: Los alumnos responden con errores y la profesora retoma la explicación.
Prof: si tenemos, por ejemplo: ( )xn ma , se resuelve de la forma siguiente:
( )xn nm mxa a= , se coloca el mismo índice y la cantidad subradical se eleva a la potencia
dada.
Prof: La cuarta propiedad tienen que ver con la equivalencia entre un radical y su potencia
con exponente fraccionario, es decir, que
1n na a=
Observador: la profesora continúa explicando y utiliza algunos ejemplos sencillos.
Luego pasa a desarrollar la quinta propiedad.
Prof: Cuando tenemos la expresión m n a , ¿cómo la efectuamos?
Observador: La profesora espera unos segundos y ante la falta de respuestas de los alumnos
decide explicar, luego de terminar con esta sección de contenido coloca ejercicios para
resolverlos durante la clase y motiva a sus alumnos para trabajar en conjunto.
Prof: ¿Ustedes son capaces de resolverlo?
Alumnos: ¡No!
Observador: La profesora resuelve y explica cada uno de los ejercicios propuestos.
Prof: ¿El resultado queda hasta aquí?
Alumnos: No, se tiene que simplificar el radical.
Prof: ¿Está claro?
Alumnos: Sí
174
En resumen, podemos afirmar que en la ejecución de las sesiones de clase se
destacan elementos que pueden indicar un desarrollo de estrategias de aprendizaje
convencionales o tradicionales apoyadas en la clase magistral del profesor y basada
en textos. En la mayoría de los casos, en las clases la profesora utiliza en su discurso
un lenguaje más cotidiano, y durante la resolución de los ejercicios planteados la
explicación es intuitiva, siguiendo un enfoque algorítmico y calculista caracterizado
por la siguiente secuencia didáctica:
En función de este análisis sobre la secuencia didáctica que observamos,
podemos decir que el espacio para pensar, reflexionar y razonar que se le dedica a los
aspectos teóricos-prácticos de los contenidos es muy poco, por lo tanto el proceso
didáctico se acerca más al paradigma conductista. La enseñanza es
fundamentalmente tradicional basada en el uso de textos, en la transmisión verbal y
en un procedimiento expositivo dominado por el conocimiento e intervención del
docente, a pesar de que se distinguen momentos en los cuales se les pide a los
alumnos que participen durante las sesiones de clase, sin embargo estos no logran
hacerlo de forma óptima por su precario nivel de conocimientos básicos que
constituyen los pre-requisitos para abordar los temas estudiados.
Desde el punto de vista cognitivo, no se observaron elementos que pudieran
indicar que los alumnos utilicen estrategias de aprendizaje dirigidas a desarrollar
habilidades del pensamiento formal, por lo general utilizan la memorización de
reglas y algoritmos para resolver ejercicios.
Explicación intuitiva de conceptos
Definición formal de conceptos
Aplicación de algoritmos
Aplicación ordenada de
reglas
Desarrollo de ejemplos
ilustrativos
Generalización de propiedades
Resolución de ejercicios
Retroalimentación
175
IV.1.3. Descripción, análisis e interpretación de los resultados de las
pruebas de valoración de aprendizajes
La prueba de valoración de aprendizajes se aplicó con el propósito de
diagnosticar dos aspectos que integran el aprendizaje matemático. Por un lado el
dominio cognoscitivo, cuyo análisis se efectuó siguiendo una serie de aspectos de
valoración de aprendizajes por pregunta y, por el otro, las diferentes estrategias de
aprendizaje que el alumno pone en práctica para resolver los diferentes
planteamientos matemáticos. Este instrumento de evaluación es el resultado final de
las negociaciones efectuadas entre nosotros y la profesora responsable de la
asignatura Matemática General.
Finalmente la prueba de valoración quedó constituida en nueve preguntas que
nos facilitaron obtener la información pertinente. La descripción, interpretación y
análisis se han presentado en dos partes de acuerdo a los aspectos explicados en el
Capítulo III.
IV.1.3.1. Análisis y reflexión sobre los resultados de la prueba de
valoración en cuanto al uso de estrategias de aprendizaje
En las Tablas de frecuencias 4.3 y 4.4 presentamos los resultados de la prueba
de valoración sobre el uso de las estrategias de aprendizajes que utilizan los alumnos
en los ejercicios propuestos.
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
NÚMERO DE
ALUMNOS
% DE ALUMNOS
ALUMNOS QUE NO LA
UTILIZARON
% DE ALUMNOS
TOTAL
Uso de esquemas para organizar información
0 0 53 100 53
Representación gráfica de situaciones matemáticas
0 0 53 100 53
Uso de términos matemáticos correctos
5 9,43 48 90,56 53
Comparaciones entre conceptos
0 0 53 100 53
Comprensión de símbolos matemáticos
6 11,32 47 88,67 53
Orden sistemático de la información
10 18,87 43 81,13 53
Selección precisa de datos e incógnitas
0 0 53 100 53
176
Estructuración de ejercicios y de la información de un problema en pequeños pasos
0 0 53 100 53
Tabla 4.3 Estrategias de aprendizaje en la organización de la información.
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
NÚMERO DE
ALUMNOS
% DE ALUMNOS
ALUMNOS QUE NO LA
UTILIZARON
% DE ALUMNOS
TOTAL
Uso del azar como estrategia de resolución
0 0 53 100 53
Presencia de estrategias originales de resolución
0 0 53 100 53
Persistencia en el uso de una estrategia de solución
0 0 53 100 53
Aplicación del lenguaje Matemático adecuado
5 9,43 48 90,56 53
Uso de ejemplos para justificar respuestas
3 5,66 50 94,34 53
Uso de ejemplos y contraejemplos para justificar respuestas
0 0 53 100 53
Descripción de las propiedades matemáticas que aplican en la resolución de ejercicios y problemas
0 0 53 100 53
Estrategias de estimación en la verificación de las respuestas
0 0 53 100 53
Tabla 4.4. Estrategias de aprendizaje en la resolución de ejercicios y problemas.
Las estrategias de aprendizaje relativas a la organización de la información
son uno de los aspectos transcendentales en el logro de los aprendizajes
significativos de los alumnos, tanto en las matemáticas como en el resto de las áreas
académicas que forman parte del currículo, puesto que garantizan una mejor
comunicación y presentación de las ideas en la expresión verbal y escrita en la
comprensión, transmisión, orientación e interpretación del conocimiento científico.
En el grupo de alumnos del caso en estudio se apreció en la prueba de valoración una
debilidad considerable en esta dimensión, ya que ninguno de los estudiantes utilizó
los esquemas para organizar la información, ni recurrió a los diagramas para
representar situaciones matemáticas.
Muy pocos estudiantes utilizaron correctamente los términos matemáticos,
también son inexistentes las estrategias de comparación entre conceptos, por
ejemplo, no logran relacionar y discriminar entre los conceptos de propiedad
177
conmutativa para la adición y para la multiplicación o los conceptos de mínimo
común múltiplo y máximo común divisor. Sólo un 11,32% logró comprender los
símbolos matemáticos utilizados en la prueba de valoración y un 18,87% presentó la
información de sus respuestas en orden sistemático y coherente.
Con relación a las estrategias utilizadas para organizar información en la
resolución de problemas, todo el grupo de alumnos se caracterizó por una
imprecisión para seleccionar datos e incógnitas y por la falta de estructuración de la
información en los ejercicios y problemas que se les presentaron en la prueba de
valoración.
En cuanto a las estrategias que usan los alumnos en los planes de resolución
de ejercicios y problemas, el grupo se caracteriza por tener debilidades en todas estas
estrategias de pensamiento, aunque hay que destacar que no utilizan el azar para
responder a las preguntas formuladas en la prueba de valoración de aprendizajes.
Sólo se observó que algunos alumnos aplicaron el lenguaje matemático adecuado (un
9,43%) y usaron ejemplos y contraejemplos para justificar sus respuestas (un 5,66%).
Estos resultados indican que los alumnos se caracterizan por la ausencia
completa de estrategias de aprendizaje para lograr los aprendizajes matemáticos que
se desarrollan durante el proceso didáctico, lo cual es bastante preocupante, sobre
todo en alumnos que están iniciando un primer semestre de carrera universitaria.
En general evidenciamos una situación análoga a los datos del cuestionario,
los resultados revelan una situación precaria de los alumnos en cuanto al uso de
estrategias de aprendizaje o cognitivas para desarrollar los planteamientos
matemáticos de la prueba; como consecuencia de estos vacíos cognitivos el fracaso
se hizo evidente. Se aprecia claramente que más que señalar debilidades en el uso de
estrategias de aprendizaje se debe destacar la deficiencia en la comprensión de los
conceptos matemáticos fundamentales, es decir, el alumno no aplica la habilidad
cognitiva, no porque la desconozca o ésta no forme parte de sus esquemas mentales,
sino porque sencillamente desconoce los elementos conceptuales del contenido que
se relaciona con los ejercicios o problemas planteados.
178
IV.1.3.2. Análisis y reflexión sobre la valoración de los conocimientos
matemáticos de los alumnos
En las Tablas 4.5 a 4.13 presentamos la información obtenida de las
respuestas de los alumnos a cada una de las preguntas de la prueba de valoración de
aprendizajes, para verificar o diagnosticar sus conocimientos sobre el tema de
sistemas numéricos.
Pregunta n° 1: De la adición en ℚ se puede decir que:
a. ( ) , ,a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ + = +ℚ
b. ( ) , ,a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ − = −ℚ
c. ( ) , , * *a c a c c a
b d b d d b∀ ∈ =ℚ
d. ( ) Se cumple la propiedad del inverso multiplicativo.
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 7 13,21 b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales.
13 24,53
c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación.
25 47,17
d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 7 13,21 e. No contesta. 1 1,89 Total 53 100
Tabla 4.5. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 1.
Pregunta n° 2: El enunciado: , , ,a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
∀ ∈ + + = + +
ℚ significa:
a. ( ) Propiedad asociativa de la multiplicación de números racionales.
b. ( ) Propiedad Asociativa de la adición en Q.
c. ( ) Existencia de Elemento Neutro para la suma en Q.
d. ( ) Existencia de un Inverso Aditivo para todo número racional.
179
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos
a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos 2 3,77
b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales.
10 18,87
c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación.
28 52,83
d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 6 11,32
e. No contesta. 7 13,21
Total 53 100 Tabla 4.6. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 2.
Pregunta n° 3: El m.c.m. entre 120,1400 y 5400 es igual a:
a. ( ) 5400 b. ( ) 10800 c. ( ) 37800 d. ( ) 1400
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores en cálculos aritméticos elementales. 0 0 b. Confusión entre los procedimientos para calcular máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
26 49,06
c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento utilizado en la justificación.
0 0,00
d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. 6 11,32 e. No contesta. 21 39,62 Total 53 100,00
Tabla 4.7. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 3.
Pregunta n° 4:
21
3
− −
es igual a:
a. ( ) 1
9− b. ( )
1
9 c. ( ) 9− d. ( ) 9
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de exponente negativo.
24 45,28
b. Errores en el cálculo de potencias. 3 5,66 c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los signos más (+) y menos (–).
0 0,00
d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis.
4 7,55
e. Responde correctamente. 10 18,87 f. No contesta. 12 22,64 Total 53 100,00
Tabla 4.8. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 4.
180
Pregunta n° 5:
Al efectuar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 2 2 1 2 5 2 3 2 3 2 3 2 2 1 3− − + + − − − − + + − , nos
queda:
a. ( ) 27− b. ( ) 18− c. ( ) 14 d. ( ) 54−
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis.
19 35,85
b. Uso del procedimiento correcto pero persisten errores en los cálculos aritméticos.
5 9,43
c. Contesta correctamente. 9 16,98 d. No contesta. 20 37,74 Total 53 100,00
Tabla 4.9. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 5.
Parte II: Simplificar las expresiones siguientes:
Pregunta n° 6:
1 5 1 2 3 2 15 54 2 4 2 4 3 5
3 1 2 8 1 5 14 3 4 8 4 2 4 2 4
=+ − + +
− + + −
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos
a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente para simplificar fracciones.
5 9,43
b. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar fracciones.
0 0,00
c. Errores al efectuar operaciones combinadas de adición, sustracción, producto y división de fracciones en general.
25 47,17
d. Contesta correctamente. 1 1,89 e. No contesta. 22 41,51 Total 53 100,00
4.10. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 6.
Pregunta n° 7:
( )
22 6 2 3
3 42
4 4 1 1
3 3 2 3
1 33
2 4
−− −
−−
=
181
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores al efectuar operaciones de potenciación de fracciones en general.
27 50,94
b. Contesta correctamente. 0,00 c. Procedimiento correcto con errores en cálculos aritméticos elementales.
9 16,98
d. No contesta. 17 32,08 Total 53 100,00
Tabla 4.11. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 7.
Pregunta n° 8:
Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º 50 litros en 5 minutos; el 2º 91 litros en 7
minutos y el 3º 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5
minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vació el estanque y abierto los
desagües se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál
es su capacidad?
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Organiza la información de problema. 2 3,77 b. Utiliza estrategias originales 0 c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 e. Verifica el proceso de resolución 0 f. Contesta correctamente. 0 g. No contesta. 53 100 Total 53 100,00
Tabla 4.12. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 8.
Pregunta n° 9:
En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha lámina. Si el
pedazo que queda pesa 24,2 Kg., ¿cuál es el peso del trozo cortado?
Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Organiza la información de problema. 2 3,77 b. Utiliza estrategias originales 0 c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 e. Verifica el proceso de resolución 0 f. Contesta correctamente. 0 g. No contesta. 53 100 Total 53 100 %
Tabla 4.13. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 9.
182
En las preguntas 1 y 2 verificamos la comprensión de las propiedades del
sistema de los números racionales a través de la utilización e interpretación del
lenguaje matemático formal para confirmar este aprendizaje de una manera más
precisa por parte de los alumnos.
Lo más significativo es que el mayor porcentaje de alumnos que responden
correctamente no logran justificar de manera coherente las respuestas, lo cual nos
indica que existen dificultades en la comprensión del lenguaje simbólico matemático.
La pregunta número 3 se formuló con el propósito de valorar la comprensión
del concepto de mínimo común múltiplo entre dos o más números y sus métodos
para determinarlo, puesto que este aprendizaje es fundamental en la continuación y
desarrollo de operaciones dentro de los sistemas numéricos. Principalmente se
pretende valorar el procedimiento de la descomposición en factores primos como
método fundamental.
Aunque ningún estudiante cometió errores básicos en los cálculos aritméticos,
el 49,06% tiende a confundir el método para determinar el mínimo común múltiplo
con el utilizado para calcular el máximo común divisor, lo que se resume en una
debilidad considerable en este aprendizaje matemático.
El siguiente ejercicio propuesto lo planteamos con la finalidad de valorar el
grado de comprensión que tienen los alumnos sobre el concepto de potenciación y de
sus propiedades, y muy específicamente de las potencias dentro del sistema de los
números racionales cuyos exponentes son enteros negativos.
De acuerdo a las respuestas observadas y valoradas, un significativo 45,28%
de los alumnos no han logrado comprender el concepto de exponente negativo en una
potencia; 5,66% tiene comprensión de las operaciones que se aplican en este tipo de
potencias, sin embargo, cometen errores básicos en el cálculo aritmético. De igual
forma 7,55% de los estudiantes cometen errores en la interpretación de los signos de
agrupación, en este caso el uso de los paréntesis, pero ningún alumno presentó
problemas con las leyes de los signos + (más) y − (menos).
Esta tendencia se sigue observando en las operaciones combinadas con
números enteros, donde el 35,85% del grupo cometió errores en la interpretación de
los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis, lo cual indica que no existe
por parte del alumno un aprendizaje del uso e interpretación correcta de estos
símbolos matemáticos.
183
En la segunda parte de la prueba de valoración de aprendizajes, se colocaron
ejercicios más complejos para obtener información sobre el proceso y estrategias que
siguen los alumnos para resolver operaciones combinadas en el conjunto de los
números racionales. En la pregunta 6, se ha propuesto la adición, sustracción,
producto y división con sus respectivos signos de agrupación, lo que nos permitió
tener una visión más global en la valoración de los aprendizajes matemáticos de los
alumnos del grupo.
Los datos obtenidos en la revisión de las respuestas obtenidas advierten de un
serio problema en el desarrollo de este tipo de ejercicios, puesto que sólo un 1,89%,
que representa un estudiante, logró resolver el ejercicio con un 100% de efectividad,
mientras que un 9,43% desconoce por completo conceptos tan básicos como el de las
fracciones equivalentes; sin embargo, no se observaron dificultades en el cálculo del
mínimo común múltiplo en ningún alumno, esto se debió quizás a que se trataba de
números pequeños.
Una considerable parte de los alumnos de la muestra, que representa el
47,17%, intentaron resolver el ejercicio pero tuvieron dificultades para efectuar las
operaciones combinadas en general, es decir, no discriminan entre los métodos para
sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones y, finalmente, el 41,51% de los
estudiantes no contestaron al planteamiento formulado en esta pregunta, es decir, no
se observó ningún esfuerzo en la resolución del ejercicio propuesto.
Las dificultades siguen observándose en el séptimo ejercicio, el cual también
consistió en la resolución de operaciones combinadas de potenciación con números
racionales. Los resultados reflejan significativas y serias dificultades de los alumnos
en este tipo de operaciones, el 50,94% de los estudiantes, a pesar de hacer intentos de
resolver el ejercicio propuesto, al aplicar las propiedades cometen errores en el
cálculo de potencias y transforman la resolución del ejercicio en expresiones más
complicadas que la propuesta inicialmente; se puede apreciar que ningún alumno
respondió correctamente esta pregunta.
En las dos últimas preguntas relacionadas con la resolución de problemas de
aplicación evidenciamos la situación crítica que tienen los alumnos con respecto a las
estrategias que aplican para resolver problemas, prácticamente no existen; sólo dos
de los alumnos intentaron ordenar la información para buscar la solución de ambos
problemas, el resto dejó esta parte en blanco.
184
En la Tabla 4.14. hemos agrupado los resultados obtenidos por los alumnos
en la prueba de valoración de aprendizajes en las diferentes categorías de
rendimiento académico según el reglamento de evaluación de la universidad.
Categorías A*
Excelente B
Bueno C
Regular D
Deficiente E
Malo F
Pésimo Total
N° alumnos 1 1 2 1 7 41 53
% alumnos 1,89 1,89 3,77 1,89 13,21 77,36 100
* Categorías de evaluación utilizadas en el Reglamento de Alumnos de la UNELLEZ.
Tabla 4.14. Resultados finales de la prueba de valoración de aprendizajes.
En las categoría A se ubicó el 1,89% con un logro excelente; en la B el 1,89%
obtuvo un buen rendimiento y en la C el 3,77% logró de manera regular los
aprendizajes; en estas categorías se concentran los alumnos que han logrado los
objetivos de aprendizaje, que al sumarlos representan apenas un 7,55%, lo cual
representa una situación crítica en el dominio de los conocimientos matemáticos
previos de los alumnos en la Unidad de Sistemas Numéricos, si observamos las
categorías D, E y F en donde se concentra el “grupo débil”, es decir el de menor
rendimiento, en la categoría ‘Deficiente’ se ubica el 1,89%; en la E de rendimiento
malo, el 13,21% y la mayor parte de ellos representada por el 77,36% se ubica en la
última categoría F de rendimiento pésimo, lo que nos indica que una significativa
mayoría no logró el aprendizaje por parte de este grupo de alumnos y alumnas.
Cabe destacar y mencionar, en primer lugar que estos aspectos teórico-
prácticos que se contemplaron en la prueba de valoración, forman parte de los
programas de estudio del área de Matemática en la Escuela Básica, es decir que son
conocimientos cuyo aprendizaje deberían haberse logrado en esos niveles de
Educación por los alumnos, en segundo lugar los alumnos habían recibido
instrucción durante las sesiones de clase en el aula sobre estos temas, sin embargo
estos fueron explicados de acuerdo a una secuencia didáctica tradicional y
conductista caracteriza por un procedimiento de enseñanza expositivo, transmisión
verbal y en el apoyo de textos por parte de la profesora responsable de la asignatura;
además no se aplicaron ninguna de las estrategias de aprendizaje para organizar la
información y resolver problemas, por consiguiente se constata el deficiente
desempeño de los alumnos tanto en los aprendizajes como en las estrategias, por lo
que, un 92,46% no logró los aprendizajes matemáticos contemplados en la unidad de
‘sistemas numéricos’ del programa de estudio.
185
Estos resultados señalan que en los procesos de enseñanza-aprendizaje
ejecutados en las sesiones de clase deben reorientarse en cada una de las dimensiones
estudiadas desde el punto de vista cognitivo; el proceso didáctico debe reformularse
con diferentes actividades que contribuyan a desarrollar los procesos cognitivos,
desde los más sencillos como el de la organización de la información hasta los más
complejos utilizados en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos. La
incorporación y puesta en práctica de estas estrategias de aprendizaje consolidarán en
gran medida el pensamiento lógico-formal matemático tan esencial en el logro de los
objetivos de aprendizaje contemplados en los programas de estudio del currículo de
estudio.
186
IV.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO
En esta sección se presentarán los resultados obtenidos de la dimensión clima
social del aula y actitud del alumno, producto de la aplicación del cuestionario de
opinión para determinar el grado de actitud del alumno con relación al proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática General de la carrera de
Educación Integral, de las transcripciones de las grabaciones efectuadas en las
sesiones de clase observadas y de las entrevistas semi-estructuradas aplicadas al
grupo de alumnos. Los resultados los dividimos según los propósitos de cada uno de
los instrumentos de la forma siguiente:
IV.2.1. Resultados del cuestionario de opinión para determinar el grado
de actitud del alumno sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
asignatura matemática general de la carrera de educación integral
En el presente apartado presentamos y analizamos los resultados obtenidos de
los alumnos sobre su grado de actitud hacia la asignatura Matemática General del
Pensum de estudio de la carrera Educación Mención Integral y al proceso de
enseñanza, aprendizaje y evaluación que se desarrolla en el aula.
Para la descripción, análisis e interpretación de los resultados se ha efectuado
la clasificación que se presenta en la Tabla 4.15., atendiendo a los indicadores y
criterios de las dimensiones en estudio que están contenidos en la Tabla de
especificaciones 3.4. del Capítulo 3 de dicho instrumento de recolección de
información.
Acuerdo Medi.
acuerdo Sin
opinión Med.
Desac. Desac.
Nº Indicadores Ítems F % F % F % F % F %
1 Impulsividad para realizar asignaciones
7 14 12 24 25 50 3 6 3 6
2 Impulsividad Rapidez en la
realización de tareas Matemáticas
4 8 19 38 5 10 7 14 15 30
3 Responsabilidad Evadir la responsabilidad 6 12 8 16 2 4 7 14 27 54
4 Ausencia de la capacidad de razonamiento
17 34 13 26 2 4 8 16 10 20
5
Capacidad de razonamiento Dificultad en asignaciones
complejas 4 8 14 28 8 16 16 32 8 16
6 Complejo de inutilidad al resolver problemas
2 4 11 22 8 16 10 20 19 38
7 Miedo al equivocarse 18 36 9 18 3 6 5 10 15 30
8 Temor al ser evaluado 9 18 18 36 4 8 8 16 11 22
9
Temor al fracaso
Temor hacia el profesor 8 16 9 18 3 6 5 10 25 50
187
Acuerdo Medi.
acuerdo Sin
opinión Med.
Desac. Desac.
Nº Indicadores Ítems F % F % F % F % F %
10 Rechazo Rechazo hacia las actividades matemáticas
4 8 2 4 12 24 10 20 22 44
11 Decisión de tener éxito en Matemática
36 72 10 20 2 4 2 4 0
12 Matemática como reto para aprender
36 72 8 16 4 8 1 2 1 2
13 Satisfacción personal y resolución de problemas
41 82 7 14 2 4 0 0
14
Capacidad de logro
Profesor como estimulador del logro de los alumnos
10 20 11 22 16 32 7 14 6 12
15 Iniciativa Iniciativa en el trabajo en equipo en las tareas matemáticas
17 34 13 26 8 16 4 8 8 16
16 Serenidad en la resolución de problemas
37 74 11 22 1 2 1 2 0 0
17 Autocontrol
Preparación y miedo a las evaluaciones
43 86 7 14 0 0 0 0 0 0
18 Constancia Perseverancia para obtener la solución de un problema
19 38 19 38 8 16 3 6 1 2
19 Disciplina Necesidad de ajustarse a un horario para estudiar Matemática
19 38 12 24 8 16 4 8 7 14
20 Matemáticas como cálculos y reglas para memorizar
15 30 19 38 5 10 3 6 8 16
21 Memorización
El estudiante como receptor de como cimientos matemáticos
34 68 11 22 2 4 2 4 1 2
22 Procedimiento en la
resolución de problemas Alto nivel de complejidad
5 10 23 46 5 10 9 18 8 16
23 Valoración hacia los
demás Las matemáticas y los genios
3 6 2 4 2 4 9 18 34 68
24 Enseñan a pensar y a razonar 31 62 11 22 4 8 3 6 1 2
25 Utilidad de la matemática Utilidad en su futura labor
profesional 31 62 10 20 6 12 2 4 1 2
26 Esfuerzo propio Esfuerzo personal como elemento principal en el éxito en las matemáticas
30 60 11 22 1 2 4 8 4 8
27 Exigencia y pánico 13 26 13 26 10 20 3 6 11 22
28 Rigurosidad en los estilos de enseñar de los profesores
14 28 14 28 8 16 5 10 9 18
29 Posición complaciente de los profesores
11 22 12 24 13 26 5 10 9 18
30
Exigencia del profesor
Calidad de enseñanza y exigencia del aprendizaje efectivo
27 54 17 34 6 12 0 0
31 Profesores y la importancia que le dan a la participación del alumno.
36 72 10 20 1 2 2 4 1 2
32
Nivel de participación Estímulo del alumno y su participación en clase
12 24 14 28 9 18 9 18 6 12
33 Lenguaje matemático Dificultad en la comprensión del lenguaje matemático
3 6 19 38 9 18 3 6 16 32
34 Fomento del compromiso del estudiante por parte del profesor
15 30 18 36 15 30 1 2 1 2
35
Nivel de compromiso Disposición al trabajo en equipo
29 58 10 20 3 6 4 8 4 8
36 Comunicación profesor-
alumno Relación amigable sin discriminación
28 56 10 20 7 14 4 8 1 2
37 Clima de confianza profesor-alumno
Confianza en el aula para generar intercambio de preguntas y respuestas
36 72 11 22 0 2 4 1 2
38 Dominio de los contenidos Manejo adecuado de la
26 52 10 20 14 28 0 0
188
Acuerdo Medi.
acuerdo Sin
opinión Med.
Desac. Desac.
Nº Indicadores Ítems F % F % F % F % F %
información
39 Organización clara y comprensible de la información escrita en el pizarrón
29 58 15 30 3 6 2 4 1 2
40
Nivel de organización de la información en las clases de Matemática y otros Sub-proyectos
10 20 17 34 15 30 4 8 4 8
41 Seguridad del profesor en el dominio de contenidos
39 78 4 8 5 10 1 2 1 2
42
matemáticos por el profesor
Utilización de ejemplos sencillos para el desarrollo de las clases
24 48 17 34 6 12 1 2 2 4
43 Utilización de recursos
para el aprendizaje. Uso de láminas, diapositivas, diagramas, talleres
1 2 5 10 15 30 6 12 23 46
44 Estructuración de los procedimientos en la
resolución de problemas
Descripción de propiedades matemáticas 17 34 20 40 10 20 3 6 0
45 Información de calificaciones. 9 18 16 32 19 38 4 8 2 4
46 Frecuencia en la aplicación de evaluaciones individuales
29 58 6 12 9 18 2 4 4 8
47
Proceso de evaluación
Evaluaciones grupales 27 54 12 24 3 6 5 10
48 Asesoría académica del
profesor Cantidad de asesoría que recibe el alumno
15 30 15 30 12 24 7 14 1 2
49 Procedimiento de
enseñanza del profesor. Deficiencia en proceso de enseñanza los profesores
10 20 5 10 14 28 11 22 10 20
50 Nivel de compromiso del
profesor
Actitud positiva y de compromiso del profesor ante la formación de sus alumnos
32 64 10 20 4 8 4 8 0
Total de alumnos: 50
Tabla 4.15. Resultados obtenidos de las contestaciones al cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática General de la carrera de Educación Integral Anexo 3).
En el indicador ‘impulsividad’ se puede apreciar que la mayoría de los
estudiantes presentan ansiedad en el momento de desarrollar tareas matemáticas, las
respuestas muestran claramente dos comportamientos muy comunes, impulsividad y
rapidez, y el espacio que deben dedicar para razonar y aplicar estrategias del
pensamiento lógico-formal, pocas veces es utilizado.
Sin embargo, en el indicador de ‘responsabilidad’, la mayoría de los alumnos
expresaron su desacuerdo con la evasión de responsabilidad como su característica
general ante el desempeño de tareas matemáticas, lo que refleja una actitud de
aceptación hacia los contenidos de esta asignatura.
Con relación a la utilización de ‘capacidad de razonamiento matemático’, la
gran parte de alumnos está de acuerdo con que el no utilizar al máximo esta habilidad
matemática depende sólo de ellos y no de factores externos, lo que nos puede indicar
que confían en sí mismos; también una mayoría expresa su desacuerdo con tener
dificultades para iniciar ejercicios y problemas complejos de Matemática; es
189
interesante observar una contradicción entre el indicador ‘impulsividad’ con el de
‘responsabilidad’, utilización de razonamiento matemático y dificultades con tareas
matemáticas complejas, los resultados de los tres últimos indican una actitud positiva
de los alumnos hacia las matemáticas, pero los resultados del primero indican todo lo
contrario.
Con relación al ‘temor al fracaso’ que tienen los estudiantes ante el
desempeño en matemáticas, la mayoría (un 58%) estuvo en desacuerdo en sentir
complejo de inutilidad para resolver problemas; por el contrario un 54%, manifestó
tener pánico para cometer errores al intervenir en clase, aunque a esta conducta se la
pueda considerar normal dentro del comportamiento humano. También la mayoría de
los alumnos encuestados opinó que sentían temor al ser evaluados en Matemática, sin
embargo, opinaron todo lo contrario respecto al profesor de la asignatura, donde un
60% expresa tener confianza ante su profesor para desenvolverse académicamente en
el aula durante la clase.
Este fenómeno se confirma al observar los resultados del indicador ‘rechazo
hacia las tareas matemáticas’; el 64% de los estudiantes están en desacuerdo con
tener rechazo hacia las tareas o asignaciones que el profesor de Matemática
distribuye durante la clase.
La actitud positiva hacia las matemáticas se sigue observando en los
resultados obtenidos por los alumnos en el indicador ‘capacidad de logro’; una
mayoría significativa, esto es un 92%, expresa su acuerdo en considerar que el
esfuerzo y dedicación personal son claves para obtener éxito en las matemáticas,
igualmente un 88% estuvo de acuerdo en considerar los problemas y ejercicios
matemáticos como un reto para aprender más sobre esta ciencia y un 96% manifiesta
sentir satisfacción personal cuando puede resolver problemas.
En los resultados obtenidos en el indicador ‘iniciativa’, se puede apreciar una
alta actitud hacia el trabajo en equipo y toma de decisiones para iniciar actividades
de la asignatura. Al observar los resultados en el indicador ‘autocontrol’, se verifica
otra contradicción, un 96% de los alumnos, casi el total, manifiestan que mantienen
la serenidad y la calma cuando resuelven ejercicios y problemas, conducta totalmente
contraria según los resultados arrojados en los ítems del indicador ‘impulsividad’.
De acuerdo a los resultados obtenidos en el indicador ‘constancia’, la
perseverancia es una característica de la mayoría de los alumnos encuestados; un
190
72% de los alumnos dicen estar de acuerdo con ser perseverantes para obtener
respuestas en ejercicios y problemas de Matemática.
En interesante apreciar que también la mayoría de los alumnos encuestados
manifiestan otra demostración de actitud positiva hacia las matemáticas, un 86% está
en desacuerdo con que las matemáticas sólo la puedan dominar personas con
características intelectuales superiores a las del promedio, este indicador brinda una
clara apreciación y aceptación por parte del estudiante de los contenidos que se
enseñan en esta asignatura.
Los resultados del cuestionario también evidencian que los estudiantes en su
mayoría dan una gran importancia a las matemáticas como una asignatura de mucha
utilidad en su futura labor profesional y para el desarrollo de su razonamiento y
pensamiento en general. De manera semejante consideran que el esfuerzo personal es
fundamental para obtener éxito en las matemáticas, independientemente del estilo de
enseñanza que utilicen los profesores de esta asignatura.
Según el indicador ‘exigencia académica’ del profesor, una considerable
mayoría opina que existe un íntima relación entre la exigencia de un aprendizaje
efectivo del profesor para con el alumno, y su efectividad en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en las matemáticas, es decir, mientras mayor es esta
exigencia, mejor es el estilo de enseñanza del docente. A pesar de que los estudiantes
opinaron que esa rigurosidad por parte del profesor les causa un sentimiento de
temor, también piensan que es necesaria para lograr un aprendizaje significativo.
Otro indicador que también confirma una actitud positiva del estudiante hacia
la Matemática, es que un alto porcentaje de encuestados estuvieron de acuerdo y
medianamente de acuerdo al manifestar que los profesores de esta asignatura
incentivan y estimulan a sus estudiantes a participar en las clases.
Con relación a los indicadores, ‘nivel de compromiso’, ‘comunicación
profesor-alumno’, ‘clima de confianza profesor-alumno’, la mayoría de los
estudiantes encuestados estuvieron de acuerdo con la existencia de estos aspectos en
el proceso de enseñanza-aprendizaje que desarrollan los profesores de Matemática
que han tenido. Así mismo, manifiestan su acuerdo con que el profesor de la
asignatura Matemática General tiene un buen dominio de los contenidos, una
organización adecuada de la información que presenta en la pizarra durante las clases
y seguridad en el estilo de enseñanza que aplica en esta asignatura, aunque no utilice
recursos para el aprendizaje no convencionales como láminas, vídeos, diapositivas o
191
talleres entre otros. Además los alumnos opinaron que el profesor explica y describe
adecuadamente las propiedades matemáticas que utiliza en la resolución de ejercicios
y problemas.
En el indicador relacionado al ‘proceso de evaluación’, es interesante
observar como un 78% de los estudiantes está a favor de las evaluaciones grupales, a
pesar de que los resultados de los indicadores anteriores revelaron que los alumnos
tienen seguridad y confianza en si mismos; contradictoriamente también necesitan
estar acompañados de otras personas para afrontar las evaluaciones.
Los estudiantes al opinar sobre la actuación de los profesores de Matemática
en el proceso de enseñanza, muy pocos expresaron su acuerdo con la deficiencia que
tienen los docentes en sus estilos de enseñanza, y una mayoría considerable
manifestó estar recibiendo ayuda y ‘asesoría académica de su profesor’ y que este
posee una actitud positiva y de compromiso ante la formación de sus alumnos.
En líneas generales se puede decir que los resultados obtenidos en este
diagnóstico efectuado para determinar el grado de actitud de los alumnos cursantes
de la asignatura Matemática General, revelan una actitud positiva y de aceptación de
los estudiantes de la carrera Educación mención Integral hacia las matemáticas; este
fenómeno tal vez se deba a la gran expectativa que tiene el alumno de nuevo ingreso
sobre el trabajo académico que le corresponde realizar como universitario. Es de
hacer notar que esta situación es contradictoria con la percepción que tiene la
mayoría de las personas sobre la Matemática, ciencia que siempre es rechazada por
considerarla una asignatura rigurosa, abstracta y dura de aprender.
De acuerdo al análisis efectuado de los resultados del cuestionario de opinión-
actitud hacia las matemáticas, se puede decir en general, que el grupo de estudiantes
encuestados tiene un grado de actitud positiva hacia las diferentes actividades que se
desarrollan en las clases de Matemática; sin embargo, hubo indicadores en donde la
actitud arrojó un saldo negativo: conducta impulsiva, capacidad de razonamiento,
temor al fracaso, procedimiento en la resolución de problemas, dominio del lenguaje
matemático, utilización de recursos no convencionales para el aprendizaje por parte
del profesor e, incluso el procedimiento de enseñanza que utiliza el profesor es visto
por los alumnos con una actitud parcialmente positiva. Para ilustrar mejor estos
resultados se ha construido la Tabla 4.16.
192
ACTITUD INDICADOR
POSITIVA NEGATIVA Impulsividad X
Responsabilidad X Razonamiento X
Temor al fracaso X Rechazo X
Cap. De logro X Iniciativa X
Auto-control X Constancia X Disciplina X Memoria X
Procedimiento en la resolución de problemas X Valoración hacia los demás X Utilidad de las matemáticas X
Esfuerzo propio X Exigencia del profesor X
Participación X Lenguaje matemático X
Compromiso X Comunicación X
Dominio de contenidos por el profesor X Recursos para el aprendizaje X
Evaluación X Asesoría X
Procedimiento de enseñanza X Tabla 4.16. Presencia-ausencia de indicadores que determinan la actitud de los alumnos con relación
al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Resultados del cuestionario de opinión-actitud.
Como se puede apreciar, 16 de los 25 indicadores obtuvieron inclinación
positiva de la actitud de los alumnos encuestados, esto representa un 64% del total de
indicadores evaluados por el instrumento.
IV.2.2. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase
El proceso de observación que seguimos en las sesiones de clase nos
proporcionó datos relevantes en cuanto a la descripción del grado de actitud de los
alumnos hacia las matemáticas y hacia el proceso didáctico ejecutado por el docente;
además, nos proporcionó información adicional para describir el estado actual que
existe en la comunicación y participación general de los alumnos, como elementos
descriptores del clima social del aula; es decir, pudimos verificar los hechos que
realmente acontecen en el aula de clase, actitudes y expresiones sinceras de los
actores del caso de estudio seleccionado.
193
En total logramos participar en la observación de tres sesiones de clase; en las
dos primeras se desarrollaron contenidos sobre el sistema de los números racionales,
y en la tercera sesión, se trataron aspectos sobre el conjunto de los números
irracionales, aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento, hecho
o situación. Hemos destacado lo más relevante con el propósito de dirigirlo hacia los
objetivos referenciados en nuestra investigación1.
Sesión Nº 1: Lunes, 05-06-06
En esta sesión pudimos observar que entre la profesora y el grupo de alumnos
ya existía un importante grado de confianza gracias a las sesiones de clase que se
habían desarrollado anteriormente durante cinco semanas, lo que permitió un
acercamiento entre los actores del proceso didáctico de la asignatura; dentro del
grupo ya existía una interacción de ideas y un intercambio fluido de comunicación,
lo que implicó un beneficio para nosotros, y nos garantizó un fácil acceso al contexto
de estudio para obtener la información oportuna sobre el clima social del aula.
Logramos apreciar que en el desarrollo de la clase la información matemática
que se transmitía se desprendía el carácter formalista que generalmente se aplica en
la enseñanza de las matemáticas, es decir, la profesora utiliza un lenguaje más
cotidiano para comunicar la información, pero la clase es unidireccional la mayor
parte del tiempo; sólo se apreciaba el discurso de la profesora durante toda la clase
para transmitir la información; sin embargo, existe confianza dentro del aula y los
alumnos no se sienten cohibidos al participar y formular las preguntas necesarias
para aclarar dudas. A continuación presentamos la transcripción de esta sesión de
clase.
Prof: ¿Cuál es el conjunto N?
Alumnos: Los naturales; 0,1,2,3,...
Prof: ¿cuál es el conjunto Z?
Observador: Los alumnos no responden, por lo que la profesora dibuja un diagrama de
Venn para explicar la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos N, Z y Q.
Alumno: ¿Dónde se ubican las expresiones decimales ilimitadas periódicas?
Prof: Ahora vamos a explicar eso.
Observador: La profesora inicia la explicación algo intuitiva de expresiones que se
consideran decimales ilimitadas periódicas; luego se señalar algunos ejemplos procede a
explicar el concepto y ejemplos de expresiones decimales mixtas.
Prof: Las expresiones decimales mixtas están compuestas por un anteperíodo, es decir
decimales que están ubicados antes de los valores que se repiten.
1 Cfr. Apartado I.2. Capítulo I.
194
Observador: En este momento la clase es interrumpida por un grupo de alumnos que llegan
tarde a la clase.
Prof: Acordamos iniciar las clases a las 8:30, no vuelvan a interrumpir la clase.
Prof: ¿El conjunto Q está formado por?; ¿con qué letra se simbolizan los racionales?
Alumnos: La letra Q.
Prof: ¿Qué operaciones se efectúan en el conjunto Q?
Alumnos: Adición, sustracción, multiplicación, división.
Un alumno intervine: Las operaciones son las mismas solo que cambian a fracciones.
Prof: Ok, vamos a resolver sumas o adiciones con números fraccionarios. Existen dos
maneras de sumar fracciones:
* Podemos aplicar esta “formulita”, a c ad bc
b d bd
++ = , multiplicamos y luego
simplificamos la fracción resultante.
Observador: La profesora desarrolla ejemplos para ilustrar el procedimiento.
Prof: Prefiero aplicar el método del mínimo común denominador, porque tiene la ventaja de
que el resultado queda simplificado directamente, además se evitan operaciones largas de
multiplicación y adición.
Observador: La profesora explica este último procedimiento utilizando ejemplos para ello e
insiste en recomendarlo a los alumnos. Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 8 6
3 4+ =
Prof: vamos a aplicar mínimo común denominador (m.c.d).
Alumnos: profesora nos resultó igual por ambos métodos y no necesitamos simplificar al
final.
Prof: Lo que sucede es que no seleccioné el ejemplo adecuado; vamos a resolver otro.
Observador: Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 4 3
9 12+ =
Prof: ¿El m.c.d es igual a?
Observador: Los alumnos calculan, algunos quedan observando la pizarra y parecen no
entender lo que la profesora ha preguntado.
Alumnos: Profesora ¿se seleccionan los comunes y no comunes con su mayor exponente?
Prof: Sí, ¿Por qué están confundidos?, ya lo habíamos explicado.
Observador: En este momento los alumnos tienen problemas para descomponer en factores
primos a los denominadores de las fracciones, por lo que la profesora interviene
nuevamente.
Prof: ¿Cuándo un número es divisible por 2?, ¿cuándo un número es divisible por 3?,
¿cuándo un número es divisible por 5?
Alumno: Estas son las reglas de la divisibilidad.
Alumno: ¿Cuándo un número es divisible por 3?
Observador: La profesora explica con un ejemplo y continúa aplicando la técnica de la
pregunta- respuesta para guiar a los alumnos en el cálculo preciso del m.c.d.
Alumno: ¡Es 36! Profesora.
Prof: Muy bien.
195
Observador: La profesora explica y escribe en la pizarra: 4.4 3.3
36
+ = , hemos dividido el
m.c.d. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador
respectivamente.
Prof: Multiplicamos, sumamos y el resultado es 16 9 25
36 36
+ = . Ahora vamos a resolverlo
con el otro método.
Observador: La profesora escribe y explica las operaciones y procedimiento siguiente:
4 3 4.12 3.9 48 27 75 25
9 12 9.12 108 108 36
+ ++ = = = =
Prof: Observen que al final se necesitó multiplicar y sumar cifras más elevadas y simplificar
75
108, para obtener el resultado.
Se observa un rechazo de los alumnos por el procedimiento de resolución
para sumar y restar números fraccionarios con diferentes denominadores en el que se
calcula el mínimo común múltiplo(m.c.m.) de los denominadores, esto se debe a la
dificultad que tiene la mayoría para determinarlo, es decir, existen vacíos cognitivos
en el concepto del m.c.m. y el método para calcularlo, lo que genera la actitud
antagónica y persisten en apoyarse en el método alternativo que sólo utiliza la
multiplicación, al que muchos de los alumnos, llaman el “método de la cruz”. Esto
nos indicó que a pesar de que la clase se centró en el discurso docente, los alumnos
no se cohíben al expresar sus inconformidades y sugerir sobre los procedimientos
para facilitarles la comprensión de los contenidos matemáticos.
Observador: La profesora rápidamente cambia de sección en el contenido, y formula la
pregunta siguiente:
Prof: ¿Cuáles son las propiedades de la adición?
Observador: Los alumnos responden con algunas dudas y la profesora explica brevemente y
algo rápido.
Prof: ¿Qué significa inverso aditivo?
Alumno: Que todo número tiene su inverso.
Observador: La profesora explica utilizando el formalismo matemático esta propiedad y
escribe en el pizarrón: / 0a a a a
b b b b
∀ ∃− + − =
Prof: Por ejemplo el inverso 7
3es
7
3−
Prof: ¿El inverso de 4
5− es?
Alumno: 4
5
Alumno: Es decir, ¿qué el inverso es la misma fracción pero de signo contrario?
196
Prof: Sí, si lo quieres resumir de esa manera.
Prof: Vamos a pasar rápidamente a las operaciones de multiplicación y división con
números fraccionarios.
Observador: La profesora explica brevemente el procedimiento de la multiplicación
utilizando ejemplos sencillos y señala el cuidado que se debe tener en los signos al
multiplicarlos.
Prof: Con respecto a la división, ¿cómo se efectúa?
Alumnos: Se aplica la “doble c”
Observador: La profesora siguiendo la intervención de algunos de sus alumnos desarrolla
dos procedimientos para dividir fracciones, utilizando ejemplos sencillos. Luego pasa a
repasar las propiedades de la multiplicación.
Prof: ¿Quién recuerda las propiedades de la multiplicación?
Alumnos: Conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva e inverso multiplicativo.
Observador: La profesora sigue preguntando y explicando de manera rápida las
propiedades de la multiplicación de números racionales, luego señala una actividad para
desarrollarla en el aula y asigna una serie de ejercicios. Mientras escribe en la pizarra,
algunos alumnos hablan y salen del aula.
Prof: ¡Necesito que pasen al pizarrón tres alumnos!
Observador: Sólo uno levanta la mano; la profesora selecciona dos más, éstos lo aceptan de
manera obligada. La profesora dirige la actividad formulando preguntas y aclarando las
dudas de los alumnos, podríamos decir que utiliza el procedimiento de enseñanza socrático
para ello.
En la sesión de clase se pudo observar como característica principal la
preocupación que manifiesta la profesora por desarrollar todos los aspectos que
integran el contenido para cumplir el 100% de la programación planificada; las
explicaciones de cada término, concepto, definición, operaciones, algoritmos,
propiedades, ejercicios y problemas son tratados de manera acelerada, por lo que no
establece un diálogo entre ella y los alumnos sobre aspectos de índole personal como
la motivación, los logros alcanzados, corrección de los errores de sus alumnos, una
atención individualizada y sobre todo, dar oportunidad a los alumnos para que
expresen sus inquietudes sobre el proceso didáctico que efectúa, es decir, prevalece
la importancia de los logros cognitivos, la planificación académica del semestre y el
desarrollo de los contenidos que establece el programa de estudio sobre los
elementos del clima social.
Sesión Nº 2: Lunes, 06-06-06
La profesora mantiene su estilo de enseñanza expositiva e intuitiva, pero sin
prescindir del formalismo matemático; combina ejemplos ilustrativos y ejercicios, y
los alumnos mantienen su nivel de participación a pesar de las dificultades que tienen
para comprender el lenguaje matemático que se escribe en la pizarra.
197
Prof: Ayer vimos operaciones con fracciones, se supone ya han estudiado estos aspectos.
Hoy vamos a trabajar con la potenciación, lo que se debe tener en cuenta son las
propiedades.
Primera propiedad: Todo número elevado a la cero es igual a la unidad
Observador: La profesora escribe en la pizarra la expresión siguiente:
a0=1, ∀ a∈Q aunque no aclara que esta propiedad se aplica siempre y cuando la base sea
diferente de cero, por eso debió escribir 0a∀ ≠ .
Prof: Segunda propiedad: el cero elevado a cualquier potencia es igual a cero, con la
excepción de que el exponente tiene que ser diferente de cero.
Observador: Escribe en la pizarra utilizando el lenguaje matemático respectivo, los alumnos
se limitan a tomar apuntes.
Alumno: ¿Qué pasa si el exponente es una fracción?
Prof: El valor del exponente tiene que ser entero, porque tendríamos potencias con
exponentes fraccionarios que pueden ser números irracionales.
Observador: Llega un grupo de alumnos tarde e interrumpen la clase, sin embargo la
profesora hace caso omiso y continúa con la explicación del tema.
Prof: Toda base elevada a la uno es igual a sí misma, es decir, a1=a, ∀ a∈Q.
Observador: La profesora escribe en la pizarra la siguiente expresión: ( )nxyz = y formula
preguntas a los alumnos.
Prof: ¿Qué es esto?, ¿cómo se desarrolla?
Observador: Los alumnos no responden, la profesora no espera mucho tiempo por las
respuestas y explica.
Prof: Nos queda de la forma siguiente: ( )n n n nxyz x y z= , observen que se multiplican los
exponentes.
Prof: Ahora, si tenemos la expresión m nx x = , ¿cómo nos quedaría el resultado?
¿si tenemos bases iguales y están multiplicando?
Alumnos: Se coloca la misma base y se suman los exponentes, es decir, m nx +.
Prof: vamos con la división. Si tenemos
n
x
y
¿cómo se desarrolla esta potencia?, esto es
igual a
n
n
x
y. ¿Qué sucede si las potencias son de igual base y se dividen?, es decir,
m
n
x
x.
Alumnos: Se coloca la misma base y se restan los exponentes.
Prof: Entonces, ¿cómo lo escribimos?
Alumnos: m
m n
n
xx
x
−=
Prof: Se debe tener en cuenta que el denominador debe ser diferente de cero. ¿Quién
recuerda como se desarrolla una potencia de una potencia?, es una expresión de la forma
( )nmx .
Alumnos: Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, mnx .
198
Prof: Si tengo un número elevado a un entero negativo, esto nos indica que es una fracción,
1 1a
a
− = y 1n
na
a
− = . Si tenemos la expresión
na
b
−
, ¿cómo la desarrollamos?
Alumnos:
nb
a
.
Observador: La profesora explica el procedimiento para demostrar la igualdad
n na b
b a
− =
.
Observador: Los alumnos siguen tomando sus apuntes y no prestan atención a la explicación
del profesor.
Prof: Les recomiendo practicar mucho para dominar este tipo de ejercicios, se necesitan
resolver suficientes, voy a explicar algunos ejemplos y luego les asignaré otros para que los
resuelvan durante la clase.
Observador: La profesora borra la pizarra y escribe dos ejercicios con operaciones
relacionadas a las propiedades de la potenciación.
Alumnos: Profesora, ¡por favor, resuelva el segundo que es el más difícil!
Prof: ¿Por dónde empezamos?
Alumnos: Por los paréntesis.
Prof: ¿Cómo se resuelve el primer paréntesis?, ¿qué propiedad aplicamos?
Observador: Una alumna interviene confusa.
Alumna: ¡No entendí el último paso!
Prof: Esto se eleva también al mínimo exponente, es decir, como si fuera una potencia de
una potencia.
Alumna: ¿Se eliminan cuando tienen signos más y menos?
Prof: ¿Dónde, en el numerador o en el denominador?, si tenemos expresiones iguales en el
numerador y denominador sí. ¿cómo resolvemos arriba en el numerador?.
Alumnos: Se aplica la propiedad del producto de las potencias de igual base.
Observador: Una alumna pasa hasta la pizarra y pregunta.
Alumna: ¿Si lo hago de esta manera, invierto primero el signo menos y luego multiplico?
Prof: Está bien.
Observador: La profesora utiliza la pregunta para explicar al resto del grupo y aclarar las
dudas.
Prof: También podemos resolverlo de esta segunda forma.
Alumnos: No profesora, mejor es la primera forma.
Observador: La profesora explica el segundo procedimiento y una de las alumnas muestra
una actitud de rechazo, al final de la explicación el grupo cambia de opinión, muestran
comprensión del segundo método de resolución y toman notas.
Sesión Nº 3: Lunes, 19-06-06
En este apartado se aprecia claramente cómo el docente lleva la dirección
completa del proceso de enseñanza-aprendizaje. Los alumnos en su mayoría se
limitan a escuchar y a prestar atención a la explicación; el carácter abstracto de los
199
contenidos relativos al conjunto de los números irracionales, exige la comprensión,
interpretación y manipulación del lenguaje formal matemático; como consecuencia
de esta exigencia cognitiva se origina el proceso unidireccional de la clase.
Prof: La clase pasada vimos racionalización y definición de radicales semejantes, ¿qué
dijimos que era un radical semejante?
Observador: Un alumno responde con dudas.
Alumnos: Son los que tienen igual índice y cantidad subradical.
Prof: Para sumar radicales semejantes ¿qué hay que hacer?
Observador: Los alumnos no responden.
Prof: ¿Cómo se le denomina al proceso de descomposición de radicales?
Observador: Los alumnos siguen sin responder.
Prof: Hoy vamos a continuar con la clase de radicales, desarrollaremos los temas de
multiplicación, división y potenciación de radicales.
Observador: Los alumnos manifiestan desmotivación por el tema y preguntan por los
resultados de la última evaluación.
Prof: Al final de la clase podemos hablar de las calificaciones. Vamos a desarrollar cinco
propiedades para efectuar las operaciones de multiplicación, división, potenciación,
potencias con exponente fraccionario y radicación de radicales. ¿Qué procedimiento se
aplica cuando se multiplican radicales de igual índice?
Observador: Los alumnos responden con dudas y la profesora escribe la siguiente expresión:
n n n na b c abc= .
Prof: Se coloca el mismo índice de la raíz y se multiplican los radicandos o cantidades
subradicales. Ahora ¿cómo se resuelve si las raíces tienen diferentes índices?
Observador: La profesora explica el procedimiento ante la falta de participación de los
estudiantes.
Prof: La tercera propiedad se utiliza para resolver potencia de radicales. La expresión
( )mn a ¿cómo se efectúa?
Observador: Los alumnos responden con errores y la profesora retoma la explicación.
Prof: Si tenemos, por ejemplo: ( )xn ma , se resuelve de la forma siguiente:
( )xn nm mxa a= , se coloca el mismo índice y la cantidad subradical se eleva a la potencia
dada.
Prof: La cuarta propiedad tienen que ver con la equivalencia entre un radical y su potencia
con exponente fraccionario, es decir, que
1n na a= .
Observador: La profesora continúa explicando y utiliza algunos ejemplos sencillos. Luego
pasa a desarrollar la quinta propiedad.
Prof: Cuando tenemos la expresión m n a , ¿cómo la efectuamos?
Observador: La profesora espera unos segundos y ante la falta de respuestas de los alumnos
decide explicar, luego de terminar con esta sección de contenido coloca ejercicios para
resolverlos durante la clase y motiva a sus alumnos para trabajar en conjunto.
200
Prof: ¿Ustedes son capaces de resolverlo?
Alumnos: ¡No!
Observador: La profesora resuelve y explica cada uno de los ejercicios propuestos.
Prof: ¿El resultado queda hasta aquí?
Alumnos: No, se tiene que simplificar el radical.
Prof: ¿Está claro?
Alumnos: Sí.
La comunicación de la información es unidireccional, las clases se centran en
el discurso docente y en su procedimiento expositivo, sin embargo, los alumnos
tienen mucha libertad para intervenir en la resolución de ejercicios y formulación de
preguntas. A pesar de que la docente se enfoca en el logro de los objetivos
académicos relacionados con el área cognitiva (no observamos dentro del proceso de
comunicación aspectos de índole personal como el estímulo por los logros
alcanzados, motivación, orientación para corregir errores…) sí facilita un clima de
confianza y de interacción social con los alumnos, ya que estos no sienten temor para
desarrollar las diferentes actividades durante las sesiones de clase. Sin embargo pasar
a la pizarra y participar en la solución de ejercicios no parece ser del agrado de la
mayoría de los alumnos, por lo que la profesora selecciona de manera autocrática a
los alumnos que resolverán los ejercicios propuestos.
En algunos momentos observamos rechazo de los alumnos por los
procedimientos utilizados por la profesora en la resolución de ejercicios de
aplicación; generalmente preferían formas más intuitivas para resolverlos, lo que no
dudaban en comunicarlo a la profesora.
IV.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas aplicadas a
los alumnos
En las entrevistas aplicadas a los alumnos se han formulado una serie de
preguntas como guía de este instrumento, destinadas a obtener información sobre la
dimensión ‘actitud del alumno y clima social’, pidiendo a los estudiantes que
describan la participación y comunicación que se da entre los actores que interactúan
social y afectivamente dentro del aula, con el fin de relacionarlas con el proceso
didáctico ejecutado en la asignatura Matemática General. La presentación y
descripción de los resultados de las entrevistas los clasificamos en cuatro partes, tal y
como se representan en las Tablas 4.17, 4.18, 4.19 y 4.20.
201
Pregunta Respuestas Alumnos %
De participación y de colaboración porque a pesar de que no participo mucho en otras clases, en Matemática sí lo hago porque me gusta mucho este Sub-proyecto.
7 41,18
Mi participación y colaboración es regular, porque me cuesta un poco entender los contenidos y me cohíbo de preguntar.
1 5,88
Ninguna de las opciones, porque yo no participo en clase, pero tampoco pienso que sea rechazo, ya que me limito a prestar atención y a la hora de resolver un ejercicio trato de hacerlo solo, y si tengo alguna duda le pregunto a la profesora.
1 5,88
De participación y de colaboración, porque las estrategias que utiliza despierta nuestro interés.
3 17,65
De participación, porque mientras se desenvuelve la clase, quien lo desee puede opinar y expresar lo que piensa.
3 17,65
1. En función de las estrategias de enseñanza durante el desarrollo de los contenidos que ha explicado el profesor, ¿cómo describirías tu actitud general durante la clase?, ¿es de participación y/o colaboración?, ¿es de rechazo?
De participación, aunque a veces es muy poca, otras veces de colaboración, no por no entender, sino por miedo escénico o para evitar equivocarme al preguntar.
2 11,76
TOTAL 17 100
Tabla 4.17. Estrategias de enseñanza y actitud general del alumno.
Pregunta Respuestas Alumnos %
Me parece que se ha creado una muy buena comunicación entre alumnos y profesor, ya que cualquier cosa que el alumno no entienda, la profesora no tiene ningún problema para explicarlo de nuevo.
6 35,29
Ha sido muy buena la relación, ya que es una profesora que sabe explicar la materia y está abierta a responder cualquier interrogante que tengamos los alumnos y, además, siempre está dispuesta a prestarnos su ayuda fuera del salón de clases.
2 11,76
Ha sido muy buena la comunicación porque nos escucha y también aprende de nosotros.
2 11,76
Es como toda relación de profesor a alumnos y de alumnos a profesor, es muy profesional, siempre está pendiente de que todos entendamos; nos ayuda mucho en la materia.
2 11,76
Buena, ya que la profesora tiene un lenguaje adecuado para dirigirse a nosotros.
2 11,76
Respetuosa, solamente nos dedicamos a prestar la mayor atención posible a las clases.
1 5,88
La relación de comunicación no es muy buena, porque hay cosas que no logro entender.
1 5,88
2. Describe brevemente cómo ha sido la relación de comunicación personal entre tu profesor y los alumnos durante la clase.
Ha sido muy buena, la profesora inspira confianza y esto ayuda a que tengamos buena comunicación, ya que no existe ese temor a equivocarnos y ser rechazados en clases.
1 5,88
TOTAL 17 100
Tabla 4.18. Comunicación entre el profesor y el alumno.
202
Pregunta Respuestas Alumnos %
El trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que, la profesora trata de interactuar con los alumnos estimulando su participación.
4 23,53
Estímulo del profesor hacia los alumnos. El trabajo en equipo no es frecuente, hasta los momentos se ha trabajado individualmente.
5 29,41
La motivación del profesor hacia los contenidos, porque su manera de dar la clase y el dominio que tiene sobre sus temas estimula e incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo partícipes del aprendizaje.
4 23,53
Durante todas las clases he observado todos los elementos nombrados.
2 11,76
¿La verdad?, ninguno. 1 5,88
3. En esta sesión de clase, ¿cuáles de estos elementos: estímulo del profesor hacia el alumno, motivación del profesor hacia los contenidos que enseña, trabajo en equipo del profesor y alumnos has observado con mayor frecuencia?
Lo que más he notado es la motivación del profesor hacia los contenidos de enseñanza. En realidad creo que falta un poco de motivación hacia aquellos alumnos que no tienen la capacidad de entendimiento.
1 5,88
TOTAL 17 100 Tabla 4.19. Elementos frecuentes en el clima social de la clase.
Pregunta Respuestas Alumnos %
Son muy útiles para mi formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, mejor nivel profesional tendré. Además, aunque para mi fueron sencillos de entender, observé que para otros les costó un poco comprenderlos.
5 29,41
Tienen gran significado, me interesaron todos sus aspectos, fueron un poquito difíciles de entender porque son nuevos para nosotros.
2 11,76
Los contenidos que se enseñaron fueron sencillos de entender, lo que pasa es que todo depende de la concentración del alumno y de cómo el profesor explica la clase.
3 17,65
Son útiles para nuestra formación profesional, ya que son conocimientos básicos.
3 17,65
Fueron sencillos de entender, son útiles y se puede decir que un 80% de los alumnos entendieron el desarrollo de la clase (Números Racionales) sin ninguna dificultad.
1 5,88
Sólo unos pocos comprendieron porque muchos tuvieron dudas para resolver algunos ejercicios de ‘números enteros’.
1 5,88
Sé que son muy útiles para mi formación profesional. Considero que el alumno necesita tiempo para copiar después de prestar atención y lo más importante: “tiempo para contestar a las preguntas en los exámenes”.
1 5,88
4. ¿Qué impresión general te causaron los contenidos que se desarrollaron durante esta clase? ¿Son útiles para tu formación profesional? ¿No tienen significado para ti? ¿En general no te interesaron? ¿Perdiste tu tiempo? ¿Fueron sencillos de entender? ¿Sólo unos pocos los comprendieron?
Pienso que no son importantes y no me sirven para nada, no entendí nada.
1 5,88
TOTAL 17 100
Tabla 4.20. Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante la clase.
203
Analizando las diferentes respuestas dadas por los alumnos se puede observar
que la mayoría (un 70,59% de alumnos) expresa participación en el desarrollo de las
clases por diferentes razones que se relacionan entre sí, dentro de las cuales destacan:
el gusto general por las matemáticas, la motivación que despiertan las estrategias
utilizadas por el profesor, el clima de confianza que se genera dentro del aula entre
profesor y alumnos. Cabe destacar que esta posición que asume el grupo de alumnos
seleccionado dentro del caso en estudio discrepa de las opiniones negativas que en
general se tienen hacia las matemáticas.
De acuerdo a las respuestas dadas por los alumnos, se puede verificar que
existe una relación entre el profesor y el alumno que se caracteriza por la disposición
que tiene el docente para orientar y atender a sus alumnos en la asignatura, lo cual es
percibido de manera positiva por el grupo de estudiantes. Según estos, por razones
tales como: su “buena forma de explicar la clase”, la disposición a escuchar, el
respeto, el lenguaje utilizado por la profesora es sencillo y adecuado para dirigirse a
sus estudiantes, porque ésta le inspira confianza y, según ellos, desaparece el temor
de equivocarse y a ser rechazados en la participación durante las clases.
Con relación a los elementos que integran el clima social del aula de clase, el
23,53% de los alumnos observó con mayor frecuencia el trabajo en equipo entre el
profesor y sus alumnos, porque la profesora “interactuaba con los alumnos para
motivarlos a participar”, y en igual proporción se consideró también la motivación
del profesor hacia los contenidos, lo que nos indicó una comunicación fluida entre
los actores del proceso didáctico. No obstante el 29,41% consideró igualmente que el
estímulo de la profesora hacia ellos es lo más observado pero manifestó que el
trabajo en equipo no es frecuente sino que por el contrario los trabajos y demás
asignaciones dentro del aula se han realizado de forma individual. Esto nos conduce
a una discrepancia de opiniones o puntos de vistas entre dos grupos de alumnos, en
donde prevalece una mayoría que niega el trabajo en equipo como un elemento
característico del proceso didáctico efectuado durante las sesiones de clases de la
asignatura Matemática General.
El 23,53% de los alumnos señala que la motivación del profesor hacia los
contenidos enseñados es el elemento observado con mayor frecuencia, según ellos,
“porque su manera de dar la clase y el dominio que tiene sobre sus temas estimula e
incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo partícipes del aprendizaje”. Un
11,76% señaló que ha observado todos los elementos señalados en la entrevista, es
decir, existe un equilibrio entre el estímulo del profesor hacia el alumno, su
204
motivación hacia los contenidos que enseña y el trabajo en equipo que desempeña
con los alumnos.
Buena parte de los alumnos consideró que los contenidos que se desarrollaron
durante las clases son útiles para su futura formación profesional y establecen una
relación entre el nivel de preparación que tengan de los mismos y el éxito en su
futura labor docente. Este grupo también expuso que los contenidos enseñados en la
asignatura fueron sencillos, sin embargo, precisan que el resto de sus compañeros
han tenido dificultades para comprenderlos.
Los estudiantes expresaron a través de sus respuestas, que los contenidos son
interesantes para ellos y que tuvieron un poco de dificultad para entenderlos porque
son “nuevos”; es importante señalar que el programa de la asignatura Matemática
General tiene como propósito fundamental consolidar los aprendizajes matemáticos
básicos para iniciar la carrera de Educación Integral, y además, sus contenidos están
relacionados con los contenidos programáticos de los últimos tres años de la
Educación Básica. Por lo tanto, estos aprendizajes debieron estar logrados en un
grado aceptable, sin embargo, se aprecia claramente que para algunos alumnos era la
primera vez que recibían enseñanza sobre el tema de los Sistemas Numéricos.
También un 5,88% de los estudiantes reveló que a pesar de considerar útiles
los contenidos matemáticos enseñados en las clases, señalan que necesitan más
tiempo para tomar apuntes y resolver los exámenes. Por consiguiente, destacan la
velocidad que tiene el docente en la ejecución de las sesiones de clase como un
elemento esencial en el logro de los aprendizajes, principalmente de los alumnos que
se sienten en desventaja académica con relación a sus demás compañeros.
Por último, un 5,88% de los estudiantes piensa que los contenidos que se
estudiaron durante las clases no son importantes, según este grupo creen que “no
sirven para nada” porque no entendieron nada. Podemos decir que es una opinión
bastante aislada de la mayoría de los compañeros.
De acuerdo con las respuestas suministradas por los alumnos apreciamos una
relativa “situación ideal” con relación a la actitud de los estudiantes hacia el proceso
didáctico ejecutado por la profesora de la asignatura Matemática General,
específicamente en cuanto a sus procedimientos de enseñanza, su disposición
orientadora y motivadora en el aula hacia los alumnos. La existencia de un clima
social dentro del aula que genera confianza, participación, colaboración, la relación
de comunicación fluida y bidireccional entre los actores que integran el proceso
205
didáctico, son otros de los elementos que los alumnos situaron como positivos, a
pesar de prevalecer el trabajo individual más que el grupal, además de la presencia de
una actitud de aceptación de los estudiantes hacia esta asignatura, dándole una gran
importancia y utilidad para su formación académica y futura labor profesional
docente. Debemos mencionar que estas respuestas obtenidas en las entrevistas no
garantizan en su totalidad la explicación de la realidad del estudio, en esta técnica de
recolección de datos existen dos inconvenientes a considerar: “el sesgo personal del
encuestado y la capacidad del encuestado para decir la verdad completa” (Bermejo,
B. 2003:67).
En cuanto a la actitud general de los alumnos, se verifica una participación y
colaboración de los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los
contenidos matemáticos. Durante las clases predominó una mayoría considerable de
respuestas del tipo: “de participación y de colaboración porque a pesar de que no
participo mucho en otras clases, en Matemática sí lo hago porque me gusta mucho
este sub-proyecto”; “de participación y de colaboración, porque las estrategias que
utiliza despierta nuestro interés”; “de participación, porque mientras se desenvuelve
la clase, cualquiera puede opinar y expresar lo que piensa”.
La comunicación entre el profesor y el alumno es otro elemento que se
mantiene en condiciones óptimas. Se pudo observar que el grupo en general señaló
en las entrevistas la existencia de una comunicación efectiva de parte del docente
hacia ellos y una confianza notable entre los actores que forman parte del proceso
didáctico ejecutado en el aula de clase. Las siguientes respuestas así lo confirman:
“me parece que se ha creado una muy buena comunicación entre los alumnos y el
profesor, ya que cualquier cosa que el alumno no entienda, la profesora no tiene
ningún problema para explicarlo de nuevo”; “ha sido muy buena la relación, ya que
es una profesora que sabe explicar la materia y está abierta a responder cualquier
interrogante que tengamos los alumnos y siempre está dispuesta a prestarnos su
ayuda fuera del salón de clases”; “ha sido muy buena la comunicación porque nos
escucha y también aprende de nosotros”; “buena, ya que la profesora tiene un
lenguaje adecuado para dirigirse a nosotros”; “ha sido muy buena, la profesora
inspira confianza y esto ayuda a que tengamos buena comunicación, ya que no existe
ese temor a equivocarnos y ser rechazados en clases”.
En el clima social del aula también los alumnos destacaron elementos como
el trabajo en equipo entre profesor y alumnos, el estímulo del docente hacia el grupo
de estudiantes y la motivación del profesor hacia los contenidos que desarrolla en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Las siguientes respuestas dadas por la mayoría de
206
los alumnos pueden verificarlo: “el trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que
la profesora trata de interactuar con los alumnos mediante la participación de
ellos”; “estímulo del profesor hacia los alumnos. El trabajo en equipo no es
frecuente, hasta los momentos se ha trabajado individualmente”; “la motivación del
profesor hacia los contenidos, porque su manera de dar la clase y el dominio que
tiene sobre sus temas estimula e incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo
partícipes del aprendizaje”; “lo que más he notado es la motivación del profesor
hacia los contenidos de enseñanza. En realidad creo que falta un poco de motivación
hacia aquellos alumnos que no tienen la capacidad de entendimiento”.
Con relación a la impresión general que tienen los alumnos de los contenidos
matemáticos desarrollados en la clase, pudimos observar una actitud de aceptación
de los alumnos hacia las matemáticas y la consideran como un área académica
importante que tiene gran utilidad para su formación profesional. Aunque algunos la
consideran una asignatura que origina dificultad para comprenderla, el rechazo del
grupo hacia las matemáticas se manifestó en menor grado. Las respuestas más
significativas que dieron los alumnos fueron las siguientes: “son muy útiles para mi
formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, tendré un mejor
nivel profesional. Además aunque para mí fueron sencillos de entender, observé que
para otros les costó un poco comprenderlos”; “tienen gran significado, me
interesaron todos sus aspectos, fueron un poquito difíciles de entender porque son
nuevos para nosotros”; “los contenidos que se enseñaron fueron sencillos de
entender, lo que pasa es que, todo depende de la concentración del alumno y de
cómo el profesor explica la clase”; “son útiles para nuestra formación profesional,
ya que son conocimientos básicos”.
De acuerdo a las respuestas de las entrevistas, creemos que existen actitudes
que tienen que ver con las características cognitivas, sociales y afectivas del alumno
que les dificultan participar durante la clase, como la falta de comprensión de los
contenidos matemáticos, la preferencia por desarrollar las actividades de manera
individual, o miedo escénico o a equivocarse, sin embargo este último grupo no
expresó rechazo por las matemáticas.
207
IV.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS
En el proceso de recogida de datos utilizamos una serie de instrumentos que
nos proporcionaron datos tanto cuantitativos como cualitativos, los cuales han
resultado significativos para lograr una rigurosidad científica dentro de la
investigación. Cabe señalar que la gran diversidad de información aportada por los
actores del contexto de estudio a través de los cuestionarios de opinión, de los
registros obtenidos por los diarios de los alumnos y de las transcripciones de las
observaciones efectuadas por el investigador al proceso didáctico ejecutado en el
aula y a las diferentes manifestaciones de comportamiento de los que participaron en
el mismo, así como de las estrategias de aprendizaje que utilizaron los alumnos en las
pruebas de valoración de aprendizajes matemáticos, constituyen una amplia,
compleja y nutrida estructura de datos, lo que implica utilizar técnicas adecuadas
para evaluar toda la red conceptual generada.
Para garantizar un procedimiento de validación de estos resultados que nos
conduzca a la producción sistemática y coherente de nuevas teorías, presentamos la
técnica de la triangulación, tal como se explicó en el Capítulo II.
Con el apoyo de la matriz de triangulación, hemos comparado los diferentes
datos cualitativos para extraer las similitudes o discrepancias que los actores del
contexto de estudio han expresado a lo largo de todo el trabajo de campo y, de esta
manera, poder llegar a las conclusiones finales que precisen los logros alcanzados en
los objetivos formulados al inicio del estudio.
Presentamos a continuación las matrices utilizadas para la comparación de los
resultados obtenidos en los diferentes instrumentos aplicados durante la fase de
diagnóstico del trabajo de campo.
208
OBJETIVOS: Objetivo 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de sistemas numéricos de la asignatura Matemática General. Objetivo 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen al iniciar el estudio de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura Matemática General.
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS
CUESTIONARIO OBSERVACIONES PRUEBAS DE VALORACIÓN
DE APRENDIZAJES MATEMÁTICOS
1. Capacidad de concentración durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. 2. No hacen uso de las técnicas de estudio como los gráficos, esquemas y diagramas para lograr los aprendizajes. 3. Discriminación de la información y uso correcto de la expresión verbal-escrita de las ideas matemáticas. 4. Utilización de material escrito. 5. Dificultad en la comprensión del lenguaje en los materiales escritos. 6. Utilización del análisis de información para comprender los conceptos matemáticos. 7. Apoyo en situaciones más concretas y recursos visuales. 8. Utilización de los procesos de verificación para evaluar la solución de un problema. 9. Falta de un plan definido y sistemático en la resolución de problemas. 10. Aplicación de estrategias de intuición e inducción en la resolución de problemas.
1. Dudas y confusiones en las definiciones matemáticas. 2. Uso de Diagramas de Venn por el docente. 3. Intervenciones caracterizadas por ideas intuitivas, información incompleta, poco estructurada y con errores conceptuales. 4. La profesora sólo utiliza clases expositivas, la expresión escrita y simbólica. 5. Durante las clases se constató el poco uso de material escrito por los alumnos y profesor. 6. Conflictos en la interpretación del lenguaje matemático para representar las propiedades de la adición y multiplicación de los números racionales. 7. La profesora utiliza un lenguaje más cotidiano para comunicar la información. 8. No se observaron durante las clases. 9. Enfoque algorítmico-mecanicista con el cual los alumnos abordan la mayoría de los conceptos y propiedades matemáticas. 10. No se observaron.
1. Se destacó la deficiencia en la comprensión de conceptos matemáticos fundamentales. 2. No utilizaron esquemas, gráficos o diagramas. 3. No logran relacionar y discriminar entre los conceptos. 4. La mayoría no comprendió las expresiones simbólicas que se plantearon en los ejercicios propuestos. 5. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis 6. Imprecisión para seleccionar datos e incógnitas y por la falta de estructuración de la información en los ejercicios y problemas. 7. Los problemas de aplicación a situaciones concretas no fueron resueltos. 8. En ningún ejercicio ni problema se utilizaron. 9. Situación crítica del grupo con respecto a las estrategias que aplican para resolver problemas, prácticamente no existen.
209
11. Necesidad del apoyo de las asesorías académicas del profesor o experto en el área. 12. Auto-evaluación de los alumnos en cuanto a sus debilidades y fortalezas. 13. No aplican estrategias personales creativas. 14. Dificultades en el uso eficaz del lenguaje matemático. 15. Aplicación parcial de los procesos formales del razonamiento deductivo matemático.
11. Dificultades para seleccionar el camino más apropiado para resolver los ejercicios de operaciones combinadas 12. Pocos alumnos hacen un análisis sobre las dificultades que tienen en las matemáticas. 13. No se observaron. 14. La mayoría no comprende los símbolos utilizados en las definiciones y propiedades matemáticas. 15. No se internaliza en procesos de pensamiento más complejos que expliquen y justifiquen de manera lógica y procedimental el método de resolución.
11. Dificultades para efectuar las operaciones combinadas en general, es decir, no discriminan entre los métodos para sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones. 13. Poca creatividad en las estrategias para resolver ejercicios y problemas. 14. Existen dificultades en la comprensión del lenguaje simbólico matemático. 15. Cometen errores en el cálculo de potencias y transforman la resolución del ejercicio en expresiones más complicadas que la propuesta inicialmente.
Tabla 4.21. Matriz de triangulación de datos.
Podemos apreciar, de acuerdo a las categorías presentadas en los diferentes
instrumentos, la coherencia entre los resultados obtenidos en el cuestionario de
estrategias de aprendizaje, las clases observadas y las pruebas de valoración, aunque
también se observan algunas discrepancias entre las opiniones de los alumnos y los
análisis efectuados por el investigador de las sesiones de clase, de las estrategias de
aprendizaje y de los conocimientos previos en las pruebas de valoración.
El análisis comparativo que se deriva de los resultados obtenidos en los tres
instrumentos, nos reveló una situación crítica en el nivel de aprendizaje matemático
de los alumnos en los contenidos sobre sistemas numéricos y la inexistencia de
estrategias de aprendizaje que les faciliten organizar la información y la resolución
de problemas.
210
OBJETIVOS Objetivo 3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. Objetivo 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS
CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES 1. Los alumnos reflejan una actitud de aceptación hacia los contenidos de esta asignatura. 2. Pánico al cometer errores al intervenir en clase y al ser evaluados en Matemática. 3. La comunicación profesor-alumno se realiza sin discriminación hacia los alumnos. 4. Los alumnos están en desacuerdo con tener rechazo hacia las tareas o asignaciones que el profesor de Matemática distribuye durante la clase. 5. Hay en los alumnos una alta actitud hacia el trabajo en equipo y toma de decisiones para iniciar actividades de la asignatura. 6. Los alumnos manifiestan su perseverancia para obtener respuestas en ejercicios y problemas de Matemática. 7. La mayoría le da una gran importancia a las matemáticas, como una asignatura de mucha utilidad en su futura labor profesional y para el desarrollo de su razonamiento y pensamiento en general. 8. Consideran que el esfuerzo personal es fundamental para obtener éxito en las matemáticas independientemente del estilo de enseñanza que utilizan los
1. Los alumnos dicen tener una actitud de participación y de colaboración en Matemática porque les gusta mucho esta asignatura. 2. Existe confianza para intervenir y participar a pesar de las dificultades que tienen para comprender el lenguaje matemático que se escribe en la pizarra. 3. Se ha creado una muy buena comunicación entre alumnos y profesor. 4. No hay rechazo de los alumnos hacia las actividades de la asignatura. 5. El trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que, la profesora trata de interactuar con los alumnos mediante la participación de ellos. 6. No se observó esta situación. 7. Las consideran muy útiles para su formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, tendré un mejor nivel profesional. Además aunque para mi fueron sencillos de entender, observé que para otros les costó un poco comprenderlos. 8. Los alumnos señalan que comprender los contenidos matemáticos depende de la concentración del alumno y de cómo el profesor explica la
1. Pasar a la pizarra y participar en la solución de ejercicios no parece ser del agrado de la mayoría de los alumnos. 2. Existe confianza dentro del aula y los alumnos no se sienten cohibidos de participar y formular las preguntas necesarias para aclarar dudas. 3. La comunicación de la información es bidireccional en el sentido que los alumnos tienen mucha libertad para intervenir en la resolución de ejercicios y formulación de preguntas. 4. El docente selecciona a los estudiantes de manera autocrática para resolver ejercicios en la pizarra. 5. Los alumnos intentan organizarse en pequeños grupos para resolver los ejercicios propuestos. 6. En la mayoría de los casos recurren a la ayuda de un compañero o a la de la profesora. 7. Se observó generalmente pasividad en la mayor parte del grupo hacia los temas tratados. 8. Se observó la poca motivación en la ejecución de asignaciones dentro del aula.
211
profesores. 9. Hay confianza ante el profesor para desenvolverse académicamente en el aula durante la clase. 10. El profesor de la asignatura Matemática General tiene un buen dominio de los contenidos, una organización adecuada de la información que presenta en la pizarra durante las clases y seguridad en el estilo de enseñanza. 11. No utiliza recursos para el aprendizaje no convencionales como láminas, videos, diapositivas, talleres, entre otros. 12. Profesor explica y describe adecuadamente las propiedades matemáticas que utiliza en la resolución de ejercicios y problemas. 13. Los alumnos prefieren las evaluaciones grupales.
clase. 9. El clima dentro del aula es de participación, existe la oportunidad para opinar y expresar lo que se piensa. 10. El profesor demuestra el dominio que tiene sobre sus temas, las estrategias que utiliza estimula e incentiva a los alumnos. 11. No se describe. 12. La profesora tiene un lenguaje adecuado para comunicar a los alumnos los conceptos. 13. Pocos alumnos señalaron que necesitaban más tiempo para contestar las pruebas.
9. La profesora facilita un clima de confianza y de interacción social con los alumnos. 10. Desarrollo de estrategias de aprendizaje convencionales o tradicionales apoyadas en la clase magistral del profesor y basada en textos. 11. La profesora utiliza la clase magistral, con un modo de enseñanza expositivo y de uso de texto. 12. Las clases siguen un enfoque algorítmico y calculista caracterizado por una secuencia concepto-definición-algoritmos-reglas-propiedades-ejemplos-ejercicios, incorporando un lenguaje más cotidiano y una explicación de conceptos intuitiva. 13. Solicitan a la profesora hacer las evaluaciones en grupo y no individuales.
Tabla 4.12. Matriz de triangulación de datos.
Dentro de las situaciones descritas en la matriz de triangulación se observa
una evidente contradicción entre los resultados de los instrumentos; existe una
relativa coherencia de opiniones expresadas por los alumnos en el cuestionario y la
entrevista, pero en las observaciones efectuadas se presentan situaciones contrarias;
en el caso de la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas se pudo constatar una
aceptación, participación y colaboración, situación que se contradice cuando se
observa un rechazo en el momento de pasar a la pizarra a resolver los ejercicios
planteados por la profesora.
Sin embargo, por un lado, en la mayor parte de las categorías de análisis
existen similitudes que nos conducen a confirmar la coherencia entre los datos
recolectados en los tres instrumentos aplicados durante la fase diagnóstica de la
investigación para describir el grado de actitud de los alumnos ante el proceso
didáctico ejecutado por el profesor y los contenidos matemáticos desarrollados en la
212
asignatura y, por el otro, la comunicación y participación como elementos
fundamentales dentro del clima social del aula.
CAPÍTULO V: PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL
PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE
LAS MATEMÁTICAS
215
CAPÍTULO V:
PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO
FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
V.1. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA EN LA DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
El carácter formal de las ciencias matemáticas además de ser su mayor
fortaleza en la consolidación de su estructura conceptual, metodológica y
epistemológica, también ha representado uno de sus principales obstáculos desde el
punto de vista pedagógico, el cual se ha centrado sólo en la instrucción directa de
conocimientos del profesor hacia los alumnos en donde prevalecen la memorización,
la mecanización de procedimientos, la aplicación directa de algoritmos, el monopolio
de la información por parte del profesor, la pasividad en la investigación y
participación del alumno y los conflictos en el proceso de evaluación por su
naturaleza conductista, cuantificando los cambios de comportamiento en el
estudiante, para verificar el aprendizaje logrado, descrito en los objetivos de un
programa de enseñanza específico. “Visiblemente, enseñan algunas reglas,
“conceptos” exigiendo la memorización del tema y estas reglas se practican,
resolviendo ejercicios muy elementales, ayudando a la memorización de ciertos
algoritmos” (Szigeti, 2005:1).
Es evidente y consideramos “insólito pensar nuestra realidad sin las
matemáticas; ellas están presentes en nuestro cotidiano hacer y nuestros hijos las
aprenden a la par que empiezan a leer” (Freites, 2000:1). En consecuencia, en las
últimas tres décadas la investigación en el campo de la Psicología ha contribuido al
desarrollo de una ciencia nueva como la Didáctica de la Matemática, orientada al
estudio del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de esta disciplina, cuyo
resultado inmediato es un nuevo paradigma, conformado por elementos que cumplen
una función más integradora hacia el éxito del proceso didáctico, beneficiando
principalmente a los alumnos que son los actores más necesitados de nuevas
perspectivas en su formación académica de acuerdo a los avances tecnológicos y de
los cambios culturales que en los últimos años ha revolucionado nuestra sociedad. En
este escenario científico han surgido numerosas propuestas, modelos y programas
que enfocan diversas alternativas centradas en la importancia que tiene para el
alumno ‘aprender a aprender’, este término “significa desarrollar una serie de
habilidades metacognitivas que permitan al alumno reconocer y controlar las
216
situaciones de aprendizaje; y ello implica ayudarles a desarrollar su potencial de
aprendizaje, es decir, sus propias estrategias de aprendizaje”(Gómez-Granell,
1990:31), no obstante la función principal del docente es la de ‘enseñar a pensar’;
estas tesis, fundamentales en el logro de un aprendizaje significativo de la
matemáticas, generalmente destacan el papel del docente como un mediador y
orientador del proceso de enseñanza y aprendizaje, tal como lo señalan Ontoria et al.
(2001:51): “El profesor es un mediador entre la estructura conceptual de la
disciplina y la estructura cognitiva del estudiante. El profesor debe ser un facilitador
de los aprendizajes del alumno, una de cuyas funciones consiste en proporcionar al
alumno una selección de contenidos culturales significativos, además de unas
estrategias cognitivas que permitan la construcción eficaz de nuevas estructuras
cognitivas”.
En consecuencia, el alumno debe transformarse en una persona activa,
participativa e investigadora para lograr autonomía en su formación integral, que le
permita generar sus habilidades creativas, reflexivas y analíticas en el razonamiento
matemático para lograr el propósito central de ser constructor de sus propios
conocimientos científicos, por consiguiente, “el objetivo último del pedagogo o
conductor consiste en ayudar al estudiante al uso de la mente de forma
razonablemente crítica” (Genovard, 1990: 12).
De acuerdo a los planteamientos que hemos señalado realizaremos un breve
análisis teórico para fundamentar nuestra propuesta didáctica para la enseñanza de la
Matemática y así poder definir los objetivos, describir los pilares en cuales descansa,
explicar su secuencia didáctica y los lineamientos que caracterizan la estructura del
material didáctico utilizado en las sesiones de clase.
217
V.2. OBJETIVOS DEL PROGRAMA
1) Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno un
aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la resolución de
problemas de su interés, para generar un proceso didáctico que
consolide la construcción progresiva, reflexiva y científica del
conocimiento matemático, utilizando los aportes teóricos del
paradigma constructivista.
El Programa de autorregulación tiene por directriz principal diseñar y aplicar
estrategias de aprendizaje para que el alumno desarrolle su autonomía en la
construcción y producción de los conceptos, definiciones y análisis formal del
conocimiento matemático, proceso que consideramos debe iniciarse desde la
presentación intuitiva de la información (preconcepciones) hasta la demostración
formal de teoremas y su respectiva aplicación práctica, por lo que la diversidad de
estrategias que ha generado el paradigma constructivista se hace de vital importancia
para lograr un aprendizaje significativo en el alumno; además se deben incorporar
problemas que representen interés y significado social para despertar la motivación
necesaria para crear procedimientos, métodos, técnicas, recursos y estrategias para su
resolución.
2) Orientar al docente en los diferentes procedimientos, recursos y
actividades de enseñanza y evaluación, que constituyen el proceso
didáctico constructivista de las matemáticas para consolidar su
formación psicopedagógica.
La experiencia docente revela claramente que la puesta en práctica de un
programa con nuevas directrices origina conflictos en la comunidad de profesores
que se guían por los paradigmas tradicionales que se utilizan en la enseñanza,
aprendizaje y evaluación; sin embargo queremos presentar el Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas
como una propuesta didáctica que oriente a través de sus lineamientos al profesor de
Matemática en el diseño, planificación y aplicación de una gran variedad de
procedimientos, actividades y recursos para la enseñanza y evaluación de esta
disciplina tan necesitada de cambios radicales que garanticen el éxito de los alumnos
en la misma.
Aunque el programa está centrado en un bloque de contenido en particular,
como es el área de pensamiento numérico, este se puede adaptar fácilmente después
218
de aplicar un diagnóstico apropiado al contexto socio-educativo al que pertenecen los
estudiantes y profesores. Por lo tanto, queremos hacer hincapié en su carácter
flexible y dinámico producto de su enfoque psicopedagógico.
3) Fomentar la comunicación para lograr la participación, debate,
reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en el
proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto,
dinámico y flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno
hacia la Matemática.
Uno de los problemas cotidianos que representa un gran desafío para el
proceso didáctico de las matemáticas y por ende para el profesor, es la actitud
negativa de la gran mayoría de alumnos hacia esta disciplina, causada principalmente
por el formalismo y rigurosidad que domina su proceso de enseñanza, aprendizaje y
evaluación; por estas razones,“quizás el aburrimiento de los alumnos se deba a que
estos piensan que las matemáticas es un conjunto de reglas ininteligibles que se
deben aprender debido a la insistencia de sus maestros” (Durán, 2005:3); en
consecuencia, el clima social para aprender dentro del aula se torna hostil para el
alumno y por lo tanto su participación y comunicación se ven anuladas.
Nuestra propuesta está dirigida también a este elemento vertebrador del
proceso didáctico como es el de garantizar un estado adecuado del clima social del
aula en donde los alumnos puedan generar debates y reflexiones, no sólo sobre el
conocimiento aprendido, sino también sobre las estrategias, procedimientos,
actividades y recursos que contribuyan al mejor desempeño del grupo de alumnos y
de su profesor. La oportunidad que se le da al alumno para comunicarse con sus
compañeros y su profesor permiten aportar sugerencias trascendentales en la
consolidación de un verdadero grupo humano consciente de sus necesidades,
derechos y deberes desde el punto de vista académico.
219
V.3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROGRAMA
V.3.1. Fundamentos epistemológicos y psicológicos
El proceso de razonamiento matemático está dominado por factores que han
sido motivo de preocupación por una cantidad considerable de investigadores
pertenecientes, no sólo al área pedagógica, sino también al de las matemáticas
propiamente dicha como ciencia formal y aplicada. El pensamiento matemático ha
esquematizado la forma de proceder de muchos profesores desde el punto de vista
didáctico, pues, las corrientes filosóficas y epistemológicas que han implantado las
directrices fundamentales en el proceso de enseñanza-aprendizaje han sido dirigidas
por tres escuelas filosóficas clásicas de la Matemática: “la escuela logicista de Rusell
(1872-1970), la escuela formalista de Hilbert (1862-1943) y la escuela intuicionista
de Brouwer (1881-1966)” (Beyer, 2001:237).
Si bien es cierto que la última postura epistemológica de Brouwer ha ejercido
influencia en el surgimiento de nuevos paradigmas menos rigurosos, la permanencia
del enfoque absolutista en la enseñanza de las matemáticas se ha mantenido en un
grado considerable, hasta el punto en el cual algunas posturas llegan a expresar que
“la imagen popular negativa de las matemáticas tiene que ver con las ideas
desarrolladas por una filosofía que es denominada absolutista” (Ernest, 2000:13);
desde esta perspectiva, las matemáticas son vistas como un cuerpo de conocimientos
riguroso, objetivo e indiscutible, “la teoría tradicional de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas, ha considerado esta disciplina como un cuerpo ya
elaborado de conocimientos, que sólo hace falta transmitir: la enseñanza es
transmisión y el aprendizaje es incorporación” (Moreno & Sacristán, 1996:277).
Ante la perspectiva formalista, absolutista y rigurosa que obstaculiza toda
posibilidad de creación y producción intelectual en las matemáticas, ya que son
vistas como un cuerpo sólido de conocimientos construidos, se debe enfocar los
procesos que han originado su estructura axiomática-deductiva, tales como la
experimentación, la intuición, el ensayo-error, la aproximación, la estimación, la
evolución histórica de la Matemática y el análisis de situaciones concretas o
cotidianas, para crear un proceso didáctico dinámico acorde con las exigencias de su
contexto social y avances tecnológicos a los cuales nos enfrentamos docentes y
alumnos. De esta forma, el alumno vive la misma experiencia de un matemático en
estado de reflexión, producción y creación de conocimiento, “enfrentado con la
realidad cuya matematización ha dado origen a las nociones y conceptos que se
desean abordar, conocer el contexto histórico en el cual inicialmente la situación fue
220
formulada, conocer la historia del problema, su ubicación socio-cultural”
(González, 1994:51). En resumen, con la propuesta didáctica impulsamos una
didáctica centrada más en los procesos del pensamiento matemático que en el
producto o los contenidos, claro está sin restarle importancia a estos últimos.
Velásquez (2000) expone tres grandes líneas bajo las cuales deberían dirigirse
las matemáticas del siglo XXI, en primer lugar tomar en cuenta el carácter
multidisciplinar de esta ciencia para destacar que todo lo que nos rodea en nuestra
sociedad y cultura son elementos matematizables, en segundo lugar está la
innovación de los currícula para transformar los contenidos educativos a la luz de los
adelantos tecnológicos y nuevos campos del saber, y en tercer lugar y como elemento
que debemos considerar de mayor importancia, está la recuperación del lenguaje
matemático por ser este el segundo código escrito que los niños aprenden a dominar
durante su vida escolar.
Como se puede apreciar es una propuesta que se quiere dirigir hacia la
humanización de las matemáticas para tomar partida de sus aplicaciones sociales, “el
nuevo concepto asocia a las matemáticas con los conjuntos de las prácticas sociales,
cada uno con su historia, con sus personas, con sus instituciones y sus situaciones
sociales, formas simbólicas, propósitos y relaciones de poder” (Velásquez, 2000:14).
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas actuales debe obedecer a
modelos integradores y la Didáctica tiene que dirigirse hacia los fundamentos
filosóficos, psicológicos y sociológicos para responder a cuatro grandes preguntas:
¿por qué enseñar matemática?, ¿cómo enseñarla?, ¿dónde enseñarla? y ¿a quién va
dirigida esta enseñanza? (Godino, 1991). De esta manera se podrá cristalizar un
modelo didáctico óptimo que garantice la construcción de un aprendizaje
significativo por parte de los alumnos. Debe destacar la importancia que tiene la
Matemática en nuestra vida cotidiana, incorporar progresivamente estrategias,
procedimientos, actividades, técnicas y recursos a la vanguardia de las aportaciones
psicopedagógicas y las características particulares del contexto social y, lo que es
más importante, establecer una relación social y académica más estrecha con los
alumnos para aprender más de ellos.
Esto nos llevaría a centrar nuestra propuesta didáctica en el paradigma
falibilista que presenta a las matemáticas como algo humano, corregible, enmarcado
históricamente y variable, desprendiéndonos de la antigua posición filosófica
formalista, tal como lo plantea Velásquez (2000:5): “Siendo probablemente la
Matemática el más bello, el más exacto y riguroso constructo humano, está sujeta
221
como el resto de los conocimientos científicos a las teorías filosóficas del falibilismo
(Pierce), de la falsabilidad (Popper) y la tesis de los paradigmas de Kuhn
(Paradigma socio-psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de
programas de investigación racionales)”.
Este enfoque que proponemos está relacionado también con el paradigma
psico-socio-cultural que expone Gutiérrez (1988), cuyo propósito es el de contribuir
a que el alumno tenga una noción sistémica del universo, cree las bases para
desarrollar un pensamiento lógico acorde con la época actual, forme la capacidad de
establecer y producir cambios trascendentales, así como una actitud crítica, reflexiva
que contribuya a mejorar la realidad.
El Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal que
implementaremos en esta investigación, es una propuesta didáctica que se enfoca en
cómo enseñar estrategias de aprendizaje al estudiante para que logre un proceso de
construcción y reconstrucción del conocimiento matemático. Por consiguiente,
ofrecerá un apoyo y orientación al docente de la asignatura Matemática General en
su labor pedagógica y al alumno en el logro de un aprendizaje matemático
significativo. Cabe señalar que estas estrategias de aprendizaje se relacionan con
habilidades fundamentales que integran todo aprendizaje matemático, como “la
flexibilidad del pensamiento, la reversibilidad del pensamiento, la memoria
generalizada, la clasificación completa y la imaginación espacial” (Valiente,
2000:29), las cuales según el mismo autor deben estimular la formación del
pensamiento reflexivo, crítico y creativo.
La flexibilidad del pensamiento es una habilidad matemática que garantiza
diferentes maneras de proceder en la resolución de problemas de la manera más
efectiva, racional y económica posible, constituyéndose así en la esencia del
pensamiento lógico-formal de las matemáticas.
La reversibilidad del pensamiento se origina básicamente en las ideas
psicogéneticas de Piaget, esta habilidad marca la verdadera manifestación de la
inteligencia humana, es un proceso retrospectivo que se hace del razonamiento hecho
a situaciones problemáticas, lo que implica no sólo resolverla sino también plantear
problemas semejantes, estableciendo con ello secuencias de pasos progresivos y
regresivos en la construcción de procesos mentales directos e inversos.
La memoria generalizada consiste en la aplicación directa e indirecta de los
conceptos, definiciones, propiedades, teoremas a otros contextos matemáticos.
222
Implica también establecer relaciones matemáticas y cómo estas se integran unas con
otras, utilizando para ello formas sintéticas de razonamiento matemático.
La clasificación completa es una habilidad que consiste en establecer
clasificaciones de objetos matemáticos de forma correcta a partir de sus definiciones,
ejemplos y contraejemplos o propiedades comunes; se puede considerar como la más
sencilla y fácil de aprender desde los primeros años de escolaridad en los niños.
Por último, la imaginación espacial que complementa la estructura integral
del pensamiento matemático, como su nombre indica, se relaciona con las diferentes
formas de expresar el razonamiento geométrico desde su perspectiva gráfica hasta su
enfoque analítico y algebraico.
Nuestra propuesta didáctica se ha elaborado siguiendo las aportaciones de
Alonso (1994), Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997), Miranda et al.
(1998), de Guzmán (1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000). Estos especialistas
en Didáctica General y Didáctica de las Matemáticas unifican criterios para
consolidar una postura en el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de los
conocimientos de esta ciencia, tomando como punto de partida las aportaciones que
el constructivismo psicogenético y sociocultural han realizado a la Didáctica de la
Matemáticas, cuyos aspectos fundamentales según Carretero (1987:153) son
explicados en los postulados siguientes:
- “El aprendizaje es un proceso constructivo interno.
- El grado de aprendizaje depende del desarrollo cognitivo del individuo.
- El aprendizaje consiste en un proceso de reorganización interna.
- La estrategia más eficaz para lograr el aprendizaje es la creación de
contradicciones o conflictos cognitivos.
- El aprendizaje se favorece enormemente mediante la interacción social”.
Otro concepto en el que se fundamenta la propuesta didáctica es el de la
Etnomatemática, término con el cual se describe la relación de todos los conceptos
matemáticos con los distintos grupos culturales, es decir, con las particulares formas
que tienen sus miembros de pensar, razonar y usar sus propios códigos, símbolos y
mitos; con éstos interactúan en función de su medio o contexto social, lo cual implica
adaptar los programas de enseñanza a las características particulares de cada grupo,
escuela, centro de enseñanza o región geográfica, “las necesidades y las capacidades
no son las mismas para todos los alumnos, ni para los alumnos de un mismo curso,
223
ni mucho menos para los alumnos de distintos colegios, lugares o sociedades”
(Santaló et al., 1994:70).
Por otro lado, el aprendizaje además de ser un hecho psicológico, es también
un proceso social dinámico y complejo, cuyos participantes comparten no sólo
significados, sino también una serie de características culturales, físicas y biológicas
estableciendo una heterogeneidad en el aula de clase. Por lo tanto, la enseñanza es
sustancialmente social dando “origen a una serie de intercambios y negociaciones
que se estructuran para dar lugar a una red compleja de interrelaciones profesor-
alumnos; estos intercambios están mediados por un conjunto de significados los que,
en el caso del docente, constituyen el paradigma que guía su práctica pedagógica”
(González, 1994:13).
Nuestro Programa de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado en la
autorregulación del pensamiento formal, es una propuesta didáctica que toma los
conceptos de autorregulación y metacognición como vías eficaces para desarrollar el
pensamiento formal y mejorar las habilidades cognitivas responsables del
aprendizaje matemático. Una definición de la metacognición adoptada por los
investigadores cognitivos es “la toma de conciencia acerca de los mecanismos,
procesos, procedimientos y estrategias intelectuales que activamos cuando
resolvemos problemas, es decir, es el aumento de nuestro conocimiento acerca de
nuestros propios procesos de pensamiento” (González, 1995:59) o de una manera
más sencilla “podemos decir que, básicamente se refiere a la conciencia que tiene el
alumno de cuáles son las estrategias disponibles que le pueden ayudar en el
aprendizaje” (Carbonero & Crespo, 1993:31).
El concepto de autorregulación se “refiere a todas aquellas actividades
relacionadas con el control ejecutivo cuando se hace frente a una tarea cognitiva,
como son las tareas de planeación, predicción, monitoreo, revisión continua,
evaluación, etc., actividades que un aprendiz realiza cuando quiere aprender o
solucionar un problema” (Díaz & Hernández, 2002:246). De esta manera la
metacognición y la autorregulación se constituyen en actividades complementarias
para garantizar un mejor desempeño del alumno no sólo en las matemáticas sino
también en las demás ciencias, puesto que la deficiencia de los elementos que la
integran, contribuyen a una considerable desmotivación por parte del alumno para
con el aprendizaje (Kuhl, 1987). Por lo tanto, es de vital importancia “mejorar sus
posibilidades de éxito mediante la enseñanza de estrategias cognitivas y de solución
de problemas” (Alonso, 1994:37) y, de esta forma, activar los procesos
metacognitivos y autorreguladores del pensamiento formal en el aprendizaje de las
224
matemáticas, “pues según el enfoque aportado por las teorías centradas en los
procesos metacognitivos señalan que lo específico de la inteligencia humana es
precisamente la capacidad de autorregular el propio aprendizaje” (Carbonero &
Crespo, 1993:31). En el siguiente gráfico se describen las diferentes actividades de la
metacognición y la autorregulación:
Gráfico 5.1. Actividades de la metacognición. Basado en Díaz & Hernández (2002:246).
Gráfico 5.2. Actividades de la autorregulación. Basado en Díaz & Hernández (2002:246).
Autorregulación
Es la regulación autónoma del conocimiento a
través de:
La planificación y aplicación del conocimiento
El monitoreo y la supervisión
(regulación,seguimiento y comprobación)
Evaluación (relacionada con categorías de personas, tarea y
estrategias)
Metacognición
Es el conocimiento de la cognición,
tomando en cuenta:
El Conocimiento del qué
La Noción del cómo El Conocimiento del cuándo y dónde
Las Variables o categorías de persona, tarea y estratetegia
Las Experiencias metacognitivas
225
Así, la propuesta didáctica de enseñanza estará integrada por estrategias de
aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal, las cuales son
“procedimientos (conjunto de pasos, operaciones o habilidades) que un aprendiz
emplea en forma consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles
para aprender significativamente y solucionar problemas” (Díaz & Hernández,
2002:234). De manera semejante se utiliza el término de estrategias cognoscitivas
para referirse a “procesos de control internos que pueden usar los aprendices para
supervisar y regular su aprendizaje y solución de problemas” (Good & Brophy,
1995:118).
De igual manera, la estrategia cognitiva es definida como “la forma de
organizar las acciones, usando las capacidades intelectuales propias, en función de
las demandas de la tarea, para guiar los procesos de pensamiento, hacia la solución
de un problema” (Ríos, 2004:141). Como se puede apreciar las estrategias de
aprendizaje, cognoscitivas y cognitivas, se consideran como sinónimos dentro del
proceso didáctico, por lo tanto utilizaremos el término estrategias de aprendizaje para
evitar ambigüedades dentro de la propuesta didáctica.
Para la ejecución de las estrategias de aprendizaje es necesario que se
efectúen paralelamente una serie de procesos cognitivos o recursos en los que se
debe apoyar el aprendiz. Díaz & Hernández (2002:235) los describen de la forma
siguiente:
- Procesos cognitivos básicos: Son todas aquellas operaciones y procesos
involucrados en el procesamiento de la información, como atención,
percepción, codificación, almacenaje y memorización, recuperación,
etcétera.
- Conocimientos conceptuales específicos: Se refieren al bagaje de hechos,
conceptos y principios que poseemos sobre distintos temas de
conocimiento.
- Conocimiento estratégico: Está relacionado con las estrategias de
aprendizaje propiamente dicha.
- Conocimiento metacognitivo: Es el tipo de conocimiento que poseemos
sobre el qué y cómo lo sabemos, y sobre nuestros procesos y operaciones
cognitivas cuando aprendemos.
226
Ríos (2004) realiza una explicación un poco más detallada de los procesos
cognitivos básicos, los cuales son necesarios para lograr comprender la forma en que
se presentan y aplican las estrategias de aprendizaje. Estos procesos cognitivos son:
- La observación: Este proceso cognitivo a pesar de ser el más sencillo, se
relaciona con la habilidad de percepción de las situaciones problema que
se presentan y proporciona la base para determinar atributos, cualidades,
propiedades o características del aspecto a estudiar. Por ello se
recomienda, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, actividades que
incrementen en el alumno su capacidad de observación y percepción
formulando preguntas que le guíen en la comprensión del lenguaje escrito
y presentándole figuras, diagramas y gráficas para aclarar la información.
- La comparación: Este proceso cognitivo se relaciona muchas veces con la
evaluación o juicios que se establecen entre hechos, fenómenos, objetos
etc.; los cuadros y/o tablas son una ayuda eficaz en el momento de
efectuar esta operación de comparación. Por ejemplo, se puede elaborar
un cuadro con los pasos que se siguieron en la resolución de un problema
y compararlo con otro que está por resolver para encontrar semejanzas y
diferencias entre ambos.
- La clasificación: Es una operación que consiste en ordenar objetos de
acuerdo a una propiedad común; aunque este proceso cognitivo básico no
parece complicado, la mayoría de los alumnos presentan dificultad para
efectuarlo. Para lograr su consolidación se pueden realizar esquemas,
cuadros y diagramas de flujo para ordenar los conceptos matemáticos en
función de sus propiedades.
- Definición: Es un proceso que consiste en precisar el concepto claro,
breve y completo de lo que significa una palabra; es importante señalar,
que esto requiere del dominio efectivo del lenguaje verbal-escrito y de la
simbología utilizada en la Matemática, por lo que representa un proceso
más elaborado.
- Análisis-síntesis: El análisis es entendido como un proceso de separar en
partes más simples un todo (fenómeno, problema o texto), para efectuar
un estudio más exhaustivo del mismo; por su parte, la síntesis consiste en
expresar los elementos o aspectos más importantes analizados de manera
227
concreta y sucinta, de tal manera que el todo se pueda entender de manera
holística con el mínimo de información posible.
- Memorización: Aunque la memorización se ha criticado por considerarla
una actividad de aprendizaje conductista, “es la base fundamental para el
aprendizaje y el pensamiento por cuanto nos permite almacenar y
recuperar conocimientos acumulados, evocar experiencias vividas y
retener lo aprendido para sacarlo a la luz cuando sea necesario” (Ríos
2004:61). Es necesario que se utilicen estrategias para ayudar a consolidar
en el alumno la memorización, estas pueden ser el uso de esquemas,
parafrasear la información de los textos o realizar resúmenes de los
documentos estudiados.
- Inferencia. Es la operación cognitiva que consiste en establecer
conclusiones a partir de información o datos conocidos, en este proceso
cognitivo descansa el razonamiento deductivo del pensamiento formal.
- Seguir instrucciones. Este proceso implica precisar términos, secuencias,
recursos y metas y, por otro lado, traducir, utilizar y aplicar las
instrucciones verbales o gráficas en acciones físicas o en operaciones
intelectuales.
Las estrategias de aprendizaje también se clasifican de acuerdo a criterios
bien establecidos. Siguiendo a Díaz & Hernández (2002), se puede observar
estrategias según el tipo de proceso cognitivo y finalidad perseguidos, estas son:
- Las estrategias de recirculación de la información: Son las más
primitivas utilizadas por un aprendiz y consisten en la repetición
constante de la información para lograr memorizarla.
- Las estrategias de elaboración: Consisten en relacionar e integrar la
nueva información con los conocimientos previos pertinentes que tiene el
aprendiz.
- Estrategias de organización de la información: Permiten hacer una
reorganización constructiva de la información que se desea aprender. El
objetivo de estas estrategias es la de utilizar la información de manera
efectiva y eficiente.
228
Otro grupo de estrategias se han establecido atendiendo a su efectividad para
determinados materiales de aprendizaje. Así tenemos las estrategias de aprendizaje
para:
- Contenidos declarativos de tipo factual (términos, listas o pares de
términos):
● Estrategias de repetición simple, parcial o acumulativa: Para aprender
términos en un orden establecido.
● Organización categorial: Útil para aprender series de nombres en un
orden cualquiera.
● Elaboración verbal y visual: Útil para aprender palabras relacionadas
en un contexto particular (nombre de ciudades, países, etc.).
- Las estrategias de aprendizaje para contenidos declarativos complejos
(conceptos, proposiciones, explicaciones), son las que requieren un
esfuerzo cognitivo más exigente; se clasifican de la forma siguiente:
● Representación gráfica de redes conceptuales. Se aplican para integrar
la información de un contexto de manera coherente y particular.
● Resumir textos: Se utiliza para expresar de manera ordenada y
sintética la información más importante de un texto.
● Elaboración conceptual: Es fundamental en la comprensión de nuevos
conocimientos por parte del aprendiz, quien debe interpretar
definiciones.
● Hacer anotaciones y formular preguntas: Se utiliza en la lectura de
textos para facilitar el recuerdo de puntos concretos y sus posibles
implicaciones.
De manera homóloga Good & Brophy (1995:279), citan a Weinstein y Mayer
(1986), quienes clasifican e identifican cinco tipos de estrategias de aprendizaje:
- Las estrategias de ensayo: Implican la repetición activa (diciendo,
escribiendo) de un material o enfocarse en partes claves de él, por
ejemplo: repetir términos en voz alta, copiar el material, tomar notas
literales y subrayar partes importantes.
229
- Las estrategias de elaboración: Se usan para relacionar y establecer
conexiones entre los nuevos aprendizajes y los que están consolidados,
por ejemplo: parafrasear, resumir, crear analogías, comentar sobre el
material estudiado, responder preguntas.
- Las estrategias organizacionales: Consisten en estructurar el material de
estudio dividiéndolo en partes importantes de análisis y estableciendo
jerarquías de aprendizaje.
- Las estrategias de monitoreo de la comprensión: Se utilizan para tomar
conciencia del avance del aprendizaje logrado y del éxito de las destrezas
que se han aplicado para ello. Dentro de estas estrategias se destacan el
uso de preguntas o declaraciones de objetos para guiar el estudio,
establecer sub-objetivos, evaluar el progreso, auto-cuestionarse.
- Las estrategias afectivas: Se refieren al nivel de motivación que se debe
mantener, enfocar la atención, mantener la concentración, manejar y/o
controlar la ansiedad para el desempeño de las actividades de aprendizaje
y distribuir el tiempo de manera efectiva.
V.3.2. Pilares que configuran el Programa
Consideramos necesario exponer las ideas fundamentales que constituyen
nuestra propuesta didáctica describiendo los pilares esenciales que forman parte de la
configuración didáctica del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal en el aprendizaje de las matemáticas, los cuales representan elementos que se
deben tener en cuenta para lograr diseñar, elaborar y aplicar estrategias para activar
los procesos mentales y cognitivos que potencien un verdadero aprendizaje
significativo.
En función de las aportaciones didácticas del paradigma constructivista, con
relación a las estrategias de aprendizaje que el alumno debe activar y poner en
práctica para lograr autorregular su pensamiento lógico-formal y lograr un
aprendizaje significativo en las matemáticas, es fundamental que el docente genere
un proceso orientador basado en los pilares que se describen en siguientes epígrafes.
230
V.3.2.1. Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en
el proceso didáctico de las matemáticas
El principal medio para lograr apropiarnos del conocimiento es la
comunicación con nuestros semejantes a través de sus formas de propagación y de
los medios que utiliza; en consecuencia, la organización eficiente de la información
gráfica, verbal, escrita, simbólica-abstracta, destinada a superar problemas en la
recogida y elaboración de la información matemática requerida en la comprensión de
conceptos y definiciones fundamentales en la resolución de ejercicios y problemas,
adquiere un carácter trascendental. Este aspecto ha sido señalado como uno de los
más importantes para favorecer el acceso al razonamiento matemático. Según
Pluvinage (1996), por un lado se debe enriquecer el uso del lenguaje especializado,
tecnológico o científico, el cual tiene un nivel elevado de organización y considera a
la vez objetos y proposiciones y, por otro lado, se debe usar sistemáticamente los
diferentes sistemas semióticos que permiten expresar la lengua natural, fórmulas,
figuras, gráficas, tablas y matrices.
Cabe destacar que el dominio del lenguaje matemático es un proceso muy
complejo que debe comenzar progresivamente, superando la comprensión y
aplicación de la expresión verbal, escrita y gráfica, y la utilización de las nociones
conceptuales del conocimiento matemático; por ello, los obstáculos se hacen
evidentes en los estudiantes, principalmente en la comprensión del lenguaje
simbólico. Según Teberosky (1990:29) “se requiere una cierta asistencia técnica por
parte del maestro para combinar los procesos, no inversos sino complementarios, de
lectura y escritura. No se puede concebir la capacidad de producir sin la capacidad
de comprender textos”. Las debilidades más comunes en los procesos cognitivos
relativos a este aspecto, según Alonso (1994) son los siguientes:
En la recolección de información:
- Conducta exploratoria asistemática, implanificada e impulsiva.
- Inexistencia de la necesidad de precisión en la reunión de datos.
- Percepción superficial, borrosa e inestable.
- Falta de desarrollo en los sistemas de referencia necesarios para la
organización del espacio y orientación temporal.
- Carencia de conceptos verbales que originan un déficit en la
discriminación, codificación y almacenamiento de la información.
- Incapacidad para prestar atención a diferentes fuentes de información.
231
En la elaboración de la información:
- Falta de espontaneidad para realizar comparaciones.
- No existe reconocimiento espontáneo de lo que es un problema y su
respectiva solución.
- Inexistencia de los indicios relevantes para la solución de un problema.
- No se cuantifica la información.
- Limitaciones en la categorización de la información.
- Ausencia del pensamiento simbólico sobre los objetos matemáticos.
En la comunicación de la información:
- La forma de responder y ejecutar las tareas es impulsiva e implanificada.
- Carencia de elementos del lenguaje necesarios para comunicar lo que se
desea decir.
- Poca necesidad de precisión para comunicar ideas.
- Los modos de comunicación suelen ser egocéntricos.
- Prevalece el uso de la estrategia de ensayo y error para responder
preguntas.
Para lograr orientar al alumno y facilitarle las actividades de recolección,
elaboración y comunicación de la información es necesario enseñarle a utilizar las
técnicas sencillas para organizar la información, tales como: el resumen, el
subrayado para identificar las ideas principales, palabras clave, conceptos,
definiciones, propiedades y fórmulas de los contenidos desarrollados durante la
clase; esto se aplica igualmente en textos y materiales escritos que forman parte de
los recursos didácticos que se utilicen en el desarrollo del proceso didáctico.
También es muy útil la presentación por parte del profesor de esquemas y
diagramas de flujo para sintetizar la información del tema y guiar al alumno en la
elaboración de los mismos, de tal manera que logre aplicarlo habitualmente como
una técnica de estudio personal que le garantice su éxito en el aprendizaje
matemático. De manera similar, se debe poner énfasis dentro del proceso didáctico
para lograr presentar la información matemática en la presentación de imágenes,
fotografías, dibujos y gráficas; una película o vídeo relacionado con la importancia
histórica y aplicación cotidiana de las matemáticas puede resultar una actividad
motivadora que fomente en el alumno el verdadero significado lógico y psicológico
del tema tratado en la clase.
232
Además, con la ayuda de las imágenes, fotos, tablas y gráficas que
observamos cotidianamente en los diferentes medios de comunicación masivos,
podemos explicar la importancia de las matemáticas para el mundo real y el contexto
social al que pertenecen los alumnos, garantizando con ello la comprensión más
directa de la información de manera concreta sin tener que recurrir en primera
instancia al lenguaje matemático abstracto, en el que generalmente y
tradicionalmente se centra el estilo pedagógico de la mayoría de los profesores, no
obstante “la estructura cognitiva asociada con determinado concepto matemático
incluye todas las imágenes mentales, representaciones visuales, experiencias e
impresiones, así como propiedades y procesos asociados” (Campillo & Pérez.
2002:51-52).
La elaboración de mapas conceptuales, es otra técnica que se considera
innovadora para orientar y guiar la práctica docente y al alumno en la organización
de la información y contenidos de la clase, “los mapas conceptuales dirigen la
atención, tanto del estudiante como del profesor, sobre el reducido número de ideas
importantes en las que deben concentrarse en cualquier tarea específica de
aprendizaje” (Novack & Gowin, 1988:33). Esta técnica requiere de constancia y
esfuerzo adicional de profesores y alumnos para perfeccionarla y aplicarla
permanentemente en las sesiones de clase. Los mapas conceptuales son un recurso
esquemático utilizados para relacionar significados conceptuales, lo cual representa
una considerable ventaja para estructurar de manera sistemática, jerárquica y
progresiva las ideas fundamentales del conocimiento, por lo tanto, constituyen una
poderosa estrategia para lograr un aprendizaje significativo en el alumno; en
consecuencia, no sólo debe presentarse en el pizarrón sino también en los materiales
escritos que el profesor elabore como guía instruccional para los alumnos.
Es fundamental que el profesor enseñe y dirija a los estudiantes en la
comprensión, elaboración y puesta en práctica de los mapas conceptuales, puesto que
su sola presentación por parte del docente no lograría en el alumno una posición
activa en su aprendizaje, “los mapas conceptuales ayudan al que aprende a hacer
más evidentes los conceptos clave o las proposiciones que van a aprender, a la vez
que sugieren conexiones entre los nuevos conocimientos y lo que ya sabe el alumno”
(Novack & Gowin, 1988:41); es decir, lo que tratamos de lograr es operacionalizar el
proceso de aprender a aprender en los alumnos de Matemática, para que desarrollen
su pensamiento crítico, reflexivo y creativo.
233
V.3.2.2. Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones
matemáticas y conducir sucesivamente al alumno hacia la
conceptualización científica y formal del conocimiento matemático
Mediante el intuicionismo del razonamiento inductivo muchos matemáticos
lograron cristalizar las grandes teorías y leyes que forman parte del constructo y
sistema axiomático, no sólo de las matemáticas sino también el fundamento
científico sobre el cual descansan todas las disciplinas, proceso que se ha
desarrollado paralelamente con la historia de la humanidad; no obstante, si
enfocamos la relación del nuevo aprendizaje con ejemplos cotidianos, podemos
generar situaciones concretas que orienten y ayuden al alumno a comprender
nociones sencillas de conceptos, elementos, definiciones y propiedades del
conocimiento matemático. Este pilar debe configurar en gran medida todo proceso
didáctico, para que el estudiante logre consolidar sus procesos cognitivos que todavía
se encuentran en fase de desarrollo y maduración.
Esto nos conduce a tomar y aplicar el carácter interdisciplinario que tienen las
matemáticas para destacar su relación con las demás áreas del conocimiento que
formar parte del currículo, “las matemáticas tienen que ver de forma sustancial,
además de con las disciplinas científicas habituales, con la cartografía, la
criptografía, la sociología, la psicología, la política, la publicidad..., hay muchos
ejemplos de matemáticas cotidianas, de matemáticas de la vida misma” (Corbalán,
1998:10).
Este pilar se justifica por tres razones bien definidas por Valiente (2000) para
la enseñanza de la Matemática; en primer lugar, debemos transmitir a los alumnos el
acervo cultural de la sociedad, en segundo lugar procurar que desarrollen nociones y
conceptos que les sean útiles para comprender el entorno y, por último,
proporcionarles un conjunto de procedimientos e instrumentos del pensamiento que
les permitan el acceso a otras áreas del conocimiento y de la actividad humana. Es
importante resaltar la necesidad de precisar las características del contexto social al
cual pertenecen los alumnos, este factor es crucial para establecer relaciones entre los
contenidos del currículum y su utilidad práctica en las necesidades del estudiante,
“En cuanto a la enseñanza de la Matemática que debe ser objeto de estudio en las
escuelas, es la que va unida al modo de vida que los pueblos eligen” (Santaló et al.,
1994:78).
El razonamiento inductivo debe implementarse a través de actividades y
estrategias relacionadas con el estudio informal de los contenidos matemáticos, tales
234
como observar y comparar objetos matemáticos para establecer propiedades comunes
para clasificarlos, utilizar ejemplos y contraejemplos para comprender conceptos,
formular conjeturas, efectuar aproximaciones y estimaciones de cálculos numéricos
antes de presentar respuestas exactas, realizar pequeñas comprobaciones a través del
ensayo-error y experimentación, entre otras.
V.3.2.3. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de
problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión
de la estructura formal de los contenidos matemáticos
Desde la perspectiva docente se considera necesario introducir en la
propuesta didáctica aspectos fundamentales de las estrategias generales y específicas
de resolución de problemas, “los estudiantes necesitan aprender a solucionar
problemas de manera efectiva-no sólo en matemáticas, sino en cualquier materia.
Un problema existe donde una persona percibe una necesidad de lograr algún
objetivo pero no sabe de inmediato cómo lograrlo” (Good & Brophy, 1995:283).
Los problemas son la génesis del conocimiento matemático; las soluciones de
los mismos contribuyen al descubrimiento y enriquecimiento del constructo formal
de la ciencia matemática y de las ciencias en general, “la resolución de problemas ha
jugado un papel fundamental en el desarrollo de la Matemática; muchas de sus
ramas han surgido como consecuencia de la búsqueda de solución a problemas”
(González, 1995:2). Por consiguiente, desde el punto de vista didáctico se deben
tener en cuenta los procesos, métodos y estrategias utilizadas en la resolución de
problemas para orientar a los alumnos en la difícil tarea de obtener soluciones.
En las matemáticas hay que diferenciar entre los ejercicios y problemas, un
ejercicio es una tarea por lo general que requiere de la aplicación directa de
algoritmos, propiedades y operaciones aritméticas o algebraicas para llegar a su
solución, como por ejemplo, resolver un producto notable, sumar fracciones, calcular
logaritmos aplicando sus propiedades, simplificar expresiones en otras más simples,
etc. Un problema, sin embargo, tiene un grado de complejidad mayor, en él se
plantea una situación totalmente inédita, que necesita de quien resuelve una serie de
estrategias o habilidades además de los conceptos, definiciones, propiedades,
algoritmos y operaciones relacionados con el tema del problema formulado, “la
capacidad para resolver problemas se relaciona con diversos aspectos cognitivos,
como a) la habilidad para recordar problemas similares; b) el reconocimiento de
patrones; y c) la creatividad para desarrollar nuevas soluciones” (Ríos, 2004:89), en
235
consecuencia González (2005:2) menciona que: “La resolución de problemas es una
actividad compleja que demanda un importante esfuerzo intelectual; en cualquier
situación problema es posible identificar unas condiciones objetivas, las cuales
tienen que ver con las circunstancias inherentes a la situación-problema misma; y
unas condiciones subjetivas, que corresponden al estado interior(cognitivo y
afectivo) de quien resuelve el problema”.
Para lograr el objetivo de formar a los alumnos en la tarea de resolver
problemas, presentamos los modelos de resolución de problemas más destacados,
como el método heurístico de Polya (1978), y las adaptaciones que de él han hecho
autores como Santaló (1994), Llinares (1994), Alonso (1994), González (1995),
Nieto (1997), Miranda et al (1998), De Guzmán (1999), Velázquez (2000), Kenney
& Silver (1993) y Valiente (2000).
Los elementos fundamentales que describe Polya (1978) se resumen en una
lista de preguntas en función de los cuatro aspectos siguientes: comprender el
problema, concebir un plan, ejecutar el plan y visión retrospectiva; en cada uno de
ellos estas preguntas siguen un orden sistemático de aplicación para efectuar una
autoevaluación progresiva del procedimiento que usa el que resuelve del problema.
En el primer paso relativo a la comprensión del problema, según Polya
(1978), lo que se persigue es que los alumnos se familiaricen con los problemas
visualizándolos como un todo, estimulando la memoria, dividiéndolos en sus partes
más importantes, como los datos con los que se cuenta, cuál o cuáles son las
incógnitas y qué condiciones existen para llegar a la solución.
El segundo a paso consiste en la concepción de un plan concreto y eficaz para
llegar a la solución, por lo tanto, se recomienda utilizar otros problemas ya resueltos
para establecer semejanzas que nos puedan orientar, redactarlo, formularlo o
enunciarlo de otra manera y precisar los aspectos teóricos, prácticos y
procedimientos que relacionan con las condiciones, datos e incógnitas del problema.
El tercer paso tiene que ver con la ejecución de lo planificado en el paso
anterior, se requiere de la comprensión total de la situación problema, efectuar todas
las operaciones aritméticas, algebraicas o geométricas y finalmente comprobar cada
uno de los pasos realizados.
El último y cuarto paso consiste en realizar una auto-evaluación sistemática
de todo el procedimiento o razonamiento ejecutado en la resolución del problema y
236
las respuestas que se obtuvieron; es muy útil aplicar otras formas de resolver el
problema, para establecer juicios comparativos y determinar la similitud en las
respuestas y la complejidad de los procedimientos o planes ejecutados.
En el siguiente mapa conceptual se pueden observar los pasos que Polya
expone para la resolución de problemas.
Gráfico 5.3. Pasos para la resolución de problemas. Basado en Polya (1978:51).
Como estrategia de enseñanza generalmente el docente puede utilizar dos o
más planes de resolución para ofrecer al alumno diferentes alternativas para que
pueda juzgar cuál de ellas le resulta más comprensible y más práctica, sin olvidar que
“el profesor que desee desarrollar en sus alumnos la aptitud para resolver
237
problemas, debe hacerles interesarse en ellos y darles el mayor número posible de
ocasiones de imitación y práctica” (Polya, 1978:27).
De Guzmán (1999), describe en su modelo para la ocupación con problemas,
elementos semejantes: familiarizarse con el problema, búsqueda de estrategias,
seleccionar una estrategia específica y revisión del proceso para determinar
consecuencias de él, los cuales se pueden representar en el siguiente diagrama:
Gráfico 5.4. Pasos para la resolución de problemas. Basado en de Guzmán (1999:139).
Valiente (2000) expone de una forma más integradora los elementos
necesarios para consolidar estrategias de resolución de problemas que ayuden al
alumno; considera que en todo proceso de resolución deben quedar presentes los
siguientes aspectos:
- Conceptos: Dentro de los cuales se pueden considerar, la discriminación
entre problemas y enunciados, el estudio de la posibilidad de resolución
con los conocimientos que hasta los momentos se tienen, el nivel de
dificultad del problema, las etapas de resolución, los procedimientos de
resolución, entre otros.
- Procedimientos: Como el uso del simbolismo adecuado, el enunciado de
las estrategias que pueden seguirse, la aplicación de la estrategia
específica, la elección de herramientas matemáticas operativas,
discriminación de datos, apoyarse en enunciados análogos al problema,
comprobar las soluciones, explicar el procedimiento seguido.
Familiarizarse con el problema
Búsqueda de
estrategias
Revisión del proceso
Selección de
estrategias
238
- Actitudes: Tales como el impacto del enunciado del problema, la decisión
de resolverlo, iniciativa para elaborar un plan de resolución, originalidad
del procedimiento usado, perseverancia, disposición para cambiar de
estrategia o punto de vista, valoración de resultados obtenidos,
disposición para el trabajo en equipo.
En general según este autor para la resolución de problemas se deben seguir
los pasos siguientes:
- Entender el enunciado.
- Determinar datos e incógnitas.
- Establecer si los datos son suficientes.
- Analizar si el enunciado es un caso particular, límite, general o ambiguo.
- Redactar el problema en forma distinta.
- Reducir el problema a otro más sencillo, si ello es posible.
- Estudiar si se pueden usar ejemplos y contraejemplos.
- Relacionar los datos e incógnitas con un código de referencia simbólico.
- Establecer un plan de resolución.
- Apoyarse en bocetos, cuando ello sea posible.
- Analizar si se tienen recursos matemáticos disponibles.
- Estimar el resultado al que se quiere llegar.
- Efectuar ensayos con los datos del problema.
- Establecer hipótesis.
- Usar el ensayo y error.
- Realizar los cálculos necesarios.
- Analizar si el resultado tiene sentido para los datos proporcionados.
- Comprobar el resultado.
- Dar el resultado en forma completa.
- Representar gráficamente tanto el problema como su solución.
- Verificar si ese problema se puede cumplir en otros contextos.
Kenney & Silver (1993) nos proporcionan estrategias más generales pero que
tienen una consideración importante para la orientación del alumno; para ello es
239
fundamental el proceso de autocontrol del estudiante en matemáticas, el cual se debe
efectuar siguiendo estas pautas:
- Poniéndolo por escrito: Es una forma de evaluar con anticipación la
información que tiene el estudiante de sí mismo, esto se puede estructurar
de la forma siguiente:
Lo que yo sé Lo que necesito saber Espacio para pensar
- Haciendo preguntas de automonitoreo: Consiste en estimular a los
alumnos a formularse preguntas para verificar la comprensión de su
autoconciencia y autoevaluación durante la clase; esto permitirá al alumno
internalizarlas y buscar mejores respuestas para seguir necesidades y
estilos personales. Las siguientes son algunas preguntas que se pueden
formular:
PREGUNTAS RESPUESTAS
(Exactamente) ¿Qué está haciendo Usted?
¿Puede describirlo con exactitud?
¿Por qué lo está haciendo?
¿Cómo encaja en la solución?
¿Cómo le ayuda eso?
¿Qué hará con el resultado, cuando lo obtenga?
- Asimilación de criterios para juicios: La finalidad de esta estrategia es la
de dotar a los alumnos de la habilidad de responder a una autoevaluación
congruente con los criterios y juicios que puedan hacer los profesores.
“Los avances de los estudiantes son más rápidos y de mejor calidad
cuando tienen oportunidades frecuentes de autoevaluación” (Pluvinage,
1996:90).
- El rol del profesor en el autocontrol del alumno: Es la última estrategia
que complementa el autocontrol; específicamente consiste en que el
docente adquiera experiencia para diseñar instrumentos que alimenten el
autocontrol en ámbitos como el conocimiento matemático, los procesos y
las actitudes.
240
Alonso (1994), aporta una serie de principios para enseñar a razonar a los
alumnos y aumentar esta capacidad fundamental en el aprendizaje matemático; estos
son los siguientes:
- Plantear a los alumnos situaciones que generen conflictos cognitivos, es
decir, una constante asimilación y acomodación de nuevos esquemas de
pensamiento o en otras palabras la relación permanente entre
conocimientos previos y la nueva información adquirida a través de un
concepto, definición, teorema, ejercicio o problema.
- Enseñar procedimientos que faciliten la representación de las situaciones
sobre las que se razona y la posibilidad de atender todos los elementos
que la conforman sin sobrecargarse de información.
- Estimular al alumno para que piense en voz alta el proceso de
razonamiento que desee desarrollar y utilizar.
- Perfeccionar de forma progresiva los hábitos de razonamiento eficientes,
mediante la práctica y una adecuada información correctora.
- Familiarizar a los alumnos con las distintas áreas del conocimiento, para
proporcionar no sólo el carácter interdisciplinar de las matemáticas, sino
también para que adquieran información valiosa de una diversidad de
ciencias que le garantizarían el éxito en la resolución de problemas
vinculado a las mismas.
Sugiere también la enseñanza a los alumnos de las siguientes estrategias para
facilitar la planificación y resolución de problemas:
- Analizar los medios y fines, es decir, dividir el problema en una serie de
submetas para avanzar por pasos hacia la meta general.
- Trabajar hacia atrás para obtener una visión retrospectiva del problema.
- Simplificar, es decir, hacer uso de problemas más sencillos y semejantes
al que se quiere resolver.
- Generalizar/especificar. Estrategia que permite considerar el problema
como un caso particular de otro más general o como un caso más especial.
- Tanteo simple o sistemático. Consiste en ir probando posibles formas de
solución aleatoria o sistemáticamente.
- Reformular el problema. Se refiere al proceso de redefinir las metas de un
modo más específico.
241
- Buscar información adicional.
- Dividir sistemáticamente el problema por la mitad.
- Aplicar reglas conocidas.
- Buscar contraejemplos.
- Realizar una tormenta de ideas. Este procedimiento es útil para buscar
soluciones creativas a problemas mal definidos.
- Usar analogías y metáforas procedentes de otras disciplinas.
- Consultar a un experto.
Las implicaciones que tienen estas estrategias para la planificación de la
enseñanza en el aula de matemáticas son fundamentales para consolidar la propuesta
didáctica; según Santaló et al (1994), se necesita considerar variables tales como:
- La eliminación de aspectos innecesarios de los programas de estudio.
Cree indispensable analizar la pertinencia que tienen los mismos para la
formación matemática e integral del alumno.
- La elección de problemas apropiados a las características de los alumnos,
y paralelamente a esto aclarar las diferentes dudas de los alumnos para no
descartar los diferentes caminos de solución que estos propongan, puesto
que muchas veces pueden sorprendernos la imaginación e ingenio que
puedan tener.
- Utilizar colecciones de problemas que sirvan de ejemplo para favorecer el
intercambio de problemas y soluciones entre profesores, entre profesores
y alumnos y entre alumnos.
- Alentar a los alumnos para que lleven a las clases problemas de diversas
índoles para promover las discusiones entre todos los actores del proceso
de enseñanza y aprendizaje.
- Determinar y poner especial interés en el origen de las buenas ideas, para
conocer a los alumnos con talento matemático e incorporarlos como
lideres en equipos de trabajo cuya función sea de apoyo a los que tengan
dificultades.
De manera similar, Santos (1996), propone cuatro actividades instruccionales
que han demostrado ser eficientes como estrategias de resolución de problemas:
242
- Exposición por parte del instructor. El docente debe preparar el tema o los
problemas con varias formas de solución, antes de tomar el camino
adecuado; por otro lado, se deben plantear problemas que sean nuevos
para el profesor, para que sus alumnos logren observar de una manera más
realista los procesos que se involucran en su resolución; estos problemas
pueden inclusive ser propuestos por los mismos alumnos.
- Discusión en pequeños grupos. Se persigue que los alumnos intercambien
significados para que posteriormente construyan por sí mismos
conocimientos y adquieren las capacidades necesarias para la resolución
de otros problemas.
- Presentaciones individuales por parte de los estudiantes. El aspecto
fundamental que se desea lograr en esta actividad, es que el alumno
aprenda a comunicar sus ideas, recurriendo a diversos ejemplos y
contraejemplos o a utilizar diferentes formas de representación para
probar o demostrar la validez de sus proposiciones.
- Participación grupal. Se debe realizar con la coordinación y evaluación
del docente para garantizar el intercambio de las ideas sugeridas por los
alumnos de manera equilibrada para promover la participación de los
mismos.
Además, es importante señalar lo que se expone en uno de los boletines
informativos del Comité Interamericano de Educación Matemática (Patrick, 1997:1),
en el cual se describen algunos resultados de la aplicación de este tipo de estrategias
para la enseñanza de la Matemática; en la exposición se hace una comparación entre
los métodos de enseñanza utilizados por países como Estados Unidos y Alemania por
un lado, y Japón por otro.
Los profesores norteamericanos y alemanes hacen “énfasis en la adquisición
de destrezas y existe una tendencia muy fuerte de seguir el siguiente patrón:
1. El profesor imparte una lección a los alumnos sobre un concepto o una
destreza.
2. El profesor resuelve algunos ejemplos para toda la clase.
3. Los alumnos practican por si solos mientras el profesor ayuda a algunos
individualmente”.
243
Por otro lado, en Japón, aparentemente, se hace énfasis en la comprensión de
conceptos y en el desarrollo del pensamiento. El patrón de las lecciones es muy
diferente:
1. “El profesor plantea un problema complejo que estimula el razonamiento.
2. Los alumnos se esfuerzan en resolver el problema.
3. Los alumnos presentan sus ideas/soluciones a la clase.
4. La clase discute los varios métodos de solución.
5. El profesor hace un resumen de las conclusiones de la clase.
6. Los alumnos practican problemas semejantes”.
Como consecuencia del uso de este último método Japón ocupó el primer
lugar en la evaluación realizada por la TIMSS entre los años 1994 y 1995. “El
promedio del rendimiento de los alumnos de Japón les coloca en un grupo de países
que está significativamente por encima del promedio internacional. Los alumnos de
los Estados Unidos y Alemania lograron promedios de rendimiento que no difieren
signicativamente del promedio internacional” (Patrick, 1997:1).
V.3.2.4. El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la
perspectiva de la interacción social entre profesor y alumnos, mediante la
comunicación y la participación
El clima social se define como “la calidad de las interacciones entre
estudiantes-profesores y entre estudiantes-estudiantes” (Emmons, Comer y Haynes
1996, citado por Trianes et al., 2006:1). Siguiendo las consideraciones que Medina &
Sevillano (1994) realizan sobre el clima social del centro educativo, podemos decir
que el clima social del aula es el ecosistema resultante de la multitud de interacciones
que se generan simultáneamente y/o sucesivamente entre el conjunto de actores del
proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación en el nivel interpersonal,
microgrupal o macrogrupal.
Un verdadero clima social para enseñar y aprender debe estar impregnado del
intercambio de las ideas que surgen de los actores del proceso de enseñanza-
aprendizaje bajo un código de símbolos bien definido, en un contexto social
dinámico, con características muy particulares y de integración pluralista. Para
nuestra propuesta consideramos de vital importancia los diferentes elementos que
constituyen el clima social, los cuales describimos a continuación:
244
- Los actores: El profesor y los alumnos con sus respectivas tareas y
funciones dentro del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación.
- Las relaciones sociales: Son las actuaciones psico-socio-interactivas que
se originan y desarrollan entre los actores del proceso de enseñanza,
aprendizaje y evaluación. Dentro de estas relaciones podemos mencionar
la colaboración o competitividad, empatía o rechazo, seguridad o
inseguridad, confianza versus desconfianza, actividad-pasividad,
autonomía-dependencia, igualdad-desigualdad, gratificación-frustración y
flexibilidad-rigurosidad.
- La comunicación: Definida como un proceso de intercambio de
información que se genera entre los actores del proceso didáctico de la
Matemática en el aula, caracterizado por la comprensión eficiente de ideas
y símbolos.
- El contexto socio-cultural: Constituido por las pautas, valores,
expectativas, metas, creencias, que marcan la vida del grupo de alumnos y
su profesor.
- La situación arquitectónica: Se refiere a las condiciones de infraestructura
del salón de clase, puesto que el espacio físico, ubicación del mobiliario,
ventilación, iluminación, capacidad, decoración, entre otras, pueden
influir en el pleno desenvolvimiento de las clases.
- El tiempo: Considerado como un elemento determinante si se administra
adecuadamente en la planificación y ejecución de las actividades del
proceso didáctico.
El clima social del aula es un aspecto de suma importancia para el desarrollo
óptimo del proceso enseñanza-aprendizaje, pues se ha demostrado que “los
ambientes que proporcionan seguridad y confort se relacionan con un incremento de
la creatividad y conducta exploratoria, cooperación y relaciones amistosas,
posibilitando procesos de madurez personal, organización de competencias
psicológicas y funciones de aprendizaje y motivacionales” (Trianes et al., 2006:5).
Aunque los componentes netamente cognitivos nos ofrecen información
profunda del problema de cada situación de aprendizaje dentro del aula, también es
cierto que dentro de todo este proceso somos los seres humanos quienes participamos
con todo nuestro perfil integral, caracterizado no sólo con la objetividad pedagógica
o científica, producto del quehacer investigativo, sino que además se le agrega a todo
245
esto la interacción social que entre los alumnos ocurre, incluyendo por supuesto al
profesor.
La relación que existe entre la enseñanza y el clima social en el aula nos
dirige la atención sobre lo que deberíamos hacer los docentes para garantizar un
proceso didáctico orientado más al alumno y sobre todo a sus características
particulares. En primer lugar, cabe destacar lo que expresa Schulman (1986), citado
por Medina & Sevillano (1994) sobre los aspectos esenciales dentro de la enseñanza,
estos son: “la actividad socio-interactiva y el desarrollo intelectual”. Precisamente
uno de los problemas dentro de las matemáticas radica en que nosotros, como
profesores, damos mayor importancia al desarrollo intelectual; inclusive, la mayor
parte de las investigaciones en Didáctica de la Matemática tienen presente el aspecto
de la construcción del conocimiento, sin embargo uno de los principales objetivos es
el de presentar actividades generadoras de un clima humano y social en los
programas de enseñanza para que la instrucción no sólo ofrezca a los alumnos las
bases de un aprendizaje intelectual significativo, sino también un desarrollo social.
Hasta el momento presente hemos dirigido nuestra práctica docente bajo el
paradigma cognitivo, que analiza el proceso-producto que se origina en la actividad
intelectual de los alumnos, descuidando la sensibilidad emocional, actitudes y
creencias que los mismos tienen como seres humanos; no obstante tenemos que
mirar hacia nuevos paradigmas que tenga en cuenta la socio-afectividad, pero sin
descuidar los procesos cognitivos del alumno. Gaje & Bolster (1986) citado por
Medina & Sevillano (1994), exponen un paradigma etnográfico-sociolingüístico
(interaccionista-simbólico), el cual puede servirnos para construir nuestro Programa
de enseñanza de estrategias de aprendizaje. En este paradigma se consideran los
aspectos siguientes:
- La importancia de la participación de los alumnos en el aula.
- El conocimiento del lenguaje empleado en clase.
- El lenguaje situacional de los docentes para organizar y poner orden en la
clase.
- El contraste entre formas y funciones verbales.
- El sentido latente y real de los mensajes.
Se trata, según los autores citados, de construir una didáctica centrada en el
aspecto cualitativo y buscar más sobre las características del sujeto, analizar el
246
intrasujeto, cuestión esta que tenemos muy descuidada al menos en el contexto donde
realizamos esta investigación.
Dentro de nuestras universidades y sin temor a equivocarnos, el sentimiento
de rechazo hacia los profesores de esta área es casi general, quizás como
consecuencia de un estilo de liderazgo autócrata, crítico, amenazador, que exige
obediencia, temor, etc.; o de un estilo burócrata que mantiene el sistema y el negocio,
cuida los detalles, racional, lógico, imparcial, ajustado a las normas y reglamentos
(Reddin B. 1997); estos dos estilos son los más apreciados por nosotros como
profesores, sin descartar el estilo de liderazgo complaciente que muchas veces se
utiliza para contrarrestar los conflictos dentro del aula, situación nada ideal para el
proceso didáctico.
Esta situación hace necesario hacer un esfuerzo por cambiar paulatinamente e
ir desarrollando las cualidades de un docente que toma decisiones, utiliza el trabajo
en equipo, utiliza la participación adecuadamente, fomenta el compromiso del
alumno con los objetivos que tienen que lograr, estimula el logro, etc.; así tendríamos
estudiantes con una mayor confianza en nosotros y contribuiríamos de esta manera a
elevar la autoestima del alumno y a crear un mejor clima social que nos ayudaría a
orientar de una forma más óptima el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación;
todo esto es un proceso en donde tendríamos que cambiar nuestro hacer, lo cual es
algo muy difícil de aceptar, sobre todo si se tienen muchos años de experiencia
docente.
Aplicando el antiguo estilo de liderazgo autoritario, estamos obstaculizando
los nuevos cambios y en consecuencia, formando alumnos sin una verdadera actitud
crítica; recordemos que en la educación se multiplican tanto las cualidades como los
defectos que forman parte de nuestra idiosincracia, quizás nuestro comportamiento
obedece a la forma en que nuestros maestros nos formaron y lamentablemente esto
también vamos a trasmitirlo a nuestros estudiantes, de modo que, si no queremos
futuros profesionales sin autoestima, sin confianza en sí mismos, con temores, sin
actitud crítica, tenemos que ir cambiando los viejos esquemas de liderazgo.
247
V.3.2.5. El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y
equilibrada como fundamento para el crecimiento académico, personal y
socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática
La evaluación es considerada como el aspecto más álgido dentro del proceso
didáctico de cualquier disciplina, más aún en la Matemática. Por su condición
formalista y tradición absolutista, se la ha reducido a la simple aplicación de pruebas
con la única finalidad de obtener resultados cuantitativos que demuestren la
aprobación o reprobación de los estudiantes en función de los objetivos descritos en
el currículo oficial de los diferentes niveles de educación, “por lo que se refiere a las
matemáticas está claro que el predominio de las conductas que expresan un alto
rendimiento en el conocimiento de hechos, definiciones y conceptos así como el
dominio de las destrezas de cálculo, razonamiento y representación, constituyen la
práctica totalidad de las actividades de evaluación” (Rico. Citado por Mosquera &
Quintero 1996:111).
Para el alumno, la evaluación se ha convertido en una situación estresante y
perturbadora que limita su capacidad de creación intelectual y, para el docente, ha
representado una labor tediosa e incómoda para sus funciones de orientador y
mediador del aprendizaje. La puesta en práctica de todo programa de enseñanza-
aprendizaje que pretenda innovar la práctica docente no puede lograr sus propósitos
sin la incorporación de un proceso de evaluación reestructurado y relacionado con
los principios en los que se fundamenta el nuevo proceso didáctico que se desea
aplicar en el aula; es por esta razón que el enfoque positivista, conductista y
cuantitativo que todavía prevalece en la educación debe ser reorientado hacia un
enfoque más descriptivo, reflexivo y orientador caracterizado por la diversificación
de estrategias, actividades e instrumentos de evaluación que resalten la valoración de
la participación activa del alumno en la construcción de su aprendizaje, no sólo a
través de sus logros intelectuales, sino también a través de las cualidades personales
y socio-afectivas que forman parte de su formación integral.
Para superar el problema de cómo evaluar desde un punto de vista
constructivista, debemos principalmente considerar la transición de las operaciones
concretas hacia las abstractas que suceden en los aprendizajes matemáticos,
brindando al alumno la oportunidad de vivir la experiencia de llevar a cabo este
proceso de construcción hasta que logre llegar a los niveles superiores del
conocimiento y lenguaje matemático, teniendo presente que esto se efectúa a un
ritmo paulatino y progresivo, para evitar la presión que se ejerce en el alumno como
consecuencia de la exigencia académica de un programa cerrado e inflexible que ha
248
ocasionado una actitud de obligación y no de motivación hacia las matemáticas,
puesto que, el alumno lo que desea es aprobar más que aprender. “La evaluación
centrada en procesos, está dirigida a aclarar y comprender la dinámica interna del
hecho educativo, lo cual requiere de una descripción detallada y de una
documentación diaria que permita orientar, retroalimentar y mejorar la acción
educativa” (Ministerio de Educación, 2005:12).
Dentro de nuestra propuesta concebimos la evaluación constructivista como
un proceso sistemático, equilibrado, flexible, dinámico, integral, cuyo propósito
fundamental consiste en emitir juicios de valor en función de los resultados
cualitativos y cuantitativos obtenidos de la aplicación de técnicas, actividades e
instrumentos elaborados bajo criterios de validez y confiabilidad que tengan en
cuenta el proceso, producto y avance del aprendizaje, determinados por el contexto
biosicosocial que influye tanto en el alumno como en el profesor, esta
conceptualización se corresponde con la posición de Ontoria et al. (2001:105),
quienes señalan que: “La evaluación es parte integrante de todo modelo educativo
que se refleja en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, en definitiva, es una
actividad primordialmente valorativa e investigadora, a través de la cual se toman
decisiones que contribuyen a regular el proceso educativo. De ahí que el proceso
evaluador no tenga un carácter puntual, sino procesual y continuo”.
De igual forma sigue la postura de Stake (1975), citado por Rosales
(1990:24), en la cual señala que “la evaluación debe realizarse a través de un
método pluralista, flexible, interactivo y orientado hacia el servicio. En ella hay que
tomar en consideración además de los resultados, los antecedentes, los procesos, las
normas y los juicios”. Por esta razón se deben incorporar en el diseño y planificación
de la enseñanza, técnicas y actividades de evaluación tales como la entrevista, la
observación, el debate, las discusiones grupales, la presentación de ideas, la
participación en la resolución de problemas, así como presentar proyectos
relacionados con los contenidos matemáticos desarrollados durante la clase. De este
modo se da la oportunidad al alumno de demostrar sus diferentes habilidades y poder
autoevaluarse, y al docente de obtener mayor información para reflexionar sobre las
fortalezas y debilidades del proceso didáctico y así poder valorar de manera más
justa y equilibrada el aprendizaje de sus estudiantes.
En nuestra propuesta queremos resaltar las funciones de la evaluación, en
primer lugar la función diagnóstica como parte inicial y esencial en la planificación
del proceso didáctico de la Matemática, puesto que la determinación de las
características cognoscitivas, los aprendizajes previos y las cualidades de los
249
estudiantes, son cruciales para el diseño de las estrategias, actividades y recursos que
garanticen el logro del aprendizaje significativo; en segundo lugar, la función
formativa nos brindará la oportunidad de generar la reflexión integral y holística
antes, durante y después del proceso didáctico, para efectuar los cambios necesarios
que mejoren la práctica docente y actuación didáctica. Estas dos primeras funciones
determinarán la forma de llevar a la práctica la función sumativa de la evaluación,
con menor o mayor grado de complicación en el momento de tomar decisiones sobre
los resultados finales para la certificación, promoción o repetición y selección de los
alumnos.
Por el carácter complejo de la evaluación constructivista que pretendemos
implementar para lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas a través del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, ofreceremos sólo una
aproximación teórica de algunos aspectos para lograr una verdadera orientación e
intervención del proceso didáctico desde la óptica de este paradigma.
En los siguientes mapas conceptuales presentamos tanto la descripción del
proceso de evaluación constructivista, como la fundamentación teórica del Programa
de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las
matemáticas, explicando con este recurso de una forma más efectiva sus
fundamentos, objetivos, principios, elementos y aquellos aspectos esenciales que lo
configuran.
250
Gráfico 5.5. Proceso de evaluación constructivista.
251
Gráfico 5.6. Fundamentación teórica del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal
en el aprendizaje de las matemáticas.
252
V.4. FASES QUE ESTRUCTURAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA
DEL PROGRAMA
Las fases que constituyen nuestra propuesta tienen un enfoque integral por la
forma en que diversos elementos, estrategias, procedimientos de enseñanza,
actividades, recursos y evaluación se engranan para atribuir mayor fortaleza al
proceso didáctico de la Matemática. Además, queremos dejar claro que no representa
una guía rigurosa y esquemática de planificación, ejecución y orientación de la
actuación didáctica, por consiguiente presenta flexibilidad y libertad tanto a los
docentes como a los alumnos para que contribuyan a mejorarlo a través de las
sugerencias que puedan incorporar.
De acuerdo con los objetivos propuestos, la fundamentación psicológica y
epistemológica y los pilares que constituyen la propuesta didáctica, su secuencia la
estructuramos en las fases siguientes:
V.4.1. Fase de Exploración
Su finalidad consiste en diagnosticar y analizar las diversas características
que tienen los alumnos desde el punto de vista cognitivo, sus aprendizajes previos, su
actitud, su estado socio-afectivo y el contexto en el que se desenvuelven. Esto
representa para la planificación de la enseñanza el punto de partida para la secuencia
de los contenidos, desde los más sencillos hacia los más complicados, y para definir
las estrategias adecuadas al nivel cognitivo del alumno estableciendo un proceso de
interacción socio-afectiva entre el docente y sus alumnos al compartir sus diferentes
expectativas, inquietudes y puntos de vista.
Para lograr obtener esta información en la fase exploratoria el docente puede
utilizar los instrumentos y técnicas de evaluación pertinentes, que pueden ser, desde
la simple observación informal, hasta las pruebas de valoración de aprendizajes
previos, guías de entrevistas, cuestionarios y el procedimiento socrático, en el que se
utilizan preguntas y respuestas para verificar el nivel de aprendizaje del alumno, y así
establecer la conexión entre lo aprendido y el nuevo aprendizaje.
En esta fase también hay que tener en cuenta la naturaleza formal del tema a
desarrollar y su nivel de complejidad para establecer las estrategias y recursos que
garanticen su concreción y manipulación con el fin de facilitar el aprendizaje
significativo de los conocimiento matemáticos, lo que implica para el docente
253
desarrollar su labor creativa en el diseño, elaboración y presentación de recursos que
establezcan la relación de los contenidos con la vida cotidiana, tales como:
fotografías, vídeos, modelos a escala, y la historia de la evolución y aplicación de
esos conocimientos al desarrollo de la humanidad.
Así mismo, se considerará las condiciones físicas del aula y los recursos
didácticos para satisfacer las necesidades requeridas por el docente y sus alumnos,
además, se deben tomar las medidas adecuadas para organizar el mobiliario, su
ubicación en forma matricial, en círculo o semicírculo, pues influye notablemente en
la comunicación de la información dentro del aula.
V.4.2. Fase de Presentación
El tema que se va a desarrollar debe seguir progresivamente un proceso
inductivo de construcción de significados, cuyo origen se localiza en las ideas
iniciales y cotidianas que posee el alumno sobre los contenidos matemáticos,
fomentando de esta manera la participación activa y promoviendo la motivación
intrínseca y extrínseca de cada estudiante. Esta actividad se debe apoyar en la
orientación instruccional del profesor y en los recursos audiovisuales
complementarios para que la presentación tenga un sentido tanto lógico como
psicológico, pues son aspectos fundamentales dentro del aprendizaje significativo.
Para lograr el objetivo principal en esta fase, hay que motivar e incorporar a
cada alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje, también se pueden incorporar
actividades grupales que generen discusiones y debates sobre los aspectos básicos de
los contenidos; estos pueden ser asignados con anticipación por el docente, por
ejemplo, antes de iniciar el estudio del sistema de los números naturales, se pueden
asignar pequeñas investigaciones sobre su origen e historia y efectuar su exposición
para establecer conclusiones que ayuden a comprender mejor toda la teoría
matemática de los números naturales.
Asimismo, el uso de los talleres de discusión en pequeños grupos de estudio y
debate sobre la resolución de problemas introductorios con significado y relevancia
dentro del contexto social de los alumnos, pueden atribuirle a la clase mayor
motivación, para ello se extraen ejemplos prácticos de situaciones problemáticas
sobre la economía local, familiar y personal. Este proceso nos conducirá
progresivamente a la construcción formal de conceptos, definiciones y significados
propios de la Matemática desde las situaciones concretas hasta llegar a la
254
comprensión y manipulación de la abstracción del conocimiento matemático a través
de su lenguaje simbólico.
Esto significa que la fase de presentación se inicia con una primera etapa de
manipulación de los aspectos concretos de los conceptos matemáticos a través de
ejemplos cotidianos, luego una segunda etapa constituida por la utilización de
representaciones gráficas y visuales para organizar la información y, en último lugar
la aplicación del lenguaje matemático para representar la información abstracta.
V.4.3. Fase de Valoración Cognitiva
En esta etapa se pretende efectuar el primer acercamiento para valorar el
proceso cognitivo interno de construcción de los aprendizajes, observando el grado
de asimilación y acomodación que los alumnos han alcanzado; esto requiere de la
aplicación permanente de la entrevista y de actividades de monitoreo, en las cuales el
profesor indague a través de pequeñas preguntas el grado de comprensión que los
alumnos tienen sobre los aspectos desarrollados durante la clase.
El proceso de orientación dirigido por el docente es la base fundamental para
lograr que el alumno aprenda a aprender a través de las estrategias pertinentes que le
permitan autoevaluarse y establecer sus debilidades, fortalezas y aspectos a mejorar
dentro de su nivel de aprendizaje alcanzado. En algunos momentos, se podrá utilizar
la retroalimentación como un instrumento complementario para aclarar dudas,
corregir desaciertos y resaltar logros, aspectos que le permitirán al profesor valorar
formativamente el proceso didáctico de la clase.
En esta etapa se determina en qué medida el alumno ha logrado establecer la
conexión entre los antiguos aprendizajes y la nueva información procesada, y si
existe un aprendizaje significativo; para verificar esto, se hace necesario implementar
una serie de actividades destinadas a consolidar el proceso de construcción del
aprendizaje matemático y la respectiva internalización cognitiva a través de
asignaciones tales como talleres de problemas de aplicación, elaboración de
pequeños proyectos, resúmenes, esquemas, mapas conceptuales, diagramas y
cuadros, los cuales brindarán al alumno la posibilidad de apropiarse de la
información en función de sus estrategias de aprendizaje.
255
Exploración Valoración del nivel cognitivo, aprendizajes previos, actitud,
estado socio-afectivo y contexto
Presentación Proceso inductivo de
construcción de significados desde la manipulación, representación gráfica y
simbólica
Valoración cognitiva Grado de asimilación y
acomodación que los alumnos han alcanzado
Proyección Lograr un pensamiento,
crítico, reflexivo y creativo en el alumno para aplicarlo en la
resolución de problemas novedosos
V.4.4. Fase de Proyección
Hemos destacado como principal finalidad dentro de nuestra propuesta
didáctica el logro de un pensamiento crítico, reflexivo y creativo por parte del
alumno; por consiguiente, la última fase está planificada con el objetivo de enfrentar
a los alumnos con situaciones novedosas, en donde apliquen los diferentes
aprendizajes matemáticos logrados para resolver problemas y, de este modo,
construyan nuevos conocimientos que les sean útiles para abordar nuevos problemas.
Los alumnos se forman en las diferentes habilidades creativas para desarrollar
actividades propias de investigadores noveles, resaltando el carácter
interdisciplinario de la Matemática, colocándola al servicio de las demás asignaturas
que forman parte del currículo universitario.
También queremos destacar las diferentes formas en que se manifiesta la
Matemática en los diferentes adelantos tecnológicos, y cómo los alumnos pueden
explicar su funcionamiento utilizando el razonamiento matemático y los contenidos
que están involucrados para dar una mayor amplitud a la relación de ésta con el
contexto social y cotidiano que nos rodea.
En el siguiente diagrama presentamos la sintaxis de las fases del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas,
para orientar mejor su comprensión.
Gráfico 5.7. Fases del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje
de las matemáticas.
256
V.5. CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL DIDÁCTICO
Para atribuir concreción al Programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas nos apoyaremos en el diseño,
elaboración, presentación y aplicación del material didáctico en su versión escrita,
como primer recurso para el aprendizaje de los alumnos, complementándolo con
diversos materiales visuales, entre los cuales destacamos los videos, fotografías,
ilustraciones y gráficos, recordando que estos cumplen funciones implícitas de
“motivar la lección, aclarar ideas establecidas, confirmar un conocimiento y evaluar
un aprendizaje” (Valiente, 2000:101).
Hemos señalado anteriormente la gran importancia de iniciar el proceso
didáctico de la Matemática desde la fase concreta para lograr una construcción
progresiva del aprendizaje significativo y llegar hasta a la presentación abstracta y
lógica de los objetos matemáticos; por consiguiente, adoptaremos el enfoque del
material didáctico concreto, mediante el cual el alumno tiene la oportunidad de tomar
su propia experiencia y conocimientos previos para extraer y descubrir información y
así poder comprender los significados abstractos de la Matemática. Por esta razón, el
material seguirá la secuencia que propone Bruner (1964) para la enseñanza de las
matemáticas, siguiendo las etapas enactiva, icónica y simbólica en la presentación de
los conocimientos matemáticos.
Hay que destacar que esta idea viene desarrollándose desde hace mucho, pero
su concreción ha tenido mucha resistencia. Según Castelnuovo (1973:64) “La
enseñanza de las matemáticas debiera partir de lo concreto para tomar las ideas
generales y conducir al alumno a la abstracción…debe tener como objetivo llevar
poco a poco llevar a los alumnos de lo cualitativo a lo cuantitativo, valiéndose del
hábito mental dado por le estudio de las matemáticas y de las nociones aritméticas y
geometría aprendidas con el curso paralelo”.
En cuanto a la presentación del material didáctico, en primer lugar
destacamos el sentido psicológico que debe tener para lograr despertar el interés y la
motivación de los alumnos hacia el bloque de contenido a desarrollar; para esto se
incorporan suficientes imágenes, gráficas, ilustraciones, diagramas, mapas
conceptuales y elementos propios del contexto social del alumno que representen
relevancia. En segundo lugar, el sentido lógico, el cual está relacionado con la
estructura organizada y coherente de los contenidos desde los más sencillos hasta los
más complejos, cuestión que se aplica también a la resolución de ejercicios y
problemas de aplicación, los cuales deben activar el conflicto cognitivo en el alumno
257
para lograr la acomodación y asimilación del nuevo aprendizaje. Tanto el sentido
psicológico como el lógico son fundamentales: “al aprendizaje del material sin
sentido no tiene valor de transferencia y se opone al material con sentido, que es
sumamente susceptible de ser transferido” (Araujo & Chadwick, 1988:138).
Para garantizar la comprensión de la información del material didáctico, el
lenguaje escrito utilizado debe tener una secuencia progresiva, desde las nociones e
ideas intuitivas de los conceptos, definiciones y propiedades matemáticas hasta su
presentación formal; con ello se persigue evitar el problema que tienen los
estudiantes al comprender y aplicar la abstracción, y el simbolismo que tienen la
mayoría de los textos de Matemática. Bereiter (1985), citado por Hernández y
Sancho (1993:98), nos ofrece también las siguientes recomendaciones para ayudar a
superar la incapacidad de los alumnos en la asimilación de los conocimientos que se
exponen en los libros-textos:
- Seleccionar y secuenciar el material escrito para lograr establecer la
relación entre las partes y el todo de la información.
- Activar los conocimientos previos de los alumnos antes de utilizar el
nuevo material.
- Resaltar lo novedoso que los conceptos y términos poseen dentro del
material.
- Orientar sobre los aspectos difíciles para evitar formular hipótesis y
conclusiones falsas.
- Formular constantemente preguntas cuyas respuestas puedan encontrar en
el material, para que se familiaricen con el mismo.
- Establecer una relación permanente entre los contenidos nuevos y los
conocimientos que ya poseen.
- Promover la participación del estudiante en la presentación y
comunicación del aprendizaje a través de gráficos, esquemas, resúmenes,
cuadros, mapas conceptuales, etc.
El material didáctico también posee una gran diversidad de actividades tanto
individuales como grupales para que se desarrolle la integración social y la
participación adecuada de todos los actores del proceso didáctico, además, fomenta
la comunicación entre los mismos principalmente en el intercambio de ideas,
información y significados producto de la reflexión y creación del conocimiento en
las estrategias utilizadas para resolver ejercicios y problemas planteados, de tal
258
manera que el alumno pueda desarrollar, según Vygostky (1979), su zona de
desarrollo potencial y activar dentro del aula un verdadero aprendizaje sociocultural.
CAPÍTULO VI: DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE
SISTEMAS NUMÉRICOS
261
CAPÍTULO VI:
DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE SISTEMAS
NUMÉRICOS
VI.1. JUSTIFICACIÓN
Las necesidades que determinamos en la primera fase diagnóstica de nuestra
investigación en cuanto al nivel de aprendizaje logrado por los alumnos, nos han
revelado una situación precaria en las estrategias de aprendizaje utilizadas por los
alumnos para abordar los contenidos de la unidad de sistemas numéricos; por
consiguiente, su desempeño en el dominio de los conceptos, definiciones,
propiedades y procedimientos correspondientes, también tuvieron una poca
valoración desde el punto de vista cognoscitivo. Esta situación se explica, en primer
lugar, porque los alumnos que ingresan al sistema universitario poseen hábitos de
estudio tradicionales desde su formación en la escuela básica y bachillerato y, en
segundo lugar, esto se conjuga con las estrategias de enseñanza y aprendizaje
aplicadas por los docentes siguiendo las orientaciones estrictamente conductistas,
produciéndose de esta manera una débil consolidación en los aprendizajes necesarios
para continuar con sus estudios superiores en el nivel profesional.
Para dar una respuesta a este problema, hemos considerado las orientaciones
epistemológicas bajo las cuales fundamentamos nuestro Programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal, para guiarnos hacia la concreción de este material
didáctico o el diseño de la Unidad Didáctica sobre los Sistemas Numéricos, cuyos
contenidos son de vital importancia en la formación matemática de todo estudiante
de la carrera de Educación Integral, puesto que constituyen la base fundamental del
aprendizaje formal de esta disciplina en el currículo universitario y sobre todo para
su futura labor profesional docente.
El enfoque con el que diseñamos, elaboramos y presentamos esta unidad
didáctica la convierte en una propuesta innovadora, puesto que a través del
constructivismo pretendemos con ella implementar una manera diferente de presentar
y desarrollar los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, que son los
contenidos que conforman la unidad III del programa de la asignatura Matemática
General del primer semestre de la Carrera de Educación Integral. Por consiguiente, el
eje central de la misma será la enseñanza de los conceptos, definiciones, propiedades
y demás información, utilizando para ello estrategias de aprendizaje para organizar la
262
información y resolver ejercicios y problemas, además de incorporar actividades para
fomentar el clima social del aula y la actitud positiva del alumno hacia las
matemáticas.
Cabe destacar que los alumnos no disponen de materiales escritos desde esta
perspectiva epistemológica. La mayoría de los textos, sino todos, aún conservan las
directrices formativas y rigurosas de la Matemática y el tradicionalismo pedagógico
del conductismo, por lo tanto esta unidad didáctica diseñada y elaborada bajo las
orientaciones de nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal
constituyen un apoyo y garantía, en primer lugar, para los alumnos y, en segundo
lugar, para el docente de la asignatura, con la pretensión de potenciar el aprendizaje
significativo esperado dentro del programa de estudio.
263
VI.2. OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
El diseño, elaboración y aplicación de esta unidad didáctica para desarrollar
los contenidos relativos a los sistemas numéricos persigue dentro del proceso
didáctico los siguientes objetivos:
- Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno de la
asignatura Matemática General un aprendizaje significativo y el
pensamiento creativo en la resolución de problemas de su interés, para
generar un proceso didáctico en el aula que consolide la construcción
progresiva, reflexiva y científica de los conocimientos matemáticos de la
Unidad de Sistemas Numéricos, utilizando los aportes teóricos del
paradigma constructivista.
- Orientar al docente de la asignatura Matemática General en los diferentes
procedimientos, recursos y actividades de enseñanza y evaluación, que
constituyen el proceso didáctico constructivista en esta área del
conocimiento para consolidar su formación psicopedagógica.
- Fomentar la comunicación durante el desarrollo de los contenidos de la
Unidad de Sistemas Numéricos, para lograr la participación, debate,
reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en el
proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto, dinámico y
flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno hacia la
asignatura Matemática General.
264
VI.3. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Para centrarnos de manera precisa en el desarrollo de los contenidos nos
hemos planteado los siguientes objetivos de aprendizaje; se espera que el alumno:
- Desarrolle estrategias para aprender a aprender los conceptos,
definiciones y propiedades que forman parte de los aspectos teóricos de la
unidad de sistemas numéricos.
- Utilice las diferentes estrategias de aprendizaje para organizar la
información de manera gráfica, escrita y simbólica sobre los aspectos
teóricos de la unidad de sistemas numéricos.
- Comprenda y aplique el lenguaje y notación matemática relativos a los
contenidos de los diferentes sistemas numéricos desde su representación
gráfica hasta la simbología formal.
- Utilice estrategias en la resolución de problemas que garanticen una
comprensión intuitiva y formal de los conceptos, definiciones,
propiedades y procedimientos matemáticos correspondientes a los
sistemas numéricos.
- Participe de forma activa en las diferentes actividades durante el
desarrollo del proceso didáctico de la Unidad de Sistemas Numéricos.
- Desarrolle una actitud positiva hacia los contenidos aprendidos y hacia el
proceso didáctico de la asignatura Matemática General.
265
VI.4. SECUENCIA DIDÁCTICA SUGERIDA PARA EL DOCENTE
Es necesario establecer para el desarrollo de las clases una secuencia
didáctica que oriente la práctica pedagógica del docente durante el desarrollo de las
diferentes estrategias y actividades de enseñanza, aprendizaje y evaluación de la esta
Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos, no obstante consideramos que las fases
que conforman esta secuencia las presentamos de manera flexible para que puedan
adaptarse a los requerimientos propios del grupo de alumnos; es decir, el docente
puede hacer las modificaciones pertinentes para lograr mejores resultados en el
proceso didáctico, siempre y cuando respete los siguientes pilares sobre los que
descansa el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal:
- Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en el
proceso didáctico de las matemáticas. En la Unidad de los Sistemas
Numéricos se requiere de la utilización de estrategias de aprendizaje para
organizar la información escrita, gráfica y simbólica que contribuyan a
desarrollar progresivamente el lenguaje matemático para comprender los
diferentes aspectos teóricos y prácticos de los conjuntos numéricos. En
consecuencia, se han propuesto actividades para que el alumno haga uso
eficiente de las técnicas de estudio como la elaboración de esquemas,
diagramas, cuadros y mapas conceptuales.
- Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones
matemáticas y conducir sucesivamente al alumno hacia la
conceptualización científica y formal del conocimiento matemático.
Consideramos oportuno dentro de la Unidad Didáctica de los Sistemas
Numéricos utilizar la mayor cantidad de ejemplos ilustrativos que estén
relacionados con la vida cotidiana de nuestro contexto social, facilitando
con ello la comprensión intuitiva y el razonamiento inductivo; además, el
pensamiento numérico es una de las áreas más próximas a nuestra
realidad y, por ello, el docente debe sacarle el mayor provecho para
fomentar la construcción formal de los aprendizajes matemáticos en el
alumno.
- Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de
problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión
de la estructura formal de los contenidos matemáticos. Las estrategias que
utilizamos para resolver los problemas en la Unidad Didáctica están
basadas en los pasos referidos por Polya (1978), los cuales se resumen en
266
una lista de preguntas en función de los cuatro aspectos siguientes:
comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y realizar una
visión retrospectiva; en cada uno de ellos, estas preguntas siguen un orden
sistemático de aplicación para efectuar una autoevaluación progresiva del
procedimiento que usa el que resuelve el problema, sin embargo el
docente y el alumno tienen la libertad de implementar procedimientos
diversos para lograr la resolución de los mismos, recordemos que la
principal finalidad es la de resolver suficientes y variados problemas para
lograr el aprendizaje matemático en la Unidad de Sistemas Numéricos, la
cual nos ofrece una gran cantidad de situaciones tanto reales como ideales
para consolidar la resolución de problemas en los alumnos.
- El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la
perspectiva de la interacción social entre profesor y alumnos, mediante la
comunicación y la participación. Las diferentes actividades que contiene
la Unidad de Sistemas Numéricos además de guiar al docente en el
proceso didáctico y brindarles a los alumnos un material de apoyo para
lograr los aprendizajes, tienen como finalidad crear un clima social del
aula caracterizado por las interacciones que se generan entre los actores al
compartir los significados, opiniones, intervenciones y demás ideas para
realizar las asignaciones, que pueden ser preguntas teóricas, ejercicios y
problemas de aplicación. En consecuencia, el docente debe orientar su
práctica pedagógica hacia la comunicación y participación de todos los
actores en el aula para elevar la confianza y actitud del alumno hacia los
contenidos de esta Unidad Didáctica.
- El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y
equilibrada como fundamento para el crecimiento académico, personal y
socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática. En
la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos proponemos una
diversidad de actividades e instrumentos de evaluación para reducir la
dependencia exclusiva de las pruebas escritas y brindar mayor confianza
al alumno para que demuestre sus aprendizajes. La valoración del proceso
de construcción de los aprendizajes cuando los alumnos elaboran un
concepto y resuelven ejercicios y problemas tiene una mayor importancia
en la evaluación de los contenidos de los sistemas numéricos que la sola
aplicación de operaciones aritméticas, fórmulas y algoritmos.
267
Para lograr la autorregulación del pensamiento lógico-formal en el
aprendizaje de las matemáticas y generar el aprendizaje significativo en la Unidad de
Sistemas Numéricos, consideramos seguir las fases que se describen en los epígrafes
siguientes.
VI.4.1. Fase de Exploración
Durante esta fase se planificarán diferentes actividades con la finalidad de
realizar un diagnóstico sobre los conocimientos previos que tienen los alumnos sobre
los Sistemas Numéricos, las estrategias de aprendizaje que utilizan, su estado socio-
afectivo, su actitud y el clima general del aula.
Para obtener esta información inicial nos apoyamos primeramente en la
observación, en las entrevistas abiertas y en pruebas escritas para valorar
principalmente los conocimientos; estos datos nos garantizan dentro de la
planificación un conjunto de estrategias y actividades para estructurar la Unidad
Didáctica y las sesiones de clases, utilizando como punto de referencia los
organizadores avanzados/previos para iniciar los nuevos aprendizajes, además de
tener un mejor conocimiento del grupo de alumnos.
En el caso de la asignatura Matemática General, los alumnos son del primer
semestre de la carrera de Educación Integral, por lo tanto su proceso de adaptación
en la universidad debe desarrollarse de manera progresiva con la ayuda del docente a
través de estas actividades de integración y participación.
VI.4.2. Fase de Presentación
Los aspectos teórico-prácticos que forman parte de la Unidad Didáctica de los
Sistemas Numéricos nos brindan la oportunidad de utilizar una gran cantidad de
situaciones cotidianas para presentar la información, lo que debe ser punto de partida
para construir conjuntamente con los alumnos los conceptos, definiciones, postulados
y demás propiedades y procedimientos matemáticos; esto implica seguir un proceso
intuitivo e inductivo para llegar al razonamiento deductivo y a la definición formal
de los conceptos involucrados.
Los sistemas numéricos desde los números naturales (N), enteros (Z) y
racionales (Q) son los que presentan una mayor relación directa con el entorno social
268
del alumno, puesto que constantemente hacemos uso de estos conjuntos numéricos y
de sus operaciones en todas nuestras actividades diarias, en consecuencia, le daremos
más sentido psicológico y motivación a las clases. Estas experiencias matemáticas
cotidianas también debemos presentarlas utilizando los recursos audiovisuales,
diapositivas, representaciones gráficas en el material escrito, a través de la asignación
de investigaciones de reseñas históricas sobre el origen de los números y su
importancia para el desarrollo de la humanidad.
Debemos destacar también la importancia de las actividades en pequeños
grupos para fortalecer la integración y la participación del alumno. Por esto, la mayor
parte de las preguntas, ejercicios y problemas se realizarán de forma grupal hasta
lograr la autonomía e independencia de cada alumno en los aprendizajes de los
contenidos de esta unidad.
VI.4.3. Fase de Valoración Cognitiva
En el proceso didáctico de la Unidad de los Sistemas Numéricos, todas las
actividades realizadas por los alumnos deben estar en constante evaluación y
orientación para valorar de manera integral todos los elementos involucrados en el
logro de un verdadero aprendizaje significativo de estos contenidos, esto implica una
reconstrucción y reconfiguración de la estructura y secuencia de los contenidos de las
clases para lograr su paulatina adaptación a las necesidades o requerimientos tanto
cognitivos como psicosociales de los estudiantes.
La finalidad principal durante esta fase es determinar las debilidades más
notables en el aprendizaje, analizarlas y tomar las medidas respectivas, utilizando las
estrategias de aprendizaje adecuadas para ayudar al alumno a superarlas; así mismo,
también en esta fase se determinan los aciertos y errores cometidos en la práctica
pedagógica. En la Unidad Didáctica diseñada hemos presentado una gran cantidad de
actividades, ejercicios y problemas para garantizar la mayor valoración posible sobre
los contenidos de los sistemas numéricos.
VI.4.4. Fase de Proyección
En esta última fase didáctica, pretendemos lograr uno de los objetivos más
ambiciosos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, el cual
consiste en la consolidación del pensamiento crítico, reflexivo y creativo por parte de
269
los alumnos una vez logrados los aprendizajes sobre los conocimientos de la unidad
de sistemas numéricos, lo cual implica enfrentar a los alumnos a situaciones nuevas y
reales en donde puedan aplicar todas sus estrategias de aprendizaje y conocimientos
teórico-prácticos sobre los conjuntos numéricos, sus propiedades y operaciones en la
resolución de problemas de aplicación en el contexto actual. Por consiguiente, el
mejor recurso que podemos utilizar es la información escrita que nos ofrecen medios
impresos como los periódicos y revistas, aquí podemos conseguir información
estadística muy actualizada sobre las actividades de la economía, política, sociedad,
deportes y arte que potencian la funcionalidad e importancia de los conocimientos
matemáticos desarrollados y elevan la actitud positiva de los alumnos hacia las
matemáticas.
270
VI.5. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
De acuerdo con el quinto pilar de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal, en el cual señalamos que el proceso de evaluación debe
estar dirigido hacia la valoración integral y equilibrada como fundamento para el
crecimiento académico, personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico
de la Matemática, en la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos hemos
incorporado una serie de actividades en un orden progresivo de dificultad para que
los alumnos trabajen sin presión. Además, la evaluación formativa es más importante
que la sumativa, puesto que aporta la mayor información sobre el proceso didáctico.
Las actividades de evaluación las podemos aplicar siguiendo la Tabla 6.1. que
presentamos a continuación:
Actividad Tipo de Evaluación
Participantes Ventajas Ponderación
Intervenciones Formativa Individual El docente orienta el aprendizaje utilizando los aciertos y errores de los alumnos.
Talleres sobre ejercicios y problemas
Formativa y sumativa
Grupal Orientación, asesoría directa e integración social. Utilización de procedimientos heurísticos. Integración, comunicación y participación. Constructivismo social y desarrollo de la zona próxima.
Asignación de investigaciones
Formativa y sumativa
Individual y grupal
Fortalecimiento de la autonomía del alumno.
Prueba de Valoración
Formativa y sumativa
Individual Ofrece una evaluación más precisa y objetiva del aprendizaje de cada alumno.
Entrevistas abiertas
Formativa Individual Desarrolla confianza en el alumno y ofrece al profesor más detalles sobre las debilidades de los aprendizajes.
Tabla 6.1. Actividades de evaluación sugeridas para la Unidad de Sistemas Numéricos.
De esta manera podemos lograr una evaluación más equilibrada e integral que
involucre todos los aspectos cognitivos, académicos y sociales del alumno, para
determinar con mayor precisión y justicia los logros alcanzados por cada alumno en
la Unidad de los Sistemas Numéricos.
271
VI.6. INSTRUCCIONES PARA EL ALUMNO EN EL MANEJO DE LA
UNIDAD DIDÁCTICA
El desarrollo del presente material escrito sobre la Unidad Didáctica de los
Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General tiene como propósito
fundamental ofrecer al alumno un contenido, expresado de forma intuitiva y con un
lenguaje sencillo, de tal manera que le facilite el logro de los aprendizajes básicos de
los sistemas numéricos desde un enfoque inductivo hasta llegar a su dominio formal.
Además, se elaboró con el cuidado de seguir una debida secuencia en orden creciente
de dificultad, es decir, los estudiantes desarrollaron los diversos contenidos del
material didáctico desde los más sencillos e intuitivos hasta los más complejos o
abstractos.
A continuación se presentan algunas recomendaciones que orientarán en la
ejecución de las actividades para el logro de los aprendizajes relacionados con este
contenido.
- Te sugerimos estudiar a un ritmo de 2 a 3 horas diarias, leyendo con
detenimiento los aspectos teóricos y observando el procedimiento
utilizado en la resolución de ejercicios y problemas, esto se debe realizar
de forma cuidadosa y reflexiva razonando e interpretando su significado
para resolver con efectividad los ejercicios y problemas asignados.
- Debes desarrollar en su totalidad los ejercicios y demás actividades
propuestas en el material y, en la medida que avances, anota aquellos
contenidos que no has comprendido para que los consultes con tu asesor
en las horas destinadas para tal fin.
- En el material didáctico se aplican algunas estrategias de aprendizaje para
orientarte en las diferentes formas de organizar la información, resolver
ejercicios y problemas, lo cual representa una alternativa para tu estudio
individual o grupal de los contenidos matemáticos, no obstante, es de tu
elección aplicarlas, comprenderlas e internalizarlas o utilizar otras que te
garanticen mayor efectividad en el aprendizaje.
272
VI.7. GUÍA DE CONTENIDO
Presentamos los contenidos de la unidad con una secuencia jerárquica, desde
los más sencillos hasta los más complejos; sin embargo, no es una presentación
rigurosa, el docente puede desarrollar cada aspecto en un orden diferente siempre y
cuando respecte la construcción progresiva de los mismos. En consecuencia, el
material didáctico escrito y organizado siguiendo este enfoque contempla los temas
siguientes:
1. Sistema de los Números Naturales N
1.1. Conceptos Fundamentales.
1.2. Operaciones.
1.2.1. Adición.
1.2.1.1. Propiedades de la adición.
1.2.2. Sustracción.
1.2.3. Multiplicación.
1.2.3.1. Propiedades de la multiplicación.
1.2.4. División.
1.2.5. Potenciación
1.2.6. Radicación.
1.2.7. Operaciones Combinadas.
1.3. Sistemas numéricos.
1.4. Números primos y compuestos.
1.5. Múltiplo de un número natural.
1.6. Divisor, sub-múltiplo o factor de un número natural.
1.7. Números pares.
1.8. Números impares.
1.8. Mínimo común múltiplo.
1.9. Máximo común divisor.
2. Sistema de los Números Enteros Z
2.1. Conceptos Fundamentales.
2.2. Operaciones.
2.2.1. Adición.
2.2.1.1. Propiedades.
2.2.2. Sustracción.
2.2.3. Multiplicación.
2.2.3.1. Propiedades.
2.2.4. División.
2.2.5. Potenciación.
273
2.2.6. Operaciones Combinadas.
3. Sistema de los Números Racionales Q
3.1. Conceptos Fundamentales.
3.2. Operaciones.
3.2.1. Adición.
3.2.1.1. Propiedades.
3.2.2. Sustracción.
3.2.3. Multiplicación.
3.2.3.1. Propiedades.
3.2.4. División.
3.2.5. Potenciación.
3.2.6. Operaciones Combinadas.
4. Sistema de los Números Irracionales I
4.1. Conceptos Fundamentales.
4.2. Operaciones.
4.2.1. Adición.
4.2.2. Sustracción.
4.2.3. Multiplicación.
4.2.4. División.
4.2.5. Potenciación.
4.2.6. Operaciones Combinadas.
5. Sistema de los Números Reales R
5.1. Conceptos Fundamentales.
5.2. Operaciones.
5.2.1. Adición.
5.2.2. Sustracción.
5.2.3. Multiplicación.
5.2.4. División.
5.2.5. Potenciación.
5.2.6. Operaciones Combinadas.
274
VI.8. DESARROLLO DE CONTENIDOS
VI.8.1. Sistema de los Números Naturales
En la Tabla 6.2. presentamos el guión de trabajo para el conjunto de los
números naturales siguiendo los principios y secuencia didáctica del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas.
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Natural
Problemas de aplicación con
números naturales
Formalización y conceptualización de
la teoría sobre el sistema de los
números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.
- Expresar la idea intuitiva del número natural.
- Relacionar el concepto de número natural a través de conjuntos de objetos.
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas. - Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.
Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptulización de las operaciones fundamentales en N.
- Formalizar las propiedades del conjunto N.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números naturales en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números naturales.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número natural. - Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta. - Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números naturales para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de
Aspectos a observar y valorar - Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
275
resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
Tabla 6.2. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Naturales.
VI.8.1.1. Fase de exploración
De acuerdo con nuestra propuesta didáctica, para iniciar la autorregulación
del pensamiento lógico-formal, es necesario utilizar ejemplos sobre situaciones
cotidianas que se relacionen con los sistemas numéricos y complementar con
actividades relativas a la asignación de investigaciones sobre aspectos fundamentales
tales como la historia de los números naturales, la notación y noción de números
naturales para generar una discusión teórica al final de la clase con los alumnos.
Para que las actividades y asignaciones logren mejores resultados es
necesario que se desarrollen durante la clase, y que los alumnos, formen pequeños
grupos no mayores de cuatro participantes; además, se les debe estar constantemente
orientando y asesorando para disipar las dudas que se originen en los diferentes
planteamientos.
Siguiendo estos principios de nuestro Programa de autorregulación,
presentamos el siguiente ejercicio práctico introductorio para explorar los
conocimientos previos de los alumnos:
Ejercicio Nº 1: Situaciones cotidianas y el conjunto de los números naturales:
Antes de comenzar a explicar los aspectos teórico-prácticos del sistema de
los números naturales vamos a desarrollar un ejemplo práctico sobre su aplicación
en nuestra vida cotidiana, el cual describimos a continuación.
De las siguientes situaciones que se presentan a continuación, cuáles de ellas,
utilizan números naturales. Justifica tus respuestas.
1. La temperatura promedio del lunes en la ciudad de Barinas fue de 32,5°C.
2. El número de taxis que transitaron durante el día por la Avenida 23 de
Enero entre las 10:00 a.m. y 1:00 p.m.
276
3. La estatura promedio de los niños de la Escuela Básica “Francisco Rivas”
es de 1,45 m.
4. La calificación promedio o el índice académico que obtuviste el semestre
pasado.
5. El presupuesto familiar que calcularon para el próximo mes.
6. La velocidad que tiene un balón de fútbol cuando se dispara al arco rival
es de 90 km/h.
7. El número de profesores que dictan Matemática en la universidad.
8. La mitad de la torta que se repartió en tu cumpleaños pasado.
9. El número de llamadas que realizaste el mes pasado desde tu celular.
10. El I.V.A. que te cobraron por comprar tu ropa nueva en el mes de
diciembre.
11. La distancia que hay desde de tu casa a la biblioteca.
12. El ingreso que percibe el Estado venezolano producto de la renta
petrolera.
13. El número de jubilados de la administración pública durante el año 2005.
14. El número de bacterias que crecieron durante 12 horas en el jugo de
lechosa.
15. La cantidad de animales que hay en un zoológico.
16. El número de palabras que hay en tus apuntes de la clase de Matemática.
17. La distancia que hay desde la Tierra a la Luna.
18. La cantidad de combustible que se quema en el motor de un F16 para
sobrevolar el territorio nacional.
19. El número de viviendas que se han construido en el año 2005 en
Venezuela.
20. La cantidad de graduados en la carrera de Educación Integral en año
2006.
VI.8.1.2. Fase de valoración cognitiva
Debido a que la valoración cognitiva está presente en toda la secuencia del
proceso didáctico, hemos presentado gradualmente asignaciones específicas al tema
estudiado para lograr una mejor evaluación de los aprendizajes.
277
Asignación Nº 1: Realiza las actividades siguientes:
� Completa el siguiente cuadro:
Actividad Respuestas Escribe un concepto de número natural.
Escribe la sucesión de números naturales.
Escribe el símbolo que representa al conjunto de estos números. Representa gráficamente el conjunto de los números naturales. Señala diez ejemplos de situaciones cotidianas donde de utilicen los números naturales.
� Organiza y sintetiza toda esta información en un esquema, diagrama, o
cuadro.
VI.8.1.3. Fase de presentación
De acuerdo a las situaciones cotidianas donde apreciamos la utilidad de los
números naturales para determinar el conteo de elementos, podemos tener una
noción más clara sobre estos; por lo tanto, para que el alumno pueda complementar
su información se explican los aspectos siguientes:
VI.8.1.3.1. Conceptos fundamentales
A los números naturales se les define intuitivamente como los números que
utilizamos para contar elementos concretos del entorno que nos rodea, es decir, para
cuantificar conjuntos determinados de elementos.
Para simbolizar al conjunto de los Números Naturales se utiliza la letra N, de
esta manera nos queda representado de la forma siguiente:
N = {0,1,2,3,4,5,6…}
Para poder representar a los números naturales se ha utilizado de manera
gráfica una semirrecta, donde cada número está separado del otro a igual distancia, es
decir, son equidistantes. Ejemplo:
0 1 2 3 4 5 6
Históricamente los números naturales fueron los primeros en dar a los grupos
humanos la habilidad de entender el concepto de cantidad de elementos para
278
organizar sus labores productivas para la supervivencia, como el cálculo o conteo de
las cosechas, número de animales en un rebaño, los días del año, etc. Según Obregón
(2007:39):
“Los niños, aún los muy pequeños, pronto aprenden a señalar con su dedito
los objetos que los rodean y a contarlos: uno, dos, tres… Algunos logran contar
hasta diez, y los más precoces, con gran orgullo suyo y de sus padres, quizás lleguen
hasta veinte.
Pues bien, los hombres primitivos siguieron el mismo camino de los niños
pequeños: adquirieron el concepto de contar sus pertenencias, probablemente para
no olvidar cuántas ovejas poseían, harían señales, quizás cortes con su cuchillo, en
una pared o en un árbol.
Un número era una palabra que se asociaba con un cierto grupo de estas
señales o cortes (una palabra, no un signo: “tres”, no 3). Pero si yo tenía tres
ovejas, y mi vecino tres camellos o tres esposas, ambos usábamos la misma palabra:
“tres”, por tanto el nombre del grupo era ‘tres’, y así tenía que ser para que nos
entendiéramos, el mismo independientemente del tipo de objetos que estuviéramos
contando”.
Y según Baldor (1992) históricamente los “Griegos y romanos no tuvieron
una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores
progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un
práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de
las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del siglo VIII
(D. C.). Por eso nuestras cifras se llaman indoarábigas”.
VI.8.1.3.2 Operaciones con números naturales
También se las conoce como operaciones aritméticas fundamentales, ya que
forman parte de nuestra vida cotidiana. Prácticamente todo lo que hacemos a diario
tiene que ver o está relacionado con las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división.
279
� La suma o adición
Supongamos los conjuntos siguientes:
Conjunto A Conjunto B
El número de personas del conjunto A es 5 y el del conjunto B es 3, estos
valores reciben el nombre de cardinal de un conjunto, es decir nos indica el número
de elementos de un conjunto dado; utilizando este ejemplo, si se desea determinar la
suma entre ambos conjuntos, nos quedaría un cardinal que representa la reunión o
unión de todos los elementos, esto es igual a 8. Representando esta situación de
manera más formal, sería: ( ) 5A# = , ( ) 3B# = y ( ) ( ) 8A B# + # =
De esta manera podemos definir intuitivamente el concepto de adición de
números naturales, como la unión de elementos entre dos o más conjuntos dados.
Formalmente las partes de la adición se pueden explicar de la siguiente
manera: si 2 3 5+ = , 2,3 y 5 son números naturales donde 2 y 3 son los sumandos y
5 la suma; es decir, en forma general, si ,a b c+ = a y b se les denominan
sumandos y a c se le llama suma, estas serían las partes en las que se divide la suma
o adición de números naturales.
Asignación Nº 2: Elabora un concepto propio de suma o adición de números
naturales.
Asignación Nº 3: Responde a las preguntas siguientes:
Preguntas Respuestas ¿Qué le sucede a la suma si un sumando aumenta o disminuye un número cualquiera?
¿Qué le sucede a la suma si un sumando aumenta un número cualquiera y otro sumando disminuye el mismo número?
280
Problema de aplicación Nº 1:
Un auto chocado se compró en 4.500.000 Bs., al reparar la latonería se
gastaron 860.000 Bs.; en ponerle cauchos y rines 620.000Bs.; en pintura 1.900.000Bs
y luego al venderlo se obtuvo una ganancia de 1.360.000Bs. ¿Cuál fue el precio de
venta?
Antes de resolver un problema se sugiere que hagas un análisis previo de la
situación que se presenta en el mismo. Para ayudarte a resolverlo vamos a utilizar
una serie de pasos para visualizarlo de una forma más clara, para ello nos
formulamos las preguntas siguientes:
1. ¿Se logra entender la situación problema?
El problema que se plantea describe una situación cotidiana de cálculo de
presupuesto en la reparación de un vehículo, para hacer una venta posterior y lo que
se quiere determinar es el precio de la venta final del mismo.
Organicemos ahora la información que nos aporta el enunciado en el
siguiente cuadro:
Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar � Precio de compra: 4.500.000 Bs. � Gastos de latonería: 860.000 Bs. � Cauchos y rines: 620.000 Bs. � Pintura: 1.900.000 Bs. � Ganancia:1.360.000 Bs.
Precio de la venta del auto: ¿?
2. ¿Cuál es el plan de resolución más indicado?
Al observar los datos del problema y el enunciado se puede determinar que se
necesita aplicar las operaciones aritméticas de suma o adición con números naturales.
En efecto, para obtener el costo total del auto se necesita sumar todo lo que se gastó
en la compra, en latonería, en cauchos y rines, y en pintura; el auto se está vendiendo
por 1.360.000 Bs. más que el costo inicial, por lo que hay que sumarlo también para
llegar a la respuesta.
3. Ejecución del plan:
Ahora efectuemos las operaciones:
4.500.000 860.000 620.000 1.900.000 1.360.000 9.240.000Bs Bs BS Bs Bs Bs+ + + + = .
Respuesta: El precio de venta del auto es de 9.240.000Bs.
281
4. ¿El procedimiento y la respuesta obtenida son los correctos?
Para tener total seguridad en lo que se ha ejecutado necesitamos realizar una
visón retrospectiva, es decir, hacer una evaluación, utilizando para ello estrategias de
verificación. El procedimiento más sencillo es efectuar de manera inversa lo
ejecutado.
Al costo total de 9.240.000Bs. le restamos el presupuesto gastado en la
repotenciación y la ganancia. Ilustremos la operación:
9.240.000 (860.000 620.000 1.900.000 1.360.000 ) 4.500.000Bs Bs Bs Bs Bs Bs− + + + =
El resultado es el precio al cual fue comprado el auto.
Es importante destacar los pasos que hemos utilizado para resolver el
problema, los cuales resumiremos en el siguiente cuadro:
Pasos Preguntas para orientar 1. Entender el problema. ¿Cuáles son los datos e incógnitas?, ¿cómo
organizo la información del problema?, ¿manejo el contenido, conceptos, procedimientos para resolverlo?
2. Diseñar un plan de resolución. ¿Cuáles son las estrategias más eficaces para resolverlo?, ¿puedo diseñar algún diagrama, esquema o cuadro para estructurar la información del problema?, ¿existen axiomas, teoremas, fórmulas y definiciones o conceptos que funcionen para resolver el problema?, ¿podemos estructurar en pasos el procedimiento de resolución?
3. Aplicar el plan. ¿Respeto un orden coherente en la puesta en práctica del plan?, ¿ejecuto cada paso tomando en cuenta la información adecuada?, ¿efectúo las operaciones de manera correcta?, ¿analizo cada concepto antes de aplicarlo?
4. Verificación. ¿Puedo hacer estimaciones para verificar las respuestas?, ¿evalúo la aplicación de cada paso en le procedimiento? , ¿qué estrategias aplico para verificar la exactitud de la respuesta?, ¿cuáles son los errores más frecuentes?
Valoración cognitiva: El alumno debe resolver el problema planteado con la
asesoría del profesor y el apoyo de sus compañeros de equipo, una vez internalizados
los pasos, procedimientos y operaciones. Debe procurar resolverlo de manera
individual para garantizar un mejor aprendizaje. También se recomienda plantear y
resolver problemas semejantes para tener una diversidad de situaciones o ejemplos
ilustrativos y para comprender mejor los pasos que estamos aplicando.
282
Asignación Nº 4: Resuelve el problema siguiente aplicando los pasos del problema
anterior y completando el cuadro que se presenta a continuación:
Para trasladarse de Barinas a Puerto La Cruz una persona ha recorrido: 38
Km. en autobús; en taxi 34 Km. más que en autobús; en avión 316 Km. más que en
autobús y taxi y en transporte colectivo 12 Km. Si todavía le faltan 25 Km. para
llegar a su destino, ¿cuál es la distancia que debe recorrer entre la dos ciudades.
Respuesta: 573 Km.
Pasos en la resolución del problema Respuestas Entender el problema.
Diseñar un plan. Aplicar el plan. Visión retrospectiva.
� Propiedades de la adición de números naturales
En el siguiente cuadro presentamos un resumen de las propiedades de la
adición de números naturales. Es necesario que el alumno utilice suficientes
ejemplos similares a los presentados para lograr la construcción progresiva del
aprendizaje de las mismas, para lo cual es fundamental aplicar estrategias para
organizar la información como pueden ser la realización de cuadros como el de este
ejemplo, esquemas, mapas conceptuales o diagramas. En cualquiera de los casos el
profesor puede y debe asesorar y orientar al alumno durante esta actividad.
Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa
a b b a+ = + 2 3 3 2
5 5
+ = +=
Asociativa
( ) ( )a b c a b c+ + = + + 2 (3 5) (2 3) 5
2 8 5 5
10 10
+ + = + ++ = +=
Elemento neutro
0 0a a a+ = + = 2 0 0 2 2+ = + =
Valoración cognitiva: Para realizar la valoración cognitiva de las propiedades
de la adición en N proponemos la siguiente actividad:
283
Asignación Nº 5: Utilizando ejemplos adicionales verifica las propiedades de la
adición en N
� La resta o sustracción
Si 18 5 13− = , donde 18,5 y 13 son números naturales, entonces 18 es el
minuendo, 5 el sustraendo y 13 es la resta o diferencia. La resta o sustracción es la
operación inversa de la suma, puesto que al sumar el resultado de la misma con el
sustraendo se obtiene el minuendo.
Dados los conjuntos siguientes:
A B
( ) 20A# = y ( ) 16B# = , al determinar la diferencia entre los cardinales de A y
B, nos quedaría de la manera siguiente: ( ) ( ) 20 16 4A B# − # = − =
Así podemos decir que la resta es una diferencia entre los cardinales de
conjuntos. En forma general a b c− = , si a b≥ y c∈N, esto quiere decir que el
sustraendo debe ser mayor que el minuendo para que el resultado de la resta sea un
número natural.
Problema de aplicación Nº 2:
Si me sacara 25.000.000 Bs. en el kino, tendría 56.340.000 Bs. Si mi hermano
tiene 9.360.000 Bs. menos que yo, y mi prima 8.930.000 Bs. menos que mi hermano
y yo juntos, ¿cuánto tenemos entre los tres?
Formulemos las preguntas de análisis para la situación que se plantea en le
problema.
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
▲▲▲▲
284
1. ¿Se entiende el enunciado del problema?
Se pide determinar el monto total de dinero que tienen las tres personas, pero
antes de calcular esto hay una serie de operaciones que efectuar. Vamos a organizar
la información en el siguiente cuadro:
Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar � Dinero que me ganaría en la lotería:
25.000.000 Bs.
� Dinero que tendría hipotéticamente:
56.340.000 Bs.
� Dinero de mi hermano:
9.360.000 Bs. menos que yo.
� Dinero de mi prima:
8.930.000 Bs. menos que mi hermano y yo juntos.
Total de dinero que tenemos las tres personas: ¿?
2. ¿Cuál es el plan de resolución?
En primer lugar, hay que calcular el monto real de dinero que tiene cada
persona.
Ejecutando el plan: Resolvamos las operaciones necesarias.
El dinero que tengo es la diferencia entre lo que tendría si me gano el kino y
el premio de 25.0000.000 Bs., es decir:
56.340.000 25.000.000 31.340.000Bs Bs Bs− = .
Dinero de mi hermano, este se obtiene resolviendo la operación siguiente:
31.340.000 9.360.000 21.980.000Bs Bs Bs− = .
Dinero de mi prima: Se obtiene con las siguientes operaciones:
31.340.000 21.980.000 8.930.000 44.390.000Bs Bs Bs+ − =
Finalmente sumamos los tres montos:
31.340.000 21.980.000 44.390.000 97.710.000Bs Bs Bs Bs+ + =
Respuesta: La cantidad de dinero que tenemos es de 97.710.000 Bs.
Visión retrospectiva del procedimiento utilizado en el problema.
Se efectúan las operaciones necesarias restando del monto final de
97.710.000 Bs., cualquiera de las cantidades de dinero que tiene cada uno, para
285
obtener el dinero de las otras personas. Si queremos verificar la cantidad de dinero de
mi prima, restamos al monto total las cantidades de dinero de los hermanos, esto nos
debe dar 44.390.000 Bs., luego le restamos el dinero que tienen los hermanos juntos
para obtener el dato inicial de 8.930.000 Bs. y así sucesivamente hasta verificar que
los datos se corresponden con los resultados obtenidos por el procedimiento o plan
ejecutado.
Valoración cognitiva: El alumno resolverá el problema planteado en la
asignación Nº 6, siguiendo los pasos del procedimiento explicado durante la clase.
Asignación Nº 6: Resuelve el problema siguiente:
Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le
mandan 854 Kg., más tarde 123 Kg. menos que la primera vez y después 156 Kg.
más que la primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Respuesta: 405 Kg.
� Producto o multiplicación
Generalmente a la multiplicación se le atribuye la noción de “suma
abreviada”; para entender mejor su concepto, también se le describe como la suma
que tiene por característica que los sumandos son iguales, por ejemplo: si
2+2+2+2+2=10 entonces podemos escribir esta operación como 2 5× operación
aritmética que indica que 2 debe sumarse 5 veces.
Simbólicamente podemos decir que, si a b c× = entonces,
....a a a a b+ + + + veces a , de este modo tenemos definidas las partes de la
multiplicación, a es el multiplicando, b es el multiplicador y c es el producto o
multiplicación.
Ejemplo ilustrativo Nº 1: En una fiesta fueron invitados dos grupos; el
primero formado por Felipe, Santiago y Esteban; el segundo formado por Gabriela,
Isabel, Ana, Lucía y Paulina. ¿Cuántas parejas de baile se pueden formar?
286
Paso 1: Entender el problema:
Datos Incógnitas Tenemos dos conjuntos o grupos de personas
{ } Felipe, Santiago y EstebanHombres =
{ }Gabriela, Isabel, Ana , Lucía y PaulinaMujeres =
Cuántas son las maneras de combinar las personas para formar parejas de baile.
Paso 2: Diseñar el plan:
Se tienen que combinar los elementos del primer conjunto uno por uno con
los elementos del segundo, de esta manera tendremos todas las combinaciones
posibles.
Paso 3: Ejecutar el plan:
Parejas = {(Felipe, Gabriela), (Felipe, Isabel), (Felipe, Ana), (Felipe, Lucía),
(Felipe, Paulina), (Santiago, Gabriel), (Santiago, Isabel), (Santiago, Ana), Santiago,
Lucía), (Santiago, Paulina), (Esteban, Gabriela), (Esteban, Isabel), (Esteban, Ana),
(Esteban, Lucía), (Esteban, Paulina)}.
Paso 4: Visión retrospectiva del plan ejecutado:
Como se puede apreciar el número de pares ordenados son efectivamente el
número de parejas de baile, es decir, 15 que representa el cardinal del conjunto
producto.
De acuerdo a este ejemplo, la multiplicación también se puede representar
utilizando conjuntos, si queremos obtener el número de parejas simplemente
calculamos el producto de los cardinales de los conjuntos de hombres y mujeres, de
esta manera, nos quedaría la siguiente operación sencilla:
( ) 3H# = , ( ) 5M# = , hombres y mujeres respectivamente, luego
( ) ( ) 3 5 15H M# × # = × =
Problema de aplicación Nº 3:
Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a 400.000 Bs. cada una. Vendió
30 a 450.000 Bs. y 25 a 480.000 Bs. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para
que la ganancia total sea de 4.000.000 Bs?
287
Paso 1. Entender el problema:
Datos Incógnitas Compra: 80 cabezas de ganado. Precio: 400.000 Bs. Venta. 30 cabezas por 450.000 Bs. 25 cabezas por 480.000 Bs. Ganancia: 4.000.000 Bs.
Precio de venta de las cabezas de ganado restantes.
Paso 2: Diseñar el plan:
Necesitamos calcular los montos siguientes:
Precio total de la compra o inversión, cantidad de dinero que se obtuvo en la
venta inicial y cantidad de cabezas de ganado que faltan por vender.
Paso 3: Ejecutar el plan:
Operaciones:
Inversión: 80 400.000 32.000.000Bs× = .
Dinero de la primera venta:
30 450.000 13.500.000Bs× = y 25 480.000 12.000.000Bs× = ; sumando estas
cantidades 13.500.000 Bs. + 12.000.000 Bs.=25.500.000 Bs.
Número de reses por vender = 80-55=25.
Hay que tener en cuenta que si la ganancia debe ser de 4 millones de Bs.,
entonces hay que sumar esta con la diferencia obtenida entre la inversión y la venta
del primer lote de ganado.
32.000.000 Bs.-25.500.000 Bs. = 6.500.000 Bs, luego 4.000.000 Bs +
6.500.000 Bs = 10.500.000 Bs.
El ganadero debe vender el lote de 25 cabezas de ganado por 10.500.000 Bs.
Asignación Nº 7: Resuelve el problema siguiente:
Se han vendido en un mayor de víveres 14 sacos de harina de trigo a 18.000
Bs. cada uno con una pérdida de 2.000 Bs. por cada saco; 20 sacos de arroz a 4000
Bs. cada uno con una ganancia de 1.000 Bs. por saco; y 7 sacos de frijoles a 15.000
288
Bs. cada uno con una pérdida de 3.000 Bs. por saco. ¿Cuál fue el costo de toda la
mercancía que se vendió?
Respuesta: 466.000 Bs.
� Propiedades de la multiplicación de números naturales
En el caso de las propiedades de la multiplicación el alumno debe utilizar las
estrategias de aprendizaje y las actividades sugeridas para las propiedades de la
adición.
Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a b b a× = × 2 3 3 2
6 6
× = ×=
Asociativa ( ) ( )a b c a b c× × = × × 2 (3 5 ) ( 2 3 ) 5
2 1 5 6 5
3 0 3 0
× × = × ×× = ×
=
Elemento neutro 1 1a a a× = × = 2 1 1 2 2× = × =
Distributiva de la multiplicación respecto a la adición
( )a b c a b a c× + = × + × 2 (5 3) 2 5 2 3
2 8 1 0 6
1 6 1 6
× + = × + ×× = +
=
� División o cociente
La división es una operación inversa de la multiplicación, es decir,
conociendo el producto y uno de los factores podemos determinar el segundo factor,
este resultado se le denomina cociente.
Si queremos dividir, por ejemplo, 30 entre 6, lo que estamos haciendo es
buscar un número por el cual multiplicar 6 para que sea igual a 30. Este es 5, de esta
manera podemos decir que 30 6 5÷ = , porque 6 5 30× = ; igualmente
450 10 45÷ = porque 45 10 450× = y 81 3 27÷ = porque 27 3 81× = .
En general si a b c÷ = entonces a b c= × , donde:
:::
a D i v i d e n d o
b D i v i s o r
c C o c i e n t e
289
Existen otras maneras de escribir simbólicamente a la división, utilizando las
siguientes expresiones: a
cb
= o a cb
= , algunas veces se utiliza las iniciales de
dividendo, divisor y cociente, D d c÷ = , para simbolizar la división, de donde
podemos establecer, que el dividendo es igual al producto entre divisor y cociente, si
dicha división es exacta, de lo contrario sería inexacta, porque el dividendo no se
reparte en partes iguales, por ejemplo:
32 5 6 5 2÷ = × + , 2 es un residuo o resto, es decir, lo que ha sobrado
después de la repartición, para que obtengamos el dividendo, entonces al producto
entre divisor y cociente ahora se le suma el resto, por lo tanto tenemos el siguiente
algoritmo general de la división:
Dividendo divisor cociente resto= × + o D dc r= + , si 0r = , la
división es exacta; si 0< r<d entonces es inexacta.
Problema de aplicación Nº 4:
Se repartieron 243 lápices entre 54 personas y sobraron 27 lápices. ¿Cuántos
lápices recibió cada persona?
Procedimiento:
Paso 1: Entender el problema:
Datos Incógnita N° de lápices = 243 N° de personas = 54 N° de lápices que sobraron = 27
N° de lápices que recibió cada persona
Pasos 2 y 3: Diseño y ejecución del plan:
Operaciones Resultados 2 4 3 5 4
5 42 4 3 4
÷ =
(27)
Cociente = 4 Resto = 27 Cada persona recibió 4 lápices y sobraron 27
Paso 4: Verificamos el resultado utilizando el algoritmo de la división:
54 4 27 243D dc r= + = × + =
290
Valoración cognitiva: Para complementar las actividades de la fase de
valoración cognitiva el alumno realizará la actividad siguiente, insistiendo en
plantear y resolver problemas similares con la asesoría del profesor, el apoyo de los
compañeros de equipo y finalmente de forma individual.
Asignación Nº 8: Resuelve el problema siguiente:
Miguel compró cierto número de caballos por 21.200.000 Bs. a 400.000 Bs.
c/u. Vendió 40 caballos por 16.800.000 Bs. ¿Cuántos caballos le quedan y cuánto
ganó en c/u de los que vendió?
Respuesta: 13 caballos y 20.000 Bs.
� La potenciación
Generalmente a esta operación se le conoce como un producto de n factores
iguales, como por ejemplo: 2 2 2 2 2 32× × × × = Este procedimiento se puede
escribir de la forma siguiente:
52 32= , el número que se múltipla por si mismo se le llama base, el
número de veces que ha de multiplicarse exponente y el resultado potencia. De
manera general ...na a a a n= × × × v e c e s a , es decir que:
:
:
:
:
na b
d o n d e
a B a s e
n E x p o n e n te
b P o te n c ia
=
Asignación Nº 9: Efectuar las potencias siguientes:
6
5
15
100
4
5
2
3
1
0
5
10
===
==
=
5
2
3
2
2
3
5
6
8
9
11
12
======
291
Ejercicio Nº 2: Simplificar las expresiones siguientes:
22 3 4 2
2 4 3
2 .3 .2 .31)
2 .3 .2
=
Procedimiento: Se necesita aplicar las propiedades de la potenciación con
números naturales. Desarrollemos el ejercicio en los pasos siguientes:
Paso 1: La expresión es una potencia de un cociente, es decir, de la forma:
, 0n n
n
a ab
b b
= ≠
Tanto la expresión del numerador como la del denominador quedan elevadas
al mismo exponente, aplicando esta propiedad nos resulta:
( )( )
22 3 4 2
22 4 3
2 .3 .2 .3
2 .3 .2=
Paso 2: Las expresiones en el numerador y denominador ahora son potencias
de un producto, propiedad que indica que los exponentes de los factores se
multiplican con el exponente de la potencia mayor, es decir,
( . ) .n m r n r m ra b a b= , luego al efectuar nos queda:
4 6 8 4
4 8 6
2 .3 .2 .3
2 .3 .2=
Paso 3: Ahora se puede apreciar que, tanto en el numerador como en el
denominador, hay potencias de igual base, para lo cual se aplica la propiedad
correspondiente, esta señala que se debe colocar la misma base y sumar los
exponentes, es decir, .m n m na a a += . Efectuando nos queda entonces la
expresión siguiente:
12 10
10 8
2 .3
2 .3=
292
Paso 4: Finalmente quede un cociente o división de igual base, para
desarrollar esta operación se colocan las mismas bases y se restan los exponentes, es
decir, , 0m
m n
n
aa a
a
−= ≠ , así nos quedaría la expresión siguiente:
2 22 . 3 3 6=
( ) ( )( ) ( )
3 42 3
2 43 2
2 32 )
2 3=
Las expresiones que están en el numerador y denominador se les denomina
potencia de una potencia, esta propiedad se desarrolla, colocando la base y
multiplicando los exponentes, simbólicamente es ( )nm m na a= . Efectuando
nos quedaría:
6 1 2
6 8
2 . 3
2 . 3=
0 42 .3 = División de potencias de igual base.
02 1= Toda expresión diferente de cero elevada a la cero es igual a 1. 0 1, 0a a= ≠
41.3 81= Efectuando potencias.
Asignación N° 10: Resuelve el ejercicio N° 1 aplicando las propiedades de la
potenciación en N, puedes seguir un procedimiento diferente al desarrollado
anteriormente.
Resumen de las propiedades de la potenciación en N
Para internalizar las propiedades el alumno puede reproducir este cuadro con
ejemplos diferentes, para establecer la relación entre el nombre de la propiedad, su
expresión matemática y ejemplos ilustrativos, de esta manera el docente podrá
observar con mayor precisión las fortalezas y debilidades de este aprendizaje para
efectuar la respectiva valoración cognitiva.
293
Propiedad Expresión matemática Ejemplos Producto de potencias de igual base. .m n m na a a +=
2 3 52 .2 2=
División de potencias de igual base. , 0
mm n
n
aa a
a
−= ≠
52
3
22
2=
Potencia de una potencia. ( )nm m na a=
2 3 6(2 ) 2=
Potencia de un producto. ( . ) .n m r nr mra b a b=
2 3 3 6 9(2 .3 ) 2 .3=
Potencia de un cociente.
, 0n n
n
a ab
b b
= ≠
25 10
3 6
2 2
3 3
=
Potencia con exponente cero.
0 1, 0a a= ≠ 03 1=
Asignación Nº 11:
1) Explique por qué toda expresión diferente de cero elevada a la cero es
igual a 1.
2) Simplifique las expresiones siguientes:
52 3 5 3
2 4 3 3
2 3 2 3)
3 2 3 2i
=
R. 243
( )( )
532
423
3)
3i i
=
R. 729
Es importante establecer la retroalimentación adecuada con los alumnos
durante la resolución de estos ejercicios en el aula de clase para garantizar una
apreciación más cualitativa de los aprendizajes que los alumnos están construyendo.
� La radicación
Se pude decir que esta operación aritmética es inversa al cálculo de potencias,
por ejemplo, en la potencia 62 64= , si queremos determinar la base teniendo
como datos a la potencia y el exponente, lo que estamos efectuando es el cálculo de
294
la raíz sexta, es decir, obtener un número que multiplicado seis veces por si mismo
sea igual a 64. Este número es el 2, ahora para expresar en el lenguaje matemático
esta operación se utiliza la notación 6 64 2= , en general se escribe de la forma
siguiente:
n a b= , donde:
:n Indice de la raíz
:a Cantidad sub-radical o radicando.
:b Raíz
Ejercicio N° 2: Calcular las raíces siguientes:
Así mismo 4 2= (raíz cuadrada de 2 o raíz de 2), porque 22 4= ,
cuando en el índice de la raíz no se coloca ningún valor, por convención se acepta el
2, es decir, es una raíz cuadrada.
Asignación Nº 12: Determine las raíces siguientes:
3
3
4
1) 81
2) 100
3) 27
4) 216
5) 81
=
=
=
=
=
5
4
10
6
6) 32
7) 64
8) 1
9) 1000.000
10) 144
=
=
=
=
=
Asignación Nº 13: Realiza un resumen de los aspectos estudiados hasta el momento,
para ello se recomienda utilizar esquemas, diagramas o mapas conceptuales. A
continuación se ha elaborado un mapa conceptual para resumir el tema de los
números naturales. Puedes modificarlo de acuerdo a tu criterio, el objetivo es que
elabores tu propio mapa, esquema o diagrama.
295
Mapa conceptual ilustrativo:
VI. 8.1.4 Fase de proyección
A continuación se presentan una serie de problemas de aplicación para lograr
en el alumno la generalización y proyección de los aprendizajes logrados a
situaciones nuevas. Consideramos ejecutar esta fase en este punto de la unidad
didáctica, puesto que los alumnos ya han avanzado en el apartado sobre el sistema de
los números naturales y en la aplicación de las estrategias de aprendizaje para la
organización de la información y la resolución de problemas.
Asignación Nº 14: Resuelve los problemas siguientes:
De acuerdo a las orientaciones teóricas descritas en los pilares de nuestro
programa de autorregulación, damos a los alumnos las recomendaciones siguientes:
296
- Sigue los pasos que se utilizaron en los problemas de aplicación resueltos
para tener una idea clara sobre la información que aporta cada problema y
las incógnitas o datos desconocidos.
- También puede hacer uso del siguiente cuadro para tener una visión de
sus habilidades para resolver problemas.
Lo que usted sabe Lo que necesita saber Espacio para pensar La información matemática que maneja y domina.
Aclarar dudas a través de la consulta con un asesor o con materiales escritos como libros o guías.
Procedimiento para resolver el problema.
- Dividir el problema en sub-metas desde lo más sencillo hasta lo más
complicado.
- Relacionar el problema con ejemplos cotidianos.
- Trabajar en pequeños grupos y luego de forma individual.
- Utilizar diagramas, dibujos o bocetos para visualizar la situación que
plantean los problemas.
- Verificar si el resultado es correcto.
- Solicitar cuando sea necesario la asesoría del docente.
Problemas:
1) Si 10 niños de cada 100 usan lentes, ¿cuántos no usan lentes en un grupo
de 400 niños?
R.360.
2) Si usted ha entrado 3 veces en un lugar, ¿cuántas veces ha tenido que
salir?
R. 2 veces.
3) 10 barcos necesitan 10 días para consumir 10 tanques de aceite, ¿cuántos
días necesita un barco para consumir un tanque de aceite?
R. 10 días.
4) ¿Qué tiempo transcurre desde el año 325 antes de Cristo al año 325
después de Cristo?
R. 650 años.
5) Si cinco gatos cazan cinco ratones en cinco minutos, ¿cuántos gatos
cazarán un ratón en un minuto?
R. 5 gatos.
297
6) Si una gallina pone 2 huevos en 3 días, ¿cuántos días se necesitan para
que 4 gallinas pongan dos docenas de huevos?
R.9 días.
7) Si el producto de las edades en años de dos adultos es 770, ¿cuánto vale la
suma de sus edades?
R. 57.
8) Cuando iba para la universidad topé con siete mujeres, cada mujer con un
bolso y en cada bolso siete gatos. Entre gatos, bolsos y mujeres, ¿cuántos
íbamos para la universidad?
R. 1.
9) Si 24 gallinas ponen 24 docenas de huevos en 24 días y 6 gallinas se
comen 6 Kg. de maíz en 6 días, ¿cuántos huevos equivalen a un kilo de
maíz?
R.3 huevos/kg.
10) El famoso cuadro de las Meninas fue pintado por Velásquez en 1.656, a
los 57 años, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado
a los 4 años de casado. ¿A qué edad se casó?
R.19 años.
11) Si 3 vacas dan 4 baldes de leche en 5 días, ¿en cuántos días 6 vacas,
igualmente productivas, dan 8 baldes de leche?
R. 5 días.
12) Un niño ha escrito los 100 primeros números, ¿cuántas veces ha utilizado
la cifra 1?
R.21 veces.
13) Cada uno de 6 hermanos recibió por herencia de su padre, un ganadero de
los llanos de Barinas, 31.600.000 Bs. más que el anterior por orden de
edad, y el menor recibió 1.013.200.000 Bs. Se pagó una deuda de
561.400.000 Bs. y se apartaron 41.500.000 para gastos. ¿A cuánto
ascendía la herencia?
R.7.156.100.000 Bs.
298
14) Después de vender mi casa con una pérdida de 3.184.000 Bs. Presté
2.006.000 Bs. y me quedé con 15.184.000 Bs. ¿Cuánto me había costado
la casa?
R.20.374.000 Bs.
15) ¿Cuánto costó un televisor que al venderse en 125.170 Bs. deja una
pérdida de 13.180 Bs.?
R.138.350 Bs.
16) Un estanque tiene tres grifos que vierten: el primero 50 litros en 5
minutos; el segundo 91 litros en 7 minutos y el tercero 108 litros en 12
minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60
litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vació el estanque y
abierto los desagües, se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40
minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?
R. 560 litros.
17) Compro igual número de vacas y caballos por 12.375.000 Bs. ¿Cuántas
vacas y caballos habré comprado si el precio de una vaca es de 600.000
Bs. y el de un caballo 525.000 Bs.?
R. 11 de cada uno.
18) Un empleado gana 7.000 Bs. diarios, gasta 14.000 Bs. semanales.
¿Cuántos días tendrá que trabajar para comprar un carro de 5.600.000
Bs.?
R.1.120 días.
19) Siete personas tiene cada una siete gatos, cada gato come siete ratones,
cada ratón come siete espigas de cebada y cada espiga produce siete
medidas de grano, ¿cuál es el número de personas, gatos, ratones, espigas
de cebada y medidas de granos en total?
R. 7 personas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas, 16807 medidas de grano.
20) Un campesino se dirige a la ciudad, pensando tristemente que el dinero
que llevaba no iba a ser suficiente para comprar el lechoncillo que
deseaba. A la entrada del puente se encontró a un raro tipo, era el diablo;
este le dijo: conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato, si lo
aceptas cuando hayas cruzado el puente tendrás en tu bolsa el doble de
dinero que al empezar. No cuentes el dinero que sería desconfianza de tu
299
parte, solo debes contar 32 monedas para echarlas al río; y yo sabré
contarlas y estas serán mi paga.
Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría
y sin necesidad de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes.
Con gran contento echó las 32 monedas al agua. Le vino entonces la
tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo pasó el
segundo puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas.
Todavía una tercera vez hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó
que se había quedado absolutamente sin ningún dinero, desesperado, se
tiró desde el puente al río, y el Diablo cobró así su trabajo. La pregunta es
¿cuánto dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malhadado
trato?
R. 28 monedas.
VI.8.1.4.1. Sistema numérico
Continuando con la fase de presentación, desarrollamos este apartado sobre
la definición intuitiva del sistema numérico y los conceptos de múltiplos, divisores,
números primos y compuestos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Un sistema numérico se le puede definir de manera intuitiva como un
sistema formado por un conjunto numérico definido, las operaciones que se efectúan
entre los elementos de ese conjunto y las propiedades que cumplen dichas
operaciones. De acuerdo con esto, por ejemplo, en el cuadro siguiente se describe el
sistema de los números naturales:
Sistema de los números naturales:
Conjunto Operaciones Propiedades Adición Conmutativa, asociativa,
elemento neutro. Sustracción No se cumplen. Multiplicación Conmutativa, asociativa,
elemento neutro y distributiva.
División No se cumplen. Potenciación
N = {0,1,2,3,4,5,6…}
Radicación
300
VI.8.1.4.2. Números primos y compuestos
Si queremos determinar los divisores de 3,5 y 7 notaremos que tienen algo en
común, los divisores de 3, son 1 y 3; los de 5, 1 y 5 y los de 7, 1 y 7; solamente se
les puede dividir por la unidad y por ellos mismos. Determinamos los divisores de
8,12 y 15; tenemos que los divisores de 8 son: 1, 2 ,4 y 8; los de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6
y 12 y los de 15 serían: 1, 3, 5 y 15. Estos últimos son divisibles no sólo por uno y
ellos mismos sino por otros números.
Un número primo es aquél que es divisible sólo por la unidad y por él mismo.
Un número es compuesto cuando es divisible por tres o más números.
Asignación Nº 15: Determina la sucesión de números primos y compuestos menores
e iguales que 100, puedes utilizar un cuadro y encerrar en un círculo a los números
primos, los demás serán los compuestos.
VI.8.1.4.3. Múltiplo de un número natural
Cuando un número es múltiplo de otro es porque lo contiene un número
exacto de veces; por ejemplo, 8 es múltiplo de 2, porque 8 contiene al 2, 4 veces; 12
es múltiplo de 4, porque 12 contiene al 4, 3 veces. Si queremos determinar los
múltiplos de cualquier número natural, efectuamos el producto de éste con la
sucesión de números naturales, por ejemplo:
Múltiplos de 2: 2ℕ ={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18…}
Múltiplos de 3: { }3 0, 3, 6, 9,12,15,18, 21...=ℕ
Múltiplos de 4: { }4 0, 4,8,12,16, 20, 24, 28...=ℕ
Múltiplos de 5: { }5 0, 5,10,15, 20, 25, 30, ...=ℕ
VI.8.1.4.4. Divisores, factores o sub-múltiplos de un número natural
Se puede decir que el divisor es un concepto inverso al del múltiplo. Un
número es divisor, factor o sub-múltiplo de otro cuando está contenido en el
segundo un número exacto de veces; por ejemplo, 2 es divisor de 10 porque está
301
contenido en el 10 cinco veces; 3 es factor de 18 porque está contenido en 18 seis
veces.
Asignación Nº 16: Determinar los divisores de los siguientes números naturales: 6,
8, 9, 12, 16, 18, 21, 22, 25, 26, 27, 36, y 45.
VI.8.1.4.5. Números pares
Es el conjunto formado por los múltiplos de 2. Su fórmula general es 2n ,
donde n∈N (Se lee n pertenece a N)
VI.8.1.4.6. Números impares
Son aquellos que no son pares. Su fórmula general es 2 1n ± , donde n∈N.
VI.8.1.4.7. Máximo común divisor
Determinemos los divisores de 8,12 y 20:
Divisores de 8 { }1,2,4,8= ; divisores de 12 { }1,2,3, 4,6,12= y divisores de
20 { }1,2,4,5,10,20= . Una vez obtenidos los divisores, se puede ver que los tres
conjuntos tienen divisores que son comunes, { }1,2,4 y uno que es el mayor de todos,
el 4; a través de este ejemplo, se puede comprender el concepto de máximo común
divisor como el mayor número que divide a todos exactamente.
Para determinar el m.c.d. (siglas de máximo común divisor) de dos o más
números generalmente se utilizan métodos, dentro de los cuales se destaca el de la
descomposición de los números en factores primos. Veamos un ejemplo:
Determinar el m.c.d. de 345 y 850.
302
345 5
69 3
23 23
1
850 5170 534 217 171
Factores primos de 345 5.3.23= , de 2850 5 .2.17= , luego seleccionamos el
factor común con el menor exponente y finalmente el m.c.d. de 345 y 850 es 5.
VI.8.1.4.8. Mínimo común múltiplo
Determinemos los múltiplos de los siguientes números:
3N={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27…} y 4N={0,4,8,12,16,20,24,28…}
Se observa que tiene dos múltiplos comunes, el 12 y el 24. Como 12 es el
menor de los múltiplos entonces el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.
Así se puede definir al m.c.m. (siglas de mínimo común múltiplo) de dos o
más números como el menor número que los contiene un número exacto de veces.
Para determinar el m.c.m. de dos o más números se utiliza también la
descomposición en factores primos.
Ejemplo: Determinar el mínimo común múltiplo de 18, 24 y 40.
1 8 29 33 31
24 212 26 23 31
40 210 25 51
218 2.3= 324 2 .3=
340 2.5=
Seleccionamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente,
es decir; 3 22 .3 .5 360=
303
VI.8.2. Sistema de los Números Enteros
En la Tabla 6.3. presentamos el guión de trabajo a seguir en el desarrollo de
los contenidos relativos al sistema de los números enteros, respetando la secuencia y
elementos del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Negativo
Problemas de aplicación con
números enteros
Formalización y conceptualización de
la teoría sobre el sistema de los
números enteros Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números negativos y positivos.
- Expresar la idea intuitiva y el significado del número negativo y compararlo con el número natural.
- Relacionar el concepto de número entero a través de cantidades positivas (ganancia, utilidad, crecimiento, etc.) y cantidades negativas (pérdida, deudas, déficit...).
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números negativos para representar situaciones cotidianas. - Transición de la manipulación semi-concreta hacia la abstracción de los números negativos. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números enteros.
Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales con números enteros en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptualización de las operaciones fundamentales en Z.
- Formalizar las propiedades del conjunto Z.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números negativos y positivos en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números enteros.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número negativo, positivo y significado del cero. - Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números enteros. - Verificar las estrategias de aprendizaje que se
Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuales estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números enteros para resolver los problemas.
- Monitorear las
Aspectos a observar y valorar - Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números enteros.
- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la
304
utilizan para organizar la información.
estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
información como estrategias de aprendizaje.
Tabla 6.3. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Enteros.
VI.8.2.1. Fase de exploración
El docente necesita de la información sobre los aprendizajes previos que
tengan los alumnos para establecer un punto de partida en el proceso didáctico, de
esta manera puede aplicar algunas técnicas y procedimientos de enseñanza como la
socrática para formular preguntas y obtener las respuestas sobre los aspectos a
desarrollar durante la clase, también de la forma más práctica proponemos la
realización de la siguiente actividad:
Responde las preguntas del cuadro siguiente:
Preguntas Respuestas Observaciones ¿Qué es un número entero?
¿Para que se usan los números negativos?
¿Cuál es el conjunto Z?
¿Cómo representamos al conjunto Z?
Menciona algunos ejemplos sobre el uso de los números negativos.
VI.8.2.2. Fase de presentación
La introducción de los números enteros necesita igualmente de la utilización
de situaciones reales y cotidianas, el docente debe valerse de las aplicaciones directas
del número negativo y utilizar su origen histórico; si el profesor asigna estas
actividades a los alumnos para la discusión en la sesión de clase los resultados
pueden ser gratificantes en el proceso didáctico. No obstante hemos desarrollado
para guiar a los alumnos la exposición de varios aspectos.
Una vez desarrollada la fase de exploración para introducir el tema de los
números enteros, crear la motivación en los alumnos y determinar sus aprendizajes
previos, continuamos con la presentación de los aspectos siguientes:
305
VI.8.2.2.1. Conceptos fundamentales
Para comprender el origen de los números enteros hay que precisar el origen
los números negativos, para lo cual nos apoyamos en un problema sencillo como el
siguiente:¿qué número hay que sumarle a 5 para que el resultado sea igual a 3?
Podemos buscar en todo el conjunto de los números naturales y nunca lo
hallaríamos; la expresión 5 3x+ = , no tiene solución en N, es en este momento
histórico cuando se necesitó de otro tipo de números, los negativos, de esta manera el
problema tiene solución, para 2x=− , al sumar 5 con 2− , el resultado es igual a 3.
Según Baldor (1989:30): “Los números negativos no fueron conocidos por los
matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C.). En el
siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un
modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el
Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fue Newton
el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente
Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y − para caracterizar los números
positivos y negativos”.
Los números negativos generalmente se usan para representar magnitudes
relativas, que son cantidades que pueden tener dos sentidos, como la temperatura, la
longitud de perforación de un taladro en un pozo petrolero, también para representar
estados de deuda o déficit en una compañía. A continuación se presentan situaciones
representadas por números negativos:
- El promedio de la temperatura en Rusia es de –25° C, es decir, la
temperatura está a 25° C bajo cero.
- El yacimiento petrolero está a –350 m., es decir, está ubicado a 350 m. del
suelo.
- El saldo de la compañía es de –13.520.000 Bs., es decir, hay una deuda de
13.520.000 Bs.
Cuando se hace esta ampliación numérica, haciendo la unión entre N y los
números negativos, se origina el conjunto de los Números Enteros, el cual se
simboliza de la manera siguiente: Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3…}
Para hacer su representación gráfica utilizamos la recta siguiente:
4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4
306
Valoración cognitiva sobre el uso de números negativos: Para realizar la
primera valoración cognitiva el docente les solicitará a los alumnos que mencionen
por lo menos cinco situaciones reales en donde se utilicen los números negativos,
representar gráficamente al conjunto de los números enteros usando la recta
numérica. Además, se pueden realizar actividades en las cuales los alumnos utilicen
las estrategias de aprendizaje para organizar la información desarrollada hasta el
momento y generar una discusión libre de ideas para que los alumnos participen de
manera activa y comuniquen sus diferentes respuestas.
VI.8.2.2.2. Operaciones con números enteros
� La adición
En la adición de números enteros se toma en cuenta el valor relativo de las
cantidades, es decir, si son positivas o negativas, generalmente se le conoce como
suma algebraica, ejemplo:
Efectuar: 3 5 6 8 2 15 3 5 8 15 6 2 31 8 23+ − + − + = + + + − − = − =
Como se puede observar se han agrupado las cantidades de acuerdo a su signo
y luego se ha efectuado una sustracción:
25 15 3 20 2 15 2 25 3 20 17 48 31− + − − + = + − − − = − = −
En esta operación se han agrupado números positivos y negativos,
observamos que el resultado es negativo porque 48 es de mayor valor absoluto, es
decir, está más alejado del cero que 17.
3 45 25 73− − − = −
En este caso todas las cantidades son negativas, por lo que se suman y se
coloca el signo correspondiente.
Conclusión: Si tenemos cantidades de igual signo se suman y se coloca el
signo correspondiente, si son de diferentes signos se restan y colocamos el signo de
la cantidad de mayor valor absoluto.
307
Problema de aplicación Nº 5:
Luis tiene desde hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista
que le cobra el 10% de interés mensual; además tiene dos recibos de electricidad y
teléfono pendientes de 85.000 Bs. y 55.000 Bs. respectivamente En el mes de
diciembre decide cancelar sus deudas, habiendo cobrado 2.500.000 Bs. En
aguinaldos, ¿cuál es la situación financiera de Luis?
Solución:
Entender el problema:
Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar
Deudas:
� Prestamista: 3.500.000 Bs. al 10% de interés
mensual.
� Electricidad: 85.000 Bs.
� Teléfono: 55.000 Bs.
� Aguinaldos: 2.500.000 Bs.
Situación financiera de Luis: ¿Cuánto
dinero tiene?
Concebir un Plan:
Representamos con números negativos las deudas que tiene Luis y el dinero
recibido en aguinaldos con números positivos. Recordemos que el préstamo es al
10% mensual, por consiguiente debemos calcular ese monto y sumarlo a la deuda.
Ejecutar el plan:
Calculamos el 10% de la deuda: 3.500.000 10%
350.000100
Bs× =
Total deudas:
3.500.000 350.000 85.000 55.000 3.990.000Bs Bs Bs Bs Bs− − − − = −
Dinero recibido o aguinaldos: 2.500.000 .Bs
Sumando: 3.990.000 2.500.000 1.490.000Bs Bs Bs− + = − , es decir, Luis tiene
una deuda de 1.490.000 Bs.
Visión retrospectiva: Dejamos como tarea al alumno la verificación tanto del
procedimiento como del resultado, esto formará parte de la valoración cognitiva de
los aspectos tratados en esta sección y la complementaremos con la asignación
siguiente:
308
Asignación Nº 17: Un submarino está en la superficie del océano y desciende 100
m.; al cabo de 5 minutos desciende 150 m. más; 10 segundos después su capitán
decide ascender 180 m. y finalmente a las 2 horas hace un último descenso de 480 m.
¿A qué distancia se encuentra de la superficie?
Respuesta: 550m− .
� Valor absoluto de un número
De manera intuitiva podemos decir que el valor absoluto de un número es el
valor numérico que representa, independientemente del signo que posee; por
ejemplo, una torre si está 12 m. bajo tierra y 12 m. en la superficie, -12 m. y 12 m.
son la misma distancia, sólo que tienen diferentes sentidos abajo y arriba
respectivamente.
El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin signo o
geométricamente se le define como la distancia que separa dicho número del origen
de la recta numérica, es decir, del cero. El valor absoluto de 5 es 5 porque está a 5
unidades del cero, el valor absoluto de 3− , es 3 porque está a 3 unidades del cero. En
general se define mediante la siguiente expresión simbólica:
x si 0x ≥
x =
x− si 0x <
Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es igual a 3 porque es mayor e igual que
cero y el valor absoluto de 5− es igual a ( 5) 5− − = porque es menor que cero.
Valoración cognitiva: La suma algebraica de números enteros y el concepto
de valor absoluto representan en la mayoría de los casos un problema para los
alumnos, puesto que se exige una comprensión abstracta de los mismos. Por
consiguiente es necesario valorar su progreso a través de asignaciones como las
siguientes:
309
Asignación Nº 18: Efectuar las operaciones siguientes:
1) 15 6 8 16 8 9 14 2 5 8
2) 50 14 56 89 23 59 8
3)19 22 48 70 56 4 2 1
4)14 50 25 30 45 55 10 36 100
5) 30 25 40 89 54 95 125
− + − + − − + + + − =− − − + − + − =
− − − + − − − =+ + − − + − − + =
− − + − + − + =
( )
( )
6) 15
7) 2
8) 3
9) 5
10) 6 6
− =
− − =
− − =
− − − =
− − + − =
Respuestas:
1) 5
2) 3
3) 72
4)123
5) 20
−−−
−
6)15
7)2
8)3
9) 5
10)0
−
� Propiedades de la adición en Z
Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a b b a+ = + 2 3 3 2
5 5
+ = +=
2 ( 3) 3 2
1 1
+ − = − +− = −
Asociativa ( ) ( )a b c a b c+ + = + + [ ]2 (3 5) ( 2) 3 5
2 8 1 5
6 6
− + + = − + +− + = +
=
Elemento neutro
0 0a a a+ = + = 2 0 0 2 2+ = + =
Existencia de inverso aditivo para todo entero.
∀ a∈ Z , ∃ a,/a+a
,=a
,+a=0
Se lee: para todo a que pertenece al conjunto Z, existe un a prima tal que, al sumarlos nos
resulta cero, es decir ,a a= − .
2 ( 2) 2 2 0+ − = − + = , todo
entero tiene su opuesto, este el mismo valor pero de signo contrario. Al efectuar la suma algebraica entre ambos resulta cero, que es el elemento neutro de la adición.
Valoración cognitiva: Se recomienda al alumno construir este cuadro con
ejemplos similares para comprender y aplicar las propiedades de la adición en Z. El
docente se encargará de realizar las observaciones y orientaciones correspondientes.
310
� La sustracción
La definición es homóloga a la definición de sustracción de números
naturales, sin embargo hay diferencias cuando se trata de una resta con números
negativos, por ejemplo al efectuar 3 5 8− − = − , se aplica la ley de los signos en la
suma algebraica, pero al restar 5 ( 3)− − − = se deben multiplicar los signos y eliminar
el paréntesis; de esta manera nos queda 5 3 2− + = − , el producto de los signos
negativos es positivo. Para recordar estas leyes utilizamos el cuadro siguiente:
Producto Resultado
.+ + = +
.+ − = −
.− + = −
.− − = +
Podemos establecer una convención para comprender las leyes de los signos,
si al signo + lo llamamos amigo y al signo − enemigo, entonces tenemos las
relaciones siguientes:
El amigo (+) de mi amigo (+) es mi amigo (+)
El amigo (+) de mi enemigo ( − ) es mi enemigo ( − )
El enemigo ( − ) de mi amigo (+) es mi enemigo ( − )
El enemigo ( − ) de mi enemigo ( − ) es mi amigo (+)
� Multiplicación de números enteros
Para obtener el producto de dos o más números enteros hay que tener en
cuenta las leyes de los signos. Ejemplo: Efectuar las operaciones siguientes:
1)( 3).( 2)(5) 30− − =
2)(3).( 1)( 3)( 5) 45− − − = −
3)( 1000).( 2)( 10)(5) 100.000− − − = −
311
� Propiedades de la multiplicación en Z
Propiedad Expresión matemática Ejemplos
Conmutativa a b b a= ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) . ( 2 )
6 6
− = −− = −
Asociativa ( ) ( )a bc ab c=
[ ] [ ]( 2). (3).( 5) ( 2).(3) .( 5)
( 2).( 15) ( 6).( 5)
30 30
− − = − −− − = − −
=
Elemento neutro .1 1.a a a= = 2 1 1 2 2× = × =
Distributiva de la multiplicación respecto a la adición
( )a b c ab ac+ = + [ ]2 5 ( 3) 2.5 (2).( 3)
2.2 10 6
4 4
+ − = + −= −
=
� División en Z
En la división de números enteros también se aplican las leyes de los signos,
como se muestra en la tabla siguiente:
Leyes de los signos para la división en Z
División Resultado
+ ÷+ = +
+÷−= −
−÷+= −
−÷−= +
Ejemplo: Efectuar las divisiones siguientes:
1)( 6) (2) 3− ÷ = −
2)( 16) ( 4) 4− ÷ − =
1)( 18) (2) 9− ÷ = −
4)( 26) ( 2) 13− ÷ − =
312
� Potenciación en Z
Para efectuar potencias con números enteros se aplican las propiedades de la
potenciación en N, la diferencia significativa está en los signos, puesto que, se deben
aplicar también estas leyes.
Ejemplo: Efectuar las potencias siguientes:
21 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4− = − − =
32) ( 3) ( 3)( 3)( 3) 27 − = − − − = −
33) (5) 25 =
Conclusión: si la base es de signo negativo y su exponente par, la potencia es
positiva. Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
Asignación N°19: Efectuar las potencias siguientes aplicando las propiedades
correspondientes:
3 2 3 5
4 5 3
( 3) (2) ( 3) (2)1)
(2) ( 3) (2)
− − =− . 3R −
( )23 2
2 3
2 (2)2)
(2 )
− = .1 6R
( ) ( ) ( )( ) ( )
323 32
33 2
2 3 23)
3 2
− = −
.2 7R
( ){ }10010204) 1 − =
.1R
( ){ }10003105) 1 − =
.1R
313
� Operaciones combinadas
En estas operaciones se utilizan los signos de agrupación para separar las
operaciones indicadas.
Ejemplos: Efectuar las operaciones siguientes:
2 51) 3 2(5 3) (5 1) (2 3) − − − ÷ − + − =
Primera manera:
- Eliminando corchetes: Multiplicamos por el valor que está a la derecha
del paréntesis: 2 56(5 3) (5 1) 3(2 3)− ÷ − − −
- Efectuando las operaciones en los paréntesis: 2 56(2) (4) 3( 1)÷ − −
- Efectuando potencias: 6(4) (4) 3( 1)÷ − −
- Efectuando productos: 24 4 3÷ +
- Efectuando la división y sumando: 24 4 3 6 3 9÷ + = + =
Segunda manera:
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
2 5
2 5
3 2(5 3) (5 1) (2 3)
3 2 2 4 1
3 2 4 4 1
3 8 4 1 3 2 1 3 3 9
− − − ÷ − + − =
− − ÷ + − =
− − ÷ + − =
− − ÷ − = − − − = − − =
314
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 32) 3 2 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − − − ÷ − − + ÷ − + =
Primera manera:
- Eliminando llaves: ( ) ( ) ( ) ( )2 36 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − ÷ − − + ÷ − + =
- Eliminando corchetes: ( ) ( ) ( ) ( )2 318 6 4 5 3 12 3 5 3 7− ÷ − − + ÷ − + =
- Efectuando operaciones y eliminando paréntesis: 2 318(2) (2) 12(8) (4) 36 2 12(64) 64
18 12 6
÷ − ÷ = ÷ − ÷ =− =
Segunda manera:
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 33 2 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − − − ÷ − − + ÷ − + =
( ){ }[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ } { }
3 2 6 2 2 64 64
3 2 3 128 64
3 2 3 2 3 2 1 3 2 6
− − ÷ − ÷ =
− − − ÷ =
− − − = − − = − − =
Valoración cognitiva: Para garantizar una evaluación integral y
constructivista los alumnos utilizarán las estrategias de aprendizaje para organizar la
información relativa al sistema de los números enteros, además el docente puede
realizar un debate con las exposiciones de los alumnos sobre los mapas conceptuales,
esquemas o diagramas elaborados. En consecuencia, proponemos la asignación
siguiente:
Asignación N° 20: Elabora un esquema, diagrama y mapa conceptual sobre el
sistema de los números enteros.
315
VI.8.3. Sistema de los Números Racionales
En la Tabla 6.4. presentamos el guión de trabajo a seguir en el desarrollo de
los contenidos relativos al sistema de los números racionales, en función de la
secuencia didáctica y los elementos presentados en el Programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal.
TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
UNIDADES DE PRESENTACIÓN
Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Racional
Problemas de aplicación con
números Racionales
Formalización y conceptualización de
la teoría sobre el sistema de los
números Racionales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números racionales.
- Expresar la idea intuitiva y el significado del concepto de fracción y el número fraccionario.
- Relacionar el concepto de número fraccionario con el de expresión decimal.
- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.
Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números fraccionario para representar situaciones cotidianas. - Transición de la manipulación concreta de fracciones, semi-concreta hasta abstracción de los números racionales. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números racionales.
Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales con números racionales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.
- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).
- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.
Ideas a considerar - Conceptulización de las operaciones fundamentales en R.
- Formalizar las propiedades del conjunto R.
- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.
Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números racionales en la vida cotidiana.
- Representar gráficamente el conjunto de los números racionales.
- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la
Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número racional. Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números racionales. - Verificar las
Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.
- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.
- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con
Aspectos a observar y valorar - Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.
- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números racionales.
- Construcción de esquemas, diagramas,
316
organizar la información de la clase.
estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.
números racionales para resolver los problemas.
- Monitorear las estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.
gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.
Tabla 6.4. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Racionales.
VI.8.3.1. Fase de exploración
Para iniciar los aspectos teórico-prácticos del sistema de los números
raciones, continuamos utilizando situaciones reales y cotidianas en donde se utilizan
las fracciones y expresiones decimales, además el docente puede complementarlas
con actividades para que el alumno realice investigaciones sobre los temas a
desarrollar durante la clase.
Para establecer la relación de las fracciones y expresiones decimales con la
vida cotidiana y valorar los aprendizajes previos de los alumnos, hemos propuesto las
siguientes actividades:
- Señale las situaciones en las que se utiliza las fracciones y expresiones
decimales. Justifica tus respuestas.
• El dólar está a 2,12 Bs.
• La inflación del mes de enero fue de 15%.
• En mi cumpleaños dividieron la torta en 16 pedazos iguales.
• Mañana cumplo 18 años y 9 meses.
• Luís tiene 5 hermanos.
• El mes pasado gané 750,50 Bs.
• Hoy envié 12 mensajes de texto con mi celular.
• Para llegar a la universidad tardé 20 minutos y 15 segundos.
• En mi práctica de 100m logré un tiempo de 15 segundos y 6 décimas.
• Para salir bien en la prueba de Matemática debo estudiar por lo menos
2 horas y media al día.
• El termómetro indica 32,6ºC durante la tarde.
• Hoy gasté en mi desayuno 15,68 Bs.
317
- Responde a los planteamientos del cuadro siguiente:
Planteamientos Respuestas Observaciones Escribe un concepto de fracción. Dí un ejemplo de fracción. Menciona tres ejemplos cotidianos donde se utilicen números decimales.
¿Qué es un número decimal? Formula un concepto de número racional.
Escribe el símbolo del conjunto de los números racionales.
VI.8.3.2. Fase de presentación
Es fundamental que los alumnos lean y analicen con anticipación los aspectos
de la sección siguiente, para así lograr una mayor participación de estos durante las
sesiones de clases y garantizar un clima social del aula más dinámico y flexible, todo
ello para lograr una construcción verdadera de los aprendizajes durante el proceso
didáctico. Recordemos que la concentración de la clase en el discurso del docente no
fomenta las interacciones sociales tan necesarias para generar confianza en el
alumno.
El alumno está en libertad de complementar y ampliar la información sobre
los conceptos fundamentales en el sistema de los números racionales que se
describen en la sección siguiente, esto le ofrecerá una mayor ampliación de
conocimientos para construir un aprendizaje más significativo.
VI.8.3.2.1. Conceptos fundamentales
� El número Racional
Cuando sumamos números naturales, siempre se obtiene otro número natural,
por el contrario al efectuar una resta no siempre se cumple esta ley. Si restamos 3-2=
1, tenemos otro natural, pero al efectuar 2-3= -1, nos resulta un número negativo que
pertenece al conjunto Z.
De igual forma cuando multiplicamos naturales o enteros, el resultado
siempre será un número natural o entero respectivamente, pero no ocurre así con la
división. Si efectuamos 18 3 6÷ = , 6 pertenece a N y a Z, es una división exacta; por
318
el contrario al efectuar 25 2 12,5÷ = ; el resultado no pertenece a Z, porque la
división es inexacta. Este tipo de expresión decimal pertenece a un nuevo conjunto
llamado Conjunto de los Números Racionales, también conocido como fracciones o
números fraccionarios.
Según Galdos (2000:159) “El primer conocimiento acerca de las fracciones
se produce hacia el año 2000 a. de C. en Egipto. Los griegos, 15 siglos después,
elaboraron con acierto las teorías anteriores de egipcios y babilonios e hicieron de
ellas una verdadera ciencia”.
La notación o expresión simbólica usada para representar al conjunto de los
números racionales es:
Q = {…-2,..3
2− ,…-1,…
1
2− ,…,
1
3− ,…,
1
4− ,..,0,..
1
4− ,..
1
3,..1
2,..1,..
3
2,2,…}
Gráficamente se utiliza la recta numérica para visualizar a este conjunto
numérico:
3− 5..., ... 2
2− − 3
..., ... 12
− − 1
..., ...02
− 1 3
..., ,...1,... ,...2 2
52,... ,...
2 3
También se utilizan los diagramas de Venn.
De acuerdo a esta representación podemos establecer la relación siguiente
entre los conjuntos numéricos:
Q
3
2−
3
2
Z -3,-2,-1
N 1, 2, 3
319
⊂⊂⊂
ℕ ℤ
ℤ ℚ
ℕ ℚ
La definición formal de número racional se expresa de la forma siguiente:
Q = { a
b/a, b∈Z y b≠0}
� Concepto de fracción
Las figuras que se muestran a continuación han sido divididas en partes
iguales.
Cada una de las partes iguales en las cuales se ha dividido cada figura es una
fracción.
Para representarlas simbólicamente se utilizan números fraccionarios, de
acuerdo al orden de las figuras, estas representan los números racionales 1 1 1 1, , ,
2 4 8 6
Cada fracción se puede expresar con su equivalente expresión decimal, que
resulta al dividir numerador entre denominador, por ejemplo:
1 0,521 0,333... 0,331 0,2541 0,25
=
= =
=
=
⌢
�
66
7
8
19
1 0,1666 0,1
1 0,0142857142857... 0,0142857
1 0,125
1 0,111... 0,
= =
= =
=
= =
⌢
⌢
El conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto
de los enteros. El conjunto de los números enteros está incluido
en el de los Racionales. Por transitividad, el conjunto N está
incluido en Q.
320
Se puede observar que se originan dos tipos de expresiones decimales, las
expresiones decimales limitadas y las ilimitadas periódicas cuyo valor periódico está
simbolizado por un arco.
� Partes de una fracción
Numerador: Es el número de veces de partes iguales que se han tomado.
Denominador: Indica el número de partes en las cuales se ha dividido la
unidad.
En la figura se han sombreado 8
16, 8 es el numerador y 16 el denominador.
Valoración cognitiva: Para valorar la comprensión del concepto del número
fraccionario y su aplicación en las diferentes actividades cotidianas, el alumno
desarrollará asignaciones como la siguiente:
Asignación N° 21: Señala algunas situaciones que se puedan representan utilizando
números fraccionarios.
� Porcentaje
Para introducir el concepto de porcentaje podemos utilizar diversos ejemplos,
los cuales serán propuestos por los alumnos para establecer un equilibrio entre la
información del docente y la del grupo de estudiantes. Se necesita hacer hincapié en
la progresión de los conceptos desde su comprensión intuitiva hasta su definición
formal y esto se logra fundamentalmente estableciendo un nexo entre estos conceptos
y la realidad o contexto social al cual pertenecemos.
321
El porcentaje es un concepto que está relacionado al de fracción, puesto que
se refiere a una o varias de las cien partes iguales en que se ha dividido un número.
El signo utilizado para expresar el tanto por ciento de un número es %.
Por ejemplo el 50% de 120 o el 50
100de 120 equivale a 50 centésimas partes
de 120, es decir, dividimos 120 entre 100 y tomamos 50 de ellas. También se puede
utilizar la fracción equivalente de 50
100 que es
50 1
100 2= , es decir la mitad de 120, que
es 60.
De esta forma, podemos expresar relaciones entre fracción, expresión decimal
y porcentajes. A continuación se presenta una tabla para ejemplificar estas
relaciones.
Fracción Expresión decimal Porcentaje
12
0,5 0,5 100 50%× =
13
0,333... 0,3=⌢ 0,3 100 33,33%× =
⌢
14
0,25 0,25 100 25%× =
15
0,2 20%
34
0,75 75%
VI.8.3.2.2. Operaciones con números racionales
� La adición
Para sumar fracciones se utilizan dos formas, la gráfica y la numérica. Por
ejemplo, efectuar las siguientes operaciones:
1) 6 7
14 14+ =
322
Gráficamente: Se utilizan las figuras para representar a los sumandos
respectivamente:
6
14
7
14
Sumamos la cantidad de rectángulos sombreados y escribimos en forma de
fracción el resultado:
1 3
1 4
Numéricamente: Se debe tener en cuenta el denominador de las fracciones, en
este caso como son de igual denominador se suman los numeradores y se coloca el
denominador correspondiente:
6 7 6 7 13
14 14 14 14
+ =+ =
2) 1 5 7 133 3 3 3
+ + =
323
3) 5 18 4
+ =
Gráficamente:
5
8
14
Dividimos 14 en octavos para igualar los denominadores:
28
Finalmente sumamos 5 2 78 8 8
+ =
Numéricamente: En este caso se utiliza el m.c.m. de los denominadores para
obtener un denominador común: 5 1 5.1 1.2 78 4 8 8
++ = =
El mínimo común denominador (m.c.d.) de 4 y 8 es 8, este resultado se divide
por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente,
para luego efectuar la suma.
3) 7 3 1 320 40 80 15
+ + + =
Determinamos el m.c.d. de 20, 40, 80 y 15: Usamos la descomposición de
factores primos para calcular el m.c.m.
324
2
3
4
20 2 .5
40 2 .5
80 2 .5
15 3 .5
====
4. . (20, 40,80 15) 2 .3.5 240m c d y = =
Aplicando el procedimiento correspondiente:
7 3 1 3 (12)(7) (6)(3) (3)(1) (16)(3)20 40 80 15 240
=+ + ++ + + =
84 18 3 48 153240 240
+ + + =
Finalmente el resultado es una fracción que puede ser reducida a una
expresión equivalente; para obtenerla se simplifica dividiendo tanto el numerador
como el denominador por el máximo común divisor de los dos.
4
. . .(153 240) 3
153 3.51
240 2 .3.5
m c d y ===
Luego: 153 3 51
240 3 80
÷ =÷ =
y finalmente nos queda 5180
Problema de aplicación N° 6:
Pedro ha estudiado Matemática 11
3 horas, Historia
23
4horas y Castellano 6 horas.
¿Cuánto tiempo ha estudiado?
325
Paso 1: Comprender el problema:
Datos Incógnita Tiempo Invertido en estudiar:
Matemática: 11
3horas
Historia: 23
4horas
Castellano: 6 horas
Total de tiempo invertido.
Paso 2: Diseñar el plan:
Lo que necesitamos es determinar la suma de fracciones o números
fraccionarios que representan respectivamente el tiempo empleado en estudiar dada
asignatura.
Paso 3: Aplicar el plan:
Efectuamos las operaciones indicadas:11 23 44 69 72 185
63 4 12 12
+ ++ + = = horas
Paso 4: Visión retrospectiva:
Se le asigna al alumno verificar la respuesta y procedimiento del problema.
Asignación N ° 22: Resuelve el problema siguiente:
La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres cuartos Kg. de papas,
5 y medio kg. de tomate, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame, 6 Kg. de
zanahoria y tres cuartos de kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de
1.500Bs. ¿Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?
Respuesta: 48.375 Bs.
Valoración cognitiva: Para obtener mejores resultados puedes seguir y
completar el cuadro siguiente para organizar la información y aplicar los pasos del
procedimiento aplicado:
Pasos Planteamiento del problema usando tus propias palabras:
Entender el problema
Diseñar un plan
Ejecutar el plan
Visión retrospectiva
326
� Propiedades de la adición en Q
Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a c c a
b d d b+ = +
2 3 3 2
3 2 2 34 9 9 4
6 613 13
6 6
+ = +
+ +=
=
Asociativa a c e a c e
b d f b d f
+ + = + +
2 1 3 2 1 3
5 2 4 5 2 4
2 2 3 4 5 3
5 4 10 4
2 5 9 3
5 4 10 48 25 18 15
20 2033 33
20 20
+ + = + +
+ + + = +
+ = +
+ +=
=
Elemento neutro
0 0a a a
b b b+ = + =
3 3 30 0
5 5 5+ = + =
Existencia de inverso aditivo para todo entero.
, ,,, / 0a a a a
b b b ba a
∀ ∈ ∃ + = + =ℚ
Se lee: para todo a que pertenece al conjuntoℚexiste un a prima tal que, al sumarlos nos resulta
cero, es decir
,a a
b b
= − .
3 3 3 3
4 4 4 4( ) 0+ − = − + =
Todo entero tiene su opuesto, este el mismo valor pero de signo contrario. Al efectuar la suma algebraica entre ambos resulta cero, que es el elemento neutro de la adición.
Valoración cognitiva: En el conjunto de los números racionales las
propiedades de la adición los alumnos deben utilizar suficientes ejemplos para lograr
su comprensión y construcción, por consiguiente se hace necesario la realización de
la actividad que se presenta a continuación:
Asignación N° 23: Verifica las propiedades de la adición en Q utilizando otros
ejemplos y solicítale al docente las observaciones y asesoría correspondiente.
327
� La resta o sustracción
El procedimiento que se aplica es similar al de la adición, teniendo en cuenta
la ley de los signos.
Ejemplo: Efectuar:
1)2 5 2 5 3 13 3 3 3
− −− = = = −
2)5 2 25 8 33 334 5 20 20 20
− − −− − = = = −
Problema de aplicación N° 7:
La octava parte de una finca de los llanos de Barinas se ha vendido; se alquiló
otra octava parte; cinco doceavos se utilizaron para cultivar maíz y el resto se empleó
para la cría de aves. ¿Qué parte de la finca se destinó para la cría de aves?
Paso 1: Comprender el problema:
Datos: Incógnita Fracciones de Finca:
Vendido: 1
8
Alquilado: 1
8
Cultivada:5
12
Fracción o parte restante de la finca dedicada a la cría de aves.
Paso 2: Diseño y concepción de un plan:
Debemos sumar por un lado las porciones o fracciones que se han vendido,
alquilado y cultivado, luego restamos esta fracción del total de finca, es decir de la
unidad; el resultado será la parte de la finca destinada a la cría de aves.
Paso 3: Ejecución del plan:
Efectuemos las operaciones correspondientes.
1 1 5 3 3 10 16 28 8 12 24 24 3
+ ++ + = = =
Se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.
Se determina el m.c.d. (4 y 5)=20, este se divide entre cada denominador y se multiplica por los numeradores respectivos y, por último se efectúa la resta.
328
2 3 2 113 3 3
−− = =
Paso 4: Examinar la solución obtenida:
Para verificar sumamos todas las fracciones o partes de la finca, esto nos debe
dar uno, es decir, el total de la finca. 1 1 5 1 3 3 10 8 24 18 8 12 3 24 24
+ = + + ++ + = =
Valoración cognitiva: Las sugerencias son iguales a las de la asignación Nº
22.
Asignación N° 24: Resuelve el problema siguiente:
Los tres octavos de una parcela se venden, dos quintos se utilizaron para la
construcción de una casa y un décimo se empleó para el jardín. ¿Qué parte de la
parcela puede destinarse para el patio?
Respuesta: 18
� La Multiplicación
El procedimiento utilizado para multiplicar dos o más números fraccionarios
es el siguiente:
Se multiplican los numeradores. Este resultado será el numerador del
producto. El denominador será el producto de los denominadores. Ejemplos:
1)5 7 (5)(7) 352 3 (2)(3) 6
= =
2) 2 7 15 25 8 14
=5
7
3.58
7 .2
38
=
3) 3 2 7 34 5 9
=2.
22
75 3
7 72.5.3 30.3
= =
En este ejemplo se puede observar que hay factores comunes en los numeradores y denominadores, por lo tanto, se pueden simplificar o cancelar, es decir; 2, 5 y 7 al dividirlos el resultado es uno.
329
Problema de aplicación N° 8:
Se compran 21
4 kg. de arroz a 1.500 Bs./kg.;
16
3 kg. de harina a
1.260 Bs./kg.; 30
8kg. de carne a 8.800 Bs./kg.. ¿Cuántos kg. de comida se han
comprado y cuanto ha costado?
Paso 1: Comprender el problema:
Datos Incógnitas Fracciones y precio:
Arroz: 21
4; 1.500 Bs./kg.
Harina: 16
3; 1.260Bs. /kg.
Carne: 30
8; 8.800 Bs./kg.
Cantidad de comida. Costo total de la compra.
Paso 2: Diseño y concepción del plan:
El primer lugar se debe efectuar la suma de las fracciones correspondientes a
cada producto comprado para determinar el total de comida; en segundo lugar, se
efectúan los productos de cada fracción por el precio de cada producto y, por último,
se efectúa la suma de estos productos cuyo resultado será el costo total de la comida.
Paso 3: Ejecución del plan:
21 16 30 126 108 90 324 274 3 8 24 24 2
+ ++ + = = =
( ) .21 1500 7875 Bs4
=
( )16 1260 6720 Bs. 3
= .7875 6720 33000 47595 Bs+ + =
( )30 8800 33000 Bs. 8
= Respuestas: 27
2kg y 47595 Bs .
Paso 4: Examinar la solución:
Se deja al lector la verificación de estas soluciones.
Valoración cognitiva: La resolución de problemas es una actividad que
requiere de suficiente práctica. En la medida que el alumno se enfrente a más y
nuevas situaciones en los problemas matemáticos aumentará su confianza y
330
experiencia para resolverlos, no obstante su aprendizaje se construirá de forma
progresiva hasta lograr los niveles deseados en su formación integral en la
asignatura. Es necesario que el docente siga orientando esta actividad para que los
alumnos superen sus debilidades y obtengan una verdadera autonomía para
autorregular su pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, por
lo cual recomendamos investigar y plantear más y diversos problemas de aplicación
reales y prácticos relativos a las operaciones con fracciones.
Asignación N° 25: Resuelve los problemas siguientes:
1) ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en
él los 6
7 de su contenido?
R. 80 litros.
2) Me deben 3
4 partes de 880.000 Bs. Si me pagan los
2
11 de 880.000 Bs.,
¿cuánto me deben?
R. 500.000 Bs.
� Propiedades de la multiplicación en Q
Propiedad Expresión matemática Ejemplos
Conmutativa. a c c a
b d d b
=
2 4 4 2
3 5 5 3
2 . 4 4 . 2
3 . 5 5 . 38 8
1 5 1 5
=
=
=
Asociativa. a c e a c e
b d f b d f
=
2 5 2 2 5 2
3 4 7 3 4 7
2 10 10 2
3 28 12 7
20 20
84 845 5
21 21
=
=
=
=
Elemento neutro. .1 1.
a aa
b b= =
2 2 21 1
5 5 5× = × =
331
Distributiva de la multiplicación respecto a la adición.
a c e a c a e
b d f b d b f
+ = +
2 5 1 2 5 2 1
3 4 5 3 4 3 5
10 2 50 8 58 9
12 15 60 60 10
+ = + =
++ = = =
2 5 1 2 25 4
3 4 5 3 20
2 29 58 27 9
3 20 60 30 10
+ + = =
= = =
Existencia de inverso multiplicativo para todo racional.
, ,,, / 1a a a a
b b b ba a
∀ ∈ ∃ = =ℚ
Se lee: para todo a que pertenece al
conjuntoℚ , existe un a prima tal que,
al multiplicarlos nos resulta uno, es
decir
1,a a b
b b a
− =
=
3 4 4 3
4 3 3 4
12 12
12 121 1
=
=
= =
Todo racional tiene su inverso multiplicativo. Al efectuar el producto entre ambos resulta uno, que es el elemento neutro de la multiplicación.
Valoración cognitiva: Para el estudio, comprensión y aplicación de las
propiedades de la multiplicación de raciones se sugiere al alumno actividades
semejantes a las realizadas en las propiedades de los naturales y enteros.
� División
Para dividir dos números fraccionarios se multiplica el dividendo por el
divisor invertido y se simplifica el resultado. Ejemplos:
1) 3 7 3 10 30 65 10 5 7 35 7
÷ = × = =
También se efectúa de la manera siguiente:
33 10 30 65
7 5 7 35 710
×= = =×
Se multiplica numerador del dividendo por denominador del divisor y denominador del dividendo por numerador del divisor.
332
2)
16 23
5 15 56
= =
Problema de aplicación N° 9:
Si en 20 minutos estudio 23de una página de un libro, ¿en cuánto tiempo
podré estudiar 10 páginas?
Paso 1: Comprender el problema:
Datos Incógnitas Tiempo: 20 min.
Cantidad de páginas: 23
Tiempo que tarda en estudiar 10 páginas
Paso 2: Diseño del plan: Se requiere calcular la cantidad de páginas que
estudio en un minuto, luego este resultado se multiplica por 10.
Paso 3: Ejecución del plan:
2 60
3 220 30÷ = =
30 10 300× =
Valoración cognitiva: Para realizar la siguiente asignación el alumno puede
apoyarse en el procedimiento y pasos aplicados en los problemas resueltos, en las
ideas de sus compañeros de equipo y en las asesorías del profesor, quien tomará en
cuenta todos los elementos involucrados en esta actividad para efectuar una
evaluación formativa adecuada que oriente al alumno en su aprendizaje.
Estudio una página en 30 minutos.
Estudio 10 páginas en 300 minutos, es decir, tardo 5 horas.
333
Asignación N° 26: Resuelve los problemas siguientes:
1) Si una llave vierte 3 y tres cuartos litros y otra 2 y un quinto litros de agua
por minuto, ¿en cuánto tiempo llenarán un depósito de 59 y medio litros
de capacidad?
R. 10 minutos.
2) Si distribuyo entre varias personas 500.000 Bs. ¿cuántas recibirían dinero
si a cada una se le da 50.000
3 Bs.?
R. 30 personas.
� La potenciación
Para efectuar potencias con números racionales se aplican las propiedades
correspondientes, veamos los siguientes ejemplos:
3 2 2 5 2 5 2 5 23
5 2 5 4 3
2 3 2 2 3 2 3 2 .3 2 21) 2.3
3 4 3 3 4 3 4 3 .2 3 27− = = = = = =
( )
( )
( )
( )( )
23 2 6 43 6
6 ( 8) 4 ( 8)6 ( 4)
4 4 8 842 2
1 1 1 12 2
1 12 3 2 32) 2
2 31 1 1 14 2
2 3 2 3
− − −−
− − − − − −− − −
− −−
= = =
( )2 4 2
2
2 4 2 2 4
1 1 2 1 12
2 3 2 .3 2 .2 .3 1296
−− = = =
Valoración cognitiva: Es fundamental que el alumno establezca la relación
entre los pasos de los ejercicios y sus respectivas propiedades. El docente debe
valorar la comprensión y aplicación de las propiedades del sistema de los números
racionales más que la resolución mecánica de los ejercicios. Por ello, hemos
propuesto la asignación siguiente:
334
Asignación N° 27: Señala que propiedades se aplicaron para resolver los ejercicios
del ejemplo anterior y elabora una tabla con las propiedades de la potenciación en Q
con sus respectivos ejemplos.
� Operaciones combinadas
Aunque no hemos colocado suficientes ejemplos ilustrativos en este apartado,
consideramos que lo más oportuno sería la contribución de los alumnos a través de
sus investigaciones que aporten más ejercicios sobre las operaciones combinadas, de
esta forma se originará una comunicación y participación más activa que mejoren el
clima social del aula y la actitud del alumno hacia los contenidos desarrollados.
Ejemplo: Efectuar y simplificar:
( )10
1
1 2 1 5 1 21 112 3 2 2 22 3 31)3 3 922 23
−
− − + − −−= = = −
( ) [ ]1
1 1 2 1 5 1 5 5 12 33 2 3 4 12 3 12 12 132)1 2 2 231
6
− + − ÷ + ÷ = = =
Valoración cognitiva: Continuamos con la asignación siguiente destacando el
uso de los mapas conceptuales para organizar, presentar y comunicar la información
sobre el sistema de los números racionales, complementándolo a su vez con
ejercicios y problemas de aplicación variados para que el alumno logre internalizar
los aprendizajes y el docente recolecte la información adecuada para valorar el
progreso cognoscitivo de los alumnos sobre los conceptos, definiciones, propiedades
y procedimientos.
335
Asignación N° 28:
a) Elabora un mapa conceptual para resumir los aspectos estudiados sobre
números racionales.
b) Efectúa y simplifica:
1001 2 2 21 2 1 3
4 3 4 21)
33 1 2
2 4 3
−− − = −
R. 1
132
4
2
1
32 )
1
3
1
3
−−−
−
−
=
R. 81
11
3) 0, 010,19
− ÷ =
R.19
c) Completa la tabla siguiente:
Fracción Expresión decimal Porcentaje
2
3
52% 0,25
1
9
0,05 0,125 55,5% 0,45 80%
336
Resuelve los problemas siguientes:
1) Un ladrillo pesa un kg. más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa el ladrillo?
R. 2 kg.
2) ¿Cuánto cuesta el almuerzo, si el recibo es por Bs. 23.000 Bs. y están
incluidos el 10% de servicio y el 5% de cubierto?
R. 20.000 Bs.
3) ¿Descuentos sucesivos del 10% y de 20% son equivalentes a un simple
descuento del…?
R. 28 %.
4) Un enfermo debe tomar una aspirina cada media hora. ¿En cuánto tiempo
tomará cuatro aspirinas?
R. Hora y media.
5) Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse de algunas
naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por su
necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que
llevaba y otra media naranja. Con un segundo guardián consiguió, por
lástima de sus ruegos, que también le dejase pasar pero dándole también
la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo
exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el
ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. Se
pregunta cuántas naranjas había obtenido al principio.
R.23 naranjas.
6) En una lucha amorosa se rompió un collar de perlas; un sexto de las perlas
cayó al suelo, un quinto quedó sobre el lecho, la zagala salvó un tercio, un
décimo guardó consigo el mancebo y seis perlas quedaron enhebradas.
¿Cuántas perlas tenía el collar?
R. 30 perlas.
7) En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha
lámina. Si el pedazo que queda pesa 24,2 Kg., ¿cuál es el peso del trozo
cortado?
R. 36,3 Kg.
337
8) Un sastre compró la mitad de un metro cuadrado de tela y gastó 21
2m .
¿Cuánta tela le sobró?
R. Cero.
9) Un comerciante deshonesto gana 12% usando pesas falsas. ¿Cuál es el
peso verdadero?
R. 1
1,12Kg
10) De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14% el resto
se siembra. ¿Cuántas hectáreas se sembraron?
R. 35 hectáreas.
11) En un frigorífico mantienen 550 Kg. de carne a una temperatura de -10ºC,
cada vez que se abre la puerta del refrigerador la temperatura sube 5ºC y
luego al cerrarla baja 2ºC. Si durante una hora se han abierto las puertas
cinco veces. ¿Cuál es la temperatura final de la carne?
R. 5 Cº
338
VI.8.4. Sistema de los Números Irracionales
VI.8.4.1. Fase de exploración
Para lograr una valoración sobre los aprendizajes previos planteamos al
alumno la siguiente actividad:
Responde las preguntas del cuadro siguiente:
Preguntas Respuestas Observación ¿Qué es una raíz cuadrada? ¿Cómo determinamos un número irracional? ¿Dónde se utilizan las raíces cuadradas? ¿Qué diferencia existe entre un número racional y un número irracional?
Utilizando tu calculadora señala 5 números irracionales.
VI.8.4.2. Fase de presentación
La comprensión y aplicación del número irracional exigen un mayor grado de
abstracción y formalización del pensamiento del alumno, sin embargo presentamos a
continuación algunos aspectos que pueden ayudar en el progreso y construcción de
estos aprendizajes.
VI.8.4.2.1. Conceptos fundamentales
Para explicar de una forma más ilustrada y comprender el origen de los
números irracionales, vamos a necesitar de la formulación y resolución de problemas
como el siguiente:
Hallar un número que multiplicado dos veces por si mismo sea igual a 2.
Datos Incógnita Procedimiento Condición: Multiplicado dos veces por si mismo sea igual a 2
:x Número buscado ( )( )2
2
2
x x
x
=
=
La operación que se está efectuando es el cálculo de una raíz cuadrada de un
número (operación inversa de la potenciación), el problema se presenta en
339
determinar un valor que no se corresponde a un número racional, es decir, no es una
raíz exacta como, por ejemplo, 4 2= o 9 3= .
Determinar la incógnita de problemas como estos llevaron, hacia el siglo V
a.C., a matemáticos griegos como los Pitagóricos a descubrir un nuevo tipo de
expresión a la que llamaron inconmensurables, con la diferencia que la situación que
plantearon se relacionaba con el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado igual
a 1, esto es el teorema mejor conocido como Teorema de Pitágoras, tal como se
ilustra en la figura siguiente:
1
2 2 2
2
1 1
2
2
d
d
d
= +=
=
1
El valor que se obtiene en ambos problemas es 2 que es una expresión
decimal ilimitada no periódica, igual a 1,4142135623730950488016887242097...
Así se puede definir de manera intuitiva al número irracional como una raíz inexacta
o expresión decimal ilimitada no periódica, a diferencia de los números racionales
que son expresiones decimales limitadas e ilimitadas periódicas. El conjunto de los
números Irracionales se simboliza con la letra Ι
Al medir el perímetro de una circunferencia cuyo diámetro sea igual a 1 nos
encontramos con otro número irracional, el número
π =3,1415926535897932384626433832795...
Asignación N° 27: Completa el cuadro siguiente señalando la relación de
pertenencia ∈o no pertenencia ∉ de cada número con su conjunto numérico.
d =?
1
340
Conjunto Numérico
Número N Z Q I
0,25
15
3
1,23615684...
�1,2536
0,0001
12,00001−
81
21
23
3 8−
� Partes de un Radical
La expresión siguiente simboliza de manera general un radical o número
irracional:
nb a , donde:
:b Coeficiente de la raíz
:n Índice de la raíz
:a Cantidad subradical o radicando
� Simplificación de Radicales
Es un procedimiento que se aplica para reducir un radical a su mínima
expresión, consiste en determinar las raíces exactas de los factores que componen a
la cantidad subradical. Ejemplo: Simplificar:
21) 5 0 2 .5 5 2= =
5 4 22)3 243 3 3 3 3 .3 3.3 3 27 3= = = =
Observe que 25 25= es un factor que tiene raíz exacta; al calcular esta sale del radicando 5.
4243 81.3 3 .3= = y 4 281 3 3 9= = =
341
VI.8.4.2.2.Operaciones con radicales
� Suma y resta
Para sumar o restar radicales deben ser semejantes, es decir, deben tener
igual el índice y la cantidad subradical, se suman los coeficientes respetando la ley de
los signos y se ordena la expresión final. Ejemplos:
( )1 11) 2 3 3 2 2 3 1 2 2 3 32 2
7 72 3 3 22 2
+ − + = − + +
− + = −
2 4
2
2)2 3 5 27 48 2 3 5 3 .3 2 .3
2 3 5.3 3 2 3 2 3 15 3 4 3 13 3
+ − = + − =
+ − = + − =
� Multiplicación
Para multiplicar radicales se aplican procedimientos de acuerdo a los índices
de los factores.
Caso I: Cuando los radicales tienen igual índice se multiplican
respectivamente coeficientes y radicandos, el producto de los radicandos se coloca
bajo radical común. Ejemplo:
1) 21 2 1 2 1 1 16 . 15 6 .15 80 3 .2 .5 3 10 10
2 3 2 3 3 3 3 = = = = =
4 4 2 2
2
1 8 3 1 8 32) 48. 5. 15 48.5.15 2 .3.5.3.5 2 .3 .5
4 3 2 4 3 2
2 .3.5 60
= = = =
=
Caso II: Cuando los radicales tienen diferentes índices se determina el
mínimo común índice, este valor es el m.c.m de los índices de las raíces y será el
índice general de la nueva raíz. El mínimo común índice se divide entre cada índice,
resultando un valor que representa el exponente del radicando correspondiente,
finalmente se efectúan los productos indicados y se simplifica la expresión.
342
Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )3 23 2 62 2 6 3 4 23 6 6
6 6 2 6 6 6
1)2 12. 18 2 12 . 18 2 2 .3 3 .2 2 2 .3 .3 .2
2 2 .2 .3 .3 2.2.3 12 12 12
= = = =
= =
612 12=
� División
Caso I: Radicales de igual índice:
Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí,
colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica. Ejemplo:
11 1 0 121 0 2 5 22 2 5 4
÷ = =
Caso II: Radicales de diferentes índices
Es semejante al procedimiento utilizado en la multiplicación. Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )3 2 26 65 4 15 8 3 23 66
11 2 3 3232 81 2 3 2 .3 2 3 2 .3 9 72
22 3 4 43
÷ = = = =
� Potencia de Radicales
Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva a esa potencia el
coeficiente y la cantidad subradical. Ejemplos:
3 3
31 1 1 31) 3 3 27 3
2 2 8 8 = = =
( ) ( ) 443 34 4 33 31 1 3
2) 3 5 3 5 5 .5 135 53 3 3
= = =
343
VI.8.5. Sistema de los Números Reales
VI.8.5.1. Fase de exploración
Para verificar y valorar el concepto que tienen los alumnos sobre el número
real, hemos asignado las actividades siguientes:
- Representa gráficamente el conjunto de los números reales.
- Utiliza la recta real para representar a los números reales.
- En este diagrama de Venn indica los diferentes conjuntos numéricos.
VI.8.5.2. Fase de Presentación
VI.8.5.2.1. Conceptos fundamentales
La unión entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los
números irracionales se le conoce como conjunto de números reales. En el gráfico
siguiente se puede ver la relación entre los conjuntos numéricos:
R
Ι
2, 2
2;0,1259....− ℚ
3
2−
3
2
ℤ -3,-2,-1 ℕ
1,2,3
2, 2
2;0,1259....−
3
2−
3
2
-3,-2,-1
1,2,3
344
VI.8.5.2.2. Operaciones con números reales
� Adición y sustracción
Ejemplos:
21) 1 2,5 2 1 2,5 0,4 2 1,4 2,5 2 1,1 25
− + − + = − + − + = − + + = +
3 1 3 1 12) 48 3 4 3 34 2 4 2 4
− + + − = − + + − = − + 3 3
� Multiplicación
Ejemplos:
1 11) 2 1 2 22 2
=
− = −1
22
( ) ( )1 5 102) 2 3 2 2 2 2 23 3 3
− − = =
� División
Ejemplos:
31 1 3 5 321) 2 3 3 3 3
52 2 2 2 5 332
− ÷ − = ÷ = =
Racionalizando la expresión nos queda:
( )3 3 3 3 3 3 3 3
2 5.3 55 3 5 3. 3 5 3
= = = =
1 1 12) 2 2 1 22 3 2
− ÷ − + = ÷2 3
23 4
− = −
Se suman algebraicamente tanto números racionales como irracionales por separado y se deja la suma indicada.
345
� Potenciación
Ejemplos:
( ) ( ) ( ) ( )2 221) 3 2 3 2 3 2 2 9 6 2 2 11 6 2+ = + + = + + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2) 2 3 2 2 2 3 3 2 2 6 3 5 2 6− = − + = − + = −
� Propiedades
∀ a ∈ R, se cumplen las propiedades siguientes:
Propiedad Adición Multiplicación Conmutativa a b b a+ = + ab ba= Asociativa ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ( ) ( )a bc ab c=
Elemento neutro 0 0a a a+ = + = .1 1.a a a= = Distributiva de la multiplicación respecto a la adición
( )a b c ab ac+ = +
Elemento simétrico
Inverso aditivo , , ,, / 0a a a a a a∀ ∈ ∃ + = + =ℤ
Se lee: para todo a que pertenece al
conjunto ℤ , existe un a prima tal que, al sumarlos nos resulta cero, es decir ,a a= −
Inverso multiplicativo
., , ,0 , / . 1a a aa a a=∀ ≠ ∈ ∃ =ℝ
Se lee: para todo que pertenece al conjuntoℝ , existe un “a” prima tal que, al multiplicarlos nos resulta uno,
es decir, ( ) 1 1,a a
a
− ==
Valoración cognitiva: Realizar las asignaciones siguientes:
Asignación Nº 28: Elabora un mapa conceptual para organizar la información sobre
el conjunto R, destacando sus operaciones, propiedades y relación de inclusión entre
los conjuntos N, Z, Q.
346
Asignación Nº 29: Elabora un cuadro con las propiedades del sistema de los
números reales con sus respectivos ejemplos.
Asignación Nº 30: Resuelve los ejercicios siguientes:
i) 2 2 25 5 5 4(2)(3)+ + − =
ii) 26 7 4(3)( 2)1
2 2(3)
− ± − − =
iii) 3 2 5 2 2 5+ + + + =
iv) 2
3 22
− =
v) 23
ππ + − =
vi) 2
12 2
2 + + =
vii) ( ) ( )1 222 1 2 (1 4) 3 2 3 3
3
− − − − + − + + =
viii) ( )3 0,0020,2 0,01 1,01
0,0002− + − =
ix) ( ) ( )2 2
2 3 2 3 5+ − − + =
x) ( )1 12 2(0,01) 0,0001+ =
VI.8.6. Bibliografía
- BALDOR, A. (1992). Aritmética teórico-práctica. Ediciones Cultural
Venezolana: Caracas.
- BALDOR, A. (1989). Álgebra. Ediciones Cultural Venezolana, S.A.:
Caracas.
- GALDÓS, L. (2000). Matemáticas Galdós. Cultural, S.A.: Madrid-
España.
347
- PETERSON, J. & HASHISAKI, J. (1994). Teoría de la Aritmética.
Editorial Limusa: México.
- SAENZ, J. et al. (2001). Fundamentos de la Matemática. Editorial
Hipotenusa. Segunda edición. Barquisimeto-Venezuela.
- UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA (1993). Matemática I. Estudios
Generales. Sexta edición. Caracas-Venezuela.
CAPÍTULO VII: ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
TERCERA FASE: PUESTA EN PRÁCTICA Y EVALUACIÓN
DEL PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN
351
CAPÍTULO VII:
ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
TERCERA FASE: PUESTA EN PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL
PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN
En esta última fase de la investigación, a la que hemos denominado “puesta
en práctica y evaluación del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal”, seguiremos los pasos de presentación, análisis, interpretación y reflexión de
los datos desde un enfoque cualitativo, complementándolo con datos cuantitativos en
función de las dimensiones que determinamos en el estudio, es decir, el aprendizaje
matemático, la actitud del alumno y el clima social del aula. Es el momento decisivo
que nos revelará los alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, el cual se constituye
desde sus fundamentos epistemológicos y psicológicos, desde los objetivos que
persigue, y siguiendo las fases de aplicación y material de trabajo como una
propuesta didáctica que persigue reorientar la práctica pedagógica en esta área de
conocimiento, específicamente en la asignatura Matemática General.
Esta fase de nuestro estudio se desarrolló entre el 17 de enero y el 17 de
febrero de 2008. En el transcurso de este tiempo, la implementación del Programa se
efectuó con un grupo de treinta y un alumnos, durante nueve sesiones de clase, sin
incluir la que dedicamos a la prueba escrita. Cabe destacar que en la planificación
estimamos más sesiones de clase para completar la mayoría de las actividades
programadas, sin embargo debimos ajustarnos y hacer modificaciones por el tiempo
perdido durante el semestre académico por los problemas de tipo político que se
suscitaron dentro de la universidad. La descripción de estas sesiones de clase la
realizamos utilizando la información que nos aportaron los instrumentos siguientes:
transcripciones de las sesiones de clase grabadas en audio, diarios y cuadernos de los
alumnos. El desarrollo completo y detallado de las sesiones figura en el Anexo VII-1
del presente capítulo. El resto de la información la obtuvimos a través de
cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas a los alumnos y las pruebas de
valoración ya descritos en el Capítulo III.
De manera semejante al diagnóstico y de acuerdo al objetivo de investigación
Nº 6, con el cual pretendemos evaluar el Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los
alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura
352
Matemática General, el clima social del aula y la actitud del alumno, las dimensiones
que nos orientaron en el proceso de presentación, análisis y reflexión, son en primer
lugar, el aprendizaje matemático significativo que lograron los alumnos teniendo en
cuenta los siguientes criterios de análisis:
- Las estrategias que los estudiantes emplean para organizar la información.
- Las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y
problemas.
- El dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de conceptos,
definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos
matemáticos de las sesiones de clase ejecutadas.
La segunda dimensión está constituida por la actitud del alumno ante las
matemáticas en general y el clima social que se genera en el aula durante el proceso
didáctico de la asignatura Matemática General. Para analizar esta dimensión de
estudio se utilizaron los siguientes criterios:
- El auto-concepto del alumno ante su desempeño en las actividades
asignadas.
- La concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos
de la asignatura de Matemática General.
- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.
353
VII.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
DIMENSIÓN APRENDIZAJE MATEMÁTICO SIGNIFICATIVO
En esta sección se presentarán los resultados de la dimensión de aprendizaje
matemático obtenidos en las observaciones de las sesiones de clases, en los
cuadernos de los alumnos, en el cuestionario de estrategias de aprendizaje y en las
pruebas de valoración aplicadas al grupo de alumnos, con la finalidad de evaluar los
alcances y limitaciones de acuerdo al primer objetivo general de nuestra propuesta,
formulado en el Capítulo V1 de la siguiente manera:
“Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno un
aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la resolución de
problemas de su interés, para generar un proceso didáctico que consolide la
construcción progresiva, reflexiva y científica del conocimiento matemático,
utilizando los aportes teóricos del paradigma constructivita”.
Los resultados los dividimos según los propósitos de cada una de las técnicas
e instrumentos de recolección de información, tal y como se indica en los epígrafes
siguientes:
VII.1.1. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase
El proceso de observación, que seguimos en las sesiones de clase, nos
proporcionó datos relevantes en cuanto al proceso didáctico ejecutado por el
profesor-investigador bajo los fundamentos del Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal y siguiendo las diferentes estrategias, técnicas,
actividades de aprendizaje y evaluación, recursos que engloban la Didáctica de la
Matemática; de este modo, pudimos verificar los alcances y limitaciones en cuanto al
aprendizaje significativo logrado por los estudiantes en la Unidad de Sistemas
Numéricos durante la puesta en práctica del Programa de autorregulación, a través de
los acontecimientos que realmente se suscitaron en el aula de clase y expresiones
sinceras de los actores del caso de estudio seleccionado.
Para no extender mucho la descripción de las sesiones explicando
acontecimientos clase por clase, para evaluar el Programa de autorregulación del
1 Cfr. Apartado V.2. Capítulo V.
354
pensamiento lógico-formal hemos sintetizado la información destacando los aspectos
más significativos que nos aportan datos importantes sobre el proceso didáctico. En
total logramos grabar y transcribir las observaciones de nueve sesiones de clase, y
aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento, hecho o situación,
hemos procurado destacar lo más relevante teniendo en cuenta los objetivos de
nuestra investigación. El análisis y reflexión lo hemos efectuado de acuerdo a las
unidades didácticas de la forma siguiente:
VII.1.1.1. Unidad Didáctica I: Sistema de los Números Naturales
El desarrollo de los contenidos relativos al Sistema de Números Naturales se
presentó durante las sesiones de clases 1, 2, 3, 4 y 5 siguiendo la planificación
expuesta en los guiones de trabajo descritos en el Anexo III-5 del Capítulo III.
En la primera sesión de clase el profesor conjuntamente con los alumnos
estableció las pautas del contrato didáctico, que son las condiciones y reglas bajo las
cuales se ejecutaron las clases, además estuvieron sujetas a negociaciones frecuentes
para mantener un equilibrio de participación entre los actores del proceso didáctico.
De igual forma el profesor explicó las características del material didáctico,
es decir la concreción del Programa de autorregulación, las recomendaciones
necesarias para su utilización y su respectiva entrega a cada alumno para lograr su
mayor participación posible en la ejecución de las diferentes asignaciones previstas
en el desarrollo de la unidad de contenidos seleccionada, las cuales se planificaron
siguiendo las Unidades Didácticas siguientes: Sistema de los Números Naturales,
Sistemas de los Números Enteros y Sistema de los Números Racionales.
En última instancia se dieron los criterios principales para valorar las
diferentes actividades que los estudiantes realizaron para su evaluación, es decir, en
las asignaciones, talleres, participación y la prueba escrita, en función del quinto pilar
del Programa de autorregulación en el cual concebimos a la evaluación como un
proceso dirigido hacia la valoración integral y equilibrada como fundamento para el
crecimiento académico, personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico
de la Matemática.
El profesor-investigador inició la primera sesión de clase siguiendo la fase de
exploración de la secuencia didáctica de nuestra propuesta, en donde utilizó un
esquema como estrategia de aprendizaje para organizar la información e introducir
355
los aspectos básicos que constituyen al conjunto de los números naturales, dentro de
los cuales destacan la noción intuitiva de número natural, notación del conjunto N,
representación gráfica, reseña histórica y relación con la vida cotidiana. Los alumnos
utilizaron el material didáctico para realizar las actividades señaladas por el profesor;
durante el proceso observamos una dificultad para entender las instrucciones y
asumir individualmente y de manera independiente el trabajo asignado, a pesar de
estar en pequeños grupos. Esto evidencia que la capacidad de concentración es uno
de los indicadores que necesitó desarrollarse desde un inicio, por lo tanto fue
necesario utilizar estrategias que lograran en los alumnos la atención selectiva de
instrucciones y así lograr la disminución de respuestas impulsivas para garantizar una
aplicación correcta de los procesos que caracterizan la autorregulación del
pensamiento lógico-formal necesario en el aprendizaje significativo de las
matemáticas.
La discriminación de la información como estrategia de aprendizaje se utilizó
en la primera asignación de la clase, los alumnos presentaron algunas dificultades
para discriminar datos y su percepción de las ideas y conceptos eran superficiales, no
obstante la situación progresivamente se superó gracias a las orientaciones didácticas
del profesor, al apoyo del material didáctico y al trabajo en equipo de los estudiantes.
La idea de utilizar el conflicto cognitivo para generar el razonamiento deductivo,
activar la autorregulación del pensamiento lógico-formal en los alumnos y construir
el aprendizaje significativo de los contenidos matemáticos, presenta un primer
obstáculo en la sesión de clase; en general los alumnos no tenían iniciativa de
participar con sus propias ideas sino que recurrían al trabajo práctico y sencillo que
les ofrecía la información del material o unidad didáctica, sin embargo de manera
progresiva y con la orientación del profesor los alumnos fueron construyendo sus
propios conceptos de número natural, tal como se describe en la transcripción
siguiente:
Profesor: La primera actividad consiste en señalar de la lista de veinte, situaciones de la
vida cotidiana en las que se utilizan o están presentes los números naturales. Por ejemplo, en
la primera situación se dice ‘la temperatura promedio del lunes en la ciudad de Barinas fue
de 32,5Cº’, ¿se utilizan números naturales para presentar esta información?
Observador: Se produce un silencio.
Profesor: En la asignación nº1 ahí tenemos una serie de preguntas que responder. En la
primera pregunta se dice: ¿podrías dar un concepto sencillo de número natural?, creo que
es un concepto que manejamos todos en estos niveles, ¿alguien podría dar un concepto de
número natural?
Alumno: Son los números que utilizamos para contar elementos concretos del entorno que
nos rodea.
Profesor: Ese concepto está en el material, pero el concepto de ustedes ¿cuál es?
356
Observador: Ningún alumno contesta la pregunta.
Profesor: Razonen un poco para que redacten este concepto de número natural en el taller.
La siguiente actividad consiste en escribir la sucesión de números naturales, esto ya lo
veníamos estudiando en el módulo de teoría de conjuntos.
Alumno: Profesor, ¿qué opina de este concepto de número natural?: “son sucesiones
numéricas que utilizamos en nuestra vida cotidiana para contar personas, animales o
cosas”.
Profesor: ¡Bien, es aceptable!
Por otro lado, los alumnos se interesan por las nuevas estrategias de
aprendizaje para organizar la información que presentan en sus trabajos, como el uso
de los esquemas, cuadros, diagramas y mapas conceptuales, no obstante para que la
actividad se realice de manera fluida, el profesor constantemente explica y orienta
sobre la importancia de su aplicación e insiste para que los alumnos procuren obtener
sus propias respuestas a través de su razonamiento:
Observador: El profesor destaca las ventajas de la elaboración de los esquemas, diagramas,
cuadros para organizarla información y explica a través del esquema que escribió en la
pizarra. Además señala que los apuntes de los alumnos no presentan en la mayoría de los
casos organización de la información y les explica que esta situación perjudica notablemente
el aprendizaje. Finalmente da oportunidad al grupo de alumnos para que formulen las
preguntas y aclaren las dudas respectivas.
Alumno: En la pregunta ¿cómo surgieron los números naturales en las actividades
cotidianas del hombre?, ¿cómo vamos a obtener esta información?
Profesor: Razonen y reflexionen sobre como han evolucionado las civilizaciones, esto les
dará alguna idea. Al final de la clase cada equipo expondrá su trabajo para la discusión
general.
Para la mayoría de los alumnos aún es difícil clasificar las situaciones
cotidianas relativas al uso de los conjuntos numéricos expuestas en el ejemplo del
material didáctico, no discriminan entre los números naturales y los decimales, lo
cual origina el conflicto cognitivo que al final de cuentas benefició la construcción
del nuevo aprendizaje en función de la información que tenían los alumnos en su
estructura cognitiva, puesto que la relación entre desequilibrio y equilibrio cognitivo
de los procesos mentales garantizan que los alumnos autorregulen constantemente
sus esquemas mentales y por lo tanto el proceso constructivo del aprendizaje que van
adquiriendo. Veamos el fragmento siguiente:
Alumno: El número de palabras que hay en los apuntes de matemática ¿Es un número
natural?
Profesor: ¿Las palabras se escriben incompletas?
Alumno: ¡Claro que no!, entonces sí son números naturales.
357
Observador: Se mantiene el intercambio de ideas entre los alumnos y el profesor quien
monitorea a cada grupo para orientarlos y contestar a las diferentes interrogantes que
formulan los alumnos.
Alumno: La mitad de la torta o pastel es un número natural
Profesor: ¿Qué sucede si divides la unidad en partes iguales?
Alumno: Nos da decimales
Profesor: Entonces ¿qué tipo de número es?
Alumno: Es una fracción
Alumno: ¿Qué ocurre con la cantidad de combustible que consumió un avión?
Profesor: Se pueden utilizar tanto naturales como decimales, eso depende de la situación.
¡Razonen un poco más!
Durante las exposiciones de los alumnos se aprecian resultados satisfactorios
en el producto final de la actividad, la mayoría pudo comunicar de manera clara y
ordenada la información utilizando las estrategias de la Unidad Didáctica o material
escrito relativas al uso apropiado del vocabulario para expresar conceptos de manera
escrita, a la utilización de técnicas de estudio como la construcción de esquemas,
diagramas, cuadros y mapas conceptuales, los cuales constituyen uno de los pilares
del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal señalado en el
Capítulo V2, que se refiere a la ‘comprensión y aplicación progresivas del lenguaje
utilizado en el proceso didáctico de las matemáticas’; además las opiniones de los
estudiantes con relación a las estrategias utilizadas son favorables:
Observador: En algunos trabajos a pesar de algunos errores de contenido ya se distinguen
mapas conceptuales para organizar la información solicitada.
Profesor: Vamos a iniciar la discusión, ¿alguien quiere comenzar?
Observador: De manera espontánea un representante de un grupo levanta la mano pidiendo
el derecho de palabra e inicia una exposición clara y acertada.
Profesor: ¿alguien quiere dar su opinión sobre las actividades que efectuamos durante la
clase?
Alumno: Me ha parecido una forma distinta y agradable para aprender más sobre las
matemáticas y espero que sigamos utilizando estas estrategias.
Alumno: Es una manera de integrarnos más a la clase de matemáticas y de saber cuáles son
nuestras fallas en los ejercicios.
Profesor: Esto es una estrategia para trabajar de manera progresiva los conocimientos
matemáticos de los sistemas numéricos.
Observador: El profesor reitera a los alumnos la utilización del material didáctico y da por
finalizada la clase.
En la segunda sesión de clase podemos apreciar nuevamente el uso de los
mapas conceptuales por parte del docente como estrategia de aprendizaje para
organizar la información, además, hace un recuento de los aspectos que se estudiaron
2 Cfr. Apartado V.3.2. Capítulo V.
358
en la clase anterior, utilizando para ello el procedimiento socrático para obtener la
información de los alumnos a través de la formulación de preguntas; sin embargo,
existen todavía problemas en la comprensión y comunicación de los conceptos, esta
situación nos originó preocupación, puesto que no sabíamos con exactitud si era
producida por la poca motivación interna de los alumnos para estudiar los contenidos
o por la falta de contundencia de las estrategias propuestas en la Unidad Didáctica;
veamos:
Observador: El profesor continúa elaborando el mapa conceptual y formula preguntas a los
alumnos.
Profesor: ¿Este sistema numérico esta formado por?
Alumnos: Por el conjunto N
Profesor: ¿Para qué usamos los números naturales?
Observador: Los alumnos tardan en contestar la pregunta.
Profesor: ¿Qué pasa?, ustedes habían escrito esa respuesta en el taller que desarrollaron.
Alumno: Se utilizan para realizar conteos de objetos.
Profesor: ¿Qué tipos de objetos? ¿Dónde los encontramos…
Alumnos: En nuestra vida cotidiana
Profesor: Son elementos concretos de nuestro entorno que vemos a diario en nuestra vida
cotidiana. ¿Cuál es la sucesión de los números naturales?
De acuerdo a las respuestas dadas por los estudiantes, podemos decir que
tienen una deficiencia en los conceptos básicos de la aritmética, porque no responden
con seguridad a las preguntas formuladas por el profesor, este escenario ya lo
habíamos descrito en la fase de diagnóstico en donde determinamos un bajo nivel de
aprendizaje matemático en los alumnos y nuevamente se reitera esta situación
académica tal como se observa en el ejemplo siguiente:
Profesor: ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?
Alumno: Adición, resta, ¿?
Observador: Los alumnos no comprender la pregunta, las palabras operaciones y
aritméticas parecen ser términos desconocidos y el profesor responde.
Profesor: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Observador: Luego va escribiendo en el mapa conceptual los nombres de las diferentes
operaciones y los alumnos copian en sus cuadernos la información.
También continúan presentándose problemas en la organización de la
información, esta vez no logran expresar de manera coherente el concepto de adición
de forma verbal o escrita, esta situación se va constituyendo en otra oportunidad para
que a través de la intervención de la propuesta didáctica conjuntamente con la
explicación del profesor se logre nivelar a los estudiantes y de esta manera estos
puedan superar sus debilidades en cuanto a las presentación de los respectivos
359
conceptos, definiciones y demás contenidos matemáticos. En consecuencia se
destaca el uso de representaciones gráficas como estrategia de aprendizaje según
nuestra propuesta didáctica, para orientar a los alumnos en la comprensión de los
conceptos matemáticos estudiados durante la clase para guiarlos hacia un aprendizaje
progresivo y significativo, puesto que la sola presentación verbal-escrita y simbólica
de los mismos no es internalizada por el grupo de estudiantes.
Observador: A los alumnos se les dificulta la elaboración y redacción de conceptos, la
mayoría de las hojas de trabajo presentan incoherencias en sus escritos. El profesor explica
de manera intuitiva el concepto de adición, usa ejemplos y finalmente la teoría de conjuntos.
Profesor: Vamos a dar inicio a las exposiciones, ¿quién desea comenzar?
Observador: Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la
retroalimentación a cada exposición.
Alumnos del primer equipo: “La adición es la unión de elementos de dos a más conjuntos”.
Profesor: Recuerden que es una definición intuitiva, es decir, una idea de lo que se entiende
del concepto.
Alumnos del segundo equipo: “Es una operación aritmética que tiene por objetivo unir dos
a más conjuntos para obtener otro conjunto que es el resultado de dicha operación”.
Alumnos tercer equipo: “La suma está compuesta de sumandos que son los números que se
suman”.
Profesor: Ustedes ya están mencionando las partes de la adición, entonces podemos escribir
formalmente su expresión matemática, es decir, a b c+ = , donde a y b son los sumandos y
c la suma.
Observador: Las exposiciones de los equipos restantes presentan conceptos semejantes.
Finalmente el profesor utiliza diagramas y dibujos de figuras geométricas para ayudar a los
alumnos a comprender los aspectos estudiados.
Con relación a las estrategias de diseño y aplicación de planes de resolución
de problemas, los alumnos participan activamente con el profesor, quien introduce
los pasos de resolución de problemas según Polya (1978); las respuestas que dan los
estudiantes nos indican que hubo una comprensión general del procedimiento
utilizado y se observa que la estrategia de utilizar situaciones cotidianas ofrece una
mejor oportunidad para la comprensión de los procesos de abstracción y cálculo
aritmético, tal como lo describe la transcripción siguiente:
Profesor: El problema que se les presentó es de una situación común, es un presupuesto de
compra y venta de un vehículo.
Observador: Un estudiante lee el problema.
Profesor: ¿Qué observan en las cantidades? ¿Están actualizadas?
Alumnos: No, se deben ser Bolívares fuertes.
Profesor: ¿Quién explica el procedimiento que usó para resolver este problema?
Alumno: Yo simplemente sumé todos los costos del carro y luego sume la ganancia, eso me
dio 9.240 Bolívares Fuertes (Bs. F.)
360
Profesor: ¿Alguien más desea participar?
Alumno: Sacamos una suma de la compra, con los gastos de reparación y la ganancia. De
esta forma conseguimos el precio de la venta, que es de 9.240.000 Bs.
Profesor: Para resolver ese problema ustedes necesitaron aplicar algunas estrategias y
pasos, en primer lugar comprender o entender el problema.¿Qué tuvieron que hacer para
entender el problema?
Alumnos: Sacamos los datos y las incógnitas.
Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar una tabla que
es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.
Observador: El profesor se dedica a construir la tabla con la participación de los alumnos.
Profesor: Una vez que hemos entendido el problema y organizado la información, pasamos a
concebir o diseñar un plan para resolverlo. ¿Qué plan diseñaron ustedes?
Alumnos: Sumamos todas las cantidades
Profesor: Bien, el plan consiste en efectuar las operaciones de adición para obtener el
precio final de venta. Luego seguimos con la aplicación o ejecución de este plan y tenemos el
resultado de 9.240 Bs. F.
Finalmente verificamos que tanto procedimiento como resultado sean correctos, ¿cómo
verificamos que esta suma está bien hecha.
Alumnos: Le restamos los costos y la ganancia, nos debe dar el precio de compra.
Profesor: Exacto, quién tiene alguna pregunta.
Observador: Ningún estudiante hace preguntas y los equipos entregan sus trabajos.
En la tercera sesión la situación es semejante en cuanto al desarrollo de las
actividades como la discusión de los aspectos teóricos y la resolución de problemas,
sin embargo el profesor interpela a los alumnos por su poca disposición con el
aprendizaje, puesto que la participación ha disminuido considerablemente. La
búsqueda de información previa a la sesión de clase no resultó una estrategia
contundente, tal como se refleja a continuación:
Profesor: ¿Cuáles son las partes de la sustracción?
Observador: Los alumnos no responden y algunos lo hacen con muchas dudas.
Profesor: Si hubiesen leído un poco el material didáctico todos estuvieran respondiendo, con
esto ustedes están demostrando la poca responsabilidad en su trabajo individual, al menos
eso es lo que yo puedo valorar.
Observador: Los estudiantes con ayuda del material responden a la pregunta y el profesor
escribe sus respuestas en la pizarra.
Profesor: Continuamos ahora con la definición del producto, ¿qué es la multiplicación?,
¿qué proceso ejecutamos en esta operación?
Observador: Los alumnos se limitan a leer lo que está en el material de apoyo, el profesor
los interpela, los exhorta a participar con sus propias ideas y utiliza ejemplos cotidianos
para explicar intuitivamente el concepto de la multiplicación.
Profesor: Según los ejemplos explicados ¿qué podemos decir del concepto del producto o
multiplicación?
Alumno: Es una suma que tiene las mismas cantidades.
361
En la aplicación de los procesos de verificación, pusimos en práctica las
estrategias relativas a la verificación de respuestas, utilizando como recurso la
calculadora. Esta es mencionada por el profesor, como una herramienta para
autoevaluar la resolución de ejercicios y problemas. Los alumnos tuvieron la
oportunidad de usarla sin obtener el beneficio esperado, observamos en general que
el alumno se concentra más en los resultados que en el procedimiento de resolución,
y esta tecnología que representa un recurso importante para la revisión retrospectiva
de los problemas se transforma en un obstáculo para el logro de un verdadero
aprendizaje significativo, por consiguiente evidenciamos que la ausencia de los
procesos de verificación nos demuestran que la autorregulación no está totalmente
consolidada en los alumnos:
Profesor: a y b también reciben el nombre de factores, es decir, los factores son divisores del
producto, si 3 6 18× = , 3 y 6 dividen exactamente a 18, por eso decimos que “el orden de
los factores no altera el producto” que es la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Observador: Algunos alumnos usan la calculadora para efectuar este producto sencillo, el
profesor observa y detiene por un momento la clase para señalar las condiciones en el uso
de la calculadora, la cual debe utilizarse para corregir resultados y no depender totalmente
de esa tecnología. Destaca el procedimiento como lo más importante de las operaciones y
exige a los alumnos no colocar el resultado directo de las calculadoras.
El apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto se mantiene como
una de las estrategias más utilizadas por el grupo de alumnos, este acontecimiento es
significativo para sostener que el constructivismo sociocultural como fundamento
psicológico de nuestra propuesta logra acercar más a los estudiantes al proceso
didáctico del profesor, pudimos observar cómo una vez más, con la ayuda del
profesor y el trabajo grupal, los alumnos logran resolver los problemas asignados:
Problema: Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le
mandan 854Kg., más tarde 123Kg. menos que la primera vez y después 156Kg. más que la
primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Observador: A pesar de las preguntas de los alumnos, la mayoría no tiene dificultad para
resolver el problema, sólo tres alumnos no han podido terminar. Luego, al concluir el tiempo
asignado para la actividad el profesor este pide la participación de un alumno para que
exponga su trabajo en la pizarra.
Profesor: ¿alguien quiere pasar a la pizarra a explicar la resolución del problema?
Observador: Ninguno se atreve a pasar y el profesor señala que todos podemos ayudar a la
persona que pase y les dice que no deben tener miedo. Finalmente un alumno pasa a la
pizarra.
Profesor: Al leer el problema ¿qué entendiste?, ¿qué plan utilizaste?
Alumno: Primero se debe calcular los kilogramos de carne que han enviado y luego restarlo
de las tres toneladas que es el peso inicial. El primer lote es de 854Kg., al segundo le
restamos al primero 123Kg. y el tercer envío le sumamos 156Kg al primero, eso nos da
362
2.595Kg. Finalmente efectuamos 3000 2595 405kg kg Kg− = , que es lo que hace falta por
enviarse.
Observador: El alumno expone la información de manera organizada en la pizarra
separando los datos de las incógnitas y el plan diseñado lo ejecuta de manera coherente
conjuntamente con las operaciones involucradas. El profesor luego de monitorear el trabajo
de los alumnos destaca los logros en la mayoría del grupo en las estrategias utilizadas para
resolver el problema de aplicación.
En la cuarta sesión de clase se presenta el uso del lenguaje simbólico para
formalizar los conceptos y propiedades de las operaciones de los números naturales.
La comprensión de los símbolos en la mayoría representa un problema a superar, a
pesar de que el profesor se apoyó con un recurso visual –las diapositivas– y seguir un
proceso gradual en la presentación de la información con las estrategias de la Unidad
Didáctica de los Sistemas Numéricos desde las representaciones gráficas,
elaboración de esquemas, diagramas y mapas conceptuales. Recordemos que la
utilización del lenguaje matemático representa un proceso complejo y necesita del
tiempo suficiente para que los alumnos logren los resultados esperados; así se
observa a partir del siguiente diálogo:
Profesor: ¡Alguien podría interpretar los símbolos que tenemos en la diapositiva!
Observador: Los alumnos sólo comprenden algunos símbolos de la expresión ∀ a∈N,
∃ e/a+e=e+a=a y el profesor traduce lo que corresponde a la existencia del elemento
neutro para la adición en N.
Profesor: ¿Cómo escribimos en el lenguaje simbólico la propiedad conmutativa de la
adición y multiplicación?
Observador: No responden y el profesor nuevamente interviene.
Siguiendo la fase de presentación en la secuencia didáctica del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal, se proyectó una película de dibujos
animados cuyo tema se correspondía con la relación entre las matemáticas y el
mundo que nos rodea. Lo más significativo de esta clase fue el haber verificado la
gran importancia y ventaja que ofrece el uso del vídeo para despertar la motivación
en los alumnos y lograr la comprensión de la relación que tiene la Matemática con la
vida cotidiana. En la discusión final de la clase surgen comentarios como los
siguientes:
Alumno: Yo logré entender que hasta cuando jugamos están las matemáticas, todo lo que
nos rodea es matemática, pero que nosotros no las apreciamos como se debería porque sin
darnos cuenta la estamos utilizando todo el tiempo.
Profesor: ¿Alguien más?
Alumno: Me ha parecido una buena estrategia para motivarnos en el estudio de las
matemáticas porque nos ayuda a comprender nuestra vida cotidiana. Cuando compramos,
363
vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la matemática y
de esta manera es menos estresante para nosotros.
Observador: Otro alumno toma la palabra.
Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes aunque no las veamos pero en
todo lo que nos rodea están, ¡bueno así lo veo yo!
Observador: El profesor continúa motivando para que los demás alumnos intervengan.
Alumno: A mí me parece que las matemáticas tienen mucho que ver con en nuestra vida
cotidiana, porque todo lo que hacemos a diario necesita de la Matemática, por ejemplo
cuando vamos al supermercado, cuando miramos la hora.
Alumna: Sin la Matemática viviríamos en un mundo desordenado, es decir el mundo tal
como lo conocemos no existiría.
Con la sesión número cinco finaliza la Unidad Didáctica I. En esta clase se
resuelven ejercicios sobre potenciación de números naturales, en los cuales
intervienen propiedades básicas para su resolución; el procedimiento de enseñanza es
el socrático, puesto que el docente sigue activando el conflicto cognitivo en los
alumnos a través de la formulación de preguntas, las cuales responden de manera
general durante las explicaciones que realiza el profesor:
Observador: El profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:
Simplificar la expresión siguiente indicando las propiedades utilizadas:
( ) ( ) ( )( ) ( )
33 2 2
2 3 3 2
3 25 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
Profesor: ¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?
Alumnos: Por los exponentes, eliminando los paréntesis.
Profesor: ¡Fíjense!, de manera sistemática podemos resolver las expresiones que están
“desde adentro hasta afuera”, es decir, resolvemos primero las operaciones de los
paréntesis y luego eliminamos el corchete. Siguiendo este procedimiento ¿cómo quedaría el
primer paso?
Alumnos: Queda dos elevado a la seis, tres a la seis, dos a la seis…
Profesor: ¿Qué propiedad estamos aplicando?
Alumnos: Potencia de una potencia.
Observador: Los alumnos participan en la resolución del ejercicio indicando el resultado de
cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra
( )( )( )( )( )
36 6 6 2
5 6 6
2 3 2 3
2 3 2 3
Profesor: El siguiente paso, ¿cuál es?
Alumnos: Eliminando el corchete multiplicamos los exponentes, seis por tres y nos da dos a
la dieciocho, 3 a la dieciocho…
364
Los alumnos parecen comprender de manera intuitiva las propiedades de la
potenciación, aunque las aplican correctamente no logran identificarlas con los
términos apropiados; el lenguaje matemático para expresar los conceptos necesita
mayor dedicación para que los alumnos logren comprender de manera progresiva la
relación entre propiedad → nombre → expresión matemática → procedimiento, es
decir las estrategias correspondientes a la utilización de la intuición y procesos de
inducción son las que más se destacan en el razonamiento de los alumnos, esto lo
pudimos observar en el siguiente fragmento:
Profesor: Pero también si nos detenemos a observar el ejercicio y razonamos un poco,
podemos efectuar las operaciones dentro del corchete para tener una expresión más sencilla
de resolver, ¿qué propiedad aplicamos en las primeras potencias de la parte superior?
Alumnos: Colocamos las mismas bases y sumamos los exponentes.
Observador: Los alumnos no señalan el nombre de la propiedad.
Profesor: Es un producto de potencias de igual base, así nos quedaría el siguiente resultado:
Alumnos: Queda dos a la doce y tres a la ocho. Abajo dos a la once y tres a la siete.
Observador: El profesor escribe el resultado y propiedad aplicada
31 2 8
1 1 7
2 .3
2 .3
Producto de potencias de igual base.
Profesor: Entonces tenemos esta expresión más simple, ahora ¿qué propiedad puedo aplicar
para resolver las operaciones restantes?
Observador: Ningún alumno responde.
Profesor: ¿Qué operación tenemos ahí?
Alumnos: Es una división, entonces ¿restamos los exponentes?
Profesor: ¿Cómo queda el resultado?
Alumnos: Dos a la uno y tres a la uno.
Alumnos: Calculamos las potencias y multiplicamos.
El concepto de radicación es otro de los aspectos tratados durante esta sesión.
Se hizo necesario su explicación a los estudiantes, pues en su mayoría utilizaban las
calculadoras para hallar raíces cuadradas de números sencillos como 4, 9 o16;
además, observamos también problemas para utilizar la calculadora científica para
determinar raíces cúbicas. Situaciones como éstas evidencian la poca preocupación
del alumno por comprender el concepto y procedimiento matemático en esta
operación aritmética, se inclinan más hacia lo mecánico, es decir, lograr la respuesta
a través de una herramienta de apoyo como las calculadoras; en consecuencia, toda la
clase se concentra en el discurso del profesor, por lo tanto, estrategias tales como la
aplicación de las propiedades matemáticas, definiciones y axiomas relativos a la
aplicación del razonamiento deductivo están ausentes en los alumnos, sin los cuales
es difícil lograr una verdadera autorregulación del pensamiento lógico-formal, tal
como se aprecia en la siguiente transcripción:
365
Profesor: Continuamos ahora con la última operación aritmética: la radicación. ¿Cómo
calculamos la raíz cuadrada o cúbica de un número?, ¿qué procedimiento estamos
ejecutando?
Observador: Ningún alumno responde y utilizan la calculadora para determinar el resultado
de las raíces. El profesor explica el concepto de la radicación de manera intuitiva.
Profesor: Lo que hacemos al calcular la raíz cuadrada de un número se resume en encontrar
otro número que multiplicado dos veces por sí mismo sea igual al número que se le está
calculando la raíz, por ejemplo:
3
4 2 2 2 4
16 4 4 4 16
8 2 2 2 2 8
= ⇔ × =
= ⇔ × =
= ⇔ × × =
Observador: Al determinar las raíces de los ejemplos anteriores algunos alumnos todavía no
comprenden el concepto y utilizan la suma para encontrar los resultados, es decir, la raíz de
16 respondieron 8. Un alumno utiliza la calculadora pero determina la raíz cuadrada de 8,
lo que evidencia el desconocimiento de la calculadora científica, luego el profesor utiliza
esta experiencia para diferenciar los números naturales de los irracionales.
Profesor: Como podemos observar la radicación es una operación inversa de la
potenciación. En la potenciación calculamos la potencia de por ejemplo 32 8= , en la
radicación tenemos que encontrar la base 3 8 2=
Por el contrario, los conceptos de número primo, compuesto, múltiplos y
divisores no representaron para los alumnos mayor dificultad, las preguntas que
formuló el profesor fueron respondidas contundentemente de la forma siguiente:
Profesor: Vamos a repasar estos dos conceptos, números primos y compuestos. Esta
información ya la habíamos estudiado en la unidad pasada. ¿Quién recuerda qué es un
número primo?
Alumno: Es un número que se divide sólo entre el mismo número y la unidad.
Profesor: Exactamente, tienen sólo dos divisores, la unidad y ellos mismos. Por ejemplo si
seguimos la secuencia de los números naturales el primer número primo que encontramos es
el dos.
Alumnos: También el 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37…
Profesor: Ahora ¿Cuáles son los números compuestos?
Alumno: Tienen más de dos divisores.
Es importante destacar la actividad del material didáctico que el profesor
asigna a los alumnos para finalizar la Unidad Didáctica con relación a la fase de
valoración cognitiva de la secuencia didáctica de nuestra propuesta, la cual consistió
en la presentación de un resumen de los aspectos estudiados del sistema de los
números naturales, utilizando las estrategias para organizar la información para
lograr una comprensión más consolidada de estos contenidos matemáticos.
366
VII.1.1.2. Unidad Didáctica II: Sistema de los Números Enteros
Los contenidos relativos al Sistema de los Números Enteros se desarrollaron
durante las sesiones de clases 5 y 6; aunque hubiésemos necesitado más sesiones,
tuvimos que sintetizar la información por razones operativas del tiempo del semestre
académico de la Universidad.
La introducción de los números enteros se efectúa con una breve reseña
histórica como inicio en la fase de exploración, la cual no logra despertar el interés
de los alumnos, sin embargo, la sesión de clase se complementa con la presentación
de una situación práctica con la que sí se logra motivar realmente a los alumnos
sobre el tema de los números negativos; esto nos indica que la utilización de
situaciones concretas y cotidianas como estrategias de aprendizaje en el programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal representan para el alumno una gran
ayuda para comprender mejor los contenidos matemáticos, porque la forma
expositiva que el profesor utilizó durante la clase, no es la más aceptada por los
estudiantes. Todavía hay confusiones entre los símbolos de los conjuntos de los
números naturales y enteros, tal como se observa en el diálogo siguiente:
Profesor: ¿Qué significado tiene la letra Z en los sistemas numéricos? o ¿qué significa
conjunto Z?
Alumno: Es el conjunto de los naturales.
Alumno: No, son los enteros.
Profesor: Seguimos con el conjunto de los números enteros, que se identifica con la letra Z,
que tiene su origen en la palabra alemana zahl que significa número.
Observador: El profesor expone una breve reseña histórica de los números negativos y sus
diferentes aplicaciones, sin embargo, la forma expositiva que se utiliza como procedimiento
de enseñanza no genera motivación y atención en los alumnos.
Profesor: La representación gráfica de los números enteros, ahora no sólo tiene a los
naturales, aparecen en el lado izquierdo de la recta, otro tipo de números. ¿Cuáles son?
Alumnos: Los números negativos.
Profesor: Para observar la aplicación práctica de estos números tenemos el problema
siguiente: “Luís tiene hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista que le
cobra 10% de interés mensual, además tiene dos recibos de electricidad y teléfono
pendientes de 85.000 Bs. y 55.000 Bs. En el mes de diciembre decide cancelar sus deudas y
ha cobrado 2.500.000 Bs. en aguinaldos. ¿Cuál es la situación financiera de Luís?”.
Profesor: ¿Qué significado numérico tienen las deudas de Luís?
Alumno: Es lo que debe pagar, es decir, no tiene el dinero completo porque apenas le
pagaron 2.500.000 Bs.
Profesor: Esa información es válida para resolver el problema, sin embargo, las deudas son
un ejemplo de números negativos, ¿cómo puedo escribir las deudas utilizando números
negativos?
Alumnos: Entonces sería 3.500.000− , 85.000− , 55000− y el 10% de 3.500.000−
367
Profesor: ¿Cómo organizamos los datos?
Alumnos: Por un lado colocamos lo que debe Luís y por el otro lo que le han pagado
Observador: El profesor resuelve el problema con la participación del grupo de estudiantes
y hace preguntas para verificar la comprensión del procedimiento y estrategias utilizadas.
Destaca también la diferencia entre el procedimiento y operaciones aritméticas, porque en
los problemas su resolución debe tener una estructura coherente sin importar el número de
pasos que se utilicen, de esa manera es que se ordena el conocimiento matemático.
Con relación a las operaciones con números enteros, utilizamos algunas veces
clases expositivas mientras que los alumnos seguían la información del material
didáctico, sin embargo, lograron entender el procedimiento para resolver los
ejercicios propuestos por el profesor, en el caso de la suma algebraica separan
positivos de los negativos y efectúan las operaciones de manera correcta:
Observador: El profesor escribe el siguiente ejercicio
3 10 8 ( 4) 16 ( 25) 40− + + + − + + − + = y algunos de los alumnos participan en su
solución, agrupan adecuadamente los valores positivos y negativos para obtener la respuesta
correcta.
Profesor: ¿Cuál es el procedimiento que se aplica para resolver este ejercicio?, es una suma
de números enteros.
Alumno: Agrupamos los positivos y los separamos de los negativos, luego sumamos aparte
cada grupo.
Profesor: Pero antes eliminamos los paréntesis multiplicando los signos.
Profesor: Entonces ¿Cómo queda?, ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?
Alumnos: Ahora nos queda10 16 40 3 25+ + − − = , luego se suman los positivos por un
lado y por el otro los negativos, 10 16 40 3 25 66 28+ + − − = −
Profesor: Ahora tenemos dos números de signos contrarios, ¿qué se hace?
Alumnos: Restamos y colocamos el signo del mayor, nos queda igual a 38.
Profesor: Colocamos el signo de la expresión de mayor valor absoluto. Vamos a restar
ahora en el conjunto Z, ¿cómo resolvemos esta operación? 2 ( 8)− − − =
Alumnos: Multiplicamos los signos y queda 2 8 6− + =
Asimismo recuerdan algunas de las propiedades de la potenciación de enteros
y llegan con la orientación del profesor a establecer conclusiones utilizando la
resolución de los ejercicios:
Profesor: Si tengo ( )22− , ¿eso igual a?
Alumno: 4
Profesor: ¿Cómo llegaron a ese resultado?
Alumnos: Multiplicamos ( ) ( )2 2 4− − =
Profesor: Ahora si tengo ( )32− , ¿cuál es el resultado?
368
Alumno: Queda negativo
Profesor: ¿Por qué?
Alumno: Al multiplicar tres veces el signo menos, nos da negativo ( ) ( ) ( )2 2 2 8− − − = −
Profesor: ¿Qué conclusión podemos establecer con las bases negativas?
Alumno: Si el exponente es par los da positiva y si es impar el resultado es negativo.
Profesor: Entonces podemos escribir lo siguiente:∀a∈ Z, se cumple que si n es par y
0 0na a< ⇒ ≥ o si n es impar y 0 0na a< ⇒ <
Observador: El profesor orienta a los alumnos en la interpretación del lenguaje simbólico
para expresar la propiedad y luego explica más ejemplos para que el grupo comprenda su
aplicación.
En los ejercicios de mayor complejidad aplican las propiedades de forma
correcta pero no identifican el nombre de las mismas, situación que se presentó
también con los números naturales. La forma de resolver los ejercicios es más
intuitiva que formal, el razonamiento es más inductivo que deductivo y analítico,
porque generalmente los alumnos observan cada ejercicio como si fuera un caso o
ejemplo especial a resolver y no analizan las propiedades como unas reglas generales
para efectuar dichas operaciones.
Profesor: Vamos a resolver los ejercicios siguientes para ilustrar mejor las propiedades de
la potenciación en Z: ( ) ( )( )( )2 22 3 2 3− − − − , ¿qué propiedad puedo aplicar?
Observador: No hay respuesta de los alumnos
Profesor: Hemos dicho que se aplican las mismas propiedades, en el ejercicio tenemos un
producto de potencias de igual base, después de multiplicar ¿cuáles son los exponentes de -2
y -3?
Alumno: ( ) ( )3 32 3− − , que es igual a ( )( )8 27 216− − = −
Profesor: Luego tenemos este otro ejemplo: ( ) ( )( ) ( )
3 5
2 3
2 3
2 3
− −=
− −, ¿qué propiedad se aplica?
Alumnos: Restamos los exponentes y queda ( ) ( )22 3 18− − =
Profesor: Muy bien, resuelvan ustedes el siguiente: ( )
( )
33
22
2
2
− = −
Alumnos: Ahí aplicamos potencia de una potencia y es igual a ( )( )
9
4
2
2
−
−, luego es una
división y restamos los exponentes ( )52 32− =
Observador: Generalmente los alumnos que se ubican en las primeras filas de la clase
contestan y participan en las clases de tipo expositiva que el profesor desarrolla, pero este
comportamiento se observa también cuando trabajan en pequeños grupos, son los mismos
369
alumnos que mantienen su participación tanto en el trabajo de los talleres como en las
preguntas que formulan al profesor.
Por otro lado, la eliminación de los signos de agrupación para resolver las
operaciones combinadas de números enteros, constituyeron un problema serio para la
mayor parte de los alumnos, quienes confundían el significado de la operación que
representaban los paréntesis, corchetes y llaves. Para algunos alumnos era la primera
vez que estudiaban estos ejercicios, aunque forman parte de su formación
matemática en la escuela básica.
Profesor: Vamos a revisar ¿cómo están con la eliminación de signos de agrupación?
Resuelvan el siguiente ejercicio: ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }10 52 3 1 2 3 2 3 2 5 5 1 − − − − + ÷ − + + − −
Observador: Los alumnos consultan con frecuencia al profesor y verificamos problemas en
la eliminación de signos de agrupación, puesto que no comprenden qué operación resolver
primero y cometen errores como el de sumar al resultado de ( )103 2− + 5− antes de
efectuar la división. Al final el profesor tiene que recurrir nuevamente a la clase expositiva
para explicar el ejercicio y formula preguntas para verificar la comprensión de cada paso en
el procedimiento.
Profesor: Podemos iniciar eliminando las llaves multiplicando menos dos por menos tres,
sin embargo si revisamos las operaciones internas que están en los paréntesis podemos
resumir un poco el trabajo, veamos: ¿cuáles son los resultados de las operaciones entre los
paréntesis?
Alumnos: ( )( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 1 1 5 4 − − − − ÷ − + −
Profesor: Entonces resolviendo las potencias y productos nos queda:
( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 5 4 2 3 1 1 20− − − ÷ − + − = − − − ÷ − + − , ahora ¿cuál
es el resultado de las operaciones que encierra el corchete?
Alumnos: [ ]{ } [ ]{ }2 3 1 20 2 3 19− − − = − − −
Profesor: ¿Qué indican las llaves y el corchete?
Alumnos: Restamos.
Profesor: Es una multiplicación, es un error que cometen muchos de ustedes, entonces si
efectuamos el producto, nos quedaría igual a?
Alumnos: 114−
Alumnos: Es negativo ¿por qué todos son negativos?
Profesor: Es la ley de los signos, ¿qué pasa?, ¡ya lo habíamos explicado!, tienen que revisar
más el material de apoyo. Ahora vamos a utilizar 10 minutos para que resuelvan el siguiente
ejercicio.
Observador: Los alumnos empiezan a resolver el ejercicio de la misma naturaleza que el
anterior y los alumnos siguen formulando preguntas porque prevalecen los problemas en la
eliminación de los signos de agrupación. El profesor retoma la clase y con la participación
de los estudiantes lo resuelve. El bajo nivel de aprendizajes básicos obstaculiza el trabajo de
370
la mayoría de los alumnos, aunque son contenidos que debieron aprender durante la
Educación Básica parece que es la primera vez que los estudian.
VII.1.1.3. Unidad Didáctica III: Sistema de los números Racionales
Nuevamente con las limitaciones de tiempo nos propusimos implementar
durante las sesiones de clases 7, 8 y 9 algunas de las estrategias de aprendizaje
contempladas en nuestra propuesta para desarrollar los contenidos de la Unidad
Didáctica relativa al Sistema de los Números Racionales.
Para iniciar el estudio de los números racionales el profesor asignó la
investigación del concepto, partes y ejemplos de fracciones con la finalidad de que
los alumnos tuvieran alguna información introductoria de la clase, sin embargo,
sorpresivamente sólo dos alumnas realizaron el trabajo, comprobándose una vez más
que la estrategia de aprendizaje correspondiente a la recolección previa de
información relativa al tema de la clase no es la más indicada para despertar
motivación en los alumnos.
Profesor: Vamos estudiar en la clase de hoy el conjunto de los números racionales, el cual
simbolizamos con la letra Q, primero discutamos algunos conceptos: ¿qué investigaron del
concepto de fracción?
Observador: Sólo dos estudiantes participan y exponen un concepto de fracción. El resto se
limita a escuchar la explicación del profesor.
Profesor: ¿Cómo representamos una fracción?
Observador: No hay respuesta de los alumnos y el profesor utiliza un rectángulo lo divide en
cuatro partes iguales para explicar el concepto de fracción. Luego hace preguntas con
relación a las partes de una fracción, los alumnos logran identificarlas sin problemas.
El profesor utiliza el concepto de fracción para introducir el concepto de número racional.
En estas sesiones de clase pudimos constatar nuevamente que el uso de
ejemplos de la vida cotidiana es una estrategia de aprendizaje muy significativa por
su contundencia en el momento de ilustrar las situaciones matemáticas en la
comprensión del concepto de número racional. A pesar del incumplimiento de la
tarea asignada, los alumnos logran seguir las explicaciones del docente y responden
las preguntas formuladas:
Profesor: Busquemos ahora ejemplos de la vida cotidiana que tengan relación con las
fracciones, ¿lo investigaron?, ¿quiénes trajeron ejemplos?
Alumno: Este puede ser uno, faltan un cuarto para las tres.
Profesor: Cada fracción tiene su expresión decimal, ¿cuál es la expresión decimal de tres
cuartos?, ¿cuántos céntimos tiene tres cuartos de un Bolívar?
371
Observador: No hay respuesta y el profesor efectúa la división correspondiente para
explicar la forma de hallar la expresión decimal.
Profesor: ¡Simple!, dividimos tres entre cuatro, ¿cuál es el resultado?
Alumno: 0,75
Profesor: Entonces, ¿cuántos céntimos son?
Alumno: Son 75 céntimos de Bolívar.
Profesor: ¿Qué fracción representan 50 céntimos?
Alumnos: La mitad, es decir, un medio.
Profesor: En el ejemplo de la hora, ¿cuántos minutos faltan para las tres?
Alumno: Son 15 minutos que son la cuarta parte de una hora.
Las operaciones con números fraccionarios son efectuadas por los alumnos de
manera mecánica, es decir, siempre hacen uso del enfoque algorítmico para sumar y
restar fracciones, por lo que el profesor genera experiencias para orientar a los
alumnos en la comprensión de estos procedimientos y recurre a la representación
gráfica de las fracciones para efectuar sumas y restas con fracciones con igual
denominador y luego con diferentes denominadores como estrategia de aprendizaje,
la cual consiste en presentar la información en la secuencia gráfica, verbal y
simbólica de acuerdo a las orientaciones didácticas del Programa de autorregulación
presentadas en el material escrito de la Unidad de contenidos que seleccionamos.
Profesor: Vamos a repasar las operaciones entre números racionales, ¿Cómo sumamos dos
fracciones?, ¿qué diferencia hay entre estas sumas? 2 5 4
3 3 3+ + = y
1 3 1
2 4 8+ + =
Alumnos: La primera tienen igual denominador y la segunda suma las fracciones tienen
diferente denominador.
Profesor: Si tienen igual denominador, ¿cuál es el procedimiento para efectuar la suma?
Alumnos: Sumamos los numeradores y se coloca el mismo denominador.
Profesor: ¿Por qué colocamos el mismo denominador?
Observador: Los alumnos no responden y el profesor utiliza la representación gráfica de las
fracciones para explicar.
Profesor: ¿Qué observamos de las figuras?
Alumnos: Todos los rectángulos están divididos en tres partes iguales.
Profesor: Entonces si cada pedazo son terceras partes, lo que hacemos es sumarlos y por eso
queda el mismo denominador.
El segundo ejemplo tiene diferentes denominadores, ¿cómo se suman?
Observador: Los alumnos no responden.
Profesor: Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero ¿quién
recuerda el procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo entre dos o más
números?
Observador: Tampoco participan, luego el profesor hace la descomposición de los números
y pregunta por el nombre del método, ningún alumno responde.
Profesor: Esta forma de calcular el m.c.m. utiliza la descomposición de factores primos de
los números y multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
372
para obtener el resultado. Les recomiendo que investiguen más sobre este aspecto en el
material didáctico o en cualquier otro libro que prefieran, ¡me sorprende que todavía no lo
hayan estudiado!
En la resolución de problemas que requieren de la aplicación de adición de
números fraccionarios, los alumnos necesitaron de la ayuda del profesor para
comprender progresivamente el procedimiento; la mayoría no toma la iniciativa para
razonar y aplicar las estrategias respectivas a pesar de que se ha tomado una
situación muy cotidiana, en consecuencia el profesor llama la atención de los
estudiantes en otro intento por hacerlos reflexionar sobre sus obligaciones para lograr
el aprendizaje esperado:
El primer problema es el siguiente: La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres
cuarto Kg. de papas, 5,5 kg. de tomates, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame, 6 Kg.
de zanahoria y tres cuartos de kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de
1.500 Bs . ¿Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?
Alumno: ¿Necesito aplicar los pasos que hemos utilizado en los demás problemas?
Profesor: Sí, necesitas hacerlo para que te ayuden a organizar la información y tener más
coherencia en lo que haces.
Alumno: Hay números entero y fracciones, ¿cómo hago para sumar?
Profesor: Primero intenta comprender el problema, selecciona los datos y sepáralos de la
incógnita, así verás mejor el plan que debes aplicar para resolverlo y recuerda que puedes
resumir operaciones al sumar primero los números naturales y los fraccionarios por
separado luego efectúas la adición entre estos dos, ¿entiendes lo que te explico?
Alumno: Es decir, sumo primero 12Kg.+5Kg +3Kg +4Kg +6Kg y luego
3 1 1 3Kg Kg Kg Kg
4 2 4 4+ + +
Profesor: ¡Exacto!, ahora ¿qué operación hace falta?
Alumno: Sumo los dos resultados y multiplico por el precio de 1.500 Bs. o 1,5 Bs F. ¡ese es
el resultado de la compra!
Profesor: Bien ahora puedes ayudar a tus compañeros de equipo con el problema.
Observador: Luego de unos minutos de orientar y monitorear a cada grupo el profesor toma
la palabra y se dirige a todos.
Profesor: Muchos de ustedes todavía tienen dificultades para entender los problemas que se
les plantean, muy pocos de los grupos han dividido en los pasos el problema y han
determinado correctamente el plan de resolución. Necesitan leer bien el enunciado para
establecer las operaciones a efectuar, discriminar o separar correctamente la información
para organizarla en el cuadro, de lo contrario será más complicado para ustedes.
El profesor nuevamente asigna otra investigación a los alumnos, esta vez les
solicitó que estudiaran las propiedades del inverso aditivo y multiplicativo explicadas
en el material didáctico, sin embargo no cumplen con el trabajo asignado. Cabe
destacar que algunos de los alumnos recuerdan las propiedades conmutativa,
asociativa y elemento neutro, pero presentan problemas para verificarlas en el
373
conjunto Q, todavía se observa dificultad en los algoritmos para sumar fracciones
con diferentes denominadores, especialmente con el método del mínimo común
múltiplo:
Profesor: Entonces podemos ver que se cumplen las mismas propiedades para la adición y
multiplicación de números naturales, sin embargo existe una propiedad nueva en los enteros,
que es la existencia de inversos aditivos o elementos opuestos, ¡alguien quiere explicar en
que consiste esta propiedad por favor!
Observador: Ningún alumno participa, la forma como revisan el material nos permite
deducir que no investigaron la información. El profesor utiliza algunos ejemplos para
obtener las respuestas.
Profesor: En el conjunto Q, ¿cuáles propiedades se cumplen en la adición?
Alumno: También la conmutativa, asociativa…
Profesor: Pueden dar un ejemplo para comprobar la propiedad conmutativa.
Observador: Los alumnos no responden y recurren al ejemplo que está en el material
didáctico.
Profesor: Me preocupa que no participen porque si fuera una pregunta de la prueba
entonces nadie la respondería, deben investigar la información, recuerden que esa es su
responsabilidad.
Alumno: 1 1 1 1
2 8 8 2+ = +
Profesor: ¿Cuánto nos da esa suma?
Observador: Los estudiantes guardan silencio y el profesor explica rápidamente el
procedimiento utilizando mínimo común denominador.
Profesor: De esta manera nos dio 5
8 y así comprobamos la propiedad utilizando un
ejemplo, luego podemos usar el lenguaje simbólico para escribirla de la siguiente
forma: ∀ ,a c
b d∈ Q ,
a c c a
b d d b+ = +
Profesor: Ahora ¿como verificamos la propiedad asociativa?
Alumnos: Utilizamos tres fracciones, 2 1 1
3 2 5+ +
Profesor: ¿Cómo las sumo según esta propiedad?
Alumno: Se agrupan usando paréntesis de la siguiente
manera: 2 1 1 2 1 1
3 2 5 3 2 5
+ + = + +
Profesor: Sumen ahora por favor y comparen los resultados.
Observador: El profesor revisa la actividad de cada alumno, orienta en caso de presentarse
dificultades y finalmente se resuelve en la pizarra.
En la resolución de potencias de números fraccionarios con exponentes
negativos progresivamente los alumnos participan y aplican correctamente la mayor
parte de las propiedades, esto se observa en el siguiente fragmento:
374
Profesor: El segundo ejercicio es un poco más largo pero verán que no tiene mucha
dificultad, veamos:
( )
2 2
32
2 1 5
5 2 2
52
2
−
−−
, ¿Qué propiedad aplicamos primero?
Alumnos: Sólo tenemos dos bases iguales que están dividiendo ¿Cómo se efectúa el resto?
Profesor: Razonen cuidadosamente las bases que tienen exponente negativo, si aplican el
inverso multiplicativo ¿qué obtienen?
Alumnos: 2 2
5 2
2 5
− =
, 3 3
5 2
2 5
− =
y ( )2
2 12
2
− =
, entonces nos quedaría igual
a:
2 2
3 2
2 1 2
5 2 5
2 1
5 2
Profesor: Una vez aplicada la propiedad del inverso multiplicativo, ¿qué propiedades
aplicamos?
Alumnos: sumamos los exponentes de dos quintos y restamos los de un medio y nos queda
4 1
3
2 1
5 2
2
5
−
, luego restamos los exponentes de dos quintos y es igual a: 1
2 1
5 2
−
,
como un medio a la menos uno es igual a dos nos queda ( )2 42
5 5
=
Observador: El profesor asigna otro ejercicio para lograr mayor participación de los
alumnos y lograr el aprendizaje de este contenido y luego solicita a los estudiantes la
resolución de tres ejercicios propuestos del material didáctico para la próxima clase de
manera individual.
En la última sesión de clase sobre los números racionales, se desarrollan
actividades relacionadas con el uso del porcentaje en nuestra vida cotidiana para
lograr la comprensión de este concepto y su relación con las fracciones. El recurso
utilizado son artículos de periódicos que contienen información estadística sobre
precios de productos, inflación, población económicamente activa, importación de
vehículos, construcción de viviendas, salud y deportes, al final se ha planificado la
exposición por equipos sobre el análisis cuantitativo de cada artículo.
Al inicio el profesor elabora un esquema sobre los aspectos a estudiar durante
la clase y comienza a verificar los conocimientos previos que los estudiantes tienen
sobre el tema de porcentaje, además utiliza un ejemplo práctico antes de asignar la
actividad por grupos:
375
Profesor: ¿Qué significa 30%, 50% o 70%?
Alumno: Son 30, 50 0 70 de cada 100
Profesor: Esta relación tiene que ver con las fracciones, porque por ejemplo, 30 de 100 es
igual a 30 3
100 10= tres décimos y 50 de 100 es
50 1
100 2= , es decir la mitad. Si decimos que
el 20% de los alumnos de la UNELLEZ, utilizan celulares de alta tecnología, eso quiere
decir que 20 de cada cien tienen esos celulares, es decir, 20 1
100 5= de cada grupo de cinco
alumnos uno tiene un celular de alta tecnología.
Ahora veamos un ejemplo más práctico de la vida cotidiana, supongamos que el total de
alumnos de la universidad es de 2500 y 1500 viven en la ciudad de Barinas y el resto en los
demás municipios, ¿cómo determinamos el porcentaje de alumnos?
Alumnos: Dividimos cada grupo entre el total
Profesor: Es decir, 1500.100%
60%2500
= viven en Barinas y el resto 40% en los demás
municipios del estado, con esta información ya pueden trabajar con los datos de los
artículos, cualquier duda pregunten.
Observador: Los alumnos en general se motivan para hacer el trabajo con orden,
participación y haciendo constantemente preguntas al profesor demostrando preocupación
por entender la actividad y con plena confianza para dirigirse al profesor.
En el transcurso de la actividad los alumnos en general demuestran
dificultades para analizar la información tanto escrita como cuantitativa de los
artículos, el profesor constantemente orienta y explica para ayudarlos a discriminar la
información:
Alumno: En este artículo, aquí ¿cómo haría? ¿Qué debo hacer?
Profesor: Van a calcular el porcentaje de jugadores convocados al partido de fútbol
amistoso por equipo de primera división venezolano.
Alumno: Esta información dice algo sobre las importaciones de vehículos en el país, hay
una cantidad de dólares solicitados y otra que se aprobó, ¿qué hay hacer?
Profesor: Determina los porcentajes de dólares aprobados y con relación a los solicitados,
eso es el total, luego calculan el porcentaje aprobado de acuerdo a los modelos, ¡hagan sólo
dos o tres ejemplos!
Alumno: ¿Esto tiene que dar 40%?
Profesor: ¿Qué hizo para calcularlo?
Alumno: Dividí 1300 entre 2000 y lo multipliqué por 100%
Alumno: No entiendo lo que dice aquí, en el mes pasado la tasa de desempleo se ubicó en
6,2%
Profesor: ¿Qué significa esa información?
Observador: El estudiante responde con dudas.
Profesor: Esto significa que de cada 100 venezolanos 6 están sin trabajo. Lean el artículo y
organicen los datos para que los interpreten correctamente.
376
Al finalizar los trabajos los grupos hacen las exposiciones de manera
espontánea, de las cuales hemos efectuado las valoraciones siguientes de acuerdo a lo
que observamos:
El primer equipo no presenta el título del artículo, el profesor lo menciona y
hace las correcciones respectivas, sin embargo la exposición que hace el equipo de
alumnos presenta tanto procedimientos como el cálculo de porcentajes de forma
correcta, y organiza de manera sistemática la información que han interpretado.
El segundo equipo a pesar de tener la orientación del profesor, herramientas
como la calculadora y el material didáctico, cometió errores tanto en el
procedimiento como en el cálculo de operaciones en los porcentajes, no logró
interpretar correctamente la información que se les entregó del artículo. El profesor
interviene inmediatamente y utiliza la situación para profundizar sobre el tema.
El tercer equipo, expresó de manera correcta los cálculos de operaciones, sin
embargo expuso con dificultad las ideas y la información.
El cuarto equipo comunica de manera fluida la información, presenta de
manera organizada la información en la pizarra de manera verbal, escrita y simbólica
con sus respectivos procedimientos y cálculos.
Los alumnos que integran el quinto equipo también presentan la información
de manera organizada y sus ideas son comunicadas de forma coherente utilizando la
expresión verbal escrita y simbólica con ayuda de la pizarra.
Los alumnos del sexto equipo, por el contrario, presentaron muchos
problemas en la fluidez de la lectura, errores en el procedimiento y operaciones, en
general no pudieron interpretar adecuadamente la información del artículo.
El séptimo equipo también logra presentar una interpretación correcta del
artículo, organizó la información de manera coherente, tanto sus procedimientos
como el cálculo de las operaciones se efectuaron sin errores.
377
Categorías de valoración Criterios de la dimensión aprendizaje matemático Correcta Con errores Sin aplicación Estrategias en la
Organización de la
información.
Equipos Nº 1, 4, 5 y 7 Equipos Nº 2 y 6
Estrategias de resolución de
problemas.
Equipos Nº 1, 3, 4,5 y 7 Equipos Nº 2 y 6
Tabla 7.1. Valoración del aprendizaje matemático y de las estrategias de aprendizaje aplicadas por los
alumnos durante las asignaciones realizadas en las sesiones clases.
El profesor utiliza cada ejemplo para formular más preguntas al grupo en
general, los alumnos a pesar de haber participado anteriormente ahora no responden,
no opinan y sólo les preocupa tomar nota de la clase, esto quizá se deba a que por lo
general, quien hace la exposición es el alumno con mayor dominio del aprendizaje, y
los demás, en la mayoría de los trabajos en equipo, son prácticamente espectadores.
Esta información la hemos presentado de manera resumida en la Tabla 7.1.,
donde podemos ver claramente que la mayor parte de los grupos superaron con la
ayuda, orientación y asesoría del profesor como principal estrategia de aprendizaje,
las dificultades de manera progresiva, solamente dos equipos no lograron concluir de
manera exitosa la asignación. Además se puede observar una relación estrecha entre
los tres criterios del aprendizaje matemático; los grupos que aplicaron de manera
correcta las estrategias para organizar la información y resolver problemas también
lograron aplicar de manera efectiva los conceptos, definiciones, propiedades y
operaciones, por el contrario los grupos restantes que no las aplicaron obtuvieron
muchos errores. Esta relación nos indica una secuencia de estos criterios de la
dimensión aprendizaje matemático en el proceso didáctico de la Matemática, lo que
representa una mayor garantía para el grupo de alumnos en la asignatura Matemática
General, y que presentamos en el diagrama siguiente:
Aplicación
de estrategias
para
organizar
información
y resolver
problemas
Activación de
la
autorregulación
del
pensamiento
lógico-formal
Aprendizaje
Matemático
significativo
Aplicación
del
razonamiento
deductivo
Comprensión
y aplicación
de contenidos
matemáticos
378
Esta secuencia debe complementarse con las actividades grupales, las cuales
garantizan una participación más activa de los alumnos en la construcción de su
aprendizaje matemático y brindan una mayor oportunidad del docente para orientar,
asesorar y establecer criterios más efectivos en el proceso de evaluación formativo a
través del cual pudiéramos obtener información vital para reconducir el proceso
didáctico en general y las estrategias de aprendizaje que están utilizando los alumnos.
Debemos destacar también la importancia que tienen las situaciones
cotidianas que se relacionan con los contenidos matemáticos desarrollados durante la
clase para crear mayor interés y motivación en los alumnos; en nuestro caso, los
ejemplos utilizados en los artículos de periódicos sobre datos estadísticos de las
actividades comunes en la economía, lograron mantener la atención de la mayoría de
los alumnos para realizar las asignaciones correspondientes a la sesión de clase; esto
se relaciona con el segundo pilar de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal, en el cual señalamos la ‘aplicación del razonamiento
inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir sucesivamente al
alumno hacia la conceptualización científica y formal del conocimiento matemático’,
mediante el cual logramos enfocar la relación del nuevo aprendizaje con ejemplos
cotidianos, generando situaciones concretas que orienten y ayuden al alumno a
comprender nociones sencillas de conceptos, elementos, definiciones y propiedades
del conocimiento matemático.
VII.1.1.4. Reflexiones sobre las sesiones de clases
Es evidente que el bajo nivel de conocimientos previos que tienen los
estudiantes resultó ser desde el inicio un obstáculo para poner en práctica el
Programa de estrategias para lograr la autorregulación del pensamiento lógico-formal
y activar en el alumno el razonamiento deductivo. A pesar de que el material
didáctico lo elaboramos siguiendo los contenidos desde lo más sencillos hasta los
más complejos, la mayoría de los alumnos necesitaban más tiempo y esfuerzo para
comprender los aspectos discutidos durante las clases; constatamos en muchos casos
cómo algunos alumnos no habían recibido formación en sus años de educación
básica sobre los conjuntos numéricos, sin embargo, el reto había que superarlo y el
profesor-investigador ejecutó el proceso didáctico de manera progresiva, siguiendo la
secuencia didáctica de presentación, exploración, valoración cognitiva y proyección,
expuesta en el Programa de autorregulación. Por consiguiente, la mayor parte de las
sesiones se dedicaron al Sistema de los Números Naturales, porque sin este pre-
requisito resultaría más complicado continuar con el estudio de los demás sistemas
379
numéricos, puesto que para lograr un aprendizaje significativo se debe en primer
lugar determinar lo que sabe el alumno, para poder establecer los organizadores
avanzados que menciona Ausubel (1973) y, en consecuencia, seguir con el proceso
de enseñanza.
Esta situación representó también un problema para aplicar el conflicto
cognitivo y para generar la autorregulación del pensamiento lógico-formal y el
razonamiento deductivo en los estudiantes. Tal como se planteó en los fundamentos
psicológicos del Programa, el constructivismo psicogenético nos explica que un
verdadero aprendizaje se logra activando en los procesos mentales la asimilación y
acomodación para obtener de esta manera la reversibilidad del pensamiento, como
característica principal de la inteligencia, la cual estuvo obstaculizada no sólo por el
bajo nivel de aprendizaje previo, sino también por la poca dedicación de los alumnos
en el estudio del material didáctico.
Las clases expositivas tuvieron un impacto menor en el logro de los
aprendizajes de los alumnos; los conceptos, definiciones, operaciones y propiedades
se consolidaron en mejor grado con las actividades en pequeños grupos y con la
orientación docente, es decir, la zona de desarrollo próximo que destaca la teoría del
contructivismo social de Vygotsky se reduce considerablemente por la oportunidad
que tuvieron muchos de los alumnos para lograr los aprendizajes matemáticos,
porque tanto el profesor como sus compañeros les orientaban y explicaban los
aspectos que no entendían.
El uso de los vídeos como recurso audiovisual representó una notable ventaja
para la motivación de la clase y poder relacionar los conceptos que el estudiante
posee con la nueva información matemática. Estas reflexiones nos indican que la
incorporación de estas estrategias, actividades y recursos generan en el alumno su
construcción activa del aprendizaje, puesto que logran activar los procesos
autorreguladores de su pensamiento lógico-formal; por consiguiente, deben
constituirse en mayor proporción en la planificación de la enseñanza y, en
consecuencia, depender menos del procedimiento de enseñanza expositiva que
conduce sólo a la mecanización de los procesos matemáticos.
Con relación a las estrategias para la organización de la información
introducidas en nuestra propuesta didáctica, correspondientes al primer pilar relativo
a la ‘comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en el proceso
didáctico de las matemáticas’, los alumnos fueron adoptando de manera progresiva
los esquemas y mapas conceptuales para presentar la información de las actividades
380
desarrolladas durante las clases; se observó aceptación de parte del grupo en general,
aunque no sabemos si era porque representaba para ellos una ayuda en el aprendizaje
o porque significaba una calificación para aprobar la signatura.
Durante las sesiones de clase en general, la información que era presentada de
manera escrita, verbal o simbólica resultaba incomprensible para el grupo de
estudiantes, por consiguiente observamos una dependencia considerable hacia las
representaciones gráficas para lograr que el alumno construyera su aprendizaje; esto
nos indicó desde el primer momento un bajo nivel de razonamiento abstracto para
interpretar, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y propiedades en la
resolución de ejercicios y problemas, por esta razón las representaciones gráficas
desempeñaron dentro de la Unidad Didáctica una estrategia notable para guiar a los
alumnos en la construcción de los conceptos y definiciones correspondientes a la
Unidad de contenidos seleccionada. Por lo tanto, de acuerdo a los fundamentos
epistemológicos del Programa de autorregulación, hemos enfocado el análisis de
situaciones concretas o cotidianas, para crear un proceso didáctico dinámico que
tenga como punto de partida la comprensión intuitiva de la información matemática
hasta lograr las exigencias formales de su aplicación abstracta.
Desde las primeras sesiones de clase, el profesor-investigador inició la
explicación de las estrategias de resolución de problemas con los pasos según Polya
(1978). A pesar de que hizo hincapié en los mismos y en su práctica para fortalecer
su aprendizaje, su aplicación no se efectuaba de manera regular; algunos de los
alumnos resolvieron los problemas de manera más directa sin establecer detalles o
pasos más específicos; en función de esto podemos decir que el interés del alumno
está más dirigido a obtener una respuesta o solución de los problemas, que en las
estrategias que le ayuden a resolverlo, puesto que en ningún momento en el
transcurso de las nueve sesiones, mencionaron en sus intervenciones los pasos para
resolver los problemas: entender el problema, diseñar el plan, ejecutar el plan y
visión retrospectiva o verificación. Con todo ello, podemos decir que los procesos de
autorregulación del pensamiento lógico-formal aún no se han consolidado, puesto
que es claro que se requiere de unas condiciones específicas en cuanto al tiempo
dedicado a desarrollar las estrategias de aprendizaje para conducir al alumno hacia la
aplicación del razonamiento deductivo en las matemáticas.
Finalmente, a pesar de que el Programa de autorregulación del pensamiento
lógico formal representa una alternativa, creemos que correctamente fundamentada
para el proceso didáctico de las matemáticas, de acuerdo a los resultados de las
actividades de aprendizaje desarrolladas por los alumnos y a las opiniones de los
381
mismos, no observamos elementos e indicadores que señalen un logro de un
aprendizaje significativo de manera contundente. Sí constatamos una fuerte
dependencia de los alumnos hacia el apoyo y orientación del profesor para
desarrollar las diferentes asignaciones y un progreso relativo con relación a la
situación inicial que tenían los alumnos en cuanto al uso de las estrategias de
aprendizaje para la organización de la información, resolución de problemas y
comprensión de los conceptos, definiciones y propiedades del bloque de contenidos
matemáticos, criterios que pudimos demostrar que están estrechamente relacionados
entre sí de manera gradual. Es decir, en la medida que el alumno aplique de manera
correcta estrategias de aprendizaje para organizar información y resolver problemas
logrará la comprensión de los conceptos, definiciones, propiedades y teoremas, y por
consiguiente, un aprendizaje matemático significativo, tal como lo señala el enfoque
constructivista. Algunas de las razones que podemos mencionar para justificar este
resultado la podemos encontrar en las siguientes variables, que en nuestra
investigación resultaron difíciles de controlar:
- El bajo nivel de aprendizaje que los alumnos presentaron al iniciar el
estudio del bloque de contenidos seleccionados.
- El tiempo dedicado al desarrollo de los contenidos y a la puesta en
práctica del programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal,
el cual tuvimos que reducir como consecuencia de las situaciones
conflictivas internas de la Universidad.
- El poco trabajo individual del alumno dedicado al material didáctico, a
pesar de considerarlo de gran ayuda para su aprendizaje.
VII.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de los diarios de los
alumnos sobre las sesiones de clase
Para el análisis y reflexión de los diarios de los alumnos, tomamos los
aspectos más significativos que éstos expresaron para efectuar un juicio aproximado
de los resultados de la puesta en práctica de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal atendiendo a los criterios de la dimensión del aprendizaje
matemático.
Una de las primeras respuestas de los alumnos confirman las ventajas y
aceptación de las estrategias de aprendizaje que implementamos en el aula,
principalmente la relacionada al trabajo efectuado en los talleres con la orientación
docente para resolver problemas sencillos de la vida cotidiana; en el diario elaborado
382
el día 24-01-08 por una de las alumnas seleccionadas para esta actividad se lee lo
siguiente: “desarrollamos un taller individual con ayuda del profesor y los demás
compañeros tomando los ejercicios que aparecen en la guía. Esta forma de trabajo
me parece interesante, puesto que, es una más dinámica y fácil de desarrollar los
objetivos. De cierto modo nos ayuda a todos, porque así trabajando, aprendemos y a
la vez estamos siendo evaluados”.
También pudimos constatar la poca formación básica que tienen los alumnos
en el tema de los conjuntos numéricos, lo que nos indica un problema para lograr un
verdadero aprendizaje significativo puesto que el tiempo para recapitular los
conceptos involucrados desde el comienzo de la puesta en práctica del Programa era
limitado, no obstante, el material didáctico se elaboró pensando en el bajo nivel de
aprendizajes previos, situación que comprobamos en la primera fase de la
investigación; así lo podemos ver en el siguiente fragmento del diario elaborado por
uno de los alumnos “es un tema que se viene trabajando desde bachillerato, pero tú
le preguntas a un estudiante, ¿qué es el sistema de los números naturales?, ¿qué es
una adición, sustracción, conjunto, elementos y partes de una operación básica?, y
seguro no sabe responderte”.
En el diario escrito el día 07-02-08, otra alumna manifiesta de igual forma
esta dificultad: “el profesor dio inicio a la clase con el tema de sistema de los
números racionales, explicó un ejercicio sobre el origen de estos números. En el
punto de la potenciación nos explicó una serie de procedimientos para realizar el
ejercicio, pero demostramos serias dificultades para resolverlo, teniendo el profesor
que enseñarnos dos maneras de resolver el ejercicio”.
También los alumnos destacan la importancia y las ventajas de las estrategias
en la organización de la información, incluso establecen comparaciones con las
estrategias aplicadas en la unidad anterior de la asignatura; esto lo describen de la
forma siguiente: “a partir del 14 de enero de 2008, el profesor cambió la perspectiva
de la clase, debido a que en el primer módulo de este sub-proyecto la mayoría
resultó aplazada. Pienso que es una excelente idea, es práctica, dinámica, se permite
trabajar en grupo, integrándonos en toda una sección. Todo el grupo se muestra
atento a su explicación durante sus clases, respondiendo interrogantes y ejercicios
propuestos con mapas conceptuales, espero que sigamos trabajando así durante el
resto del semestre”.
La forma de trabajar en pequeños grupos y con la orientación del profesor, es
para los alumnos la estrategia más aceptada, no comparten mucho la idea de las
383
clases magistrales y expositivas que en algunos momentos el profesor necesita
ejecutar, además comienzan a atribuir importancia al material didáctico que están
usando, tal como verificamos en el diario siguiente: “estuvimos atendiendo a la clase
y a diferencia de las clases anteriores no desarrollamos ningún taller, ni trabajamos
en grupos. Hubiese sido interesante seguir trabajando de ese modo, pero desde
luego, ciertas clases requieren de la explicación del profesor y de nuestra atención.
Pero creo que todos entendimos bien la clase, ya que los ejercicios y problemas se
encuentran en la guía con la cual estamos trabajando y eso hace más fácil la
comprensión de cada ejercicio que se resuelve”.
La puesta en práctica del Programa tuvo un impacto significativo en los
alumnos en cuanto a las actividades de evaluación; el haberlas diversificado permitió
a los alumnos dar opiniones como esta: “Las clases han dado un cambio radical al
igual que el profesor, las estrategias aplicadas en Matemática General han sido más
flexibles. La forma de evaluar esta unidad nos ha abierto las posibilidades de
aprender e integrarnos más con el profesor y el resto de nuestros compañeros. Es
una metodología que nos permite conocernos y tener más conocimiento del módulo”.
Sin embargo expresan su opinión desfavorable por la prueba escrita individual,
porque consideran que es extensa, como lo pudimos apreciar en uno de los diarios,
en donde el alumno expresó que “el tema que estamos tratando me parece un poco
largo para un examen, sugiero que mande un trabajo con ejercicios…, siendo el
examen a evaluar algo largo sugiero que lo aplique en parejas”.
Los niveles de participación que se han generado en las sesiones de clase en
el aula por los alumnos nos demuestran también las ventajas del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal con la respectiva práctica pedagógica
del docente, puesto que los alumnos le dieron mucha importancia a la oportunidad
que se les da para intervenir y pasar a la pizarra; veamos lo que dice una alumna:
“Una de las técnicas de estudio que me parece interesante es la intervención en
clase al resolver un ejercicio en la pizarra, ya que permite que el estudiante exprese
sus destrezas. Me gustaría que el profesor pasara a la pizarra a aquellas personas
poco interesadas en la clase y preguntara sobre algún tema a un alumno que no está
prestando atención, así se dará cuenta de quien está o no interesado en la clase. La
forma como explica la clase me parece buena, muy buena”.
Los alumnos también reflejaron en sus diarios una opinión favorable hacia la
utilización del vídeo para la enseñanza de las matemáticas, expresaron
principalmente la importancia que a las matemáticas se le atribuye en nuestro mundo
y nuestra vida, es decir, la estrategia de utilizar situaciones más cotidianas para
384
entender información matemática representa una gran importancia para lograr los
procesos de abstracción en las matemáticas; de esta manera en dos de los diarios los
autores reflejaron estos acontecimientos: “La película que pudimos ver en relación a
la importancia de la Matemática es de gran interés, puesto que nos mostró cómo a lo
largo de los años se ha venido usando la Matemática, desde una forma simple a una
cada vez más compleja...”. “Esta fue una clase muy dinámica y divertida, porque la
estrategia que utilizó el profesor fue un vídeo y pudimos observar que la Matemática
es muy útil e indispensable, ya que es parte de nuestra vida”.
Evidenciamos cómo las respuestas de los alumnos se enfocan en dar una
opinión general sobre las estrategias de aprendizaje que se implementaron a través de
nuestra propuesta didáctica; aunque están conscientes de su innovación con relación
a los procedimientos de enseñanza tradicionales, no hacen una identificación
específica sobre las estrategias que han utilizado, esto lo podemos explicar por las
pocas sesiones de clases dedicadas para fomentarlas y consolidarlas. El criterio que
predomina para evaluar el Programa de autorregulación se concentra en las opiniones
favorables del alumno sobre los resultados positivos que les genera trabajar en el aula
con el material didáctico diseñado para la Unidad de los Sistemas Numéricos,
utilizando principalmente las técnicas de estudio tales como los mapas conceptuales
como principales estrategias de aprendizaje, las situaciones cotidianas para entender
las aplicaciones del conocimiento matemático y los recursos audiovisuales.
Por otro lado cabe destacar que ninguno de los alumnos que participaron en la
elaboración de los diarios expresaron información relacionada sobre los beneficios
en cuanto a la implementación de las estrategias para resolver problemas y
autorregular su pensamiento lógico-formal y lograr un aprendizaje significativo de
los conocimientos tratados durantes las sesiones de clases.
VII.1.3. Análisis y reflexión de los resultados de las actividades realizadas
en los cuadernos de los alumnos
Las diferentes actividades desarrolladas por los alumnos durante las sesiones
de clase las presentamos en la Tabla 7.2., con tres categorías para efectuar su
respectiva valoración: las actividades nulas en las cuales los alumnos no
desarrollaron ningún aspecto de la asignación, las actividades con errores que
contienen algún tipo de error conceptual, y las actividades correctas que se
completaron de manera satisfactoria.
385
Nº Actividades Nulas % Con
errores % Correctas % Total
1 Situaciones concretas y
números naturales. 0 0 0 12 100 12
2 Concepto de número natural. 0 0 6 50 6 50 12
3 Representación gráfica. 0 0 12 100 12
4 Elaboración de mapa
conceptual o esquema. 0 0 3 25 9 75 12
5 Redacción de Reseña histórica. 0 0 6 50 6 50 12
6 Concepto de adición. 0 0 2 25 8 75 10
7 Resolución de problema
(adición en N). 0 0 3 30 7 70 10
8 Resolución de problema
(Adición y sustracción en N). 0 0 12 34,29
23
65,71 35
9 Ensayo sobre la importancia de la Matemática.
0 0 12 46,15 14 53,85 26
10 Mapa conceptual sobre los números naturales.
12 30,77 9 23,08 18
46,15 39
11 Determinar divisores de números naturales.
2 16,67 1 8,33 9 75 12
12 Resolución de problemas en
Z. 1 8,33 3 25 8 66,67 12
13
Operaciones combinadas de potenciación en Z.
4 16,67 11 45,83 9 37,5 24
14 Signos de agrupación y operaciones combinadas en
Z. 1 4 13 52 11 44 25
15
Resolución de problemas de
adición con números
racionales.
1 10 2 20 7 70 10
16
Resolución de problemas de
multiplicación y división con
números racionales.
10 100 0 0 0 0 10
17 Mapa conceptual del sistema de los números racionales.
6 40 0 0 9 60 15
18 Signos de agrupación y operaciones combinadas en
Q. 2 13,33 0 0 13 86,87 15
19 Interpretación y análisis de
información sobre porcentaje. 1 9,09 1 9,09 9 81,82 11
Tabla 7.2. Resultados de las actividades realizadas por los alumnos durante las sesiones de clases.
Las actividades que los alumnos realizaron individualmente fueron 8, las
señaladas en la Tabla de frecuencias en negrita, el resto se ejecutaron en pequeños
grupos. El profesor siguiendo la secuencia didáctica de la propuesta, de exploración,
presentación, valoración cognitiva y proyección, orientaba y evaluaba
progresivamente a cada grupo para lograr en los alumnos la construcción de sus
aprendizajes matemáticos. Los alumnos desde el inicio se mostraron muy receptivos
y motivados para trabajar en equipos y con las actividades del material didáctico, a
pesar de que la mayoría no revisaba con anticipación los aspectos que se
desarrollarían durante la clase; en varias oportunidades constatamos esta situación. El
compromiso en los alumnos no era general, puesto que no cumplían con las
386
investigaciones asignadas por el profesor para ser discutidas en la clase siguiente, a
pesar de contar con la información accesible a través del material didáctico.
Podemos apreciar claramente cómo los estudiantes de acuerdo al nivel de
dificultad de las asignaciones, han tenido un desempeño variable, por ejemplo, las
actividades 1 y 3, las realizaron de manera satisfactoria en un 100%, y en la
elaboración del primer mapa conceptual también el 75% de los alumnos se
desempeñó de manera exitosa. Por el contrario, en las actividades 2, 5 y 6,
relacionadas con la utilización del lenguaje escrito, las actuaciones de los estudiantes
presentaron errores en mayor proporción, por ejemplo, la mitad de las redacciones
efectuadas sobre el concepto de número, así como en la reseña histórica de los
números naturales, las ideas se presentaron con muchas incongruencias; de igual
forma sucedió con el ensayo, en donde la información se presentó de manera
superficial en gran parte de los trabajos revisados, demostrándose de esta forma que,
la organización de la información para comunicar de manera escrita requiere de un
considerable tiempo y esfuerzo para consolidarse a través de las estrategias aplicadas
en la propuesta didáctica, principalmente si los alumnos tienen una formación básica
deficiente, tal como lo señalamos y describimos desde el inicio de la implementación
del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.
Con relación a los mapas conceptuales y esquemas como estrategias de
aprendizaje para presentar y organizar información, hubo un considerable número de
alumnos que logró presentar de manera correcta esta asignación, sin embargo, una
proporción importante colocó información incorrecta y en muchos casos los
conceptos, definiciones y propiedades se dejaron incompletas; además, sólo una
pequeña parte del grupo realizó el último mapa conceptual de números racionales, de
39 mapas elaborados para el sistema de los números naturales, se redujo a 15, de los
cuales 9 (60%) fueron realizados de manera satisfactoria, es decir, el 38,46% de los
alumnos no cumplió con esta actividad.
Continuando con el orden de complejidad de las actividades, en los
problemas de aplicación sobre adición y sustracción con números naturales, la
mayoría culminó con éxito la asignación cuando se trató de trabajo en equipo e
individual. Destacamos que la integración entre la orientación del docente, el
material didáctico y el apoyo de los alumnos hacia sus compañeros, lograron un
resultado notable en la realización de esta actividad, de manera sencilla y sin
contratiempos, aunque debemos mencionar que una proporción considerable de
estudiantes, es decir un 34,29%, no la completó de manera satisfactoria.
387
Los ejercicios relacionados con el uso de signos de agrupación para las
operaciones combinadas tanto de números enteros como fraccionarios, tuvieron la
mayor cantidad de dificultades; por ejemplo, en la potenciación con números enteros,
solamente un 37,5% de los alumnos las efectuó de manera correcta; el 44% efectuó
satisfactoriamente las operaciones combinadas eliminando correctamente los signos
de agrupación. En las operaciones con números fraccionario el 86,87% de los
estudiantes logró resolver con éxito el ejercicio propuesto, observándose un cambio
notable y progresivo hacia el logro de los aprendizajes relacionados con este aspecto
de la Unidad de Sistemas Numéricos.
El desempeño de los alumnos en los problemas de aplicación estuvo marcado
por el nivel de complejidad, en el caso de los números naturales y enteros que fueron
problemas sencillos de la vida cotidiana, la mayor proporción de alumnos concluyó
sin contratiempos; en efecto, el 70%, 65,71% y 66,67 % de los estudiantes resolvió
respectivamente los ejercicios de las actividades 7, 8 y 12; sin embargo, en los
problemas con números fraccionarios, la situación fue diferente, mientras que en la
adición el 70% los resolvió correctamente, en la multiplicación y división ningún
alumno logró resolver el problema de aplicación, esta situación parece indicar que
aunque los algoritmos para multiplicar y dividir fracciones son sencillos de aplicar, la
comprensión de los problemas que involucran estas dos operaciones con fracciones
no es un aprendizaje tan accesible para los alumnos.
Destacamos finalmente los resultados obtenidos por los alumnos en la
interpretación de la información estadística de los artículos de prensa. Las
situaciones más concretas y cotidianas revisten de significado para el alumno;
efectivamente los alumnos en su mayoría culminaron la actividad propuesta de
manera óptima, pues el 81,82% realizó cálculos, operaciones, cuadros comparativos
y organizó la información de manera correcta. En consecuencia, el aprendizaje
logrado es significativo al tener una utilidad práctica directa en la interpretación y
análisis de los datos porcentuales.
Este análisis de los resultados obtenidos por los alumnos en la realización de
las actividades asignadas durante las sesiones de clase, nos conducen a establecer una
posición favorable hacia la implementación del Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal, puesto que pudimos observar un desempeño progresivo
hacia el logro de los aprendizajes de la Unidad de contenidos seleccionados para
evaluar nuestra propuesta didáctica. A pesar de presentarse dificultades y errores en
el transcurso de las sesiones de clase, debemos recordar que el tiempo utilizado para
desarrollar en un 100% las actividades del material didáctico y las deficiencias del
388
aprendizaje básico que los alumnos demostraron, representaron dos de los aspectos
que difícilmente pudimos manejar en nuestra investigación.
Dentro de los indicadores de la dimensión del aprendizaje matemático donde
observamos de manera superficial un mayor desempeño de los alumnos, destacamos
la comprensión y aplicación de los conceptos, definiciones y propiedades
involucradas en la resolución de ejercicios y problemas; no obstante, en las
estrategias para la organización de la información, aunque paulatinamente fueron
mejorando todavía, necesitaron consolidarse. Esta reflexión es válida también para
las estrategias en la resolución de problemas; en efecto, en la revisión de los
cuadernos de los alumnos solamente dos grupos presentaron los pasos según Polya
(1978), los cuales se utilizaron en el material didáctico y durante las sesiones de clase
para resolver los problemas propuestos; esta información no está en la tabla de
frecuencias, pero hemos decidido presentarla de esta forma para destacar su
significado para la evaluación de la propuesta didáctica, lo cual nos conduce a más
interrogantes, como por ejemplo, ¿realmente necesitan los alumnos que se le enseñen
estrategias para resolver problemas?, ¿el nivel de aprendizaje de los alumnos fue tan
precario que no lograron comprender la importancia de estas estrategias?, y en
situaciones de mayor espacio de tiempo ¿es posible lograr una enseñanza más
efectiva y un aprendizaje significativo a través de la enseñanza de estas estrategias de
aprendizaje?
VII.1.4. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de
estrategias de aprendizaje
En la Tabla 7.3. presentamos el análisis y reflexión de los resultados de forma
análoga a la fase diagnóstica de nuestra investigación, con la finalidad de evaluar el
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las
matemáticas en función de sus alcances y limitaciones, utilizando para ello las
opiniones que los estudiantes han expresado en el cuestionario de estrategias (Ver
Anexo III-1 del Capítulo III).
389
SIEMPRE CON
FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº
ítems Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
1
Atención
selectiva a las
instrucciones.
7 25,00 12 42,86 9 32,14 0,00 28 100
2
Exploración
impulsiva de la
información.
3 10,71 2 7,14 17 60,71 6 21,43 28 100
3
Capacidad de
concentración.
Respuestas
impulsivas. 0,00 0,00 18 64,29 10 35,71 28 100
4 Utilización de
esquemas. 4 14,29 3 10,71 10 35,71 11 39,29 28 100
5
Organización
de la
información de
manera gráfica.
2 7,14 2 7,14 16 57,14 8 28,57 28 100
6
Utilización de
técnicas de
estudio. Utilización de
esquemas en la
resolución de
problemas.
1 3,57 5 17,86 14 50,00 8 28,57 28 100
7
Recolección
previa de
información.
2 7,14 6 21,43 11 39,29 9 32,14 28 100
8
Dificultad en la
discriminación
de datos.
1 3,57 2 7,14 22 78,57 3 10,71 28 100
9
Problemas con
la percepción
de las ideas
principales de
la información.
1 3,57 8 28,57 9 32,14 10 35,71 28 100
10
La percepción
superficial de
las ideas.
5 17,86 6 21,43 15 53,57 2 7,14 28 100
11
Precisión en la
identificación
de los
conceptos y
definiciones.
7 25,00 6 21,43 14 50,00 1 3,57 28 100
12
Precisión de la
información e
incógnitas en
un problema.
2 7,14 9 32,14 16 57,14 1 3,57 28 100
13
Discriminación
de la
información.
Diferenciar
problemas y un
ejercicio.
3 10,71 8 28,57 14 50,00 3 10,71 28 100
14
Uso apropiado
del vocabulario
y organización
de
información.
5 17,86 10 35,71 13 46,43 0,00 28 100
15
Expresión
verbal-escrita. Uso exclusivo
del lenguaje
verbal o escrito
para organizar
la información.
9 35,71 8 28,57 6 21,43 4 14,29 28 100
390
SIEMPRE CON
FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº
ítems Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
16
Cuantificación
de datos para
obtener un
procedimiento
de resolución.
3 10,71 7 25,00 15 53,57 3 10,71 28 100
17
Uso apropiado
del vocabulario
para expresar
conceptos de
manera escrita.
7 25,00 11 39,29 10 35,71 0,00 28 100
18
Utilización de
diferentes
fuentes de
información.
6 21,43 17 60,71 5 17,86 0,00 28 100
19
Búsqueda de
información
adicional en
materiales de
apoyo y
resolución de
problemas.
10 35,71 8 28,57 8 28,57 2 7,14 28 100
20
Materiales de
apoyo que
recomiendan
los profesores
de Matemática
y la ayuda que
estos ofrecen.
19 67,86 4 14,29 4 14,29 1 3,57 28 100
21
Comprensión
del lenguaje
matemático
que utilizan los
textos y demás
materiales
instruccionales.
8 28,57 4 14,29 16 57,14 0,00 28 100
22
Los libros-
textos y demás
materiales
instruccionales
y su
adecuación a
las necesidades
particulares de
aprendizaje.
8 28,57 11 39,29 9 32,14 0,00 28 100
23
Utilización de
material
escrito.
Los libros-
textos y demás
materiales
instruccionales
y su relación
con habilidades
cognitivas del
alumno.
14 50,00 7 25,00 6 21,43 1 3,57 28 100
391
SIEMPRE CON
FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº
ítems Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
24
Comparaciones
entre dos o más
conceptos
Matemáticos
para obtener
una
comprensión
más clara de
los mismos.
7 25,00 6 21,43 12 42,86 3 10,71 28 100
25
Realización de
lectura
detenida antes
de resolver
problemas
matemáticos.
7 25,00 12 42,86 6 21,43 3 10,71 28 100
26
Precisión para
determinar el
grado de
relación y/o
asociación
entre los datos
de un
problema.
3 10,71 12 42,86 12 42,86 1 3,57 28 100
27
Análisis de la
información.
Determinar si
en un problema
hay datos
insuficientes
para obtener
una respuesta.
1 3,57 9 32,14 11 39,29 7 25,00 28 100
28
Ordenar datos
de un
problema, en la
secuencia
verbal-escrita,
gráfica y
simbólica.
8 28,57 9 32,14 8 28,57 3 10,71 28 100
29
Situaciones
más cotidianas
para entender
información
matemática.
13 46,43 9 32,14 6 21,43 0,00 28 100
30
Proceso de
abstracción.
Construcción
de figuras,
diagramas o
cualquier otro
recurso visual
para
comprender la
relación entre
los datos del
problema.
9 32,14 9 32,14 8 28,57 2 7,14 28 100
31
Verificación de
la de las
respuestas.
10 35,71 13 46,43 5 17,86 0,00 28 100
32
Utilización de
procesos de
verificación. Análisis de las
causas de los
errores.
3 10,71 9 32,14 12 42,86 4 14,29 28 100
392
SIEMPRE CON
FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº
ítems Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
33
Uso de la
estimación
para verificar.
8 28,57 8 28,57 9 32,14 3 10,71 28 100
34
Análisis
sistemático
para
seleccionar las
alternativas de
solución.
4 14,29 4 14,29 15 53,57 5 17,86 28 100
35
Planteamiento
de problemas
con una
estructura más
simple para
resolver
problemas
complejos.
5 17,86 9 32,14 11 39,29 3 10,71 28 100
36
Análisis
retrospectivo
de los
problemas para
entenderlo
mejor.
2 7,14 3 10,71 14 50,00 9 32,14 28 100
37
Diseño y
aplicación de
planes de
resolución.
Persistencia en
una sola
posibilidad de
resolución.
4 14,29 7 25,00 13 46,43 4 14,29 28 100
38
Utilización del
azar cuando las
estrategias de
solución se han
agotado.
11 39,29 7 25,00 9 32,14 1 3,57 28 100
39
Reformulación
de problemas
en otras
palabras para
evaluar con
mayor
precisión sus
datos.
4 14,29 5 17,86 14 50,00 5 17,86 28 100
40
Utilización de
la intuición y
proceso de
inducción.
Resolución de
un problema o
ejercicio de
Matemática
desde lo más
sencillo.
13 46,43 8 28,57 7 25,00 0,00 28 100
41
Apoyo en la
asesoría
académica del
profesor.
Apoyo o
asesorías en el
profesor o
cualquier otro
experto.
10 35,71 8 28,57 9 32,14 1 3,57 28 100
42
Auto-
evaluación del
razonamiento
aplicado.
Conciencia de
debilidades y
fortalezas.
7 25,00 9 32,14 10 35,71 2 7,14 28 100
393
SIEMPRE CON
FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº
ítems Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
43
Utilización de
habilidades
cognitivas
personales
Utilización de
estrategias
originales para
resolver
ejercicios y
problemas de
Matemática.
1 3,57 9 32,14 10 35,71 8 28,57 28 100
44
Utilización del
lenguaje
matemático.
Utilizo con
eficacia el
lenguaje
matemático
simbólico.
3 10,71 6 21,43 16 57,14 3 10,71 28 100
45
Síntesis de la
información
que aportan las
definiciones,
axiomas,
teoremas y
fórmulas.
3 10,71 9 32,14 13 46,43 3 10,71 28 100
46
Utilización de
propiedades
matemáticas.
10 35,71 12 42,86 5 17,86 1 3,57 28 100
47
Uso preciso de
fórmulas
resolver un
problema.
9 32,14 8 28,57 10 35,71 1 3,57 28 100
48
Uso del
razonamiento
deductivo en la
resolución de
problemas.
Aplicación
formal de
fórmulas y
teoremas en la
resolución de
problemas.
6 21,43 7 25,00 12 42,86 3 10,71 28 100
Tabla 7.3. Resultados obtenidos en el cuestionario de opinión para determinar las estrategias de
aprendizaje que utilizaron los alumnos en la implementación de la propuesta didáctica en los
contenidos de la unidad de Sistemas Numéricos.
En la Tabla de frecuencias que hemos presentado, podemos apreciar la
opinión de los estudiantes con relación a las estrategias de aprendizajes que
utilizaron durante el desarrollo de la Unidad de Sistemas Numéricos con la
implementación del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.
Los estudiantes expresan que tienen capacidad de concentración como el primer
indicador relacionado con las estrategias para organización de la información; en
efecto, el 25% mencionó que siempre presta atención selectiva a las instrucciones, el
42,86% con frecuencia y el 32,14% a veces; es decir, que el 100% aplica de manera
regular esta estrategia para su aprendizaje, además muy pocos alumnos nunca
presentan conductas impulsivas para explorar información y dar respuestas a
preguntas durante las clases de Matemática.
394
En el siguiente indicador, por el contrario, los resultados nos indican que no
hubo una aplicación de las técnicas de estudio para organizar información de manera
general; en efecto, sólo un 3,57% de los alumnos dice haber utilizado siempre los
esquemas para resolver problemas y un 57,14% a veces organiza de manera gráfica
la información; por consiguiente, según las opiniones de los alumnos el Programa de
autorregulación no logró desarrollar en ellos de manera contundente las principales
estrategias de aprendizaje incorporadas para organizar la información a través de las
técnicas de estudio como el esquema, diagramas, representaciones gráficas y mapas
conceptuales.
En cuanto a la discriminación de la información podemos decir que existe una
aplicación regular de la misma; un considerable 78,57% de los encuestados
mencionó que a veces tienen dificultad para discriminar datos, sólo un 17,86%
siempre percibe de manera superficial la información recibida y un 3,57% no tiene
dificultad para precisar la información de los problemas para separar los datos de las
incógnitas; estos resultados evidencian que las estrategias de aprendizaje relativas a
las técnicas de estudio no son tan utilizadas porque los alumnos en su mayoría no
presentan problemas para discriminar la información, lo que implica que los
estudiantes del grupo de estudio se inclinan más por estrategias más formales que no
necesitan del apoyo gráfico o escrito.
Con relación a la expresión verbal o escrita, vemos cómo el 17,86% de los
alumnos aplican siempre el uso apropiado del vocabulario para organizar la
información matemática, el 35,71% con frecuencia y a veces el 46,43%; de manera
semejante el 25% considera que usa de forma apropiada el vocabulario para expresar
conceptos de forma escrita, es decir, la mayoría opinó que mantiene un nivel
aceptable en la aplicación de este indicador de las estrategias de aprendizaje. Estas
opiniones reflejan los alcances que se obtuvieron con la implementación del
Programa de autorregulación, mediante el cual los alumnos demostraron un lento
pero progresivo desarrollo en el uso de las diferentes estrategias de aprendizaje para
lograr una aplicación correcta del lenguaje matemático.
El análisis de la información es otro de los indicadores donde los alumnos
utilizaron las estrategias de comparación entre conceptos matemáticos, lectura
detenida para extraer de forma precisa la información de los problemas y establecer
la relación entre sus datos; los valores obtenidos también nos complementa la
justificación de los resultados positivos de nuestra propuesta didáctica de acuerdo a
las respuestas de los estudiantes en el cuestionario facilitado por el investigador.
395
En el uso del material escrito, las respuestas de los alumnos concuerdan en
todos los ítems relacionados con este indicador; por ejemplo, el 21,43% utiliza
siempre diferentes fuentes de información, el 60,71% lo hace con frecuencia y el
17,86% a veces, sin embargo podemos apreciar algo muy significativo de estas
opiniones las cuales discrepan de los resultados que obtuvimos de las observaciones
de las sesiones de clases, puesto que en varias sesiones los alumnos no habían
revisado el material didáctico para investigar los aspectos asignados. Podemos
destacar que la mayoría de los estudiantes manifestaron una opinión favorable hacia
el material didáctico elaborado para la Unidad de Sistemas Numéricos, de acuerdo a
los lineamientos del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, el
67,86% manifestó haber recibido siempre ayuda del material didáctico, el 14,29%
opinó una ayuda frecuente y sólo un 3,57% expresó la poca utilidad de este recurso
para su aprendizaje. También verificamos respuestas proporcionales con relación a
las habilidades cognitivas de los alumnos y el material didáctico, sólo un 3,57%
respondió que nunca hubo adaptación entre el material didáctico y sus características
cognitivas. Esta posición del grupo de alumnos discrepa de los datos que
recolectamos de las observaciones efectuadas a las sesiones de clases, a pesar de
considerar el material didáctico de gran apoyo a través de sus estrategias de
aprendizaje, no lo utilizaban de manera permanente y sólo se limitaban a utilizarlo
durante las clases, por consiguiente, nos encontramos con una contradicción entre la
valoración de la propuesta didáctica y su uso por parte de los alumnos.
Las respuestas de los alumnos también indican una posición desfavorable
hacia la aplicación de la abstracción en el aprendizaje matemático en todos los ítems
que forman parte de este indicador, podemos observar que la mayoría necesita de
situaciones cotidianas para entender la información que recibe y de la construcción
de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender un problema.
Esto nos indica que en el proceso didáctico las estrategias deben presentarse
siguiendo ejemplos de situaciones reales que se relacionen con los contenidos
matemáticos, de esta manera los alumnos comenzarán a extraer sus propias
conclusiones y principalmente a utilizar el razonamiento deductivo como producto
de la autorregulación del pensamiento lógico-formal en las matemáticas.
En la resolución de problemas, la mayoría considera que utilizó procesos de
verificación para autoevaluarse; en efecto, el 35,71% verifica siempre las respuestas,
mientras que el 43,43% lo realiza con frecuencia y el resto, el 17,86% a veces, sin
embargo, la proporción de los alumnos que dice diseñar y aplicar planes de
resolución de problemas disminuye considerablemente, la mayoría no analiza
sistemáticamente las alternativas de solución, sólo el 14,29% lo ejecuta siempre y el
396
53,57% a veces, de igual forma ocurre con el análisis retrospectivo de los problemas.
De acuerdo con las opiniones de los estudiantes, las estrategias para resolver
problemas que se aplicaron durante el Programa de autorregulación no lograron en su
totalidad los resultados esperados en nuestra investigación; se evidencia una falta de
progreso en la consolidación de estrategias más contundentes en la resolución de
problemas y los pasos según Polya (1978) no consiguieron lograr en los alumnos
desarrollar sus habilidades para autorregular su pensamiento lógico-formal y
razonamiento deductivo.
Los alumnos señalaron claramente una preferencia por la utilización de la
intuición y proceso de inducción en la resolución de problemas, observamos
respuestas favorables para el uso del azar, la reformulación de los problemas en otras
palabras y su resolución desde lo más sencillo hasta lo más complejo, lo cual nos
indica una inclinación favorable de los alumnos hacia los procesos relativos al
razonamiento inductivo, es decir que el aprendizaje matemático debe partir de
situaciones más concretas, reales y particulares para lograr un verdadero proceso de
construcción del aprendizaje significativo, tal como lo establecimos en el segundo
pilar del Programa de autorregulación que se basa en la ‘aplicación del razonamiento
inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir sucesivamente al alumno
hacia la conceptualización científica y formal del conocimiento matemático’.
Asimismo existe una tendencia favorable hacia el apoyo en las asesorías del
profesor para fortalecer el aprendizaje matemático, el 35,71% siempre utiliza esta
estrategia cuando tiene dificultades para resolver ejercicios y problemas; el 28,57%
con frecuencia y el 32,14% a veces. El 25% dice tener conciencia de las debilidades
y fortalezas para autoevaluar el razonamiento aplicado en la resolución de
problemas, el 32,14% con frecuencia y 35,71% a veces.
Por otro lado se observó una opinión desfavorable en cuanto al uso de
estrategias originales para resolver ejercicios y problemas y en la aplicación del
lenguaje matemático de manera eficaz; según los resultados, la mayor parte del grupo
utiliza estas estrategias a veces o nunca. Por lo tanto, el pensamiento creativo como
uno de los elementos a lograr en nuestro primer objetivo del Programa de
autorregulación no demostró una verdadera consolidación en los alumnos de la
asignatura Matemática General.
Finalmente, observamos en los resultados que los alumnos en su mayoría
utilizan estrategias de aprendizaje relacionadas con el razonamiento deductivo en la
resolución de problemas, la mayor proporción de ellos utilizan con frecuencia la
397
síntesis de la información matemática, aplicación de propiedades, fórmulas y
teoremas para resolver ejercicios y problemas, sin embargo estas opiniones
demuestran una clara inconsistencia de los resultados que se obtuvieron en las
preguntas correspondientes al indicador de diseño y aplicación de planes de
resolución, en donde se verificó una poca aplicación por parte de los alumnos de las
estrategias de aprendizaje en la resolución de problemas y luego opinan que aplican
en su mayoría el razonamiento deductivo, síntesis de la información y aplicación
formal de los contenidos matemáticos.
En la Tabla 7.4. hemos presentado de forma resumida la situación de los
alumnos encuestados en cuanto a la aplicación de las estrategias de aprendizaje para
la organización de la información y la resolución de problemas durante la aplicación
del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de
las matemáticas de los contenidos de la Unidad Didáctica de los Sistemas
Numéricos.
Indicadores Presencia Ausencia Capacidad de concentración. X
Técnicas de estudio. X
Discriminación de la información. X
Expresión verbal-escrita. X
Utilización de material escrito. X
Análisis de información. X
Proceso de abstracción. X
Procesos de verificación. X
Planes de resolución de problemas. X
Intuición y proceso inductivo. X
Asesoría. X
Auto-evaluación. X
Habilidad cognitiva personal. X
Lenguaje matemático. X
Razonamiento deductivo. X
Tabla 7.4. Presencia-ausencia de los indicadores que determinan las estrategias de aprendizaje que
utilizan los alumnos en los contenidos matemáticos.
En función de las respuestas obtenidas de los alumnos por indicadores, se
verifica una utilización considerable de las diferentes estrategias de aprendizaje por
parte de los alumnos; sin embargo, estrategias relacionadas con las técnicas de
estudio como el uso de esquemas o diagramas, los procesos de abstracción y planes
en la resolución de problemas no son aplicadas por la mayor parte de los alumnos, al
menos de manera explícita, porque tal vez, estos procesos formen parte de sus
esquemas mentales que de manera conciente o involuntaria utilicen para construir sus
aprendizajes y resolver problemas, puesto que, resulta contradictorio que a pesar de
coincidir con el uso de habilidades cognitivas personales y razonamiento deductivo,
no exista un plan implícito para la resolución de problemas. Además, la mayor parte
de los alumnos también se inclinó hacia la aplicación de la intuición y procesos
398
inductivos que le garantizan una comprensión más concreta de los conceptos
matemáticos.
Estas consideraciones nos indican que dentro del proceso didáctico de las
matemáticas se deben implementar en mayor proporción estrategias de aprendizaje
para que el alumno en primer lugar organice la información y/o conocimientos
matemáticos, para que los comunique de forma correcta y, en segundo lugar utilizar
planes de resolución de problemas de forma coherente para eliminar paulatinamente
las formas de razonamientos incongruentes, asistemáticos y de poca solidez
científica. En consecuencia, los procesos relativos a la autorregulación del
pensamiento lógico-formal se verán más favorecidos para generar en los alumnos el
razonamiento deductivo propio de las matemáticas y lograr la construcción
progresiva del aprendizaje.
Por otro lado es, necesario incorporar también actividades de enseñanza y
aprendizaje que consoliden progresivamente en el alumno un aprendizaje desde lo
concreto, ligado a situaciones cotidianas que ofrezcan ejemplos reales sobre la
información matemática, hasta llegar a sus representaciones gráficas y simbólicas.
Tal vez siguiendo esta secuencia, los alumnos logren un aprendizaje significativo;
recordemos que llevar estas ideas a la práctica pedagógica cotidiana implica un gran
esfuerzo, paciencia y tiempo.
VII.1.5. Análisis y reflexión de los resultados de la prueba de valoración
de conocimientos
Los resultados de las pruebas de valoración de conocimientos los hemos
analizado en función de los criterios de la dimensión del aprendizaje matemático ya
señalados en el inicio de este capítulo. Con la recolección de la información a través
de este instrumento cerramos la primera parte de la evaluación del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del objetivo seis de
nuestra investigación, en el cual planteamos como principal alcance de la propuesta
el logro del aprendizaje significativo por parte de los alumnos de la asignatura
Matemática General.
399
VII.1.5.1. Análisis y reflexión sobre los conocimientos matemáticos
En la Tabla 7.5 presentamos los resultados obtenidos en las pruebas de
valoración para complementar el proceso de recolección de información en la
evaluación de nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal
de acuerdo al criterio del dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de
conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos
matemáticos de las sesiones de clase ejecutadas.
Contenidos Categorías de valoración Frecuencia %
a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 0 0
b. Error en la interpretación de los conceptos de las
propiedades de la adición y multiplicación de números
racionales.
11 35,48
c. Responde correctamente pero falta coherencia en el
procedimiento de la justificación. 6 19,35
d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 9 29,03
e. No contesta. 5 16,13
1. Propiedad
conmutativa en la
suma de números
racionales.
Total 31 100
a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 0 0,00
b. Error en la interpretación de los conceptos de las
propiedades de la adición y multiplicación de números
racionales.
3 9,68
c. Responde correctamente pero falta coherencia en el
procedimiento de la justificación. 9 29,03
d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 15 48,39
e. No contesta. 4 12,90
2. Propiedad
Asociativa en la suma
de números
racionales.
Total 31 100
a. Errores en cálculos aritméticos elementales. 7 22,58
b. Confusión entre los conceptos de máximo común divisor
y mínimo común múltiplo. 1 3,23
c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento
utilizado en la justificación. 0 0,00
d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. 6 19,35
e. No contesta. 17 54,84
3. Cálculo del mínimo
común múltiplo.
Total 31 100
a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación,
llaves, corchetes y paréntesis. 20 64,52
b. Uso del procedimiento correcto pero, persisten errores en
los cálculos aritméticos. 1 3,23
c. Contesta correctamente. 3 9,68
d. No contesta. 7 22,58
4. Resolver
operaciones
combinadas de
números enteros con
signos de agrupación.
Total 31 100
a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de
exponente negativo. 8 25,81
b. Errores en el cálculo de potencias. 0 0,00
c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los
signos más (+) y menos (-). 8 25,81
d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación,
llaves, corchetes y paréntesis. 0 0,00
5. Cálculo de
potencias con
exponentes negativos.
e. Responde correctamente 8 25,81
400
Contenidos Categorías de valoración Frecuencia %
f. No contesta. 7 22,58
Total 31 100
a. Desconocimiento del procedimiento para determinar
máximo común divisor. 2 6,45
b. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. 6 19,35
c. Errores en el cálculo de operaciones. 5 16,13
d. Contesta correctamente. 4 12,90
e. No contesta. 4 12,90
6. Simplificación de
fracciones utilizando
máximo común
divisor y fracción
equivalente.
Total 31 100
a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. 1 3,23
b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para
simplificar fracciones. 0 0,00
c. Complican las operaciones entre fracciones al no
simplificar cada expresión a una más simple. 0 0,00
d. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar
fracciones. 0 0,00
e. Errores al operar fracciones en general. 8 25,81
f. Contesta correctamente. 2 6,45
g. No contesta. 20 64,52
7. Operaciones
combinadas de
fracciones.
Total 31 100
a. Desconocimiento del concepto de exponente negativo. 0 0,00
b. Errores en la aplicación de las propiedades de la
potenciación. 12 38,71
c. Complican las operaciones entre fracciones al no
simplificar cada expresión a una más simple. 4 12,90
d. Errores al operar fracciones en general. 0 0,00
e. Contesta correctamente. 4 12,90
f. No contesta. 11 35,48
8. Operaciones
combinadas de
potencias de números
racionales.
Total 31 100
a. Organiza la información de problema. 8 25,81
b. Utiliza estrategias originales. 0 0,00
c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 0,00
d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 0,00
e. Verifica el proceso de resolución. 0 0,00
f. Contesta correctamente. 2 6,45
g. No contesta. 21 67,74
9. Resolución de
problemas de
aplicación con
números naturales.
Total 31 100
a. Organiza la información de problema. 3 9,68
b. Utiliza estrategias originales. 0 0,00
c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 0,00
d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 0,00
e. Verifica el proceso de resolución. 0 0,00
f. Contesta correctamente. 6 19,35
h. No contesta. 22 70,97
10. Resolución de
problemas
relacionados con el
porcentaje.
Total 31 100
Tabla 7.5. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a las preguntas de la prueba de
valoración de conocimientos matemáticos.
401
El desempeño de los alumnos en la prueba de valoración de aprendizajes
resultó deficiente, en la mayor parte de las preguntas, ejercicios y problemas
planteados, esta situación nos revela el impacto sutil desde el punto de vista
cuantitativo que tuvo el programa de autorregulación en la comprensión de
conceptos, definiciones y propiedades de los sistemas numéricos, sin embargo, se
pudo apreciar un progreso cualitativo y relativo en función de los resultados que
obtuvimos en la primera fase de diagnóstico. En la comprensión de conceptos se
pudo apreciar un logro, por ejemplo en las interpretaciones correctas del lenguaje
matemático utilizado para identificar propiedades, así podemos ver que el 48,39% de
los alumnos contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados para identificar la
propiedad asociativa de la suma de números racionales.
El concepto y procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo todavía
presenta dificultad para la mayor parte de los alumnos, sólo el 19,35% logró
responder y efectuar correctamente el método de la descomposición de los números
en factores primos para calcularlo. También la situación es crítica en las operaciones
combinadas de números enteros y signos de agrupación, apenas el 9,68% logró
superar este ejercicio sin dificultad y en los conceptos de fracción equivalente y de
máximo común divisor tampoco se observó una comprensión y aplicación correctas
por los alumnos, solo el 12,9% logró simplificar la fracción del ejercicio a una
irreducible.
La situación precaria se sigue observando en las operaciones combinadas con
fracciones donde sólo el 6,45% de los alumnos resolvió y contestó correctamente
este ejercicio, es preocupante cómo el 64,52% no contestó, es decir, ni siquiera los
estudiantes intentaron resolverlo. En la resolución de problemas un reducido grupo
de alumnos logró aplicar las estrategias de aprendizaje para su resolución, pero la
mayoría tampoco contestó. En los dos problemas planteados en la prueba, el 67,74 %
no respondió el problema de aplicación con números naturales y el 70,97% no
resolvió el problema relacionado con el cálculo de porcentajes.
VII.1.5.2. Análisis y reflexión sobre las estrategias de aprendizaje
aplicadas por los alumnos
En las Tablas 7.6. y 7.7. figuran los resultados de las pruebas de valoración
tomando en cuenta las estrategias de aprendizaje relativas a la organización de la
información y las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y
problemas que son los otros dos criterios de la dimensión aprendizaje matemático.
402
Estrategias Aplicadas Alumnos que la utilizaron
% Alumnos que no la utilizaron
% Total
Uso de esquemas, mapas conceptuales o
diagramas para organizar información. 0 0 31 100 31
Organización gráfica de la información y
situaciones matemáticas. 0 0 31 100 31
Uso apropiado del vocabulario para expresar
conceptos de manera escrita. 15 48,39 16 51,61 31
Comparaciones entre conceptos. 6 19,35 25 80,64 31
Utilización eficaz del lenguaje matemático
simbólico. 15 48,39 16 51,61 31
Análisis sistemático de la información para
seleccionar las alternativas de solución. 15 48,39 16 51,61 31
Precisión de la información e incógnitas en un
problema. 10 32,26 21 67,74 31
Reformulación de problemas en otras palabras
para evaluar con mayor precisión sus datos, la
estructuración de ejercicios y de la
información de un problema en pequeños
pasos.
8 21,81 23 74,19 31
Tabla 7.6. Resultados del uso de estrategias de aprendizaje en la organización de la información.
Estrategias Aplicadas
Alumnos que la
utilizaron
%
Alumnos que no la
utilizaron
% Total
Utilización del azar cuando las estrategias de solución
se han agotado. 0 0 31 100 31
Utilización de estrategias originales para resolver
ejercicios y problemas de Matemática. 2 6,45 29 93,55 31
Persistencia en el uso de una estrategia de solución. 31 100 31
Utilización eficaz del lenguaje matemático simbólico. 6 19,35 25 80,64 31
Cuantificación de datos para obtener un
procedimiento de resolución. 15 48,39 16 49,61 31
Uso de ejemplos y contraejemplos para justificar
respuestas. 15 48,39 16 49,61 31
Uso y descripción de las propiedades matemáticas que
aplica en la resolución de ejercicios y problemas. 2 6,45 29 93,55 31
Resolución de un problema o ejercicio de Matemática
desde lo más sencillo. 6 19,35 25 80,64 31
Uso de la estimación en la verificación de las
respuestas. 6 19,35 25 80,64 31
Tabla 7.7. Resultados del uso de estrategias de aprendizaje en la resolución de ejercicios y problemas.
En función de los resultados del uso de las estrategias de aprendizaje para
organizar la información, pudimos verificar una progresión en el desempeño de los
alumnos en comparación a los obtenidos en la fase de diagnóstico; a pesar de no
haber logrado responder correctamente a la mayoría de las preguntas formuladas en
la prueba de valoración de aprendizajes matemáticos, una proporción estimable de
los alumnos aplicó algunas de las estrategias; por ejemplo, el 48,39% logró tener
orden sistemático de la información, el 32,26% seleccionó de manera precisa los
403
datos e incógnitas de los problemas y el 21,81% reformuló los problemas en otras
palabras para evaluar con mayor precisión sus datos, la estructuración de ejercicios y
de la información de un problema en pequeños pasos, para tener una comprensión
más clara de los mismos.
Mediante las estrategias de aprendizaje que se aplicaron en el Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal se logró que el 48,39% de los
alumnos comprendieran los símbolos matemáticos de la información en la prueba de
valoración, puesto que utilizaron de manera eficaz el lenguaje matemático simbólico;
así mismo el 19,35% realizó comparaciones entre conceptos como estrategia para
aplicarlos de manera precisa en la resolución de ejercicios y problemas.
Ningún alumno utilizó esquemas, mapas conceptuales, diagramas y
representaciones gráficas para organizar y presentar información en la prueba. Esta
situación se mantuvo igual en la fase diagnóstica a pesar de que durante las sesiones
se utilizaron estas estrategias. Los alumnos no las aplicaron durante el desarrollo de
la prueba, demostrándose la falta de contundencia de las mismas en el aprendizaje
matemático de los alumnos, debido principalmente al tiempo reducido en el cual se
desarrollaron las actividades de clase.
Utilizando una vez la comparación de los resultados obtenidos en la fase
diagnóstico con los de la puesta en práctica de la propuesta didáctica, observamos el
mismo patrón en el progreso de la utilización de las estrategias para resolver
problemas; aunque una mayoría considerable no resolvió de manera correcta los
problemas planteados, pudimos destacar que un 19,35% aplicó el lenguaje
matemático de manera adecuada, un 48,39% aplicó ejemplos para justificar
respuestas y un 19,35% aplicó pasos para resolver problemas de manera sistemática
y utilizó estrategias de estimación para verificar los resultados de los ejercicios y
problemas; esto era inexistente en los alumnos durante el diagnóstico de la primera
fase de investigación.
404
VII.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
DIMENSIÓN CLIMA SOCIAL Y ACTITUD DEL ALUMNO
En esta sección pretendemos evaluar nuestra propuesta didáctica o Programa
de autorregulación del pensamiento lógico-formal, tomando como punto de
referencia de la misma el objetivo 3, con el cual se persigue fomentar la
comunicación para lograr la participación, debate, reflexión, y sugerencias que
aporten los actores que interactúan en el proceso didáctico, dentro de un clima
social del aula abierto, dinámico y flexible que contribuya a un cambio de actitud
del alumno hacia la Matemática; por lo tanto, se presentarán los resultados de la
dimensión de clima social del aula y actitud del alumno analizados desde los
siguientes criterios:
- El auto-concepto del alumno ante su desempeño de las actividades
asignadas.
- La concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos
de la asignatura de Matemática General.
- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.
La información que obtuvimos en las observaciones de las sesiones de clases,
los diarios de los alumnos, las entrevistas semi-estructuradas y en el cuestionario de
actitud-opinión aplicados al grupo de alumnos, los dividimos según los propósitos de
cada una de las técnicas e instrumentos de recolección de la forma siguiente:
VII.2.1. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones
efectuadas de las sesiones de clase
El estado de las interacciones entre los diferentes actores del proceso de
enseñanza, aprendizaje y evaluación en el clima social del aula y la actitud de los
alumnos presentaron el grado positivo esperado por nosotros en la puesta en práctica
y evaluación de la propuesta didáctica, tal como lo habíamos señalado desde los
fundamentos epistemológicos del Programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal, en donde destacamos la importancia que tiene la Matemática en
nuestra vida cotidiana, la incorporación progresiva de estrategias, procedimientos,
actividades, técnicas y recursos a la vanguardia de las aportaciones psicopedagógicas
y las características particulares del contexto social y, lo que es más importante,
establecer una relación social y académica más estrecha con los alumnos para
aprender más de ellos. Por consiguiente, la integración, participación y comunicación
405
en las clases tanto de alumnos en los equipos de trabajo, los alumnos entre sí y el
profesor con los alumnos, fueron comportamientos observados desde la primera
sesión de clases. En el diálogo siguiente podemos verificarlo:
Profesor: Vamos a iniciar la discusión, ¿alguien quiere comenzar?
Observador: De manera espontánea un representante de un grupo levanta la mano pidiendo
el derecho de palabra e inicia una exposición clara y acertada.
Profesor: ¿alguien quiere dar su opinión sobre las actividades que efectuamos durante la
clase?
Alumno: Me ha parecido una forma distinta y agradable para aprender más sobre las
matemáticas y espero que sigamos utilizando estas estrategias.
Alumno: Es una manera de integrarnos más a la clase de matemáticas y de saber cuáles son
nuestras fallas en los ejercicios.
Las estrategias aplicadas por el profesor siguiendo las orientaciones del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal que mencionamos en el
cuarto pilar, en el cual se destaca la importancia del clima social del aula flexible y
dinámico, analizado desde la perspectiva de la interacción social entre profesor y
alumnos, mediante la comunicación y la participación durante las clases,
incrementaron la motivación de los alumnos, quienes participaron en las diferentes
actividades asignadas por el profesor de la asignatura; así lo pudimos constatar en la
siguiente transcripción de las observaciones efectuadas por nosotros en una de las
sesiones de clase:
“Los alumnos se muestran dispuestos y motivados para efectuar el trabajo asignado. Cabe
destacar que los equipos conservan sus mismos integrantes por las relaciones socio-afectivas
que se han creado”. “Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la
retroalimentación a cada exposición”.
También en la siguiente transcripción podemos evidenciar elementos que
comprueban la participación de los alumnos en las actividades desarrolladas durantes
las sesiones de clase y la comunicación que mantienen con el profesor de la
asignatura para obtener la asesoría y orientación necesaria para comprender las
actividades asignadas:
Alumno: En la pregunta ¿cómo surgieron los números naturales en las actividades
cotidianas del hombre?, ¿cómo vamos a obtener esta información?
Profesor: Razonen y reflexionen sobre como han evolucionado las civilizaciones, esto les
dará alguna idea. Al final de la clase cada equipo expondrá su trabajo para la discusión
general.
406
Observador: El profesor se dedica a orientar a cada equipo y los alumnos, explicando
algunos de los ejercicios. Algunos alumnos todavía no logran entender las actividades y
tienen dificultades para resolver los planteamientos.
La gran parte de los alumnos preguntar al profesor sobre la manera de presentar y
organizar la información.
Alumno: ¿Vamos a identificar dónde se utilizan números decimales?
Profesor: No, solamente en cuáles situaciones se utiliza el número natural
Alumno: Debemos justificar las respuestas, sí eso lo indica el material, ¿ya no lo habíamos
dicho?
Alumno: El número de palabras que hay en los apuntes de matemática ¿Es un número
natural?
Profesor: ¿Las palabras se escriben incompletas?
Alumno: ¡Claro que no!, entonces sí son números naturales.
Observador: Se mantiene el intercambio de ideas entre los alumnos y el profesor quien
monitorea a cada grupo para orientarlos y contestar a las diferentes interrogantes que
formulan los alumnos.
En función de la fase de exploración de la secuencia didáctica del Programa
de autorregulación del pensamiento lógico-formal, en donde explicamos la función
del docente en su labor creativa para el diseño, elaboración y presentación de
recursos que establezcan la relación de los contenidos con la vida cotidiana, tales
como: fotografías, vídeos, modelos a escala, y la historia de la evolución y aplicación
de esos conocimientos al desarrollo de la humanidad, consideradas como estrategias
y actividades no convencionales que se aplicaron durante las clases, específicamente
la proyección de vídeos resultó ser una ayuda efectiva para lograr una actitud
positiva hacia las matemáticas, y para motivar la participación de los alumnos en el
proceso de enseñanza-aprendizaje ejecutado en la clase, además, pudimos observar
una integración e interacción más cercana entre alumnos y el profesor tras la
presentación de este recurso audiovisual sobre la historia de las matemáticas y su
relación con nuestro entorno. En el siguiente fragmento se puede apreciar este hecho:
Profesor: Ahora vamos a exponer nuestras sus opiniones con relación al vídeo, ¿quién desea
comenzar?
Alumno: Yo logré entender que hasta cuando jugamos están las matemáticas, todo lo que
nos rodea es matemática, pero que nosotros no las apreciamos como se debería porque sin
darnos cuenta la estamos utilizando todo el tiempo.
Profesor: ¿Alguien más?
Alumno: Me ha parecido una buena estrategia para motivarnos en el estudio de las
matemáticas porque nos ayuda a comprender que nuestra vida cotidiana. Cuando
compramos, vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la
matemática y de esta manera es menos estresante para nosotros.
Observador: Otro alumno toma la palabra.
Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes así nos las veamos pero en
todo lo que nos rodea están, ¡bueno así lo veo yo!
407
Observador: El profesor continúa motivando para que los demás alumnos intervengan.
Alumno: A mí me parece que las matemáticas tienen mucho que ver con en nuestra vida
cotidiana, porque todo lo que hacemos a diario necesita de la Matemática, por ejemplo
cuando vamos al supermercado, cuando miramos la hora.
Alumna: Sin la Matemática viviríamos en un mundo desordenado, es decir el mundo tal
como lo conocemos no existiría.
Profesor: ¡Muy bien!, todas nuestras ideas, pensamientos y razonamientos los ordenamos
mejor gracias al estudio de la Matemática.
Alumno: La música tiene mucho que ver con la Matemática, muchos piensan que estudiando
las artes evitan las matemáticas pero no se dan cuenta que la pintura y la música dependen
mucho de las medidas.
Por otro lado, la confianza de los alumnos para intervenir en la clase se
realiza con libertad; el profesor fue receptivo con los diferentes comentarios y
opiniones que, en algunos casos, hacían los estudiantes con relación a su práctica
pedagógica en el desarrollo de las clases; de esta manera pudimos constatar un clima
de confianza entre el profesor y los alumnos en el aula para generar intercambio de
preguntas y respuestas. Por consiguiente la importancia que se dio a la participación
del alumno es un elemento significativo al permitir una disposición al trabajo en
equipo con una relación amigable sin discriminación entre los actores del proceso
didáctico:
Alumno: ¿Por qué todas sus clases son así?
Profesor: ¿Cómo así?
Alumno: Todo el mundo callado, los alumnos están en silencio y no hay desorden.
Profesor: Debe ser que en la clase de Matemática se entretienen pensando y razonando.
Alumno: Bueno en las otras clases la situación es diferente, nos portamos de manera
desordenada y hablamos demasiado.
Profesor: Muchachos la disciplina en el aula depende mucho del ejemplo que dé el profesor
o la profesora y esto lo deben comprender ustedes como estudiantes de educación. Si el
profesor no indica algunas reglas o contrato entre él y los alumnos en cuanto a las normas
es muy difícil que se efectúe un trabajo óptimo.
Particularmente les felicito por el comportamiento que han demostrado durante todo el
semestre espero que sigan así no sólo en Matemática sino también en el resto de las
asignaturas.
Un hecho significativo que también comprueba el nivel de participación de
los alumnos está relacionado con el proceso de evaluación, puesto que la opinión
hacia las pruebas escritas no fue favorable. Observamos la sinceridad de los
estudiantes para manifestar desde el principio su actitud de rechazo y el temor al
fracaso a ser evaluado mediante las pruebas escritas, constituyendo esta situación
otra demostración, en primer lugar de la comunicación e interacción entre los actores
del proceso didáctico para intercambiar posiciones, opiniones e ideas y, en segundo
408
lugar comprobamos que el enfoque que le hemos dado dentro de nuestra propuesta
didáctica a la evaluación es el más acertado, cuyo planteamiento se describe en el
quinto pilar, en el cual concebimos al proceso de evaluación con una dirección hacia
la valoración integral y equilibrada como fundamento para el crecimiento académico,
personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática,
utilizando no sólo las pruebas de valoración de conocimientos sino también
actividades grupales tales como talleres de resolución de problemas, debates,
proyectos, discusiones e investigaciones.
Podemos apreciar cómo los alumnos expresaron esta preocupación sólo con
la prueba escrita de valoración de conocimientos, la cual debían resolver de forma
individual, así se evidencia también la presencia de actitudes negativas hacia las
matemáticas, tal como presentamos en el siguiente diálogo:
Alumno: ¿Esto también va para la prueba escrita?
Profesor: ¡Por su puesto!
Observador: Los alumnos expresan preocupación por la cantidad de información a ser
evaluada en la prueba de conocimientos.
Alumno: Profesor espero que en esa prueba sea flexible con nosotros
Profesor: ¿Todavía quieren más concesiones? Pienso que con los talleres pueden tener una
gran ayuda sólo tienen que aprovecharla al máximo.
El análisis y reflexión de las observaciones de las sesiones de clase nos
conducen a establecer un resultado favorable en el clima social del aula y la actitud
general del alumno hacia las matemáticas en la aplicación del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas.
La comunicación profesor-alumnos y alumnos-alumnos se desarrolló con absoluta
confianza y libertad durante todo el proceso didáctico ejecutado en la Unidad de
Sistemas Numéricos. Las diferentes actividades asignadas por el profesor y las
propuestas en el material didáctico lograron un clima social de participación general
del grupo. Cabe destacar que los estudiantes en algunas oportunidades disminuyeron
esta participación, no por un clima hostil o por miedo, sino que simplemente no
tenían el dominio de los aspectos tratados durante las clases, tal como lo observamos
en la transcripción siguiente:
Profesor: Bien, ¿Qué más estudiamos de los naturales?
Alumno: Su notación, con la letra N y en forma de conjunto.
Profesor: Es decir, N={0,1,2,3…} . Entonces así hemos construido el primer mapa conceptual
relacionado con los números naturales, pero faltan por agregar las operaciones aritméticas
fundamentales que corresponden al tema de hoy y se estudiarán resolviendo tanto ejercicios
como problemas de aplicación. ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?
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Alumno: Adición, resta, ¿?
Observador: Los alumnos no comprender la pregunta, las palabras operaciones y
aritméticas no parecen estar dentro de su léxico y el profesor responde.
Profesor: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Observador: Luego va escribiendo en el mapa conceptual los nombres de las diferentes
operaciones y los alumnos copian en sus cuadernos la información.
Debemos destacar que la actividad que más generó estos resultados fue la
forma de trabajo en pequeños grupos; los alumnos se sintieron con mayor confianza
y seguridad para resolver los ejercicios y problemas formulados gracias al apoyo del
grupo y a la orientación constante del profesor. Es decir, las características del
material didáctico como recurso concreto de nuestro Programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal contribuyeron a lograr este objetivo, puesto que fue
diseñado y elaborado con una gran diversidad de actividades tanto individuales como
grupales, para que se desarrollara la integración social y la participación adecuada de
todos los actores del proceso didáctico, además de fomentar la comunicación entre
los mismos, principalmente en el intercambio de ideas, información y significados
productos de la reflexión y creación del conocimiento en las estrategias utilizadas
para resolver los ejercicios y problemas planteados. Además, la presentación de las
exposiciones para discutir las respuestas incrementó la participación de los alumnos,
ya que en las actividades individuales tienen dificultades y buscan la asesoría del
profesor, tal como lo describimos a continuación:
Observador: El profesor asigna las actividades para ser realizadas durante el resto de la
clase de manera individual, las cuales corresponden a los problemas de aplicación sobre la
resta y multiplicación en N. Los alumnos se dedican a resolver los problemas y acuden
constantemente al profesor para aclarar las dudas.
Los alumnos otorgaron un significado mayor para su comprensión a las
situaciones cotidianas que se incorporaron a los contenidos matemáticos; los
ejemplos, ejercicios y problemas tanto resueltos como propuestos en el material
escrito sobre la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos, lograron mantener la
atención de los alumnos porque se trataban de hechos cotidianos del entorno social.
En el fragmento que sigue podemos verificar lo señalado anteriormente, puesto que
se observa cómo los alumnos participan de forma activa con el profesor en la
resolución del problema propuesto:
Profesor: El problema que se les presentó es de una situación común, es un presupuesto de
compra y venta de un vehículo.
Observador: Un estudiante lee el problema.
Profesor: ¿Qué observan en las cantidades? ¿Están actualizadas?
410
Alumnos: No, se deben ser Bolívares fuertes.
Profesor: ¿Quién explica el procedimiento que usó para resolver este problema?
Alumno: Yo simplemente sumé todos los costos del carro y luego sume la ganancia, eso me
dio 9.240 Bolívares Fuertes (Bs. F.)
Profesor: ¿Alguien más desea participar?
Alumno: Sacamos una suma de la compra, con los gastos de reparación y la ganancia. De
esta forma conseguimos el precio de la venta, que es de 9.240.000 Bs.
Profesor: Para resolver ese problema ustedes necesitaron aplicar algunas estrategias y
pasos, en primer lugar comprender o entender el problema. ¿Qué tuvieron que hacer para
entender el problema?
Alumnos: Sacamos los datos y las incógnitas.
Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar un a tabla
que es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.
Observador: El profesor se dedica a construir la tabla con la participación de los alumnos.
Profesor: Una vez que hemos entendido el problema y organizado la información, pasamos a
concebir o diseñar un plan para resolverlo. ¿Qué plan diseñaron ustedes?
Alumnos: Sumamos todas las cantidades.
Profesor: Bien, el plan consiste en efectuar las operaciones de adición para obtener el
precio final de venta. Luego seguimos con la aplicación o ejecución de este plan y tenemos el
resultado de 9.240 Bs. F.
Finalmente verificamos que tanto procedimiento como resultado sean correctos, ¿cómo
verificamos que esta suma está bien hecha.
Alumnos: Le restamos los costos y la ganancia, nos debe dar el precio de compra.
Profesor: Exacto, quién tiene alguna pregunta.
Observador: Ningún estudiante hace preguntas y los equipos entregan sus trabajos.
El material didáctico ofreció a los alumnos un notable apoyo en la
participación durante las sesiones de clases; en algunas oportunidades desconocían
las respuestas a las preguntas formuladas por el profesor y lograban intervenir con la
utilización de la información escrita que les aportaba la lectura de la Unidad
Didáctica durante la clase, sin embargo existían problemas para su uso fuera de las
sesiones de clases. Observemos el siguiente diálogo que transcribimos de la tercera
clase efectuada el 24-01-08:
Profesor: En la última clase estuvimos trabajando con la adición de números naturales,
¿qué aspectos se estudiaron?
Alumnos: Resolvimos problemas, utilizamos ejemplos y escribimos conceptos de suma.
Observador: El profesor hace un recuento de la clase anterior.
Profesor: ¿Cómo escribimos formalmente a la adición de números naturales?, es decir, que
símbolos utilizamos para generalizar su concepto.
Observador: Los alumnos no entienden la pregunta y el profesor explica.
Profesor: Cuando digo formalmente, quiero decir que si usamos letras, ¿cómo escribimos la
adición?
Alumnos: a b c+ =
Profesor: a y b ¿qué nombre reciben?
411
Alumnos: Sumandos y c es la suma
Profesor: Ahora ¿ qué pasa con la sustracción?. Vamos a elaborar un concepto de resta o
sustracción.
Alumnos: a b c− =
Profesor: ¿Cuáles son las partes de la sustracción?
Observador: Los alumnos no responden y algunos lo hacen con muchas dudas.
Profesor: Si hubiesen leído un poco el material didáctico todos estuvieran respondiendo, con
esto ustedes están demostrando la poca responsabilidad en su trabajo individual, al menos
eso es lo que yo puedo valorar.
Observador: Los estudiantes con ayuda del material responden a la pregunta y el profesor
escribe sus respuestas en la pizarra.
En general durante las clases los alumnos continúan participando y aportando
sus respuestas a las preguntas formuladas, específicamente en la sesión efectuada el
día 21-01-08, el profesor a través de las diapositivas incorpora nuevamente al grupo
de alumnos en el desarrollo de los contenidos sobre las operaciones y propiedades de
los sistemas numéricos. Parte del diálogo entre el profesor y los alumnos se presenta
a continuación:
Profesor: Ya hemos trabajado la parte teórica del conjunto de los números naturales, hoy
vamos a complementar con esta información lo que nos falta. En la primera diapositiva
tenemos un diagrama para representar los conjuntos numéricos, ¿qué diagrama es?
Alumnos: Es un diagrama de Venn, con los conjuntos N ,Z, Q, I, R, el conjunto de los
números reales los contiene a todos.
Profesor: ¿Qué representa cada una de las letras?
Observador: Los alumnos no responden, no identifican el símbolo de cada conjunto, sólo al
conjunto N. Luego el profesor explica el significado de cada letra N, Z, Q, I, R
Profesor: Así tenemos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, y Q ∪ I = R poco a poco vamos a ir
estudiando esta relación, por los momentos sigamos con el conjunto N. ¿Qué operaciones
tenemos en la siguiente diapositiva?
Alumnos: Las operaciones de adición y sustracción.
Profesor: ¿Qué otras operaciones se efectúan en el conjunto N?
Alumnos: Multiplicación, división.
Profesor: También tenemos a la potenciación y a la radicación. En la sustracción tenemos
dos partes minuendo y sustraendo. ¿Por qué reciben estos nombres?
Alumnos: El minuendo es el que se le está quitando y el sustraendo es lo que vamos a restar.
Profesor: ¡Muy bien! , cada nombre tiene su razón, de este modo es fácil comprender cada
concepto.
En la multiplicación se dice que efectuamos una suma de sumandos iguales, ¿por qué se dice
esto?, ¿que hacemos cuando multiplicamos?
Observador: Los alumnos no responden y el profesor usa las multiplicaciones de la
diapositiva para explicar porque los estudiantes no parecen conocer estos aspectos teóricos
de las operaciones aritméticas.
Se continúa con las partes de la multiplicación, el uso del término factor o divisor. Los
alumnos se concentran más en tomar notas, el profesor les interrumpe y les informa que esa
412
información ya la tienen en el material didáctico, por lo que no es necesario que copien
porque es más importante escuchar la explicación, sin embargo les promete que le enviará la
presentación de diapositivas por correo electrónico.
Profesor: En la división ¿qué partes identificamos?
Alumnos: Dividendo, divisor, cociente y el resto.
Observador: El profesor utiliza ejemplos adicionales y hace hincapié en el algoritmo de la
división, puesto que es la primera formula que se presenta en la aritmética. El profesor
sugiere que tomen nota de este algoritmo.
Los estudiantes participan con el profesor en la presentación y discusión de las demás
operaciones de la potenciación y radicación.
Una actitud similar se sigue observando en la resolución de operaciones
combinadas de las propiedades de la potenciación con números naturales, los
alumnos mantienen su nivel de participación y el clima social del aula se caracteriza
por ser flexible y dinámico, puesto que se evidencia la integración equilibrada de los
actores principales del proceso didáctico que se generó durante la clase. Veamos el
siguiente ejemplo:
Observador: El profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:
Simplificar la expresión siguiente indicando las propiedades utilizadas:
( ) ( ) ( )( ) ( )
33 2 2
2 3 3 2
3 25 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?
Alumnos: Por los exponentes, eliminando los paréntesis.
Profesor: ¡Fíjense!, de manera sistemática podemos resolver las expresiones que están
“desde adentro hasta afuera”, es decir, resolvemos primero las operaciones de los
paréntesis y luego eliminamos el corchete. Siguiendo este procedimiento ¿cómo quedaría el
primer paso?
Alumnos: Queda dos elevado a la seis, tres a la seis, dos a la seis…
Profesor: ¿Qué propiedad estamos aplicando?
Alumnos: Potencia de una potencia.
Observador: Los alumnos participan en la resolución del ejercicio indicando el resultado de
cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra.
En el desarrollo de las clases correspondientes a las operaciones combinadas
con números enteros, los estudiantes participan con las respuestas correctas en cada
uno de los pasos del procedimiento seguido en la resolución de este ejercicio. A
continuación presentamos parte de la transcripción de la sesión observada:
Observador: El profesor escribe el siguiente ejercicio
3 10 8 ( 4) 16 ( 25) 40− + + + − + + − + = y algunos de los alumnos participan en su
413
solución, agrupan adecuadamente los valores positivos y negativos para obtener la respuesta
correcta.
Profesor: ¿Cuál es el procedimiento que se aplica para resolver este ejercicio?, es una suma
de números enteros.
Alumno: Agrupamos los positivos y los separamos de los negativos, luego sumamos aparte
cada grupo.
Profesor: Pero antes eliminamos los paréntesis multiplicando los signos.
Profesor: Entonces ¿Cómo queda? ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?
Alumnos: Ahora nos queda10 16 40 3 25+ + − − = , luego se suman los positivos por un
lado y por el otro los negativos, 10 16 40 3 25 66 28+ + − − = −
Profesor: Ahora tenemos dos números de signos contrarios, ¿qué se hace?
Alumnos: Restamos y colocamos el signo del mayor, nos queda igual a 38.
VII.2.1.1. Reflexiones sobre las sesiones de clases
De acuerdo con las sesiones de clases observadas y analizadas podemos
señalar que los elementos y criterios señalados en la dimensión clima social y actitud
del alumno hacia las matemáticas se lograron mejorar a través de las actividades
propuestas en el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal. Se
pudo verificar una mejoría del auto-concepto del alumno ante su desempeño en las
actividades asignadas. A pesar del bajo nivel de conocimientos matemáticos relativos
a los sistemas numéricos por parte del grupo, la actitud en general fue de aceptación
y de tomar la decisión de tener éxito en las matemáticas, demostrando con esto que el
grupo tuvo una capacidad de logro aceptable para el desempeño de las tareas en la
asignatura Matemática General en los contenidos seleccionados para implementar
nuestra propuesta didáctica. Esto se complementa con la iniciativa que tuvieron los
alumnos durante el trabajo desarrollado en equipo en el transcurso de las sesiones de
clases, además del autocontrol que les caracterizó en el momento de resolver con
serenidad los problemas y ejercicios planteados durante las clases y en el material
didáctico.
Con relación a la concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los
contenidos de la asignatura de Matemática General, no pudimos apreciar situaciones
dentro de las sesiones de clase que demostraran una actitud favorable hacia los
contenidos relativos a los sistemas numéricos. En ningún momento los alumnos a
través de su discurso expresaron la utilidad de las matemáticas para enseñar a pensar,
a razonar o para su futura labor docente.
En función de la concepción que tienen los alumnos del proceso didáctico
desarrollado por el profesor, como tercer criterio de análisis en la dimensión clima
414
social del aula y actitud del alumno hacia las matemáticas, el grupo de estudiantes se
inclina de forma positiva hacia las estrategias y actividades no convencionales para
desarrollar las sesiones de clases; es decir, el procedimiento de enseñanza expositivo
no es muy aceptado y los paradigmas tradicionales como el de la transmisión verbal,
algorítmico y calculista se constituyen dentro de la práctica pedagógica como estilos
de enseñanza que deben ir en menor proporción, dando más espacio a las estrategias
de aprendizaje, actividades y recursos que activen la cooperación, participación,
comunicación e integración de los actores del proceso didáctico de las matemáticas.
Destacamos también la importancia que los alumnos le atribuyeron al
material didáctico para la Unidad de Sistemas Numéricos, diseñado y elaborado en
función de las orientaciones teóricas de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal. A pesar de no haberlo utilizado en el nivel esperado por
nosotros, los alumnos mantienen una relación más estrecha con los contenidos
matemáticos enseñados durante las sesiones de clase, y su participación en los
talleres y demás asignaciones aumentaron considerablemente desde las primeras
clases.
VII.2.2. Análisis y reflexión de los resultados de los diarios de los
alumnos sobre las sesiones de clase
Los diarios que los alumnos redactaron contribuyeron en la complementación
de la información que necesitamos para continuar nuestro proceso de análisis y
reflexión en la fase de evaluación y puesta en práctica de la propuesta didáctica o
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, en la dimensión del
clima social del aula y actitud del alumno hacia las matemáticas; en consecuencia, la
presentación de este apartado la realizaremos de acuerdo a los mismos criterios
explicados en el análisis y reflexión de las sesiones de clases.
Una de las principales características del clima social en aula es la presencia
de las interacciones entre los diferentes actores del proceso didáctico, por eso
destacamos la integración social que el Programa de autorregulación logró a través
de sus estrategias de aprendizaje, fortaleciendo en el alumno su autoconcepto en el
desempeño de las asignaciones durante las sesiones de clases, esto lo verificamos a
través de las siguientes respuestas:
415
Diario elaborado el 24-01-08:
“Desarrollamos un taller individual con ayuda del profesor y los demás compañeros
tomando los ejercicios que aparecen en la guía. Esta forma de trabajo me parece
interesante, puesto que, es una más dinámica y fácil de desarrollar los objetivos. De cierto
modo nos ayuda a todos, porque así, trabajando aprendemos y la misma vez estamos siendo
evaluados”.
Diario elaborado el 07-02-08:
“A partir del 14 de enero de 2008, el profesor cambió la perspectiva de la clase, debido a
que en el primer módulo de este sub-Proyecto la mayoría resultó aplazada. Pienso que es
una excelente idea, es práctica, dinámica, se permite trabajar en grupo, integrándonos en
toda una sección. Todo el grupo se muestra atento a su explicación durante subclases,
respondiendo interrogantes y ejercicios propuestos con mapas conceptuales, espero que
sigamos trabajando así durante el resto del semestre”.
El nivel de participación de los alumnos se incrementó gracias al estímulo de
los mismos hacia los contenidos desarrollados durante las clases; esta es la
apreciación de una de las alumnas, quien escribió en su diario lo siguiente:
“Mediante la actividad realizada en esta hora de la clase del sub-Proyecto Matemática
General pude notar el interés que tenemos algunos bachilleres por la clase y el contenido
expuesto por el profesor, que era el conjunto de los números naturales”.
Pudimos observar también en los alumnos un nivel de responsabilidad al
auto-valorarse en el desempeño y compromiso para lograr los aprendizajes
matemáticos. Señalan, además, un cambio del profesor hacia una actitud positiva y
de compromiso ante la formación de sus alumnos, veamos la transcripción del
fragmento siguiente:
“En cada clase vemos un cambio de carácter en el profesor hacia nosotros a pesar de que en
el inicio todos lo vimos estricto a la hora de dar la clase y evaluar, en el primer módulo más
de uno reprobó, no por el profesor sino por nosotros mismos por falta de interés, conciencia
e integración”.
Sin embargo, una estudiante describe impresiones opuestas a la de sus
compañeros; constata una situación en el aula que, de acuerdo con nuestro análisis,
constituye un caso específico y aislado al manifestar su desacuerdo con el grupo en
general y hace críticas contundentes sobre el comportamiento de sus compañeros de
trabajo, principalmente sobre el desempeño en las clases, responsabilidad,
416
participación y realización de las asignaciones. En efecto, en su diario escribió lo
siguiente:
“A veces me siento incómoda viendo la clase rodeada de tantas personas poco interesadas en
las clases y también porque no cuento con un buen grupo de trabajo; esas cosas me las tomo
muy a pecho”.
La actitud que demuestra esta alumna nos indica su gran auto-concepto en el
desempeño matemático, responsabilidad, capacidad de logro, iniciativa, constancia,
disciplina, participación y compromiso, algo poco común en el grupo que forma
nuestro caso de estudio; debemos destacarla de manera significativa puesto que
constituye parte de sus características personales y no son producto de las estrategias
de aprendizaje aplicadas según nuestro Programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal; esta opinión individual, a pesar de ser única, nos puede ofrecer un
panorama más realista sobre los alcances y limitaciones de la propuesta didáctica.
Las estrategias de aprendizaje que implementamos a través de nuestra
propuesta también tuvieron repercutieron sobre la comunicación entre el profesor
con los alumnos. Esta situación la pudimos observar frecuentemente en las sesiones
de clases y también en los diarios se apreció notablemente, tal y como se evidencia
en el siguiente comentario escrito por uno de los alumnos:
“Luego nos explicó las multiplicaciones en Q, donde los alumnos les formularon una serie de
preguntas y el profesor de la manera más cordial respondió y aclaró dudas a sus alumnos”.
“Lo que más nos gusta del profesor es que él pregunta, si quedamos con dudas o si
entendimos, para volver a explicar dichos problemas”.
Esto nos indica que los niveles de comunicación y participación se
incrementan con las diferentes estrategias de aprendizaje implementadas a través del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal. Por ejemplo, en los
momentos establecidos para aplicar las estrategias de aprendizaje para organizar la
información, cuyo eje central consiste en realizar una serie de actividades destinadas
a fomentar el trabajo en equipo en el que todos los actores del proceso didáctico
desarrollado en el aula de clase necesitan interactuar constantemente entre sí, a través
de la orientación que el profesor brinda. Concretamente, en el uso de las técnicas de
estudio –como la elaboración de esquemas y mapas conceptuales– y en el momento
de resolver los ejercicios y problemas planteados, la comunicación se fortalecía en la
medida que necesitaban compartir las informaciones, datos y las diferentes
estrategias para lograr la solución de los mismos, lográndose en algunos casos un
417
aprendizaje cooperativo a través de la construcción progresiva de la autorregulación
del pensamiento lógico-formal, con el cual los alumnos activaron el razonamiento
deductivo que caracteriza a las matemáticas.
La actitud del alumno durante las clases se ve modificada de acuerdo a las
estrategias de aprendizaje del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal, principalmente existe mejor actitud cuando se integran en pequeños grupos y
con la ayuda del profesor para resolver los ejercicios y problemas, mientras que en
las clases expositivas su interés, motivación y actitud en general disminuyen.
Veamos el siguiente comentario:
“Fue una clase adicional que el profesor negoció con los alumnos para verla en la tarde, la
clase trató sobre números naturales en una diapositiva, la cual al inicio me pareció
aburrida, pero interesante por la forma de explicar cada parte… las clase de matemática
siempre suelen ser aburridas, pero si el profesor aplicas técnicas de estudio, ésta será
participativa, la cual tendrá comunicación con el profesor, estudiante, estudiante-
estudiante”.
Esto nos indica que los estudiantes necesitan estrategias de aprendizaje
diseñadas y construidas bajo los fundamentos teóricos de nuestro Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal, las cuales estuvieron dirigidas hacia
un proceso didáctico adaptado a las características particulares del grupo de alumnos.
Durante el desarrollo de las sesiones de clases en el aula pudimos evidenciar que la
concepción de aprender a aprender en el alumno y la de enseñar a pensar en el
docente son orientaciones epistemológicas que se deben activar, fomentar y
consolidar; no obstante, en nuestro caso, las estrategias que se implementaron a
través de nuestra propuesta tuvieron mayor aceptación que las clases expositivas o
magistrales donde se impone el paradigma de transmisión verbal con la presencia
exclusiva del discurso del profesor como recurso de instrucción; por lo tanto, las
consecuencias son un aprendizaje sin significado por parte de los alumnos.
VII.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas
Continuando de manera ordenada y sistemática con el desarrollo de nuestro
análisis y reflexión de los datos recopilados en la tercera fase de nuestra
investigación, hemos suministrado a los alumnos las entrevistas semi-estructuradas
para obtener información complementaria, con la cual justificaremos de forma
adecuada el proceso de validación a través de la triangulación metodológica descrita
418
en el Capítulo II3. De acuerdo a las respuestas que los alumnos nos dieron en función
de los cuatro aspectos tratados en las preguntas formuladas en la guía de la entrevista
construimos las Tablas 7.8, 7.9, 7.10 y 7.11, las cuales presentamos a continuación:
Pregunta Respuestas Alumnos % Muy participativa debido al nuevo
“mecanismo de aprendizaje” todos tenemos
la oportunidad de participar y colaborar con
la clase y tenemos por beneficio aprender
mucho más.
3 12,5
No tuve participación activa, porque no
entendí el tema, sentía vergüenza ante mis
compañeros.
1 4,17
Mi actitud no fue ni de participación ni de
rechazo. 1 4,17
La actitud que tuve fue de colaboración. 2 8,33
Hay participación de todo el grupo porque la
clase ha sido clara. 1 4,17
Con la enseñanza y estrategia que está dando
el profesor hay mejor participación y
entendimiento.
3 12,5
He colaborado muy poco. 1 4,17
Participativa, me gustó la clase porque me
agrada compartir con mis amigos. 1 4,17
Me gusta mucho, usa métodos que hace que
todo el grupo se sienta a gusto en la clase,
por eso soy participativo.
1 4,17
He participado por la forma en que se han
desarrollado los talleres. 1 4,17
Es buena mi actitud y colaboración me
parece mejor la estrategia en grupo. 2 8,33
En gran parte de colaboración y
participación porque cada uno de los
alumnos tuvo algo que ver con las respuestas
de los ejercicios y problemas del taller.
2 8,33
De rechazo, no participo por miedo ya que
tenía tiempo sin estudiar. 1 4,17
1. En función de las estrategias de
enseñanza durante el desarrollo de
los contenidos que ha explicado el
profesor, ¿cómo describirías tu
actitud general durante la clase?,
¿de participación y/o
colaboración?, ¿de rechazo?
De participación principalmente cuando
tengo dudas y preguntas que hacer. 4 16,7
Tabla 7.8. Estrategias de enseñanza y actitud general del alumno.
Podemos observar en la Tabla 7.8. cómo las estrategias de aprendizaje que se
implementaron en las sesiones de clase bajo los lineamientos de la propuesta
didáctica o Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal lograron una
actitud positiva en el alumno. De acuerdo con los resultados de las entrevistas, la
mayor parte de las respuestas señalan la participación y colaboración de los
estudiantes durante las sesiones de clase, en efecto, el 12,5% menciona que la clase
es muy participativa por los “nuevos mecanismos de aprendizaje”, el 16,7% señala
su participación cuando tiene dudas y preguntas que hacer, y el 12,5% del alumnado
da la siguiente respuesta “con la enseñanza y estrategias que está dando el profesor
3 Cfr. Apartado II.1.4.1. Capítulo II.
419
hay mejor participación y entendimiento”. Sólo el 4,17% de los estudiantes expresó
su rechazo y temor a la participación durante las clases por su falta de preparación en
los contenidos tratados, y otro 4,17% señaló su poca colaboración, pero no menciona
las razones de su actitud.
Estos resultados nos demuestran cómo las estrategias de aprendizaje del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal crearon condiciones
adecuadas para la participación de los alumnos en el proceso de enseñanza,
aprendizaje y la comunicación entre los actores, contribuyendo y garantizando un
clima social del aula en donde los alumnos generaron debates, discusiones y
reflexiones, no sólo respecto al conocimiento aprendido sobre los sistemas
numéricos, sino también sobre las estrategias, procedimientos de enseñanza,
actividades y recursos de aprendizaje que utiliza el profesor para que de esta forma
contribuyan al mejor desempeño del grupo de alumnos y del docente de la asignatura
Matemática General. Cabe destacar que este fundamento lo describimos en el
objetivo 3 del Programa de autorregulación, permitiéndonos justificar este
importante alcance relativo al clima social del aula y la actitud de los alumnos hacia
las matemáticas a través de su cuarto pilar descrito en el Capítulo V4, el cual
establece el clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la perspectiva
de la interacción social entre el profesor y los alumnos, mediante la comunicación y
la participación para lograr un proceso didáctico que nos conduzca hacia la
consolidación de un verdadero aprendizaje significativo de las matemáticas.
Pregunta Respuestas Alumnos % Es buena ya que el profesor es muy
colaborador con los alumnos. 8 33,33
El profesor se muestra con respeto hacia
sus alumnos y al igual que los alumnos
hacia él.
3 12,5
Bien. El profesor sólo comenta aspectos
de la clase. 5 20,8
Hay una comunicación estrecha entre el
profesor y los alumnos. 1 4,17
Mi comunicación ha sido tranquila con el
profesor y mis compañeros. 1 4,17
Es una comunicación profesional
profesor-alumno. El profesor ha
demostrado que podemos confiar en él.
2 8,33
Hubo una relación bastante comunicativa.
El profesor rodeaba todo el salón para ver
que alumno o grupo necesitaba ayuda.
2 8,33
2. Describe brevemente ¿cómo ha
sido la relación de comunicación
personal entre tu profesor y los
alumnos durante la clase?
Con el profesor ha sido muy poca. 2 8,33
Tabla 7.9. Comunicación profesor-alumno.
4 Cfr. Apartado II.3.2.4. Capítulo V.
420
Con relación a las respuestas dadas por los alumnos sobre la comunicación
entre ellos y el profesor, de igual forma observamos una mejor relación profesor-
alumno y alumno-alumno con la puesta en práctica de las estrategias de aprendizaje
que se aplicaron de acuerdo con nuestra propuesta didáctica, la mayoría de los
estudiantes entrevistados indicaron mediante sus respuestas esta situación dentro del
clima social del aula de clase; de esta manera un 33,33% señaló que la relación entre
el profesor y ellos “es buena ya que el profesor es muy colaborador con los
alumnos” y otro 8,33% manifestó que “hubo una relación bastante comunicativa. El
profesor rodeaba todo el salón para ver qué alumno o grupo necesitaba ayuda”.
Observando el resto de las respuestas, podemos decir que según los alumnos
entrevistados existe una adecuada relación de comunicación entre los actores del
proceso didáctico desarrollado durante las sesiones de clase en las cuales se
implementó nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal,
específicamente a través de las diferentes estrategias, actividades y asignaciones del
material didáctico sobre la Unidad de Sistemas Numéricos, las cuales permitieron la
integración y la cooperación de los alumnos cuando resolvían los ejercicios y
problemas. De esta forma logramos alcanzar una aplicación importante del
constructivismo social de Vygotsky (1979) consolidando su zona de desarrollo
potencial para generar un aprendizaje sociocultural dentro de las matemáticas.
Pregunta Respuestas Alumnos % La motivación del profesor es favorable y
beneficiosa para los alumnos, porque nos
orienta.
2 8,33
Con frecuencia nos invita a tomar interés
por la asignatura. 1 4,17
Motivación con los contenidos. 8 33,3
Se han visto todos los elementos: estímulo
hacia los alumnos, motivación del profesor
y trabajo en equipo.
6 25
He observado con mayor frecuencia los
talleres en grupo, para mí es excelente. 2 8,33
Trabajo en equipo del profesor con los
alumnos. 3 12,5
3. En esta sesión de clase, ¿cuáles de
estos elementos: estímulo del
profesor hacia el alumno, motivación
del profesor hacia los contenidos que
enseña, trabajo en equipo del
profesor y alumnos; has observado
con mayor frecuencia?
El profesor nos motivó en el trabajo que
realizamos en grupo. Logró que la gran
mayoría le prestara atención, cosa que
antes no ocurría, se distraían más.
2 8,33
Tabla 7.10. Elementos frecuentes en el clima social de la clase.
Las respuestas que hemos presentado en la Tabla 7.10. correspondiente al
estímulo, motivación y trabajo en equipo como elementos que frecuentemente nos
indican un clima social del aula de clase de integración, nos revelan que existe una
presencia importante de los mismos dentro del aula. Pudimos verificar una
421
significativa motivación del profesor durante la aplicación de las estrategias del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, las respuestas que más
se destacan de los alumnos son, por ejemplo, “motivación hacia los contenidos” con
un 33,33%, “trabajo en equipo del profesor con los alumnos” con un 12,5% y el 25%
dijo observar al profesor estimular a los alumnos hacia el logro, y que estuvo
motivado para trabajar en equipo con los alumnos.
Resaltamos estos resultados por su gran importancia para reducir actitudes
negativas del alumno, tales como el complejo de inutilidad para resolver problemas,
temores hacia el profesor, la evaluación y a cometer errores en sus intervenciones
durante las clases, lo cual implica una mejor percepción y auto-concepto del alumno
hacia su desempeño matemático.
Pregunta Respuestas
Interés General: Alumnos %
Son útiles para nuestra formación
profesional. 15 62,5
Pienso que son muy útiles ya que con
ellos aprendemos a profundizar en el
tema.
1 4,17
Me parece que son de gran utilidad,
porque nuestra carrera está relacionada
con la Matemática.
3 12,5
Han servido para mi preparación ética y
profesional 1 4,17
Me parecieron muy interesantes por los
talleres que se hacen para participar 1 4,17
Me gustaron, los he aprovechado y las
clases son de gran importancia. 1 4,17
Fue una clase que jamás esperaba, y
menos en Matemática, estuvo tan
práctica como dinámica.
1 4,17
Tienen una utilidad específica ya que se
utilizó una técnica distinta a lo
acostumbrado para el desarrollo del
aprendizaje.
1 4,17
Dificultad de los contenidos:
Me dieron un conocimiento sobre
técnicas de estudio. 1 4,17
Los ejercicios fueron fáciles de entender,
ya ese contenido lo conocía pero no lo
recordaba.
1 4,17
Sólo unos pocos los comprendieron. 2 8,33
Fueron sencillos de entender. 3 12,5
4. ¿Qué impresión general te causaron
los contenidos que se desarrollaron
durante esta clase? ¿Son útiles para tu
formación profesional?, ¿no tienen
significado para ti?, ¿en general no te
interesaron?, ¿perdiste tu tiempo?,
¿fueron sencillos de entender?, ¿sólo
unos pocos los comprendieron?
A las matemáticas hay que ponerles
mucho amor y dedicación. 1 4,17
Tabla 7.11. Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante la clase.
Los alumnos destacaron la importancia de los contenidos que estudiaron
durante la Unidad Didáctica de Sistemas Numéricos, efectivamente, el 62,5% de
422
entrevistados que constituyen la mayor parte de los alumnos destacó que los
contenidos desarrollados durante las clase son útiles para su formación profesional y
el resto, es decir 37,5% señaló otras razones por las cuales representaban esta gran
importancia para con los contenidos. Sin embargo, con relación a la dificultad que les
supuso entender estos mismos contenidos, el 12,5% expresó que fueron sencillos de
entender. Si sumamos el total de las respuestas que expresaron la facilidad para
comprender los contenidos matemáticos, tenemos que un 12,51% de los estudiantes
no le atribuyó dificultad a los aprendizajes matemáticos de la Unidad Didáctica. Por
el contrario, sólo 8,33% respondió que pocos alumnos comprendieron las clases
desarrolladas sobre estos aspectos de la asignatura Matemática General.
Así podemos decir que los criterios relativos a la concepción que tiene el
alumno de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de Matemática General
y a la concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor, de acuerdo a las
entrevistas de los alumnos, son aspectos que se fueron consolidando progresivamente
durante las sesiones de clase con la implementación de las estrategias de aprendizaje
en la organización de la información y resolución de problemas que presentamos en
nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.
VII.2.4. Análisis y reflexión de los resultados de los cuestionarios de
actitud-opinión del alumno
En función de la complementariedad de análisis de datos que nos ofrece la
combinación del método cualitativo y cuantitativo que describimos en el Capítulo II5,
hemos organizado y presentado en la Tabla 7.12. los resultados de los cuestionarios
suministrados al grupo de alumnos de acuerdo con los indicadores y las preguntas
formuladas para garantizar una mayor información que nos permita lograr el último
objetivo de investigación.
Los resultados obtenidos en los ítems de los indicadores del cuestionario de
actitud reflejan un nivel positivo en esta característica personal de los alumnos; las
diferentes estrategias de aprendizaje, asignaciones y actividades del material
didáctico desarrolladas durante las sesiones de clase, según las orientaciones teóricas
del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, lograron influir
significativamente en la opinión que tenían los estudiantes de las matemáticas y
específicamente de la asignatura y del profesor.
5 Cfr. Apartado II.1.1. Capítulo II.
423
Acuerdo M.d.a. Sin opinión Med. Desac.
Desac. Nº Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
1
Impulsividad para
realizar
asignaciones.
7 26,92 8 30,77 6 23,08 1 3,85 4 15,38
2
Impulsividad. Rapidez en la
realización de
tareas
Matemáticas.
4 15,38 6 23,08 4 15,38 3 11,54 7 26,92
3 Responsabilidad. Evadir la
responsabilidad. 3 11,54 2 7,69 8 30,77 1 3,85 12 46,15
4
Ausencia de la
capacidad de
razonamiento.
7 26,92 8 30,77 3 11,54 3 11,54 5 19,23
5
Capacidad de
razonamiento. Dificultad en
asignaciones
complejas
5 19,23 6 23,08 6 23,08 3 11,54 5 19,23
6
Complejo de
inutilidad al
resolver
problemas.
2 7,69 5 19,23 4 15,38 4 15,38 10 38,46
7 Miedo al
equivocarse. 7 26,92 6 23,08 2 7,69 4 15,38 7 26,92
8 Temor al ser
evaluado. 9 34,62 6 23,08 4 15,38 2 7,69 5 19,23
9
Temor al
fracaso.
Temor hacia el
profesor. 4 15,38 7 26,92 3 11,54 2 7,69 10 38,46
10 Rechazo.
Rechazo hacia las
actividades
matemáticas.
3 11,54 3 11,54 3 11,54 3 11,54 14 53,85
11
Decisión de tener
éxito en
Matemática
20 76,92 4 15,38 0,00 2 7,69 0,00
12 Matemática como
reto para aprender. 21 80,77 2 7,69 2 7,69 1 3,85 0,00
13
Satisfacción
personal y
resolución de
problemas.
15 57,69 9 34,62 1 3,85 1 3,85 0,00
14
Capacidad de
logro.
Profesor como
estimulador del
logro de los
alumnos.
8 30,77 5 19,23 6 23,08 4 15,38 3 11,54
15 Iniciativa.
Iniciativa en el
trabajo en equipo
en las tareas
matemáticas.
5 19,23 11 42,31 6 23,08 1 3,85 3 11,54
16
Serenidad en la
resolución de
problemas.
16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00
17
Autocontrol. Preparación y
miedo a las
evaluaciones.
21 80,77 2 7,69 2 7,69 1 3,85 0,00
18 Constancia.
Perseverancia para
obtener la solución
de un problema.
6 23,08 13 50,00 7 26,92 0,00 0,00
424
Acuerdo M.d.a. Sin opinión Med. Desac.
Desac. Nº Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
19 Disciplina.
Necesidad de
ajustarse a un
horario para
estudiar
Matemática.
10 38,46 7 26,92 6 23,08 2 7,69 1 3,85
20
Matemáticas como
cálculos y reglas
para memorizar.
13 50,00 7 26,92 1 3,85 2 7,69 3 11,54
21
Memorización. El estudiante
como receptor de
como cimientos
matemáticos.
14 53,85 6 23,08 1 3,85 2 7,69 4 15,38
22
Procedimiento
en la resolución
de problemas.
Alto nivel de
complejidad. 7 26,92 5 19,23 4 15,38 7 26,92 3 11,54
23 Valoración hacia
los demás
Las matemáticas y
los genios. 2 7,69 2 7,69 7 26,92 3 11,54 12 46,15
24 Enseñan a pensar
y a razonar. 16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00
25
Utilidad de la
matemática. Utilidad en su
futura labor
profesional.
19 73,08 4 15,38 3 11,54 0,00 0,00
26 Esfuerzo propio.
Esfuerzo personal
como elemento
principal en el
éxito en las
matemáticas.
15 57,69 5 19,23 4 15,38 1 3,85 1 3,85
27 Exigencia y
pánico. 5 19,23 2 7,69 5 19,23 7 26,92 7 26,92
28
Rigurosidad en los
estilos de enseñar
de los profesores.
10 38,46 8 30,77 5 19,23 1 3,85 2 7,69
29
Posición
complaciente de
los profesores.
8 30,77 7 26,92 6 23,08 2 7,69 3 11,54
30
Exigencia del
profesor.
Calidad de
enseñanza y
exigencia del
aprendizaje
efectivo.
14 53,85 3 11,54 4 15,38 3 11,54 2 7,69
31
Profesores y la
importancia que le
dan a la
participación del
alumno.
15 57,69 6 23,08 3 11,54 2 7,69 0,00
32
Nivel de
participación. Estímulo del
alumno y su
participación en
clase.
6 23,08 9 34,62 5 19,23 1 3,85 5 19,23
33 Lenguaje
matemático.
Dificultad en la
comprensión del
lenguaje
matemático.
3 11,54 5 19,23 3 11,54 5 19,23 10 38,46
425
Acuerdo M.d.a. Sin opinión Med. Desac.
Desac. Nº Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
34
Fomento del
compromiso del
estudiante por
parte del profesor.
8 30,77 11 42,31 5 19,23 2 7,69 0,00
35
Nivel de
compromiso.
Disposición al
trabajo en equipo. 8 30,77 8 30,77 2 7,69 3 11,54 5 19,23
36
Comunicación
profesor-
alumno.
Relación amigable
sin discriminación. 12 46,15 2 7,69 4 15,38 6 23,08 2 7,69
37
Clima de
confianza
profesor-
alumno.
Confianza en el
aula para generar
intercambio de
preguntas y
respuestas.
9 34,62 9 34,62 1 3,85 2 7,69 5 19,23
38 Manejo adecuado
de la información. 20 76,92 1 3,85 4 15,38 0,00 1 3,85
39
Organización clara
y comprensible de
la información
escrita en el
pizarrón.
18 69,23 6 23,08 1 3,85 1 3,85 0,00
40
Nivel de
organización de la
información en las
clases de
Matemática y
otros sub-
proyectos.
10 38,46 12 46,15 2 7,69 1 3,85 1 3,85
41
Seguridad del
profesor en el
dominio de
contenidos.
20 76,92 4 15,38 2 7,69 0,00 0,00
42
Dominio de los
contenidos
matemáticos por
el profesor.
Utilización de
ejemplos sencillos
para el desarrollo
de las clases.
16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00
43
Utilización de
recursos para el
aprendizaje.
Uso de láminas,
diapositivas,
diagramas,
talleres.
15 57,69 8 30,77 2 7,69 0,00 1 3,85
44
Estructuración
de los
procedimientos
en la resolución
de problemas.
Descripción de
propiedades
matemáticas.
15 57,69 8 30,77 2 7,69 1 3,85 0,00
45 Información de
calificaciones. 10 38,46 5 19,23 10 38,46 1 3,85 0,00
46
Frecuencia en la
aplicación de
evaluaciones
individuales.
4 15,38 4 15,38 1 3,85 9 34,62 8 30,77
47
Proceso de
evaluación.
Evaluaciones
grupales. 12 46,15 10 38,46 1 3,85 1 3,85 2 7,69
48
Asesoría
académica del
profesor.
Cantidad de
asesoría que recibe
el alumno.
12 46,15 12 46,15 2 7,69 0,00 0,00
426
Acuerdo M.d.a. Sin opinión Med. Desac.
Desac. Nº Indicadores Ítems
F % F % F % F % F %
49
Procedimiento
de enseñanza del
profesor.
Deficiencia en
proceso de
enseñanza los
profesores.
5 19,23 6 23,08 3 11,54 6 23,08 6 23,08
50
Nivel de
compromiso del
profesor.
Actitud positiva y
de compromiso
del profesor ante
la formación de
sus alumnos.
15 57,69 7 26,92 3 11,54 1 3,85 0,00
Total de alumnos: 26 Tabla 7.12. Resultados obtenidos de las contestaciones al cuestionario de opinión para determinar el
grado de actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática General de la carrera de Educación Integral.
En primer lugar podemos señalar que la impulsividad para realizar
asignaciones es el comportamiento en el que los estudiantes expresaron tener de
manera parcial problemas; en efecto, un poco más de la mitad respondió a favor de
este indicador, concretamente el 26,92% está de acuerdo y el 30,77% medianamente
de acuerdo; por el contrario, el 15,38% está de acuerdo y el 23,08% está
medianamente de acuerdo en que responden de forma rápida sin razonar las
preguntas de matemáticas y un poco más de la mitad 56,84% está en desacuerdo.
Por el contrario destacamos la responsabilidad como una de las cualidades
señaladas por la mayor parte del grupo de alumnos encuestados; observamos que un
30,77% está medianamente en desacuerdo y un 46,12% en desacuerdo con evadir las
responsabilidades que deben asumir como alumnos de la asignatura Matemática
General. En cuanto a la capacidad de razonamiento, los alumnos tienen la impresión
de no estar utilizando todo su potencial para lograr los objetivos de aprendizaje, es
decir, han tomado conciencia sobre la responsabilidad individual en el éxito o fracaso
en la asignatura. También pudimos verificar que una gran parte de los estudiantes
indicaron estar de acuerdo y medianamente de acuerdo en tener dificultades para
iniciar actividades matemáticas complejas.
El temor al fracaso también es un comportamiento negativo que está presente
en los alumnos; el 26,92% está de acuerdo y el 23,08% medianamente de acuerdo
con tener miedo a equivocarse; asimismo, el 34,62% está de acuerdo y el 23,08%
medianamente de acuerdo en sentir temor al ser evaluado. Sin embargo, el temor
hacia el profesor diminuyó con relación a estos dos aspectos, solamente el 15,38%
estuvo de acuerdo y el 38,46% en desacuerdo con esta situación en el aula de clase.
Constatamos igualmente muy poco rechazo hacia las actividades matemáticas, sólo
un 11,54% estuvo de acuerdo con este comportamiento.
427
Los estudiantes en su mayoría estuvieron de acuerdo con que el éxito en las
matemáticas depende de ellos mismos y no a factores externos, así lo sostiene el
76,92% de los encuestados; igualmente consideran que los ejercicios y problemas de
matemática son un reto para aprender más de esta disciplina, y destacan el estímulo
hacia el logro que el profesor transmite para alcanzar el éxito en los aprendizajes.
En cuanto a la iniciativa que toman al resolver problemas en equipos de
trabajo, una considerable proporción de alumnos también expresó su acuerdo con
esta característica personal, asimismo observamos la misma situación con el
autocontrol en donde 61,54% de los alumnos está de acuerdo y el 26,92%
medianamente de acuerdo con tener serenidad para resolver problemas de
matemática y, por último, un 80,77% destaca que la seguridad y la preparación
adecuada elimina el miedo para responder las pruebas y evaluaciones de matemática.
También la constancia y la disciplina fueron consideradas como comportamientos de
gran importancia para alcanzar los logros en los aprendizajes matemáticos.
Los alumnos todavía tienen opiniones favorables hacia la visión y concepto
tradicional que se tiene de las matemáticas, en efecto, el 50% dice estar de acuerdo
en que las matemáticas son cálculos y reglas para memorizar, y el 53% considera que
el alumno es un receptor de conocimientos y el docente un transmisor de
información. Con relación al alto nivel de complejidad en el procedimiento, las
opiniones favorables y negativas de los alumnos se dividieron en iguales
proporciones; la percepción de las matemáticas como una disciplina que sólo es para
estudiantes destacados no es compartida por la mayoría del grupo, así, el 46,16% está
en desacuerdo y 11,54% medianamente en desacuerdo.
La utilidad de las matemáticas para aprender a pensar, razonar y hacia la
futura labor profesional, esfuerzo propio del estudiante y exigencia de parte del
profesor obtuvieron respuestas favorables de parte de los estudiantes encuestados.
Estos indicadores nos permiten decir una vez más que la actitud del alumno es
positiva hacia los contenidos de esta disciplina académica.
De igual forma la situación es semejante con el nivel de participación de los
alumnos en las clases de la asignatura Matemática General; el 57,69% expresó su
acuerdo y el 23,08% estuvo medianamente de acuerdo con que el profesor le
atribuyó importancia a la participación de los estudiantes. Verificamos también en el
docente la preocupación por fomentar el compromiso del alumno hacia sus
obligaciones, así como la comunicación y clima de confianza entre el profesor y los
alumnos.
428
Con relación al desempeño pedagógico del profesor en el proceso didáctico
ejecutado durante la implementación del Programa de autorregulación, constatamos
que los estudiantes en una gran proporción manifestaron su acuerdo general con el
dominio de los contenidos matemáticos que el docente desarrolló durante las clases;
el 76,92% de los estudiantes señaló el manejo adecuado de la información, el 69,23%
destacó la organización clara y comprensible de la información escrita en la pizarra,
el 76,92% la seguridad del docente en los temas impartidos, el 61,54% el uso de
ejemplos sencillos para el desarrollo de las clases y un 57,69% estuvo de acuerdo al
señalar que el docente utilizó recursos de aprendizaje no convencionales como
láminas, diapositivas, diagramas, talleres y vídeos.
De manera semejante, aproximadamente un 88% del grupo expresó opiniones
favorables hacia la estructuración de los procedimientos en la resolución de
problemas desarrollados por el profesor para lograr una mejor comprensión en los
alumnos; también pudimos apreciar una constante asesoría del profesor para orientar
a los alumnos en el proceso de aprendizaje y, finalmente, destacaron el nivel de
compromiso y actitud positiva del profesor ante la formación de sus alumnos.
En la Tabla 7.13. podemos verificar de manera resumida cómo en la mayoría
de los indicadores hubo opiniones positivas de parte de los alumnos encuestados:
Opinión Nº INDICADOR
Positiva Negativa 1 Impulsividad. X
2 Responsabilidad. X
3 Razonamiento. X
4 Temor al fracaso. X
5 Rechazo. X
6 Cap. De logro. X
7 Iniciativa. X
8 Auto-control. X
9 Constancia. X
10 Disciplina. X
11 Memorización. X
12
Complejidad en el
Procedimiento en la
resolución de problemas.
X
13 Valoración hacia los demás. X
14 Utilidad de las matemáticas. X
15 Esfuerzo propio. X
16 Exigencia del profesor. X
17 Participación. X
18 Lenguaje matemático. X
19 Compromiso. X
20 Comunicación. X
21 Dominio de contenidos por
el profesor. X
429
Opinión Nº INDICADOR
Positiva Negativa
22 Recursos para el
aprendizaje. X
23 Evaluación. X
24 Asesoría. X
25 Procedimiento de
enseñanza. X
Tabla 7.13. Presencia-ausencia de indicadores que determinan la actitud de los alumnos con relación
al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Con esta información verificamos que de veinticinco indicadores, veintitrés
de ellos, que representan el 92%, tuvieron una opinión favorable según las respuestas
de los alumnos en el cuestionario de actitud-opinión; por consiguiente, la
implementación del Programa de autorregulación tuvo un impacto contundente en la
actitud de los alumnos hacia los contenidos seleccionados de la asignatura
Matemática General, es decir en los tres criterios que constituyen la dimensión del
clima social del aula y la actitud del alumno, como lo son:
- El auto-concepto del alumno ante su desempeño de las actividades
asignadas. Los indicadores que tuvieron una opinión parcialmente
favorable en este criterio fueron la impulsividad, en la cual los alumnos
manifestaron que sus respuestas e intervenciones no son impulsivas, es
decir que existe un relativo autocontrol en sus procesos de razonamiento.
La responsabilidad fue otro de los indicadores de opinión favorable que
los llevaron a la conclusión de que el grupo en general tiene un buen auto-
concepto de su desempeño en la asignatura Matemática General. De igual
forma, tenemos con opiniones favorables indicadores tales como: temor al
fracaso, capacidad de logro, iniciativa, autocontrol, constancia y
disciplina, sin embargo de manera paradójica el rechazo se mantiene en el
grupo de alumnos y también una apreciación negativa de su capacidad de
razonamiento para resolver problemas. Esto nos indica limitaciones que
se deben superar dentro de nuestro Programa de autorregulación,
recordemos que la dimensión de actitud es una variable que necesita de un
proceso gradual y paulatino para lograr cambios significativos.
- La concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos
de la asignatura de Matemática General. En función de los resultados de
la Tabla 7.13. podemos decir que el grupo de estudiantes de la asignatura
Matemática General posee una concepción positiva hacia los contenidos
relativos a la Unidad Didáctica de Sistemas Numéricos, esto lo afirmamos
porque los alumnos no consideraron a las matemáticas como simples
430
cálculos y reglas para memorizar ni al alumno como un receptor pasivo de
conocimientos, mantienen una actitud positiva hacia lo complejo que
pueda representar para ellos el procedimiento utilizado en la resolución de
problemas y finalmente le dan una gran importancia a la utilidad de las
matemáticas para su futura labor profesional y para su formación
académica. No obstante uno de los indicadores que los alumnos
expresaron como una actitud negativa fue la del uso del lenguaje
matemático, ofreciéndonos otra de las limitaciones del Programa de
autorregulación que se tiene que redireccionar para lograr su activación y
consolidación en la comunicación, organización y presentación de la
información matemática.
- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor. Con
relación a este último criterio también podemos afirmar que los
estudiantes han expresado una actitud favorable hacia el proceso didáctico
ejecutado por el profesor bajo las orientaciones del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las
matemáticas; en la Tabla 7.13. podemos apreciar cómo los indicadores en
su mayor parte tuvieron una opinión positiva, por ejemplo la exigencia del
profesor es considerada por los alumnos como un factor decisivo para
lograr un aprendizaje significativo y un excelente nivel de formación; así
mismo, el fomento de la participación, el compromiso del profesor hacia
sus alumnos y la comunicación fueron indicadores cuya apreciación
positiva nos señala que la propuesta didáctica estuvo en una dirección y
orientación adecuadas al grupo de alumnos de nuestro estudio de casos.
Asimismo, el dominio de los contenidos por parte del profesor sigue siendo
una dimensión de gran importancia y significado para los alumnos; también lo
constituyen las dimensiones: a) utilización de recursos no convencionales para el
aprendizaje, como ilustraciones, gráficos, vídeos y diapositivas; b) la evaluación
como un proceso integral y equilibrado a través del uso complementario de los
diferentes instrumentos y actividades; y c) las pruebas de valoración, tales como
talleres, proyectos, discusiones y exposiciones. Cabe destacar que desde las
observaciones que efectuamos de las clases en el aula, la asesoría del profesor
representó siempre la principal estrategia que los alumnos utilizaron para realizar las
diferentes asignaciones del material didáctico, situación que se reiteró en los
resultados del cuestionario, tal como lo refleja la Tabla 7.13. Además, y para
finalizar, el procedimiento de enseñanza que utilizó el profesor resultó también con
una opinión y/o actitud positiva de los alumnos, demostrando con esto que los
431
fundamentos epistemológicos y las orientaciones pedagógicas del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal lograron una contundencia
considerable en la dimensión clima social del aula y actitud del alumno.
432
VII.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS
De manera semejante a la fase diagnóstica, en el proceso de recogida de datos
en esta tercera y última fase de nuestra investigación utilizamos una serie de
instrumentos que nos proporcionaron datos tanto cuantitativos como cualitativos, los
cuales han resultado significativos para realizar un análisis y reflexión desde un
enfoque cualitativo, para aproximarnos a la explicación más cercana de la realidad
del caso y contexto de estudio, desviándonos lo menos posible de la rigurosidad
científica que caracteriza a toda investigación. Cabe señalar que la gran diversidad de
información aportada por los actores del caso de estudio a través de las
transcripciones de las observaciones efectuadas por el investigador a las sesiones de
clases, de los registros obtenidos de los diarios y cuadernos de los alumnos, de las
entrevistas, de los cuestionarios de opinión y de las pruebas de valoración de
conocimientos constituyeron una amplia, compleja y nutrida estructura de datos, para
responder a las últimas interrogantes planteadas en nuestra investigación
Para garantizar un procedimiento de validación de estos resultados que nos
conduzca a la producción sistemática y coherente de las conclusiones respectivas,
presentamos la técnica de la triangulación, tal como lo explicamos en el Capítulo II.
Con el apoyo de la matriz de triangulación hemos comparado los diferentes datos
cualitativos y cuantitativos para extraer las similitudes o discrepancias que los
actores del contexto de estudio han expresado a lo largo de todo el trabajo de
implementación de la propuesta didáctica o Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal y de esta manera poder llegar a establecer los logros
alcanzados en los objetivos formulados al inicio del estudio.
Presentamos a continuación en las Tablas 7.14. y 7.15., las matrices utilizadas
para la comparación de los resultados obtenidos en los diferentes instrumentos
aplicados durante la fase de puesta en práctica y evaluación del Programa de
autorregulación.
OBJETIVO 2.6. Evaluar el programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos en los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno. DIMENSIÓN: Aprendizaje matemático
OBSERVACIONES CUADERNOS DE LOS ALUMNOS
PRUEBAS DE VALORACIÓN DE APRENDIZAJES
CUESTIONARIOS
El profesor destaca las
ventajas de la
elaboración de los
esquemas, diagramas y
En la elaboración del
primer mapa
conceptual los alumnos
se desempeñaron de
Progreso relativo en el
aprendizaje en
comparación con los
resultados de la fase de
Capacidad de
concentración para
organización de la
información.
433
cuadros para organizarla
información.
Observamos una
dificultad para entender
las instrucciones, en
asumir individualmente y
de manera independiente
el trabajo asignado, a
pesar de estar en
pequeños grupos.
Durante las exposiciones
de los alumnos la mayoría
pudo comunicar de
manera clara y ordenada
la información.
Utilización de los mapas
conceptuales por el
docente para organizar la
información.
Uso de representaciones
gráficas en la
comprensión de los
conceptos matemáticos.
Los alumnos participan
activamente con el
profesor en la resolución
de problemas, quien
introduce los pasos de
resolución de problemas
según Polya (1978).
Las respuestas que dan
los estudiantes nos
indican que hubo una
comprensión general del
procedimiento utilizado.
Una vez más con la ayuda
del profesor y el trabajo
grupal los alumnos
logran resolver los
problemas asignados.
La mayoría presenta
problemas en el uso del
lenguaje simbólico para
formalizar los conceptos y
propiedades de las
operaciones de los
números naturales.
Los alumnos parecen
comprender de manera
intuitiva las propiedades
de la potenciación.
manera exitosa.
La organización de la
información para
comunicar de manera
escrita requiere de un
considerable tiempo y
esfuerzo para
consolidarse a través
de las estrategias
aplicadas en la
propuesta didáctica.
Con relación a los
mapas conceptuales y
esquemas hubo un
considerable número
de alumnos que
lograron presentar de
manera correcta esta
asignación.
La integración entre la
orientación del
docente, el material
didáctico y el apoyo de
los alumnos hacia sus
compañeros lograron
este resultado notable
en la realización de
esta actividad, de
manera sencilla y sin
contratiempos.
El desempeño de los
alumnos en los
problemas de
aplicación, estuvo
marcado por el nivel
de complejidad.
Los estudiantes
presentaron errores en
mayor proporción la
utilización del lenguaje
escrito.
Dificultades en el uso
de signos de
agrupación para las
operaciones
combinadas tanto de
números enteros como
fraccionario.
Las situaciones más
concretas y cotidianas
revisten de significado
para el alumno el
aprendizaje que se
diagnóstico.
Ningún alumno utilizó
esquemas, mapas
conceptuales, diagramas
y representaciones
gráficas para organizar
y presentar información
en la prueba.
Interpretaciones
correctas del lenguaje
matemático utilizado
para identificar
propiedades.
En la resolución de
problemas un reducido
grupo de alumnos
lograron aplicar las
estrategias de
aprendizaje para su
resolución.
Una proporción
estimable de los alumnos
aplicaron el orden
sistemático de la
información,
seleccionaron de manera
precisa los datos e
incógnitas de los
problemas.
Pocos alumnos
estructuraron en
pequeños pasos los
ejercicios y problemas.
Aprendizaje deficiente en
la mayor parte de las
preguntas, ejercicios y
problemas planteados.
Comprensión de los
símbolos matemáticos en
la información de la
prueba de valoración.
La situación precaria se
sigue observando en las
operaciones combinadas
con fracciones.
Observamos el mismo
patrón en el progreso de
la utilización de las
estrategias para resolver
problemas.
Uso apropiado del
vocabulario para
organizar la
información
matemática.
No hubo aplicación
de las técnicas de
estudio para
organizar la
información de
manera general.
Utilización de las
estrategias de
comparación entre
los conceptos
matemáticos.
Utilización de
estrategias de
aprendizaje
relacionadas con el
razonamiento
deductivo en la
resolución de
problemas.
Lectura detenida
para extraer de
forma precisa la
información de los
problemas y
establecer la
relación entre sus
datos.
No aplican
estrategias
originales para
resolver ejercicios y
problemas.
Procesos de
abstracción y planes
en la resolución de
problemas no son
aplicadas por la
mayor parte de los
alumnos.
Dificultades en la
aplicación lenguaje
matemático.
Aplicación de la
intuición y procesos
inductivos que le
garantizan una
434
Los alumnos no logran
comprender de manera
progresiva la relación
entre propiedad-nombre-
expresión y matemática-
procedimiento.
Problemas en la
eliminación de los signos
de agrupación para
resolver las operaciones
combinadas de números
enteros.
Importancia y ventaja que
ofrece el uso del video
para despertar la
motivación en los
alumnos y lograr la
comprensión de la
relación que tiene la
Matemática con la vida
cotidiana.
El uso de ejemplos de la
vida cotidiana es un
recurso muy ilustrativo
para lograr la
comprensión del concepto
de número racional.
Los alumnos necesitaron
de la ayuda del profesor
para comprender
progresivamente el
procedimiento en la
resolución de problemas
que requieren de la
aplicación de adición de
números fraccionarios.
Los grupos que aplicaron
de manera correcta las
estrategias para
organizar la información
y resolver problemas,
también lograron aplicar
de manera efectiva los
conceptos, definiciones y
propiedades y
operaciones.
quiere lograr, al tener
una utilidad práctica
directa.
La comprensión de los
problemas que
involucran los
algoritmos para
multiplicar y dividir
fracciones no es un
aprendizaje tan
accesible para los
alumnos.
Destacamos la relativa
comprensión y
aplicación de los
conceptos, definiciones
y propiedades
involucradas en la
resolución de
ejercicios y problemas.
comprensión más
concreta de los
conceptos
matemáticos.
Tabla 7.14.: Matriz de triangulación que resume los datos más significativos obtenidos en las
diferentes técnicas e instrumentos de recolección en la dimensión Aprendizaje Matemático.
Podemos apreciar, de acuerdo a las categorías presentadas para analizar la
dimensión del aprendizaje matemático en los diferentes instrumentos, una de las
primeras inconsistencias con relación a las estrategias para la organización de la
435
información; tanto en los registros de las observaciones como en los cuadernos de los
alumnos pudimos constatar el uso de las técnicas de estudio tales como los
esquemas, diagramas, representaciones gráficas y diagramas; por el contrario, en las
pruebas de valoración y en el cuestionario no hubo resultados semejantes, con lo cual
podemos señalar con firmeza la contundencia del Programa de autorregulación sobre
este primer criterio de la dimensión aprendizaje matemático, no obstante las
opiniones de un grupo de encuestados a veces están cargadas de subjetivismo,
elemento que influye notablemente en los resultados de cualquier estudio.
Cabe destacar que en la organización general de la información, los alumnos
desde las primeras sesiones de clases presentaban problemas para seguir
instrucciones de acuerdo a las observaciones registradas, de manera similar en los
cuadernos de los alumnos se evidencia un esfuerzo y dedicación para superar las
debilidades relativas a la organización de la información matemática; luego
apreciamos un cambio en los resultados de las pruebas de valoración en donde
utilizan de manera adecuada el lenguaje matemático, y en los cuestionarios opinaron
que usaron el vocabulario apropiado para organizar información matemática y
destacan su capacidad de concentración para la organización de la información, lo
cual es significativo para las conclusiones de nuestra investigación, si realizamos un
análisis comparativo de acuerdo a los momentos en los cuales se aplicaron los
instrumentos: las observaciones al inicio y las pruebas de valoración y cuestionarios
al final respectivamente de la implementación del Programa de autorregulación; por
tanto, vemos cómo hubo un relativo progreso con relación al criterio de las
estrategias para la organización de la información en los alumnos de la Asignatura
Matemática General.
También se pueden establecer semejanzas o coherencias entre los resultados
obtenidos en las transcripciones de las sesiones de clase, los cuadernos de los
alumnos, las prueba de valoración de conocimientos y el cuestionario de estrategias
de aprendizaje, a pesar de algunas discrepancias entre las opiniones que los alumnos
expresaron en las entrevistas, cuestionarios y diarios, y su respectivo desempeño en
las pruebas de valoración y en las asignaciones realizadas en el aula de clase. Con
relación a las estrategias para resolver problemas, existe la unificación de resultados
en los cuadernos de los alumnos, pruebas de valoración y cuestionarios, los cuales
reflejan una debilidad en este criterio de la dimensión aprendizaje matemático y, en
consecuencia, el Programa de autorregulación no logró en su totalidad los objetivos
esperados; sólo en las observaciones hemos encontrado evidencias sobre la
participación de los alumnos con el profesor siguiendo los pasos de resolución de
problemas según Polya (1978).
436
El análisis comparativo que se deriva de los resultados obtenidos en los
cuatro instrumentos nos reveló una situación crítica en el nivel de aprendizaje
matemático de los alumnos en los contenidos sobre sistemas numéricos, quienes de
forma progresiva superaron las dificultades en la comprensión y aplicación de los
conceptos matemáticos involucrados en este bloque de contenido, además, desde el
inicio de las actividades se constató la inexistencia de estrategias de aprendizaje que
les facilitaran la organización de la información y la resolución de problemas,
situación que, a pesar de no consolidarse en su totalidad, también evolucionó de
manera paulatina pero no de forma contundente.
OBJETIVO 2.6. Evaluar el programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno. DIMENSIÓN: Clima social del aula y Actitud del alumno
TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA OBSERVACIONES ENTREVISTAS DIARIOS CUESTIONARIOS
Integración, participación
en las clases y
comunicación tanto de
alumnos en los equipos de
trabajo, los alumnos entre
sí y el profesor con los
alumnos.
Las estrategias aplicadas
durante las clases
aumentan la motivación de
los alumnos, quienes
participaron en las
diferentes actividades
asignadas por el profesor
de la asignatura.
Confianza de los alumnos
para intervenir en la clase
se realiza con libertad,
receptividad del profesor
hacia los diferentes
comentarios y opiniones de
los alumnos.
Sinceridad de los
estudiantes para manifestar
su actitud de rechazo hacia
las pruebas escritas del
proceso de evaluación.
Los alumnos se sintieron
con mayor confianza y
seguridad para resolver los
ejercicios y problemas
formulados gracias al
apoyo del grupo y a la
orientación constante del
Las respuestas
señalan la
participación y
colaboración de los
estudiantes durante
las sesiones de
clases.
Las estrategias de
aprendizaje bajo los
lineamientos de la
propuesta didáctica
lograron una actitud
positiva en el
alumno.
Mejor relación
profesor-alumno y
alumno-alumno con
la puesta en práctica
de la propuesta
didáctica.
Estímulo del
profesor hacia el
logro de los
aprendizajes de los
alumnos.
Motivación del
profesor para
trabajar en equipo
con los alumnos.
Los alumnos de
igual forma
destacaron la
importancia de los
contenidos que
La comunicación del
profesor con los
alumnos se observa
frecuentemente.
Comunicación y
participación se
benefician con las
diferentes estrategias
implementadas a
través del programa.
La integración social
que el programa de
autorregulación
logró a través de sus
estrategias de
aprendizaje.
La actitud del
alumno durante las
clases se ve
modificada de
acuerdo a las
estrategias de
aprendizaje,
principalmente existe
mejor actitud cuando
se integran en
pequeños grupos y
con la ayuda del
profesor para
resolver los
ejercicios y
problemas.
Estímulo hacia el logro
que el profesor les
manifiesta a los alumnos
para alcanzar el éxito en
los aprendizajes.
Impulsividad para
realizar asignaciones.
El temor al fracaso
estuvo presente en los
alumnos.
La responsabilidad en la
mayor parte del grupo de
alumnos.
La utilidad de las
matemáticas para
aprender a pensar,
razonar y hacia la futura
labor profesional,
esfuerzo propio del
estudiante y exigencia de
parte del profesor.
Conciencia sobre la
responsabilidad
individual en el éxito o
fracaso en la asignatura.
Las diferentes actividades
desarrolladas durante las
sesiones de clase
lograron influir
significativamente en la
actitud que tenían los
estudiantes hacia las
437
profesor.
Las actividades no
convencionales como la
proyección de videos,
resultó un recurso efectivo
para lograr una actitud
positiva hacia las
matemáticas, la motivación
y la participación de los
alumnos en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
ejecutado en la clase.
estudiaron durante
la unidad de
sistemas numéricos.
Una significativa
motivación del
profesor durante la
aplicación de las
estrategias del
programa.
matemáticas y
específicamente de la
asignatura y el profesor.
Profesor le atribuyó
importancia a la
participación de los
estudiantes.
Preocupación del docente
por fomentar el
compromiso del alumno
hacia sus obligaciones.
Comunicación y clima de
confianza profesor-
alumnos.
Dominio de los
contenidos matemáticos
del docente durante las
clases.
Utilización de ejemplos
sencillos para el
desarrollo de las clases.
Utilización de recursos
de aprendizaje no
convencionales como
láminas, diapositivas,
diagramas, talleres y
videos.
Tabla 7.15.: Matriz de triangulación que resume los datos más significativos obtenidos en las
diferentes técnicas e instrumentos de recolección en la dimensión Clima social del aula y Actitud del
alumno.
De manera semejante dentro de las situaciones descritas en la matriz de
triangulación, observamos una evidente similitud entre los resultados de los
instrumentos, existiendo una gran coherencia entre las observaciones que efectuamos
en las sesiones de clase y las opiniones expresadas por los alumnos en las entrevistas,
diarios y cuestionarios. Respecto al clima social del aula y la actitud de los
estudiantes hacia las matemáticas se pudo constatar una interacción y comunicación
entre los actores del proceso didáctico, así como la aceptación, participación y
colaboración de la gran parte del grupo de alumnos, como así se refleja en los
resultados de los cuatro instrumentos aplicados.
En el primer criterio, correspondiente al auto-concepto del alumno ante su
desempeño de las actividades matemáticas, podemos apreciar en las observaciones
de las clases, entrevistas, diarios y cuestionarios el desarrollo de una confianza y
responsabilidad de los alumnos para integrarse de manera notable en las actividades
programadas y ejecutadas del proceso didáctico. Las estrategias de aprendizaje
438
aplicadas de acuerdo al Programa de autorregulación lograron aumentar la
motivación y participación de los alumnos incentivando su iniciativa en la toma de
decisiones para realizar las diferentes asignaciones.
La concepción positiva que tiene el alumno de los aprendizajes de los
contenidos de la asignatura de Matemática General es otro de los criterios que
demostraron una de las fortalezas del Programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal y que está presente en los cuatro instrumentos de recolección de
información, desarrollándose en el aula la participación, comunicación y estímulo
hacia el logro. Por consiguiente, los alumnos destacaron la importancia de los
contenidos que estudiaron durante la unidad de sistemas numéricos para aprender a
pensar, razonar y hacia la futura labor profesional.
Igualmente, apreciamos la unificación de la información presentada en la
matriz de triangulación con relación a la concepción de los alumnos hacia el proceso
didáctico desarrollado por el profesor; destacamos que la actitud de los estudiantes es
positiva si en la planificación y ejecución del proceso se utilizan las estrategias,
actividades y recursos para el aprendizaje no convencionales, además de la
preocupación del docente por fomentar el compromiso de los estudiantes y su
domino de los contenidos desarrollados.
De acuerdo al análisis comparativo efectuado podemos señalar que el proceso
efectuado a través de la triangulación metodológica confirma una aceptación y
validación de los instrumentos aplicados durante la tercera fase de nuestra
investigación, en la cual implementamos y evaluamos el Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas.
439
ANEXO VII-1: Transcripciones de las sesiones de clases
Jueves 17-01-2008
Observador: El profesor inicia la clase explicando la forma de utilizar el material didáctico
y exhortando a los alumnos a tenerlo para iniciar el aprendizaje de los contenidos de la
unidad o módulo de Sistemas Numéricos. Luego escribe en la pizarra un esquema de los
aspectos que se desarrollarán durante la clase.
Profesor: Como ya lo hemos venido manejando, el título del Módulo o unidad es Sistemas
Numéricos, en la primera sesión de hoy vamos a trabajar con el Sistema de los Números
Naturales. En este esquema tenemos los aspectos más importantes que vamos a estudiar y
tienen que ver con:
- La noción de número natural.
- Conjunto de los números naturales.
- Notación, es decir, como se escribe formalmente.
- Representación gráfica.
- Breve reseña histórica.
Observador: El profesor gira instrucciones a los alumnos sobre las actividades que se
desarrollarán del material didáctico, indica la formación de pequeños grupos de trabajo y
discusión con tres personas. La mayoría de los alumnos cuentan con el material por lo que
la organización de los equipos se hace sin contratiempo.
Profesor: La primera actividad consiste en señalar de la lista de veinte (20) situaciones de la
vida cotidiana, en cuales de ellas se utilizan o están presentes los números naturales.
Por ejemplo en la primera situación dice: la temperatura promedio del día lunes en la
ciudad de Barinas fue de 32,5Cº ¿Se utilizan números naturales para presentar esta
información?
En la asignación nº1 ahí tenemos una serie de preguntas que responder. En la primera
pregunta dice: -¿Podrías dar un concepto sencillo de número natural?, creo que es un
concepto que manejamos todos en estos niveles, ¿alguien podría dar un concepto de número
natural?
Alumno: Son los números que utilizamos para contar elementos concretos del entorno que
nos rodea.
Profesor: Ese concepto está en el material, pero, el concepto de ustedes ¿cuál es?
Observador: Ningún alumno contesta la pregunta.
Profesor: Razonen un poco para que redacten este concepto de número natural en el taller.
La siguiente actividad consiste en escribir la sucesión de números naturales, esto ya lo
veníamos estudiando en el módulo de teoría de conjuntos.
Observador: El profesor sigue explicando las actividades del material y luego formula
preguntas.
Profesor: Generalmente ¿qué se utiliza para representar al conjunto de los números
naturales?
Alumno: Diagramas de Venn.
Profesor: Bien, los diagramas de Venn se utilizan para representar conjuntos finitos en la
mayoría de las veces, aunque también se utilizan para establecer las relaciones de inclusión
entre conjuntos numéricos. Pero lo se utiliza para representar al conjunto N es una semi-
recta en donde se observa la sucesión, 0,1,2,3…
440
Observador: El profesor destaca las ventajas de la elaboración de los esquemas, diagramas,
cuadros para organizarla información y explica a través del esquema que escribió en la
pizarra. Además señala que los apuntes de los alumnos no presentan en la mayoría de los
casos organización de la información y les explica que esta situación perjudica notablemente
el aprendizaje. Finalmente da oportunidad al grupo de alumnos para que formulen las
preguntas y aclaren las dudas respectivas.
Alumno: En la pregunta ¿Cómo surgieron los números naturales en las actividades
cotidianas del hombre?, ¿cómo vamos a obtener esta información?
Profesor: Razonen y reflexionen sobre como han evolucionado las civilizaciones, esto les
dará alguna idea. Al final de la clase cada equipo expondrá su trabajo para la discusión
general.
Observador: El profesor se dedica a orientar a cada equipo y los alumnos, explicando
algunos de los ejercicios. Algunos alumnos todavía no logran entender las actividades y
tienen dificultades para resolver los planteamientos.
La gran parte de los alumnos preguntar al profesor sobre la manera de presentar y
organizar la información.
Alumno: ¿Vamos a identificar dónde se utilizan números decimales?
Profesor: No, solamente en cuáles situaciones se utiliza el número natural.
Alumno: Debemos justificar las respuestas, sí eso lo indica el material, ¿ya no lo habíamos
dicho?
Alumno: El número de palabras que hay en los apuntes de matemática ¿Es un número
natural?
Profesor: ¿Las palabras se escriben incompletas?
Alumno: ¡Claro que no!, entonces sí son números naturales.
Observador: Se mantiene el intercambio de ideas entre los alumnos y el profesor quien
monitorea a cada grupo para orientarlos y contestar a las diferentes interrogantes que
formulan los alumnos.
Alumno: La mitad de la torta o pastel es un número natural
Profesor: Es un número fraccionario
Alumno: Qué ocurre con la cantidad de combustible que consumió un avión.
Profesor: Se pueden utilizar tanto naturales como decimales, eso depende de la situación.
Alumno: Profesor, ¿qué opina de este concepto de número natural?: “son sucesiones
numéricas que utilizamos en nuestra vida cotidiana para contar personas, animales o
cosas”.
Profesor: Bien, es aceptable.
Observador: Los alumnos siguen preguntando sobre las situaciones de la vida cotidiana
presentadas en el material que no distinguen si utilizan números naturales o decimales. El
profesor contesta usando otros ejemplos similares y luego señala que el momento de las
exposiciones se aproxima y solicita a los alumnos mayor fluidez en el trabajo.
En algunos trabajos a pesar de algunos errores de contenido ya se distinguen mapas
conceptuales para organizar la información solicitada.
Profesor: Vamos a iniciar la discusión, ¿alguien quiere comenzar?
Observador: De manera espontánea un representante de un grupo levanta la mano pidiendo
el derecho de palabra e inicia una exposición clara y acertada.
Profesor: Existen problemas en cuanto a las normas de presentación de los expositores,
vamos a corregir eso. Deben colocarse de pié, dirigirse con un tono de voz adecuado y mirar
al grupo con seguridad de lo que están hablando.
441
Observador: El profesor se dedica a corregir algunos errores y aclara las dudas que han
surgido sobre los conceptos de número, su reseña histórica y representación gráfica. En
cuanto a la reseña histórica hace una visión retrospectiva de los sistemas de numeración.
Profesor: ¿qué sistema de numeración utilizamos?
Alumno: Naturales.
Observador: Los demás no responden. El profesor escribe en la pizarra números romanos.
Profesor: ¿Qué sistema de numeración es este?
Alumnos: Romano.
Observador: Los alumnos identifican mejor el sistema de numeración romana, más que el
indo-arábigo. Continúan el resto de los equipos la exposición.
Profesor: ¿alguien quiere dar su opinión sobre las actividades que efectuamos durante la
clase?
Alumno: Me ha parecido una forma distinta y agradable para aprender más sobre las
matemáticas y espero que sigamos utilizando estas estrategias.
Alumno: Es una manera de integrarnos más a la clase de matemáticas y de saber cuáles son
nuestras fallas en los ejercicios.
Profesor: Esto es una estrategia para trabajar de manera progresiva los conocimientos
matemáticos de los sistemas numéricos.
Observador: El profesor reitera a los alumnos la utilización del material didáctico y da por
finalizada la clase.
442
Lunes, 21-01-08
Profesor: Hoy vamos a continuar con el Sistema de los números naturales, pero antes vamos
a repasar un poco los aspectos tratados en la clase pasada, principalmente con la
elaboración de los mapas conceptuales, diagramas y esquemas de la última parte de la
actividad. Estas estrategias nos ayudan a organizar y sintetizar la información, por ejemplo
lo que tenemos en la pizarra es un mapa conceptual del Sistema de los Números Naturales.
Observador: El profesor continúa elaborando el mapa conceptual y formula preguntas a los
alumnos.
Profesor: ¿Este sistema numérico esta formado por?
Alumnos: Por el conjunto N
Profesor: ¿Para qué usamos los números naturales?
Observador: Los alumnos tardan en contestar la pregunta.
Profesor: ¿Qué pasa?, ustedes habían escrito esa respuesta en el taller que desarrollaron.
Alumno: Se utilizan para realizar conteos de objetos.
Profesor: ¿Qué tipos de objetos? , ¿Dónde los encontramos?...
Alumnos: En nuestra vida cotidiana.
Profesor: Son elementos concretos de nuestro entorno que vemos a diario en nuestra vida
cotidiana. ¿Cuál es la sucesión de los números naturales?
Alumno: 0,1,2,3,4,5… y se representan con la semi-recta.
Profesor: Bien, ¿Qué más estudiamos de los naturales?
Alumno: Su notación, con la letra ℕ y en forma de conjunto.
Profesor: Es decir, N={0,1,2,3…}. Entonces así hemos construido el primer mapa
conceptual relacionado con los números naturales, pero faltan por agregar las operaciones
aritméticas fundamentales que corresponden al tema de hoy y se estudiarán resolviendo
tanto ejercicios como problemas de aplicación. ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?
Alumno: Adición, resta, ¿?
Observador: Los alumnos no comprender la pregunta, las palabras operaciones y
aritméticas no parecen estar dentro de su léxico y el profesor responde.
Profesor: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Observador: Luego va escribiendo en el mapa conceptual los nombres de las diferentes
operaciones y los alumnos copian en sus cuadernos la información.
El profesor organiza nuevamente a los alumnos en pequeños grupos de trabajo para
desarrollar las actividades del material didáctico.
Profesor: Son las asignaciones 2, 3 y el problema de aplicación nº 1.
Observador: Los alumnos se muestran dispuestos y motivados para efectuar el trabajo
asignado. Cabe destacar que los equipos conservan sus mismos integrantes por las
relaciones socio-afectivas que se han creado.
El profesor se acerca a una de las estudiantes y le formula preguntas para verificar la
comprensión de las instrucciones.
Profesor: Aunque el problema está resuelto en el material utilizando estrategias específicas
de resolución, ustedes deben aplicar sus propias estrategias, es decir, su creatividad para no
repetir lo que ya está escrito. Sabemos que cada persona y cada equipo tienen propuestas
diferentes para un mismo problema.
Observador: El profesor señala las 8:15 am. Como la hora para finalizar el trabajo e iniciar
las discusiones.
443
Alumno: Profesor, ¿podemos decir que la suma es la unión o enlace entre dos conjuntos?
Profesor: La unión se relaciona más al concepto de adición. Recuerde que la adición
primero es una operación aritmética, ahora ¿qué procedimiento se ejecuta? Además la
Aritmética es la rama de la Matemática que estudia los números, sus operaciones y
propiedades.
Observador: A los alumnos se les dificulta la elaboración y redacción de conceptos, la
mayoría de las hojas de trabajo presentan incoherencias en sus escritos. El profesor explica
de manera intuitiva el concepto de adición, usa ejemplos y finalmente la teoría de conjuntos.
Alumno: Al sumar una misma cantidad a un sumando, ¿Cómo? No entiendo.
Observador: Una de las actividades consistió en verificar qué le ocurre a la suma si se le
aumenta o disminuye un número cualquiera.
Profesor: ¿Cuáles son los sumandos en una suma?
Alumnos: Las cantidades que se suman. La suma cambia si aumenta uno de los sumandos.
Profesor: ¿Cómo cambia?, ¿Por qué no utilizan un ejemplo?
Alumno: ¿Cuál ejemplo?
Observador: El profesor orienta al alumno en la elaboración del ejemplo y formula
preguntas para llegar a la conclusión final. La situación se repite en los diferentes grupos.
Con relación al problema de aplicación todos se guían por el procedimiento del material
didáctico y hacen pocas preguntas.
Profesor: Vamos a dar inicio a las exposiciones, ¿quién desea comenzar?
Observador: Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la
retroalimentación a cada exposición.
Alumnos del primer equipo: “La adición es la unión de elementos de dos a más conjuntos”.
Profesor: Recuerden que es una definición intuitiva, es decir, una idea de lo que se entiende
del concepto.
Alumnos del segundo equipo: Es una operación aritmética que tiene por objetivo unir dos a
más conjuntos para obtener otro conjunto que es el resultado de dicha operación”.
Alumnos tercer equipo: “La suma está compuesta de sumandos que son los números que se
suman”.
Profesor: Ustedes ya están mencionando las partes de la adición, entonces podemos escribir
formalmente su expresión matemática, es decir, a b c+ = , donde a y b son los sumandos y
c la suma.
Observador: Las exposiciones de los equipos restantes presentan conceptos semejantes.
Finalmente el profesor utiliza diagramas y dibujos de figuras geométricas para ayudar a los
alumnos a comprender los aspectos estudiados.
Se inician las exposiciones sobre la resolución del problema de aplicación cuyo enunciado
es el siguiente:
Un auto chocado se compró en 4.500.000 Bs., al reparar la latonería se gastaron 860.000
Bs.; en ponerle cauchos y rines 620.000Bs.; en pintura 1.900.000Bs y luego al venderlo se
obtuvo una ganancia de 1.360.000B. ¿Cuál fue el precio de venta?
Profesor: El problema que se les presentó es de una situación común, es un presupuesto de
compra y venta de un vehículo.
Observador: Un estudiante lee el problema.
Profesor: ¿Qué observan en las cantidades? ¿Están actualizadas?
444
Alumnos: No, se deben ser Bolívares fuertes.
Profesor: ¿Quién explica el procedimiento que usó para resolver este problema?
Alumno: Yo simplemente sumé todos los costos del carro y luego sume la ganancia, eso me
dio 9.240 Bolívares Fuertes (Bs. F.)
Profesor: ¿Alguien más desea participar?
Alumno: Sacamos una suma de la compra, con los gastos de reparación y la ganancia. De
esta forma conseguimos el precio de la venta, que es de 9.240.000 Bs.
Profesor: Para resolver ese problema ustedes necesitaron aplicar algunas estrategias y
pasos, en primer lugar comprender o entender el problema. ¿Qué tuvieron que hacer para
entender el problema?
Alumnos: Sacamos los datos y las incógnitas.
Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar un a tabla
que es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.
Observador: El profesor se dedica a construir la tabla con la participación de los alumnos.
Profesor: Una vez que hemos entendido el problema y organizado la información, pasamos a
concebir o diseñar un plan para resolverlo. ¿Qué plan diseñaron ustedes?
Alumnos: Sumamos todas las cantidades.
Profesor: Bien, el plan consiste en efectuar las operaciones de adición para obtener el
precio final de venta. Luego seguimos con la aplicación o ejecución de este plan y tenemos el
resultado de 9.240 Bs. F.
Finalmente verificamos que tanto procedimiento como resultado sean correctos, ¿cómo
verificamos que esta suma está bien hecha?
Alumnos: Le restamos los costos y la ganancia, nos debe dar el precio de compra.
Profesor: Exacto, quién tiene alguna pregunta.
Observador: Ningún estudiante hace preguntas y los equipos entregan sus trabajos.
445
Jueves, 24-01-08
Profesor: En la última clase estuvimos trabajando con la adición de números naturales,
¿qué aspectos se estudiaron?
Alumnos: Resolvimos problemas, utilizamos ejemplos y escribimos conceptos de suma.
Observador: El profesor hace un recuento de la clase anterior.
Profesor: ¿Cómo escribimos formalmente a la adición de números naturales?, es decir, que
símbolos utilizamos para generalizar su concepto.
Observador: Los alumnos no entienden la pregunta y el profesor explica.
Profesor: Cuando digo formalmente, quiero decir que si usamos letras, ¿cómo escribimos la
adición?
Alumnos: a b c+ =
Profesor: a y b ¿qué nombre reciben?
Alumnos: Sumandos y c es la suma
Profesor: Ahora ¿qué pasa con la sustracción? Vamos a elaborar un concepto de resta o
sustracción.
Alumnos: a b c− =
Profesor: ¿Cuáles son las partes de la sustracción?
Observador: Los alumnos no responden y algunos lo hacen con muchas dudas.
Profesor: Si hubiesen leído un poco el material didáctico todos estuvieran respondiendo, con
esto ustedes están demostrando la poca responsabilidad en su trabajo individual, al menos
eso es lo que yo puedo valorar.
Observador: Los estudiantes con ayuda del material responden a la pregunta y el profesor
escribe sus respuestas en la pizarra.
Profesor: ¿Por qué al minuendo se le llama así?
Alumnos: Es la cantidad que disminuye, es decir, se le está quitando lo que indica el
sustraendo.
Profesor: Bien, también debemos tomar en cuenta que en la sustracción en N debe cumplirse
una condición para su resultado pertenezca al conjunto N, si a b c− = , a b≥ , ¿por qué?,
veamos un ejemplo: 8 3 5− = , 8 3> , por eso5 ∈ N, pero ¿qué sucede si efectuamos
3 8− ?
Alumnos: Nos da 5− , un número negativo.
Profesor: Es un número entero, no pertenece al conjunto N. ¿Qué pasa si a b= ?
Alumnos: Nos da cero.
Profesor: Continuamos ahora con la definición del producto, ¿qué es la multiplicación?,
¿qué proceso ejecutamos en esta operación?
Observador: Los alumnos se limitan a leer lo que está en el material de apoyo, el profesor
los interpela, los exhorta a participar con sus propias ideas y utiliza ejemplos cotidianos
para explicar intuitivamente el concepto de la multiplicación.
Profesor: Según los ejemplos explicados ¿qué podemos decir del concepto del producto o
multiplicación?
Alumno: Es una suma que tiene las mismas cantidades.
Profesor: Exacto, es una suma de sumandos iguales. De manera simbólica ¿cómo la
escribimos?
Alumnos: a b c× =
446
Observador: El profesor escribe tres formas , . ,a b c a b c ab c× = = =
Profesor: ¿Qué nombre recibe cada parte de la multiplicación?
Alumnos: a es el multiplicando, b es el multiplicador y c es el producto.
Profesor: a y b también reciben el nombre de factores, es decir, los factores son divisores del
producto, si 3 6 18× = , 3 y 6 dividen exactamente a 18, por eso decimos que “el orden de
los factores no altera el producto” que es la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Observador: Algunos alumnos usan la calculadora para efectuar este producto sencillo, el
profesor observa y detiene por un momento la clase para señalar las condiciones en el uso
de la calculadora, las cuales deben utilizarse para corregir resultados y no depender
totalmente de esa tecnología. Destaca el procedimiento como lo más importante de las
operaciones y exige a los alumnos no colocar el resultado directo de las calculadoras.
El profesor asigna las actividades para ser realizadas durante el resto de la clase de manera
individual, las cuales corresponden a los problemas de aplicación sobre la resta y
multiplicación en N. Los alumnos se dedican a resolver los problemas y acuden
constantemente al profesor para aclarar las dudas. Uno de los problemas era el siguiente:
Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le mandan
854Kgs., más tarde 123Kgs. menos que la primera vez y después 156Kgs. más que la
primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Observador: El problema a pesar de las preguntas de los alumnos la mayoría no tiene
dificultad para resolverlo, sólo tres alumnos no han podido terminar. Luego al concluir el
tiempo asignado para la actividad el profesor pide la participación de un alumno para que
exponga su trabajo en la pizarra.
Profesor: ¿alguien quiere pasar a la pizarra a explicar la resolución del problema?
Observador: Ninguno se atreve a pasar y el profesor señala que todos podemos ayudar a la
persona que pase y les dice que no deben tener miedo. Finalmente un alumno pasa a la
pizarra.
Profesor: Al leer el problema ¿qué entendiste?, ¿qué plan utilizaste?
Alumno: Primero se debe calcular los kilogramos de carne que han enviado y luego restarlo
de las tres toneladas que es el peso inicial. El primer lote es de 854Kg, al segundo le
restamos al primero 123Kg y el tercer envío le sumamos 156Kg al primero, eso nos da
2595Kg. Finalmente efectuamos 3000 2595 405kg kg Kg− = , que es lo que hace falta
por enviarse.
Observador: El alumno expone la información de manera organizada en la pizarra
separando los datos de las incógnitas y el plan diseñado lo ejecuta de manera coherente
conjuntamente con las operaciones involucradas. El profesor luego de monitorear el trabajo
de los alumnos destaca los logros en la mayoría del grupo en las estrategias utilizadas para
resolver el problema de aplicación.
Profesor: ¿Alguien quiere hacer alguna pregunta?
Observador: Los alumnos no formulan preguntas y el profesor explica que el problema era
sencillo por lo que no representó mayor dificultad, luego asigna otro problema ya resuelto
en el material didáctico para que lo analicen y usen otra forma para resolverlo. El problema
es el siguiente:
447
Si me sacara 25.000.000 Bs. en el kino, tendría 56.340.000Bs. Si mi hermano tiene 9.360.000
menos que yo, y mi prima 8.930.000 Bs. menos que mi hermano y yo juntos, ¿Cuánto
tenemos entre los tres?
Los alumnos se dedican a trabajar y piden asesoría al profesor, quien responde las
preguntas e inquietudes. Cabe destacar que este segundo problema ofrece mayores
dificultades a los estudiantes, aunque organizan la información, no discriminan el
procedimiento a seguir y no diseñan plan alguno porque no precisan las operaciones
aritméticas que se necesitan y en algunos casos existen errores en el cálculo de las
sustracciones.
Finalmente el profesor pide nuevamente la participación de un alumno para que exponga su
trabajo.
Profesor: Por favor vamos a escuchar la exposición de su compañera y presten atención.
Alumna: Comienzo por ordenar los datos del problema y la incógnita.
Observador: la participante ordena en la pizarra la información y el profesor va orientando,
corrigiendo y simultáneamente formula preguntas al resto de los alumno porque falta
precisión en los datos que se escriben del problema.
En estos momentos se destaca el uso de la nueva moneda y se hace la conversión hacia
bolívares fuertes, situación que supimos aprovechar para relacionar las operaciones
aritméticas con la vida cotidiana.
Alumna: Como dice que mi hermano tiene 9.360.000Bs, es decir, 9.360 Bs. F menos que yo
entonces resta y nos resulta 21.980 Bs. F.
Profesor: El problema nos plantea operaciones de adición y sustracción.
Alumna: Luego calculamos el dinero de la prima, que es 8.930 Bs. F menos que la cantidad
de dinero que tienen los hermano, eso da .44.390Bs F. Luego sumamos las tres cantidades
para saber el total de dinero, que es igual a 97.710 Bs. F.
Profesor: Muy bien, ¿alguna pregunta?
Observador: Los alumnos expresan comprensión de la resolución del problema y el profesor
asigna una vez más el estudio y resolución de los demás problemas del material didáctico,
especialmente los relacionados a la multiplicación y división en N.
448
Viernes, 25-01-08
Observador: En esta sesión el profesor trajo al aula una presentación de diapositivas en el
programa Power point y un video relacionado con la importancia de las matemáticas en
nuestra vida, titulado. “El pato Donald en el mundo de las Matemáticas” editado por Walt
Dysney en 1959.
El profesor inicia con la explicación de la relación de inclusión entre los conjuntos
numéricos utilizando un diagrama de Venn.
Profesor: Ya hemos trabajado la parte teórica del conjunto de los números naturales, hoy
vamos a complementar con esta información lo que nos falta. En la primera diapositiva
tenemos un diagrama para representar los conjuntos numéricos, ¿qué diagrama es?
Alumnos: Es un diagrama de Venn, con los conjuntos N, Z, Q, I, R, el conjunto de los
números reales los contiene a todos.
Profesor: ¿Qué representa cada una de las letras?
Observador: Los alumnos no responden, no identifican el símbolo de cada conjunto, sólo al
conjunto N. Luego el profesor explica el significado de cada letra N, Z, Q, I, R,
Profesor: Así tenemos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, y Q ∪ I = R, poco a poco vamos a ir
estudiando esta relación, por los momentos sigamos con el conjunto N. ¿Qué operaciones
tenemos en la siguiente diapositiva?
Alumnos: Las operaciones de adición y sustracción.
Profesor: ¿Qué otras operaciones se efectúan en el conjunto N?
Alumnos: Multiplicación, división.
Profesor: También tenemos a la potenciación y a la radicación. En la sustracción tenemos
dos partes minuendo y sustraendo. ¿Por qué reciben estos nombres?
Alumnos: El minuendo es el que se le está quitando y el sustraendo es lo que vamos a restar.
Profesor: ¡Muy bien! , cada nombre tiene su razón, de este modo es fácil comprender cada
concepto.
En la multiplicación se dice que efectuamos una suma de sumandos iguales, ¿por qué se dice
esto?, ¿que hacemos cuando multiplicamos?
Observador: Los alumnos no responden y el profesor usa las multiplicaciones de la
diapositiva para explicar porque los estudiantes no parecen conocer estos aspectos teóricos
de las operaciones aritméticas.
Se continúa con las partes de la multiplicación, el uso del término factor o divisor. Los
alumnos se concentran más en tomar notas, el profesor les interrumpe y les informa que esa
información ya la tienen en el material didáctico, por lo que no es necesario que copien
porque es más importante escuchar la explicación, sin embargo les promete que le enviará la
presentación de diapositivas por correo electrónico.
Profesor: En la división ¿qué partes identificamos?
Alumnos: Dividendo, divisor, cociente y el resto.
Observador: El profesor utiliza ejemplos adicionales y hace hincapié en el algoritmo de la
división, puesto que es la primera formula que se presenta en la aritmética. El profesor
sugiere que tomen nota de este algoritmo.
Los estudiantes participan con el profesor en la presentación y discusión de las demás
operaciones de la potenciación y radicación.
Profesor: En las operaciones de adición y multiplicación se cumplen algunas propiedades
las cuales pueden conseguir en sus materiales de apoyo. La primera propiedad es la
conmutativa, ¿qué significa la palabra conmutativa o conmutar?
449
Alumno: Intercambiar cosas
Profesor: Exacto, por eso tenemos que independientemente de la ubicación de los sumandos
la suma nunca se alterará. ¿Alguien podría explicar esta propiedad con sus propias
palabras?
Alumno: El orden de los factores no altera el producto.
Profesor: Hemos dicho que los factores son partes de la multiplicación, ¿qué pasa con la
suma? ¡lo acabo de decir!
Alumno: El orden de los sumandos no altera el producto.
Profesor: ¡El orden de los sumandos no altera la suma¡
Observador: El profesor continúa explicando cada propiedad utilizando el recurso de la
diapositiva, ejemplos ilustrativos y la técnica de la pregunta-respuesta para lograr la
participación de los alumnos.
Profesor: ¡Alguien podría interpretar los símbolos que tenemos en la diapositiva!
Observador: Los alumnos sólo comprenden algunos símbolos y el profesor traduce lo que
corresponde a la existencia del elemento neutro para la adición en N.
Profesor: ¿Cómo escribimos en el lenguaje simbólico la propiedad conmutativa de la
adición y multiplicación?
Observador: No responden y el profesor nuevamente interviene.
Profesor: Hasta aquí tenemos todas las propiedades para la adición y la multiplicación en el
conjunto de los números naturales, queda como asignación para ustedes elaborar un mapa
conceptual, diagrama o esquema para resumir este tema para que les ayude a comprenderlo
mejor.
A continuación vamos a presentar un vídeo que se titula “El pato Donald en la tierra de las
matemáticas” el cual ilustra de manera pedagógica la relación de las artes plásticas,
naturaleza, música, los deportes y la tecnología con las matemáticas, por favor presten
atención que hay otra asignación con respecto a este material, la cual consiste en elaborar
un ensayo destacando las partes que ustedes consideren más importantes del video.
Esperemos que este vídeo les responda la pregunta de ¿Por qué estudiamos matemática
desde que estamos en la escuela?
Observador: Se da inicio a la transmisión del video, los alumnos se concentran y toman
nota. Al finalizar el video los alumnos aplauden y el profesor los invita a exponer sus
opiniones con relación al material audiovisual.
Profesor: Ahora vamos a exponer nuestras sus opiniones con relación al video, ¿quién desea
comenzar.
Alumno: Yo logré entender que hasta cuando jugamos están las matemáticas, todo lo que
nos rodea es matemática, pero que nosotros no las apreciamos como se debería porque sin
darnos cuenta la estamos utilizando todo el tiempo.
Profesor: ¿Alguien más?
Alumno: Me ha parecido una buena estrategia para motivarnos en el estudio de las
matemáticas porque nos ayuda a comprender que nuestra vida cotidiana. Cuando
compramos, vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la
matemática y de esta manera es menos estresante para nosotros.
Observador: Otro alumno toma la palabra.
Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes así nos las veamos pero en
todo lo que nos rodea están, ¡bueno así lo veo yo!
Observador: El profesor continúa motivando para que los demás alumnos intervengan.
450
Alumno: A mí me parece que las matemáticas tienen mucho que ver con en nuestra vida
cotidiana, porque todo lo que hacemos a diario necesita de la Matemática, por ejemplo
cuando vamos al supermercado, cuando miramos la hora.
Alumna: Sin la Matemática viviríamos en un mundo desordenado, es decir el mundo tal
como lo conocemos no existiría.
Profesor: ¡Muy bien!, todas nuestras ideas, pensamientos y razonamientos los ordenamos
mejor gracias al estudio de la Matemática.
Alumno: La música tiene mucho que ver con la Matemática, muchos piensan que estudiando
las artes evitan las matemáticas pero no se dan cuenta que la pintura y la música dependen
mucho de las medidas.
Observador: Los alumnos hacen algunas preguntas sobre las asignaciones y se retiran.
451
Jueves 31-01-08
Profesor: Hoy vamos a continuar con las propiedades de la potenciación, simplificaremos
algunas expresiones utilizando estas propiedades, cuando digo simplificar quiero decir que
vamos a resolver las operaciones indicadas en el ejercicio hasta llevarlo a la mínima
expresión matemática posible o resultado final. En otras palabras, la simplificación consiste
en convertir una expresión más compleja en otra más sencilla.
Debemos tener cuidado con estas expresiones porque en la mayoría de los casos por los
procedimientos erróneos lo que se hace es complicar aún más la expresión original.
En el ejercicio se deben indicar también las propiedades que se están aplicando en cada
paso del procedimiento, esto lo hacemos con la finalidad de comprender mejor la función de
cada propiedad en la resolución del mismo.
Observador: El profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:
Simplificar la expresión siguiente indicando las propiedades utilizadas:
( ) ( ) ( )( ) ( )
33 2 2
2 3 3 2
3 25 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?
Alumnos: Por los exponentes, eliminando los paréntesis.
Profesor: ¡Fíjense!, de manera sistemática podemos resolver las expresiones que están
“desde adentro hasta afuera”, es decir, resolvemos primero las operaciones de los
paréntesis y luego eliminamos el corchete. Siguiendo este procedimiento ¿cómo quedaría el
primer paso?
Alumnos: Queda dos elevado a la seis, tres a la seis, dos a la seis…
Profesor: ¿Qué propiedad estamos aplicando?
Alumnos: Potencia de una potencia.
Observador: Los alumnos participan en la resolución del ejercicio indicando el resultado de
cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra:
( )( )( )( )( )
36 6 6 2
5 6 6
2 3 2 3
2 3 2 3
Profesor: El siguiente paso ¿cuál es?
Alumnos: Eliminando el corchete multiplicamos los exponentes, seis por tres y nos da dos a
la dieciocho, 3 a la dieciocho…
Profesor: Pero también si nos detenemos a observar el ejercicio y razonamos un poco,
podemos efectuar las operaciones dentro del corchete para tener una expresión más sencilla
de resolver, ¿qué propiedad aplicamos en las primeras potencias de la parte superior?
Alumnos: Colocamos las mismas bases y sumamos los exponentes.
Observador: Los alumnos no señalan el nombre de la propiedad.
Profesor: Es un producto de potencias de igual base, así nos quedaría el siguiente resultado.
Alumnos: Queda dos a la doce y tres a la ocho. Abajo dos a la once y tres a la siete.
Observador: El profesor escribe el resultado y propiedad aplicada.
31 2 8
1 1 7
2 .3
2 .3
Producto de potencias de igual base.
452
Profesor: Entonces tenemos esta expresión más simple, ahora ¿qué propiedad puedo aplicar
para resolver las operaciones restantes?
Observador: Ningún alumno responde.
Profesor: ¿Qué operación tenemos ahí?
Alumnos: Es una división, entonces restamos los exponentes.
Profesor: ¿Cómo queda el resultado?
Alumnos: Dos a la uno y tres a la uno.
Observador: El profesor escribe [ ]32 .3 y vuelve a preguntar el nombre de la propiedad.
Alumnos: Es una división de potencias de igual base.
Profesor: Finalmente eliminando el corchete, ¿nos quedaría?
Alumnos: dos a la tres por 3 a la 3.
Profesor: El resultado es entonces: 3 32 .3 8.27 216= = ¿qué nombre recibe este quinto y
último paso?
Alumnos: Calculamos las potencias y multiplicamos.
Profesor: Ahora para los que prefieren empezar eliminando el corchete, este procedimiento
es perfectamente válido, sólo que vamos a tener exponentes mayores en cada base.
En la parte superior nos queda, dos a la dieciocho por tres a la dieciocho por dos a la
dieciocho por tres a la seis. ¿En la parte inferior?
Alumnos: Dos a la quince por tres a la dieciocho por dos a la dieciocho por tres a la tres.
Profesor: Entonces ¿Qué propiedades hemos aplicado?
Observador: Los alumnos no responden, la mayoría sabe aplicar las propiedades pero no las
identifica por su nombre.
Profesor: Hemos aplicado potencia de un cociente y potencia de una potencia de manera
simultánea.
Observador: El profesor les da un tiempo para que los alumnos tomen nota de la clase.
Durante las clases y principalmente durante la explicación de los ejercicios muchos de los
alumnos se dedican a escribir y no prestan atención ni se concentran en el procedimiento de
resolución.
Alumno: ¿Por qué todas sus clases son así?
Profesor: ¿Cómo así?
Alumno: Todo el mundo callado, los alumnos están en silencio y no hay desorden.
Profesor: Debe ser que en la clase de Matemática se entretienen pensando y razonando
Alumno: Bueno en las otras clases la situación es diferente, nos portamos de manera
desordenada y hablamos demasiado.
Profesor: Muchachos la disciplina en el aula depende mucho del ejemplo que dé el profesor
o la profesora y esto lo deben comprender ustedes como estudiantes de educación. Si el
profesor no indica algunas reglas o contrato entre él y los alumnos en cuanto a las normas
es muy difícil que se efectúe un trabajo óptimo.
Particularmente les felicito por el comportamiento que han demostrado durante todo el
semestre espero que sigan así no sólo en Matemática sino también en el resto de las
asignaturas.
Profesor: Continuamos ahora con la última operación aritmética que es la radicación.
Cuando calculamos la raíz cuadrada o cúbica de un número, ¿qué procedimiento estamos
ejecutando?
453
Observador: Ningún alumno responde y utilizan la calculadora para determinar el resultado
de las raíces. El profesor explica el concepto de la radicación de manera intuitiva.
Profesor: Lo que hacemos al calcular la raíz cuadrada de un número se resume en encontrar
otro número que multiplicado dos veces por sí mismo sea igual al número que se le está
calculando la raíz, por ejemplo:
3
4 2 2 2 4
16 4 4 4 16
8 2 2 2 2 8
= ⇔ × =
= ⇔ × =
= ⇔ × × =
Observador: Al determinar las raíces de los ejemplos anteriores algunos alumnos todavía no
comprenden el concepto y utilizan la suma para encontrar los resultados, es decir, la raíz de
16 respondieron 8. Un alumno utiliza la calculadora pero determina la raíz cuadrada de 8,
lo que evidencia el desconocimiento de la calculadora científica, luego el profesor utiliza
esta experiencia para diferenciar los números naturales de los irracionales.
Profesor: Como podemos observar la radicación es una operación inversa de la
potenciación. En la potenciación calculamos la potencia de por ejemplo 32 8= , en la
radicación tenemos que encontrar la base 3 8 2=
Observador: Los alumnos toman nota. El profesor explica y orienta a los alumnos la
asignación nº 13 del material didáctico para entregarla la próxima clase.
Asignación N° 13: Realiza un resumen de los aspectos estudiados hasta el momento, para
ello se recomienda utilizar esquemas, diagramas o mapas conceptuales. A continuación se
ha elaborado un mapa conceptual para resumir el tema de los números naturales. Puedes
modificarlo de acuerdo a tu criterio, el objetivo es que elabores tu propio mapa, esquema o
diagrama.
Luego pide a los estudiantes estudiar e investigar las propiedades de la adición y
multiplicación del conjunto N y formula algunas preguntar para verificar los conocimientos
sobre el tema, las cuales son respondidas por la mayoría.
Profesor: ¿Qué propiedades se cumplen en la adición y multiplicación?
Alumnos: Propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro en la adición.
Profesor: ¿En la multiplicación?
Alumnos: Propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva.
Alumno: ¿Vamos a realizar un mapa conceptual de las propiedades?.
Profesor: No sólo de las propiedades sino también de todo el contenido que hemos estudiado
hasta los momentos. Fíjense que en el mapa que está en el material contiene todo esos
aspectos.
Observador: El profesor indica también el estudio del material, especialmente la resolución
de los ejercicios y problemas propuestos como parte fundamental en el aprendizaje.
Profesor: Vamos a repasar estos dos conceptos, números primos y compuestos. Esta
información ya la habíamos estudiado en la unidad pasada. ¿Quién recuerda qué es un
número primo?
Alumno: Es un número que se divide sólo entre el mismo número y la unidad.
Profesor: Exactamente, tienen sólo dos divisores, la unidad y ellos mismos. Por ejemplo si
seguimos la secuencia de los números naturales el primer número primo que encontramos es
el dos.
454
Alumnos: También el 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37…
Profesor: ¡Muy bien!, ahora ustedes les queda como asignación indicar todos los números
primos menores que 100.
Ahora ¿Cuáles son los números compuestos?
Alumno: Tienen más de dos divisores
Profesor: ¡Muy bien!, son los que no son primos, cuando construyan la tabla señalando los
primos los demás serían los números compuestos.
Observador: Los alumnos toman notas y otros se acercan al profesor para preguntar sobre el
trabajo asignado.
Profesor: Tenemos otros conceptos sencillos que estudiar, estos son el de múltiplos y
divisores de un número natural. Para que lo hagamos más práctico realicen la asignación
nº16 que dice:
“Asignación N° 16: Determinar los divisores de los siguientes números naturales:
6,8,9,12,16,18,21,22,25,26,27,36,y 45”.
Profesor: ¿Qué significado tiene la letra Z en los sistemas numéricos? O ¿qué significa
conjunto Z?
Alumno: Es el conjunto de los naturales.
Alumno: No, son los enteros
Profesor: Seguimos con el conjunto de los números enteros, que se identifica con la letra Z,
que tiene su origen en la palabra alemana zahl que significa número.
Observador: El profesor expone una breve reseña histórica de los números negativos y sus
diferentes aplicaciones, sin embargo, la forma expositiva que se utiliza como procedimiento
de enseñanza no genera motivación y atención en los alumnos.
Profesor: La representación gráfica de los números enteros, ahora no sólo tiene a los
naturales, aparecen en el lado izquierdo de la recta, otro tipo de números. ¿Cuáles son?
Alumnos: Los números negativos.
Profesor: Para observar la aplicación práctica de estos números tenemos el problema
siguiente:
“Luís tiene hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista que le cobra 10%
de interés mensual, además tiene dos recibos de electricidad y teléfono pendientes de 85.000
Bs. y 55.000 Bs. En el mes de diciembre decide cancelar sus deudas y ha cobrado 2.500.000
Bs. En aguinaldos. ¿Cuál es la situación financiera de Luís?”.
Profesor: Tienen 10 minutos para resolverlo y se organizan en pequeños grupos no mayores
de tres personas. Recuerden que pueden utilizar sus propias estrategias o seguir las que
hemos utilizado en el material didáctico y las clases.
Observador: El profesor resuelve el problema con la participación del grupo de estudiantes
y hace preguntas para verificar la comprensión del procedimiento y estrategias utilizadas.
Destaca también la diferencia entre el procedimiento y operaciones aritméticas, porque en
los problemas su resolución debe tener una estructura coherente sin importar el número de
pasos que se utilicen, de esa manera es que se ordena el conocimiento matemático.
Observador: Aunque el problema no ofreció dificultad para la mayoría de los alumnos, el
profesor coloca este otro problema para profundizar sobre el uso de los números enteros.
Un submarino está en la superficie del océano, desciende 100 metros, al cabo de 5 minutos
desciende 150 metros, a los 10 segundos su capitán decide ascender 180 metros y finalmente
455
a las 2 horas hace un último descenso de 480 metros. ¿ A qué distancia se encuentra de la
superficie?
Los estudiantes se dedican a resolverlo y buscan la asesoría del profesor para aclarar sus
dudas.
Alumno: ¿Esto también va para la prueba escrita?
Profesor: ¡Por su puesto!
Observador: Los alumnos expresan preocupación por la cantidad de información a ser
evaluada en la prueba de conocimientos.
Alumno: Profesor espero que en esa prueba sea flexible con nosotros.
Profesor: ¿Todavía quieren más concesiones? Pienso que con los talleres pueden tener una
gran ayuda sólo tienen que aprovecharla al máximo.
Alumnos: ¿Cómo hacemos para sumar?
Profesor: Es un problema de distancias tanto positivas como negativas, por ejemplo las
distancias bajo la superficie del mar se les consideran negativas, al igual bajo el suelo
cuando necesitamos indicar la profundidad de un taladro de un pozo petrolero.
Alumno: ¿Vamos a sumar las distancias que asciende y luego las que desciende?, ¿y luego
qué?
Profesor: Exacto coloquen con signos positivos los metros que asciende el submarino y con
signo negativo los metros que desciende, al efectuar esta suma de números enteros tenemos
la posición del mismo.
Observador: Los alumnos efectúan las operaciones del problema y entregan sus trabajos.
456
Jueves, 07-02-08
Profesor: Tenemos en la pizarra un esquema para resumir todos los aspectos que hemos
estudiado del conjunto Z, recuerden que estamos utilizando mapas conceptuales, esquemas y
diagramas como estrategias de organización de la información que nos ayudan en el
aprendizaje de los conceptos, definiciones y propiedades. ¿Alguien podría dar ejemplos del
uso de los números negativos en la vida cotidiana?
Alumnos: Para escribir las deudas, para las temperaturas muy frías.
Profesor: ¿Qué zonas geográficas tienen temperaturas bajo cero?
Alumnos: En Mérida, en el Pico Bolívar.
Profesor: En esta época del año también hay temperaturas bajo cero en los países del
Hemisferio norte tales como Estados Unidos de Norte América, y en Europa países como
Alemania, España, Italia, Francia… Ahora ¿Qué civilización utilizó por primera vez los
números negativos?
Observador: Los alumnos no responden.
Profesor: Es un tema que pueden investigar, pero en la clase pasada explicamos que fueron
los chinos hacia el 220 A. C. También utilizamos la recta para representar al conjunto de los
números enteros. ¿Quién pasa a la pizarra a escribir esta representación gráfica?
Alumnos: Los negativos están a la izquierda y los positivos a la derecha.
Observador: Los alumnos prefieren contestar desde sus asientos y el profesor coloca las
respuestas en el pizarrón. Con el esquema el profesor hace un resumen de todos los aspectos
estudiados del conjunto Z.
Profesor: En el día de hoy vamos a trabajar con operaciones en Z, este ejercicio que
tenemos aquí se le llama suma algebraica porque tenemos que considerar las expresiones
tanto positivas como negativas.
Observador: El profesor escribe el siguiente ejercicio
3 10 8 ( 4) 16 ( 25) 40− + + + − + + − + = y algunos de los alumnos participan en su
solución, agrupan adecuadamente los valores positivos y negativos para obtener la respuesta
correcta.
Profesor: ¿Cuál es el procedimiento que se aplica para resolver este ejercicio?, es una suma
de números enteros.
Alumno: Agrupamos los positivos y los separamos de los negativos, luego sumamos aparte
cada grupo.
Profesor: Pero antes eliminamos los paréntesis multiplicando los signos.
Profesor: Entonces ¿Cómo queda?, ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?
Alumnos: Ahora nos queda10 16 40 3 25+ + − − = , luego se suman los positivos por un
lado y por el otro los negativos, 10 16 40 3 25 66 28+ + − − = −
Profesor: Ahora tenemos dos números de signos contrarios, ¿qué se hace?
Alumnos: Restamos y colocamos el signo del mayor, nos queda igual a 38.
Profesor: Colocamos el signo de la expresión de mayor valor absoluto. Vamos a restar
ahora en el conjunto Z, ¿cómo resolvemos esta operación? 2 ( 8)− − − =
Alumnos: Multiplicamos los signos y queda 2 8 6− + =
Profesor: Muy bien, recordemos la ley de los signos, signos diferentes se restan y colocamos
el signo del número con mayor valor absoluto.
Ahora que pasa con el producto de números enteros, por ejemplo: ( 2)(3)( 5)− − =
457
Alumnos: Multiplicamos los signos y luego las cantidades, es decir, ( 2)(3)( 5) 30− − = − .
Profesor: Ustedes nunca se han preguntado el porque de la ley de los signos, ¿por qué
menos por menos es más o más por menos es menos?, esta ley es para la multiplicación y
división.
Observador: El profesor hace un resumen en una tabla de la ley de los signos y utiliza el
siguiente ejemplo práctico del material didáctico:
El amigo (+) de mi amigo (+) es mi amigo (+)
El amigo (+) de mi enemigo ( − ) es mi enemigo ( − )
El enemigo ( − ) de mi amigo (+) es mi enemigo ( − )
El enemigo ( − ) de mi enemigo ( − ) es mi amigo (+)
Profesor: El siguiente ejemplo: ( 1)( 8)( 3)− − − = , ¡está sencillo!
Alumnos: 24−
Profesor: En la división ¿cómo resolvemos las operaciones?, por ejemplo ( 18) ( 3)− ÷ − = ,
aquí también aplicamos la ley de los signos, ¿menos entre menos?
Alumnos: Más y 18 3 6÷ = , nos queda 3 positivo.
Profesor: Entonces de esta manera hemos estudiado las operaciones de adición, sustracción,
producto y división en el conjunto Z.
Nos queda la potenciación en donde se aplican las mismas propiedades de la potenciación
en, N, sólo hay que tener en cuenta las bases negativas, por ejemplo:
Si tengo ( )22− , ¿eso igual a?
Alumno: 4
Profesor: ¿Cómo llegaron a ese resultado?
Alumnos: Multiplicamos ( ) ( )2 2 4− − =
Profesor: Ahora si tengo ( )32− , ¿cuál es el resultado?.
Alumno: Queda negativo
Profesor: ¿Por qué?
Alumno: Al multiplicar tres veces el signo menos, nos da negativo ( ) ( ) ( )2 2 2 8− − − = −
Profesor: ¿Qué conclusión podemos establecer con las bases negativas?
Alumno: Si el exponente es par los da positiva y si es impar el resultado es negativo.
Profesor: Entonces podemos escribir lo siguiente: a∀ ∈ℤ , se cumple que si n es par y
0 0na a< ⇒ ≥ o si n es impar y 0 0na a< ⇒ <
Observador: El profesor orienta a los alumnos en la interpretación del lenguaje simbólico
para expresar la propiedad y luego explica más ejemplos para que el grupo comprenda su
aplicación.
Profesor: Vamos a resolver los ejercicios siguientes para ilustrar mejor las propiedades de
la potenciación en Z:
( ) ( )( )( )2 22 3 2 3− − − − ¿qué propiedad puedo aplicar?
Observador: No hay respuesta de los alumnos
Profesor: Hemos dicho que se aplican las mismas propiedades, en el ejercicio tenemos un
producto de potencias de igual base, después de multiplicar ¿cuáles son los exponentes de -2
y -3?
458
Alumno: ( ) ( )3 32 3− − , que es igual a ( )( )8 27 216− − = .
Profesor: Luego tenemos este otro ejemplo: ( ) ( )( ) ( )
3 5
2 3
2 3
2 3
− −=
− −, ¿qué propiedad se aplica?
Alumnos: Restamos los exponentes y queda ( ) ( )22 3 18− − =
Profesor: Muy bien, resuelvan ustedes el siguiente: ( )
( )
33
22
2
2
− = −
Alumnos: Ahí aplicamos potencia de una potencia y es igual a ( )( )
9
4
2
2
−
−, luego es una
división y restamos los exponentes ( )52 32− = − .
Observador: Generalmente los alumnos que se ubican en las primeras filas de la clase
contestan y participan en las clases de tipo expositiva que el profesor desarrolla, pero este
comportamiento se observa también cuando trabajan en pequeños grupos, son los mismos
alumnos que mantienen su participación tanto en el trabajo de los talleres como en las
preguntas que formulan al profesor.
Profesor: Este último ejercicio, nos ofrece una combinación de las distintas propiedades:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
23 2 2 3
4 3 2
2 3 2 3
2 3 3
− − − −=
− − −
, ¿Qué propiedades se aplican?, ¿cuál sería el primer
paso?
Observador: Los alumnos responden el resultado de cada operación pero no utilizan el
nombre de la propiedad involucrada, al final el profesor les concede un tiempo para que
resuelvan el ejercicio propuesto y verifica el progreso de cada alumno.
Al terminar el tiempo el profesor inicia la discusión del ejercicio y un alumno pasa a la
pizarra. El ejercicio se desarrolla prácticamente con la participación abierta del resto del
grupo y del profesor quien va orientando y corrigiendo los errores. La mayoría demuestra
un relativo aprendizaje en el uso de las propiedades de la potenciación.
Profesor: ¡Bien!, ¿Qué hicieron en el primer paso?
Alumnos: Ubicamos las potencias de igual base y sumamos exponentes.
Observador: El alumno escribe en la pizarra ( ) ( )( ) ( )
25 5
4 5
2 3
2 3
− −=
− −
, luego el alumno continúa
y escribe ( ) ( )2
02 3 − − =
Profesor: ¿Cuáles propiedades aplicamos?
Alumno: Producto y división de potencias de igual base. Luego nos queda…
Profesor: ¿Qué dicen ustedes?
Alumnos: Sí profesor, luego menos tres a la cero es uno y ( ) ( )2 22 2 4− = − =
Profesor: ¿Alguien tiene dudas o quiere hacer alguna otra pregunta?
459
Observador: El grupo de estudiantes manifiestan satisfacción por la explicación del ejercicio
y no hacen más preguntas. Inmediatamente se coloca otro ejercicio que corresponde al uso
de signos de agrupación para efectuar operaciones combinadas.
Profesor: Vamos a revisar ¿cómo están con la eliminación de signos de agrupación?
Resuelvan el siguiente ejercicio:
( ) ( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 2 3 2 3 2 5 5 1 − − − − + ÷ − + + − −
Observador: Los alumnos consultan con frecuencia al profesor y verificamos problemas en
la eliminación de signos de agrupación, puesto que no comprenden qué operación resolver
primero y cometen errores como el de sumar al resultado de ( )103 2− + 5− antes de
efectuar la división. Al final el profesor tiene que recurrir nuevamente a la clase expositiva
para explicar el ejercicio y formula preguntas para verificar la comprensión de cada paso en
el procedimiento.
Profesor: Podemos iniciar eliminando las llaves multiplicando menos dos por menos tres,
sin embargo si revisamos las operaciones internas que están en los paréntesis podemos
resumir un poco el trabajo, veamos: ¿cuáles son los resultados de las operaciones entre los
paréntesis?
Alumnos: ( )( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 1 1 5 4 − − − − ÷ − + −
Profesor: Entonces resolviendo las potencias y productos nos queda:
( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 5 4 2 3 1 1 20− − − ÷ − + − = − − − ÷ − + − , ahora ¿cuál
es el resultado de las operaciones que encierra el corchete?
Alumnos: [ ]{ } [ ]{ }2 3 1 20 2 3 19− − − = − − −
Profesor: ¿Qué indican las llaves y el corchete?
Alumnos: Restamos.
Profesor: Es una multiplicación, es un error que cometen muchos de ustedes, entonces si
efectuamos el producto ¿nos quedaría igual a?
Alumnos: 114−
Alumnos: Es negativo ¿por qué todos son negativos?
Profesor: Es la ley de los signos, ¿qué pasa?, ¡ya lo habíamos explicado!, tienen que revisar
más el material de apoyo. Ahora vamos a utilizar 10 minutos para que resuelvan el siguiente
ejercicio.
Observador: Los alumnos empiezan a resolver el ejercicio de la misma naturaleza que el
anterior y los alumnos siguen formulando preguntas porque prevalecen los problemas en la
eliminación de los signos de agrupación. El profesor retoma la clase y con la participación
de los estudiantes lo resuelve. El bajo nivel de aprendizajes básicos obstaculiza el trabajo de
la mayoría de los alumnos, aunque son contenidos que debieron aprender durante la
Educación Básica parece que es la primera vez que los estudian.
El profesor asigna el estudio de algunos aspectos que se estudiarán en la próxima clase.
460
Lunes, 11-02-08
Profesor: Vamos estudiar en la clase de hoy el conjunto de los números racionales, el cual lo
simbolizamos con la letra Q, primero discutamos algunos conceptos, ¿qué investigaron del
concepto de fracción?
Observador: Sólo dos estudiantes participan y exponen un concepto de fracción. El resto se
limita a escuchar la explicación del profesor.
Profesor: ¿Cómo representamos una fracción?
Observador: No hay respuesta de los alumnos y el profesor utiliza un rectángulo lo divide en
cuatro partes iguales para explicar el concepto de fracción. Luego hace preguntas con
relación a las partes de una fracción, los alumnos logran identificarlas sin problemas.
El profesor utiliza el concepto de fracción para introducir el concepto de número racional.
Profesor: Vamos a resolver este pequeño problema: Busquemos un número que multiplicado
por dos sea igual a uno,¿existe ese número?, ¿cómo planteamos este problema? Recuerden
las estrategias de resolución de problemas que hemos usado. ¿Cuál es la incógnita?, ¿cuáles
son los datos?
Alumnos: ¿Es un número que multiplicado por dos sea igual a uno?
Profesor: Sí , ahora nos queda así: x : es el número buscado, entonces al multiplicar por
dos nos queda 2 1x = y 1
2x = , es decir, es una fracción por eso a simple vista mucho de
ustedes no encontraban el número porque estaban pensando en números naturales o enteros.
Podemos ver que es una situación que nos llevan a la necesidad de utilizar números
fraccionarios, los cuales tienen su expresión decimal.
Busquemos ahora ejemplos de la vida cotidiana que tengan relación con las fracciones,
¿investigaron? ¿Quiénes trajeron ejemplos?
Alumna: Este puede ser uno, faltan un cuarto para las tres.
Profesor: Cada fracción tiene su expresión decimal, ¿cuál es la expresión decimal de tres
cuartos?, cuántos céntimos tiene tres cuartos de un Bolívar?
Observador: No hay respuesta y el profesor efectúa la división correspondiente para
explicar la forma de hallar la expresión decimal.
Profesor: ¡Simple!, dividimos tres entre cuatro, ¿cuál es el resultado?
Alumno: 0,75
Profesor: Entonces, ¿cuántos céntimos son?
Alumno: Son 75 céntimos de Bolívar.
Profesor: ¿Qué fracción representan 50 céntimos?
Alumnos: La mitad, es decir, un medio.
Profesor: En el ejemplo de la hora, ¿cuántos minutos faltan para las tres?
Alumno: Son 15 minutos que son la cuarta parte de una hora.
Profesor: ¡Perfecto!, discutamos otros ejemplos, ¿quién desea participar?
Alumno: Cuando dividimos una torta en cuatro partes iguales en una fiesta.
Profesor: Sí, pero en una fiesta hay más de cuatro personas, si hay 8 personas ¿qué fracción
es cada pedazo?, ¿si hay 10?, ¿si hay 12?
Alumnos: Si la repartimos entre 8 personas sería un octavo; diez, un décimo o doce en
doceavos.
Otro ejemplo es en el uso de mediadas para líquidos, siempre compramos un cuarto de litro,
medio litro o un litro, porque son los recipientes más usados.
461
Profesor: En la actividad nº 1 del material identificamos situaciones de la vida cotidiana en
las que se utilizan números naturales, ahora vamos a identificar también aquéllas que
utilizan números racionales o decimales.
Observador: Los alumnos identifican cada situación y el profesor orienta para que
justifiquen sus respuestas.
Con ayuda del material didáctico el profesor les indica las formas de representar al conjunto
de los racionales, por un lado señala su determinación por extensión y por otra su
representación gráfica utilizando la recta numérica.
Los alumnos establecen la relación entre cada fracción con un punto de la recta numérica,
es decir, ubican de manera correcta cada expresión decimal de la fracción respectiva.
Al final de la discusión sobre la noción de número racional, ejemplos y representación
gráfica, el profesor escribe la definición más formal usando la notación por comprensión de
conjunto y explica su significado.
Profesor: La definición formal de número racional la escribimos de la manera siguiente:
Q={a
b/a, b∈y b≠0} ¿Por qué b es diferente de cero?
Observador: Los alumnos no entienden la pregunta.
Profesor: Si dividimos entre cero ¿qué sucede?
Alumnos: Nos da cero.
Profesor: Están seguros de lo que dicen, efectúen un ejemplo y observen qué sucede.
Alumnos: No se puede hacer, además en la calculadora marca error.
Profesor: Entonces ¿cuál es la conclusión?
Alumnos: No se puede dividir entre cero, por eso b el denominador no puede ser cero.
Profesor: Vamos a trabajar con la representación gráfica y numérica de fracciones, para
esto disponemos de 10 minutos.
Observador: los ejercicios se refieren a la relación entre expresión numérica y gráfica de
una fracción, por ejemplo: Utilizar un rectángulo para representar dos quintos o identificar
qué fracción representa una sección de un círculo.
El profesor orienta a los estudiantes para resolver estos ejercicios, la mayoría parece
comprender la relación gráfica-numérica y numérica-gráfica.
Luego continúa la clase con las operaciones entre fracciones, para ello sigue utilizando el
procedimiento socrático para apoyarse en los aprendizajes previos de los alumnos.
Profesor: Vamos a repasar las operaciones entre números racionales, ¿Cómo sumamos dos
fracciones?, ¿qué diferencia hay entre estas sumas? 2 5 4
3 3 3+ + = y
1 3 1
2 4 8+ + =
Alumnos: La primera tienen igual denominador y la segunda suma las fracciones tienen
diferente denominador.
Profesor: Si tienen igual denominador, ¿cuál es el procedimiento para efectuar la suma?
Alumnos: Sumamos los numeradores y se coloca el mismo denominador.
Profesor: ¿Por qué colocamos el mismo denominador?
Observador: Los alumnos no responden y el profesor utiliza la representación gráfica de las
fracciones para explicar.
Profesor: ¿Qué observamos de las figuras?
Alumnos: Todos los rectángulos están divididos en tres partes iguales.
Profesor: Entonces si cada pedazo son terceras partes, lo que hacemos es sumarlos y por eso
queda el mismo denominador.
462
El segundo ejemplo tiene diferentes denominadores, ¿cómo se suman?
Observador: Los alumnos no responden.
Profesor: Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero ¿quién
recuerda el procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo entre dos o más
números?
Observador: Tampoco participan, luego el profesor hace la descomposición de los números
y pregunta por el nombre del método, ningún alumno responde.
Profesor: Esta forma de calcular el m.c.m. utiliza la descomposición de factores primos de
los números y multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
para obtener el resultado. Les recomiendo que investiguen más sobre este aspecto en el
material didáctico o en cualquier otro libro que prefieran, ¡me sorprende que todavía no lo
hayan estudiado!
Observador: El profesor explica el procedimiento ante la mirada un poco pasiva del grupo
de alumnos. Todo parece indicar que los alumnos no recordaban nada sobre el concepto de
mínimo común múltiplo.
Profesor: Esta suma también la podemos resolver gráficamente y haciendo uso de fracciones
equivalentes, por ejemplo 1 2 4
2 4 8= = y
3 6
4 8= , de esta manera tenemos rectángulos
divididos todos en octavas partes.
Observador: El profesor utiliza nuevamente los rectángulos para explicar este procedimiento
Alumno: Entonces podemos sumar todo como si tuvieran igual denominador,
4 6 1 11
8 8 8 8+ + =
Profesor: Exacto, ahora tienen dos maneras de efectuar la adición de fracciones con
diferentes denominadores.
Observador: El profesor continúa con la sustracción y los alumnos participan un poco más,
puesto que ya han comprendido el procedimiento el cual es semejante para sumar y restar.
Con relación a la multiplicación y división de fracciones la mayoría participa, se puede
notar que hay menos dificultades para comprender los procedimientos con relación a los
utilizados en la adición y sustracción.
Profesor: Ahora resolverán los problemas de las asignaciones 20, 22 y 28 del material
didáctico para que pongan en práctica las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división de números fraccionarios en situaciones de la vida cotidiana.
Observador: Los alumnos intentan formar grupos numerosos y el profesor les recuerda que
son grupos pequeños no mayores de tres estudiantes. El profesor continúa orientando a los
grupos y en algunas oportunidades establece un diálogo informal para establecer más
confianza con los estudiantes. Además ofrece atención individual a los que preguntan sobre
los ejercicios y problemas planteados en el material.
El primer problema es el siguiente: La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres
cuartos Kg. de papas, 5 y medio Kg. de tomate, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame,
6 Kg. de zanahoria y tres cuartos Kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de
1500 Bs. Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?
Alumno: ¿Necesito aplicar los pasos que hemos utilizado en los demás problemas?
Profesor: Sí necesitas hacerlo para que te ayuden a organizar la información y tener más
coherencia en lo que haces.
Alumno: Hay números entero y fracciones, ¿cómo hago para sumar?
463
Profesor: Primero intenta comprender el problema, selecciona los datos y sepáralos de la
incógnita, así verás mejor el plan que debes aplicar para resolverlo y recuerda que puedes
resumir operaciones al sumar primero los números naturales y los fraccionarios por
separado luego efectúas la adición entre estos dos, ¿entiendes lo que te explico?
Alumno: Es decir, sumo primero 12Kg.+5Kg +3Kg +4Kg +6Kg y luego
3 1 1 3Kg Kg Kg Kg
4 2 4 4+ + +
Profesor: ¡Exacto!, ahora ¿qué operación hace falta?
Alumno: Sumo los dos resultados y multiplico por el precio de 1500 Bs. o 1,5 Bs F. ¡ese es el
resultado de la compra!
Profesor: Bien ahora puedes ayudar a tus compañeros de equipo con el problema.
Observador: Luego de unos minutos de orientar y monitorear a cada grupo el profesor toma
la palabra y se dirige a todos.
Profesor: Muchos de ustedes todavía tienen dificultades para entender los problemas que se
les plantean, muy pocos de los grupos han dividido en los pasos el problema y han
determinado correctamente el plan de resolución. Necesitan leer bien el enunciado para
establecer las operaciones a efectuar, discriminar o separar correctamente la información
para organizarla en el cuadro, de lo contrario será más complicado para ustedes.
Observador: Algunos de los alumnos piden al profesor que les explique el método para
sumar fracciones con el mínimo común múltiplo, este algoritmo ofrece todavía muchas
dificultades a los estudiantes a pesar de que el profesor lo explicó en clase, esta desarrollado
en el material didáctico y se ofrece ayuda individualizada, todo parece indicar que no hay
evidencia del esfuerzo personal o individual que el estudiante debe hacer para su
aprendizaje.
Profesor: Les recuerdo que la próxima semana es la prueba escrita para que tomen las
previsiones que les corresponde.
Observador: Los alumnos se muestran sorprendidos y manifiestan un poco de rechazo hacia
la actividad de evaluación. El profesor les insiste en el trabajo adicional que deben hacer
con el material para apoyar el aprendizaje de manera individual además de las actividades y
talleres que se han efectuado en el aula de clase.
Con relación a los problemas de las asignaciones 22 y 23 prácticamente todos necesitaron
de la orientación del profesor para resolverlos, se necesita más tiempo y esfuerzo para
lograr que los alumnos utilicen estrategias de aprendizaje que activen el pensamiento lógico-
formal.
Para terminar la clase el profesor asigna a los estudiantes investigar o preparar la
información sobre las propiedades de la adición, multiplicación y potenciación de números
racionales.
464
Jueves, 14-02-08
Profesor: Hoy vamos a estudiar las propiedades de los conjuntos Z y Q, hasta los momentos
sólo hemos resuelto ejercicios y problemas de aplicación. ¿Cuáles propiedades se cumplen
en estos dos conjuntos?, veamos si han utilizado el material didáctico para investigar esto.
Alumno: Elemento neutro, asociativa, conmutativa…
Profesor: Entonces podemos ver que se cumplen las mismas propiedades para la adición y
multiplicación de números naturales, sin embargo existe una propiedad nueva en los enteros,
que es la existencia de inversos aditivos o elementos opuestos, ¡alguien quiere explicar en
que consiste esta propiedad por favor!
Observador: Ningún alumno participa, la forma como revisan el material nos permite
deducir que no investigaron la información. El profesor utiliza algunos ejemplos para
obtener las respuestas.
Profesor: ¿Cuál es el opuesto de 2?
Alumnos: Es menos dos -2.
Profesor: Si tengo -5, ¿Cuál es el opuesto?
Alumnos: Es 5.
Profesor: ¿Qué sucede si sumamos 2 con su opuesto?, es decir, 2 ( 2)+ − =
Alumnos: Nos da cero.
Profesor: ¿Qué función cumple el cero en la adición?
Alumnos: Es el elemento neutro.
Profesor: Entonces podemos escribir de manera formal que ∀ a∈ Z, 'a /a+ 'a =0, es decir
'a a= − el opuesto o inverso aditivo de a es a− .
En el conjunto Q, ¿cuáles propiedades se cumplen en la adición?
Alumno: También la conmutativa, asociativa…
Profesor: Pueden dar un ejemplo para comprobar la propiedad conmutativa.
Observador: Los alumnos no responden y recurren al ejemplo que está en el material
didáctico.
Profesor: Me preocupa que no participen porque si fuera una pregunta de la prueba
entonces nadie la respondería, deben investigar la información, recuerden que esa es su
responsabilidad.
Alumno: 1 1 1 1
2 8 8 2+ = +
Profesor: ¿Cuánto nos da esa suma?
Observador: Los estudiantes guardan silencio y el profesor explica rápidamente el
procedimiento utilizando mínimo común denominador.
Profesor: De esta manera nos dio 5
8 y así comprobamos la propiedad utilizando un
ejemplo, luego podemos usar el lenguaje simbólico para escribirla de la siguiente forma:
∀ ,a c
b d∈ Q
a c c a
b d d b+ = +
Profesor: Ahora ¿como verificamos la propiedad asociativa?
465
Alumnos: Utilizamos tres fracciones, 2 1 1
3 2 5+ +
Profesor: ¿Cómo las sumo según esta propiedad?
Alumno: Se agrupan usando paréntesis de la siguiente
manera:2 1 1 2 1 1
3 2 5 3 2 5
+ + = + +
Profesor: Sumen ahora por favor y comparen los resultados.
Observador: El profesor revisa la actividad de cada alumno, orienta en caso de presentarse
dificultades y finalmente se resuelve en la pizarra.
Profesor: Con estas explicaciones pueden verificar las propiedades de elemento neutro y
distributiva, porque la existencia de inverso multiplicativo o elemento simétrico vamos a
estudiarla con mayor cuidado, veamos:
Así como en la adición de enteros existen inversos aditivos o elementos opuestos, en la
multiplicación de racionales tenemos inversos multiplicativos que es una propiedad utilizada
para efectuar potencias con exponentes negativos, por ejemplo:
13
2
−
¿Cuál es el resultado
de esta potencia?, ¿quién recuerda el procedimiento?
Observador: Los alumnos generan una pequeña discusión y hacen algunas suposiciones
sobre la respuesta, pero no concretan.
Alumno: Es igual a 3
2−
Profesor: Ese no es el resultado, entonces ¡nadie lo recuerda!, veamos
13
2
−
es el
resultado de dividir
03
1 22
3 3 3
2 2
= = , es decir que
13 2
2 3
− =
, ¿qué cambios se
observan?
Alumnos: El exponente es positivo y se intercambian numerador y denominador.
Profesor: ¿A qué conclusión llegamos?
Alumno: Intercambiamos numerador y denominador y el exponente es positivo.
Profesor: Es decir,
n na b
b a
− =
, ahora ¿cuál es el resultado de
13 3
2 2
−
?
Observador: Los alumnos razonan por unos segundos y no responden.
Profesor:
13 2
2 3
− =
, entonces ¿cuánto es3 2
2 3
?
Alumnos: 6
6 que es uno.
Profesor: En conclusión, podemos decir que el producto de un número racional por su
inverso multiplicativo es igual a uno, es decir siempre nos resulta el elemento neutro de la
multiplicación.
Ahora pregunto ¿cuál es el inverso multiplicativo de uno?
466
Observador: Los alumnos no responden y les describe el proceso para llegar a la respuesta,
además les recomienda profundizar más utilizando los ejercicios del material.
Profesor: ¿Cuál es el inverso multiplicativo de menos uno?, es decir, ( ) 11
−−
Observador: Los alumnos tampoco responden la pregunta y el profesor explica nuevamente
Profesor: Entonces los elementos simétricos tanto de 1 como de 1− son ellos mismos. ¿Cuál
es el inverso multiplicativo de 2?
Observador: los alumnos no responden y el profesor explica que es 1 1
22
− = . Luego utiliza
más ejemplos para lograr la comprensión del procedimiento para obtener el inverso
multiplicativo de números raciones.
Profesor: Vamos a resolver ahora estos dos ejercicios para completar el estudio del inverso
multiplicativo.
Observador: el profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:
2 2
3 3
3 1
2 2
3 1
2 2
=
y
pregunta sobre las propiedades de la potenciación que se deben aplicar.
Profesor: ¿Qué observamos en las potencias? ¿hay bases iguales?¿Están multiplicando o
dividiendo?
Alumno: Las bases son iguales en el numerador y denominador aplicamos división de
potencias.
Profesor: Entonces después de aplicar esa propiedad ¿cuál es el resultado?
Alumnos: Nos queda
1 11 3
2 2
− −
Profesor: Al aplicar el inverso multiplicativo, entonces es igual a:
Alumnos: 2 4
23 3
=
Profesor: El segundo ejercicio es un poco más largo pero verán que no tiene mucha
dificultad, veamos:
( )
2 2
32
2 1 5
5 2 2
52
2
−
−−
, ¿Qué propiedad aplicamos primero?
Alumnos: Sólo tenemos dos bases iguales que están dividiendo ¿Cómo se efectúa el resto?
Profesor: Razonen cuidadosamente las bases que tienen exponente negativo, si aplican el
inverso multiplicativo ¿qué obtienen?
467
Alumnos:
2 25 2
2 5
− =
,
3 35 2
2 5
− =
y ( )2
2 12
2
− =
, entonces nos quedaría igual
a:
2 2
3 2
2 1 2
5 2 5
2 1
5 2
Profesor: Una vez aplicada la propiedad del inverso multiplicativo, ¿qué propiedades
aplicamos?
Alumnos: sumamos los exponentes de dos quintos y restamos los de un medio y nos queda
4 1
3
2 1
5 2
2
5
−
, luego restamos los exponentes de dos quintos y es igual a:
12 1
5 2
−
,
como un medio a la menos uno es igual a dos nos queda ( )2 42
5 5
=
Observador: El profesor asigna otro ejercicio para lograr mayor participación de los
alumnos y lograr el aprendizaje de este contenido y luego solicita a los estudiantes la
resolución de tres ejercicios propuestos del material didáctico para la próxima clase de
manera individual.
468
Lunes, 17-02-08
Profesor: Vamos a trabajar el día de hoy con el cálculo de porcentajes y problemas
cotidianos en los cuales es importante su uso, se organizan en los pequeños grupos, cada
uno de los cuales recibirá información actualizada de los periódicos sobre datos estadísticos
que se relacionan con el número racional.
Observador: El profesor escribe en la pizarra un esquema sobre los aspectos que
corresponden desarrollar en la clase. Los alumnos constituyen los equipos de trabajo y el
profesor entrega recortes de periódicos sobre artículos relacionados a estadísticas sobre
precios de productos, inflación, población económicamente activa, importación de vehículos,
construcción de viviendas, salud y deportes, al final se ha planificado la exposición por
equipo sobre el análisis cuantitativo de cada artículo.
El profesor se dedica a orientar cada grupo sobre el trabajo que van a realizar y cómo
efectuar un análisis correcto de los datos estadísticos de cada artículo.
Profesor: Ustedes como primer equipo les corresponde verificar si estos datos sobre
incremento población son correctos, para ello tomen los tres últimos años, además de
analizar toda la información del artículo.
Observador: El profesor explica brevemente el concepto de porcentaje utilizando ejemplos,
porque la mayoría tienen problemas en la comprensión del mismo.
Profesor: ¿Qué significa 30%, 50% o 70%?
Alumno: Son 30, 50 0 70 de cada 100.
Profesor: Esta relación tiene que ver con las fracciones, porque por ejemplo, 30 de 100 es
igual a 30 3
100 10= tres décimos y 50 de 100 es
50 1
100 2= , es decir la mitad. Si decimos que
el 20% de los alumnos de la UNELLEZ, utilizan celulares de alta tecnología, eso quiere
decir que 20 de cada cien tienen esos celulares, es decir, 20 1
100 5= de cada grupo de cinco
alumnos uno tiene un celular de alta tecnología.
Ahora veamos un ejemplo más práctico de la vida cotidiana, supongamos que el total de
alumnos de la universidad es de 2.500 y 1.500 viven en la ciudad de Barinas y el resto en los
demás municipios, ¿cómo determinamos el porcentaje de alumnos?
Alumnos: Dividimos cada grupo entre el total
Profesor: Es decir, 1500.100%
60%2500
= viven en Barinas y el resto 40% en los demás
municipios del estado, con esta información ya pueden trabajar con los datos de los
artículos, cualquier duda pregunten.
Observador: Los alumnos en general se motivan para hacer el trabajo con orden,
participación y haciendo constantemente preguntas al profesor demostrando preocupación
por entender la actividad y con plena confianza para dirigirse al profesor.
Se puede apreciar serías dificultades en la comprensión de los ejercicios sobre porcentaje
porque el profesor en cada grupo explica reiteradamente el procedimiento.
Alumno: En este artículo, aquí ¿cómo haría? , ¿qué debo hacer?
Profesor: Van a calcular el porcentaje de jugadores convocados al partido de fútbol
amistoso por equipo de primera división venezolano.
Alumno: Esta información dice algo sobre las importaciones de vehículos en el país, hay
una cantidad de dólares solicitados y otra que se aprobó, ¿qué hay hacer?
469
Profesor: Determina los porcentajes de dólares aprobados y con relación a los solicitados,
eso es el total, luego calculan el porcentaje aprobado de acuerdo a los modelos, ¡hagan sólo
dos o tres ejemplos!
Observador: El grupo de alumnos parece entender la explicación y comienzan a trabajar. El
profesor asigna de manera complementaria un ejercicio del material didáctico en el que se
relacionan fracciones, expresiones decimales y porcentajes.
Alumno: ¿Esto tiene que dar 40%?
Profesor: ¿Qué hizo para calcularlo?
Alumno: Dividí 1300 entre 2000 y lo multipliqué por 100%
Profesor: ¿Seguro qué es el procedimiento? Verifica el artículo, dice que a los médicos de la
misión barrio adentro le aumentaron un 40%, antes ganaban 1300 Bs. Ahora ganan 2.000
Bs., por lo tanto, ¿cuál es la diferencia?
Alumno: Son 700 Bs., es decir, esta cantidad es la que utilizó para comprobar el aumento
del 40%.
Profesor: Muy bien, ahora desarrolle el procedimiento y calcule el porcentaje.
Alumno: El resultado es 53,85%, en el diario no está bien calculado, el incremento es mayor
al 40%.
Profesor: De esta manera nosotros podemos ser más críticos con la información que leemos
a diario en los diferentes medios de comunicación.
Alumno: A nosotros nos correspondió los incrementos de los precios de los alimentos
derivados de la leche, ¿qué vamos a comprobar del cuadro que hay en el artículo?
Profesor: Veamos, en la primera columna están los precios viejos, en la segunda los nuevos
precios y en la tercera el porcentaje de variación, ustedes les corresponde verificar que los
datos de la última columna sean correctos. Les explico un ejemplo para que entiendan mejor.
El queso duro costaba 12,54 Bs., ahora ¿cuántos Bs. Aumentó?
Alumno: Restamos 18,48 12,54 5,94− = ; este resultado ¿qué significa?
Profesor: Es la variación del precio, luego la expresamos en porcentaje, esto es
5,94.100%47,37%
12,54= , entonces vemos que el dato de la última columna de la tabla es
correcto. De la misma forma verifiquen cinco productos más.
Alumno: En el equipo del atlético Zamora hay tres ¿Cómo calculo el porcentaje?
Profesor: ¿Cuántos jugadores fueron convocados?
Alumno: 21 jugadores.
Profesor: Recuerda, es la división de 3 entre 21 y luego multiplicas por 100%.
Observador: Pasan unos minutos y una estudiante consulta al profesor sobre el
procedimiento efectuado en el cálculo del porcentaje en la información del fútbol y el
docente lo valora positivamente.
Profesor: Ahora puedes formular y responder preguntas tales como: ¿Cuál o cuáles equipos
tuvieron mayor o menor participación? Y con esto pueden finalizar su trabajo.
El profesor sigue orientando a los alumnos de los diferentes equipos de trabajo, explicando
principalmente el procedimiento y cómo interpretar la información de los artículos, con la
finalidad de hacer una exposición acertada del cada tema.
Alumno: No entiendo lo que dice aquí, en el mes pasado la tasa de desempleo se ubicó en
6,2%.
Profesor: ¿Qué significa esa información?
Observador: El estudiante responde con dudas.
470
Profesor: Esto significa que de cada 100 venezolanos 6 están sin trabajo. Lean el artículo y
organicen los datos para que los interpreten correctamente.
Observador: El profesor inicia las exposiciones de los equipos, cuyo orden de presentación
se hace de manera espontánea con un buen grado de motivación y participación.
El primer equipo no presenta el título del artículo, el profesor lo menciona y hace las
correcciones respectivas, sin embargo la exposición que hace el equipo de alumnos presenta
tanto procedimientos como el cálculo de porcentajes de forma correcto y organizan de
manera sistemática la información que han interpretado.
El segundo equipo a pesar de tener la orientación del profesor, herramientas como la
calculadora y el material didáctico cometió errores tanto en el procedimiento como en el
cálculo de operaciones en los porcentajes, no lograron interpretar correctamente la
información que se les entregó del artículo. El profesor interviene inmediatamente y utiliza
la situación para profundizar sobre el tema.
El tercer equipo, expresó de manera correcta los cálculos de operaciones, sin embargo
exponen con dificultad las ideas y la información.
El cuarto equipo comunica de manera fluida la información, presentan de manera
organizada la información en la pizarra de manera verbal, escrita y simbólica con sus
respectivos procedimientos y cálculos.
Los alumnos que integran el quinto equipo también presentan la información de manera
organizada y sus ideas son comunicadas de forma coherente utilizando la expresión verbal
escrita y simbólica con ayuda de la pizarra.
Los alumnos del sexto equipo por el contrario, presentaron muchos problemas en la fluidez
de la lectura, errores en el procedimiento y operaciones, en general no pudieron interpretar
adecuadamente la información del artículo.
El séptimo y último equipo también logra presentar una interpretación correcta del artículo,
ha organizado la información de manera coherente, tanto sus procedimientos como el
cálculo de las operaciones se efectuaron sin errores.
El profesor utiliza cada ejemplo para formular más preguntas al grupo en general, los
alumnos a pesar de hacer participado no responden, no participan y sólo les preocupa tomar
nota de la clase, esto quizá se deba porque, por lo general, quien hace la exposición es el
alumno con mayor dominio del aprendizaje y los demás en la mayoría de los trabajos en
equipo son prácticamente espectadores.
CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y RECOMENDACIONES
473
CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo nos dedicamos a responder las preguntas formuladas en
nuestra investigación, con el apoyo de las reflexiones finales que se generaron de los
resultados obtenidos sobre la práctica realizada en el trabajo de campo y en el
análisis teórico que sustentó el punto de partida del problema de estudio, como es la
dificultad en el aprendizaje significativo de las matemáticas que presentan los
alumnos. Para potenciarlo, presentamos una propuesta didáctica centrada en la
aplicación de estrategias de aprendizaje para la organización de la información, la
resolución de problemas, la promoción de un clima social de aula participativo, así
como en una actitud adecuada de los alumnos para lograr la autorregulación del
pensamiento lógico-formal para la construcción de los aprendizajes matemáticos. El
Programa de autorregulación se ha diseñado para dar una respuesta o alternativa de
mejora continua que nos aproxime a la innovación curricular de las matemáticas en
nuestro contexto de estudio.
Con la puesta en práctica de la propuesta didáctica denominada “Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las
matemáticas”, pretendimos que los alumnos desarrollaran estrategias de aprendizaje
que consolidaran su pensamiento crítico, reflexivo y creativo en las matemáticas para
lograr un aprendizaje significativo de las mismas, un clima social flexible del aula y
una actitud positiva hacia las matemáticas. En última instancia, todo ello nos llevó a
reflexionar sobre el proceso didáctico en general de la disciplina científica
Matemática General, específicamente en los contenidos de la unidad de sistemas
numéricos.
Para tener una visión completa e integral del proceso de investigación
realizado en nuestro trabajo, estructuramos este capítulo siguiendo los apartados
siguientes:
- Reseña de la investigación.
- Aportes y aspectos originales de la tesis.
- Principales resultados y conclusiones.
- Recomendaciones para el trabajo futuro.
474
VIII.1. RESEÑA DE LA INVESTIGACIÓN
La planificación y desarrollo de nuestra investigación se origina por la
preocupación constante que tenemos en nuestro contexto universitario por las
dificultades que poseen los alumnos de la asignatura Matemática General, en el
aprendizaje de sus contenidos, tal y como lo describimos en el planteamiento del
problema; en este estudio abordamos los problemas relativos a la Unidad de los
Sistemas Numéricos. Esta situación se debe principalmente a las debilidades que
tienen los alumnos en los aprendizajes previos necesarios para abordar los contenidos
de las matemáticas universitarias, principalmente en la utilización de estrategias de
aprendizaje para organizar la información y resolver problemas, y en que se sigue en
el aula un proceso didáctico centrado en el tradicionalismo y formalismo matemático
caracterizado por contenidos que carecen de pertinencia social o no tienen conexión
alguna con la realidad y contexto social donde se desempeñan los profesores y
estudiantes.
Siguiendo la metodología de investigación educativa de tipo cualitativo y un
estudio de casos evaluativo, el procedimiento de investigación lo estructuramos en
tres fases, las cuales se desarrollaron de manera progresiva para analizar y estudiar
las diferentes variables de estudio. En la primera fase realizamos un diagnóstico,
mediante el cual evidenciamos y constatamos debilidades considerables en los
aprendizajes previos de los alumnos, sus estrategias de aprendizaje y el proceso
didáctico que el docente realiza para desarrollar los contenidos de la unidad didáctica
seleccionada de la asignatura, por el contrario, el clima social del aula demostró
niveles aceptables. Con este primer acercamiento a la realidad del proceso didáctico
del aula de clase, con sus diversas características y con las impresiones de los
actores, realizamos un proceso de reflexión que nos guió hacia la reorientación de la
práctica pedagógica.
Los resultados obtenidos nos llevaron al desarrollo de la segunda fase, en
donde nos planteamos como objetivo principal diseñar y elaborar una propuesta
didáctica para reorientar la enseñanza, aprendizaje y evaluación, la cual
denominamos “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el
aprendizaje de las matemáticas”, cuyos fundamentos epistemológicos se
corresponden con el constructivismo psicogénetico de Jean Piaget, David Ausubel y
Jerome Brunner, el constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, el paradigma
falibilista de Pierce, la falsabilidad de Popper y la tesis de los paradigmas de Kuhn
(paradigma socio-psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de
programas de investigación racionales). Mediante el Programa de autorregulación
475
intentamos potenciar en el alumno un proceso de aprender a aprender, y en el
docente, que enseñe a pensar bajo un clima social del aula dinámico, flexible,
comunicativo y participativo, en el cual los alumnos desarrollen mayor confianza y
actitud positiva hacia el proceso didáctico, hacia el profesor y hacia los contenidos
matemáticos.
También, consideramos las aportaciones de especialistas en Didáctica
General y Didáctica de las Matemáticas, tales como: Polya (1978), Alonso (1994),
Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997), Miranda et al. (1998), de Guzmán
(1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000); no obstante llevar a la práctica estas
orientaciones en el desarrollo de contenidos específicos de la Matemática dentro de
nuestro contexto universitario a través de una propuesta didáctica no se había
desarrollado todavía, lo que implicó hacer un esfuerzo mayor en esta línea de
investigación de la Didáctica de la Matemática, para materializar este progreso
científico que beneficiará a nuestra práctica pedagógica.
La construcción del Programa de autorregulación nos orientó para definir las
dimensiones de estudio y sus respectivos criterios, las cuales presentamos en la Tabla
8.1.
Dimensiones Criterios
• Aprendizaje matemático - Las estrategias de aprendizaje para organizar
la información.
- Las estrategias de aprendizaje para resolver
ejercicios y problemas.
- El dominio cognoscitivo en la comprensión y
aplicación de conceptos, definiciones,
propiedades y teoremas involucrados en los
contenidos matemáticos de las sesiones de
clase ejecutadas.
• Actitud del alumno ante las matemáticas
en general y el clima social del aula.
- El auto-concepto del alumno ante su
desempeño de las actividades asignadas.
- La concepción que tiene el alumno de los
aprendizajes de los contenidos de la
asignatura de Matemática General.
- La concepción del proceso didáctico
desarrollado por el profesor.
Tabla 8.1. Dimensiones y criterios de la Investigación.
En la tercera y última fase implementamos el Programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal diseñando, y puesto en práctica una Unidad Didáctica
o módulo instruccional de la asignatura Matemática General de la carrera Educación
Integral de la Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales
“Ezequiel Zamora” de la ciudad de Barinas-Venezuela, cuyos contenidos se refieren
a los Sistemas Numéricos, los cuales consideramos apropiados por su gran conexión
476
con situaciones reales y cotidianas que viven los alumnos en su contexto social. Así
mismo, nos aportaba una gran oportunidad para utilizar las estrategias de aprendizaje
en la organización de la información y en la resolución de problemas de aplicación,
además, nuestra experiencia como docentes nos indicó que el mayor problema de
aprendizaje se encontraba en esta Unidad o módulo instruccional.
El desarrollo de nuestra tesis, con sus diversos alcances y a pesar de sus
limitaciones durante su planificación, ejecución en el trabajo de campo y recolección
de información para su respectivo análisis y reflexión, logró los objetivos que nos
formulamos en el planteamiento del problema y, por lo tanto, consideramos también
que ha generado algunos aportes para la línea de investigación de la Didáctica de la
Matemática, los cuales presentamos en el apartado siguiente.
477
VIII.2. APORTES Y ASPECTOS ORIGINALES DE LA TESIS
Señalamos, en primer lugar, que cualquier aporte dentro de las diversas líneas
de investigación contribuye a redimensionar el constructo científico de cada área
respectiva del conocimiento; no obstante, nuestra tesis a través de sus fundamentos
teóricos y los resultados obtenidos en la ejecución del procedimiento de
investigación y puesta en práctica de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal, nos llevan a tener una visión diferente del proceso
didáctico de la asignatura Matemática General en nuestro contexto universitario.
El análisis epistemológico efectuado para fundamentar los diferentes
problemas formulados en nuestra investigación, nos indica que las corrientes
constructivistas de la psicología del aprendizaje tienen un significado de actualidad y
aún no han sido estudiadas en profundidad, lo que nos indica una gran necesidad
dentro de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica de seguir
abordando estos aspectos para lograr crear las condiciones óptimas dentro del aula
para promover, fomentar y consolidar un verdadero aprendizaje significativo de las
matemáticas.
Destacamos la importancia que tiene un enfoque epistemológico ecléctico que
favorezca este aprendizaje en el alumno. Esta premisa nos indicó que la integración
de las bondades del constructivismo psicogenético de Jean Piaget y sus seguidores,
del constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, de los estudios realizados por
Polya (1978), Alonso (1994), Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997),
Miranda et al. (1998), de Guzmán (1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000) sobre
las estrategias de aprendizaje para organizar información y resolver problemas, de las
aportaciones de Santaló et al. (1994) sobre el concepto de Etnomatemática y de las
orientaciones teóricas de Trianes et al. (2006) sobre el clima social del aula,
constituye una adecuada respuesta para lograr construir el modelo didáctico teórico
que denominamos “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en
el aprendizaje de las matemáticas”, el cual consideramos que posee una visión y
perspectiva original porque en él convergen la mayor parte de los elementos
cognitivos, sociales y afectivos a considerar en todo proceso didáctico, no sólo de las
matemáticas sino también en las demás áreas del currículo.
La implementación práctica y concreta del Programa de autorregulación
constituye otro de los aportes significativos de nuestra investigación, principalmente
por la gran necesidad que existe en nuestro contexto universitario de unidades
didácticas elaboradas bajo estos enfoques que están a la vanguardia de los adelantos
478
científicos, tanto de la Didáctica General como de la Didáctica de la Matemática.
Además, la construcción de este material didáctico supuso un esfuerzo por la
complejidad que representó incorporar las orientaciones teóricas para ofrecer tanto al
docente como a los alumnos una guía didáctica que permitiera un mayor éxito en la
asignatura Matemática General, y concretamente, en una de sus unidades más
críticas, como es la correspondiente a los Sistemas Numéricos.
La Unidad Didáctica seleccionada de los Sistemas Numéricos en la
investigación reviste otro aporte fundamental por la trascendencia que tienen los
aprendizajes de los contenidos en esta área del pensamiento numérico para
comprender, aplicar y construir el andamiaje matemático durante la formación
universitaria del alumno de la carrera de Educación Integral.
Los resultados obtenidos durante la evaluación de la Unidad Didáctica de los
Sistemas Numéricos nos brindan quizás el aporte más notable, puesto que las
evidencias demuestran que el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal a través de su concreción como Unidad o material didáctico puede ser
utilizado de manera sustancial en la constante resignificación, reorientación y
adaptación del currículo, los programas de estudio, la práctica pedagógica y las
funciones o actividades que le corresponden al alumno para ubicarlo como el
verdadero protagonista del aprendizaje significativo de las matemáticas.
479
VIII.3. PRINCIPALES RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Las conclusiones de acuerdo al análisis de los resultados que obtuvimos en
nuestro estudio por distintas vías, las describimos de acuerdo a las fases que se
desarrollaron durante la investigación y en función de los problemas formulados y
los objetivos propuestos.
VIII.3.1. Primera fase: diagnóstico
En la Tabla 8.2 presentamos los problemas formulados y los objetivos
propuestos que nos guiaron durante la primera fase diagnóstica de la investigación,
de esta forma garantizamos el acercamiento más próximo a la realidad objeto de
estudio para poder explicarla con mejores soportes e información, lo que nos
garantizó mantener el orden coherente en la ejecución de las restantes fases del
estudio.
Problemas formulados Objetivos propuestos
¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan
generalmente los alumnos para abordar los
conocimientos matemáticos?
1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje
utilizadas por los alumnos en el estudio de los
contenidos de la unidad de sistemas numéricos,
de la asignatura Matemática General.
¿Cuáles son los conocimientos matemáticos
previos que los alumnos poseen para iniciar la
asignatura Matemática General?
2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos
previos que los alumnos poseen al iniciar el
estudio de los contenidos de la unidad de
sistemas numéricos, de la asignatura
Matemática General.
¿Cuál es la actitud general que presentan los
alumnos ante las matemáticas? 3. Describir el grado de actitud del alumno a
través de su opinión y valoración hacia el
proceso didáctico efectuado por el profesor y
hacia los contenidos matemáticos ¿Cómo se desarrolla la comunicación y
participación de los alumnos dentro del proceso
de enseñanza-aprendizaje?
¿En que medida afecta el clima social del aula en
el aprendizaje matemático de los alumnos?
4. Determinar los niveles de participación y de
comunicación que los alumnos tienen en la
asignatura Matemática General, como aspectos
básicos que constituyen el clima social de aula.
Tabla 8.2. Problemas y objetivos de la primera fase.
Las conclusiones más destacadas que obtuvimos del análisis y reflexión de
los resultados de esta primera fase de diagnóstico, nos dieron respuestas a los
diferentes interrogantes planteados, y entendemos que nos llevaron a conseguir de
forma satisfactoria los objetivos de investigación formulados que presentamos a
continuación para exponer nuestras conclusiones:
480
Objetivo 1: Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los
alumnos en el estudio de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos
de la asignatura Matemática General.
Resaltamos como principal logro de este objetivo la realización del
diagnóstico de las diferentes estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos
para abordar el estudio de los contenidos relativos a la unidad de los sistemas
numéricos, el cual nos reveló un escenario crítico y preocupante de la situación a
nivel cognoscitivo que presentó la mayor parte del alumnado de la asignatura
Matemática General, lo que constituyó el caso de estudio en nuestra investigación.
En el primer criterio establecido de la dimensión aprendizaje matemático, como son
las estrategias en la organización de la información, los resultados obtenidos
reflejan que los alumnos tienen grandes carencias en la utilización de las mismas, es
decir, prácticamente no disponen de dichas estrategias. Por lo general, los estudiantes
organizan, presentan y comunican la información verbal y escrita de forma caótica y
con errores conceptuales, además, no se apoyan en ninguna forma gráfica, ni en
diagramas o esquemas, ni mucho menos en mapas conceptuales.
Hemos señalado que las estrategias que se aplican para el uso eficiente de la
información son vitales, representando condiciones académicas necesarias para dar al
alumno un soporte cognoscitivo suficiente para que pueda aprender de forma
significativa, no sólo en la asignatura Matemática General sino también en las demás
disciplinas que forman parte del currículo universitario. Sostenemos con propiedad el
imperativo de establecer nuevos criterios, aspectos y elementos epistemológicos,
psicológicos, sociológicos y pedagógicos que reestructuren la planificación del
proceso didáctico y, con su puesta en práctica, se pueda ayudar al estudiante a
superar el problema mencionado y mejorar la habilidad y desempeño en la expresión
verbal y escrita.
Con estas evidencias iniciales recolectadas en la fase diagnóstica, podemos
afirmar que el problema del aprendizaje de la Matemática, además de tener su origen
en las formas o procedimientos de enseñanza tradicionales, las debilidades
concernientes a la organización, presentación y comunicación de la información
tanto verbal, escrita y simbólica constituyen otra causa que representa una
preocupación de importancia dentro del proceso didáctico de las matemáticas.
Con relación al segundo criterio del aprendizaje matemático, relativo al uso
de las estrategias de resolución de ejercicios y problemas, las deficiencias siguen
manifestándose. Específicamente encontramos problemas en la discriminación que
481
hacen los alumnos de la información que aporta el enunciado de los problemas
planteados para lograr seleccionar los datos completos y separarlos de las incógnitas.
Además, no aplican procedimientos intuitivos como el ensayo y error, los contra-
ejemplos, las figuras o gráficos y, ni mucho menos, procesos más formales como el
razonamiento lógico-deductivo en la aplicación de conceptos, definiciones y
propiedades. Esta situación nos conduce a establecer una posible conexión entre
ambos criterios, sin la cual, sería difícil lograr un verdadero aprendizaje matemático;
es decir, si los alumnos tienen problemas en la aplicación de estrategias de
aprendizaje para la organización de la información matemática es probable que
también los tengan en las estrategias para resolver ejercicios y problemas.
De acuerdo con los resultados del cuestionario aplicado para diagnosticar
estrategias de aprendizaje, así como los obtenidos fruto de las observaciones y
pruebas de valoración realizadas, constatamos debilidades principalmente en las
estrategias siguientes: la utilización de esquemas y diagramas como técnicas de
estudio, la expresión verbal y escrita de la información, el proceso de abstracción
matemática, planes de resolución de problemas, utilización del lenguaje matemático
y uso del razonamiento deductivo, todas ellas consideradas fundamentales para
lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas. Sin embargo, en los
indicadores relativos a la capacidad de concentración, utilización de material escrito,
análisis de la información, procesos de verificación, intuición y procesos inductivos,
asesorías y autoevaluación, se obtuvieron resultados medianamente positivos, lo cual
implica una información valiosa porque nos señala un punto de partida para construir
una propuesta didáctica siguiendo estas estrategias, que también tienen gran
importancia para lograr los aprendizajes matemáticos.
Durante la ejecución de las sesiones de clase observadas, pudimos determinar
elementos convencionales característicos de unas estrategias de aprendizaje basadas
en la clase magistral-expositiva del profesor y en el procedimiento de enseñanza
sustentada en textos. En la mayoría de los casos, las clases siguen un enfoque
algorítmico y calculista caracterizado por la secuencia siguiente:
Explicación
intuitiva de
conceptos
Definición
formal de
conceptos
Aplicación de
algoritmos
Aplicación
ordenada de
reglas
Desarrollo de
ejemplos
ilustrativos
Generalización de
propiedades
Resolución
de ejercicios Retroalimentación
482
En esta secuencia se aprecia un discurso docente basado en la utilización de
un lenguaje cotidiano y en explicaciones intuitivas; por lo tanto, el espacio para
pensar, reflexionar y razonar que se le dedica a los aspectos teóricos-prácticos de los
contenidos se desarrolla muy poco, se puede decir, que el proceso didáctico desde el
punto de vista psicológico se acerca más al paradigma conductista y, desde la
perspectiva de la comunicación de saberes entre el docente y sus alumnos, se
corresponde con un paradigma de transmisión verbal.
Objetivo 2: Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que los
alumnos poseen al iniciar el estudio de los contenidos de la unidad de
sistemas numéricos de la asignatura Matemática General.
En la valoración de los conocimientos previos de los alumnos sobre la Unidad
Didáctica de los Sistemas Numéricos efectuada principalmente mediante las pruebas
aplicadas a los alumnos, determinamos un escenario muy crítico. Es preocupante
comprobar como la mayor parte del grupo no posee los pre-requisitos necesarios para
iniciar el estudio de los contenidos de esta Unidad Didáctica o módulo instruccional.
Podemos decir de forma razonada que muy pocos estudiantes lograron demostrar de
forma aceptable un dominio cognoscitivo de los aspectos teórico-prácticos
desarrollados en las sesiones de clase, sobre todo en los ejercicios y problemas
propuestos en la prueba de valoración de aprendizajes. Esto puede explicarse, en
primer lugar, por las formas tradicionales de enseñanza a las que están
acostumbrados los alumnos desde su escuela básica y bachillerato que aún se
mantiene en la universidad, y en segundo lugar, por los resultados que describimos
en el objetivo uno.
Los estudiantes de la asignatura Matemática General tienen serias dificultades
para comprender y aplicar los conceptos, definiciones, propiedades, procedimientos
y operaciones aritméticas. Al valorar cognoscitivamente las respuestas o
constestaciones que dieron a las preguntas, pudimos determinar inconsistencias entre
el resultado y el procedimiento ejecutado, es decir, responden correctamente, pero no
logran justificar de manera coherente las respuestas, lo cual nos indica que tienen
dificultades en la comprensión y aplicación del lenguaje simbólico matemático para
interpretar, discriminar y comunicar la información.
Por ejemplo, aproximadamente la mitad de los alumnos que contestó a la
prueba escrita confunde el método para determinar el mínimo común múltiplo con el
utilizado para calcular el máximo común divisor, lo que se resume en una debilidad
483
considerable en este aprendizaje matemático. Por otro lado, casi la mitad de los
alumnos no ha logrado comprender el concepto de exponente negativo en una
potencia, y sólo un cinco por ciento comprende el procedimiento que se aplica en las
operaciones en este tipo de potencias, pero comete errores básicos en el cálculo
aritmético. Por el contrario, uno de cada dieciocho estudiantes comete errores en la
interpretación de los signos de agrupación, en este caso el uso de los paréntesis, y
ninguno presenta problemas con las leyes de los signos + (más) y − (menos).
Esta tendencia se sigue observando en las operaciones combinadas con
números enteros, donde aproximadamente la tercera parte de los alumnos de la
muestra cometió errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves,
corchetes y paréntesis, lo que indica que no existe por parte de este porcentaje de
alumnos un aprendizaje del uso e interpretación correcta de estos símbolos
matemáticos.
En función del análisis y reflexión efectuados, llegamos a la conclusión de
que a pesar de la formación que los alumnos tuvieron sobre los conocimientos
relativos a los sistemas numéricos durante los tres años de la tercera etapa de la
Educación Básica venezolana y de recibir instrucción adicional en la asignatura
Matemática General, los estudiantes de nuestro caso de estudio tienen muy poco
dominio cognoscitivo de los mismos.
El estado actual y las condiciones que determinamos durante el diagnóstico
con respecto a los conocimientos matemáticos previos de los alumnos, constituyen
otra evidencia contundente que nos lleva a considerar y señalar una explicación más
aproximada sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de los contenidos
matemáticos en los alumnos, puesto que las debilidades que se encontraron de forma
simultánea y análoga, tanto en la aplicación de las estrategias de aprendizaje relativas
a la organización de la información y a la resolución de problemas como en el
dominio cognoscitivo de los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, nos
indican una posible conexión entre estos dos criterios de la dimensión aprendizaje
matemático, resultado muy significativo para buscar una respuesta a los problemas
de la investigación y generar aportes e ideas que contribuyan a la reconstrucción del
proceso didáctico de la asignatura Matemática General.
Como conclusión, podemos decir que algunas de las causas detectadas que
explican el pobre aprendizaje significativo de las matemáticas por los alumnos son
las siguientes:
484
- Deficiencias en las conductas de entrada o conocimientos matemáticos
previos de los alumnos.
- Problemas en la organización, elaboración y comunicación de la
información.
- Dificultades en las estrategias que utilizan los estudiantes para la
resolución de ejercicios y problemas.
- Enfoques tradicionales en los procedimientos de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas.
Objetivo 3: Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión
y valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los
contenidos matemáticos.
Los resultados del cuestionario de opinión-actitud y de las entrevistas nos
revelaron, de acuerdo a los análisis y reflexiones efectuados, la existencia en forma
general de una actitud positiva de los alumnos hacia los contenidos matemáticos y
hacia el proceso didáctico que se desarrolló en el aula. Las opiniones y respuestas
que expresó la mayoría de los alumnos demuestran un buen grado de autoestima y
confianza en sí mismos, a pesar de las dificultades de tipo cognoscitivo que tenían
para comprender los aspectos que se estudiaban durante las clases.
De acuerdo con el cuestionario de opinión-actitud, el 86% de los estudiantes
expresó su desacuerdo con respecto al concepto que suelen tener respecto a que sólo
las personas con características intelectuales superiores a las del promedio pueden
dominar las matemáticas; por consiguiente, este indicador demuestra una apreciación
y aceptación de las aptitudes personales de los estudiante para asumir el aprendizaje
de los contenidos que se enseñan en la Unidad ‘Sistemas Numéricos en la asignatura
Matemática General’; es decir, tienen un autoconcepto positivo al afirmar que las
matemáticas pueden ser aprendidas por cualquier persona que tome la decisión de
hacerlo.
El análisis y la reflexión efectuados sobre los resultados de las entrevistas
reflejaron, en una mayoría significativa de los alumnos, una utilidad e importancia
sobre los contenidos que se desarrollaron durante las clases, principalmente para su
futura formación profesional docente. También consideraron que el éxito en su futura
labor docente será más contundente si disponen de una buena comprensión de los
contenidos. Estos resultados demuestran una discrepancia con relación a la posición
485
que siempre se ha tenido de la actitud hacia las matemáticas, ya que el grupo de
alumnos de la asignatura Matemática General seleccionado como caso de estudio
formuló respuestas que se alejan de las opiniones negativas que, en general, se tienen
hacia las matemáticas y hacia sus profesores.
Las conclusiones que presentamos de los resultados de la actitud del alumno
hacia las matemáticas en nuestra investigación, pueden contribuir a generar otras
alternativas de discusión para entender mejor esta disposición personal del alumno
hacia el aprendizaje, puesto que es un fenómeno muy complejo y multivariable. Por
lo general, se tiene una explicación causa-efecto entre la actitud y el aprendizaje, sin
embargo, en nuestro caso de estudio se encontró una situación relativamente
favorable en el autoconcepto que tiene el estudiante ante su desempeño matemático,
como son las concepciones que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos
de la asignatura de Matemática y la concepción del proceso didáctico desarrollado
por el profesor. Pero los resultados, en cuanto a la valoración cognoscitiva de los
aprendizajes matemáticos de la Unidad de Sistemas Numéricos, no cubrieron
totalmente las expectativas; es decir, que de acuerdo a los resultados no podemos
concluir que una buena actitud del alumno es una condición suficiente y necesaria
para lograr un aprendizaje significativo en las matemáticas, porque la relación entre
la actitud y el rendimiento no fue muy estrecha; es decir, aunque se observó en el
grupo una buena actitud, no hubo un dominio claro de los aprendizajes matemáticos
de los contenidos relacionados a los sistemas numéricos.
Objetivo 4: Determinar los niveles de participación y de comunicación que
los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos
básicos que constituyen el clima social de aula.
En el proceso de investigación de nuestra tesis consideramos de gran
importancia y significado una descripción del clima social del aula como variable de
estudio, porque es una parte fundamental para generar en todo proceso didáctico la
participación y comunicación de los alumnos y de los profesores, elementos que
relevantes para mantener una buena relación interpersonal, de armonía, flexibilidad,
integración, cooperación y dinamismo, adecuados para reducir la hostilidad que
perturba el trabajo en el aula de clase.
Fruto de los resultados analizados, podemos afirmar que la comunicación y la
participación de los estudiantes en las sesiones de clase adquirieron niveles positivos,
variables que indican un aceptable clima social en el aula. Tanto los alumnos como el
486
docente interactuaron socialmente con fluidez, desarrollando y utilizando el
intercambio de información, significados e ideas que se generan producto de la
discusión y análisis que efectuaron los actores en la Unidad de Sistemas Numéricos
de la asignatura Matemática General. Por lo tanto, fue evidente dentro del proceso
didáctico, una confianza en los alumnos para exponer sus aportes, ideas, respuestas,
planteamientos e inquietudes y formular las preguntas necesarias para aclarar dudas y
comprender mejor los aspectos estudiados.
Las respuestas suministradas por los alumnos entrevistados revelan, por
ejemplo, que aproximadamente dos terceras partes de los estudiantes participan en el
desarrollo de las clases, gracias a diferentes razones que consideramos se relacionan
entre sí: el gusto general por las matemáticas, la motivación que despiertan las
estrategias utilizadas por el profesor y el clima de confianza que se genera dentro del
aula entre profesor y alumnos. Además, los resultados de la triangulación demuestran
una semejanza en la gran parte de los hallazgos, aunque existen algunas diferencias
entre las observaciones y los cuestionarios, principalmente en lo referente a la
participación de los alumnos en la resolución de ejercicios y problemas en la pizarra.
En el escenario pedagógico que observamos, evidenciamos dentro del clima
social del aula que se vivió durante las sesiones de clases de la Unidad de Sistemas
Numéricos, una situación que podemos describir en términos generales como
favorable para el proceso didáctico de la asignatura Matemática General; sin
embargo, las condiciones críticas en las que se encuentra el aprendizaje matemático
de una mayoría importante de los estudiantes no están a la par o no guardan una
relación directa con el clima social óptimo que encontramos. Estamos de acuerdo en
decir que la dimensión ‘clima social del aula y actitud del alumno’ tiene una gran
importancia para ser considerada en el proceso didáctico de las matemáticas, pero
nuestras conclusiones nos indican que las principales causas que originan
deficiencias en el aprendizaje de las matemáticas necesitan ser investigadas más
dentro del campo cognitivo o cognoscitivo que en los afectivo, emocional y social, al
menos esto es lo en nuestro contexto de estudio universitario interpretamos.
VIII.3.2. Segunda fase: Diseño y elaboración del Programa
En este segundo momento de la investigación nos preguntamos y tomamos
decisiones sobre las aportaciones teóricas apropiadas para fundamentar el Programa
de autorregulación del pensamiento lógico-formal; así mismo, analizamos la
información que obtuvimos del trabajo de campo del diagnóstico inicial. Fruto de
487
ambos trabajos efectuamos reflexiones para la toma de decisiones en la reorientación
del proceso didáctico de la asignatura Matemática General y logramos diseñar un
Programa de intervención para satisfacer las preguntas y objetivos siguientes:
Problemas formulados Objetivo propuesto
¿Podemos diseñar un programa de enseñanza de
estrategias de aprendizaje centradas en la
autorregulación del pensamiento formal que
logre en los alumnos de la asignatura
Matemática General un aprendizaje significativo
de los contenidos relacionados a los sistemas
numéricos?
¿Cuáles serían los principales lineamientos que
estructurarían este programa para lograr un
aprendizaje matemático significativo en los
alumnos de la asignatura Matemática General?
¿Qué aspectos fundamentales debe tener este
programa para crear en el aula de clase un
ambiente social caracterizado por la
participación y comunicación de los alumnos en
el proceso de enseñanza, aprendizaje y
evaluación de las matemáticas?
5. Diseñar el programa de enseñanza de estrategias
de aprendizaje centrado en la autorregulación
del pensamiento lógico-formal de acuerdo al
análisis epistemológico del paradigma
constructivista y a las necesidades detectadas en
el diagnóstico de las estrategias de aprendizaje,
conocimientos previos, actitud del alumno y al
clima social del aula.
Tabla 8.3. Problemas y objetivos de la segunda fase.
Las conclusiones a las que llegamos en la fase diagnóstica resultaron
oportunas para determinar la necesidad desde el punto de vista operativo y funcional
de un Programa de intervención en el proceso didáctico para la asignatura
Matemática General, en la Unidad de los Sistemas Numéricos. En tal sentido,
afirmamos que en nuestro contexto de estudio se hace necesario reorientar la práctica
pedagógica en esta disciplina bajo lineamientos constructivistas epistemológicos,
psicológicos y sociológicos que fomenten y promuevan un verdadero aprendizaje
significativo de las matemáticas. Paralelamente a esto se necesita incorporar
innovaciones curriculares a la luz de la actualidad, caracterizada por el alto consumo
tecnológico, el cual es propicio para fundamentar una relación más próxima entre la
Matemática y el mundo que nos rodea.
Las debilidades en las diferentes estrategias de aprendizaje nos ofrecen una
información valiosa para la planificación del proceso didáctico y, por consiguiente,
en la elaboración de los recursos y materiales didácticos. Por esta razón,
consideramos que en la estructuración del material didáctico se debe ofrecer a los
alumnos una presentación de los conocimientos matemáticos propios del currículo
universitario para la Carrera de Educación Integral y una utilización de estrategias de
aprendizaje que le garanticen superar sus debilidades en capacidades
procedimentales. El material didáctico debe enseñar las estrategias de organización
de la información y las de resolución de ejercicios y problemas de aplicación, así
488
como fomentar esta aplicación no sólo de manera individual sino también de forma
participativa, grupal y cooperativa.
La evaluación dentro de nuestra propuesta didáctica debe garantizar una
atención integral de todos los aspectos involucrados en el proceso de enseñanza y
aprendizaje. Se debe hacer énfasis en los aspectos cualitativos de la Matemática más
que en los formalistas y algorítmicos, es decir, tomar la síntesis dialéctica proceso-
producto de esta ciencia para orientar la práctica docente.
Con estas directrices básicas podríamos aproximarnos a la realidad deseada
en el aula de clase, con un clima social caracterizado por la participación,
comunicación e interacción constante de información y significados entre los actores
del proceso didáctico, para construir un futuro modelo pedagógico más ajustado a los
cambios sorpresivos de nuestra sociedad.
VIII.3.3. Tercera fase: Puesta en práctica y evaluación del Programa
Los problemas y objetivos formulados para esta última fase de la
investigación se presentan en la Tabla 8.4.
Así mismo, para la presentación de las conclusiones nos orientamos y
seguimos las dimensiones y los criterios que figuran en la Tabla 8.5., los cuales
establecimos para el análisis de los datos del Capítulo VII.
Problemas formulados Objetivo Propuesto
¿En que grado afectan la aplicación de este
programa al aprendizaje significativo, clima
social del aula y actitud general del alumnado?
¿Cuáles serían los resultados que produciría la
puesta en práctica de este programa en el
proceso didáctico de la asignatura Matemática
General y en el aprendizaje significativo de los
alumnos?
6. Evaluar el programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en función del
aprendizaje significativo logrado por los
alumnos de los contenidos de la unidad de
sistemas numéricos de la asignatura matemática
general, el clima social del aula y la actitud del
alumno.
Tabla 8.4: Problemas y objetivos de la tercera fase.
Dimensión Criterios
• Aprendizaje Matemático. - Las estrategias para organizar la información.
- Las estrategias de aprendizaje que utilizan
para resolver ejercicios y problemas.
- El dominio cognoscitivo en la comprensión y
aplicación de conceptos, definiciones,
propiedades y teoremas involucrados en los
contenidos matemáticos de las sesiones de
clase ejecutadas.
489
• Actitud del alumno y clima social del aula. - El auto-concepto del alumno ante su
desempeño de las actividades asignadas.
- La concepción que tiene el alumno de los
aprendizajes de los contenidos de la
asignatura de Matemática.
- La concepción del proceso didáctico
desarrollado por el profesor
Tabla 8.5. Dimensiones y criterios de la tercera fase.
La gran diversidad de resultados que recolectamos con los diferentes
instrumentos de recogida de información, a pesar de la complejidad del análisis y
reflexión que tuvimos que realizar sobre las variables de estudio, nos permitió emitir
una serie de conclusiones suficientes para conseguir en buena medida el objetivo
último de la investigación y los objetivos de la propuesta didáctica relativos a evaluar
los alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-
formal en el aprendizaje significativo de las matemáticas, en el clima social del aula
y en la actitud del alumno.
A continuación presentamos las conclusiones de acuerdo a los alcances y
limitaciones del programa de autorregulación, en función de los objetivos que
formulamos en la propuesta didáctica para la Unidad de los Sistemas Numéricos.
Objetivo 1: Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el
alumno un aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la
resolución de problemas de su interés, para generar un proceso didáctico
que consolide la construcción progresiva, reflexiva y científica del
conocimiento matemático, utilizando los aportes teóricos del paradigma
constructivita.
Resaltamos como uno de los principales logros en la implementación del
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en la Unidad Didáctica
de los Sistemas Numéricos, el diseño, elaboración y aplicación de estrategias de
aprendizaje para la organización, presentación y comunicación de la información, así
como para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación con una orientación
constructivita. Así mismo, destacamos la utilización de recursos de aprendizajes
audiovisuales, tales como las diapositivas, vídeos y la incorporación de problemas
cuyas aplicaciones representan interés y significado social, que despiertan la
motivación en los alumnos. Esta integración de aspectos en la secuencia didáctica
aplicada desde las fases de exploración, presentación, valoración cognitiva y
proyección fomentaron en los estudiantes un proceso progresivo y paulatino en la
construcción de los aprendizajes matemáticos, evolucionando desde los preconceptos
490
hasta las definiciones más formales de los contenidos seleccionados y desarrollados
en la implementación del Programa de autorregulación. Por consiguiente, creemos
que la puesta en práctica de la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos nos
indicó, desde el inicio de la investigación, la necesidad de incorporar los
fundamentos epistemológicos y teóricos que tuvimos en cuenta y de seguir
reorientando el proceso didáctico de las matemáticas, modificando paulatinamente
las clases tradicionales con procedimientos de enseñanza expositivos de transmisión
verbal, basados exclusivamente en textos y en el discurso del docente.
No obstante, en cuanto a las limitaciones para lograr este objetivo, señalamos
que el pensamiento lógico-formal en los alumnos necesitó de una mayor
consolidación y aplicación más constante de las estrategias contempladas en el
proceso didáctico. Observamos que las estrategias relacionadas con el razonamiento
inductivo son más utilizadas que las relativas al razonamiento deductivo, este
resultado nos permitió evaluar nuestra propuesta desde una perspectiva más precisa y
determinar porqué el pensamiento creativo que planteamos no tuvo el resultado
esperado por nosotros en la puesta en práctica del Programa de autorregulación en la
Unidad de contenidos seleccionada. Para explicar de una forma más general y
resumida la situación del aprendizaje del alumno, podemos decir que éste se
caracterizó por una construcción progresiva y reflexiva de los contenidos
matemáticos, los cuales requieren de esfuerzo y tiempo necesarios. El resultado final
es que los estudiantes del grupo de alumnos de la asignatura Matemática General no
obtuvieron una valoración cognoscitiva contundente en la construcción científica de
los contenidos, debido principalmente al bajo nivel de conocimientos básicos
matemáticos que tenían al comienzo de la investigación.
Objetivo N 2: Orientar al docente en los diferentes procedimientos, recursos
y actividades de enseñanza y evaluación, que constituyen el proceso
didáctico constructivita de las matemáticas para consolidar su formación
psicopedagógica.
Señalamos como otro aspecto significativo, la aplicación pertinente y
funcional que representó la implementación y evaluación del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas
en la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos. Logramos conducir de manera
acertada la reorientación de las estrategias de aprendizaje en los alumnos, los
procedimientos, los recursos y las actividades de enseñanza y evaluación que aplicó
el docente-investigador con lineamientos constructivitas innovadores dentro de la
491
práctica docente y en el proceso didáctico en general de la asignatura Matemática
General. Cabe destacar que poner en práctica los fundamentos epistemológicos
constructivitas en el proceso didáctico de cualquier disciplina del currículo escolar y
universitario es una tarea compleja que necesita llevarse con cuidado, porque hay que
considerar la gran cantidad de variables que poseen los procesos de enseñanza,
aprendizaje y evaluación como situaciones sociales, sin las cuales no se puede
cristalizar con éxito el proceso de planificación de la enseñanza. Como resultado de
la implementación, podemos afirmar de manera razonada que nuestra propuesta
didáctica o Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, representa
otra adecuada guía orientadora a disposición del docente que le facilitará cumplir con
una de sus principales funciones: ser un verdadero responsable del asesoramiento y
mediación entre los nuevos aprendizajes matemáticos de la Unidad seleccionada y
los alumnos de la asignatura que constituyeron el caso de estudio.
Objetivo Nº 3: Fomentar la comunicación para lograr la participación,
debate, reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en
el proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto, dinámico y
flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno hacia la
Matemática.
La perspectiva o enfoque que orientó la aplicación del Programa de
autorregulación del pensamiento lógico-formal, para llevar a la práctica pedagógica
la utilización por parte de los alumnos de las estrategias de aprendizaje en la
organización de la información y en la resolución de problemas a través del trabajo
en pequeños grupos y con la orientación y asesoramiento del profesor, creó y
fomentó dentro del aula de clase las condiciones idóneas para estimular, motivar y
lograr la participación e intervención activa del alumnado en las diferentes
actividades de aprendizaje planificadas y programadas en la Unidad Didáctica de los
Sistemas Numéricos.
Las exposiciones, los debates, las reflexiones e intervenciones en la
resolución de ejercicios y problemas de aplicación, que constituyeron las
asignaciones dentro las sesiones de clases, incrementó sustancialmente la
comunicación y la interacción social de los actores del proceso didáctico, así como el
intercambio de significados. De este modo, se consolida un clima social de aula
flexible, dinámico e integrador en donde los alumnos y el docente se desempeñan
con absoluta confianza, contribuyendo de esta manera a mejorar la actitud de los
estudiantes hacia los elementos vertebradores del proceso didáctico de la asignatura
492
Matemática General, es decir, hacia los contenidos de la Unidad Didáctica, hacia el
profesor y hacia las estrategias, recursos y actividades de enseñanza-aprendizaje-
evaluación.
Estas conclusiones nos permiten afirmar la relevancia y trascendencia que ha
caracterizado nuestra propuesta didáctica –el Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas–-, puesto que a
través de su implementación se lograron conjugar y equilibrar las dimensiones del
aprendizaje matemático, el clima social del aula y la actitud del alumno, sin las
cuales sería muy complicado analizar y reorientar la práctica pedagógica de esta
disciplina científica desde una forma integradora, con una perspectiva más humana y
realista, en donde los actores son considerados como participantes fundamentales en
la investigación y desarrollo de nuevas teorías para la reconstrucción de estrategias
de enseñanza, aprendizaje y evaluación del proceso didáctico de las matemáticas.
Por último, en cuanto a las conclusiones derivadas del objetivo final de
investigación, mediante el cual perseguimos evaluar el programa de autorregulación
del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por
los alumnos de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura
matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno, podemos decir
lo siguiente:
Consideramos que las estrategias de aprendizaje implementadas durante la
práctica pedagógica del docente y en la utilización del material didáctico sobre la
Unidad de Sistemas Numéricos a través de la propuesta didáctica, demostraron ser el
enfoque epistemológico más apropiado y adaptado para que los alumnos superaran
las principales dificultades en la comprensión y aplicación de los conceptos,
definiciones, propiedades y procedimientos necesarios para lograr el aprendizaje
matemático; esto se justifica desde el inicio del trabajo práctico efectuado en el aula,
en donde concluimos que los conocimientos básicos de los alumnos presentaron una
condición muy crítica. Es decir, la determinación, construcción y reconstrucción de
los organizadores avanzados y que señala Ausubel en su teoría del aprendizaje
significativo para establecer la conexión con los nuevos aprendizajes, representaron
el foco central para dar respuesta al problema formulado en la dimensión de
aprendizaje, transformándose esta situación de la fase diagnóstica de la investigación
en el primer obstáculo a vencer para obtener resultados satisfactorios, que nos
indicaran en el alumno un aprendizaje significativo, situación que nos propusimos
493
lograr con la puesta en práctica de las actividades del material didáctico y en la
planificación de las unidades didácticas.
No obstante, las evidencias confirmaron que la mayoría de los estudiantes de
la muestra no llegaron a obtener un alto nivel o grado de comprensión de los
conceptos, definiciones y propiedades relativos a los bloques de contenidos
seleccionados del programa de estudio de la asignatura Matemática General,
teniendo dificultades en la aplicación de los mismos. Sin embargo, a pesar de estos
resultados finales, destacamos que los estudiantes realizaron aprendizajes
progresivos, mejorando muchos de los resultados obtenidos en la fase diagnóstica; es
decir, comprobamos que el grupo evolucionaba paulatinamente de manera cualitativa
hacia el logro de los aprendizajes matemáticos, a pesar del corto periodo de clase con
el que contamos para aplicar la mayoría de las estrategias de aprendizaje de nuestro
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en la Unidad Didáctica
de los Sistemas Numéricos; recordemos que solo desarrollamos nueve sesiones de
clase durante un mes, cada una con dos horas de duración.
Como consecuencia de la situación crítica evidenciada en los alumnos en
cuanto a su formación básica sobre los aprendizajes previos de la Unidad Didáctica
de los Sistemas Numéricos, las estrategias de aprendizaje diseñadas y dirigidas por el
docente- investigador durante las sesiones de clases, aunque fueron utilizadas por
gran parte de los alumnos, se presentaron problemas para su aplicación fluida y
contundente. Cabe destacar que desde el comienzo de la investigación habíamos
constatado de forma semejante una situación preocupante en el dominio por parte del
alumnado de las estrategias de aprendizaje, sin embargo en el transcurso de las
sesiones de clase, de manera gradual pudimos observar el progreso relativo de los
estudiantes para superar estas debilidades que detectamos principalmente en la
expresión escrita y simbólico-matemática. Por otra parte, las actividades efectuadas
por los alumnos con relación a la elaboración de los mapas conceptuales y esquemas
resultaron técnicas de aprendizaje efectivas para la comprensión intuitiva de los
conceptos matemáticos, garantizando su aplicación coherente en los diferentes
ejercicios y problemas cotidianos contemplados en la Unidad Didáctica seleccionada
para la implementación de nuestra propuesta o Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal.
El panorama que presentaron los alumnos en cuanto a las estrategias para
resolver problemas se caracterizó también por tener serias dificultades cognitivas y
procedimentales para lograr con éxito, tanto la comprensión e interpretación de los
enunciados, como la información verbal-escrita de los planteamientos de los
494
problemas y los procedimientos a seguir para obtener las respuestas correctas. Sin
embargo, con la puesta en práctica de los pasos de resolución propuestos por Polya
(1978) –como una de las principales estrategias utilizadas en los problemas resueltos
y propuestos en la unidad didáctica–, pudimos dar una respuesta concreta y
apropiada a esta situación y, aunque no se logró superar de manera satisfactoria las
diversas situaciones problemáticas en cuanto al aprendizaje significativo, gracias al
apoyo constante de la asesoría y orientación del docente-investigador, los alumnos
organizaron, estructuraron y discriminaron de forma correcta los datos de la mayoría
de los problemas propuestos durante el desarrollo de la Unidad de Sistemas
Numéricos.
Finalmente, podemos decir que la situación con relación a la dimensión ‘el
clima social del aula y la actitud del alumno’ resultó ser diferente, puesto que los
resultados obtenidos fueron satisfactorios por el alcance significativo que tuvo el
Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el desarrollo de los
contenidos de la Unidad Didáctica seleccionada, mejorándose de forma notable los
elementos fundamentales del clima social del aula. En efecto, el proceso didáctico
desarrollado por el docente-investigador mejoró las interacciones sociales, la
comunicación y la participación de los actores, además de resignificar el cambio
progresivo de actitud de los alumnos hacia los contenidos enseñados en la Unidad
Didáctica de los Sistemas Numéricos, y las matemáticas en forma general.
Creemos que las causas principales del cambio tienen que ver con la
incorporación de actividades de enseñanza, estrategias de aprendizaje y evaluación
no convencionales, tales como: el uso de situaciones cotidianas de nuestro entorno
relacionadas con los temas matemáticos tratados, el trabajo en pequeños grupos para
realizar talleres, las exposiciones y la proyección de vídeos ilustrativos sobre la
importancia de las matemáticas para el desarrollo científico, tecnológico y
humanístico de la sociedad. A través de estas actividades, los alumnos lograron una
comprensión más eficaz de los conceptos, definiciones, propiedades, operaciones y
procedimientos matemáticos. Estamos convencidos de que se debe modificar
sustancialmente la metodología de las clases magistrales expositivas basadas
excesivamente en la información que transmite el discurso del docente, en los libros
de texto y en la aplicación de pruebas escritas al final del curso.
Con los resultados obtenidos también se comprueba que la mayoría de los
alumnos se inclinan más por la aplicación del razonamiento de tipo inductivo y los
procesos mentales intuitivos que por el razonamiento deductivo, la abstracción y el
formalismo en la construcción de conceptos matemáticos. Así lo planteamos en los
495
fundamentos epistemológicos de nuestro Programa de autorregulación del
pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, de acuerdo a lo
señalado por Velásquez (2000) cuando se refiere al paradigma falibilista como
fundamento central para la enseñanza de las matemáticas, quien las presenta como
una actividad propia del ser humano, la cual es flexible, corregible, cuya evolución
histórica es variable y dinámica, y susceptible de cambios y correcciones. Por
consiguiente, necesitamos separarnos un poco de la antigua posición filosófica
formalista, tal como lo planteamos en el pilar relacionado con la aplicación del
razonamiento inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir
sucesivamente al alumno hacia la conceptualización científica y formal del
conocimiento matemático. En este sentido, creemos que la secuencia didáctica del
proceso de enseñanza y aprendizaje debe iniciarse desde la comprensión intuitiva de
los contenidos como una forma de guiar al alumno hacia la construcción del
aprendizaje significativo y de manera progresiva lograr una aplicación más formal y
deductiva que fomente y consolide desde el punto de vista científico el desempeño
matemático de los estudiantes.
496
VIII.4. RECOMENDACIONES PARA TRABAJO FUTURO
La Didáctica de la Matemática es una disciplina relativamente nueva y sus
campos de investigación son infinitos, pues dan la oportunidad a los diferentes
investigadores de producir más conocimientos que aporten información novedosa y
vital para la construcción y reconstrucción de las teorías que fundamentan a esta área
de conocimiento. A través de los resultados y conclusiones que se han presentado
podemos decir que, el tema sobre la autorregulación del pensamiento lógico-formal
en el aprendizaje de las matemáticas desarrollado en nuestro trabajo de investigación
necesita seguir siendo investigado para obtener más respuestas sobre cómo lograr
activar, aplicar, promover, fomentar y consolidar esta habilidad cognitiva en los
alumnos para que el aprendizaje matemático sea realmente significativo. En tal
sentido, para profundizar más sobre esta línea y tema de investigación, consideramos
que se deben tomar en cuenta las recomendaciones y orientaciones siguientes:
- Las futuras investigaciones deben continuar desarrollando y avanzando en
la construcción de este modelo teórico-práctico relativo a la
autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las
matemáticas, puesto que constituye un programa imprescindible para el
desarrollo del proceso didáctico de las matemáticas, por el hecho de
incorporar los fundamentos epistemológicos constructivistas, en los
cuales se integraron de manera equilibrada estrategias de aprendizaje para
la organización de la información, resolución de problemas y actividades
de enseñanza, aprendizaje y evaluación que promovieron la participación,
comunicación y demás interacciones entre los actores del proceso
didáctico de la Unidad de Sistemas Numéricos, contribuyendo a crear un
clima social de aula flexible, integrador y dinámico en donde los alumnos
desarrollaron confianza y actitud para lograr los objetivos de aprendizajes
propuestos en el programa de estudio.
- Es necesario que se constituyan equipos de trabajo docente para seguir
implementando esta propuesta didáctica y efectuar su evaluación
correspondiente, que garantice un estado apropiado de la misma que
beneficie tanto a los alumnos como a la comunidad de profesores
responsables de la asignatura Matemática General. Además, proponemos
incrementar el tiempo de ensayo, que nosotros no tuvimos oportunidad de
llevar a cabo, para lograr desarrollar en su totalidad las diferentes
actividades programadas y, de esta forma, lograr una mayor flexibilidad a
497
la planificación y, lo que es más importante, al proceso de construcción
del aprendizaje en los alumnos.
- Ampliar y diversificar las diferentes estrategias de comunicación de la
información relativas a la proyección de vídeos y utilización de otros
recursos multimedia que expliquen la conexión entre nuestra vida
cotidiana y las matemáticas. En la realidad educativa actual este tipo de
recurso es muy escaso, necesitándose potenciar para el aprendizaje,
además de las diapositivas y vídeos, otros recursos relacionados con las
tecnologías de información y comunicación (TIC) y estudiar su impacto
en la autorregulación del pensamiento lógico-formal en la construcción
del aprendizaje matemático. Esto podría constituir un tema de
investigación interesante en la Didáctica de la Matemática.
- Incorporar otras técnicas de investigación cualitativas y cuantitativas, e
instrumentos de recolección de información para perfeccionar el
procedimiento de investigación aplicado y obtener resultados más
aproximados sobre las variables estudiadas del aprendizaje matemático de
los alumnos y el clima social del aula. Además, es oportuno considerar en
otros estudios de caso las entrevistas, diarios y cuestionarios aplicados a
los docentes para tener un mejor escenario de datos que evidencien los
alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del pensamiento
lógico-formal en el aprendizaje matemático de la Unidad de los Sistemas
Numéricos.
- Adaptar los diferentes aspectos teórico-prácticos del Programa de
autorregulación a otros contenidos de la asignatura Matemática General y
demás asignaturas de matemáticas que forman parte del pensum de
estudio universitario. Existen unidades de contenidos sobre álgebra
básica, inecuaciones, funciones reales y geometría plana que presentan un
gran problema de enseñanza, aprendizaje y evaluación. El rendimiento
académico en los alumnos es muy crítico, ocasionado por la debilidad que
existe en los aprendizaje previos, no obstante la determinación de los
organizadores avanzados que señala Ausubel deben ser el punto de
partida para lograr el aprendizaje significativo; en nuestro caso, la
construcción y reconstrucción de éstos fueron el verdadero problema,
cuyas respuestas contribuyeron a obtener resultados más satisfactorios en
la puesta en práctica de nuestro Programa para autorregular el
pensamiento lógico-formal en el alumno.
498
- Planificar y realizar cursos de formación pedagógica con la contribución y
aportes de los resultados de nuestro estudio, en donde se contemplen
principalmente la elaboración y construcción de este tipo de modelos
teóricos y su concreción en unidades didácticas que brinden el apoyo y
orientación necesaria a los docentes de matemáticas y al alumnado de
nuestro contexto universitario.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
501
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